ARAŞTIRMA MAKALESİ/RESEARCH ARTICLE

Transkript

1 ANADOLU ÜNİVERSİESİ BİLİM VE EKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSIY JOURNAL OF SCIENCE AND ECHNOLOGY Cil/Vol.:6-Sayı/No: : 6-66 (005) ARAŞIRMA MAKALESİ/RESEARCH ARICLE UZUN DÖNEM BAĞIMLI NORMAL AKGÜRÜLÜ SÜRECİNDE OOKORELASYON REGRESYONU İLE PARAMERE AHMİNİ Erol EĞRİOĞLU, Süleyan GÜNAY ÖZ Uzun döne bağılı noral akgürülü sürecinden elde edilen paraere ahini kullanılarak, fraksiyonel ooregresif harekeli oralaa süreçlerinin paraereleri yarı paraerik olarak ahin edilebilir. Uzun döne bağılı noral akgürülü sürecinde paraere ahini için korelogra grafiği çok ender kullanılakadır. Bu çalışada korelogra grafiği kullanılarak uzun döne bağılılığı belirleek yerine ookorelasyonların ulak değerinin logariasının gecikelerin logariası üzerine basi doğrusal regresyonunu gerçekleşirerek uzun döne bağılılık paraeresi ahin edildi ve bu yöne için ahin edicinin özellikleri bir siilasyon çalışası ile incelendi.yapay veriler kullanılarak logariik pediogra regresyonu yönei ile ookorelasyon regresyonu yönei karşılaşırıldı. Ookorelasyon regresyonunun logariik pediogra regresyonundan daha üsün olduğu durular oraya çıkarıldı. Anahar Kelieler: Ookorelasyon regresyonu, Logariik pediogra regresyonu, ARFIMA PARAMEER ESIMAION WIH AUOCORRELAION REGRESSION in LONG RANGE DEPENDENCE NORMAL WHIE NOISE PROCESS ABSRAC I is possible ha esiaing he paraeers is long range noral whie noise process can lead o obain sei paraeric esiaes of paraeers of fracionally auoregressive oving avarege processes. Corelogra is hardly used o esiae paraeers in long range dependence noral whie noise processes. In his sudy insead of using corelogra auocorrelaion, auocorrelaion regression ehod is eployed. he linear regression funcion is consruced based on aking he logarih of absolue values of auocorrelaions and lags of logarihs. he feaures of his esiaor are exained wih a siulaion sudy. Pediogra regression ehod and auocorrelaion regression ehod are copared using arifical daa. Under soe circusances auocorrelaion regression is supperior han logarih pediogra regression. Key words: Auocorrelaion regression, Logarih pediogra regression, ARFIMA, Haceepe Üniversiesi, Fen Fakülesi, İsaisik Bölüü, Beyepe-ANKARA E-posa: erole@haceepe.edu.r Geliş:30 Eylül 004; Kabul: 4 Aralık 004

2 6. GİRİŞ Uzun döne bağılı süreçler zaan serileri içinde öneli bir sınıfı oluşurakadır. Uzun döne bağılılık duruu kısaca uzak gözleler arasındaki güçlü bağılılık olarak anılanabilir. Uzun döne bağılılık duruuna ilk kez Hurs (95) Nil Nehrinin akışının düzenlenesi konusunda çalışırken dikka çekişir. Hurs daha sonra yapığı çalışalar ile uzun döne bağılılığın ahini için R/S isaisiğini gelişirişir Beran (994). Uzun döne bağılılığın eşhisinde korelogra ve kısi korelasyonlar, varyans grafiği ve variogra gibi yarı paraerik yöneler de kullanılabilir Beran (994). Fraksiyonel fark paraeresinin ahininde bir başka kurasal olayan yöne, Geweke ve Porer-Hudak (983) arafından gelişirilişir. Bu çalışada logariik pediograın sıfıra yakın frekanslarda regresyonu gerçekleşirilişir. Logariik pediogra regresyonu daha sonra Robinson un (995) ve Valderio vd. (00) çalışaları ile değişirilerek ekinleşirilişir. Bu çalışalar uzun döne bağılılık paraeresinin yarı paraerik ahinlerini verekedir. Fraksiyonel fark paraeresinin ahinindeki paraerik yöneler genellikle olabilirlik fonksiyonuna dayalı yönelerdir. a olabilirlik fonksiyonunun hesaplanası zor olduğundan bu alandaki ilk çalışalar daha çok yaklaşık olabilirlik fonksiyonu üzerine yapılışır. Hosking (98,984), Li ve McLeod (986) 'da sonsuz fark serisini bir nokadan sonra keserek yaklaşık olabilirlik hesaplanışır. Yoshiro (985), Hosking (98,984) yaklaşık olabilirlik fonksiyonlarını ve Granger ve Jojeux (980) al opial yönele elde edilen ahin edicilerin yakınsaa oranlarını ve lii dağılılarını araşırışır. Beran(994), Fox ve aqqu (986), While (95) de önerilen yaklaşık olabilirlik yöneiyle ahinler yapışlardır. Sowell (99)'de en yaygın kullanılan spekral yoğunlukan ookorelasyonları hesaplayarak elde eiği olabilirlik fonksiyonunun kullanılasını önerişir. Bu yönede ookovaryanslar a olarak hesaplandığından olabilirlik de a olabilirlik fonksiyonu olur. Sefano vd. (00), Sowell ın yöneinin ooregresif polinoun kökleri e yakın olası duruunda hipergeoerik fonksiyonu değişirerek söz konusu yönei geçerli bir durua geirişir. Uzun döne bağılı zaan serilerinde uzun döne bağılılık paraeresinin ahini için Jeffrey ve Ravishanker (998) ve Koop vd. (997) arafından önerilen iki Bayesci ahin yönei vardır. Jeffrey ve Ravishanker (998) çalışasında Sowell ın olabilirlik fonksiyonu yardııyla sonsal olasılıklar hesaplanış ve bu yönee dayalı olarak kolay hesaplanabilir bir sonsal dağılı önerilişir. Daha sonra sonsal dağılılardan paraerelerin ahininde Meropolis ve Hasings algoriası uygulanışır. Koop vd. (997) ise eki epki arılarının sonsal çıkarıı üzerine yoğunlaşıp ve Bayesci hesaplaalar ile uzun döne bağılılığın sapanasını arışışlardır. Anadolu Üniversiesi Bili ve eknoloji Dergisi, 6 () Bu çalışanın ikinci bölüünde uzun döne bağılılığın genel anıları ve uzun döne bağılı noral akgürülü sürecine ilişkin anılar verilişir. Üçüncü bölüde Geweke ve Porer-Hudak ın logariik pediogra regresyonu, dördüncü bölüde korelasyon regresyonu yöneleri sunuluşur. Beşinci bölüde siilasyon çalışasının sonuç abloları, son bölüde ise sonuçlar ve arışalar verilişir.. UZUN DÖNEM BAĞIMLI (LRD) ZAMAN SERİLERİ Uzun döne bağılı (LRD) zaan serilerini, Beran (994) de aşağıdaki iki anıla verişir: anı. X durağan süreci için ρk li = () k α c k ρ (Burada α (0,) gerçel sayı ve c ρ > 0 sabiir.) sağlanıyorsa X durağan sürecine uzun döne bağılı (LRD) süreç adı verilir. anı. X durağan süreci için β (0,) gerçel sayı ve c >0 sabii olak üzere li λ 0 ρ β f ( λ) /[ c λ ] = () f sağlanıyorsa X ye uzun döne bağılı (LRD) süreç adı verilir. X noral uzun döne bağılı akgürülü süreci için d uzun döne bağılılık paraeresi olak üzere odel denklei şöyle yazılabilir: X = ) d ( B ε (3) Uzun döne bağılı noral akgürülü süreci için kurasal ookovaryans ve ookorelasyon kasayısı forülleri şöyle bulunuşur: k ( ) γ ( k) = σ ε, k + ρ ( k) = k d + ) k k + Ayrıca, d ρ ( k) k, ( k ) (4) sonucuna ulaşılabilir. Ayrıca spekral yoğunluk fonksiyonu ise aşağıdaki gibi yazılabilir; d ( σ / π ) { 4sin ( λ) } f ( λ) f ( λ) (5) ε

3 Anadolu Universiy Journal of Science and echnology, 6 () LOGARİMİK PEDİOGRAM REGRESYONU Uzun döne bağılılık paraeresinin ahini için farklı bir yöne de Geweke ve Porer-Hudak (983) arafından gelişirilişir. Bu çalışada sıfır yöresinde spekral yoğunluk fonksiyonu incelenişir. Sıfıra yakın frekanslar kullanılarak, frekansların logariası üzerine logariik pediograın regresyonu yapılış ve eğiin ahini uzun döne bağılılık paraeresinin ahini olarak alınışır. Geweke ve Porer-Hudak (983) çalışasından bazı öneli nokalar şöyle verilebilir: { X } nin büyüklüğünde bir örnekleinin verildiğini varsayalı. Buna göre πj λ =, j = 0,..., yazılabilir. Burada λ haronik ordinaları ve I ( λ ) bu ordinalardaki pediograı gösersin. Buna göre, ln I( λ ) = ln σ f (0) / π d ln 4sin ( λ / ) { j, } { ε } { j, } ln { fε( λj, ) / fε(0) } ln { I( λj, ) / f ( λj, )} + + olur. Logariik pediograın yukarıda verilen eşiliğine doğrusal regresyon denklei gözüyle bakılarak I ( λ ) d nin ahini elde edilebilir. Burada ln { } bağılı değişken, { 4sin ( )} ln λ açıklayıcı değişken, -d eği paraeresidir. Öe yandan ln { fε ( λ j, ) / fε (0)} erii haronik frekanslar sıfıra yakın olduğundan ihal edilebilir ve ln{ σ f ε (0) / π } ve ln { I ( λ ) / f ( λ )} nin oralaasına sabi eri gözüyle bakılabilir. X, d < 0 uzun döne bağılı süreç ve I λ ), λ = j haronik frekanslarda eore. { } ( { } j, π / ˆ X nin pediograını gösersin. b,, V ar( b ), aşağıda verilen (6) regresyon denkleinden β in ve var( b ) en küçük kareler ahini olak üzere li g( ) = ve li g( ) / = 0 özelliğine sahip bir g ( ) fonksiyonu için, eğer n = g( ), p li b = d ve li (ln ) / g( ) = 0 ise ( b / D ) /( ˆ d Var( b )) N + (0,) olur. { I( )} = β + β ln{ 4sin ( λ / ) } + ε, j, n ln λ j, 0 =,..., (6) 4. KORELASYON REGRESYONU YÖNEMİ Kısa döne bağılı süreçlerde korelogra belirlee için çok ekin bir yönedir. H Hurs üsünü göserek üzere (d=h-/) uzun döne bağılı süreçlerde bazı / < H < için k ile oranılı bir şekilde H korelasyonlar yavaşca azalır. Faka korelogra sayesinde H ın değerini belirleek çok zordur. İkinci bir zorluk korelasyonların değerleri çok küçük olduğundan ± / n sınırları içinde kalırlar. Üçüncü bir zorluk ise uzun döne bağılılık asioik bir anıdır. Bu nedenle çok büyük gecikeler için korelasyonlar incelenelidir. Büyük gecikelerde ise korelasyonların güvenilir ahinleri elde edileez. Kurasal ookorelasyon fonksiyonunda her iki arafın logariası alınarak grafik çizek daha uygun olur. Eğer korelasyonlardaki asioik azala hiperbolik ise grafikeki nokalar eğii H- olan negaif eğili bir eğri civarında yayılır. Log-log koordinalarındaki korelogra uzun döne bağılılığı güçlü ya da çok uzun zaan serileri için kullanılabilen bir araçır (Beran, 994). Beran (994) arafından verilen bu bilgi korelograın grafiksel inceleesine dayanakadır. Logariik pediogra ın zaan anı aralığındaki bir alernaifi olarak korelasyon regresyonu düşünülebilir. Beran (994) bu yönein zayıf yönlerini oraya koyakadır. Bu yönein ne uzunlukaki seriler için ekin olacağı ve ookorelasyonların kaç anesi için ekin sonuçlar alınacağı inceleneişir. Lieraürde de bugüne kadar bu yöne üzerine hiç bir çalışa yapılaışır. Hurs (95) deki R/S isaisiği de korelasyon regresyonuna benzer olarak zaan anı aralığında çalışan faka farklı bir yarı paraerik ahin yöneidir. (4) Eşiliği, korelasyon regresyonunu uygulaada eel alınır. (4) Eşiliğinden aşağıdaki basi doğrusal regresyon denkleine geçek ükündür: log ρ c( + (d ) log k (7) k Bu eşilike log ρ k = y, c ( = β0, d = β ve log k = x alınırsa aşağıdaki basi doğrusal regresyon denklei elde edilir. y = β 0 + β x + ε (8) Bu regresyonda elde edilen eği paraeresinin ahininin aşağıdaki doğrusal kobinasyonu, uzun döne bağılılık paraeresinin ahinini verecekir: ˆ ˆ d = β + (9) Burada proble, basi doğrusal regresyon yönei kullanılırken, örnek sayısının ne olacağıdır. Örnek sayısının değişiine göre uzun döne bağılılık paraeresinin ahini de değişecekir. Bu paraere ahininin özellikleri bir siilasyon uygulaası ile araşırılışır.

4 64 5. SİMİLASYON ÇALISMASI VE BULGULARI Korelasyon regresyonu yapılırken örnek büyüklüğünün ne alınacağı sorunu siilasyon çalışası ile incelendi ve 00 örnek büyüklüğündeki yapay serilerden farklı örnek büyüklüklerinde (n=5,6,...,99) uzun döne bağılılık paraeresinin durağanlık sınırına yakın ve uzak iki değeri 0.5 ve 0.45 için paraere ahinlerinin grafikleri arışıldı. Bu grafiklerden genellee yapanın ükün olduğu görüldü. Grafiklerin genel ürlerine örnekler Şekil ve Şekil de verildi. Grafiklerden d=0.5 duruu için farklı örnek büyüklüklerinde elde edilen paraere ahinlerinden iniuunun gerçek paraere değerine çok yaklaşığı sonucuna ulaşıldı. d=0.45 duruu için ise farklı örnek büyüklüklerinde elde edilen paraere ahinlerinden aksiuunun gerçek paraere değerine yaklaşığı görüldü. Dolayısıyla genel bir kabul Anadolu Üniversiesi Bili ve eknoloji Dergisi, 6 () olarak farklı örnek büyüklüklerinde elde edilen paraere ahinlerinin aksiuu (iniuu) d nin durağanlık sını rına yakın nokalarında (uzak nokalarında) opial paraere ahini olarak alınabilir. Miniu korelasyon regresyonu ahin edicisi ile Logariik pediogra ahin edicisi için farklı büyüklükeki 00 ane uzun döne bağılı akgürülü süreçleri benzeilerek aşağıdaki ablolar oluşuruldu. Yapay serilerin uzunluğu N olak üzere korelasyon regresyonu n=5,n- örnek büyüklükleri için elde edilerek paraere ahinlerinin iniuu ve aksiuu uzun döne bağılılık paraeresinin ahini olarak alındı. Aşağıdaki ablolardaki sonuçlar için kullanılan forül, 00 HK = ( d ˆ ) i= d i Şekil. N=00, d=0.5 için korelasyon regresyonu sonuçları Şekil. N=00, d=0.45 için korelasyon regresyonu sonuçları ablo. N=00 için haa kareler oplaları Yöne D=0. d=0. d=0.3 d=0.4 Pediogra Regresyonu 4,98 9,07 4,74 0,44 Korelasyon Regresyonu(in) 0,94 6,86 3,3 7,86 ablo. N=00 için haa kareler oplaları Yöne D=0. d=0. d=0.3 d=0.4 Pediogra Regresyonu 9,35 0,38 8,73 7,8 Korelasyon Regresyonu(in) 9,7 6,89 6,3 3,43 ablo 3. N=500 için haa kareler oplaları Yöne d=0. d=0. D=0.3 d=0.4 Pediogra Regresyonu 5,4 6,89 5, 5,38 Korelasyon Regresyonu(in) 6,49 3,3 6,9,46 ablo 4. N=000 için haa kareler oplaları Yöne d=0. d=0. d=0.3 d=0.4 Pediogra Regresyonu,98,6,48,5 Korelasyon Regresyonu(in),76 5,74 6,4 0

5 Anadolu Universiy Journal of Science and echnology, 6 () 65 ablo 5. N=00 için haa kareler oplaları Yöne d=0. d=0. d=0.3 d=0.4 Pediogra Regresyonu 9,75 8,53 9,08 7, Korelasyon Regresyonu(aks) 48,54 30,83 7,03 7,4 ablo 6. N=00 için haa kareler oplaları Yöne d=0. d=0. d=0.3 d=0.4 Pediogra Regresyonu 7,50 7,90 5,47 8,6 Korelasyon Regresyonu (aks) 48,54 30,83 7,03 7,4 ablo 7. N=500 için haa kareler oplaları Yöne d=0. d=0. d=0.3 d=0.4 Pediogra Regresyonu 5,07 4,30 5,50 5,7 Korelasyon Regresyonu(aks) 48,54 30,83 7,3 7,4 ablo 8. N=000 için haa kareler oplaları Yöne d=0. d=0. d=0.3 d=0.4 Pediogra Regresyonu,96,7,9,7 Korelasyon Regresyonu(aks) 48,54 30,83 7,3 7,4 Econoerics 53, SONUÇ VE ARIŞMA Farklı örnek büyüklükleri için ookorelasyon regresyonu ahin yöneinin denenesi ile elde edilen Şekil ve Şekil den gerçek paraere değerine her defasında belli bir örnek büyüklüğü için ulaşılaadığı görülekedir. Ancak yapılabilecek ükün regresyonlardan durağanlık sınırlarına yakın bölgede elde edilen ahinlerin aksiuu, durağanlık sınırlarına uzak bölgede ise elde edilen ahinlerin iniuu ile yakın sonuçlar elde edildiği görülekedir. Bu gerçekleri dikkae alarak, siilasyon sonuçlarından oluşurulan ablolar yardııyla özellikle ookorelasyon regresyonu (in) yönei durağanlık sınırına uzak, ookorelasyon regresyonu (aks) yönei ise durağanlık sınırına yakın nokalarda ve uzunluğundaki uzun döne bağılı serileri ahin eede logariik pediogra regresyonundan daha iyi sonuçlar verekedir. Zaan serisinin uzunluğu arıkça korelasyonların güven aralığının genişleesinden dolayı ahinler (in yada aks) güvenilirliğini kaybeekedir. Ookorelayon regresyonu (in yada aks) yönei diğer yarı paraerik ahin yöneleri gibi uzun döne bağılılık paraeresinin yanlı ahinlerini verekedir. Uzun döne bağılılığın belirlenesinde ookorelasyon regresyonu yöneinin uygulanası diğer klasik yönelere göre daha kolaydır. KAYNAKÇA Beran, J. (994). Saisics for Long-Meory Processes, Chapan&Hall/CRC Fox, R. ve aqqu M.S. (986). Large Saple Properies Paraeer Esiaes for Srongly Dependen Saionary Gaussian ie Series. Ann. Sais. 4, Geweke, J. ve Porer-Hudak, S. (983). he Esiaion and Applicaion of Long-Meory ie Series Models. Journal of ie Series Analysis 4, -37. Granger, C.W.J. ve Joyeux R. (980). An Inroducion o Long-Meory ie Series Models and Fracionally Differencing. Journal of ie Series Analysis (), 5-9. Hosking, J.R.M., (98). Fracionally Differencing. Bioerica 68(), Hosking J.R.M., (984). Modeling Persisence in Hydrological ie Series Using Fracionaly Differencing. Waer Resources Research 0(), Hurs, H.E. (95). Long-er sorage capaciy of reservoirs. rans. A. Soc. Civil Engineers 6, Koop, G., Ley, E., Osiewalski, J. ve Seel, M.F.J. (997). Bayesian Analysis of Long Meory and Persisence Using ARFIMA Models. Journal of Econoerics 76, Li, W.K. ve Mcleaod, A.I. (986 ). Fracional ie Series Modelling. Bioerica. 73, 7-. Berelli S. ve M. Coporin (00). A Noe on Calculaing Auocovariances of Long Meory Processes. Journal of ie Series Analysis 3(5), Fallaw S., (99). Maxiu Likelihood Esiaion of Saionary Univariae Fracionally Inegraed ie Series Models. Journal of Pai J.S. ve Ravishanker N., (998). Bayesian Analysis of Auoregressive Fracionally Inegraed Moving-Avarage Processes. Journal of ie Series Analysis9, 99-. Robinson (995). Gaussian Sei-Paraeric Esiaion of Long Range Dependence. Annals of Saisics 3,

6 66 Anadolu Üniversiesi Bili ve eknoloji Dergisi, 6 () Reinsen, V., Abraha, B. ve Lopes, S. (00). Esiaion of Paraeers in ARFIMA Processes: A siulaion Sudy. Coun. Sais. Siula. 30(4), While, P. (95). Hypohesis esing in ie Series Analysis. Alquis and Wiksells. Uppsala. Yoshiro (985). On Esiaion of Long Meory ie Series Models. Ausral. J. Sais. 7(3), Erol Eğrioğlu, rabzon da 977 yılında doğdu. Lisans eğiiini Ondokuz Mayıs Üniversiesi Fen Edebiya Fakülesi İsaisik Bölüünde 998 yılında aaladı. Aynı yıl A- raşıra Görevlisi olarak göreve başladı. Bili uzanlığı derecesini 00 yılında aldı. E. Eğrioğlu halen Haceepe Üniversiesi Fen Fakülesi İsaisik Bölüünde çalışalarına deva eekedir. Çalışalarına Zaan Serileri konusunda deva eeke olan E. Eğrioğlu evli olup bir çocuk babasıdır. Süleyan Günay, Düzce de 949 yılında doğdu. Ankara Üniversiesi Fen Fakülesi Maeaik bölüünde 968 yılında Lisans eğiiini aaladı. Haceepe Üniversiesi Fen Fakülesi İsaisik Bölüünde 97 yılında Dokora derecesini aldı ve 978 yılında da aynı bölüde Doçen oldu. 988 yılında Profesör olan S. Günay halen Haceepe Üniversiesi Fen Fakülesi İsaisik Bölüünde Bölü Başkanı olarak çalışalarına deva eekedir. Evli ve iki çocuğu olan S.Günay ın ulusal ve uluslararası dergilerde bir çok çalışası bulunakadır.