ÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER YÜKSEK L SANS TEZ. Nazl DO AN

Transkript

1 STANBUL KÜLTÜR ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER YÜKSEK L SANS TEZ Nazl DO AN Anabilim Dal: Matematik-Bilgisayar Program: Matematik-Bilgisayar Tez Dan³man: Doç. Dr. Mert ÇA LAR A USTOS 2013

2 STANBUL KÜLTÜR ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER YÜKSEK L SANS TEZ Nazl DO AN Tezin Enstitüye Verildi i Tarih : 19 Temmuz 2013 Tezin Savunuldu u Tarih : 05 A ustos 2013 Tez Dan³man: Di er Jüri Üyeleri: Yedek Üye: Doç. Dr. Mert ÇA LAR Prof. Dr. Zafer ERCAN (Abant zzet Baysal Üniversitesi) Yrd. Doç. Dr. R. Tunç MISIRLIO LU Yrd. Doç. Dr. Ya³ar POLATO LU A USTOS 2013

3 Özet ÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER DO AN, Nazl Yüksek Lisans Tezi, Matematik-Bilgisayar Bölümü Tez Dan³man: Doç. Dr. Mert ÇA LAR Temmuz 2013, 113 sayfa Bu tez çal³mas A. A. Wickstead'in Separable Banach lattices on which every linear operator is regular ba³lkl makalesine [18] dayanmakta ve yedi bölümden olu³maktadr. kinci bölümde Boole cebiri teorisi detayl olarak çal³lm³tr. Üçüncü bölümde Riesz uzaylar tantlm³, bu çal³ma içerisinde kullanlan özelliklerine de inilmi³, ve bir Riesz uzaynn evrensel tamlan³ detaylaryla karakterize edilmi³tir. Dördüncü bölümde Banach örgüleri tantlm³, bu çal³ma içerisinde kullanlan özelliklerine de inilmi³, ve Banach örgüleri üzerinde tanml regüler operatörler ile norm-snrl operatörler arasndaki ili³ki tantlm³tr. Be- ³inci bölümde yerel konveks uzaylarn kompakt konveks alt kümelerinde tanml reel de erli fonksiyon snaryla ilgilenilmi³ ve bölümün sonunda an fonksiyonlar ile AM-uzaylarnn bir karakterizasyonu verilmi³tir. Altnc bölümde Fonksiyonel Analizde kar³la³lan klâsik uzaylarda regüler operatörler ile norm-snrl operatörler arasndaki ili³ki incelenmi³tir. Son bölümde, A. W. Wickstead'in ayrlabilir AM-uzaylarnn sra-birime sahip olmasyla ilgili bir karakterizasyonu incelenerek üzerinde tanml olan her norm-snrl operatörün regüler oldu u ayrlabilir Banach örgülerinin karakterizasyonu üzerinde durulmu³tur. ANAHTAR KEL MELER: Banach örgüsü, regüler operatör, evrensel tamlan³, simpleks, an fonksiyon. iii

4 Abstract BANACH LATTICES ON WHICH EVERY NORM-BOUNDED OPERATOR IS REGULAR DO AN, Nazl M.Sc. Thesis, Department of Mathematics and Computer Science Supervisor: Assoc. Prof. Mert ÇA LAR July 2013, 113 pages This thesis, based on the paper entitled Separable Banach lattices on which every linear operator is regular by A. A. Wickstead [18], consists of seven chapters. Chapter two provides a detailed study of the theory of Boolean algebras. In chapter three, having introduced Riesz spaces, properties of them used in the thesis are given, and the universal completion of a Riesz space is characterized. The purpose of chapter four is to introduce Banach lattices along with their properties that are necessary throughout, and examine the relationships between norm-bounded and regular operators. Chapter ve deals with several classes of real-valued functions on compact convex subsets of locally convex spaces and contains a characterization of AM-spaces by ane functions in its nal part. The subject matter of chapter six is the relationship between regular and normbounded operators on the classical spaces of Functional Analysis. In the nal chapter, a characterization of separable AM-spaces to have an order-unit given by A. W. Wickstead is thoroughly studied, and the problem of characterizing separable Banach lattices on which every norm-bounded operator is regular is discussed. KEYWORDS: Banach lattice, regular operator, universal completion, ane function, simplex. iv

5 Te³ekkür Öncelikle 2010 ylndan beri bana yol gösteren, yüksek lisans e itimim boyunca sabrla yönlendiren tez dan³manm Sayn Mert Ça lar'a, yüksek lisans ders döneminde ve sonrasnda yapt yardmlardan dolay Sayn R. Tunç Msrlo lu'na, 2010 ylndan beri beni cesaretlendiren, destekleyen, yardmlarn esirgemeyen çok de erli Hocam Aydn Aytuna'ya, her zaman manevi desteklerini hissettiren sevgili arkada³larm Tu ba Yldrm ve Çi dem Çelik'e, sonsuz inanç ve sevgilerinden dolay sevgili aileme, son olarak bu süreçte maddi deste inden dolay TÜB TAK'a te³ekkür ederim. v

6 çindekiler Özet iii Abstract iv Te³ekkür v 1 gr³ ksmî sralama ve örgüler Da lma Özelli ine Sahip Örgüler Boole Cebiri ve Boole Halkas Asal dealler ve Stone Gösterili³ Teoremi Kabuk-Çekirdek Topolojisi resz uzaylar ve evrensel tamlan³ Riesz Uzaylar C (X)-uzaylar Evrensel Tamlan³ banach örgüler ve üzerlerndek regüler operatörler Banach Örgüleri Banach Örgüleri Üzerinde Regüler Operatörler vi

7 5 kompakt-konveks kümeler üzernde afn fonksyonlar uzay Simplekler, Yüzler ve Gösterili³ Teoremleri Kompakt-Konveks Kümeler Üzerindeki Reel-De erli Fonksiyonlar Noktalarn Ölçülerle Temsili klâsk banach örgüler üzernde norm-snrl ve regüler operatörler Klâsik Uzaylar çin Önemli Sonuçlar üzerndek her norm-snrl operatörün regüler oldu u banach örgüler Sonuçlar Kaynakça Özgeçm³ vii

8 Bölüm 1 gr³ Genel operatör teorisi içinde özel ve önemli bir yeri olan pozitif operatörler teorisi çal³lmaya ba³land ndan bu yana, bir E Banach örgüsünden bir ba³ka F Banach örgüsüne giden tüm norm-snrl operatörlerin hangi ko³ullar altnda iki pozitif operatörün fark ³eklinde yazlabilece i problemi do al olarak gündeme gelmi³ ve bu problemi merkeze alan birçok çal³ma yaplm³tr. Bu tez çal³masnda, sözü edilen problemin önemli bir özel durumu incelenmektedir. E ve F Banach örgüleri olmak üzere, E uzayndan F uzayna giden ve iki pozitif operatörün fark olarak yazlabilen (di er bir deyi³le, regüler olan) operatörlerin vektör uzay L r (E, F ) ile, tüm norm-snrl operatörlerin vektör uzay ise L (E, F ) ile gösterildi inde, L r (E, F ) uzaynn L (E, F ) uzaynn bir alt uzay oldu u hemen görülür. Bu iki uzay, genel olarak, birbirinden farkldr. L r (E, F ) uzay ile L (E, F ) uzay arasndaki ili³ki incelenmek istendi inde, hangi ko³ullar altnda her norm-snrl operatörün regüler oldu u, ve bu özellik sa land- nda operatör normu ile L r (E, F ) uzay üzerinde tanmlanan r-normunun ne zaman birbirlerine e³it olduklar biçiminde iki temel problemle kar³la³lr. E er L (E, F ) = L r (E, F ) oluyorsa ve her operatörün operatör normu ile r-normu ile birbirlerine e³itse, L r (E, F ) L (E, F ) ³eklinde gösterelim ylnda Fremlin tarafndan, L r (E, l 1 ) = L (E, l 1 ) e³itli i var ise E uzaynn bir AL-uzayna izomork oldu u gösterilmi³tir ylnda Cartwright ve Lotz, Fremlin'in sonucunu geli³tirerek, L r (E, F ) = L (E, F ) e³itli i var ve F (E ) uzay bir l p uzayna örgü izomork alt uzaya sahip ise E (F ) uzaynn bir AL- (AM-) uzayna örgü izomork oldu unu kantlam³lardr. Ayn makalede, L r (E, F ) = L (E, F ) e³itli i varsa E uzaynn bir AL- uzayna, F uzaynn da bir 1

9 AM-uzayna örgü izomork olmas gerekti i sav ortaya atlm³tr; ancak 1977'de Yuri Abramovich, L r (E, F ) = L (E, F ) e³itli ini sa layan bir AL-uzayna örgü izometrik olmayan bir E uzay ve bir AM-uzayna örgü izomork olmayan bir F uzay kurarak, bu savn gerçeklenmeyece ini göstermi³tir. Yine ayn eserde, e er L r (E) = L (E) ise E uzaynn ya bir AL-uzayna ya da bir AM-uzayna örgü izometrik oldu u gösterilmi³tir. Keyfî bir E AL-uzay için L r (E) = L (E) e³itli i sa lanmasna ra men, L r (E) = L (E) e³itli inin sa lanmad E AM-uzaylar mevcuttur ylnda Wickstead tam olarak hangi AM-uzaylarnn bu e³itli in sa land n göstermeye çal³m³ ve ayrlabilir Banach örgüleri için ilgili problemi çözmü³tür. 2

10 Bölüm 2 ksmî sralama ve örgüler Bu bölümde da lma özelli ine sahip örgüler özellikle Boole cebirleri üzerinde daha sonra kullanaca mz çe³itli tanmlar ve teoremler verilecektir. Stone Gösterili³ Teoremi verilecek ve da lma özelli ine sahip bir örgünün Stone uzay üzerinde kabuk-çekirdek topolojisi kurulacaktr. Kabuk-çekirdek topolojisinin önemli topolojik özellikleri ara³trlacaktr. Daha fazla bilgi için [11] kayna na ba³vurulabilir. 2.1 Da lma Özelli ine Sahip Örgüler X bo³tan farkl bir küme olsun. Bütün (x, y) (x, y X) sral ikililerinin kümesine X'in kendisiyle kartezyen çarpm denir ve X X ile gösterilir. X X kartezyen çarpmnn bo³tan farkl bir alt kümesine X kümesi üzerinde bir ba nt denir ve genellikle bir ba nt R ile ve ba ntnn elemanlar da xry ile gösterilir. yi bilinen ba ntlardan birisi denklik ba ntsdr ; bir R ba nts (i) xry ve yrz iken xrz (geçi³me), (ii) her x X için xrx (yansma), (iii) xry iken yrx (simetri), özelliklerine sahipse R ba ntsna denklik ba nts denir. Bir di er iyi bilinen ba nt ise ksmi sralamadr ; bir R ba nts (i) xry ve yrz iken xrz, 3

11 (ii) her x X için xrx, (iii) xry ve yrx iken x = y (ters simetri), özelliklerine sahipse R ba ntsna ksmi sralama denir. X üzerindeki bir R ksmi sralama ba ntsnn xry elemanlarn genellikle x y (ya da, denk olarak y x) ³eklinde yazaca z. Key x, y X elemanlarna ya x y ya da y x gerçekleniyorsa kar³la³trlabilir, ne x y ne de y x gerçeklenmiyorsa kar³la³trlamaz denir. E er X kümesinin bütün elemanlar kar³la³trlabilir ise bu ksmi sralama ba ntsna lineer sralama denir. X ksmi sral bir küme olmak üzere X kümesi üzerindeki ksmi sralamay bo³tan farkl her Y X alt kümesi üzerine indirebiliriz, e er Y kümesi indirdi imiz ksmi sralamaya göre lineer sral ise Y kümesine X kümesi içinde bir zincir denir. X ksmi sral bir küme ve Y X bo³tan farkl olsun. Bir x 0 X eleman her y Y için x 0 y sa lyorsa x 0 elemanna Y kümesinin bir üst snr denir. Y kümesinin bir x 0 üst snr di er tüm üst snrlarndan küçükse, yani key üst snr x 0 için x 0 x 0 sa lyorsa, x 0 elemanna Y kümesinin en küçük üst snr veya supremumu denir ve x 0 = sup Y veya x 0 = sup {y : y Y } ile gösterilir. Ayrca bir kümenin supremumu tek türlü belirlidir, e er x 0 ve x 0 bir Y kümesinin supremumlar olsayd x 0 x 0 ve x 0 x 0 oldu undan x 0 = x 0 bulunurdu. Benzer ³ekilde bir kümenin alt snr, en büyük alt snr ve inmumu tanmlanr ve bir Y kümesinin inmumu inf Y = inf {y : y Y } ile gösterilir. X ksmi sral bir küme ve x 0 X olmak üzere x X ve x 0 x iken x 0 = x ise x 0 elemanna maksimal eleman denir (x 0 maksimal elemann her x X elemanndan büyük olmas gerekmez). Bir x 0 X eleman her x X için x 0 x sa lyorsa x 0 elemanna X kümesinin en büyük eleman denir ve ayn zamanda x 0 eleman tek maksimal elemandr. Fakat X ksmi sral kümesi tek maksimal elemana sahip olsa bile bu elemann en büyük eleman olmas gerekmez. Minimal eleman ve en küçük eleman tanmlar benzer ³ekilde verilir. yi bilinen ve skça kullanlacak Zorn Lemmasn verelim. Zorn Lemmas: X ksmi sral bir küme olmak üzere X kümesi içindeki her zincirin bir üst snr varsa, X kümesi en az bir maksimal elemana sahiptir. 4

12 Tanm X ksmi sral bir küme olsun. (i) E er X kümesinin bo³tan farkl her alt kümesinin supremumu ve inmumu varsa X kümesine sra tam denir. (ii) E er X kümesinin bo³tan farkl üstten snrl (alttan snrl) her alt kümesinin supremumu (inmumu) varsa X kümesine Dedekind tam denir. (iii) E er X kümesinin bo³tan farkl üstten snrl (alttan snrl) saylabilir her alt kümesinin supremumu (inmumu) varsa X kümesine Dedekind σ-tam denir. (iv) E er X kümesinin iki elemanl her alt kümesinin supremumu ve inmumu varsa X kümesine örgü denir. Bir X örgüsünde x, y X olmak üzere x ve y elemanlarndan olu³an kümenin supremumunu sup (x, y) veya x y ile gösterece iz. Benzer ³ekilde x ve y elemanlarndan olu³an kümenin inmumunu inf (x, y) veya x y ile gösterece- iz. ndüksiyon ile bir örgü içindeki sonlu her kümenin supremumu ve inmumu oldu unu da söylebiliriz ve sonlu bir {x 1,..., x n } kümesinin supremumunu ve in- mumunu srasyla sup {x 1,..., x n } ( x 1... x n veya ( x 1... x n veya n^ i=1 x i ) ile gösterece iz. Tanm Bir X örgüsünde her x, y, z X için x (y z) = (x y) (x z) oluyorsa da lma özelli ine sahiptir denir. n_ i=1 x i ) ve inf {x 1,..., x n } Tanmdaki supremum ve inmumun yerlerini de i³tirebiliriz, yani bir X örgüsünün da lma özelli ine sahip olmas için gerek yeter ko³ul her x, y, z X için x (y z) = (x y) (x z) olmasdr. Bir X örgüsü en küçük ve(veya) en büyük elemana sahip ise bu elemanlar srasyla θ ve e ile gösterece iz. X da lma özelli ine sahip, en küçük ve en büyük 5

13 eleman olan bir örgü olmak üzere x, x X elemanlar için x x = θ ve x x = e sa lanyorsa x elemanna x elemannn tümleyeni denir. Bu durumda x eleman da x elemannn tümleyenidir. Teorem X da lma özelli ine sahip, en küçük ve en büyük eleman olan bir örgü olmak üzere e er bir x X elemann tümleyeni varsa tek türlü belirlidir, di er bir deyi³le her elemann en fazla bir tümleyeni vardr. Kant. Bir x X elemannn x ve x gibi iki tümleyeni oldu unu varsayalm. O halde x = x θ = x (x x ) = (x x) (x x ) = e (x x ) = (x x ). Benzer ³ekilde x = (x x ) elde edilir. Sonuç olarak x = x bulunur. 2.2 Boole Cebiri ve Boole Halkas Da lma özelli ine sahip, en küçük, en büyük eleman olan ve her elemann tümleyene sahip oldu u örgüler Boole cebiri olarak adlandrlr. Teorem X bir Boole cebiri, x, y X ve x y olmak üzere X x,y = {z X : x z y} kümesi de X üzerinde sralamay üzerine indirdi imizde bir Boole cebiridir ve bu Boole cebirinin en küçük eleman x ve en büyük eleman y'dir. Kant. X Boole cebirinin en büyük elemann e, en küçük elemann θ ile gösterelim. X üzerinde sralamay X x,y üzerine indirdi imizde X x,y kümesinin da lma özelli ine sahip bir örgü oldu u açktr. imdi X x,y kümesindeki her z X x,y elemann X x,y içinde tümleyeninin oldu unu gösterelim. z elemann X kümesi içindeki tümleyenini z ile gösterelim. z = (z y) x dersek z z = z {(z y) x} = {z (z y)} (z x) = θ x = x, z z = z (z y) x = z (z y) = (z z ) (z y) = e y = y 6

14 bulunur, bu ise z elemann z elemannn X x,y kümesi içindeki tümleyeni oldu unu söyler. X en küçük elemana sahip bir örgü ve x, y X olmak üzere x y = θ ise x ve y elemanlarna dik veya ayrk denir. Bo³tan farkl U X kümesinin her iki eleman ayrk ise U kümesine ayrk denir. Bo³tan farkl bir Y X kümesinin bütün elemanlarna dik olan elemanlarn kümesine ayrk tümleyen denir ve Y d := {x X : x y = θ y Y } ile gösterilir. X bir Boole cebiri olmak üzere bo³tan farkl bir I X kümesi x, y I x y I ve x I, y x y I özelliklerine sahipse I kümesine ideal denir. {θ} kümesi bir idealdir. Ayrca bo³tan farkl Y X alt kümesinin ayrk tümleyeni de bir idealdir. Bir I idealinin her alt kümesinin X içinde supremumu var ve bu supremum I idealinin eleman ise I idealine bant denir. deal ve bant tanmlarndan, ideallerin (bantlarn) kesi³imlerinin ideal (bant) oldu unu söyleyebiliriz. Ayrca bo³tan farkl bir D X kümesini kapsayan ideallerin kesi³imine D kümesi tarafndan üretilen ideal denir. Benzer ³ekilde D kümesi tarafndan üretilen bant D kümesini kapsayan bantlarn kesi³imidir. X bo³tan farkl bir küme ve Γ, X kümesinin alt kümelerinin bir toplulu u olmak üzere her A, B Γ için A B Γ ve A\B Γ sa lanyorsa Γ toplulu una bir halka denir. Tanmdan da kolayca görülece i gibi Γ toplulu u sonlu birle³im ve kesi³im altnda kapaldr. Γ toplulu u içerme ba ntsyla ksmi sraldr. Açkça görülece i gibi da lma özelli ine sahip, en küçük eleman olarak bo³ kümeyi içeren bir örgüdür. E er X kümesinin kendisi Γ toplulu unun eleman ise Γ kümesine cebir denir. Bu durumda Γ en büyük eleman X olan bir Boole cebiridir ve her A Γ için X \ A kümesi da lma özelli ine sahip yaplar içinde verilen tümleyen tanmna göre A kümesinin tümleyenidir. X bir Boole cebiri olsun. B, E X olmak üzere her 0 < b B için 0 < x b olacak ³ekilde x E varsa E kümesi B kümesini minorize ediyor denir ve E 7

15 kümesine B kümesinin minorant denir. Bo³tan farkl bir M X kümesinin üst snrlarnn kümesini u.b. (M) ile gösterelim. Bir Boole cebirinin ayrk bir alt kümesine ters zincir diyelim. Teorem (Tüketme Prensibi) X bir Boole cebiri ve M X bo³tan farkl bir alt küme olsun. Bir E X kümesi M kümesi tarafndan üretilen B bandn minorize etsin. Bu durumda öyle bir E 0 E ters zinciri vardr ki u.b. (E 0 ) = u.b. (M) ve her x E 0 için öyle bir y M vardr ki x y sa lanr. Kant. U ile a³a daki ko³ullar sa layan tüm A ters zincirlerinin kümesini gösterelim: (a) A E, (b) her x A öyle bir y M vardr ki x y sa lanr. y M E er θ y M eleman varsa minorant olma ko³ulundan y x olacak ³ekilde θ x E eleman vardr. Böylece {x} U bulunur ki bu durumda U bo³tan farkldr. U içerme ba ntyla sral bir kümedir ve Zorn Lemmasnn ko³ullarn sa lar. O halde U bir maksimal elemana sahiptir, bu maksimal eleman E 0 ile gösterelim. U toplulu unun tanmndaki (b) ko³ulundan u.b. (M) u.b. (E 0 ) bulunur. Özellikle u.b. (E 0 ) = {e} ise ispat tamamlanr. Ters kapsamay göstermek için öyle bir e b 0 u.b. (E 0 ) elemann u.b. (M) kümesinde olmad n varsayalm. O zaman öyle bir x M eleman vardr ki x 0 := b 0 x θ. Minorant olma ko³ulundan, öyle bir y E eleman için θ < y x 0 sa lanr. Böylece E 0 {y} U bulunur ki bu ise E 0 kümesinin maksimal olmasyla çeli³ir. O halde u.b. (E 0 ) u.b. (M) bulunur. Lemma En küçük üst snra sahip olan bo³tan farkl her M X kümesi için öyle bir A X ters zinciri vardr ki sup A = sup M ve her x A eleman için x y sa layan [ öyle bir y M bulabiliriz. Kant. E := [θ, y] kümesi M için minorant alnr ve yukardaki lemma kullanlrsa istenilen elde edilir. Sonuç Bir Boole cebirinin tam olmas için gerek yeter ko³ul her ters zincirin supremuma sahip olmasdr. 8

16 X da lma özelli ine sahip ve en küçük eleman θ olan bir örgü olsun. Key x X eleman için; {y X : θ y x} kümesini X θ,x ile gösterelim ve X θ,x kümesine X örgüsünün bir ba³langç parças denir. Her x X için X θ,x ba³langç parçalarnn bir Boole cebiri oldu unu varsayalm, yani y x sa layan key iki x, y X eleman için öyle bir z X vardr ki z y = θ ve z y = x sa lanr. Bulunan z eleman y elemannn x elemanna göre tümleyeni olarak adlandrlr. Buradaki z eleman için z = x y notasyonunu kullanalm. Açktr ki x y = θ olmas için gerek yeter ko³ul x = y olmasdr. Bu ³ekilde X üzerinde toplama ve çarpma i³lemi tanmlayabiliriz öyle ki bu i³lemlere göre X baz ek özellikleri olan de i³meli bir halka olur. ³lemler, x + y toplam x y elemannn x y elemanna göre tümleyeni, xy çarpm x y olarak tanmlanr. Bu i³lemlere göre X de i³meli bir halka olur (daha fazla bilgi için, [11] s.8). X örgüsünün en küçük eleman θ bu halkann sfr eleman olur yani her x X için x + θ = x. Genelde bu halkann birim eleman yoktur, e er X bir Boole cebiri ise, o zaman en büyük eleman e bu halka için birim eleman olur. Ayrca bu halkann ek ba³ka özellikleri de vardr; her eleman e³güçlü(idempotent) elemandr yani her x X için x 2 = x, ayrca her x X için x + x = θ yani x = x sa lanr. Do al olarak bir R Boole halkasnn da lma özelli ine sahip, θ en küçük eleman, her R θ,x ba³langç parçasnn Boole cebiri olacak ³ekilde bir ksmi sralamaya sahip olup olmad ve böyle bir örgü yapsndan elde edilecek olan Boole halkasnn ba³langçtaki Boole halkas olup olmad sorusu soruldu. Bir R Boole halkas verildi inde xy = x ise x y diyelim. Bu tanmlamann bir ksmi sralama oldu u ve R Boole halkasnn da lma özelli ine sahip oldu unu, θ en küçük eleman oldu unu görmek kolaydr. x ve y elemanlarnn inmumu xy eleman ve supremumu x + y + xy elemandr. Gerçekten z = x + y + xy dersek xz = x ve yz = y oldu undan z eleman x ve y elemanlar için bir üst snrdr. z eleman x ve y elemanlar için bir ba³ka üst snr olsa zz = xz + yz + xyz = x + y + xy = z, 9

17 ve böylece z z elde edilir. Bu ise z = x+y+xy elemannn supremum oldu unu gösterir. θ y x olmak üzere x + y eleman y elemannn x elemanna göre R θ,x içindeki tümleyenidir, böylece R θ,x bir Boole cebiridir. O halde R Boole halkas istenilen özellikleri sa layan bir ksmi sralamaya sahiptir. Bu Boole halkas yapsndaki ksmi sralamadan türetilen çarpma i³lemi xy = x y ba³langçtaki çarpma i³lemidir ve x ve y elemanlarnn toplam xy elemannn x y = x+y +xy elemanna göre tümleyenidir, yani toplam x + y + xy + xy = x + y ba³langçtaki Boole halkas üzerideki toplamadr. Bu ³ekilde sral bir Boole halkas yaps elde ederiz. 2.3 Asal dealler ve Stone Gösterili³ Teoremi X da lma özelli ine ve θ en küçük elemanna sahip bir örgü olsun. Bir Z X kümesi z l, z 2 Z iken z 1 z 2 Z, z Z olmak üzere z z sa layan her z Z, özelliklerine sahipse Z kümesine ideal denir. X kümesinin kendisinden farkl ideallerine has ideal diyece iz. Bir P idealinde x y P sa layan x, y X elemanlar için ya x P ya da y P oluyorsa P idealine asal ideal denir. I bir ideal ve M bir asal ideal olmak üzere I M M sa layan her M asal ideal için M = M oluyorsa M asal idealine I idealine göre minimal asal ideal denir. Bir M ideali {θ} idealine göre minimal ise ksaca minimal asal ideal denir. X içindeki tüm has asal ideallerin toplulu unu P ile, tüm has minimal ideallerin kümesini M ile ve bir eleman içermemeye göre maksimal olan Q ideallerinin kümesini Q ile gösterelim (Q = {Q : x X x / I, I ideali için I Q}). Teorem (i) Bir P idealinin asal olmas için gerek yeter ko³ul A B P sa layan her A, B idealleri için A P veya B P olmasdr. (ii) x 0 X ve P X ideali x 0 elemann içermemeye göre maksimal, yani Q P ve x 0 / Q ise Q = P, ise P ideali asaldr. (iii) Her maksimal ideal asaldr. 10

18 Kant. (i) P bir asal ideal ve A, B X idealleri için A B P olsun. Ne A P ne de B P olmazsa öyle x A ve y B vardr ki ne x eleman ne de y eleman P idealinin elemandr. Öte yandan x y A B P ve P asal oldu undan ya x P ya da y P olur. Bu ise çeli³kidir. Böylece A P veya B P bulunur. Tersine, P ideali her A B P olan A, B X idealleri için A P veya B P özelli ine sahip olsun. x y P iken x P veya y P oldu unu gösterelim. Bunun için A ve B ile srasyla x ve y tarafndan üretilen idealleri gösterelim, yani A = {z : z x} ve B = {z : z y} olsun. O halde A B = {z : z x y} olur ve böylece x y P oldu undan A B P bulunur. Kabulümüzden A P veya B P bulunur, yani ya x P ya da y P. (ii) x 0 X ve P ideali x 0 elemann içermeme özelli ine göre maksimal olsun. E er P asal de ilse öyle y, z X \ P elemanlar vardr ki y z P sa lanr. P {y} tarafndan üretilen ideal x 0 elemann içerir, böylece öyle p 1 P ve y 1 y vardr ki x 0 = p 1 y 1 ³eklindedir. Benzer ³ekilde, P {z} tarafndan üretilen ideal x 0 elemann içerir, böylece p 2 P ve z 1 z vardr ki x 0 = p 2 z 1 ³eklindedir. p 3 = p 1 p 2 dersek x 0 p 3 y 1, x 0 p 3 z 1 ve x 0 (p 3 y 1 ) (p 3 z 1 ) = p 3 (y 1 z 1 ) P, böylece x 0 P bulunur ki bu ise hipotez ile çeli³ir. (iii) P bir maksimal ideal ve x 0 X \P ise P, x 0 elemann içermeme ba ntsna göre maksimal oldu undan (ii) ³kkndan P asal ideal bulunur. Teorem I bir ideal ve x 0 / I verildi inde öyle bir P I ideali vardr ki P ideali x 0 elemann içermeme özelli ine göre maksimaldir. Bir önceki teoremden P ideali asaldr. Böylece, key \ bir I ideali için I = { P P : P I } bulunur. Özel olarak, \ {θ} = {P : P asal ideal } olur. Kant. I idealini içeren x 0 elemann içermeyen ideallerin kümesi içerme ba ntsna göre ksmi sraldr. Ayrca bu küme içindeki her zincir bir üst snra sahiptir (zincirdeki elemanlarn birle³imi üst snr olarak alnabilir). Böylece küme bir maksimal elemana sahiptir, yani öyle bir P I ideali vardr ki P, x 0 elemann içermeme özelli ine göre maksimaldir. Ayrca önceki teoremden P asaldr. 11

19 S X ve θ / S olmak üzere x, y S iken x y S ise S kümesine ast alt örgü denir. x 0 θ ald mzda y x 0 elemanlarnn kümesi bir ast alt örgüdür. Bo³ kümede bir ast alt örgüdür. Açkça görülece i gibi bir P asal idealinin küme teorik tümleyeni S = X \ P bir ast alt örgüdür ve x S ve y x ise y S özelli ine sahiptir. Tersine, S bir ast alt örgü olmak üzere küme teorik tümleyeninin S = X \ S bir ideal olmas gerekmez. Ancak, bir P ideali için S = X \ P bir ast alt örgü ise P ideali asaldr. Bir ast alt örgü ba³ka bir ast alt örgü tarafndan has alt küme olarak içerilmiyorsa maksimal denir. Bir S ast alt örgüsü verildi inde S ast alt örgüsünü içeren bütün ast alt örgülerin kümesi içerme ba ntsna göre ksmi sraldr. Bu ksmi sral yap içindeki her zincir üstten snrldr (zincirdeki elemanlarn birle³imi üst snr olarak alnabilir). Böylece bir maksimal elemana sahiptir, yani S ast alt örgüsü bir S m maksimal ast alt örgü tarafndan içerilir. Ayrca x 0 S m ve y x 0 ise y S m 'dir. E er bir z / S m ise en az bir x S m için z x = θ olur. Gerçekten, e er her x S m için z x θ olsayd, z x elemanlarn S m kümesine ekledi imizde (z x elemanlar S m kümesine ait de ildir aksi halde z S m bulunur) bir ast alt örgü elde ederiz ki bu ise S m kümesinin maksimal olmasyla çeli³ir. Teorem (i) S X alt kümesinin maksimal ast alt örgü olmas için gerek yeter ko³ul X \ S kümesinin bir minimal asal ideal olmasdr. (ii) Her asal ideal bir minimal asal ideal içerir. (iii) X {θ} ise bir M minimal asal ideali bir x X elemannn hem kendisini hem de ayrk tümleyenini {x} d ayn anda içeremez. (iv) M bir minimal asal ideal ve x M ise {x} dd M'dir. Kant. (i) S bir maksimal ast alt örgü olsun. M = X \ S olsun. s S, t s iken t S oldu undan x M ve y x ise y M bulunur. Öte yandan x, y M alrsak öyle bir s, t S vardr ki x s = θ ve y t = θ olur. s 1 = s t dersek s 1 S ve x s 1 = y s 1 = θ, buradan da (x y) s 1 = θ bulunur ki bu ise x y / S oldu unu söyler. O halde x y M bulunur. Böylece M kümesinin bir ideal oldu unu gösterdik. Öte yandan M idealinin tümleyeni S bir ast alt örgü oldu u için M bir asal idealdir. Ayrca M ideali bir M asal idealini kesin olarak içerseydi, S ast alt örgüsü X \ M tarafndan kesin olarak içerilirdi. Bu ise S 12

20 maksimal ast alt örgü oldu undan mümkün de ildir, böylece M bir minimal asal idealdir. Tersine, M bir minimal asal ideal olsun. O halde S = X \ M bir ast alt örgüdür. E er S maksimal de ilse, S ast alt örgüsünü kesin olarak içeren S maksimal ast alt örgüsü vardr. Böylece, yukarda gösterdi imiz gibi, X \ S bir minimal asal idealdir ve X \ S M bulunur ki bu ise M idealinin minimal olmasyla çeli³ir. Böylece S maksimal ast alt örgüdür. (ii) Bir P asal ideali verildi inde S = X \ P bir ast alt örgüdür. S daima bir S maksimal ast alt örgüsü tarafndan içerildi inden M = X \S minimal asal ideali P ideali tarafndan kapsanr. (iii) M bir asal ideal olsun. Bir x X için {x} ve {x} d kümelerinin M tarafndan içerildi ini kabul edelim. S = X \M bir maksimal ast alt örgü oldu undan x M için öyle bir y S vardr ki x y = θ. O halde y {x} d bulunur bu ise y S M oldu unu söyler ki bu imkanszdr. O halde bir minimal asal idealde hem {x} hem de {x} d ayn anda bulunamaz. (iv) M bir minimal ideal ve x M olsun. (M X oldu unu kabul edebiliriz) (iii) ³kkndan y X \ M ve y {x} d eleman vardr. {x} dd, M idealinin içinde de ilse, yani öyle bir z {x} dd eleman vardr ki z S. Öte yandan y, z S ve y z = θ bulunur ki bu ise S'nin ast alt örgü olmasyla çeli³ir. R P ve x X olmak üzere {R} x ideallerinin kümesini gösterelim. ile x elemann içermeyen R R Teorem {P } x {P } y olmas için gerek yeter ko³ul x y olmasdr. Böylece {P } x = {P } y olmas için gerek yeter ko³ul x = y olmasdr. Kant. x y iken {P } x {P } y oldu unu görmek kolaydr. Tersine {P } x {P } y oldu unu ama x y olmad n varsayalm. O halde x eleman y eleman tarafndan üretilen I y idealine ait de ildir. O zaman P I y ve x / P olacak ³ekilde bir P asal ideali vardr. Böylece P {P } x {P } y bulunur, bu ise y I y P olmasyla çeli³ir. O halde x y olur. X ve Y srasyla en küçük elemanlar θ X ve θ Y olan da lma özelli ine sahip iki örgü olsun. Bir π : X Y fonksiyonu her x l, x 2 X için π (θ X ) = θ Y, π (x 1 ) = y 1, 13

21 π (x 2 ) = y 2 iken π (x 1 x 2 ) = y 1 y 2 ve π (x 1 x 2 ) = y 1 y 2 özelliklerini sa lyorsa π fonksiyonuna örgü homomorsi denir. Bir π örgü homomorsi birebir ve üzerine ise π homomorsine örgü izometrisi denir. Da lma özelli ine sahip en küçük elemanl bir X örgüsünün bir kümenin alt kümelerinin içerme ba ntsna göre ksmi sralanm³ ve bo³ kümeyi en küçük eleman kabul eden bir örgüye izomork olup olmad soruldu ve M. H. Stone böyle iki yap arasnda bir izomorzma kurulabilece ini gösterdi. R P olmak üzere her x X için {R} x ile x elemann içermeyen R R ideallerinin kümesini göstermi³tik. {R} θ bo³ kümedir ve her x, y X için {R} x {R} y = {R} x y ve {R} x {R} y = {R} x y. (2.1) Böylece Y := {{R} x : x X} kümesi da lma özelli ine sahip en küçük eleman olarak bo³ kümeyi içeren bir örgüdür. E er X en büyük eleman e olan bir Boole cebiri ise {R} e = R, Y için en büyük elemandr, böylece Y bir Boole cebiri olur. Teorem (Stone Gösterili³ Teoremi). X, da lma özelli ine sahip, en küçük elemanl bir örgü ve R P olsun. x {R} x gönderimi X örgüsünden Y = {{R} x : x X} örgüsü üzerine bir örgü homomorsidir. E er R = P ise bu gönderim bir örgü izometrisi olur. Buradaki Y örgüsüne X örgüsünün Stone gösterilimi veya Stone uzay denir ve bu uzay örgü izometrilerine göre tek türlü belirlidir. Kant. Yukarda verilen (2.1) e³itliklerinden, x {R} x gönderimi bir örgü homomorsidir. Di er taraftan da, e er R = P ise, Teorem bu gönderimin bir örgü izometrisi oldu unu söyler. 2.4 Kabuk-Çekirdek Topolojisi Bu ksmda P ve alt kümeleri üzerinde kabuk-çekirdek topolojisini kuraca z ve bu topolojinin Boole cebirleri ve Boole halkalar tarafndan karakterize edilen özellikleri üzerinde duraca z. 14

22 X, da lma özelli ine sahip, en küçük elemanl bir örgü ve R P bo³tan farkl bir alt küme olsun. Bo³tan farkl keyfî bir R 1 R kümesinin çekirde i \ k (R 1 ) = {R : R R 1 } olarak tanmlanr; e er R 1 bo³ ise k (R 1 ) = X alnr. Açkça görülece i gibi, k (R 1 ) kümesi X örgüsü içinde bir idealdir. Bo³tan farkl bir D X kümesi için D kümesinin kabu u h(d) = {R : R R, R D} ³eklinde tanmlanr. Burada tanmlar R kümesinin seçimine ba ldr, farkl seçimler için k (R 1 ) ve h(d) yaplar de i³ebilir. Teorem (i) Her R 1 R için h(k(r 1 )) R 1 ve her D X için k(h(d)) I D burada I D, D tarafndan üretilen idealidir. (ii) D X olmak üzere R 1 = h(d) ³eklindeyse h(k(r 1 )) = R 1 bulunur. (iii) R 1 R olmak üzere I = k(r 1 ) ³eklindeyse k(h(i)) = I bulunur. (iv) E er R = P ise her I X ideali için k(h(i)) = I bulunur. Kant. (i) Tanmlardan açktr. (ii) R 1 = h(d) olsun. h(k(r 1 )) R 1 oldu unu göstermemiz yeterlidir. R 1 = h(d) oldu undan k (R 1 ) = k(h(d)) D bulunur, böylece h(k(r 1 )) h(d) = R 1. (iii) Benzer ³ekilde yaplr. (iv) R = P olsun. Bir I X has ideali I = \ { P P : P I } ³eklinde yazlabildi inden P 1 = { P P : P I } dersek I = k(p 1 ) bulunur. Böylece (iii) ³kkndan k(h(i)) = I bulunur. Ayrca do rudan I = X için k(h(i)) = I oldu u görülebilir. Teorem R P ve bütün R R ideallerinin kesi³imi {θ} olsun. Bir I X ideali için 15

23 I d = k (h (I) c ) olur. Kant. E er I = X ise h (I) bo³ kümedir ve h (I) c = R bulunur. Böylece k (h (I) c ) = {θ} = I d. I X, y I d ve R h (I) c olsun. O halde I ideali R tarafndan içerilmez, yani öyle bir x I vardr ki x, R idealinin eleman de ildir. x I ve y I d oldu undan x y = θ olur, buradan da y R bulunur (R asal ideal). Böylece key y I d eleman key R h (I) c idealinin içindedir. Bu ise I d k (h (I) c ) oldu unu gösterir. Tersine key y k (h (I) c ) elemannn her x I ile dik oldu unu, x y = θ, göstermeliyiz. Bunun için her R R için x y R oldu unu göstermemiz yeterlidir. E er R h (I) ise x I R böylece x y R bulunur. E er R h (I) c ise y R, böylece x y R. O halde her R R için x y R. Sonuç (i) R P ve bütün R R ideallerinin kesi³imi {θ} olsun. Her x X için {x} d = k ({R} x ). (ii) E er R = M ise her x X için h(k({m} x )) = {M} x gerçeklenir. Kant. (i) x X ve I, x ile üretilen ideal olsun. O halde I d = {x} d ve h (I) c = {R} x. Böylece Teorem kullanlarak istenen elde edilir. (ii) x θ oldu unu varsayabiliriz. Bir önceki ³ktan {x} d = k ({M} x ) olur ve böylece dš h {x} = h (k dš ({M}x )) {M} x elde edilir. Öte yandan, M h {x} minimal asal ideal alrsak {x} d M oldu undan Teorem (iii) gere ince x / M, böylece M {M} x bulunur. O halde h(k({m} x )) {M} x, sonuç olarak h(k({m} x )) = {M} x bulunur. Teorem {M} x {M} y olmas için gerek yeter ko³ul {x} dd {y} dd olmasdr. O halde {M} x = {M} y olmas için gerek yeter ko³ul {x} dd = {y} dd veya denk olarak {x} d = {y} d olmasdr. 16

24 Kant. {M} x {M} y ise k ({M} x ) k {M} yš yani Sonuç (i) 'den {x} d {y} d bulunur ki bu ise {x} dd {y} dd oldu unu söyler. Tersine {x} dd {y} dd ise yš {x} ddd {y} ddd, yani {x} d {y} d, böylece k ({M} x yšš ) k {M}. O halde h (k ({M} x )) h k {M} olur, böylece Sonuç (ii)'den {M} x {M} y bulunur. imdi R üzerinde tüm {R} x formundaki kümeleri bir taban olarak kabul eden topoloji olu³turaca z. {R} xi kümelerinin key sonlu kesi³imi x 0 = inf {x 1,..., x n } olmak üzere yine {R} x0 formundadr, yani {R} x kümeleri R üzerinde bir topoloji üretir. Teorem R yukarda açkland gibi topolojiye sahip olsun. Key I X ideali için, bu idealin kabu u olan h(i) = { R : R R, R I} bu topolojide kapal bir kümedir. Tersine, her kapal küme uygun bir idealin kabu udur. Dahas herhangi bir R 1 R kümesinin kapan³ tam olarak h(k(r 1 )) kümesidir, bu sebepten dolay bu topoloji genellikle kabuk-çekirdek topolojisi olarak adlandrlr. Ayrca R üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisi P üzerindeki kabukçekirdek topolojisinin R üzerine indirgedi i topolojidir. Kant. Kapal kümeler { R : R R, x R } kümelerinin kesi³imi ³eklindedir, yani bir kapal küme için öyle bir D X vardr ki bu kapal küme h(d) = { R : R R, R D} ³eklindedir. Öte yandan I D, D tarafndan üretilen ideal olmak üzere h(d) = h(i D ) oldu undan R kümesinin bir alt kümesinin kapal olmas için gerek yeter ko³ul X içindeki bir idealin kabu u olmasdr. R 1 R olmak üzere kapan³ kümesini belirleyelim. Açktr ki R 1 kümesi kapal h(k(r 1 )) kümesinin içindedir. Öte yandan R 2 R 1 kapal bir R 2 kümesi alsak I X olmak üzere R 2 = h (I) ³eklindedir. Böylece h(i) R 1. O halde h(k(h(i))) h(k(r 1 )) 17

25 yani Teorem (ii)'den h(i) h(k(r 1 )). Burada R 2 = h(i) oldu undan R 2 h(k(r 1 )) bulunur ki istenilen sa lanr. Son olarak R üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisinin tanm gere i bu topoloji P üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisinin R üzerine dü³ürülmü³ halidir. imdi {P } x ve {M} x kümelerinin kompakt olmalarna ili³kin baz durumlar inceleyece iz. [ Teorem x 0 X, {x τ : τ {τ}} X ve {P } x0 {P } xτ olsun. O n[ zaman indeks kümesinde öyle τ 1,..., τ n indisleri vardr ki x 0 sup {x τ1,..., x τn } sa lanr ve böylece {P } x0 {P } xτi bulunur. i=1 Kant. {P } x0 [ [ {P } xτ olsun. Her τ için y τ = x 0 x τ dersek θ y τ x τ τ ve {P } x0 = {P } yτ olur. x 0 elemann sonlu tane y τ elemanlarnn supremumu τ oldu unu gösterece iz. Olmad n varsayalm. O halde x 0 eleman tüm y τ elemanlar tarafndan üretilen I idealinin eleman de ildir. Ayrca öyle bir P I asal ideali vardr ki x 0 / P. Böylece [ P {P } x0 ama her τ için y τ P oldu undan P / {P } yτ. Bu ise {P } x0 = {P } yτ olmasyla çeli³ir. Böylece uygun τ 1,..., τ n indeksleri için x 0 sup {x τ1,..., x τn } olur. τ \ Teorem R, P kümesinin bo³tan farkl bir alt kümesi ve M R olsun. {x τ : τ {τ}} için {R} xτ τ {τ} Kant. {R} xτ bo³tan farkldr. n\ {R} xτi i=1 τ sonlu kesi³im özelli ine sahip olsun. O zaman sonlu kesi³imi y = inf {x τ1,..., x τn } olmak üzere {R} y biçimindedir. {R} xτ sonlu kesi³im özelli ine sahip oldu undan (x τ ) ve sonlu inmumlarn ekledi imiz küme X içinde bir ast alt örgüdür. Bu ast alt örgü bir maksimal S ast alt örgüsü tarafndan içerilir ve M = \ X \S dersek M minimal asal idealdir. Ayrca her τ için x τ / M oldu undan M {R} xτ, yani kesi³im bo³tan farkldr. Teorem E er tüm {M} x elemanlarndan [ olu³an örgü bir Boole halkas ve x 0 X, x τ X (τ {τ}) için {M} x0 {M} xτ sa lanyorsa öyle τ 1,..., τ n indeksleri vardr ki {M} x0 n[ {M} xτi i=1 τ sa lanr. 18

26 Kant. x τ ile x 0 x τ yer de i³tirilerek [ her τ için θ x τ x 0 oldu unu varsayabiliriz ve böylece {M} x0 = {M} xτ bulunur. {M} x elemanlarndan olu³an τ örgü bir Boole halkas oldu undan key {M} [ xτ elemannn {M} \ x0 elemanna göre tümleyeni {M} yτ formundadr. {M} x0 = {M} xτ oldu undan {M} yτ bo³ kümedir. Bir önceki teoremden, öyle sonlu tane τ 1,..., τ n indis vardr ki bo³ kümedir, yani {M} x0 = n[ {M} xτi i=1 τ bulunur. τ n\ {M} yτi Teorem P örgüsü kabuk-çekirdek topolojisiyle birlikte T 0 -uzaydr, bu topolojinin taban elemanlar {P } x kümeleri hem açk hem de kompakttr. Biri di erini içermeyen P 1, P 2 P idealleri T 1 -ayrlabilir, yani hem P 1 hemde P 2 elemanlarnn di erini içermeyen açk kom³uluklar vardr. Bu durum P 1 ve P 2 minimal asal ideal veya P 1 ve P 2 bir x X elemann içermemeye göre maksimal iken de geçerlidir. i=1 Kant. P 1 P 2 olsun. O halde öyle x 1 P 1 vardr ki x 1 / P 2 veya x 2 P 2 vardr ki x 2 / P 1. lk durumdan {P } x1, P 2 elemannn açk kom³ulu udur ve P 1 elemannn içermez, ikinci durumda {P } x2, P 1 elemannn açk kom³ulu udur ve P 2 elemannn içermez. Böylece P örgüsü kabuk-çekirdek topolojisiyle birlikte T 0 - uzaydr. Tanmdan her {P } x açktr ve Teorem gere ince {P } x kompakttr. P 1 ve P 2 birbirini içermeyen iki ideal olsun. O halde x 1 P 1 ve x 2 P 2 elemanlar vardr ki x 1 / P 2 ve x 2 / P 1 sa lanr. Böylece {P } x2, P 1 elemannn P 2 elemann içermeyen açk kom³ulu udur, benzer ³ekilde {P } x2, P 1 elemannn P 2 elemann içermeyen açk kom³ulu udur. Bir topolojik uzaydaki kapal bir küme ile bu kapal kümeye ait olmayan bir eleman snrl sürekli reel de erli bir fonksiyon ile ayrlabilir, yani F kapal bir küme ve x X \F ise öyle bir f : X R snrl sürekli fonksiyonu için f (x 0 ) = 0 ve her y F için f (y) = 1, ise bu topolojik uzaya tam düzenli uzay denir. Teorem M üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisi Hasudor topolojidir ve taban elemanlar {M} x hem açk hem kapal kümelerdir. Böylece bu topoloji tam düzenlidir. 19

27 Kant. M üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisine göre T 1 -uzaydr, çünkü M 1 M 2 ise ne M 1 ne de M 2 bir di erini içermez. Sonuç (ii)'den her x X için h (k ({M} x )) = {M} x oldu undan taban elemanlar {M} x kapaldr. Böyleyse M 1, M 2 elemann içermeyen açk ve kapal bir kom³ulu a sahiptir. O halde bu kom³ulu un tümleyeni M 2 elemannn açk kapal bir kom³ulu udur. Böylece bu topoloji Hausdortur. Bu topolojinin tam düzenli oldu unu göstermek için bir M 0 M ve J M kapal ve M 0 / J alt kümesini alalm. O zaman M \J açk oldu undan M 0 elemannn {M} x0 (x 0 X) formunda bir açk kom³ulu unu içerir. Her M {M} x0 için f (M) = 1 ve di er M elemanlar için f (M) = 1 tanmlarsak {M} x0 hem açk hem kapal oldu undan f fonksiyonu süreklidir. Bir topolojik uzayn taban elemanlar hem açk hem kapal kümelerden olu- ³uyorsa bu topolojik uzaya tamamen ba lantsz uzay denir. Bir önceki teoreme göre M tamamen ba lantsz topolojik uzaydr. Teorem Tüm {M} x elemanlarnn örgüsü bir Boole halkas ise M üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisi Hausdor topolojidir, taban elemanlar {M} x hem kapal hem açktr hemde kompakttr. Böylece bu topoloji tamamen ba lantsz, yerel kompakt ve tam düzenlidir. M örgüsünün her açk kapal ve öyle bir x 0 X için {M} x0 içinde olan alt kümesi y 0 x 0 olmak üzere {M} y0 formundadr. Kant. Teorem 2.4.8'den {M} x kümeleri kompakttr. Di er iddia için B M açk kapal ve öyle bir x 0 X için B {M} x0 olacak ³ekilde B kümesi alalm. B kümesi {M} x0 kompakt kümesinin [ kapal alt kümesi oldu undan kompakttr. Ayrca B açk oldu undan B = {M} xτ ³eklinde yazlabilir ve burada her τ {τ} τ için x τ x 0 'dr. B kümesinin kompaktl ndan öyle sonlu τ 1,..., τ n indeksleri vardr ki B = ³eklindedir. n[ i=1 {M} xτi. O halde y 0 = sup {x τ1,..., x τ2 } dersek B = {M} y0 Teorem P örgüsünün üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisine göre kompakt olmas için gerek yeter ko³ul X örgüsünün en büyük elemana sahip olmasdr. 20

28 [ Kant. P kompaktsa, P = {P } x yazd mzda bu örtülü³ün sonlu bir alt örtülü³ü vardr P = n[ i=1 x X {P } xi yazlabilir. x 0 = sup {x 1,..., x n } dersek P = {P } x0 bulunur. Böylece her x X için {P } x P = {P } x0 olur, Teorem gere i x x 0 bulunur, bu ise x 0 elemannn X örgüsünün en büyük eleman oldu unu söyler. Tersine X örgüsü bir en büyük e elemanna [ sahipse her x X için x e ve böylece {P } x {P } e bulunur. P = {P } x = {P } e ve her {P } x kompakt x X oldu undan (Teorem 2.4.9) P kompakt bulunur. Genellikle P kabuk-çekirdek topolojisine göre T 0 -uzaydr ama T 1 -uzay olmas gerekmez. Bir sonraki teorem hangi ko³ullar altnda P uzaynn T 1 hatta T 2 oldu unu söyler. Teorem A³a dakiler birbirine e³de erdir. (i) Her has asal ideal bir maksimal idealdir. (ii) P = M. (iii) P üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisine göre bir Hausdor uzaydr. (iv) P üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisine göre bir T 1 -uzaydr. Kant. (i) (i) Her has asal ideal maksimal olsun ve P 1 ve P 2 has asal idealleri için P 2 P 1 olsun. P 2 maksimal oldu undan P 1 = P 2. Bu ise bir has asal P 1 idealinin bir ba³ka asal ideali kesin olarak içeremeyece ini söyler, yani P 1 bir minimal asal idealdir. (ii) (iii) Teorem 'dan istenilen elde edilir. (iii) (iv) Açktr. (iv) (i) P bir T 1 -uzay ve P 1 ve P 2 farkl iki has asal ideal olsun. O zaman P 1 P 2 olmas mümkün de ildir. E er P 1 P 2 olsayd, P 2 {P } x sa layan her x X için P 1 {P } x bulunur, yani P 2 elemannn her kom³ulu u P 1 elemannn da bir kom³ulu udur. Bu ise kabulümüzle çeli³ir. Böylece ne P 1 ne de P 2 di erini tarafndan içerilmez. Bu ise her has asal idealin maksimal oldu unu gösterir. Çünkü bir has asal P 1 ideali maksimal olmasayd öyle bir I has ideali tarafndan içerilirdi. Teorem gere ince I ideali bir has asal P 2 ideali tarafndan içerilir, yani P 1 kesin olarak P 2 has asal idealinin içinde bulunur ki bu bir çeli³kidir. 21

29 x, y X elemanlar için {M} x = {M} y veya denk olarak (Teorem 2.4.4) {x} dd = {y} dd sa lanyorsa x ve y elemanlarna M -denk diyelim ve x y (M ) yazalm. E er x θ (M ) ise x = θ ve x 1 y 1 (M ), x 2 y 2 (M ) ise x 1 x 2 y 1 y 2 (M ) ve x 1 x 2 y 1 y 2 (M ) sa lanr. Bir x 0 X eleman verildi inde θ y x 0 sa layan y X eleman için y 1 y (M ), y 1 y 2 = θ ve y 1 y 2 = x 0 (M ) sa layacak ³ekilde y 1, y 2 X elemanlar bulunabiliyorsa x 0 elemanna M -tümleme özelli ine sahiptir denir. Bir x 0 X elemannn M -tümleme özelli ine sahip olmas için gerek yeter ko³ul {M} y {M} x0 sa layan y eleman için öyle bir y 2 X vardr ki {M} x0 = {M} y {M} y2 ve {M} y {M} y2 = sa lanr. Di er bir deyi³le, bir x 0 X elemannn M -tümleme özelli ine sahip olmas için gerek yeter ko³ul {M}y : {M} y {M} x0 ba³langç parçalarnn bir Boole cebir olmasdr. Teorem Bir {M} x0 kümesinin M üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisine göre kompakt olmas için gerek yeter ko³ul x 0 elemannn M -tümleme özelli ine sahip olmasdr. Bu durumda, {M} x0 kümeleri {M} x formundadr (x X). kümesinin hem açk hem kapal olan alt Kant. lk olarak x 0 elemannn M -tümleme özelli ine sahip oldu unu varsayalm, yani ba³langç parças {M}y : {M} y {M} x0 bir [ Boole cebiri olsun. {M} x0 kümesinin kompakt oldu unu göstermek için {M} x0 {M} xτ iken {M} x0 kümesinin {M} xτ kümelerinin sonlu tanesiyle örtülebileceτ ini göstermeliyiz. Her x τ ile x 0 x τ yer de i³tirerek genelli i [ bozmakszn her τ için θ x τ x 0 oldu unu varsayabiliriz ve böylece {M} x0 = {M} xτ elde edilir. τ x 0 eleman M -tümleme özelli ine sahip oldu undan herhangi bir {M} \ xτ kümesinin {M} x0 kümesine göre tümleyeni {M} yτ formundadr. Buradan {M} yτ = oldu unu söyleyebiliriz. Teorem gere ince öyle sonlu τ 1,..., τ n indisleri vardr ki n\ i=1 {M} yτi = bulunur, yani {M} x0 = n[ i=1 {M} yτi. τ 22

30 Sonuç Tüm {M} x kümelerinin M üzeindeki kabuk-çekirdek topolojisine göre kompakt olmas için gerek yeter ko³ul bütün {M} x yaplarnn kümesinin bir Boole halkas olmasdr. Kant. Bir önceki teoremin ve Teorem 'in sonucudur. Teorem Bir R Boole halkasnda bir has idealin asal olmas için gerek yeter ko³ul bu idealin bir maksimal olmasdr. Kant. I bir has asal ideal olsun. x, y R elemanlarnn I idealinde olmadklarn varsayalm. I asal ideal oldu undan xy / I olur. Böyleyse y x I bulunur. E er y x / I olsayd, xy / I oldu undan xy (y x) / I bulunurdu, yani xy xy / I bulunur ki bu bir çeli³kidir. O halde, özetlersek, e er x ve y elemanlar I asal idealinin içinde de ilse öyle bir i I vardr ki y = x + i ³eklindedir. imdi I idealinin maksimal olmad n varsayalm, yani I ideali bir ba³ka J has ideali tarafndan içerilsin. O zaman öyle x J, x / I ve öyle y R, y / J elemanlar bulabiliriz. x, y / I oldu undan öyle bir i I için y = x + i ³eklinde yazabiliriz. Bu ise y J oldu unu söyler. O halde I ideali maksimaldir. Tersi için asal olmayan bir I ideali alalm, yani öyle x, y / I için xy I olsun. I ve x ile üretilen J idealini göz önüne alalm. J ideali i I, a R ve n N olmak üzere i + ax + n x ³eklindeki elemanlardan olu³ur, burada n x ile x elemannn n defa toplamn gösteriyoruz. O halde I J R ve I J (x / I). Ayrca J R, çünkü y / J'dir. E er y J olsayd y = i + ax + n x ve ax + n x / I olurdu, böylece xy = xi + ax + n x / I bulunurdu, çünkü xi I ama ax + n x / I. Ama bu ise xy I olmasyla çeli³ir. O halde I J R bulunur, bu ise I idealinin asal de ilken maksimal olmad n gösterir. Teorem P uzaynn kabuk-çekirdek topolojisine göre Hausdor olmas için gerek yeter ko³ul X örgüsünün bir Boole halkas olmasdr. Kant. lk olarak P uzaynn Hausdor oldu unu varsayalm. O halde Teorem kullanlarak P = M bulunur. Böylece {P } x yaplarnn olu³turdu u örgü ile {M} x yaplarnn olu³turdu u örgü ayndr ve Stone Gösterili³ Teoreminden bu örgü X örgüsüne örgü izometriktir. Öte yandan, Teorem 2.4.9'dan {M} x = {P } x kümeleri P = M üzerindeki kabuk-çekirdek topolojisine göre kompakttr, Sonuç 23

31 2.4.15'den {M} x yaplarnn kümesi bir Boole halkasdr. Böylece X örgüsü bir Boole halkas ile örgü izometriktir. Tersine, e er X bir Boole halkas ise Teorem ve bir önceki teoremden P uzaynn Hausdor oldu unu söyleyebiliriz. Sonuç P uzaynn kabuk-çekirdek topolojisine göre kompakt Hausdor olmas için gerek yeter ko³ul X örgüsünün bir Boole cebiri olmasdr. Kant. Teorem 'den uzaynn kabuk-çekirdek topolojisine göre kompakt olmas için gerek yeter ko³ul X örgüsünün en büyük elemana sahip olmasdr. Bir önceki teoreme göre P uzaynn kabuk-çekirdek topolojisine göre Hausdor olmas için gerek yeter ko³ul X örgüsünün bir Boole halkas olmasdr. O halde P uzaynn kabuk-çekirdek topolojisine göre kompakt Hausdor olmas için gerek yeter ko³ul X örgüsünün bir Boole cebiri olmasdr. Bir topolojik uzayda açk kümelerin kapan³lar da açk ise o topolojik uzaya büsbütün ba lantsz uzay denir. Teorem Bir X Boole cebirinin Dedekind tam olmas için gerek yeter ko³ul P uzaynn kabuk-çekirdek topolojisine göre büsbütün ba lantsz olmasdr. Kant. lk olarak X Boole cebirinin Dedekind [ tam oldu unu varsayalm. O P açk bir alt küme olsun. O halde O = {P } xτ formundadr. X Dedekind tam oldu undan x 0 = sup x τ X vardr. {P } x0 kümesi hem açk hem kapal oldu undan {P } x0 = O oldu unu gösterirsek istenilen elde edilir. Her τ için x τ x 0 ve burdan {P } xτ {P } x0 bulunur. Böylece O {P } x0 ve O {P } x0 = {P } x0. O kümesinin kesin olarak {P } x0 tarafndan içerildi ini varsayalm. O halde {P } x0 \ O bo³tan farkl açk bir kümedir ve öyle bir y θ için {P } y açk kümesini içerir. {P } x0 \ {P } y kümesi ise z, y elemannn x 0 elemanna göre tümleyeni olmak üzere {P } z formundadr böylece {P } x0 kümesi {P } y ve {P } z kümelerinin ayrk birle³imi olarak yazlr (θ z x 0 ). Ayrca P içinde O ve {P } y kümeleri ayrk oldu undan O {P } z bulunur. Böylece her τ için {P } xτ {P } z olur ve Teorem gere ince x τ z bulunur, bu ise x 0 = sup x τ z oldu unu söyler. τ 24

32 Bu z x 0, z x 0 olmasyla çeli³ir. O halde O = {P } x0 bulunur. Böylece P uzaynn büsbütün ba lantsz oldu unu göstermi³ olduk. Tersine P uzaynn büsbütün ba lantsz oldu unu kabul edelim. X örgüsünün Dedekind tam oldu unu göstermek için {x [ τ, : τ {τ}} alt kümesini alalm. sup x τ X var oldu unu göstermeliyiz. O = {P } xτ dersek O hem kapal hem açk oldu undan öyle bir x 0 X vardr ki O = {P } x0 τ biçimindedir. Buradan her τ için {P } xτ {P } x0 olur, Teorem gere ince her τ için x τ x 0 bulunur. Bu ise x 0 elemannn {x τ, : τ {τ}} kümesi için bir üst snr oldu unu gösterir. y X bir ba³ka üst snr olsa {P } y O ve {P } y = {P } y O = {P } x0 bulunur. O halde y x 0. Bu ise x 0 = sup x τ oldu unu gösterir. Böylece X Dedekind tam bir uzaydr. 25

33 Bölüm 3 resz uzaylar ve evrensel tamlan³ Bu bölümde Riesz uzaylar tantlacak ve bu çal³ma içinde kullanlan özelliklerine de inilecektir. Ayrca bu bölümde evrensel tam uzaylar ve bir Riesz uzaynn evrensel tamlan³ ile ilgili detayl bilgi verilecektir. Daha fazla bilgi için [11] ve [6] kaynaklar kullanlabilir. 3.1 Riesz Uzaylar E bir vektör uzay üzerinde bir ksmi sralama ba nts var ve bu ksmi sralama ba nts E uzay üzerindeki cebirsel i³lemlerle uyumlu, yani 1. x y iken her z E için x + z y + z, 2. x y iken her α 0 için αx αy sa lanyorsa E uzayna sral vektör uzay denir. E sral vektör uzaynda x 0 sa layan x E elemanlarna pozitif eleman denir. E uzayndaki tüm pozitif vektörlerin kümesine E uzaynn pozitif konisi denir ve E + ile gösterilir, yani E + := {x E : x 0}. E sral vektör uzaynda her iki elemanl alt kümenin supremumu ve inmumu varsa E uzayna Riesz uzay veya vektör örgüsü denir. Genel olarak her x, y E için supremum ve inmum x y := sup {x, y} ve x y := inf {x, y} 26

34 ile gösterilir. Riesz uzaylarnn tipik örnekleri fonksiyon uzaylardr, örne in R Ω : Ω kümesinde tanml tüm reel-de erli fonksiyonlarn kümesi, fonksiyonlar üzerindeki noktasal sralamaya göre Riesz uzaydr. Ayrca di er klasik fonksiyonel analiz uzaylar da Riesz uzay yapsna sahiptir. x X olmak üzere x + := x 0, x := ( x) 0 ve x := x ( x) elemanlar srasyla x elemannn pozitif ksm, negatif ksm ve mutlak de eri(veya modülü) olarak adlandrlr. Teorem (Riesz Ayr³m Özelli i). x 1,..., x n ve y 1,..., y m bir Riesz uzaynn elemanlar olsun. E er nx i=1 x i = mx y j ise Riesz uzayn öyle bir sonlu {z ij : i = 1,..., n; j = 1,..., m} alt kümesi vardr ki ve sa lanr. Kant. [[6], Theorem 1.20]. j=1 her i = 1,..., n için x i = her j = 1,..., m için y j = mx z ij, j=1 nx z ij i=1 Bir Riesz uzaynda x ve y elemanlar için x y = 0 oluyorsa bu iki elemana ayrk veya dik denir ve x y ile gösterilir. Bir E Riesz uzaynn bo³tan farkl bir alt kümesinin dik tümleyeni ³eklinde tanmlanr. A d := {x E : x y, her y A} Bir Riesz uzayndan bir {x α } a için her α β iken x α x β oluyorsa {x α } a na azalan denir ve x α ile gösterilir. Azalan bir {x α } a için inf {x α } = x varsa x α x ile gösterilir. Benzer ³ekilde x α ve x α x tanmlanabilir. Bir E Riesz uzaynda her x E + için 1 x 0 ise E uzayna Ar³imet özelli ine n sahiptir denir. 27