Hafta 10: z -Dönüşümü

Transkript

1 Hft : -Döüşümü

2 Ele Alıc A Kolr -döüşümü -döüşümüü yıslı bölgesi Ters -döüşümü -döüşümüü öellileri -döüşümü llr LTI sistemleri lii

3 -Döüşümü İmpls yıtı h ol bir LTI sistemi, girişie ol yıtıı y =H oldğ görmüştü. H şğıdi gibi hesplıyord: H h =e yi = içi, yrıd verile toplm h i yrı-m Forier döüşümüdür. = olm ord olmdığıd, toplmy -döüşümü deir. rmşı birsyı olm üere, bir yrı-m işret i -döüşümü delemiyle tımlır. -döüşümüü belirtme içi {} llc, işret ile -döüşümü rsıdi ilişiyi, şğıdi şeilde belirteceği.

4 Lplce döüşümü ile süreli-m Forier döüşümü rsıd ilişi oldğ gibi, -döüşümü ile yrı-m Forier döüşümü rsıd ilişi vrdır. tpsl oorditlrd -Döüşümü re şelide yılbilir. O hlde, re r re e Görüldüğü gibi, eşittir. Yi, re, ile r - diilerii çrpımıı Forier döüşümüe re = F{r - }. = ie, toplm işretii yrı-m Forier döüşümüe eşit olr: e F e

5 -Döüşümü Lplce döüşümü, rmşı s-dülemide -esei üeride hespldığıd süreli-m Forier döüşümüü veriyord. -döüşümü, rmşı -dülemide birim çember = üeride hespldığıd, yrı-m Forier döüşümüe eşit olr. Bir işretii -döüşümüü vr olbilmesi içi r - işretii yrım Forier döüşümü yısmlıdır. Verile bir işret içi, -döüşümüü vr oldğ r değerleri ümesie YAKINSAKLIK BÖLGESİ ROC deir. ROC, birim çemberi içeriyors, işreti Forier döüşümü de vrdır.

6 ÖRNEK: işretii -döüşümüü hesplyıı, sıfır-tp diygrmı ve yıslı bölgesii çiii. ÇÖÜM: Serii yısmsı içi - < vey eşdeğer olr > olmlıdır. O hlde, -Döüşümü : ROC, Htırltm:, q q q q q

7 ÖRNEK: işretii -döüşümüü hesplyıı, sıfırtp diygrmı ve yıslı bölgesii çiii. ÇÖÜM: Serii yısmsı içi - < vey eşdeğer olr < olmlıdır. O hlde, - -Döüşümü : ROC,

8 ÖRNEK: Aşğıd verile işreti -döüşümüü hesplyıı, sıfır-tp diygrmıı ve yıslı bölgesii çiii. ÇÖÜM: -döüşümüü vr olbilmesi içi ii seri de yısmlıdıryi, O hlde, -Döüşümü / ve / ROC :, 6 7

9 Ayı soc, öcei lıştırmlrı llr hesplm ypmd d blbiliri. ROC :, ROC :, ROC :,

10 ÖRNEK: Aşğıd verile işreti -döüşümüü hesplyıı, sıfır-tp diygrmıı ve yıslı bölgesii çiii. ÇÖÜM: -döüşümüü vr olbilmesi içi ii seri de yısmlıdıryi, O hlde, -Döüşümü 4 si 4 / 4 / e e 4 / 4 / 4 / 4 / e e e e / ve / 4 / 4 / e e ROC :, 4 / 4 / 4 / 4 / e e e e

11 -Döüşümü ÖRNEK: Aşğıd verile işretleri -döüşümüü hesplyıı, sıfır-tp diygrmıı ve yıslı bölgesii çiii. i = δ, ii = δ-, iii = δ+ ÇÖÜM: i, ROC : ii, ROC : iii, ROC :

12 -Döüşümü ÖRNEK: Aşğıd verile işreti -döüşümüü hesplyıı, sıfır-tp diygrmıı ve yıslı bölgesii çiii. ÇÖÜM: Sıfırlr py poliom öleri, N,., si hlde Ktplr pyd poliom öleri: =, = N- tlı = içi bl sıfır ile tp birbirii götürür. Soç olr, N N N N N, ROC: N e / N,,,..., N Sıfırlr: e Ktplr: = N- tlı / N,,..., N Htırltm: q q q q, q

13 -Döüşümü b, b Öre: işretii -döüşümüü hesplyıı, sıfır-tp diygrmıı ve yıslı bölgesii çiii. Çöüm: İşret çift trflı olp b <veb > içi şeli şğıd verilmiştir. b b b b

14 b, ROC: b b b, ROC: b b b b, b b b, ROC: b b b b b

15 -Döüşümüü Yıslı Bölgesii Öellileri. Bir yrı-m işretii -döüşümüü ROC si, -dülemide sıfır etrfıd bir hldır.. ROC herhgi bir tp içerme.. Ayrı-m işret sol süreli ise, -döüşümüü ROC si mhtemele = ve/vey = hriç, tüm -dülemidir. 4. Ayrı-m işret sğ trflı ve =r hlsı -döüşümüü ROC si içide ise, >r eşitsiliğii sğly tüm değerleri de ROC içidedir. 5. Ayrı-m işret sol trflı ve =r hlsı -döüşümüü ROC si içide ise,< <r eşitsiliğii sğly tüm değerleri de ROC içidedir.

16 -Döüşümüü Yıslı Bölgesii Öellileri 6. Ayrı-m işret çift trflı ve =r hlsı -döüşümüü ROC si içide ise, ROC =r hlsıı içere bir hldır. 7. Ayrı-m işreti -döüşümü rsyoel ise, ROC tplrl sıırlıdır vey sos dr ır. 8. Ayrı-m işreti -döüşümü rsyoel ve işret sğ trflı ise, ROC e dışti tb dışıdi bölge, yi e yüse gelili tb geliğie eşit hlı dışıdır. İşret yı md edesel ise sğ trflı ve < içi sıfır eşitse, = ROC içidedir. 9. Ayrı-m işreti -döüşümü rsyoel ve işret sol trflı ise, ROC e içtei tb içidei bölge, yi e üçü gelili tb geliğie eşit hlı içidir. İşret yı md edesel değilse sğ trflı ve > içi sıfır eşitse, = ROC içidedir.

17 -Döüşüm Çiftleri İşret -Döüşümü Yıslı Bölgesi ROC Tüm değerleri m m m > içi vey m < içi hriç tüm değerleri

18 İşret -Döüşümü Yıslı Bölgesi ROC cos cos cos si cos si cos r cos cos r r r r si r cos si r r r r -Döüşüm Çiftleri

19 Ters -Döüşümü işretii -döüşümü =re,r - işretii yrı-m Forier döüşümü ise, r - işreti re ı ters Forier döüşümüdür. Yi, re F{ r } r F r { re } r re e d F { re re } re d = re değişe döüşümü ypılırs, d re d d d / d ω, π rlığıd değişire, r yrıçplı bir dire üeride değerler lır. Dolyısıyl, itegrl ciside şğıdi gibi olr: d Ters -döüşümü O, merei orii ol, st yöüü tersi yöde, r yrıçplı plı bir eğriyi ifde etmeetdir. Ters -döüşümü, rmşı dülemde itegrl lm yerie bsit esirlere yırm ve vvet serisie çm yötemleri llılr belirleir.

20 Ters -Döüşümü Öre bsit esirlere yırm: Aşğıd verile -döüşümlerii tersii bl. i 5/ 6 4, ROC : ii yı,roc:/4< </, iii yı, ROC: </4, Çöüm: A / 4 B / / 4 / i bileşeler sğ trflıdır: ii /4 tbd gele bileşe sğ trflı, / tbd gele bileşe sol trflıdır: iii bileşeler sol trflıdır: / 4 / / 4 / / 4 / / 4 / / 4 / / 4 /

21 Ters -Döüşümü Öre vvet serisie çm: Aşğıdi -döüşümüü tersii bl. 4, ROC : Çöüm: -döüşümüü tımıı htırlylım: Görüldüğü gibi, -döüşümüde i vvetlerii yıd göüe syılr işreti değerleridir yıdi syı, - yıdi syı, - yıdi syı, yıdi syı -, yıdi syı -, vb. O hlde, 4,,,, si hlde 4

22 Ters -Döüşümü Öre vvet serisie çm: Aşğıdi -döüşümüü tersii bl., ROC : Çöüm: Öcei örelerde işreti sğ trflı ve = oldğ biliyor. Ayı soc verile rsyoel -döüşümüü vvet serisie çr d blbiliri. Poliom bölme işlemi, i egtif vvetleri olşc şeilde ypılır:... O hlde, < içi =, =, = vey geel olr =. Not: ROC < olsydı, işret sol trflı olcğıd i poitif vvetleri olşc şeilde poliom bölme işlemi ypılr: B drmd, içi=, -=- -, =- - vey geel olr =

23 Ters -Döüşümü Öre vvet serisie çm: Aşğıdi -döüşümüü tersii bl. Çöüm: l+ içi seri çılımı şğıd verilmiştir. l+ içi seri çılımıd yerie - yılırs sord elde edilir: Açılımd, i vvetlerii yıd göüe syılr işreti değerleri oldğd ROC :, l, l,,,

24 -Döüşümüü Öellileri Kolylı olmsı bımıd, -döüşümü ve tersii belirtme içi sırsıyl {} ve - {} ıs gösterilimii llcğı. Ayrıc, -döüşüm çiftii belirtme içi otsyo llcğı. -döüşümüü şğıd verile öellileri rcılığıyl, -döüşümü bilie işretlerde çoğ işreti -döüşümüü elde etme olylşmtdır. Aşğıd sdece e öemli öellileri isptı verilecetir. Diğer öellileri isptı beer şeilde ypılbilir.

25 -Döüşümüü Öellileri md öteleme: İspt: -döüşüm delemide - = değişe deöüşümü ypılırs, { } { } i ROC si R ols. > ise, - ile çrpımd dolyı, = d tplr olşr ve blr i = disıfırlrıı götürebilir. Dolyısıyl, =, - i tb olbilir. B drmd - ı ROC si orii hriç R dir. < ise, - ile çrpımd dolyı, = dsıfırlr olşr ve blr i = di tplrıı götürebilir. Dolyısıyl, =, - i sıfırı olbilir. B drmd - ı ROC si sos hriç R dir.

26 -yıd ölçeleme: İspt:, i yıslı bölgesi içideyse,, / ı yıslı bölgesi içidedir. O hlde, i yıslı bölgesi R ise, / ı yıslı bölgesi R olr. Öel drm: Diğer bir deyişle, bir işreti m yıd belirli freslı rmşı üstel bir işret ile çrpm, -döüşümüü üstel işreti fresı dr dömesie ede olr. Yi, tüm sıfırlr ve tplr üstel işreti fresı dr döer. } { e e e -Döüşümüü Öellileri

27 Kovolüsyo öelliği: İspt: Kovolüsyo delemide md öteleme öelliğide prte içidei terim dir. O hlde, i ROC si R ve H i ROC si R ols. Y =H oldğd, Y i vr olbilmesi içi veh vr olmlıdır. Yi, Y i ROC si R = R R olr. Ac, çrpımd sıfır-tp götürmesi olrs Y i ROC si R R esişimide de büyü olbilir. * H Y h y h y h h y Y H H H H Y -Döüşümüü Öellileri

28 -Döüşümüü Öellileri -yıd türev lm: d d İspt: d d Eşitliği her ii trfı ile çrpılırs d d i ROC si R ols. - ile çrpm ilve bir tp getirmeyip, sıfır-tp götürmesi olşmmsı drmd = d bir sıfır olştrr. B edele, bir yrım işreti m-yıd ile çrpm -döüşümüü ROC sii etileme. Yi, -d/d i ROC si de R dir.

29 -Döüşümüü Öellileri Öre: -döüşümü =l+ -, > ol işreti, -yıd türev lm öelliğide yrrlr hesplylım. Çöüm: d d

30 Öre: -döüşümü -Döüşümüü Öellileri ol işreti, -yıd türev lm öelliğide yrrlr hesplylım., Çöüm: d d

31 -Döüşümüü Öellileri Öelli İşret -döüşümü ROC Doğrsllı b b E R R md öteleme Orii dhil vey hriç R R R R -yıd ölçeleme md tersie çevirme md ölçeleme e e - r,, r r R R R /R R /

32 -Döüşümüü Öellileri Öelli İşret -döüşümü ROC Eşlei lm * * * R Kovolüsyo * E R R Fr lm E R > Toplm E R > -yıd türev lm d d R İl Değer Teoremi < içi = ise lim

33 LTI Sistemleri -döüşümü Kllılr İcelemesi, Y veh, bir LTI sistemi sırsıyl girişii, çıışıı ve impls yıtıı -döüşümleri olm üere, ovolüsyo öelliğide Y =H oldğ görmüştü. H ye sistemi TRANSFER FONKSİYONU deir. Bir LTI sistemi çoğ öelliği, trsfer fosiyo tplrı, sıfırlrı ve yıslı bölgesiyle ilişilidir. Bir sistem edesel ise < içi h= olp impls yıtı sğ trflıdır. O hlde, H i ROC si -dülemide bir çemberi dışıd sos doğr mlıdır. Ayrıc, H rsyoel ise, sistemi edesel olbilmesi içi H i ROC si e dışti tb dışıd ve sos içere bir bölge olmlıdır. Yi, limit drmd H sol olmlıdır. Diğer bir deyişle, H i py poliom derecesi pyd poliom dereceside büyü olmmlıdır.

34 LTI Sistemleri -döüşümü Kllılr İcelemesi Bir yrı-m LTI sistemi edesel olbilmesi içi gere ve yeter oşl, trsfer fosiyo yıslı bölgesii rmşı -dülemide bir çemberi dışıd ve sos içere bir bölge olmsıdır. Rsyoel trsfer fosiyol bir yrı-m LTI sistemi edesel olbilmesi içi gere ve yeter oşl trsfer fosiyo yıslı bölgesi rmşı -dülemide e dışti tb dışıdi bir bölge olmsıdır vebh i py poliom derecesii pyd poliom dereceside büyü olmmsıdır.

35 LTI Sistemleri -döüşümü Kllılr İcelemesi Öre: Trsfer fosiyolrı şğıd verile yrı-m LTI sistemleri edesel olp olmdılrıı belirleyii. i ii Çöüm: i ROC hıd bilgi shibi olmmmı rğme sistemi edesel olmdığıı söyleyebiliri çüü py poliom derecesi pyd poliom dereceside büyütür. ii =/, = de ii tp vrdır. Sistem edeseldir çüü ROC e dışti tb dışı doğrdr ve py poliom derecesi pyd poliomide büyü değildir. 8 4 H ROC :, H H

36 LTI Sistemleri -döüşümü Kllılr İcelemesi LTI bir yrı-m sistemi rrlı olbilmesi içi impls yıtı mtl toplbilir olmlıdır. B drmd, h i yrı-m Forier döüşümü vr olp H i ROC si rmşı -dülemide birim çemberi içermelidir. LTI bir yrı-m sistemi edesel oldğ biliiyors, H i ROC si e dışti tb dışı doğr olmlıdır. ROC i yı md birim çemberi de içermesi içi, H i tplrıı tümürmşı -dülemide birim çemberi içide olmlıdır. Bir yrı-m LTI sistemi rrlı olbilmesi içi gere ve yeter oşl, H i ROC sii rmşı -dülemide birim çemberi = içermesidir. Rsyoel trsfer fosiyol edesel bir yrı-m LTI sistemi rrlı olbilmesi gere ve yeter oşl H i tplrıı tümüü birim çember içide yi tümüü geliğii birde üçü olmsıdır.

37 LTI Sistemleri -döüşümü Kllılr İcelemesi Öre: Trsfer fosiyolrı şğıd verile edesel yrı-m LTI sistemleri rrlı olp olmdılrıı belirleyii. i H ii H r cos r Çöüm: i H i = d bir tb vrdır. Sistemi rrlı olbilmesi içi tp birim çember içide olmlıdır. Yi, < ise sistem rrlı, si hlde rrsıdır. ii H i = re θ ve = re -θ d ii tb vrdır. r < ise, tplr birim çember içide, si hlde dışıddır. O hlde, sistemi rrlı olbilmesi içi, r < oşl sğlmlıdır.

38 Girişi-çıış ilişisi şğıd verile yrı-m sistemi trsfer fosiyo bllım Kovolüsyo öelliğide, Fr delemii her ii trfıı -döüşümü lıır ve -döüşümüü md öteleme öelliği llılırs trsfer fosiyo blbilir: M N b y Y H H Y N M M N M N M N b H b Y b y b y Doğrsl, Sbit Ktsyılı Fr Delemleriyle Tıml LTI Sistemler

39 Doğrsl, Sbit Ktsyılı Fr Delemleriyle Tıml LTI Sistemler ÖRNEK: Giriş-çıış ilişisi şğıd verile sistemi trsfer fosiyo ve impls yıtıı bl. ÇÖÜM: H ı ters -döüşümü lıırs impls ytı elde edilir. Ters -döüşümü yıslı bölgesie bğlıdır. İi drm vrdır i ROC: >/, impls yıtı sğ trflı olp ii ROC: </, impls yıtı sol trflı olp y y Y H Y Y H h h h