CEB RSEL TOPOLOJ II. Prof. Dr. smet KARACA. Yüksek Lisans Ders Notlar

Transkript

1 CEBRSEL TOPOLOJ II Prof. Dr. smet KARACA Yüksek Lisans Ders Notlar

2 çindekiler 1 SNGÜLER KOMPLEKS VE HOMOLOJ Eilenberg-Steenrod Aksiyomlar Hurewicz Teoremi UZUN TAM DZLER Comp Kategorisi Tam Homoloji Dizileri Relatif Homoloji ndirgenmi³ Homoloji EXCISION VE UYGULAMALARI Excision ve Mayer-Vietoris Kürenin Homolojisi Ve Baz Uygulamalar Euclid Uzayna Uygulamalar Simpleksler Homoloji Euler Karakteristi i TENSÖR ÇARPIMI 52 5 EVRENSEL KATSAYILAR Eilenberg-Zilber Teoremi ve Künneth Formülü CW KOMPLEKSLER Hausdor Bölüm Uzaylar Ekli Hücreler Homoloji ve Ekli Hücreler CW Kompleksler Cellular(Hücresel) Homoloji KOHOMOLOJ Kohomoloji Aksiyomlar

3 7.2 Kohomoloji çin Evrensel Katsay Teoremi Kohomolojide Çarpmlar Cross Çarpm Steenrod Karelerinin n³as, Aksiyomlar ve Özellikleri mod 2 STEENROD CEBR ve DUAL Steenrod Cebiri ve Hopf Cebiri Yaps Steenrod Cebiri Steenrod Cebirinin Kö³egen Dönü³ümü Hopf Cebiri Yaps Steenrod Cebirinin Duali ve Polinom Cebiri Yaps Steenrod Cebirinin Duali Polinom Cebiri Yaps Steenrod Cebirinin Dualinin Kö³egen Dönü³ümü ve Milnor Baz Steenrod Cebirinin Dualinin Kö³egen Dönü³ümü Milnor Baz

4 Bölüm 1 SNGÜLER KOMPLEKS VE HOMOLOJ Tanm n = [e 0, e 1,..., e n ] standart n-simpleks olsun. Bu simpleksin kö³eleri üzerinde lineer (tam) sralama varsa n ye yönlü simpleks denir. Oryantasyon kö³eler üzerindeki turun yönünü verir. Örne in 2 2-simpleksinin e 0 < e 1 < e 2 oryantasyonu saat yönünün tersi yönündedir. Tanm n standart n-simpleks olsun. e 0, e 1,..., e n noktalar üzerinde olu³turulan permütasyon gruplarnn derecesi ya her ikisi çift ya da her ikisi tek ise n üzerinde olu³turulan iki oryantasyon ayndr denir. Aksi halde iki oryantasyon zttr denir. n in verilen bir oryantasyonu için ( 1) i [e 0, e 1,..., e n ] [e 0, e 1,..., ê i,..., e n ] olmak üzere i. yüzü oryante ederek tanmlanan yüzlerin bir üretilen oryantasyonu vardr. 3

5 2 standart 2-simpleksini alalm. 2 nin snr: 2 = [e 0, e 1 ] [e 1, e 2 ] [e 0, e 2 ] = [e 0, e 1, ê 2 ] [ê 0, e 1, e 2 ] [e 0, ê 1, e 2 ] 2 nin oryantl snr: [ê 0, e 1, e 2 ] ( [e 0, ê 1, e 2 ]) [e 0, e 1, ê 2 ] = [e 1, e 2 ] [e 2, e 0 ] [e 0, e 1 ] Standart n-simpleksin snr: n = ([e 0, e 1,..., e n ]) = Standart n-simpleksin oryantl snr: n = n [e 0, e 1,..., ê i,..., e n ] i=0 n ( 1) i [e 0, e 1,..., ê i,..., e n ] i=0 Tanm X bir topolojik uzay ve n standart n-simpleks olmak üzere, σ : n X sürekli dönü³ümüne X üzerinde singüler n-simpleks denir. Singüler 0-simpleks, σ : 0 X; X de bir nokta, singüler 1-simpleks, σ : 1 X; X de bir yoldur. Tanm X bir topolojik uzay olsun. n 0 için S n (x); bazlar X üzerindeki singüler n-simpleks olan serbest abel gruptur. n < 0 için S n (x) = 0 kabul edilir. S n (x) in elemanlarna X de n-zincir denir. Singüler n-simpleksin oryantl snr: z S n (x) z = c 1 σ c k σ k n ( 1) i (σ [e 0, e 1,..., ê i,..., e n ]) i=0 Tanm ε i = ε n i : n 1 n (e 0, e 1,..., e n ) ε n i (e 0, e 1,..., e n ) = (e 0, e 1,..., e i 1, 0, e i,..., e n 1 ) dönü³ümüne i. yüz dönü³ümü denir. Örnek ε 2 i : 1 2 yüz dönü³ümü için ³eklindedir. ε 2 0(e 0, e 1 ) = [e 1, e 2 ] ε 2 1(e 0, e 1 ) = [e 0, e 2 ] ε 2 2(e 0, e 1 ) = [e 0, e 1 ] 4

6 Tanm σ : n X bir singüler n-simpleks olsun. n : S n (X) S n 1 (X) σ n (σ) = n ( 1) n σε n i i=0 dönü³ümüne σ singüler n-simpleksinin snr denir. n 1 Not ) n = 0 0 (σ) = 0 ε n i n σ X 2) X = n ve δ : n n birim ise n (σ) = n ( 1) i σε n i = i=0 n ( 1) i ε n i i=0 Teorem n 0 olmak üzere X deki her σ n-simpleksi için bir tek homomorzmi vardr. n : S n (X) S n 1 (X) diferansiyeli denir. n : S n (X) S n 1 (X) n (σ) n (σ) = ( 1) i σ ɛ n i i=0 homomorzmine snr operatörü ya da snr Tanm {S n (X)} n=0, n : S n (X) S n 1 (X) olmak üzere serbest abel grup ve S n (x) n S n 1 (x) n 1 S 1 (x) 1 S 0 (x) 0 snr homomorzm dizisine X uzaynn singüler zincir kompleksi denir ve (S (X), ) ile gösterilir. 5

7 Lemma k < j olmak üzere ɛ n+1 j ɛ n k = ɛn+1 k ɛ n j 1 dir. spat: n 1 ε n k n εn+1 j n+1 [e 0,, e n 1 ] [e 0,, 0,, e n 1 ] [e 0,, 0,, 0,, e n 1 ] n 1 εn j 1 n εn+1 k n+1 [e 0,, e n 1 ] [e 0,, 0,, e n 1 ] [e 0,, 0,, 0,, e n 1 ] Teorem n 0 için n n+1 = 0 spat: S n+1 (X) n+1 S n (X) n S n 1 (X) n 1 σ n+1 (σ) n n+1 (σ) n+1 n n+1 (σ) = n ( ( 1) i σ ɛ n+1 = = i=0 j=0 n+1 i=0 i ) n n+1 ( 1) j ( ( 1) i σ ɛ n+1 i n j=0 i=0 ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ɛ n j ɛ n j = ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ɛ n j + i j j<i = ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ɛ n j + i j j<i ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ɛ n j ɛ n i 1 p = j, q = i 1 dersek = i j ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ɛ n j + ( 1) p+q+1 σ ɛ n+1 p ɛ n q p q = (1 + ( 1)) i j ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ɛ n j = 0 Tanm X deki n-devirlerin grubu 2. X deki n-snrlarn grubu Z n (X) = Ker n = {σ S n (X) n (σ) = 0} B n (X) = Im n+1 = { n+1 (σ) σ S n+1 (X)} 6

8 Not Z n (X) ve B n (X), n 0 için S n (X) in alt gruplardr. Sonuç Her X uzay ve n 0 için B n (X) Z n (X) S n (X) spat: β B n (X) ise, (B n (X) = Im n+1 ) α S n+1 (X) için n+1 (α) = β dr. n (β) = n ( n+1 (α)) = n n+1 (α) = 0 β Z n (X) dir. Dolaysyla B n (X) Z n (X). Tanm Bir X topolojik uzaynn n.(singüler) homoloji grubu H n (X) = Z n(x) B n (X) = Ker n Im n+1 Z n + B n (X) yan kümelerine Z n in homoloji snf denir ve 'cls (Z n )' ile gösterilir. f : X Y sürekli fonksiyon olsun. σ : n X, X de bir singüler n-simpleks ise, bu durumda f σ, Y de singüler n-simplekstir. Gerçekten; n σ X f Y f σ Y de singüler n-simplekstir. Lineer geni³leterek bir f # : S n (X) S n (Y ) mσ σ f # ( m σ σ) = m σ (σ σ); m σ Z homomorzmini elde ederiz. Lemma f : X Y bir sürekli fonksiyon ise, bu takdirde n 0 için f # n = n f # dr. Yani a³a daki diyagram de i³melidir; S n (X) n S n 1 (X) f # S n (Y ) f # n S n 1 (Y ) 7

9 spat: S n+1 (X) f # S n+1 (Y ) n+1 S n (X) f # n+1 S n (Y ) n S n 1 (X) f # n S n 1 (Y ) f # n (σ) = f # ( = n. n 1 n ( 1) i σ ɛ n i ) = i=0. n 1 n ( 1) i f # (σ ɛ n i ) i=0 m (σ ɛ n i )j(f # (σ ɛ n i )) ( 1) i i=0 j n = ( 1) i f σ ɛ n i S n 1 (Y ) i=0 n f # (σ) = n ( m σj f τ i ) = j = n f # = f # n elde edilir. n ( 1) i (f σ) ɛ n i S n 1 (Y ) Lemma f : X Y sürekli bir fonksiyon ise, bu takdirde n 0 için f # (Z n (X)) Z n (Y ) ve f # (B n (X)) B n (Y ). spat: α Z n (X) ise n (α) = 0 i=0 n f # (α) = f # n (α) = f # (0) = 0 f # (α) Ker n = Z n (Y ) f # (Z n (X)) Z n (Y ) β B n (X) ise, γ S n+1 olmak üzere β = n+1 (γ). f # (β) = f # n+1 (γ) = n+1 f # (γ) I m n+1 f # (β) B n (Y ) f # (B n (X)) B n (Y ) 8

10 Teorem n 0 için H n : T op Ab bir funktordur. spat: H n : T op Ab x H n (X) = Z n(x) B n (X) f H n (f) : H n (X) H n (Y ) H n (f) : H n (X) H n (Y ) z n + B n (X) H n (f)(z n + B n (X)) = f # (z n ) + B n (Y ) Not clsz n clsf # (z n ) 1. H n (f)(clsz n +clsz n) = f # (z n +z n)+b n (Y ) = f # (z n )+f # (z n)+b n (Y ) = H n (f)(clsz n ) + H n (f)(clsz n) = H n (f) homomorzmadr. 2. H n (1 X ) = 1 Hn(X) midir? 1 X : X X H n (1 X ) : H n (X) H n (X) z n + B n (X) H n (1 X )(z n + B n (X)) = z n + B n (X) = 1 Hn(X)(z n + B n (Y )) 3. f : X Y ve g : Y Z sürekli dönü³ümler olmak üzere H n (g f) = H n (g) H n (f) midir? X f Y g Z H n (X) Hn(f) H n (Y ) Hn(g) H n (Z) H n (g f)(z n + B n (X)) = (g f) # (z n ) + B n (Z) = (g f) z n + B n (Z) H n (g) H n (f)(z n +B n (X)) = H n (g)(f z n +B n (Y )) = g (f z n )+B n (Z) e³itlikleri elde edilir. Sonuç X ve Y homeomork ise, bu takdirde n 0 için H n (X) = H n (Y ) 9

11 spat: X Y gof = 1 x ve fog = 1 y olacak ³ekilde g : Y X sürekli fonksiyonu vardr. f X g Y X H n (X) H n(f) H n (Y ) H n(g) H n (X) 1 Hn(X) = H n (1 X ) = H n (g f) = H n (g) H n (f) H n (f) injektif 1 Hn(Y ) = H n (1 Y ) = H n (f g) = H n (f) H n (g) H n (f) sürjektif O halde, H n (f) izomorzmadr yani H n (X) = H n (Y ) dir. Not H n (X) homoloji grubu, X topolojik uzaynn bir invaryantdr. 2. n 0 için rankh n (X) de X topolojik uzaynn bir invaryantdr. Tanm n 0 için rankh n (X) e X topolojik uzaynn n.betti says denir. (Burada rankh n (X), bazlarn eleman saysdr.) 1.1 Eilenberg-Steenrod Aksiyomlar 1. Homotopi Aksiyomu : f ve g homotop ise, H n (f) = H n (g). 2. Boyut Aksiyomu : X tek noktal uzay ise, n > 0 için H n (X) = Uzun Tam Dizi Aksiyomu : ksa tam dizi ise, 0 A f B g C 0 H n (A) Hn(f) H n (B) Hn(g) H n (C) n H n 1 (A) H n 1 (B) uzun tam dizisi vardr. (Burada n, ba lantl snr operatörüdür; n. boyuttan n 1. boyuta ba lant kurar.) 10

12 4. Excision Aksiyomu : U A olmak üzere U A X iken i : (X U, A U) (X, A) kapsama fonksiyonu i : H n (X U, A U) H n (X, A) izomorzmasn üretir. 5. Topolojik Toplam Aksiyomu : X λ, X in yol ba lantl bile³eni olsun. H n ( H n (X λ ) λ I X λ ) λ Teorem X tek noktal uzay olmak üzere, n > 0 için H n (X) = 0 spat: n 0 için σ n : n X sürekli fonksiyonu vardr ve bu fonksiyon sabittir. S n (X) = σ n Z n : S n (X) S n 1 (X) σ n n (σ n ) = n n ( 1) i σ n ɛ n i = [ ( 1) n ]σ n 1 i=0 i=0 { 0, n tek ise = σ n 1, n çift ve pozitif S n+1 (X) n+1 S n (X) n S n 1 (X) n 1 S n 2 (X) n 2 S n 3 (X) n tek iken n = 0 n çift ve pozitif iken n izomorzmdir. imdi homoloji gruplarn hesaplayalm: n tek iken; n = 0 = Ker n = S n (X) n + 1 çift oldu undan n+1 izomorzmdir. I m n+1 = S n (X) = H n (X) = Ker n I m n+1 = S n(x) S n (X) = 0 n > 0 çift olsun. Bu durumda n izomorzmdir ve dolaysyla injektiftir. Yani Ker n = 0 dr. = H n (X) = Ker n I m n+1 = 0 I m n+1 = 0 Tanm n 1 için H n (X) = 0 ise, X topolojik uzayna acyclic denir. Not Tek noktal uzaylar acyclictir. 11

13 Teorem X λ, X topolojik uzaynn yol bile³eni olmak üzere H n (X) = H n ( λ X λ ) H n (X λ ) spat: γ = m i σ i S n (X) olsun. Al³trma 1.24 ten I m σ i, X in bir i I tek yol bile³eni tarafndan içerilir. γ = γ λ, γ λ σ i leri içeren terimlerin λ Λ toplamdr ve burada I m σ i X λ dr. S n (X) S n (X λ ) λ Λ γ (γ λ ) dönü³ümü bir izomorzmdir. Not γ acyclic γ λ acyclic. n (γ λ ) S n 1 (x λ ) oldu undan 0 = n (γ) = λ n (γ λ ) λ için n (γ λ ) = 0 θ n : H n (X) λ H n (X λ ) clsγ θ n (clsγ) = cls(γ λ ) dönü³ümü iyi tanmldr, üstelik bir izomorzmdir. Çünkü bu dönü³ümün tersi; φ n : λ H n (X λ ) H n (X) cls(γ λ ) cls( X λ ) dir. Not X yol ba lantl olmasna ra men H n (X) hesaplamas genelde zordur. Teorem X bo³tan farkl, yol ba lantl uzay ise H 0 (X) Z. Ayrca x 0, x 1 X ise clsx 0 = clsx 1, H 0 (X) in üreteçleridir. 2. X herhangi bir topolojik uzay olmak üzere, {X λ : λ Λ} yol bile³enler ailesi iken H 0 (X), rank = cardλ olan bir serbest abel gruptur. 3. X ve Y yol ba lantl uzaylar ve f : X Y sürekli ise, f : H 0 (X) H 0 (Y ) homomorzmas, H 0 (X) in bir üretecini H 0 (Y ) nin bir üretecine götürür. 12

14 spat: 1. X bo³tan farkl, yol ba lantl uzay olsun. S 1 (X) 1 S 0 (X) 0 0 singüler kompleksini göz önüne alalm. 0 sfr dönü³ümü oldu undan Z 0 (X) = Ker 0 = S 0 (X) dir. Bu sebeple X teki her 0-zincir, 0- devirdir.(özel olarak x X için clsx H 0 (X)) B 0 (X) = I m 1 = { m x x S 0 (X) m x = 0}; m x Z oldu unu iddia ediyoruz. E er bu e³itlik varsa, θ : Z 0 (X) Z mx x m x ifadesini tanmlarz. Bu homomorzma sürjektiftir ve çekirde i Kerθ = I m 1 dir. I. izomorzm teoreminden γ = H 0 (X) = Z 0(X) Kerθ Z; Kerθ = B 0(X) = I m 1 k m i x i S 0 (X) olsun. m i = 0 oldu unu kabul edelim. Bir i=0 x X (X ) noktas seçelim ve i için X te x ten x i ye bir σ i yolunu seçelim. (X yol ba lantl) Buna göre 1 (σ i ) = σ i (e 1 ) σ i (e 0 ) = x i x (I = [0, 1] i, 1 = [e 0, e 1 ] ile belirlemi³tik). mi σ i S 1 (X) dir ve m i = 0 oldu undan 1 ( m i σ i ) = m i 1 (σ i ) = m i (x i x) = m i x i ( m i )x = γ Bu sebeple γ = m i x i = 1 ( m i σ i ) B 0 (X) dir... (1) Tersine γ B 0 (X) ise ; n j Z ve τ j X de 1-simpleks olmak üzere γ = 1 ( n j τ j ) dir. Böylece γ = n j (τ j (e 1 ) τ j (e 0 )), buradan her bir n j katsays iki defa ve zt i³aretli olarak gelir. O halde katsaylarn toplam sfr olur... (2) 13

15 (1) ve (2) den istenen e³itlik sa lanm³ olur. x 0, x 1 X olsun. X de x 0 dan x 1 e bir σ yolu vardr ve x 0 x 1 = 1 (σ) B 0 (X) x 1 +B 0 (X) = x 0 +B 0 (X) clsx 0 = clsx 1 dir. Son olarak, clsγ H 0 (X) in bir üreteci ise (burada γ = m i x i dir), bu durumda θ(γ) = m i = ±1. Gerekti inde γ ile γ yer de i³tirerek m i = 1 oldu unu kabul edebiliriz. x 0 X ise, γ x 0 B 0 (X) oldu undan γ = x 0 + (γ x 0 ) dr. (katsaylar toplam sfrdr) ve böylece istenildi i gibi clsγ = clsx 0 elde edilir. 2. Bir önceki teoremden ve 1 ³kkndan elde edilir ³kkndan hemen ortaya çkar. π 0 ve H 0 funktorlarn kar³la³tralm: π 0 (X), X in yol bile³enlerinin kümesidir. H 0 (X) de ayn yapya sahiptir ve bundan bir serbest abel grup in³a eder. Lemma A, X in bir alt uzay olmak üzere i : A X kapsama fonksiyonu olsun. Bu durumda n 0 için j : S n (A) S n (X) injektiftir. spat: γ = m i σ i S n (A) olsun. Tüm σ i lerin farkl oldu unu varsayabiliriz. γ Kerj ise, 0 = j (γ) = j ( m i σ i ) = m i j (σ i ) = m i (j σ i ) j σ i, σ i den farkl oldu undan tüm j σ i farkldr. O halde tüm i ler için m i = 0 olur. Buradan γ = m i σ i = 0 elde edilir ki j injektiftir. Tanm m i 0 ve tüm σ i ler ayrk olmak üzere ζ = m i σ i S n (X) ise, bu durumda ζ nn destekleyicisi supp ζ ile ifade edilen σ i ( n ) dir. supp ζ, X in kompakt alt kümesidir çünkü kompakt alt kümelerin sonlu birle³imine e³ittir. Teorem (Kompakt Destekler) clsζ H n (X) ise, bu durumda i : A X kapsama fonksiyonu olmak üzere X in clsζ ile birlikte bir kompakt A alt uzay vardr. 14

16 spat A = supp ζ olsun. ζ = m i σ i ise i için σ i = j σ i, σ i : n A yazabiliriz. γ = m i σ i S n (A) ³eklinde tanmlansn. j n (γ) = n j (γ) = n (j) = 0 j injektif oldu undan n (γ) γ Z n (A) Dolaysyla clsγ H n (A) ve j (cls(γ)) = clsζ dr. Sonuç X, her kompakt A alt uzay için n 0 iken H n (A) = 0 olacak ³ekilde bir uzay ise, bu durumda H n (X) = 0 dr. spat: clsξ H n (X) olsun. Bir önceki teoremden X in kompakt alt uzay A nn var oldu unu belirtir ve ayrca clsγ H n (A) [j (clsγ) = clsξ] Buna göre hipotezden H n (A) = 0, dolaysyla clsγ = 0 = clsξ = 0 elde edilir ki böylece H n (X) = 0 dr. Teorem Tüm p ler için (λ p : X p X ve ϕ p : X p X p+1 ) X p X p+1 olmak üzere X = X p olsun. X in her kompakt A alt uzay p=1 bir X p de içeriliyor ise, bu durumda clsξ H n (X) n sfr olmas için gerek ve yeter ³art λ p clsξ = clsξ ve ϕ p clsξ = 0 olacak ³ekilde p ve clsξ H n (X p ) nn var olmasdr. X p+1 ϕ λ p p+1 X p X λ p 15

17 Homotopi Aksiyomu Teorem X, Euclid uzayn snrl konveks alt uzay ise n 1 için H n (X) = {0}. Özel olarak n > 0 ve tüm k lar için H n (D k ) = {0} Hatrlatma : 1. X ise, H 0 (X) = Z 2. Bu teorem, daha sonra Euclid uzayn konveks alt kümesi ile büzülebilir uzay ifadelerinin yer de i³tirmesi ile ileriki bir sonuçta kullanlacaktr. Tanm c n : S n (X) S n+1 (X) σ c n (σ) = bσ lineer geni³letme olarak da bilinir. c n e koni homomorzmas denir. Sonuç X konveks ve γ = m i σ i S n (X) olsun. b X ise, (bγ) = { γ b. γ, n > 0 ( m i ) b γ, n = 0 2. γ bir n-devir ve n > 0 ise, bu takdirde spat: (bγ) = (c n γ) = γ 1. n > 0 için homotopi aksiyomunun ispatnda mevcuttur. n = 0 durumunu inceleyelim: σ, 0-simpleks olsun. ile tanmlayalm. bσ : 1 X t bσ(t) = tb + (1 t)x S 1 (X) S 0 (X) bγ 1 (bγ) = 1 ( m i bσ i ) = m i 1 (bσ i ) = m i (b x i ) = ( m i )b m i x i = ( m i )b γ 16

18 2. γ, n-devir ise (γ) = 0 olur. O halde 1 de n > 0 için olan durumdan (bγ) = 0 elde edilir. Lemma f, g : X Y sürekli fonksiyonlar olsun. f g = n+1p n + p n 1 n olacak ³ekilde p n : S n (X) S n+1 (Y ) homomorzmas var olsun. O zaman n 0 için H n (f) = H n (g) dir. spat:.. f # S n+1 (X) g # S n+1 (Y ) p n n+1 n+1 f # S n (X) g # S n (Y ) p n 1 n n f # S n 1 (X) S n 1 (Y ). n 0 için H n (f) : H n (X) H n (Y ) z + B n (X) H n (f)(z + B n (X)) = f (z) + B n (Y ) n z = 0. (z Ker n oldu undan) (f g )(z) = ( n+1 p n + p n 1 n )(z) = n+1p n (z) + p n 1 n (z) = n+1p n (z) B n (Y ) Böylece f (z) + B n (Y ) = g (z) + B n (Y ) H n (f) = H n (g). g # Hatrlatma : fadedeki denklem n = 0 için geçerlidir, S 1 (X) için sfr olarak tanmlanr. Böylece p 1 : S 1 (X) S 0 (Y ) sfr dönü³ümü olmaldr.. Lemma X bir topolojik uzay ve i = 0, 1 için λ x i : X X I ³eklinde tanmlansn. x (x, i) 17

19 H n (λ x 0) = H n (λ x 1) : H n (X) H n (X I) ise, f, g : X Y homotopik iken H n (f) = H n (g) dir. spat: F : X I Y, f g olacak sekilde bir homotopi olsun. Bu durumda f = F λ x 0 ve g = F λ x 1 Bu sebeple, H n (f) = H n (F λ x 0) = H n (F )H n (λ x 0) = H n (F )H n (λ x 1) = H n (F λ x 1) = H n (g) Teorem (Homotopi Aksiyomu) f, g : X Y olmak üzere f g ise, H n (f) = H n (g). Sonuç X ve Y ayn homotopi tipine sahip ise, H n (X) = H n (Y ) 2. X büzülebilir ise n 1 için H n (X) = 0 spat: 1. X ve Y ayn homotopi tipine sahip olsun; yani g f 1 x ve f g 1 y olacak ³ekilde g : Y X vardir. Bu durumda teoremden H n (g f) = H n (1 x ) H n (g) H n (f) = H n (1 x ) = 1 Hn(X) H n (f) injektif H n (f g) = H n (1 y ) H n (f) H n (g) = H n (1 y ) = 1 Hn(Y ) H n (f) sürjektif = H n (f) izomorzmdir. = H n (X) = H n (Y ) 2. X büzülebilir oldu undan 1 x c x0 1 x c x0 H n (1 x ) = H n (c x0 ) H n (c x0 ) = 1 Hn(X) : H n (X) H n (X) X büzülebilir ise X ve {x 0 } tek noktal uzay ayn homotopi tipine sahiptir. O halde (1) den H n (X) = H n ({x 0 }) = 0; n 1. 18

20 1.2 Hurewicz Teoremi Lemma ζ : 1 I (1 t)e 0 + te 1 t homeomorzm olsun. Bu takdirde iyi tanml bir ϕ : π 1 (X, x 0 ) H 1 (X) [f] clsf ζ fonksiyonu vardr. Burada f : I X, x 0 da bir looptur. spat: f ζ, X de bir 1-simplekstir. Dolaysyla f ζ S 1 (X). 1 (f ζ ) = f ζ (e 1 ) f ζ (e 2 ) = f(1) f(0) = 0 Dolaysyla f ζ Ker 1 = Z 1 (X). Ayn zamanda clsf ζ H 1 (X) u : I S 1 t u(t) = e 2πti ise, u ζ S 1 de 1-devirdir. u I S 1 f f x f u = f olacak ³ekilde bir f : S 1 X vardr. Böylece f, homomorzmini üretir. Buradan f = H n (f ) : H 1 (S 1 ) H 1 (X) cls( m i σ i ) cls( m i (f σ i )) cls(f ζ ) = cls(f u ζ ) = H 1 (f )cls(u ζ ) H 1 (X). [f] = [g] = f g (Ayrca f g ) cls(f ζ ) = H 1 (f )(cls(u ζ )) = H 1 (g )(cls(u ζ )) = cls(g ζ ) ϕ iyi tanmldr. Tanm ϕ : π 1 (X, x 0 ) H 1 (X) [f] cls(f ζ ) 19

21 ile tanmlanan fonksiyona Hurewicz fonksiyonu denir. Teorem ϕ : π 1 (X, x 0 ) H 1 (X) Hurewicz fonksiyonu bir homomorzmdir. spat: f ve g, x 0 da iki loop olsun. ϕ([f] [g]) = ϕ([f]) + ϕ([g])? σ : 2 X sürekli fonksiyonunu ³ekildeki gibi tanmlayalm: 2 üzerinde σ y ³u ³ekilde tanmlayalm: σ(1 t, t, 0) = f(t); σ(0, 1 t, t) = g(t); σ(1 t, 0, t) = f g(t) 2 nin tamam üzerinde σ y, uç noktalar a = a(t) = (1 t, t, 0) ve b = b(t) = ( 2 t, 0, t ) olan 2 2 do ru boyunca sabit uç noktalar c = c(t) = (0, 1 t, t) ve d = d(t) = ( 1 t 1+t, 0, ) olan 2 2 do ru boyunca tanmlayalm. σ : 2 X süreklidir, yani σ S 2 (X). Üstelik σ = σɛ 0 σɛ 1 + σɛ 2. Fakat σɛ 0 (t) = σ(0, 1 t, t) = g(t), σɛ 1 = f g ve σɛ 2 = f böylece σ = g f g + f dir. Bu sebeple ϕ([f] [g]) = ϕ([f g]) = cls(f g) ζ = cls(f+g) ζ = clsf ζ +clsg ζ = ϕ([f])+ϕ([g]) Lemma (Substitution Prensibi) F, baz B olan bir serbest abel grup ve B nin elemanlar x 0, x 1,, x k olsun. m 0 x 0 = k m i x i, i=1 20 m i Z

22 oldu unu kabul edelim. G herhangi bir abel grup ve x i = x j iken y i = y j olacak ³ekilde y 0, y 1,, y k G ise, m 0 y 0 = k m i y i G i=1 spat: f : B G fonksiyonunu { f(xi ) = y f = i, i = 0, 1,, k ise f(x) = 0, di er durumlarda ile tanmlayalm. (f iyi tanmldr) Teorem 4.1 den f nin geni³lemesi olan bir f : F G homomorzmas vardr. Fakat 0 = f(m 0 x 0 m i x i ) = m 0 y 0 m i y i. Teorem (Hurewicz) X yol ba lantl olsun. Bu durumda çekirde i π 1 (X, x 0 ) olmak üzere ϕ : π 1 (X, x 0 ) H 1 (X) sürjektif homomorzmi vardr. Ayrca H 1 (X) = π 1(X, x 0 ) π 1 (X, x 0 ) (Burada π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 ) n komütatör alt grubudur) komütatör alt grup Not [x, y] : {xyx 1 y 1 x, y G} nin üretti i alt gruba, komütatör alt grup denir. Sonuç H 1 (S 1 ) = Z 2. X basit ba lantl ise, H 1 (X) = 0 spat: 1. ϕ : π 1 (S 1, x 0 ) H 1 (S 1 ) S 1 yol ba lantl oldu undan π 1 (S 1, x 0 ) Kerϕ = H 1 (S 1 ) = H 1 (S 1 ) = π 1 (S 1, x 0 ) = Z 21

23 2. ϕ : π 1 (X, x 0 ) H 1 (X) X basit ba lantl oldu undan π 1 (X, x 0 ) = 0 dr. Dolaysyla H 1 (X) = π 1(X, x 0 ) Kerf = 0 Kerf = 0 = H 1 (X) = 0 dr. Tanm Bir X uzayndaki bir çokgen (polygon), tüm i ler için σ i (e 1 ) = σ i+1 (e 0 ) olmak üzere π = k i=0 σ i 1-zinciridir. 22

24 Bölüm 2 UZUN TAM DZLER 2.1 Comp Kategorisi Tanm Bir zincir kompleks, {S n } abel gruplar ve n n+1 = 0 özellikli n : S n S n 1 homomorzmler dizisidir. n+1 S n+1 n Sn Sn 1 ; n Z Zincir kompleksi (S, ) ile gösterilir. n homomorzmi; derecesi n olan diferansiyel, S n ; derecesi n olan terim olarak adlandrlr. n n+1 = 0 Im n+1 Ker n. Tanm A f B g C Kerg = Imf ise, bu homomorzm dizisi B de tamdr denir. iki homomorzm dizisi olsun. E er 2. Abel gruplarn ve homomorzmlerin zincir kompleks dizisi n+1 S n+1 n Sn Sn 1 olmak üzere bu homomorzm dizisi her S n abel grubunda tam ise, bu homomorzm dizisine tamdr denir. Yani n Z için Im n+1 = Ker n dir. Tanm (S, ) bir zincir kompleks olsun. Z n (S, ) = Ker n n- devirliler grubu, B n (S, ) = Im n+1 n-snrllar grubu olmak üzere H n (S, ) = Z n(s, ) B n (S, ) (S, ) zincir kompleksinin n.boyuttaki homoloji grubu denir. 23

25 Not z n Z n ise, z n + B n H n, z n nin homoloji snfdr ve clsz n ile ifade edilir. Teorem (S, ) zincir kompleksin tam olmas için gerek ve yeter ³art n için H n (S, ) = 0 olmasdr. spat: (Z n = B n Ker n = Im n+1 ) ( ) (S, ) zincir kompleksi tam ise Ker n = Im n+1 dir. Bu durumda H n (S, ) = Z n(s, ) B n (S, ) = Ker n Im n+1 = 0 ( ) H n (S, ) = 0 Z n (S, ) = B n (S, ) Ker n = Im n+1 (S, ) zincir kompleksi tamdr. Not Böylelikle homoloji gruplar, bir kompleksin bir tam dizisi olmaktan sapmasn ölçer. Bu teoreme göre, bir tam dizi ayrca bir acyclic kompleks olarak adlandrlr. Tanm (S, ) ve (S, ) iki zincir kompleks ise, a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde homomorzmlerin bir {f n : S n S n } dizisine (S, ) ve (S, ) zincir kompleksleri arasndaki zincir dönü³ümü denir:... S n+1 n+1 S n n S n 1... f n+1 f n f n 1... S n+1 n+1 S n n S n 1... n Z için n f n = f n 1 n f : X Y sürekli ise, f bir f : S (X) S (Y ) zincir dönü³ümünü üretir. Tanm Tüm kompleksler ve zincir dönü³ümleri 'Comp' ile gösterilen bir kategori olu³turur. Comp:Zincir kompleks kategorisi Objeleri : Zincir kompleksler Morzmleri : Zincir dönü³ümleri ³lem : Zincir dönü³ümlerin bile³kesi ({g n } {f n } = {g n f n }) Comp kategorisi ³u özelli e sahiptir: 24

26 Komplekslerin her S ve S ikilisi için Hom(S, S ) bir abel gruptur. f = {f n } ve g = {g n } Hom(S, S ) ise, bu takdirde f + g, n.dereceden terimi f n + g n olan bir zincir dönü³ümdür. S funktorunu inceleyelim: S : T op Comp x (S (X), ) f f Ayrca n Z için bir H n funktoru vardr: H n : Comp Ab S H n (S ) = Zn(S ) B n(s ) f H n (f) : clsz n clsf n (z n ) H n iyi tanml bir funktordur. H n (f) yerine f da yazlabilir. Her bir H n : T op Ab (n 0) homoloji funktoru, yukardaki iki funktorun T op Comp Ab bile³kesidir. Teorem n Z için H n : Comp Ab toplamsal bir funktordur; yani f, g Hom(S, S ) ise, H n (f + g) = H n (f) + H n (g) Tanm , ya tüm S n terimleri sfr oldu unda sfr kompleksi ya da tüm f n terimleri sfr oldu unda sfr zincir dönü³ümünü ifade eder. Buradan H n (0) = 0 oldu u görülür. Comp kategorisi Ab kategorisine çok benzer. Comp da alt grup, bölüm grubu, 1.izomorzm teoremi ve bunun gibi kavramlara çok benzer kavramlar vardr. Dolaysyla bir kompleksi bir abel grup gibi dü³ünebiliriz. Tanm n için S n, S n nin bir alt grubu ve n = n S n ise, (S, ) zincir kompleksine (S, ) nin alt zincir kompleksi denir. Bu tanmn di er iki ifadesi de a³a daki gibidir: 1. i n : S n S n kapsama dönü³ümü olmak üzere n için a³a daki diyagram de i³melidir: S n n S n 1 i n i n 1 S n n S n 1 25

27 2. i = {i n } ise, i : S S bir zincir dönü³ümüdür. Tanm (S, ), (S, ) nn bir alt zincir kompleksi olsun. J n : S n /S n S n 1 /S n 1 olmak üzere S n /S n s n + S n n (s n ) + S n 1 ifadesine bölüm zincir kompleksi denir. n Sn 1 /S n 1 ( n (S n) S n 1 oldu undan iyi tanmldr.) Tanm f : (S, ) (S, ) bir zincir kompleksi olsun. Kerf, n = n /Kerf n olmak üzere S n alt kompleksidir. Imf, = /Imf n olmak üzere S Tanm A q+1 n Kerf n Kerf n 1 nün alt kompleksidir. Imf n n Imf n 1 f q+1 A q f q A q 1 komplekslerin ve zincir dönü³ümlerin bir dizisi olsun. Imf q+1 = Kerf q ( q için) ise, bu zincir kompleksine tamdr denir. 0, sfr kompleksi ifade etmek üzere 0 S i p S S 0 26

28 formundaki bir tam diziye komplekslerin bir ksa tam dizisi denir S n+1 S n+1 S n S n S n S n 0 0 S n 1 S n 1 S n Satrlarda tam dizidir. Sütunlarda ise komplekslerdir. Tanm S ve S, S n alt zincir kompleksi olsun. S S, n.terimi S S olan S n alt kompleksidir; S + S, n.terimi S + S olan S n alt kompleksidir. Tanm {(S λ, λ ) λ Λ} zincir komplekslerin bir ailesi olsun. s λ n Sn λ için n = n λ : s λ n n(s λ λ n) λ λ λ olmak üzere onlarn direkt toplam Sn+1 λ Sn λ Sn 1 λ λ λ λ kompleksidir. Alt kompleksler için oldukça kullan³l olan bir örnek verelim: A X ve i : A X kapsama dönü³ümü ise, n için j : S n (A) S n (X) injektiftir. Buna göre, komplekslerin 0 S (A) S (X) S (X)/S (A) 0 ksa tam dizisi vardr. 27

29 A 1 ve A 2, X in alt uzaylar olmak üzere S (A 1 ) ve S (A 2 ), S (X) in iki alt kompleksi olsun. Bu durumda, S (A 1 ) S (A 2 ) = S (A 1 A 2 ) X uzay, yol bile³enlerinin ayrk birle³imine e³it olsun, yani X = X λ. Buna göre S (X λ ), S (X) in bir alt kompleksidir ve S (X) = λ S (X λ ) Tanm f, g : (S, ) (S, ) iki zincir dönü³ümü olsun. n Z için n+1 p n + p n 1 n = f n g n olacak ³ekilde homomorzmlerin bir {p n : S n S n+1 } dizisi varsa f, g ye zincir homotoptur denir. p = {p n } e zincir homotopi denir... S f n+1 n+1 g n+1 S n+1 p n n+1 n+1 S fn n g n S n p n 1 n n S fn 1 n 1 g n 1 S n 1.. Tanm f : (S, ) (S, ) zincir dönü³üm olsun. g f 1 S f g 1 S zincir denktir denir. ve olacak ³ekilde g : (S, ) (S, ) zincir dönü³ümü varsa f ye Homotopi ba nts, tüm S S zincir dönü³ümlerinin kümesi üzerinde bir denklik ba ntsdr. 1. f g olacak ³ekilde f, g : S S zincir dönü³üm- Teorem leri ise n Z için H n (f) = H n (g) : H n (S ) H n (S ) 28

30 2. f : S S zincir denk ise, n Z için H n (f) : H n (S ) H n (S ) bir izomorzmdir. Tanm (S, ) bir zincir kompleks olsun n için n+1 c n + c n 1 n = 1 Sn olacak ³ekilde c = {c n : S n S n+1 } homomorzm dizisine (S, ) zincir kompleksin büzülme homotopisi denir. Yani büzülme homotopisi, S n birim dönü³ümü ile S üzerindeki sfr dönü³ümü arasndaki bir zincir homotopidir. Sonuç Bir S kompleksinin büzülme homotopisi var olsun. O zaman S acyclic'tir; yani n için H n (S ) = 0; yani S bir tam dizidir. 2.2 Tam Homoloji Dizileri Lemma Komplekslerin bir ksa tam dizisi ise, o zaman n için 0 (S, ) i p (S, ) (S, ) 0 n : H n (S ) H n 1 (S ) clsz n clsi 1 n 1 n p 1 n z n ³eklinde tanml bir homomorzm vardr. (Buna ba layc homomorzma denir.) spat: i ve p zincir dönü³ümleri ise, satrlar tam olan a³a daki diyagram de i³melidir: 0 S n S n p n S n 0 n 0 S n 1 0 S n 2 n 1 i n 1 n S n p n 1 n 1 S n n n 1 S n 2 p n S n

31 z Z n oldu unu kabul edelim, bu durumda (z ) = 0 Dizi tam oldu undan p sürjektiftir, p sürjektif oldu undan z n s n S n vardr. n (s n ) S n 1 için Diyagramn komütatii inden p n 1 n (s n ) Ker(S n 1 S n 1) = Im(i n 1 ) i n 1 (S n 1) n (s n ) anlam vardr. i ler injektif oldu undan i n 1 (s n 1) = (s n ) olacak ³ekilde s n 1 S n 1 vardr ve tektir. p sürjektif oldu undan z n için σ n S n vardr. σ n 1 S n 1 var öyle ki i n 1 (σ n 1) = n (σ n ) s n σ n Kerp n = Imi n s n 1 σ n 1 = nx n B n 1 olacak ³ekilde x n S n vardr. Z n S n 1/B n 1 iyi tanml homomorzmas vardr. Bu dönü³üm B n i 0'a götürmektedir. S n 1 = i 1 n p 1 z devirdir. Bu formül dönü³ümünü verir. H n (S ) H n 1 (S ) z n + B n z n 1 + B n Teorem (Tam Üçgen) Komplekslerin bir ksa tam dizisi olsun. O zaman H n (S, ) uzun tam dizisi vardr. 0 (S, ) i p (S, ) (S, ) 0 i Hn (S, ) p H n (S, d ) H n 1 (S, ) H n 1 (S, ) spat: 1. kerp imi 30

32 2. imi kerp 3. imp kerd 4. kerd imp 5. imd keri 6. keri imd oldu unu göstererek ispat tamamlanr. 1. imi kerp p i = (pi) = 0 = 0 dan elde edilir. 2. kerp imi p (z + B) = pz + B = B ise, pz = s. p sürjektif oldu undan s = p(s) = p(z) = (p(s)) = p (s) = p(z s) = 0. Dizinin tam olmasndan i(s ) = z s olacak ³ekilde s vardr. s Z = i s = is = z s = 0 (z bir devir) oldu una dikkat edelim. i injektif oldu undan s = 0. Buradan i (s + B ) = is + B = z s + B = z + B 3. imp kerd dp (z + B) = d(pz + B ) = i 1 p 1 (pz) + B d, liftingin seçminden ba msz oldu undan z = p 1 (pz) seçebiliriz, böylece i 1 p 1 (pz) = i 1 z = 0 dr. 4. kerd imp d(z + B ) = B = x = i 1 p 1 z B ve x = s ix = i s = is = p 1 z = (p 1 z is ) = 0 ve p 1 z is Z. Bu sebeple p (p 1 z is + B) = pp 1 z pis + B = z + B 5. imd keri i d(z + B ) = i (i 1 p 1 z + B ) = p 1 z + B = B 31

33 6. keri imd i (z + B ) = B = iz = s ve ps = p s = piz = 0 ve ps Z Fakat d(ps + B ) = i 1 p 1 ps + B = i 1 s + B = i 1 iz + B = z + B 2.3 Relatif Homoloji A, X in alt uzay olsun. ksa tam dizisi vardr. 0 S (A) i p S (X) S (X) S (A) 0 Tanm H n (X, A) = H n ( S (X) ) n.relatif homoloji grubudur. S (A) Teorem A, X in bir alt uzay olsun. O zaman a³a daki uzun tam dizi vardr: H n (A) i Hn (X) p d H n (X, A) H n 1 (A) H n 1 (X) 2. f : (X, A) (Y, B) (yani f(a) B olacak ³ekilde f : X Y sürekli) olsun. A³a daki komütatif diyagram vardr.... H n (A) i H n (X) p H n (X, A) d H n 1 (A)... f n... H n (B) i f n H n (Y ) p f n H n (Y, B) f n d H n 1 (B)... Teorem (Five Lemma) Satrlar tam olan a³a daki komütatif diyagram göz önüne alalm: A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 f 1 f 2 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 f 3 f 4 f 5 32

34 1. f 5 injektif, f 2 ve f 4 sürjektif = f 3 sürjektif 2. f 1 sürjektif, f 2 ve f 4 injektif = f 3 injektif 3. f 1, f 2, f 4, f 5 izomorzm = f 3 izomorzmdir. Bölüm kompleksi S n(x) S n (A) γ S n (X) olsun. n S n 1 (X) S n 1 (A) n 1 S n 2 (X) S n 2 (A) (γ + S n (A)) = n (γ) + S n 1 (A) Ker n = {γ + S n (A) n (γ) S n 1 (A)} Im n+1 = {γ + S n (A) γ Im n+1 = B n (X)} Tanm ModA ya göre relatif n-devir Z n (X, A) = {γ S n (X) n γ S n 1 (A)} = Ker n ModA ya göre relatif n-snr Im n+1 = B n (X, A) = {γ S n (X) γ γ B n (X); bir γ S n (A)} = B n (X) + S n (A) S n (A) B n (X, A) Z n (X, A) S n (X) Teorem n 0 için H n (X, A) = Z n(x, A) B n (X, A) spat: Tanmdan H n (X, A) = ker n im n+1 33

35 Ker n = Z n(x, A) S n (A) Im n+1 = B n(x, A) S n (A) oldu undan 3. izomorzma teoremine göre (Z n (X, A) / / S n (A)) (B n (X, A) / S n (A)) = Z n (X, A) / B n (X, A) elde edilir. Teorem X yol ba lantl ve A, X in bo³tan farkl bir alt kümesi ise, H 0 (X, A) = 0 dr. spat: x 0 A noktasn seçelim ve γ = m x x Z 0 (X, A) = S 0 (X) olsun. X yol ba lantl oldu undan x X için σ x (e 0 ) = x 0 ve σ x (e 1 ) = x ile tanml bir σ x : X yolu vardr. O zaman m x σ x S 1 (X) ve 1 ( m x σ x ) = m x 1 (σ x ) = m x (x x 0 ) = m x x ( m x )x 0 = γ ( m x )x 0 ( m x )x 0 = γ dersek, γ S 0 (X) dir; böylece γ γ = ( m x σ x ) B 0 (X) = γ B 0 (X, A) Buradan Z 0 (X, A) B 0 (X, A) olur. B 0 (X, A) Z 0 (X, A) her zaman sa - land ndan B 0 (X, A) = Z 0 (X, A). Teorem {X λ : λ Λ} n 0 için H n (X, A) = λ H 0 (X, A) = Z 0(X, A) B 0 (X, A) = 0 X in yol ba lantl bile³enlerinin ailesi ise, H n (X λ, A X λ ) Sonuç H 0 (X, A) serbest abel grup olsun. rank(h 0 (X, A)) = card{λ Λ : A X A = } Burada X λ, X in yol bile³enidir. 34

36 spat: Teorem 5.13 ten H 0 (X, A) = λ H 0 (X λ, A X λ ) E er A X λ = ise, H 0 (X λ, A X λ ) = H 0 (X λ, ) = H 0 (X λ ) = Z Di er taraftan A X λ olsun. Bu durumda H 0 (X λ, A X λ ) = 0 olur. (Teorem 5.12) Sonuç Baz noktas x 0 olan bir uzay X ise, X r + 1 tane yol bile³ene sahip olmak üzere H 0 (X, x 0 ) rank r olan (muhtemelen sonlu) bir serbest abel gruptur. spat: Yol bile³enler iki³erli ayrk oldu undan x 0 içeren X λ0 yol bile³eni tektir ve böylece tüm λ λ 0 için {x 0 } X λ = olur. O halde H 0 (X λ0, x 0 ) = 0 iken tüm λ λ 0 için; H 0 (X λ, {x 0 } X λ ) = Z Teorem X, x 0 baz noktal bir uzay olsun. n 1 için spat: Teorem 5.8 den H n (X, x 0 ) = H n (X) H n ({x 0 }) H n (X) H n (X, x 0 ) H n 1 ({x 0 }) dizisinin tam oldu unu biliyoruz. n 2 ise, n 1 > 1 dir. Boyut Aksiyomundan Dolaysyla H n (X) = H n (X, x 0 ) dr. n = 1 olsun. Bunun için H n ({x 0 }) = H n 1 ({x 0 }) = 0 H 1 ({x 0 }) H 1 (X) g H 1 (X, x 0 ) H 0 ({x 0 } h H 0 (X) k H 0 (X, x 0 ) 0 tam dizisini göz önünene alalm. H 1 ({x 0 }) = 0 oldu unu biliyoruz. Buradan g injektiftir. 35

37 Not A f B g C h D tam dizi olsun. f sürjektif h injektif. Not'a göre g sürjektif h injektiftir. O halde h n injektif oldu unu gösterelim. H 0 ({x 0 }) = Z oldu unu biliyoruz. h 0 ise, h injektiftir. Di er taraftan Imh = Kerk oldu unu biliyoruz. Kerk 0 ise Imh 0. E er Kerh 0 olsayd Imh H 0 (X) = Z / Kerh Kerk 0 = Imh 0? H 0 (X) = Z 0(X) B 0 (X) Z 0(X) B 0 (X) + S 0({x 0 }) γ + B 0 (X) γ + B 0 (X) + S 0 ({x 0 }) Kerk = B 0(X) + S 0 ({x 0 }) B 0 (X) B 0 (X) i üreten elemanlar m x x dir ve m x = 0 özelli ine sahiptir. Dolaysyla Kerk 0 dr. Not {x 0 } i X kapsama fonksiyonu gibi dü³ünülürse, bu durumda H 0 ({x 0 }) H 0 (X) dönü³ümü h 0 iken injektif olur. 36

38 2.4 ndirgenmi³ Homoloji Tanm (S (X), ), X in singüler zincir kompleksi olsun. S 1 (X) = üreteci [, ] olan sonsuz devirli grup 0 : S 0 (X) S 1 (X) mx x 0 ( m x x) = ( m x )[, ] ile tanmlarsak, zincir kompleks S (X) : S n 1 (X) n 1 S n 2 (X) S 1 (X) 1 S 0 (X) 0 S 2 (X) 0 olup, 0 1 = 0 dr. S (X) zincir kompleksine augmented singüler kompleks denir. S 1 (X) = Z Tanm H n (X) = H n ( S (X), ); n 0 homoloji grubuna, indirgenmi³ homoloji grubu denir. Teorem n 0 için H n (X) = H n (X, x 0 ) spat: n 1 olsun. n = 0 olsun H n (X) = Ker n Im n+1 = Hn (X) = H n (X, x 0 ) 0 Ker 0 S 0 (X) 0 S0 1 (X) 0 α 0 (α) = 1 Bu durumda S 0 (X) = Ker 0 α yazabiliriz. 0 1 = 0 oldu undan B 0 (X) = Im 1 Ker 0. S 0 (X) = Z 0 (X) oldu undan H 0 (X) = Z 0(X) B 0 (X) = Ker 0 α B 0 (X) = Ker 0 B 0 (X) + Z = H 0 (X) + Z Sonuç 5.15 den H 0 (X) serbest abel gruptur ve H 0 (X) = H 0 (X, x 0 ) dr. 37

39 Sonuç {X λ : λ Λ} X in yol bile³enlerinin ailesi olsun. x λ X λ seçelim. x 0 X, X λ0 yol bile³eni içinde ise H 0 (X), bazlar {cls(x λ x 0 ) λ λ 0 } olan serbest abel gruptur. Bu durumda S 0 (X) = Ker 0 α yazabiliriz. 0 1 B 0 (X) = Im 1 Ker 0. S 0 (X) = Z 0 (X) oldu undan = 0 oldu undan, H 0 (X) = Z 0(X) B 0 (X) = Ker 0 α B 0 (X) Sonuçtan (rankl ifade) H 0 (X) = H 0 (X, x 0 ) dir. = Ker n B 0 (X) + Z = H 0 (X) Z 38

40 Bölüm 3 EXCISION VE UYGULAMALARI 3.1 Excision ve Mayer-Vietoris Teorem (Excision I) U A olmak üzere U A X olsun. kapsama fonksiyonu, n için izomorzmasn üretir. i : (X U, A U) (X, A) i : H n (X U, A U) H n (X, A) Teorem (Excision II) X = X 1 X 2 olmak üzere X 1 ve X 2, X in alt kümeleri olsun. kapsama fonksiyonu, n için izomorzmasn üretir. j : (X 1, X 1 X 2 ) (X 1 X 2, X 2 ) = (X, X 2 ) j : H n (X 1, X 1 X 2 ) H n (X 1, X 2 ) Teorem Excision I ve Excision II denktir. 39

41 Lemma Satrlar tam ve her h n 3.dü³ey dönü³ümü bir izomorzm olan a³a daki komütatif diyagram göz önüne alalm.... i n p A n n B n d n C n f n g n h n A n 1... A n j n B n q n C n n A n 1 f n Bu durumda tam dizisi vardr. (i n,f n) A n B n A g n j n n B n nh 1 n q n An 1 spat: A n B n A n g n j n B n a n (i n (a n ), f n (a n )) g n (i n (a n )) j n (f n (a n )) Ker(g n j n ) = Im((i n, f n )) Teorem (Mayer-Vietoris) X = X 1 X 2 olmak üzere X 1 ve X 2, X in alt uzaylar olsun. Bu takdirde H n (X 1 X 2 ) (i 1,i 2 ) H n (X 1 ) H n (X 2 ) g j D H n (X) H n 1 (X 1 X 2 ) tam dizisi vardr. Burada i 1, i 2, g, f kapsama dönü³ümleridir ve D = dh 1 g ; h ve g kapsama fonksiyonu ve d (X 1, X 1 X 2 ) ikilisinin ba layc homomor- zmasdr. spat: Bütün dönü³ümler kapsama iken uzaylarn ikililerinin a³a daki diyagram de i³melidir: (X 1 X 2, ) i 1 (X 1, ) p (X 1, X 1 X 2 ) i 2 (X 2, ) j (X, ) q h (X, X 2 ) Teorem 5.9 dan a³a daki komütatif ve satrlar tam olan dizi vardr.... H n (X 1 X 2 ) i H n (X 1 ) p H n (X 1, X 1 X 2 ) d H n 1 (X 1 X 2 )... i 2... H n (X 2 ) g h j H n (X) q n H n (X, X 2 ) i 2 H n 1 (X 2 )... 40

42 Excision II'den h bir izomorzmadr. Bir önceki lemmadan istedi imiz sonuca ula³rz. Örnek X, R 2 de y-ekseni ve x = π 2 do rusu arasnda kalan dü³ey kapal bölge olsun. Homoloji grubunu hesaplayalm. X 1 = {(0, y) : 1 y} {(x, y) : 0 < x π 2 ve sin( 1 x ) y} X 2 = {(0, y) : y 1} {(x, y) : 0 < x π 2 ve sin( 1 x ) y} X = X 1 X 2 X 1 X 2 = {(0, y) 1 y 1} {(x, y) 0 < x π 2, y = sin 1 x } = {(x, y) y = sin 1, 1 y 1} x Mayer - Vietoris teoremi geçerli olsayd H n (X 1 X 2 ) H n (X 1 ) H n (X 2 ) H n (X) H n 1 (X 1 X 2 ) H 1 (X 1 X 2 ) H 1 (X 1 ) H 1 (X 2 ) H 1 (X) H 0 (X 1 X 2 ) H 0 (X 1 ) H 0 (X 2 ) H 0 (X) 0 0 H 0 (X 1 X 2 ) Z Z Z 0 0 Z Z Z Z Z 0 tam dizisini elde ederdik. Fakat Al³trma 5.5 e göre böyle bir tam dizi yoktur. O halde burada Mayer-Vietoris uygulanamaz. Biz burada X 1 ve X 2 nin içini 41

43 almad mz için hata olu³tu. Ancak içlerini ald mzda X = X 1 X 2 e³itli i sa lanmyor. (Rank(Z + Z) = Rank(Z Z) + RankZ, ) Ödev : Mayer-Vietoris teoremini kullanarak torun homoloji grubunu hesaplayn. Sonuç (ndirgenmi³ homoloji için Mayer-Vietoris) X = X 1 X 2 ve X 1 X 2 = olmak üzere X 1, X 2 X in alt uzaylar olsun. Bu durumda H n (X 1 X 2 ) H n (X1 ) H n (X2 ) H n (X) H n 1 (X 1 X 2 ) tam dizisi vardr. Bu dizi ³eklinde biter. H 0 (X 1 ) + H 0 (X 2 ) H 0 (X) Kürenin Homolojisi Ve Baz Uygulamalar Teorem S n, n-küre olsun. (n 0). Bu tek { Z Z, p = 0 H p (S 0 ) = 0, p > 0 n > 0 ise H p (S n ) = { Z, p = 0 yada p = n 0, di er durumlarda spat: n = 0 için boyut aksiyomundan ispat açktr. n > 0 alalm. a: n-kürenin kuzey kutup noktas b: n-kürenin güney kutup noktas X = S n, X 1 = S n {a}, X 2 = S n {b} = X = X 1 X 2 X 1 X 2 = S n {a, b}, S n 1 ile ayn homotopi tipine sahiptir. H p (X 1 ) H p (X 2 ) H p (S n ) H p 1 (X 1 ) X 2 ) H p 1 (X 1 ) H p 1 (X 2 ) 42

44 = H p (S n ) = H p 1 (X 1 X 2 ) = H p 1 (S n 1 ); p > 0 Tümevarmla Hp 1 (S n 1 ) = Z (p 1 = n 1) ise Hp (S n ) = Z elde edilir. Buna göre { Z, p = n H p (S n ) = 0, di er hallerde p = 0 durumunda H 0 (S n ) nin yol ba lantl ve bir bile³eni oldu undan homoloji grubu Z e e³ittir. 3.3 Euclid Uzayna Uygulamalar Not n Z ve bir m Z için (h(1) = m) h : Z Z n h(n) = mn 1 h(1) = m Tanm n > 0 olmak üzere f : S n S n bir sürekli dönü³üm olsun. f : H n (S n ) H n (S n ) [x] m[x] = f ([x]) ise, m saysna f dönü³ümünün derecesi denir ve d(f) = m ile gösterilir. Teorem f : S 1 S 1 ise deg(f) = d(f) dir. spat: π 1 (S 1, 1) f π 1 (S 1, f(1)) ϕ H 1 (S 1 ) f H1 (S 1 ) Burada ϕ Hurewicz dönü³ümüdür. π 1 (S 1 ) = Z abel oldu undan ϕ bir izomor- zmadr. (Teo 4.29) ϕ 43

45 Not f, S 1 de 1 noktasndaki bir kapal yol ve m Z ise, t f(t) m S 1 de 1 deki bir kapal yoldur ve deg(f m ) = m.deg(f) NOT'tan f : π 1 (S 1, 1) π 1 (S 1, f(1)) [α] f ([α]) = m[α] olup deg(f) = m dr. Buradan deg(f) = d(f) elde edilir. Lemma f, g : S n S n sürekli dönü³ümler olsun. 1. d(g f) = d(g)d(f) 2. d(1 S n) = 1 3. f sabit ise, d(f) = 0 4. f g ise, d(f) = d(g) 5. f homotopi denk ise, d(f) = ±1 spat: 1. S n f S n g S n ; d(f) = m, d(g) = n olsun S n : S n S n d(1 S n) = 1 H n (S n ) f H n (S n ) g H n (S n ) x mx n(mx) H n (g f) = H n (g) H n (f) d(g f) = mn = nm = d(g)d(f) H n (1 S n) : H n (S n ) H n (S n ) x x 44

46 3. S n f S n g h {x} S n f = h g = d(f) = d(h)d(g) yazamayz! Bu durum sadece S n S n durumu için geçerlidir. = d(f) = 0 H n (S n ) H n ({x}) x 0.x = 0 4. f, g : S n S n olmak üzere f g = H n (f) = H n (g) : H n (S n ) H n (S n ) = d(f) = d(g) 5. f : S n S n homotopi denk olsun. Bu durumda g f 1 S n ve f g 1 S n olacak ³ekilde g : S n S n vardr. d(g f) = d(1 S n) = m.n = 1 ve d(f g) = d(1 S n) = n.m = 1 O halde m = 1 = d(f) = 1 olur. Teorem x = ( 1, 0), y = (1, 0) S 1 ; σ, y den x e S 1 üzerinde bir yol; τ, x den y ye S 1 üzerinde bir yol olsun. σ + τ, S 1 üzerinde bir 1-devirdir ve homoloji snf H 1 (S 1 ) dr. spat: 45

47 σ + τ 1-devir midir? 1 (σ + τ) = 1 (σ) + 1 (τ) = (x y) + (y x) = 0 oldu undan σ + τ, 1-devirdir. n = (0, 1) ve s = (0, 1) kutup noktalar olsun. X = S 1, X 1 = S 1 {n}, X 2 = S 1 {s} olsun. X = X 1 X 2 (burada her bir X i büzülebilirdir) ve X 1 X 2 = S 1 {n.s}, x L ve y R olmak üzere iki ayrk L ve R açk yaylarndan olu³ur. Mayer-Vietoris teoremini indirgenmi³ homoloji için uygularsak 0 H 1 (X 1 X 2 ) H 1 (X 1 ) H 1 (X 2 ) H 1 (X) H 0 (X 1 X 2 ) H 0 (X 1 ) H 0 (X 2 ) H 0 (X) 0 X 1 X 2 = L R oldu undan, Sonuç 5.18 bize H 0 (X 1 X 2 ) nin üreteci cls(x y) olan sonlu devir oldu unu verir. Fakat Lemma 6.19 dan D(cls(σ+τ)) = cls( 1 (σ)) = cls(x y) cls(σ+τ), H1 (S 1 ) = H 1 (S 1 ) i üretir. Hatrlatma : Bir (basit) kapal yol, H 1 (S 1 ) i üretir. Tanm x S 1 olsun. x e x in antipode noktas denir. 2. a : S n S n dönü³ümüne antipode dönü³ümü denir. x (x) = x a 1 : S n S n (x 1, x 2,, x n+1 ) ( x 1, x 2,, x n+1 ) a 2 (x 1, x 2,, x n+1 ) ( x 1, x 2, x 3,, x n+1 ). a n (x 1, x 2,, x n+1 ) ( x 1, x 2,, x n+1 ) spat: a 1 : S n S n (x 1, x 2,, x n+1 ) ( x 1, x 2,, x n+1 ) 46

48 = d(a 1 ) = 1 d(a n ) = d(a a a) = d(a)d(a)d(a) d(a) = ( 1)( 1)( 1) ( 1) = ( 1) n+1 Teorem f : S n S n sabit noktas yoksa, f, a = a n antipode dönü³ümüne homotoptur. 2. g : S n S n null homotopik ise, g bir sabit noktaya sahiptir. spat: 1. F : S n I S n (x, t) F (x, t) = homotopi fonksiyonunu tanmlayalm. (1 t)a(x) + tf(x) (1 t)a(x) + tf(x) (1 t)a(x) + tf(x) 0 oldu undan F (x, t) 0 dr. F (x, t) = 0 olsayd, f(x) = (1 t) a(x) olurdu. t f(x) = (1 t) a(x) = 1 1 t t t f(x) = a(x); a(x) = x f(x) = ( x) = x; f nin sabit noktasdr. = 1 t = 1 t t = g nin sabit noktas olmasn; yani n S n için g(x) x. g a olsun. Bu durumda d(g) = d(a) = 1. g null homotop oldu undan d(g) = 0 olup bir çeli³ki elde ederiz. O halde g nin sabit noktas vardr. Teorem f : S 2n S 2n bir dönü³üm olsun. f nin ya sabit noktas vardr ya da bir noktas antipode noktadr. spat: f nin sabit noktas olmasn. Bu durumda Teo.6.24'ten f a 2n dir ve Teo.6.23'ten d(f) = ( 1) 2n+1 = 1 dir. 47

49 f nin antipode noktas olmasn.bu durumda x S 2n için f(x) x. g(x) = f(x) ³eklinde tanmlayalm. O halde g nin sabit noktas yoktur. f = g a 2n = f a 2n = 1 S 2n = d(f) = d( a 2n ) = d(1 S 2n) = 1 Çeli³ki! Teorem x S 2n için f(x) ve x ortogonal olacak ³ekilde f : S 2n S 2n sürekli dönü³ümü yoktur. spat: x 0 noktas için f(x 0 ) = x 0 olsun. Bu durumda x 0, f(x 0 ) = 1 dr. (Halbuki ortogonallikten x 0, f(x 0 ) = 0 dr ) Böylece f hiçbir noktay antipode noktasna götürmez. Dolaysyla f bir sabit noktaya sahip olmaldr; bu noktaya x 1 diyelim. Bu durumda f(x 1 ) = x 1 dr. x 1, f(x 1 ) = 0 = x 1, x 1 = 0 (Halbuki x 1, x 1 = x 1 = 1 dr) Çeli³ki! Tanm x S n noktasn S n üzerindeki x noktasna ait te et vektörüne e³leme yapan S n R n+1 sürekli fonksiyona, S n üzerinde vektör alan denir. Sonuç S 2n üzerinde sfrdan farkl olmayan vektör alan yoktur. spat: f : S 2n R 2n+1 sfrdan farkl vektör alan olsun. g : S 2n S 2n ile tanmlayalm. x, f(x) = 0 x g(x) = f(x) f(x) Bir önceki teoremden böyle bir sürekli fonksiyon yoktur. Çeli³ki! Sonuç (Borsuk-Ulam) f : S 2 R 2 sürekli fonksiyon olsun. f(x) = f(x) olacak ³ekilde x S 2 vardr. 48

50 spat: x S 2 için f(x) f(x) olsun. g( x) = g antipode dönü³ümdür. Çeli³ki! g : S 2 S 2 x g(x) = f(x) f( x) f(x) f( x) f( x) f(x) f( x) f(x) = g(x) Teorem n > 1 olsun. g : S n S 1 antipode dönü³ümü yoktur. 3.4 Simpleksler Homoloji Tanm Bir K yönlü simpleksler kompleksi, bir simpleksler kompleksidir ve V er(k) üzerindeki ksmi sralama ba nts lineerdir. Tanm K yönlü simpleksler kompleksi ve q 0 olmak üzere C q (K) a³a daki özelliklere sahip bir abel grup olsun; Üreteçleri: {p 0, p 1,, p q } (p i ³ekilde tüm (p 0,, p q ) q + 1 lileri. V er(k)), K daki simpleksleri gerecek Ba ntlar: 1. Bir kö³e tekrar ederse (p 0,, p q ) = π, {0, 1,, q} nun bir permütasyonu olmak üzere (p 0,, p q ) = (sgnπ)(p π0, p π1,, p πq ) C q (K) nn elemanlar p 0,, p q ile ifade edilir. sgnπ = ±1 Lemma K m-boyutlu bir yönlü simpleksler kompleksi olsun. 1. C q (K), bazlar p 0,, p q olan bir serbest abel gruptur. Burada {p 0,, p q } K daki q-simpleksleri gerer ve p 0 < p 1 < < p q sralamas vardr. Üstelik p π0,, p πq = (sgnπ) p 0,, p q dr. 49

51 2. q < m için C q (K) = 0. Tanm q : C q (K) C q 1 (K) p 0,, p q q ( p 0,, p q ) = q ( 1) i p 0,, p i,, p q i=0 snr operatörüdür. Teorem K m-boyutlu bir yönlü simpleksler kompleksi ise C (K) = 0 C m (K) m C m 1 (K) m 1 C m 2 (K) C 1 (K) 1 C 0 (K) 2 0 zincir komplekstir; yani n n+1 = 0 dr. Tanm K bir yönlü simpleksler kompleksi ise, Simpleksler q-devir Z q (K) = Ker q Simpleksler q-snr B q (K) = Im q+1 q. Simpleksler homoloji grubu H q (K) = Z q(k) B q (K) (B q (K) Z q (K) C q (K)) Tanm K ve L yönlü simpleksler kompleksi olsun. ϕ : K L simpleksler dönü³üm ise, ϕ : C q (K) C q (L) p 0,, p q ϕ ( p 0,, p q ) = ϕ(p 0 ),, ϕ(p q ) ³eklinde tanmlanr. Lemma ϕ : K L bir simpleksler dönü³üm ise, bu takdirde ϕ : C (K) C (L) bir zincir dönü³ümüdür; ϕ = ϕ. 50

52 Teorem q 0 için H q : K Ab bir funktordur. spat: H q : K Ab K H q (K) ϕ H q (ϕ) = ϕ : H q (K) H q (L) z + B q (K) ϕ (z) + B q (L) Teorem K, m-boyutlu bir (sonlu) yönlü simpleksler kompleksi olsun. 1. q 0 için, H q (K) sonlu üretilmi³ gruptur. 2. q > m için H q (K) = 0 3. H m (K) serbest abeldir ve muhtemelen sfrdr. Tanm L, K yönlü simpleksler kompleksinin bir alt kompleksi ise, q. relatif simpleksler homoloji grubu H q (K, L) = H q ( C (K) C (L) ) 3.5 Euler Karakteristi i Tanm K, m-boyutlu simpleksler kompleksi ve q 0 için α q K daki q-simplekslerin says olsun. K nn Euler karakteristi i χ(k) = m ( 1) q α q q=0 ³eklinde tanmlanr. Teorem K, m-boyutlu bir yönlü simpleksler kompleksi ise, bu takdirde χ(k) = m ( 1) q rankh q (K) q=0 spat: C (K) : 0 C m (K) m C m 1 (K) C 1 (K) 1 C 0 (K)

53 zincir kompleksini göz önüne alalm. Her bir C q (K), rank α q olan bir (serbest abel) gruptur. H q (K) = Z q(k) B q (K) oldu undan, Al³trma 5.5 ten rankh q (K) = rankz q (K) rankb q (K) oldu unu elde ederiz. B m (K) = 0 oldu undan rankb m (K) = 0. Her bir q 0 için Al³trma 5.5'i tam dizisine uygularsak Böylece α(k) = = 0 Z q (K) C q (K) B q 1 (K) 0 α q = rankc q (K) = rankz q (K) + rankb q 1 (K) m ( 1) q α q = q=0 m ( 1) q (rankz q (K) + rankb q 1 (K)) q=0 m ( 1) q rankz q (K) + q=0 m ( 1) q rankb q 1 (K) q=0 B 1 (K) = 0 = rankb m (K) oldu undan; X(K) = = m ( 1) q rankz q (K) + q=0 m ( 1) q+1 rankb q (K) q=0 m ( 1) q (rankz q (K) rankb q (K)) = q=0 m ( 1) q rankh q (K) Not Her bir C i, rank α i olan sonlu üretilmi³ bir serbest abel grup iken C = 0 C n bir zincir kompleks ise bu takdirde q=0 n 0 C1 C0 0 n ( 1) i α i = i=0 n ( 1) i rankh i (C ) i=0 52

54 Bölüm 4 TENSÖR ÇARPIMI Tanm A ve B abel gruplar olsun. A B tensör çarpm a³a daki özelliklere sahip olan abel gruptur: 1. Üreteçler : A B 2. Ba ntlar : a, a A, b, b B için (a + a, b) = (a, b) + (a, b) (a, b + b ) = (a, b) + (a, b ) E er F, baz A B olan bir serbest abel grup ve N, yukardaki ba ntlar tarafndan üretilen F nin alt grubu ise F/N bölüm grubu A ve B abel gruplarnn tensör çarpmdr. (F/N = A B) Özellikler 1. a A, b B için a 0 = 0 = 0 b 2. m Z için m(a b) = (ma) b = a (mb). 3. A burulmal ise, A Q = 0. (a A m > 0 için ma = 0; q Q a q = a m( q m ) = ma q m = 0) 4. A ve B mertebeleri asal olan sonlu abel gruplar ise A B = 0. Örnek (p, q) = 1 olmak üzere Z p Z q = 0. Tanm A, B ve G birer abel grup olsun. A³a daki özellikleri sa layan ϕ : A B G fonksiyonuna bilineer fonksiyon denir: 53

55 1. a, a A ; b B için ϕ(a + a, b) = ϕ(a, b) + ϕ(a, b) 2. a A ; b, b B için ϕ(a, b+, b ) = ϕ(a, b) + ϕ(a, b ) η : A B A B (a, b) a b do al dönü³ümü bilineerdir. A³a daki teorem A B grubunun bilineer fonksiyonlar (lineer) homomorzmlere dönü³türdü ünü gösterir: Teorem G herhangi bir abel grup ve ϕ : A B G herhangi bir lineer dönü³üm ise, a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek f : A B G homomorzmi vardr: A B ϕ η G!f A B 2. T bir abel grup ve η : A B T bilineer dönü³ümdür öyle ki ϕ = f η olacak ³ekilde bir tek f : T G var ise, T = A B. spat: A B ϕ η G (A B, bu özelli i sa layan tek gruptur) 1. F, A B bazl serbest abel grup olmak üzere A B = F/N oldu unu hatrlatalm. A B η F F/N = A B ϕ ϕ f G ϕ : F G, ϕ nin geni³leme fonksiyonu olarak tanmlansn. N ba ntlar için N Ker ϕ dr ve böylece ϕ bir f : F/N G (a, b) + N ϕ(a, b) = ϕ(a, b) ile tanml bir homomorzm üretir. Bu homomorzm A B yi üreten tüm a b lerin kümesi için tektir. 54 f T

56 2. A B η v g f T A B diyagramn göz önüne alalm. Hipotezden fv = η ve gη = v olacak ³ekilde f : A B T ve g : T A B homomorzmleri vardr. imdi v A B A B v A B diyagramn göz önüne alalm. Hem gf hem de f g birim diyagram tamamlad ndan gf = 1 A B dir; çünkü bu dönü³üm tektir. Benzer bir diyagram fg = 1 T oldu unu verir. Böylece f = g dr. Teorem f : A A ve g : B B homomorzmler olsun. 1. f g : A B A B ³eklinde tanml bir tek homomorzm vardr. a b f g(a b) = f(a) g(b) 2. f : A A ve g : B B homomorzmler ise, spat: (f g ) (f g) = (f f) (g g) 1. ϕ : A B A B (a, b) ϕ(a, b) = fa gb ile tanml fonksiyon bilineerdir. Teorem 9.25 (1) den bir tek homomorzmi vardr. A B A B a b ϕ(a, b) = fa gb 2. ϕ(a, b) = f (f(a)) g (g(b)) olmak üzere A B A B diyagram de i³melidir. ϕ A B 55

57 Sonuç A bir sabit abel grup olsun. bir funktordur. T = T A : Ab Ab B T A (B) = A B f T A (f) = 1 A f spat: Teorem 9.26 (2) den T bile³keyi korur; (1 A f ) (1 A f) = 1 A f f Teorem 9.25 (1) den 1 A 1 B = 1 A B Teorem η : A B j (A B j ) a (b j ) (a b j ) izomorzmi vardr. spat: η : A B j (A B j ) (a, (b j )) (a b j ) dönü³ümü bilineerdir. Bu durumda ϕ bilineer olmak üzere A B j ϕ η G (A Bj ) diyagramn göz önüne alalm. j için b j B j j. koordinat b j ve di erleri sfr olmak üzere ϕ j : A B j G tanmlayalm. ϕ j bilineerdir, böylece bir (a, b j ) ϕ(a, b j ) 56