SAYISAL GÖRÜNTÜLERDE ANA BİLEŞENLER DÖNÜŞÜMÜ (THE PRINCIPAL COMPONENTS TRANSFORMATION ON DIGITAL IMAGES)

Transkript

1 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf:-5. ÖZE SAYISAL ÖRÜNÜLERDE ANA BİLEŞENLER DÖNÜŞÜMÜ (HE PRINIPAL OMPONENS RANSFORMAION ON DIIAL IMAES) M. Devri AKÇA Sedat DOĞAN Ana bileşenler dönüşüü (principal coponents transforation), aralarında üksek korelason bulunan çok değişkenli verileri, aralarında korelason olaan eni bir koordinat sisteine dönüştüren istatistiksel bir veri dönüşüü önteidir. Bu dönüşü, farklı disiplinlerce çok değişkenli (çok boutlu) verilerin analizinde (ultivariate analsis) kullanılaktadır. Özellikle sinallerin iletiinde sıkça kullanılan bu dönüşü, saısal örüntülerin de sinal olarak orulanabilesi saesinde, örüntü işlee uulaalarında da sıkça kullanılaktadır. Bu çalışada, saısal örüntülerde ana bileşenler dönüşüü anlatılış ve 4 bpp lik bir test örüntüsü üzerinde apılan uulaa sunuluştur. Uulaa, akalenin azarları tarafından Borland ++ Builder proralaa dilinde azılış bir bilisaar proraı tarafından erçekleştiriliştir. Makalenin sonunda, proraın teel fonksionlarının kanak kodları veriliştir. Orijinal prora, adresinden edinilebilir.. ABSRA he principal coponents transforation is a statistical data transforation which aps the hih correlated ultivariate data to a new coordinate sste where the data is uncorrelated. his transforation is used b various disciplines. he principal coponents transforation is especiall used in the transission theor of diital sinals. Since diital iaes can also be interpreted as of special tpe diital sinals, this transforation is also used in diital iae processin frequentl, for various purposes. In this paper, the principal coponents transforation has been eplained and a saple application has been perfored on 4 bpp test iae, has been presented. his saple application has been perfored with a coputer prora written b the authors, and has been coded in Borland ++ Builder prorain lanuae. At the end of the paper, source codes of the basic functions of the prora have also been iven. Whole of the oriinal prora can be downloaded fro web address.. İRİŞ Çok değişkenli analiz konusu, iki vea daha çok boutlu rasele değişkenleri bir bütün olarak ele alan ve değişkenler arasındaki ilişkileri öz önünde tutarak bütünsel bir sonuç üreten istatistiksel tekniklerden edana elektedir. Bu istatistiksel tekniklere örnek olarak; korelason ve rereson analizi verilebilir. Bununla birlikte, çok değişkenli verilerin analizinde, bütüncül istatistiksel sonuçlar üretenin ötesinde, çok değişkenli veri küesinin apısını tanılaaa önelik veri-çözülee teknikleri de vardır. Ana bileşenler analizi böle bir tekniktir. Ana bileşenler öntei, bazı kesin koşulları erine etirerek, bir urup korelasonlu değişkenlere doğrusal dönüşü uulaan bir veri-çözülee tekniğidir. Bu

2 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf:-5. koşullardan en önelisi, dönüşüden sonra değişkenler arasında korelason bulunaasıdır /7/. Ana bileşenler dönüşüü (Principal oponents ransforation ); aralarında üksek korelason bulunan çok değişkenli verileri, aralarında korelason olaan eni bir koordinat sisteine dönüştüren doğrusal bir dönüşüdür. Dönüşüden sonra, veriler arasında korelason ortadan kalkar. Saısal örüntülerde ana bileşenler dönüşüü, örüntünün eoetrik özellikleri üzerinde apılan konusal bir dönüşü değil, örüntünün radoetrik (spektral a da renk ) özellikleri üzerinde apılan istatistiksel bir dönüşüdür. Bu önte ilk defa, H. Hotellin tarafından eliştiriliş ve ana bileşenler öntei adı veriliştir. Daha sonra, K. Karhunen ve M. Loéve ileti teorisinde bu öntei kullanışlar, bölece boutlu bir dijital (arık) sinali l< olacak şekilde l boutlu bir sinal şeklinde optiu hata ile iletei başarışlardır /6/. Bu aklaşı, ana bileşenler dönüşüünün arık bir örüntü dönüşüü olarak uulanabilesinin esin kanağı oluştur /4/. Ana bileşenler dönüşüü; Hotellin dönüşüü, Özvektör (eienvector) dönüşüü, a da arık Karhunen- Loéve dönüşüü olarak da bilinir. Ana bileşenler dönüşüü, fotoraetri ve uzaktan alılaada; örüntü sıkıştırada (iae copression), örüntü iileştirede (iae enhanceent), üçten fazla bandla alılanış örüntülerin ekranda österilesinde, değişi belirleede (chane detection), örüntü çakıştırılasında (iae erin), sınıflandıra öncesinde sınıflandıraa sokulacak band saısının azaltılasında, apa sinir ağlarında özellik çıkarıında vs. kullanılaktadır. Ana bileşenler dönüşüü ile ilili aıların büük bir çoğunluğunda, österi kolalığından dolaı, konunun anlatıı -bandlı örüntüler teel alınarak apılıştır. Ancak -bandlı bir örüntünün, noral ollarla ekranda örüntülenesi ükün değildir. Bu çalışada, üç-bandlı (4-bitlik ani 4 bpp) örüntülerde ana bileşenler dönüşüü anlatılıştır. Üç-bandlı bir test örüntüsüne, ++ Builder proralaa dili kullanılarak akalenin azarları tarafından hazırlanan Windows tabanlı bir prorala ana bileşenler dönüşüü uulanış ve sonuçlar sunuluştur. Konunun proracılık önüle ililenenler için, dili ile azılış bir prora parçası veriliştir. Makalenin azarları tarafından hazırlanan ve uulaada kullanılan prora, jeodezi.htl adlı Web adresinden edinilebilir.. ÖRÜNÜLERDE BANDLAR ARASI KORELASYON Çok bandlı alılanış bir örüntünün bandları arasında enellikle üksek korelason bulunur. Bu duru, örüntülenen nesnelerin spektral ansıta özelliklerinden kanaklanaktadır. Örneğin, bitki örtüsünün oğun olduğu bir bölenin çok bandlı örüntüsünde, örünür kırızı band ile akın-kızılötesi band arasında neatif korelason olasına karşı, örünür avi band ile örünür eşil band arasında pozitif korelason olacaktır. Bu örnekler değişik erüzü nesneleri için enişletilebilir (Şekil-). Bandlar arasında korelason olası duruunda, örüntü üzerindeki bir pikselin bir banddaki parlaklık değeri biliniorken, diğer bir banddaki parlaklık değeri, belirli bir aklaşıklıkla, kestirilebilir. Bandlar arasında korelason bulunası, veri küesinde fazla bili

3 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf:-5. olduğu anlaına da elir. Çünkü, bazı bililer tekrarlanaktadır. Eğer veri küesindeki bu fazlalık azaltılabilinirse, çok bandlı örüntü sıkıştırılabilir /0/. Çok değişkenli dağılıların değişkenleri arasındaki korelasonun ok edilesi konusunun daha ii anlaşılabilesi için, dağılıların bazı paraetreleri hakkında kısa bir bili verek ararlı olacaktır. Yansıtı (%) toprak su bitki örtüsü dalabou (µ) Şekil-: Bitki örtüsü, toprak ve suun spektral ansıtı eğrileri /8/. Eliizde X ve Y ibi iki rasele değişkeni bulunan n eleanlı bir dağılı olduğunu varsaalı. Herhani bir rasele değişkenin üit değeri ( E{} ) ortalaa değeridir. Rasele değişkenler kou harfle österiliştir. X Xi E{} X () n Varans, bir rasele değişkenin ortalaa değeri çevresindeki aılasının büüklüğü hakkında bili verir. ( X ) {( ) } i X X E X X a da () n Xi X E{ X X X + X } E{ X } E{} X X + X X (3) n Kovarans ise, iki rasele değişken arasındaki bağılılık hakkında bili verir. ( X )( Y ) {( )( )} i X i Y X, Y E X X Y Y a da (4) n { } { } Xi Yi X, Y E XY XY Y X + X Y E XY X Y X Y (5) n

4 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf:-5. Kovaransın boutu, X ve Y rasele değişkenlerinin boutlarının çarpııdır. İki rasele değişken arasındaki bağılılık araştırılırken, boutsuz bir katsaı olan korelason katsaısı daha sık kullanılır. Korelason katsaısı; iki rasele değişken arasındaki kovaransın, rasele değişkenlerin standart sapalarının çarpıı ile standartlaştırılası şeklinde de orulanabilir. r X,Y (6) X,Y X Y Bu katsaının değeri - ile + arasında değişebilir. X ile Y nin bağısız olası halinde, korelason katsaısı sıfıra akın bir değer alır. Korelason katsaısının + e akın değer alası, X in ortalaadan büük değerlerine enellikle Y nin ortalaadan büük değerlerinin, X in ortalaadan küçük değerlerine de Y nin ortalaadan küçük değerlerinin karşı eldiğini österir. Bu duruda X ile Y bağısız olaıp aralarında birbirine bağlı olarak değişen bir ilişki vardır. Korelason katsaısının - e akın değer alası da rasele değişkenlerin bağılı olduğunu österir, ancak bu duruda değişkenlerden biri artarken diğeri azalaktadır /3/. Korelason katsaısının utlak değerinin e eşit olası, X ile Y arasında Ya+bX şeklinde doğrusal fonksionel bir bağılılık olduğunu österir. Bağılılığın fonksionel olasıla birlikte doğrusal olaası halinde ise korelason katsaısı e eşit olaabilir. Örneğin YaX fonksionel bağıntısı X ile Y arasında sıfıra akın bir korelason katsaısı verir. Buna öre kovarans (a da korelason katsaısı) iki rasele değişken arasındaki doğrusal bağılılığın bir ölçüsüdür /3/. Y A B D Şekil-: İki rasele değişkenli (X ve Y) dört örnek dağılıın österii. Eliizde 4 tane (A, B, ve D) iki rasele değişkenli (X ve Y) dağılı olsun ve bunların ortak dağılıı Şekil- de örüldüğü ibi olsun. Herhani bir dağılıın rasele değişkenlerinin saısı, o dağılıın boutunu ifade eder ve rasele değişkenlerden her biri, dağılıın österiinin apılacağı koordinat sisteinin eksenlerinden birini edana etirir. Şekil- deki dağılılar iki boutludur. Dağılıların ağırlık erkezlerinin koordinatları, ilili rasele değişkenlerinin ortalaa ( X ve Y ) değerleridir. Dağılıların varansları, ilili rasele değişkenlerin eksenleri bounca olan aılalarını, kovaransları ise bu aılanın şeklini ve önünü ifade eder. Eğer dağılıın her rasele değişkeni noral dağılıdasa vea noral dağılıa akınsa, aılanın şekli; iki boutlu dağılılar için elips, üç boutlu dağılılar için elipsoid ile österilebilir. Bu anlada; çok boutlu bir dağılıın ortalaa X

5 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf:-5. değer vektörü ve varans-kovarans atrisi, çok boutlu uzada dağılıın konuunu ve şeklini tanılar. Şekil- de österilen A ve B dağılılarının X ve Y değişkenleri için ortalaa değerleri ve varansları anıdır. Ancak A dağılıının değişkenleri arasında neatif korelason varken, B dağılıının değişkenleri arasında korelason oktur. A dağılıının değişkenleri arasındaki doğrusal ilişkinin B dağılıında oladığı, şekilden kolaca anlaşılaktadır. Şekil- de örünen diğer iki dağılıdan nin değişkenleri arasında üksek pozitif korelason olasına karşın, D dağılıının değişkenleri arasındaki korelason sıfır vea sıfıra akın bir değerdir. D dağılıının şekli olan elipsin büük ekseninin X eksenine ve küçük ekseninin Y eksenine paralel olası, değişkenler arasında korelason olaasının (sıfıra akın bir korelasonun olasının) bir sonucudur. Ölese, dağılıının değişkenleri arasındaki korelasonu ok etek için; a dağılıı ifade eden elipsin eksenlerinin koordinat sisteinin eksenlerine paralel olana kadar dağılıın döndürülesi a da elipsin eksenlerine paralel ve ilk sistee (X-Y) öre dönük eni bir koordinat sisteinin (X -Y ) tanılanası erekektedir. Sonuç olarak apılası ereken işle, öteleesi ve ölçek değişii olaan bir benzerlik dönüşüüdür. Ana bileşenler dönüşüü, çok değişkenli (boutlu) dağılılar arasındaki korelasonu ortadan kaldırak için benzer bir aklaşı kullanaktadır. 3. ÖZDEĞERLER VE ÖZVEKÖRLER Ana bileşenler dönüşüünde teel bilineen olan dönüşü atrisinin hesabı, aslında bir lineer cebir probleidir. Konunun daha ii anlaşılabilesi için, özdeğerler (eienvalues) ve özvektörler (eienvectors) kavralarının kısaca açıklanasında arar vardır. i i i A i,...,n (7) A atrisi n n boutlu ve vektörü n boutlu olak üzere; (7) eşitliğini sağlaan sıfırdan farklı vektörlerine, A atrisinin özvektörleri ve skalar değerlerine de A atrisinin özdeğerleri denir. (7) eşitliği aşağıdaki ibi de azılabilir; i 0 ( A I ) i i I: biri atris (8) bilineenler vektörü olarak ele alınırsa, (8) eşitliğinin hoojen bir denkle sistei olduğu anlaşılacaktır. Bu duruda vektörleri sıfır olaaacağından, hoojen denkle sistelerinin sıfırdan farklı bir çözüünün bulunabilesi için katsaılar atrisinin deterinantı sıfır olalıdır. det A i I 0 (9) (9) eşitliğine karakteristik denkle (characteristic equation) adı verilir. Verilen A atrisinin özdeğerleri, (9) eşitliğinden çıkarılan n dereceli polinoun kökleridir. Özdeğerler bulunduktan sonra, (8) eşitliği kullanılarak özvektörler de bulunabilir. Eğer A atrisi sietrik ve eleanları erçek saılar ise; özdeğerleri ve özvektörleri de erçek saılar olup, özvektörleri de ortoonal olur.

6 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf: ANA BİLEŞENLER DÖNÜŞÜMÜ Şekil-3 de, üç bandlı bir örüntüdeki (4-bitlik) pikseller, ilili bandlarındaki parlaklık değerleri koordinat değerleri olak üzere çiziliştir. Üç koordinat ekseni, örüntünün üç bandına karşılık elektedir (örneğin; avi band, eşil band, 3 kırızı band). Her üç banddaki piksellerin parlaklık değerlerinin noral dağılıa akın olduğu kabulünden ola çıkılarak, piksellerin dağılıı elipsoid şeklinde österiliştir. Şekildeki pikseller arasındaki uzaklık, eoetrik anlada bir uzaklık değil, radoetrik anlada bir uzaklıktır. Şekil-3, üç rasele değişkenli bir veri küesinin ortak dağılıı şeklinde de orulanabilir. Şekil-3 deki her piksel, ilili bandlardaki parlaklık değerlerini içeren 3 boutlu vektörler () olarak ele alınırsa; herhani bir vektörünün üit değeri, ortalaa değer vektörü olacaktır: K E{} i (0) K i Yukarıdaki eşitlikte; K örüntüdeki topla piksel saısını, i herhani bir piksel vektörünü ve ortalaa değer vektörünü (3 boutlu) ifade etektedir. 3 (R) () B R 3 (a) i piksel vektörü 0 (b) 55 (B) Şekil-3: (a) 4-bitlik örüntünün bandları ve (b) piksellerin üç boutlu uzada ortak dağılıı. Şekil-3 deki üç boutlu dağılıın kovarans atrisi aşağıdaki ibi ifade edilebilir: E K {( ) ( ) } ( ) ( ) K i i i () Eğer bandlar arasında üksek korelason varsa, dağılıın 3 3 boutlu kovarans atrisinde ( ) köşeen dışındaki terilerin utlak değerleri, köşeendeki terilerden çok büük olacaktır.

7 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf:-5. Ana bileşenler dönüşüünün teel ilkesi; ultispektral vektör uzaında, verileri korelasonsuz olarak ifade edebilen diğer bir deişle eni sistede kovarans atrisi köşeen olan, eni bir koordinat sisteinin araştırılasıdır /9/ Şekil-4: Ana bileşenler dönüşüü. Buradaki örneğiizde ana bileşenler dönüşüü; (--3) koordinat sisteinin, üç uzasal dönüklük açısıla, (--3) koordinat sisteine dönüştürülesi probleidir. Söz konusu dönüşü, eksenler arasındaki ölçek katsaısının bire eşit olduğu ve koordinat sistelerinin erkezleri arasında öteleenin oladığı bir uzasal benzerlik dönüşüüdür. Dönüşüden sonra eksenler arasındaki diklik koşulu korunacağından, dönüşü atrisi ortoonal atris olacaktır. Veriler arasındaki korelasonun ok edilesi teel aaç olduğundan, dönüşüden sonra eni koordinat sisteinin eksenleri, elipsoidin eksenlerine paralel olacaktır (Şekil-4). Elipsoidin en büük ekseni, veri küesinin birinci ana bileşenidir. Birinci ana bileşenin önüne, birinci özvektör ve uzunluğuna da birinci özdeğer denir. Anı bakış açısıla, elipsoidin diğer eksenleri uzunluklarına öre sırasıla, veri küesinin ikinci ana bileşeni ve üçüncü ana bileşeni olacaklardır. Birinci ana bileşen;, ve 3 eksenlerine oranla verii daha eniş bir aralıkta tesil eder (Şekil-5). Çok bandlı örüntülerin ilk birkaç ana bileşeni, enellikle veri küesindeki varansın çok büük bir kısını içinde toplar. Bazı durularda bu oran %00 e aklaşır Şekil-5: Birinci ana bileşen ekseninin,, ve 3 eksenlerine öre verii tesil ete aralığı.

8 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf:-5. örüntüdeki pikselleri, eni koordinat sisteinde (Şekil-4) 3 boutlu vektörleri ile östereli. Dönüşü atrisi () 3 3 boutunda olak üzere, dönüşüün atris österii aşağıdaki ibi olacaktır: () Dönüşüden sonra veriler arasındaki korelasonun ok edilesi teel aaç olduğundan; --3 koordinat sisteindeki kovarans atrisi köşeen olalıdır, diğer bir deişle atrisin köşeen dışındaki eleanları (kovaransları) sıfır olalıdır. ( ) ( ) { } E (3) {} { } {} K i i K E E E (4) (3) ve (4) denklelerinde eni koordinat sisteinde ortalaa değer vektörü ve eni koordinat sisteinde kovarans atrisidir. (3) denklei, () ve (4) denkleleri kullanılarak eniden düzenlenirse; ( ) ( ) { } E ( ) ( ) [ ] { } E ( ) ( ) { } E ( ) ( ) { } E (5) eşitliği elde edilir. atrisi, ana bileşenler dönüşüünün teel ilkesi ereği köşeen olak zorundadır ve köşeen üzerindeki eleanları, verilerin dönüştürülüş sistedeki varansları olacaktır. dönüşü atrisi, ortoonal bir atris olduğundan tersi, evriğine eşittir;. Ölese, (5) eşitliği aşağıdaki ibi azılabilir: (6)

9 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf:-5. (6) eşitliğindeki atrisleri açık olarak azalı;,, 3,,3 3, 3, i erine i sebolü kullanılıp eşitlik düzenlenirse;,, 3,,3 3, 3, (7) elde edilir. Denkle (7), (7) eşitliğinde verilen tanıa uaktadır. Bu bağlada, dönüşü atrisinin evriğinin ( ) sütunları, atrisinin özvektörleridir ve atrisinin köşeen eleanları ( i ), atrisinin özdeğerleridir. Dönüşüden sonra, ana bileşenlerin varanslarının büüklüklerine öre sıralanabilesi için; özdeğerlerin, büüklüklerine öre sıralanası erekektedir: > > 3. Ana bileşenler dönüşüü, teelde bir lineer cebir probleidir. Problein teel bilineeni olan dönüşü atrisi, sietrik atrisinin özdeğerleri ve özvektörlerinin hesaplanasıla bulunur. 5. ÖRNEK UYULAMA Konunun hesap önünü daha anlaşılır hele etirek aacıla bu bölüde, bir test örüntüsüne (Şekil-6(a)), akalenin azarları tarafından hazırlanan prora kullanılarak ana bileşenler dönüşüü uulanış ve işle adıları sırasıla sunuluştur (8) (8) eşitliği, Şekil-6(a) da örülen 3-bandlı (4-bitlik) erçek renkli örüntünün kovarans atrisidir. Matrisin köşeen dışındaki eleanlarının büük olasından, üç band arasında üksek korelason olduğu anlaşılaktadır. Özdeğerler, bu atrisin karakteristik denkleinin çözüüle bulunur:

10 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf:-5. Karakteristik denklein kökleri özdeğerlerdir. Diğer bir deişle eni koordinat sisteindeki kovarans atrisinin eleanlarıdır: (9) Denkle (9) da, birinci ana bileşenin, topla varansın %97 sini ifade ettiği örülektedir. Bir sonraki işle adıı olan özvektörler hesabı, (0) eşitliğindeki hoojen denkle sisteinin her üç özdeğer için arı arı çözüü ile apılır. [ I] (0) () (ortoonallik koşulu) () () eşitliğindeki hoojen denkle sisteinin katsaılar atrisinin deterinantı sıfır olduğundan, birden çok çözüü vardır. Çözüün tek anlalı olabilesi için, ana bileşenler dönüşüünün ortoonal bir dönüşü olduğu a da sietrik atrislerin özvektörlerinin ortoonal olduğu koşulundan ola çıkılarak, () koşulunun da işlee sokulası erekir. () ve () eşitliklerinin ortak çözüü ile sonuca ulaşılır. Benzer şekilde diğer özvektörler de çözülürse aşağıdaki sonuçlar bulunur: (3) Sonuç olarak; 3-bandlı test örüntüsündeki herhani bir pikselin ana bileşenleri, aşağıdaki dönüşü forülüle hesaplanır. Şekil-6 da 3-bandlı test örüntüsü ve bu örüntünün ana bileşenleri örülektedir (4) Dönüşüden sonra, piksellerin parlaklık değerlerinin ana bileşenlerdeki karşılıkları, enellikle 0-55 aralığında olaz. Bu aralığın altına ve üstüne taşalarla karşılaşılaktadır. Örneğin; Şekil-6(a) daki test örüntüsünün birinci ana bileşeni 4 ile 44 arasında, ikinci ana bileşeni -43 ile 3 arasında, üçüncü ana bileşeni 34 ile 8 arasında değerler alıştır. Ana

11 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf:-5. bileşenler bu hallerile ekranda doğrudan örüntüleneezler. Her ana bileşenin arı arı 0-55 aralığına etirilesi erekir. Bu işle, saısal örüntü işleede nicellee (quantization) olarak bilinir //, /4/, /5/. Nicellee, doğrusal kontrast eresi (linear contrast stretchin) ile karıştırılaası ereken bir kavradır. Her iki işle de doğrusal bir transfer fonksionu kullanasına rağen (nicellee işlei zaan zaan doğrusal olaan fonksionlar da kullanabilektedir), ilk işle 0-55 aralığı dışındaki saısal değerlerle ililenirken, ikinci işle 0-55 aralığı içindeki saısal değerlerle ililenektedir. Bu arıa ek olarak; nicellee işlei doğrudan örüntünün saısallaştırılası (diitization) ile ilili bir işle olasına karşın, doğrusal kontrast eresi bir örüntü iileştire (iae enhanceent) önteidir. Şekil-6 (b), (c), (d), (e) ve (f) de örülen ana bileşenler, nicellee işlei uulanarak, bilisaarda örüntülenebilir hale etirilişlerdir. (a) renkli (b) renkli (c) renkli (d) ri-düze (e) ri-düze (f) ri-düze Şekil-6: (a) 3-bandlı (4-bitlik) erçek renkli test örüntüsü, (b) ana bileşenlerin sırasıla 3>BR band kobinasonu, (c) ana bileşenlerin sırasıla 3BR band kobinasonu, (d) birinci ana bileşen, (e) ikinci ana bileşen, (f) üçüncü ana bileşen. 6. ANA BİLEŞENLER DÖNÜŞÜMÜNÜN BAZI ÖZELLİKLERİ ü ana bileşenler birbirlerini dik (ortoonal) keserler. Ana bileşenler dönüşü atrisi ortoonallik koşullarını sağlar: n i n n ij ij, j i 0, ij ik - (5) n boutlu bir veri küesinde, birinci (.) ana bileşen, varansın en büük olduğu ekseni ve n. ana bileşen, varansın en küçük olduğu ekseni ifade eder. Her özvektörün eleanları, ilili ana bileşen ekseninin --3 koordinat sisteindeki biri vektörlerini ifade eder.

12 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf:-5. Veri küesinin kovarans atrisinin deterinantı, özdeğerlerin çarpıına eşittir: n (6) i i Veri küesinin varanslarının toplaı, ana bileşenlerin varanslarının (özdeğerlerinin) toplaına eşittir: n i n n i i i a da İz i i ( ) İz( ) (7) Ana bileşenler dönüşüünün tersi de tanılıdır: - (8) Küçük özdeğerli özvektörlerden bazıları ihal edilerek vektörünün boutu indirenebilir. Bu özellik veri sıkıştıra işlelerinde kullanılaktadır. (<n) koşulula atrisinin en alttan (n-) tane satırının atılasıla, n boutlu indireniş ~ atrisi elde edilebilir. Böle bir ~ atrisile apılacak dönüşüde, ana bileşenler vektörlerinin boutu olacaktır: ~ ~ (9) n n Böle bir dönüşüden sonra, vektörleri ters dönüşüle aklaşık olarak elde edilebilir: ~ ~ ~ (30) Özdeğerler, özvektörlerin varanslarını ifade ettiğinden, böle bir aklaşıklığın karesel ortalaa hatası aşağıdaki şekilde olacaktır: n i i + K.O.H (3) Aşağıdaki örnek, bu özelliğin daha ii anlaşılasını sağlaacaktır: ~ 00 ~ ~ ~ ~

13 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf: ÇALIŞMA için YAZILAN PRORAMI Makalenin bu bölüünde, saısal örüntü işlee uulaalarının proracılık önüle ililenenler için; Borland ++ Builder ile azılış ancak kola anlaşılabilesi için sınıf tasarılarından arındırılış çıplak kodları veriliştir. Verilen prora parçası, ana bileşenler dönüşüü atrisini hesaplaan bir fonksion ve onun alt fonksionlarını içerektedir. // // unsined char **BR; //3-bandlı örüntü // lobal // float X[3][3]; //örüntünün kovarans atrisi // değişkenler // double L[3]; //özdeğerler vektörü // // float [3][3]; //dönüşü atrisi void FindRootOf3rdPolno(double p, double q, double r) { lon double a, b, disk, A, B, teta; int i; a q-((p/3)*p); b (p/3)*(*(p/3)*(p/3)-q) + r; disk (b*b/4) + (a*a*a/7); if(disk< && disk> ) disk0.0; if(disk0) { L[0] (b>0)? -*sqrt(-a/3) : *sqrt(-a/3) ; L[] (b>0)? sqrt(-a/3) : - sqrt(-a/3) ; L[] L[]; } if(disk<0) { teta (b>0)? acos(-(b/)*(3/a)*sqrt(3/-a) ) : acos( (b/)*(3/a)*sqrt(3/-a) ); for(i0;i<3;i++) L[i] *sqrt(-a/3)*cos((teta/3)+(i**m_pi/3)); } for(i0;i<3;i++) L[i] L[i]-(p/3.0); //3.dereceden denklein kökleri.. } //fonksion sonu.. void alculateeienvectors(double Ozd,int j) { double w,w,w3,w4; w X[][0] * X[0][] - (X[0][0]-Ozd)*(X[][]-Ozd); w X[][0] * X[0][] - (X[0][0]-Ozd)* X[][]; w3 (X[][]-Ozd)* X[][0] - X[][] * X[][0]; w4 (X[][]-Ozd)*(X[][]-Ozd) - X[][] * X[][]; [][j](float)(sqrt(/(+pow(w4/w3,)+pow(w/w,)))); [0][j](float)(-([][j]*w4)/w3); [][j](float)(-([][j]*w)/w); } //fonksion sonu.. void ransposeofransforationmatri( ) { float swap; swap[0][]; [0][][][0]; [][0]swap; swap[0][]; [0][][][0]; [][0]swap; swap[][]; [][][][]; [][]swap; } //fonksion sonu.. void Principaloponentsransforation( ) { float MX[3] {0.0,0.0,0.0}; //ortalaa değer vektörü float nbmpinfo.biwidth*bmpinfo.biheiht; //topla piksel saısı double p,q,r,swp; int i,j,k; for(j0; j<n; j++) //örüntünün ortalaa değer vektörü hesaplanıor

14 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf:-5. for(i0; i<3; i++) MX[i]MX[i]+(((float)BR[i][j])/n); for(j0; j<3; j++) //örüntünün kovarans atrisi hesaplanıor for(i0; i<3; i++) for(k0;k<n;k++) X[j][i]X[j][i]+(((((float)BR[i][k])-MX[i])*(((float)BR[j][k])-MX[j]))/(n-.0)); p -X[0][0]-X[][]-X[][]; q -X[][]*X[][] - X[0][]*X[][0] - X[0][]*X[][0] + X[][]*X[][] +X[0][0]*X[][] +X[0][0]*X[][]; r X[][0]*X[0][]*X[][] + X[0][0]*X[][]*X[][] + X[0][]*X[][]*X[][0] - X[0][0]*X[][]*X[][] - X[0][]*X[][]*X[][0] - X[0][]*X[][0]*X[][]; //karakteristik denklein katsaıları belirlendi FindRootOf3rdPolno(p,q,r); //karakteristik denklein kökleri bulundu.. for(i0;i<;i++) for(ji+;j<3;j++) if(l[i]<l[j]) { swpl[i]; L[i]L[j]; L[j]swp; } for(i0;i<3;i++) alculateeienvectors(l[i],i); ransposeofransforationmatri( ); printf("\n_ana_bilesenler_donusu_matrisi : \n"); for(j0;j<3;j++) { for(i0;i<3;i++) printf(" [%d][%d]%f ",j,i,[j][i]); printf("\n"); } //dönünün sonu }// fonksion sonu.. Yukarda verilen prora parçasındaki teel fonksion, Principaloponentsransforation( ) fonksionudur. Diğer fonksionlar, bu fonksion içerisinden çağrılaktadır. Üç bandlı örüntü BR[i][j] dizisinde saklanaktadır. Buradaki i indisi, band nuarasını ve j indisi örüntünün piksellerini ifade etektedir. i indisinin elean saısı 3 ve j indisinin elean saısı ükseklik*enişliktopla_piksel_saısı kadardır. Fonksionun çalışabilesi için, BR[ ][ ] dizisine, örüntünün aktarılası erekektedir (daha fazla bili için bakınız // ). Principaloponentsransforation( ) fonksionu, önce örüntünün ortalaa değer vektörünü MX[ ] ve kovarans atrisini X[ ][ ] hesaplaaktadır. Daha sonra karakteristik denklein eleanlarını hesaplaarak, FindRootOf3rdPolno(double,double,double) fonksionunu çağıraktadır. Bu fonksion, verilen 3. dereceden polinoun köklerini hesaplaarak, bulduğu sonuçları L[ ] dizisine erleştirektedir. Kovarans atrisi sietrik olduğu için sanal kök olaaacağından, bu duru fonksion içerisinde irdeleneiştir. Daha sonra, özdeğerler L[ ] büüklüklerine öre sıralanarak, her özdeğerin özvektörü alculateeienvectors(double,int) fonksionu çağrılarak hesaplanaktadır. Bulunan sonuçlar [][] atrisinin sütunlarına erleştirilektedir. Son olarak ransposeofransforation Matri( ) fonksionu çağrılarak, [ ][ ] atrisinin evriği hesaplanakta ve ekrana azdırılaktadır. örüntünün kovarans atrisinin değerlerinin büük olası duruunda, karakteristik denklein köklerinin hesaplanasında kullanılan değişkenler çok büük değerler alabilektedir. Değişken alanının uzunluğu, ifadenin sonuç değerini alaaacak büüklükte ise, sonuç değerin bazı bte ları atılaktadır. Bu tür taşaların önüne eçebilek için, değişkenlerin tip tanılaalarının dikkatli apılası erekektedir.

15 Akca, M.,D., Doan, S., 00. Saisal oruntulerde Ana Bilesenler Donusuu. Harita Derisi, Sai 9,sf: SONUÇ Ana bileşenler dönüşüü teelde bir istatistiksel analiz öntei olasına karşın, saısal örüntü işleede, örüntünün ri-düzeleri (a da renkleri) üzerinde apılan bir dönüşü olarak karşııza çıkaktadır. Bu önte, veri küesindeki korelasonu ortadan kaldırarak, veri küesine farklı bir uzadan bakış sağlaası açısından önelidir. Esas örüntüde örüleeen bazı arıntılar, ana bileşenlerde ortaa çıkabilektedir. Bu çalışada, 3-bandlı örüntülerde ana bileşenler dönüşüü anlatılış, öntein teel ilkeleri sunulaa çalışılıştır. Ana bileşenler dönüşüü, üçten çok bandlı örüntülerde uulanırken, karakteristik denklein derecesi üçten büük olacağından, özel durular dışında özdeğerler doğrudan çözüleeecektir. Bu sorunun çözüü için değişik iteratif önteler (kuvvet öntei, Jacobi öntei, Q-R aloritası, ivens öntei, vs.) kullanılabilir. KAYNAKLAR // Açıköz (Doğan), R., Doğan, S., Baner,. // Aktaş, Z., Öncül, H., Ural, S. : Raster örüntülerinin Yapısı, örüntülee ekniklerinin eelleri ve Bitap Foratı, Harita ve Kadastro Mühendisliği Derisi, Saı 86, 999. :Saısal Çözülee, ODÜ Ya., Ankara, 984. /3/ Baazıt, M., Oğuz, B. : Mühendisler İçin İstatistik, Birsen Yaınevi, İstanbul, 998. /4/ astlean, K.,R. : Diital Iae Processin, Prentice Hall Inc., USA, 996. /5/ onzalez, R.,. : Diital Iae Processin, Addison-Wesle Publ. op., anada, 987. /6/ Hakin, S : Neural Networks a oprehensive Foundation, Prentice Hall Inc., New Jerse, 999. /7/ Jackson, J.,E. : A User s uide o Principal oponents, John Wile&Sons Inc., anada, 99. /8/ Mather, P.,M. : oputer Processin of Reotel-Sensed Iaes, John Wile&Sons Inc., Enland, 999. /9/ Richards, J.,A. : Reote Sensin Diital Iae Analsis, Spriner-Verla, eran, 993. /0/ Sabins, F.,F. : Reote Sensin Principles and Interpretation, W.H. Freean and opan, USA, 987.