CEB RSEL TOPOLOJ I L SANSÜSTÜ DERS NOTLARI Prof. Dr. smet KARACA

Transkript

1 CEBRSEL TOPOLOJ I LSANSÜSTÜ DERS NOTLARI 2010 Prof. Dr. smet KARACA

2 çindekiler 1 GR 3 2 TEMEL TOPOLOJK KAVRAMLAR HOMOTOP KONVEKSLK, BÜZÜLEBLRLK VE KONLER DENTFKASYON UZAYLARI BÖLÜM UZAYLARI YOLLAR VE YOL BA LANTILILIK Temel Grup Temel Grup Topolojik Grup H-Uzay (Hoph Uzay) ÖRTÜ UZAYLARI Bir Grubun Küme Üzerine Hareketi Örtü Transformasyonlar SMPLEKSLER Ane Uzaylar Simpleksler Kompleksi SMPLEKSLER HOMOLOJ GRUBU Serbest Abel Gruplar Simpleksler Zincir Kompleksi Simpleksler Homoloji Grubu Simpleksler Kompleksin Euler Karakteristi i Homoloji ve Simpleksler Dönü³ümü Lefschetz Sabit Nokta Teoremi Borsuk-Ulam Teoremi

3 7 Singüler Kompleks ve Homoloji Eilenberg-Steenrod Aksiyomlar Hurewicz Teoremi

4 Bölüm 1 GR Tanm Bir kategori; nesneler snfn, morzmler snfn ve bile³ke i³lemini içerir. 1. f, g, h birer morzmler ise h (f g) = (h f) g (birle³me özelli i) 2. f : A B ve g : C A birer morzm olmak üzere f I A = f ve I A g = g olacak ³ekilde bir I A : A A vardr.(birim elemann varl ) Örnek h (f g) = (h f) g oldu unu gösterelim. f I A = f ve g I A = g I A : A A var mdr? h (f g)(x) = h(f g(x)) = h(f(g(x))) (h f) g(x) = (h f)(g(x)) = h(f(g(x))) f I A = f I A g = g Top: Topolojik uzaylar kategorisi Objeler: Topolojik uzaylar Morzmalar: Sürekli fonksiyonlar Bileṣke iṣlemi: Sürekli iki fonksiyonun bileṣkesi 3

5 Grup: Gruplar kategorisi Objeler: Gruplar Morzmler: Grup homomorzmi Bileṣke iṣlemi: iki grup homomorzmasnn bileṣkesi Ring: Halkalar kategorisi Objeler: Halkalar Morzmler: Halka homomorzmas Bileṣke: Bilinen bileṣke Ab: Abel gruplar kategorisi Objeler: Abel gruplar Morzmler: Homomorzmler (abel gruplar arasnda) Bileṣke: Bilinen bileṣke T op =Noktal topolojik uzay kategorisi Nesneler: (X, x 0 ) noktal topolojik uzaylar. (x 0 X) Morzmler: f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ), f sürekli Bileṣke: bilinen bileṣke iṣlemi N Lin S p : Normlu lineer uzaylar kategorisi Objeler: Normlu lineer uzaylar Morzmler: Snrl lineer dönüṣümler 4

6 Bileṣke: Bilinen bileṣke i³lemi Tanm E er a³a daki özellikler mevcut ise Hom(A, B) (A,B) morzmler snf üzerinde tanml denklik ba ntsna C kategorisi üzerinde kongruans denir. 1. f Hom(A, B) ve f f' f Hom(A, B) 2. f f, g g g f g f Teorem C bir kategori, C üzerinde tanml kongruans olsun. Ayrca [f], bir f morzminin denklik snfn göstersin. C kategorisini tanmlayalm; Ob(C ) = O (C), H C (A, B) = {{ { H C (A, B)}, [}] [{] = [} {]. O zaman C bir kategoridir (C ayn zamanda bölüm kategorisi olarak adlandrlr). C =Top f g f, g 'ye homotoptur. Top/ bölüm kategorisidir. C=Grup; f, g Hom(G, H) f g x G için f(x) = ag(x)a 1 olacak ³ekilde bir a H vardr. Grp/ bölüm kategorisidir. Tanm A ve B iki kategori olsun. A ve B arasnda tanmlanan Funktor T a³a daki özellikleri sa layan bir fonksiyondur. 1. A Ob(A) T (A) Ob(B) 2. f : A A, A da bir morzm ise T (f) : T (A) T (A ), B de bir morzmdir. 3. f, g, A birer morzm ve g f tanml ise T (g f) = T (g) T (f) 4. A Ob(A) için T (I A ) = I T (A) (kovaryant funktor) Örnek F: Top Set x F (x) f F (f) 5

7 F (g f) = F (g) F (f), F (I x ) = I F (x) G:Grp Sets A G(A) f G(f) fonksiyon π n :Top Grp x pi n (x) f π n (f), f:sürekli,π n (f) homeomorzm H n :Top Ab x H n (x) f H n (f), f:sürekli, H n (f) homeomorzm Birim funktor,i:c C A J(A)=A f J(f) = f M sabit topolojik uzay olsun; T M : T op T op x T M (x) = M X f T M (f) : M X M Y (M, x) T M (f)(m, x) = (m, f(x)) Tanm A ve B iki kategori olsun. A ve B arasndaki kontravaryant funktor S,a³a daki özellikleri sa layan bir fonksiyondur. 1. A Ob(A) S(A) Ob(A) 2. f : A A A'da bir morzm ise S(f) : S(A ) S(A) da B'de bir morzmdir. 3. f, ga da birer morzm ve g f tanml ise; S(g f) = S(f) S(g) 4. A Ob(A) için S(I A ) = I S(A) 6

8 Bölüm 2 TEMEL TOPOLOJK KAVRAMLAR 2.1 HOMOTOP Tanm X ve Y iki topolojik uzay olsun ve f, g : X Y sürekli iki fonksiyon olsun. x X için H(x, 0) = f(x) ve H(x, 1) = g(x) olacak ³ekilde bir H : X I Y sürekli fonksiyon varsa f, g ye homotoptur denir ve f g ile gösterilir. H fonksiyonuna homotopi fonksiyonu denir. Lemma X Yani; topolojik uzay,kapal alt uzaylarn sonlu birle³imi olsun. X = (X i kapal alt küme) X bir topolojik uzay olmak üzere,f i Xi X j =f j Xi X j olacak ³ekilde f i :X i Y sürekli ise f i Xi =f i olacak ³ekilde bir tek f : X Y sürekli fonksiyonu vardr. n i=1 spat: Kabul edelim ki f Xi =f i olacak ³ekilde bir tek f : X Y fonksiyon olmasn. g Xi =f i olacak ³ekilde g : X Y olsun.bu durumda i için: X i x X i için g(x) = f i (x) x X i için f(x) = f i (x), x X i için f(x) = g(x) x n i=1 X i = x için f(x) = g(x) olur.f tektir. x = n i=1 X i 7

9 olsun ve f i : X i Y sürekli, öyle ki f i Xi X j = f j Xi X j olsun. C, X'de kapal olsun. f 1 (C) = X f 1 (C) = = n X i f 1 (C) (2.1) i=1 n (X i f 1 i (C)) = i=1 n i=1 f 1 i (C). (2.2) f i sürekli oldu undan f 1 i (C) kapaldr. Kapal kümelerin sonlu birle³imi kapal oldu undan n f 1 i (C) kapaldr. i=1 Lemma X topolojik uzaynn bir açk örtüsü var olsun. Yani X = iɛi X i Y topolojik uzay olmak üzere f i Xi X j = f j Xi X j olacak ³ekilde f : X i Y sürekli ise f Xi = f i olacak ³ekilde bir tek f : X Y sürekli fonksiyon vardr. Teorem Homotopi ba nts sürekli fonksiyonlar kümesi üzerinde bir denklik ba ntsdr. spat: 1) Yansma: f f 2) Simetri: f g g f 3 Geçi³me: f g ve g h f h 1) Yansma: f : X Y olsun. H : X I Y (x, t) H(x, t) = f(x) H süreklidir çünkü f süreklidir. Ayrca; H(x, 0) = f(x) ve h(x, 1) = f(x) oldu undan f f olur. 8

10 2) Simetri: f g H : X I Y, H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x), olacak ³ekilde H sürekli dönü³ümü mevcuttur. F : X I Y (x, t) F (x, t) = H(x, 1 t), F süreklidir çünkü H süreklidir. F (x, 0) = H(x, 1) = g(x) F (x, 1) = H(x, 0) = f(x) g f 3) Geçi³me: f g H : X I Y, H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x), olacak ³ekilde H sürekli dönü³ümü mevcuttur. g h G : X I Y, G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = h(x), olacak ³ekilde G sürekli dönü³ümü mevcuttur. F : X I Y, (x, t) F (x, t) = { H(x, 2t) 0 t 1 2 G(x, 2t 1) 1 2 t 1 F dönü³ümü H ve G sürekli oldu undan Pasting Lemma'dan süreklidir. imdi F (x, 0) = f(x) ve F (x, 1) = h(x) oldu unu gösterelim. F (x, 0) = H(x, 0) = f(x) F (x, 1) = G(x, 1) = h(x) f h Tanm f : X Y sürekli dönü³üm olsun. [f] = {g : X Y sürekli : g f} denklik snfna homotopi snf denir. 9

11 Teorem f 0, f 1 : X Y sürekli ve g 0, g 1 : Y Z sürekli, f 0 f 1 ve g 0 g 1 ise g 0 g 1 g 1 f 1 dir. spat: g 0 f 0 g 0 f 1 ve g 0 f 1 g 1 f 1 oldu unu gösterip geçi³me ba ntsndan g 0 f 0 g 1 f 1 elde ederiz. f 0 f 1 F : X I Y, F sürekli dönü³ümü mevcuttur öyleki F (x, 0) = f 0 (x), ve F (x, 1) = f 1 (x) öyleki g 0 g 1 H : X I Y, H sürekli dönü³ümü mevcuttur H(x, 0) = g 0 (x), ve H(x, 1) = g 1 (x) F : X I Y ve g 0 : Y Z olmak üzere, G : X I Z (x, t) G(x, t) = g 0 F (x, t) dönü³ümünü tanmlayalm. G süreklidir çünkü g 0 ve F süreklidir. Üstelik; G(x, 0) = g 0 F (x, 0) = g 0 f 0 (x) G(x, 1) = g 0 F (x, 1) = g 0 f 1 (x) g 0 f 0 g 0 f 1 K : X I Z (x,k) H(f 1 (x),t) ile tanmlansn. K süreklidir çünkü H süreklidir. Üstelik K(x,0)=H(f 1 (x),0)=g 0 (f 1 (x))=g 0 f 1 (x) K(x,1)=H(f 1 (x),1)=g 1 (f 1 (x))=g 0 f 1 (x) g 0 f 1 g 1 f 1 olur. Geçi³me özelli inden; g 0 f 0 g 1 f 1 elde edilir. Sonuç Homotopi, Top kategorisinde bir kongruansdr. 10

12 Tanm Homotopi, Top kategorisi üzerinde bir kongruansdr dolaysyla bu kongruansn olu³turdu u bölüm kategorisine homotopi kategorisi denir ve htop ile gösterilir. ht op = T op/ T : T op A, cebirsel yap kategorisi (Grp,Ab,Rng,...) x T(x) f T(f) Tanm f : X Y sürekli dönü³üm olsun. g f I x ve f g I y olacak ³ekilde g : Y X sürekli fonksiyon varsa, f ye homotopi denktir denir. E er X ve Y topolojik uzaylar arasnda f:x Y homotopi denklik mevcut ise X ve Y ayn homotopi tipine sahiptir denir. X Y ile gösterilir. Önerme Ayn homotopi tipine sahip olma ba nts bir denklik ba ntsdr. Özellik f:x Y homeomorzm ise f homotopi denktir. Tersi do ru de ildir. 2. f : X Y homotopi denktir [f] [X,Y ] htop da bir denkliktir. Tanm X ve Y sürekli fonksiyon ve y 0 Y sabit nokta olsun. c : X Y x c(x) = y 0 fonksiyon denir. ³eklinde tanml fonksiyona sabit 2. f : X Y sürekli fonksiyon ve c sabit fonksiyon olsun. E er f sabit fonksiyon c ye homotop ise f ye null homotopi (sfrlayan) denir. Teorem C kompleks saylar kümesi ρ orijin olan bir çember ve R2, ρ yarçapl ve merkezi f n ρ : ρ C {0} fonksiyonu, f n : C {0} C {0} z z n fonksiyonunun ρ çemberine kstlanm³ olsun. E er n 1 ve ρ > 0 için fρ n nullhomotop de ilse cebirin temel teoremi geçerlidir. Yani sabit olmayan kompleks bir polinomun en az bir kompleks kökü vardr. 11

13 spat: g(z) = z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 kompleks katsayl polinomu dü³ünelim. n 1 ρ > max{1, a i } olarak seçelim ve F : ρ x I C (z,t) F(z,t)=z n +(1-t) n 1 a iz i sürekli fonksiyonunu tanmlayalm: g Σρ fρ n oldu u açktr. E er ImF C {0} oldu unu yani (F (z, t) 0 oldu unu) gösterirsek g Σρ fρ n oldu unu göstermi³ oluruz. O zaman F (z, t) = 0 oldu unu kabul edip çeli³ki elde edelim. t I ve z = ρ olsun. O zaman z n + (1 t) n 1 a iz i = 0 z n = (1 t) n 1 a iz i elde edilir. ρ > 1 için, z = ρ, ρ n = z n = z n = (1 t) n 1 a iz i 1 t n 1 a i z i n 1 a i z i = n 1 a i ρ i ( n 1 a i )ρ n 1 ρ n 1 a i çeli³kidir. Kabulümüz yanl³, F(z,t) 0 dr. g(z)'nin hiçbir kompleks kökü olmasn. G : ρ I C {0} (z,t) G(z,t)=g((1-t)z) G(z,0)=g(z) G(z,1)=g(0)=k(z), f n ρ k f n ρ null homotop de ilse, sabit fonksiyona homotop olamaz. Bu durumda g(z) nin bir kompleks kökü vardr. Cebirin temel teoremi gerçeklenmi³ olur. 12

14 Teorem f:s n Y sürekli dönü³üm olsun.a³a dakiler denktir: 1. f null homotoptur. 2. f dönü³ümü, g : D n+1 Y sürekli dönü³ümüne geni³letilebilir. 3. x 0 S n, k:s n Y x k(x)=f(x 0 ) f(x 0 ) da sabit dönü³üm ise t I için F (x 0, t) = f(x 0 ) olacak ³ekilde f ile k arasnda homotopi mevcuttur. f k. spat: (1) (2): f null homotop olsun o zaman f dönü³ümü ile c : S n Y c(x) = y 0 sabit dönü³üm arasnda F : S n I Y homotopi dönü³ümü mevcuttur. g : D n+1 Y { y0 0 x 1 2 x g(x) = F ( x, 2 2 x ) 1 x 1 x 2 1) g dönü³ümü Pasting Lemma'dan süreklidir. 2) g S n= f oldu unu görelim: x S n x =1 g(x) = F(x,0)= f(x) elde edilir. D n+1 ={(x 1,...,x n+1 ) x 2 1 +x x2 n+1 1} (2) (3): g : D n+1 Y, f : S n Y olsun. nin geni³letilmi³i olsun. Yani g S n= f F : S n I Y (x,t) F(x,t)=g((1-t)x+ tx 0 ) dönü³ümünü tanmlayalm. (Burada D n+1 in konveksli inden yararlandk.) F süreklidir çünkü g süreklidir. F (x,0) = g(x) = f(x),x S n F (x,1) = g(x 0 ) = f(x 0 ),x S n f f(x 0 ) = k (3) (1): Tanmdan f null homotoptur. 13

15 2.2 KONVEKSLK, BÜZÜLEBLRLK VE KONLER Tanm X R n in bir alt kümesi olsun. Her x, y X ve t I = [0,1] için tx + (1 t)y X ise X alt kümesi konvekstir denir. Örnek R n, I n, D n birer konveks kümelerdir. 2. S n bir konveks küme de ildir. (x, y S n, için tx + (1 t)y S n nin eleman de ildir.) Tanm X bir topolojik uzay, I x : X X birim dönü³üm olsun. I X nullhomotop ise X uzayna büzülebilir uzay denir. Örnek R n, I n, D n büzülebilir uzaylardr. 2. D n -{a} büzülebilir uzay de ildir. Teorem Her konveks uzay büzülebilir uzaydr. spat: x 0 X, c : X X I X : X X x c(x) = x 0 x I X (x)=x F süreklidir. I X c? F : X I X, (x,t) F(x,t)=(1-t)x+tx 0 F(x,0) = x = I X (x) F(x,1) = x 0 = c (x) I X c toplam sürekli oldu undan Bu teoremin tersi do ru de ildir. Yarm küre büzülebilir uzaydr fakat konveks de ildir. Tanm X bir topolojik uzay, X = {X j : j J}, X uzaynn bölüntüsü (X j ler ayrk) olsun. P : X X x p(x) = X j 14

16 x noktasn içeren bir tek bölüntü X j dir. X üzerindeki bölüm topolojisi, P 1 (U), X de açk olacak ³ekilde X 'nün alt kümelerini kapsar. X üzerindeki bölüm topolojisi ; Ω = {U X P 1 (U), X de açk } ³eklinde tanmlanr., X üzerinde bir denklik ba nts olsun. örtendir. P : X X/ x p(x)=[x] kanonik (do al) dönü³ümdür. Sürekli ve Örnek [0, 1], 0 1, x y x = 0, y = 1 [0, 1] p [0, 1]/ f S 1 2. X = R, x y x y Z R p R/ f S 1 3. X = I I, s I için (s, 0) (s, 1) X p I I/ f S 1 I(silindir) 15

17 4. X = [0, 1] [0, 1] s, t I için (s, 0) (s, 1), (0, t) (1, t) X p X/ f T orr 5. X = [0, 1] [0, 1] (s, 0) (s, 1), (1 s, t) (s, t) X p X/ f Kb 6. X = D 2 x y x, y Bound(D 2 ) = S 1 X p X/ f S 2 7. X = S 2 x y x, y nin merkeze göre simetri i X p X/ f RP 2 Ödev 1. Rotman - An Introduction to Algebraic Topology kitabnda sayfa 19 daki tüm al³trma sorular ödev braklm³tr. 2.3 DENTFKASYON UZAYLARI Tanm (X, τ) bir topolojik uzay, Y herhangi bir küme ve p : X Y örten bir fonksiyon olsun. 1. Y üzerinde kaba topoloji alrsak p sürekli olur. 2. τ = {V Y p 1 (V ) τ} koleksiyonu Y üzerinde bir topolojidir. τ, p : X Y dönü³ümünn sürekli klan Y üzerindeki en geni³ topolojidir. 16

18 p : X Y sürekli τ τ τ topolojisine X in p tarafndan belirlenen identikasyon topolojisi denir. p : X Y sürekli, örten dönü³ümüne identikasyon dönü³ümü denir. Teorem p : X Y örten ve sürekli ve açk (veya kapal) dönü³üm ise p identikasyon dönü³ümüdür. spat: p : X Y sürekli oldu undan: V Y aç için p 1 (V ) X de açktr. p açk dönü³üm oldu undan p(p 1 (V )) Y de açktr. Örnek p : R S 1 R 2 t p(t) = e 2πit = (cos 2πt, sin 2πt) i) p örten mi? ii) p sürekli mi? iii) p açk veya kapal m? Çözüm: p örtendir: y = (y 1, y 2 ) S 1 için f(t) = y p süreklidir: (cos 2πt, sin 2πt) = (y 1, y 2 ) t = 1 2π arctan y 1 y 2 R p 1 (t) = cos 2πt sürekli, p 2 (t) = sin 2πt sürekli p = (p 1 (t), p 2 (t)) süreklidir. p açk dönü³ümdür: τ S 1 = S 1 (a, b) = {(x, y) x 2 + y 2 = 1} (a, b) G τ d için; G = (a, b), a, b R 17

19 p((a, b)) = ((cos 2πa, sin 2πa), (cos 2πb, sin 2πb)) τ S 1 Teorem gere ince p identikasyon dönü³ümdür. Önerme f 1 : X Y 1 ve f 2 : X Y 2 süreklidir f:x Y 1 Y 2 süreklidir. Örnek Π 1 : R R R (x, y) Π 1 (x, y) = x identikasyon dönü³ümüdür: Π 1 süreklidir. V R aç için Π 1 1 (V ) = V R R 2 açk açktr. W =U V R 2 aç için Π 1 (W ) = U R açk Π 1 Teorem Y, X in identikasyon uzay ve Z, Y nin identikasyon uzay olsun. Bu durumda Z de X in identikasyon uzaydr. spat: p : X Y ve q : Y Z identikasyon dönü³ümü olsun. k : X Z identikasyon dönü³üm ( V Z de açk k 1 (V ) X de açk) ( ) V Z de açk olsun. k = q p : X Z ³eklinde tanmlansn. k 1 (V ) = (q p) 1 (V ) = p 1 (q 1 (V )) q identikasyon dönü³üm oldu undan q 1 (V ) Y açktr. p identikasyon dönü³üm oldu undan p 1 (q 1 (V )) X de açktr. k 1 (V ) X de açktr. ( ) k 1 (V ) X de açk olsun. k 1 (V ) = p 1 (q 1 (V )) açk olmas için q 1 (V ) nin açk olmas gerekmektedir. q identikasyon dönü³üm oldu undan V Z de açktr. 18

20 Teorem p : X Y identikasyon dönü³üm olsun. Herhangi bir Z uzay için; k : Y Z süreklidir k p : X Z süreklidir. spat: ( ) k ve p sürekli oldu undan k p : X Z süreklidir. ( ) k p : X Z sürekli olsun. V Z açk için k 1 (V ) Y de açk mdr? (k p) 1 (V ), k p sürekli oldu undan X de açktr. nin Y (k p) 1 (V ) = p 1 (k 1 (V )) in Xde açk olmas için k 1 (V ) de açk olmas gerekmektedir. Çünkü p identikasyon dönü³ümdür. Teorem p : X Y identikasyon dönü³üm olsun. g : X Z a³a daki özelli e sahip sürekli fonksiyon olsun: x, x X için p(x) = p(x ) g(x) = g(x ). O zaman h p = g olacak ³ekilde bir tek h : Y Z sürekli dönü³ümü vardr. spat: h : Y Z y h(y) = g(p 1 (y)) dönü³ümünün tekli inin göster- olsun. h iyi tanml, sürekli ve örtendir. h ilmesi ö renciye braklm³tr. Sonuç p : X Y, Y Zdir. q : X Z identikasyon dönü³üm ise spat: h : Y Z olsun. 1) h bijektif mi? k : Z Y olsun. k h = 1 Y h, 1 1 ve h k = 1 Z h, örten oldu unu göstermeliyiz. 19

21 X q p Z k Y q = h p ve p = k q dönü³ümlerini ele alalm. (h k) q = h (k q) = h p = q = 1 Z q h örten (k h) p = k (h p) = k q = p = 1 Y p h, 1 1 h bijektif 2) Teorem den q = h p sürekli h sürekli 3) Teorem den p = h 1 q sürekli h 1 sürekli Ödev 2. Rotman - An Introduction to Algebraic Topology kitabnda sayfa 22 deki tüm al³trma sorular ödev braklm³tr. 2.4 BÖLÜM UZAYLARI Tanm X bir topolojik uzay ve R, X üzerinde bir denklik ba nts olsun. X/R bir bölüm kümesidir. q R : X X/R bölüm dönü³ümü kanonik dönü³ümdür. ( Her zaman örten olan dönü³ümlere kanonik dönü³üm ya da do al dönü³üm denir.) X/R = [x] R = {z X xrz} (X, τ) bir topolojik uzay olsun. q R : X X/R bölüm dönü³ümünü sürekli klan Y üzerindeki en geni³ topoloji τ = {V X/R q 1 R (V ) τ} dr ve bu topolojiye bölüm topolojisi denir. (X/R, τ ) identikasyon uzayna da (X, τ) nun bölüm uzay denir. Teorem f : X Y identikasyon dönü³ümü ve R, X üzerinde tanml bir denklik ba nts olsun: q : X X/ R identikasyon dönü³ümüdür. Y, X/ R ye homeomorftur. 20

22 spat: X q f f Y X/ R f nn homeomorzm oldu unu göstermeliyiz. 1) f : X/ R Y [x] R f([x] R ) = f(x) f([x] R ) = f([x ] R ) olsun. O zaman sa lanm³ olur. f(x) = f(x ) x R x [x] R = [x ] R olur. 1-1 lik 2) f örten oldu undan, y Y için x X f(x) = y dir. y Y için f([x] R ) = y olacak ³ekilde bir [x] R dir. Örtenlik sa lanr. X/ R 3) f = f q sürekli f sürekli 4) q = f 1 f sürekli f 1 süreklidir. Örnek I = [0, 1], x R y x = y = 0 veya 1 olsun. q R : [0, 1] [0, 1]/R x q R (x) = [x] R dönü³ümü bölüm dönü³ümüdür. p : [0, 1] S 1 t p(t) = e 2iπt identikasyon dönü³ümdür. Sonuç den yararlanarak [0, 1]/R S 1 oldu unu söyleyebiliriz. p : [0, 1]/R S 1 [x] R p([x] R ) = p(x) = e 2iπx olsun. 21

23 i) p bijektif dönü³ümdür: p 1-1 dir: p([x] R ) = p([y] R ) e 2iπx = e 2iπy cos 2πx = cos 2πy sin 2πx = sin 2πy x = y + k, k = 0, 1 x y [x] R = [y] R p örten: p ve q örten oldu undan p = p q 1 R ii) p sürekli p = p q R sürekli iii) p 1 sürekli q R = p 1 p sürekli örtendir. Örnek p : I I I S 1 (s, t) p(s, t) = (s, e 2iπt ) identikasyon dönü³ümdür. q : I I I I/R (s, t) q(s, t) = p(s, t) = (s, e 2iπt ) identikasyon dönü³ümdür. I I/R I S 1 dir. p : I I/R I S 1 [s, t] R p([s, t] R ) = p(s, t) = (s, e 2iπt ) dönü³ümü homeomorzmadr. Tanm (Topolojik Manifold) M bir T 2 ve saylabilir kom³uluk taban olan topolojik uzay olsun. M nin her aç R n in bir alt kümesine homeomorf ise M ye topolojik n-manifold denir. Örnek S 1 çemberi topolojik 1- manifold; S 2 küresi, Mb Möbiüs ³eridi, Kb Klein ³i³esi topolojik 2- manifolddur. Tanm (Bir Topolojik Uzayn Süspansiyonu) X topolojik uzay 22

24 ve I = [0, 1] olsun. X I X {0} X {1} = X I X {1} Tanm (Bir Topolojik Uzayn Konisi) X bir topolojik uzay olmak üzere X I üzerinde a³a daki ³ekilde denklik ba nts tanmlansn. (x, t) (x, t ) t = t = 1 CX = X I/ bölüm uzayna X üzerinde koni denir. Teorem Her X topolojik uzay için CX büzülebilirdir. H : CX I CX ([x, s], t) H([x, s], t) = [x, (1 s)t + s] ile tanmlayalm. spat: X I f H f CX I f nin identikasyon dönü³üm oldu unu biliyoruz. Ayrca X I CX {0} CX oldu undan H f süreklidir. O zaman Teorem den H süreklidir. H([x, t], 0) = [x, t] = I CX [x, t] H([x, t], 1) = [x, 1] = c x0 [x, t] sabit dönü³ümdür. Birim dönü³üm nullhomotoptur. Bu durumda CX büzülebilirdir. H CX Teorem X ve {a} ayn homotopi tipine sahiptir X büzülebilirdir. spat: ( ) X ve {a} ayn homotopi tipine sahip olsun. c sabit dönü³üm olmak üzere I X c oldu unu görmeliyiz. 23

25 f : X {a} sürekli dönü³ümü için g : {a} X dönü³ümü vardr öyleki g f I X, f g I {a} dr. sürekli c x0 (x) = g f(x) = g(a) = x 0 sabit dönü³üm olur ve c x0 (x) I X (x) X oldu undan birim dönü³üm nullhomotoptur. X büzülebilirdir. ( ) X büzülebilir olsun. Yani I X (x) c x0 (x) olsun. f : X {x 0 } x f(x) = x 0 g : {x 0 } X x 0 g(x 0 ) = x 0 c x0 (x) = g f(x) = x 0 g f I x f g(x 0 ) = f(x 0 ) = x 0 = I {x0 }(x 0 ) f g(x 0 ) = I {x0 } f g I x X ve {x 0 } ayn homotopi tipine sahiptir. Teorem Y büzülebilir uzay olsun. f, g : X Y ise f g dir. spat: Y büzülebilir oldu undan I Y c y0 (y) olur. sürekli iki dönü³üm f : X Y sürekli, g : X Y x g(x) = y 0 sabit. X f Y I Y Y c y0 f = g I Y c y0 f = I Y f = c y0 f = g f g Not X büzülebilir ise teorem do ru de ildir. 2) Y konveks ise teorem geçerlidir. 3) Y nin konveks olmas, nullhomotop dönü³ümlerin homotop olup olmadklarnn cevabdr. Ödev 3. Rotman - An Introduction to Algebraic Topology kitabnda sayfa 23 deki tüm al³trma sorular ödev braklm³tr. 24

26 2.5 YOLLAR VE YOL BA LANTILILIK Tanm f : I X sürekli fonksiyona X de bir yoldur denir. E er f(0) = a ve f(1) = b ise f ye a dan b ye bir yoldur denir. 2. a, b X için a dan b ye X de bir yol varsa,x e yol ba lantl uzay denir. Not f yolu, f(i) görüntü kümesi ile kar³tlmamaldr. 2. Bir yol, X de "parametreli e ri" olarak benimsenmemelidir. Teorem X yol ba lantl ise ba lantldr. spat: X yol ba lantl olsun. O zaman f : [0, 1] X sürekli fonksiyonu vardr. Kabul edelim ki ki X ba lantl olmasn. Yani; X = A B, A B = olacak ³ekilde A, B X açklar mevcut olsun. Bu durumda, = f 1 ( ) = f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) elde edilir. Ayrca f sürekli oldu undan f 1 (A) [0, 1] ve f 1 (B) [0, 1] açk kümelerdir. O zaman [0, 1] = f 1 (A) f 1 (B) ³eklinde yazlabilir ki bu da [0, 1] in ba lantl olmasyla çeli³ir. X ba lantldr. Not Teoremin tersi do ru de ildir. Tanm a, b X olsun. a b a ile b arasnda bir yol vardr. Teorem , X üzerinde bir denklik ba ntsdr. spat: i)yansma: a a, f : I X, sabit dönü³ümü süreklidir. t f(t) = a ii)simetri : a b olsun. f : I X, f(0) = a ve f(1) = b dir. sürekli dönü³üm vardr öyleki g : I X t g(t) = f(1 t) dönü³ümü süreklidir ve, g(0) = f(1) = b, g(1) = f(0) = a 25

27 iii)geçi³me: b a a b f : I X b c g : I X h : I X f(0) = a ve f(1) = b g(0) = b ve g(1) = c t h(t) = { f(2t), 0 t 1 2 g(2t 1) 1 2 t 1 dönü³ümü Pasting Lemma'dan süreklidir ve, h(0) = f(0) =a h(1)=g(1)=c a c Tanm altnda X in denklik snarna,x uzaynn yol bile³enleri denir. Not Her uzay, yol bile³enlerinin ayrk birle³imidir. Tanm Π 0 (X), X uzaynn yol bile³enler kümesidir. C, c X i içeren X de yol bile³eni ve D, f(c) Y, Y de yol bile³eni olsun. f : X Y c f(c) D Π 0 (f) : Π 0 (X) Π 0 (Y ) C Π 0 (f)(c) = D D Y ; f(c) yi içeren Π 0 (Y ) bir yol bile³endir. Teorem )Π 0 : T op Set funktorlar 2)f g Π 0 (f) = Π 0 (g) spat: 1) Π 0 (g f) = Π 0 (g) Π 0 (f)? 26

28 X Y f Π 0 (X) Π 0 (f) Π 0 (Y ) Z g Π 0 (g) Π 0 (Z) Π 0 (f): X deki yol bile³enini Y deki bir tek yol bile³enine götürür. Π 0 (g): Y deki yol bile³enini Z deki bir tek yol bile³enine götürür. Π 0 (g f) = Π 0 (g) Π 0 (f) g f : X Z Π 0 (g) Π 0 (f) : Π 0 (X) Π 0 (Z) Π 0 (g) Π 0 (f): X deki yol bile³enini Z deki bir tek yol bile³enine götürür. X Π 0 (X) X I X Π 0 (X) Π 0 (I X ) Π 0 (I X ) = I Π0 (X) 2) f, g : X Y, f g F : X I Y süreklidir öyleki F (x, 0) = f(x) ve F (x, 1) = g(x) C, X in bir yol bile³eni olsun.c I da yol ba lantl olur. F (C I) yol b lantldr çünkü F süreklidir. f(c)=f (C {0}) F (C I) g(c)=f (C {1}) F (C I) F (C I) y içeren Y nin yol bile³eni tek D oldu undan; f(c), g(c) D Π 0 (f) = Π 0 (g) Sonuç X ve Y yol bile³enine sahiptir. ayn homotopi tipine sahip ise X ve Y ayn sayda 27

29 Ödev 4. Rotman - An Introduction to Algebraic Topology kitabnda sayfa deki tüm al³trma sorular ödev braklm³tr. spat: X ile Y ayn homotopi tipine sahip oldu undan f : X Y sürekli dönü³ümü için g f I X ve f g I Y olacak ³ekilde g : Y X sürekli dönü³üm mevcuttur. Π 0 (g f) = Π 0 (I X ) ve Π 0 (f g) = Π 0 (I Y ) (teorem 2.5.3) Π 0 (g) Π 0 (f) = Π 0 (I X ) = I Π0 (X) Π 0 (f) Π 0 (g) = I Π0 (Y ) Π 0 (f) bijektiftir. Tanm A, X in alt uzay ve i : A X kapsama fonksiyonu olsun. E er r i = 1 A ve i r = 1 X olacak ³ekilde bir r : X A sürekli fonksiyonu varsa A ya X in deformation retract denir. Not Her deformation retrakt bir retraktr. Teorem A, X in deformation retrakt ise A ve X ayn homotopi tipine sahiptir. spat: r i = 1 A r i 1 A ve i r 1 X X ve A ayn homotopi tipine sahiptir. i : A X, r : X A r i 1 A ve i r 1 X Tanm (Silindir Dönü³ümü) f : X Y sürekli dönü³üm olsun. M f = (X I) Y/ bölüm uzayna f nin silindir dönü³üm uzay denir. (x, t) y y = f(x), t = 1 M f ye f nin silindir dönü³ümü denir. Ödev 5. Rotman - An Introduction to Algebraic Topology kitabnda sayfa daki tüm al³trma sorular ödev braklm³tr. 28

30 Bölüm 3 Temel Grup Temel Grup Tanm f, g : I X, f(1) = g(0) özellikli iki yol olsun. { f(2t), 0 t 1/2 (f g)(t) = g(2t 1), 1/2 t 1 f g : I X pasting lemmadan süreklidir. Tanm A X ve f, g : X Y sürekli dönü³ümler olmak üzere; a A için f(a) = g(a) olsun. E er f ve g arasnda bir homotopi fonksiyonu: F : X I Y var ve a A için F (a, t) = f(a) = g(a) oluyorsa F homotopi fonksiyonuna relatif homotopi fonksiyonu denir. f g rel A olarak gösterilir. Not i)a = ise bilinen mutlak(absolute) homotopi elde edilir. ii) rela bir denklik ba ntsdr. Tanm I = [0, 1] R ve i = Bound(I) = {0, 1} olsun. f : I X yol homotopi denklik snf f nin yol snf olarak adlandrlr ve [f] ile gösterilir. [f] = {g : I X g f reli} Teorem f 0, f 1, g 0, g 1 X de yol dönü³ümleri ve f 0 f 1 rel i ve g 0 g 1 rel i olsun. E er f 0 (1) = f 1 (1) = g 0 (0) = g 1 (0) ise f 0 g 0 f 1 g 1 rel i dir. 29

31 f 0 f 1 rel i ve g 0 g 1 rel i olsun. f 0 f 1 rel i F : I I X süreklidir öyleki F (x, 0) = f 0 (x), F (x, 1) = f 1 (x) F (0, t) = f 0 (0) = f 1 (0) = x 0 F (1, t) = f 0 (1) = f 1 (1) = x 1 g 0 g 1 rel i G : I I X süreklidir öyleki G(x, 0) = g 0 (x), G(x, 1) = g 1 (x) G(0, t) = g 0 (0) = g 1 (0) = x 1 G(1, t) = g 0 (1) = g 1 (1) = x 2 H : I I X (x, t) H(x, t) = { F (2x, t), 0 x 1/2 G(2x 1, t), 1/2 x 1 F (1, t) = G(0, t)? F (1, t) = f 0 (1) = f 1 (1) = g 0 (0) = g 1 (0) = G(0, t) H süreklidir.çünkü F ve G süreklidir. H homotopi midir? H(x, 0) = { F (2x, 0), 0 x 1/2 G(2x 1, 0), 1/2 x 1 = { f0 (2x), 0 x 1/2 g 0 (2x 1), 1/2 x 1 =f 0 g 0 (x) H(x, 1) = { F (2x, 1), 0 x 1/2 G(2x 1, 1), 1/2 x 1 = { f1 (2x), 0 x 1/2 g 1 (2x 1), 1/2 x 1 =f 1 g 1 (x) dolaysyla f 0 g 0 f 1 g 1 rel i H(0, t) = F (0, t) = f 0 (0) = f 1 (0) = x 0 H(1, t) = G(1, t) = g 0 (1) = g 1 (1) = x 2 30

32 Tanm f : I X x 0 dan x 1 e giden bir yol olsun.x 0 a f nin ba³langç noktas, x 1 e f nin biti³ noktas denir. E er f nin ba³langç ve biti³ noktalar ayn ( f(0) = f(1) ) ise f ye kapal yol (loop) denir. 2. i p : I X t i p (t) = p, p X yoluna sabit yol denir. 3. f : I X bir yol ise f 1 : I X t f 1 (t) = f(1 t) yoluna f yolunun ters yolu denir. f 1 (0) = f(1 0) = f(1) = f(1) = x 1 f 1 (1) = f(1 1) = f(0) = f(1) = x 0 Teorem i³lemi altnda X deki tüm yol snarnn kümesi a³a daki özellikleri sa layan bir cebirsel yap (grupoid) olu³turur. 1. [i p ] [f] = [f] [i q ] f, p den ba³layp q da biten bir yol, i p, i q sabit yollar. 2. [h] ([f] [g]) = ([h] [f]) [g] 3. [f] [f 1 ] = [i p ] ve [f 1 ] [f] = [i q ] spat: 1) [i p ] [f] = [f] [i p f] = [f] i p f f rel i 31

33 H : I I X { p, 2s 1 t (x, t) H(s, t) = f( 2s 1+t ), 2s 1 t 1+t H(s, 0) = { ip(2s) = p, 0 s 1 2 f(2s 1), 1 2 s 1 =1 p f(s) H(s, 1) = f(s) 2) h (f g) (h f) g rel { i h(2s), 0 s 1 H(s, 0) = h (f g)(s) = 2 1 f g(2s 1), s 1 2 H(s, 1) = (h f) g(s) = h(2s), 0 s = f(4s 2), s g(4s 3), s 1 4 { h f(2s), 0 s 1 2 g(2s 1), 1 2 s 1 h(4s), 0 s = f(4s 1), s g(2s 1), s

34 3) [f] [f 1 ] = [1 p ] f f 1 1 p rel i H(s, 0) = H : I I X (s, t) H(s, t) = { f(2s), 0 s 1 2 f(2 2s), 1 2 s 1 = { f(2s), 0 s 1 f 1 1 (2s 1), s 1 2 =f f 1 (s) H(s, 1) = f(0) = p = i p (s) f f 1 i p rel i { f(2s(1 t)), 0 s 1 2 f(2(1 s)(1 t)), 1 2 s 1 Tanm x 0 X olmak üzere X in x 0 tabanl temel grubu; Π 1 (X, x 0 ) = {[f] : [f], X de yol snf ve f(0) = f(1) = x 0 } 2 33

35 Tanm Π 1 (X, x 0 ), i³lemi altnda bir gruptur. Π 1 : ptop Grp X Π 1 (X) Teorem Π 1 : T op Grp kovaryant funktor. 2. h, k : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) ve h k rel {x 0 } ise Π 1 (h) = Π 1 (k) dr. spat 1. i) Π 1 (g f) = Π 1 (g) Π 1 (f) ii) Π 1 (1 X ) = 1 Π1 (X) oldu unu göstermeliyiz. i) f : X Y ve g : Y Z iki sürekli dönü³üm olsun. (X, x 0 ) f (Y, y 0 ) g (Z, z 0 ) Π 1 Π 1 (X, x 0 ) Π 1 (f) Π 1 Π 1 (Y, y 0 ) Π 1 (g) Π 1 Π 1 (Z, z 0 ) Π 1 (g f) : Π 1 (X, x 0 ) Π 1 (Z, z 0 ) g f(x 0 ) = z 0 [α] [g f α] Π 1 (X, x 0 ) Π 1(f) Π1 (Y, y 0 ) Π 1(g) Π1 (Z, z 0 ) [α] [f α] [g f α] rightarrow Π 1 (g f) = Π 1 (g) Π 1 (f) elde edilir. ii) (Ödev) 2. h k rel {x 0 } olsun. 34

36 Π 1 (h) = Π 1 (X, x 0 ) Π 1 (Y, y 0 ) [f] Π 1 (h)([f]) = [h f] ³eklinde tanmlayalm. Π 1 (h) : Π 1 (X, x 0 ) Π 1 (Y, y 0 ) f f rel {i} ise g f g f rel {i} idi: H : I I H X h Y I I h H Y F : I I Y (s, t) F (s, t) = h H(s, t) f ve g, x 0 'da kapal yollar ise; h (f g) = (h f) (h g) dir: { f(2s), 0 s 1 f g(s) = 2 1 g(2s 1), s 1 2 { h(f(2s)), 0 s 1 h (f g(s)) = 2 1 =(h f) (h g)(s) h(g(2s 1)), s 1 2 Π 1 (h) : Π 1 (X, x 0 ) Π 1 (Y, y 0 ) Π 1 (h)([f] [g]) = Π 1 (h)([f g]) = [h (f g)] = [(h f) (h g)] = [(h f)] [(h g)] = Π 1 (h)([f]) Π 1 (h)([g]) elde edilir. O halde Π 1 (h) homomorzmadr. Benzer ³ekilde Π 1 (k) nn da homomorzma oldu u görülür. F : X I Y,h k rel {i} h f k f F (x, 0) = h(x) F (x, 1) = k(x) rel {i} f : I X h k Y 35

37 H : I I Y (x, t) H(x, t) = F (f(x), t) H(x, 0) = F (f(x), 0) = h(f(x)) H(x, 1) = F (f(x), 1) = k(f(x)) H(x, 0) = h f(x) = h(f(x)) H(x, 1) = h f(x) = k(f(x)) [h] = [k] [h f] = [k f] Π 1 (h)([f]) = Π 1 (k)([f]) Π 1 (h) = Π 1 (k) Tanm h homomorzmasna h fonksiyonu tarafndan indirgenen (üretilen) homomorzm denir. Top/ htop dir. Burada htop = Homotopik topolojik uzaylar kategorisidir. f g rel {x 0 } [f], [g] [(X, x 0 ), (Y, y 0 )], f, g : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) f : (S 1, 1) (Y, y 0 ), f, Y de kapal yol. [f] [(S 1, 1), (Y, y 0 )] = Π 1 (Y, y 0 ) [(S n, 1), (Y, y 0 )] = Π n (Y, y 0 ) Teorem x 0 X, X 0, X in x 0 olur. Π 1 (X 0, x 0 ) = Π 1 (X, x 0 ) içeren yol bile³eni olsun. O zaman; spat: j : (X 0, x 0 ) (X, x 0 ) kapsama dönü³ümü olsun. j : Π 1 (X 0, x 0 ) Π 1 (X, x 0 ) [f] j [f] = [j f] indirgenmi³ homomor- zmas mevcuttur. x 0 j(x 0 ) = x 0 dir. X 0 da x 0 bazl bir f loop aldk ve j f nin de X de bazl bir loop oldu unu biliyoruz. [f] Kerj olsun. O zaman j ([f]) = [e x0 ] olur. [j f] = [e x0 ] j f e x0 rel i 36

38 imdi f e x0 rel i oldu unu görelim. (e x0, x 0 noktasndaki sabit yol) j f e x0 F : I I X sürekli dönü³ümü mevcuttur öyleki F (0, 0) = x 0 dr. I I yol ba lantl ve F sürekli oldu undan F (I I) da yol ba lantldr. Bu durumda F (I I) X 0 dr. f e x0 rel i [f] = [e x0 ] j injektiftir. imdi j n surjektif oldu unu görelim: f : I X dönü³ümü x 0 noktasnda loop olsun. O zaman I yol ba lantl ve f sürekli oldu undan f(i) da yol ba lantldr. ³eklinde tanmlansn. I f : I X t f (t) = f(t) f X 0 j verilen f yolu için f yolu X 0 da vardr. Bu da j n örtenli ini verir. (j ([f ]) = [f] olacak ³ekilde [f ] bulunabiliyor.) j izomorzmadr. X Teorem X yol ba lantl ve x 0, x 1 X de key iki nokta ise π 1 (X, x 0 ) π 1 (X, x 1 ) spat: tanmlansn. α : π 1 (X, x 0 ) π 1 (X, x 1 ) [f] α([f]) = [α 1 ] [f] [α] ³eklinde dönü³üm α, X de x 0 dan x 1 e giden bir yol olsun. (Çünkü X yol ba lantldr.) i) α iyi tanmldr. ii) α homomorzmdir. iii) α injektiftir. iv) α surjektiftir. 37

39 i) α iyi tanmldr: ii) α homomorzmdir: [f] = [g] α([f]) = α([g])? [f] = [g] f g α 1 f α 1 g α 1 f α α 1 g α [α 1 ] [f] [α] [α 1 ] [g] [α] α([f]) = α([g]) α([f] [g]) = α([f]) α([g])? [f] [g] = [f g] oldu unu biliyoruz. α([f] [g]) = α([f g]) = [α 1 ] [f g] [α] = [α 1 ] [f] [e x0 ] [g] [α] = α([f]) α([g]) Böylece α homomorzmadr. iii) α 1-1 dir: =[α 1 ] [f] [α] [α 1 ] [g] [α] β : π 1 (X, x 1 ) π 1 (X, x 0 ) [g] β([g]) = [β 1 ] [g] [β] ³eklinde tanmlansn. Burada β : I X, s I için β(s) = α(1 s) = α 1 (s) ³eklinde tanmlansn. O zaman β([g]) = [α] [g] [α 1 ] elde edilir. β α([f]) = β( α([f])) = β([α 1 f α]) = α α 1 f α α 1 = [f] α 1-1 dir. Çünkü sol tersi vardr iv) α örtendir: 38

40 α β([g]) = [g] midir? α β([g]) = α( β([g])) α örtendir çünkü sa tersi vardr. = α([β 1 g β])) = α([α] [g] [α 1 ]) = [α 1 α g α 1 α] = [g] Teorem (X, x 0 ) ve (Y, y 0 ) noktal topolojik uzay olsun. spat: izdü³üm fonksiyonlar olsun. Π 1 (X Y, x 0 y 0 ) = Π 1 (X, x 0 ) Π 1 (Y, y 0 ) p 1 : X Y X p 2 : X Y Y (p 1 ) : Π 1 (X Y, x 0 y 0 ) Π 1 (X, x 0 ) (p 2 ) : Π 1 (X Y, x 0 y 0 ) Π 1 (Y, y 0 ) ϕ : Π 1 (X Y, x 0 y 0 ) Π 1 (X, x 0 ) Π 1 (Y, y 0 ) [f] ϕ([f]) = ([p 1 f], [p 2 f]) i) ϕ homomorzmadr. f ve g x 0 y 0 X Y noktasnda iki loop olsun. ϕ([f] [g]) = ϕ([f g]) = ([p 1 (f g)], [p 2 (f g)]) = ([(p 1 f) (p 1 g)], [(p 2 f) (p 2 g)]) ϕ([f]) ϕ([g]) = ([p 1 f], [p 2 f]) ([p 1 g], [p 2 g]) = ([p 1 f] [p 1 g], [p 1 f] [p 2 g]) = ([(p 1 f) (p 1 g)], [(p 2 f) (p 2 g)]) ϕ homomorzmadr. 39

41 k : I X x 0 X da bir loop, f : I X Y x 0 y 0 da bir loop, h : I Y y 0 Y da bir loop olsun. Bu durumda p 1 f ve p 2 f srasyla x 0 ve y 0 da bir looptur ve (k, h) : I X Y x 0 y 0 da bir loop olur. t (g, h)(t) = (g(t), h(t)) ψ : Π 1 (X, x 0 ) Π 1 (Y, y 0 ) Π 1 (X Y, x 0 y 0 ) ([k], [h]) ψ([k], [h]) = [(k, h)] dönü³ümünü tanmlayalm. Bu dönü³üm homomorzmadr.(ödev) ii) ψ ϕ([f]) = ψ(ϕ[f]) = ψ([p 1 f], [p 2 f]) = [(p 1 f, p 2 f)] = [f] O halde ϕ nin sol tersi vardr yani injektiftir. iv) ϕ ψ([k], [h]) = ϕ(ψ([k], [h])) = ϕ([(k, h)]) = ([k], [h]) ϕ nin sa tersi vardr. ϕ surjektiftir.spat biter. Teorem ϕ 0, ϕ 1 : X Y sürekli dönü³ümleri homotop olsun. x 0 X ve λ = F (x 0, ) dönü³ümü Y üzerinde ϕ 0 (x 0 ) dan ϕ 1 (x 0 ) a giden bir yol olsun. O zaman a³a daki diagram komutatiftir. Π 1 (X, x 0 ) (ϕ 1 ) Π 1 (Y, ϕ 1 (x 0 )) (ϕ 0 ) Π 1 (Y, ϕ 0 (x 0 ) ψ ψ (ϕ 1 ) = (ϕ 0 ) dr ve ψ : Π 1 (Y, ϕ 1 (x 0 )) Π 1 (Y, ϕ 0 (x)) [g] ψ([g]) = λ g λ 1 izomorzmadr. 40

42 spat: f : I X x 0 X da bir loop olsun. G : I I Y (s, t) G(s, t) = F (f(s), t) ile tanmlansn. O zaman ϕ 0 f ϕ 1 f olur. (Açktr ki ϕ 0 f ve ϕ 1 f dönü³ümleri Y üzerinde srasyla ϕ 0 (x 0 ) ve ϕ 1 (x 0 ) da loopturlar.) imdi I I üzerindeki üçgenle³tirmeleri ele alalm. H : I I I I dönü³ümünü önce her bir üçgen üzerinde tanmlayp sonra da yap³trma "gluing" lemmasna ba³vurarak tanmlayalm. Herbir üçgen (2- simpleks) üzerinde H dönü³ümü an dönü³ümdür. Böylece H dönü³ümünü sadece kö³eler üzerinde tanmlamak yeterli olacaktr. H(a) = H(q) = α, H(b) = H(p) = β, H(c) = γ, H(d) = δ, H(r) = ρ ³eklinde tanmlansn. Sayfa 38 deki Al³trma 2.8 den [a, q] dik kenar α ya; [b, p] dik kenar β ya yap³r. Ayrca [q, d] [α, δ]; [d, c] [δ, γ]; [c, p] [γ, β] ya ta³nr. J = G H : I I Y relatif homotopidir; J : ϕ 0 f (λ (ϕ 1 ) f) λ 1 Reli Bu durumda; (ϕ 0 ) [f] = [ϕ 0 f] = [λ ϕ 1 f λ 1 ] ve ψ (ϕ 1 ) ([f]) = ψ([ϕ 1 f]) = [λ ϕ 1 f λ 1 ] olur. stenen elde edilir. 41

43 Sonuç ϕ 0, ϕ 1 : (X, x 0 (Y, y 0 ) homotop olsun. i) (ϕ 0 ), (ϕ 1 ) birbirlerinin e³leni idir. Yani [f] Π 1 (X, x 0 ) için (ϕ 0 ) ([f]) = λ(ϕ 1 ) ([f]) λ 1 olacak ³ekilde [λ] Π 1 (Y, y 0 ) vardr. ii) Π 1 (Y, x 0 ) abel ise (ϕ 0 ) = (ϕ 1 ) Teorem β : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) homotopi denk ise izomorzmdir. β : π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, y 0 ) spat: β : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) homotopi denk olsun. Bu durumda, α : (Y, y 0 ) (X, x 0 ) vardr öyle ki α β 1 X ve β α 1 Y dir. (α β) = (1 X ) ve (β α) = (1 Y ) g, f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) homotop ise f = g 'dr. α β = (1 X ) ve β α = (1 Y ) β,1 1 β örten β izomorzmdir. Sonuç β : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) homeomorzm ise β : π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, y 0 ) izomorzmdir. spat: homeomorf homotopi denktir. sonuca ula³lr. 2. X ve Y yol ba lantl ve ayn homotopi tipine sahip olsun. π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, y 0 ) 42

44 3. X büzülebilir ve x 0 X olsun. π 1 (X, x 0 ) = {1} spat: X büzülebilirdir X ve {x 0 } ayn homotopi tipine sahiptir. π 1 (X, x 0 ) π 1 ({x 0 }, x 0 ) = {1} Tanm X uzay yol ba lantl ve π 1 (X, x 0 ) {1} ise X ba lantl uzay denir. e basit Not Küre basit ba lantldr fakat büzülebilir de ildir. Sonuç β : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) null homotop ise a³ikar homomorzmdir. β : π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, y 0 ) spat: E er k : X Y dönü³ümü y 1 Y noktasnda sabit ise k : Π 1 (X, x 0 ) Π 1 (Y, y 0 homomorzmas a³ikardr. (k [f] = k f idi ve k f de sabit yoldur.) Hipotezden β nullhomotoptu. O zaman β k oldu unu kabul edelim. Lemma den Π 1 (X, x 0 ) β Π 1 (Y, y 0 ) k Π 1 (Y, y 1 ) ψ ψ β = k olacak ³ekilde ψ izomorzmas mevcuttur. Bu durumda β = ψ 1 k a³ikar homomorzmadr. Bu da ispat bitirir. 43

45 imdi basit ba lantl olamayan yani temel grubu a³ikar olmayan S 1 uzayn ele alalm. Π 1 (S 1, 1) temel grubunu hesaplamak için S 1 çemberini normu z = 1 olan z kompleks saylarnn kümesi olarak dü³ünelim. h : S 1 S 1 z h(z) = z 2 dönü³ümü S 1 etrafnda iki kez tur ataca ndan h dönü³ümü g : S 1 S 1 z g(z) = z 0 = 1 sabit dönü³ümüne homotop olamaz. Böylece iki dönü³ümü ayrt etmek için (ve homotopi snarn ayrt etmek için) bir yöntem aryoruz. Kompleks de i³kenli bu tür fonksiyonlar do rusal integral olan "winding says" ile ayrt edilebilirler: W (f) = 1 2πi f Burada f : (I, i) (S 1, 1) çemberin parametrizasyonu olsun. f(t) = exp f(t) yazarak W (f) saysn hesaplam³ oluruz. Bu ³ekilde do rusal integrali z = f(t) = exp f(t) ile de i³tirerek bilinen inregrale dönü³türebiliriz. O zaman dz = z2πi f dt olur ve W (f) = 1 2πi f dz 1 z = 0 dz z f (t)dt = f(1) f(0) Örne in f(t) = e 2πimt fonksiyonu I y S 1 etrafnda m tur attrr. (m 0 için saat yönünün tersine, m < 0 için saat yönünde) O zaman f(t) = mt alalm ve böylece W (f) = f(1) f(0) = m olur. Burada belli bir k Z tamsays için f(t) = mt+k dönü³ümü de seçilebilirdi. Bu seçimin çoklu u kolayca açklanabilir. f aslnda log f dir ve kompleks logaritma tek de erli de ildir. Π 1 (S 1, 1) in hesaplanmas için S 1 deki her 2πi f(t) f kapal yol için f(t) = e olacak ³ekilde f : I R dönü³ümünün olu³turulmas ve f(1) ile f(0) n olu³turulmas gerekir. Lemma X uzay R k nn kompakt ve konveks alt kümesi ve f : (X, x 0 ) (S 1, 1) sürekli dönü³üm olsun. t 0 Z için exp : (R, t 0 ) (S 1, 1) t exp(t) = e 2πit dönü³ümünü alalm. O zaman exp f = f olacak ³ekilde bir tek f : (X, x 0 ) (R, t 0 ) sürekli fonksiyonu vardr. f'ye f'nin yükseltilmi³ (liftingi) denir. (exp f(x 0 ) = f(x 0 ) = 1 olmas için t 0 n tamsay alnmas gerekti ine dikkat edelim.) 44

46 spat: X kompakt oldu undan f düzgün süreklidir. δ > 0 için x x < δ iken f(x) f(x ) < 2 alalm. ( diam(s 1 ) = 2 alarak f(x) ve f(x ) noktalarnn antipod olmad n garantilemi³ oluruz yani f(x).f(x ) 1 1 dir.) X snrl oldu undan tüm x X için x x 0 < δ olacak ³ekilde bir n Z + n vardr. x X için bitim noktalar x 0 ve x olan do ru parçasn (konvekslik oldu undan bu do ru parçasn yine X içinde) x 0, x 1,..., x n = x uzunluklar e³it olacak ³ekilde n parçaya ayralm. Böylece x j x j+1 = X X 0 n < δ Dolaysyla; f(x j ) 1.f(x j+1 ) 1 f(x j+1) f(x j 1 f(x ) j+1 ) f(x j ) dir. 0 j n 1 için g : X S 1 { 1} x g j (x) = f(x j ) 1.f(x j+1 ) süreklidir ve j için g j (x 0 ) = 1 dir. S 1 çarpmsal grup oldu undan f(x) = f(x 0 )[f(x 0 ) 1.f(x 1 )][f(x 1 ) 1.f(x 2 )]...[f(x n 1 ) 1.f(x n )] = f(x 0 ).g 0 (x).g 1 (x)...g n 1 (x) dir. exp dönü³ümünün ( 1, 1 ) ye kstlarsak ( 1, 1) 2 2 S1 { 1} homeomorzmasn elde ederiz. Bu dönü³ümün 2 2 tersine λ diyelim. (gerçekten λ = 1 log dur ve λ(1) = 0 dr.) j için 2πi Img j S 1 { 1} oldu undan λ g j tanml ve süreklidir. f : X R x f(x) = t 0 + λg 0 (x) + λg 1 (x) λg n 1 (x) ile tanmlansn. f dönü³ümü sürekli dönü³ümlerin toplam oldu undan süreklidir. Ayrca tüm j ler için g j (x 0 ) = 1 ve λ(1) = 0 oldu undan f(x 0 ) = t 0 dr. Ve exp f = f dir. f nin tekli i ö renciye ödev olarak braklm³tr. Sonuç f : (I, i) (S 1, 1) sürekli olsun. 45

47 1. k f = f ve f(0) = 0 olacak ³ekilde bir tek sürekli fonksiyon f : I R dir.(burada k = exp dir.) 2. g : (I, i) (S 1, 1) sürekli ve f g rel{i} ise f g rel {i} dir.ayrca f(t) = g(t) olur. Ayrca g(1) = f(1) spat: 1. I konveks ve kompakt oldu undan bir önceki lemmadan açktr. 2. I I uzay kompakt ve konvekstir. (0, 0) noktasn baz noktas olarak alalm. F : I I S 1 relatif homotopi (F : f g reli) ise o zaman bir önceki lemmadan exp F = F olacak ³ekilde F : I I R vardr ve F (0, 0) = 0 dr. I I F F exp S 1 R F (t, 0) = f(t), F (t, 1) = g(t), F (0, s) = (1, 0) = F (1, s) F : f g reli oldu unu yani F homotopisinin yükseltilebilece ini iddia ediyoruz. ϕ 0 : I R ϕ 0 (t) = F (t, 0) olarak tanmlansn. O zaman exp ϕ 0 (t) = exp F (t, 0) = F (t, 0) = f(t) dir. ϕ 0 (0) = F (0, 0) = 0 oldu undan ve yükseltilmi³in tekli inden ϕ 0 = f dr. θ 0 : I R θ 0 (t) = F (0, t) olarak tanmlansn. Benzer argümanla θ 0 0 sabit fonksiyon oldu u görülebilir. Buradan F (0, 1) = 0 dr. ϕ 1 : I R ϕ 1 (t) = F (t, 1) olsun. exp ϕ 1 (t) = F (t, 1) = g(t) ve ϕ 1 (0) = F (0, 1) = 0 oldu undan ϕ 1 = g dir. Son olarak θ 1 : I R θ 1 (t) = F (1, t) olarak tanmlansn. exp θ 1 = c sabit dönü³ümdür. Ayrca t için exp θ 1 (t) = f(1) ve θ 1 (0) = f(1) dir. Böylece f(1) üzerindeki sabit dönü³üm c dönü³ümünün yükseltilmi³idir ve teklikten t için θ 1 (t) f(1) dir. O halde f(1) = g(1) olur. F relatif homotopi olur. Tanm f : (I, i) (S 1, 1) sürekli fonksiyon olsun.f nin derecesi: degf = f(1) ³eklinde tanmlanr. Burada f, f nin yükseltilmi³idir. 46

48 Teorem d : Π 1 (S 1, 1) (Z, +) [f] d([f]) =degf homomorzmi izomorzmdir. Ayrca deg(f g) =deg(f)+deg(g) dir. Sonuç S 1 basit ba lantl de ildir. 2. S 1 deki iki kapal yol, yol homotoptur iki yol ayn dereceye sahiptir. spat: 1. Π 1 (S 1, 1) = Z {1} 2. ( )f, g : (I, 1) (S 1, 1) iki yol ve f g olsun. O zaman f g ve f(1) = g(1) olur. Buradan deg f = deg g dir. ( ) deg f = f(1) deg g = g(1) f g k f k g f g Topolojik Grup Tanm (G, τ) bir topolojik uzay, (G, ) bir grup olsun.a³a dakiler mevcut ise (G, τ, ) yapsna topolojik grup denir. 1. G G G sürekli (x, y) x y 2. G G sürekli x x 1 Örnek (R, τ S, +) bir topolojik gruptur. 2. (S 1, τ A, ) bir topolojik gruptur. τ A = {S 1 V V τ S τ S } τ S τ S i³lemi kompleks saylar üzerinde çarpmadr. z 1, z 2 S 1 C için z 1.z 2 = (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1, y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 47

49 3. (GL(n, R), τ G, ) bir topolojik gruptur. (GL(n, R) = {A i M n n deta 0} GL(n, R) R n2 = R R... R }{{} n 2 τ G = {A W W τ S... τ S } O(n) = {A (GL(n, R) A.A 1 = 1} SO(n) = {A O(n) deta = 1} SO(n) O(n) GL(n) izomorzm homeomorzm dieomorzm izotopi H-Uzay (Hoph Uzay) Tanm (X, x 0 ) bir noktal topolojik uzay olsun.m(x 0, ) ve m(, x 0 ) dönü³ümlerinin her biri 1 X 'e relatif olarak homotop olacak ³ekilde m : (X X, x 0 x 0 ) (X, x 0 ) dönü³ümü varsa (X, x 0 ) uzayna H-Uzay denir. m(x 0, ) : {x 0 } X X m(, x 0 ) : X {x 0 } X m(x 0, ) 1 x0 Not Her topolojik grup bir H-uzaydr. Teorem (X, x 0 ) H-uzay ise Π 1 (X, x 0 ) abeldir. spat: θ : Π 1 (X, x 0 ) π 1 (X, x 0 ) π 1 (X X, x 0 x 0 ) ([f], [g]) θ([f], [g]) = [(f, g)] [f], [g] π 1 (X, x 0 ) ise [f] [g] = [g] [f]? [g] = (m (k, 1 x ) [g] (H-uzay) = m (k, 1 x ) [g] (π 1 funktor) = m ((k g, g)) = m (θ([kg], [g]) 48

50 = m θ([e], [g]) [f] = m θ([f], [e]) [f] [g] = m θ([f], [e]) m θ([e], [g]) = m θ([f], [g]) m ([f], [g]) = [g] [f] Sonuç (X, x 0 ) topolojik grup ise Π 1 (X, x 0 ) abeldir. 49

51 Bölüm 4 ÖRTÜ UZAYLARI Tanm X, ve X iki topolojik uzay, p : X X sürekli bir dönü³üm olsun. A³a daki özellikler mevcut ise, X deki U aç na "p tarafndan düzgün örtülüyor" denir: i) p 1 (U) = S i, i için, S i X da açk kümeler. ii) p Si : S i U bir homeomorzmdir. Tanm X, ve X iki topolojik uzay olsun.a³a dakiler mevcut ise ( X, p) ikilisine X topolojik uzaynn "örtü uzay"; p dönü³ümüne de "örtülü dönü³üm" denir: i) X yol ba lantldr. ii) p : X X süreklidir. iii) x X noktasnn bir U açk kom³ulu u p tarafndan düzgün örtülür. Örnek p : R S 1 t p(t) = (cos 2πt, sin 2πt) ile tanmlanan dönü³üm örtü dönü³ümüdür. Yani (R, p), S 1 in örtü uzaydr. Çözüm: p nin identikasyon dönü³ümü oldu unu biliyoruz. O halde p örten ve süreklidir. Ayrca R yol ba lantldr(çünki konveks). (1, 0) U olsun. p 1 (U) yu belirleyelim. S i = (i 1, i + 1) R açk aralklar için, S 4 4 i S j = i j ve p 1 (U) = i Z S i imdi p Si : S i U nun homeomorzma oldu unu gösterelim. 50

52 i) p sürekli oldu undan p Si dönü³ümü de süreklidir. ii) x 1 x 2 S i için p(x 1 ) p(x 2 ) p Si oldu undan injektiftir. iii) w U için t S i öyle ki p(t) = w w = p(t) = e 2πit t = 1 2πi ln w S i oldu undan p Si surjektiftir. iv) (p Si ) 1 : U S i w (p Si ) 1 (w) = 1 ln w dönü³ümü süreklidir. 2πi Örnek Her homeomorzm bir örtülü dönü³ümdür. p : X Y bir homeomorzm olsun. Bu durumda p örten ve süreklidir. i) Süreklilikten dolay U Y açk için p 1 (U) = V X açktr. ii) p homeomorzm oldu undan p Vα homeomorzmdir. O halde inceledi imiz p homeomorzmi örtü dönü³ümdür. Örnek X birim dönü³ümü bir örtü dönü³ümdür. 1 X : X X birim dönü³ümünün örten ve sürekli oldu unu biliyoruz. i) U = V α alrsak p 1 (U) = U = V α dr. ii) p U : U U homeomorzmdir. O halde 1 X örtülü dönü³ümdür. Örnek E = X {0, 1, 2, 3,...} ve B = X olmak üzere p : E B örtü dönü³ümdür. x X için (x, 0) X {0, 1, 2, 3,...} öyle ki p(x, 0) = x oldu undan p örtendir. U B = X de açk olsun. p 1 (U) = U Z + süreklidir. E açk oldu undan p i) p 1 (U) = α Z +U {α} ayrk birle³imine e³ittir. ii) p Vα : V α U; p Vα : U α U homeomorzmdir. O halde p örtü dönü³ümdür. 51

53 Örnek p : S 2 RP 2, p(z) = [z] ile tanmlanan bölüm dönü³ümü örtü dönü³ümdür. Örnek p : R + de ildir. S 1, p(t) = (cos2πt, sin2πt) örtülü dönü³üm Örnek p p : R R S 1 S 1 örtü dönü³ümdür. Çünkü; p : R S 1 örtü dönü³ümlerinin kartezyen çarpm da örtü dönü³ümüdür. Lemma ( X, p) X uzaynn örtü uzay olsun. 1. p : X X sürekli örten ve açktr. 2. p identikasyon dönü³ümdür. 3. X yol ba lantldr. spat: 1. U X açk olsun. p 1 (U) = i I S i S i X açk. pp 1 (U) = p( S i ) = p(s i ) = U oldu undan p örtendir. i I i I p : X X örtü dönü³ümü ve V X açk olsun. p(v ) nin X de açk oldu unu gösterelim. x p(v ) olsun. x noktasn içeren bir U kom³ulu u vardr öyleki U düzgün örtülüyor. x p 1 (x) V olsun. Ũ; x noktasn içeren U üzerinde bir sheet olsun. p : Ũ U homeomorftur. O halde Ũ V Ũ açk oldu undan p(ũ V ) = U açktr. V = Ũ i V = Ũ i V p(v ) = p( Ũ i V ) = U olur. p i I i I i I açk dönü³ümüdür. 52

54 2. p sürekli örten ve açk oldu undan identikasyondur. 3. X yol ba lantl ve p örten ve sürekli oldu undan p( X) = X de yol ba lantldr. Teorem G yol ba lantl topolojik grup, H da G nin diskret normal alt grubu olsun. p : G G/H do al homomorzm ise p örtü dönü³ümdür. ((G, p), G/H n örtü uzaydr.) spat: G/H n topolojik grup oldu unu biliyoruz. Önce p dönü³ümünün açk oldu unu görelim. V G açk olsun. p(v ) = {Hx : x V } dir. Böylece p 1 p(v ) = Hx = hv dir. x V h H L h : G G g hg homeomorzma oldu undan hv G açktr. Bu yüzden p 1 p(v ) G de açktr. p dönü³ümü identikasyon oldu undan p(v ) G/H da açk olur. H normal altgrubu diskret oldu undan tüm alt kümeleri açk ve kapaldr. 1 G birim eleman için W H = {1} olacak ³ekilde bir W G aç mevcuttur. G G G (x, y) xy 1 sürekli oldu undan 1 birim elemannn V V 1 W olacak ³ekilde bir V kom³ulu u vardr. U = p(v ) ³eklinde tanmlansn. p açk oldu undan 1 U G/H açk kom³ulu u olur. U nun p tarafndan düzgün örtüldü ünü iddia ediyoruz. Yukarda gösterdi imiz gibi p 1 (U) = p 1 p(v ) = hv hv G açk idi. h H için hv formundaki h H kümeler iki³erli ayrktr yani h, k H h k ise hv kv = dir. (Bir an için hv kv oldu unu kabul edelim. O zaman v, w V vardr öyle ki hv = kw olur. Buradan vw 1 = k 1 h V V 1 H W H = {1} elde edilir ki bu da çeli³kidir.) Sonuç olarak p hv : hv U homeomorzmadr: p hv dönü³ümünün açk ve sürekli oldu unu biliyoruz. p(hv ) = p(h)p(v ) = p(v ) = U (h H = kerp) oldu undan p hv surjektiftir. v, w W için p(hv) = p(hw) p(v) = p(w) ve vw 1 V V 1 H = {1} oldu undan p hv injektiftir. E er x G/H ise o zaman xu G/H; x noktasnn açk kom³ulu udur ve p tarafndan düzgün örtülür. Bu durumda (G, p); G/H n örtü uzaydr. 53

55 Lemma p : X X örtü dönü³ümü, Y ba lantl uzay ve f : (Y, y 0 ) (X, x 0 ) sürekli dönü³üm olsun. Verilen x 0 p 1 (x 0 ) için p f = f olacak ³ekilde en çok bir f : (Y, y 0 ) ( X, x 0 ) sürekli dönü³üm vardr. (Y, y 0 ) f f ( X, x 0 ) p (X, x 0 ) spat: p f = f olacak ³ekilde f : (Y, y 0 ) ( X, x 0 ) sürekli dönü³ümünün oldu unu kabul edelim. A = {y Y : f(y) = f (y)} B = {y Y : f(y) f (y)} Y = A B ve A B =, A ve B açk alt kümeler ve üstelik Y ba lantldr. Bu durumda A = ya da B = dir. A olmaldr çünkü y 0 A dr. O zaman B = olur. f = f dir. a A alalm. U, f(a) nn bir kom³ulu u olsun. S de f(a) = f (a) y içeren U üzerinde bir yaprak(sheet) olsun. W = f 1 (S) f 1 (S) Y deki a noktasnn bir kom³ulu udur. w W ise f(w) ve f (w) S ye aittir. Böylece p f(w) = f(w) p f (w) = f(w) w W için f(w) = f (w) dir. Çünkü p S homeomorzmdir. w A W A A açktr. X Hausdor olsayd, A kapal olacakt ve ispat tamamlanacakt. b B olsun. Bu durumda V, f(b) nin bir kom³ulu udur. E er hem f(b) hem de f (b), V nin ayn yapra üzerine dü³üyorsa f(b) = f (b) b B olmas ile çeli³ir. Dolaysyla f(b) S ve f (b) S olur ki S ve S farkl yapraklardr. 54

56 W = f 1 (S) (f ) 1 (S ) W, b nin bir açk kom³ulu udur. Buradan b W b W W B olur. O halde B açktr. Teorem (Lifting Lemma) p : ( X, x 0 ) (X, x 0 ) örtü dönü³ümü ve f : (I, 0) (X, x 0 ) bir yol olsun. E er x 0 p 1 (x 0 ) ise p f = f olacak ³ekilde bir tek f : (I, 0) ( X, x 0 ) yolu vardr. spat: I ba lantldr. Bir önceki lemmadan f tektir. O halde f nn varl n gösterelim. x = f(a) nn kom³ulu u U ve f([a, b]) U olacak ³ekilde [a, b] I alalm. g : ([a, b], a) ( X, x) t g(t) = (p S ) 1 f [a,b] olsun. t I için U t, f(t) nin bir kom³ulu u olsun. {f 1 (U t t I} I kompakt metrik uzaynn açk örtüleridir. Bu örtünün bir Lebesgue says λ vardr.yani: 0 < δ < λ ve Y I; çap δ dan küçük olan bir altküme ise o zaman bir t I için Y f 1 (U t ) dir yani f(y ) U t dir. i = 1, 2,..., m 1 için t i+1 t i < δ olacak ³ekilde I nn t 1 = 0, t 2..., t m = 1 parçalan³ olsun. O zaman g 1 : [0, t 2 ] X p g 1 = f [0,t2 ] g 1 (0) = x 0 g 2 : [t 2, t 3 ] X p g 2 = f [t2,t 3 ] g 2 (t 2 ) = g 1 (t 2 ) i m 2 için; g i+1 : [t i+1, t i+2 ] X p g i = f [ti+1,t i+2 ] ve g i+1 (t + 1) = g i (t + 1) O halde f : (I, 0) ( X, x 0 ) t [t i, t i+1 ] için f(t) = g i (t) olcak ³ekilde sürekli bir dönü³üm mevcuttur. 55

57 Teorem Covering Homotopi Teoremi P : X X örtü dönü³ümü, Y herhangi bir uzay olsun. A³a daki diyagram ele alalm. Y j Y I F f F X X p J(y) = (y, 0), y Y O zaman p F = F olacak ³ekilde bir F : Y I X sürekli fonksiyon vardr. Ayrca Y yol ba lantl ise F tektir. Sonuç Covering Homotopi Lemma p : X X bir örtü dönü³ümü; x 0, x 1 X f, g : I X x 0 dan x 1 e giden iki yol olsun. Ayrca x 0 p 1 (x 0 ) olsun. 1. E er F : I I X dönü³ümü f ve g arasnda relatif homotopi ise p F = F ve F (0, 0) = x 0 olacak ³ekilde birtek F : I I X sürekli dönü³ümü vardr. 2. f, g, f ve g nin yükseltilmi³i ( f(0) = g(0) = x0 ) ise f(1) = g(1) dir ve f g rel {i} dir. spat: 1. Y = I alrsak teoremden sonuca ula³rz. 2. f, g, f, g nin yükseltilmi³i ve f(0) = g(0) olsun. p f = f ve p g = g dir. F 0 : I X t F 0 (t) = F (t, 0) ³eklinde tanmlansn. O zaman p F 0 = f ve F 0 (0) = F (0, 0) = x 0 dir. Lifting Lemma dan F 0 = f dir. F {0} I X da bir yoldur. Lifting Lemma dan t I için F (0, t) = x 0 = f(0) = g(0) dr. Benzer ³ekilde F {1} I, f(1) de sabit yoldur. F 1 : I X 56