Parçacıklı viskoz akışkanla dolu lifli elastik tüplerde harmonik dalga yayılımı

Transkript

1 tüerg/c fen blmler Clt:8 Sayı: Kaım Parçacıı vkoz akışkanla olu lfl elatk tüplere harmonk alga yayılımı Rahmye ERGÜN * Al ERCENGİZ İTÜ Fen Blmler Enttüü Matematk Mühenlğ Programı Ayazağa İtanbul Özet Bu çalışmaa çerne akışkan bulunan öngerlmel elatk ıkışmaz lfl tüplere harmonk alga yayılımı problem ncelenmştr. Kalın uvarlı olarak ele alınan elatk tüpün çerne üre lflern bulunuğu varayılmıştır. Akışkanın ıkışmaz Newton akışkanı oluğu ve çerne parçacıar bulunuruğu üşünülmüştür. Tüpün ekenel germe ve abt P ç baıncının etkne ve böylece rayal genleşme ve ekenel uzama le ön şeeğşmne uğramış oluğu kabul elmştr. Akışkana at alan enemler lnrk koornatlara fae elmştr. Lfl elatk ortama at yönetc enemler Büyük başlangıç şe eğştrmelernn üzerne küçük yer eğştrmelern üperpozyonu teor kullanılarak lnrk koornatlara ele elmştr. Uygulama açıınan büyük öneme ahp olan ç akışkanla olu tüplere alga yayılmaı problem bu çalışmaa kan amarlarınak alga yayılımı üzerne ncelenmştr. Dalga yayılımına at yönetc feranyel enemlern harmonk alga çözümler ekenel metrk hareket urumu çn ele alınmıştır. Akışkana at feranyel enemlere kapalı br çözüm vermek mümkün olablmş fakat tüpe at alan enemlernn katayılarının karmaşık br şee rayal koornatın fonkyonu olmaları neenyle katı malzemeye lşkn enemlere kapalı br çözüm vermek mümkün olamamıştır. Bu neenle katı fazı yöneten feranyel enemler le ınır koşullarına lşkn enemlere alga karakterterne tüp kalınlığının etkn e ele etmek çn onlu farar yöntem le ayıal çözüm aranmıştır. Önce bazı özel urumlar ncelenmş onra e ele alınan tüp çn uzun alga yaaşımına peryon bağıntıı ele elmş alga hızları ve taşıma katayıları heaplanmıştır. Anahtar Kelmeler: Harmonk alga yayılımı lfl malzeme parçacıı akışkan onlu farar yöntem. * Yazışmaların yapılacağı yazar: Rahmye ERGÜN. rergun@tu.eu.tr; Tel: () Bu makale brnc yazar tarafınan İTÜ Fen Blmler Enttüü Matematk Mühenlğ Programı na tamamlanmış olan "İçerne parçacıı vkoz akışkan bulunan öngerlmel lfl vkoelatk kalın tüplere harmonk alga yayılımı" alı oktora teznen hazırlanmıştır. Makale metn..8 tarhne ergye ulaşmış tarhne baım kararı alınmıştır. Makale le lgl tartışmalar 3.4. tarhne kaar ergye gönerlmelr.

2 R. Ergün A. Ercengz Propagaton of harmonc wave n fber elatc tube flle wth a vcou uty flu Etene abtract The problem of harmonc wave propagaton n pretree or tre free elatc or vcoelatc tube flle or not flle wth a vcou or an eal flu became an nteretng ubect nce the tme of Thoma Young (773-89) who frt obtane the pee of the pule wave n artere an foun mportant applcaton n many fel of engneerng. The htorcal evoluton of the ubect can be foun n the paper by Lamboy (95) an Skalak (966) an n the book by Fung (984). In the preent work the problem that we coner to nvetgate the pulatng wave propagaton n large bloo veel. The mportance of the preent problem from the boengneerng pont of vew that the wave pee an the tranmon coeffcent epen on the ntal eformaton an the materal coeffcent. The meaurement of thee parameter make t poble to oberve the varaton of them wth materal properte. For the htorcal evoluton of the ubect the reaer may refer to Morgan an Kely (954) Womerley (957) who ue the theory of mall eformaton Atabek an Lew (966) who were the frt to ntrouce the effect of pretre Mrky (967) who took nto account the orthotropc properte of the arteral wall Rachev (98) Kuken (984) an Nayfeh (966) who conere the bloo a a two phae ytem contng of plama an bloo cell an nvetgate the flow of the two phae flow n a rg tube. The flu (bloo) taken a ncompreble an vcou wth uty partcle n t an the governng equaton of moton are obtane n the cylnrcal coornate. On the other han to obtan the equaton of moton of the tube (artery) whch aume to have elatc fbrou an ncompreble materal the theory of upermpong mall eformaton on large tatc eformaton employe an the ncremental equaton of moton an ncremental conttutve equaton that characterze the aren ynamcal tate are gven. Thee equaton are epree n the cylnrcal coornate an the bounary conton to be atfe are gven. Then aumng that the cylnrcal hell (artery) uner the effect of both contant aal tretch an nner preure (ntal equlbrum tate) the ncremental equaton of the moton are gven for th pretree tate. The oluton of thee ncremental equaton of moton both for flu an ol phae are obtane for the aal ymmetrc moton. The cloe form oluton to the fferental equaton of the flu were accomplhe but becaue the coeffcent of the fel equaton are comple functon of the raal coornate t coul not be accomplhe to obtan cloe oluton to the equaton of the ol phae. For th reaon an to obtan the effect of the tube thckne on the wave charactertc numercal oluton wth metho of fnte fference are ought to the equaton an the correponng bounary conton that govern the ol phae. Then n the long wave appromaton aumng that the thn tube flle wth a non-vcou flu non pretree the peron relaton nvetgate wave pee an tranmon coeffcent are obtane. A the lat agan n the long wave appromaton the peron relaton for the thck walle pretree elatc tube flle wth a vcou flu obtane the wave velocte an the tranmon coeffcent are compute an the reult are gven wth graph. The obtane reult are n agreement wth the reult of Ercengz (5) an Nag an Jana (98). The obtane reult reveal that the prmary an the econary wave pee become hgher wth the ncreae of the fbre parameter of the tube elatc materal. On the other han the ncreae of the ma concentraton of the uty partcle n the flu ecreae the prmary wave velocty though only for the mall value of the Womerley parameter agan ecreae the econary wave pee for all the value of the Womerley parameter. Wth the ncreae of the fber parameter whle tranmon coeffcent for the prmary wave ncreae the tranmon coeffcent for the econary wave ecreae. The ncreae of the ma concentraton of the uty partcle n the flu ecreae the tranmon coeffcent of both the prmary an the econary wave. The ncreae of the aal tretch ncreae the prmary wave pee but ecreae the econary wave pee an the tranmon coeffcent for the prmary wave. The varaton of the aal tretch oen t change the tranmon coeffcent for the econary wave. Keywor: Propagaton of harmonc wave fbrou materal uty flu fnte fference metho. 54

3 Parçacıı vkoz akışkanla olu lfl elatk tüplere harmonk alga yayılımı Grş İç vkoz ya a vkoz olmayan akışkanla olu öngerlmel veya öngerlmez elatk veya vkoelatk tüpler çernek harmonk alga yayılımı problem ataramarlara pul algalarının hızını lk ele een kş olan Thoma Young (773-89) zamanınan ber lg çeken br konu olmuş ve mühenlğn brçok alına öneml uygulama alanı bulmuştur. Konunun tarhel gelşm çn Lamboy (95) ve Skalak (966) tarafınan yazılmış makalelere ve Fung (984) tarafınan yazılmış ktaba bakılablr. Söz elen problem bu çalışmaa büyük kan amarlarınak pulatf kan akımına lşkn alga yayılımının ncelenme şene ele alınmıştır. Konuya tarhel gelşm ürec çne katkıı bulunan çalışmalar araına Morgan ve Kely (954) küçük şe eğştrmeler teorn kullanan Womerley (957) ön gerlmenn etkn lk ortaya atan Atabek ve Lew (966) Mrky (967) Rachev (98) Kuken (984) ve kanı plazma ve kan hücrelernen oluşan br tem olarak ele alan ve rt br tüpte k fazlı akışkanın alınımını nceleyen Nayfeh (966) ayılablr. Bu çalışmaa vkoz ıkışmaz k fazlı (parçacıı) akışkanla olu öngerlmel lfl kalın uvarlı ıkışmaz elatk tüpte alga yayılımı problem onlu farar yöntem le ncelenmştr. Parçacıı akışkana lşkn enemler Çalışmaa vkoz ve ıkışmaz Newtonyen olarak göz önüne alınan akışkanın (kanın) parçacıar çerğ ve br P büyük tatk ön baıncının etkne kalığı varayılmıştır. Bunun yanı ıra akışkanın hareket ıraına küçük hız ve baınç artımlarının bu başlangıç alanına eenğ üşünülmüştür. Sıfır başlangıç hızıyla kütle kuvvetlernn hmal elğ uruma ve ekenel metrk hareket çn lnrk koornatlara alan enemler aşağıak şee bulunur (Ercengz 5): Buraa ( uw ) ve ( u w ) ıraıyla akışkan ve parçacıarın rayal ve ekenel oğrultuak hız bleşenlerr. p baıncı vkoztey karışımın her br brm hacmne bulunan parçacıarın oluşturuğu hacm akışkanın yoğunluğunu m br parçacığın kütlen N brm hacmek parçacıarın ayıını götermekter. gevşeme zamanıır ve mk K 6 a olup a parçacıarın yarıçapıır. u p ( ) ( ) t r u u u u Nm ( ) () u u r r r z r w p ( ) ( ) t z w w w Nm ( ) () w w r r r z u p Nm t r u u u u Nm ( ) (3) u u r r r z r w p Nm t z w w w Nm ( ) (4) w w r r r z Akışkanın ıkışmazlık koşulu u u w r r z (5) le verlmekter. Sınır koşullarına kullanılacak olan gerlme bleşenler u t u w rr p trz r z r le verlr. (6) Tüp malzeme çn enemler Tüp malzeme ıkışmaz elatk kalın uvarlı ve lfl yapıa varayılmıştır. Slnrk tüp br tatk P ç baıncı ve abt germe etkne kalığına cme t başlangıç gerlme alanı olu- 55

4 R. Ergün A. Ercengz şacaktır. Ele alınan tüp çn şe eğştrme ener fonkyonu C Green şe eğştrme tanörünün yanı ıra malzemenn lfl yapıını göteren lfler oğrultuuna brm vektörler a ve a nn e fonkyonu olacaktır. olan fonkyonu A a a (7) olmak üzere I ( C) tr C (8a) I ( C a ) C: A I ( C a ) C: A (8b) 4 6 nvaryantlarının fonkyonu olarak ( C A A ) ( I ) ( I I ) (9) zo anzo 4 6 şene alınablr (Holzapfel v. ). Buraa a co a co () n n olarak alınmıştır ve lflern oğrultuunun tüp ekenne k olan oğrultu le yaptığı açıır. Ele alınan cm çn bünye bağıntıı Demray (994) ten yararlanarak t P c () I I4 I6 şene ele elr. Buraa P hrotatk ba- ınç term c başlangıç tatk şeeğşm urumunak Fnger şe eğştrme tanörü ve I c tanörünün tanımı (8a) le verlen b- rnc nvaryantıır. I 4 ve I 6 faeler e faeler (8b) le verlen nvaryantlarır. Ayrıca ve tanörler e T FA F FA F () T şene tanımlanmıştır. Buraa F şe eğştrme grayanı tanörüür. Bu çalışmaa zotrop şe eğştrme çn byolok yumuşak okular çn Demray (97) tarafınan önerlen anzotrop şe eğştrme çn e Holzapfel ve ğerler () tarafınan önerlen ve bünyene kolaen lflern bulunuğu urumu yanıtmakta olan şe eğştrme ener fonkyonları kullanılmıştır: zo( I) ep ( I 3) (3a) k anzo( I4 I6) ep[ k( I ) ]. (3b) k 46 Buraa kve k malzeme abtlerr. Kütle kuvvetlernn ıfır oluğu urum çn enge enemlernn ve amarın ç ve ış yüzeyne ağlanmaı gereken ınır koşullarının kullanılmaıyla trr F ( ) 4k co (4) co n F ( ) P h- ele elr. Dğer gerlme bleşenler ve rotatk baınç term e t trr F ( ) (5a) 4k co co n F ( ) t 4 zz trr F ( ) (5b) 4 kn co n F ( ) P trr F ( ) (5c) 56

5 Parçacıı vkoz akışkanla olu lfl elatk tüplere harmonk alga yayılımı şene bulunur. İç baınç fae e P F ( ) 4k co (6) co n F ( ) şene ele elr. Buraa nvaryantlar t p P e () c cmn emn ep I 3 4k 8kk I4 ep k I4 r e 4k 8kk I6 ep k I6 r e şene heaplanır. p artımal hrotatk baıncı götermekter. e onuz küçük brm şe eğştrme tanörüür. Elatk cmn ıkışmazlık koşulu a r r I (7a) I4 I 6 I co n (7b) olmak üzere u () k ; k enem le fae eleblr. Artımal alanı tamamen belrleyeblmek çn (9-) enemler T n t e t S üzerne e e n n k l ( n) l ( n) T nk tl e( n) tl S üzerne e( n ) en n (3) F( ) ep ( I 3) (8) F( ) ep k( I ) ınır koşulları le ağlanmalıır. Buraa n katı cmn S yüzey üzernek brm ış normal vektör t şener. Verlmş olan bu başlangıç alanının l e başlangıç konumuna n vektörü üzerne küçük artımal şe eğştrmeler üperpoze elğne alan enemler kütle kuv- vektörü olup oğrultuunak alan elemanına etkyen gerlme vetlernn ıfır oluğu urum çn (Erngen ve Şuhub 974) t t n (4) l k T u t l ; k (9) olarak verlmekter. Buraa le tüp malze- menn yoğunluğu T le artımal Polal Krchhoff tanörü bleşenler ve u le e yer eğştrme vektörü bleşenler göterlmekter. Artımal Pola-Krchhoff tanörü T t u t () km l ; m le verlmekter. Buraa t artımal Cauchy gerlme tanörü olup ele alınan urum çn le verlmştr. t l e n vektörü oğrultuunak alan elemanına etkyen artımal gerlme vektörüür. t artımal gerlme tanörü t t u t u t (5) km l m ml k m le verlr. Ekenel metrk artımal hareket göz önüne alınığına u u( r z t) u u3 w( r z t) olur. Buraa u ve w ıraıyla rayal ve ekenel oğrultularak yer eğştrme bleşenlern götermekter. Bu uruma () en lnrk koornatlara Cauchy artımal gerlme tanörü bleşenler 57

6 R. Ergün A. Ercengz t rr u u w p 3 r r z (6) olarak bulunur. (9) le verlen yönetc feranyel enemler ele alınan urum çn t u u p 4 5 r r w 6 7 (7) z T T u rr r r z t ( ) zr Trr T T rz zz T T w rz r z r t (33) (34) t zz u u p r r w 8 9 (8) z t t P w r rz zr u (9) z t t t t (3) z z r r şene bulunur. Buraa 4 F ( ) P F ( ) 4 3 F ( ) 4 F ( ) P 4 4 co 5 4k 8 kk ( I ) F ( ) (3) F ( ) 8 P F ( ) 7 4k 8 kk ( I ) F ( ) co n k 8 kk ( I ) F ( ) n şene tanımlanmışlarır. Artımal Pola- Krchhoff tanörünün bleşenler e () en u u Trr trr trr T t t r r w w Tzz tzz tzz Trz trz trr z r u Tzr tzr tzz Tr T r T z Tz z (3) şen alır. (6-3) ve (3) faelernn (33-34) te kullanılmaı ve () ıkışmazlık koşuluyla eteenmeyle p u u u ( r) ( r) 3( r) r r r r r u u 4( r) (35) z t p w w u 5( r) 6( r) 7( r) z r r r r z w w 8( r) (36) z t 8 onucuna ulaşılır. Buraa kullanılmış olan... katayıları e aşağıa verlmştr: P t rr 3 P t r 3 r P t r 3 r t P t P (37) 4 zz 5 rr 6 t rp r P 7 r r t P zz 3 58

7 Parçacıı vkoz akışkanla olu lfl elatk tüplere harmonk alga yayılımı Bu enemler (3) le verlen ve ele alınan urum çn u T t t T t r T rr rr ( ) (38) rr rr rr rz rr rz rr T (39) rr rr rz rr u t rr u rr w w (4) rr t rr şene yazılan ınır koşullarını ağlamalıır. Alan enemlernn çözümü Alan enemlerne harmonk alga çözümü aranacağı çn ( u w p ) U ( r) W ( r) P ( r) ep ( t kz) (4) ( u ) ( ) w U r W ( r) ep ( t kz) (4) ( u w p) U ( r) W ( r) P( r) ep ( t kz) (43) olarak alınmıştır. Buraa açıal frekanı k alga ayıını U ( r) W ( r) P ( r) U ( r) W ( r ) U( r) W( r) ve P( r ) e alga genlern götermekter. (4) ve (4) nn (-4) te kullanılmaıyla U W P U W çn k k U ( r ) I ( kr ) A J ( r ) B ( k ) (44) Nm f ( ) f f ( ) l ( )( ) f k ( ) (47) şener ( A ve B ntegral abtlerr). (44-46) nın (6) a yerleştrlmeyle ınır koşullarına kullanılacak gerlme bleşenler k trr I ( kr) I ( kr) kri ( kr) A r( k ) k J( r) rj( r) B r ep t kz (48) k trz I ( kr) A ( k ) J( r) B ( k ) ep t kz (49) şene bulunur. (43) fae (35-36) ve () enemlerne kullanılığına P U U 3 4 U (5) k W ( r ) I ( kr ) A J ( r ) B ( k ) (45) U l U W l W P( r) I ( kr) A (46) onuçları ele elr. Bu faelerek Jn( r ) ve I ( ) n kr fonyonları ıraıyla n. mertebeen brnc tür Beel ve mofye Beel fonkyonları olup W 6 W P 5 7U 8 W (5) U U W (5) kım türevl feranyel enem takımına ulaşılır. Buraa 59

8 R. Ergün A. Ercengz U ru W rw P P kr...8 r r c R c (53) şene tanımlamalarla boyutuzlaştırma yapılmış olup r ( r r ) R ( R R ) R r (54) olarak bulunur. Buraa A B A I B J R I J f( ) g( ) I J şener ve (6) şener. Buraa R ve R amarın ön şeeğşmnen öncek r ve r e ön şeeğşmnen onrak ıraıyla ç ve ış yarıçaplarını götermekter. (38-4) ınır koşulları e (43) faen kullanarak U P 3 5 f ( ) f ( ) A g( ) B (55) W 5 P U U U P 3 P U B (56) W 5 P U A (57) (58) R q R 3 3 P P r r r r (6) tanımlamalarıyla boyutuzlaştırma yapılmıştır. Buraa tanımlanan büyüüğü Womerley parametre olarak blnr. ( ) W( ) (63) şene br fonkyon tanımlanığına (5) en U( ) ( ) W( ) (64) olarak fae eleblrler. Bunların (5-5) ve (55-6) ta yerlerne yazılmaıyla bulunan enem temnn analtk çözümünü ele etmek genelle mümkün eğlr. Dalga karakterterne tüp kalınlığının etkn e ele eeblmek çn enemlern çözümü onlu farar yöntem le ayıal olarak aranacaktır (Ercengz 5). Sonlu farar yöntemn uygulayablmek çn tüp kalınlığı h r r n eşt aralığa bölünür. Böylece tüp kalınlığını göteren uzun- luk üzernek üğüm noktalarını götermek üzere q q U ( ) (59) A B h... n nh h n h nr (65) f ( ) q g( ) q W ( ) (6) A B yazılablr. Br noktaına fonkyonun eğer alt n le göterlğne ve uygun onlu 6

9 Parçacıı vkoz akışkanla olu lfl elatk tüplere harmonk alga yayılımı fark faeler kullanılığına (5-5) ve (55-6) enemlernen h P P z z h 4 (66) 3 h P z P h z 4 8 h z5 8 (67) 5 h 3 5 h f ( ) f ( ) A g( ) B (68) h h P h h h B (69) P P P n n n n n n nh A n 3n n Pn n (7) h n n n h 5n n 5n n n n n h 5n 5n Ph (7) n n n n q q A B (7) 3 f ( ) q A h g( ) q B (73) enemlerne ulaşılır. Buraa z h z z z z h 3 3 h 3 h h h ( ) ( ) P P ( ) h / (74) h h r r R r şene tanımlanmıştır. P (... n) A ve B blnmeyenlerne göre ıfır olmayan 6

10 R. Ergün A. Ercengz çözüme ahp olmaı çn (66-74) homoen enem temnn katayılar matrnn etermnantı ıfır olmalıır. Bu gerelk alga hareketne at peryon bağıntıını verr. Genel hale at peryon bağıntıınan önce aşağıa bazı özel urumlar ncelenecektr. Uzun alga yaaşımı ve vkoz olmayan akışkanla olu nce tüp urumu: Büyük ataramarlara ble alga boyu ataramarın ortalama yarıçapınan çok aha büyüktür. Böylece k alga ayıı çok küçük olur ve onucuna ulaşılır. Bu uruma f fonkyonunun ye yaaştığı göterleblr. Ayrıca R ve R / oluğu hatırlanarak ve (47) en yararlanarak m m f f tanımları yapılıra (75) m m m m (76) olarak yazılablr. İnce tüp lmt urumu çn tüp kalınlığının tek aralıktan oluştuğu varayılır ( n=). Böylece h h r ve h (77) oluğu görüleblr. Son olarak üşük vkozte lmt urumu çn oluğu üşünülerek g( ) oluğu bulunablr. Yukarıa verlmş olan kabuller altına (66-74) enem tem ( alınarak) P P 3 A ve B blnmeyenler çn ekz aet cebrel bağıntı verr. Sıfır olmayan çözümü ele etmek çn bu enem temnn katayılarının etermnantı ıfıra eştlenğne komplek faz hızının kuvvetler cnnen peryon bağıntıı 4 3 A A A (78) şene ele elr. Başlangıç şeeğşm ıfır olarak alınığına (78) n katayıları A mqh mqh A 8mqh n qh m 6m - 4q -3q -4 (6 m q)co (8m - q)co 4 A 4 q h (3 5 3 co 4 ) 3 (79) olarak bulunur. Buraa k şene tanımlanmış boyutuz büyüüktür. Lfl yapı göz arı elğne ( ) ve h çok küçük oluğunan köer yaaşık olarak c c 3qh c c m 4 O( h) O( h ) (8) şene ele elr. Bu onuçlar göteryor k akışkan çernek parçacıarla lş olan m parametre aece kncl alganın hızını ve taşıma katayıını etemekter. Akışkanın parçacık çermeğ üşünülüğüne e f m m olup köer c c 3qh c c 4 O( h) O( h ) (8) olur. Bu onuçlar Ercengz (5) n onuçları le uyumluur. Atabek ve Lew (966) tarafınan önerlğ gb boyutuz komplek faz hızı c X Y c (8) olarak göterlğne alga hızları ve taşıma katayıları X Y Y v ep[ ] (83) X X şene ele elr ve 6

11 Parçacıı vkoz akışkanla olu lfl elatk tüplere harmonk alga yayılımı 3 v 4 v qh (84) onucuna ulaşılır. Gerçek fzkel büyüüer kullanarak ve E tüp malzemenn Young moülünü götermek üzere E 3 oluğu göz önüne alınarak alga hızları v 4E Eh v 3 r (85) v şene bulunur. Bu alga hızları ıraıyla Lamb mou ve Moen-Korteweg hızına karşı gelr. Uzun alga yaaşımı ve vkoz akışkanla olu kalın tüp urumu: Uzun alga yaaşımına enemler onlu farar yöntemyle ncelenmştr. Yöntem uygularken tüp kalınlığına at alt aralık ayıı n 4 olarak alınmıştır. Başlangıç şeeğşmnn e var oluğu üşünülmüş ve ayrıca R.3cm R.38cm r.3cm.948. k.7. q (86) şenek ayıal eğerler kullanılmıştır. Bu kabuller altına (66-74) enem tem (..3 alınarak) P (..4) (..6) A ve B blnmeyenler çn 4 aet cebrel bağıntı verr. Sıfır olmayan çözümü ele etmek çn bu enem temnn katayılarının etermnantı ıfıra eştlenğne komplek faz hızının kuvvetler cnnen peryon bağıntıı bulunmuş Atabek ve Lew (966) tarafınan önerlen ve (83) le verlmş tanıma göre alga hızları ve taşıma katayıları heaplanmıştır. Sonuçlar Bu çalışmaa çerne ıkışmaz vkoz parçacıı Newton akışkanı bulunan öngerlmel elatk ıkışmaz lfl kalın uvarlı tüplere harmonk alga yayılımı problem ncelenerek alga hızları ve taşıma katayıları ele elmştr. Şe lflerle lgl parametre olan ve v Şe. f.5 6 ken ve n farı eğerler çn brncl alga hızı v n ya göre eğşm Şe. f.5 6 ken ve n farı eğerler çn kncl alga hızı v nn ya göre eğşm ekenel germe arttıkça v alga hızının arttığını götermekter. Womerley parametre ya göre eğşme bakılığına e v n nın küçük eğerlerne eğşmeğ ancak 63

12 R. Ergün A. Ercengz büyük eğerlerne le brlkte arttığı görülmekter. Şe en v alga hızının arttıkça azalığı ve nın artımı le e arttığı görülmekter. Ayrıca 3 çn le artımın hızlı oluğu 3 çn e artımın küçük kalığı anlaşılmaktaır. Şe 3 brncl algaya at taşıma katayıı n eğşmn götermekter. Buna göre 3 çn arttıkça azalmakta 3 çn e artmaktaır. Ayrıca şeen 3 çn arttıkça n e arttığı ve arttıkça n e azalığı görülmekter. Şe 4 kncl alganın taşıma katayıı nn le eğşmeğn arttıkça azalığını götermekter. Ayrıca le artmaktaır. nn Womerley parametre le brlkte ıfıra gttğ e şeen görülmekter. Şe 5 te çn v n f arttıkça azalığı çn e f nn artımının alga hızını fazla eğştrmeğ görülmekter. Bu onuç parçacık konantrayonunun brncl alga hızına etknn ancak Womerley parametrenn küçük eğerlerne var oluğunu götermekter. Şe 6 v nn f le azalığını götermekter. Bu onuç parçacık Şe 4. f.5 6 ken ve n farı eğerler çn kncl algaya at taşıma katayıı nn ya göre eğşm f f f.6.5 v 5 f.4 4 f f f Şe ken ve f nn farı eğerler çn brncl alga hızı v n ya göre eğşm Şe 3. f.5 6 ken ve n farı eğerler çn brncl algaya at taşıma katayıı n ya göre eğşm konantrayonunun kncl alga hızına etkn açıkça ortaya koymaktaır. Şe 7 e f arttıkça n azalığı göterlmştr. nın küçük 64

13 Parçacıı vkoz akışkanla olu lfl elatk tüplere harmonk alga yayılımı.8.6 f f f akışkan yaaşımının önemn vurgular. Parçacık konantrayonunun alga hızı ve taşıma katayılarına etk Ercengz (5) le Nag ve Jana (98) nın onuçları le uyumluur. v.4 f f f f f f Şe ken ve f nn farı eğerler çn kncl alga hızı v nn ya göre eğşm Şe ken ve f nn farı eğerler çn kncl algaya at taşıma katayıı nn ya göre eğşm.6.4. f f f Şe ken ve f nn farı eğerler çn brncl algaya at taşıma katayıı n ya göre eğşm eğerlerne kütle konantrayonunun e etk büyük olmaktaır. Şe 8 f arttıkça n azalığını götermekter. Bu şeler parçacıı Kaynaar Atabek H.B. ve Lew H.S. (966). Wave propagaton through a vcou ncompreble flu contane n an ntally tree elatc tube BophycalqJournal Demray H. (97). On the elatcty of oft bologcal tue Journal of Bomechanc Demray H. (994). A vcoelatc moel for arteral wall materal Internatonal Journal of Engneerng Scence Ercengz A. (5). Ocllatng two-phae flow n a pretree thck elatc tube Acta Mechanca Erngen A.C. ve Şuhub E.S. (974). Elatoynamc I Pergamon Pre New York. Fung Y.C. (984). Boynamc: Crculaton Sprnger Verlag New York. Holzapfel G.A. Gaer T.C. ve Ogen R.W. (). A new conttutve framework for arteral wall mechanc an a comparatve tuy of materal moel Journal of Elatcty

14 R. Ergün A. Ercengz Kuken G.D.C. (984). Wave propagaton n a thnwalle lqu-flle ntally tree tube Journal of Flu Mechanc Lamboy P. (95). Aperçu htorque et crtque ur le probleme e la propagaton e one an un lque compreble enferme an un tuber uuelatque Helvetca Phyologca et uupharmacologca Acta Mrky I. (967). Wave propagaton n a vcou flu contane n an orthotropc elatc tube Bophycal Journal Morgan G.W. ve Kely J.P. (954). Wave propagaton n a vcou lqu contane n a fleble tube Journal of Acoutcal Socety of Amerca Nag S.K. ve Jana R.N. (98). Ocllatng twophae flow n an elatc tube Acta Mechanca 4-8. Nayfeh A.H. (966). Ocllatng two-phae flow through a rg ppe Amercan Inttute of Aeronautc an Atronautc Journal Rachev A.I. (98). Effect of tranmural preure an macular actvty on pule wave n artere Journal of Bomechancal Engneerng ASME 9-3. Skalak R. (966). Wave propagatonn bloo flow Bomechanc Sympoum Y.C. Fung (e) - 46 ASME New York. Womerley J. R. (957). An elatc tube theory of pule tranmon an ocllatory flow n mammalan artere WADC Tecncal Report TR