BÖLÜM 3 SIKIŞTIRILAMAZ POTANSİYEL AKIM DENKLEMLERİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ

Transkript

1 BÖLÜM SIKIŞTIRILAMAZ POTANSİYEL AKIM DENKLEMLERİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ. Poblemin tanımlanması. Geen idantitesine daanan genel çöüm. Çöümün metodolojisi. Temel çöüm - Noktasal kanak.5 Temel çöüm - Noktasal duble.6 Temel çöüm - Polinomla.7 Temel çöümlein iki-boutlu hallei.8 Temel çöüm - Gidap.9 Süpepoison ilkesi:. Kanakla sebest akımın süpepoisonu Rankine ovali. Duble ile sebest akımın süpepoisonu Daiesel silindi etafında akım. Üç-boutlu duble ile sebest akımın süpepoisonu Küe etafında akım. Küe ve daiesel silindi etafındaki akımla için baı uaıla. Temel çöümlein üe dağılımlaı UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

2 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - BÖLÜM SIKIŞTIRILAMAZ POTANSİYEL AKIM DENKLEMLERİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ Önceki iki bölümde akışkanla dinamiğinin temel denklemlei fomülleştiilmiş basitleştiilmiş visko-olmaan sıkıştıılama ve çevisi iotasonel-potansiel akımı veen koşulla tatışılmıştı. Bu bölümde potansiel akım pobleminin basit çöümleinin elde edilmesi için temel metodoloji geliştiilecekti. Potansiel akım pobleminin linee tabiatı nedenile difeansiel denklemin faklı sını geometileine sahip akım alanlaı için münfeit olaak çöülme ounluluğu oktu. Bunun eine geometik sını koşullaı sağlanacak biçimde elemante çöümlein dağılımından aalanılacaktı. Şiddeti bilinmeen elemante çöümlein dağılımı şeklindeki bu aklaşım geek klasik geekse nümeik öntemlede daha sistematik bi çöüm öntemini otaa koa.. Poblemin tanımlanması: Çoğu mühendislik ugulamalaında poblem Şekil. de göüldüğü gibi içeisinde bi katı cisim bulunan ve bi dış sınıa sahip olan bi υ akışkan bölgesinde çöümü geektii öneğin üga tünelinde bi kanat gibi. P n ε S K n Şaet akım sıkıştıılama ve iotasonel kabul edilise süeklilik denklemi Laplace denklemine indigeni: n S B S W S. υ Akışkan içeisine gömülü bi cisim halinde cismin üei üeindeki ve başka katı cidala üeindeki dik hı bileşeni sıfı olmalıdı. Cisme bağlı eksen takımında bu sını şatı Şekil. n. şeklinde aılabili. Buada n nomal vektöü olup cisme bağlı eksen takımında hesaplanmaktadı. Aıca haeketten oluşan bountula cisimden çok uaklada ok olacaktı. Lim v. UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

3 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - Buada olup v de υ hacmi içeisinde boulmamış akım ile cisim aasındaki iafi hıı vea cisimle haeket eden bi gölemcie göe sonsudaki akım hıı belitmektedi.. Geen idantitesine daanan genel çöüm: Şekil. deki tipik potansiel akım pobleminde sınılaı S B ve i sınılaı S W ile belitilen bi katı cisim etafında dış sınıı S ile belitilen υ akışkan hacmi içeisinde Laplace denkleminin çöümü sö konusudu. S B ve S da. ve. sını koşullaı ugulanacaktı. Yüein n nomali daima ilgilenilen υ bölgesinden dışaıa doğu önlenmiş olacaktı. S υ n P S B S W n Hehangi bi A vektöü için divejans teoemi S n A ds V A dv Şekil. şeklinde ifade edilmişti. Şimdi A vektöü eine ve konumun bie skale fonksionu olmak üee şeklinde tanımlanan bi vektö alınısa S S dυ n ds υ dυ n ds υ υ dυ. elde edili. Bu bağıntı Geen ödeşlikleinden biisidi Bk: Kellog OD Foundations of potential theo Dove 95 safa 5. Buadaki üe integali bi S W i modeli de üeinde hı potansieli vea hı için süeksiliğin sö konusu olduğu bi sını dahil olmak üee bütün SS B S W S sınılaı bounca alınmaktadı. ilgilenilen υ hacmi içeisindeki potansiel fonksionu ve de Şekil. de gösteilen P noktasından sınıla üeindeki noktalaa olan uaklık olmak üee ve fonksionlaı için sıasıla.5 UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

4 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - alınısa P noktasının υ hacmi dışında olması halinde he iki fonksion da Laplace denklemini sağlaacağından. denkleminin sağ taafı sıfı olu. S n ds.6 P noktasının υ hacmi içeisinde olması hali öel ilgi çeke. Bu duumda P noktası şekilde göüldüğü gibi ε aıçaplı bi küe içeisine alınaak integason bölgesinden iole edili. υ hacminin içeisinde bu küe dışında kalan bütün noktalada / fonksionu Laplace denklemini ine sağla [ / ] P n n ε S K S B S W υ n S Bölece S küe n ds.6a Küe üeindeki integal için küe mekei başlangıç noktası olmak üee bi küesel koodinat sistemi seçilise nomal vektöü küe içine doğu önelmiş olduğundan n e ve aıca n n e n olup bu integal sonuçta SK ds S n ds.6b şekline getiilebili. Çok küçük aıçaplı ε bi küe içeisinde nin fala değişmeeceği düşünülüse bu integaldeki ilk teim sıfı olduğu gibi ikinci teim içeisinde sabit olduğu kabul edilen büüklüğü integal dışına alınaak I K P ε SK P ds ε ε P elde edili..bölece.6b eşitliği şekline geli. P n ds.7 S UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

5 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - P noktasının S B katı cidaı üeinde olması halinde noktaı iole etmek için bu defa P mekeli ve ε aıçaplı bi aım küe kullanılacağından.7 bağıntısı eine P n ds.7a bağıntısı elde edili. S Bu son iki bağıntı υ kontol hacminin içinde ve katı cida üeinde e alan noktaladaki potansiel fonksionunun değeini sınıla üeindeki ve / n değelei cinsinden vemektedi. Şimdi S B katı sınıının iç taafında υ hacminin dışı potansiel fonksionu i ile gösteilen bi iç akımı gö önüne alalım. Bu akımda S B nin dışında υ hacmi içinde e alan bi P noktası için.6 denklemi ugulanaak P S B i i n ds.7b n S B aılabili. Buada nomal vektöü S B katı sınıından dışaı doğu υ hacminin içine doğu önlenmektedi. υ Şimdi de S B katı sınıının dış taafında ve iç taafında akımla olduğunu düşüneek he iki akımın υ hacmi içeisindeki bi P noktasında aattığı potansieli elde etmek için.7 ve.7b bağıntılaını bileştielim. Bu bileştime sıasında.7b bağıntısındaki nomal vektöünün doğultusu.7 bağıntısındaki ile ıt önde olduğundan bi eksi işaeti geleceği göden kaçıılmamalıdı. Bölece P n S B S W υ n S P i i n ds n ds.8 SB SW S elde edili. Buadaki S sınıının genellikle katı cidadan çok uaklada olduğu kabul edileek bu cida üeindeki integalin katkısı kısaca P n ds.9 S şeklinde belitili. Bu potansielin değei seçilen eksen takımına bağlı olup öneğin haeketsi bi akışkan içeisinde haeket eden bi cisme bağlı eksen takımında değei ünifom-paalel akıma potansiel fonksionunun değei olacaktı. Aıca i üeinin çok ince olduğu kabul edileek bu üei geçeken üee dik doğultuda nin değişmediği / n kabul edili. Bölece.8 bağıntısı UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

6 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -5 P şekline geli. S B SW i i n ds n ds P.. denklemi ve daha önce çıkatılan.7 denklemi potansiel fonksionunun he hangi bi P noktasındaki değeini sınıla üeindeki ve / n değelei cinsinden vemektedi. Bu duumda poblem sınıla üeinde bu büüklüklein hesaplanması poblemine indigenmişti. Katı cidaın Şekil. de gösteildiği gibi bi paçasını gö önüne alaak dış ve iç potansiel aasındaki fakı ve dış ve iç potansiellein nomal doğultusundaki tüevlei aasındaki fakı sıasıla µ i. i. n n i n n Şekil. i n S B şeklinde gösteelim. Bu büüklükle liteatüde sıasıla duble µ ve kanak olaak adlandıılmakta olup bu bağıntıladaki eksi işaetlei nomal vektöünün S B sınıından içeie doğu önlenmiş olmasından kanaklanmaktadı. Duble ve kanak öelliklei ileideki bölümlede incelenecekti. Bu tanımlala. denklemi P n ds n ds P µ µ S B S W. şeklinde aılabili. Buadaki n vektöü üein duble önünde önlenmiş nomali olup n eine / n alınaak bu ifade P ds ds P µ n n µ S B S W.a şekline geli. Bu bağıntıdaki kanak ve duble çöümleinin için sıfıa gideek. sını şatını otomatik olaak sağladıklaı göülmektedi. υ hacmi içeisinde bi P noktasındaki hı potansielini bulmak için üe üeindeki kanak ve duble şiddetleinin belilenmesi geeklidi. Ancak. vea a denklemi genel bi denklem olup bi tek kanak ve duble kombinasonunu ifade etme. Öel bi poblem için UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

7 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -6 poblemin fiiğine bağlı olaak geekli kanak ve duble dağılımının. sını şatı vasıtasıla belilenmesi geeki. Öneğin öel olaak S B üei bounca n i n alınabili. Bölece S B üeindeki kanak teimi ok olu ve sadece duble dağılımı kalı. Vea S B üeindeki potansiel i şeklinde tanımlanabili ki bu duumda da S B üeinde duble ok olu ve poblem sadece bi kanak dağılımı ile temsil edili. İki Boutlu Hal: İki-boutlu halde kanak fonksionu ln olup.5 ile gösteilen iki fonksion ln. şekline geli. Aıca P noktası bu defa ε aıçaplı bi daie ile iole edili. Bu duumda.6b denklemindeki üe integallei çigisel integallee dönüşü ve daie etafında integal alınaak.6b denklemi ε daiesi ln ds [ ln ln ] n ds S.5 şekline geli. Üç boutlu halde küe üe alanının ε olmasına kaşılık iki-boutlu halde daie çeve uunluğu ε olduğundan üç-boutlu haldeki.7 denklemi de P [ ln ln ] S n ds.6 şeklini alı. P noktasının S B sınıı üeinde olması halinde integason ε aıçaplı bi aım daie üeinde alınacağından.6 denklemi P [ ln ln ] S n ds.6a vea S B sınıının içeisinde potansieli i ile belitilen bi iç akım olması halinde [ ln i i ln ] S n ds.6b UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

8 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -7 olu. Sonsudaki sını bounca integal değei olmak üee ve ine kanak ve duble tanımlaı kullanılaak.a denkleminin iki-boutlu halde kaşılığı olan bi denklem P ln µ P n n ln ds µ ln ds S B S W.7 şeklinde elde edili.. Çöümün Metodolojisi:. denklemi çeçevesinde iki-boutlu halde.7 denklemi sıkıştıılama potansiel akım poblemleinin çöümüne genel bi aklaşım otaa komak mümkündü. Yukaıdaki en önemli gölem Laplace denkleminin çöümünün sınıla üeinde S B S W aılı elemante çöümlele kanak ve dublele elde edilebileceği önündedi. Bu elemante çöümle da sıfıa giden hı alanlaı nedenile. sını şatını otomatik olaak geçeklemektedi. Ancak için hı alanı tekillik göstediğinden bu elemanlaa tekil çöüm adı da veilmektedi. Genel çöüm elemante çöümlein biat üeinde bulunduklaı üele bounca integasonlaını geektimektedi. Bölece bi akışkanla dinamiği poblemi bilinen sınıla bounca ugun tekillik dağılımlaının. sını şatı sağlanacak biçimde bulunması poblemine indigenmişti. Bu fomülasonun esas avantajı nümeik öntemlee doğudan ugulanabilmesidi. Sınılada potansiel fonksionunun belitilmesi halinde matematiksel poblem Diichlet poblemi olaak anılmakta olup Kellog[.] safa 86 çoğu nümeik çöümde kullanılmaktadı. Çöüme fiiksel bakımdan daha dolası bi aklaşım sını şatının katı cidala bounca üee dik hı bileşeninin sıfı olması şeklinde ugulanmasıdı. Bu duumda poblem Neumann poblemi Kellog[.] safa 86 olaak bilini ve hı alanına geçmek için potansiel fonksionu tüetileek SB ds SB SW µ ds n.8 bağıntısı elde edili. Yine bu ifadedeki / n tüevi dublenin Bölüm.5 de gösteilecek olan önünü belitmektedi. Bu denklemin. sını şatında kullanılması suetile bilinmeen tekillik dağılımının analitik vea nümeik çöümü için geekli denklem elde edili. Veilen sını şatlaı için ukaıdaki çöüm tekniği tek unique olmaıp çoğu poblem bi tek tüde tekillik kullanaak vea iki tip tekilliğin linee kombinasonlaı alınaak çöülebili. Bu bakımdan çoğu halde ilave şatlaa ihtiaç vadı öneğin kanatlaın keskin fia kenaındaki Kutta şatı gibi. Aıca sını şatlaının akım alanının çeşitli bölgeleinde kaışık kullanımı olabili öneğin bi sınıda Neumann tipi diğeinde Diichlet tipi gibi. Çöümün bu genel metodolojisine geçmeden önce ileen paagaflada elemante çöümle incelenecekti. UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

9 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -8. Temel Çöüm - Noktasal Kanak:. denkleminde geçen iki temel çöümden biisi kanak/kuu çöümüdü. Şekil.a da göüldüğü gibi bi küesel koodinat sisteminin başlangıç noktasında e alan şiddetindeki bi noktasal kanak için potansiel fonksionu.9 şeklindedi. opeatöünün küesel koodinatlada e e e ϕ sin ϕ.9 ile veilen şekli buada kullanılaak sadece adal doğultudaki bileşenden ibaet olan hı alanı q Sb q Akım çigilei a b Şekil.: Noktasal kanak e V. vea v v v φ. şeklinde elde edili. Şekil.b de de göüldüğü gibi adal hı /² ile oantılı olup da tekillik göstemektedi. Başlangıç noktasında e alan şiddetindeki kanak elemanı nedenile aıçaplı küesel üeden geçen hacimsel debi v UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

10 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı -9 olu. Buna göe poitif bi değei kanaktan çıkan hacimsel debi negatif bi ise kuudan kabolan hacimsel debi anlamına gelmektedi. Kanaktan akışkan çıkması vea kuudan kabolması süeklilik denklemini ihlal etmekte olup bu noktanın çöüm bölgesi dışında tutulması geekmektedi. Şaet noktasal kanak/kuu başlangıç noktasında değil de başka bi noktasında bulunusa potansiel ve hı sıasıla. V. olu. Bu denklemlein kateen fomu olmak üee potansiel için. ve hı bileşenlei için [ ] u /.5a [ ] v /.5b [ ] w /.5c şeklindedi. Noktasal kanak/kuu elemanı panel öntemleini kumak üee bi l çigisi vea S üei bounca vea bi υ hacmi içeisinde intege edilebili: l dl.6 S ds.7 V dv.8

11 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - Bu bağıntıladaki büüklüklei biim uunluk biim alan vea biim hacim başına kanak/kuu şiddetini belitmektedi. Bu dağılımlaın indüklediklei hı bileşenlei de potansielin u v w şeklinde tüevi alınaak elde edilebili..5 Temel Çöüm - Noktasal Duble:. denklemindeki ikinci temel çöüm µ n.9 şeklindeki noktasal dubledi. Dikkatli bi inceleme apılısa duble n kanak P olduğu göülebili. Yani duble elemanı kanak elemanından elde edilebili. Bu amaçla başlangıç noktasında e alan şiddetindeki bi noktasal kuu ile l konumunda e alan anı şiddetteki bi noktasal kanağı gö önüne alalım Şekil. Bu iki elemanın bi P noktasında aattığı potansiel -l l. olu. Şimdi kanakla kuu l olacak şekilde bibiine aklaştıılıken l µ Sb olacak şekilde apılaak limit alınısa potansiel fonksionu l cosϑ ϑ Başlangıç noktasında kuu l Şekil.: Kanak ve kuu kombinasonu e l µ Lim l l l l olu. l mesafesi sıfıa aklaşıken l l l cosϑ UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

12 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - olacağından potansiel fonksionu sonuçta µ cosϑ. şekline geli. Buadaki ϑ açısı kuudan kanağa doğu önelmiş olan e l biim vektöü duble ekseni ile vektöü aasındaki açıdı. µ µ e l şeklinde vektöel bi duble şiddeti tanımlanaak bu son bağıntı µ. şeklinde de aılabili. Bu duble elemanının e l doğultusunun n doğultusu ile anı olması halinde. denklemindeki ikinci teim ile eşdeğe olduğu belitilmelidi. Buna göe olu. el e l n kanak. Öneğin başlangıç noktasında e alan ve şiddeti µ vektöüle belitilen dublenin ekseni eksenile çakışık e l e ve ϑ olup küesel koodinatlada potansieli µ cos ϕ. olu. Aıca hehangi bi doğultuda önlenmiş µ şiddetindeki duble kateen koodinatlada eksenle doğultusunda önlenmiş olan ve sıasıla µ ; µ ; µ şeklinde belitilen üç duble elemanının kombinasonu olula da ifade edilebili. Bu üç dublenin hebii için. denklemi kullanılaak vea.9 denkleminde / n eksen doğultusunda tüev olmak üee alınaak çeşitli elemanla tüetilebili. başlangıç noktasında e alan bu gibi dublele için hı potansieli µ µ.5 n n / n tüevi doğultulaında alınaak µ / / /.6 UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

13 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı - elde edili. Bu bağıntı göstemektedi ki duble elemanı adal bi simetie sahip olmaıp doğultusal öelliğe sahipti. Bu üden kateen koodinatlada üç eleman hebii ve doğultulaında önlenecek biçimde tanımlanı Öneğin Şekil.5 de doğultusunda önlenmiş eleman göülmektedi..6 denkleminden doğultusunda tüev alınaak hı potansieli için [ ] / µ.7 elde edili. Benei biçimde ve doğultusundaki tüevleden de [ ] / µ.8 [ ] / µ.9 bulunu. doğultusundaki noktasal dublenin Şekil.5 küesel koodinatladaki hı bileşenlei q µ cos. q µ sin. q ϕ ϕ sin. şeklinde hesaplanabili. Bu duble için kateen koodinatladaki hı bileşenlei de.7 bağıntısından tüev alınaak µ Şekil.5: doğultusundaki dublenin akım çigilei [ ] 5 u / µ. [ ] 5 v / µ. [ ] 5 v / µ.5 şeklinde bulunu.

14 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - Yine panel öntemlei kugulama için bu noktasal duble bi çigi bi üe vea bi hacim üeinde intege edilebili: µ / l [ ] µ / S [ ] V µ dl ds [ ] dv / Temel Çöüm - Polinomla: Laplace denklemi ikinci deeceden bi difeansiel denklem olduğundan A B C.9 şeklindeki linee bi konum fonksionu da bu denklemin bi çöüm olabili. Bu akım için hı alanı da u A U ; v B V ; w C W.5 şeklindedi. Buada U V W sıasıla ve doğultusundaki sabit hı bileşenleidi. Buna göe doğultusunda sabit hılı bi akım için potansiel fonksionu U.5 şeklindedi. Hehangi bi doğultudaki akım için bu bağıntı U V W.5 şeklinde genelleştiilebili. Benei şekilde polinomik çöümle düşünülebili. Öneğin A B C sabitle olmak üee A B C.5 şeklinde ikinci-deeceden bi polinom dikkate alınısa süeklilik denkleminin sağlanması için A B C.5 olmalıdı. Bu koşulu sağlaacak çok çeşitli kombinasonla bulunabili. Bununla bilikte sabitleden biinin sıfı olması öneğin B halinde ilginç bi akım elde edili. Bu duumda potansiel fonksionu A A C.5 UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

15 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - ve - dülemindeki bu akım için hı bileşenlei u A v u A.5 şeklinde bulunu. Akımı göüntülemek için.6a akım çigisi denkleminde hı bileşenlei eleştiileek ve intege edileek d d d d u w A A sb D.56 çöümü elde edili. D... gibi çeşitli sabit değele için elde edilen akım çigilei Şekil.6 da göülmektedi. - düleminin öneğin sadece sağ üst çeeğindeki çöüm alınısa bi dike köşe içindeki potansiel akım sadece üst aısı alınısa dü duvaa doğu gelen akımdaki duma noktası çöümü elde edili. Çöümde için uw olup eksen takımının başlangıç noktası duma noktası eksenle de duma akım çigileidi. - - D - µ - D Şekil.6: sb ile tanımlanan akım çigilei.7 Temel çöümlein iki-boutlu hallei: Kanak: Üç-boutlu halde bi kanak elemanının sadece adal doğultulada hı bileşeni olduğu göüldü. Bu nedenle iki-boutlu halde de - koodinat sisteminde teğetsel hı bileşeni q dı. Akımın çevisi iotasonel olması şatı q q q ω vei. Buna göe -doğultusundaki hı bileşeni sadece nin fonksionu olmalıdı: q q Bu adal hı bileşeni aıca.5 süeklilik denklemini sağlamalıdı. dv v d d d V v. Bu bağıntı da v sb olacağını göstemektedi. Biim deinlikte ve aıçaplı daie çembei üeinden geçen hacımsal debi olmak üee buadaki sabitin değei v sb / olu. Bölece başlangıç noktasında e alan kanağa ait hı bileşenlei için v.57 UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

16 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -5 v.58 ve bu iki bağıntı intege edileek hı potansieli için ln C.59 elde edili. Buadaki C sabitinin değei sıfı alınabili. Kanağın şiddeti kanak taafından sokulan akıı temsil eden büüklüğüdü. Bu husus R aıçaplı bi daie çembeini geçen akı dikkate alınaak gösteilebili. Daie çembei üeindeki hı.57 denklemine göe / olup akı için de elde edili. v R R R Bölece akım hıı üç-boutlu halde olduğu gibi sadece adal doğultudadı ve kanak mekeinden olan uaklıkla / ile oantılı olaak aalı. da hı sonsu olup bu tekil nokta çöüm bölgesinin dışında tutulmalıdı. Kateen koodinatlada noktasında e alan bi kanak için ukaıdaki bağıntıla ln.6 u v.6 şeklinde elde edilebili..6 İki-boutlu halde hı bileşenlei akım fonksionunun tüevi alınaak da bulunabili. Başlangıç noktasında e alan kanak için.8ab bağıntılaından Ψ v.6 v Ψ.6 aılabili. Bu bağıntıla intege edileek ve ine integal sabiti sıfı alınaak akım fonksionu UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

17 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -6 şeklinde elde edili. Ψ.65 İki boutlu kanak için.65 bağıntısından elde edilen akım çigilei ve.59 bağıntısından elde edilen potansiel çigilei üç-boutlu haldekinin benei olup biçimsel olaak Şekil.a da gösteilmişti. Duble: Şekil.7 de gösteilen iki-boutlu duble anı şiddetteki bi kanak ile bi kuu aalaındaki uaklık ile şiddetlei çapımı sabit kalacak biçimde bibileine aklaştıılaak elde edilebili. Üç-boutlu duble halinde. bağıntısı ile veilen potansiel fonksionu ikiboutlu duble için µ.66 şekline geli. Bu bağıntı iki-boutlu kanağa ait ukaıda bulunan potansiel fonksionu. bağıntısında eleştiilip ln.67 n Akım çigilei Potansiel çigilei Şekil.7: İki-boutlu duble buadaki kanak şiddeti eine µ duble şiddeti aılaak doğudan da elde edilebili. Önek olaak n vektöü doğultusunda seçileek µ µ başlangıç noktasındaki duble için.66 bağıntısı µ cos.68 şekline geli. Hı alanı da bu bağıntıdan tüevle alınaak q µ cos.69 q µ sin.7 şeklinde bulunabili. Başlangıç noktasındaki bu duble için kateen koodinatladaki bağıntıla µ.7 UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

18 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -7 µ u µ w [ ] [ ].7.7 şeklindedi. Bu duble elemanına ait akım fonksionunu çıkatmak için ukaıdaki hı bileşenlei akım fonksionunun tüevleine eşitleneek v v Ψ µ sin Ψ µ cos.7.75 ve bu denklemle integal sabiti sıfı seçilip intege edileek µ sin Ψ.76 elde edili. µ µ şeklindeki bi duble için benei bağıntıla.66 vea.67 bağıntılaından haeketle çıkatılabili..8 Temel Çöüm - Gidap:. ve.7 denklemleile gösteildiği gibi Laplace denkleminin temel çöümlei sadece kanak ve duble dağılımlaı içemektedi. Ancak Bölüm.6 da ifade edildiği gibi Laplace denkleminin başka çöümlei mümkün olup ve Bölüm. da iah edilen gidap akımlaına daanmaktadı Üç-boutlu hı alanı Bölüm. de Biot-Savat kanunu ile veilmişti. Buada Şekil.8a da gösteildiği gibi sadece teğetsel hı bileşeni bulunan ve bu hıı iki-boutlu kanağın adal hıına bene şekilde mekeden uaklaştıkça aalan ani / ile değişen bi noktasal gidap elemanına ait potansiel fonksionu elde edilecekti. Γ > Potansiel çigilei q q -Γ / v v v a Akım çigilei b Şekil.8: Noktasal gidap UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

19 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -8 Bu hı bileşenlei.5 süeklilik denkleminde kullanılaak v v ve iotasonel akım için gidaplılık bağıntısında kullanılaak ω v v v bulunu. Bu eşitlik e göe intege edileek v sb A elde edili. Göüldüğü gibi hıın şiddeti kanak halindeki adal hıda olduğu gibi / ile değişmektedi. Buadaki A sabitinin değei sikülasonun tanımı için veilen.6 bağıntısı adımıla hesaplanabili. Γ V dl v da Γ sikülasonu sağ-el kualına göe saat ibelei önünde poitif işaetli kabul edilmektedi. Bu nedenle Şekil.8 deki - düleminde çigisel integal nın atış önüne ıt önde hesaplanmıştı. Sonuç olaak A sabitinin değei ve hı alanı Γ A v.77 v Γ.78 Beklendiği gibi teğetsel hıla Şekil.8b de gösteildiği gibi / ile oantılı olaak aalmaktadı. Başlangıç noktasındaki gidap elemanı için hı potansieli de.77 ve.78 denklemleini integasonula elde edili: Γ v d C C.79 Buada C kefi bi sabit olup değei sıfı alınabili..79 denklemi göstemektedi ki gidap elemanının hı potansieli çok-değelidi ve değei gidap noktası etafında kaç tu atıldığına bağlıdı. UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

20 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -9 q dl Büüklüğü bi gidap etafında gidap mekeini içine alan bi kapalı eği bounca intege edilise sikülasonun sonlu büüklükte olduğu göülü. Gidaplılık gidap mekeinde sıfı alana sahip bi noktada oğunlaşmıştı. Bu noktaı içine almaan hehangi bi kapalı eği bounca alınan integasonun sonucu sıfıdı Bölüm. da ve Şekil.a da gösteildiği gibi. Dolaısıla gidap Laplace denkleminin bi çöümüdü ve gidap akımı gidap mekei haiç iotasonel bi akımdı. Kateen koodinatlada başlangıç noktasında e alan bi gidabın potansieli ve hı bileşenlei Γ tan.8 Γ u Γ w.8.8 şeklindedi. - eksen takımında başlangıç noktasında e alan iki-boutlu gidabın akım fonksionunu elde etmek için hı bileşenlei akım fonksionunun tüevleine eşitleneek v Ψ Γ Ψ v.8.8 ve bu ifadele integal sabiti sıfı olmak üee intege edileek Γ Ψ ln.85 bulunu. Akım çigilei Şekil.8 de biçimsel olaak gösteilmişti..9 Süpepoison ilkesi: Şaet n linee bi denklem olan. Laplace denkleminin çöümlei ise n k k c.86 k fonksionu da anı bölge içinde Laplace denkleminin bi çöümüdü. Buada c c c n kefi sabitle olup; UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

21 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - n c k k k dı. Bu husus Laplace denkleminin çok önemli bi öelliğidi. Zia bi takımı elemante çöümle elde ettikten sona veilen sını koşullaının sağlanması poblemi bu elemante çöümlein doğu kombinasonlaının cebisel olaak aaştıılması poblemine indigenmektedi.. Kanakla sebest akımın süpepoisonu Rankine ovali P Süpepoison ilkesinin kullanımına ilk önek olaak Şekil.9 da gösteildiği gibi ekseni üeinde - noktasında e alan şiddetindeki bi kanak noktasında e alan şiddetindeki bi kuu ve ekseni doğultusunda akmakta olan U hıındaki sebest akımın süpepoisonunu gö önüne alalım. Bu akım için hı potansieli U - - Şekil.9: Sebest akımla kanak ve kuunun süpepoisonu U ln ln.87 şeklindedi. Buada Ψ U di. Akım fonksionu da.88 şeklinde aılabili. Buada da tan ve tan dı. Bu büüklükle kullanılaak hı potansieli ve akım fonksionu ifadelei ln U ln.87a Ψ U tan tan.88a şekline geli. Hı alanı potansiel vea akım fonksionundan tüev alınaak elde edilebili: u U.89 UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

22 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - w.9 eksenine göe simetiden dolaı duma noktalaı ekseni üeinde kanak ve kuu konumlaına göe daha dış konumlada öneğin ±a noktalaındadı. Bu noktalada w hı bileşeni de otomatik olaak sıfıdı. Hıın u bileşeni sıfıa eşitleneek bu a uaklığı bulunabili: u ± a U U ± a ± a a a U.9 Duma akım çigisi üeinde akım fonksionunun değei.88 denklemi soldaki duma noktasında ve değelendiileek Ψ olmak üee elde edilebili. Bu değein sağdaki duma noktasında da ve anı olduğu gösteilebili. Bölece duma akım çigisinin denklemi Ψ U tan tan.9 olu. Duma akım çigisi kapalı bi oval şeklini de içemekte olup bu eği liteatüde Rankine ovali olaak adlandıılmaktadı W.J.M. Rankine ondokuuncu üılda aşamış bi İskoç mühendisti. Bu akıma ait akım çigilei duma akım çigilei de dahil olmak üee Şekil.a da Rankine ovali üeindeki hı dağılımı ise Şekil.b de gösteilmişti. a Akım çigilei b Oval üeinde hı dağılımı Şekil.: Rankine ovali etafındaki akım Sonuç olaak sebest akım-kanak-kuu akımı a uunluğundaki bi Rankine ovali etafındaki akımı modellemektedi. Bu ugulama için ovalin içindeki akım çigileinin fiiksel bi önemi oktu. Paametelein değelei değiştiileek faklı ovalle için çöümle elde edilebili. UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

23 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -. Duble ile sebest akımın süpepoisonu Daiesel silindi etafında akım Sebest akım için kateen koodinatlada.5 ile veilen hı potansielini silindiik koodinatlada cos dikkate alıp bu akımı eksenine ıt önde önlendiilmiş bi duble [µ -µ] ile süpepoe edelim. Şekil. de gösteilen bu akıma ait hı potansieli µ cos U cos.9 şeklinde aılabili. Bu bağıntıdan tüev alınaak hı alanı için v v µ U cos elde edili. µ U sin.9.95 U µ Şekil.: Ünifom akımla dublenin süpepoisonu Bu akım bi önceki paagafta incelenen Rankine ovalinin öel bi hali olaak dikkate alınısa kanakla kuu bibiine aklaştııldığı taktide limit halde ovalin bi daiee aklaşacağı bekleni..9 bağıntısından göüldüğü gibi bütün açılaında µ / U için q olup daienin aıçapı R olaak alınısa dublenin şiddeti µ U R.96 olaak elde edili. Bu değe.9-95 bağıntılaında kullanılaak U R cos.97 R v U cos R v Usin bulunu. Akım fonksionu için sebest akımla dublee ait akım fonksionlaı süpepoe edileek µ sin Ψ U sin. UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

24 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - elde edili..99 bağıntısında q konulaak duma noktalaı ve olmak üee elde edili.. denkleminde duma noktalaı için bulunan değei kullanılaak duma akım çigisi üeinde Ψ elde edili. Bu bağıntı q R koşulu ile eşdeğe olup dublenin şiddeti ine.96 bağıntısındaki gibi elde edilebili. Duble şiddeti kullanılaak. bağıntısı da Ψ U R sin. şekline geli. Bu bağıntı R aıçaplı daie etafındaki akımın akım çigileini tanımla Şekil.. Bu akım çigilei.97 bağıntısıla elde edilen potansiel çigileine dikti. Daiesel silindi etafındaki basınç dağılımını elde etmek için hı bileşenlei R de hesaplanaak v v Usin. ve Benoulli denkleminden ρ ρ p U p v Şekil.: Daie etafında akım çigilei aılaak ve nihaet q nın R deki değei kullanılaak sin p p ρu. vea basınç katsaılaı için C p p ½ρU p sin. elde edili. Buadan kolalıkla göülmektedi ki ve için ki bu noktalada q dı C p di. Maksimum hıla silindiin en üst ve en alt noktalaında / ve / oluşmakta olup bu noktalada basınç katsaısının değei - tü. Silindie etkien akışkan kuvvetleini elde etmek için ukaıdaki basınç dağılımının intege edilmesi geeki. Biim açıklık başına doğultusunda etkien kuvvet L taşıma kuvveti ve doğultusunda etkien kuvvet de D süükleme kuvvetidi. Yüein Rd uunluğundaki bi elemanı üeindeki basınç kuvvetinin bileşenlei intege edileek p p R d sin ρu sin pr d R sin d L sin.5 p p R d cos ρu sin pr d R cos d D cos.6 UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

25 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - bulunu. Buadaki hesapla sıasında basınç eine p-p alınmış olup sabit bi p basıncının kapalı bi eği bounca integali sıfı olduğundan bu sonucu etkilememişti. Bu potansiel akım hesabının çok ilginç bi sonucu ön ve aka kısımla aasındaki simeti nedenile basınç ükleinin bibiini ok etmesidi. Geçekte duum faklı olup Şekil. de göüldüğü gibi akım üeden aılı ve silindiin aka kısmında üei ileme. Bu geçek akım halindeki basınç dağılımı. bağıntısının sonuçlaıla bilikte Şekil. de sunulmuştu. Buna göe silindiin akımın apışık olduğu ön kısmında basınçla bu modelle ii tahmin edilebilmektedi. Buna kaşılık silindiin geisinde akım aılması nedenile basınç dağılımı faklıdı. Bu önekte alt ve üst taaftaki akımlaın eksenine göe simetisi nedenile bi taşıma kuvveti oluşmamıştı. Taşıma kuvveti veen bi duum akıma başlangıç noktasında e alan Şekil.: Silindi etafındaki geçek akımın hidojen kabacığı tekniğile göünümü Re. Milon Şekil.: Silindi etafında teoik ve denesel Re.67 Milon basınç dağılımlaı saat ibelei önündeki bi gidapla asimeti sokulaak oluştuulabili. Bu haldeki hı potansieli gidap şiddeti Γ olmak üee R Γ U cos.7 UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

26 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -5 Buadan tüev alınaak hı bileşenlei elde edilebili: R v U cos R Γ v Usin.8.9 Buada adal hı bileşeninin sikülasonsu haldekile anı olduğu göülmektedi. Veilen potansiel fonksionunun halen bi daie etafındaki akımı modellediğini R için adal hı bileşeninin sıfı olmasından anlamak mümkündü. Akımın duma noktalaı R için teğetsel hıla hesaplanıp v Γ Usin. R bu teğetsel hı sıfıa eşitleneek V R Γ v Γ sin s. RU elde edili. s açısal konumunda e alan bu duma noktalaı Şekil.5 de iki nokta ile gösteilmiş olup Γ RU olduğu müddetçe bu noktala daie üeindedi. Şekil.5: Silindi etafında sikülasonlu akımda akım çigilei Taşıma ve süükleme Benoulli denklemi adımıla hesaplanacaktı. Fakat ön ve aka kısımla aasındaki simeti nedenile bu hesaptan da süükleme beklenmemektedi. Taşıma için teğetsel hı bileşeni Benoulli denkleminde kullanılaak L p p ρu Γ R d sin sin d ρu ρ U Γ sin R sin d R L ρ U Γ. bulunu. Bu sonuç çok önemli olup iki-boutlu haldeki akışkan kuvvetinin doğudan sikülason şiddetile doğu oantılı olduğunu ve sebest akıma dik doğultuda etkidiğini göstemektedi. Bu sonucun bi genelleştiilmesi bibiinden bağımsı olaak 9 de Alman matematikçi M.W. Kutta ve 96 da Rus fiikçi N.E. Joukowski taafından apılmıştı. Bu aaştımacıla bi taşııcı pofil vea silindiin biim açıklık başına taşıma kuvvetinin sikülason şiddetile oantılı olduğunu gölemlemişledi. Sonuç olaak Bölüm 6 da çıkatılacak olan Kutta-Joukowski teoemi şunu belitmektedi: UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

27 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -6 Sınısı bi akışkan içindeki sıkıştıılama viskoitesi iotasonel akımda aeodinamik kuvvet biim genişlik başına ρq Γ büüklüğünde olup sebest akım doğultusuna dik doğultuda etki. Not: Akımın eksenine paalel olmaabileceği düşüncesile sebest akım hıı Q ile belitilmişti Vektö gösteimi kullanılaak bu bağıntı F ρ Q Γ. şeklinde de aılabili. Buadaki F biim açıklık başına aeodinamik kuvvet olup Şekil.6 da biçimsel olaak gösteildiği gibi vektöel çapımın vediği doğultuda etkiecekti. Γ nın poitif önü sağ-el kualına göe belilenmektedi. F Γ Q Şekil.6: Genelleştiilmiş Kutta-Joukowski teoemi. Üç-boutlu duble ile sebest akımın süpepoisonu Küe etafında akım Önceki bölümde iah edilen öntem bi küe etafındaki üç-boutlu akım hali için genişletilebili. Bu akıma ait hı potansieli.5 ve. bağıntılaı adımıla sebest akım ile eksenine ıt öndeki bi dublenin süpepoisonu olula elde edili. µ cos U cos. Bu denklemden tüevle alınaak hı alanı da v v U µ cos U µ sin vφ sin φ şeklinde bulunu. Küe üei üeinde R olup dik hı bileşeninin sıfı olması koşulu kullanılaak µ v U cos R.8 aılabili. Bu koşul / / için ve aıca paante içindeki büüklük sıfıa eşit olduğunda sağlanmaktadı. İkinci duumda duble şiddeti için UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

28 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -7 µ R U.9 elde edili. Duble şiddeti ukaıdaki bağıntılada kullanılaak R U cos. R v U cos R v Usin.. Küe üeindeki R hı bileşenlei v v Usin. olup duma noktalaı ve de maksimum hı da / ve / dedi. Maksimum hı U / olup iki-boutlu haldekinden daha küçüktü. Benoulli denklemi adımıla basınç dağılımı: 9 p p ρu sin. şeklinde ve basınç katsaısı da C p p p ½ρU 9 sin.5 şeklinde bulunu. ve duma noktalaında basınç katsaısı C p hıın maksimum olduğu / ve / noktalaında da C p -5/ olduğu göülmektedi. Simeti nedenile daiesel silindide olduğu gibi taşıma ve süükleme sıfıdı. Bununla bilikte aı küe üeindeki taşıma sikülason olmasa bile sıfı olmaıp bu hal kaa aaçlaının aeodinamiği bakımından ilginç olabili. ekseni katı bi cida gibi alınaak küenin üst aısı e üeindeki bi aı-küe olaak düşünülebili. Yaı-küe üeindeki taşıma kuvveti p p sin ds L sin ϕ.6 integalile hesaplanabili. Küe üeindeki üe elemanı ds R sin dϕ Rd olup basınç için bulunan. bağıntısı da kullanılaak integal alınısa UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

29 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -8 9 L ρu sin R sin sinϕ d dϕ 9 7 U R d R U ρ sin sin sinϕ ρ L ρ R U.7 bulunu. Bölece aı-küe için taşıma ve süükleme katsaılaı L R 8 CL ½ρU / D ½ρU R CD /.8.9 olu. Kaa vasıtası modeli için aıca aı-küenin dülemsel alt üeine etkien kuvvetin de dikkate alınması geektiği unutulmamalıdı.. Küe ve daiesel silindi etafındaki akımla için baı uaıla Bi silindi etafındaki ve bi küe etafındaki akım öneklei süpepoison ilkesinin Laplace denkleminin öel çöümleini üetmek için ugun bi aaç olduğunu açıkça göstemişti. Ancak bu iki akıma ait sonuçla fiiksel açıdan potansiel akım esaslı hesaplaın doğu olmadığı akım aılmalı bi hale kaşılık gelmektedi. Silindi etafında. bağıntısıla elde edilen basınç dağılımı tipik denesel sonuçlala bilikte Şekil. de gösteilmişti. Ön duma noktası civaında. denkleminin sonuçlaının denesel veilee akın olduğu göüküken aka bölgelede fak hali büüktü. Bu duum akım çigileinin üe eğiliğini ileemeeek Şekil. de gösteildiği gibi bu çigiden aılması ani akım aılmasının sonucudu. Küe için.5 bağıntısıla elde edilen teoik basınç dağılımı daiesel silindie ait sonuçlala bilikte Şekil.7 de sunulmuştu. Daiesel silindi C p -. Küe Şekil.7: Silindi ve küe üeinde basınç dağılımlaı Üç-boutlu haldeki emme basınçlaının daha küçük olduğu belitilmelidi. Küee ait denesel sonuçla akımın ine aıldığını ama aka bölgedeki düşük basınçlaın daha küçük olduğunu UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

30 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü -9 göstemektedi. Bunun sonucu olaak küenin süükleme katsaılaı Şekil.8 de gösteildiği gibi eşdeğe bi daiesel silindiinkinden Re > için daha düşüktü. Süüklemele ilgili bu veile üe sütünmesi ve aılma bölgesinin bi sonucu olup Renolds saısından kuvvetle etkilenmektedi. Süükleme lamine akımla için Re < cismin geisindeki geniş ölçekli aılmaa bağlı olaak daha büüktü. Tübülanslı akım halinde Re > 5 atan momentum tansfeile i ve süükleme küçülü. Visko olmaan akım sonuçlaı akım aılmasını ve cisim üei üeindeki visko sütünmei hesaba katmadığı için daiesel silindi ve küenin he ikisi için de süükleme sıfıdı. Bu geçek onedinci üılın otalaında Fansı matematikçi d Alembet i ahatsı etmişti. D Alembet denesel sonuçla sonlu bi süükleme vemesine kaşın iki-boutlu visko olmaan sıkıştıılama akımda kapalı bi cismin süüklemesinin sıfı olduğu sonucuna vamıştı. Akışkanla dinamiğinin bu başlangıç dönemleinden bei bu duum d Alembet ikilemi olaak bilinmektedi. Şekil.8: Silindi ve küenin süükleme katsaılaı. Temel çöümlein üe dağılımlaı Bölüm. ve. deki sonuçla göstemektedi ki hehangi bi cisim etafındaki akıma ait çöüm cisim üei bounca elemante tekilliklein dağılımı kullanılaak elde edilebili. Bu öntemi patik poblemlee ugulamadan önce elemante çöümlein hebiinin tabiatının incelenmesi fadalıdı. Buada kolalık açısından ekseni bounca noktalaı aasında iki-boutlu noktasal tekilliklein dağılımı dikkate alınacaktı. UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

31 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - KAYNAK DAĞILIMI: Şekil.9 da gösteildiği gibi ekseni bounca e alan biim uunluk başına şiddetindeki kanak dağılımını gö önüne alalım. Bu dağılımın bi P noktasındaki etkisi bütün noktasal kanak elemanlaının etkileinin integalidi Şekil.9: ekseni bounca kanak dağılımı d ln. u d. w d. Böle bi dağılımın öellikleini inceleken ileideki modellemele açısından üedeki süeksiliğin tipine bakmak aalıdı. He bi kanak bütün doğultulada akışkan çıkadığından bileşke hı Şekil.9 da gösteildiği gibi üeden dışaıa doğu olacaktı. Dolaısıla da w hı bileşeninde bi süeksilik olduğu açıktı.. denkleminin integandı için olması duumu haiç sıfı olduğunu belitelim. Dolaısıla bu integalin değei sadece bu noktadan gelen katkıa bağlıdı. Bu duumda olaak integal dışına çıkatılaak şeklinde aılabili. İntegal sınılaı değeini etkilememekte olup ± olaak değiştiilebili. Aıca. bağıntısındaki integandın e olan bağımlılığı nedenile büüklüğü sıfıa ekseninin ukaısından aklaştığında hı bileşeninin w ile ve aşağıdan aklaştığında da w - ile belitilmesi ugun olu. Bölece w için. bağıntısı w d. lim şekline geli. Bu integali hesaplaabilmek için λ d dλ şeklinde eni bi değişken tanımlanaak w dλ lim tan [ λ] λ. ve bölece ekseninin üst ve alt taafından aklaşımla halinde UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

32 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - w ± ± ±.5 elde edili. Bu eleman eksenine göe simetik ve tekillik dağılımı üeine dik hı bileşenindeki atlamanın w w.6 olduğu akımlaı modellemek için ugundu. Hıın u bileşeni ekseni üeinden geçeken süeklidi. DUBLE DAĞILIMI: µ - - Benei şekilde ekseni bounca ve noktalaı aasında e alan ve doğultusunda önlenmiş duble dağılımının P noktasındaki etkisi Şekil. noktasal elemanlaın etkileinin bi integali şeklinde hesaplanabili: µ Şekil.: ekseni bounca duble dağılımı d.7 µ [ ] u µ d.8 [ ] w µ d.9 Duble dağılımı için.7 bağıntısıla veilen hı potansielinin kanak dağılımı halinde elde edilen w hı bileşeni ile ödeş olduğu dikkati çekmektedi. ± için hı potansielinde bi atlama olup kanak dağılımı ile analoji apılaak ± µ ±. elde edili. Bu duumda teğetsel hı bileşeninde de u ± ± dµ ±. d şeklinde bi süeksilik vadı. Duble dağılımının başladığı noktası ile hehangi bi noktası aasındaki doğu paçasını çeveleen bi kapalı öünge etafındaki sikülason için UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

33 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - Γ u d u d. µ vea potansieldeki süeksilikle ödeşlik nedenile Γ µ. GİRDAP DAĞILIMI: Yine benei şekilde ekseni bounca ve noktalaı aasında e alan gidap dağılımının P noktasındaki etkisi Şekil. noktasal elemanlaın etkileinin bi integali şeklinde hesaplanabili: γ tan d γ - - γ Şekil.: ekseni bounca gidap dağılımı. u d.5 γ γ w d.6 Buada da u hı bileşeni için veilen.5 ifadesi kanak dağılımı halinde w hı bileşeni için veilen. ifadesile ve duble dağılımı halinde hı potansieli için veilen.7 ifadesile ödeşti. ± için u hı bileşeninde bi atlama olup diğe dağılımlala analoji apılaak u ± ± γ ±.7 elde edili. Hı potansielinde de bi süeksilik olup gidap dağılımının başlangıç noktasında kabul edileek ± γ γ d elde edili. Sikülason ud büüklüğünün kapalı bi integali olup. bağıntısıla ödeşti. Bölece aşağıdaki bağıntı elde edili: Γ.8 d UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

34 - Sıkıştıılama potansiel akım denklemleinin genel çöümü - Benei akım koşullaının bi gidap vea duble dağılımı ile modellenebileceği dikkati çekmektedi. İkisinin aasındaki ilişki Γ µ.9 şeklindedi.. ve.7 bağıntılaı kaşılaştııldığında göülmektedi ki bi gidap dağılımı dµ γ.5 d olmak üee eşdeğe bi duble dağılımıla e değiştiebili. UCK 9 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı