ÖNSÖZ. Geleceğimizin güvencesi saydığımız gençlerimize bu fısıltıyı duyurabilirsek belki görevimizi yapmış sayılabiliriz.

Transkript

1 ÖNÖZ Bu des kitbının mcı, kıcı bi lisnl elden geldiğince Tükçe e de önem veeek, öğencilein dh fl fdlnmlı ve bilgilenmeleini sğlmktı des ılınd öğencilein istifâdeleine sunuln des ntu, göden geçiileek, eniden düenlenmiş ve kitp lk bsılmış bulunmktdı. Pmukkle Ünivesitesi Mühendislik Fkültesi Elektik-Elektnik Mühendisliği nin öğetim pgmınd IV. ııld 4 kedilik unlu des lk kutuln Elektmnetik Alnl desine âit bu des kitbı, bölümün müfedt pgmınd belitilen içeiklee göe, hılnmış lup Elektsttik, ttik Eneji, Heketli Yüklein Alnı, Dielektik Otml ve Kpsite, Lpls (Lplce) Denklemi ve Çöümlei, Mnetik Alnl ve Mnetik Devele lmk üee, 7 bölümden medn gelmektedi. Göevimi, kitptki he bi ilmî d bilimsel kvmı güel sö kelimesi ile ifâde edeek, öğencileimiin, millet ve memleketimie himet dğultusund, kncklı bkış çılıl, kitpld kşılştıklını nnettiklei luklın, A. Mâhi Pekşen in dilile ifâde edilen, ö v ki ibet dlu, sö v ki bi hecedi. Kitp v ki, knusu sâdece dümecedi. Güel söü kvmk öle kl mı sndın? ö v ki âlim nl, câhile bilmecedi. dötlüğünün sıın hâkim lmlıl çöülebileceğini, Fdlı ln kitp ln kitptı vecîesinin dımı ile bilikte, benlikleine fısıldmktı. Geleceğimiin güvencesi sdığımı gençleimie bu fısıltıı duubilisek belki göevimii pmış sılbilii. İleide dh dügün bsımlının elde edilmesi için öğencileimiin he tülü pıcı tenkit, teklif ve bskı htâlını mustftemi@h.cm desine d dğudn dğu tfım bildime hmetine ktlnmlını û edi, bütün öğencileime ve kitptn fdlnn hekese en içten bşı dilekleimi bildiium. Pf. D. Mustf TEMİZ i

2 Ön f ÖNÖZ İÇİNDEKİLE BÖLÜM I ELEKTOTATİK i ii. COULOMB KANUNU.. ELEKTİK YÜK YOĞUNLUĞU.. TATİK ELEKTİK ALANI 5.4. GADYANIN FİZİKÎ ANLAMI 0.5. Bİ VEKTÖÜN DİVEJANI 5.6 Bİ VEKTÖÜN OTAYONU 7.7. TATİK ELEKTİK ALANININ KOUYUCULUK ÖZELLİĞİ 9.8. ELEKTİK AKII.9. TEKİL FONKİYONLA.0. TET FONKİYONU 5.. GAU KÂNUNU VE DİVEJAN TEOEMİ BÖLÜM II TATİK ENEJİ.. NOKTA ŞEKLİNDEKİ ELEKTİK YÜKLEİ VE İŞ 7.. ELEKTİK GEİLİMİ 9.. TATİK ELEKTİK ALANINDAKİ ENEJİ 4 BÖLÜM III HAEKETLİ YÜKLEİN ALANI.. GİİŞ 48.. HAEKETLİLİK KATAYII, YÜK YOĞUNLUĞU VE İLETKENLİK 48.. ÜEKLİLİK DENKLEMİ ÖLAKAYON ZAMANI DİELEKTİK-İLETKEN AAYÜZEYİNDE ELEKTİK ALANINA ÂİT INI ŞATLAI DİELEKTİK-İLETKEN AAYÜZEYİNDE ELEKTİK AKI YOĞUNLUĞU VEKTÖÜNE ÂİT INI ŞATLAI 6.7. TATİK ELEKTİK ALANINDA FAKLI İKİ MALZEME AAINDAKİ AAYÜZEYİNDE INI ŞATLAI 6 BÖLÜM IV DİELEKTİK OTAMLA VE KAPAİTE 4.. GİİŞ KUTUPLANMA (POLAİZAYON) DİELEKTİK MALZEMELEDE ELEKTİK AKI YOĞUNLUĞU VEKTÖÜ KONDANATÖLEDE ÂBİT GEİLİM ALTINDA ELEKTİK ALANI VE ELEKTİK AKI YOĞUNLUĞU VEKTÖÜ 7 ii

3 4.5. KONDANATÖLEDE ÂBİT YÜK ALTINDA ELEKTİK ALANI VE ELEKTİK AKI YOĞUNLUĞU VEKTÖÜ KONDANATÖÜN ELEKTİK ALANDA BİİKEN ENEJİ 74 BÖLÜM V LAPLACE DENKLEMİ VE ÇÖZÜMLEİ 5.. GİİŞ LAPLACE DENKLEMİNİN Bİ BOYUTLU KATEZYEN KOODİNAT İTEMİNDEKİ ÇÖZÜMÜ LAPLACE DENKLEMİNİN İKİ BOYUTLU KATEZYEN KOODİNAT İTEMİNDEKİ ÇÖZÜMÜ-KATEZYEN ÇAPIM ÇÖZÜMÜ LAPLACE DENKLEMİNİN İLİNDİİK KOODİNAT İTEMİNDEKİ ÇÖZÜMÜ LAPLACE DENKLEMİNİN KÜEEL KOODİNAT İTEMİNDEKİ ÇÖZÜMÜ 86 BÖLÜM VI MANYETİK ALANLA 6.. GİİŞ BİOT-AVAT KÂNUNU VE MANYETİK ALANINKA KAYNAĞI MANYETİK ALAN KUVVETİ AMPE KÂNUNU VE MANYETOMOTO KUVVETİ Bİ VEKTÖÜN OTAYONU MANYETİK ALANIN OTAYONELİ VE MAXWELL DENKLEMİ MANYETİK VEKTÖ POTANİYEL MANYETİK AKI MANYETİK İNDÜKİYON VE FAADAY İNDÜKİYON KÂNUNU TATİK ELEKTİK ALANINA ÂİT MAXWELL DENKLEMLEİ ELEKTİK AKI YOĞUNLUĞU AKIMI-DEPLAMAN AKIMI ZAMANA BAĞLI MAXWELL DENKLEMLEİ 6.. İKİ OTAMI AYIAN Bİ AAYÜZEYDE MANYETİK ALANA ÂİT INI ŞATLAI İKİ OTAMI AYIAN Bİ AAYÜZEYDE MANYETİK AKI YOĞUNLUĞU VEKTÖÜNE ÂİT INI ŞATLAI Bİ KUVVETİN MOMENTİ Bİ BOBİNİN MAGNETİK MOMENTİ ÖZ İNDÜKTAN 8 BÖLÜM VII MANYETİK DEVELE 7.. GİİŞ 7.. DEMİİN MANYETİK ÖZELLİKLEİ 7.. MANYETİK DEVELE HAVA AALIKLI MANYETİK DEVE MANYETİK AALIK KUVVETİ 9 iii

4 BÖLÜM I ELEKTOTATİK Milletimiin sâf seciesi istidtll dludu. Anck, bu tbiî istidâdı inkişf ettiecek usullele mücehhe vtndşl lâımdı. K. Attük. COULOMB KÂNUNU Bi cismin butlı, incelemee lınn diğe butl ve uklıkl göe sn deece küçük ise, bu cisme Nkt Cisim deni. Meselâ, en küçük elektik ükünü tşın elektnun butlı, mlekülün butlındn ldukç küçük lduğundn, elektnlın butlın, mleküllein butlı nınd bie nkt cisim göüle bkılbili. Bi nkt cisim gibi kbul edilebilecek ln bi elektnun tşıdığı elektik ükü Culmb du. Bu bi nkt üktü. Düşünülebilecek en küçük elektik ükü budu. Diğe bütün elektik üklei bunun ktlı duumunddı. Meselâ, bi mpelik bi elektik kımındki elektik ükünü medn getien elektnlın sısı klşık lk 60 8 elektnun ükünden luşmktdı. Bi nktd elektnun ükünün ktlı d vs, bu d bi nkt ük sılı. Göüldüğü gibi elektnun elektik ükü (-) işâetlidi. Pitnun elektik ükü ise, Culmb du. Göüldüğü gibi, pitif ve negtif lmk üee, iki cins elektik ükü vdı. Ödevle: ) Milikn deneini ştıını. ) ükûnet kütlesi nedi? ) Elektnun sükûnetteki kütlesi, kg lduğun göe, elektnun elektik ükünün sükûnetteki kütlesine nını hesplını. ükûnet hâlindeki Q ve Q ükleini tşın iki mddî nkt sınd medn gelen kuvvetin ifâdesi, nlu ükün nlu ük üeine uguldığı Culmb kuvveti, F, lmk üee, Q Q F = = F () 4πε ile veili. Bud, Q ve Q üklei sındki uklıktı. Göüldüğü gibi, vektöle ve bunlın şiddetlei (büüklüklei) sısıl ku ve nml hflele gösteilecekti. Yâni F = F vektöünün şiddeti F di. Bud, biim vektödü ve ε tmın dielektik sâbitidi. ve nktlı sındki uklık = lduğun göe, den e önlenmiş vektöü, uklığı cinsinden = ile gösteilebili; mn biim vektö, = /, () lu. Bene şekilde, Q elektik ükünün Q elektik üküne uguldığı F kuvveti = ELEKTOMANYETİK ALANLA Pf. D. Mustf TEMİZ

5 BÖLÜM I ELEKTOTATİK F Q Q = 4π ε = F () lu ki, bud = lduğu için F = F elde edili. Demek lu ki, Q 0 Q ise, kuvvet = ile nı önde Q Q 0 ise, kuvvet = vektöü ile tes öndedi. Bu şu demekti: Elektik üklei nı işâetli isele, kuvvet biim vektö önünde; tes işâetli isele, bşt ele lınn biim vektöün tes önündedi. Bşk bi ifâdele elektik üklei nı işâetli isele, bibileini itele; fklı işâetli isele bibileini çekele. Elektik ükünün biimi, MKA biim sisteminde Culmb (C) du. Bi büüklüğün biimi köşeli pnte, [], ile temsil edilise, [Q]=C ılbili. Bun göe, fmülde geçen büüklüklein biimlei, [Q]=C, []=m, [ ε ]=F/m lk lınıs, kuvvetin biimi MKA biim sisteminde Newtn (N), [F]=[F]=N, lu. () ifâdesi () de eine knus, Q Q F = (4) 4π elde edili. Bu d Culmb kuvvetinin diğe bi ifâdesi lu. ε ul: ) Hidjen tmunun elektnunun çekideğe uklığı klşık 0.5A ( A = 0-0 m) lduğun göe, elektnl çekideğin etkileşim kuvvetini hesplını. Cevpl: ) Hidjenin bi elektnu ve çekideğinde ise bi ptnu bulunu. Çekideğin elektik ükü bi pitnun üküne eşitti. Q = Q e = C, Q =Q p = C, == m, F (.600 Q Q 4ππε e p F = F = = -9 9 = -9 = π (0.50 6π ) ) F ifâdesi, Bi bölgede den fl nkt şeklinde ük vs, mn Culmb Kuvveti nin F = F Q Q Q Q = = (5) i i = i = i 4πε 4πε i i i i Önl, H., Elekttekniğe Giiş, I, Elektsttik, Aı Kitbevi Mtbsı, 966, İstnbul.

6 BÖLÜM I ELEKTOTATİK lu. Bud i, i=,,,,, Q elektik ükü ile i. elektik ükü sındki mesâfei ve ise, i. vektöüne âit biim vektöü göstei. i i En küçük elektik ükü elektnun ükü lduğu için, bi hcim içinde elektik ükü tşın mddî nktl çk ğun bi şekilde bulunbili. Bu sebepten, elektik ükünün, nkt nkt eine, süekli ln bi ğunlukt lduğu f edilebileceğinden dlı, he bi nktnın Q elektik üküne uklığı lmk üee, (5) ifâdesi, Q ρ Q ρ F = dv = dv 4πε V 4πε V (6) şekline döne. Bud entegl süekli değişim sebebile gelmişti. Bşk bi ifâdele, süekli fnksinlın hesâbınd entegl kullnılı. İfâdedeki ρ, hcme âit ük ğunluğunu, ise ük ğunluğunun e vektöünü göstemektedi... ELEKTİK YÜK YOĞUNLUĞU Büük bi inkılp pn H. Muhmmed (s..v) e kşı beslenen sevgi nck nun t kduğu fikilei, esslı kumkl tecelli edebili. M. KEMAL ATATÜK Hcmi V ln bi tmd biim hcim içinde bulunn elektik ük miktın hcme âit Elektik Yük Yğunluğu (Hcim Elektik Yük Yğunluğu) deni. dv hcmi içinde bulunn elektik ük miktı dq ise, mn hcme âit elektik ük ğunluğu, dq ρ = (7) dv lk tnımlnı. Bunun biimi C/m dü, [ ρ ] = C/m. Eğe bi V hcmi içindeki ük ğunluğu veilise, tplm ük, (7) den heket edileek hesplnbili: Q = ρdv = ρdv. (8) V V Bu entegl üç butlu bi entegldi. Bene şekilde, üee ve htt âit ük ğunluklı d tnımlnbili: Yüei ln bi tmd biim üe içinde bulunn elektik ük miktın üee âit Elektik Yük Yğunluğu (Yüe Elektik Yük Yğunluğu) deni. d üei içinde bulunn elektik ük miktı dq ise, mn üee âit elektik ük ğunluğu, dq ρ s = (9) d Keem Yılm, Dind Attük, Düşünce ınlı, 004.

7 4 BÖLÜM I ELEKTOTATİK lk tnımlnı. Bunun biimi C/m dü, [ ρ s ] = C/m. Eğe bi üei içindeki ük ğunluğu veilise, tplm ük, (9) dn heket edileek hesplnbili: Bu entegl iki butlu bi entegldi. = ρsd = Q ρ d. (0) s Bu l ln bi uunluk üeinde biim uunlukt bulunn elektik ük miktın htt âit Elektik Yük Yğunluğu (Ht Elektik Yük Yğunluğu) deni. dl uunluğu içinde bulunn elektik ük miktı dq ise, mn htt âit elektik ük ğunluğu, dq ρ = () l dl lk tnımlnı. Bunun biimi C/m di, [ ρ l ] = C / m. Eğe bi l uunluğundki ük ğunluğu veilise, tplm ük, () den heket edileek hesplnbili: Q = ρ dl. () l l Bu entegl bi butlu bi entegldi. ul: ) Del petöü nedi? ) Gdn nedi? ) ϕ = 4 skle fnksinunun gdnını bulunu. 4) = lduğun göe gd(/)= ( ) =- lduğunu gösteini. Cevpl: ) = ile tnımlnn bi difensiel tüev petöüdü. Bu bi vektödü. ) Gdn, del petöünün bi skle fnksin ugulnmsı snund elde edilen bi vektödü. kle fnksin ϕ ise, bu fnksinun gdnı, ( ϕ ϕ ϕ ϕ = ) ϕ = ile tnımlnı ve ϕ = gdϕ ile gösteili. Edministe, J.A., Electmgnetics, chum s Outline eies in Engineeing, McGw-Hill Bk Cmpn, 979.

8 5 BÖLÜM I ELEKTOTATİK ) ϕ = ( veâ )( 4 ϕ = ( ) = ( 4 ) ( 4 ) 4 ) Göüldüğü gibi, bi skle fnksinun gdnı vektö bi büüklüktü. 4) (/)= = ( ) (/)=( ) =- İnsnl tecübelei nispetinde değil, tecübeleinden ldıklı desle nispetinde lgunlşıl. Bend hw.. TATİK ELEKTİK ALANI ükûnet hâlindeki pitif biim üke etki eden Culmb Kuvveti ne Elektik Aln Vektöü, E, deni. Elektik Aln Vektöü, vektö bi büüklüktü. () ifâdesinde Q = C lınıs Q F = E = = E () 4πε veâ Q = Q, =, = lınıs, Q E = = E (4) 4πε lu. Elektik lnı dun ükleden dlı medn geldiği için bu elektik lnın ttik Elektik Alnı denmektedi. Bu sn fmül, sâbit bi nktdki Q elektik ükünün, nktdn kd uklıktki nktld medn gelen elektik vektö lnının ifâdesini vei. Dikkt edilise göülü ki, elektik lnı, pitif biim ük bşın düşen bi Culmb Kuvveti di: F E = Q (5) (4) den Q E = 4πε (6) şeklindeki Elektik Aln Şiddeti elde edili. Elektik lnının biimi V/m di, [ E ] = [ E ] = V/m. (4) fmülü, () deki biim vektö, =, tnımı gö önüne lındığınd

9 6 BÖLÜM I ELEKTOTATİK Q Q Q E = = - ( ) = - gd(/) (7) 4πε 4πε 4πε şeklinde de ılbili. Bud ifâdesinin = ( ) =gd (/) lduğu göülmektedi. (6) fmülünün pdsındki ıçplı küe üei dikkte lındığınd, = 4π lduğu için, Q E = ε (8) lu. Bud [ D ] = [ D ] = C/m D = Q/ büüklüğüne Elektik Akı Yğunluğu deni, biimi C/m di,. (6) ifdesinden, D = Eε (9) şeklinde, elektik ln şiddeti cinsinden, elektik kı ğunluğu şiddeti elde edili. Bu büüklük de vektö bi büüklüktü: D = εe (0) Bu vektöe Deplsmn Vektöü de deni. ul: ) Hidjen tmunun elektnunun çekideğe uklığı klşık 0.5A ( A =0-0 m) lduğun göe, elektnun çekideğin bulunduğu ede medn getidiği elektik lnını ve şiddetini hesplını. Cevpl: ).600 E = 4π (0.50 ) 6π Q= C, = m 9 0 = V/m, E 0-0 Q E = = 4πε = V/m E Eğe tmd den fl nkt şeklindeki elektik üklei vs, Şekil de göüldüğü gibi, mn elektik lnının ifâdesi, (5) den F Q E = E i = = i () Q i 4πε i= ' i bulunu. Yüklein V hcmi içinde süekli dğılımı hâlinde ise elektik lnı (6) dn dq ρdv ρ E = = dv = () 4πε V 4πε V 4πε V

10 7 BÖLÜM I ELEKTOTATİK lu (Şekil ). Bud dq = ρdv, dv hcim elemnı içindeki ük miktını göstemektedi.. de P '(', ', ' ) ρ dq, 0 dv Şekil dv hcim elemnı içindeki dq (ρ ük ğunluğu) ükü kdint mekeinde iken uın he hngi bi P ' nktsındki elektik ln vektöü Bundn sn, ksi sölenmedikçe, elektik ükü, kım ve ük ğunluğu gibi, knk öelliği tşın büüklüklein e vektölei, ' gibi, üstlü lk, ud ele lınn hehngi bi nktnın e vektöü, gibi, üstsü lk gösteilecekti. Yâni, Şekil de P '(', ', ' ) ve P (,, ) nktlı, sısıl, knğın ve elektik lnı hesplnmsı istenen nktnın kdint nktlını göstemektedi. Bud ' vektöü ükün e vektöü; vektöü, elektik lnının hesplndığı P nktsının e vektöüdü. Elektik lnını dğun üke bi knk göüle bkılı. Elektik ük ğunluğu d bi knktı. (5) den, F ( ' ) = Q( ' ) E( ' ) () veâ F ( ', ', ' ) = Q(', ', ' ) E ( ', ', ' ) (4) ılbili 4. 4 Jcksn, J.D., Clssicl Electdnmics, Jhn Wile nd ns, Inc., New Yk, 967.

11 8 BÖLÜM I ELEKTOTATİK dv ',dq ρ - '. P(,,) de P '(', ', ' ) ' 0 Şekil Dik kteen kdint sisteminde P' (', ', ' ) nktsınd bulunn bi dq elektik ükünün uın hehngi bi P(,,) nktsındki elektik ln vektöü Bud P' (', ', ' ) ve P (,, ), sısıl, knğın ve elektik lnının kdint nktlını göstemektedi. Bud ' ( ', ', ' ) vektöü, ükün e vektöü; (,, ) P nktsının e vektöünü göstemektedi. () den fdlnk Şekil deki elektik lnı, = ( - ')/ - ' biim vektöünü göstemek üee, lu. Bud dv ' = d ' d' d', ' tfındn belilenen elemnıdı. Dik kteen kdintld ρ ρ( - ' ) E = dv' = dv' (5) 4πε V - ' 4πε V - ' P ' nktsındki difensiel hcim - ' = ( ' ) ( ' ) ( ' ) ve - ' = ( ') ( ') ( ') lduğu htılnıs, (5) ifâdesi, E = ρ ', ', ' ) 4πε V ( ') ( / [( ') ( ') ( ') ( ') ( ') ] dv ' (6) şeklinde elde edili. Bu ifâde, üç butlu bi cisimde (,,) kdintlının fnksinu lk veilen ük ğunluğunun uın hehngi bi P(,,) nktsınd medn getidiği elektik lnı vemektedi. () ve (4) ün ışığı ltınd (4) den, Culmb kuvveti, Q Q ( ) Q Q F = = 4πε 4πε = Q ( ) Q Q = 4πε 4πε Q ( ') ( ') ( ') ( ') ( ') ( ') / [( ') ( ') ( ') ] (7)

12 9 BÖLÜM I ELEKTOTATİK lu (Şekil ). () ve (4) ün ışığı ltınd (7) den, bu kuvvet veâ Q Q ( ) j i i j F i = = = j i 4πε i j Q j Q i F = F = i ij (8) j i j i 4πε j i Q Q j i 4πε i i j j ( ' ) ( ' ) ( ' i j ij i j ij i j / [( ' ) ( ' ) ( ' ) ] i j i j ) ij (9) lk elde edili. Q. ' - '. Q (,,) P '(', ', ' ) F 0 Şekil Dik kdint sisteminde Q (,,) ükünün Q ( ', ', ' ) ükü üeine uguldığı Culmb kuvveti Bud Q i = C ve Q j =Q lınıs, i. nktdki elektik lnı, lu. E = j i Q( ) i j i 4πε i j = = j i Q 4π ε ( [( i i ' ) j ' j ) ij ( ( i i ' ) ' j j ) ij ( ( i i ' j ) ij ' j ) / ] (0) Anck ükle dğd nkt şekline lmktn iâde çğu kee belli bi hcim içinde süekli biçimde dğılmış lduğu için, V hcmi içindeki tplm Q ükü dq= ρ (')dv' lcğındn dlı, elektik lnı süekli ükle için (0) ifâdesi, ρ = V 4πε ρ( ')( ') ρ( ' ) Ei = dv' = dv' V 4πε ' V 4πε ' ( [( i i ' ) j ' j ) ij ( i i ' ) ( ' ) j j ij ( ( i i ' j ) ij ' j ) / ] dv ' ()

13 0 BÖLÜM I ELEKTOTATİK şeklini lı (Şekil 4). Bud dı veili 5. ρ(') φ( ) = dv' ifâdesine skle ptnsiel fnksinu V 4πε ' - ' E i dv ' ' 0 Şekil 4 Dik kdint sisteminde ρ ük ğunluğun sâhip bi cismin ükünün i. nktd medn getidiği elektik ln vektöü dv ' hcmindeki dq ul: ) Culmb kuvvetini din lk hesplmk için hngi biim kullnılı? Cevpl: ) Culmb fmülünde /4πε = lınıs, cgs sistemine geçili. O mn elektik ükünün biimi sttculmb (sttkuln), uunluk biimi cm ve kuvvet biimi din lu. Ev Ödevi: ) İki âdet nkt şeklindeki üke âit ) Culmb kânununu, b) Elektik kı ğunluğu vektöünü ını. ) İkiden fl nkt şeklindeki üke âit ) Culmb kânununu, b) Elektik kı ğunluğu vektöünü ını. ) üekli ük dğılımın âit ) Elektik lnını, b) Culmb kânununu, c) Elektik kı ğunluğu vektöünü ını..4. GADYANIN FİZİKÎ ANLAMI Zmânın kblduğunu bilenle, en çk elem dunldı. Dnte Bi vektö difensiel petö ln ve nbl dı ile de tnınn 5 Öeme, A.Y., Klâsik Elektdinmiğe Giiş, İstnbul Ünivesitesi, Fen Fkültesi, 98.

14 BÖLÜM I ELEKTOTATİK = () del petöü, bi vektöün sâhip lduğu öelliklei tşı. Bu petö, gdn, divejns ve tsn lmk üee, âdet büüklüğün tnımınd kullnılbili. He hngi bi skle fnksin ϕ (,, ) lk lınıs, del petöünün bu fnksin ugulnmsı snund elde edilen ( ϕ ϕ ϕ ϕ = ) ϕ = () ifâdesine dik kteien kdint sisteminde ϕ (,, ) skle fnksinun gdnı deni, ϕ = gd ϕ ile gösteili 6. Bu bi vektödü. Bunun hehngi bi biim vektöle skle çpımı, ϕ., bu vektöün, biim vektö üeindeki idüşümünü, âni bu vektöün biim vektö dğultusundki bileşenini vei. Bu bileşenin biim vektö dğultusundki ifâdesi, bu skle fnksinun biim vektö dğultusundki kısmî tüevini vei. Bunun fiiksel nlmı şudu: Bi skle ϕ(,, ) fnksinunun gdnının veilen bi dğultudki biim vektö ile çpımı, bu fnksinun dğultudki değişimine eşitti. Meselâ (öneğin), biim vektö ekseni dğultusund ise, ϕ. = ϕ / elde edili. kle ϕ (,, ) fnksinunun tnımlı lduğu bi bölgede bibiine kın iki nkt, Şekil 5 de göüldüğü gibi, P ve N lsun. N nktsının, P nktsının kdint değişkenleinin difensiel tımlının snund medn gelen eni bi nkt lduğun dikkt edini. Dlısıl, vektöündeki difensiel tım lu. d=d d d (4) Yei gelmişken bud belitmekte fd vdı ki, dik kteen kdint sisteminde uunluğu ve hcim elemnı ile veili. d l = d d d (5) dv=ddd (6) 6 piegel, M.., Vect Anlsis, chum Publishing C., New Yk, 959.

15 BÖLÜM I ELEKTOTATİK. P(,,) d. N(d,d,d) d 0 Şekil 5 Bi e vektöündeki difensiel tım Elektik mühendisliğinde ptnsiel fnksinu genel lk ϕ (,, ) fnksinu ile gösteili. Dlısıl, ϕ (,, ) fnksinu bi ptnsiel fnksin ise, P ve N nktlın ilişkin lk ϕ (,, ) fnksinund d bi değişme sö knusu lu. Yâni, bu ptnsiel fnksinunun tm difensieli ϕ ϕ ϕ dϕ = d d d (7) şeklindedi. (), bi skle fnksinun (,,) dik kteen kdint sistemindeki gdn ifâdesidi. Bu, () ve (4) den heket edeek ϕ ϕ ϕ ( ϕ ϕ ϕ ). ( d d d ) = d d d = ϕ.d (8) şeklinde ifâde edilebili. Nihâet (7) ve (8) dn dϕ = ϕ.d (9) bulunu. Bu önemli öellikle ifâde eden bi fmüldü. Bu şu demekti: gd ϕ ile d vektö tımının skle çpımı, skle fnksinun tm difensielini vei. Yâni: Veilen sâbit bi vektö tım miktı d için göülü ki, skle ϕ (,, ) fnksinund d vektöü dğultusundki d ϕ değişmesi, gd ϕ = ϕ nin, d üeindeki idüşümü ile ntılıdı. C ve C (C C ), bie sâbit lmk üee ı ı ϕ (,, ) =C ve ϕ (,, ) =C şeklinde, iki ptnsielin değei lk lınıs iki eşptnsiel üe elde edili. C eşptnsiel üei üeinde P ve N nktlını ele llım. P nktsı, ϕ (,, ) =C eşptnsiel üei üeinde lduğundn, d ϕ = 0 lu. Bu snuç, C eşptnsiel üei üeinde geçelidi. Çünkü, Şekil 6 d göüldüğü gibi, eşptnsiel üei üeinde

16 BÖLÜM I ELEKTOTATİK ptnsielde bi tm sö knusu değildi. Yâni, d ϕ (,, ) =0 lu. O mn bi eşptnsiel üe üeinde (9) dn dϕ = ϕ.d=0 (40) elde edili 7. Bu snuç, Şekil 6 d göüldüğü gibi, bu üe üeindeki ϕ ile d vektö tımının bibiine dik lduklını göstei. d ise, ϕ (,, ) =C eşptnsiel üe üeindeki P nktsı civâınd bulunn N nktsı için eşptnsiel üeine P nktsınd teğet bi vektödü. Bundn dlı, ϕ, eşptnsiel üein P nktsındki üe nml vektöünün dğultusund lmk unddı. ϕ, (C C ) lmsı sebebile, ϕ (,, ) fnksinunun tışı dğultusund lduğu için, ϕ, ϕ (,, ) =C den ϕ (,, ) =C e dğu bi gidişi beliti. n lk, şunu sölemek mümkündü: Bi ptnsiel fnksinun gdnı, bu fnksin âit eş ptnsiel üee dik ln bi vektö lnıdı. Bu vektö lnının önü, eşptnsiel üein biim nml vektöü ile nı öndedi. ϕ = nuç lk dik kteen kdint sisteminde ϕ (,, ) skle fnksinun gd ϕ gdnı () ile veili. Eşptnsiel üele ϕ = C = bit ϕ d P(,,).. ϕ = C = bit N(d,d,d) 0 Şekil 6 Eş pnsiel üelee göe ptnsiel fnksinun gdnının önübi ϕ (,, ) sıkl fnksinun, (Şekil 7) de göülen (, φ,) silindiik ve (Şekil 8) de göülen (, θ, φ ) dik küesel kdint sistemleindeki gdn ifâdelei ise, sısıl, şğıd (4) ve (4) de veilmişti. ϕ = ϕ ϕ ϕ ( φ ) ϕ = φ (4) φ φ 7 Edministe, J.A., Electmgnetics, chum s Outline eies in Engineeing, McGw-Hill Bk Cmpn, 979.

17 4 BÖLÜM I ELEKTOTATİK P(, φ,) φ 0 φ Şekil 7 (, φ,) silindiik kdint sistemi ϕ = θ sin θ φ ϕ ϕ = ( θ φ ) ϕ θ θ ϕ sin θ φ φ (4) θ P(, θ, φ ) φ θ 0 φ φ P(, π /, φ ) Şekil 8 (, θ, φ ) küesel kdint sistemi Ev Ödevi: ) Kdint sistemleine çlışını. ) Bi sıkl fnksin dik kteen kdint sisteminde ϕ (,,) = 5 lk veildiğine göe bunun gdnını bulunu.

18 5 BÖLÜM I ELEKTOTATİK ) Bi sıkl fnksin dik silindik kdint sisteminde ϕ(, φ,) = 5 cs φ lk veildiğine göe bunun gdnını bulunu. 4) Bi sıkl fnksin dik küesel kdint sisteminde ϕ(, θ, φ ) = 5 sin θ cs φ lk veildiğine göe bunun gdnını bulunu..5. Bİ VEKTÖÜN DİVEJANI Uın he hngi bi nktsındki bi e vektöü (,, ) = lk lınıs, del petöünün bu vektöle pıln skle çpımın bu vektöün divejnsı deni:. (,, ) ( = ). (,, ) ( = ).( ) = (4) Bu snuç, vektöünün kteen dik kdint sistemindeki divejnsıdı 8. Ödev: ) A(,,)= A (,,) (A (,,) A (,, ) vektöünün dik kteen kdint sistemindeki divejns ifâdesini ını. ) (,,)= sin cs vektöünün P(..0) nktsındki divejnsının değeini bulunu. Genel lk bi A vektöünün veilen bi P nktsındki divejnsı lk tnımlnı.yâni: div A. d A =.A = Lim (44) V 0 V A vektöünün veilen bi P nktsındki divejnsı, A vektöünün P nktsını kuştn hehngi bi kplı üe üeinden enteglinin, bu kplı üein P nktsı civâınd medn getidiği V hcmine nının hcmin sıfı gidekenki limitine eşitti. A(, φ,)= A A φ φ A (45) 8 piegel, M.., Vect Anlsis, chum Publishing C., New Yk, 959.

19 6 BÖLÜM I ELEKTOTATİK ile veilen bi A vektöünün (, φ,) silindiik dik kdint sisteminde ve B(, θ, φ )= B B B (46) θ θ ile veilen B vektöünün (, θ, φ ) küesel dik kdint sisteminde hehngi bi P nktsındki divejns ifâdelei ise, sısıl, φ φ.b(, θ, φ )=.A(, φ,)= (A ( B A ) φ A φ ) sin θ θ (B θ sin θ) sin θ B φ φ (47) (48) ile veili. ul: ) Dik kteien, silindiik ve küesel kdintl âit uunluk, üe ve hcim elemnlı neledi? Cevpl: ) Dik kteen, silindiik ve küesel kdintl âit uunluk, üe ve hcim elemnlı şğıd veilmişti 9. Uunluk elemnlı: Yüe elemnlı: Hcim elemnlı: d l = d dφ d l = d dθ d, (ilindiik) sinθ dφ, (Küesel) d = dφd, (ilindiik, düleminde) d = sinθdθdφ, (Küesel, küe üeinde) dv = dφd d, (ilindiik) dv = sinθdθdφd, (Küesel) Ödev: Aşğıdki vektölein divejnslını bulunu. ) A(, φ,) = cs φ sin φ φ ) A (, θ, φ ) = csθ sin θ sinφ θ φ 9 Edministe, J.A., Electmgnetics, chum s Outline eies in Engineeing, McGw-Hill Bk Cmpn, 979.

20 7 BÖLÜM I ELEKTOTATİK.6. Bİ VEKTÖÜN OTAYONU Uın he hngi bi nktsındki he hngi bi (,, ) = (49) vektöünün tsnu, lk tnımlnı ve = = ( ) ( ) ( ) (50) lk hesplnı 0. Ev Ödevi: ilindiik ve küesel kdint sistemleinde tsn ifâdeleini ştıını. ul: ) (,, ) = vektöünün divejnsı nedi? ) = lduğun göe gd = ' i hesplını. ) Lplce petöü nedi?. ϕ (,, ) = ϕ (,, ) lduğunu gösteini. 4) ( )=- (.) lduğunu gösteini. 5).( )=0 lduğunu gösteini. Cevpl: ).=( ).( )== = ) = =( ) = = Göüldüğü gibi biim vektöü lk lmk mümkündü. O mn meselâ (7) deki elektik lnı 0 piegel, M.., Vect Anlsis, chum Publishing C., New Yk, 959.

21 BÖLÜM I ELEKTOTATİK 8 4πε Q - ) ( 4πε Q - 4πε Q 4πε Q 4πε Q = = = = = E gd(/) lk d ılbili. ) Bi skle fnksinun gdnının divejnsı Lplce petöü dı veilen bi petöle temsil edili:.( ϕ )( ). ) ( ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ veâ ϕ ϕ ϕ ϕ = lu ki bud petöüne Lplce petöü deni. Dlısıl,. ), (, ϕ = ), (, ϕ lu. 4) ( )= ] ) ( ) ( ) [( = )] ( ) ( [ )] ( ) ( [ )] ( ) ( [ = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = =

22 BÖLÜM I ELEKTOTATİK 9 ) ( ) ( ) (.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( = = = 5).( )=? ). ( ).( = = = = = = = = Ev Ödevlei: ) 0 (/) = lduğunu gösteini. ) ( ' - )=- ' - ' - ) ( lduğunu gösteini. ).[ ( ' - )]= ( ' - )]=0 lduğunu gösteini.. Htâsı insn ktu. Bütün büük işle htâl- ını kbul ve tâmi etmesini bilen insnlın eseidi..7. TATİK ELEKTİK ALANININ KOUYUCULUK ÖZELLİĞİ ttik elektik lnınd iki nkt sındki ptnsiel fkı dki l bğlı değildi. Nkt şeklindeki Q ükünün ud iki nkt sınd medn getidiği ptnsiel fkı ) ( 4πε Q 4πε Q d 4πε Q l. 4πε Q l V = = = = = = d E.d (5) ile veili. Ptnsiel fkı dki l bğlı lmdığı için V V ) 4πε Q 4πε Q V = = ( (5) lk lınbili. = ve için V =0 lu ki, budn ε = 4π Q V (5) elde edili. Diğe tftn, nkt şeklindeki ükün mesâfedeki elektik lnı ve enejisi için

23 0 BÖLÜM I ELEKTOTATİK ve Q E = 4πε = V / (54) W = F.d l = Q F.dl = QV V = W/Q (55) elde edili ki, budn şu snuçlı elde edebilii: Nkt şeklindeki bi Q ükünün V ptnsieli, snsuun efens (snsuun ptnsieli sıfı) seçileek hesplnn ptnsiel fkını (geilimini) göstei. Bu ptnsiele Mutlk Ptnsiel deni. Bun göe, ptnsiel biim ük bşın pıln iş lk d tnımlnı. Yâni ptnsiel fkı biim ükün, =l kd götüülmesinden dlı pıln işe eşitti. Dlısıl genel lk ϕ =V=El (56) ılbili. Bşk bi ifâdele, bu ptnsiel fkı, sttik elektik lnının, pitif biim elektik ükünü, meselâ hehngi bi A nktsındn hehngi bi B nktsın götümek için bu pitif biim elektik ükü üeine ptığı işti ve ϕ = V = l dl (57) 0E. AB lk d ılbili. Eğe pitif biim elektik ükünün, nı sttik elektik lnı içinde bu sefe B den A getiilmesi istense, mn d ϕ = V = 0 BA l E dl = l E.dl (58) 0 d ϕ =-Edl (59) lk ılmlıdı. Bu ptnsiel ise, nı sttik elektik lnı içinde pitif biim üküne kşı dış ln kuvvetleinin pcğı işi göstei. ttik elektik lnınd V AB =-V BA dı. Yâni, l 0 V ABV BA = E. dl E. dl = E.dl =0 (60) 0 l edili ki, bu sttik elektik lnlının kuuculuk (knsvtiflik) öelliğini beliti ve şöle ifâde edili: ttik elektik lnınd, elektik lnının kplı bi eği bunc bi butlu (çigi şeklindeki entegli) sıfıdı. Y d ttik elektik lnınd, iki nkt sındki ptnsiel fkı, l bğlı değil değildi; bu nktlın ptnsielleinin fkın eşitti.

24 BÖLÜM I ELEKTOTATİK (9) ve (59) dn, d=dl lduğu gö önünde tutulk E = ϕ (6) bulunu. Bu, elektik lnının difensiel ifâdesidi. (60) ifâdesi, bi kplı çevim belittiği için ϕ = E. dl (6) şeklinde ılbili. tkes teemine göe, bi vektöün hehngi bi kplı çevim bunc bi butlu entegli, bu vektöün tsnelinin kplı çevimin belittiği hehngi bi üe üeinden lınn üe entegline eşitti. Bu teeme göe, (6) entegli, ϕ = E. d l = ( E). d (6) şekline gie. Bu, sttik elektik lnı için (60) dn dlı sıfı snucunu vei ki lu veâ d 0 lmsı nedenile ( E). d =0 (64) E = 0 (65) bulunu. Bu, sttik elektik lnının kuuculuk öelliğinin difensiel ifâdesini vei. Ödev: V = Q 4πε nin e göe gdnını lını. Eğe kedeli iseni, şu ld heket etseni, pek kıs mnd detleiniden sıılbilisini. He gün dım muhtç bi insnı nsıl mesut edeceğinii düşününü ve n göe heket edini. Alfed Adle.8. ELEKTİK AKII Pitif elektik ükünden çıkn, negtif elektik ükünde sn buln bi elektik kısı vdı. Elektik kısı nktdn çıkn d nkt gien elektik üküne eşitti, φ = Q ve φ = Q (Şekil 9), biimi C di, genel lk φ ile gösteili. Yâni, pitif işâet, kının nktdn çıktığını; negtif işâet ise kının nkt gidiğini gösteecek şekilde tnımlnbili. Q - Q Şekil 9 Elektik Akısı

25 BÖLÜM I ELEKTOTATİK Bu çıklmlın ışığı ltınd elektik kı ğunluğunun büüklüğü elektik kı ğunluğu vektöü Veâ φ elektik kısını göstemek üee ve Elektik Akısı d D = D (66) = dφ D = d (67) φ = D. d D. d (68) φ = Dd (69) Q D = ve lu. ıçplı bi küenin mekeine knn bi Q ükünün üein hehngi bi nktsındki elektik kı ğunluğunun şiddeti, Q D = (70) 4π ve elektik kı ğunluğu vektöü, Q Q Q D = = = = ( ) (7) 4π 4π 4 π ile veili. Bu, nı mnd nkt şeklindeki bi Q ükünden çevee ıln elektik kısının ifâdesidi. Budki biim vektö, ıçp dğultusundki biim vektödü. Elektik kı ğunluğu vektöü, () deki biim vektö tnımının dikkte lınmsıl, (0) deki tnım geeğince D = εe sısıl () ve () den nkt nkt ükle için, ve süekli dğılımlı ükle için, D = i (7) 4π i = Q i ' i lk elde edili. dq' ρdv' ρ' ρ D = = dv dv = ' ' V ' = (7) 4π V 4π V 4π 4π V ' Ev Ödevi: Nkt şeklindeki ve süekli dğılım hâlindeki üklein elektik kı ğunluğu vektöleini gdn cinsinden ını. ul: ) ıçplı bi küenin mekeine knn ± Q ükünün ve sınd değişen θ çısının belilediği küe dilimi üeinden geçidiği elektik kısının ifâdesini veini.

26 BÖLÜM I ELEKTOTATİK ) ıçplı bi küenin mekeine knn ± Q ükünün küe üeinden geçidiği tplm elektik kısını hesplını. Akının önünü belitini. ) Yıçpı 5 cm ln dâie şeklinde bi disk üeindeki üe ük ğunluğu ρ s = 5sin φ C/m lduğun göe, üeden geçen net elektik kısını bulunu. veâ Cevpl: ) φ bi çıı ve ϕ elektik kısını göstemek üee: ϕ = D. d = D.d = D. d = D. d = Dd = β π Q Q ϕ = sinθ dθ d = ± (csα csβ) 4π φ, C ) ϕ = θ = α 0 D d = D. d = D. d = ( sinθ dθ dϕ ) = =±Q Q ( sinθ dθ dϕ ) 4π Q Q. sinθ dθ dϕ 4π 4π Q Q Q ϕ = ( sinθ dθ dφ ) = sinθ dθ d = ± (csα 4π 4π ϕ β α π θ = 0 π 0 π 0 csβ) =±Q ) Akının kış önü pitif ük için ükten snsu dğu, negtif ük için snsudn üke dğudu. 4) π 50 π Q = ρs d = ρsddφ = 5sinφddφ = 5 sinϕ dφ d = 0 C ϕ = 0 = 0 ϕ = 0 = 0 π ϕ = 0 = 0.9. TEKİL FONKİYONLA Nkt şeklindeki knk fnksinl tekil (singul) fnksinl deni. Bi mn nktsınd dbe (impuls) şeklinde etki eden fnksinu d bi tekil fnksindu. Tekil fnksinl, klâsik fnksinl dımıl tnımlnml. Bu fnksinll ilgili çlışml, 945 ılınd L. chwt tfındn geliştiilen genelleştiilmiş fnksinl teisini dğumuştu. chwt, teisini Distibisn (Distibutin) Teisi dı ile vemişti. Distibisn, klâsik fnksinl kvmını d içemekte ve nlın genel şeklini vemektedi. Bu üden Distibisn Genelleştiilmiş Fnksinl denmektedi. Bud genelleştiilmiş fnksinl içinde ln (Dic) delt fnksinu tnıtılcktı. Bu fnksin, genel lk hespld göülme. nuçld ise, tekil Ys,., Fuie Anlii, Çğln Bsımevi, 975. Jcksn, J.D., Clssicl Electdnmics, Jhn Wile nd ns, Inc., New Yk, 967.

27 4 BÖLÜM I ELEKTOTATİK fnksinl tmâmen tdn kblmuş d entegl işâeti ltınd test fnksinu (eteince iileştiilmiş bi fnksin) denilen bi fnksinl çpım şeklinde göülü. Yük ğunluğu, ık ükle için, delt fnksinu cinsinden ile gösteili. n ρ(') = qδ( -') (74) i= i Bu, ' i nktlınd bulunn n tâne nkt şeklindeki üklein dğılımını vei. Bu tnım, ptnsiel fnksinun tşınıs, n qδ( - ' ) i i= φ() = dv' (75) V 4πε ' elde edili. Bud G (,' ) = ifâdesine Geen Fnksinu deni. Dic delt ' fnksinu δ ( - ' ), Lplsin petöü cinsinden δ ( - ') = (76) - ' lk ılbili. Dlısıl Geen Fnksinunun Lplce sı lk elde edili. G ( - ') = δ ( - ') (77) Dic delt fnksinu δ ( - ' ), üç butludu. Yâni, δ( - ' ) = δ( - ' ) δ( - ' ) δ( - ' ) di. Meselâ ' knğın psisini ve ise psis değişkenini göstemek üee, bunun bi butlu şekli δ ( ), ' =, lup şğıdki iki öelliği tşımktdı: δ( ) = 0, ) δ( ) =, = ) δ( )d =, =. Bu ifâde, entegl bölgesinin = eşitliğini içemesi hâline âitti. Entegl bölgesi = eşitliğini içemis, bu ifâde sıfıdı. Klsik fnksinl benemeen Dic delt fnksinu () de göüldüğü gibi, =0 civâınd çk büük değe ln ve ijini çevien küçük bi lığın dışınd ise sıfı ln bi fnksindu. Elektsttikte nkt şeklindeki üklein, fmülleden de göüldüğü gibi, geek ptnsiel ve geekse elektik lnı ıçpın tesi ile ntılı lduğu için, =0 civâınd büük ptnsiel ve ln değeine ulşılmktdı. İşte bu üdendi ki, δ () fnksinu =0 ve civâındki işlemlein pılmsı için t tılmıştı. δ () fnksinu bi çift fnksindu: δ( ) = δ ().

28 5 BÖLÜM I ELEKTOTATİK Bu tnımldn çıkç göülü ki, hehngi bi kefi f() fnksinu için f () δ ( )d = f () (78) f () δ '( )d = f '() (79) ılbili. Bud delt üeindeki üs, ('), gümn göe tüevi göstemektedi. Üç butlu Dic delt fnksinu δ ( - ' ) için.0. TET FONKİYONU ) δ ( ') dv =, eğe V, = ' ise, (80) V ) δ ( ') dv = 0, eğe V, ' ise (8) V İnsn göündüğünden dh değeli lmlı, çk iş bşmlı fkt t çıkmlıdı. Mltke Eşitlik (78) de göüldüğü gibi delt fnksinun âit f() fnksinun Test Fnksinu deni. Bu fnksin f() sısını düenlediği için, sâdece f() ı bilmek etmektedi. Değişken değelei için tnımlnmış bi bölgede he metebeden süekli tüevlei kbul eden ve snlu ln eel f() fnksinl cümlesini ele ldığımıd, tnımlnn bölgenin çk küçük sınılı bi kısmındki nktld f() 0 ve bunun dışındki bütün nktld f()=0 lus, böle tnımlnn f() fnksinlın Test Fnksinlı deni. ul: ) f()=sin nsıl bi fnksindu? ) Test fnksinun tnımını veini. ) Bi test fnksinunun ıfı Ykınsmsı ne demekti? 4)Fnksinel nedi? 5) âbit fnksinu tnımlını. 6) Genelleşmiş fnksind öteleme nsıldı? 7) Genelleşmiş fnksind tüev nsıldı? 8) Biim bsmk fnksinunun tüevi nsıldı? 9) Dic δ () fnksinunun [Distibisnun] genelleşmiş fnksinunun bi sıı vediğini gösteini. 0) = nktsındki Dic δ () fnksinunu [Distibisnu] tnımlını. ) Dic δ () fnksinunun tüevini bulunu. ) üekli ve dışık lk tüetilebilen bi α () fnksinu ile δ () fnksinunun cpımının tüevini bulunu. Ys,., Fuie Anlii, Çğln Bsımevi, 975.

29 6 BÖLÜM I ELEKTOTATİK ) üekli ve dışık lk tüetilebilen bi α () fnksinu ile δ '( ) fnksinunun tüevinin cpımını bulunu. 4) δ' () = -δ () lduğunu gösteini. 5) Biim bsmk fnksinunun tüevinin δ () eşit lduğunu gösteini. 6) İmpuls fnksinunun tüevi nsıldı? 7 İmpuls fnksinunun bi çift fnksin lduğunu gösteini. Cevpl: ) Bi değişkene, meselâ değişkenine göe, he metebeden süekli tüevlei ln ve snlu ln he eel fnksinu ele llım. Önek lk f()=sin fnksinunun değişkenine göe he metebeden tüevlei lduğu gibi, bu fnksin snlu bi fnksindu. Bütün değelei için sö knusu bölge ile temsil edilise, f()=sin fnksinun tnımlnmış bölgesinde süekli tüevlei ve eel değelei vdı. Bu bi test fnksinu lk lınbili. f()=sin fnksinu de 0 ile π sındki he nktd bi değei vdı ve süeklidi. Anck =0 ve = ± π nktlınd f()=sin fnksinu 0 lu. Bun göe f()=sin fnksinu 0 π lığınd sıfıdn fklı lup bu nktlı içeen çk küçük kplı cümle 0 π lk belitilebili. Bunun dışınd π çık cümlesinde fnksin ine sıfıdı. nuç lk, fnksinun sıfı lduğu =-π, 0, π nktlı, süekli lduğu nin 0 π çık lığın dâhil değildi. ) f()=sin fnksinund göüldüğü gibi, demek ki, test fnksinu, tnımlnn bi bölgesinin çk küçük sınılı bi bölgesindeki bütün nktld sıfıdn fklı ve bunun dışınd 0 lmktdı.tnımlı böle ln f() fnksinlın Test Fnksinu deni. Bu test fnksinlının hepsine test uı dı veili. Bu u P ile temsil edilebili. Bi test fnksinu eel sıll çpılıp tplnıs, snuçt ine bi test fnksinu elde edili: f (), f () P f ()c f ()c P lu. Bu d test fnksinlının linee bi u medn getimesi demekti. ) P uını medn getien test fnksinlının f (), f (), f (). f n () (n=,,, ) gibi bi diisi sınılı, nı bölgenin dışınd sıfı ve dışık tüevlei de dügün biçimde sıfı gidese, bu f n () diisi P uınd ıfı Ykıns deni. 4) P uınd bi f() test fnksinun kı bi sı düşüen he işleme Fnksinel deni. F() fnksinu ile belitilmiş ve f() test fnksinun göe tnımlnmış bi fnksineli bşk bi ifâdele f() test fnksinun kşı bi sı düşüen fnksinel P F ( ) f ( ) d ile veili. Bunun snucu bi sıdı.. efenst uchn Ys bu sıı

30 7 BÖLÜM I ELEKTOTATİK lk semblie etmişti: P F ( ), f ( ) F ( ) f ( ) d = F ( ), f ( ) Bu ifâde hem lineedi ve hem de kıns. F ( ) f ( ) d ile tnımlnmış bütün P genelleşmiş fnksinl (distibisnl) egüle deni. P uının snlu he bölgesinde integli lınbilen F() gibi fnksinl Lkl Integbl-Bölgesel lk entege edilebilen fnksin deni. Klsik nlmd bi fnksin lmn δ () fnksinu d Lkl Integbl bi fnksindu. Dlısıl bu d f() test fnksinu ile bilikte medn getidiği fkksinel P δ ( ) f ( ) d = δ ( ), f ( ) de bi sı veebili. δ () fnksinu ile düenlenmiş bütün genelleşmiş fnksinl (distibisnl) Tekil (ingüle) deni. 5) F()=c=sâbit ise F ( ) f ( ) d = c f ( ) d = c, f ( ) ile tnımlnn genelleşmiş fnksin Genelleşmiş âbit Fnksin deni. Bud c= ise Genelleşmiş Biim Fnksin elde edili: f ( ) d = c f ( ) d =, f ( ) 6) Bilindiği gibi, 0 lmk üee, F(- ), F() in ekseni üeinde kd sğ dğu ötelenmesi deni. F( ) f ( ) d = F( ), f ( ) u=- lınıs F( u) f ( u ) du = F ( u), f ( u ) = F ( ), f ( ) bulunu. 7) Genelleşmiş fnksind tüev işlemi F '( ) f ( ) d = F '( ), f ( ) ile bşl. Bu, F '( ), f ( ) = F '( ) f ( ) d demekti. Bud kısmî entegsn pılıs

31 8 BÖLÜM I ELEKTOTATİK F '( ), f ( ) = F '( ) f ( ) d = F( ) f ( ) F( ) f '( ) d lu. ğdki ilk teim, f() test fnksinunun tnımlı lduğu kplı lığın dışınd sıfı lmsı nedenile, sıfıdı. Dlısıl, elde edili. F '( ), f ( ) = F ( ) f '( ) d = F ( ), f '( ) 8) 0 u()= 0 için 0 için ile tnımlı ln biim bsmk fnksinu, =0 d süeksi lduğu için, klsik nlmd bi tüeve sâhip değildi. Am genelleşmiş fnksin kvmınd bu bi tüevi içei. F '( ), f ( ) = u '( ), f ( ) = u( ) f '( ) d = f '( ) d = f ( ) = f ( 0) 0 0 = 0 ede. nuç lk lu. u '( ), f ( ) = f ( 0) 9) δ () = 0 0 için = 0 için ile tnımlı ln impuls fnksinu d klsik fnksinldn fklıdı. Bu üden bun Dic Fnksinu d deni. Göüldüğü gibi bu fnksin =0 d büük bi değee ulşmkt fkt =0 ın dışınd 0 nktsını çevien küçük bi lıkt 0 lmktdı. Bu üden, Dic δ () fnksinunun e bğlılığındn iâde =0 dki değei önem knı. Dlısıl δ () fnksinu δ ε () 0 = ε 0 için 0 ε için ε için lk gösteilise, bu fnksin ε ' nun sıfı gidekenki limiti lk düşünülebili. Bu demekti. Bun göe Lim δ () = δ () ε 0 ε δ ε ( ) d = 0 d = ε lu. Bu çıklmlın ışığı ltınd

32 9 BÖLÜM I ELEKTOTATİK δ ε ( ), f ( ) = ε = = ε δ ε ( ) f ( ) d δ 0 ε ( ) f ( ) d f ( ) d 0 ε bulunu. n enteglde, 0 ζ sınd lmk üee, entegl hesâbın tlm değe teemi kullnılıs, âni lınıs ε 0 f ( ) d = f ( εζ ) d = εf ( εζ ) ε δ ε ( ), f ( ) = = f ( ) d = εf ( εζ ) = f ( εζ ) ε 0 ε elde edili. Bud ε 0 için limit lınıs ε 0 δ δ ( ), f ( ) = ( ) f ( ) d = f ( 0) bulunu. Bu snuç, δ () fnksinu ile test fnksinunun çpımının enteglinin f(0) gibi bi sı vediğini göstei. Yâni, Distibisnun [ δ () fnksinu] genelleşmiş fnksinu bi sıdı. 0) = nktsındki Dic δ () fnksinunu [Distibisnu] tnıml ile bşlbilii. Bu sn ifâdelei şeklinde bilii. n elde edili. 0 lınıs δ () 0 = 0 için = 0 için δ δ ( ), f ( ) = ( ) f ( ) d = f ( 0) 0 δ ( 0) = δ 0 için = 0 için δ ( 0), f ( ) = ( 0) f ( ) d = f ( 0) 0 δ ( ) = için = için δ ( ), f ( ) = ) f ( ) d = f ( ) ) Dic δ () fnksinunun tüevini bulmk için δ ( ifdesinden heket edili: Diğe tftn F '( ), f ( ) = F ( ) f '( ) d = F ( ), f '( ) δ '( ), f ( ) = δ ( ) f '( ) d = δ ( ), f '( ) δ δ ( ), f ( ) = ( ) f ( ) d = f ( 0)

33 0 BÖLÜM I ELEKTOTATİK lduğu için lu. Budn heket edeek lduğu d göülü. = ise elde edilen ifâdesinin (79) eşitliğini vediği göülü. δ δ '( ), f ( ) = ( ) f '( ) d = f '( 0) δ '( ), f ( ) = ) f '( ) d = f ( ) δ ( δ δ '( ), f ( ) = ( ) f '( ) d = f ( ) Aıc n. metebeden tüevle için de ( n) ( n) ( n) δ ( ), f ( ) = ( ) f ( 0) lduğu d gösteilebili. ( n) ( n) δ ( ), f ( ) = ( ) f ( ) ) üekli ve dışık lk tüetilebilen bi α () fnksinu ile δ () fnksinunun cpımının tüevini bulmk için [α()f()]' = α ' F αf' tüev kâidesinde F eine δ () ılıs [α() δ ()]' = α ' δ αδ' lu. ) üekli ve dışık lk tüetilebilen bi α () fnksinu ile δ '( ) fnksinunun tüevinin cpımını bulunu. Bud sğdki sldn ikinci teimi, αδ ', ele llım: αδ ' = [α() δ()]'-α ' δ Bud α()δ () ifâdesi δ () fnksinunun dışık lk tüetilebilen bi α () fnksinu ile çpımını göstemektedi. Yâni, α ( ) δ ( ), f ( ) = [α()δ( )]f()d δ( )[α()f()]d α( )f( ) = lu. Bud lduğundn δ ( ), f ( ) = ) f ( ) d = f ( ) δ ( α( )f( ) = α( ) ve budn d δ ( ) f ( ) d = α( ) δ ( ), f ( )

34 BÖLÜM I ELEKTOTATİK d veâ =0 için bulunu. α() = lınıs, elde edili. d veâ elde edili. α ( ) δ ( ), f ( ) = α( ) δ ( ), f ( ) α ) δ ( ) = α( )δ ) ( α()δ () = α(0) δ () δ () =0 ( [α() δ ()]' = α '( ) δ ( ) α( ) δ' () α( ) δ' () = [α() δ()]'-α '( ) δ ( ) α()δ () = α(0) δ () α' () δ () = α' (0)δ () α ( ) δ' () = [α() δ()]'-α '( ) δ ( ) = [α(0) δ()]'-α '( 0) δ ( ) α( ) δ' () = [α(0) δ()]'-α '( 0) δ ( ) = α(0) δ '() -α '( 0) δ ( ) α( ) δ' () = α(0) δ '() -α '( 0) δ ( ) ) üekli ve dışık lk tüetilebilen bi α () fnksinu ile δ '( ) fnksinunun tüevinin cpımını bulunu. 4) δ' () = -δ () lduğunu göstemek için α( ) δ' () = α(0) δ '() - α '( 0) δ ( ) ifâdesinden fdlnılı: lu. α( ) δ' () = α(0) δ '() -α '( 0) δ ( ) δ' () = 0δ '() -. δ ( ) = δ ( ) 5) Biim bsmk fnksinunun tüevinin δ () eşit lduğunu gösteini. kşılştıılıs elde edili. Budn bulunbili. u '( ), f ( ) = f ( 0) δ ( ), f ( ) = f (0) u ()= δ () u (- )= δ ) ( 6) İmpuls fnksinunun tüevi nsıldı? dδ ( ) Bud δ '( ) = ve d δ δ '( ), f ( ) = ( ) f '( ) d = f '( 0) df ( ) f '( 0) = lduğundn d = 0

35 BÖLÜM I ELEKTOTATİK lu. δ '( ), f ( ) = δ ( ), f '( ) = f '( 0) 7 İmpuls fnksinunun bi çift fnksin lduğunu göstemek için önce, bi sâbit lmk üee, δ ( ) = δ ( ) eşitliğini bullım. Bunun için δ ( ), f ( ) fnksinelinde =v dönüşümünü plım. dv nın hem pitif ve hem de negtif lbileceği düşünüleek, d=dv d = lcğı çıktı. Budn v δ ( ), f ( ) = δ ( ) f ( ) d = δ ( v) f ( ) dv elde edili. lduğu dikkte lınk bulunu. Y d veâ ve budn elde edili. =- için δ δ ( ), f ( ) = ( ) f ( ) d = f ( 0) δ ( ), f ( ) = ( v f = f ( ) ) 0 δ ( ), f ( ) = δ ( ), f ( ) = v= 0 v f ( = δ ( ) f ( ) d ) δ () = δ () δ ( ) = δ ( ) v= 0 lduğu göülü. Demek ki δ () fnksinu çift bi fnksindu. δ ( ) f ( ) d = δ ( ), f ( ).. GAU KÂNUNU VE DİVEJAN TEOEMİ İçinde n tâne nkt şeklinde elektik ükü bulunn kplı bi üe üeinden elektik kısının entegli, bu kplı üe içinde bulunn net elektik üküne eşitti. ϕ = dφ = dφ = Q i = Qnet, i =,,,..., Q net = Q i. (8) n i= n i=

36 BÖLÜM I ELEKTOTATİK Eğe kplı üe içindeki elektik ük dğılımı süekli ise, mn (8) fmülü veâ d ϕ = φ = d φ = ρdv = Q, i =,,,...,. (8) n i= V net D.d = D.d = Q = Q, i =,,,..., Q = Q. (84) = i net φ D. d = ρdv = Q, i =,,,..., (85) V net net n i= i lu. (84) ve (85) e göe Guss Knunu şöle de tnımlnbili: Elektik kı ğunluğu vektöünün kplı bi üe üeinden entegli, bu kplı üe içindeki net ükü vei. D bi vektö lduğu için, (85), (44) fmülünde A vektöü eine ılıs, lu. Veâ d Lim V 0 A. d = Lim V V 0 D. d V (86) Q = D. d.d Lim = Lim net = ρ V 0 V V 0 V (87).D = ρ (88) edili ki bun Mwell Denklemi deni. (87) ifâdesindeki ük ğunluğu (85) de eine knus ϕ = D. d =.DdV (89) = elde bulunu. Bun Guss un Divejns Teemi deni. Bunun nlmı şudu: V Elektik kı ğunluğu vektöünün bi kplı üei üeinden (iki butlu) üe entegli, bu vektöün divejnsının bu kplı üein medn getidiği hcim üeinden (üç ktlı) hcim entegline eşitti. Q net ul: ) Guss Kânunu ndn heket edeek Q ükü ln bi mddî nktnın elektik ln fmülünü çıkını. ) ρ l ük ğunluğunu tşın snsu uun dsdğu bi httn kd uklıkldki nktld medn gelen elektik kı ğunluğu ve elektik lnın şiddetleinin ve vektöleinin ifâdeleini bulunu. Bu elektik kısı ve elektik ln şiddetleinin gemetik elei ne lu? ) Yıçpı m ln bi küenin içinde elektik kı ğunluğu vektöü, ıçp dğultusund ıçp bğlı lk D = (5 /4) ve küenin dışınd D = (5/4 )

37 4 BÖLÜM I ELEKTOTATİK ile değişmektedi. 0 ve bölgeleindeki elektik ük ğunluğunu ıçpın bi fnksinu lk bulunu. Cevpl: ) (70) fmülü ile veilen Q D = 4π elektik kı ğunluğu, sâbit Q ükü ve sâbit ıçp için belli bi değede lup sâbit lduğu için, (69) d entegl dışın lınbili: veâ ϕ Q = D.d = D. d = Dd = D d = D = Q D = = εe E = Q ε lu. Q ükünden kd uklıkt bulunn bi nktdn geçen küenin üe lnı = 4π lduğu için, Q ükü ln bi mddî nktnın elektik ln şiddetinin ifâdesi, Q Q E = = ε 4πε lk elde edili. Elektik ln vektöünün dğultusu, ıçp dğultusunddı. Bu dğultudki biim vektö lk lınıs, elektik ln vektöünün ifâdesi, lk bulunu. Q 4πε E = ) ρ l ük ğunluğunu tşın snsu uun dsdğu bi httın üeinde L uunluğunu llım. Yükü Q ln L uunluğundki, üeindeki d V hcmindeki bi cismin ük ğunluklı sısıl ρ l (C/m), ρ s (C/m ) d ρ (C/m ) ile veili. Bu L uunluğu, ıçplı nktll bilikte ele lınn ht eksenli bi silindi tnıml. Bu silindiin lt ve üst üeleile bilikte n üü kplı bi üei medn getii. Yâni, = lt üst n lu. Alt ve üst üelein biim nml vektölei, l, eksen dğultusund ve bibileine tes öndedile: lt = l ve üst =- l lup lt üst =0 lu. Dlısıl, = n lck şekilde, kplı üei sâdece n üee indigeni. Yn üein biim nml vektöü,, silindiin eksenini medn getien uun dsdğu htt dik lup dış dğudu: = n =. Bu silindiin içinde kln L bundki ht pçsınd bulunn elektik ükünün Q=L ρ l lcğı çıktı. Bu üke Guss Knunu ugulnıs, elektik kısı için,

38 5 BÖLÜM I ELEKTOTATİK Q=L ρ ve budn bulunn l = D.d = D. d = D. = D. Q=L ρ = D l = Lρl ifâdesinden heket edeek D = elde edili. Bud = π L lduğu için eine knus,elektik kı ğunluğunun şiddeti, Lρ ρl D = l = π lk bulunu. Bu büüklüğün vektö ifâdesi, silindiin ıçp dğultusund lduğundn, Lρ ρl D = l = π lk elde edili. Bu sn iki ifâdeden elektik lnın âit elektik lnı şiddeti ve vektöü, sısıl Lρ ρl E = l = ε πε Lρ ρl E = l = ε πε lu.geek elektik kısının ve geekse elektik lnının şiddeti sâbit ük ğunluğu ve eksenden sâbit uklıkl için sâbit değele veile. Geek elektik kı ğunluğu ve geekse elektik lnın âit bu sâbit değelein he biinin gemetik elei bie silindiin n üeleini tnımll. ) Elektik kı ğunluğu vektöü, biinci bölümdeki (48) fmülünde eine knus, D φ.d(,θ, φ )= ( D ) (Dθ sinθ) sinθ θ sinθ φ D bulunu. Bu (88) e tşınıs, ρ = ( D ) (Dθ sinθ) sinθ θ sinθ φ φ D ük ğunluğunun küesel kdintldki ıçp bğlı ln ifâdesi elde edili. 0 bölgesindeki elektik kı ğunluğu vektöü D = (5 /4) lk veildiğine göe, bu ugulmd 0 bölgesinde D = 5 /4D, D θ =0 ve ğunluğunun genel ifâdesinde kullnılıs, D φ =0 dı. Bu bileşenle ük ρ = ( D ) = ( 5 /4) = ( 5 /4) =.5 C/m,

39 6 BÖLÜM I ELEKTOTATİK bölgesindeki elektik kı ğunluğu vektöü D = (5/4 ) lduğun göe, D = 5/4 lu ki budn ρ = ( D ) = ( 5/4 ) = (5/4) = 0 elde edili. ul: ) Ptnsiel fnksinu ϕ = 5 8 V lk veildiğine göe elektik ln vektöünü bulunu. ) Ken uunluklı 4 m ln bi küpün kplı üei ve hcmi için D=0 5 /7 elektik kı ğunluğu vektöüne âit divejns teemini geçekleini. Cevpl: ) Ptnsiel fnksinu veilince elektik ln vektöü E = ϕ ile hesplnı: E= ϕ = (5 8) = (5 8 ) V/m ) Dik kdint sisteminin bşlngıç nktsı, şekilde göüldüğü gibi, küpün mekeinde seçilebili. ϕ D.d = ρdv = dv = Q, i =,,,..., =.D V V Divejns teeminin sl tfını ele llım. Bun göe ekseni dğultusundki üele üeinde = m ve =- m için 5 5 0() 0( ) ϕ = D.d = dd. dd( = ) 7 7 = = C lu. Bud -, - önündeki nml biim vektödü. Elektik kı ğunluğu vektöünün ve bileşenlei sıfı lduğu için, küpün bu üleine ilişkin enteglle tdn klk. Dlısıl, kplı çevimin sdece küpün dğultusundki üelee indigendiğine dikkt edini. Teemin ikinci tfın gelince: ϕ = ρdv =.DdV =. (0 /7 )dv = ddd 7 = V 50 7 = = V 5 5 = = = net dd = (6)( ) = C 7 5 = = = D- d d 0 D

40 BÖLÜM II TATİK ENEJİ Âdî insnl, önemli dmlın htâ ve kusulındn büük evk dul. chpenhve Kâfi deecede sevilmisk, bunun sebebini kâfi deecede sevecek kudetimiin lmmsınd mlıı... NOKTA ŞEKLİNDEKİ ELEKTİK YÜKLEİ VE İŞ Elektn gibi, nkt şeklinde sbit q üklü bi elektik ükü, E ile veilen bi elektik lnı içinde bi F kuvvetine mâu klk bi heket knı. Elektik üklü pçcığı süükleeek bu pçcığ bi iş ptın kuvvet ve kısc ile bellidi. F ( ' ) = Q( ' ) E( ' ) () F = QE () Elektik lnı, Şekil de göüldüğü gibi, (Q) ve (-Q) elektik üklei ile üklenmiş kndnstö levhlı sınd medn getiilebili. Bu ln, uç etkilei ihml edilise, bi dügün lndı. Elektik ln vektölei bibiine plel ln ln dügün ln deni. Alnın önü pitif ükten negtife üke dğudu. He elektik lnının ptığı gibi, bu elektik lnı d, elektn gibi, elektik üklü pçcıkl bi kuvvet ugulk nl bie heket kndıı. Q -Q E Şekil (Q) ve (-Q) elektik üklei ile üklenmiş kndnstö levhlı sınd medn gelen elektik lnı Fmülde göüldüğü gibi, dügün bi elektik lnı tfındn elektik üklü pçcıkl ugulnn kuvvet, elektik ükü ile dğu ntılıdı. Elektik ükü pitif ise, medn gelen kuvvet elektik lnı önünde, elektik ükü negtif ise, elektik lnının tes önündedi. Bi kuvvet bi cisme bi heket kndııs, bilindiği gibi, bu kuvvet bu cisim üeine bi iş p. Dlısıl, bud kuvveti medn getien elektik lnı lduğun ELEKTOMANYETİK ALANLA Pf. D. Mustf TEMİZ

41 8 BÖLÜM II TATİK ENEJİ göe, Q ükü üeine işi pck ln elektik kuvveti lu. Yüklü cisimle üeine iş pn böle lnlın medn getidiği kuvvete Aln Kuvveti deni. Şekildeki elektik lnı tfındn medn getiilen ln kuvveti, Q üküne dl kd bi heket kndııs pıln işin dw = F dl = Q E dl () lcğı çıktı. Bu, ln kuvveti tfındn pıln bi iş lu. MKA biim sisteminde [dl ]=[dl ]=m, [Q]=C, [E]=[E]=V/m ve [F]=[F]=N lk lınıs [dw]=j lk elde edili. ul:. Dik kteen, silindiik ve küesel kdint sistemleinde difensiel uunluk elemn fmülleini ını. Cevpl:. Dik kteen, silindiik ve küesel kdint sistemleinde difensiel uunluk elemn fmüllei, sısıl, şğıddı: dl = d d d, dl = d dφ d, φ d l = d d dφ d d l = d d,(dik kteen), (ilindiik) dl = d dθ sinθdφ, d l = d dθ sinθdφ,(küesel) ile veildiği bilinmektedi. θ φ Bölece elektik lnı tfındn medn getiilen ln kuvveti, Q üküne dl kd bi heket kndııs pıln iş, W = F. dl (4) lu.kndnstöün levhlı sındki dügün elektik lnınd, ln kuvveti tfındn hekete getiilen elektik üklü bi tneciğin heketini dudumk için bu tneciğe () de veilen kuvvete eşit ve tes önde bi kuvvetin ugulnmsı geekeceği çıktı. Yâni, hâeket hâlindeki üke F = QE (5) kuvveti ugulnıs, mn bu tâneciğe ugulnn bileşke kuvvet sıfı lu. Tneciğin heketini dudun ve dışıdn ugulnn bu kuvvete Dış Aln Kuvveti (Dış Kuvvet) deni. Bu kuvvet de tâneciğin heketini dudumk için bi iş pmk unddı. Bunun ptığı işe ise, dış ln kuvvetinin ptığı iş dı veili. Bu işin t veâ lcğı çıktı. dwt = F dl = QE dl (6) t W t = F t. dl = F.dl (7) Bi insnın kıllı lmsın bi şe dediğimi k Yete ki, klını bşklın kbul ettimee çlışmsın!..

42 9 BÖLÜM II TATİK ENEJİ.. ELEKTİK GEİLİMİ Eflâtun Bi ln kuvveti, bi tâneciği bi sttik elektik lnı içindeki bi A nktsındn bi B nktsın l kd bi mesâfe içinde tşık bi iş p. Aln kuvvetinin ptığı bu iş snund elektik üklü tânecik B nktsın geli. Bu ükü tek B nktsındn A nktsın getimek için pçcığ bi dış ln kuvvetinin ugulnmsı eteli lu. l kd ln bi mesâfe bunc elektik ln kuvveti tfındn Q ükü üeine pıln iş ifâdesinden heket edeek biim elektik ükü üeine pıln işin bulunmsı mümkündü. () den dv = dw/q = E dl (8) elde edili ki budn V = l E. dl (9) 0 AB bulunu. Bu iş, biim elektik üklü tâneciği A nktsındn bi B nktsın l kd tşımk için, ln tfındn pıln işti. Biim ük bşın dış ln kuvvetinin ptığı iş ise, V = l F l t BA. dl =- E.dl =-V AB (0) 0 Q 0 bulunu. (9) ifâdesi, biim ük bşın sttik lnının ptığı işi, (0) ifâdesi ise, dış elektik lnının ptığı işi göstemektedi. Biim ük bşın pıln iş geilim lk bilini. Meselâ, (9) ifâdesi, A ve B nktlı sındki ptnsiel fkını göstei. Bu bi geilimdi. Ev Ödevi: ) Dügün elektik lnı nedi? ) Uç etkisi nedi? ) ttik elektik lnın kuuculuğu nedi? ) (7) i kullnk nkt şeklindeki bi q ükünün uın hehngi iki A ve B nktlı sındki geilim ifâdesini bulunu. 4) Mutlk ptnsiel nedi? ttik elektik lnınd (9) ve (0) dn göüldüğü gibi, elektik lnı tfındn pıln iş ile dış elektik lnı tfındn pıln işin büüklükçe eşit lduğu göülmektedi. Dlısıl, iş hesâbınd bu fmülleden bi tânesi kullnılbili. Bunldn (5) kullnılıs, W = l F.d l () t 0 elde edili ki, bu duum d şğıdki tnım ess lını. (5) fmülüne göe: Edministe, J.A., Electmgnetics, chum s Outline eies in Engineeing, McGw-Hill Bk Cmpn, 979.

43 40 BÖLÜM II TATİK ENEJİ Ypıln iş pitif ise, işin dış elektik ln kuvveti tfındn pıldığı; pıln iş negtif ise, işin elektik lnı kuvveti tfındn pıldığı söleni. ul: ) 8 C luk bi elektik ükü, dik kteen kdint sisteminde, E=4-4 V/m elektik lnı içinde A(,0,0) nktsındn B(0,4,0) nktsın götüülmektedi. ) Ypıln işi hesplını. b) Bu işi hngi ln pmıştı? ) İç ıçpı 4 cm ve dış ıçpı 0 cm ln bi kksil kbld iki silindi sındki elektik lnı (00/) lk veildiğine göe,bu iki silindi sındki geilimi hesplını. Cevpl: ) = lup d=d d dw=-qe.d=-8(4-4 ).(d d )=-8(4d-4d)=-(d-d) 4 B 0 A İki nktdn geçen bi dğu = veâ 4 0 = d =4-4/, d=-4d/ ve dw = d (4 )( d) = (d d d) = (d d d) = d( ) d = ( d dw = ( d d) 9 veâ 7 6 W = 0 ( d )d = 400J 9 lu. d)

44 4 BÖLÜM II TATİK ENEJİ = 9.6 V b) İş dış ln kuvveti tfındn pılmıştı. ) V = l AB E.dl 0 dl = d 00 V = AB E. d = V = AB d = 00 = 00 d 00ln 00(ln00 ln40 = = = 40 ) = 00ln.5 Ev Ödevi: ) Yukıdki pbleme âit dw=-8(4d-4d)=-(d-d) ifâdesindeki işi değişkenine göe hesplını. ) V AB geilimini bulunu. ) Yükün hiptenüs üeinden götüüldüğünü düşüneek pıln işi hesplını. Dkuuncu sıl. sı sınd dünânın en geniş edebit dâieleinden bii teşekkül etmişti. Bi çk kültü mhsullei, kımetli keşifle, fikî flietlein ne deece mükemmel lduğunu göstemektedi. Bu mükemmellik Hıistin Avup üeinde de tesiini göstedi. O kd ki, bu Müslümn lın he husust biim hclımı lduğu hkkındki göüşe hklılık kndımış lbili. edillt ( ).. TATİK ELEKTİK ALANINDAKİ ENEJİ Önce elektik lnının sıfı lduğu bi G bölgesi ele llım (Şekil ). Biinci dımd snsudki bi Q ükünü nktsın getielim. Bu duumd G bölgesinde elektik lnı sıfı (E=0) lduğu için bu ük üeine bi iş pılm. Bunu W =0 ile gösteelim. G bölgesine getiilen nktsındki Q ükü, nktsınd V ptnsielini ve E sttik elektik lnını; nktsınd ise, V ptnsielini ve E sttik elektik lnını medn getii. İkinci dımd snsudki bi Q ükünü nktsın getielim. Bu ikinci duumd G bölgesinde nktsındki E sttik elektik lnı Q ükü üeine bi iş p. Bu iş W =V Q di. G bölgesine getiilen Q ükü nktsınd V ptnsielini ve E sttik elektik lnını; nktsınd V ptnsielini ve E sttik elektik lnını medn getii. WEB sflı sık sık enilendiği için, bu sfl mnl ulşım mümkün lmbili.