Logistic Regression Analysis Based on Jackknife Method: An Application on the Estimation of Coronary Artery Disease

Transkript

1 Logistic Regressio Aalysis Based o Jackkife Method: A Applicatio o the Estimatio of Coroary Artery Disease Hayriye Esra Akyuz Faculty of Sciece ad Arts, Bitlis Ere Uiversity, Bitlis, Turkey heakyuz@beu.edu.tr Abstract Coroary artery disease is a multifactorial disease characterized by various factors ad their iteractios, ad is the most commo cardiac disease. I this study, it is aimed to obtai the logistic regressio model for the estimate of coroary artery disease ad to compare the parameter estimates for the factors affectig the estimatio of parameters to the parameter estimates for the logistic regressio model based o the jackkife method. The parameter estimates are made by backward elimiatio method ad a suitable regressio model is determied. I the data aalysis ad parameter estimates, the R ad SPSS 23.0 package software programs are used. It is obtaied that the classificatio percetages of the model are over 80%. Whe the results of the origial logistic regressio aalysis ad the logistic regressio aalysis based o the jackkife method are examied, it is see that there is little differece betwee the coefficiet estimates. It has bee determied that the stadard errors of the parameter estimates i the Jackkife method are lower tha the stadard errors of the parameter estimates obtaied from the classical sample. As a result; it was foud that the parameter estimates based o the Jackkife method are very effective ad the logistic regressio model based o this method was foud to be quite successful for the estimatio of coroary artery disease. Keywords: Backward elimiatio, Jackkife, Coroary artery disease. Jackkife Yötemie Dayalı Lojistik Regresyo Aalizi: Koroer Arter Hastalığıı Tahmii Üzerie Bir Uygulama Özet Koroer arter hastalığı, çeşitli faktörler ve buları etkileşimi tarafıda belirlee bir multifaktöriyel hastalıktır ve e sık görüle kalp hastalığıdır. Bu çalışmada koroer arter hastalığıı tahmii içi lojistik regresyo modelii elde edilmesi ve koroer arter hastalığıı etkileye faktörlere ait parametre tahmilerii, jackkife yötemie dayalı lojistik regresyo modelii parametre tahmileri ile karşılaştırılması amaçlamıştır. Parametre tahmileri geriye doğru eleme yötemi ile yapılmış ve uygu regresyo modeli belirlemiştir. Veri aalizleride ve parametre tahmileride R ve SPSS 23.0 paket programları kullaılmıştır. Modeli sııflama yüzdelerii %80 i üzeride olduğu elde edilmiştir. Orjial lojistik regresyo aalizi souçları ile jackkife yötemie dayalı lojistik regresyo aalizi souçları icelediğide ise katsayı tahmileri arasıda çok az bir farklılık olduğu görülmüştür. Jackkife yotemide parametre tahmilerii stadart hatalarıı, klasik orekte elde edile parametre tahmilerii stadart hatalarıda, daha düşük olduğu belirlemiştir. Souç olarak; jackkife yötemie dayalı parametre tahmilerii oldukça etki olduğu elde edilmiş ve bu yöteme dayalı lojistik regresyo modelii, koroer arter hastalığıı tahmi etmede oldukça başarılı olduğu görülmüştür. Aahtar Kelimeler: Geriye doğru elimiasyo, Jackkife, Koroer arter hastalığı. 17 P a g e

2 1. Giriş Koroer arter hastalığı (KOAH), çeşitli geler, çevresel faktörler ve buları etkileşimi tarafıda belirlee kompleks bir multifaktöriyel hastalıktır ve e sık görüle kalp hastalığıdır (Güdoğdu vd. 2007, Yi vd. 2012, Elsaid vd. 2014). Bu sebeple Koroer Arter Hastalığıı etkileye faktörleri istatistiksel olarak belirlemesi amaçlamıştır. Bu amaç doğrultusuda Lojistik regresyo aalizide faydalaılmıştır. Regresyo yötemleri bir bağımlı değişkele bir ya da daha fazla bağımsız değişke arasıdaki ilişkiyi icelemek içi kullaılır. Bu yötemler arasıda e bilieleri basit ve çoklu doğrusal regresyo yötemleridir. Bu yötemlerde bağımlı değişke sayısal veri tipidedir. Bua karşılık çalışmalarda bağımlı değişkei kategorik/itel veri tipide olması durumu ile de sıklıkla karşılaşılır. Bu durumda parametre tahmilerii yapmak içi E Küçük Kareler yötemii kullaılması uygu olmamaktadır. Böyle durumlarda lojistik regresyo aalizi kullaılabilir. Nitel bağımlı değişkei kategori sayısıa kategorileri omial ya da ordial olmasıa göre farklı lojistik regresyo modelleri mevcuttur (Alpar. 2011). Lojistik regresyo. bağımsız değişke veya değişkeleri bağımlı değişke üzeride yapmış olduğu etkileri. bağımlı değişkei iki kategoriside birii gerçekleşme olasılığıı diğer kategorii gerçekleşme olasılığıyla karşılaştırılmasıda faydalaarak aaliz eder (Kleibaum ve Klei. 2002). Lojistik modeli biyolojik deeyleri aalizi içi kullaımı ilk olarak Berkso (1944) tarafıda öerilmiş. Coşku vd. (2004) Lojistik Regresyo aalizii diş hekimliğide bir uygulamasıı gösterirke, Vupa ve Çelikoğlu (2006) akciğer kaseri hastalar içi lojistik regresyo modeli öermişlerdir. Koroer arter hastalığıı tahmi edilmeside lojistik regresyo aalizi çeşitli çalışmalarda kullaılmıştır (Hirashiki et al., 2003; Horibe et. al., 2004; Çolak et. al., 2007). Jackkife örekleme yötemi güve aralıkları ve dağılımları elde edilmeside bir istatistiği stadart hatasıı tahmi etmeye olaak sağlar. Bazı durumlarda regresyo aalizii varsayımları sağlamayabilir. Böyle durumlarda jackkife yötemi kullaılabilir. Bu çalışmada koroer arter hastalığıı tahmii içi lojistik regresyo aalizie dayalı uygu modeli elde edilmesi ve bu model ile elde edile parametre tahmilerii jackkife yötemie dayalı olarak elde edile parametre tahmileri ile karşılaştırılması amaçlamıştır. İzleye bölümde lojistik regresyo aalizi ve jackkife yötemi üzeride durulmuştur. 2. Lojistik Regresyo Aalizi Lojistik regresyoda bağımlı/yaıt değişkei değerii kestirilmesi ile ilgileilmez. Buu yerie bağımlı değişkei 1 değerii alması olasılığı (riskli durum 1 olarak belirlediğide) tahmi edilmeye çalışılır. Elde edile souç 0 ile 1 arasıda değerler alabilir. Modelde iki ya da daha fazla bağımsız değişke olması durumuda çoklu lojistik regresyo yötemide yararlaılır. İlgileile değişkeleri sayısı p olmak üzere bağımsız değişkeler vektörü X ( X1, X 2,..., X p ) ile gösterilsi. Burada çoklu lojistik regresyo modeli; ( 0 1x1 2x2... pxp) e ( x) P( Y 1/ x) 1e 1e ( 0 1x1 2x2... pxp ) ( 0 1x1 2x2... pxp ) 1 (1) biçimide verilir (Alpar, 2011). Bu model bağımlı değişkei odds u türüde aşağıdaki gibi belirtilebilir. ( x) e 1 ( x) ( 0 1x1 2x2... pxp) (2) Odds u doğal logaritması alıarak lojit döüşüm ise aşağıdaki gibi yapılmış olur. ( x) lojit ( x) l 1 ( x ) (3) Odds u doğal logaritması alıdığıda model doğrusal modele döüşür. 18 P a g e

3 ( x) g( x) l 0 1x1 2x2... px 1 ( x) p (4) Çoklu lojistik regresyo aalizide e az değişke ile e iyi uyuma sahip model elde edilmek isteir. Bu amaçla veriye e iyi uya modeli belirlemek içi ileriye yöelik ekleme (forward) ve geriye doğru eleme (backward) gibi adımsal yötemlerde yararlaılır. İleriye yöelik seçim yötemide sadece sabiti olduğu bağımsız değişkeleri olmadığı model ile işleme başlaır. Modele eklediğide log olabilirlik üzeride e fazla değişime ede ola bağımsız değişke belirleir ve bu değişke modele alıır. Eklee değişkei modele katkısı öemsiz buluaa kadar modele bağımsız değişke eklemeye devam edilir. Geriye doğru eleme yötemide ise ilk aşamada tüm değişkeler modele alıır. Her adımda modelde çıkartıldığıda sapmada e küçük artışa sebep ola değişke modelde çıkarılır Jackkife Yötemi Jackkife yeide örekleme yötemi bir istatistiği yalılık miktarıı ve stadart hatasıı tahmi etme olaağı sağlar. İlk olarak Queouille (1956) tarafıda bir istatistiği yalılığıı ortada kaldırmak içi kullaılmıştır. Daha sora Tukey (1958) tarafıda hipotez testi ve güve aralıkları içi kullaılmıştır. Örekleme, yığıda örekleri seçilmesi işlemidir. Bir öreklemi e öemli özelliği; yığı hakkıda geçerli ve tutarlı tahmilere ulaşabilmek içi e küçük örekleme hatasıı elde edebilmesidir. Buula birlikte, parametrik tahmi yötemlerii, örek sayısı küçük olduğuda ve ayı zamada parametrik test varsayımları sağlamadığıda güveilir souçlar vermedikleri biliir. Böyle durumlarda yeide örekleme yötemleri kullaılabilir. Bularda biri Jackkife Yötemidir. Jackkife yötemi, yığı parametrelerii tahmiide güve aralıkları elde ederek örekleme hatasıı e aza idirecek şekilde geliştirilmiştir. X1, X 2,..., X rasgele öreği içi ˆ Sx ( ) tahmi edicisi içi ilgilediğimizi düşüelim. Jackkife yötemie göre i. gözlem çıkarıldığıda yei örek aşağıdaki gibi elde edilir. x x, x,..., x, x,..., x ; i 1,2,..., ( i) 1 2 i1 i1 Yei öreğe dayalı tahmi edici ise ˆ Sx ( ) ( i) ( i) biçimide elde edilir. Bu durumda yalılık miktarı aşağıdaki gibi olur: yalılık= ˆ (.) ˆ Burada ˆ (.), parametresii tahmii olup aşağıdaki gibi elde edilir. ˆ (.) i1 ˆ () i Stadart hataı Jackkife tahmii; 19 P a g e

4 sh jack i1 ˆ ˆ ( i) (.) 1 2 1/2 olarak verilir (Fewick, 1979; Abdi ve Williams, 2010) Jackkife Delete-d Algoritma Lojisitk regresyo aalizide jackkife yötemii uygulaması aşamasıda, mevcut bağımlı ve bağımsız değişkelerde her defasıda bir gözlem hariç tutularak, e çok olabilirlik yötemi uygulaır. Bu süreç örek hacmi kez tekrar edilir. Daha sora, model parametrelerii tahmiie ait pseudo değerler, model stadart hatası, modeli belirleme katsayısı ve korelasyou hesaplaır. Jackkife yötemie dayalı regresyo modeli, hesaplaa değerleri ortalaması alıarak tahmi edilir. Bu algoritmaı adımları aşağıdaki gibidir (Efro, 1982; Şahiler ad Topuz, 2007): X, X,..., X rasgele örek seçilir ve örek d büyüklüğüde S Adım 1: Yığıda hacimli bir 1 2 bağımsız gruba bölüür. Adım 2: Tüm örekte ilk d gözlem seti çıkarılır ve (-d) boyutuda kala gözlem kümeside Maksimum Olabilirlik yötemi ile logistic regresyo katsayıları ˆ tahmi edilir. Adım 3: İkici d gözlem çıkarılır ve (-d) boyutuda kala gözlem kümeside e çok olabilirlik yötemi ile logistic regresyo katsayıları ˆ tahmi edilir. Adım 4: hacimli örekte her bir d gözlem çıkarılır ve katsayılar ˆ jk biçimide gösterilerek tahmi edilir. Burada ˆ jk jackkife regresyo katsayısı vektörüdür. Adım 5: ˆ j1 ˆ j2,,..., ˆ js Jackkife tahmilerii olasılık dağılımı ˆ j Adım 6: Jackkife regresyo katsayılarıı tahmii aşağıdaki gibi elde edilir. F elde edilir. ˆ j k 1 ˆ s jk ( jk ). 3. Materyal ve Metot Bu çalışmada parametre tahmileri geriye doğru eleme yötemi ile yapılmıştır ve uygu regresyo modeli belirlemiştir. Parametre tahmileride E Küçük Kareler metodu kullaılmıştır. Hata terimlerii deeysel dağılımı ˆ tahmileride elde edilmiştir. Veriler Bitlis Kamu Hastaeleri Geel Birliğide gerekli iziler alıarak, 2017 yılıda Bitlis Devlet Hastaesi Kardiyoloji Bölümüe başvura 170 Koroer Arter hastası ve 170 sağlam olmak üzere 340 kişide elde edilmiştir. Veriler üzerie lojistik regresyo aalizi uygulaarak, hastaları koroer arter hastalığı riski taşıyıp taşımadıklarıa ilişki açıklayıcı bir model oluşturulmaya çalışılmıştır. Veri aalizleride ve parametre tahmileride R ve SPSS 23.0 istatistik paket programları kullaılmıştır. Koroer Arter hastalığıı tahmiide kullaıla bağımsız değişkeler yaş, hemoglobi, ürik asit, yüksek dasiteli lipoprotei (HDL), düşük dasiteli lipoprotei (LDL), toplam bilirubi, direkt bilirubi olarak seçilmiştir ve e uygu değişkeler geriye doğru eleme yötemi ile belirlemiştir. Bağımlı değişke olarak koroer arter hastalığı alımıştır. Daha sora ayı veri seti üzeride jackkife yötemi uygulaarak parametre tahmileri yapılmıs ve parametre tahmileri elde edilmiştir. E so adım olarak 20 P a g e

5 da lojistik regresyo soucu elde edile parametreleri tahmi değerleri ile jackkife yötemi soucu elde edile parametreleri tahmi değerleri karşılaştırılmıştır. Üzeride çalışıla yığıı tüm gözlemlerii parametre tahmii içi kullamak hem zama kaybıa yol açacak hem de maliyeti arttıracaktır. Yeide örekleme yötemleride biri ola jackkife yötemii bilgisayar destekli olarak kullaımı bu soruları ortada kaldırıp büyük avatajlar sağlamaktadır. Hastaları koroer arter hastalığı riski taşıyıp taşımama riski üzerie yapıla bu çalışmada, jackkife yötemide elde edile souçları lojistik regresyo aalizi soucuda elde edile parametre tahmilerii stadart hataları ile karşılaştırılarak daha güveilir parametre tahmilere ulaşmak içi etkili olup olmadığı icelemiştir. Çalışmada Y i =1 olması hastada koroer arter varlığıı, Y i =0 ise yokluğuu ifade etmektedir. 4. Bulgular Tablo 1. Koroer Arter hastalığıı tahmiide kullaıla bağımsız değişkelere ait bazı taımlayıcı değişkeler Değişkeler Miimum Maksimum Ortalama Stadart sapma Yaş Hemoglobi Ürik asit HDL LDL Toplam bilirubi Direkt bilirubi Tablo 1 de Koroer Arter hastalığıı tahmiide kullaıla bağımsız değişkelere ait değerlere yer verilmiştir. Bu souçlara göre çalışmada kullaıla 340 koroer hastasıı yaş aralığıı 38 ile 78 arasıda değiştiği ve yaş ortalamasıı 55 olduğu görülmüştür. Hastaları ortalama hemoglobi değerii 13.73±2.02, ortalama ürik asit değerii 5.01±1.32, ortalama HDL değerii 37.23±8.08, ortalama LDL değerii ±25.03, ortalama toplam bilirubi değerii 0.76±0.27 ve ortalama direk bilirubi değerii ise 0.17±0.09 olduğu belirlemiştir. 21 P a g e

6 Tablo 2. Lojistik regresyo modelie dahil edilecek değişkeleri belirlemesi ve aaliz souçları Stadart Wald Odds % 95 güve aralığı Adım Değişke Katsayı p-değeri hata istatistiği oraı Alt sıır Üst sıır Yaş < Hemoglobi Ürik asit HDL LDL < Tbilirubi < Dbilirubi Sabit < Yaş < Hemoglobi Ürik asit LDL < Tbilirubi < Dbilirubi Sabit < Yaş < Hemoglobi Ürik asit LDL < Tbilirubi < Sabit < Yaş < Ürik asit LDL < Tbilirubi < Sabit < Tablo 2 de, geriye doğru eleme yötemii 1. adımıda modele bütü değişkeler dahil edilmiştir. HDL değişkeii p-değeri daha öcede belirlemiş ola kritere göre e büyük olarak saptamış olup modele katkısıı e az olduğu belirleerek modelde cıkartılmış ve 2. adıma geçilmiştir. 2. adımda tekrar p değerlerii karşılaştırılması soucu direkt bilirubi değişkeii diğer değişkelere göre öemlilik seviyesi az bulumuş ve elimie edilerek diğer adıma geçilmiştir. 4. adım soucuda modelde atılacak değişke kalmamış olup yaş, ürik asit, LDL ve toplam bilirubi değişkeleri modele katkısı e yüksek ola değişkeler olarak belirlemiştir (Tablo 2). Tablo 3. Hosmer- Lemeshow Uyum iyiliği testi Adım Ki-kare Serbestlik derecesi p-değeri Tablo 3 de elde edile souçlara göre p>0.05 olduğuda teorik modeli verileri iyi temsil ettiği elde belirlemiştir. Bu test modeli bir bütü olarak uyumuu değerledirmektedir. 22 P a g e

7 Tablo 4. Model özeti Adım -2 Log olabilirlik Cox & Sell R 2 Nagelkerke R Tablo 4 icelediğide 1. adımda; bağımsız değişkeleri, bağımlı değişkedeki toplam değişimi Cox-Sell e göre %64.7 ve Nagelkerke ye göre % 89.6 sıı açıkladığı elde edilmiştir. Diğer adımlarda da bezer biçimde bağımsız değişkeleri bağımlı değişke ola Koroer arter hastalığıı etkileme dereceleri yer almaktadır. Adım Gözlee Koroer arter hastalıgı Tablo 5. Sııfladırma Tablosu Tahmi edile Koroer arter hastalıgı Kotrol Hasta Sııfladırma yüzdesi Kotrol Hasta Toplam yüzde 81.8 Koroer arter hastalıgı Kotrol Hasta Toplam yüzde 81.8 Koroer arter hastalıgı Kotrol Hasta Toplam yüzde 81.8 Koroer arter hastalıgı Kotrol Hasta Toplam yüzde 84.1 Tablo 5 de 0.50 kritik değer (cut value) ve tahmi edile olasılıklar yardımıyla sııfladırma souçları yer almaktadır. Tablo 5 de görüldüğü gibi 4. adımda hasta olmayaları % 83.5 i, hasta olaları %84.7 si doğru tahmi edilmiştir. Geel olarak ise % 84.1 i doğru tahmi edilmiştir. Bu değerler lojistik regresyo aalizi içi oldukça uygu değerlerdir. Değişke Katsayı Tablo 6. Lojistik regresyo modelie dahil edile değişkeler Stadart hata Wald istatistiği Serbestlik derecesi p-değeri Odds oraı % 95 güve aralığı Alt sıır Üst sıır Yaş < Ürik asit LDL < TBilirubi < Sabit < Tablo 6 icelediğide odds oralarıa göre; yaş arttıkça Koroer Arter Hastası olma oraıı kat, ürik asit değeri arttıkça kat, düşük yoğuluklu lipoprotei (LDL) arttıkça kat, toplam 23 P a g e

8 bilirubi arttıkça ise kat arttığı belirlemiştir. Souç olarak yaş, ürik sit, LDL ve toplam bilirubi koroer arter hastalığıı belirlemede öemli bağımsız değişkeler olarak bulumuştur. Lojistik regresyo modeli ise aşağıdaki gibi elde edilmiştir. P( KOAH 1) yas0.371ürikasit LDL2.389toplambilirubi e 1 Tablo 7. Jackkife yötemie dayalı lojistik regresyo aalizi souçları Orijial lojistik regresyo aalizi Jackkife yötemie dayalı lojistik regresyo aalizi Değişke Parameter Stadart Parameter Stadart tahmii hata tahmii hata Yaş Ürik asit LDL Toplam Bilirubi Sabit Tablo 7 de Jackkife yeide orekleme soucu kurula model katsayıları ve geriye doğru eleme yötemi soucuda elde edile model katsayıları verilmiştir. Jackkife yötemie göre elde edile model katsayılarıı, logistic regresyo yötemi ile elde edile model katsayılarıda çok düşük düzeyde sapmalar gösterdiği görülmüştür. Buu yaısıra, modellere ait stadart hatalar icelediğide ise Jackkife yötemie dayalı modeli stadart hatalarıı, geriye doğru eleme yotemi soucuda elde edile lojistik regresyo modelii stadart hatalarıda daha düşük olduğu belirlemiştir. 5. Souç Lojistik regresyo aalizide bağımsız değişkeler sürekli değişkeler ve kategorik olarak bir arada kullaılabilmektedir. Bağımsız değişkeleri dağılımları üzeride hiçbir kısıtlayıcı varsayım bulumamaktadır. Bu sebepte dolayı özellikle tıp alaıda hastalığı birey üzeride var olup olmadığıı araştırıldığı çalışmalarda yoğu bir şekilde kullaılmaktadır. Bu amaç doğrultusuda yapıla bu çalışmada hastaeye başvura bireylerde koroer arter hastalığıı olup olmadığıa ilişki bir ayrımsama modeli lojistik regresyo aalizi kullaılarak elde edilmeye çalışılmıştır. Lojistik Regresyo Aalizii kullaım amacı, e az değişkei kullaarak e iyi uyuma sahip olacak şekilde bağımlı değişke ile bağımsız değişkeler arasıdaki ilişkiyi taımlayabilmek ve amaca yöelik kabul edilebilir bir model kurmaktır. Bu yötemde, bağımsız değişkeleri bağımlı değişke üzerideki etkileri olasılık olarak hesaplaarak risk faktörlerii olasılık olarak belirlemesi sağlaır. Çalışmada Koroer arter hastası olma durumu e az değişkele tahmi edilmeye çalışılmış ve bu değişkeleri yaş, ldl ve trigliserit olduğu belirlemiştir. Böylece az sayıda değişkele zamada kazaarak, işlem kolaylığı sağlamıştır. Bu aşamada sora yeide örekleme yötemleride biri ola jackkife yötemiyle örekler elde edilmiş ve lojistik regresyo aalizi soucuda elde edile modelle karşılaştırılıp hagisii daha etkili parametre tahmileri elde ettiği ortaya koulmaya çalışılmıştır. Çalışmada elde edile souçlara göre yaş arttıkça Koroer Arter Hastası olma oraıı kat, ürik asit değeri arttıkça kat, düşük yoğuluklu lipoprotei (LDL) arttıkça kat, toplam bilirubi arttıkça ise kat arttığı belirlemiştir. Souç olarak yaş, ürik sit, LDL ve toplam bilirubi koroer arter hastalığıı belirlemede öemli bağımsız değişkeler olarak bulumuştur. Orjial lojistik regresyo aalizi souçları ile jackkife yötemie dayalı lojistik regresyo aalizi souçları icelediğide ise katsayı tahmileri arasıda çok az bir farklılık olduğu görülmüştür. Jackkife yotemide parametre tahmilerii stadart hataları geellikle klasik orekte elde edile parametre tahmilerii stadart hatalarıda, daha düşük bulumustur. Bu souç bize jackkife yötemie dayalı parametre tahmilerii oldukça etki olduğu göstermektedir. 24 P a g e

9 Delete d R-Algoritma #This R code defies a fuctio 'jack' for performig delete-d jackife for logistic regressio #p is the o of cols i the data. p=8 the there is 1 dept. var ad 7 idept vars #d is the o of rows to be deleted jack=fuctio(dataset,p,d) { <- legth(dataset[,1]) #the sample size u<- comb(,d) #Assig the matrix of all possible combiatios to u output<- matrix(0,col=p, row=col(u)) #defie the output y<- dataset[,1] #the respose vector x<- dataset[,2:p] #the matrix of covariates for (i i 1:(col(u))) { dd<-c(u[,i]) y<-y[-dd] #delete d rows of the idepedet var x<-x[-dd,] #delete d rows of the depedet var logreg<- glm(y~x[,1]+x[,2]+ x[,3]+ x[,4]+ x[,5]+ x[,6]+ x[,7], family = biomial(lik = "logit")) coef<- logreg$coef output[i,]<- c(coef) #store the regressio coefficiets } } #This part ca be used to obtai a jackife estimate of the regressio coefficiets u<- jack(dataset,8,1) u[,1] beta<-c(mea(u[,1]),mea(u[,2]),mea(u[,3]),mea(u[,4]),mea(u[,5]),mea(u[,6]),mea(u[,7])) Refereces [1] Güdoğdu, F., Özdemir, Ö., Sevimli, S., Açıkel, M., Pirim, İ., Karakelleoğlu, Ş., et al. (2007). The relatioship betwee iterleuki-6 polymorphism ad the extet of coroary artery disease i patiets with acute coroary sydrome. Arch. Turk. Soc. Cardiol., 35(5): [2] Yi, Y., Li, J., Zhag, M., Wag, J., Li, B., Liu, Y., et al. (2013). Ifluece of iterleuki-6 gee -174g>c polymorphism o developmet of atherosclerosis: a meta-aalysis of 50 studies ivolvig, subjects. Gee, 529: [3] Elsaid, A., Abdel-Aziz, A.F., Elmougy, R., Elwaseef, A.M. (2014). Associatio of polymorphisms G (-174) C i IL-6 gee ad G (-1082) A i IL-10 gee with traditioal cardiovascular risk factors i patiets with coroary artery disease. Idia J. Biochem. Biophys., 51: [4] Alpar, R. (2011). Uygulamalı Çok Değişkeli İstatistiksel Yötemler, Detay Yayıcılık, Akara. [5] Kleibaum, D., Klei, M. (2002). Logistic Regressio- A Self Learig Text, II ed. New York, NY: Spriger. [6] Berkso, J. (1944). Applicatio of the logistic fuctio to bio-assay, J. Am. Stat. Assoc., 39(227): [7] Coşku, S., Kartal, M., Coşku, A., Birca, H. (2004). Lojistik regresyo aalizii icelemesi ve diş hekimliğide bir uygulaması, Cumhuriyet Üiversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Dergisi, 7(1): P a g e

10 [8] Vupa, O., Çelikoğlu, C. (2006). Model buildig i logistic regressio models about lug cacer data, Aadolu Uiv. J. Sci. Tech., 7(1): [9] Hirashiki, A., Yamada, Y., Murase, Y., Hirashiki, A., Yamada, Y., Murase, Y. (2003). Associatio of gee polymorphisms with coroary artery disease i low- or high-risk subjects defied by covetioal risk factors, J. Am. Coll. Cardiol., 42(8): [10] Horibe, H., Yamada, Y., Ichihara, S., Watarai, M., Yaase, M., Takemoto, K., et al. (2004). Geetic risk for resteosis after coroary balloo agioplasty, Atherosclerosis, 174(1): [11] Çolak, C., Çolak, M.C., Orma, M.N. (2007). The Compariso of logistic regressio model selectio methods for the predictio of coroary artery disease, The Aatol. J. Cardiol., 7(1): [12] Queouille, M. H. (1949). Approximate tests of correlatio i time series. J. Roy. Stat. Soc., 11, [13] Tukey, J. W. (1958). Bias ad cofidece i ot-quite large sample. A Math Stat, 29, 614. [14] Fewick, I. (1979). Techiques i Market Measuremet: The Jackkife. Joural of Marketig Research, [15] Abdi, H. ad Williams, J. L. (2010). Jackkife i Neil Salkid (Ed.). Eeyclopedia of Research Desig. [16] Efro, B. ad Tibshirai, R. J. (1993). A Itroductio to the Boot-strap.Chapma ad Hall,New York. [17] Sahiler, S. ad Topuz, D. (2007). Bootstrap ad Jackkife Resamplig Agorithm for Estmatio of Regressio Parameters. J. Appl. Quat. Meth. 2, 2: P a g e