Gazların termodinamiğinde kuantum ölçek etkileri ve yanal kuvvetler

Transkript

1 itüdegisi/d mühendislik Cilt: 8, Sayı:5, 9-6 Ekim 009 Gazlaın temodinamiğinde kuantum ölçek etkilei ve yanal kuvvetle Coşkun FIRA *, Altuğ ŞİŞMAN İÜ Eneji Enstitüsü, Eneji Bilim ve eknoloji Pogamı, 34469, Ayazağa, İstanbul Özet Nano ölçekte elektonik yapılaın yanı sıa mekanik yapılaın da üetilebili hale gelmesiyle bilikte bu ölçekte gazlaın temodinamik özellikleinin ne şekilde değiştiği, nasıl modellenebileceği, bu değişimleden nasıl yaalanılabileceği, olası yeni davanışlaa dayalı yeni cihazlaın/teknolojilein nasıl geliştiilebileceği gibi soula da gündeme gelmeye başlamıştı. Nano ölçekte gazlaın temodinamik özelliklei mako ölçektekinden faklılık göstei. Bu faklılığın nedenleden bii olan Kuantum Ölçek Etkilei (KÖE); sistemin kaakteistik boyutu (LV/A, V: hacim, A: yüzey alanı) yanında, paçacıklaın ısıl de Boglie dalga boyunun ( λ ) ihmal edilemediği duumlada önem kazanı. Böyle bi duumda, paçacıklaın eneji değeleine ilişkin süeklilik yaklaşımı da geçeliliğini yitii ve kesiklilik, sistemin davanışlaında özellikle nano ölçekte beligin hale gelen KÖE nin otaya çıkmasına yol aça. KÖE, temodinamik hal fonksiyonlaını sistemin geometi (şekil) ve ölçeğine bağımlı hale getieek mako ölçekte kaşılaşılmayan yeni ve ilginç davanışlaa yol aça. Bunla aasında anizotopik gaz basıncı, ölçek ve geometi fakından kaynaklanan gaz difüzyonu, temoelektik etkilee benze temoölçek etkileinin otaya çıkması ve kütleye bağımlı büyüklüklein (etensive quantities) toplanabililik (additivity) özelliğinin otadan kalkması sayılabili. Bu çalışmada, Weyl vasayımından haeketle keyfi bi otamda tutuklanmış Mawell gazlaın bütünsel temodinamik özelliklei KÖE göz önüne alınaak tüetilmişti. Buadan haeketle mako ölçekte gözlenmeyen bi davanış olaak ideal bi gazda dahi yanal kuvvetle oluşabileceği tespit edilmişti. Mawellian bi gazın yeel yoğunluk dağılımı incelendiğinde, otam sınılaı civaında gözlenen bi sını tabaka nedeniyle yoğunluğun temodinamik denge duumunda dahi homojen olmadığı ve bu sını tabaka yadımıyla yanal kuvvetlein de açıklanabileceği anlaşılmıştı. Anahta Kelimele: Kuantum ölçek etkilei, Mawellian gaz, Weyl vasayımı, kuantum sını tabakası, yanal kuvvetle. * Yazışmalaın yapılacağı yaza: Coşkun FIRA. fiat@enegy.itu.edu.t; el: () Bu makale, biinci yaza taafından İÜ Eneji Enstitüsü, Enej, Bilim ve eknoloji Pogamı nda tamamlanmış olan "Gazlaın temodinamik davanışlaında kuantum ölçek etkilei" adlı doktoa tezinden hazılanmıştı. Makale metni taihinde degiye ulaşmış, taihinde basım kaaı alınmıştı. Makale ile ilgili tatışmala taihine kada degiye göndeilmelidi.

2 C. Fıat, A. Şişman Quantum size effects on themodynamics of gases and the lateal foces Etended abstact oday, especially paallel to the pogess in semiconducto technology, the developing nanotechnology makes the mechanical systems and stuctues in mico/nano scale possible. Mechanical stuctues in mico/nano scale such as gas tubines, pumps, mies, heat echanges, valves etc., bing the following topics into consideation: how vay themodynamic popeties of gases, how it can be modeled, how one can make use of these diffeences, how new devices and technologies can be developed in this scale. In this pespective, the subject of quantum size effects (QSE) on themodynamics of gases at mico/nano scale is a new eseach aea and it has many potential applications fom the technologies of genetic, space and enegy to the militay ones. In nano scale, themodynamic popeties (P) of gases diffe fom those in maco scales. One of the easons of this diffeence is the QSE, which become impotant when the themal de Boglie wavelength of paticles ( λ ) is not negligible in compaison with the chaacteistic length of the system (LV/A, V volume, A suface aea). In such a case, the continuum appoimation fo the enegy eigenvalues of paticles becomes invalid and the discete natue of enegy eigenvalues causes QSE, which ae noticeable in nano scale. QSE make the themodynamic state functions depend on geomety (shape) and size of the system, and QSE causes some new and inteesting behavios, which ae not obseved in maco scale. Some of them ae anisotopic gas pessue, gas diffusion due to size and geomety diffeences, themosize effects like themoelectic effects and the disappeaance of the additivity popety of etensive quantities. In liteatue, the dependence of P of gases on the shape and size of the confinement domain have ecently been eamined fo the global popeties only. hese studies conside only ectangula, cylindical and spheical geometies with a single domain, fo which the analytical solution of the Schödinge equation (SE) is possible, and they ae limited with the classical ideal gases obeying Mawell- Boltzmann statistics. All P of a system can be calculated when the patition function (PF) is known. PF consists of a summation ove the enegy eigenvalues of the stationay SE. Fo maco systems, it is a vey good appoimation to eplace the summation by integation to calculate the PF. Fo mico/nano systems, howeve, it is necessay to use a moe pecise fomula (such as Poisson, Eule-Maclauin o Abel-Plana fomula). he pecise calculation of the PF is the key wok in detemining the QSE on P of small systems. A complete analytical solution of the stationay SE is possible only fo a ectangula domain. Even fo spheical and cylindical domains, some appoimations should be made to obtain an analytical epession fo the enegy eigenvalues. Fo a domain of an abitay shape, it is impossible to solve the SE and find the eigenvalues. Fotunately, Weyl s conjectue gives a pecise fomula fo an asymptotic behavio of the eigenvalue spectum of the stationay SE. heefoe, it is possible to detemine the density of states of eigenvalue spectum in an asymptotic fom fo a domain of an abitay shape. Consequently, the influence of the confinement geomety on the global P of an ideal gas can be genealized by using the Weyl s conjectue. In this study, global P of an ideal Mawellian gas confined in a domain of an abitay shape ae deived by using Weyl s conjectue fo the density of states. It is seen that the esults obtained by this genealization agee with the esults fo the domains in which the SE can be solved analytically. It is obtained that as a esult of QSE; the global P of gases confined in nano scale ae consideably diffeent than those in nano scale. As an eample, an infinitely thin and movable wall which sepaates a ectangula bo filled by an ideal gas into two pats is subjected to a epulsive lateal foce due to quantum size effects. When the local gas density distibution is eamined, it is seen that thee is a laye nea to the boundaies of the domain and the gas density goes to zeo within this laye due to non-local inteactions of the paticles with the boundaies. Lateal foces can be eplained by consideing this bounday laye. Keywods: Quantum size effects, Mawellian gas, Weyl s conjectue, quantum bounday laye, lateal foces. 0

3 Gazlaın temodinamiğinde kuantum ölçek etkilei ve yanal kuvvetle Giiş Özellikle yaı iletken teknolojisindeki ilelemelee paalel olaak gelişen nano teknoloji bugün miko ve nano ölçekte mekanik donanımlaın ve sistemlein yapımını da olanaklı hale getimişti. Nano ölçekte mekanik yapılaın üetilebili hale gelmesi ve miko/nano ölçekte tübinle, pompala, kaıştııcıla, ısı değiştiicilei, valfle vb. donanımlaın geçekleştiilmeye başlamasıyla bilikte bu ölçekte gazlaın temodinamik özellikleinin ne şekilde değiştiği, nasıl modellenebileceği, bu değişimleden nasıl yaalanılabileceği, olası yeni davanışlaa dayalı yeni cihazlaın ve teknolojilein nasıl geliştiilebileceği gibi soula da gündeme gelmeye başlamıştı. Bu çeçevede gazlaın temodinamik davanışlaı üzeinde kuantum ölçek etkileinin aaştıılması da göeceli olaak yeni ve güncel bi konuyu oluştumaktadı. Bu nedenle miko/nano ölçekte gazlaın temodinamiği konusu, yaı iletkenlee göe daha yeni bi çalışma alanını oluştumakta ve gen teknolojisinden uzay teknolojisine, eneji teknolojileinden savunma teknolojileine kada biçok alanda uygulama potansiyelini baındımaktadı. Nano ölçekte gazlaın temodinamik özelliklei mako ölçektekinden faklılık göstei. Bu faklılığın nedenleden bii olan kuantum ölçek etkilei; sistemin kaakteistik boyutu (LV/A, V hacim, A yüzey alanı) yanında, paçacıklaın ısıl de Boglie dalga boyunun ( λ ) ihmal edilemediği duumlada önem kazanı. Böyle bi duumda, paçacıklaın dalga kaaktei sistemin davanışlaında özellikle nano ölçekte beligin hale gelen kuantum ölçek etkileinin otaya çıkmasına yol aça. Kuantum ölçek etkilei, temodinamik hal fonksiyonlaını sistemin geometi (şekil) ve ölçeğine bağımlı hale getieek mako ölçekte kaşılaşılmayan yeni ve ilginç davanışlaa yol aça. Bunla aasında anizotopik gaz basıncı, ölçek ve geometi fakından kaynaklanan gaz difüzyonu, temoelektik etkilee benze temoölçek etkilein otaya çıkması ve kütleye bağımlı büyüklüklein (etensive quantities) toplanabililik (additivity) özelliğinin otadan kalkması sayılabili (Sisman ve Mülle, 004). Liteatüde gazlaın temodinamik özellikleinin tutuklandıklaı otamın şekil ve ölçeğine olan bağımlılığı sadece bütünsel özelliklele sınılı olaak son yıllada incelenmeye başlanmıştı (Molina, 996; Pathia, 998; Dai ve Xie, 003; Sisman, 004; Sisman ve Mülle, 004; Dai ve Xie, 004; Sisman vd., 005; Pang vd., 006). Bu çalışmada, kuantum ölçek etkilei göz önüne alınaak keyfi şekle sahip bi otamda tutuklanmış ideal klasik (Mawellian) gazlaın bütünsel temodinamik özelliklei hal yoğunluğu için Weyl vasayımı kullanılaak tüetilmişti. Liteatüde Schödinge denkleminin analitik olaak çözülebildiği otamla için elde edilebilen sonuçla ile bu genelleştime sonucunda elde edilen sonuçlaın aynı olduğu göülmüştü. Nano ölçekte tutuklanmış gazlaın bütünsel temodinamik özellikleinde şekil ve ölçeğin kontol paametesi haline geldiği gösteilmişti. Buadan haeketle mako ölçekte gözlenmeyen bi davanış olaak ideal Mawellian bi gazda dahi yanal kuvvetlein gözlenebileceği otaya konulmuştu. Yanal kuvvetlein nedeni, Mawellian bi gazın yeel yoğunluk dağılımı incelendiğinde otam sınılaı civaında gözlenen sını tabaka yadımıyla açıklanmıştı. Keyfi şekilli bi otamda tutuklanmış Mawellian bi gazın temodinamik özellikleinde kuantum ölçek etkilei Eneji, basınç, entopi gibi biçok temodinamik özellik temodinamik hal fonksiyonlaından haeketle elde edilebili. Buada temodinamik hal fonksiyonu olaak sebest eneji seçilmiş olup, sistemin sebest enejisinin hesaplanması, diğe özelliklein hesaplanması için yetelidi. Sebest enejinin hesaplanabilmesi için de paçacıklaın ε eneji özdeğeleinin bilinmesi ve bu özdeğele üzeinden toplam olaak ifade edilen bölüşüm fonksiyonunun hesaplanması geekmektedi. Buna göe, temodinamik özelliklein hesaplanması sebest enejinin bilinmesine, sebest enejinin bilinmesi ise paçacıklaın eneji özdeğe spektumunun bilinmesi ve veilen sonsuz toplam ifadesinin hesaplanmasına bağlıdı. Mako sistemlede bölüşüm fonksiyonu hesaplanıken toplamla yeine integal ifadele yaz-

4 C. Fıat, A. Şişman mak iyi bi yaklaşım sağlaken, miko/nano sistemlede toplamla daha hassas yöntemlele yapılmalıdı. Küçük sistemlede temodinamik özellikle üzeinde kuantum ölçek etkileinin incelenmesinde, bölüşüm fonksiyonunun hassas bi şekilde hesaplanması, anahta poblemleden biini oluştumaktadı. Zamandan bağımsız Schödinge denkleminin analitik çözümü sadece dikdötgen otamla için mümkündü. Eneji özdeğelei için analitik ifadele küesel ve silindiik otamla için dahi bazı yaklaşımla yapılaak elde edilebili (Sisman, 004). Keyfi şekilli bi otam için ise Schödinge denklemini analitik olaak çözmek ve eneji özdeğeleini elde etmek mümkün değildi. Weyl vasayımı, zamandan bağımsız Schödinge denkleminin özdeğe spektumu için hassas bi fomül vei. Böylece keyfi şekilli bi otam için eneji özdeğeleinin hal yoğunluğunu asimptotik bi fomda belilemek mümkün olmaktadı. Sonuç olaak, bi ideal gazın bütünsel temodinamik özelliklei üzeinde kuantum ölçek etkilei Weyl vasayımı kullanılaak elde edilebili. Sonsuz kuyu potasiyeli ile sınılı keyfi şekle sahip bi D otamında tutuklanmış tek paçacık için Schödinge denklemi aşağıdaki gibi yazılı: ψ + κ ψ 0, ψ 0 () D Bu ifadede κ dalga sayısıdı. Weyl vasayımına göe; veilen bi κ özdeğeinden daha küçük Ω κ, Vκ 3 için, özdeğelein sayısı, ( ) V 3 A ( κ ) κ κ + o( κ ) Ω () 6π 6π ile veili (Pathia, 996). Buada V ve A sıasıyla otamın hacmi ve yüzey alanıdı. Denklem () de ikinci teim, özdeğelein hassas sayımından ilei gelmektedi. Mako sistemlede A/V oanının çok küçük olması sebebiyle bu teim ihmal edili. Öte yandan, bu teim miko/nano sistemlede önemli olup kuantum ölçek etkileinin kaynaklandığı teimdi. Buadan haeket edeek κ özdeğeleinin hal yoğunluğu aşağıdaki şekilde elde edili. g ( κ ) ( κ ) dω V A dκ κ dκ κdκ (3) dκ π 8π He κ değeine kaşılık faklı bi eneji duumu mevcut olup, eneji ile κ aasında ε ( κ ) κ m (4) şeklinde bi ilişki vadı. İdeal tek atomlu Mawellian bi gaz için tek paçacık bölüşüm fonksiyonu, ε ( κ ) k ζ ( κ ) b g e (5) κ ve sebest eneji ifadesi ζ F kbn ln + N (6) olaak ifade edili. Bu ifadelede, k b Boltzmann sabiti, sıcaklık ve N toplam paçacık sayısıdı. (3) ifadesi, Denklem (5) de kullanılıp integal alınaak bölüşüm fonksiyonu, 3 π V L A c ζ 8L 3 c π V (7) olaak elde edili. Bu ifadede L c en olası de Boglie dalga boyunun yaısına eşit olup L h mk (8) c olaak tanımlanı. b Böylece sebest eneji aşağıdaki şekilde elde edili: 3 π Lc A F Nkb ln + + Nkb 3 8nL (9) c π V

5 Gazlaın temodinamiğinde kuantum ölçek etkilei ve yanal kuvvetle Bu ifadede ikinci teim, keyfi şekilli bi otamda tutuklanmış ideal Mawellian bi gazın sebest enejisi üzeindeki kuantum ölçek etkisini temsil ede. Denklem (9) kullanılaak keyfi şekilli bi otamda tutuklanmış bi ideal Mawellian gazın bazı bütünsel temodinamik özelliklei aşağıdaki gibi veili: F nq 5 λ A S Nkb ln Nkb n + (0) cl 8 V E C V A F + S 3 + Nkb λ V E 3 + A Nkb λ 4 V () () Basınç ve basınca bağlı ifadele ise sistemin içinde bulunduğu otamın geometik özellikleine ve defomasyonun ayıntılaına bağlı olduğundan keyfi şekilli bi otam için genel bi ifade veilmesi mümkün değildi. Ancak geometi ve hacim defomasyonu belilendikten sona ifade edilebili. Dikdötgen bi otamda tutuklanmış ideal Mawellian gazın yeel yoğunluk dağılımı İdeal Mawellian bi gaz için, -konumunda mekezlenmiş bi dv diffeansiyel yeel hacmi içinde ve kuantum halinde bulunan paçacıklaın sayısı aşağıdaki ifade ile veili (Sisman vd., 007), dn N ep ep ( ε kb ) ( ε k ) b [ ψ ( ) dv ] (3) Buada N, tüm tutuklama hacmindeki paçacık sayısı, ε, kuantum halinde bulunan paçacıklaın enejilei, ψ, kuantum haliyle ilişkili özfonksiyonladı. İlk paantezdeki teim, bi paçacığın kuantum halinde bulunma olasılığını (temodinamik olasılık), ikinci paantezdeki teim ise paçacığın -konumunda mekezlenmiş bi dv hacminde bulunma olasılığını (kuantum olasılık) vemektedi. Yeel yoğunluk, ep( ε kb ) ψ ( ) n( ) n ( ) N (4) ep( ε k ) olaak elde edili. Dikdötgen geometiye sahip bi otam, Schödinge denkleminin eneji özdeğelei ile özfonksiyonlaının analitik olaak bilinebilmesi dolayısıyla özel bi önem taşı. Böylece dikdötgen bi otamda tutuklanmış Mawellian gazın yeel yoğunluğunu (4) ifadesi ile analitik olaak hesaplayabilmek imkanı doğa. Boyutlaı L, L y ve L z olan dikdötgen bi kutuda tutuklanmış gaz paçacıklaı için eneji özdeğelei ve özfonksiyonlaı aşağıdaki gibi veili (Giffiths, 995): h i j k ε + + ε ijk (5) 8m L Ly Lz ψ ( ) π sin i L L πz sin k Lz Lz L y b πy sin Ly j (6) (5) ve (6) ifadelei (4) denkleminde kullanılıp geekli düzenlemele yapıldığında, boyutsuz yeel yoğunluk dağılımı, n( y z ) f ( ) f ( ) y y f ( z z ) n,, (7) ncl α α α y z π π π olaak elde edili. Buada L, y y L, y z z L ve z α Lc L, α y Lc Ly, α z Lc Lz olup, f ( ) ise aşağıdaki şekilde ifade edilmektedi: 3

6 f ( π ( ) α ) ( )( e ) ( π α ) ( ) e (8) f ( y y ) ve ( z ) f z ise (8) ifadesine benze şekilde yazılabili. Boyutsuz yoğunluğun - doğultusundaki değişimi Denklem (7) den f ( ) ( ) n (9) α π şeklinde ifade edili. Şekil de ( ) C. Fıat, A. Şişman n in değişimi veilmektedi. Otamda yoğunluk dağılımının homojen olmadığı ve yoğunluğun sıfıa gittiği bi sını tabakanın bulunduğu göülmektedi. Bu tabakanın kalınlığı için analitik bi ifade elde edebilmek amacıyla, otam integasyonu ve genliği geçek dağılımın otam integasyonu ve genliği ile aynı olmak koşuluyla, geçek yoğunluk dağılımına Şekil de kesikli çizgi ile gösteilen, homojenleştiilmiş bi dağılım fonksiyonu ile yaklaşım yapılabili. Geçek dağılımın otam integasyonu ve dağılımın genliği ise aşağıdaki gibi ifade edili: n ( ) d (0) 0 π 4α ( ) ( ) ( e ) n n ma α π α π () Atomik gazla için L c nanometeden daha küçük değele aldığından hemen he duumda α L c /L << olacaktı. Homojen dağılımın boyutsuz genişliği eff L, ( eff n ) () ma L koşulundan haeketle Denklem () yadımıyla, eff L α π δ (3) olaak belileni. Buada δ tabakanın boyutsuz kalınlığı olup aşağıdaki biçimde ifade edili: δ α L λ δ c (4) L π π L L Şekil incelendiğinde, paçacıklaın otamın geometik boyutundan, L, daha küçük olan L eff L δ L L π (5) c boyutuna sahip etkin bi bölgeyi işgal ettiklei anlaşılmaktadı. Benze sonuçla y- ve z-yönlei için de elde edilebili. Bütün yönlede sını tabakanın kalınlığı aynı değede olup aşağıdaki şekilde ifade edilmektedi (Sisman vd., 007): δ L c π (6) > δ ve < δ n olduğu süece, ( ) hemen hemen homojendi. Bu; paçacıkla ile duva aasındaki mesafe, ısıl de Boglie dalgaboyunun yaısından küçük olduğunda paçacıkla ve duva aasında itici bi etkileşmenin başladığı anlamına gelmektedi. Yeel olmayan bu etkileşme nedeniyle, paçacıkla otamın daha iç kısımlaında toplanma eğilimi göstemekte olup, iç bölgelede klasik yoğunluğa göe daha yüksek bi yeel yoğunluk değeine neden olu, n >. Şekil. Dikdötgen otamda boyutsuz yoğunluk dağılımı Sonuç olaak, temodinamik denge koşullaında dahi, bu sını tabaka nedeniyle yoğunluk homo- 4

7 Gazlaın temodinamiğinde kuantum ölçek etkilei ve yanal kuvvetle jen değildi. Bu tabaka, kalınlığı h Planck sabitine bağlı olduğundan, kuantum sını tabakası (KS) olaak adlandıılmaktadı (Sisman vd., 007). Mawellian gazlada yanal kuvvetle Kuantum yüzey geilimi (9) ifadesinden haeketle, σ N L, V b cl b (7) V π c ( F A) k n k δ N olaak elde edili. 300 K ve 0 5 Pa koşullaında He 4 gazı için σ yaklaşık olaak 0-6 nm - civaındadı. Yüzey geilimi ideal gazlada klasik olaak beklenmeyen bi davanıştı. olaak belileni. Şekil de veilen otamda tutuklanmış ideal Mawellian bi gazın yeel yoğunluk dağılımı, paçacıklaın eneji özdeğelei ve özfonksiyonlaı Schödinge denkleminin sayısal çözümünden elde edilip Denklem (4) te kullanılaak hesaplanabili. Gösteim kolaylığı açısından yeel yoğunluk dağılımının boyutlu davanışı Şekil 3 ve Şekil 4 te veilmektedi. Kalınlığı teoik olaak sıfı olan haeketli duvaın etafında oluşan kuantum sını tabakası nedeniyle duvaın etkin kalınlığının δ olduğu anlaşılmaktadı. Böylece duva üzeinde yönü otam dışına doğu olan bi τ yanal kuvveti, stes tensöünün nomal bileşeni ile haeketli duvaın etkin kalınlığının çapımıyla kolayca açıklanabilmektedi. Şekil de göüldüğü gibi, teoik olaak kalınlığı sıfı olan haeketli bi duvala iki paçaya ayılmış dikdötgen bi kutu içinde tutuklanmış gazın yüzey geilimi, kuantum yüzey enejisini minimize etmeye çalışıken, haeketli duva üzeinde yönü dışaı doğu olan bi yanal kuvvete neden olu. Şekil 3. Boyutsuz yeel yoğunluk dağılımı Şekil. Haeketli duva üzeinde oluşan τ yanal kuvveti Bu yanal kuvvet, F N L L τ c y kb nclkb δly L (8) s V π N, V Şekil 4. Boyutsuz yeel yoğunluk dağılımının üstten göünümü 5

8 C. Fıat, A. Şişman Kuantum sını tabakasının, otamın yüzeyini takip ettiği Şekil 4 te net bi biçimde göülmektedi. Sonuçla Bu çalışmada, keyfi şekilli bi otamda tutuklanmış ideal Mawellian bi gaz için sebest eneji ifadesi tüetilmişti. Sebest eneji ifadesinin kuantum ölçek etkilei nedeniyle, klasik sebest eneji ifadesinden faklı olduğu gösteilmişti. Sebest eneji ifadesinden haeket edileek, nano ölçekte tutuklanmış gazın diğe temodinamik özelliklei elde edilmişti. Kuantum ölçek etkileinin bi sonucu olaak ideal gazlada dahi mako ölçekte kaşılaşılmayan yanal kuvvetlein oluşabileceği gösteilmişti. Klasik olmayan bu davanışın deneysel olaak doğulanması duumunda, kuantum ölçek etkileinin makoskopik bi belitisi doğulanmış olacaktı. Kaynakla Dai, W.S. ve Xie, M., (003). Quantum statistics of ideal gases in confined space, Physics Lettes A, 3, Dai, W.S. ve Xie, M., (004). Geomety effects in confined space, Physical Review E, 70, Giffiths, D.J., (995). Intoduction to quantum mechanics, 4, Pentice Hall, New Jesey. Molina, M.I., (996). Ideal gas in a finite containe, he Ameican Jounal of Physics, 64, Pang, H., Dai, W.S. ve Xie, M., (006). he diffeence of bounday effects between Bose and Femi systems, Jounal of Physics A: Mathematical and Geneal, 39, Pathia, R.K., (996). Statistical mechanics, nd Edition, Buttewoth-Heinemann, Wobun, MA. Pathia, R.K., (998). An ideal quantum gas in a finite-sized containe, he Ameican Jounal of Physics, 66, Sisman, A., (004). Suface dependency in themodynamics of ideal gases, Jounal of Physics A: Mathematical and Geneal, 37, Sisman, A. ve Mülle, I., (004). he Casimi-like size effects in ideal gases, Physics Lettes A, 30, Sisman, A., Oztuk, F. ve Fiat, C., (005). Quantum suface tension in ideal gases, 005 Dünya Fizik Yılı-ük Fizik Deneği, 3. Uluslaaası Fizik Kongesi, Muğla, ükiye, 3-6 Eylül, Sisman, A., Oztuk, Z.F. ve Fiat, C., (007). Quantum bounday laye: A non-unifom density distibution of an ideal gas in themodynamic equilibium, Physics Lettes A, 36,