BÖLÜM 7 ÝNTEGRAL 1. Belirsiz (Sýnýrsýz) Ýntegral 2. Belirli (Sýnýrlý) Ýntegral 3. Ýntegralin Uygulamalarý

Transkript

1 BÖLÜM 7 ÝNTEGRAL. Belirsiz (Snrsz) Ýntegral ~ Belirsiz Ýntegralin Özellikleri ~ Ýntegral Alma Kurallar ~ Trigonometrik Fonksiyonlarn Ýntegrali ~ Basit Deðiþken Deðiþtirme Yöntemleri ~ Alþtrmalar ~ Test ~ Ksmi (Parçal) Ýntegrasyon Yöntemi ~ Kesirli (Rasyonel) Fonksiyonlarn Ýntegrali ~ Köklü Fonksiyonlarn Ýntegrali ~ Trigonometrik Fonk. Cinsinden Rasyonel Olarak Ýfade Edilen Fonksiyonlarn Ýntegrali ~ Alþtrmalar ~ Test. Belirli (Snrl) Ýntegral ~ Belirli Ýntegralin Özellikleri ~ Özel Tanml Fonksiyonlarn Ýntegrali ~ Alþtrmalar ~ Test. Ýntegralin Uygulamalar ~ Eðri Altndaki Alan (Ýki Eðri Arasnda Kalan Alan) ~ Haim Hesab ~ Alþtrmalar 4 ~ Karma Testler ~ ÖSYM Sorular

2 Öðrenmenin zevki Tarihin en ünlü filozoflarndan biri olan Sokrates (MÖ MÖ.99), Atina kanunlarna göre yarglanp ölüme mahkûm edildi. Sokrates i son kez görmeye gelen öðrenilerinden birinin elinde bir saz gördü. Sazn nasl çalnaaðn öðrenmek istediðinde öðrenisi hayretle: Üstadm! Ama nasl olur? Az sonra zehiri içeeksiniz, çalmaya vaktiniz olmayaak ve bir zevk duymayaaksnz. dedi. Sokrates, ölümden öne son dersini verdi: Evladm! Asl zevk çalmakta deðil, çalmay öðrenmektedir... Ýddia iki matematikçi aralarnda tartþmaktadr. Bunlardan biri aslnda matematiði herkesin az çok bildiðini iddia ederken, diðeri de öyle olmayp sadee eðitimini almþ insanlarn bildiðini savunmaktadr. Sonunda bu meseleyi tartþarak halledemeyeeklerinin farkna varrlar ve teklifte bulunur herkesin bildiðini iddia eden: - Þurada restoran var. Girelim oraya ve ordaki garson kza in integralini soralm. Kabul ediyor musun? Diðeri hemen kabul eder. Öyle ya in integralini bilen kaç tane garson kz vardr ki? Ne var ki, bu tartþmay planlamþ bulunan diðeri daha öneden garson kza gidip, ona bir miktar karþlk önererek kendisine sorulaak olan soruya evab vermesi hususunda anlaþmþtr. Neyse, gelirler restorana ve o kz görüp yanna gelirler. Kza: - Afedersiniz, size bir soru sorabilir miyiz? derler. Kz kabul edine de soruyu sorarlar. Garson kz pek fazla düþünmeden: - diye evap verir. Biri kazanmann sevini, biri de kaybetmenin hüznüyle teþekkür ederek ayrlrken garson kz sonradan seslenir: - Bir de C sabiti var...

3 BELÝRSÝZ (SINIRSIZ) ÝNTEGRAL Ýntegralin iki anlam vardr.. Türevi verilen bir fonksiyonun asln bulma anlamna gelen belirsiz integraldir. Burada türevi alnmþ bir fonksiyonun ilkelinin (öneki halinin) nasl bulunaað ineleneektir. Yaplaak bu iþleme integral alma veya fonksiyonun ilkelini bulma iþlemi denir. Bu yönüyle integral türevin aynadaki görüntüsü olarak adlandrlr.. Ýntegral toplamlar bütünü ya da sonsuz tane küçük parçalardan oluþan bütün anlamna gelen belirli integraldir. Örnek f () = ve f() = 5 ise f() fonksiyonunu bulunuz. dy f() = = d yapldðnda, dy =.d y = f() = + ise f() = + = 5 O halde f() = + dir. Burada içler dþlar çarpm dy = d ise y = + bulunur. = bulunur. Tanm : Türevi f() veya diferansiyeli f().d olan F() ifadesine f() in belirsiz (snrsz) integrali denir. f() d F() = þeklinde gösterilir. y y= + y= + y= y= y= d F() = f()d.f() = f() dir. d y = ise y = y = +0 ise y = y = 64 ise y = Bu türevleri tersinden düþünelim. dy y = = ise dy =.d dir. d Her iki tarafn integralini alalm. dy =.d y = + Yukarda ayr fonksiyonun türevi alndðnda tek bir fonksiyon elde edildiðini (sabitin türevi sfr olduðundan) biliyoruz. Bu türevi alnmþ fonksiyonlarn integralleri alndðnda ayn fonksiyonu elde edebilmek için bir C sabitinin olduðunu düþünmek zorundayz. Tamamen keyfi bir deðer olan bu C sabitine integral sabiti denir. Demekki integralinin hesaplanmas, türevi f() olan fonksiyonun bulun- f()d masdr. O halde belirsiz integrallerde mutlaka bir integral sabitinin varlðn unutmamalyz. ~ Yukardaki eðrilere F() in ilkeller ailesi veya integral eðrileri denir. Bu eðriler sonsuz tanedir ve birbirine paraleldir. ~ Ýntegral sabitinin verilen bir þarta göre bulunmas sonsuz tane eðriden birinin seçilmesi demektir. Tanmda Türev ile Ýntegral iþlemleri birbirinin bir bakma tersidir demiþtik. Bunu biraz açklayalm. y = f() in türevi dy df d f () = = = d d d f() dir. d f() = f ()d = f().d d = df() = Buna göre, d = + dy = y+ dy dir. 97

4 A) BELÝRSÝZ ÝNTEGRALÝN ÖZELLÝKLERÝ dk = k + df() = f() + f() d = F() + belirsiz integralin tanmndan aþaðdaki özellikler vardr.. Sabit bir çarpan integral dþna çkabilir. f() d = f()d dir. 5. Bir fonksiyonun diferansiyelinin integrali bu fonksiyona bir C R keyfi sabiti eklenerek bulunur. Örnek Gerçekten; df() = F () = f()d d d d F() = F() + = F() + bulunur. ( + )d = +. Ýntegral operatörü daðlma özelliðine sahiptir. f() + g() h() d = = f()d + g()d h()d Örnek d + + d d = + + Örnek d d (+ os )d = + os. Belirsiz integralin türevi integraline eþittir. ( f()d) = f() veya d f()d = f() dir. d Örnek 4 d d(sin ) = sin.d = sin + d 4. Belirsiz integralinin diferansiyeli integral sembolü altndaki ifadeye eþittir. Gerçekten; d f()d = f()d d d f()d = f()d d d d = [F() + ]d d = F()d = f()d dir. Örnek 5 d d Örnek 6 d d( + + 5) = ( + + 5) d f() = d( ) f() = d( ) = f() = f () = = + ise f (4) ün deðeri kaçtr? f(4) =.4= 8 dir. 98

5 Örnek 7 ise f () in deðeri kaçtr? f ()= + f ()= + = bulunur. Örnek 8 f() = ( + )d f() = ( + )d ise, f() fonksiyonunun =4 noktasndaki teðetinin eðimi kaçtr? Örnek F() = F () nin deðeri kaçtr? F () = 5 d ise 5 dir. Buna göre 5 F () = = = = bulunur. f() = f ()d olduðunu hatrlatrsak, f () = + dir. = 4 noktasndaki teðetin eðimi ise; f (4)=4.4 + = 5 bulunur. Örnek f() = m + n d ise + n f = + ise m IR deðeri kaçtr? Örnek 9 f() = ( 4 + 5)d ise f() fonksiyonunun dönüm noktasnn apsisi kaçtr? Tanma göre, f () = f () = 4 ise, 4 = 0 = dir. = apsisli nokta f() in dönüm (büküm) noktasdr. m + n f() = dir. Buna göre + m + n n f = = + + m + n n+ = ise m m + n = n+ ise = Buradan m = bulunur. Örnek 0.f().d = + ise f() fonksiyonunu bulunuz. Ýntegrali alnan bir fonksiyonun türevini aldðmzda ilkelini buluruz. Buna göre;.f() = ( + ).f() = 4 4 f() = = 4 bulunur. Örnek f( + )d = + + f() ve f(5) in deðeri kaçtr? Her iki tarafn türevini alalm. d d f( + )d = ( + + ) d d f( + ) = + f + = + f() = f(5) = 4 bulunur. olduðuna göre 99

6 B) ÝNTEGRAL ALMA KURALLARI Baz fonksiyonlarn belirsiz integralini (ilkelini) türev alma kurallarndan yararlanlarak doðrudan bulabiliriz. Ýntegral alma iþlemi yaplrken integral operatörü altndaki fonksiyon aaba hangi ilkel fonksiyonun türevidir düþünesinden hareket edilerek yaplr.. n Z ve n olmak üzere Örnek Örnek Örnek Örnek 4 Örnek 5 Örnek 6 ( ) + 4 d = + = d = 5 + = d = + = d = + = + = + + d = + = + 4+ d 4 = d = = + = + n+ n d = + n+ Örnek 7 Örnek 8 Örnek 9 ( ) Örnek 0 dt = t+ Örnek a dy = a y + Örnek Örnek d = d + 7 d = d = d = d 5 + = + = = + bulunur = + = d = d = + = d = ( + )d + = =

7 Örnek 4 Örnek 5 ( ) d = ( 4 + 4)d = (8 + 5) d 4 = = dir. Örnek 9 f() = 4 + ve f() = 0 ise f() in deðeri kaçtr? ( ) f() = f ()d = + d f() = + + f() = + + ise f() = + + = 5 ise = 4 olduðundan f() = elde edilir. Örnek 6 Örnek 7 Örnek 8 = = + = d = d = d = d d + + = = = + f() = + ve f() = 5 f() fonksiyonunu bulunuz. d d olduðuna göre Örnek 0 d f() ve f() 6 ise d = + = f(0) n deðeri kaçtr? bulunur. f () = + 4 ( ) f() = f ()d = 4 + d 4 f() = f() = + + ise 4 f() = + + = = 0 = 4 f() = + 4 f() = 5 bulunur. ( ) f ()d = + d 4 f() = f() = + + f() = + + = 6 = 4 o halde f() = + + f(0) = 0

8 . f() d = ln f() + f() d = ln + Örnek 8 + d d d 4 = = ln + /.ln Örnek 5 d = 5 d = 5 ln + Örnek 9 e + e + d = d = ln e + + e + e + Örnek d = d = ln Örnek 0 os ot an d = d = ln sin + sin Örnek Örnek d = ln( + 7) os d = ln + sin + + sin Örnek Örnek 4 Örnek 5 Örnek 6 Örnek 7 d = ln d = d ln = + + d = d + d = +.ln + sin sin d = = ln os + os os Örnek 6 + d = ln d =? 4 4 d = d = d = ln a, p, q R +, a ise p+ q p+ q a a d = + p lna e d = e + (e fonksiyonunun türevi integraline eþittir.) 0

9 Örnek Örnek Örnek Örnek 4 Örnek 5 d = + ln 5 5 d = + ln5 a a d = + lna a+ b a+ b e a + b e d = = e + alne a 4. TRÝGONOMETRÝK FONKSÝYONLARIN ÝNTEGRALÝ Trigonometrik fonksiyonlarn integralini almak için aþaðdaki formüllerin bilinmesi gerekir. 4. sin d = os+ 5. os d = sin+ d d 6. = (+ tan )d = se d os =tan+ 7. (+otan )d = ose d sin = otan+ 8. d = arsin+ = aros+ d 9. = artan+ = arotan+ + d e = d e e = = e + lne Yardm bilgiler Trigonometrik integral alnrken trigonometri ile ilgili aþaðdaki özelliklerin bilinmesi gerekir. Örnek 6 Örnek 7 Örnek 8 ( ) ( ) e + d = e + e d e 4 d = + ln 4 = e e + e + d = e + ln + = e + ln + * sin + os =, sin = os * ot an =, tan.ot an = tan * = ose, = se sin os * sin = sin.os * os = os sin = os = sin [ ] * sinp.os q = / sin(p + q) + sin(p q) [ ] * osp.sinq = / sin(p + q) sin(p q) [ ] * osp.os q = / os(p + q) + os(p q) [ ] * sinp.sinq = / os(p + q) os(p q) 0

10 Örnek sin d = os + Örnek 8 sin + os Örnek Örnek os( + )d = sin( + ) + sin(a + b)d = os(a + b) + a sin os d = d + os + os = ( os )( + os ) d (+ os ) = ( os )d = sin + Örnek 4 Örnek 5 Örnek 6 Örnek 7 ( + sin)d = os + + os os d = d d + os Ι= sin d os d =? = d + d d = + os + os Ι= (sin os )d = os d = sin + os d = + sin + = + sin + d = = tan + os Örnek 9 Örnek 0 Örnek sin du d = sin (os ) sin u u = os dersek du = sin d tan d = (tan + )d sin sin (os ) tan d (ot an + 4)d = (+ tan )d d = tan + (ot an + 4)d = (ot an + + )d d = (ot an + )d + d = ot an + + = ( ot anu) + = ot an(os ) + 04

11 Örnek sin d( ) Burada d (ot an) = d sin olup sin d sin ( ) d = d d Örnek Örnek 4 ( ) = i pay ksmnda oluþturmak için integrali ile çarpp ve ye böldüðümüze dikkat ediniz. Örnek 5 sin os os d d = d sin ( ) sin ( ) = 6 os sind u = os dersek du = sind = sind = os + sin osd u = 6 u ( du) = 6 + sin ( ) = (os ) + bulunur. d sin d(ot an) = / ot an( ) + = / ot an( ) + intetgralini hesaplayalm. Örnek 6 5. BASÝT DEÐÝÞKEN DEÐÝÞTÝRME YÖNTEMLERÝ Göstermiþ olduðumuz integral alma kuralna benzemeyen fonksiyonlar deðiþken deðiþtirerek bu formüllere benzetir daha sonra integrallerini alrz. Örnek Örnek u = dersek du = ( )d dir. Bu dönüþüme göre yeni integral; sin d = tan d os os os d u = tan dersek du = dir. os 5 sin d os u 4 = u du = + = tan ( ) ( )d 7 6 u 7 u du = + = ( ) d 4 ( ) d(otan) = d sin = sin d(ot an) = sin d sin = d = + bulunur. 4 05

12 u = dersek du =. d Örnek u = e + dersek du = e d dir. Örnek 4 u = dersek du = d ( ) d du 4 = 4 u du u e + e d 4 u 4 u du = + = (e + ) u du u = du 4+ u = + 4+ ( ) = + = + bulunur. 6 ( ) Örnek 6 Örnek 7 Örnek 8 u = sin dersek du = os d u u sin edu= e + = e + os(ln ) d d t = ln dersek dt = dir. (arsin ) d z = arsin dersek dz = sin e.os d = ostdt = sint+ = sin(ln) + d 4 z 4 = z dz = + = (arsin) u = + ln = + ln Örnek 9 d sin (ln) Örnek 5 e + ( )d u = + dersek du = ( ) d dir. u u + = e du = e + = e + d u = ln dersek du = dir. d = du sin (ln ) sin u = ot an u + = ot an(ln ) + 06

13 Örnek 0 Örnek sin d + sin d.(ln) Örnek Örnek u = sin dersek du = os d olur. u = + sin dersek du = sin os d du = sin d olur. os d sin + tan d tan d (+ tan )os os os u= os dersek du = sin d sin du d = = ln u + + sin u du = artanu + = artan(sin ) + u + tan (+ tan ) os = d = tan d = sin d = = os sin d os du u = ln u + = ln os + = ln + sin + t = ln ise d dt = dt = d dönüþümü yaplrsa, Örnek 4 Örnek 5 d dt dt = = (ln) t t os d sin t = os ise dt = sin d dönüþümü yaplrsa, dt l = t sin = t dt sin t = + = (os) + 9 u = sin ise du = os d buna göre; os sin d d l = sin du u + t = t dt = + + = t + = + (ln ) = ot an u du u = ot an + = ot an + + dir. sin 07

14 ALIÞTIRMALAR d. d deðeri kaçtr? d Cevap: d deðeri kaçtr? Belirsiz (Snrsz) Ýntegral Cevap: + +. In +. f() = ( + )d ise f ()in deðeri kaçtr? Cevap : 8. f() = + ve g() = f()d fonksiyonlar veriliyor. g() = 7 ise, g() fonksiyonunu bulunuz.. f() = d( + ) ise Cevap : ln + + f () fonksiyonunu bulunuz. Cevap : 9. d d? = Cevap: f() = ( + )d ise f() in ekstremum noktalarnn apsisleri toplam kaçtr? Cevap : 0. + (e + )d =? + Cevap: e + + In 5. ( ).f()d = + ise f() fonksiyonunu bulunuz.. e.( )d =? Cevap : + Cevap: e + 6. f () = 4 + ve f( ) = ise, f() nin deðeri kaçtr?. e d =? e 5 Cevap : Cevap: ln(e 5) + 08

15 ALIÞTIRMALAR Belirsiz (Snrsz) Ýntegral. + tan d =? tan (os sin )d =? Cevap: ln tan + Cevap: sin + 9. d?.ln = 4. e d =? e + 5 Cevap: ln(ln)+ Cevap:.ln e e.os(e )d =? Cevap: sin(e )+ 5. (ln) d =? Cevap: (ln) +. os d =? + sin Cevap: ln +sin + 6. sin4 d =? + os4 Cevap: ln( +os4)+. d 4 ( + 5) =? Cevap:. + 6 ( + 5) 7. e d =?. os(tan ) d =? os Cevap: e + Cevap: sin(tan)+ 09

16 TEST. f() = (4 + )d ise f () nin deðeri kaçtr? A) B) 5 C) 7 D) 7 E) Belirsiz (Snrsz) Ýntegral 6. d integralinin sonuu aþaðdakiler- den hangisine eþittir? A) + B) + + C) + D) + E) + +. d(os ) integrali aþaðdakilerden hangisine eþittir? 7. ( ) d integralinin sonuu aþaðdakilerden hangisine eþittir? A) os+ B) sin C) os D) sin+ E) sin+ A) + B) + C) + D) + E) + +. f () = 4 + ve f() = 0 ise, f() in deðeri kaçtr? A) 4 B) C) D) 5 E) 6 8. d integrali aþaðdakilerden hangisine eþittir? A) ln + + B) ln + C) ln + D) + E) f() =.e + + d ( sin)d integrali aþaðdakilerden hangisine eþittir? fonksiyonu verildiðine göre, kaçtr? f (0) n deðeri A) os+ B) +os+ C) +sin+ 4 A) B) C) D) E) 4 D) os+ E) os+ 5. f() = d(.ln + ) veriliyor. f() eðrisinin A(, ) noktasndaki teðetinin denklemi nedir? A) y = B) y = + C) y = D) y = ln. E) y = + 0. d + integrali aþaðdakilerden hangisine eþittir? A) ln( + ) + B) ln( + ) + C) ln + D) ln( + ) + E) + + 0

17 TEST. (e + e )d integrali aþaðdakilerden hangisine eþittir? A) e + B) e + e + C) e + e + D) e e + E) e e + os 6. integrali aþaðdakilerin hangisine d sin eþittir? Belirsiz (Snrsz) Ýntegral A) + B) + C) + sin sin os D) sin + E) os +. integrali aþaðdakilerden hangisine eþittir? A) + e + B) + e + X ( + e )d C) + e + D) + e + ln ln sin 7. d integrali aþaðdakilerin hangisine os eþittir? A) sin + B) os + C) os + D) sin + E) os +. e d E) + e + ln integrali aþaðdakilerden hangisine eþittir? 8. e sin(e )d integrali aþaðdakilerden hangisine eþittir? A) os(e ) + B) e os(e ) + A) e + B) e + C) e + C) sin(e ) + D) os(e ) + D) e + E) e + E) sin(e ) + 4. os d integrali sonuu aþaðdakilerin hangisine eþittir? A) sin + B) os + C) sin + D) sin + E) os + 9. os(sin ) sin d integrali aþaðdakilerin hangisine eþittir? A) sin(sin ) + B) sin(sin) + C) os(sin ) + D) sin(os ) + E) sin(sin ) + sin os 5. d integrali aþaðdakilerin han- os + sin gisine eþittir? A) os + sin + B) sin + os + C) ln os + sin + D) ln os sin + E) ln sin + os + 0. tan e d os integrali aþaðdakilerin hangisine eþittir? A) + tan + B) tan + tan C) e + os D) e + ot an E) e + Cevaplar: -E -A -D 4-A 5-C 6-C 7-E 8-A 9-B 0-A -B -C -D 4-A 5-E 6-A 7-B 8-D 9-E 0-C