Anabilim Dalı: Matematik-Bilgisayar Programı: Matematik-Bilgisayar

Transkript

1 İSTANBUL KÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ELİPTİK İNTEGRALLER VE UYGULAMALARI YÜKSEK LİSANS TEZİ Aıl ÇİĞDEMDERE Ailim Dlı: Mtemtik-Bilgisyr Progrmı: Mtemtik-Bilgisyr Te Dışmı: Yrd.Doç.Dr. Ar ŞEN OCAK 6

2 ÖNSÖZ Lissüstü şmsıd yrdımlrıı ede esirgemeye dışmım Syı Ar ŞEN e, çlışklığıı ve disiplililiğii her m örek ldığım Syı Yşr POLATOĞLU, sırlı ir şekilde ütü sorlrımı yıtly Syı Ad İLERÇİ ye, ktkılrıd dolyı Syı Mert ÇAĞLAR ve tei itim şmsıd yrdımlrıd ötürü Syı Emel YAVUZ sos teşekkürlerimi syorm. Hir 6 Aıl ÇİĞDEMDERE ii

3 İÇİNDEKİLER ŞEKİL LİSTESİ...iv SEMBOL LİSTESİ...v ÖZET...vi SUMMARY...vii GİRİŞ...viii. ELİPTİK İNTEGRALLER.... Birici Tür Tm Olmy Eliptik İtegrller.... İkici Tür Tm Olmy Eliptik İtegrller.... Üçücü Tür Tm Olmy Eliptik İtegrller....4 Eliptik İtegrller İçi Jkoi Şekilleri....5 Eliptik Tipe İdirgeeile İtegrller....6 Jkoi Eliptik Foksiyolrı.... ÇÖZÜLMÜŞ PROBLEMLER Eliptik İtegrllerle İlgili Prolemler Eliptik Foksiyolrl İlgili Prolemler PERİYODİK FONKSİYONLAR Çit Periyotl Foksiyolrı Öellikleri σ Foksiyo İcelemesi Weierstrss ξ ve σ Foksiyolrı Legedre Bğıtısı η ve η Sitlerii ξ Foksiyo Trıd Belirlemesi Tm Foksiyolrı Weierstrss Çrpım Formülü ELİPSTE YALINKAT FONKSİYONLAR...5 KAYNAKLAR...7 SONUÇ..7 ÖZGEÇMİŞ...7 iii

4 ŞEKİL LİSTESİ Sy No Şekil. Periyot prlelkerlrıı geometrik yorm 9 Şekil. Prlelker kllrk geometrik ir yklşım 4 Şekil. Reidü teoremi içi geometrik yklşım 4 Şekil 4. oktsı içi geometrik yklşım 5 Şekil 4. oktsıı reel ve sl kısımlr yrılışıı geometrik yorm 54 Şekil 4. Bileşke oksiyo geometrik yorm 55 Şekil 4.4 Yıldııllık içi geometrik yorm 57 Şekil 4.5 Kovekslik içi geometrik yorm 6 Şekil 4.6 Teğet ve orml içi geometrik yorm 64 Şekil 4.7 Eğrilik içi geometrik yklşım 67 iv

5 SEMBOL LİSTESİ m : geliği mod : modülü K k : Birici tür tm eliptik itegrl E k : İkici tür tm eliptik itegrl F k, : Birici tür eliptik itegrller içi Jkoii şekli E k, : İkici tür eliptik itegrller içi Jkoii şekli k,, : Üçücü tür eliptik itegrller içi Jkoii şekli < :, de küçüktür > :, de üyüktür :, ye eşittir :, ye eşit değildir : Çit periyotl ir oksiyo periyod Re : oksiyo reidüsü Im : kompleks syısıı imier kısmı Re : kompleks syısıı reel kısmı : kompleks syısıı modülü Γ : oksiyo ile ypıl tsvirde elde edile eğri,,...,,... : poiti terimli periyot diisi, ξ, σ : Weierstrss oksiyo η, η : Legedre Bğıtısı içide yer l sitler v

6 ÖZET İtegrl hespt eliptik itegrller, ir elips yy lğ hesplmsı prolemiyle orty çıkmış ve ilk olrk Gilio Fgo ve Leohrd Eler trıd icelemiştir. Moder tımıyl ir eliptik itegrl, R iki değişkeli rsyoel ir oksiyo P üçücü y d dördücü derecede ktlı kökü olmy ir poliom krekökü ve c ir sit olmk üere c R t, P t içimide ide edileile ir oksiyodr. Geel olrk eliptik itegrller elemter oksiyolr ciside ide edilemeler. B drm istislrı P poliom ktlı köküü olmsı y d R,y oksiyo y değişkeii tek kvvetlerii içerdiği hllerdir. B krşı idirgeme ormülleriyle her eliptik itegrl rsyoel oksiyolrı ve irici, ikici, üçücü tür eliptik itegrller olrk dldırıl üç koik orm itegrlleri içimide ide edileilir. B ormlr dışıd eliptik itegrller Legedre Form ve Crlso Simetrik Form dı verile içimlerde de ide edileilirler. Belirsi itegrl hkkıd detylı ilgi ise Schr-Christoel döüşümü iceleerek elde edileilir. B çlışmı ilk ölümüde eliptik itegrlleri tımı ve şekilleri verilmiştir. İkici ölüm ise eliptik itegrller ve eliptik oksiyolr ile ilgili prolemleri çöümlerii içermekte olp üçücü ölümde çit periyotl oksiyolr ve lrı öellikleri icelemiştir. So ölümde ise elipste ylıkt oksiyolrl ilgili ir çlışm yer lmktdır. vi

7 SUMMARY I itegrl clcls, elliptic itegrls origilly rose i coectio ith the prolem o givig the rc legth o ellipse d ere irst stdied y Gilio Fgo d Leohrd Eler. I the moder deiitio, elliptic itegrl is y ctio hich c e epressed i the orm c R t, P t here R is rtiol ctio o its to rgmets, P is the sqre root o polyomil o degree or 4 cic or qrtic ith o repeted roots, d c is costt. I geerl, elliptic itegrls cot e epressed i terms o elemetry ctios; eceptios to this re he P does hve repeted roots, or he R,y cotis o odd poers o y. Hoever, ith pproprite redctio orml, every elliptic itegrl c e roght ito orm tht ivolves itegrls over rtiol ctios, d the three coicl orms i.e. the elliptic itegrls o the irst, secod d third kid. Besides the orms give elo, the elliptic itegrls my lso e epressed i Legedre orm d Crlso symmetric orm. Additiol isight ito the theory o the ideiite itegrl my e gied throgh the stdy o the Schr-Christoel mppig. The irst prt o this ork cotis o the deiitios d orm o elliptic itegrls. The secod prt cotis the soltios o prolems o elliptic itegrls d the third prt icldes doly-periodic ctios d their properties. The lst prt o the preset ork is devoted to stdy o ivlet o ivlet ctios i the ellipse. vii

8 GİRİŞ Eliptik itegrl kvrmı ir elips yyıı lğ elirtilmeside kllıl ir yötemdir. Norml itegrl ile yy lğ lmy çlışırke elde ettiğimi soç ie kesi lğ vermemekte, ht pyı içermektedir. Ack eliptik itegrller ile kesi soc lşılilmektedir. B seei ise seriye çrk soc lşılmsıdır. B çlışmd. Eliptik itegrlleri tımlrı. Eliptik itegrller ile ilgili prolemler. Eliptik oksiyolrı tımlmsı ve öellikleri 4. Çit periyotl oksiyolrı öellikleri 5. Elipste ylıkt oksiyolr icelemiştir. viii

9 . ELİPTİK İNTEGRALLER. Birici Tür Tm Olmy Eliptik İtegrller φ dθ. F k, φ < k < k si θ şeklide tımlır; φ ye F k, φ i vey geliği deir ve φ m yılır, k y d modülü deir ve itegrli Legedre şekli de deir. k mod yılır. B itegrle irici tür eliptik Eğer φ ise itegrle irici tür tm itegrl deir ve K k vey sdece K otsyo ile gösterilir. Bütü mçlr içi k ı verilmiş ir sit oldğ kl edilecektir.. İkici Tür Tm Olmy Eliptik İtegrller φ. E k, φ k si θ dθ < k < şeklide tımlır. B ikici tür eliptik itegrli Legedre şekli de deir. Eğer φ ise itegrle ikici tür tm eliptik itegrl deir ve E k vey sdece E otsyo ile gösterilir. B itegrl ir elips yyıı lğ elirtilmeside orty çıkr ve eliptik itegrl terimii kllılmsıı ir edeii teşkil eder.. Üçücü Tür Tm Olmy Eliptik İtegrller φ dθ. k,, φ < k < si θ k si θ şeklide tımlır. B üçücü tür eliptik itegrli Legedre şekli de deir. Brd sıırd rklı ir sit kl edilmektedir. Çükü içi. itegrli. itegrlie idirgemiş olr. Eğer φ ise itegrle üçücü tür tm eliptik itegrl deir.

10 .4 Eliptik İtegrller İçi Jkoi Şekilleri Ykrıdki eliptik itegrlleri Legedre şekilleride v siθ döüşümü ypılırs siφ olmk üere, şğıdki itegrller elde edilir. Blr sırsıyl irici, ikici, üçücü tür eliptik itegrlleri Jkoi şekilleri deir ve içi tm itegrl elde edilir. dv.4 F k, v k v k v.5 E k, dv v dv.6 k,, v v k v Ykrıdki itegrller sırsıyl irici, ikici, üçücü tür eliptik itegrlleri içi Jkoii şekillerii gösterir..5 Eliptik Tipe İdirgeeile İtegrller Eğer ve y i ceirsel rsyoel ir oksiyo yi ve y ciside iki poliom ölümü R,y ise, R, y d itegrli elemter oksiyolr ceirsel, trigoometrik, ters trigoometrik, üstel ve logritmik oksiyolr ciside hesplilir. y vey y c Eğer,, c, d, e verile sitler olmk üere içi y c d vey 4 y c d e ise R, y d itegrli irici, ikici, üçücü tür eliptik itegrller ciside vey öel hllerde elemter oksiyolr ciside hesplilir. Eğer P dörtte yüksek dereceli ir poliom olmk üere y P ise R, y d itegrli hiper eliptik oksiyolr yrdımıyl itegrlleeilir.

11 .6 Jkoi Eliptik Foksiyolrı Birici tür eliptik itegrli Jkoi şeklideki üst limit, Legedre şeklideki üst limit φ ye siφ ğıtısıyl ğlıdır. φ m oldğd si m dr. Böylece eliptik oksiyolrı tımı vrmış olr:.8 si m s.9 cosm c. k k s d s. t c B oksiyolr, trigoometrik oksiyolrıkie eeye ve prolemlerde gösterilecek ol pek çok öemli öelliğe shiptirler. Ters eliptik oksiyolrı tımlmsı d mümküdür. Öreği s ise s dir. k y ğımlı oldğ dikkt edii. B ğımlılığı iyice elirtmek içi e s, k vey s, mod k yılır. Şimdi eliptik itegrlleri dh iyi kvryilmemi içi örek prolemleri iceleyelim.

12 4. ÇÖZÜLMÜŞ PROBLEMLER. Eliptik İtegrllerle İlgili Prolemler. Eğer < < k ise si 6 4 k k k k d k K θ θ oldğ ispt edii. Öcelikle hırlığımıı yplım. Bir, rlığıd ici merteede türevi mevct... oksiyo gö öüe llım. Brd,,,..., i i sitlerdir. B oksiyo ici merteeye kdr türevlerii hesplylım.! şekilde devm edersek... ' '... ' lr. Şimdi yerie sıır ylım. B drmd;! şekilde devm edersek '' ' olp rd d i leri hesplrsk,! şekilde devm edersek! ' ' '

13 5 lr ki değerleri oksiyod sırsıyl yerie koyrsk!... ''! ' ormülü elde edilir. B ormüle Mclri Formülü deir. Şimdi oksiyo ele llım. Brd;! şekilde devm edersek ' ' ' ve rd ütü idelerde değerii koyrsk! şekilde devm edersek ' ' ' lr. Ykrıdki değerleri de sırsıyl oksiyod yerie koyrsk...!!...!! olp rd lırsk yiliri ve si θ θ k d θ θ d k si deyip θ si k lırsk si θ θ k d θ θ θ θ d k k k si si.4. si k k k soc çıkr.

14 d. si olrk hesplyıı. itegrlii öce ir eliptik itegrle döüştürüü sor üç odlıklı y döüşümüü yprsk d dy olr ve itegrli sıırlrı sırsıyl y y olr. d si dy dy cos y si y yiliri ve krekökte krtlmk içi de si ydy cos sid cossi d dy si y cos y cos döüşümüü yprsk olp si y cos y eşitliğide ve cos y cos yılırs 4 si y cos y cos cos cos olr ve ideyi ykrıdki deklemde yerie koyrsk dy cos si d si y cos si d cos cos olp itegrlde yerie koyrsk cosd cos d si dy dy cos y si y cosd cos cos d cos d si 6

15 F [ si ] d d si, lp ilk prolemi socd Bşk ir metot: k kolrk itegrl,6 değerii lır. d si itegrlide yie y döüşümüü yprsk d dy ve itegrli sıırlrı sırsıyl y y olr. Dolyısıyl; d si d si dy dy cos y si y cos y dy dy si y olp cos y si y yrsk olp si y siφ döüşümü yglırs dy cos y cosφdφ cos dy cosφdφ y olr. Öte yd cos y si y si φ idesii ykrıd yerie koyrsk cosφdφ dy cos y koydğm vkit cosφdφ si φ lr ki d itegrlde yerie 7

16 8 si d cos y dy si K d φ φ lr.. d cos itegrlii eliptik itegrl ciside ide edii. Krekökte krtlmk içi cos cos döüşümüü yprsk; d d d d d d si si cos si cos si si cos si lp 4 cos si cos cos cos cos si eşitliğii ykrıd yerie koylım. d d d d cos cos cos si si cos si si cos olr ve d cos d cos cos cos cos cos d d cos cos cos cos d d,, si si si si si si F E d d d d d d elde edilir.

17 4. 4si d Verile itegrli itegrlii hesplyıı. 4 cos d 5 4cos d şeklide yıp y döüşümüü yprsk d dy olr itegrl sıırlrı d sırsıyl y y şeklie döüşür. Düeleyip yrsk; 4si d 5 4cos d 5 4cos y dy lr. 5 4si ydy 5 [ 4 5si y]dy 5 5E 4 5si, 5 ydy 5. 4si d itegrlii tm olmy eliptik itegrller ciside ide edii. 6 oldğ vrsyılmktdır. 4si si siφ döüşümü ypılırs cosd cosφdφ cosφdφ d cos olp cos y φ ciside ymk içi 9

18 cos si 4si φ eşitliğii kllmmı gerekir. B d ykrıd yerie yılırs; cosφdφ d cos cosφdφ 4si φ olp sıırlr içi de φ si si gerçeği ltıd φ cosφ 4si d cos φ dφ 4si φ elde edilir d 6. I cos φ si φ dφ 4si φ φ φ 4 si 4si 4 φ [ 4si φ] 4si φ dφ 4si φ dφ φ φ F, φ E, φ dφ φ 4si φdφ itegrlii eliptik türde itegrle idirgeeildiğii gösterii. cos cos eşitliğide ydlırsk cos cos olp verile itegrl d cos d cos [ ] d cos olp rd döüşümü ypılırs d d olr. B ykrıd kllırsk

19 I d d cos si d si şeklii lır. d 7. [ F, F, 4 ] oldğ isptlyıı. cos döüşümüü yprsk 4 d d olp itegrl sıırlrı sırsıyl hlie döüşürler ve Prolem 6 d yrlrk 4 d d cos si soc vrılır. 4 d si d 4 si { F, F, 4 } 8. y si, eğrisii yy lğ l. d si Yy lğ d dy dy d d olp dy y si cos d Yy lğ cos d cos d si d [ si ]d

20 lr. E, si d 9. siφ, y cosφ << elipsii yy lğ l. Elipsi yy lğ 4 d dy dir. siφ d cosφdφ y cosφ dy siφdφ olp lrı yy lğ ormülüde yerie koyrsk Elipsi yy lğ 4 d dy 4 cos φ si φdφ si e φ si φdφ lr ki rd < e < olp si φdφ si φ dφ. y elipsii çevre lğ l. 9 4 B elipsi prmetrik deklemleri d cosθdθ ve dy siθdθ dır. Elipsi yy lğ 4 d dy e elipsi ekstirisitesii kresidir. siθ, y cosθ olp 4 4 9cos θ 4si 9 si θ dθ θ 4si θ dθ

21 lr. 4 4 E 9 5si θ dθ [ 5 9si θ ] dθ 9 5 9si 5, 9 θ dθ d. si cos itegrlii eliptik itegrller ciside yıı. cos si eşitliğii kllırsk d si cos si d si lr. t d. si F si [ si ] d d d si, itegrlii eliptik itegrller ciside ide edii. si si döüşümüü yprsk cos d cosd d cosd cos cosd si cosd si cosd si

22 olp φ si si t ğıtıyl d φ, t ye ğlı olck şekilde itegrl sıırlrımı değişir. Dolyısıyl; t d cosd si cos si φ φ φ si F [ si ] φ d d d si, φ olrk eliptik itegrller ciside ide edilir. d. 4 9 itegrlii eliptik itegrller ciside ide edii..yol: si t döüşümüü yprsk d cos t olp itegrl sıırlrı t t olck şekilde değişir. Dolyısıyl; d si t9 cost 4si t lr. 4 si 9 4si F, cost t9 4si t 4 9si t 9 4 9si t t 4

23 .Yol: si t döüşümüü yprsk d cost olp itegrli sıır değerleri içi t ve içi t rcsi hlie döüşür. Brd sit sit rcsi t ğıtısı ile i t ye ğlı olrk sıırlrı değişmiştir. d 4 9 rcsi cost 4 9 si t9 9si t rcsi 9 4si 4 t olp rd rcsi 9 4si t sit siφ döüşümüü yprsk cost cosφdφ lr ki; cosφdφ cosφdφ cosφdφ cosφdφ eşitliği çıkr. cost si t 4 9si φ 9 4si φ İtegrl sıırlrı ise φ rcsi si t ğıtısı ğlı olrk t φ t rcsi φ şeklide değişir. O hlde; rcsi lr. 9 4si t F cosφdφ cosφ 9 4si φ 4 9si φ 9 dφ dφ 4 9si φ 4, 9 5

24 d 4. itegrlii eliptik itegrller ciside ide edii. t döüşümüü yprsk d sec d olp itegrl sıırlrı ol ve sırsıyl ve e döüşür. Dolyısıyl; 4 d 4 t cos sec t d cossec d t cos si t cos cos d d d d cos olp t döüşümüü yprsk d ve itegrli de sıırlrı sırsıyl t t 4 4 hlie döüşür. Düeleyip yrsk; 4 d cos 4 si t 4 4 si F si t t si, F t 4, 4 si t 6

25 φ dφ 5. itegrlii eliptik itegrller ciside ide edii. k si φ k si φ t döüşümüü yprsk k cos φdφ sec d sec d sec d d φ k cosφ k si φ ve öylelikle k sec d t k sec k d t olr. Düeleyip şt yrsk; φ dφ k si φ cos sec k t d d cos k t d k cos si d k si si d k k si d k k si k d k k si k k olp rd si si dersek k k cos d d k cos k k cos d si k cosd cos d k ve rd 7

26 ve soçt d k k cos d k si k d k si k k cos k k cos d k k si k k F, k k lr. Ypıl işlemlerde geriye doğr gidilerek so itegrlde üst limit i ilk itegrldeki üst limit φ ye görülür. k siφ si eşitliği ile ğlı ldğ k si φ 6 d 6. 4 itegrlii eliptik itegrller ciside ide edii. döüşümüü yprsk d d olp itegrl sıırlrı 4 6 hlie döüşür. Dolyısıyl; 6 d d 4 d ve so itegrlde tt döüşümüü kllırsk d sec t olp itegrli sıır değerleri; t ve t olr. Brd; 4 6 d 4 d 4 t sec t t t t 8

27 cost cos t si t si si t si t t t t si t si t 4 şeklie girer. si t F, F 4, 4 si Geel olrk, P reel köklü üçücü derecede ir poliom ise d P t itegrli işret edile metotl ir eliptik itegrle döüştürüleilir. 7. d itegrlii hesplyıı. Brd sect döüşümüü yprsk d sect t t olp itegrl sıırlrı ol ve sırsıyl t ve t ye döüşür. Dolyısıyl; d sect tt sec t sec t cost sec t cos t 9

28 soc lr. si 4 si t 4si t 4 F, d 8. 4 hesplileceğii gösterii. t 4si t itegrlii eliptik itegrller ciside sıl t kesirli lieer döüşümüü yplım ve,,c,d yi öyle trd seçelim ki ct d,, değerleri içi t,, değerlerie krşılık gelsi. Yi; içi t hli: B drmd olr. d içi t hli: B drmd olr. c d içi t hli: t t B drmd olr ve rd gerekli işlemler ypılırs d, d c tc t d, c d elde edilir. Böylece t soc vrılır. B döüşümü t kllırsk d lp lrı itegrlde yerie koyrsk şğıdki t işlemler çıkr. O hlde;

29 d 4 t t t t t t t t t t t ve rd d t döüşümüü yprsk d olp t t t d d hlie itegrlimi döüşmüş olr ki i ir öceki prolemde itegrli çömüştük. Bd sorki işlemler ye ir öceki prolemde yptığımı gii devm edip soc lşılır. d Geel olrk eğer P 4 reel köklü dördücü derecede ir poliom ise P itegrli işret edile metotl eliptik ir itegrle döüştürüleilir. d 9. I itegrlii eliptik itegrller ciside ide 7 edii. Öcelikle kök ltıdki poliom reel köküü lp lmdığıı iceleyelim. 9 9 olp reel kökü yoktr olp reel kök yoktr Soçt kök ltıdki poliom hiçir reel kökü lmdığıd prolem 8 deki metot yglm. Aşğıdki trd hreket ediyor. ir sit olmk üere düelersek; 4 y döüşümüü yplım. Brd d dy olp dy I { y y }{ y y 7} dy { y y y }{ y y y 7}

30 dy { y y }{ y y 7} şeklii lır. yı öyle trd seçelim ki kdrtik idelerde her irideki sit terimler eşit ols. Yi 7 eşitliği sğlsı. Brd elde edilir. Böylece; dy I y 9 y y 9 olr. Şimdi ise β poiti ir sit olmk üere y β döüşümüü yplım. Brd dy βd olp itegrlimi d I β β 9 β β 9 olr. β yı öyle trd seçelim ki kdrtik terimlerde her iride terime eşit ols. Yi β 9 ols. Brd β elde edilir ve itegrl d I şeklie girer. Şimdi I t ylım d olr ve t t t t β ktsyısı sit ve e so olrk t tθ dersek sec θdθ olp sec θdθ I t t t θ t θ cosθdθ cos θ t θ dθ cosθ t θ dθ cos θ si θ dθ si θ si θ

31 dθ si θ dθ [ si θ ] dθ si θ soc lr. d. I itegrlii ir eliptik itegrller ciside 7 ide edii. Aye ir öceki prolemde oldğ öcelikle kök içideki poliomlrı reel köküü olp olmdığıı rştırlım. 9 9 olp reel kök yoktr olp reel kök yoktr. Şimdi y döüşümü yprsk d dy olp dy I şeklie girer. { y y }{ y y 7} dy { y y y }{ y y y 7} dy { y y }{ y y 7} B şmd sit terimleri iririe eşitlersek yi 7 gii imksı ir deklem elde ederi ki ie y döüşümüü kllılmsı gerektiğii gösterir. Brd koyrsk d dy lp yerie dy I itegrli elde edilir ve rd d so olrk y 9 y 6 y 6 t döüşümüü yprsk dy 6 sec d olr.dolyısıyl; dy sec d I 6 y 9 y 6 6t 96t 6

32 cos 9 si d d 6 t d 9 si 9 9cos 6si d d 6si [ si ] 9 d si soc elde edilir.. d itegrlii hesplyıı. secϕ kors d secϕ tϕdϕ olp itegrl sıırlrı ol ve sırsıyl ϕ ve ϕ ye döüşür. Dolyısıyl; d sec ϕ secϕ tϕdφ sec ϕ sec ϕ cos cos cos ϕ ϕdϕ cos ϕ cos ϕ dϕ ϕ cos ϕ dϕ dϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ dϕ dϕ 4 si ϕ 8 4 si ϕ 4 si ϕ F,, 4, şeklii lır. Brd ikici itegrl üçücü tür tm itegrldir. 8 4

33 d. I itegrlii eliptik itegrller ciside 4 sıl hesplileceğii gösterii. Prolem 9 dki gii işlem yplım ve düşüelim ve,,c,d yi öyle değerlerie krşılık gelsi. Yi; içi t hli: B drmd olr. d içi t hli: B drmd olr. c d içi t hli: t kesirli lieer döüşümüü ct d trd seçelim ki,, değerleri içi t,, t t B drmd olr ve rd gerekli işlemler ypılırs d, d c tc t d, c d elde edilir. Böylece t soc vrılır. B döüşümü t kllırsk d lp lrı itegrlde yerie koylım. t I d 4 t t t t t t t t t t t t t t t şeklie döüşür. Şimdi t ylım d ve dolyısıyl; t I t t t t d d d 4 d 5

34 olp sec dersek d sec t d olr. Dolyısıyl; I sect d 4 sect d sec sec sec sec sec d 4 cos cos cos cos d d 4 cos cos cos d 4 si d cos d si d [ ] si si d 4 d d 4 si 4si 4 si 4si d 4 d 4si 4si 8 lr. d [ ] 4si 4si d. itegrlii hesplyıı. d d deyip si t dersek d cost olp itegrl sıırlrı ol ve sırsıyl t ve t ye döüşür. Dolyısıyl; d cost si t si t si t olp şimdi de t dersek d ve sıırlrı değişmesii de dikkte lırsk; si t d cos d cos olp cos cos y döüşümü ile de cos ysi ydy cos ysi ydy d si cos cos y si ydy 4 cos y cos y si ydy cos y cos y 6

35 cos ydy cos y olp lrı yerie koyrsk; d cos cos y cos ydy cos y si si y dy dy y lr. F dy si, y d itegrlii hesplyıı. 4 4 d d olp t dersek d sec d olp itegrl sıırlrı ol ve sırsıyl Düelersek; t d cos sec d si t d d d cos si t si ve 4 e döüşür. 4 d si 7

36 soc lr. d si F, F 4, 4 d si d 5. K 4 oldğ gösterii. d d 4 yıp sec dersek d sec t d olp itegrl sıırlrı ve içi sırsıyl ve Dolyısıyl; ye döüşür. d 4 sec td sec sec d cos lr. si si d K d 6. d 6 5 itegrlii eliptik itegrller ciside ide edii. Brd sırsıyl t ve 4si t dersek d 4cos t olp itegrl sıırlrı ol ve t ye döüşür. Düelersek; d cost si t si t 6si t 8

37 lr. 7. d 4 F, 5 5 itegrlii eliptik itegrller ciside yıı. d d olp sıırlrı içi t ve içi si t dersek d cost olp itegrl t ye döüşür. Dolyısıyl; cost E soc lr. si cost t si, t 5 d itegrlii eliptik itegrller ciside ide edii. Brd 5si t döüşümüü yprsk d 5cost olp itegrl sıırlrı ol ve 5, rcsi t ğıtısı ğlı olrk sırsıyl t rcsi ve 5 5 t ye döüşür. Dolyısıyl; 5 d 95 5cost 5si t 95 si rcsi 5 t olp t dersek rcsi 5 5si t 9 d ve ğlı olrk itegrldeki sıır değişimii de dikkte lırsk; 9

38 rcsi 5 5si t 9 rcsi 5 rcsi 5 d 5cos 9 d 5 si 9 4 rcsi 5 d 5 6 si 5 olp si si dersek 4 5 cosd cos d 4 4cos d d 5cos 4cosd 5 si 4cos d 5 6si olp düelersek; 4 rcsi 5 d 5 6 si 4cosd 4 5cos 6 5si si 4 F, 5 5 d soc lr. E so ietgrldeki sıır değişimii 4si si ğıtısı 5 ğlı olrk değiştirildiğie dikkt edelim. B göre içi ve rcsi içi 5 4si si rcsi cosrcsi lmştr

39 9. d itegrlii eliptik itegrller ciside ide edii. 4t döüşümüü yprsk d 4sec d olp itegrl sıırlrı ol ve sırsıyl ve ye döüşür. Düelersek; d sec d 5 6 6t 5 6 t cos d 5 6 t d 5cos 6si d 5 si 6si d si lr. F, 5 d. I itegrlii hesplyıı Öcelikle kök içideki idei reel köküü lp lmdığıı iceleyelim olp reel kök yoktr olp reel kök yoktr. Brd y döüşümüü yprsk d dy olr ve verile itegrli döüşüm değişimie göre şt düelersek; I dy { y 4 y 5}{ y 4 y } dy { y y 4y 4 5}{ y y 4y 4 } dy { y 4 y 4 5}{ y 4 y 4 }

40 idesi elde edilir. Brd kök içideki sit terimleri iririe eşitlersek çöümü imksı ol eşitliği lr ki d ie döüşümüü ypmmıı söyler. Brd öüde ldrrsk; d 6 d d olp sıırlrdki değişimi de gö I lp so olrk tt dersek d sec t ve dolyısıyl; d 6 I t cost t sec 6 si t 6 6 t t 6cos t si t t t t si t soc çıkr F 6 6 5si t [ 5 6si t] 6 5 6si t 5, F , si t d. I itegrlii heslyıı Öcelikle kök içideki idei reel köküü lp lmdığıı iceleyelim olp reel kök yoktr olp reel kök yoktr. Brd y döüşümüü yprsk d dy olp

41 I dy { y 4 y 5}{ y 4 y } dy { y y 4y 4 5}{ y y 4y 4 } dy { y 4 y 4 5}{ y 4 y 4 } olp rd kök içideki sit terimleri iririe eşitlersek çöümü imksı ol eşitliği lr ki d ie döüşümüü ypmmıı söyler. Brd ldrrsk; d 6 d d olp sıırlrdki değişimi de gö öüde I lp so olrk t t dersek d sec t ve dolyısıyl; d 6 I t sec cos 6 t t t t t t t cos t si t 6 si 6 5si t si t t lr. 4 6 F 6 [ 5 6si t] 6 5 6si t 5, F , si t

42 . Eliptik Foksiyolrl İlgili Prolemler d. s c d d d c s d d oldğ ispt edii. Tım gereğice φ dθ oldğd k si θ d ve dφ k si φ dolyısıyl φ d k si φ dir. d s siφ sim ve c cosφ cosm oldğ iliyor. O hlde; d d d dφ dφ s siφ siφ cosφ c k s φ d d dφ d d c d d d lr. c d d d dφ dφ cosφ cosφ siφ s dφ d d s d d. d k s c d d d d t c oldğ ispt edii. k s φ s ve k d olmk üere; d d d d k k d d d d d k k k d d d k d d d olp s içi s c d oldğ ir öce göstermiştik. O d d hlde lrı yerie koyrsk; 4

43 d k s d c d k s c d d lr. d d t d d d d d d d şeklide yrsk ve c ve c d eşitliklerii ykrıd d kllırsk; d d c d t c d c lr. 4. s s d d c c c d d d t t oldğ ispt edii. φ dθ dθ ve v olrk tımlylım. k si θ k si θ φ s siφ oldğ iliyor. Ayı mtıkl s v si φ siφ s yiliri. Şimdi ikici itegrlde θ koyrsk φ dθ d dθ d olp itegrl v k si θ k si ve eşitliği ykrıd yerie koyrsk s s oldğ görülür. φ şeklii lır c c s oldğd c s s c d k s oldğd d k s k s d s s d t c c soc çıkr. t 5

44 dθ 5. Eğer K ise k si θ s K s c c K c d K d d t K t oldğ gösterii. φ dθ olmk üere k si θ φ φ dθ dθ dθ dir. k si θ k si θ k si θ Şimdi eşitliği sğ trıdki iki itegrli de yrı yrı iceleyelim. dθ k si θ dθ K k si θ θ döüşümüü yprsk olr. Öte yd ikici itegrl içi φ φ k dθ si θ yiliri. Soçt φ k d si dθ K dır. Yi k si θ s K si φ siφ s lr. c K cos φ cosφ c c d K k s K k s d d s K s t K t c K c 6. s ve c oksiyolrıı 4K periyotl, d ve periyotl oldklrıı ispt edii. Prolem 4 de yerie K kolrk t s 4K s K K s K s s c 4K c K K c K c c oksiyolrıı K Bir öceki prolemde d K d ve t K t eşitlikleri de d ve t oksiyolrıı K periyotl oldğ gösterir. 6

45 7. d d s, k k dv s, k F k,si v k v oldğ ispt edii. k modülüe ğımlılık kediliğide lşılmış olmk üere s, k yerie s ycğı. s ise s dir. d d d d s c d olr ve rd d lr. φ d d d d s k k k dθ s olmk üere v siθ döüşümü yprsk k si θ dv cosθdθ ve rd d s elde edilir. φ dθ k si θ dv v k v Brd k içi dv si olp trigoometrik oksiyolr ile eerliğie v dikkt edii. Eliptik oksiyolr trigoometrik oksiyolrı geelleştirilmesidir. 7

46 . PERİYODİK FONKSİYONLAR Tım.. W oksiyo içi W W eşitliğii sğly kompleks syısı periyot deir. Tımı ilk soçlrı olrk periyot ise d periyot oldğ lşılır. Çükü W oksiyo içi periyot oldğd; W W W W yiliri. Dolyısıyl; W W eşitliğide d periyot oldğ lşılır. B ideyi geelleştirirsek her doğl syısı içi d periyot oldğ gerçeğie lşılır. periyot oldğd W oksiyo içi i kdr rtışı oksiyod tekrr kedisie tekül edeceğide W oksiyo içi [ ] W W W yiliri. B ise ie periyot olm drmd d yı şekilde oksiyo periyod oldğ gösterir. B ykrıdki ideyle irleştirdiğimi tktirde ş soç orty çıkr; periyot ise d periyottr. Brd herhgi ir tmsyıdır. Teorem.. Bütü periyot değerlerii ir poiti lt sıırı vrdır. İspt: Teoremi isptlmk içi iddiı doğr olmdığıı vrsylım. Yi periyot değerlerii ir poiti lt sıırı olmsı. B ş şekilde de ide edeiliri.,,...,,... poiti terimli diii eğer poiti lt sıırı yoks lim dır., Çükü eğer sıır eşit olmsydı poiti ir lt sıırı olrd. Şimdi dügü oktsıı düşüelim. ler periyot oldğd W W yiliri.,, Şimdi W W oksiyo ele llım. B oksiyo,, oktlrıd sos de sıır değerii lır. Çükü W W oksiyo,, oktlrıd W W hlie döüşür ve ler periyot oldğd ide sıır eşittir. O hlde oktsı ir yığılm oktsıdır. B edeledir ki W W ödeş olrk sıır eşittir. Yi W W sit soc vrılır ki d oksiyo periyodik oldğyl çelişir. Yi teorem doğrdr. Tım..,,...,,... leri lt sıırı ess periyot y d ilkel periyot deir., 8

47 Teorem.. Periyotlr hiçir sol oktd yığılmlr. İspt:,,...,,... periyotlr olslr.,,...,,... ler de doğl syılr,, olslr. B tktirde... m toplmı d periyottr. Çükü; periyot ise devm edersek de periyottr. periyot ise de periyottr. B şekilde periyot ise de periyottr.o hlde,,, terimleri yrı yrı ess periyod ir tmsyı ktıdır. Soçt lrı toplmı d ess periyod ir tmsyı ktı olcğıd... toplmı d periyottr. Şimdi periyotlrı sol ir oktsıd yığıldıklrıı r edelim. Yi merkeli isteildiği kdr küçük ε yrıçplı direi içide diiye it so elem, direi dışıd d sol elem vrdır. Şimdi direi içide, oktlrıı llım. Direi yrıçpı ε oldğd i ye klığı mtlk çpt küçük olcktır. Yi ε yiliri. B ideyi her ε içi < düşüürsek periyod istediğimi kdr küçülteiliri lmı gelir. Oys periyot değerlerii ir poiti lt sıırı oldğd istediğimi kdr küçültemeyi. Yi periyotlr hiçir sol oktd yığılmlr. l ' l - - O - - Şekil. 9

48 Ykrıdki şekilde çit periyotl oksiyolr içi irici tür periyotlrı ir poiti lt sıırı, ise ikici tür periyotlrı ir poiti lt sıırı ols. l ve l ' doğrlrı prleller çierek dülemi periyot prlelkerlrı yırlım.,,, köşeli trlı prlelker ilkel ess periyot prlelkerıdır. Prlelkerlrı köşe oktlrı e geel hliyle, Z şeklide gösterilir. Teorem.. Sit olmy ir oksiyo e çok iki periyotl olilir. ve periyotlrıı iririe orı reel değildir. Çit periyotl oksiyolr eliptik oksiyolr deir. İspt: periyot, Z oldğd W W olp Re olmycğıı gösterelim. Re i Im Re i Im Re Im Re Im Im Re tϕ Im tϕ Re oldğd tϕ tϕ olr ki ie eğimleri çrpımıı değerii vermektedir. Yi m m lr. B ise ie iki çıı iririe dik oldğ gösterir. Dolyısıyl prlelkerımı dikdörtge olr. Tım.. Sold hiçir sügüler oktsı olmy oksiyolr tm oksiyo deir. Örek olrk poliomlr, çok terimliler, üstel oksiyolrı vereiliri. Yi... y d e oksiyolrı tm oksiyodr. Geel olrk tm oksiyo e h şeklide verilir. Brd sos sıır yerleri ol ir oksiyodr. Sos çrpım şeklide gösterileilir. 4

49 Tım.4. Sigüler oktlrı ylı ktp oktlrı ol oksiyolr meromor oksiyo deir. Rsyoel oksiyolr lrı öel ir hlidir. Bsit periyotl i oksiyolr olrk si, cos, t, cot i, e gösterileilir. B oksiyolrı e e i i cos isi i e i rsyoel oksiyolrı olrk ide edeiliri. Şöyle ki; cos isi cos isi yiliri çükü cos oksiyo çit oksiyo oldğd cos cos ve si oksiyo tek oksiyo oldğd si si dir. Dolyısıyl i e ve i e si i oksiyolrıı tr tr toplmk ve çıkrmk sretiyle i i e e i i e e cos olr ve lr ğlı olrk t si e t cos i e cos e cot i si e i i i i e e e e i i i i soçlrı lşılmış olr. B dışıd e i cos isi cos i si Z e e i e i i oksiyo periyod ilkel periyod dir. Bşk ir örek olrk oksiyo periyod ise oldğ lşılır. Brd Z dir. Dolyısıyl e α oksiyo periyod lmy çlışlım. e α e α e e α α yiliri. Brd i i lr ki i çekersek olp ilkel periyot çıkr. α α e α i e. Çit Periyotl Foksiyolrı Öellikleri W W ols. B drmd şğıdki teoremi verelim. Teorem.4. Çit periyotl ir oksiyo periyot prlelkerlrı it ktplrıı reidüleri toplmı sıırdır. 4

50 İspt: D C A B Şekil. B prlelkerı çevresie P diyelim Reidü teoremi gereğice; P W d i Re idü dir. toplmı d periyot oldğd W W yiliri. O hlde; d W d W d W d P AB BC CD DA W W d olp toplmı değerlerii lmy çlışlım. d W d W d W W d ve dolyısıyl d AB DC DC CD d W d W AB CD lr. Beer mtıkl d W d W d W W d yiliri. Brd d BC AD AD DA d W d W BC DA lr. ve idelerii toplrsk d W d W d W d W W d P AB BC CD DA lr. Bşk deyişle Re idü elde edilir. B edeledir ki W oksiyo sit kt olm. 4

51 4 Teorem.5. Çit periyotl ir oksiyo periyot prlelkerı içide sıır oktlrı, ktp oktlrı oldğ göre m dir. Brd periyottr. Yi Z ve, merteeleri ile lımışlrdır. İspt: Şekil. ABCD prlelkerıı çevresie P diyelim P idü i d W W Re ' oldğ iliyor. Şimdi ' W W oksiyo reidüler teoremii yglylım. m A W olp her iki trı logritmsı lıırs log log log log m A W olr. Türev lırsk m W W ' olr. ' W W oksiyo lşmk içi ile geişletelim ' W W m olp sıır eklersek ' W W m m m olr ve oktsıdki reidü m W W ' Re A B C D

52 lr. W ' oktsıdki reidü Re W Re idü lr. Öte yd P m W ' olp d i W P W ' W ' W ' W ' d W d W W W AB yıp toplmı lmy çlışlım. d d BC CD DA W ' W ' W ' d d d W W W CD oldğd; BA AB AB W ' d W W ' d W AB BA W ' d W W ' d W m şeklide W ' W ' W ' d d d logw i W W W soc cıkr. Ayı mtıkl; CD AB BA BA W ' W ' W ' d d d W W W DA CB BC BC W ' d W W ' d W BC CB W ' d W W ' W ' W ' d d d logw i W W W DA BC CB BA lr. ve eşitliklerii irleştirdiğimi tktirde W ' W ' W ' W ' d W d W W W P AB i i i elde edilir ki rd d d d BC CD DA soc çıkr. W ' d W 44

53 . σ Foksiyo İcelemesi ξ olrk tımlır. σ oksiyo d d ξ ' logσ d eşitliğie ğlı olrk tımlır. d ξ ' [ logσ ] ideside türev lmkl d σ ' ξ lr. B so ideyi itegre ettiğimide σ logritm oksiyo geleceğide ξ oksiyo tek değerli değildir. ξ > ρ ρ > ideside sğ trtki ikici toplm ρ direside dügü ykısktır. O hlde terim terime itegre edeiliri. d log log log log olr. Sğ trtki irici toplmdki rsyoel oksiyolrı itegre edersek yg ir sit seçmek sretiyle ξ d lr. log log log ρ > ρ ρ oldğd < dir. B toplm değerleri istis edilirse ρ içi tek değerli ve dügüdür. ξ d logσ oldğd oksiyo tek değerlidir. log P P olmk üere e σ olrk tıml σ 45

54 P P P' P! ''... Öte yd σ e oldğd e e e log P P P' P''...! P [ ] lr. Brd P ' P''... [ ] olrk lımıştır. σ oldğd! σ şlgıçt ir sıır oktsı vrdır. Ayı şeyi lr içi de söyleyeiliri. Demek ki her d ir sıır oktsı vrdır. σ e lr. e log ρ > ρ e e log e log e e. Weierstrss ξ ve σ Foksiyolrı ξ olrk tımlır. σ oksiyo d d ξ ' logσ d eşitliğie ğlı olrk tımlır. Brd; d σ ' ξ logσ d σ soc vrılır. ξ ideside serii mtlk ykısk oldğ gösterelim. > oldğ hlde serii mtlk ykısk oldğ göstermek içi geel terimii llım. kllırsk; olp < oldğ 46

55 ... lr. serisi ykısktır. O hlde serisi dügü ykısktır. ξ m içi mtlk ve ktp oktlrı ve m oktlrıdır. Brd m m oktlrı sit ktp oktlrıdır. Şimdi iddi ediyor ki ξ oksiyo çit periyotl ir oksiyo değildir. Çükü ξ i oktsı civrıdki Lret çılımı ξ P Şeklide olp Re ξ dir. Oys çit periyotl oksiyolrd reidüler toplmı sıır oldğd ξ oksiyo çit periyotl değildir. Dolyısıyl ξ i ξ oksiyo içi ξ ξ η ξ ξ η yiliri. Brd η η olmycğıı gördük. B ξ oksiyo iki de diti periyodik deir..4 Legedre Bğıtısı ξ olmk üere ktp oktsı periyot prlelkerlrıı ortk oktsı ols. oktsıdki reidü Re ξ olp d i Re ABCDA ξ i dir. d ξ d ξ d ξ d ξ ξ d eşitliği içi ABCDA AB BC CD DA ξ d ξ d [ ξ η ] CD BA ve rd d d BA BA ξ d η ξ d η BA BA 47

56 d ξ d CD ξ η elde edilir. Beer şekilde; AB ξ d ξ d [ ξ η ] BC AD ve rd d d ξ d BC DA d AD ξ d η ξ d AD η AD AD ξ η elde edilir. B eşitlikleri irleştirdiğimi tktirde ξ d η η i ve soçt η η i eşitliği elde edilir ki ABCDA ğıtıy Legedre Bğıtısı deir. Brd prlelkerlrd ldığımı sırı ilemesi içi Im > olmlıdır. Im Im olp Im i i [ i ][ i ] Im > olmsı içi > yi ϕ > ϕ olmlıdır..5 η ve η Sitlerii ξ Foksiyo Trıd Belirlemesi Öcelikle ξ oksiyo tek y d çit oksiyo olp olmdığıı llım. ξ oksiyo içi ξ olp periyot oldğd d periyot olr. B kllırsk ξ ξ 48

57 ie ξ oksiyo tek oksiyo oldğ gösterir. Şimdi Dh öce ξ ξ η lmştk. ξ ξ ξ η ξ η ξ η η ξ olr. Beer şekilde η ξ soc lşılır. llım..6 Tm Foksiyolrı Weierstrss Çrpım Formülü σ hiçir sigüler oktsı olmy tm oksiyo ols. σ i sos syıd sıır oktlrı vrdır. B sıır oktlrı ve m m dir. Şimdi i y d kdr ttığı m σ i sıl değiştiğii iceleyelim. F σ e ξ idelerii kllrk F' ' ' ' ξ elde edilir. B ve idelerii türevii lrk elde ettik. Dolyısıyl; F' ξ ξ ξ η ξ η lr. B so ideyi itegre edelim. O m F η C yiliri. B d eşitliğide yerie koyrsk; η C elde edilir. Öte yd σ e idi. O hlde; σ e 49

58 5 C e η C e e η idesiyle de kdr rtırım oldğd oksiyodki değişim ile ilgili ilk dım tılmış olr. Şimdi σ i tek oksiyo oldğ gösterelim; σ e oldğd; σ e yılilir. periyot ike d periyot oldğd yerie koyrsk; σ e σ lr ki d tek oksiyo oldğ gösterir. Şimdi llım. B tkdirde; e e c c σ σ σ η η c e η σ lp tek oksiyo olm öelliğii kllıp sdeleştirme yprsk; c c e e e e η η soc çıkr. O hlde e η η σ σ ideside c e e η soc kllırsk e e η η σ σ σ ve eer şekilde de e η σ σ lr. Yi i y d kdr ttığı m σ i sıl değiştiğii lmş oldk.

59 5 4. ELİPSTE YALINKAT FONKSİYONLAR Teorem 4.. _ şeklide tıml oksiyo irim diskte iektitir. İspt: ve y y iy iy ideleride y y eşitlikleri elde edilir. Diğer yd _ iy y i iy iy iy lr. Beer trd hreket edersek iy eşitliği elde edilir., ve eşitlikleride ve y y iy iy lr ki d iddiı doğrlğ isptıdır. Lemm 4.. _ şeklide tımldığı göre _ ve idelerii l. ve idelerii reel syılr oldğ gö öüe lıırs _ içi _ idesi

60 5 eşitliği ile gösterilir. Ayrıc oldğd eşitlikleri düeleyip yrsk _ 4 eşitlikleri elde edilir. ve 4 eşitlikleri tr tr çıkrılırs _ ve rd d lr. Dolyısıyl eşitliği lr. Teorem oksiyo sit ğltılı D ölgeside tımlmış litik ve ylıkt ols. B tktirde iφ re r r log ' Re eşitliği vrdır.

61 İspt: y v θ D ölgesi C eğrisi Şekil 4. * D ölgesi * C eğrisi Şekilde gösterildiği gii dülemideki ir oktsı dülemide ir oktsı resmedilsi. Beer şekilde oksiyo vsıtsıyl C eğrisi * C eğrisie, D ölgesi de yılışıd dolyı e iθ * D ölgesie resmedilsi. B tktirde ir kompleks syıı yılışıı elde ederi dülemide. Diğer yd dülemide ktpsl koorditlr iφ re şeklideyse drmd eşitliği her iki trı logritmsıı d lımsıyl iθ e iφ iφ log re log re şeklide yılilir. yılışıd hreket edersek iφ iφ log re log re iθ eşitsiliğii elde ederi. eşitsiliğii r ye göre türevii lırsk iφ iφ e ' re 4 iφ re log r iφ re eşitsiliği elde edilir. 4 eşitsiliğii her iki trı r iler çrpılırs iφ iφ e ' re 5 r iφ re r log r iφ re eşitsiliğii elde ederi ve rd d 5

62 iφ iφ ' re 6 Re re iφ re iφ Re r log re r elde edilir. 6 eşitsiliğii sğ trı hep reel oldğd ' Re r log r y d Re iφ re ' r log r şeklide yılilir. re i φ lırk y Teorem 4.. oksiyo E iy < de tımlmış ve E de sıırd rklı her içi ve ' koşllrıı gerçeklesi. B tktirde ' Re cos Arg ' ' eşitsiliği vrdır. İspt: y v im O θ A Re Şekil 4. Şekilde görüldüğü gii oktsı oksiyo ile oktsı resmedilir. Dolyısıyl Re cosθ 54

63 eşitsiliğii yiliri. eşitsiliğide Re θ Arc cos eşitsiliği yılilir. Ayrıc θ çısıı oktsıı primiti rgümı oldğd yılışı yı md cos Re Arg şeklide de yılilir. Ykrıdki oktsı içi ypıllr ypılırs ' içide cosφ cos Arg ' Re ' ' eşitliği elde edilir. Teorem 4.4. oksiyo D { < } _ g tımlmış litik ve iekti ols. şeklide tımlsı. B tktirde diskte iektitir. g oksiyo irim g A B g Şekil 4. C g İspt: iekti oldğd A d iekti 55

64 g iekti oldğd g g B de iekti eşitlikleri yılilir. ve eşitlikleride g g soc lr ki d g oksiyo iekti oldğ gösterir. Bi oksiyo iekti oldğ göstermiştik. g oksiyo d iekti oldğd Lemm 4.. g oksiyo d iekti olr. iθ iθ re re şeklide ide edile oksiyo v r < irim diskii < ölgesi üerie resmeder. İspt: re re iθ iθ rcosθ i siθ rcosθ i siθ r cosθ ir siθ r cosθ ir siθ şeklide ylım. Brd r, θ r cosθ v v r, θ r siθ ve öylece v r elde edilir. ie v cos θ si θ r r cosθ r cos θ v r siθ r si θ < re re iθ iθ oksiyo < v ölgesii < ölgesi üerie resmettiğii gösterir. r Teorem 4.5. oksiyo Γ eğrisi üeride tımlmış, litik ve eğrisii oksiyo ltıdki resmi Γ ols. oktsı Γ resim eğrisi Γ üeride olmy ir okt olmk üere olmsı içi Γ eğrisii oktsı göre yıldııl 56

65 ' im eşitsiliğii gerçeklemesi gerekir. İspt: ' t t y v Γ eğrisi Γ eğrisi D ölgesi D * ölgesi Şekil 4.4 Γ i kedi kedii kesmeye ir eğri oldğ düşüüyor. Dolyısıyl t t iy t t şeklide ide edileilir. Ayı md Γ eğrisii yöledirilmiş ir eğri oldğ d ot edeiliri. Dolyısıyl ir resim eğrisii ir oktsı göre yıldııl olm tımı oktsı Γ resim eğrisii üeride l olmy ir okt olmk üere Arg Arg[ ] idesi t i [, ] rlığıdki değerleri içi t i lmy ir oksiyo olmsı hlide Γ resim eğrisi yıldııldır. deir. B tım yı md d d Arg Arg[ ] t şeklide ide edileilir. Ayı md kompleks syısıı iφ e log log iφ yılışıd dolyı 4 Arg imlog şeklide yılilir. 4 eşitliğii eşitliğide kllırsk 57

66 5 Arg Arg[ ] im[ log ] eşitliği elde edilir. eşitliğideki türevler 6 eşitliğie yglırs d d Arg Arg d im [ im log ] d log ' im ' t t lr ki d iddiı isptıdır. Şimdi eğrii çemer olmsı drmd idei lcğı şekli iceleyelim. it it 6 r re ' t ire i yiliri. Brd d d ' Arg im ' t ' im Re ' şeklie girer. yıldııllık çemer drmd ' 7 Re şeklide ide edilir. i olrk lıırs şlgıç oktsı krşı gele Lemm 4.. oksiyo tımlmış litik ols. ve E { } y E iy < de α α içi ve ' koşllrıı gerçeklesi. B tktirde oksiyo E de yıldııl ise eşitsiliğii gerçekler. _ ' Re α ' 58

67 59 Bir dh öce oksiyo yı koşllrı gerçeklemesi hlide yıldııllık koş ' ' im θ oldğ göstermiştik ve göstermiştik ki θ θ α θ i i re re oksiyo irim çemeri ir elips üerie resmeder. Dolyısıyl θ θ θ θ α α θ i i i i re re i re i ire ' eşitsiliği elde edilir. Dolyısıyl eşitliği de yerie kors ' ' ' re re i im im i i θ θ α θ ' ' Re ' ' ' ' i im re i re i im i i α α α θ θ ve rd d ' ' Re _ α lr ki d iddiı doğrlğ gösterir. Lemm 4.4. oksiyo > > <, y iy E de tımlmış ve litik ols. { } E içi ' ve koşllrıı gerçeklesi. B tktirde i yıldııl olm koşl l. Dh öce i yıldııllık koşl ' ' im θ oldğ lmştk. Ayrıc θ θ θ i i re re

68 6 oksiyo < r ölgesii < v elipsel ölge üerie resmettiğii gösterdik. Dolyısıyl θ θ θ i i re i re i ' lr. eşitliği de kllılırs ' ' ' re re i im im i i θ θ θ ' ' Re ' ' _ re re i im i i θ θ oldğd 4 ' ' Re _ soc çıkr. 4 eşitsiliği yı md ' Re ' Re _ şeklide de ide edileilir. Lemm 4.5. oksiyo > > <, y iy E de tımlmış litik, ve { } E içi ' ve koşllrıı gerçeklesi. B tktirde ' cos ' cos _ Arg Arg eşitsiliğii dim gerçeklediğii gösterii. Bi d öce ' Re ' Re _ oldğ lmştk. B eşitsilik ise ' Re ' Re _ şeklide ide edilir. Öte yd

69 ' ' ' oldğd ' _ ' ' eşitliğii elde ederi. ve deklemleride 4 _ ' ' Re Re ' _ ' eşitsiliği lr ki 4 eşitsiliği yı md cos Arg _ ' cos Arg şeklide de gösterileilir. B d istee ispttır. Teorem 4.6. Γ ' dülemide kedi kedii kesmeye yöledirilmiş ir eğri olmk üere oksiyo d Γ eğrisi üeride tımlmış ve litik ols. Γ eğrisii oksiyo ltıdki resmi Γ ols. t olmk üere Γ resim eğrisii ir oktsıdki teğetii rgümı t i lmy ir oksiyo ise Γ resim eğrisi koveks ir eğridir deir. Tımıd yrrlrk Γ resim eğrisii koveks olm koşl yı md '' t '' im ' t t ' t ' y d '' '' im i Re ' ' oldğ gösterii. 6

70 y v Γ eğrisi θ Γ eğrisi D ölgesi D * ölgesi Şekil 4.5 Koveks olmı ykrıdki tımı kllılck olrs θ t oksiyo içi t içi t i lmy ir oksiyodr. Yi d θ t eşitsiliği gerçekleir. Diğer trt Γ eğrisi 4 t t iy t t şeklide prmetreleeilir. Diğer yd eğrisii teğetii doğrlts 5 Arg' t teğeti doğrlts Γ yöledirilmiş eğri oldğd Γ şeklide ide edilir ve oksiyo teğet vektörüü 6 Arg ' Arg t ' Arg ' t ' t çısı üeride dödürür. Dolyısıyl Γ eğrisii koveks olmsı içi dθ d 7 Arg ' t ' t t idesi gerçeklemelidir. Dolyısıyl 7 idesi yı md dθ d 8 Arg ' t ' t Arg' t Arg ' t şeklide yılilir. Diğer trt herhgi ir okt içi d iφ 9 e Arg şeklideki yılış gö öüe lıırs 6

71 log log e iφ log log e log iφ iφ log log iarg eşitliği elde edilir. Dolyısıyl eşitliğide Arg im log eşitliği yılilir. B yılışt dolyı 8 yılışı dθ d Arg d d d im '' t im ' t d ' t ' Arg' t Arg ' t [ im log ' t im log ' ] [ im log ' t log ' ] log ' t log ' '' ' t ' eşitsiliğii elde ederi ki d lemmd söü geçe ilk eşitsiliktir. Eğer Γ eğrisi C R çemeri ise it R Re, it '' i Re Re it t ' t i Re it i eşitlikleri yılır. eşitlikleri eşitlikleride kllılırs '' t im ' t '' ' t im i ' i '' ' im i i im i i im i '' ' '' ' '' ' '' 4 im i ' eşitsiliğii elde ederi. Diğer yd ir kompleks syı olmk üere 6

72 5 im i im[ i iy ] im i y Re oldğ gö öüe lıırs 4 eşitsiliği '' '' im i Re ' ' şeklide yılır ki d lemmd söü geçe ikici eşitsiliktir. Teorem 4.7. oksiyo r çemeri üeride ve çemeri sıırldığı < r ölgeside tımlmış litik ve ylıkt ols. Eğer r çemerii oksiyo ile ypıl tsvirde elde edile eğri Γ r ise drmd i Teğeti eksei ile poiti yöde yptığı çıı i ' ii Ykrıdki şıkt teğete çiile dış ormli i ' ideleri ile verileilir. İspt: y v Dış Norml ϕ 9 r ϕ α θ 9 θ β Şekil 4.6 Yrıçp teğete değme oktsıd diktir ve ir üçgede ir dış çı kedisie komş olmy iki iç çıı toplmı eşittir gerçekleride hreket ederek α ϕ β θ Dış ormlde dolyı 64

73 yiliri. Diğer yd teğeti değme oktsıdki eğimi m ' şeklide ide elde edilir. B ise yı md d ' d Argd Arg ' Argd ideside ydlrk 4 Argd Arg ' Argd eşitliği yılilir., ve 4 eşitlikleride 5 6 Argd β θ Argd α ϕ idelerii yiliri. Diğer yd 7 Arg ϕ 8 Argi oldklrıı d 4 ve 6 ğıtılrıd kllırsk 9 Argd Arg Argi Arg ' eşitliği lr. 9 eşitliği yı md Argd Argi ' şeklide de yılilir. eşitliğide d i ' eşitliği elde edilir. idesi ie teğeti i ' vektörü ile verildiğii gösterir. Öte yd teğet ve orml irirlerie dik oldklrıd m ormli eğimi oldğd m m ' m olr ki rd d m ' eşitliği elde edilir. Diğer yd d ' d ideside d ' d 65

74 eşitliği lr. eşitliğide Arg Arg d ' d yılilir ve rd d 4 Arg Argd [ Arg Arg ' Argd] eşitliği elde edilir. Ayrıc Arg oldğ d 4 eşitliğide kllırsk Argd Arg ' Argd eşitliği elde edilir ki i eşitliği de 6 Argd Arg ' d d i ' eşitliği elde edilir ki d prolemi çöümüdür. Teorem 4.8. oksiyo r çemeri üeride ve o kpttığı < r diresel ölgeside tımlmış litik ve ylıkt ols. r çemerii oksiyo ltıdki resmi Γ r ols. Γ eğrisii eğriliği ρ dir. '' Re ' ' İspt: Bir eğrii eğrilik tımı Teğet çısıı ϕ ye göre türevi Eğrilik ρ Görütü eğrisii ϕ ye göre türevi şeklidedir. 66

75 y v P R r r çemeri r Γ eğrisi Şekil 4.7 Diğer trt yılışı gö öüe lıırs dülemideki ir kompleks syıı ktpsl koorditlrdki ' ' e iarg ' şeklidedir. Şimdi kompleks syısıı ktpsl koorditlrdki yılışıı kllırsk ğıtısı ' re ' re iarg ' re eşitliği yılilir. ideside hreketle e re log ' re log ' log ' log ' düeleyip yrsk iarg ' re e iarg ' re re log e re iarg ' re 4 log ' re log ' re iarg ' re eşitliği elde edilir. 4 idesii her iki trıı sl kısımlrı düşüülürse 5 im log ' re Arg ' re eşitliği elde edilir. 5 eşitliğii ϕ ye göre türevi lıırs 6 im log ' re Arg ' re ϕ ϕ 67

76 elde edilir. 6 eşitliğii her iki trı eklersek 7 im log ' re Arg ' re ϕ ϕ lr. Diğer trt d öceki prolemde l teğet çısıı ϕ ye göre türevi 8 θ θ ϕ ϕ Arg ' Arg i ' ideside türev lıırs 9 θ ' ϕ Arg ' re ϕ lr. 7 ve 9 idelerii krşılştırılmsıyl θ ' ϕ im log ' re Arg ' re ϕ eşitliği elde edilir. Şimdi re log ' re iarg ' re log ' idesii ϕ ye göre türevii lırsk '' re ire log ' re ' re ϕ ϕ i Arg ' re ϕ eşitliğii elde ederi. eşitliğii her iki trıı i ile ölümesi ile re '' re ' re eşitliği y d re '' re ' re i ϕ i i şk ir deyişle de ϕ log ' re Arg ' re ϕ log ' re Arg ' re ϕ '' re re i log ' re ' re ϕ Arg ' re ϕ eşitliğii elde ederi. eşitliğii her iki trı ekleerek '' re re i log ' re ' re ϕ eşitliğii elde ederi. ve eşitlikleride Arg ' re ϕ 4 '' re Re re Arg ' re ' re ϕ 68

77 eşitliği elde edilir. 4 ve eşitliklerii krşılştırılmsıyl 5 θ ' ϕ Re re ϕ '' re ' re im log ' re ϕ Arg ' re eşitliği elde edilir. Demek ki teğet çısıı ϕ ye göre türevi 5 eşitliğide görüldüğü gii 6 '' re θ ' ϕ Re re ' re eşitliği ile verilir. Brd görütü eğrisii ϕ ye göre türevii lğ lmk klıyor. B ise d ire d re y d ' 7 d ' re d ire ' re ' re i re ' re re eşitliği ile verilir. Eğrilik tımıd 6 ve 7 ideleri kllılırs ρ '' Re ' ' eşitliği elde edilir. 69

78 KAYNAKLAR [] Ahlors, L., Comple Allysis, 965, Itertiol Stdet Editio i Pre d Applied Mthemtics, McGr Hill, USA. [] Berrdi, S.D., Biliogrphy o Schlicht Fctios, Mrier P. Comp. Ic, Florid. [] Bpi, S.K. d Mehrok, J.S., 97. O the coeiciet strctre d groth theorem or the ctios or hich is λ- spirllike, Pl. Ist. Mth. N.S., 6, 5-. [4] Chichr, P.N., 975. Reglr ctios or hich is λ-spirllike, Proc, Amer. Mth. Soc., 49, 5-6. [5] Dre, P.L., 98. Uivlet Fctio, Spriger-Verlg, Ne York. [6] Goodm, A.W., 98. Uivlet ctios Volme I d Volme II, Mrier Plishig Comp., Florid. [7] Goodm, A.W., 97. Coeiciets or the re theorem, Proc. o the Amer. Mth. Soc.,, [8] Hym, W.K., 994. Mltivlet Fctios, Cmridge Uiv. Press, Cmridge. [9] Jck, I.S., 97. Fctios strlike d cove o order α, J. Lodo Mth. Soc.,, [] Klshresth, P.K., 976. Boded Roertso Fctios, Red. Mth., 9 6, 7-5. [] Lier, R.J. d Ziegler, M.R., 97. Reglr ctios or hich is α -spirl, Trs. Amer. Mth. Soc., 66, 6-7. [] Miller, S.S., 97. Distortio Properties o Alph-Strlike Fctios, Proc. Amer. Mth. Soc., 8, -8. [] Nsr, M.A. d Ao, M.K., 97. Strlike Fctio o Comple Order, Jorl Ntrl Scie. d Mth., 5, -. [4] Z. Nhri, 958, Coorml o Mppig, Dover Plictio, Ne York. 7

79 [5] Poltoğl, Y., Bolcl, M., d Şe, A.,. Koee domi o strlike ctios o comple order ith Motel Normlitio, Glsik Mtemticki, 7 57, [6] Poltoğl, Y., 995. The Rdis Prolem or Cove Fctios o Comple Order, Trk. Jor. o Mth., 9, [7] Poltoğl, Y., Bolcl, M., Şe, A.,. Koee Domi o Strlike Fctios o Comple Order ith Motel Normlitios, Glsic Mth., 7 57, [8] Pommereke, 975. Uivlet Fctios, Vlehoeck&Rprecht, Götige. [9] Roertso, M.S., 96. O the theory o ivlet ctios, A. o Mth., 7, [] Roertso, M.S., 969. Uivlet ctios or hich. is λ - spirllike, Michig Mth. J., 6, 97-. [] Witroski, P., 97. The coeiciets o certi mily o holomorphic ctios, Zesyty Nk. Uiv. Todk. Nki Mth. Pryrod. Ser. II, Zesyt Mth, 9,

80 SONUÇ Elipste ylıkt oksiyolr ölümüde e öemli ol okt, tım kümesii irim çemer yerie ir elips olrk lımsıdır. B üerie çlışmlr ypılmıştır. Bd öceki ölümlerde ise eliptik oksiyolrı kompleks ol şk periyotlr d ship ldklrı içi eliptik oksiyolr e çit periyotl oksiyolr d deir gerçeği ltıd çit periyotl oksiyolr ve öellikleri ve lrl ğltılı olrk t eliptik itegrl ile eliptik oksiyolr kvrmı icelemiş lmktdır. 7

81 ÖZGEÇMİŞ 979 yılıd İstl d doğd. 99 yılıd Ömer Seyetti İlkokl, 997 yılıd Bhçelievler Adol Lisesii, 4 yılıd d İstl Üiversitesi Fe Fkültesi Mtemtik Bölümüü itirdi. Ayı yıl İstl Kültür Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Mtemtik-Bilgisyr Ailim Dlıd Yüksek Liss Progrmı kydold. Hle ölümde yüksek lissıı sürdürmektedir. 7