SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI

Transkript

1 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MM306 SİSTEM DİNAMİĞİ SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI Kutuplar, Sıfırlar ve Zama Cevabı Kavramı Birici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı İkici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı Yüksek Mertebede Sistemleri Zama Cevabı 1

2 MM306 EET305 SİSTEM OTOMATİK DİNAMİĞİ KONTROL I İlk iki derste, bir sistemi asıl modelleeceği üzeride durduk. İlk derste sistemleri trasfer foksiyou modelii, ikici derste ise durum-uzay modelii elde ettik. Bu derste ise, elde edile bu matematiksel modeli kullaarak sistemi aalizii yapacağız. Aaliz de kasıt, sistemi belirli bazı giriş siyallerie karşı tepkisii, yai sistemi çıkış değişkeii zamaa göre değişimii icelemesidir. Bugükü derste sistemleri Geçici Durum Cevabı ı (Trasiet Respose) iceleyeceğiz. Haftaya ise Kalıcı Durum Cevabı ı (State-State Respose) iceleyeceğiz. Peki bu iki kavram e alama geliyor? Aslıda daha öce Trasfer Foksiyou Yaklaşımı ile Durum-Uzay Yaklaşımıı karşılaştırırke, trasfer foksiyolarıı, sistemi geçici durum cevabıı icelemek içi daha kullaışlı olduğuu söylemiştik acak yie Geçici Durum Cevabı kavramıı e alama geldiğii açıklamamıştık. Şimdi bu iki kavramı taıtalım. 2

3 MM306 EET305 SİSTEM OTOMATİK DİNAMİĞİ KONTROL I Bir elektrik motorua, 1500 d/d hızla dömesii sağlayacak bir giriş siyali uyguladığıı düşüelim. Aşağıdaki grafik, sistem çıkışıı (motor hızı) zamaa göre değişimii göstere tipik bir Zama Cevabı grafiğidir. Motor hızı t=0 aıda 0 d/d değeride başlayıp, zama geçtikçe artar ve arzu edile referas değere (1500 d/d) ya da oa yakı bir değere yakısar. Sistemi zama cevabıı, t=0 aıda itibare zama sosuza giderke aldığı değere ulaşaa kadarki kısmıa Geçici Durum Cevabı, buda soraki kısmıa, yai sistem cevabıı kalıcı bir değere yerleştiği ve artık hep o değerde kaldığı kısmıa ise Kalıcı Durum Cevabı deir Motor Hızı (d/d) Geçici-Durum Cevabı Referas Giriş Kalıcı-Durum Cevabı Kalıcı-Durum Hatası Zama Cevabı 0 Zama (s)

4 MM306 EET305 SİSTEM OTOMATİK DİNAMİĞİ KONTROL I Sistem çıkışı kalıcı duruma eriştikte sora, referas değer ile sistem çıkışıı fial değeri arasıda, sair sebeplerde, şekildeki gibi bir fark oluşabilir. Referas değer ile sistem çıkışıı kalıcı durumdaki değeri arasıdaki bu farka Kalıcı Durum Hatası deir Motor Hızı (d/d) Geçici-Durum Cevabı Referas Giriş Kalıcı-Durum Cevabı Kalıcı-Durum Hatası Zama Cevabı 0 Zama (s)

5 MM306 EET305 SİSTEM OTOMATİK DİNAMİĞİ KONTROL I Kotrol sistemlerii aalizi ve tasarımı 3 temel performas kriteri göz öüde buludurularak yapılır: Geçici-Durum Cevabı Kalıcı-Durum Cevabı Kararlılık Kararlılık, e özesiz taımla, sıırlı bir giriş içi, sistem çıkışıı da sıırlı kalmasıdır. Kararlılık, e öemli performas kriteridir. Bugükü dersimizde geçicidurum cevabıı, öümüzdeki derslerde ise kararlılık ve kalıcı-durum cevabıı iceleyeceğiz. Not: Yukarıda sıralaa performas kriterlerie ek olarak, kotrol sistemlerii aalizide ve tasarımıda göz öüde buludurula başka kriterler de mevcuttur. Acak e temel ve kritik ola kriterler, yukarıda sıralaa üç kriterdir. Öreği bir sistem kararlı değilse, diğer kriterleri hiçbir alamı yoktur! 5

6 MM306 EET305 SİSTEM OTOMATİK DİNAMİĞİ KONTROL I Trasfer foksiyou bilie bir sistemi, belirli bir giriş siyali içi çıkışıı zamaa göre değişimi, Ters Laplace Döüşümü yoluyla elde edilebilir. Acak Ters Laplace döüşümüü hesaplamak her zama çok basit değildir ve geellikle zama alır. Buu yerie, Ters Laplace Döüşümü alımada, trasfer foksiyouu kutupları ve sıfırlarıı sağladığı bilgi kullaarak, sistemi zama cevabı elde edilebilir. Kutupları ve sıfırları taımıı ilk derste vermiştik. Kutuplar, trasfer foksiyouu paydasıı sıfır yapa değerlerke, Sıfırlar trasfer foksiyouu payıı sıfır yapa değerlerdi. Kutuplar ve sıfırlar yoluyla elde edile zama cevabı bilgisii, örek bir birici mertebede sistem üzeride gösterelim. 6

7 MM306 EET305 SİSTEM OTOMATİK DİNAMİĞİ KONTROL I Trasfer foksiyou Gs () s 2 ( s 5) ola bir sistemi göz öüde buluduralım. Bu sistemi s=-5 oktasıda bir kutbu ve -2 oktasıda bir sıfırı vardır. Hatırlaacağı üzere kutupları s-düzlemide bir işareti ile, sıfırları ise işareti ile gösteriyorduk. Şimdi bu sisteme birim adım girişi uygulaması durumuda, daha öce gördüğümüz kısmi kesirlere ayırma yoluyla Ters Laplace Döüşümüü alıp, sistemi zama cevabıı, yai çıkışı zamaa göre değişimii elde edelim: Cs () s 2 A B s( s 5) s s 5 2 / 5 3 / 5 s s c() t 5 5 5t e 7

8 MM306 EET305 SİSTEM OTOMATİK DİNAMİĞİ KONTROL I c() t t e Bir sistemi çıkış cevabı iki parçada oluşur: Doğal Cevap ve Zorlamış Cevap. Giriş foksiyoudaki (birim adım foksiyou) kutup, zorlamış çözümü üretir. Trasfer foksiyouu kutbu ise doğal çözümü üretir. Reel ekse üzerideki bir kutup, yukarıda görüldüğü üstel olarak söümlee bir zarf üretir. 8

9 MM306 EET305 SİSTEM OTOMATİK DİNAMİĞİ KONTROL I Ör: Aşağıda verile sistem içi, çıkışı zamaa göre değişimii Ters Laplace Döüşümü yötemiyle buluuz. Çıkış ifadesii doğal ve zorlamış kısımlarıı belirtiiz. Rs () 1 s 3 Cs () s ( s2)( s4)( s5) Cs () K K K K s s 2 s 4 s 5 C: Zorlamış Cevap Doğal Cevap C() s K K e K e K e 2t 4t 5t Zorlamış Cevap Doğal Cevap 9

10 SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI Kutuplar, Sıfırlar ve Zama Cevabı Kavramı Birici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı İkici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı Yüksek Mertebede Sistemleri Zama CevabI 10

11 Şimdi birici mertebede sistemleri zama cevabıı, bu tür sistemleri performas spesifikasyolarıı taımlamak amacıyla tartışalım. Herhagi bir sıfıra sahip olmaya bir birici mertebede sistemi blok diyagramı ve kutup-sıfır haritası şekildeki gibidir. Eğer bu sisteme birim adım girişi, R(s)=1/s, uygulaırsa, bu durumda çıkışı ifadesi şu şekilde olur: a C( s) R( s) G( s) s s a Ters Laplace döüşümü alıırsa: c( t) c ( t) c ( t) 1 e f at Yai birim adım girişide gele kutup, zorlamış cevap c f (t)=1 bileşeii ve sistemi a oktasıdaki kedi kutbu doğal cevap c (t)=e -at bileşeii üretir. 11

12 Birici mertebede sistemleri zamaa cevabıı geel ifadesi ola c( t) 1e at foksiyouu zamaa göre değişimi şekildeki gibidir. Birici mertebede sistemler içi üç adet performas kriteri taımlamıştır: 1. Zama Sabiti, T c Sistem cevabıı, fial değerii %63 üe kadar ulaşması içi geçe süredir. τ ya da T c ile gösterilir ve 1 T c a formülüyle hesaplaır. Ayı zamada sistem çıkış eğrisii t=0 aıdaki teğetii eğimi de zama sabitii verir. 12

13 2. Yükselme Zamaı, T r Sistem cevabıı, fial değerii %10 uda %90 ıa ulaşması içi geçe süredir. T r ile gösterilir ve 2.2 T r a formülüyle hesaplaır. 3. Yerleşme Zamaı, T s Sistem cevabıı, fial değerii %2 eksiğie/fazlasıa ulaşıp hep o %2 lik badı içide kalması içi geçe süredir, T s ile gösterilir ve 4 T s a formülüyle hesaplaır. 13

14 Ör: Bir sistemi trasfer foksiyou aşağıdaki gibiyse, bu sistemi zama sabitii, yerleşme zamaıı ve yükselme zamaıı buluuz. C: T 0.02 s T T c s r 0.08 s s Gs () 50 s 50 14

15 SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI Kutuplar, Sıfırlar ve Zama Cevabı Kavramı Birici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı İkici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı Yüksek Mertebede Sistemleri Zama Cevabı 15

16 Tabiattaki sistemleri öemli bir kısmı ikici mertebede sistemlerdir. İkici mertebede sistemleri zama cevabı, birici mertebede sistemlerde olduğu gibi tek tip değildir. Kutupları s-düzlemideki lokasyoua göre, çıkışı zamaa göre değişimi 4 farklı formda olabilir (eğer sistem kararsız değilse). Birim adım girişi içi ikici mertebede sistemleri bu 4 farklı cevap türü, birer sayısal örekle, takip ede slaytta toplu halde gösterilmiş, daha sora bu cevap türlerii her biri ayrı ayrı icelemiştir. 16

17 Aşırı Söümlü Düşük Söümlü Söümsüz Kritik Söümlü Eğer sistemi, egatif reel ekse üzeride iki tae kutbu varsa, sistem çıkışı referas değere osilasyo yapmada yakısar. Bu cevap türüe Aşırı Söümlü cevap deir. Eğer sistemi karmaşık eşleik iki kutbu varsa, sistem çıkışı referas değere, söümlee bir osilasyo yaparak yakısar. Bu cevap türüe Düşük Söümlü cevap deir. Eğer sistemi imajier ekse üzeride eşleik iki kutbu varsa, sistem çıkışı hiç söümlemeye sabit frekaslı osilasyo yapar. Bu cevap türüe Söümsüz cevap deir. Eğer sistemi egatif reel ekse üzeride çakışık iki kutbu varsa, sistem çıkışı hiç osilasyo yapmaksızı ve diğer tüm cevap türleride daha hızlı bir biçimde referas değere yakısar. Bu cevap türüe Kritik 17 Söümlü cevap deir.

18 Bu dört cevap türüü birim adım girişi içi tipik eğrileri aşağıda tek bir grafikte gösterilmiştir. Kritik söümlü cevap türü diğerlerie göre e hızlısıdır. Söümsüz Düşük Söümlü Kritik Söümlü Aşırı Söümlü 18

19 İkici mertebede sistemler içi, kutupları lokasyoua göre cevap türlerii taıttık. Şimdi bu cevap türlerii karakteristiklerii temsil ede iki adet temel büyüklük taımlayalım: Doğal Frekas (ω ): İkici mertebede bir sistemi doğal frekası, sistemi söüm olmaksızı yaptığı osilasyou frekasıdır. Söüm Oraı (ζ): İkici mertebede bir sistemi söüm oraı, sistemi yaptığı osilasyou söüm miktarıı temsil ede büyüklüktür. Öreği Söümsüz Udamped cevap türüde, adıda da alaşılacağı üzere söüm yoktur ve sistem sürekli olarak osilasyo yapar. Bu edele de bu cevap türüde ζ=0 değerie sahiptir. İkici mertebede bir sistemi trasfer foksiyouu geel ifadesi Gs () b 2 s as b şeklidedir. Yukarıda taıtıla iki büyüklük, a ve b ciside şeklide hesaplaır. b a /2 19

20 Gs () b b 2 s as b Dolayısıyla ikici mertebede bir sistemi trasfer foksiyou Doğal Frekas ve Söüm Oraı ciside aşağıdaki gibi yazılabilir: a /2 Gs () s s Ör: Aşağıda trasfer foksiyou verile ikici mertebede sistemi doğal frekasıı ve söüm oraıı buluuz. C: 2 Gs () 36 6 rad/s s s

21 Daha öce ikici mertebede bir sistemi trasfer foksiyouu söüm oraı ve doğal frekas ciside Gs () s s şeklide ifade edilebileceğii bulmuştuk. Dolayısıyla bu deklem kullaılarak, kutupları lokasyou da söüm oraı ve doğal frekas ciside ifade edilebilir. Eğer yukarıdaki deklemi paydasıı kökleri buluursa, sistemi kutupları da söüm oraı ve doğal frekas ciside s 2 1,2 1 şeklide hesaplaır. Elde edile bu deklem, bir sistemi cevap türüü ζ değerie bağlı olduğuu da gösterir. Öreği ζ=1 ise, sistem egatif reel ekse üzeride çakışık kutuplara sahip olacaktır ve cevap türü Kritik Söümlü Cevap olacaktır. 0 Söümsüz 0< <1 Düşük Söümlü 1 Kritik Söümlü 1 Aşırı Söümlü 21

22 Ör: Aşağıda verile sistemleri herbiri içi ζ değerii hesaplayıız ve bua dayalı olarak sistemi birim adım girişi içi üreteceği cevap türüü ifade ediiz. C: a) Aşırı Söümlü b) 1 Kritik Söümlü c) Düşük Söümlü Böylece Ters Laplace Döüşümü almaya gerek kalmaksızı sistemi cevap türüü belirlemiş olduk. 22

23 Alıştırma: Aşağıda verile sistemleri herbiri içi ζ ve ω değerlerii hesaplayıız ve bua dayalı olarak sistemi birim adım girişi içi üreteceği cevap türüü ifade ediiz. a. G( s) b. G( s) c. G( s) d. G( s) s s s s s s s

24 Tabiattaki sistemleri öemli bir kısmıı ikici mertebede sistem olduğuu daha öcede söylemiştik. İkici mertebede sistemlerde e yaygı cevap türü ise Düşük Söümlü Cevap türüdür. Yai ikici mertebede sistemleri öemli bir kısmı, birim adım girişi içi düşük söümlü cevap üretirler. Bu edele ikici mertebede sistemleri zama cevabıı icelediğimiz bu alt bölümü geri kala kısmıda düşük söümlü ikici mertebede sistemler üzerie yoğulaşıp, bu sistemlere özgü bazı ek performas spesifikasyoları taımlayacağız. 24

25 İkici Mertebede Düşük Söümlü Sistemler İlk öce bu tür sistemler içi ek performas kriterlerii taımlayıp, daha sora bu performas kriterlerii kutup lokasyou ile ilişkiledireceğiz. Nihai amacımız e başta belirttiğimiz gibi sistemi trasfer foksiyouu Ters Laplace Döüşümüü almak suretiyle geçici durum aalizii yapmak yerie, trasfer foksiyouu sağladığı kutup lokasyou bilgisii kullaarak sistemi geçici durum aalizii yapmaktır. Şimdi düşük söümlü sistemler içi belirlemiş ola bu 4 adet performas kriterii taıtalım: 25

26 1. Tepe Zamaı Sistem cevabıı, maksimum (tepe) değerie ulaşması içi geçe süredir, T p ile gösterilir ve T p 1 formülüyle hesaplaır. 2. Yerleşme Zamaı Sistem cevabıı, fial değerii %2 eksiğie/fazlasıa ulaşıp hep o %2 lik badı içide kalması içi geçe süredir, T s ile gösterilir ve T s 4 formülüyle hesaplaır. 2 26

27 3. Yüzde Aşım Sistem cevabıı, fial değeri ile maksimum (tepe) değeri arasıdaki yüzdesel oradır, %OS ile gösterilir ve 2 1 % OS e 100 Yüzde aşım, ayı zamada taımı gereği, doğruda grafik üzerideki veri kullaılarak da hesaplaabilir: cmax cfial % OS 100 c fial formülüyle hesaplaır. Yukarıdaki formüle göre, verile bir yüzde aşım (%OS) değeri içi sistemi söüm oraıı vere formül, deklemi her iki tarafıı doğal logaritmasıı alarak buluabilir: l % OS / l % OS /100

28 r 4. Yükselme Zamaı Sistem cevabıı, fial değerii %10 uda %90 ıa ulaşması içi geçe süredir. T r ile gösterilir ve ikici mertebede sistemlerde aalitik olarak hesaplaması içi bir yötem mevcut değildir. Geellikle bir yaklaşım soucu elde edile aşağıdaki formül kullaılarak, bilie ζ ve ω değerleri içi, yükselme zamaı T formülüyle hesaplaır. 28

29 Ör: Bir sistemi trasfer foksiyou aşağıdaki gibiyse, bu sistemi yüzde aşımıı, yerleşme zamaıı, tepe zamaıı ve yükselme zamaıı buluuz. 100 Gs () 2 s 15s100 C: rad/s % OS e T T T s p r s s s 2 29

30 Şimdi de ikici mertebede düşük söümlü bir sistemi geçici durum cevabıa ilişki bu performas kriterlerii, sistem kutuplarıı lokasyou ile ilişkiledirelim. Hatırlaacağı üzere ikici mertebede düşük söümlü bir sistem karmaşık eşleik kutuplara sahipti. Bu kutupları reel ve imajier bileşelerii s j 1,2 d d olarak isimledirelim. Aşağıdaki şekilde özetlediği üzere, kutupları bu reel ve imajier bileşeleri ile söüm oraı ve doğal frekas arasıda d 1 d ilişkisi mevcuttur (bu bağıtıları asıl türetebilirsiiz?). Ayrıca yie şekilde görüldüğü gibi, 2 2 d d cos bağıtıları mevcuttur. 2 30

31 Elde edile bu bağıtılara göre tepe zamaı ve yerleşme zamaı da kutupları lokasyoua ilişki bileşeler ciside ifade edilebilir: T T s p 4 4 d 1 2 d 31

32 Ör: Kutup haritası aşağıda verile sistemi,, Tp, % OS, Ts değerlerii buluuz C: Verile kutup lokasyoua göre ζ=cosθ=cos[arcta(7/3)]=0.394 buluur. Ayrıca rad/s d d Bu durumda; T p 7 d s T s s 3 d 1 OS e % 100 %26 2 buluur. 32

33 Ör: Aşağıda verile sistemi birim adım girişi içi yüzde aşımı %20 ve yerleşme zamaı 2 s değerlerie sahipse, bu sistemi J ve D değerlerii buluuz. 1/ J C: Sistemi trasfer foksiyou Gs () olarak buluur. Bua göre; 2 D K s s J J K D ve 2 buluur. Sistemi yüzde aşımı %20 ise, söüm oraı J J l % OS / olarak verildiğie göre; formülüde ζ=0.456 buluur. yerleşme zamaı 2 s l % OS /100 4 Ts rad/s olur. Bulua bu ζ ve ω değerlerie göre D=1.04 Nm s/rad ve J=0.26 kgm 2 olarak hesaplaır.

34 SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI Kutuplar, Sıfırlar ve Zama Cevabı Kavramı Birici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı İkici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı Yüksek Mertebede Sistemleri Zama Cevabı Doğrusalsızlıkları Zama Cevabıa Etkisi 34

35 Şu aa kadar birici ve ikici mertebede sistemleri zama cevabıa ilişki performas spesifikasyolarıı asıl hesaplaacağıı gösterdik. Peki sistem üçücü ya da daha yüksek mertebede bir sistem ise, zama cevabıı aalizie ilişki bu spesifikasyolar asıl hesaplaır? Maalesef yüksek mertebede sistemleri geçici durum aalizie ilişki herhagi bir aalitik yötem yoktur! Acak burada bir yaklaşım kullaılabilir: Yüksek mertebede sistemi kompleks eşleik baskı (domiat) kutupları varsa, bu sistem saki ikici mertebede bir sistem gibi aaliz edilebilir. Peki yüksek mertebede bir sistemi hagi şartlarda baskı kutupları mevcuttur? Eğer yüksek mertebede bir sistemi, (varsa) bir reel kutbuu orijie ola uzaklığı, kompleks eşleik kutupları reel kısmıı orijie ola uzaklığıı 5 katıda fazla ise, bu durumda kompleks eşleik kutuplar baskı kutuplar olarak adladırılır ve bu iki kutup sistemi zama cevabı üzeride baskı etkiye sahiptir. Diğer kutup(lar) ise sistemi zama cevabı üzeride ihmal edilebilir bir etkiye sahiptirler. Bu durumda sistem, sadece kompleks eşleik kutuplar göz öüde buludurularak, ikici mertebede bir sistemmiş gibi 35 aaliz edilebilir.

36 Yadaki şekilde, birici durumda (Case I), reel ekse üzerideki kutbu orijie uzaklığı, kompleks eşleik kutupları reel kısmıı orijie ola uzaklığıda çok fazla değildir. İkici durumda ise reel kutbu orijie uzaklığı imajier kutupları reel kısmıa göre yaklaşık 5 kat fazladır. Üçücü durumda ise reel ekse üzerideki kutbu sosuzda olduğu kabul edilmektedir. Alttaki grafikte, her üç durumda bu üç farklı sistemi birim adım girişie cevabı görülmektedir. Dikkat edilirse üçücü sistemi cevabı tıpkı ikici mertebede bir sistemi cevabıa bezemekte, reel kutup orijie yaklaştıkça zama cevabı klasik bir düşük söümlü ikici mertebede sistemi zama cevabıda sapmakta, özellikle birici durumda alışık olduğumuzda farklı bir cevap türü görülmektedir. Özetle yüksek mertebede bir sistemde reel kutbu orijie ola uzaklığı, kompleks eşleik kutupları reel kısmıı orijie ola uzaklığıda 5 kat ve daha fazla ise, diğer kutuplar ihmal edilerek sistem kompleks kutuplara sahip bir ikici mertebede sistem gibi aaliz edilebilir. 36

37 Alıştırma: Aşağıdaki sistemleri her biride, sisteme ikici mertebede yaklaşımıı geçerli olup olmadığıı belirtiiz. a. G( s) b. G( s) ( s 15) s 4s ( s 4) s 2s 90 C: a. Geçerli b. Değil Nede? 37

38 Peki bir sisteme fazlada bir sıfır eklemesi sistemi zama cevabıı asıl etkiler? Zama cevabıı karakteristiğii (düşük söümlü, söümsüz, aşırı söümlü, kritik söümlü) kutup lokasyoua bağlı olduğuu gördük. Peki sıfırlar zama cevabı karakteristiğii etkilemez mi? Aşağıdaki grafik, düşük söümlü bir sistemi kutupları ayı kalmak koşuluyla herhagi bir sıfırıı olmadığı ve birkaç farklı oktada sıfırıı olduğu durumlarda, her bir durum içi zama cevabıı değişimii göstermektedir. Görüldüğü gibi sıfırlar sadece cevabı geliğii etkilemekte, cevap türüde bir değişikliğe sebep olmamaktadır. (Her bir durumda, eklee sıfırları s-düzlemii sol yarı tarafıda olduğua dikkat ediiz.) 38

39 Acak bir sisteme, kotrolör tasarlayarak ya da başka herhagi bir sebepte, s- düzlemii pozitif tarafıda bir sıfır ekleirse, ilgiç bir durum ortaya çıkar. Buu etkisi aşağıdaki grafikte görülebilir. Operasyou ilk alarıda kısa bir süreliğie sistem çıkışı egatif değer alır. Bu şekilde diamik davraış göstere sistemlere Miimum Fazlı Olmaya Sistemler Nomiimum Phase Systems deir. Buu pratik karşılığı şu şekilde açıklaabilir: Öreği bir hava taşıtıa pistte hareket etmeye başladığıda ileri gitmesi içi komut verilir acak taşıt başlagıçta çok kısa bir süre (birkaç milisaiye) geri gidip sora ileri gitmeye başlar. Tüm kutup ve sıfırları sol yarı düzlemde ola sistemlere ise Miimum Fazlı Sistem Miimum Phase System deir. Sistemi bir tae bile kutbu ya da sıfırı sağ yarı düzlemde ise, o sistem Miimum Fazlı Olmaya bir sistemdir. 39

40 SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI Kutuplar, Sıfırlar ve Zama Cevabı Kavramı Birici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı İkici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı Yüksek Mertebede Sistemleri Zama Cevabı Doğrusalsızlıkları Zama Cevabıa Etkisi 40

41 Bu alt bölümde, çeşitli doğrusalsızlıkları (doyum, ölü bölge, boşluk vs.) sistemi zama cevabı üzerie etkisii iceleyeceğiz. Diğer bir ifadeyle, örek bir sistemi öce bu doğrusalsızlıkları içermeye hali içi zama cevabıı elde edip, daha sora sisteme bu doğrusalsızlıklar eklediğide zama cevabıı asıl değiştiğii karşılaştırarak iceleyeceğiz. Örek sistem olarak, trasfer foksiyou Gs () s 1.71 şeklide ola elektriksel bir sistemi ele alalım. MATLAB/Simulik ortamıda bu sisteme bir giriş siyali uygulaması durumuda sistemi zama cevabıı, herhagi bir doğrusalsızlık olması durumuda elde edile zama cevabı ile ayı grafik üzeride karşılaştıralım. İlk öce doyum (saturatio) doğrusalsızlığıı zama cevabıa etkisii iceleyelim. 41

42 Yadaki şekilde görüldüğü gibi sisteme 10 V adım girişi uygulamış ve sistemi zama cevabı hem herhagi bir doğrusalsızlık olmaması durumuda, hem de ±5V tepe değerlerie sahip doyum doğrusalsızlığı olması durumuda elde edilerek ayı grafik üzeride çizdirilmiştir. Pratik olarak buradaki doğrusalsızlık, sistemi süre yükselteci doğrusalsızlığı olarak düşüülebilir. Grafikte görüldüğü bu tür doğrusalsızlık sistem çıkışıı sıırladırmakta ve kalıcı durumda sistem çıkışıı, herhagi bir doğrusalsızlık olmadığı duruma göre daha düşük değer almasıa sebep olmaktadır. 42

43 Şimdi sisteme ölü bölge (dead zoe) doğrusalsızlığı ekleyip, buu zama cevabı üzerideki etkisii iceleyelim. Bu kez sisteme geliği 5V ve açısal frekası 1 rad/s ola siüsoidal bir giriş uygulayalım. Sistemi hem herhagi bir doğrusalsızlık olmaması durumuda, hem de ±2 V ölü bölge doğrusalsızlığı içermesi durumuda zama cevabıı ayı grafik üzeride çizdirelim. Grafikte görüleceği üzere, ölü zama doğrusalsızlığı hem sistemi biraz daha geç tepki vermeye başlamasıa hem de sistem çıkışıı geliğii azalmasıa sebep olmaktadır. 43

44 So olarak sisteme boşluk (backlash) doğrusalsızlığı ekleyip, zama cevabıa etkisii iceleyelim. Sisteme yie geliği 5V ve açısal frekası 1 rad/s ola siüsoidal bir giriş uygulamış ve 0.15 V bat geişliğie sahip bir boşluk eklemiştir. Grafikte görüleceği üzere, boşluk doğrusalsızlığı hem geliği her iki yöde oldukça azaltmakta, hem sistem cevabıı geciktirmekte, hem de başlagıçta egatif yöde tepkiye ede olmaktadır. Bu haliyle sistemi zama cevabı üzeride e çok etki yarata doğrusalsızlık türüdür. 44