www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Tanım: n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n nin faktöryeli veya kısaca n faktöryel denir. (n!) biçiminde gösterilir. Çok kullanılmamakla beraber faktöryele çarpansal dendiği de olur. 1 3 4 (n ) (n 1) n = n! 1 den (n 1) e kadar olan doğal sayıların çarpımına da bu tanıma göre (n 1)! deneceğinden n! = n (n 1)! olur. Bu durum benzer şekilde uzatılabilir: n! = n (n 1)! = n (n 1) (n )! = n (n 1) (n ) (n 3)! Aşağıda buna ait örnekleri bulacaksınız: 100! 100 99 98! i) = = 100 99= 9900 98! 98! 6! 6 5 4 3! ii) = = 6 5 4= 10 3! 3! ( n+ 1)! ( n+ 1) n ( n 1)! iii) = = ( n+ 1) n ( n 1)! ( n 1)! n! n! 1 iv) = = ( n+ 1)! ( n+ 1) n! n+ 1 v) 3! +! = 3! +! =! (3 + 1) =! 4 vi) 8! + 7! 6! = 8 7 6! + 7 6! 6! = 6! (56 + 7 1) = 6! 6 Doğal sayıların faktöryelleri kendilerinden kat be kat hızlı arttığından ilk birkaç sayının faktöryelini hesaplama olanağımız vardır. Biz de bu yüzden 10 a kadar olan doğal sayıların faktöryellerini vereceğiz, daha büyük sayıların faktöryellerini gerek olmadığı gibi, gerek duyulursa da bulunması kolay olduğundan vermeyeceğiz. 0! teknik nedenlerden dolayı 1 diye tanımlanır. Böyle biliniz. Yandaki tabloda 1 den 10 a kadar olan tamsayıların faktöryelleri yazılmıştır. En azından ilk 6 tanesini ezbere bilmenizde fayda vardır. Konunun bundan sonraki kısmını soru-cevap şeklinde anlatacağız. Herkese kolay gelsin! Soru 1. 17! tek midir, çift midir? 17! sayısı 17 16 15 14 4 3 1 çarpımına eşit olduğundan ve çarpılan bu terimlerin arasında çift sayılar olduğundan 17! çifttir. O halde 1 den büyük tüm n doğal sayıları için n! sayıları çifttir. Çünkü hepsi eni sonu gelip ile çarpılmak zorundadırlar. Soru. 17! hesaplanırsa son rakamı kaç olur? 17! sayısının 17 16... 10 9 3 1 çarpımına eşit olduğunu unutmayalım. 10 dışındaki sayıların çarpımı kaç olursa olsun 10 ile çarpılacağından bu sayının sonuna sıfır geleceğini anlarız. Aslında bir sayının sonuna sıfır gelmesi için illa da 10 ile çarpılmasına gerek yoktur. Çift olan bir sayı 5 ile çarpılırsa da sonunun sıfır olacağını unutmayın. Ayrıca son rakamı 5 olan bir sayı düşünüp onu ile çarpın bakalım. Yine sonu sıfır oldu değil mi? Bu tabii ki bir rastlantı değil. İçinde 5 ve çarpanı olan her sayı aslında 10 ile çarpılmış gibi davranmaz mı? O halde şöyle bir genelleme yapalım:
n > 4 olmak üzere n! sayısının son rakamı daima sıfırdır. Çünkü içinde mutlaka ve 5 çarpanı vardır. 4! in sonunda sıfır olmaması da bir tesadüf değil yani. Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile çarparsak da 3 tane sıfır gelir. O halde şu an bulmamız gereken; 1 den 17 ye varana kadar kaç tane 10 çarpanı elde ederiz? Dikkat edin, 10 a bölünen sayı demiyoruz, 10 çarpanı diyoruz. Zira 10 dan başka 10 a bölünen sayı yok ama 5 ve çarpımından bir 10 çarpanı geldiği gibi 15 ve 4 çarpımından da bir 10 çarpanı geliyor. Sonuç olarak bu sayının sonunda 3 tane sıfır olduğunu söyleyebiliriz. Doğrudur da! Demek ki bizim aslında bu çarpanlar arasında kaç tane 10 a bölünen sayı olduğunu değil kaç tane 10 çarpanı olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunun da direkt 5 çarpanı ile ilgili olduğunu anlattık. Peki, hiç mi çarpanı ile ilgisi yok? Elinde olmadan 5 olsa neye yarar? Öyle ya! Doğru, doğru ama zaten çarpanı her iki sayıda bir geldiğinden elimizde yeterince var. Ama 5 çarpanı her 5 sayıda bir gelir. Yani daha azdır. Yani; elimizdeki her 5 e bir bulabiliriz ama her ye yetecek kadar 5 yok. Her yerde olduğu gibi burada da az olan kıymetli. Bunun için faktöryeli verilen sayıyı hemencecik 5 e böleriz. Bulduğumuz bölüm bizim o sayıya gelene kadar kaç tane 5 ile bölünen sayı olduğunu verir. Ama bazı 5 ile bölünen sayıların içinde 1 den çok 5 olamaz mı? Gözden bazı 5 ler kaçmaz mı? Haklısınız. Bunu da şöyle gidereceğiz: Eğer bölüm 5 veya 5 ten büyük çıkarsa (ki bu sadece sayının 5 veya 5 ten daha büyük olması halinde olur) o bölümü de tekrar 5 e böleceğiz. Böylelikle iki kere 5 e böldüğümüzden 5 ile bölmüş oluruz, dolayısıyla 5 in katlarında gözden kaçan 5 leri de kayıt altına almış oluruz. Eğer ikinci bölüm de 5 veya 5 ten büyük çıkarsa onu da 5 e böleriz ki 15 veya katlarında saymadığımız üçüncü 5 leri de saymış oluruz. Ve bu böyle devam eder, etmelidir de! Sözün özü: n! sayısının sonunda kaç sıfır olduğu; n sayısı 5 e bölünerek değil, devamlı 5 e bölünüp her bir bölüm toplanarak bulunur. Ta ki, bölünemeyene kadar! Soru 4. Kaç doğal sayının faktöryelinin sonunda 3 tane sıfır vardır? 5 ile bölündüğünde bölüm olarak 3 ü vermesi lazım. O halde 15, 16, 17, 18, 19 olmak üzere 5 sayının sonunda 3 sıfır vardır. 0!, 1!,!, 3!, 4! sonunda sıfır yoktur, 5!, 6!, 7!, 8!, 9! sonunda 1 sıfır vardır, 10!, 11!, 1!, 13!, 14! sonunda sıfır vardır, 15!, 16!, 17!, 18!, 19! sonunda 3 sıfır vardır, 0!, 1!,!, 3!, 4! sonunda 4 sıfır vardır, 5!, 6!, 7!, 8!, 9! sonunda 6 sıfır vardır. Buradan da anladığınız üzere sonunda 5 sıfır bulunan faktöryel yoktur. Benzer şekilde sonunda 11 sıfır olan faktöryel de yoktur. Bunun da sebebini siz düşünüp, açıklayınız. Peki, iki farklı sayının faktöryeli arasındaki dört işlemler nasıl yapılır? Yani iki farklı sayının faktöryelleri çarpılınca, bölününce, toplanınca, çıkarılınca, hatta bir faktöryelin üssü alınırsa neler olacağına, bizim bunlara karşılık neler yapmamamız gerektiğine bir göz atacağız. Soru 5. 3!.4! çarpımının sonunda kaç tane sıfır vardır? 3 ve 4 sayılarını ayrı ayrı 5 e böldüğümüzde 4 elde ederiz ki bu da bu sayıların sonlarında 4 er tane sıfır olduğunu söyler. O halde x ve y tamsayı olmak üzere; 3! = x 10 4 ve 4! = y 10 4 şeklinde birer sayıdır. 3! 4! = x 10 4 y 10 4 = x y 10 8 olduğundan çarpımın sonunda 8 sıfır vardır. Bundan sonra iki sayının faktöryellerinin çarpımının sonunda kaç sıfır olduğu sorulursa, her iki faktöryelin sonundaki sıfır adetlerini toplayacağız. 33! Soru 6. sonunda kaç tane sıfır vardır? 4! 33 ve 4 sayılarını ayrı ayrı devamlı 5 e böldüğümüzde sırasıyla 7 ve 4 elde ederiz ki bu da 33! in sonunda 7, 4! in sonunda 4 tane sıfır olduğunu söyler. O halde x, y ve z birer tamsayı olmak üzere; 33! = x 10 7 ve 4! = y 10 4 şeklinde birer sayıdır. 7 33! x 10 x 3 = = 10 = z 10 3 4 4! y 10 y olduğundan çarpımın sonunda 3 sıfır vardır. Bundan sonra iki sayının faktöryellerinin bölümünün sonunda kaç sıfır olduğu sorulursa, paydaki
faktöryelin sonundaki sıfır adedinden paydadaki faktöryelin sonundaki sıfır adedini çıkaracağız. Şimdi de faktöryellerin toplamına farkına ilişkin örnekler vereceğiz. Bu toplamların ya da farkların sonlarındaki ardışık sıfır adetlerini ya da herhangi bir çarpandan kaç tane olduğunu ve bunun gibi sorulara cevap arayacağız. Bu tip problemlerde sık olarak kullanacağımız bir özelik var ki; onu burada öğrenip sorular üzerinde uygulamalar yapalım. Unutmamamız gereken gerçek şu: m < n olduğu sürece m!, daima n! içinde yer alır. Bunu bildiğimizden verilen faktöryellerden büyük olanını daima küçük olan cinsinden yazabileceğiz. Uyarı. (n)! n! (n)!! n! (n)! = n (n 1) (n )! Soru 7. 3! + 4! toplamının sonunda kaç sıfır bulunur? Yine bu sayının içinde kaç tane 5 çarpanı olduğunu bulmamız lazım. 3! + 4! = 3! + 4 3! = 3! (1 + 4) = 3! 5 olduğundan hem 3! in hem de 5 in içinde kaçar tane 5 olduğunu bulup toplamamız gerekiyor. 3! de 4, 5 te tane 5 çarpanı olduğundan cevap 6 dır. Soru 8. 3! + 7! toplamının sonunda kaç sıfır vardır? Bir önceki benzer soruda ifadeyi çarpanlarına ayırmıştık. Burada da öyle yapacağız. Sayıların büyüklüğü gözünüzü korkutmasın. 3! + 7! = 3! (1 + 4 5 6 70 71 7) Parantez içinde 1 ile toplanan sayının 5 in katı olduğuna dikkat ediniz. Çünkü içinde 5 var, yeter. O halde bu sayıya 1 eklendiği için bu sayı 5 in katı olamaz, yani son rakamı sıfır değildir, o halde sadece 3! sayısının sonundaki sıfır sayısı cevaptır, yani cevabımız 4 olmalıdır. Acaba bu durumu genelleyebilir miyiz? Neden olmasın? Eğer toplanan faktöryellerin sonlarındaki sıfır adedi sayısı aynı değilse sadece küçük olan sayının faktöryelini almak yeter. Eğer sıfır adedi aynıysa böyle yapamayacağımıza aslında bir önceki sorumuz örnekti. Bunun sebebini şöyle düşünebilirsiniz: Örneğin, 40 ile 60 ın sonunda birer sıfır var diye toplamlarının sonunda 1 tane sıfır olacak diye bir kaide yok. İnanmıyorsan topla, bak! Fakat sonundaki sıfır adetleri farklı olan sayılar daima toplanınca küçük olanınki kadar sıfır verirler. Örneğin; 3900 + 40 =3940. Tabii ki tek bir örnek yetmez, hatta 1000 tane bile yetmez, ama bunu kanıtlamak da size kalsın. Soru 9. n ve p birer sayma sayısı olmak üzere; 3! = p ise n en fazla kaç olabilir? n 5 p nin bir sayma sayısı olması bize paydadaki 5 lerin paydakilerden çok olmadığını anlatmalı. Çünkü paydada 1 tane bile fazla 5 olsaydı, sadeleşenler sadeleşir ve paydada 5 artardı. Pay artık içinde 5 ihtiva etmediğinden 5 in katı olmayan bir sayı olurdu, dolayısıyla 5 e bölündüğünde sonuç yani p sayma sayısı olmazdı. O halde n en çok, 3! in içinde kaç tane 5 çarpanı varsa o kadar olmalı, yani 4. Kısacası, a, b, c, n + n! iken c b a = ise max(b) kaçtır? sorusu; n! in içinde kaç tane a çarpanı vardır? sorusu ile aynıdır. Soru 10. n ve p sayma sayıları için 3! = 6 n p ise n en fazla kaç olur? Nasıl ki bize 10 çarpanı sorulduğunda bile biz sayıyı devamlı 10 a değil, 5 e bölüyorduk, şimdi de 6 çarpanı soruluyor diye hemen 6 ya bölmeyeceğiz. Çünkü her ve 3 ten bir 6 elde edildiğinden ve her 3 ile eşleştirebileceğimiz bir bulunup, her ile eşleştirebileceğimiz bir 3 bulunmadığından 3 ü devamlı 3 e bölüp, çıkan bölümleri toplamalıyız. 3 ü 3 e bölersek bölüm 7, 7 yi de 3 e bölersek bölüm çıkar ki cevap 7 + = 9 olur. Yani; a! in içinde kaç tane b çarpanı var? diye bir soru ile karşılaştığımızda, önce bir durup b ye bakacağız. Eğer b asalsa a yı devamlı b ye böleceğiz, fakat b bileşikse (yani asal değilse) a yı devamlı b nin en büyük asal çarpanına böleceğiz. Soru 11. n ve p sayma sayıları için 3! = 4 n p ise n en fazla kaç olur? Ne kadar da üstteki soruya benziyor değil mi? Evet ama çözümleri hiç de öyle değil. 4 asal olmadığından 3 ü devamlı 4 ün en büyük asal çarpanı olan ye bölmeliyiz. Bölelim. Bölümleri toplayalım. 19 çıkıyor. Fakat cevap 19 değil. Çünkü leri 4 yapmak için eşleştireceğimiz diğer 3
ler başka yerde yok. Alınacaksa bu 19 tanenin içinden alınacak. O halde yeni bir soru çıktı karşımıza: 19 tane den kaç tane 4 çıkar?. Her tane den 1 tane 4 çıkacağından 19 u ye bölersek 9 tane 4 yapabileceğimizi anlarız. Peki artan 1 tane var, o n olacak? Başka kalmadı ne yapalım? O da öylece kalır. Yani; a! in içinde kaç tane b çarpanı var? diye bir soru ile karşılaştığımızda, önce yine bir durup b ye bakacağız. Tüm işlemlerimizi daha önce yaptığımız gibi yapacağız. Fakat b bir tamkare ise bulduğumuz cevabı ye böleceğiz, bir tamküp ise 3 e böleceğiz, bir tam dördüncü kuvvet ise 4 e böleceğiz ve bu böyle devam edecek Soru 1. 17! n sayısı tek ise n kaçtır? 17! sayısının çift olduğunu kanıtladık. Neden çiftti? İçinde bir sürü çarpanı olduğu için. Peki, bir sayı niye tek olur? İçinde hiç çarpanı olmadığı için. Demek ki n ifadesi 17! in içinde ne kadar varsa almış götürmüş gibi düşünebiliriz. 17! in içinde kaç tane çarpanı var peki? Onu da 17 yi devamlı ye bölerek buluruz. Ben böldüm, 15 çıktı. O halde n = 15. Soru 13. 17! sayısı çift ise n en fazla kaç olabilir? n n = 15 olunca bu sayının tek olduğunu kanıtladık. Çünkü kesrin payında da 15 tane çarpanı vardı. Bunlar sadeleşince sayı tek oluyordu. Burada da durum şöyle: Aşağıda yukarıdaki lerin tamamını götürecek kadar yokmuş ki bu sayı çift kalmış. Yani n en fazla 14 olabilir. n nin alabileceği değerler toplamını sorar bazen. O zaman 1 den 14 e kadar olan sayma sayılarını 14 15 toplayacağız. 1 + + + 14 = = 105. Soru 14. 1! +! + 3! + 4! + + 005! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? 4 ten büyük olan doğal sayıların faktöryellerinin sıfır ile sonlandığını kanıtlamıştık. O halde sadece 1! +! + 3! + 4! toplamının son rakamına bakmak yeterli olacaktır. 1 + + 6 + 4 = 33 olduğundan sorunun cevabı 3 tür. 4 Buradan şu anlaşılmaktadır: Yeterince büyük olduktan ve 1 den başlayıp ardışık olarak arttıktan sonra nerede bittiğinin önemi yoktur. Aynı soru 005! değil de 006! ya da 74658! de bitseydi de cevap 3 olacaktı. Bazen bu toplamın 5 ile bölümünden kalan sorulur, bu yüzden ona da 3 diyeceğiz. Soru 15. 1! +! + 3! + 4! + + 005! toplamının onlar basamağındaki rakam kaçtır? Şimdi de 9 dan büyük doğal sayıların faktöryellerinin önemi yoktur, çünkü onların daima son iki basamakları 00 dır. Bu yüzden son iki rakama etki etmezler. Bu sebeple biz sadece ilk 9 sayının faktöryellerinin son iki rakamlarını toplayalım: 01 + 0 + 06 + 4 + 0 + 0 + 40 + 0 + 80 = 13. O halde bu toplamın son iki rakamı 13 tür, dolayısıyla onlar basamağındaki rakam 1 dir. Böyle toplamların 100 ile bölümünden kalan sorulduğunda da aynı çözümü yaparız. Çünkü bir sayının 100 ile bölümünden kalan şey o sayının son iki basamağıdır. 4, 0, 5, 50, 75 gibi sayılara bölümlerinden kalanlar da son iki rakamla alakalıdır ama daha kolay çözümleri olduğundan onları burada değil, ilerde başka örneklerde başka metotlarla anlatacağız. Soru 16. 1! +! + 3! + 4! + + 005! toplamının 3, 6, 7, 15, 0, 40 ile bölümlerinden kalanları hesaplayınız. 3 ve daha büyük doğal sayıların faktöryelleri hem 3 ile hem de 6 ile tam olarak bölündüğünden kalan vermezler. 1! +! = 1 + = 3 olduğundan bu toplam 3 ile tam bölünür ama 6 ile bölümünden kalan 3 tür. Diğer yandan 5 ve daha büyük doğal sayıların faktöryelleri hem 15 hem 0, hem 40 ile tam bölünürler. Bunlar kalan vermediğinden, incelenmelerine gerek yoktur. 1! +! + 3! + 4! = 1 + + 6 + 4 = 33 olduğundan toplamın 15, 0, 40 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 3, 13, 33 olur. 7 ile ilk bölünen faktöryel ise 7! olduğundan bundan önceki faktöryelleri toplamak gerekir. 1 + + 6 + 4 + 10 + 70 = 873 olduğundan, 873 de 7 ile bölümünde 5 kalanını verdiğinden cevap 5 tir. Soru 17. 0! + 1! sayısı 1!, 11, 6 9, 9 4, 8 6, 5 5 sayılarından kaç tanesine tam olarak bölünür? 0! + 1! = 0! + 1 0! = 0! (1 + 1) = 0! olduğunu önce bir not edelim. 0! in içinde 1! olduğundan ilkine tam bölünür. 11 ile tam bölünebilmesi için içinde tane 11 çarpanı olması lazım. nin içinde 1 tane var ayrıca 0! in içinde de 1 tane var, o zaman bu da tamam. 0! in içinde
8 tane 3 çarpanı olduğundan ancak 8 tane 6 çarpanı olabilir. Bundan dolayı bu sayı 6 9 ile kalansız bölünemez. 9 4 için de durum aynı, zira 9 4 = 3 8 tür. Şimdi 0! in içinde kaç tane çarpanı var ona bakalım. Ben baktım, 18 tane çıktı. 6 tane 8 zaten 18 tane yaptığından 0! in içindekiler buna yeter. Son olarak 5 5 i inceleyeceğiz. 0! sayısında sadece 4 tane 5 çarpanı var, de ise hiç yok dolayısıyla 5 5 ile bölünmesine imkan yok. Yani, sadece 3 üne bölünür. Şu an itibariyle faktöryelin ne olup ne olmadığına ilişkin bir altyapınızın çoktan oluşmuş olması gerekiyor. Yanılıyor muyuz yoksa? Eğer tereddütleriniz varsa yukarıdaki örnekleri tekrar tekrar incelemenizi ve anlamadığınız her yeri tamamıyla idrak edene kadar sormanızı öneririz. Zira bundan sonra, özellikle permutasyon kombinasyon derslerinde faktöryellerle epey bir işimiz olacak. Soru 18. Aşağıdaki eşitliklerde n sayısını bulunuz. i) n! = (n+4) (n )! ii) (n + 7)! = 70 (n + 4)! Büyüğü küçük cinsinden yazıyoruz. i) n (n 1) (n )! = (n + 4) (n )! eşitliği düzenlenirse n 3n 4 = 0 olur, o halde n = 4. ii) (n + 7) (n + 6) (n + 5) (n + 4)! = 10 9 8 (n + 4)! eşitliğinde gerekli işlemler yapılırsa n = 3 bulunur. Soru 19. f: +, f(n) = n f(n 1) ve f(0) = 1 ise n için f fonksiyonunun faktöryel fonksiyonu olduğunu gösteriniz. n = 1 f(1) = 1 f(0) n = f() = f(1) n = 3 f(3) = 3 f() n = k f(k) = k f(k 1) Bulunan tüm bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa; f(1) f() f(3) f(k) = 1 3 k f(0) f(1)... f(k 1) f(k) = 1 3... k f(k) = k! Soru 0. x = 0 4... 50 y = 19 1 3... 49 olduğuna göre x y çarpımının faktöryel olarak eşiti nedir? 18! 50! x y = 19 0 1... 49 50 = 18! 18! Soru 1. x = 19! olduğuna göre 0! + 1! toplamının x türünden ifadesi nedir? 0! + 1! = 0 19! + 1 0 19! = 19! [0 + 1 0] = 19! [0 (1 + 1)] = 19! 0 = 0 x Soru. n tane 10 nin toplamı, n! olduğuna göre n değeri kaçtır? n 10 = n! n 5! = n (n 1)! 5 = n 1 n = 6 Soru 3. 60! 50! işleminde elde edilen sayının sonunda kaç tane ardışık sıfır vardır? 50 5 10 60! 50! sonundaki sıfır adedi, her ikisinin sonundaki sıfır adetleri farklı olduğundan küçük olanın yani 50! in sonundaki sıfır adedi kadardır. O halde sıfır adedi 1 tanedir. Çıkarma işlemini de aynı toplama gibi yapıyoruz yani. Soru 4. 100! 1 sayısının sonunda kaç tane ardışık 9 vardır? 100 5 0 5 5 4 100! 1 sonundaki 9 adedi, 100! sonundaki sıfır adedi kadardır. O halde 100! 1 sonundaki 9 rakamının adedi 4 tanedir. Bazen de 100! + 1 toplamının sonundaki 1 adedini sorar. Buna da hemen 4 demeyin sakın! Neden diye bir düşünün bakalım. Soru 5. m, n ve t pozitif tamsayı olmak üzere 40! = 6 m 10 n t eşitliğinde (m + n) toplamı en fazla kaç olabilir? 6 ve 10 asal olmadığından hemen bu ifadeleri asal çarpanlarına ayıralım. 40! = 6 m 10 n t = m 3 m n 5 n t = m+n 3 m 5 n t olur. 40! içinde 38 tane, 18 tane 3, 9 tane 5 asal çarpanı olduğu bulunur. Bu yüzden max(n) = 9 ve max(m) = 18 olduğundan max(m + n) = 7 dir. Soru 6. (1! +! + 3! +... + 33!) 13 işlemi sonucunda birler basamağındaki rakam kaçtır? 5! + 6! + 7! +... + 33! 0 (mod 10) olduğunu biliyoruz. 1! +! + 3! + 4! 1 + + 6 + 4 3 (mod 10) olduğundan 3 13 3 3 7 (mod 10) olur. 5
Soru 7. (1 + 13!, 17 + 13!) açık aralığında asal sayı olmadığını gösteriniz. (1 + 13!, 17 + 13!) açık aralığında bir x asal sayısı olsun; 1 + 13! < x < 17 + 13! x = + 13! = x = 3 + 13! = 3 x = 4 + 13! = 4... 13! 1+ 13! 1+ 3 13! 1+ 4 13! 1+ 16 = k = 3k = 4k x = 16 + 13! = 16 = 16k olduğundan verilen aralıkta bir asal sayı yoktur. Daha genel olarak; p bir asal sayı ve n bir doğal sayı ise; n! + 1 ile n! + n arasında hiçbir asal sayı yoktur. Bunun kanıtını ise sizlere bırakıyoruz. Soru 8. 15! sayısının pozitif tam bölenleri sayısı kaç tanedir? 15! = 11 3 6 5 3 7 11 1 13 1 olduğundan, 15! in pozitif bölen sayısı 1 7 4 3 = 403 tanedir. Soru 9. 11! sayısının pozitif bölen sayısı, 10! sayısının pozitif bölen sayısının kaç katıdır? 11! = 11 10! = 11 10! olduğundan 11! içinde 10! den farklı olarak 11 çarpanı tane fazladır. 10! içindeki 11 çarpan sayısı 10 ve 11! içindeki 11 çarpan sayısı da 1 tanedir. 10! in 11 dışındaki çarpanlarının üslerinin 1 er fazlalarının çarpımı k olsun. 10! in pozitif bölen sayısı k (10 + 1) ise 11! sayısının pozitif bölen 13 sayısı k (1 + 1) olur. O halde buradan katı ol- 11 duğunu anlarız. Soru 30. (n!)! sayısı 3 basamaklı ise n kaç olabilir? 37 5 7 5 1 3 basamaklı sayılardan sadece tanesi bir sayının faktöryeline eşit olabilir. Bunlar 10 ve 70 dir. 10 = 5! ve 70 = 6! olduğundan n = 3 tür. n nin hiçbir değeri için n! = 5 olamayacağına dayandık. Soru 31. 1! +! + 3! + + x! toplamı kaç kere ve hangi x değerleri için tamkare olur? x = 1 için tamkare olduğu, x = için de olmadığı aşikar. x = 3 olursa bu toplam 1! +! + 3! = 1 + + 6 = 9 olduğundan yine tamkare olur. x > 3 için bu toplamın son rakamının daima 3 olduğunu biliyoruz. O halde bir tamkare olması imkansızdır. Çünkü hiçbir tamkarenin son rakamı 3 olamaz. Neler olabilir, onu da siz bulunuz Soru 3. a! = b! + c! + d! eşitliğinde a, b, c, d birer pozitif tamsayı ise a kaçtır? b c d olsun. a > d olduğundan a d + 1 yazabiliriz. (d + 1) d! = (d + 1)! a! = b! + c! + d! 3 d! olduğundan d + 1 3 olur. O halde d dir. d = 1 için dener ve sağlayan değerler bulamayız. d = için ise b = c = d = ve buradan da a = 3 bulunur. Aynı soruyu bir de doğal sayılar kümesinde çözünüz. Soru 33. OBEB(n! + 1, (n + 1)! + 1) =? n! + 1 ile (n + 1)! + 1 sayıları daima birbirine asal olduğundan OBEB leri 1 dir. Soru 34. 1 1! +! + 3 3! + + n n! sayısının n cinsinden eşiti nedir? Verilen bu toplama A diyelim. A = 1 1! +! + 3 3! + + n n! Eşitliğin her iki yanına 1! +! + 3! + + n! ekleyelim. A + 1! +! + + n! = 1! + 3!+ + (n + 1) n! A + 1! +! + + n! =! + 3! + + n! + (n + 1)! A + 1! = (n + 1)! A = (n + 1)! 1 Yani, 1 1! +! + 3 3! + + n n! = (n + 1)! 1. Soru 35. 1 1! +! + 3 3! + + 36 36! toplamı hesaplandığında sondan kaç basamağında 9 olur? Bir önceki soruda bulduğumuz formüle göre bu toplam 37! 1 dir. O halde 37! in sonunda kaç tane sıfır varsa 37! 1 sayısının sonunda da o kadar 9 vardır. O halde yandaki bölme işleminden de gördüğünüz üzere cevabımız 8. a! Soru 36. = 5! eşitliğini sağlayan kaç farklı (a, b) b! ikilisi vardır? 6
İlk önce a = 5 olduğunu düşünelim. Paydayı 1 yapmalıyız. Bu da şekilde mümkün: b = 0 veya b = 1 ile. Ayrıca 5! = 10 olduğundan a = 10 ve b = 119 olursa da eşitlik sağlanır. Diğer yandan 5! = 10 = (1 3) 4 5 = 4 5 6 olduğundan a = 6 ve b = 3 de çözümdür. Sonuç olarak (a, b) = {(5, 0), (5, 1), (10, 119), (6, 3)} olmak üzere 4 farklı şekildedir. Soru 37. 7! sayısı 7 tabanında yazılırsa sonunda kaç tane sıfır olur? 7! sayısı sadece 3 kere 7 ye kalansız bölünür, diğer bölümlerde kalanlar sıfırdan farklı olur. Zaten 7 tabanında yazmak istediğimizde de ilk başta sıfırdan farklıları yazarız, en sona 3 sıfır kalır. Soru 38. A = 4 6 8 48 sayısı 6 tabanında yazılırsa, A nın sondan kaç basamağı sıfır olur? A = 4 6 8 48 = ( 1) ( ) ( 3) ( 4) ( 4) = 4 4! olduğunu kaydedelim. 4 sayısının içinde hiç 3 çarpanı olmadığından 6 çarpanı yoktur. 4! sayısının içindeki 3 çarpanları bize 6 çarpanı adedini verecektir. 4 ü devamlı 3 e bölüp, bölümleri toplarsak, cevabın 10 olacağını görürüz. Soru 39. ( a+ b )! ( b + )! = 7 eşitliğini sağlayan a a! ( b 3)! ve b sayma sayıları için (a + b 3)! kaçtır? ( a+ b)! = ( a+ b) ( a+ b 1)... ( a+ 1) ve a! diğer yandan olduğundan, ( b )! = b ( b 3)! ( a+ b)! ( b )! + a! ( b 3)! = 7 eşitliği (a + b) (a + b 1) (a + 1) + b = 7 yani (a + b)(a + b 1) (a + 1) + b = 9 olur. b nin 3 ten büyük veya eşit olduğunu biliyoruz. O halde (a + b)(a + b 1) (a + 1) çarpımı da 6 dan küçük veya eşittir. Bu çarpım ardışık sayıların çarpımı olduğundan ya 6 dır ya dir. a ve b birer sayma sayısı olduğundan sağlayan tek durumun a + b = 3 olduğu görülür. O halde (a + b 3)! = 0! = 1 olur. a! Soru 40. = x x eşitliğini sağlayan a, b, x b! sayma sayıları için b nin alabileceği değerleri toplamı 97 ise x kaçtır? a! = b! x x = x (x 1) olduğundan a sayısı, b nin ya 1 ya da fazlasıdır. O halde a 1 = b 1 + 1 ve a = b + olacak şekilde iki farklı a sayısı vardır. b 1 + b = 97 verildiğinden a 1 + a = 100 dür. a1! a! = = x( x 1) a1 = a a ( a 1)! ( a 1)! 1 a 1 + a = a = 100 a = 10 x (x 1) = 90 x = 10. Soru 41. 1!! 3! 4!... 100! çarpımından hangisi atılırsa geriye kalan ifade bir tamkare olur?! = 1!, 4! = 4 3!, 6! = 6 5!, 100! = 100 99! olduğunu gözönünde tutarak verilen ifadeyi ikişerli ikişerli gruplayalım. (1!) (3!) 4 (5!) 6 (99!) 100 şeklinde bir eşitliğe ulaşırız. Tamkare ifadelerin çarpımına A dersek bu eşitliğin aslında A 4 6 100 yani A 50 50! olduğunu anlarız. A ve 50 zaten tamkaredir, dolayısıyla atılması gereken sayının 50! olduğu çıkar. Soru 4. n bir çift sayma sayısı olmak üzere; 1!! 3!... ( n)! kesrinin daima bir tamkare olduğunu kanıtlayınız. n!! = 1!, 4! = 4 3!, 6! = 6 5!, (n)! = n (n 1)! olduğunu gözönünde tutarak verilen ifadeyi ikişerli ikişerli gruplayalım. (1!) (3!) 4 (5!) 6 n (n 1)! şeklinde bir eşitliğe ulaşırız. Tamkare ifadelerin çarpımına A dersek bu eşitliğin aslında A 4 6 (n) yani A n n! olduğunu anlarız. A ve n zaten tamkaredir, dolayısıyla atılması gereken sayının n! olduğu çıkar. 7
Soru 43. 1!! 3!... 0! çarpımının bir kare olabilmesi için en az hangi sayma sayısı ile çarpılmalıdır? Artık bu sayının 10! ile çarpılırsa bir kare olacağını biliyoruz. Ama 10! içinde de zaten kareler var, çift sayıda çarpan olmayan sadece 7 çarpanı olduğundan cevabımız 7 dir. Soru 44. x, y, z pozitif tamsayılar olmak üzere;! 4! 6! 8!... 3! = x 3 y z ise x in en büyük değeri için z en az kaç olabilir?! 4! 6! 8!... 3! = A 16 16! olduğunu kanıtlamıştık. A 16 çarpımı bir karedir. 16! içindeki kareleri de atalım. 3 5 6 7 8 10 11 1 13 14 15 kalır geriye. 3 5 3 7 5 11 3 13 7 3 5 = 9 3 4 5 3 7 11 13 eşitliğinden kare ve küpleri de atarsak geriye sadece 11 13 kalır. O halde z en az 143 olabilir. 11!1!13!... 0! Soru 45. çarpımının bir tam kare olması için çarpılması gereken en küçük sayma 1!!3!... 10! sayısı kaç olmalıdır? 11! 1! 13!... 0! = A olsun. 1!! 3!... 10! 11! 1! 13!... 0! A = 1!! 3!... 10! 11! 1! 13! 19! 0! =... 10! 9! 8!! 1! = 11 (1 11 10) (19 18 3) (0 19 3 1) = 1 3 4 3 5 4 diye yazıldığında sadece 7 nin kuvveti tek geliyor. Bundan dolayı cevap: 7. Soru 46.! + 4 3! + 6 4! + 8 n +... + = x 5! ( n+ 1)! işleminin sonucu kaçtır? x Okuyucuya bırakılmıştır. ise Soru 47. 1!! 3!... 3! çarpımının bir tamküp olabilmesi için bu çarpanlardan en az kaç tane iki basamaklı faktöryel atılmalıdır? A = 3 1 3 1 1!! 3!...! = 3 1 0... 1 sayısında, üssü 3 ün katı olanlar, kök dışına tamsayı olarak çıkacaklarından onları ihmal edelim. A=B 3 1.1.19 1.18.15 1.14.1 1.11.9 1.8.6 1.5.4 1. 3 A = C 3 19 13 11 9 7 Şimdi bu küp kök içindeki sayıları mümkün olduğunca az iki basamaklı sayıların çarpımı şeklinde yazmalıyız. A = C 3 (19 ) (13 7) (11 9) = 3 38 91 99 olduğundan çarpımdan bu üç tane iki basamaklı sayı atılırsa A bir tam küp olur. Soru 48. n n! sayısı n cinsinden en fazla kaç olabilir? n n! sayısı 1 den n ye kadar olan sayıların geometrik ortalamasıdır. Geometrik ortalamanın, aritmetik ortalamadan daima küçük eşit olduğunu biliyoruz. n n! 1 + + 3 +... + n n+ = 1 n Soru 49. x ve y tamsayılar olmak üzere 0 < x < y < 40 veriliyor. [x! + (x + 1)! + (x + )!] [y! + (y + 1)! + (y + )!] çarpımının bir tamkare olması için y nin alabileceği değerleri bulunuz. [x! + (x + 1)! + (x + )!] [y! + (y + 1)! + (y + )!] = [1 + x + 1 + (x + 1)(x + )] x! [1 + y + 1 + (y + 1)(y + )] y! = x! y! (x + ) (y + ) olduğundan x! y! çarpımının bir kare olması gerekir. Bu durum da y = x + 1 ile mümkün olup, artan (x + 1) değerinin de bir kare olması lazım. O halde y nin alabileceği değer var: 5 ve 36. Soru 50. 70! sayısının 71 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? Wilson Teoremi, bir p asal sayısı için (p 1)! 1 (mod p) olduğunu söyler. Biz de buna güvenerek cevabın 1 yani 70 olduğunu söyleyeceğiz. Soru 51. 61! sayısının 71 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? Yukarda 70! 70 olduğunu bulmuştuk. 70! = 70 69 68 67 66 65 64 63 6 61! 70 ( 1)( )( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9) 61! (mod 71) 70 ( 1)( )( 5)( 7) ( 3)( 4)( 6) ( 8)( 9) 61! (mod 71) 70 70 ( 7) 7 61! (mod 71) 1 ( 1)( 1) 1 61! (mod 71) olduğundan 61! 1 70 (mod 71) 8
Soru 5. a, b, c pozitif tamsayılar olmak üzere a + b = c! eşitliğini sağlayan kaç farklı (a, b, c) üçlüsü vardır? Okuyucuya bırakılmıştır. Soru 53. x, y, z doğal sayılar olmak üzere x 30! 17 0! = z eşitliğinde z nin en küçük değeri y için y en çok kaç olabilir? Okuyucuya bırakılmıştır. Soru 54. 3! sayısı ardışık doğal sayıların çarpımı şeklinde kaç farklı şekilde yazılabilir? Okuyucuya bırakılmıştır. Soru 55. 0! 1!! + + +... ( n+ 1)! ( n+ )! ( n+ 3)! cinsinden eşitini bulunuz. Okuyucuya bırakılmıştır. Soru 56. 6 7 8 9 10 11 30 31 ( ) ( ) ( )... ( ) 7 8 9 10 11 1 31 3 çarpımının sonucu kaçtır? 6 7 1 1 1 1 (1 ) (1 ) 7 8 7 8 8 7 toplamının n = = olduğunu göz önünde tutarak diğer çarpanları da aynı bunun gibi açacağız. Sonuçta ifade şeklini alacak. Sadeleştirirsek; 1 1 1 1 1 1 ( )( )...( ) 8 7 10 9 3 31 1 1 1... 7.8 9.10 31.3 olacak. Payda tek sayıda 1 olduğundan cevabımız 1 6! = olur. 3! 3! 6! 100.100! =...ba0000 0000 (6 tane sıfır) 100! =...ba00 0000 (4 tane sıfır) + 101! =...baba00...0000 (4 tane sıfır) c = a, b = d a c + b d = 0 Soru 59. 100! 1 sayısı 4 tabanında yazılırsa sondan kaç basamağı 3 olur? 100! sayısının içinde ne kadar 4 çarpanı varsa, 4 tabanında yazılmış halinin sonunda o kadar sıfır vardır. Buradan hareketle 100! 1 sayısının 4 tabanında yazımlı halinde de o kadar 3 olacaktır. 100! = 4 x a = ( 3 3) x a = 3x 3 x a olduğundan x = 3 bulunur. Bundan dolayı cevabımız 3 dir. Soru 60. 40! + 50! + 60! = a 10 n eşitliğinde a, n + ise a nın en küçük değeri için n kaç olur? a 10 n sayısı sabit bir sayıya eşit olduğundan a küçüldükçe n büyür. O halde a nın en küçük değerinde n en büyük değerini alır. Bu durumda 40! + 50! + 60! sayısının içinde kaç tane 10 çarpanı olduğunu, yani sayının sonunda kaç tane sıfır olduğunu bulmamız yetecek. Bunun içinde en küçüğü olan 40! in sonundaki sıfır sayısını bulmak yeter. 40 ı devamlı 5 e bölerseniz, bölümler toplamı 9 olduğundan cevabımız 9 dur. 1 Soru 57. C (,) =? 1 1 1 3 1 ( )! ( ) ( ) ( )! 1 4 1 C(,) = = = = 3 3 ( )!! ( )!!! 8 Soru 58. 100! sayısının sondan 5 ve 6 ncı basamakları sırasıyla a ve b, 101! sayısının sondan 5 ve 6 ncı basamakları sırasıyla c ve d ise a c + b d kaçtır? 100! sayısının sonunda 4 tane sıfır vardır. 100! =...ba00...00 (4 tane sıfır) 101! = 101.100! = (100 + 1)100! 9
Alıştırmalar 1. n bir doğal sayı ise n!, (n + 1)!, (n + )!, n! + 1 ve n! + sayılarından kaç tanesi daima çifttir?. n! iki basamaklı ise (n + )! kaç basamaklıdır? 3. 0! + 4! + 8! toplamının birler basamağı kaçtır? 4. 6! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? 5. 6! 1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur? 6. n! hesaplandığında sondan 7 basamağı sıfır ise n kaç farklı değer alır? 7. 9! 30! çarpımının sonunda kaç sıfır vardır? 8. 9! + 30! toplamının sonunda kaç sıfır vardır? 9. 9! sayısını 1! sayısına böldüğümüzde bölümün sonunda kaç sıfır olur? 10. 30! 9! farkının sonunda kaç sıfır vardır? 11. 30! 1! farkının sonunda kaç sıfır vardır? 1. n > 100 iken a = n!, b = n!, c = (n)!, d = n n, e = (n!), f = n! sayılarını küçükten büyüğe sıraya diziniz. 13. 3! sayısının içinde 10 çarpanı mı 15 çarpanı mı daha fazladır? Neden? 14. 3! = 6 n p eşitliğinde n ve p sayma sayısı ise n en çok kaç olabilir? 15. 3! = 6 n p eşitliğinde n ve p sayma sayıları için n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 16. n! sayısı tek bir doğal sayı ise n! kaçtır? 17. m, n, p ardışık çift sayılar olmak üzere; m! + n! + p! toplamı bir tek sayı ise m n + p kaçtır? 18. 3! sayısı tek ise n sayma sayısı kaçtır? n 19. 3! n sayısı çift ise n sayma sayısı en çok kaç olabilir? 0. 3! n sayısı çift ise n sayma sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? 1. n! sayısı tek bir doğal sayı ise n 3n + 3 sayısı en çok kaç olabilir?. n! sayısı 6 ile tam bölündüğüne göre n en az kaçtır? 3. n! sayısı 1 ile tam bölünüyorsa n en az kaçtır? 4. n! sayısının son rakamı sıfır ise n + 3 en az kaç olabilir? 5. 19! sayısı tek midir, çift midir? 10
6. 19! sayısı hesaplanırsa birler basamağındaki rakam kaç olur? 7. 19! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? 8. 19! 1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur? 9. 19! + 1 sayısının sondan kaç basamağı 1 dir? 30. 19! sayısının içinde kaç tane 10 çarpanı vardır? 31. 19! sayısının içinde kaç tane 5 çarpanı vardır? 3. 19! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı vardır? 33. 51! sayısının içine kaç tane 7 çarpanı vardır? 34. 19! sayısının içindeki 14 çarpanı mı, 1 çarpanı mı daha çoktur? Yoksa eşit midir? 35. 51! sayısının içindeki 4 çarpanının adedi kaçtır? 36. 90! sayısının içinde kaç tane 7 çarpanı vardır? 37. 5! + 6! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı vardır? 38. 4! + 5! + 6! toplamının içinde kaç tane 4 çarpanı vardır? 39. 4! 5! çarpımının sonunda kaç tane sıfır bulunur? 40. 7! 10 x sayısının sonunda 7 tane sıfır olduğu bilindiğine göre x kaçtır? 41. 34! 17! bölümünün sonunda kaç tane sıfır bulunur? 4. Kaç tane doğal sayının faktöryelinin sonunda tane sıfır bulunur? 43. Kaç tane doğal sayının faktöryelinin sonunda 5 tane sıfır bulunur? Neden? 44. 1! +! + 3! + 4!+ + 006! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? 45. 0! +! + 4! + + 006! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? 46. 1! +! + 3! + + 006! toplamının 3 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? 47. 3! + 4! + 5! + + 33! toplamının 17 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? 48. a! = b! 4! ise a + b en az ve en çok kaç olabilir? 49. (a!)! sayısının sonunda 1 tane sıfır varsa, a kaçtır? 50. a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; 30! = 5 a b ise a nın en büyük değeri kaçtır? 51. a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; 8! = 8 a b ise a nın en büyük değeri kaçtır? 5. a, b ve c pozitif tamsayılar olmak üzere; 40! = a 3 b c ise a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? 53. x 13 x 1 = eşitliğinde x kaçtır? ( x 1)! x! x! 11
54. ( n+ 5)! (n)! çarpımını sadeleştiriniz. (n+ 1)! ( n+ 4)! 55. a bir tamsayıdır. ( a 5)! + ( a 4)! ( a 3)! + (5 a)! işleminin sonucu kaçtır? 56. OBEB(4! + 5! + 6!, 5! + 6! + 7!) kaçtır? 57. OKEK(4! + 5! + 6!, 5! + 6! + 7!) kaçtır? 58. 65! içinde kaç tane 1 çarpanı vardır? 59. x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere; 1!! 3! 4! 39! = x 13 y olduğuna göre y en fazla kaç olabilir? 60. x! + ( y+ 1)! ifadesi bir tamsayı olduğuna göre, x + x! y toplamı en az kaç olabilir? 61. 1 1! +! + 3 3! + + 360 360! toplamının son rakamı kaçtır? 6. 1 1! +! + 3 3! + 4 4! + + 6 6! toplamının sonunda kaç tane 9 vardır? 63. n > 1 iken 1 1! +! + 3 3! + + n n! toplamının hiçbir zaman bir tamkare olamayacağını kanıtlayınız. 65. 6! + 7! = m x 3 y eşitliğinde m, x, y sayıları birer sayma sayısı ise x + y toplamı en fazla kaç olabilir? 66. 11! sayısının kaç tane negatif böleni vardır? 67. 1! sayısının asal olmayan pozitif böleni kaç tanedir? 68. C(n, r): n nin r li kombinasyonu, P(n, r): n nin r li permutasyonu ise C(n, r) mi daha büyüktür yoksa P(n, r) mi? Neden? 69. 10! 8! + 6! sayısının en büyük asal çarpanı kaçtır? 70. 6! sayısı 9 tabanında yazılırsa kaç basamaklı bir sayı elde edilir? 71. 36! sayısı 9 tabanında yazılırsa sonunda kaç tane sıfır bulunur? 7. 19! den 19! + sayısına kadar kaç tane asal sayı vardır? 73. 8! sayısı, en küçük hangi sayma sayısı ile çarpılırsa bir tamkare olur? 74. 6! = a- (b 3) eşitliğinde a ve b birer sayma sayısı ise a + b toplamı en az kaç olabilir? 64. 9! x ve y sayma sayıları için, işleminin sonucunun bir sayma sayısı olduğu bilindiğine göre, x y 3 5 x 5y ifadesinin en büyük değeri kaç olabilir? 1