Tanım Türevi F(x) yada diferansiyeli f(x)dx olan f(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonun bir ilkeli ya da belirsiz integrali denir ve f ( x)

Transkript

1 ÖLÜM - İNTEGRL KVRMI - İlel Fosiyo vey elirsiz İtegrl ir osiyou türevii sıl lıdığıı iliyoruz.u ölümde türevi lımış ir osiyou ileliiöei hlii sıl uluğıı ieleyeeğiz.ypğımız u işleme İtegrl lm vey osiyou ilelii ulm işlemi deir.u işlem türev lm işlemii tersidir. Tım Türevi F yd diersiyeli d ol osiyou osiyou ir ileli y d elirsiz itegrli deir ve d F şelide gösterilir.yi F F osiyou -, rlığıd osiyouu ir ilelidir.çüü Ι ı ı F F osiyou, rlığıd osiyouu ir ilelidir. ı ı ı Çüü F F osiyou -, rlığıd osiyouu ileli değil Çüü F ı eşitliği içi sğlmıyor. -, rlığıd F osiyou osiyouu ilelidir.

2 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı LIŞTIRMLR F osiyou osiyouu ilelimidir? F,, -, F, -, -, 7 F, 7, -, d F, 7,, e F -si, os, -, F -,-, -, g F os-, -si, -, h F,, -, - şlgıç Şrtlrı ve Özel ler. iz iliyoruz i ;, ise ise - ise u türevleri terside düşüelim. Yi ise Çüü F Yurıd üç yı osiyou türevi lıdığıd te ir osiyo elde edildiğii siti türevi sıır olduğud iliyoruz.u türevi lımış osiyolr itegrlleri lıdığıd yı osiyou elde edeilme içi ir sitii olduğuu düşüme zorudyız.tmme eyi ir değer l u sitie itegrl siti deir. Deme i d itegrlii hesplmsı türevi ol osiyouu ulumsıdır.o hlde elirsiz itegrllerde mutl ir itegrl sitii vr olduğuu uutmmlıyız.

3 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı,, osiyouu ilelii geel şeli edir? - ise F ı Çüü ı ı ı F,, osiyouu, otsıd geçe ilelii uluuz. ise F Eğer ise F - Yi, otsıd geçe ileli F - elirsiz İtegrli Özellileri elirsiz itegrli türevi, itegrli lı osiyo eşittir. d Yi [ d] dir. d elirsiz itegrli diersiyeli itegrl işreti ltıdi ideye eşittir. Yi d [ d] d dir. ir osiyou diersiyelii elirsiz itegrli, u osiyo sitii elemele elde edilir. Yi d dir. İi osiyou toplmı vey rıı itegrli, u osiyolrı itegrllerii toplmı vey rı eşittir. Yi [ mg ] d d m g d dir.

4 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı ir sitle ir osiyou çrpımıı itegrli, o sitle osiyou itegrlii çrpımı eşittir. Yi d d dir. zı İtegrl Formülleri d d, sit d, d, d l e d e 7 d l 8 si d os 9 os d si t d l os ot d l si se d l se t os ed l os e ot se d t os e d ot d rt d 7 l

5 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı d 8 rsi d 9 l m m ' d l [ ]. ' d [ ]. ' d os m si md m si m os md m e e d d l LIŞTIRMLR - osiyouu ilelii geel şeli edir.? - d os e - g h os

6 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı osiyouu M otsıd geçe ilelii uluuz. os, M, -, M-,9 si, M, d, M, e, M-, -, M, g, M, h, M, şğıd verile itegrlleri hesplyıız. d si d os d d [ os e d. d d 7 [ e ] d d 8 si d 7 [ os ] d 8 d os 9 [ ] d os d e 9 9 d [ os si ] d [ ] si d.,9 e,, d d ] d

7 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı [ si ] d os - İNTEGRL LM METODLRI Göstermiş olduğumuz itegrl lm urlı ezemeye osiyolrı itegrlii rlı metotlrl ulm mümüdür. -- Değişe Değiştirme metodu d? - u derse ve diersiyelii lırs d du d du u u d u. du u du. d? - u -d du d -du d u. du u du u u d? 7

8 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı - u d du d - du u d du u du. u. u. LIŞTIRMLR 9 d 9 d d d si os. d si. os d 7 d 8 d 7 9 d d 7 d d os d d d 7 d 8

9 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı l 8 d 9 e d os d si e d e si os d osl d d 9 si os d l d l 7 d 8 d 9 d e d si d.os 7 -- Kısmi İtegrsyo Metodu. g. d içimide ii osiyou çrpımıı itegrli ze güç olilir. öyle osiyolrı dh oly itegrlleeilmesi mıyl ısmi itegrlleme şğıdi gii ypılır. l l l uv u v uv d uv du dv v u d d d d uv vdu udv d uv vdu udv 9

10 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı uv vdu udv udv uv vdu e d? u d du e d dv e v e d udv U V vdu e e d e e e d? u du d e d dv v e e d udv uv vdu e e d e e d e udv e uv vdu u du d e d dv v e e e e d e e e e si d? si u du osd e e d dv v e e e si d udv uv vdu si..os d

11 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı e si e osd os u du si d e e d dv v e si e si. udv. uv vdu e si e os 9 e si d yi e si e os 9 e si d e si d e si d derse e si e os 9. e si e os. e si e os e si os e si d LIŞTIRMLR l d os d si d l d d d 7 si d 8 l d 9 l d 7 os d l d

12 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı e os d os d l d si d e d 7 os d 8 9 rsi d rt d d -- İdirgeme ormülleri Diersiyelide si ve os gii ideler ulu itegrllerde ısmi itegrsyo metodu rt rd uygulırs şğıdi idirgeme ormülleri elde edilir. si os d os d os d d si os si d si d? si d si os si d si os. si os si d si os si os si d 8 si os si os. si os 8 d

13 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı si os si os si os os d? os d os si os d os si. os si os d os si os si 8si LIŞTIRMLR os d si 7 d si os d -- sit Kesirlere yırm Metodu u metot rsyoel osiyolrı itegrsyoud ullıl ir metoddur. d hli u tür esirlerde pydı türevi py ısmıd vrs logritmlı ormülde yrrlılilir. d d l

14 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı 7 7 d d l 7 d d l d hli u döüşümüyl e çözülür. u ise du d ve d du d. du du u u u. u d. d.. p hli Q Rsyoel ideside pyı dereesi pydı dereeside üyü ve y eşit ise py pydy ölüür. P R T şelide yzılır ve sor yrı yrı itegrlleri lıır. Q Q

15 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı d? _ d d d d d l d? d d d d d d.l

16 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı? d d d d d.l d d hli d Eğer poliomu çrpımlrı yrılıyors ide sit esirlere yrılr itegre edilir. sit esirlerie yrılmıyors rt ormulüe ezetilere çözülür. Şimdi irç rsyoel osiyou sit esirlere yırlım. } } ve yi

17 ] yi MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı

18 8 E D E D E E E D D D D D D E E E E E D E D D E E D E D D E E D E D D D D D 7 7 E E 7 E yi 7 D E ve 7 7 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı

19 9 Rsyoel ideler yurıd görüldüğü gii sit esirlere yrılır ve itegrl prçlr olylştırılır.? d } d d d d l l l? d MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı

20 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı d d d d l l l d? ] ] d d d d l l d e eğer hlide yrıyrılmı s > dt t rt vey t çrplrı d rt ormülüde yrrlr çözüm ypılır.

21 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı d d 9 9. rt rt 9 d? çrplrı yrılmıyor. d d rt lıştırmlr d d d d d d d 8 d d d d 7 d d 8 d 8 d 9 d 9 9 d d d d d d

22 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı d d d d 7 d 8 d 9 d d d d d - ELİRLİ İNTEGRL -- RİEMNN NLMIND ELİRLİ İNTEGRL [,] rlığıd süreli ol ir y osiyouu göz öüe llım.u osiyou u rlıti mutl miimum ve msimum değerleri sırsıyl m ve M olsu. [,] rlığıı lt rlığ yırlım.,,,... u lt rlılrı uzululrı eşittir. osiyouu her lt rlığıdi e üçü ve e üyü değerleri sırsıyl m ve M K olsu.

23 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı u hlde; m m... m m K M M... M K S lt toplm S M üst toplm s S K Çüü m M K Eğer sit ise s S lt toplm ltt sıırlı ir dizi,üst toplm d üstte sıırlı ir dizidir. Gerçete, y osiyouu [, ] rlığıdi mutl miimum m ve mutl msimum M olduğud ; m< m, m<m,..., m ve M>M, M>M,..., M>M ve s m m...m u >M... u m- Yi s m Su M M... M < M... Χ M- Yi S M- Yurıd elde ettiğimiz eşitsizlileri dite lırs; m- s S M-

24 [,] rlığıı [, ],[, ],...,[ -, ] rlılrı ölelim.lt rlılrı her iride ir ot seçelim,,... şeil-. u otlrd y osiyouu ldığı değerler sırsıyl,,... olsu. u göre her didörtgei lı; S llrı toplmı ise; S... K u u Her ir ve M m içi > ve K M m u u u M m Yi s S S MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı

25 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı Tım y osiyou [,] rlığıd süreli ir osiyo olsu.[,] rlığıı te lt rlığ ölelim ve her rlığı uzuluğu olsu. Eğer u lim L ise u limite y osiyouu ve sıırlrı lim rsıdi elirli itegrli deir ve u K d şelide gösterilir. syısı itegrli lt sıırı, syısı itegrli üst sıırı, [,] rlığı itegrsyo rlığı, değişeie de itegrsyo değişei deir. Tım y osiyou [,] rlığıd süreli ve egti olmy ir osiyo olsu.u tdirde osiyouu eğrisi, O esei, ve doğrulrı rsıd l l ise; d -- ELİRLİ İNTEGRLİN ÖZELLİKLERİ - Eğer osiyou otsıd tımlı ise d -Eğer osiyou [,] rlığıd itegrlleeile ir osiyo ise ; d d - Eğer osiyou [,] ve [,] rlığıd itegrlleeiliyors;_ d d d - ve g [,] rlığıd itegrlleeilir osiyolr ve ir sit olsu.u tdirde; d d [ m g ] d d m g d

26 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı -- İNTEGRL HESIN TEMEL TEOREMİ Teorem y osiyou [,] rlığıd süreli ir osiyo,f osiyou d her ir [, ] içi F ı şrtıı sğly ir osiyo olsu.u tdirde ; d F F d, os d si si si d t t t os d.... os d.si si si si. d d

27 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı d l. l. l. l. l. l e e d e e e d l l l l 7 l 7 d l 7 l 7 l l 7 d l.l l l l l l l e e d l l e l LIŞTIRMLR d 7 7 d d 7 d 8 7

28 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı d 9 d d d d si d d os d 7 d si d 8 si os d d 9 d d si os 9 si os d d d 7 si os d l e d 8 os d d 9 d 8

29 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı 8 d e d d e d t d d - Nümeri İtegrl zı osiyolr vr i, olrı itegrlii ulmt sııtı çeeiliriz. Yi, hiçir urlı ullm olmuyor. öyle hllerde elirli itegrli ylşı değerii ulm işimize yrr. elirli itegrli ylşı değerii ulm içi iz ii yötem rştırğız. -- Ymu Kurlı osiyou [,] rlığıd süreli ve poziti değerler l ir osiyo olsu. y eğrisi,, ve o esei ile sıırlı ol ölgei lı [,] rlığıı te eşit prçy ölelim. Her ir rlığı geişliği ymuğu lı d olsu. ol. 9

30 öylee, d... d,,,, içi ymu urlı göre? d,,7,,8, 8 8 d d, MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı

31 d 8 7,,9,7,,,8,, d d 7 8,, 9, 8,,,, d, d MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı

32 ,,9,,9 d, d,,,,,8, ,8,78 9, d, d,,,,8,9 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı

33 -- Simpso Kurlı elirli itegrli ylşı değerii hesplm içi ullıl yötemlerde irisi de Simpso urlıdır. Simpso urlı göre y osiyou [,] rlığıd süreli ir osiyo ise d... d d,,7,,8,9 d,7,,,,, ,, 8 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı

34 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı d, d,9,7,, 7 LIŞTIRMLR şğıdi elirli itegrlleri ylşı değerlerii ymu urlı ve Simpso urlı ile uluuz. d, içi d, içi d, içi d, içi d, içi

35 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı si d? os os os D os si d? os os os os D os E si d? Eos os os os D os os E evp evp evp E si os d? si E si si si D si evp os d? si si si E si D si evp D

36 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı d os si? si si os D E si os 7 si? d evp si D si E si si si si 8 d? os os E si si si D os evp evp E 9 t? d t t t D t E t ot d? ot ot ot D ot E ot evp evp D

37 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı os d si d? si si E si si D si evp t? d t t ot t D E t t si os d? t evp E D E evp D d t os? l Dl E l evp E 7

38 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı os d si? D E evp os? d si si si si si D si si E os os si evp 7 si os? d si si si os si si D si si E si si evp os 8 d? si ot si ot si ot si D t ot E os ot evp 8

39 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı 9 os d? ot ot si t si si D ot E os si si os d? os si os os si si D os os E os si evp evp D. d şğıdilerde hgisie eşittir? E. d l D l itegrlii souu edir? E D EVP : E EVP : 9

40 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı d şğıdilerde hgisie eşittir?. E D 9 EVP :. şğıdilerde hgisi osiyouu ir itegrli değildir? E D EVP : E. Türevi ol g osiyou şğıdilerde hgisi olmz? E D EVP : E d itegrli şğıdilerde hgisie eşittir?. E D EVP : D d itegrlii hesplm içi e uygu değişe değişiliği şğıdilerde hgisiyle ypılır? 7. u D u u E u u EVP :

41 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı 8. d itegrlii oly hesplm içi e uygu değişe değişiliği şğıdilerde hgisidir? u u E u u D u EVP : E 9. G e d itegrl siti çtır? olm üzere, G şlgıç oşuluu sğly D E EVP : F F itegrli souudi değeri çtır?. ise d D E d şğıdilerde hgisie eşittir?. E D EVP : D EVP : d. şğıdilerde hgisie eşittir? l E l D EVP :

42 MTEMTİK-II dullyev, Çeti, Tşı. ve uygu syılr olm üzere, şğıdilerde hgisie eşittir? osiyou E. y D EVP : Ds - y - Şeilde, delemi y ol prolü griği ve - eseiyle sıırlı trlı ölgei lı ç irim redir?. y y - D E EVP : E - y osiyou ile eseii sıırldığı ve şeilde trlı olr gösterile l ç irim redir? D E EVP :