DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN TEMEL EŞİTLİKLERİ VE GEOMETRİK ÇÖZÜMLER

Transkript

1 2 DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN TEMEL EŞİTLİKLERİ VE GEOMETRİK ÇÖZÜMLER Birinci ölüde doğrusal progralaanın teel öğeleri olan aaç fonksiyonunu, üreti faaliyetlerini ve kaynak sınırlılıklarını inceledik, doğrusal progralaanın varsayıları üzerinde durduk. Bu ölüde doğrusal progralaanın u öğelerini ekonoinin teel kuraları ve ütçe teknikleri ile ilişkilendireceğiz. Doğrusal progralaanın teeli, irinci dereceden eşitliklerdir (doğru denkleleri). Doğrusal progralaayı uygulaak için derin ir ceir ilgisi gerekez. Basit ir hesap akinesi yardıı ile doğrusal progralaada gerekli işlelerin taaı yapılailir. Çok detaylı proleler ile asit ir talo yardıı ile kolayca çözüleilir. Bu işleleri ve tarısal faaliyetin özelliklerini ilen ir kişi için çözüler asittir. Ancak ceir ilgisi fevkalade olsa ile; tarısal faaliyetin özelliklerini, girdi-çıktı ilişkilerini ileyen ir kişi için optiu çözülere ulaşak kolay değildir. Artık doğrusal progralaa yöntei ile en karaşık proleler, u aaçla geliştirilen paket progralarla saniyede çözüleneilektedir. Ceir ilgisi hiç oladan da unu sağlaak ükündür. Öneli olan prolein- u ir aksiizasyon veya iniizasyon prolei olailir- doğru içide tanılanasıdır. Ancak çözülerin nasıl elde edildiğinin ir sır olarak kalaası için u ölüde gerekli açıklaalar yapılacaktır. Prograın esasını kavradıktan sonra planlaada ortaya çıkailecek değişik duruları tanılaak ve gerekli düzenleeleri yapak ükün olacaktır. Bu ilgiler eşliğinde sipleks etodunun işleyişi daha kolay anlaşılacaktır. Çözüleri geoetrik olarak elde etek de ükündür. Bu sayede doğrusal progralaa tekniğinin anlaşılası daha da kolaylaşış olacaktır.

2 2. Teel Eşitlikler ve Geoetrik Çözüler Maksiizasyon Prolei Doğrusal progralaa ile optiu işlete planlarına ulaşak için üçüncü ölüde açıklanacak olan sipleks hesaplaa yönteini ilek gerekir. Bu etodun esası, önce her şartta ulaşılailir ir üreti ileşii elirleek ve daha sonra u ileşi üzerinde yapılacak değişikliklerle kârın artırılıp, artırılaayacağını test etektir. Bu işlelere kârın en fazla olduğu planı elde edinceye kadar deva edilir. En kârlı işlete planının elde edilesini sağlayacak işleleri sürdüreilek için üç ağıntıya ihtiyaç vardır: üreti ikânları eşitlikleri, kâr eşitliği ve kriter. Optiu işlete planların elde edilesinde u ağlantılardan nasıl yararlanıldığı önce ir, daha sonra irden fazla kısıtlayıcı faktör eşliğinde değerlendirilecektir Üreti ikânları eşitliği Üreti ikânları eşitliğinin nasıl elde edildiğini ve optiu çözülere nasıl ulaşıldığını ir örnek vasıtası ile inceleyeli. Örnek 1. Tarıda teel kısıt arazidir. Örneğiizdeki işletenin arazisi 2 dekardır. İşletenin diğer üreti girdilerini tein edeilecek yeterli serayesi vardır. İşletede iki faaliyetin plana alınası düşünülektedir. Bunlardan uğdayın verii 4 kg/da, ısırın verii 8 kg/da dır. Buğdayın rüt geliri *.2 TL/kg, ısırın rüt geliri.15 TL/kg ise, işleteci arazisinin ne kadarında uğday, ne kadarında ısır yetiştirelidir ki elde edeileceği kâr en fazla olsun? Önce girdi-çıktı katsayılarını elde edeli. Soruyu 1 kg ürün için gerekli girdi ihtiyaçlarını dikkate alarak çözeiliriz. Bunun için asit orantıları kullanailiriz. Buğdayın 4 kilosu, 1 dekar araziden elde edildiğine göre, 1 kilosu.25 da araziden elde edilecektir (1/4). Aynı şekilde 1 kilo ısır elde etek için.125 da arazi gereklidir (1/8). Elde edilen katsayılar, plan sonunda ortaya çıkacak uğday (B) ve ısırın (M) üreti iktarları ile çarpılıp sonuçlar toplandığında elde edilecek arazi, * İlerde açıklanacağı gii ir üreti faaliyetinin rüt geliri, o faaliyetin gayri safi üreti değerinden değişken asrafları düşüldükten sonra geriye kalan gelirdir. Brüt gelir, urada olduğu gii her faaliyetin ir irii (kilo, litre, adet vs.) için de hesaplanailir. Bunun için faaliyetin iri fiyatından, iri iktarı aşına düşen değişken asraflarının çıkarılası gerekir. Brüt gelir urada açıklandığı gii iri üreti iktarları cinsinden hesaplanaileceği gii, iri araziye göre de hesaplanailir. Sipleks çözülerde asitliği ve veri teininin daha kolay olası açısından ikinci yol tercih edilektedir.

3 Doğrusal Progralaa 2 üretie ayrılan araziye eşit veya ondan daha az olalıdır. Yapılan işleler aşağıdaki şekilde gösterileilir: B 8 M 2 Eşitliği, B yi ağılı değişken pozisyonuna alarak yazalı. (M, ağılı değişken konuuna alınarak yasılsa idi sonuç değişezdi. Burada öneli olan grafik çizilerinde ağılı değişkeni, örneğiizde B, dik eksende gösterektir.) 1 1 B B 8.5M M (1) Elde edilen son eşitlik, araziye göre üreti ikânları eşitliğidir. Eşitlik, 2 dekar arazide elde edileilecek ütün uğday-ısır üreti ileşilerini gösterektedir. Eşitlikte.5 katsayısı, 1 kg fazla ısır elde etek için feda edilecek uğday iktarını gösterektedir. Tarı ekonoisi derslerinde u orana, ısırın uğday yerine arjinal teknik ikae oranı denilektedir: MRS Üreti ikânları eşitliği (1 nuaralı eşitlik), aşağıdaki şekilde de yazılailir: B 8 M (2) Kâr eşitliği Bir kg uğdayın rüt gelirini (C), üretilen uğday iktarı (B) ile çarpıp una ısır üretiinden (M) elde edilecek rüt geliri (CM) eklersek kâr eşitliğine ulaşırız: Z B M (3)

4 2. Teel Eşitlikler ve Geoetrik Çözüler Kriter eşitliği Kâr eşitliğinde B yerine (2) nuaralı denkledeki karşılığını yazarak, ifadeyi M parantezine alalı: Z (8 M ) M Z 8 C M C M Z 8 C ( C ) M (4) Son eşitlikte parantez içindeki ifadeye, kriter eşitliği denir. Bir plandan diğerine geçerken kârın artıp artadığı, u kriter yardıı ile tespit edilektedir: (5) Dört nuaralı eşitliğe dikkat edilirse, parantez içindeki ifade (yani kriter) pozitif olduğunda M nin artırılası ile elde edilen kârın artacağı, parantez içindeki ifade negatif ise M nin artırılası ile kârın azalacağı görülecektir *. Örneğiizde çözü, Şekil 2.1 den izleneilir. Şekilde üreti ikânları doğrusu görülektedir. Eşitlikte irinci sait sayı (8) doğrunun dik ekseni kestiği noktayı gösterektedir. Doğrunun eğii ise (.5), uğday ile ısır arasındaki arjinal teknik ikae oranındır. Şekilde (a) noktası, taaen uğday üretilen noktayı işaret etektedir (8 ton), u noktada ısır üretii yoktur. Mısırı ilave etekle işlete gelirinin artıp artayacağını anlaak için kriter eşitliğini kullanalı:.15.5(.2).5 * Üçüncü Bölüde açıklanacağı üzere sipleks çözülerinin azı versiyonlarında yukarıda anlatılanın ta aksine, Z değeri negatif olan faaliyetin iktarı artırılır. Çünkü u tip sipleks çözülerde kriter eşitliği, aşağıdaki gii düzenleniştir. Bu yazılıda arjinal teknik ikae değeri ile alternatif faaliyetin rüt gelirinin yer değiştiriş olduğuna dikkat ediniz: C

5 Doğrusal Progralaa 22 B (ton) 9 8 B=8-.5 M 7 6 Eş-gelir doğrusu (eği:.75) M (ton) Şekil 2.1 Optiu Plan- Grafik Çözü Sonuç pozitiftir. Mısır üretiindeki her 1 kg artış, işletenin kârını.5 TL artıraktadır. Bu duruda () planını tatik etek daha kârlı olacaktır. () planına göre 16 ton ısır üretilecek, uğday üretileyecektir. Birinci planda (a planı) topla rüt gelir 16 TL (=.2x8), ikinci planda ( planı) 24 TL dir (=.15x16). Maksiu geliri sağlayan ürün ileşii, iki farklı yoldan daha ulunailir. Bunlardan irincisi tarısal üreti ekonoisi derslerinde açıklanan en kârlı ürün ileşii kriterini kullanaktır. En kârlı ürün ileşii, ürünler arasındaki (örneğiizde uğday ve ısır) arjinal ikae oranını ( B/ M), eş gelir doğrusunun eğiine (P/P) eşit kılan üreti ileşiidir: C C Eşitliğin solundaki ifade üreti ikânları eğrisinin eğiini, sağındaki ifade ise eş-gelir doğrusunun eğiini gösterektedir. İfade aşağıdaki gii de yazılailir:. C. C Brüt gelirin en fazla olası için u eşitliğin sağlanası gerekir. Eğer eşitliğin sağ tarafı, sol tarafından üyükse ısır üretiinden elde edilen rüt gelir, uğday üretiinden

6 2. Teel Eşitlikler ve Geoetrik Çözüler 23 elde edilen rüt gelirden üyük deektir. Bu duruda elde edilen geliri artırak için M nin üretii artırılalı, tersi duruda B nin üretii artırılalıdır. Örneğiizde: C C > olduğundan (.75>.5), ısır üretiini artırakla işlete kârı artacaktır. İşleteye en fazla geliri sağlayacak üreti ileşii geoetri kullanarak da elde edileilir. Kârın aksiu olduğu noktada, üreti ikânları eğrisinin eğii ( B/ M), eş gelir doğrusunun eğiine (C/C) eşittir. Şekil 2.1 de kesik doğru, eş gelir doğrusunun eğiini (.75) gösterektedir ve üreti ikânları eğrisine () noktasında teğettir. Şu halde kârın en fazla olduğu üreti ileşii, () noktası ile gösterilen üreti ileşiidir. Bu ileşide ütün arazi ısır üretiine ayrılakta, hiç uğday yetiştirileektedir. 2.2 Doğrusal Progralaanın Teel eşitlikleri: Birden Fazla Kısıtlayıcı Faktör İşletelerin üretiini kısıtlayan faktörler genelde irden fazladır. Kısıtlayıcı faktör sayısı artsa ile urada açıklanan aksiu kâr prensipleri değişez. Bir örnek yardıı ile inceleyeli. Örnek 2. Bir nuaralı örnekteki işletecinin oğlu askere gitiştir. Artık işlete için iş gücü de arazi yanında ikinci ir kısıtlayıcıdır. Buğday için dekara 2, ısır için 6 saat iş gücü ihtiyacı vardır ve işletenin topla iş gücü iktarı 75 saat ile sınırlıdır. İşletenin rüt gelirini aksiu yapan üreti ileşii nedir? Öncelikle girdi-çıktı katsayılarını (1 kg üreti için gerekli girdi iktarlarını) hesaplayalı. Arazi kısıtı, 1 nuaralı eşitlikle gösterilişti: B = 8.5 M

7 Doğrusal Progralaa 24 İş gücü kısıtı da aşağıdaki gii hesaplanır: 2 6 B M B M (6) Her iki doğruyu ir grafik üzerinde göstereli (Şekil 2.2). Şekilden izleneileceği gii üreti İkânları eğrisi, a, e ve d noktalarından geçektedir. (a) ve (e) noktaları arasında kârlılık kriterini hesapladığıızda sonuç pozitiftir (.15.1 =.5). Bunun anlaı, ısır üretiini artırakla işete kârının artacağıdır. Bu duru 1 nuaralı örnekle açıklanıştı:.15.5(.2).5 noktasında kriter eşitliğini yazalı: (.2).15 B (ton) c a B=15-1.5M 6 4 e B=8-.5M 2 M (ton) d Şekil 2.2 Arazi ve iş Gücü Kısıtlarında Optiu Plan

8 2. Teel Eşitlikler ve Geoetrik Çözüler 25 Sonuç negatiftir (-.15), yani e noktasından sonra ısır üretiini 1 kg artırakla işletenin kârı.15 TL azalaktadır. Bu duruda optiu üreti ileşii, koordinatları e noktası ile verilen ürün ileşiidir. Bu nokta, arjinal teknik ikae oranı ve eş-gelir doğrusunun eğiinden yararlanak sureti ile ulunaileceği gii iş gücü ve arazi kısıtı eşitliklerinden yararlanılarak aşağıdaki gii de hesaplanailir: B = 8.5 M B= M Arazi ve iş gücü kısıtları kullanılarak optiu üreti ileşiinin 45 ton uğday ve 7 ton ısır üretii olduğu ulunur. Optiu ileşiin rüt geliri 195 TL dir. Sadece uğday üretildiğinde 16 TL ve sadece ısır üretildiğinde 15 TL rüt gelir elde edildiğine dikkat ediniz. 2.3 Miniizasyon Prolei Doğrusal progralaa, aacın en üyük değerin elde edilesi (aksiizasyon) olduğu prolelere uygulanaileceği gii, aynı prensiplerden yola çıkılarak aacın en küçük değerin elde edilesi olduğu prolelere de uygulanailir. İşlete teorisinde irinci tip prolelerin adı kâr aksiizasyonu (en üyüklee) iken ikinci tip prolelerin adı asraf iniizasyonudur (en küçüklee). Örnek 3. Bir ilacın yapıında kullanılan etken addelerden Avatec ve Biotinin karışıdaki topla iktarı 5 gr dan fazla olalıdır. Karışıda Avatec iktarının en az 2 gr, Biotin iktarının ise en fazla 4 gr olası gerekektedir. Avatecin iri fiyatı 8 lira, Biotinin ise 4 liradır. Etken addelerin en az asraflı ileşiini ulunuz. Aaç fonksiyonu: Z 8 A 4B in iize Kısıtlayıcı faktörler: A B 5 A 2 B 4

9 Doğrusal Progralaa 26 Avatec (gr) 6 5 A B C Biotin (gr) Şekil 3.3 Miniizasyon Proleinin Grafik Çözüü Şekil 2.3 de taralı alan çözü alanını gösterektedir. Miniu asraflı ileşi u alanın sınırları üzerindedir. Kesik çizgili doğru parçası Biotin fiyatının Avatec fiyatına oranını (8/4) yani eş aliyet doğrusunun eğiini gösterektedir. Eş aliyet doğrusunun eğiinin elirtilen alana teğet olduğu noktada girdi ileşiinin asrafı en azdır. Kullanılası gereken etken adde iktarı 2 gr Avatec ve 3 gr Biotin olalıdır. Bu ileşiin aliyeti en azdır (28 lira). A noktasının işaret ettiği ileşiin (5 gr Avatec) aliyetinin 4 lira, C noktasının işaret ettiği etken adde ileşiinin (2 gr Avatec; 4 gr Biotin) aliyetinin 32 lira olduğu görülektedir. En üyüklee ve en küçüklee yönteleri sadece kâr veya aliyet ile ilgili olarak değil, aaç fonksiyonunun rakalarla ifade edildiği her prolee uygulanailir. Örnek olarak zaan faktörünün en küçükleesi verileilir.

10 2. Teel Eşitlikler ve Geoetrik Çözüler 27 SORULAR Soru 1) Aşağıda ir tarı işletesinin üreti alternatifleri, rüt gelirleri ve girdi-çıktı katsayıları veriliştir. İşletenin arazi varlığı 48 da, üreti döneindeki iş gücü iktarı 9 saat ve işlete serayesi 375 liradır. Faaliyetler Veri Brüt gelir İş gücü Seraye (kg/da) (TL/da) (saat/da) (TL/da) Buğday Mısır Girdi-çıktı katsayılarını (1 kilo ürün için) elde ediniz Aaç fonksiyonunu yazınız Üreti ikânları eşitliklerini, uğdayı ağılı değişken pozisyonuna alarak, yazınız Üreti ikânları eğrisini çiziniz Maksiu rüt geliri sağlayacak ürün ileşiini, 3 ayrı şekilde (kriter eşitliğinden, aksiu kârı veren ürün ileşiinden, eş gelir doğrusunun eğiinden) hesaplayınız Maksiu rüt geliri ulunuz. Soru 2) Bir tarı işletesinin arazi varlığı 4 dekar, eki, çapa ve hasat dönelerinde sahip olduğu topla iş gücü ise dekara sırasıyla 2; 75 ve 16 saattir.yürüteileceği faaliyetleri, u faaliyetlere ait verileri, net gelirleri ve girdi-çıktı katsayıları aşağıda gösterilen u işletenin üreti ikanları eşitliklerini ve aksiu kârı veren üreti ileşiini; 2.1 girdi- çıktı katsayılarını kilo gra ürün cinsinden hesaplayarak ulunuz, 2.2 girdi-çıktı katsayılarını arazi irii dekar cinsinden hesaplayınız ve una göre üreti ikânları eğrisini çiziniz. 2.3 Maksiu rüt geliri sağlayan üreti ileşiini ve kârı ulunuz.

11 Doğrusal Progralaa 28 Faaliyetler Veri (ton/da) Brüt gelir (TL/da) İş gücü (saat/da) Eki Çapa Hasat Buğday Mısır Soru 3) Bir esici elli özellikler taşıyan iniu asraflı ye ileşiini araştıraktadır. Ye üreticisinin elinde, esicinin ihtiyaçlarını karşılayailecek aşağıdaki özellikleri taşıyan iki farklı ye vardır: 1 kg yedeki esin Besin addeleri addesi iktarları A yei (kg) B yei (kg) Besin addesi Besin addesi Besin addesi Karışıda ulunası gereken esin addesi iktarları aşağıdaki giidir: 1 nuaralı esin addesinden en az 32 kilo; 2 nuaralı esin addesinden en az 14 kilo; 3 nuaralı esin addesinden en az 15 kilo; 3 nuaralı esin addesinden en fazla 18 kilo. A yeinin 1 kilosunun fiyatı 3 lira, B yeinin 1 kilosunun fiyatı 4 liradır. Besicinin isteklerini karşılayan iniu asraflı ye ileşiini grafik yöntele ulunuz.