ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ TÜRKİYE İMALAT SANAYİ İÇİN BİR KOİNTEGRASYON ANALİZİ. Ali İhsan ÇAVDARLI

Transkript

2 Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU danışmanlığında, Ali İhsan ÇAVDARLI arafından hazırlanan TÜRKİYE İMALAT SANAYİ İÇİN BİR KOİNTEGRASYON ANALİZİ adlı ez çalışması 3//7 arihinde aşağıdaki jüri arafından oy birliği ile Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı nda Dokora ezi olarak kabul edilmişir. Başkan : Prof. Dr. Alpekin ESİN Gazi Üniversiesi, İsaisik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU Ankara Üniversiesi, İsaisik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Ayşen APAYDIN Ankara Üniversiesi, İsaisik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Reşa KASAP Gazi Üniversiesi, İsaisik Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Yılmaz AKDİ Ankara Üniversiesi, İsaisik Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr. Ülkü MEHMETOĞLU Ensiü Müdürü

3 ÖZET Dokora Tezi TÜRKİYE İMALAT SANAYİ İÇİN BİR KOİNTEGRASYON ANALİZİ Ali İhsan ÇAVDARLI Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı Danışman : Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU Türkiye İmala Sanayi ulusal ekonominin emel kaynaklarından biridir. İmala sanayi yüksek verimlilik gücüyle, büyüme ve kalkınmanın emel iici kaynağıdır. Bu nedenle, bu ezin konusunu oluşuran Türkiye İmala Sanayi ile ilgili Türkiye İmala Sanayi için bir Koinegrasyon Analizi adlı çalışma gerçekleşirilmişir. Bu yönüyle ez am anlamıyla bir uygulama çalışması olup, ekonomik zaman serilerinin analizi alanında özgün kakı değeri aşımakadır. Çalışmanın eorik kısmında, birim kök ve koinegrasyon analizi ele alınmışır. Çalışmanın özgün bölümünde, 95- yılları arasında Türkiye imala sanayinde devle ve özel sekörde ücrele çalışan başına; ödeme, yaırım, girdi, çıkı, kama değer, ihraca ve ihala serilerine birim kök esi uygulanmış ve koinegrasyon analizi kullanılarak ilgili seriler arasında uzun dönemli ilişkinin varlığı araşırılmışır. Ayrıca, Türkiye imala sanayinde devle seköründe kısmi verimlilik serileri ile özel sekör kısmi verimlilik serileri arasında 988: - 6:4 döneminde mevsimsel koinegre bir ilişki olup olmadığı araşırılmışır. Serilerin büünleşme sıraları hesaplanmışır. Mevsimsel birim kök esleri HEGY meodu kullanılarak yapılmışır. Sonuç olarak, elde edilen paramerelerin geniş yorumları yapılmışır. 7, 89 sayfa Anahar Kelimeler: Zaman serileri, birim kökler, mevsimsel birim kökler, durağanlık, koinegrasyon, mevsimsel koinegrasyon, Türkiye imala sanayi i

4 ABSTRACT Ph.D.Thesis A COINTEGRATION ANALYSIS FOR THE TURKISH MANUFACTURING INDUSTRY Ali İhsan ÇAVDARLI Ankara Universiy Graduae School of Naural and Applied Sciences Deparmen of Saisics Supervisor: Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU The manufacuring indusry of Turkey is one of he fundamenal sources of he naional economy. Manufacuring is he main driving developmen facor wih is produciviy power. For his reason, he manufacuring indusry of Turkey is considered as he subjec maer of his hesis under he name of A Coinegraion Analysis for he Turkish Manufacuring Indusry. The value adding conribuion of he hesis is o he area of economic ime series analysis in he real life applicaions of saisics. In he heoreical par of he hesis, he conceps of uni roos and coinegraion analysis are reviewed. In he main and original par of he hesis, uni roo ess are applied o paymen, invesmen, inpu, oupu, added value, expor/impor per employee wages ime series daa and long erm relaionship beween he relaed series is examined by coinegraion analysis. The years 95- are covered for he manufacuring indusry of public and privae secor in Turkey. Furhermore, seasonal coinegraional relaionship beween parial produciviy series in he public secor and parial produciviy series in he privae secor for he manufacuring indusry in Turkey is invesigaed for he period 988: 6:4. The inegraion order of he series is calculaed. Seasonal uni roo ess are performed using he HEGY mehod. Finally, he inerpreaion of he esimaed parameers is presened in deph. 7, 89 pages Key Words: Time series, uni roos, seasonal uni roos, saionariy, coinegraion, seasonal coinegraion, Turkish manufacuring indusry ii

5 TEŞEKKÜR Çalışma süresince bilgi ve ecrübelerini esirgemeyen, beni yönlendiren ve çalışmalarımda bana göserdiği ilgi ve deseklerinden dolayı danışman hocam, Sayın Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU na (Ankara Üniversiesi) ve Sayın Prof. Dr. Alpekin ESİN e (Gazi Üniversiesi) eşekkür ederim. Ayrıca, bu konu ile ilgilenmemi sağlayan ve çalışmamın her safhasında yakın ilgi ve önerileri ile bana desek sağlayan Sayın Doç. Dr. Yılmaz AKDİ ye eşekkür ederim. Ali İhsan ÇAVDARLI Ankara, Ekim 7 iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... v ŞEKİLLER DİZİNİ... vi ÇİZELGELER DİZİNİ... vii. GİRİŞ.... TEK DEĞİŞKENLİ ZAMAN SERİLERİ Zaman Serileri ve Durağanlık Birim Köklü Zaman Serileri Birim Kök Tesi Mevsimsel Zaman Serileri....5 Mevsimsel Birim Kökler ÇOK DEĞİŞKENLİ ZAMAN SERİLERİ VE KOİNTEGRASYON Vekör Zaman Serileri ve Durağanlık Koinegrasyon Kavramı Koinegrasyon Vekörünün Tahmini TÜRKİYE İMALAT SANAYİNDE KOİNTEGRASYON ANALİZİ UYGULAMASI Yıllık İmala Sanayi Serilerine Koinegrasyon Analizi Uygulaması Devle sekörü imala sanayinde koinegrasyon analizi uygulaması Özel sekör imala sanayinde koinegrasyon analizi uygulaması Devle ve özel sekör imala sanayi serileri arasında koinegrasyon analizi uygulaması Devle ve Özel Sekör İmala Sanayi Serileri Arasında Mevsimsel Koinegrasyon Analizi Uygulaması SONUÇ... 8 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

7 SİMGELER DİZİNİ ACF ADF AIC AR ARIMA ARMA DF DHF HEGY I MA PACF SD SIC TR TÜİK WN Ookorelasyon Fonksiyonu (Auocorrelaion Funcion) Genişleilmiş (Augmened) Dickey Fuller Akaike Bilgi Ölçüü (Akaike Informaion Crieria) Ooregresif Zaman Serisi (Auoregressive Series) Büünleşik Ooregresif Harekeli Oralama Zaman Serisi (Auoregressive Inegraed Moving Average) Ooregresif Harekeli Oralama Zaman Serisi (Auoregressive Moving Average) Dickey Fuller Dickey Hazsa Fuller Hylleberg Engle Granger Yoo Sabi erim (Inercep) Harekeli Oralama Serisi (Moving Average Series) Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu (Parial Auocorrelaion Funcion) Mevsimsel kukla değişken (Seasonal Dummy Variable) Schwarz Bilgi Ölçüü (Schwarz Informaion Crieria) Trend (Trend) Türkiye İsaisik Kurumu Beyaz Gürülü Serisi (Whie Noise) v

8 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 4. Devle sekörü imala sanayinde bir birim ücrele yaraılan birim kama değer, ücrele çalışan başına; ödeme ve yaırım serilerine ilişkin zaman serisi grafikleri ile ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon grafikleri... 5 Şekil 4. Devle sekörü imala sanayinde ücrele çalışan başına; girdi, çıkı ve kama değer serilerine ilişkin zaman serisi grafikleri ile ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon grafikleri... 5 Şekil 4.3 Devle sekörü imala sanayinde ücrele çalışan başına; ihraca ve ihala serilerine ilişkin zaman serisi grafikleri ile ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon grafikleri... 5 Şekil 4.4 Özel sekör imala sanayinde bir birim ücrele yaraılan birim kama değer, ücrele çalışan başına; ödeme ve yaırım serilerine ilişkin zaman serisi grafikleri ile ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon grafikleri Şekil 4.5 Özel sekör imala sanayinde ücrele çalışan başına; girdi, çıkı ve kama değer serilerine ilişkin zaman serisi grafikleri ile ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon grafikleri Şekil 4.6 Özel sekör imala sanayinde ücrele çalışan başına; ihraca ve ihala serilerine ilişkin zaman serisi grafikleri ile ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon grafikleri... 6 Şekil 4.7 Devle ve özel sekör imala sanayinde ücrele çalışan başına kama değer (95 ) Şekil 4.8 Devle ve özel sekör imala sanayinde ücrele çalışan başına girdi ve çıkı (95 ) Şekil 4.9 Devle ve özel sekör imala sanayinde bir birim ücrele yaraılan birim kama değer (95 ) Şekil 4. Devle ve özel sekör imala sanayinde ücrele çalışan başına ödeme (95 ) Şekil 4. Devle sekörü imala sanayinde kısmi verimlilik indeksi serisi Şekil 4. Özel sekör imala sanayinde kısmi verimlilik indeksi serisi Şekil 4.3 Devle ve Özel sekör imala sanayinde kısmi verimlilik indeksi serilerine ai ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon grafikleri vi

9 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 4. İmala sanayinde kama değer ve çalışan sayısının devle ve özel sekör arasında dağılımı Çizelge 4. Devle sekörü imala sanayinde bir birim ücrele yaraılan birim kama değer, ücrele çalışan başına; ödeme, yaırım, girdi, çıkı ve kama değer ile ücrele çalışan başına ihraca ve ihala serilerinin birim kök esi sonuçları Çizelge 4.3 Devle sekörü imala sanayinde bir birim ücrele yaraılan birim kama değer, ücrele çalışan başına; ödeme, girdi, çıkı ve kama değer ile ücrele çalışan başına ihraca ve ihala serilerinin birinci farklarının birim kök esi sonuçları Çizelge 4.4 Özel sekör imala sanayinde bir birim ücrele yaraılan birim kama değer, ücrele çalışan başına; ödeme, yaırım, girdi, çıkı ve kama değer ile ücrele çalışan başına ihraca ve ihala serilerinin birim kök esi sonuçlar... 6 Çizelge 4.5 Özel sekör imala sanayinde, bir birim ücrele yaraılan birim kama değer, ücrele çalışan başına; ödeme, yaırım, girdi, çıkı ve kama değer ile ücrele çalışan başına ihraca ve ihala serilerinin birim kök esi sonuçlar... 6 Çizelge 4.6 Devle sekörü imala sanayi kısmi verimlilik (D ) ve özel sekör imala sanayi kısmi verimlilik (Ö ) serileri için HEGY esi sonuçları Çizelge 4.7 Sıfır frekansa (uzun dönem) koinegrasyon esi Çizelge 4.8 / frekansa (alı aylık) koinegrasyon esi... 8 Çizelge 4.9 /4 ve 3/4 frekansa koinegrasyon esi... 8 vii

10 . GİRİŞ Bilimin her dalında uygulamaları olabilen, özellikle isaisik ve ekonomeri çalışmalarında oldukça yoğun ihiyaç duyulan zaman serileri işleme, mühendislik ve sosyal bilimlerde de yoğun olarak kullanılmakadır. Bir göldeki su seviyesinin yüksekliği, bir sanayi işlemesindeki haalı ürünler, imala sanayinde yaraılan kama değer, bir ülkedeki ihala veya ihraca mikarları, bir üniversieye kayı yapıran öğrencilerin sayısı zaman serilerine örnek olabilirler. Bu örnekleri genişlemek mümkündür. Zaman birimi konunun gereğine göre yıl, ay, hafa, saa, vb. olabilir. Zaman serisi bir değişkenin birbiri ardına gelen zaman birimleri için aldığı değerlerin sıralanışı olup, kısaca ifade emek gerekirse belli zaman kesii içerisindeki ölçümlerin bir kümesidir. Zaman serisinin ileriki zamanlarda alacağı değerler am olarak önceden ahmin edilebiliyorsa bu ür serilere deerminisik zaman serileri denir. Faka alabileceği değerler serinin geçmiş değerlerinden faydalanarak am olarak önceden ahmin edilemiyorsa yani öngörülemiyorsa bu ür serilere de sokasik zaman serileri denir (Sevükekin ve Nargeleçekenler 5). Özellikle ekonomik zaman serileri sokasik zaman serileridir. Ekonomik zaman serilerinin, geçmiş dönemlerdeki aldıkları değerlerden faydalanarak gelecekeki alabilecekleri olası değerleri öngörmek mümkün olabilmekedir. Zaman serileri, oralamadan göserdiği sapmalara göre durağan ve durağan olmayan seriler olmak üzere iki ana başlık alında incelenebilir. Zaman serisinin oralaması ve varyansı zaman içerisinde sisemaik olarak değişmiyorsa ve iki dönem arasındaki varyansı, döneme yani zamana değilde yalnızca iki dönem arasındaki uzaklığa bağlı ise durağanlık söz konusudur. Durağanlık zaman serilerinde en önemli kavramlardan biridir. Zaman serilerine çeşili isaisiksel çıkarımların uygulanabilmesi için en önemli varsayım serinin durağanlık

11 şarının sağlanmasıdır. Ekonomi ile ilgili zaman serilerinin büyük çoğunluğu durağan olmayan zaman serileridir. Eğer seri durağan değilse çeşili yönemler kullanılarak önce durağan hale geirmek gerekir. Ayrıca bir zaman serisi, kendi geçmiş değerleri ile birlike başka zaman serilerine bağlı olarak gözlenebilir. Birbiri ile ilişkili olan serilerle ilgili aynı anda birden fazla gözlem elde edilebilir. Bu serilerin ayrı ayrı incelenmesi yerine birlike incelenmesi daha uygun olmakadır. Bu zaman serileri ek ek durağan olmamasına karşın aralarında öyle bir ilişki bulunabilir ki serilerin lineer kombinasyonları durağan hale gelir. Bu durumda seriler koinegrasyonlu olmakadırlar (Enders 995). Çalışmada ek değişkenli zaman serileri ile ilgili durağanlık kavramı açıklandıkan sonra, durağan ve durağan olmayan zaman serileri ele alınmışır. Zaman serilerinin durağan olup olmadığının yani birim köklü olup olmadığının belirlenmesinde kullanılan birim kök esleri hakkında bilgi verilmişir. Çok değişkenli zaman serileri ile ilgili olarak vekör zaman serileri ve durağanlık konularına değinilmişir. Koinegrasyon kavramı ve koinegrasyon vekörünün ahmini örneklerle açıklandıkan sonra koinegrasyon esleri hakkında bilgi verilmişir. Bu çalışmada, koinegrasyon analizinin uygulanmasına yönelik çalışmalarda şu ana kadar üzerinde fazlaca durulmayan Türkiye imala sanayi ele alınmış. Uygulama bölümünde, 95- yılları arasında Türkiye imala sanayinde devle ve özel sekörde bir birim ücrele yaraılan birim kama değer, ücrele çalışan başına; ödeme, yaırım, girdi, çıkı, kama değer ile ücrele çalışan başına ihraca ve ihala serilerine birim kök esi uygulanmış ve koinegrasyon analizi kullanılarak ilgili seriler arasında uzun dönemli ilişkinin varlığı araşırılmışır. Ayrıca Türkiye imala sanayinde devle seköründe kısmi verimlilik serileri ile özel sekör kısmi verimlilik serileri arasında 988: 6:4 döneminde mevsimsel koinegre bir ilişki olup olmadığı araşırılmışır. Serilerin büünleşme sıraları hesaplanmışır. Mevsimsel birim kök esleri HEGY yönemi kullanılarak yapılmışır. Elde edilen sonuçlar yorumlanmışır.

12 . TEK DEĞİŞKENLİ ZAMAN SERİLERİ. Zaman Serileri ve Durağanlık Bir zaman serisi, T bir indis küme olmak üzere {Y : T} şeklinde ifade edilir. Burada T={,,,...} şeklinde alındığında zaman serisi rasgele değişkenlerin bir dizisidir. Faka T=[,] veya T=(-, ) şeklinde alındığında, zaman serileri "Sürekli zamanlı bir sokasik süreç" (Coninuous ime sochasic process) olarak adlandırılır. Burada aksi belirilmedikçe T indis kümesinin T= {,,3,...}olduğu varsayılacakır. Zaman serileri rasgele değişkenlerin bir kümesi olduğundan aşağıda rasgele değişkenlere kısaca değinilmişir. (Ω,U,P) bir olasılık uzayı olmak üzere (Ω örnek uzay, U, Ω üzerindeki σ-cebir ve P de U üzerindeki olasılık ölçüsü) bir rasgele değişken Ω dan reel sayılara giden ölçülebilir bir fonksiyondur. Y: Ω R ω Y(ω) {ω Ω: Y(ω) a } U, a R ise Y fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. (Ω,U,P) bir olasılık uzayı, T bir indis kümesi olmak üzere, Ω x T uzayından reel sayılara giden bir fonksiyondur. Zaman serisi ise, Y (ω): Ω x T R (ω,) Y(ω,) = Y (ω) şeklinde anımlanan bir fonksiyondur (Fuller 976, Akdi 995). Burada Y (ω) yerine kısaca Y noasyonu kullanılacakır. 3

13 Zaman serilerine çeşili isaisiksel ekniklerin uygulanabilmesi için en önemli varsayım, serinin durağanlık (saionary) şarını sağlamasıdır. Tanım... {Y : T} zaman serisi, ) E(Y ) = µ, T ) Kov(Y,Y +h ) = γ y (h), h, sadece h ye bağlıdır. koşullarını sağlıyorsa Y zaman serisine durağandır denir (Hamilon 994). Kov(Y,Y +h ) kovaryans, zaman serisinin ookovaryans fonksiyonu olarak adlandırılır ve γ(h) ile göserilir. Buradaki γ(h) ookovaryans fonksiyonu zaman serilerinin birçok özelliklerinin incelenmesinde önemli yer umakadır. Özellikle uygulamada zaman serilerinin modellenmesi, modelin derecesinin belirlenmesi ve durağan olup olmadığının sezgisel olarak belirlenmesi buna birer örnekir. Zaman serileri genel olarak durağan ve durağan olmayan seriler olarak ikiye ayrılmakla birlike serilerin modellerine göre de sınıflandırılmışlardır. Bunlardan bazıları aşağıda ele alınmışır. Ooregresif (auoregressive) seriler, bir zaman serisinin inci dönemdeki gözlem değerleri ve aynı serinin belirli sayıdaki geçmiş döneme ai gözlem değerleri ile birlike inci dönemdeki haa eriminin yer aldığı serilerdir. Kısaca AR serisi olarak bilinir ve geçmiş dönem gözlem değerlerinin sayısına göre AR() (birinci dereceden), AR() (ikinci dereceden) ve AR(p) (p. dereceden) ooregresif seri olarak adlandırılır. Bir çok ekonomik zaman serisi ooregresif olarak modellenir. Genel olarak, p inci dereceden bir ooregresif zaman serisi AR(p), e WN (,σ ) bir beyaz gürülü serisi ve µ de serinin beklenen değeri olmak üzere, p ( Y µ ) = j= α (Y e (.) j j µ ) + şeklinde yazılır. 4

14 Burada α i, i=,,3,,p ler ve σ modelin paramerelerini gösermekedir. Rasgele değişken e, bağımsız ve aynı dağılıma sahip beklenen değeri, varyansı σ olan Beyaz gürülü (Whie Noise) serisi olarak da adlandırılır. Beyaz Gürülü serisinin anımı aşağıda verilmişir. Tanım... {Y : T} bir zaman serisi olmak üzere, ) E(Y ) =, T ) Kov(Y,Y +h ) = σ,h =,h koşullarını sağlayan{y }serisine beyaz gürülü serisi denir ve Y WN (,σ ) göserimi kullanılır. Buna bağlı olaraka ookorelasyon fonksiyonu, ρ k = γ(h),h = γ(),h dır. Ooregresif zaman serisinde durağanlık karakerisik denklemin köklerine bağlıdır. Çünkü Tanım.. deki koşulların sağlanması için karakerisik denklemin kökleri önemli yer umakadır. Ooregresif serilerde beklenen değer ve kovaryansların hesaplanması her zaman kolay olamayabilir. (.) de verilen p. dereceden ooregresif zaman serisi, p p = µ µ α j + α jy j j= j= Y + e p p = µ ( α j) + α jy j j= j= Y + e 5

15 şeklinde de yazılabilir. (.) de verilen AR(p) zaman serisinin karakerisik denklemi, m p p p j α jm = (.) j= şeklindedir. Denklemin köklerinden bir anesinin mulak değer içinde olduğu durumda p α j = olur ve dolayısıyla seri durağan olmaz. Denklemin köklerinden en az bir j= anesi mulak değerce ise µ ( α j ) = p j= olmaka dolayısıyla serinin oralaması yok olmakadır. Ayrıca (.) deki p. dereceden ooregresif süreci gerileme operaörü (backshif) B (B k Y = Y -k ) kullanılarak, (-α B-α B -...-α p B p ) Y = e şeklinde yazılabilir. Gerileme operaörü kullanmak, zaman serilerinde durağanlığın belirlenmesinde kolaylık sağlamakadır. Durağanlık koşulunun sağlanabilmesi için (-α B-α B -...-α p B p ) = denkleminin üm köklerinin birim çemberin dışında kalması gerekir. Denklemin köklerinden en az bir anesinin mulak değerce olması durumunda süreç durağan değildir (Haanaka 996). İkinci dereceden ooregresif serisi, (Y - µ) = α (Y - - µ) + α (Y - - µ) +e X = α X - + α X - +e (.3) şeklinde göserilebilir. Bu seriye karşılık gelen karakerisik denklem, 6

16 m - α m- α = olmak üzere kökleri m ve m dir. Ayrıca, (.3 ) deki seri, gerileme operaörü B kullanılarak, (-α B-α B ) X =e şeklinde de yazılabilir. Burada kökler m ve m olduğundan, (-m B) (-m B) X = e şeklinde yazılabilen ifade de, köklerin m = ve m < olduğu varsayılırsa, Z = (-B) X olmak üzere, yani, (-m B) Z = e, Z =m Z - + e olarak yazılır ki, m < olduğundan seri durağandır. Eğer (.3 ) de verilen serinin karakerisik denkleminin büün kökleri mulak değerce birden küçükse seri durağandır. Aksi halde seri durağan değildir. Durağan olabilmesi için (-α B-α B ) = denklemindeki köklerin birim çemberin dışında kalması yani α ve α paramerelerinin, α + α < α α < - < α < koşulunu sağlaması gerekmekedir. 7

17 Birinci dereceden ooregresif zaman serisi AR(), (Y - µ) = ρ (Y - - µ) + e (.4) göz önüne alındığında bu serinin karakerisik denklemi m-ρ = olmak üzere karakerisik denklemin kökü ρ dur. Eğer ρ= ise seri, Y = µ(-ρ) + ρ Y - +e şeklinde yazılabildiğinden, (.4) de verilen seri, Y = Y - + e olmakadır ki, bu durumda seri durağan değildir. Çünkü seri, e j j= Y = Y o + olarak yazıldığında Y o = varsayımı göz önüne alınırsa Var(Y ) = σ olmakadır ki serinin varyansı zamana bağlı olarak armakadır. Ayrıca e j j= E(Y ) = E(Y o + ) = E(Y o ) Kov(Y, Y +h ) = Kov(Y o + e j, Y o + + e i ) = σ min (, +h) j= i= h olup kovaryanslar ye bağlıdır. Yani Tanım.. gereğince durağan değildir. İkinci olarak ele alınan seri Harekeli Oralamalar (Moving Average) serisi, bir zaman serisinin inci dönemdeki gözlem değerleri ve aynı serinin inci dönemdeki haa erimi e ile birlike belirli sayıdaki geçmiş döneme ai haa erimlerinin yer aldığı serilerdir. Kısaca MA serisi olarak bilinir ve geçmiş dönem haa erimi sayısına göre MA() 8

18 (birinci dereceden), MA() (ikinci dereceden), ve MA(q) (q inci dereceden ) Harekeli Oralamalar serisi olarak adlandırılır. Genel olarak, q inci dereceden bir Harekeli Oralamalar serisi MA(q), Y = e q + θ e i= i i olarak yazılır, burada rasgele değişken e, bağımsız ve aynı dağılıma sahip, beklenen değeri, varyansı σ olan bir beyaz gürülü serisidir. Harekeli Oralamalar serisinde, durağanlık için ooregresif serisinde olduğu gibi θ kasayıları üzerinde bir sınırlamaya gerek yokur. MA(q) serisi q sonlu olduğu sürece her zaman durağanlık koşullarını sağlamakadır. MA(q) serisinde, Y = e q + θ e i= i i q = θie i, θ = i= için beklenen değer, q E(Y ) = E ( θ ie i ) = θi E(e i ) = i= q i= o ve kovaryansı, γ(h) = Kov(Y, Y +h ) = Kov( θ e, θ e ) q i= i i q j= j + h j 9

19 Kov(e -i, e +h-j ) = σ, -i=+h-j, i=j-h, diğer olmak üzere, q q = θ θ kov(e,e ) i= j= q h = σ θiθi+ h i= i j i + h j elde edilir. Serinin oralaması ve kovaryanslar ye bağlı değildir. Tanım.. de verilen durağanlık koşulunu sağlamakadır. MA(q) süreci q sonlu olduğu sürece her zaman durağandır. Faka zaman serilerinde durağanlık anımına benzer bir anımda serilerin ersinirliği (inveribiliy) dir. Tanım..3. {Y } zaman serisi ve e bir beyaz gürülü serisi olmak üzere, e = π Y j= j j = Y + π Y j= j j şeklinde yazılabilirse {Y } serisi ersinir (inverible) dir. AR(p) serilerinin her zaman ersinir olduğu aşikardır. Faka bir MA(q) serisinin ersinir olabilmesi için MA(q) serisine karşılık gelen, m q + q i= θ m i q i = karakerisik denkleminin büün köklerinin mulak değerce den küçük olması gerekir.

20 MA süreçlerinin gerileme operaörü B kullanılarak ifade edilmesi sürecin ersinirlik koşullarının sağlayıp sağlamadığının belirlenmesinde yardımcı olan bir göserimdir. MA(q) süreci gerileme operaörü B kullanılarak, Y = (+ θ B + θ B θ q B q ) e şeklinde yazılır. θ(b) = (+ θ B + θ B θ q B q ) = ifadesinden denklemin kökleri bulunur. Kökler birim çemberin dışında kalıyorsa seri ersinirlik koşulunu sağlıyor demekir. MA() serisi, Y = e + θ e - + θ e - gerileme operaörü B kullanılarak, Y = ( + θ B + θ B ) e şeklinde yazılır. ( + θ B + θ B ) = eşiliğinin köklerinin birim çemberin dışında kalması yani θ, θ paramerelerinin, θ + θ < θ - θ < - < θ < + koşulunu sağlaması durumunda seri ersinirdir. Bu aynı zamanda AR() durağanlık koşulu ile aynıdır. MA() süreci, gerileme operaörü B kullanılarak, Y = ( + θ B) e e = ( + θ B) - Y

21 şeklinde yazıldığında, (+θ B) = ın kökü olan B = -/θ birim çemberin dışında kaldığı durumda ersinirlik koşulu sağlanıyor demekir (Banerjee e al. 993). Bir diğer seri, Ooregresif Harekeli Oralamalar serileri (Auoregressive Moving Average) dir. Bu seri ooregresif serileri ile harekeli oralamalar serisinin bileşimidir. Bu süreçler, bir zaman serisinin inci dönemdeki gözlem değerleri ve aynı serinin belirli sayıdaki geçmiş döneme ai gözlem değerleri ile inci dönemdeki haa erimi ve belirli sayıdaki geçmiş döneme ai haa erimlerinin yer aldığı serilerdir. Kısaca ARMA serisi olarak bilinir ve AR(p) ve MA(q) serilerinin geçmiş dönem gözlem sayılarına göre adlandırılır. Genel olarak, ARMA(p,q) serisi, Y = p j= α j y j + q i= θ e i i şeklinde yazılır. Gerileme operaörü B kullanarak, veya ( α θ p q B α B... α pb )Y = ( + θb + θb qb ) e α(b)y = θ(b)e şeklinde göserilir. Burada e beklenen değeri, varyansı σ olan bir beyaz gürülü serisidir. AR kısmının derecesi p, MA kısmının derecesini q olarak göserilmişir. Burada α(b) ve θ (B) ler ise, α(z) = - α z - α z α p z p θ(z) = + θ B + θ B θ q B q şeklinde ifade edilir. Bu göserimler, ARMA serilerinin durağanlık ve ersinirlik durumlarının belirlenmesinde kullanılır. Burada α(z) = denkleminin kökleri birim çemberin dışında

22 kalıyorsa bu serinin durağan olduğunu ve θ(z) = ın kökleri birim çemberin dışında kalıyorsa bu serinin ersinir olduğunu göserir.. Birim Köklü Zaman Serileri Birim köklü zaman serileri, zaman serileri konusu içerisinde önemli bir yer umakadır. Ekonomi ile ilgili zaman serilerinin büyük çoğunluğu durağan olmayan zaman serileridir. Önceki bölümde bahsedildiği üzere harekeli oralamalar (MA) serileri her zaman durağandır. Ooregresif (AR) serilerinde ise durağanlık serinin karakerisik köklerine bağlı olmakadır. Yukarıda sözü edilen iki serinin bileşimi olan ooregresif harekeli oralamalar (ARMA) serilerinin durağan olup olmadığı ise ooregresif kısmının köklerine bağlıdır. α(b)y = θ(b) e zaman serisi göz önüne alındığında ooregresif kısmının karakerisik köklerinden en az bir anesi mulak değerce ise, seri birim köklü zaman serisi olarak adlandırılır. Serinin birinci dereceden farkı alındığında seri durağan hale gelmekedir. Bu durumda seri birinci dereceden birim köklü olup I() noasyonu ile göserilir. Eğer serinin d ane karakerisik kökü mulak değerce ise seri I(d) dir. Burada, gerileme operaörü B kullanılarak yazılan Y zaman serisi, ( - α B - α B α p+d B p+d ) (Y - µ) = θ (B) e, =,, (.5) göz önüne alındığında e, oralaması varyansı σ olan bağımsız ve aynı dağılıma sahip beyaz gürülü serisidir. Burada α,α,..., α p+d, µ,θ,θ,..., θ q ve σ ler paramerelerdir. (.5) de verilen zaman serisi göz önüne alındığında, z kompleks değişken olarak düşünülüp α(z) = ( - α z - α z α p+d z p+d ) = olarak ifade edilen denklemden hesaplanan kökler mulak değer içinde e eşise seri birim köklüdür. Eğer α(z) denkleminin (d ) olmak üzere d ane kökünün mulak değer içinde e eşi olduğu yani d ane birim köke sahip olduğu durum da α(b) kısımlara ayrılarak, 3

23 α(b) = Φ(B) (-B) d olarak yazılabilir. = (-B) olmak üzere (.5) deki zaman serisi, Φ(B) d ( Y -µ) = θ(b) e, =,,... (.6) şeklinde ifade edilir. Burada Φ(B), dir. Φ(B) = (- Φ B Φ p B p ) Φ(z) = denkleminin üm kökleri birim çemberin dışında ise, yani durağansa Φ(B) d (Y -µ) = θ(b) e, =,,... zaman serisi, ARIMA(p,d,q) Ooregresiv Birikimli Harekeli Oralamalar (Auoregressive Inegraed Moving Average) serisi olarak adlandırılır. d Y, Y nin durağan hale geirilmesi için d. kere farkının alındığını göserir. Eğer d = ise yani seri birim köklü değilse bu durumlarda seri ARMA(p,q) serisidir ve Y durağandır. d > olduğu durumda ise Y zaman serisi durağan değildir. Başka bir deyişle, serinin p kökü mulak değerce den büyük ve d ane kökü birim kök olduğunda Y zaman serisi Y ~ARIMA(p,d,q) alarak ifade edilecekir. (.6) daki zaman serisinde Z = (-B) d (Y -µ) olmak üzere Φ(B)Z = θ(b) e olarak yazılan zaman serisi durağan olup Z ARMA(p,q) serisi olarak ifade edilecekir (Dickey e al. 986). Praike buradaki d sayısı da bilinmemekedir. Faka bunu sezgisel olarak kesirebilmek için seriyi durağan hale geirinceye kadar fark alma işlemi ardışık olarak ekrar edilir. Buradaki d parameresinin ahmin edilmesi üzerine de çalışmalar yapılmakadır. Daha önceki bölümlerde ooregresif zaman serilerinin hangi koşullarda durağan olmadığı yani birim köklü olduğu belirilmişi. Zaman serilerinin birim köklü olup 4

24 olmadığının es edilmesi bir sonraki bölümde ele alınacakır. Burada AR zaman serileri paramerelerinin en küçük kareler ahmin edicileri üzerinde durulacakır. (Y - µ) = ρ (Y - - µ) + e veya Y = µ (-ρ) + ρ Y - +e (.7) şeklinde yazılan AR() zaman serisini, α o = µ(-ρ), α = ρ ve X = Y - olmak üzere, Y = α o + α X +e şeklinde yazmak mümkündür. Bu model basi Doğrusal Regresyon Modeline benzemeke ve burada α o, α ve σ paramerelerinin ahmin edilmesi gerekmekedir. Regresyon modelinde α = ρ olduğundan serinin durağanlığını araşırmak için α parameresinin mulak değerce olup olmadığının es edilmesi ve bunun için önce ahmin edilmesi gerekmekedir. Regresyon modeli yardımıyla en küçük kareler ahmin edicisi, n n Y ( ) = Y, Y ) = = n ( Y n = olmak üzere, α = n = (Y = Y n (Y () )(Y Y ( ) Y ) ( ) ), α = Y () α Y ( ) 5

25 6 şeklindedir (Fuller 976, 996). Ayrıca (.7) de verilen serinin karakerisik denkleminin kökü = ρ yani birim köklü olduğunda seri Y = Y - + e şekline dönüşmekedir. Yukarıda belirildiği üzere ρ = α olmak üzere Y = α Y - +e serisi göz önüne alındığında, α parameresinin en küçük kareler ahmin edicisi, = = = α n n Y Y Y şeklindedir. Burada Y o = başlangıç koşulu alında, = = = α n n Y Y Y = = = + α n n Y )Y e Y ( = α + = = n n Y e Y olup, α α = = = n n Y e Y şeklinde yazılır ve p n n Y e Y = = dır. Seri durağan olsun olmasın α parameresinin en küçük kareler ahmin edicisi α, uarlı bir ahmin edici olup, α parameresine olasılıka yakınsar. Yani n olduğunda (olasılıka) α α dır (Fuller 976, 996).

26 .3 Birim Kök Tesi Zaman serilerinin en önemli kullanım alanlarından biri de, zaman serisinin geçmiş zamandaki gözlem değerlerine dayanarak rasgele değişkenin alacağı değerler için öngörüde bulunmakır. Öngörülerin yapılabilmesi için de verilere uygun bir modelin belirlenmesi gerekmekedir. Bu öngörüler ekonomik poliika üreme açısından son derece önemlidir. Bunun gibi isaisiki sonuç çıkarımlar yapılırken önce zaman serisinde durağanlık şarı aranır. Bir çok isaisiki sonuç çıkarımlar zaman serisinin durağan olması durumunda anlamlı olmakadır. Ancak özellikle ekonomik zaman serilerinde zamandan bağımsız sabi oralama ve varyansa sahip serilere pek raslanmaz. Bu yüzden serinin durağan olup olmadığı konrol edilmelidir. Seri durağan değilse durağanlaşırılmalı ve ondan sonra analizler yapılmalıdır. Durağanlık varsayımının önemi uzun yıllardır bilinmeke olup bu konuda çok sayıda çalışma yapılmışır. Burada zaman serilerinin durağan olup olmadığı yani birim köklü olup olmadığının esi üzerinde durulacakır. Bağımsız aynı dağılıma sahip rasgele değişkenlerin bir dizisi e ( =,,3, ) beklenen değeri sıfır varyansı σ olan beyaz gürülü serisi olmak üzere, Zaman serisi, Y = ρ Y - + e (.8) göz önüne alındığında bu serinin durağanlık varsayımını sağlayabilmesi için ρ < olması gerekmekedir. Bu durumda seri, Y= ρ j e j J= şeklinde yazılır. Bu varsayım göz önüne alındığında serinin ookovaryans fonksiyonu, 7

27 h γ (h) = Kov(Y,Y + ) = ρ γ(), h σ γ () = ρ ve ookorelasyon fonksiyonu, ρ( h) = γ(h) = γ() ρ h olarak hesaplanır. Serinin ookovaryansı ve buna bağlı olarak ookorelasyonları üsel olarak azalmakadır. ρ değeri e yaklaşıkça azalma yavaş olmakadır. (.8 ) deki seri farklı olarak ρ = yani, Y = Y - + e şeklinde göz önüne alındığında ise ookovaryans fonksiyonu, Kov(X,X +h )=σ min(,+h) olacak ve ookorelasyonlar zamana bağlı olduğundan bu seri durağan olmayacakır. Grafikler göz önüne alındığında eğer serinin ookorelasyonlarındaki azalma oranı yavaş ise yani ρ nun e yaklaşığı durumlarda serinin durağan olmadığı söylenebilir. Burada azalma hızı, serinin durağanlığı hakkında ancak sezgisel olarak bilgi verir. Bundan dolayı durağanlığın es edilmesi amacıyla isaisiksel eslerin yapılması gerekir. Dickey and Fuller (979) paramerelerin en küçük kareler ahmin edicisinin dağılımına dayanan bir es meodu gelişirmişlerdir. Bu meo diğer araşırmacılar arafından da üzerinde yoğun olarak çalışma yapılan bir konu olmuşur. Zaman serilerinin birim kök içerip içermediğinin belirlenmesine yönelik Dickey and Fuller in önerdiği es, bu konuda en önemli es olma özelliğini devam eirmekedir. Bu meo oldukça yoğun olarak kullanılmaka ve neredeyse sandar birim kök es meodu olma haline gelmişir. Buradan n(ˆ ρ ) isaisiğinin dağılımının bulunması durumunda bu isaisik verilen herhangi bir serinin birim köklü olmadığının sınanması için kullanılabilir. Burada n gözlem sayısı, ρˆ ise aşağıdaki serilerde yer alan ρ nun en küçük kareler ahmin 8

28 edicisidir. Dickey-Fuller esinin uygulanmasında aşağıda verilen serilerin her iki arafından da Y - çıkarılması ile elde edilen seriler kullanılır. Bu seriler birbirine eşdeğer serilerdir. Bu esin, aşağıda verilen üç seri içinρ, ρ µ, Fuller (976, 996) da ablo olarak verilmişir. ρ τ dağılım değerleri Beklenen değeri başlangıça sıfır olduğu varsayılan yani e WN(, σ )olmak üzere birinci dereceden ooregresif zaman serisi modeli, Y = ρ Y - + e =,,3, n şeklinde ifade edilsin. Zaman serisinin, her iki arafan da Y - çıkarıldığında, Y -Y - = Y = (ρ a - ) Y - + e Y = δ a Y - + e (.9) şeklinde yazılabilir. Yukarıda belirildiği üzere (.8) ile (.9) serileri arasında fark olmadığı görülür. Burada, H o : ρ = hipoezi, δ a =ρ a olduğundan H o : δ a = olarak kurulur (Harris 995). Bu hipoeze karşılık gelen isaisiği τ isaisiğidir. Yokluk hipoezinin reddedilip edilmediğini anlamak için Dickey and Fuller arafından hazırlanan τ ablosundan faydalanılır. Dickey and Fuller τ isaisiğini hesaplamak için ahmin edilen ρ kasayısını kendi sandar haasına böler. Yokluk hipoezi reddedildiğinde zaman serisinin birim köklü olmadığı anlaşılır. Bu durumda zaman serisi birim köklü olmadığından sandar - isaisiği kullanılabilir. Seride sabi erim yer alırsa, seri, Y = µ + ρy - + e şeklinde olur. Yokluk hipoezi ρ = ve alernaif hipoez ρ < şeklinde kurulur. Serinin her iki arafından da Y - çıkarıldığında seri, Y = µ b + δ b Y - + e 9

29 şeklinde yazılabilir. Burada Ho: ρ= hipoezi, δ b = ρ b - olduğundan H o : δ b = olarak ifade edilir. Bu hipoeze karşılık gelen isaisiği τ µ ve H o : µ b =δ b = hipoezine karşılık gelen F isaisiği φ olarak göserilmekedir. Bu isaisiklerin kriik değerleri Dickey and Fuller in hesaplamış oldukları ablolarda mevcuur. Seride sabi erim ve zaman rendi yer alırsa seri, Y = µ + γ + ρy - + e şeklindedir. Serinin her iki arafından da Y - çıkarıldığında, Y = µ c +γ c + δ c Y - + e serisi elde edilir. Burada H o : ρ= hipoezi, δ c = ρ c - olduğundan, H o : δ c = (ρ c -)= hipoezine dönüşmekedir. Dickey-Fuller ablolarında δ nin isaisiği τ τ şeklinde göserilmekedir. Ayrıca Dickey and Fuller (98) µ c = γ c = δ c = ve γ c = δ c = orak yokluk hipoezi için iki ane F isaisiği önermişlerdir. Bu isaisikler sırasıyla φ ve φ 3 şeklinde göserilmekedir. τ τ yokluk hipoezi alında φ ve φ 3, sandar ve F dağılımlarına sahip değildir. Bu nedenle Dickey and Fuller (98) arafından önerilen asimpoik dağılımlar kullanılır. Yukarıda belirildiği üzere Dickey Fuller esinin analizinde AR() zaman serisi göz önüne alınmışır. Eğer AR(p) zaman serisi göz önüne alınırsa, p = µ + γ + ρiy i i= Y + e şeklinde bir denklem elde edilir. Burada δ =(ρ -) olmak üzere,

30 Y = µ + γ + δ Y + p i= δ i Y i denkleminde, δ e uygulanan oranına dayalı eslere Gelişirilmiş Dickey-Fuller (Augmened Dickey Fuller) esleri denmekedir..4 Mevsimsel Zaman Serileri Zaman serilerinin çoğu yıl içerisinde belli bir seyir izlemekedir. Bir yıllık dönem içerisinde düzenli aralıklarla meydana gelen değişiklikler yani harekeler mevsimsellik olarak adlandırılır. Veriler, yılın bazı dönemlerinde diğer dönemlere göre daha yüksek veya daha düşük değerlere ulaşır. Birçok ekonomik veri dönemlere göre farklılık aşıdığından dolayı mevsimsel zaman serilerine uymakadır. Bu sebepen dolayı özellikle ekonomik veriler aylık, üç aylık ve alı aylık olarak üreilmekedirler. Örneğin, emek yoğun bir sekör olan arımda isihdam sayısı dönemler iibariyle önemli farklılıklar göserir. Sanayi kesiminde de üreim mikarı dönemlere göre aynı olmayabilir. Özellikle yaz aylarında yurdu ziyare eden uris sayısının armasıyla birlike döviz mikarındaki arışa bağlı olarak bazı ekonomik verilerde dönemlere göre farklılıklar görülür. Aylık ve üçer aylık zaman serilerinde sık raslanan mevsimsel görünüm, birbirini izleyen yılların aynı ayında veya aynı üçer ayında benzer şekilde görülmekedir. Bu gibi serilerde farklı yıllar için belli dönemler arasında korelasyon çıkığı gibi, birbirini izleyen aylar ve üçer aylar arasında da korelasyon oraya çıkmakadır. Zaman serileri analizinde ookorelasyon fonksiyonu ve kısmi ookorelasyon fonksiyonu serilerin modellenmesi için en önemli araçlardır. Bilindiği gibi MA serilerinde, gecikme sayısının MA serisinin derece sayısından büyük olması durumunda ookorelasyon fonksiyonunun değeri sıfır olmakadır. AR serilerinde ise gecikme sayısının AR serisinin derece sayısından büyük olması durumunda kısmi ookorelasyon fonksiyonunun değeri sıfır olmakadır. Buradan da serilerin derecelerinin belirlenmesi ve AR modeline mi yoksa MA modeline mi uygun olarak modelleneceğini anlaşılmakadır.. Faka öyle durumlar vardır ki ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon

31 değerlerinin hiçbiri sıfıra yaklaşmayabilir. Bu durumda serinin ARMA olarak modellenmesi gerekir. Model dereceleri de AIC (Akaike bilgi ölçüü) veya SIC (Schwarz bilgi ölçüü) gibi isaisiklerin aldıkları değerler yardımıyla ile belirlenebilir. Yalnız bazı durumlar vardır ki, ookorelasyon fonksiyonu periyodik bir şekilde azalır ve kısmi ookorelasyonlar da ilk birkaç gerilemede sıfır (veya sıfıra çok yakın ) değerini alarak hemen bir sıçrama yaparak ekrar sıfır değerini alabilir. Bu durumda serinin bir mevsimsellik göserdiği söylenebilir. Tabi bu verilerin zaman serisi grafiklerinde de anlaşılabilir. Faka serinin zaman serisi grafiği ookorelasyon fonksiyonu ve kısmi ookorelasyon fonksiyonu kadar belirleyici değildir. Model ürü hakkında bilgi sahibi oldukan sonra model derecelerinin belirlenmesi için serilere gecikme sayıları verilerek her bir gecikme sayısı için AIC veya SIC değerleri elde edilir. En küçük AIC veya SIC değerine sahip gecikme sayılı model en uygun model olarak kabul edilir. Bazı isaisiki sonuçların çıkarılabilmesi için serinin bazı varsayımları sağlaması gerekir. Bunların en önemlisi serinin durağanlık varsayımıdır. Eğer seri durağan değil ise önce durağanlaşırma yapılmalıdır. Bunun için ise en praik yol fark alma işlemidir. Yalnız fark alma işlemi yapılırken de serinin lineer AR serisi veya mevsimsel olması ayrıca dikkae alınmalıdır..5 Mevsimsel Birim Kökler Mevsimsel zaman serilerinde eğer seri birim köklü ise bu birim kökler ekrar eder. Aylık verilere uygulanan, e ~ WN (, σ ) olmak üzere (Y - µ)= α(y - -µ) + e şeklinde bir modelde α = ise model Y = Y - -µ şeklinde yazılır ve bu da durağan olmayan bir modeldir. Bu modelin karakerisik denkleminin ane kökü bulunmaka olup bunların hepsi mulak değer içinde olan birim köklerdir. Bu serinin durağan hale gelmesi için defa farkının alınması gerekir. Buradan Z = (-B) Y dönüşümü kullanılarak durağan hale geirilmesi düşünülebilir. Ancak bu dönüşüm sonucu çok karışık bir model oluşumu oraya çıkar. Dönüşümün durağanlığı sağlayamama durumu da olabileceğinden bu dönüşüm uygun bir dönüşüm değildir. Bunun yerine kullanılacak olan W = ( B )Y dönüşümü ise seriyi çok daha kolay yoldan durağan hale geireceğinden uygundur. Mevsimsel zaman serilerinde uygun fark almanın ve uygun dönüşümün belirlenmesi son derece önemlidir (Akdi 3).

32 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ ZAMAN SERİLERİ VE KOİNTEGRASYON 3. Vekör Zaman Serileri ve Durağanlık Bölüm de ek değişkenli zaman serileri ele alınmışı. Bu bölümde, birbirleri ile ilişkili olan değişkenler ile aynı anda gözlem elde edilebilen birden fazla değişkenli zaman serileri üzerinde durulacakır. k- boyulu bir rasgele vekör Y = (Y,Y,...,Y ) olmak üzere, k- boyulu bir zaman k serisi Y ~ : T nin beklenen değeri, µ = E Y ~ E(Y E(Y =.. E(Y,, k, ) ) ) şeklindedir. Benzer şekilde ookovaryans marisi, Γ ( h) = Kov( Y, Y ) + h Kov(Y,, Y. =.. Kov(Yk,, Y, + h, + h ) ) Kov(Y Kov(Y,... k,, Y, Y k,+ h k,+ h ) ) şekilde ifade edilir. Vekör zaman serilerindeki durağanlık anımı ile ek değişkenli zaman serileri için yapılan durağanlık anımı benzerlik göserir. 3

33 Tanım 3... k- değişkenli vekör zaman serisi, Y ~ : T olmak üzere, ) Vekör zaman serisine ai beklenen değer E Y = µ, den bağımsız, ) Kov( Y,Y ) + h den bağımsız, = E Y,Y -E Y +h ~ E Y sadece h ye bağlı olup, +h olma koşullarını sağlıyorsa Y vekör zaman serisi durağandır. Vekör zaman serisi durağan ise, her bir bileşeni durağandır. Faka bileşenler durağan ise, veköründe durağan olacağı anlamına gelmez. Çok değişkenli bir zaman serisinin durağanlık kavramının daha iyi anlaşılabilmesi için birinci dereceden vekör ooregresif VAR() zaman serisi, Y = A Y + e göz önüne alınsın. Burada A kasayılar marisi, Y değişkenler vekörü ve e erimi ise rasgele haalar vekörü olmakadır. Bu birinci dereceden VAR() ooregresif zaman serisinin durağan olabilmesi için A marisinin büün özdeğerlerinin mulak değer içinde den küçük olması gerekir. Eğer özdeğerlerden en az bir anesi veya den büyükse seri durağan değildir. 3. Koinegrasyon Kavramı Zaman serileri, kendi geçmiş değerlerine bağlı olduğu gibi aynı zamanda başka değişkenlere de bağlıdır. Yani bir zaman serisi başka değişkenlere bağlı olarak da gözlenebilir. Örneğin, imala sanayinde girdi ve çıkı değerleri ayrı ayrı gözlenir. Ancak, birbirleri ile ilişkili olduklarından dolayı bu değerlerin birlike ele alınmaları daha uygun olacakır. 4

34 Çok değişkenli zaman serilerinde en önemli amaçlardan biri serinin bileşenleri arasındaki ilişkinin belirlenmesidir. Tek değişkenli zaman serilerinde olduğu gibi durağanlığın sağlanması zorunludur. Çok değişkenli bir zaman serisi durağan olmamasına rağmen herhangi bir lineer dönüşümü durağan oluyorsa, isaisiki çıkarımlar genellikle bu dönüşüm üzerinde yapılmakadır. Dolayısıyla bu lineer ilişkinin durağan olması gerekmekedir. Çok değişkenli bir zaman serisi, T bir indis küme olmak üzere ifade edilir. Burada Y Y ~ : T şeklinde Y bir rasgele vekör olmak üzere iki boyulu bir zaman serisi, = (Y, Y ) şeklinde göserilebilir.,, Durağan olmayan Y zaman serisi d inci farkı alındığında durağan oluyorsa bu zaman serisinin d inci dereceden büünleşik (inegraed) olduğu söylenir ve Y ~ I() olarak göserilir. d Buna göre Y, ve Y, gibi iki zaman serisi göz önüne alınsın ve her ikisinin de. dereceden farkı alındığında büünleşik olduğu varsayılsın. Yani Y, I() ve Y, I() olduğu durumda bu iki serinin lineer kombinasyonlarının da I() olacağı beklenir. Faka iki değişken, λ gibi bir kasayı yardımıyla yani Z ~ I() Z = Y λy olmak üzere durağan oluyorsa o zaman Y, ve Y, serileri koinegrasyonludur denir (Pindyck and Rubinfeld 99). Burada λ kasayısı koinegrasyon kasayısıdır. Zaman serilerinin ikiden fazla olduğu durumlarda değişkenlerin lineer kombinasyonları durağan ise bu kasayı koinegrasyon vekörü adını alır.,, Yukarıda anlaılanların daha iyi anlaşılabilmesi için uygulamada karşılaşılabilecek basi bir örnek verilmişir. Aylık ihala mikarları Y,, aylık ihraca mikarları ise Y, ile göserilsin. Burada iki serinin aynı anda gözlendiği durumda iki seri arasında bir ilişkinin var olduğu görülür. 5

35 Bundan dolayı bu iki seriyi ayrı ayrı incelemek yerine iki serinin birlike incelenmesi daha uygun olacakır. Ayrıca yukarıda verilen örneke Y, - Y, farkı aynı zamanda ihraca açıklarını gösermekedir. Buradaki fark serisi Z = Y Y şeklinde yazıldığında ek değişkenli bir seriyi ifade emeke olup, Y, ve Y, serilerinin lineer kombinasyonu olmakadır. Y, ve Y, serilerinin her ikiside durağan olmamasına rağmen aralarında öyle bir ilişki bulunabilir ki bu lineer kombinasyon durağan hale gelir. Bu durumda bu iki boyulu seriye koinegrasyonludur denir. Elde edilen bu ek değişkenli yeni seri de ayrıca başka bir ekonomik değişken şeklinde ele alınmaka ve bununla ilgili sonuçlarda değerlendirilmekedir (Akdi 3).,, İki veya daha fazla zaman serisinin koinegrasyonlu olması, bunlar arasında uzun dönemli bir denge ilişkisi bulunduğu anlamına gelir. Her biri durağan olmayan iki veya daha fazla serinin arasındaki ilişkide bir dengenin (equilibrium) veya durağanlığın olduğunun anımlanmasına fırsa anıdığından dolayı koinegrasyon kavramı önemlidir (Gürbüz 997). Değişkenler arasında denge ilişkisinin bulunması, değişkenlerin koinegrasyonlu olduğunu ifade eder. Yani denge ilişkisi değişkenlerin birbirlerinden bağımsız olarak hareke edememesidir. Uzun dönemli denge, değişkenlerin zamanla denge ilişkisine doğru yaklaşması demekir. Koinegrasyon kavramı Holden and Thompson (99) arafından aşağıdaki gibi açıklanmışır. Tükeim ( C ), gelir ( Y ) ve oplam yağış mikarı ( R ) olmak üzere üç seri göz önüne alınsın. Her bir seri aran oralamaya sahip olduğundan zaman geçikçe seriler normal olarak değer bakımından da büyümekedirler. Toplam yağış mikarı ile ükeim arasında olduğu gibi eğer iki seri arasında herhangi bir ilişki bulunmuyorsa, bu serilerin büyüme oranları farklı olup bu iki seri grafik üzerinde birbirinden uzaklaşacaklardır. Doğal olarak bu durumda, bu iki seri arasında uzun dönemli sabi bir ilişkinin varlığını kabul edebilecek eorik bir neden bulunmamakadır. Oysa ükeim ile gelir arasında olduğu gibi, iki seri arasında herhangi bir ilişki varsa her iki seri zamanla değer olarak büyüdüğü halde bu iki seri grafik üzerinde birbirinden uzaklaşmayacakır. Bu olay basi ükeim fonksiyonunun, 6

36 C = α + βy +u sabi oralama, varyans ile durağan bir haa erimine ( u ) sahip olacağını ifade emekedir. Yani C ve Y zamanla büyüdüğü halde, haa erimi, u = C - α - βy büyümemeke ve sıfıra yakın bir değer almakadır. Yani zamandan bağımsız olmakadır. Eğer bu durum gerçekleşiyorsa, ükeim ve gelir serileri koinegrasyonludur denir. Bu da kısaca, uzun dönem boyunca C ve Y serilerinin birlike hareke emesi demekir. Toplam yağış mikarı ile ükeim gibi iki seri koinegrasyonlu değilse, haa erimi, v = C - γ - δr sabi oralama, varyans ve kovaryansa sahip olmadığından durağan olmayacakır. Dolayısıyla C ve R uzun dönemli bir incelemede birbirlerinden uzaklaşacakır (Kadılar 995, ). Modeldeki açıklayıcı değişkenlerin, bağımlı değişkeni açıklama derecesini göseren R isaisiği, zamana göre rend içeren yani durağan olmayan zaman serileri ile yapılan ahminlerde anlamlı bir ilişki olmasa bile çoğunlukla yüksek değerli olmaka ve ilişkiyi doğru olarak gösermemekedir. Bu durumda değişkenler arasındaki ilişkinin belli bir bölümü sahe (spurious) olmakadır. Engle and Granger (987) arafından iki zaman serisi için gelişirilen koinegrasyon anımı aşağıdaki gibidir; X ve Y gibi iki zaman serisinin lineer kombinasyonu koinegrasyonlu olup, d b durumunda X, Y CI (d,b) olarak göserilebiliyorsa,. Her iki zaman serisinde aynı dereceden büünleşikir. Yani X I(d) ve Y I(d) ise d X I() ve d Y I() olmalıdır. 7

37 . İki zaman serisinin lineer kombinasyonu α X + α Y olmak üzere (d-b) inci dereceden büünleşikir. Burada [α, α ] vekörü koinegrasyon vekörüdür. koşullarını sağlamalıdır. Yukarıda verilen anım n-boyulu zaman serileri için aşağıdaki gibi genelleşirilebilir. Vekör zaman serisi X =(X,, X,,..., X n, ) olarak ifade edildiğinde,. Her bir zaman serisi aynı dereceden büünleşikir. Yani X,, X,,...,X n, I(d) ise, d X,, d X,,..., d X n, I() olmalıdır.. Zaman serilerinin lineer kombinasyonu X α, (d-b) inci dereceden ~ büünleşik olup koinegrasyonludur ve CI (d,b) olarak göserilir. Burada n- boyulu α vekörü koinegrasyon vekörüdür. ~ X ve Y serilerinin büünleşme ve koinegrasyonlu olma durumları arasındaki çeşili olası durumlar aşağıda verilmişir (Charemza and Deadman 993).. Y () ve X I() ise u I() olur ve X ile Y serileri arasında koinegrasyon ilişkisi yokur.. X I() ve Y I() ise u I() olabilir. Bu durumda X ve Y serilerinin koinegrasyonlu olabilmeleri için koinegrasyon vekörünün [β,-] olması gerekir. 3. Y I() ve X I() ise u I() olup X ve Y serileri arasında koinegrasyon ilişkisinden söz edilemez. Çünkü X ve Y serileri durağandır. 8

38 4. Y I() ve X () ise u I() olup X ve Y serileri koinegrasyonlu değildir. İki zaman serisinin koinegrasyonlu olabilmeleri için aynı dereceden farklarının alınması durumunda durağan olmaları ve elde edilen haa eriminin I() olması gerekir. 3.3 Koinegrasyon Vekörünün Tahmini Y vekör zaman serisi durağan olmamasına rağmen herhangi bir lineer kombinasyonu olan β Y durağan oluyorsa Y zaman serisine koinegrasyonludur denir. Çünkü öyle bir β vekörü vardır ki Y zaman serisini durağan hale geirir. Buradaki koinegrasyon vekörü β bilinmeyen paramere olup ahmin edilmesi gerekmekedir. Bunun için çeşili ahmin eknikleri kullanılmakadır. Birinci dereceden vekör ooregresiv VAR() modeli, Y = A Y + e (3.) göz önüne alındığında burada e, oralama vekörü, varyans kovaryans marisi Σ olan ~ beyaz gürülü serisidir. Herhangi bir A marisi için AQ=QM olacak şekilde Q ve M marisleri bulmak mümkündür. Dolayısıyla A= QMQ - olarak yazılabilir. A marisinin özdeğerleri m m m k olduğunda M marisi, M=diag(m, m,..., m k ) olarak ifade edilir. Singular olmayan Q marisi ise A marisinin öz vekörlerden oluşurulan ek olmayan marisir. AQ=QM olduğundan A marisi A=QMQ - olarak yazılır ve A marisinin büün kuvveleri A j =QM j Q - şeklinde hesaplanır. A= QMQ - olduğundan dolayı (3.) modeli Y = QMQ - Y + e şeklinde yazılabilir. Burada Z = Q - Y dönüşümü yapıldığında, 9

39 Z = Q - Y = Q - (QMQ - Y + e = Q - QMQ - Y + Q - e Z = M Z + η elde edilir. Buna VAR modelinin Kanonik formu denir (Akdi 3). e bir beyaz gürülü serisi olduğundan η = Q - e olup, η de oralaması, varyans kovaryans marisi Σ η = Q - Σ Q - olan bir beyaz gürülü serisidir. Yine birinci dereceden vekör ooregresif model, Y = A Y + e göz önüne alındığında, e bağımsız ve oralaması, varyans kovaryans marisi Σ olan beyaz gürülü serisi olsun. Burada A marisinin bilindiği durumda, birinci dereceden vekör ooregresif zaman serisinin bazı özelliklerinin daha iyi görülebilmesi için aşağıda verilen dör ayrı örnek incelenecekir. Örnek a) A marisi olarak.3.6 A=.7 alınsın. Yani model, birinci dereceden vekör ooregresif zaman serisi Y Y = Y.3 =.6 Y.7 Y e +,,, e,,, 3

40 şeklinde olsun. A marisinin özdeğerleri, mi A = (m-.3)(m-.7)= karakerisik denkleminden m =.3 ve m =.7 olarak bulunur. Her iki köke birbirinden farklı ve den küçükür. Bundan dolayı M marisi M=diag (.3,.7) şeklinde alınmış ve özdeğerler kullanılarak elde edilen özvekörlerin oluşurduğu Q marisi (Au = mu) denklem sisemi çözülerek, u u Q =, u u.3.6 u.7 u u =.3 u u = ve u = ve.3.6 u.7 u u =.7 u u =3/ ve u = olmak üzere Q = 3/ olarak bulunur ki A = QMQ - şeklinde yazılır. Bu Q marisi ek değildir. Eğer Z = Q Y dönüşümü yapılırsa Z = M Z + η kanonik formu, yani Z Z = Z.3 = Z.7 Z η + η.3z =.7,,,,,,, Z, + η + η,, 3

41 elde edilir. Her iki köke den küçük olduğundan Z, ve Z, durağandır. Geri dönüşüm yapılarak ekrar Y modeline dönüldüğünde, Y = Q Z olduğundan model, Y Y = Y, = 3/ Z Z Z, + 3/ Z =, Z,,,, şeklinde yazılır. Burada Y serisi durağandır. b) A marisi olarak.3.5 A=.3.5 alınsın. Yani model, Y = Y.3 =.3.5 Y.5 Y e +,,, e,,, Y şeklinde verilmiş olsun. A marisinin özdeğerleri, mi A = karakerisik denkleminden m = ve m =.8 olarak bulunur. Her iki köke birbirinden farklı ve bir anesi e eşiir. M marisi M=diag (,.8) şeklinde alınmış ve özdeğerler kullanılarak elde edilen özvekörlerin oluşurduğu Q marisi 5/ 3 Q = olarak bulunur ki A = QMQ - şeklinde yazılır. Buradaki Q marisi ek değildir. 3

42 Eğer Z = Q Y dönüşümü yapılırsa Z = M Z + η kanonik formu, Z = Z Z,,7 = Z.8 Z,, η + η,, Z, =.8Z, + η, + η, elde edilir. Z, birim köklüdür yani durağan değildir, Z, ise durağandır. Geri dönüşümle ekrar Y modeline dönüldüğünde Y = Q Z olduğundan model, Y Y = Y,, 5 / 3 = Z Z,, = 5 / 3Z Z, + Z + Z,,, şeklinde yazılır. Y, ve Y, bileşenlerinde durağan olmayan Z, bulunduğundan Y durağan değildir. Ancak, Y, - 5/3 Y, = [Z, - 5/3 Z, ] = [- 5/3] Z, = -/3 Z, şeklinde elde edilen W = Y, - 5/3 Y,, fark serisi durağandır. rağmen koinegrasyon vekörü Y durağan olmamasına β ' = (,-5/3) olmak üzereβ ' Y durağandır. Yani iki boyulu zaman serisi, Y koinegrasyonludur. Bir paramere olan koinegrasyon vekörü bilinmediğinden ahmin edilmesi gerekmekedir. c) A marisi olarak A= alınsın. Yani model Y = Y = Y Y e +,,,,, e, Y 33

Daha göster