TEMEL KAVRAMLAR. 1.1 Reel Sayılar

Transkript

1 TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde reel sayılar, denklemler ve koordinat düzlemi gözden geçirilecektir. Muhtemelen bu kavramlarla tanıştınız, ancak gerçek dünya problemlerini modelleme (tanımlama) ve problem çözme ile birlikte bunların nasıl çalıştığına yeniden bakmak yararlı olacaktır. Gerçek yaşam durumlarında bu kavramların nasıl kullanıldığına bakalım: Varsayalım ki yarı zamanlı işinizde saat başına $9 alıyorsunuz. Ödemenizi y ve çalışma saatinizi x ile göstererek y = 9x denklemi ile modelleyebiliriz. 00 dolar kazanmak için ne kadar saat çalışmanız gerektiğini bulmak için, 00 = 9x denklemini çözeriz. y = 9x denklemini koordinat düzleminde çizmek, çalışılan saatlerle birlikte ödemelerin nasıl değiştiğini görmemizde bize yardımcı olur. 1.1 Reel Sayılar Reel Sayıların Özellikleri Toplama ve Çıkarma Çarpma ve Bölme Reel Doğru Kümeler ve Aralıklar Mutlak Değer ve Uzaklık 1

2

3 3

4 4

5 Farklı paydalara sahip kesirleri topladığımızda, genellikle Özellik 4 ü kullanmayız. Bunun yerine, en küçük mümkün ortak paydaya (sıklıkla paydaların çarpımından daha küçük) sahip olacak şekilde kesirleri yeniden yazarız ve ardından Özellik 3 ü kullanırız. Bu payda, gelecek örnekte En Küçük Ortak Payda (EKOP) olarak tanımlanmıştır. ÖRNEK 3: Kesirleri Toplamada EKOP Kullanımı Hesapla: Çözüm Her paydayı asal çarpanlarına ayırdığımızda Her çarpanın en yüksek kuvveti kullanılarak, bu çarpanlara ayırmada ortaya çıkan tüm çarpanların çarpılmasıyla en küçük ortak payda (EKOP) bulunur. Böylece EKOP dır. Yani: Ortak payda kullanılır Özellik 3: Aynı paydaya sahip kesirler toplanır. Şekil 3 de gösterildiği gibi, reel sayılar bir doğru üzerindeki noktalarla temsil edilebilir. Pozitif yön (sağa doğru) bir ok ile gösterilir. Sıfır (0) reel sayısına karşılık gelen ve orijin olarak adlandırılan keyfi bir referans noktası O seçeriz. Herhangi bir uygun ölçü birimi 5

6 verilmişken, her pozitif x sayısı orijin sağında x birim uzaklığında bulunan nokta ile temsil edilir ver her negatif -x sayısı orijinin solunda x birim uzaklığında bulunan nokta ile gösterilir. Sayı ile ilişkilendirilen P noktası, P nin koordinatı olarak adlandırılır ve doğru ise koordinat doğrusu veya reel sayı doğrusu veya basitçe reel doğru olarak adlandırılır. Çoğunlukla noktayı koordinatı ile tanımlarız ve bir sayıyı reel doğru üzerindeki bir nokta olarak düşünürüz. Şekil 3. Reel doğru Reel sayılar sıralamaya tabi tutulur. Eğer b a pozitif bir sayı ise, a sayısı b den küçüktür deriz ve a < b yazarız. Geometrik olarak, bu sayı doğrusu üzerinde a nın b nin solunda uzanması demektir. Eş değer olarak, b sayısı a dan büyüktür de deyip b > a yazabiliriz. a b (veya b a) sembolü a < b veya a = b anlamına gelir ve a sayısı b e eşit veya küçüktür şeklinde okunur. Örneğin, aşağıdakiler doğru eşitsizliklerdir (Şekil 4 e bakın): Şekil 4 Bir küme nesnelerin bir araya gelmesidir ve bu nesneler kümenin elemanları olarak adlandırılır. Eğer S bir kümeyse, a S gösterimi a nın S in bir elemanı olduğu ve b S ise b nin S in bir elemanı olmadığı anlamına gelir. Örneğin, Z tamsayılar kümesini temsil ediyorsa, bu durumda 3 Z ancak π Z dir. Bazı kümeler ayraçlar içinde elemanların listelenmesi ile tanımlanabilir. Örneğin, 7 den küçük tüm pozitif tam sayılardan oluşan bir A kümesi aşağıdaki gibi yazılabilir. A kümesi ayrıca ortak özellik gösterimi kullanarak da şöyle yazılabilir: 6

7 A = {x x tam sayıdır ve 0 < x < 7} gösterimi A kümesi, x in tamsayı ve 0 < x < 7 olduğu tüm x lerden oluşur. olarak okunur. Eğer S ve T küme ise, S T birleşimi S veya T (veya her ikisinde) de bulunan tüm elemanlardan oluşan kümedir. S veya T nin kesişimi is S ve T nin her ikisinde bulunan tüm elemanlardan oluşan S T kümesidir. Başka bir deyişle, S T kümesi S ve T nin ortak kısmından oluşur. ile gösterilen boş küme, eleman içermeyen kümedir. ÖRNEK 4: Kümelerin Birleşimi ve Kesişimi S = {1,,3,4,5}, T = {4,5,6,7} ve V = {6,7,8} ise S T, S T ve S V bulunuz. Çözüm S veya T deki tüm elemanlar S ve T deki ortak elemanlar S ve T de ortak eleman yoktur Aralık olarak adlandırılan reel sayıların bazı kümeleri kalkülüs içerisinde sıklıkla ortaya çıkar ve geometrik olarak doğru parçasına karşılık gelirler. Eğer a < b ise, a ile b arasındaki tüm sayılardan oluşan a dan b ye açık aralık (a, b) ile gösterilir. a dan b ye bitim noktalarını içeren kapalı aralık kapalı aralık [a, b] ile gösterilir. Ortak özellik gösterimiyle aşağıdakiler yazılabilir: Şekil 5. Açık aralık (a, b) Şekil 6. Kapalı aralık [a, b] Dikkat edilirse aralık gösterimindeki parantezler ( ) ve Şekil 5 deki grafikteki içi boş çemberler, aralıktan bitim noktalarının dışlandığını gösterir. Oysaki, köşeli parantezler ve Şekil 6 daki içi dolu çemberler bitim noktalarının dahil edildiğini gösterir. Aynı zamanda 7

8 aralıklar bir bitim noktasını içerebilir veya tek veya iki yönde sonsuza kadar genişleyebilir. Aşağıdaki tablo, mümkün aralık tiplerini listelemektedir. ÖRNEK 5: Aralıkların Çizimi Eşitsizliklere göre her aralığı ifade ediniz ve ardından aralığın grafiğini çiziniz. ÖRNEK 6: Aralıkların Birleşimi ve Kesişimi Bulma Her kümenin grafiğini çiziniz. Çözüm a) İki aralığın kesişimi iki aralığın her ikisinde bulunan sayılardan oluşur. Bu yüzden Bu küme Şekil 7 de gösterilmiştir. b) İki aralığın birleşimi, bir aralık veya diğer aralıktaki (veya her ikisindeki) sayılardan oluşur. Bu yüzden 8

9 Bu küme Şekil 8 de gösterilmiştir. Şekil 7. Şekil 8. a ile gösterilen bir a sayısının mutlak değeri, reel sayı doğrusunda a dan 0 a olan uzaklıktır (Şekil 9 bakın). Uzaklık her zaman pozitif veya sıfırdır, bu yüzden her a sayısı için a 0 dır. Hatırlanırsa, a negatif iken a pozitiftir. Böylece aşağıdaki tanım yapılır. Şekil 9 Mutlak Değerin Tanımı a reel bir sayı ise, bu durumda a nın mutlak değeri: a eğer a 0 a = a eğer a < 0 ÖRNEK 7: Sayıların Mutlak Değerlerinin Hesaplanması Mutlak değerler ile çalışırken aşağıdaki özellikleri kullanırız. 9

10 Reel doğru üzerinde ile 11 arasındaki uzaklık nedir? Şekil 10 dan uzaklığın 13 olduğunu görürüz. Bu sonuca 11 ( ) = 13 veya ( ) 11 = 13 den ulaşırız. Bu gözleme dayanarak aşağıdaki tanımı yaparız (Şekil 11 bakın). Şekil 10 Şekil 11. Doğru parçasının uzunluğu b a Reel Doğru Üzerindeki Noktalar Arası Uzaklık Eğer a ve b reel sayılar ise, reel doğru üzerindeki a ve b noktaları arasındaki uzaklık şöyledir: d(a, b) = b a Negatiflerin Özellik 6 sından şu ortaya çıkar: b a = a b Bu, bekleneceği üzere a dan b ye uzaklık ile b den a ya uzaklığın aynı olduğunu söyler. ÖRNEK 8: Reel Doğru Üzerindeki Noktalar Arası Uzaklık 8 ve noktaları arasındaki uzaklık: d(a, b) = 8 = 10 = 10 Şekil 1 de gösterildiği gibi, geometrik olarak bu hesaplamayı kontrol edebiliriz. 10

11 1. Üslü Ve Köklü İfadeler Şekil 1 Bu kısımda m/n üssünün rasyonel sayı olduğu gibi ifadeleri inceleğeceğiz. Bunu başarmak için tamsayılı üsler, köklü sayılar ve n. kök konularını anımsamalıyız. Tanmsayılı Üsler Aynı sayıların çarpılması sıklıkla üssel notasyonla ifade edilir. Örneğin 5.5.5, 5 3 olarak ifade edilir. Üstel Noasyon: Eğer a bir reel sayı ve n pozitif tamsayı ise a nın n inci kuvveti olur. a ya taban n e ise üs denir. Örnek 1 Üstel Notasyon Üstel notasyonla çalışırken pek çok faydalı kural kullanabiliriz. Çarpma için kuralı bulmak için 5 4 ü 5 ile çarpalım Aynı tabana sahip iki kuvveti çarpmak için bunların üslerini toplarız. Genelleştirilecek olursa 11

12 böylelikle Olur. Bu kural m ve n sıfır veya negatif bile olsa geçerli olmasını isteriz. Örneğin Bu ancak Sağlandığında geçerli olur. Buna benzer olarak : Bu da ancak sağlanırsa geçerlidir. Buna göre şu tanım yapılabilir. Sıfır veya negatif Üsler Eğer olmak şartıyla bir tamsayı ise ve n pozitif bir tamsayı ise dir ve Örnek Sıfır ve Negatif Üsler 1

13 Üslerle Çalışmak İçin Kurallar Üslerle ve tabanlarla çalışmak için aşağıdaki kurallar ile aşina olmamız gerekir. Tabloda a ve b sayıları reel sayılardır ve m ve n üsleri tamsayıdır. Kural Örnek Kural 3 ün ispatı: m ve n pozitif tamsayı ise veya olması halinde ispat negatif üslerin tanımı kullanılarak yapılabilir. Kural 4 ün ispatı 13

14 n pozitif tamsayı ise Burada olursa ispat negatif üslerin tanımı kullanılarak yapılabilir Örnek 3 Üslerle ilgili kuralların kullanılması Örnek 4 Üstel İfadelerin basitleştirilmesi Şu ifadeleri basitleştirin Çözüm 14

15 Bir ifadeyi basitleştirirken aynı sonuca götüren pek çok farklı metot bulabiliriz. Bu bilgilere ek olarak negatif üslerle ilgili şu ek kurallar verilebilir: Kural Örnek 7. Kuralın ispatı Negatif üslerin tanımı ve kesirlerdeki ikinci özellik kullanılarak elde edilir. Örnek 5 Negatif üslü ifadelerin basitleştirilmesi Negatif üsleri yok edip aşağıdaki ifadeleri basitleştirin Çözüm a) 7. Kuralı ve sonra 1.kuralı kullanarak 15

16 b) Önce Kural 6 yı sonra 5 ve 4 ü kullanarak Bilimsel Notasyon Bilim insanları çok büyük veya çok küçük sayıları daha kolay yazabilmek için üstel ifadelerden yararlanırlar.örneğin güneşin ötesindeki en yakın yıldız Proxima Centauri km uzaktadır. Bir hidrojen atomunun kütlesi 0, gr dır. Böyle sayıların okunması ve yazılması çok zor olduğundan bilim insanları bunları bilimsel notasyon ile gösterirler. Bilimsel Notasyon: Bir x pozitif sayısı aşağıdaki gibi yazılırsa bilimsel notasyon ile gösterilmiştir denir burada dır ve n tam sayıdır. Örneğin Proxima Centauri yıldızına olan uzaklık virgülü 13 kez sağa götürmemiz gerektiğini söyler. dir. Üsteki 13 sayısı Hidrojen atomunun kütlesinin 4 kes sola götürmemiz gerektiğini gösterir. olduğu söylendiğinde üsteki -4 sayısı virgülü 16

17 Örnek 6 Ondalık sayıdan bilimsel notasyona geçiş Aşağıdaki ifadeleri bilimsel notasyonda yazın Çözüm Bilimsel notasyon hesap makinelerinde de çok büyük ve küçük sayıları göstermek için kullanılır. Örneğin sayısının karesi alındığında makine veya şeklinde görüntü verebilir. Burada son basamaklar 10 un kuvvetini belirtir, yani sonucu şöyle ifade edebiliriz. Köklü İfadeler n tamsayı iken n in ne anlama geldiğini biliyoruz. 4/5 şeklindeki rasyonel sayı şeklindeki bir kuvveti açıklamak için köklü ifadeleri anlamak gerekir. sembolü pozitif karekök anlamına gelir. Böylece şu demektir: ve de olduğundan sadece iken anlamlıdır. Örneğin: çünkü ve de 17

18 Karekökleri, n. köklerin özel bir halidir. x in n. kökü n. kuvveti alındığında x i veren sayı demektir. n. kökün tanımı: Eğer n bir pozitif tam sayı ise temel n. kök şu şekilde tanımlanır:, anlamına gelir. Eğer n çift ise ve de olmalıdır. Böylece çünkü ve çünkü Ancak ve de tanımlanmamıştır. Örneğin tanımlanmamıştır çünkü reel sayıları karesi negatif olamaz. Dikkat edilirse ancak Böylece eşitliğinin her zaman doğru olmadığı görülmüş olur. Sadece iken doğru olur. Ancak her zaman yazabiliriz Son denklem sadece karekökler için değil tüm çift kökler için geçerlidir. n. kökler ile ilgili bu ve diğer özellikler aşağıda verilmiştir. Her özellik için verilen köklerin mevcut olduğu varsayılmıştır. Özellikler Özellik Örnek 18

19 Örnek 8 n. köklü ifadelerin basitleştirilmesi Bazen gibi benzer kökleri birleştirmek faydalı olabilir. Bu dağılma özelliği kullanılarak yapılabilir. Böylelikle Örnek 9 Kökleri birleştirmek yazılabilir. Rasyonel Üsler a 1/3 gibi rasyonel üslerin ne anlama geldiğini anlamak için köklü ifadeleri kullanmalıyız. a 1/n i üstel sayılarla ilgili kurallarla uyumlu olarak anlamlandırmak için: yazılmalıdır. n. kök tanımı ile Olur. 19

20 Genel olarak rasyonel üsler şu şekilde tanımlanır. m ve n nin tamsayı olduğu ve olan tüm m/n şeklindeki rasyonel üsler için veya buna denk olarak olur Eğer n çift ise olması gerekir. Bu tanıma göre üsteller için kurallar rasyonel üsler için de geçerlidir. Örnek 10 Rasyonel üsleri kullanmak Örnek 11 Üsteller için kuralların rasyonel üsler için kullanımı Örnek 1 Köklü ifadeleri rasyonel üsler olarak yazıp basitleştirmek 0

21 Paydayı Rasyonelleştirme Sıklıkla paydadaki köklü ifadeyi yok etmek için pay ve payda uygun ifade ile çarpılır. Bu prosedüre paydayı rasyonelleştirmek denir. Eğer payda formunda ise payı ve paydayı Örneğin: ile çarparız. Böylece değeri bir ile çarpmış oluruz ve değer değişmez. Dikkat edilirse son kesrin paydasında köklü ifade yoktur. Genel olarak payda formundaysa ve ise payı ve paydayı ile çarpmak ( iken) paydayı rasyonelleştirir çünkü Örnek 13 Paydanın Rasyonelleştirilmesi 1.3 Cebirsel İfadeler Ekleme Ve Çıkarma, Cebirsel İfadelerin Çarpılması, Özel Çarpım Formülleri, Ortak Çarpana Göre Çarpanlara Ayırma, Üç Terimlilerin Çarpanlara Ayrılması, Özel Çarpanlara Ayırma Formülleri, Grup Terimine Göre Çarpanlara Ayırma Değişken belirli bir sayı kümesinden gelen herhangi bir sayıyı temsil edebilen bir harftir. Eğer x,y ve z gibi değişkenler ve bazı reel sayılar ile başlarsak ve bunları toplama, çıkarma, çarpma, bölme, kuvvet ve kök için birleştirirsek cebirsel ifade elde edilir. Örneğin, 1

22 x 3x + 4 x 10 + y x y + 4 Tek terimli ax k ifadesinde a reel sayı ve k negatif olmayan tamsayıdır. İki terimli iki tek terimlinin toplamı, üç terimli üç tek terimlinin toplamıdır. Genellikle, tek terimlilerin toplam polinom olarak adlandırılmaktadır. Yukarıda verilenlerden ilk ifade polinom iken diğerleri değildir. Polinomlar x değişkenine bağlı bir polinom aşağıdaki formdadır: burada a 0, a 1,., a n reel sayılar ve n pozitif tamsayıdır. Eğer a n 0 ise polinomun derecesi n dir. Tek terimliler a k x k terimlerine polinom terimleri denir. Bir polinom derecesinin, polinomdaki değişkenin en yüksek kuvveti olduğuna dikkat edin. Polinom Tür Terimler Derece x 3x + 4 Üç Terimli x, 3x,4 8 x + 5x İki Terimli 8 x,5x x+ x x 3 Dört Terimli 1 3, x, x, x 3 5x + 1 İki Terimli 5x, x Tek Terimli 5 9x 5 6 Tek Terimli Polinomlarda Toplama ve Çıkarma Reel sayıların özelliklerini kullanarak bölüm 1.1 de bahsedildiği şekilde polinomları toplar ve çıkarırız. Dağılma özelliğini kullanarak benzer terimlerin terimleri (yani, aynı değişkenlerin aynı kuvvete sahip terimlerin) birleştirilmesidir. Örneğin, ( ) 5x + 3x = 5+ 3 x = 8x Polinomları çıkartırken, eksi işareti parantez içindeki bir ifadeden önce gelirse, parantez kaldırılırken parantez içerisindeki her bir terimin işaretinin değiştirilmesi gerektiği hatırlanmalıdır.

23 ( b+ c) = b c [Bu dağılma özelliğine bir örnektir. a ( b + c) = ab + ac, a = 1] ÖRNEK 1: Polinomları ekleme ve çıkarma (a) Toplamı bul ( x 3 6x + x + 4) + ( x 3 + 5x 7x) (b) Farkı bul ( x 3 6x + x + 4) ( x 3 + 5x 7x) ÇÖZÜM 1: (a) 3 3 ( x 6x + x + 4) + ( x + 5x 7x) 3 3 ( x x ) ( x x ) ( x x) = Benzer terimlerin gruplandırılması 3 =x x 5x 4 Benzer terimlerin birleştirilmesi + (b) 3 3 ( x 6x + x + 4) ( x + 5x 7x) 3 3 = x 6x + x + 4 x 5x + 7 x Dağılma Özelliği 3 3 ( x x ) ( x x ) ( x x) = Benzer terimlerin gruplandırılması =-11x 9x Benzer terimlerin birleştirilmesi Cebirsel İfadelerin Çarpılması Polinomların veya diğer cebirsel ifadelerin çarpımını bulmak için, Dağılma Özelliğini tekrar tekrar kullanmak gerekir. Özellikle iki terimlinin çarpımında üç kez kullanmak gerekir. Bu, iki faktörün çarpımında; bir faktördeki her bir terimin diğer faktördeki her terimle çarpılarak toplanacağını ifade etmektedir. İki cebirsel ifadenin çarpımında genellikle Dağılma Özelliği ve Üs Kuralları kullanılır. 3

24 ÖRNEK : İki Terimlilerin Çarpımında FOIL Kullanımı Dağılma Özelliği Benzer Terimlerin Birleştirilmesi Üç terimlileri veya diğer polinomları daha fazla terimlerle çarptığımızda, Dağılım Özelliğini kullanırız. ÖRNEK 3: Polinomların Çarpımı: ( x 3)( x 5x 4) + + çarpımını bulun. ÇÖZÜM : Dağılma Özelliğini kullanarak: ÇÖZÜM : Tablo Formu kullanarak: Özel Çarpım Formülleri: A ve B herhangi bir reel sayı yada cebirsel ifade olmak üzere 1. ( )( ) A+ B A B = A B. ( ) A + B = A + AB + B Toplamın Karesi 3. ( ) A B = A AB + B Farkın Karesi 4. ( ) A + B = A + 3A B + 3 AB + B Toplamın Kübü 5. ( ) A B = A 3A B + 3 AB B Farkın Kübü Benzer Terimlerin çarpılması ve toplanması Bu formüllerin (veya cebirde başka bir formülün kullanılması) temel fikri Yerine Koyma Prensibidir. Formüldeki herhangi bir harf için herhangi bir cebir ifadesinin yerini koyabiliriz. 4

25 Örneğin, ( x y 3 ) koyabiliriz. + bulabilmek için, çarpım formülü kullanarak ( x + y ) = ( x ) + ( x )( y ) + ( y ) ( ) A + B = A + AB + B ÖRNEK 4: Özel Çarpım Formüllerini Kullanma Özel çarpım formüllerini kullanarak aşağıdakilerin her birini bulunuz. (a) ( 3 5) ÇÖZÜM: x + (b) ( ) 3 x 5 (a). Çarpım formülünde A=3x ve B= 5 yerine koyarak ( ) ( ) ( )( ) 3x + 5 = 3x + 3x = 9x + 30x + 5 (b) 5. Çarpım formülünde A = x ve B = yerine koyarak ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) x yerine A ve x = x 3 x + 3 x = x 6x + 1x 8 ÖRNEK 5: Özel çarpım formüllerini kullanarak aşağıdaki çarpımları bulunuz. (a) ( x y)( x y) ÇÖZÜM: + (b) ( x + y 1)( x + y + 1) 3 y yerine B (a) 1. Çarpım formülünde A=x ve B= y yerine koyarak ( )( ) ( ) ( ) x y x + y = x y = 4x y (b) Eğer x + y bir grup olarak alınırsa cebirsel ifade de A = x + y ve B = 1 ise 1. çarpım formülü kullanılarak ( x y )( x y ) ( x y) ( x y) = ( ) x y = Çarpım Formülü = x + xy + y lü 1.Çarpım Formü Ortak Çarpanlara Ayırma: Cebirsel ifadeleri genişletmek için Dağılma Özelliğini kullanırız. Bazen, bir ifadeyi daha basit olanların çarpımı olarak çarpanlarına ayırarak bu süreci tersine çevirmeye gerek duyarız (tekrar Dağılma Özelliğini kullanarak). Örneğin, 5

26 Çarpanlara Ayırma x - ve x +, x 4 ün çarpanlarıdır. En kolay çarpanlara ayırma, ortak faktör olduğunda gerçekleşmektedir. ÖRNEK 6: Ortak Faktöre Göre Çarpanlara Ayırma: Her bir ifadeyi çarpanlarına ayırın. (a) x (b) 8x y + 6x y xy 3x 6 (c ) ( x + 4)( x 3) 5( x 3) ÇÖZÜM: (a) 3x ve 6x için en büyük ortak çarpan 3x; ( ) 3x 6x = 3x x (b) Dikkat edilecek olursa; 8, 6 ve - için ortak çarpan x 4, x 3 ve x için ortak çarpan x 3 terimin en büyük ortak çarpanı xy ise, y, y 3 ve y 4 için ortak çarpan y olmak üzere ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 xy ( 4x 3x y y ) 8x y + 6x y xy = xy 4x + xy 3x y + xy y = + ( c) iki terimde de ortak çarpan x 3 ( x + )( x ) ( x ) = ( x + ) ( x ) = ( x )( x ) Dağılma Özelliği Üç Terimleri Çarpanlara Ayırma Üç terimli x + bx + c ifadesini çarpanlara ayırma ( )( ) ( ) x + r x + s = x + r + s x + rs Genişletme 1 3 Basitleştirme r + s= b ve rs = c i sağlayacak r ve s nin bulunması gerekmektedir. ÖRNEK 7: Deneme ve yanılma ile x + 7x + 1 çarpanlarına ayırınız. x + bx + c ifadesini çarpanlara ayırma 6

27 ÇÖZÜM: Çarpımları 1 ve toplamları 7 olan iki tamsayı bulmak gerekmektedir. Deneme ve yanılma ile 3 ve 4 tamsayılarını elde edebiliriz. Sonuçta çarpanlara ayırma; ( )( ) x x x x = ifadesini çarpanlarına ayırmak için ( px + r ) ve ( qx s) ax bx c gerekmektedir. + çarpanlarının bulunması pq = a, rs = c, ps + qr = b eşitliklerini sağlayan p, q, r ve s sayılarının bulunmaya çalışılması gerekmektedir. Eğer bu sayıların hepsi tamsayı ise, p, q, r ve s bulmak için sınırlı sayıda olasılık söz konusudur. ÖRNEK 8: Deneme ve yanılma ile 6x 7x 5 1 nin çarpanları + çarpanlarına ayırınız. ax + bx + c ifadesini çarpanlara ayırma ÇÖZÜM: 6 sayısını 6 1 ya da 3 olarak, -5 sayısını 5 1veya 5 ( 1) olarak çarpanlara ayırabiliriz. Bütün durumları deneyerek, çarpanlara ayrılabilir. 6 in çarpanları ( )( ) 6x + 7x 5 = 3x + 5 x 1-5 in çarpanları ÖRNEK 9: Bir ifadenin formunu fark etmek Her bir ifadeyi çarpanlara ayırınız. (a) x ÇÖZÜM: x 3 (b) ( 5a+ 1) ( 5a+ 1) 3 (a) Deneme ve yanılma ile x x 3 = ( x 3)( x + 1) (b) Aşağıdaki formdaki ifade Burada ile ifade edilmektedir. (a) da olduğu gibi çarpanlar ( - 3 )( + 1) 7

28 ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) = ( 5a )( 5a+ ) = Özel Çarpanlara Ayırma Formülleri Formül 1. A B = ( A B)( A+ B ) İsim Farkın Karesi. A + AB + B ( A + B ) = Tam Kare 3. A AB + B ( A B ) = Tam Kare 4. A 3 B 3 = ( A B)( A + AB + B ) 5. A 3 + B 3 = ( A + B)( A AB + B ) Farkın Kübü Küp Toplamı ÖRNEK 10: Karelerin Farklarını Çarpanlara Ayırma Her bir ifadeyi çarpanlara ayırın. (a) ÇÖZÜM: 4 5 x + y z x (b) ( ) (a) A = x ve B = 5 ile kare Farkı formüllerini kullanarak ( ) ( )( ) A B = ( A B)( A+ B) 4x 5 = x 5 = x 5 x + 5 (b) A = x + y ve B = z ile kare farkı formüllerini kullanarak ( x + y) z = ( x + y z)( x + y + z ) ÖRNEK 11: Küp toplamları ve farklarının çarpanlara ayrılması Her bir polinomu çarpanlara ayırınız. 3 6 (a) 7x 1 (b) x + 8 ÇÖZÜM: (a) A = 3x ve B = 1 ile Küp farkını kullanarak 3 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 3 7x 1= 3x 1 = 3x 1 3x + 3x ( x )( x + x + ) = (b) A = x ve B = ile Küp toplamı kullanarak 3 ( ) ( )( ) x + 8 = x + = x + x x + 4 Üç terimli tam kare aşağıdaki formlarda ise, 8

29 A + AB + B A AB + B Eğer ortadaki terimler dıştaki terimlerin kareköklerinin çarpımın artı veya eksi iki katı ise (AB yada -AB) kusursuz bir karesel ifade olduğunu fark ederiz. ÖRNEK 1: Kusursuz karesel ifadeleri fark etme Her bir üç terimliyi çarpanlara ayırınız. (a) x + 6x + 9 (b) 4x 4xy + y ÇÖZÜM: (a) A = x ve B = 3,. Orta terim 6x olduğu için üç terimli tam karedir. Tam kare formülü kullanarak ( ) x + 6x + 9 = x + 3 (b) A = x ve B = y, karedir. Tam kare formülü kullanarak ( ) 4x 4xy + y = x y. Orta terim -4xy olduğu için üç terimli tam Bir ifadeyi çarpanlara ayırırken bazen çıkan sonucu tekrar çapanlara ayırmak gerekebilir. Çarpanlara ayırma işlemi ifade tamamen çarpanlara ayrılana kadar devam edecektir. ÖRNEK 13: İfadenin Tamamen Çarpanlara Ayrılması Her bir ifadeyi tamamen çarpanlara ayırın. (a) x 4 8x (b) ÇÖZÜM: (a) ( ) x 8x = x x 4 Ortak çarpan x 4 ( )( ) =x x x + x 4 kare farkı (b) Yeni örnekler kesirli üslere göre değişkenlerin çarpanlara ayrılması ile ilgilidir. ÖRNEK 14: Kesirli Üslere Sahip İfadelerin Çarpanlara Ayrılması (a) ÇÖZÜM: x 3 x 1 + x 1 (b) ( + x) 3 x + ( + x )

30 (a) En küçük x in üssüne göre çarpanlara ayrılırsa, yani ( ) ( )( ) x x 9x 6x 3x x 3x 3x göre ortak çarpan + = + 1 =3x x 1 x x 3x çarpanlara ayrılır + (b) (x + ) in en küçük üssüne göre çarpanlara ayrılırsa ( + x) x + ( + x) = ( + x) x + ( + x) ( + x) göre ortak çarpan 3 ( + x) ( + x) = basitleştirme 3 ( + ) ( + ) = x 1 x ortak çarpan Gruplama İle Çarpanlara Ayırma En az dört terimli polinomlar bazen gruplandırılarak çapanlara ayrılırlar. ÖRNEK 15: Gruplama İle Çarpanlara Ayırma 3 x x 4x 4 (a) ÇÖZÜM: (b) 3 x x 3x + 6 (a) (b) ( ) ( ) = x x 4x 4 x x 4x 4 Terimleri gruplama ( + ) + ( + ) ( )( ) =x x 1 4 x 1 ortak çarpana göre =x + 4 x+ 1 her bir terim x+1 e göre çarpanlara ayrılır ( ) ( ) + = 3 3 x x 3x 6 x x 3x 6 Terimleri gruplama ( ) ( ) ( )( ) =x x 3 x ortak çarpana göre =x 3 x her bir terim x- e göre çarpanlara ayrılır 1.4 RASYONEL İFADELER Cebirsel İfadelerin Tanım Kümesi, Rasyonel İfadeleri Basitleştirme, Rasyonel İfadeleri Çarpma ve Bölme, Rasyonel İfadeleri Toplama ve Çıkarma, Bileşik Kesirler, Pay veya Paydayı Rasyonel Hale Getirme, Genel Hatalardan Kaçınma İki cebirsel ifadenin oranı kesirli ifade olarak adlandırılır. Aşağıda birkaç örnek verilmiştir: Rasyonel ifade, pay ve paydanın her ikisinin de polinomlar olduğu kesirli ifadedir. 30

31 Bu bölümde rasyonel ifadeler üzerinde cebirsel işlemleri nasıl yapacağımız öğreneceğiz. Cebirsel İfadenin Tanım Kümesi Genellikle, cebirsel ifade değişkenin tüm değerleri için tanımlı olmayabilir. Cebirsel ifadenin tanım kümesi değişkenin almasını izin verilen reel sayıların bir kümesidir. Aşağıdaki tablo bazı temel ifadeleri ve tanım kümelerini vermektedir İfade Tanım kümesi ÖRNEK 1 Bir İfadenin Tanım Kümesini Bulmak Aşağıdaki ifadelerin tanım kümelerini bulunuz. ÇÖZÜM (a) Bu polinom her x için tanımlanmıştır. Böylece, tanım kümesi reel sayıların kümesidir. (b) Önce paydayı çarpanlarına ayırırız. x= veya x=3 olursa payda 0 olur. x= veya x=3 iken payda sıfır olduğundan, ifade bu sayılar için tanımlı değildir. Tanım kümesi (c) Payın tanımlı olması için, olmalıdır. Aynı zamanda, sıfır ile bölemeyiz, yanı Karekökünü almak için olmalı olursa payda 0 olur Böylece, tanım kümesi 31

32 Rasyonel İfadeleri Basitleştirme Rasyonel ifadeleri basitleştirmek için, pay ve paydayı çarpanlarına ayırıyoruz ve kesirlerin aşağıdaki özelliğini kullanıyoruz: Bu pay ve paydadan ortak çarpanları sadeleştirmemize izin verir. ÖRNEK Sadeleştirme ile Rasyonel İfadeleri Basitleştirme Basitleştirin: ÇÖZÜM Çarpanlarına ayırın Ortak çarpanları sadeleştirin bir çarpan olmadığı için, ifadesindeki 'leri sadeleştiremeyiz. Rasyonel İfadelerde Çarpma ve Bölme Rasyonel ifadeyi çarpmak için, kesirlerin aşağıdaki özelliğini kullanıyoruz: Bu özellik iki kesri çarpmak için paylarını ve paydalarını çarpmamızı söylüyor. ÖRNEK 3 Rasyonel İfadelerin Çarpımı Belirtilen çarpımı yapın ve basitleştirin: ÇÖZÜM Önce çarpanlarına ayırırız. Çarpanlara ayırın Kesirlerin özelliği Ortak çarpanları sadeleştirin 3

33 Kesirli ifadeleri bölmek için, kesirlerin aşağıdaki özelliğini kullanırız. Bu özellik bir kesri başka bir kesirle bölmek için, böleni ters çeviririz ve çarparız. ÖRNEK 4 Rasyonel İfadelerin Bölümü Belirtilen bölümü yapın ve basitleştirin: ÇÖZÜM Ters çevirin ve çarpın Çarpanlarına ayırın Ortak çarpanları sadeleştirin Rasyonel İfadelerde Toplama ve Çıkarma Rasyonel ifadelerde toplama ve çıkarma için, öncelikle ortak paydayı buluruz ve kesirlerin aşağıdaki özelliğini kullanırız: Herhangi bir ortak paydayı kullanabilmemize rağmen, Bölüm 1.1'de açıklandığı gibi en küçük ortak paydayı (LCD) kullanmak en iyisidir. LCD her paydayı çarpanlarına ayırarak ve çarpanların hepsinde görünen en yüksek kuvveti kullanan farklı çarpanların bileşkesini alarak bulunur. Aşağıdaki hatayı yapmaktan kaçının: Örnek olarak, eğer ve alırsak, hatayı görebiliriz: 33

34 ÖRNEK 5 Rasyonel İfadelerde Toplama ve Çıkarma Belirtilen işlemleri yapın ve sadeleştirin: ÇÖZÜM (a) Burada LCD sadece bu ifadedir: LCD kullanarak çarpanları yazın Çarpanları ekleyin Terimleri pay içinde birleştirin (b) ve ifadelerinin LCD'si 'dir. Çarpanlarına ayırın LCD kullanarak kesirleri birleştirin Dağılma Özelliği Payda terimleri birleştirin Bileşik Kesirler Bileşik kesir, payın, paydanın veya her ikisinin de kesirli ifadelerden oluştuğu bir kesirdir. ÖRNEK 6 Bileşik Kesri Sadeleştirme Basitleştirin: ÇÖZÜM 1 Paydaki terimleri bir tek kesir içinde birleştiriyoruz. Aynısını paydada yapıyoruz. Sonra ters çevirip çarpıyoruz. 34

35 ÇÖZÜM İfadedeki tüm kesirlerin LCD'sini buluruz, sonra payı ve paydayı bununla çarparız. Bu örnekte tüm kesirlerin LCD'si 'dir. Böylece Pay ve paydayı ile çarpın Sadeleştirin Çarpanlarına ayırın Sonraki iki örnek kesirli ifadelerle çalışma yeteneği gerektiren kalkülüs durumlarını gösterir. ÖRNEK 7 Bileşik Kesri Basitleştirme Basitleştirin: ÇÖZÜM Ortak paydayı kullanarak kesirleri pay içinde birleştirerek başlıyoruz. Pay içinde kesirleri birleştirin Kesirlerin. Özelliği (böleni ters çevirin ve çarpın) Dağılma Özelliği Sadeleştirme ÖRNEK 8 Bileşik Kesri Basitleştirme Basitleştirin: Kesirlerin 5. Özelliği (Ortak kesirleri sadeleştirin) 35

36 ÇÖZÜM 1 Paydan ifadesini çarpanlarına ayırın En küçük üslü 'nin kuvvetini çarpanlarına ayırın, bu örnekte ÇÖZÜM = bir kesir olduğundan, pay ve paydayı ile çarparak tüm kesirleri ortadan kaldırabiliriz. Pay veya Paydayı Rasyonelleştirme Bir kesir şeklinde bir paydaya sahipse, pay ve payda eşlenik köküyle çarpılarak payda rasyonelleştirilebilir. Bölüm 1.3'teki Özel Çarpım Formülü 1 ile paydanın ve eşlenik kökünün çarpımı bir kök içermeyeceğinden bu işlem uygulanır: ÖRNEK 9 Paydayı Rasyonelleştirme Paydayı rasyonelleştirin: ÇÖZÜM Pay ve paydanın her ikisini 'nin eşlenik kökü ile çarparız. Pay ve paydayı eşlenik köküyle çarpın. Özel Çarpım Formülü 1 Özel Çarpım Formülü 1 36

37 ÖRNEK 10 Payı Rasyonelleştirme Payı rasyonelleştirin: ÇÖZÜM Payı ve paydayı eşlenik köküyle çarparız. Payı ve paydayı eşlenik köküyle çarpın. Özel Çarpım Formülü 1 Kesirlerin 5. Özelliği (ortak çarpanları sadeleştirme) Ortak Hatalardan Kaçınma Toplama operatörüne çarpımın özelliklerini uygularken hata yapmayın. Cebirde ortak hataların çoğu böyle hataları içerir. Aşağıdaki tablo çarpmanın birkaç özelliğini belirtir ve bunların toplamaya uygulanmasındaki hataları gösterir. Sağ sütundaki eşitliklerin yanlış olduğunu kanıtlamak için, basitçe a ve b yerine sayıları koyun ve her iki tarafı hesaplayın. Örneğin, dördüncü hatada a= ve b= alırsak, sol tarafı şu şekilde iken sağ tarafı şu şekilde buluruz 37

38 olduğundan, verilen eşitlik yanlıştır. Siz de diğer eşitliklerin her birindeki hatayı benzer şekilde kanıtlamalısınız. 1.5 Denklemler Bir denklem iki matematiksel ifadenin eşit olduğunu söyleyen bir ifadedir. Örneğin: = 8 bir denklemdir. Cebirde çalıştığımız çoğu denklemde, sayıları belirten semboller (genellikle harfler) olan değişkenler bulunur. 4x + 7 = 19 denkleminde x harfi bir değişkendir. Denklemde x i bilinmeyen olarak düşünüyoruz ve amacımız denklemi doğru yapan (gerçekleyen) x değerini bulmaktır. Denklemi doğru kılan bilinmeyen değerlere denklemin çözümleri veya kökleri denir ve çözümleri bulma işlemine denklemin çözümü denir. Tam olarak aynı çözümlere sahip iki eşitlik denklemi eş değer denklemler olarak adlandırılır. Bir denklemi çözmek için değişkenin eşit işaretinin bir tarafında tek başına durduğu daha basit eşdeğer bir denklem bulmaya çalışıyoruz. Aşağıda bir denklemi çözmekte kullandığımız özellikler vardır. (Burada A, B ve C herhangi bir cebir ifadesini ve sembolü eşdeğerdir anlamına gelir.) Bu özellikler eşitliği çözerken bir denklemin her iki tarafında da aynı işlemi gerçekleştirmenizi gerektirir. Bu nedenle bir denklemi çözerken 7 eklemeyi söylersek, bu denklemin her iki yanına 7 ekleme nin kısa bir yoludur. Doğrusal Denklemlerin Çözümü 38

39 Denklemin en basit türü her terimin değişkeninin sabit veya sıfırdan farklı bir çarpımı ile oluşturduğu bir denklem olan doğrusal denklemdir veya birinci dereceden denklemdir. Doğrusal Denklemler Tek değişkenli doğrusal denklem ax + b = 0 biçiminde tanımlanmaktadır. Burada a ve b reel (gerçel) sayılar ve x değişkendir. Aşağıda doğrusal denklemler ile doğrusal olmayan denklemler arasındaki farkı görmek için bazı örnekler vardır. Doğrusal denklemler Örnek 1 Bir Doğrusal Denklemin Çözümü Doğrusal olmayan denklemler Değişkenin karesini içerir, doğrusal değil. denklemini çözünüz. Çözüm Bunu, bir tarafta x değişkeni ve diğer tarafta da sabitleri içeren tüm terimlerle eş değer bir denklem haline getirerek çözeriz. Cevabı Kontrol Et: x = 3 için denklemin sol yanı = 7(3) 4 = 17 denklemin sağ yanı = 3(3) + 8 = 17 Bilimdeki birçok formül çeşitli değişkenleri içerir ve değişkenlerden birini diğerleri açısından ifade etmek genellikle gereklidir. Sonraki örnekte, Newton un Yerçekimi Kanunu ndaki değişkene çözüm buluyoruz. Verilen denklem 4 ekle sadeleştir 3x çıkar sadeleştir Değişkenin kare kökünü içerir, doğrusal değil. Örnek Diğerleri Cinsinden Bir Değişken İçin Çözüm Değişkenin tersini içerir, doğrusal değil. Aşağıdaki denklemi M değişkeni cinsinden çözünüz. 1 4 ile çarp sadeleştir 39

40 Çözüm Bu denklem birden fazla değişkene sahip olsa da M yi bir tarafta bırakarak diğer değişkenlere sayı gibi davranarak çözeriz. Sağ tarafta M çarpanlarına ayırıldı. Gm r nin tersi ile çarp. sadeleştir. Çözüm dir. Örnek 3 Diğerleri Cinsinden Bir Değişkeni Çözme Şekil 1 de gösterilen kapalı dikdörtgen kutunun alanı hesaplanır. h yükseklik, l boy ve w eni temsil etmektedir. formülüyle Şekil 1. Bir kapalı dikdörtgen kutu Bu denklemde w değişkenini diğerleri cinsinden elde ediniz. Çözüm Bu denklem birden fazla değişkene sahip olsa da w değişkenini bir tarafta bırakarak diğer değişkenlere sayı gibi davranarak çözeriz. w içeren terimler bir araya toplanır. lh çıkar. sağ tarafta w çarpanlarına ayrılır. l + h a böl. Çözüm: İkinci Derece Denklemlerin Çözümleri x + 1 = 5 veya 4 3x = gibi doğrusal denklemler birinci derecedendir. x + x 3 = 0 veya x + 3 = 5x gibi kuadratik (karesel) denklemler ikinci derecedendir. 40

41 İkinci Derecen Denklem Bir ikinci derece denklemin genel formu ax + bx + c = 0 biçimindedir. Burada a, b ve c reel sayı olup a 0 dır. Bazı kuadratik denklemler, reel sayıların aşağıdaki temel özelliklerini ve çarpanlarına ayırmayı kullanarak çözülebilir. Sıfırla-Çarpım Özelliği AB = 0 ancak ve ancak A = 0 veya B = 0 dır. Bu özellik bir kuadratik (veya diğer) denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırabilirsek her çarpanı sırayla sıfıra eşitleyerek çözebileceğimiz anlamına gelir. Bu yöntem yalnızca denklemin sağ tarafı sıfır olduğunda çalışır. Örnek 4: Çarpanlara ayırma yöntemiyle ikinci dereceden denklem çözme x + 5x = 4 denklemini çözünüz. Çözüm: Denklemin sağ tarafını sıfır olacak biçimde yeniden yazmalıyız. x + 5x = 4 Kontrol: x + 5x 4 = 0 4 çıkar ( x 3)( x + 8) = 0 x 3 = 0 veya x + 8 = 0 çarpanlarına ayır x = 3, x = 8 çözüm 3 + 5(3) = = 4, sıfırla çarpım özelliği ( 8) + + 5( 8) = = 4 Örnek 4 de denklemin bir tarafının neden 0 a eşit olması gerektiğini gördünüz mü? Denklem x(x + 5) = 4 biçiminde çarpanlarına ayırılması çözümü bulmaya yardımcı olmaz. Çünkü 4 sayısı sonsuz yolla çarpanlarına ayırabilir (6.4,1/.48,-60.-/5). c bir sabit olmak üzere x c = 0 denkleminin çarpanlarına ayırılışı x c x + c = 0 biçimdedir. Çözümler: x = c, x = c dir. Genellikle bu çözümler x = ± c olarak yazılır. Basit Bir Kuadratik Denklem Çözümü x = c denkleminin çözümleri x = c, x = c dir. Örnek 5: a) x = 5 b) (x 4) = 5 denklemlerini çözünüz. Çözüm: a) x = ± 5 b) Bu denklemin her iki tarafının karekökünü alarak da çözebiliriz; (x 4) = 5 41

42 x 4 = ± 5 x = 4 ± 5 4 ekle Çözümler x = 4 5 ve x = dir. Örnek 5 te görüldüğü gibi (x ± a) = c biçimindeki bir denklemin çözümü her iki tarafın karekökü alınarak bulunur. Bu formdaki denklemin sol tarafı tam kare dir (perfect square). Dolayısıyla ikinci dereceden bir denklem kolayca çarpanlarına ayrılamıyorsa o zaman kareye tamamlama tekniğini kullanarak denklemi çözebiliriz. Bu, bir ifadeyi tam kare yapmak için bir sabit eklediğimiz anlamına gelmektedir. Örneğin, x 6x ifadesini tam kare yapmak için 9 eklemeliyiz. Çünkü x 6x + 9 = (x 3) dir. Kareye Tamamlama (Tam Kare Yapmak) x + bx ifadesini tam kare yapmak için x katsayısının yarısının karesi b eklenir. Bu durumda; x + bx + b = x + b olur. Kare tamamlanırken, x katsayısının 1 olduğundan emin olun. öyle değilse, bu katsayıyı, x içeren her iki terimden de hesaba katmalısınız: ax + bx = a x + b a x Ardından, parantez içindeki ifadeyi kareye tamamlayın. Teriminin parantez içine eklenen terimin a ile çarpıldığını unutmayın. Örnek 6: Kareye Tamamlayarak Kuadratik Denklemi Çözme a) x 8x + 13 = 0 b) 3x 1x + 6 = 0 denklemlerini tam kare yaparak çözünüz. Çözüm: a) x 8x = çıkar 4

43 x 8x + 16 = Kare yapmak için ( 8 ) = 16 ekle (x 4) = 3 tam kare x 4 = ± 3 karekök al x = 4 ± 3 4 ekle b) Denklemin her iki yanından 6 çıkarıldıktan sonra 3x 1x = 6 3(x 4x) = 6 sol taraf 3 çarpan parantezine al 3(x 4x + 4) = Tam kare için parantezin içine ( 4/) = 4 ekle ve sol taraf 3 parantezinde olduğun için sağ tarafa da 3.4=1 ekle 3(x ) = 6 Tam kare (x ) = 6 3 = x = ± 3 e böl karekök al x = ± ekle Genel ax + bx + c = 0 kuadratik denkleminin kökleri için genel bir formül elde etmede tam kare tekniğini kullanabiliriz. Kuadratik Formül ax + bx + c = 0 (a 0) denkleminin kökleri; dır. x = b ± b 4ac a İspat: sol tarafta x teriminin katsayısını 1 yapmak için denklem a ile bölünürse; x + b a x = c a Şimdi kareye tamamlamak için b a her iki tarafa eklenildiğine, x + b b x + a a = c b + a a x + b a 4ac + b = 4a Tam kare ifadesi elde edilir. Burada her iki tarafın karekökü alınır ve b/a çıkarılırsa; x = b ± b 4ac a 43

44 olarak bulunur. Örnek 7: Kuadratik formülü kullanma a) 3x 5x 1 = 0 b) 4x + 1x + 9 = 0 c) x + x + = 0 denklemlerinin her biri için tüm çözümleri bulunuz. Çözüm: a) Bu denklemde a = 3, b = 5, c = 1 olduğundan formül gereği, x = ( 5) ± ( 5) 4(3)( 1) (3) = 5 ± 37 6 x = , b) a = 4, b = 1, c = 9 olduğundan x = Denklemin tek kökü vardır. c) a = 1, b =, c = olup; x = 1 ± 1 4(4)(9) (4) x = ± 4(1)() (1) = ± 4 = 3 = 1 ± 1 Herhangi bir reel sayının karesi negatif olamaz. 1 sayısı reel sayı sisteminde tanımlı değildir. Bu denklemin reel çözümü yoktur. Bölüm 3.5 te karmaşık sayı sistemini çalışacağız. Bu sistemde negatif sayıların karekökleri mevcuttur. Örnek 7 (c) karmaşık sistemde bir çözüme sahiptir. ax + bx + c = 0 denklemi için oluşturulan kuadratik formülde b 4ac ifadesine diskriminant denir. D(veya ) sembolü ile gösterilir. Eğer D < 0 ise b 4ac tanımlı değildir ve denklemin reel çözümü yoktur. Eğer D = 0 ise denklemin birbirine eşit iki reel çözümü vardır. Eğer D > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki reel çözümü vardır. DİSKRİMİNANT İkinci dereceden ax + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı D = b 4ac bçiminde tanımlanmaktadır. 1. D > 0 ise denklemin iki farklı reel(gerçel) kökü(çözümü) vardır.. D = 0 ise denklemin birbirine eşit olan iki reel kökü vardır. 3. D < 0 ise denklemin reel kökü yoktur. 44

45 Örnek 8: Diskriminant Kullanma Denklemlerinin diskriminantını kullanarak kaç tanesinde reel çözüm olduğunu bulunuz. Çözüm: a) D = 4 4(1)( 1) = 0 > 0 iki farklı reel kök var. b) D = ( 1) 4(4)(9) = 0 eşit iki reel kök var. c) D = ( ) 4 1 (4) = 4/3 reel kök yoktur. 3 Şimdi gerçek hayattaki bir durumu ikinci dereceden bir denklem ile modelleyelim. Örnek 9: Mermi Yörüngesi Başlangıçta V 0 hızına sahip olarak fırlatılan ya da yukarı doğru atılan bir nesne t saniye sonunda h yüksekliğinde olduğuna göre h ve t için; h = 16t + V 0 t formülü ile verilmektedir. Mermi ateşlendiğinde ilk hızının 800 ft/sn olduğu varsayılsın. Merminin izlediği yol şekil 1 de gösterildiğine göre a) Mermi yere ne zaman düşer? b) 6400 ft yüksekliğe ne zaman ulaşır? c) Ne zaman mil yüksekliğe ulaşır? d) Merminin ulaştığı en yüksek nokta kaç ft dir? Çözüm: a) V 0 = 800 olduğundan h = 16t + 800t olur. Mermi yere geldiğinde h = 0 olacağından, 0 = 16t + 800t denklemi çözülmelidir. 0 = 16t(t 50) t = 50 veya t = 0 dır. t = 0 başlangıç olduğundan cisim yere 50 sn sonra ulaşır. b) h = 6400 alınırsa; Tüm terimler sol tarafa toplanırsa; 6400 = 16t + 800t 45

46 Mermi 6400 ft yüksekliğe 10 sn sonra(çıkışta) ve daha sonra 40 sn (inişte) sahip olur. c) mil = 580 = ft D = ( 50) 4(1)(660) = 140 < 0 Denklemin reel çözümü yoktur. Mermi asla mil yüksekliğe ulaşamaz d) Mermi hareketi boyunca aldığı yollarda bir iniş ve bir çıkış vardır. Yalnız en yüksek noktada istisna olarak tek bir çıkış söz konusudur. Bu ise t için aşağıdaki denklemin her sadece bir çözümü olduğunu gösterir; h = 16t + 800t 16t 800t + h = 0 Denklemin tek bir çözüme sahip olması için diskriminantı sıfır olmalıdır. Mermi maksimum ft yüksekliğe ulaşabilir. DİĞER DENKLEM TİPLERİ Şimdiye kadar doğrusal ve kuadratik denklemlerin nasıl çözüleceğini gördük. Şimdi daha yüksek kuvvete sahip, kesirli ve köklü ifade içeren denklem türlerini inceleyeceğiz. 46

47 Örnek 10: Kesirli(rasyonel) ifade içeren Denklem Çözüm: Paydaları yok etmek için denklemin eşitliğin her iki tarafını paydaların en küçük ortak katı ile çarpılmalıdır: Örnek 11: Köklü İfade İçeren Denklem x = 1 x denklemini çözünüz. Çözüm: Karekökü yok etmek için, köklü ifade eşitliğin bir tarafında yalnız bırakıldıktan sonra her iki tarafın karesi alınarak aşağıdaki biçimde çözüm gerçekleştirilir. x = 1 4 ve x = 1 potansiyel çözümlerdir. Orijinal denklemde bu çözümler kontrol edilmelidirler. 47

48 Bir denklemi çözdüğümüzde bir veya daha fazla yabancı(gereksiz) çözüm bulabiliriz. Yani bu çözümler orijinal denklemi sağlamayan çözümlerdir. Bir denklemin her iki tarafında kare alındığında yabancı(gereksiz) çözümler ortaya çıkabilir. Çünkü kare alma işlemi yanlış olan bir denklemi doğru hale getirebilir. Örneğin; 1 1 dir. Fakat, ( 1) = (1) dir. İşte bu gibi durumlarda cevaplar orijinal denklemde kontrol edilmelidir. x = 1 çözüm değildir. aw + bw + c = 0 bir denklem formu W cebirsel bir ifadedir. Bu denklem ikinci derecedendir. Bir sonraki iki örnekte göreceğiniz gibi cebirsel ifadeyi uygun bir şekilde yerine koyarak denklem ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülüp çözüm gerçekleştirilir. Örnek 1: Dördüncü dereceden denklem Kuadratik Form x 4 8x + 8 = 0 denkleminin tüm çözümlerini bulunuz Çözüm: W = x yazılırsa W yeni kuadratik denklemin değişkeni olur. Örnek 13: Kesirli Kuvvete Sahip Denklem x 1/3 + x 1/6 = 0 denklemini çözünüz. Çözüm: W = x 1/6 olarak alınırsa W = x 1/6 = x 1/3 olur. 48

49 Cevap kontrol edildiğinde çözüm sadece x = 1 dir. Örnek 14: Mutlak Değerli Denklem x 5 = 3 denklemini çözünüz. Çözüm: Mutlak değer tanımından; 1.6 Denklemlerle Modelleme 49

50 Fen bilimleri, ekonomi, finans, tıp ve diğer çeşitli alanlardaki birçok problem bir cebir problemi diline dönüştürülebilir. Bu nedenle, cebir oldukça yararlıdır. Bu bölümde gerçekyaşam problemlerini çözmek için denklemleri matematiksel modeller olarak kullanacağız. Model Oluşturma ve Kullanma Aşağıdaki kılavuzu, kelimelerle tanımlanan durumları modelleyen denklemleri oluşturmada bize yardımcı olması için kullanacağız. Kılavuzun denklemleri oluşturmada nasıl yardımcı olabileceğini göstermek için, bu bölümdeki her örnek üzerinde çalışırken kılavuzdaki adımları kenara yazacağız. Aşağıdaki örnek, bu kılavuzun kelime içeren bir problemi cebirin diline çevirmede nasıl kullanıldığını örneklemektedir. ÖRNEK 1. Araba Kiralama Araba kiralama şirketi bir arabayı kiralamak için günlük 30$ ve mil başına 15 cent ücret istemektedir. Helen iki gün için araba kiralamıştır ve 108$ fatura gelmiştir. Ne kadar mil boyunca arabayı kullanmıştır? ÇÖZÜM Değişkeni Tanımla. Bizden Helen in sürdüğü mil miktarını bulmamız istenmektedir. Böylece x = sürülen mil miktarı Kelimeleri Cebire Dönüştür. Problemde verilen tüm bilgiyi cebir diline dönüştürelim. Kelimelerle Sürülen mil miktarı Cebirle Mesafe maliyeti (mil başına 0.15$) 0.15x 50 x

51 Modeli Kur. Şimdi modeli oluşturalım. Günlük maliyet (günlük 30$) (30) mesafe maliyeti + günlük maliyet = toplam maliyet Çöz. x için çözümü bulalım x + (30) = 108 Helen, kiralık arabasını 30 mil boyunca sürmüştür. Takip eden örnek ve alıştırmalarda, birçok farklı gerçek-yaşam durumunda ortaya çıkan problemleri modelleyen denklemleri oluşturacağız. Faiz Problemleri Bir bankadan borç para aldığınızda veya bir banka paranızı tasarruf hesabında sizin için tutarak sizden borç aldığında, her iki durumda da borçlu paranın kullanım sebebiyle ödeme yapmak zorundadır. Ödenecek ücret, faiz olarak isimlendirilir. En temel faiz türü, mevduata yatırılmış ve borçlanılmış toplam miktarın yıllık yüzdesi olan basit faizdir. Depozito veya borç miktarı, P anapara olarak isimlendirilir. Paranın kullanımı için ödenen yıllık yüzde, r faiz oranıdır. Hesapta bulunan paranın toplam yıl sayısı t değişkeni ve toplam kazanılan faizi ise I değişkeni ile göstereceğiz. Aşağıdaki basit faiz formülü, r faiz oranından t yıl için yatırılan P anaparadan kazanılan I faiz miktarını vermektedir. I = Prt Bu formülü kullanırken, r yi yüzdeden ondalık sayıya çevirmeyi unutmayınız. Örneğin, %5, ondalık formunda, 0.05 dir. Böylece %5 faiz oranında, 3 yıllık zaman diliminde 1000$ depozitoya ödenecek faiz: I = Prt = 1000(0.05)(3) = 150$. ÖRNEK. Yatırımdaki Faiz Mary e $ miras kalmıştır ve bunu iki mevduat sertifikasına yatırmıştır. Bir sertifika %6 diğeri ise %4 1 yıllık basit faiz ödemektedir. Eğer Mary nin toplam faizi yıllık 505$ ise, her bir faiz oranına ne kadar para yatırmıştır? ÇÖZÜM Değişkeni Tanımla. Problem, Mary nin her bir faiz oranına yatırdığı miktarı bizden istemektedir. Bu yüzden, x = %6 dan yatırılan miktar 60 çıkar 0.15 böl hesapla 51

52 Kelimeleri Cebire Dönüştür. Mary e kalan toplam miras miktarı $ olduğundan, %4 1 oranından x para yatırdığı anlaşılmaktadır. Verilen tüm bilgiyi, cebir diline dönüştürülelim. Kelimelerle Cebirle %6 dan yatırılan miktar x %4 1 dan yatırılan miktar x %6 dan kazanılan faiz 0,06 x %4 1 dan kazanılan faiz 0,045( x) Modeli Kur. Mary nin toplam kazandığı faizin 505$ olduğu gerçeğini kullanarak modeli kurarız. %6 dan faiz + %4 1 dan faiz = toplam faiz Çöz. x için çözümü bulalım. Dağılma Özelliği x ifadelerini birleştir 4500 çıkar 0,015 e böl Böylece, Mary %6 dan $ yatırmış ve kalan miktar olan $ ı %4 1 den yatırmıştır. Cevabı Kontrol Et: toplam faiz = $ ın %6 sı $ ın %4 1 sı = 100$ + 95$ = 505$ Alan ve Uzunluk Problemleri Fiziksel bir durumu modellemek için cebiri kullandığımızda, bazen geometriye ait temel formülleri kullanmamız gerekir. Örneğin, bir alan veya çevre uzunluğu formülüne veya benzer üçgenlerin kenarlarıyla ilişki kuran formüle veya Pisagor Teoremine ihtiyaç duyarız. Bu formüllerin çoğu, kitabın ön-arka sayfasında listelenmiştir. Sonraki iki örnek, bazı gerçekyaşam problemlerini çözmek için bu geometrik formülleri kullanmaktadır. 5

53 ÖRNEK 3. Bir Bahçenin Boyutları Kare bir bahçe, Şekil 1 de gösterildiği gibi dış kenarı etrafında 3 ft genişliğe sahip bir yürüme yolu bulundurmaktadır. Eğer yürüme yolu da dahil olmak üzere tüm bahçenin alanı ft ise, ekili alanın boyutları nedir? Şekil 1 ÇÖZÜM Değişkeni Tanımla. Ekili alanın uzunluğu ve genişliğini bulmamız istenmektedir. Böylece x = ekili alanın uzunluğu Kelimeleri Cebire Dönüştür. Şekil 1 deki bilgiyi cebirin diline dönüştürelim. Kelimelerle Cebirle Ekili alan uzunluğu x Tüm bahçenin uzunluğu x + 6 Tüm bahçenin alanı (x + 6) Modeli Kur. Şimdi modeli kurarız. Tüm bahçenin alanı = ft Çöz. x için çözümü bulalım. Kare kökünü al 6 çıkar Bahçenin ekili alanı, yaklaşık 18 ft e 18 ft dir. ÖRNEK 4. İnşaat Sahasının Boyutları Dikdörtgen şeklindeki bir inşaat sahasının uzunluğu genişliğinden 8ft büyüktür ve alan büyüklüğü 900 ft dir. Sahanın boyutlarını bulunuz. 53

54 ÇÖZÜM Değişkeni Tanımla. Sahanın uzunluğu ve genişliğini bulmamız istenmektedir. Böylece w = sahanın genişliği Kelimeleri Cebire Dönüştür. Problemde verilen bilgiyi cebirin diline dönüştürelim (Şekil bakın). Kelimelerle Cebirle Sahanın genişliği w Sahanın uzunluğu w + 8 Şekil Modeli Kur. Şimdi modeli kurarız. Sahanın genişliği Sahanın uzunluğu = Sahanın alanı w(w + 8) = 900 Çöz. x için çözümü bulalım. Genişletme işlemi 900 çıkar Çarpanlarına ayır Sıfır-Çarpım Özelliği Sahanın genişliği pozitif bir sayı olması gerektiğinden, w = 50 ft olması gerektiğini anlarız. Sahanın uzunluğu ise (w + 8) = = 58 ft dir. ÖRNEK 5. Benzer Üçgenleri Kullanarak Bir Binanın Yüksekliğinin Bulunması 6ft uzunluğundaki bir adam, dört katlı bir binanın yüksekliğini bulmak istemektedir. Binanın gölgesini ölçüp, bunun 8ft uzunluğunda olduğunu buluyor. Bu arada kendi gölgesinin uzunluğu ise 3 1 ft dir. Binanın yüksekliğini bulunuz. ÇÖZÜM Değişkeni Tanımla. Problem binanın yüksekliğini bulmamızı istemektedir. Böylece h = binanın yüksekliği 54

55 Kelimeleri Cebire Dönüştür. Şekil 3 deki üçgenlerin benzer olduğu gerçeğini kullanırız. Hatırlanırsa, herhangi bir iki benzer üçgenin karşılıklı kenarlarının oranı eşittir. Şimdi, bu gözlemi cebirin diline çevirelim. Şekil 3 Kelimelerle Binanın yüksekliği Büyük üçgendeki yüksekliğin tabana oranı Küçük üçgendeki yüksekliğin tabana oranı Cebirle Modeli Kur. Büyük ve küçük üçgenler benzer olduğundan, aşağıdaki denklemi elde ederiz. Büyük üçgendeki yüksekliğin tabana oranı = Küçük üçgendeki yüksekliğin tabana oranı h h Çöz. h için çözümü bulalım. 8 ile çarp Böylece, binanın yüksekliği 48ft dir. Karışım Problemleri Birçok gerçek-dünya problemi farklı tip maddelerin karıştırılmasını içerir. Örneğin, inşaat işçileri çimento, çakıl ve kumu karıştırabilir; meyve suyu konsantresi farklı tip meyve sularının karıştırılmasını gerektirebilir. Karışımları ve konsantrasyonları içeren problemler, bir maddenin x miktarının V hacimli bir çözeltide çözüldüğünde maddenin C konsantrasyonunun aşağıdaki denklemle elde edildiği gerçeğini kullanırlar. 55

56 Böylece eğer 10g şeker 5L suda çözülürse, bu takdirde şeker konsantrasyonu C = 10 5 = g/l dir. Bir karışım problemini çözmek genellikle çözeltide bulunan bir maddenin x miktarını analiz etmemizi gerektirir. Bu denklemi x için çözdüğümüzde, x = CV olduğunu görürüz. Dikkat edilirse, birçok karışım probleminde C konsantrasyonu gelecek örnekte olduğu gibi yüzde olarak ifade edilir. ÖRNEK 6. Karışımlar ve Konsantrasyon Soft içecek imalatçısı, sadece %5 portakal suyu içerse de portakal sodasının doğal olarak tatlandırıldığı şeklinde pazarlama yapmaktadır. Yeni yasal düzenleme, doğal olarak adlandırılması için bir içeceğin en azından %10 meyve suyu içermesi gerektiğini şart koymaktadır. Bu imalatçı yeni düzenlemeye uyum sağlamak için portakal sodasının 900 gal ına ne kadar saf portakal suyu eklemelidir? ÇÖZÜM Değişkeni Tanımla. Problem eklenecek saf portakal suyu miktarını bizden istemektedir. Böylece x = eklenecek saf portakal suyu miktarı (galon olarak) Kelimeleri Cebire Dönüştür. İki farklı maddenin karıştırılacağı bu tip problemlerde, verilen bilgiyi organize etmek için bir diyagram çizilmesi yardımcı olacaktır (Şekil 4 bakın). Hacim 900 galon x galon x galon Portakal suyu 900 galonun x galonun 900 galonun %10 u miktarı %5 i = 45 galon %100 ü = x galon =0,1(900 + x) galon Şekil 4 Şekildeki bilgi, cebir diline aşağıdaki gibi çevrilir. 56

57 Kelimelerle Cebirle Eklenecek portakal suyu miktarı x Karışımın miktarı x İlk varildeki portakal suyu miktarı (0,05)900 = 45 İkinci varildeki portakal suyu miktarı 1. x = x Karışımdaki portakal suyu miktarı 0.10(900 + x) Modeli Kur. Modeli kurmak için, karışımdaki portakal suyu toplam miktarının ilk iki varildeki portakal suyuna eşit olduğu gerçeğini kullanalım. İlk varildeki portakal + İkinci varildeki portakal = karışımdaki portakal suyu miktarı suyu miktarı suyu miktarı Çöz. x için çözümü bulalım. Şekil 4 den Dağılma özelliği 0.1x ve 45 çıkar 0.9 a böl Böylece, imalatçı sodaya 50 gal saf portakal suyu eklemelidir. Cevabı Kontrol Et: Karışımdan önce meyve suyu miktarı = 900 gal ın %5 i + 50 gal saf portakal suyu = 45 gal + 50 gal = 95 gal Karışımdan sonra meyve suyu miktarı = 950 gal ın %10 u = 95 gal Miktarlar eşittir. Bir İşi Yapmak İçin Gereken Zaman Problemleri Bir işi birkaç kişi ile tamamlamanın ne kadar zaman alacağını belirlemeyi içeren bir problem çözdüğümüzde, eğer bir kişi veya makine bir görevi yerine getirmek için H birim zamana ihtiyaç duyarsa, birim zamanda görevin tamamlanma kısmı 1/H kadar olur bilgisini kullanırız. Örneğin eğer bir işçi çimenleri 5 saate biçiyorsa, bu takdirde söz konusu işçi 1 saatte çimenlerin 1/5 ini biçecektir. ÖRNEK 7. Bir İşi Yapmak İçin Gerekli Zaman Beklenen yoğun sağanak yağış nedeniyle, barajdaki su seviyesi 1ft kadar azaltılmalıdır. A boşaltma kanalını açmak, 4 saatte su seviyesini bu miktara indirmektedir. Oysaki daha küçük 57

58 olan B boşaltma kanalını açmak, aynı işi 6 saate yapmaktadır. Her iki boşaltma kanalı da açılırsa, su seviyesini 1ft azaltmak ne kadar zaman alır? ÇÖZÜM Değişkeni Tanımla. Her iki boşaltma kanalı açılırsa, su seviyesini 1ft azaltmak için gereken zamanı bulmamız istenmektedir. Böylece x = her iki boşaltma kanalı açıldığında su seviyesini 1ft kadar azaltmanın aldığı (saat olarak) zaman Kelimeleri Cebire Dönüştür. Bu problemde x değişkenini diğer niceliklerle ilişkilendiren bir denklem bulmak kolay değildir. Açıkçası x basitçe değildir. Çünkü bu, iki boşaltma kanalının birlikte su seviyesini azaltmak için tek başına olduklarından daha fazla zamana ihtiyaç duyması anlamına gelirdi. Bunun yerine, her bir boşaltma kanalı tarafından 1 saate işin ne kadarlık kısmının yapılabileceğine bakarız. Kelimelerle A ve B nin birlikte su seviyesini 1ft azaltmak için gerek duyduğu süre 1 saate A nın düşürdüğü su seviyesi miktarı 1 4 ft 1 saate B nin düşürdüğü su seviyesi miktarı 1 6 ft 1 saate A ve B nin birlikte düşürdüğü su seviyesi miktarı 1 x ft Modeli Kur. Şimdi modeli kuralım. Cebirle x saat A tarafından yapılan kısım + B tarafından yapılan kısım = Her ikisi tarafından yapılan kısım Çöz. x için çözümü bulalım. EKOP ile çarp, 1x Topla 5 e böl Her iki boşaltma kanalı açılırsa, su seviyesini 1ft azaltmak 5 saat veya saat 4 dakika zaman alacaktır. Uzaklık, Oran ve Zaman Problemleri Bir sonraki örnek uzaklık, oran (hız) ve zaman ile ilgilidir. Burada akılda tutulması gereken formül: Uzaklık = oran zaman 58

59 formülde, oran ya sabit hız ya da hareket eden bir nesnenin ortalama hızıdır. Örneğin, 4 saat süresince 60 mi/h ile araba sürmek 60 4 = 40 mi bir uzaklığa sizi götürür. ÖRNEK 8. Uzaklık-Hız-Zaman Problemi Bir jet, 400 km mesafesindeki New York dan Los Angeles a uçmaktadır. Dönüş yolculuğu için hız gidiş hızından 100 km daha fazladır. Toplam seyahat 13 saat sürerse, New York dan Los Angeles a giderken jeti hızı ne kadardı? ÇÖZÜM Değişkeni Tanımla. New York dan Los Angeles a giderken jeti hızı bizden istenmektedir. Böylece s = New York dan Los Angeles a hız s +100 = Los Angeles dan New York a hız Kelimeleri Cebire Dönüştür. Bilgiyi bir tabloda organize edelim. Şehirler arasının 400 km olduğunu bildiğimizden, ilk önce Uzaklık sütununu doldururuz. Ardından s değişkenine göre her iki hızı (oran) da ifade etmiş olduğumuzdan, Hız sütununu doldururuz. Son olarak, aşağıdaki formülü kullanarak Zaman sütununu hesaplarız. Zaman = Uzaklık oran Modeli Kur. Toplam seyahat 13 saat almaktadır, bu yüzden aşağıdaki model söz konusudur. Çöz. Ortak payda ile çarparak s (s+100), şu elde edilir: Her ne kadar bu denklem büyük sayılarla çarpanlarına ayrılsa da, ikinci dereceden formül ve bir hesaplayıcı yardımıyla hızlıca hesaplanabilir. 59

60 s hızı temsil ettiğinden, negatif cevap red edilir ve jetin New York dan Los Angeles a hızının 600 km/saat olduğu sonuncuna varılır. ÖRNEK 9. Kuş Uçuşundaki Enerji Tüketimi Kuş bilimciler, bazı kuş türlerinin gün ışığı saatlerinde büyük su kütleleri üzerinden uçmaktan kaçınma eğilimi gösterdiklerini belirlemişlerdir. Çünkü, gündüzleri hava genellikle toprak üzerine yükselmekte ve su üzerine düşmektedir. Böylece su üzerinde uçmak daha çok enerji gerektirmektedir. Bir ada üzerinde kıyı şeridine en yakın nokta olan ve B den 5 mil uzaklığındaki A noktasından bir kuş serbest bırakılmıştır. Kuş kıyıdaki C noktasına uçmaktadır ve ardından kıyı boyunca uçarak Şekil 5 de gösterildiği gibi D yuva alanına hareket etmektedir. Kuşun 170 kcal lık enerji stoğu olduğunu varsayalım. Kuş kara üzerinde uçarken 10 kcal/mil ve su üzerinde 14 kcal/mil kullanmaktadır. a) Kuşun uçuş boyunca tam olarak 170 kcal enerji kullanabilmesi için C noktası nereye yerleştirilmelidir? b) Kuş A noktasından D noktasına doğrudan uçmaya yetecek kadar enerjiye sahip midir? Şekil 5 ÇÖZÜM Değişkeni Tanımla. C nin yerini bulmamız bizden istenmektedir. Böylece x = B den C ye uzaklık Kelimeleri Cebire Dönüştür. Şekle ve aşağıdaki bilgiye dayanarak aşağıdaki tablo oluşturulur. kullanılan enerji = mil başına enerji uçulan mil 60 Pisagor Teoreminden

61 Kelimelerle B den C ye uzaklık Cebirle x Su üzerinde uçulan uzaklık (A dan C ye) x + 5 Kara üzerinde uçulan uzaklık (C dan D ye) 1 x Su üzerinde harcanan enerji 14 x + 5 Kara üzerinde harcanan enerji 10(1 x) Modeli Kur. Şimdi modeli kuralım. toplam kullanılan enerji = su üzerinde kullanılan enerji + karada kullanılan enerji Çöz. Bu denklemi çözmek için, ilk olarak eşitliğin sol tarafına tüm diğer terimler getirilir ve ardından her iki tarafın karesi alınarak karekök yok edilir. Karekök terimini sağ tarafta bırak Sol tarafı sadeleştir Her iki yanın karesini al Genişlet (Aç) Tüm terimler sağ tarafa Bu denklem çarpanlarına ayrılabilir, ancak sayılar çok büyük olduğundan ikinci dereceden formül ve bir hesaplayıcı yardımıyla daha kolaydır. C noktası B noktasından 6 3 mil veya mil uzakta olmalıdır, böylece kuş uçuş esnasında tam olarak 170 kcal enerji kullanır. b) Pisagor Teoreminden, A dan D ye doğrudan uçuş uzunluğu = 13 mil dir. Bu rota için kuşun ihtiyacı olan enerji miktarı = 18 kcal dır. Bu, kuşun mevcut enerjisinden daha fazladır. Dolayısıyla bu rotayı kullanmaz. 61

62 1.7 EŞİTSİZLİKLER Cebirdeki bazı problemler denklemler yerine eşitsizliklere neden olur. Eşitsizlik, eşitlik işaretinin yerine sembollerden biri olması dışında sadece bir denklem gibi görünür <, >, ve. Aşağıda eşitsizliğe örnek verilebilir: 4x Yukarıdaki tablo bazı sayıların eşitsizliği sağladığını ve bazı sayıların eşit olmadığını göstermektedir. Değişken içeren bir eşitsizliği çözmek demek; eşitsizliği sağlayan değişkenin tüm değerlerini bulmak demektir. Eşitliklerden farklı olarak, bir eşitsizlik genelde gerçek sayı doğrusu üzerinde bir aralık veya aralıkların birleşmesinden oluşan sınırsız sayıda çözüme sahiptir. Aşağıdaki örnek denklemle ile eşitsizlik farkını göstermektedir. Çözüm Grafik Denklem: Eşitsizlik: Eşitsizlikleri çözmek için, eşitsizlik işaretinin bir tarafında değişkeni izole etmek için aşağıdaki kuralları kullanırız. Bu kurallar, iki eşitsizliğin eşdeğer olduğunu söyler ( sembolü eşittir (eşdeğerdir anlamına gelir). Bu kurallardaki A, B ve C sembolleri gerçek sayılar veya cebirsel ifadeler için kullanılmaktadır. Burada sembolü içeren eşitsizliklerin kurallarını belirtmekteyiz, ancak dört eşitsizlik sembolü için de geçerlidir. Eşitsizlik Kuralları Tanımlama 1. A B A + C B + C Ekleme. Eşitsizliğin her bir yanına aynı değeri eklemek eşitsizliğin değerini değiştirmez.. A B A C B C Çıkarma. Eşitsizliğin her bir yanından aynı 6

63 değeri çıkarmak eşitsizliğin değerini değiştirmez. 3.Eğer C > 0 ise, A B CA CB Çarpma. Eşitsizliğin her bir yanını pozitif bir değer ile çarpmak eşitsizliğin yönünü değiştirmez. 4.Eğer C < 0 ise, A B CA CB Çarpma. Eşitsizliğin her bir yanını negatif bir değer ile çarpmak eşitsizliğin yönünü değiştirir. 5.Eğer A > 0 ve B > 0 ise, A B 1 1 Tersini Almak. Eşitsizliğin her iki tarafının A B tersi alınırken pozitif değerler eşitsizliğin yönünü değiştirir. 6. Eğer A B ve C D ise A + C B + D Eşitsizlikler Toplanabilir Kural 3 ve 4'e özel dikkat edin. Kural 3, bir eşitsizliğin her bir yanını pozitif bir sayı ile çarpabildiğimizi (veya bölebildiğimizi) söyler; ancak Kural 4, bir eşitsizliğin her iki yanını negatif bir sayı ile çarparsak, eşitsizlik yönünü tersine çevirdiğimizi söyler. Örneğin, aşağıdaki eşitsizlikle başlarsak; 3 < 5 ve bu eşitsizliği ile çarparsak 6 < 10 elde edilir Eğer - ile çarparsak -6 > -10 olur. Doğrusal Eşitsizliklerin Çözümü Her terim sabit veya değişkenin bir katı olduğunda bir eşitsizlik doğrusaldır. Doğrusal eşitsizliği çözmek için, eşitsizlik işaretinin bir tarafında değişkeni izole etmek gerekmektedir. ÖRNEK 1: Doğrusal Eşitsizliklerin Çözümü 3x < 9x + 4 eşitsizliğini çözünüz ve sonucu çiziniz. ÇÖZÜM 3x < 9x + 4 Verilen eşitsizlik 3x 9x < 9x + 4 9x 9x çıkartılır 6x < 4 Basitleştirme 1 6 6x > Her iki tarafı 1 çarpıp eşitsizliğin yönünü değiştir. 6 63

64 x > 3 Çözüm kümesi den büyük olan bütün sayıları içermektedir. Diğer bir ifadeyle eşitsizliğin 3 çözüm kümesi, aralığıdır. 3 ÖRNEK : Eşzamanlı Eşitsizlik Çözme Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz. 4 3x < 13 ÇÖZÜM Çözüm kümesi her iki eşitsizliği sağlayacak x değerlerini içermelidir. 4 3x ve 3x < 13. Kural 1 ve 3 kullanılarak 4 3x < x < 15 3x < 5 Çözüm aralığı [,5) dir. Doğrusal Olmayan Eşitsizliklerin Çözümü Değişkenlerin ikinci yada diğer kuvvetlerinin eşitsizliğini çözmek için aşağıdaki kurallar takip edilmelidir. Kesirlerin yada Çarpımların İşareti Eğer çarpım yada kesirler çift sayıda negatif çarpana sahip ise, değeri pozitiftir. Eğer çarpım yada kesirler tek sayıda negatif çarpana sahip ise, değeri negatiftir. Örneğin x 5x 6 eşitsizliğini çözerken, çarpanlara ayırabilmek için bütün terimleri eşitsizliğin sol tarafına taşırız. (x )(x 3) 0 64

65 Eşitsizlik (x )(x 3) çarpımının negatif yada sıfır olması gerektiğini söyler. Bu nedenle çözüm için her bir çarpanın negatif yafa pozitif olma durumu düzenlenmelidir. Çarpımın işareti çarpanların işaretine bağlıdır. DOĞRUSAL OLMAYAN EŞİTSİZLİKLERİ ÇÖZERKEN KILAVUZ 1. Terimlerin Tek Bir Tarafa Alınması. Gerekirse, sıfır olmayan tüm terimlerin eşitsizlik işaretinin bir tarafında görünmesi için eşitsizliği yeniden yazılır. Eşitsizliğin sıfır olmayan tarafı kesirli ifade içeriyorsa, bunları ortak bir payda getirilmesi gerekir.. Çarpanlara Ayırma. Eşitsizliğin sıfırdan farklı tarafı çarpanlara ayrılır. 3. Aralık Bulma. Her çarpanın sıfır olduğu değerler belirlenir. Bu sayılar reel sayı doğrusuna aralıklar yerleştirilir. Bu sayılarla sağlanan aralıklar yazılır. 4. Tablo yada Diyagram Yapma. Her aralıkta her çarpanın işaretlerinin bir tablo veya diyagramını oluşturmak için test değerlerini kullanılır. Tablonun son satırında, bu çarpanların çarpımının (veya bölümün) işareti belirlenir. 5. Çözüm. İşaret tablolarının son satırındaki eşitsizlik çözümü belirlenir. Eşitsizliğin aralıkların bitiş noktalarının bir kısmı veya tamamı tarafından sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilir. (Eşitsizlik ya da içeriyorsa bu durum ortaya çıkabilir). ÖRNEK 3: İkinci Dereceden Eşitsizliklerin Çözümü Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz. x 5x 6 ÇÖZÜM: Yukardaki kurallar takip edilirse; Terimlerin Tek Bir Tarafa Alınması. Bütün terimler sol tarafa alınır. x 5x 6 x 5x Çarpanlara Ayırma. Eşitsizliğin sol tarafı çarpanlara ayrılır. (x )(x 3) < 0 Aralık Bulma. Sol taraftaki çarpanlar x ve x 3 dür. Bu çarpanlar sırasıyla x, ve 3 iken sıfır olur. Şekilde görüldüğü gibi reel sayı doğrusu üç aralığa ayrılırsa (, ), (,3), (3, ) (x ) ve (x 3) çarpanları sırasıyla ve 3 de işaret değiştirmektedir. 65

66 Tablo yada Diyagram Yapma. Bulunan her aralıkta her bir çarpanın işaretini belirlemek için test değerlerini kullanılır. Her aralıkta bir sayı seçilir. Seçilen sayı ile x - ve x - 3 çarpanlarının işaretleri kontrol edilir. (, ) aralığı için 1 test değeri seçilirse, x = 1 = -1 < 0 x 3 = 1 = -1 < 0 Her içi çarpanda bu aralıkta negatiftir. Her aralık için tek bir test değerinin kullanılması yeterlidir. (,3), (3, ) aralıkları için x = 1 ve x = 4 değerleri kullanarak aşağıdaki tablo oluşturulabilir. Aralık x- x - 3 ( x- ) (x - 3) x- x - 3 (x- ) (x - 3) Çözüm. Eğer tablo yada diyagram okunursa (x )(x 3), (,3) aralığında negatif olmaktadır. (x )(x 3) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi; {x x 3} = [, 3] ve 3 sınırları eşitsizliği sıfırdan küçük ve eşit yaptığı için dahil edilmesi gerekmektedir. ÖRNEK 4: Tekrarlı Çarpanlarda Eşitsizlik Çözümü Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz. x(x 1) (x 3) < 0 ÇÖZÜM: Sıfırdan farklı bütün terimler tek tarafta ve çarpanlara ayrılmış durumdadır. 66

67 Aralık bulma. Sol taraftaki çarpanlar x, (x 1) ve (x 3) dür. Bu çarpanlar sırasıyla x = 0,1,3 de sıfır olmaktadır. Bu sayılar reel sayı doğrusuna aşağıdaki aralıklar yerleştirilirse, (, 0), (0,1), (1,3), (3, ) Tablo Yapma. Aşağıdaki diyagram her bir çarpan için her bir aralıkta test noktaları konarak düzenlenir. x (x 1) (x 3) x(x 1) (x 3) Çözüm. Tablodan x(x 1) (x 3) < 0 eşitsizliğinin x için çözümü (0,1) ya da(1,3)dir. ÖRNEK 5: Kesirli Eşitsizliklerin Çözümü Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz. 1 + x 1 x 1 ÇÖZÜM: (0,1) (1,3) Terimlerin Tek Bir Tarafa Alınması. Bütün terimler sol tarafa alınıp ortak payda da basitleştirilir. 1 + x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 + x 1 x x 1 x 0 Aralık Bulma. Sol taraftaki çarpanlar x ve 1 x dir. Bu çarpanlar x, 0 ve 1 de sıfır olmaktadır. Bu sayılar reel sayı doğrusuna aşağıdaki aralıklar yerleştirilirse, 67 0

68 (, 0), (0,1), (1, ) Tablo Yapma. Aşağıdaki diyagram her bir çarpan için her bir aralıkta test noktaları konarak düzenlenir. x 1 x x 1 x Çözüm. Tablodan x 1 x 0 [0,1) aralığı için geçerlidir. 0 eşitsizliği 1 den büyük ve eşit yaptığı için sağlamaktadır. Bununla birlikte 1 dahil değildir. Çünkü kesir 1 noktasında tanımlı değildir. Çözüm aralığı [0,1) dir. Örnek 5 bize sınır noktalarının orijinal eşitsizliğin çözümü için kontrol edilmesi gerektiğini göstermektedir. Mutlak Değerli Eşitsizlikler Mutlak değerli eşitsizlikleri çözmek için aşağıdaki özellikleri kullanırız. Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Özellikleri Eşitsizlik Eşitlik Formu Grafik Özellik 1 i ispat etmek için x < c, x'den 0'a olan uzaklığın c'den küçük olduğunu söylediğini unutmayın. Aşağıdaki şekilden, x'in -c ve c arasında olması durumunda bunun doğru olduğunu görebilirsiniz. 68

69 ÖRNEK 6: Mutlak Değerli Eşitsizlik Çözümü Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz. x 5 < ÇÖZÜM 1: x 5 < eşitsizliği < x 5 < eşittir. 3 < x < 7 Çözüm aralığı (3,7) dir. ÇÖZÜM : Geometrik olarak şekilden de görüldüğü gibi, çözüm seti 5'den birim uzakta olan tüm sayılardan oluşur. Çözüm aralığı (3,7) dir. ÖRNEK 7: Mutlak Değerli Eşitsizlik Çözümü Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz. 3x + 4 ÇÖZÜM: Özellik 4 ü kullanarak 3x + 4 yada 3x + 4 3x x 3 3x 6 x Çözüm kümesi x x yada x 3 = (, ] 3, ) 69

70 Eşitsizliklerle Modelleme Gerçek hayat problemlerini modellemek sıklıkla eşitsizliklere yol açtığından, genellikle bir niceli diğerinden daha fazla (veya daha az) belirlemeyle ilgileniyoruz. ÖRNEK 8: Karnaval Biletleri Bir karnaval bileti iki planı vardır. Plan A: 5 $ giriş ücreti ve her binişe 5 Plan B: $ giriş ücreti ve her binişe 50 Plan A nın Plan B 'den daha ucuz olması için ne kadar binişe ihtiyaç vardır? ÇÖZÜM: Değişkeni Tanımla. Plan A'nın Plan B'den daha ucuz olduğu binişlerin sayısı soruluyor. Bu nedenle x = biniş sayısı Kelimeleri cebire çevirme. Sorudaki bilgiler aşağıdaki şekilde organize edilebilir. Kelime Cebirsel İfade Biniş sayısı x Plan A maliyeti x Plan B maliyeti x Model Kurma. Plan A ücreti < Plan B ücreti Çöz x < x x < 0.50x 3 < 0.5x 1 < x Sonuç olarak 1'den fazla biniş yapmayı planlıyorsanız, Plan A daha ucuzdur. ÖRNEK 9: Fahrenhayt ve Santigrat Ölçekleri Arasındaki İlişki Bir ilaç şişesindeki yönergeler şişenin 5C ile 30C arasındaki bir sıcaklık değerinde saklanması gerektiğini belirtmektedir. Fahrenhayt ölçeğine karşılık gelen sıcaklık aralığı nedir? ÇÖZÜM Fahrenhayt ve Santigrat dereceleri arasındaki ilişki C = 5 (F 3) denklemi ile 9 bulunmaktadır. Şişedeki ifadeyi eşitsizlik terimiyle ifade edersek: Böylece eşitsizliği sağlayan Fahrenhayt sıcaklıkları aşağıdaki gibi bulunur. 70

71 İlaç 41F ile 86F arasında saklanmalıdır. 1.8 KOORDİNAT GEOMETRİSİ Koordinat Düzlemi, Uzaklık ve Orta Nokta Formülleri, İki Değişkenli Denklemlerin Grafikleri, Kesişimler, Çemberler, Simetri Koordinat düzlemi, cebir ve geometri arasındaki bağlantıdır. Koordinat düzleminde, cebirsel denklemlerin grafiklerini çizebiliriz. Grafikler, böylece bize denklemdeki değişkenlerin arasındaki ilişkiyi "görmemizi" sağlar. Bu bölümde, koordinat düzlemini işleyeceğiz. Koordinat Düzlemi Nasıl ki bir doğru üzerindeki noktalar reel sayılarla koordinat doğrusu şeklinde tanımlanabilirse, bir düzlemdeki noktalar da sıralı sayı çiftleri ile koordinat düzlemi veya Cartesian düzlem olarak tanımlanabilir. Bunu yapmak için, her doğrunun 0'da kesiştiği iki dik reel doğru çizeriz. Genellikle, bir doğru sağa doğru pozitif yönlü yataydır ve x-ekseni denir, diğer çizgi yukarı doğru pozitif yönlü dikeydir ve y-ekseni denir. X-ekseni ve y- ekseninin kesişim noktası orijin O adını alır ve iki eksen düzlemi dört kadrana (quadrant) böler, Şekil 1'de I, II, III ve IV ile gösterilmiştir. (Koordinat eksenlerinin üzerindeki noktalar herhangi bir kadrana ait değildir). ŞEKİL 1 ŞEKİL 71

72 Koordinat düzlemindeki herhangi bir P noktasının yeri Şekil 1'de gösterildiği gibi bir tek (a,b) sıralı sayı çifti ile saptanabilir. İlk sayı a 'ya, P 'nin x-koordinatı denir, ikinci sayı b 'ye P 'nin y-koordinatı denir. P 'nin koordinatlarını "adresi" olarak düşünebiliriz, çünkü düzlemdeki yerini belirtirler. Şekil 'de birkaç nokta koordinatlarıyla gösterilmiştir. ÖRNEK 1 Koordinat Düzleminde Bölgelerin Grafiğini Çizme Her kümede verilen bölgeleri tanımlayın ve çizin. ÇÖZÜM (a) x-koordinatları 0 veya pozitif olan noktalar, Şekil 3(a)'da gösterildiği gibi y-ekseni üzerinde veya onun sağında yayılır. (b) y-koordinatı 1 olan tüm noktaların kümesi, Şekil 3(b)'de gösterildiği gibi x-ekseninin bir birim üzerinde yatay bir doğrudur. (c) Bölüm 1.7'den yalnızca ve yalnızca 1 < y < 1 olduğunda y > 1 olduğunu hatırlayalım. Bu nedenle, verilen bölge y-koordinatı -1 ve 1 arasında uzanan düzlemdeki bu noktalardan oluşur. Böylece, bölge yatay doğru y=1 ve y=-1 arasında (fakat üzerinde değil) uzanan tüm noktalardan oluşur. Bu doğrular, küme içinde yayılan noktaları değil, bu doğruların üzerindeki noktaları belirtmek için kesikli çizgiler ile Şekil 3(c)'de gösterilmektedir. ŞEKİL 3 Uzaklık ve Orta Nokta Formülleri Şimdi düzlemdeki iki nokta A(x 1, y 1 ) ve B(x, y ) arasındaki d(a, B) uzaklığı için bir formül buluyoruz. Bölüm 1.1'den hatırlayacağımız üzere, sayı doğrusunda a ve b arasındaki uzaklık d(a, b) = b a olmaktadır. Şekil 4'te görüyoruz ki, yatay doğru üzerinde 7

73 A(x 1, y 1 ) ve C(x, y 1 ) noktaları arasındaki uzaklık x x 1 olmalıdır ve düşey doğru üzerinde B(x, y ) ve C(x, y 1 ) arasındaki uzaklık y y 1 olmalıdır. ŞEKİL 4 ABC üçgeni dik üçgen olduğu için, Pisagor Teoremi aşağıdaki ifadeyi verir UZAKLIK FORMÜLÜ Düzlemde A(x 1, y 1 ) ve B(x, y ) noktaları arasındaki uzaklık ÖRNEK Uzaklık Formülünün Uygulanması P(1, ) veya Q(8,9) noktalarının hangisi A(5,3) noktasına daha yakındır? ÇÖZÜM Uzaklık formülünden; Bu, d(p, A) < d(q, A) olduğunu gösterir, böylece P, A'ya daha yakındır (Bakınız Şekil 5) 73

74 Şimdi de A(x 1, y 1 ) noktasını B(x, y ) noktası ile birleştiren doğru parçasının M orta noktasının (x, y) koordinatlarını bulalım. Şekil 6'da APM ve MQB üçgenlerinin eş olduğuna dikkat edin, çünkü d(a, M) = d(m, B) ve yöndeş açıları eşittir. ŞEKİL 6 Bundan d(a, P) = d(m, Q) sonucu çıkar, bu nedenle x x 1 = x x Bu denklemi x için çözdüğümüzde, x = x 1 + x dir, böylece x = x 1+x şekilde, y = y 1+y olur. ORTA NOKTA FORMÜLÜ A(x 1, y 1 ) 'dan B(x, y )'ye doğru parçasının orta noktası olur. Benzer ÖRNEK 3 Orta Nokta Formülünün Uygulanması Köşe noktaları P(1,), Q(4,4), R(5,9) ve S(,7) olan dörtgenin paralelkenar olduğunu iki köşegenin birbirini iki eşit parçaya böldüğünü kanıtlayarak gösterin. ÇÖZÜM Eğer iki köşegen aynı orta noktaya sahipse, birbirini kesmelidir. PR köşegeninin orta noktası ve QS köşegeninin orta noktası Böylece her köşegen diğerini keser, Şekil 7'de gösterilmektedir. 74

75 ŞEKİL 7 İki Değişkenli Denklemlerin Grafiği İki değişkenli denklem, y = x + 1 gibi, iki miktar arasındaki ilişkiyi açıklar. Eğer x ve y için değerler denklemde yerine konulduğunda denklemi gerçekleştiriyorsa, (x,y) noktası denklemi sağlar. Örneğin, (3,10) noktası y = x + 1 denklemini sağlar, çünkü 10=3 +1, fakat (1,3) noktası sağlamaz, çünkü BİR DENKLEMİN GRAFİĞİ x ve y 'li bir denklemin grafiği, koordinat düzleminde denklemi sağlayan tüm (x,y) noktalarının kümesidir. Bir denklemin grafiği bir eğridir, bu nedenle bir denklemin grafiğini çizmek için, yapabildiğimiz kadar çok noktayı işaretleriz, sonrasında düzgün bir eğri ile bunları birleştiririz. ÖRNEK 4 Noktaları İşaretleyerek Grafik Çizmek x y = 3 denkleminin grafiğini çizin. ÇÖZÜM Öncelikle y için verilen denklemi çözelim y = x 3 Bu bize aşağıdaki tablo y-koordinatlarını hesaplamamamıza yardım eder: Tabii ki, grafikte sonsuz sayıda nokta vardır, ve bunların hepsini göstermek mümkün değildir. Fakat, ne kadar çok nokta işaretlersek, denklem ile verilen grafiğin neye benzediğini o kadar iyi hayal edebiliriz. Şekil 8'de bulduğumuz noktaları işaretliyoruz; bir doğru üzerinde 75

76 yayıldıkları görünmektedir. Böylece, bir doğru ile birleştirilen noktalarla grafiği tamamlarız. (Bölüm 1.10'da bu denklemin grafiğinin gerçekten bir doğru olduğunu kanıtlıyoruz.) ŞEKİL 8 ÖRNEK 5 Noktaları İşaretleyerek Grafik Çizmek y = x denkleminin grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM Denklemi sağlayan noktaların bazıları aşağıdaki tabloda bulunmaktadır. Şekil 9'da bu noktaları işaretleriz ve düzgün bir eğriyle bunları birleştiririz. Bu şekildeki eğri parabol olarak adlandırılır. ŞEKİL 9 Parabollerin ayrıntılı bir tartışması ve geometrik özellikleri Bölüm 10'da verilmektedir. ÖRNEK 6 Mutlak Değer Denkleminin Grafiği ÇÖZÜM Değerlerin bir tablosunu yapıyoruz: ŞEKİL 10 76

77 Şekil 10'da bu noktaları işaretliyoruz ve bunları denklemin grafiğini çizmek için kullanıyoruz. Kesişimler Grafiğin x-eksenini kestiği noktaların x-koordinatları, grafiğin x-kesişimleri olarak adlandırılır ve grafiğin denkleminde y=0 yazarak elde edilir. Grafiğin y-eksenini kestiği noktaların y-koordinatları, grafiğin y-kesişimleri olarak adlandırılır ve grafiğin denkleminde x=0 yazılarak elde edilir. KESİŞİMLERİN TANIMI Kesişimler Nasıl Bulunduğu Grafikteki yerleri x-kesişimleri: Denklemin grafiğinin x-eksenini kestiği noktaların x-koordinatlarıdır. y=0 yazılır ve x için çözülür y-kesişimleri: Denklemin grafiğinin y-eksenini kestiği noktaların y-koordinatlarıdır. x=0 yazılır ve y için çözülür ÖRNEK 7 Kesişimleri Bulma y = x denkleminin grafiğinin x- ve y-kesişimlerini bulunuz. ÇÖZÜM x-kesişimini bulmak için, y=0 yazarız ve x için çözeriz. Böylece y=0 yazın Her iki tarafa ekleyin Karekökünü alın x-kesişimleri ve y-kesişimlerini bulmak için, x=0 yazarız ve y için çözeriz. Böylece x=0 yazın y-kesişimi -'dir. Bu denklemin grafiği Örnek 5'te çizilmişti. Şekil 11'de x- ve y-kesişimleri gösterilerek tekrar verilmiştir. 77

78 ŞEKİL 11 Çemberler Bir denklemin x ve y içinde grafiğinin nasıl bulunacağını tartışmıştık. Bu problemin tersi bir grafiğin denklemini bulmaktır, bu da xy-düzleminde verilen bir eğriyi gösteren bir denklemdir. Böyle bir denklem, diğer noktalarla değil, eğri üzerindeki noktaların koordinatlarıyla sağlanır. Bu Descartes ve Fermat tarafından formüle edilen analitik geometrinin temel prensibinin diğer yarısıdır. Eğer geometrik bir eğri cebirsel denklemlerle gösterilebilirse, cebir kuralları eğriyi analiz etmek için kullanılabilir fikrine dayanır. Bu tip problemlerin bir örneği olarak, r yarıçaplı ve merkezi (h,k) olan bir çember denklemini bulalım. Tanım gereği, çember, C(h,k) merkezinden uzaklığı r olan tüm P(x,y) noktaların bir kümesidir (bakınız Şekil 1). Böylece yalnızca ve yalnızca d(p,c)=r ise P çemberin üzerindedir. Uzaklık formülünden; Her iki tarafın karesi alınır. Bu istenen denklemdir. ŞEKİL 1 78

79 ÇEMBER DENKLEMİ (h,k) merkezli ve r yarıçaplı bir çemberin denklemi Buna çemberin denklemi için standart form denir. Eğer çemberin merkezi orijin (0,0) ise, denklem olur. ÖRNEK 8 Çemberin Grafiğini Çizme Her denklemin grafiğini çizin. ÇÖZÜM (a) Denklemi x + y = 5 olarak yeniden yazdığımızda, merkezi orijinde yarıçapı 5 olan bir çember denklemi olduğunu görürüz. Grafiği Şekil 13'te gösterilmektedir. (b) Denklemi (x ) + (y + 1) = 5 olarak yeniden yazdığımızda, merkezi (,-1) noktasında, yarıçapı 5 olan çember denklemi olduğunu görürüz. Grafiği Şekil 14'te gösterilmektedir. ŞEKİL 13 ŞEKİL 14 ÖRNEK 9 Bir Çemberin Denklemini Bulmak (a) Yarıçapı 3 ve merkezi (,-5) olan bir çemberin denklemini bulun. (b) Çapının uç noktaları P(1,8) ve Q(5,-6) olan çemberin denklemini bulunuz. ÇÖZÜM (a) r=3, h= ve k=-5 olan çember denklemini kullandığımızda, aşağıdaki ifadeyi elde ederiz (x ) + (y + 5) = 9 Grafik Şekil 15'te gösterilmektedir. 79

80 ŞEKİL 15 (b) Öncelikle merkezin PQ çapının orta noktası olduğunu görüyoruz, bu nedenle Orta Nokta Formülünden, merkez; 1 + 5, 8 6 = (3,1) Yarıçap r, P'den merkeze olan uzaklıktır, böylece Uzaklık Formülünü kullanarak, r = (3 1) + (1 8) = + ( 7) = 53 Bu nedenle, çemberin denklemi (x 3) + (y 1) = 53 Grafik Şekil 16'da gösterilmektedir. ŞEKİL 16 Önceki örnekteki çember denklemini genişletelim. (x 3) + (y 1) = 53 Standart form x 6x y y + 1 = 53 Kareleri açın x 6x + y y = 43 Genişletilmiş formu elde etmek için 10 çıkarın Çemberin denkleminin genişletilmiş şekilde verildiğini varsayıyoruz. Merkezini ve yarıçapını bulmak için, standart formdaki denkleme dönmeliyiz. Bu demektir ki önceki hesaplamadaki adımları tersine çevirmeliyiz ve x 6x gibi bir ifadeyi mükemmel kare haline getirmek için 80

81 ne eklememiz gerektiğini bilmemiz gerekir. Yani sonraki örnekteki gibi kareye tamamlamamız gerekmektedir. Kareye tamamlama cebirdeki birçok konuda kullanılmaktadır. Bölüm 1.5'te kuadratik denklemleri çözmek için kareye tamamlamayı kullandık. ÖRNEK 10 Bir Çember Denklemini Tanımlamak x + y + x 6y + 7 = 0 denkleminin bir çember belirttiğini gösterin ve bu çemberin merkezini ve yarıçapını bulun. ÇÖZÜM öncelikle x-terimleri ve y-terimlerini gruplarız. Sonra her grubu kendi içinde kareye tamamlarız. Bu, x + +x için ( 1. ) = 1 ekleyerek kareye tamamlarız ve y 6y için [ 1. ( 6)] = 9 ekleyerek kareye tamamlarız, demektir. Terimleri gruplayın Her iki tarafa 1 ve 9 ekleyerek kareye tamamlayın. Çarpanlara ayırın ve basitleştirin. Eşitliği sağlamak için her iki tarafa aynı sayıları eklemeliyiz. Bu denklemi çemberin standart denklemiyle karşılaştırdığımızda görüyoruz ki h=-1, k=3 ve r= 3, böylece verilen denklem merkezi (-1,3) ve yarıçapı 3 olan çemberi gösterir. Simetri Şekil 17 y = x 'nin grafiğini göstermektedir. Grafiğin y-ekseninin solunda kalan kısmının y- ekseninin sağında kalan kısmının yansıması olduğuna dikkat edin. Buradan çıkarılacak sonuç, eğer (x,y) noktası grafiğin üzerinde ise, bu durumda (-x,y) de grafiğin üzerindedir ve bu noktalar birbirinin y-eksenindeki yansımalarıdır. Bu durumda, grafik y-eksenine göre simetriktir deriz. Benzer şekilde, (x,y) noktası grafiğin üzerindeyken, (x,-y) de grafiğin üzerindeyse, grafik x-eksenine göre simetriktir deriz. (x,y) grafiğin üzerindeyken (-x,-y) de grafiğin üzerindeyse, grafik orijine göre simetriktir. ŞEKİL 17 81

82 SİMETRİNİN TANIMI Simetri Türü Simetrinin Nasıl Test Edildiği x-eksenine göre simetri y,-y ile yer değiştirdiğinde denklem değişmez Grafiğin neye benzediği (bu bölümdeki şekiller) Geometrik anlamı x-ekseninde yansıtıldığında grafik değişmez y-eksenine göre simetri x,-x ile yer değiştirdiğinde denklem değişmez y-ekseninde yansıtıldığında grafik değişmez Orijine simetri göre y,-y ile ve x,-x ile yer değiştirdiğinde denklem değişmez Orijinde 180 o döndürüldüğünde grafik değişmez. Bu bölümde geri kalan örnekler denklemlerin grafiğini çizerken simetrinin bize nasıl yardım ettiğini gösterir. ÖRNEK 11 Grafik Çizmek için Simetrinin Kullanılması x = y denklemini simetri için test edin ve grafiğini çizin ÇÖZÜM Eğer x = y denkleminde -y, y ile yer değiştirirse, x = ( y) y'yi -y ile yer değiştirin. x = y Basitleştirin ve böylece denklem değiştirilmez. Bu nedenle, grafik x-eksenine göre simetriktir. Fakat x'i -x ile değiştirmek x = y denklemini verir, bu orijinal denklem ile aynı değildir, bu nedenle grafik y-eksenine göre simetrik değildir. Şekil 18'de gösterildiği gibi, grafiği çizmek için öncelikle noktaları y>0 için işaretleyerek ve sonra x-ekseninde grafiği yansıtarak x-eksenine göre simetriyi kullanırız. 8

83 ŞEKİL 18 ÖRNEK 1 Grafik Çizmek için Simetrinin Kullanılması y = x 3 9x denklemini simetri için test edin ve grafiğini çizin. ÇÖZÜM Eğer denklemde x 'i -x ile ve y 'yi -y ile değiştirirsek, aşağıdaki ifadeleri elde ederiz y = ( x) 3 9( x) y = x 3 + 9x y = x 3 9x x'i -x ile ve y'yi -y ile değiştirin Basitleştirin -1 ile Çarpın ve böylece denklem değiştirilmez. Bu, grafik orijine göre simetriktir demektir. Öncelikle x>0 için noktaları işaretleyerek çizeriz, sonra orijine göre simetriyi kullanırız (bakınız Şekil 19) Doğrular ŞEKİL 1 Bu bölümde bir koordinat düzleminde bulunan düz doğruların denklemlerini bulacağız. Denklem doğrunun nasıl bir eğim gösterdiğine göre bağlı olacağı için öncelikle doğrunun eğimi kavramını ele alacağız. Bir Doğrunun Eğimi Öncelikle bir doğrunun dikliğini ölçmek için veya soldan sağa gidildiğinde ne kadar hızlı yükseldiğini ve alçaldığını gösteren bir yol bulmalıyız. Sağa giderken ki hareket mesafesine 83

84 yatay gidiş, buna karşılık gelen yükseliş veya düşüş ise yükselti olarak adlandırılacaktır. Bir doğrunun eğimi yatay gidişin yükselişe oranı ile hesaplanır. Eğim= Yükselti Yatay gidiş Şekil 1 bize eğimin önemli olduğu durumları göstermektedir. Marangoz bir çatının veya merdivenlerin açısı için meyil terimini kullanır; yol eğimi için derece terimi kullanılır. Eğim Eğim Eğim Eğer bir doğru koordinat düzlemi üzerinde yer alıyorsa doğru üzerindeki her hangi iki nokta arasındaki yatay gidiş x-koordinatı boyunca hareketi, yükselti ise y-koordinatı üzerindeki hareketi ifade eder. (Bakın Şekil ) Bu da bize aşağıdaki eğim tanımını verir. Yükselti Y koordinatındaki Eğim Değişim (pozitif) Yükselti Y koordinatındaki Değişim (negatif) Doğrunun Eğimi: A(x 1, y 1 ) ve de B(x, y ) noktalarından geçen düşey olmayan bir doğrunun eğimi Yükselti Yatay Gidiş Düşey doğrunun eğimi tanımlanmamıştır. olur 84

85 Eğim, doğru üzerindeki hangi iki noktanın seçildiğinden bağımsızdır. Bunun doğru olduğu Şekil 3 teki benzer üçgenlerden anlaşılabilir. ŞEKİL 3 Şekil 4 eğimleri ile etiketlenmiş farklı doğruları göstermektedir. Pozitif eğimli olanlar sağa gittikçe yukarı gitme eğilimindedir, negatif olanlar ise sağa gidildikçe aşağı hareket etmektedir. En dik doğrular eğimi mutlak değerce en büyük doğrulardır, yatay doğruların eğimi sıfır olur. ŞEKİL 4 Farklı eğimli doğrular. Örnek 1 İki noktası bilinen doğrunun eğimini bulmak P(,1) ve Q(8,5) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulun. 85

86 ŞEKİL 5 Çözüm: Herhangi iki nokta tek bir doğru tanımlayacağından dolayı, bu iki noktadan tek bir doğru geçer. Eğimin tanımından bulunur. Bu şu demektir; sağa 3 birim ilerlediğimizde doğru birim yükselir. Doğru Şekil 5 de çizilmiştir. Doğru Denkleminin Nokta Eğim Formu Şimdi P(x 1, y 1 ) verilen bir noktasından geçen ve eğimi m olan bir noktanın eğimini bulmaya çalışalım. x x 1 olan bir P(x, y) noktası, ancak ve ancak P 1 ve P den geçen doğrunun eğimi m e eşitse bu doğru üzerindedir. (Şekil6) Böylece ŞEKİL 6 Bu denklem y y 1 = m(x x 1 ) formunda da yazılabilir. Denklem ancak x = x 1 ve y = y 1 olduğunda sağlanır. Bu yüzden verilen doğrunun denklemine eşittir. Nokta Eğim Formu ile Doğru Denklemi (x 1, y 1 ) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi : y y 1 = m(x x 1 ) olur. 86

87 Örnek Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denkleminin bulunması a) (1,-3) noktasından geçen ve eğim -1/ olan doğrunun denklemini bulun. b) Doğruyu çizin Çözüm a) m = 1, x 1 = 1 ve y 1 = 3 iken, nokta eğim formu kullanılarak bulunur. b) Eğimin -1/ olması sağa iki birim ilerlediğimizde doğrunun düşeyde 1 birim aşağı düşmesi anlamına gelir. Buna bağlı olarak şekil 7 yi çizebiliriz. ŞEKİL 7 Örnek 3 İki noktası bilinen doğrunun denkleminin bulunması (-1,) (3,-4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun Doğrunun eğimi olur Nokta eğim formu kullanılarak x 1 = 1 ve de y 1 = 87

88 Doğru Denkleminin Eğim-Kesim Formu Varsayalım dikey olmayan bir doğrunun eğimi m ve de y-kesim noktası b olsun (Şekil 8). Bu doğrunun y eksenini (0,b) noktasında kestiğini gösterir, böylece doğrunun eğim kesim formu: olur. Bu da daha basit olarak y = mx + b yazılabilir. Buna da doğrunun denkleminin eğim-kesim formu denir. ŞEKİL 8 Doğru Denkleminin Eğim-Kesim Formu: y-kesimi b ve eğimi m olan bir doğrunun eğimi y = mx + b Örnek 4 Eğim- kesim formundaki doğrular a) Eğimi 3, y-kesimi - olan doğrunun denklemini bulun. b) 3y x = 1 doğrusunun eğimini ve y kesimini bulun. Çözüm a) m = 3 ve b = - olduğundan eğim kesim formu ile y = 3x yazılır. b) Denklemi önce y = mx + b formunda yazarız. Doğru denkleminin eğim kesim formundan, eğimin m=/3 ve y-kesiminin b=1/3 olduğunu görürüz. Düşey ve Yatay Doğrular 88

89 Eğer bir doğru yatay ise eğimi m = 0 dır ve dolayısıyla denklemi y = b dir, burada b ise y- kesimidir. (Şekil 9) ŞEKİL 9 Düşey doğrunun eğimi yoktur ancak denklemini x=a şeklinde yazabiliriz, burada a x- kesiminidir, çünkü doğru üzerindeki bütün noktaların x koordinatı a dır. Yatay ve Düşey Doğrular: (a,b) noktasından geçen düşey doğrunun denklemi x = a dır. (a,b) noktasından geçen yatay doğrunun denklemi y = b dir Örnek 5 Yatay ve düşey doğrular a) (3,5) ten geçen düşey doğrunun denklemi x = 3 tür b) x=3 denkleminin grafiği x kesimi 3 olan bir düşey doğrudur. c) (8,-) ten geçen yatay doğrunun denklemi y = - dir d) y = - denkleminin grafiği, y kesiminin - olduğu yatay doğrudur. (Şekil 10) ŞEKİL 10 Bir Doğrunun Genel Denklemi Bir doğrusal denklem 89

90 Ax + By + C = 0 formundaki bir denklemdir. Burada A,B,C sabitlerdir ve A ve B nin her ikisi aynı anda sıfır olmamalıdır. Bir doğrun denklemi doğrusal bir denklemdir - Düşey olmayan bir doğrunun denklemi y = mx+b veya mx+y-b=0 şeklindedir. Bu da A= -m, B= 1, C= -b olan bir doğrusal denklemdir. - Bir düşey doğrunun denklemi x=a veya x-a =0 dır. Bu da A=1, B= 0, C= -a olan doğrusal bir denklemdir. Doğrusal bir denklemin grafiği bir doğrudur. Bu da bir doğru denkleminin eğim-kesim formudur. Burada m = A B ve b = C B. - Eğer B=0 ise denklem Ax + C = 0 veya x = C A olur ki bu da bir düşey doğrudur. Böylece, aşağıdaki ifadeyi kanıtlamış olduk. Doğrunun genel Denklemi: Her doğru denkleminin grafiği : Ax + By + C = 0 olur. (A ve B nin her ikisi birden sıfır olmamalı) Örnek 6 Doğrusal bir denklemin grafiğinin çizilmesi Çözüm 1 x 3y 1 = 0 denkleminin grafiğini çiziniz. Denklem doğrusal olduğundan dolayı grafiği de doğru şeklindedir. Grafiği çizmek için doğru üzerinde iki nokta bulmak yeterlidir. Kesim noktaları bulunması en kolay noktalardır. x-kesimi: y-kesimi: y=0 yazılarak x 1 = 0 ve x=6 olur. x=0 yazılarak 3y 1 = 0 ve y= -4 olur. Bu noktalar ile şekil 11 deki grafiği çizeriz. Çözüm Denklemi eğim-kesim formunda 90

91 Bu denklem y = mx + b formundadır, böylece eğim m = 3 ve y-kesimi de b= -4 olur. Grafiği çizmek için y kesim noktasını işaretler ve gösterildiği gibi 3 birim sağa birim yukarı giderek grafiği şekil 1 deki gibi çizeriz. ŞEKİL 11 ŞEKİL 1 Paralel ve Dik Doğrular Eğim bir doğrunun dikliğini ölçtüğünden, paralel doğruların aynı eğime sahip olduklarını söylemek makul olacaktır. Aslında bunu ispatlayabiliriz. Paralel Doğrular İki tane düşey olmayan doğru ancak ve ancak eğimleri birbirine eşitse paraleldir. İspat: Şekil 13 teki l 1 ve l doğruları m 1 ve m eğimlerine sahiptir. Eğer doğrular paralel ise sağdaki ABC ve DEF üçgenleri benzerdir. Eğimler eşitse üçgenler benzerdir. Böylece ve doğrular paraleldir. 91

92 ŞEKİL 13 Örnek 7 Verilen bir doğruya paralel bir doğrunun denklemini bulmak (5,) noktasından geçen ve 4x + 6y + 5 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini bulun. Çözüm Önce verilen doğrunun denklemini eğim kesim formunda yazalım Doğrunun eğimi m = 3 olur. Böylelikle istenen doğrunun eğiminin de m = 3 olacağı aşikârdır. Doğru denkleminin nokta eğim formundan Böylece istenen doğrunun denklemi x + 3y 16 = 0 olur. Dik kesen doğrular için olan koşul, paralel doğrular için olan kadar açık değildir. Birbirine dik doğrular Eğimleri m 1 ve m olan iki doğru ancak ve ancak m 1 m = 1 olduğunda yani Eğimlerin birbirinin tersinin eksilisi yani m = 1 m 1 olduğunda birbirlerine diktir denir. Örnek 8 Birbirine dik doğrular P(3,3), Q(8,17)ve R(11,5) noktalarının bir dik üçgenin köşeleri olduğunu gösterin. Çözüm PR ve QR doğrularının eğimleri sırası ile 9

93 ve olur m 1 m = 1 olduğundan bu doğrular birbirine diktir. Böylece PQR şekil 15 deki gibi dik üçgendir. ŞEKİL 15 Örnek 9 Verilen bir doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmak 4x + 6y + 5 = 0 doğrusuna dik olan ve orijinden geçen doğrunun denklemini bulun. Çözüm Örnek 7 de 4x + 6y + 5 = 0 doğrusunun eğiminin 3 olduğunu gördük. Bu durumda buna dik doğrunun eğimi bu doğrunun tersinin negatifi yani 3 olur. İstenen doğru (0,0) dan geçtiğine göre nokta eğim formuna göre doğrunun denklemi olur. Doğrusal Denklemlerle Modelleme: Değişimin oranı olarak Modelleme İki büyüklük arasındaki ilişkiyi modellemek için bir doğru kullanıldığında, bu doğrunun eğimi büyüklüklerden birinin diğerine göre değişim oranını göstermektedir. Örneğin şekil 17a daki grafik doldurulan bir tanktaki gaz miktarını göstermektedir. Belirtilen noktalar arasındaki eğim Doğrunun eğimi tankın dolum oranını verir ki bu dakikada galondur. Şekil 17b deki grafiğe göre ise tank dakikada 0,03 galon oranıyla boşalmaktadır, eğim -0,03 tür. 93

94 Aşağıdaki iki örnek, doğrunun eğiminin değişim oranı olduğunu gösteren diğer durumları incelemektedir. Örnek 11 Değişim oranı olarak eğim Bir nehir üzerinde rezervuar oluşturmak için bir baraj inşa edilmektedir. Rezervuardaki su miktarı w şu denklem ile verilmiştir. Burada t barajın kurulmasından sonra kaç yıl geçtiği w ise barajdaki su seviyesinin feet cinsinden değerini göstermektedir. a) Bu denklemin grafiğini çizin b) Bu doğrunun eğimi ve w kesimi ne ifade etmektedir. ŞEKİL 18 Çözüm a) Bu denklem bir doğrudur ve bu yüzden grafik de doğru şeklinde olmalıdır. İki nokta bir doğru belirleyeceğinden buna göre doğru çizilir. t=0 iken olduğundan (0,8) doğru üzerindedir. t= iken olduğundan (,37) doğru üzerindedir. 94

95 Bu noktalarca oluşturulan doğru şekil 18 de verilmiştir. b) Eğim m = 4,5 su seviyesinin zamana göre değişim oranını gösterir. Buna göre su seviyesi yılda 4,5 feet yükselir. w-kesimi 8 dir ve bu t=0 da olur, bu da baraj inşa edildiğindeki su seviyesini gösterir. Örnek 1 Sıcaklık ile yükseklik arasındaki doğrusal ilişki a) Kuruyan hava yükseldikçe genleşir ve soğur. Eğer zeminde sıcaklık 0 0 C ve de 1 km yükseklikte sıcaklık 10 0 C ise T sıcaklığı ile ( 0 C) h yüksekliği arasındaki (km) ilişkiyi ifade edin. (İlişkinin doğrusal olduğunu varsyın) b) Denklemin grafiğini çizin, eğim neyi temsil etmektedir? c),5 km yüksekliğinde sıcaklık ne olur. Çözüm a) T ve h arasındaki ilişkinin doğrusal olduğu varsayımından yola çıkarsak, denklemin formunun T = mh + b şeklinde olması gerekir. Burada m ve b katsayıdır. h=0 olduğunda T=0 olmaktadır. Bu yüzden böylece h=1 iken T=10 olur. Böylece İstenen ifade şeklindedir. ŞEKİL 19 95

96 b) Grafik şekil 19 da çizilmiştir. Eğim m = 10 0 C/km ve bu ifade yerden yüksekliğe göre sıcaklığın değişim oranını gösterir. Buna göre her bir kilometre yükselmek sıcaklığı 10 0 C düşürür. c) h=,5 km olduğunda sıcaklık olur Değişimleri Kullanarak Modeller Oluşturma Bilim adamları, gerçek dünya olayı için matematiksel bir model hakkında konuştuklarında, genellikle iki nicelik arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir denklemi ifade eder. Örneğin, model bir hayvan türünün nüfusunun zamanla nasıl değiştiğini veya sıcaklığı değiştikçe bir gazın basıncının nasıl değiştiğini tarif edebilir. Bu bölümde varyasyon(değişim) adı verilen bir çeşit modelleme çalışıyoruz. İki tip matematiksel model çok sık ortaya çıkar ve özel isimler verilir. İlkine doğrudan değişme denir ve bir nicelik diğerinin sabit bir katı olduğunda ortaya çıkar, bu bağımlılığı modellemek için y = kx biçiminde bir denklem kullanırız. Eğer x ve y nicelikleri arasında; y = kx, k 0 bir sabit denklemi varsa y doğrudan x ile değişmektedir veya y, x ile doğru orantılıdır ya da basitçe orantılıdır denir. k sabitine ise orantı sabiti denir. y = mx + b biçiminde bir denklem grafiğinin m eğimi b ise keseni olduğunu hatırlayın. Dolayısıyla y = kx doğrusu, doğru orantılı değişimi tanımlar ve k eğimi y ise ekseni kestiği noktayı gösterir (bkz.şekil-1). 96

97 Örnek 1: Bir gök gürültülü fırtınada gök gürültüsü duymadan önce yıldırım görürsünüz çünkü ışık sesden daha hızlı ilerlemektedir. Sizinle fırtına arasındaki mesafe doğrudan yıldırım ile gök gürültüsünün arasındaki zaman aralığı olarak değişir. a) 5400 ft.'lik bir fırtınadan gelen yıldırımın size ulaşması için 5 saniye sürdüğünü varsayalım. Oransallık sabitini belirleyin ve varyasyon denklemini yazın. b) Bu denklemin grafiğini çizin. Orantı sabiti neyi temsil eder? c) Şimşek ile yıldırım arasındaki zaman aralığı 8 saniyeyse, fırtına ne kadar uzaktadır? Çözüm: a) d sizin fırtınadan uzaklığını ve t zaman aralığını göstersin Böylece: d = kt olur. Burada k sabittir bu sabiti bulmak için t = 5 iken d = 5400 olduğu kullanılırsa; Böylece d = 1080t denklemi elde edilmiş olur. b) d = 1080t denkleminin grafiği şekil- de gösterilmiştir. Doğru orijinden geçmektedir eğimine sahiptir. k = 1080 sabiti sesin yaklaşık hızıdır(ft/s cinsinden). c) t = 8 olduğunda olur. Fırtına 8640 ft uzaklıktadır. d = = 8640 Matematiksel modellemede sıklıkla kullanılan bir başka denklem y = k x dir. Burada k bir sabittir. Eğer x ve y nicelikleri arasında; 97

98 y = k x, k 0 denklemi varsa y ters olarak x ile değişmektedir veya y, x ile ters orantılıdır denir. k sabitine ise orantı sabiti denir. Şekil- 3 de x > 0 ve k > 0 için ters değişim grafiği gösterilmiştir. Örnek : Ters Değişme Boyle Yasası, bir gaz örneğinin sabit bir sıcaklıkta sıkıştırılmasında gazın basıncının gazın hacmiyle ters orantılı olduğunu belirtmektedir. a) 5 C'de m 3 'lük bir hava örnekleminin basıncının 50 kpa olduğunu varsayalım. Orantı sabitini bulun ve tersini ifade eden denklemi yazın b) Örnek 0.3 m 3 ' lük bir hacme kadar genişlerse, yeni basıncı bulun. Çözüm: a) P örnek gaz numunesinin basıncı olsun ve V ise hacmi olsun. Sonra, Boyle yasası tanımından; P = k V denklemi oluşur. k sabittir bu sabiti bulmak için gerçek değerler P = 50, V = orijinal denklemde yerine konulursa orijinal denklem; olarak elde edilir. b) V=0.3 olduğunda yeni basınç; P = 5.3 V 98

99 olur. P = Fiziksel bir nicelik çoğunlukla birden fazla başka niceliğe bağlıdır. Bir nicelik iki veya daha fazla diğer nicelikle orantılıysa, bu ilişki ortak değişim olarak adlandırırız. Eğer x, y ve z nicelikleri arasında; z = kxy, k 0 denklemi varsa z, x ve y ile ortak değişmektedir veya z, x ve y ile orantılıdır denir. k sabitine ise orantı sabiti denir. Bilimlerde, üç veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiler yaygındır ve tartıştığımız farklı oransallıkların kombinasyonu mümkündür. Örneğin; z = k x y, k 0 Biçiminde ise z, x ile doğru orantılı ve y ile ters orantılıdır denir. Örnek 3: Newton'un Yerçekimi Kanunu Newton'un Yerçekimi Kanunu, m 1 ve m kütleli nesnelerin, kütleleri ile ortak olarak orantılı olan ve nesneler arasındaki mesafenin (r) karesi ile ters orantılı olan bir F kuvveti ile birbirlerini çektiğini söylüyor. Newton'un Yerçekimi Yasasını bir denklem olarak ifade ediniz. Çözüm: Genel yer çekimi sabiti G ile gösterilsin. Kanunun tanımından ters ve doğru oransallıklar düşünülürse denklem; F = G m 1m r olarak yazılır. Eğer m 1 ve m kütleleri sabitlenirse F = C r olur.(c = G. m 1. m ) olur. Şekil-4 te C = 1 ve r > 0 için bu denklemin grafiği gösterilmiştir. Yerçekimi etkisinin artan mesafe ile nasıl azaldığını gözlemleyin. 99