Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi

Transkript

1 Jorl o Eieeri d trl Scieces Mühedisli ve Fe Bilimleri Derisi Sim Vol/Cilt 6 Isse/Sı 3 Arştırm Mlesi / eserch Article O A BODAY VALE POBLEM WITH MATIX COEFFICIET WHICH HAS SPECTAL PAAMETE I BODAY CODITIO Ftm AYDI AKGÜ * Mehmet BAYAMOĞL Yıldız Tei Üiversitesi Kim-Metlji Fültesi Mtemti Mühedisliği Bölümü Eseler-İSTABL Geliş/eceived: 38 Kl/Accepted: 88 ABSTACT I this pper ollowi odr vle prolem is cosidered Here λ < < λ is sel-djoit mtri ctios is positive mtri re costts stis some coditios d λ is spectrl prmeterthe spectrm o cosidered odr vle prolem is ivestited d the epsio ormls ccordi to eievles re otied Kewords: Sel-djoit opertor spectrl prmeter eievle eiectio SII KOŞLDA SPEKTAL PAAMETE BLA MATİS KATSAYILI SII DEĞE POBLEMİ ÜZEİE ÖZET B çlışmd şğıdi sıır değer prolemi ele lımıştır Brd λ < < λ otl edie eş mtrisler poziti mtris zı oşllrı sğl sit sılr λ spetrl prmetredir Ele lı sıır değer prolemii spetrm icelemiş özosiolr öre çılım ormülleri elde edilmiştir Ahtr Sözcüler: Kedie-eş opertör spetrl prmetre özdeğer özosio * Sorml Yzr/Correspodi Athor: tel:

2 76 GİİŞ Fizite sıır oşld spetrl prmetre l diersiel delemler içi sıır değer prolemie sı sı rstlır[3] Poisso ir mei prolemii sıır oşld spetrl prmetre l λ λ < < şelide sıır değer prolemii icelemesie idiremiştir B çlışmd üümüze dr sıır oşld spetrl prmetre l irço sıır değer prolemi icelemiştir B çlışmlr öre olr sırsıl [][7] [8][9][][8][][] çlışmlrı österileilir Ktsılrı otl mtrisler olm üzere öz öüe lı çlışm e oşllrl [7] çlışmsıı devmıdır B çlışmd l < < λ olm üzere λ 3 sıır değer prolemii spetrm ve özosiolr öre çılım ormülleri iceleecetirbrd q q q q r r r r elemlrı reel değerli süreli osio ol edie-eş otl mtrisler poziti mtris ve ise < ve oşllrıı sğl reel sılrdır λ omples prmetredir [ ] L elemlrı [ ] de tımlı omples değerli osio ol ileşeli vetör osiodr i süreliliği sitli içi l O Bodr Vle Prolem with Mtri Coeiciet

3 F Adı Aü M Brmoğl Sim Vol/Cilt 6 Isse/Sı 3 edilmiştir Geelde i elemlrıı ölçüleilirliği ve d < eterlidir [ ] L ile her ileşei ölçüleilir omples değerli ve d < oşl sğl österilmetedir B ümede ii vetörü toplmı olmsı vetörlerii ümesii z z z z ile ir vetörü slerle çrpımı şelide tımlırs L [ ] c c c c ümesi lieer z olştrr Eğer ii vetörü iç çrpımı şelide tımlırs L [ ] zı olştrr z z d zı şğıdi orm öre tm iç-çrpım zı i Hilert d Tıml iç-çrpım ve orml olştrl Hilert zı d L [ ] ie de tımlı osiolr içi L [ ] österilecetir semolüle ilie Hilert zıdır Öcelile idesile olştrl msiml ve miiml opertörleri tımlrı verilecetir D çı rlığıı her plı lt rlığıd edisi türevii her ileşei mtl süreli ol vetör osiolrıı ümesi ols Kolc örülür i l D e it her erde oğ ol ir lieer miolddr vetör osio içi tımlıdır D L [ ] de her elemlrııvetör osiolrıı ümesi [ ] ve l L [ ] D L ie 77

4 O Bodr Vle Prolem with Mtri Coeiciet D ile österilsi Tım ümesi D ol L opertörü D L l ve ie şelide tımlsı L : L [ ] L [ ] opertörüe L [ ] de l ile olştrl msiml opertör deir [] Açıtır i L ir lieer opertördür rlığıd sol destee ship ve D e it osiolrı ümesi D ile österilsi D L [ ] de heme her erde oğdr[]tım ümesi D ol L opertörü her D içi şğıdi şeilde tımlsı L l Kolc örülür i L ir simetri opertördür L ı pışı L ile österilirse L de l ile olştrl miiml plı opertördür L opertörü [ ] D L içi * L L vrdır ve L ı tım ümesi ş şeildedir: { D L : } D L oldğ ve [ ] L ı deet idisii oldğ ilimetedir[] L de T opertörü şğıdi şeilde tımlilir: D T { L [ ] ve [ ] de mtl süreli l L [ ] } ve D T içi T l Böle tımlmış T L [ ] L [ ] : ols opertörü edie eş opertördür[] Tıml T opertörü dh sor llılctır 3 prolemide örüldüğü ii λ özdeğeri omples spetrl prmetre 3 oşld lmtdır B öre lieer opertörler teorisii ötemleri doğrd lmmtdır Ft -3 prolemi dh eiş zd öz öüe lıırs prolem olğ sıır değer prolemie idireeilir -3 POBLEMİİ ÖZDEĞE VE ÖZFOKSİYOLAI -3 prolemii özosio deildiğide ; [ ] rlığıd irici türevi ve osio mtl süreli delemii ve -3 oşllrıı sğl özdeş olr sıır olm osio lşılır ve rd λ sısı d osio rşılı ele özdeğerdir λ λ -3 prolemii omples özdeğerleri omples ise sırsıl özdeğerlere rşılı ele özosiolr omples ols 78

5 F Adı Aü M Brmoğl Sim Vol/Cilt 6 Isse/Sı 3 < < λ λ 3 < < λ λ i her ii ı sğd ile 4 ü ise her ii ı sold ile sler çrpılırs C zı lmıd λ λ elde edilir B ii ide ir iride çırılıp eşitliği her ii ıı iterli lıırs edie eş mtris oldğd; λ d λ 7 olr oşld dolı ve dır dolısıl 7 de λ λ d 3 sıır oşld; ie lr Brd 8 i her ii ı ile çrpılırs ; olr Bölece; lr 8 9 lr 8 ve 9 d l ideler 7 de llılırs 79

6 O Bodr Vle Prolem with Mtri Coeiciet λ d λ λ λ λ lr Brd λ d λ d λ elde edilir delemii tsılrı elemlrı reel değerli süreli osio ol mtrisler oldğd osiod λ özdeğerie rşılı ele özvetör olctır B öre 9d erie olrs olr Brd λ λ d poziti mtris oldğd im λ lr Dolısıl λ özdeğeri reeldir Bölece λ ei özdeğer oldğd -3 sıır değer prolemii özdeğerlerii reel sılrd olştğ soc vrılır Yie ele lı prolemi tsılrı ve özdeğerleri reel oldğd dolı özosiolrı d reel değerli lıilir B öre d sor -3 prolemi özosiolrıı değerli oldlrı vrsılctır 3-3 POBLEMİ YG Bİ HİLBET ZAYIDA Bİ KEDİE-EŞ OPEATÖE İDİGEYEEK SPEKTAL ÖZELLİKLEİİ İCELEMESİ Öce [ ] rlığıd şğıdi şeilde ir µ ölçümü tımlır; [ {} d m µ m m rd otl mtrisdir 3 m 8

7 F Adı Aü M Brmoğl Sim Vol/Cilt 6 Isse/Sı 3 µ ü tımıd örüldüğü ii m [ eşittir L [ ] µ ile [ ] oşl sğl her [ ] Brd iç çrpım ümesii ölçümü m i Leesqe ölçümüe de tımlı µ ölçüleilir ve içi dµ < C değerli osiolr ümesi österilsi d r ij j i d i j şelide tımlmıştır B şeilde tıml iç çrpım µ ölçümüe öre tımlmış iççrpım olr dldırılctır B üme de vetörleri toplmı ve sı ile çrpımı işlemlerie öre ir lieer zdır L [ ] µ rılilir ir Hilert zı olştrr[] rı: µ ölçümüü tımıd örüldüğü ii v C ie L [ ] µ zı zı ile çışır L [ ] C Brd L [ ] dh öce tıml ve ileşeli osiolrd olş z C ise otl omples vetör zıdır Bir ş deişle L [ ] µ vetörü { } Sğ trti [ öre tımlıdır [ ] µ şelide zılilir rlığıı heme her otsıd Leesqe ölçümüe L zı H hri ile österilsi-3 sıır değer prolemii olğ opertör deleme idireme içi şğıdi şeilde ir tımlilir; D A { H ve ve D A ie } çı rlığıd mtl süreli ve A opertörü 8

8 8 [ {} l A 3 ols A opertörüü tımıd örüldüğü ii -3 sıır değer prolemii özdeğer ve özvetörleri A ı özdeğer ve özvetörleridir Bölece -3 prolemii icelemesi H H A : opertörüü spetrl özellilerii icelemesie idiremiş olr B edele -3 prolemi erie A opertörü iceleecetir A simetri ltt sıırlı üstte sıırsız ve esslıessetil edie eş opertördür A Simetri Opertördür; A Brd; q q q q ve d A d d d d ve edie eş mtris O Bodr Vle Prolem with Mtri Coeiciet

9 83 d d d d sıır oşl de; d d lr9 d [ ] [ ] d d A d A µ lr Bölece A opertörüü simetri opertör oldğ österilmiştir DA içi A γ olc şeilde sit γ sısıı vrlığı österileilir l diersiel idesii tsılrı ve sıır oşldi sılr reel oldğd dolı H H A : opertörü reeldir[6]b ore L i ltt sıırlı oldğ österme içi opertörü L D e it ol ileşeleri reel değerli osiolr ol vetörleri içi österilmesi eterlidir A opertörü ltt sıırlıdır; A ie F Adı Aü M Brmoğl Sim Vol/Cilt 6 Isse/Sı 3

10 84 A d [ ] d d oşld ; d d olr < oldğd dolı rıdi idede [ ] H L d d d γ γ lr Brd m γ Bölece A γ lmş dolısıl A opertörüü ltt γ sısı ile sıırlı oldğ österilmiştir A D A λi her erde oğdr; A λ ı lt sıırı γ d üçü ir reel sı ols B drmd A D A λi ı pışıı H A D I A λ oldğ österileilir v v v v olm üzere H v sit ttlmş herhi ir elem ols A D ei elem ie O Bodr Vle Prolem with Mtri Coeiciet

11 F Adı Aü M Brmoğl Sim Vol/Cilt 6 Isse/Sı 3 T λ v λ A λ I v T λ d λ v v L λt d λ eşitliğii sğldığıı vrsılırs ei DT v λ ie 33 de 34 oşl sğldığıd T L d 33 λ 35 dır L λ D T L [ ] dırb 33 te öz öüe lıırs oldğd 35 e öre v λ λ osio vrdır Bd dolı 34 de v dır D A ei elem oldğd olc şeilde A λ I D A H oldğ örülür lr Brd λ < γ ie A λ I simetri opertörüü sıırlı H d her erde oğ ümede tımlı oldğ dite lıırs ilie ellich Teoremie [5] öre A λ I opertörüü pışı edie eş opertördür B ise A ı pışıı edie eş oldğ ıtlr Yi A esslı essetil edie eş opertördür 4 ÖZFOKSİYOLAA GÖE AÇILIM Öce A ı edie eş opertör oldğ österilmelidir B içi [4] çlışmsıd oldğ ii şğıdi şeilde A opertörüü tımlctır { D T } ie D A her D A A l içi 85

12 O Bodr Vle Prolem with Mtri Coeiciet ve [ ] oşl sğl elemlrıı olştrdğ lt z ile özdeşleştirileilir ve öre L zı H ı [ ] { H ; } L oldğ vrsılctır l diersiel idesi ve olştrl [ ] L [ ] T : L oşllrıl opertörü edie eş opertördür[4]t opertörüü spetrm sdece şğıdi orm ship özdeğerlerde olştğ ilimetedir österir λ λ λ lim λ B ise T i esslıessetil spetrm i σ e T i oş üme oldğ A ve T opertörleri A opertörüü sol otl eişlemeleridir Yi D A ve D T ümeleri D A modülüe öre sol otldrlr Bş ir deişle M M sol otl lt zlr olm üzere D A ve D T sırsıl D A D A M D A M D T M φ oş üme D T D A M şelide österileilir B drmd şğıdi ilie teorem ide edileilir TEOEM Kplı opertörü her sol otl eişletilmesi de plı opertördür İde edile teoreme öre A plı opertördür A ı pışıı edie eş oldğ österilmişti Bölece A esslıessetil edie-eştir Wel Teoremie [6] öre plı opertörü ess spetrm ile opertörü her sol otl eişletilmesii ess spetrm çışır B öre T σ A σ T e dir σ e φ oldğd σ e A φ olr Ess spetrm oş üme ol her edie eş opertörü spetrm s rıtır[5]b öre ltt sıırlı A opertörüü spetrm ığılm otsı sdece rtı sosz ol özdeğerlerde irettir B özdeğerleri şğıdi şeilde zılilir µ µ µ lim µ e 86

13 F Adı Aü M Brmoğl Sim Vol/Cilt 6 Isse/Sı 3 B ı zmd A ı üstte sıırsız oldğ österir µ i i i özdeğerlerie rşılı ele ileşeli ortorml özvetörleri i i 4 ile österilir Bilie teoreme öre [5][] 4 vetörler sistemi H zıı ir zıdır Bl iz şğıdi teoremi isptlmış olrz i Teorem : H ei ir vetör ols B ttirde 4 eşitliği doğrdr Brd d ormülleri ile tımlır 3 eşitliğidei seri lmd ısr lim 87 e µ ölçümüe öre ortdrti dµ Bilielere dr [][7][7] Teorem i özel hli ide edileilir Teorem : [ ] L herhi ir vetör ise ı [ e ısıtlmsı ols B ttirde 43 i 44 i

14 O Bodr Vle Prolem with Mtri Coeiciet eşitlileri sğlır43 dei tsılrı; d ormülleri ile tımlır43 serisi e L [ ] i i İspt: Teoremi isptlm içi lmıd ıstır E olr 45 < {} ve d d < µ ie dµ serisii e ısmsı i: lim llılctır Brd lim dµ dµ dµ {} µ ölçümüe öre ortdrti dµ lim dµ olr lıırs lim elde edilir Bölece d olr B drmd 46 eşitliğide d d d dµ 46 88

15 89 lim d d ve d lmş olr Bölece 43 österilmiştir 46 d lıırs 46 eşitliği şğıdi iidir lim d 47 Brd ve i i i 44 eşitliği ve i 45 eşitliği lr Brd : otl irim vetördür Özel olr irim vetörüü şelide lıırs drmd 44 eşitliği ve 45 eşitliği j j şelide zılilir F Adı Aü M Brmoğl Sim Vol/Cilt 6 Isse/Sı 3

16 O Bodr Vle Prolem with Mtri Coeiciet KAYAKLA [] Poisso SD Memoire sr l Miere d eprimer hes Foctios pr des Series de tites Periodiqes estr I se de cette Trsormtio ds L esoltio de Dieres Prolems Jorl de I Ecole Poltechiqe Ch 88 pp [] Friedm B Priciples d Techiqes o Applied Mthemtics Joh Wile & Sos Lodo 956 [3] Tchoov A d Smrsii I I Eqtios o Mthemticl Phsicsew Yor956 [4] Glzm IM Direct Methods o littive Spctrm Alsis o Silr Dieretil Opertors Isrel Prorm or Scietiic Trsltios Jerslem 965 [5] Hellwi G Dieretil Opertors o Mthemticl Phsics Lodo 967 [6] imr MALier Dieretil Opertors Geore GHrrp&CompLTD Lodo 968 [7] Wlter Jelr Eievle Prolems with Eievle Prmeter i the Bodr Coditio MthZ33 Pe: [8] ssovsii EM Opertor Tretmet o Bodr Vle Prolems with Spectrl Prmeters Eteri vi Polomils i the Bodr Coditios Fctiol Alsis Applictios [9] Flto CT Two-Poit Bodr Vle Prolems with Eieprmeter Cotied i the Bodr Coditios Proc Soc Edir A [] Flto CT Silr Eievle Prolems with Eievle-prmeter Cotied i the Bodr Coditios Proc Soc Edir A [] Kto TPertrtio Theor or Lier Opertors Sprier Verl Berli ew-yor 98 [] Weidm J 98 Lier Opertors i Hilert Spces Grdte Tets i Mthemtics Vol68 Sprier Verl ew Yor [3] Shliov AA Bodr Vle Prolems or Ordir Dieretil Eqtios with Prmeter i the Bodr Coditios J Soviet Mth [4] Weidm J 987 Spectrl Theor o Ordir Dieretil Opertor Sprier Verl Lodo [5] Ahiezer IGlzm IM Theor o Lier Opertors i Hilert Spce Dover Plictios IC ew Yor 987 [6] Birm MS d Solo MZ Spectrl Theor o Sel Adjoit Opertors Dedidel Plished co Drdrecht 987 [7] Hochstd H Iterl Eqtios Joh Wile & Sos ew Yor 989 [8] Bidi PA Browe PJ Seddihi K Strm-Lioville Prolems with Eieprmeter Depedet Bodr Coditios Proc Edirh Mth Soc [9] ssovsii EM 996 The Mtri Strm-Lioville Prolem with Spectrl Prmeter i the Bodr Coditios Aleric d Opertor Aspectors Trs Moscow Mth Soc [] Amr JB Forth Order Spectrl Prolem with Eievle i the Bodr Coditios Fctiol Alsis d its Applictios 4 [] Bidi PA Browe PJ d Wtso BA Eqivlece o Iverse Strm-Lioville Prolems with Bodr Coditios tioll Depedet o the Eieprmeter J Mth Alsis Applic [] Bidi PA Browe PJ d Wtso BA Strm-Lioville Prolems with edcile Bodr Coditios Proceedis o the Edir Mthemticl Societ