Kabul Edilmiş Makale/Accepted Manuscript

Transkript

1 Kabul Edilmiş Makale/Accepted Manuscipt Başlık: Kendi ağılığının daiesel delik içeen eğilme altındaki öngeilmeli şeit-plağın dinamik analizine etkisi Title: Influence of own weight on dynamic analysis of a pe-stetched plate-stip containing a cicula hole unde bending load Yazala/Authos: Ülkü Babuşcu Yeşil ID: DOI: Degi İsmi: Gazi Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık Fakültesi Degisi Jounal Name: Jounal of the Faculty of Engineeing and Achitectue of Gazi Univesity Geliş Taihi/Received Date: Kabul Taihi/Accepted Date: Makale Atıf Fomatı/Manuscipt Citation Fomat: Ülkü Babuşcu Yeşil, Influence of own weight on dynamic analysis of a pe-stetched plate-stip containing a cicula hole unde bending load, Jounal of the Faculty of Engineeing and Achitectue of Gazi Univesity (08), Degi Bilgi Notu: Bu PDF belgesi, kabul edilmiş olan makalenin dizgi işlemi yapılmamış halidi. Kabul edilmiş makalelein kullanılabili olması amacıyla makalenin dizgisiz hali intenet üzeinden yayımlanmıştı. Makale, nihai fomunda yayımlanmadan önce yazım ve dilbilgisi olaak kontol edilecek, daha sona dizgilenecek ve yeniden gözden geçiilmesi işlemine tabi tutulacaktı. Bu dizgileme işlemlei esnasında içeiği etkileyebilecek hatalaın bulunabileceğini ve Gazi Ünivesitesi Mühendislik ve Mimalık Degisi için geçeli olan yasal soumluluk eddi beyanlaının bulunduğunu lütfen unutmayın. Jounal Ealy View Note: This is a PDF file of an unedited manuscipt that has been accepted fo publication. As a sevice to ou customes we ae poviding this ealy vesion of the manuscipt. The manuscipt will undego copyediting, typesetting, and eview of the esulting poof befoe it is published in its final fom. Please note that duing the poduction pocess eos may be discoveed which could affect the content, and all legal disclaimes that apply to the jounal petain.

2 Kendi ağılığının daiesel delik içeen eğilme altındaki öngeilmeli şeitplağın dinamik analizine etkisi Ülkü Babuşcu Yeşil Yıldız Teknik Ünivesites,, Kimya-Metalüji Fakültesi, Matematik Mühendisliği Bölümü, Davutpaşa Yeleşim Biimi, 340 Esenle, İstanbul Öne Çıkanla Özet Bu çalışma eğilme etkisindeki içeisinde daiesel delik bulunan öngeilmeli kompozit şeit-plağın dinamik analizine kendi ağılığının etkisini incelemektedi. Hacimsel kuvvetle (ağılık) ve yüzeysel kuvvetlein (öngeilme yüklemesi) delik içeen şeit-plağa bilikte etkisi Linee Elastisite Teoisi ile belilenen öngeilmele olaak düşünülmüştü. İlave yükleme altında şeitplağın delik civaındaki doğal ve zolanmış titeşimleine öngeilmelein etkisi düzlem şekil değiştime altında Lineeize Edilmiş Üç Boyutlu Elastisite Teoisi (LEÜBET) çeçevesinde ele alınmıştı ve ele alınan sını değe pobleminin çözümlei Sonlu Elemanla Yöntemi kullanılaak sayısal olaak yapılmıştı. Bu çalışma daiesel bi delik içeen şeit-plağın kendi ağılığının plağın dinamik analizine önemli bi etkisi olduğunu göstemektedi. Anahta Kelimele: Ağılık, öngeilme, dinamik analiz, daiesel delik, sonlu elemanla metodu Influence of own weight on dynamic analysis of a pe-stetched plate-stip containing a cicula hole unde bending load Highlights Abstact This pape investigates the effect of own weight on the dynamic analysis of a pe-stetched composite plate-stip containing a cicula hole subjected to bending load. The combined effect of body foces (weight) and suface foces (pe-stetching load) on the plate-stip with a hole is consideed as the initial stesses detemined within the linea theoy of elasticity. The effects of these initial stesses on the natual and foced vibations aound the hole within a plate-stip unde additional bending load ae investigated in the famewok of the Thee-Dimensional Lineaized Theoy of Elasticity (TDLTE) unde the plane stain state, and the solutions of the consideed bounday value poblems ae solved numeically by using the finite elements method. This pape shows that the influence of the plate s own weight has an impotant ole on the dynamic analysis aound the cicula hole within a plate-stip. Key Wods: Own weight, initial stess, dynamic analysis, cicula hole, finite element method. GİRİŞ (INTRODUCTION) Çeşitli yüklemele etkisindeki yapı elemanlaının içediği süeksizlikle (delik, boşluk, çatlak v.b.), geilme üetici gibi davanaak, yapı içeisinde geilme yığılmalaına sebep olmaktadıla. Bu geilme yığılmalaı, yapı

3 elemanlaının mukavemetini önemli ölçüde etkilediğinden yapı elemanının işlev ömünü kısaltmakta veya kullanım esnasında yapı elemanında ciddi hasalaın oluşmasına sebep olmaktadı. Bu nedenleden dolayı tasaımla uğaşan mühendisle için yapı elemanının içediği delik veya boşluklaın çeşitli yüklemele altında yapının statik ve dinamik davanışına ne kada etki göstediğinin bilinmesi, tasaımın üstleneceği göevi başaıyla yeine getiebilmesi açısından çok önemlidi. Çeşitli yüklemele etkisinde delikle civaında oluşan geilme yığılmalaının belilenmesine ait kapsamlı ilk çalışmala Savin [] taafından yapılmıştı. Bu çalışmada, sonsuz boyutlu plağın içediği çeşitli geometik fomdaki delik/delikle civaında oluşan geilme duumu kompleks fonksiyonla teoisi ve konfom dönüşüm yadımıyla çözülmüş ve elde edilen analitik çözümle veilmişti. Sayısal çözüm teknikleinin geliştiilmesi ile, bu alanda kamaşık yükleme ve malzemele göz önüne alınaak pek çok çalışma yapılmıştı. Son yıllada bu alanda yapılan çalışmaladan; [] de tek ve çift eksenli yükleme altında delik içeen izotop ve ototop malzemeleden yapılmış plaklada geilme yığılmalaı incelenmişti. [3] de Aiy geilme fonksiyonlaı kullanılaak daiesel delik içeen sonsuz dikdötgen plağın geilme, şekil değiştime ve ye değiştimelei için kesin çözüm bulunmuştu, [4] de sonlu elemanla metodu kullanılaak ANSYS paket pogamı ile eksenel düzlem yüke mauz mekezi delik içeen izotopik ve ototopik plaka davanışlaı üç boyutlu incelenmişti. [5] de eliptik delik içeen sonlu bi plakada deliğin eğim ve geometisinin değişiminin geilme değeleine etkisi sonlu elemanla yöntemi ile elde edilmişti. Yapı elemanı oluştuuluken, çeşitli montaj kusulaı veya teknolojik uyumsuzlukla nedeniyle istemeden veya esas yükleme esnasında avantaj sağlayabilmek için amaç yönlü olaak yapı elemanının başlangıçta sahip olduğu ön etkilein (öngeilme vb.) göz önüne alındığı, statik geilme yığılması poblemleine ait pek çok çalışma mevcuttu. Öneğin; [6] da iki komşu daiesel delik içeen öngeilmeli ototop şeit levhanın eğilmesi duumunda delikle aasındaki etkileşim incelenmiş, [7] de üç boyutlu sonlu eleman analizi ile iki komşu silindiik delik içeen öngeilmeli kompozit plağın eğilmesi duumunda delikle civaındaki geilme yığılmalaı incelenmişti Delik veya boşlukla yapı elemanının statik davanışına olduğu kada dinamik davanışına da önemli ölçüde etki göstemektedi. Bu süeksizliklein yapı elemanının doğal titeşim fekanslaına göstediği etkilein aaştııldığı deneysel ve teoik çalışmala mevcuttu. Bunladan [8] de mekezi delik içeen yaı izotopik kabon fibe laminalaın sebest titeşim analizi sayısal ve analitik olaak plak teoilei ile incelenmişti. [9] da dikdötgen ve daiesel delik içeen dikdötgen plağın titeşim analizi Independent Coodinate Coupling Method (ICCM) ile incelenmişti. [0] da üç boyutlu silindiik boşluk içeen kompozit plağın sebest titeşim analizi incelenmişti. Ele alınan yapı elemanlaının içediği süeksizliklein, bu yapı elemanlaının zolanmış titeşimine etkileinin incelenmesine ait bazı çalışmala [-3] olaak veilebili. Fakat tüm bu çalışmalada yapısal elemanlaın kendi ağılıklaı ihmal edilmişti. Çünkü dış yükle altındaki yapı elemanlaının analizinde çoğu zaman bu yapı elemanının kendi ağılığı ele alınan dış yükün büyüklüğüne göe küçük kaldığı, dolayısıyla sonuca az etki göstediği ve işlemlei zolaştıdığı için göz önüne alınmaz. Ancak, yapının ağılığı bazı duumlada belileyici olabilmektedi. Bu nedenle göz önüne alınmasının geekliliği otaya çıkabilmektedi. Çünkü yapılaın kendi ağılığı ihmal edildiğinde hafif ve ağı yapıla eşitlenmiş olup bu da 3

4 güvenili yapısal tasaım elde edilmesini engellemektedi. Güvenili bi yapısal tasaım elde edebilmek için yapılaın kendi ağılıklaı mutlaka dikkate alınmalıdı. Bu çalışmada, kaşılıklı kenalaından düşey doğultuda ye değiştime yapamayacak şekilde mesnetlenmiş, yapısında daiesel delik bulunan öngeilmeli kompozit şeit-levhanın üst yüzeyine etki eden dinamik yük etkisi altında eğilmesi duumunda, sebest ve zolanmış titeşimine levhanın kendi ağılığından dolayı oluşan öngeilmelein etkisi incelenmişti. Belitilen poblemle liteatüde ancak yaklaşık teoile çeçevesinde ve delik içemeyen yapı elemanlaı için yapılmıştı. Bu çalışmaladan [4] de kendi ağılığının hehangi bi süeksizlik içemeyen plaklaın statik analizine etkisi, [5] de kendi ağılığının kiişlein dinamik analizine etkisi incelenmişti. [6] da daiesel delik içeen eğilme altındaki şeit-plağın kendi ağılığının statik davanışına olan etkisi incelenmişti. Bu çalışmada liteatüde veilen poblemle, elastisite teoisinin üç boyutlu lineeize edilmiş kesin denklemlei çeçevesinde modelleneek, kendi ağılığının, içeisinde daiesel delik içeen kompozit yapı elemanlaının dinamik analizine etkisi geliştiilmişti.. PROBLEMİN MATEMATİKSEL FORMÜLASYONU (MATHEMATICAL FORMULATION OF THE PROBLEM) Ele alınan çalışmada, daiesel delik içeen öngeilmeli şeit-plağın, üst yüzeyine etki eden düzgün yayılı yük altında eğilmesi duumunda doğal fekans değeleine ve zolanmış titeşimine levhanın kendi ağılığından dolayı oluşan öngeilmelein etkisi incelenecekti. Bu incelemele, ele alınan kalın plağın üst yüzeyinde nomal doğultuda zamana göe peiyodik değişen dış kuvvet etkisindeki zolanmış titeşim poblemi yadımıyla yapılacaktı. Kalın plağın üst yüzeyine etki eden dinamik yüklemeden doğan ye değiştime yayılışına yapıdaki öngeilmele (Şeit plağın kendi ağılığı ve uçlaından etki eden tek eksenli çekme kuvvetlei) etki göstediğinden, bu etki dış yüklemelein ayı ayı etkileinin süpepozisyonu ile belilenememektedi. Bu nedenle bu poblemin matematik modeli LEÜBET çeçevesinde yapılacaktı. Buna göe çözüm iki aşamada belilenecekti. Biinci aşamada yapıda kaşılıklı iki kenaından düzgün yayılı nomal dış kuvvet ve kendi ağılığı etkisinde yapıda oluşan geilme (öngeilmele) yayılışlaı süpepoze edileek belilenecek, ikinci aşamada; ele alınan kalın plağın üst yüzeyine nomal doğultuda etki eden ve zamana göe peiyodik değişen dinamik yük etkisinde yapıda oluşan ye değiştime yayılımına, biinci aşamada bulunan yapıdaki öngeilmelein etkisi incelenecekti. Belitelim ki, ele alınan sını değe poblemine ait aşağıda veilen matematiksel modellemede; biinci aşamaya ait büyüklükle üst indis, ikinci aşamaya ait büyüklükle indissiz gösteilecekti. Dikdötgen şeit plağın bütün yanal kenalaından basit mesnetle tuttuulduğu, yapısındaki ilk öngeilmenin kaşılıklı iki yanal yüzeyinden ( x 0 ve x ) etkiyen yoğunluğu q olan düzgün yayılı nomal kuvvet etkisinde oluştuğu, diğe öngeilmenin şeit plağa etki eden biim yoğunluğu f olan kendi ağılığı etkisiyle oluştuğu ve yapıdaki daiesel deliğin bu yüzeyle aasında ve plağın iç kısmında ye aldığı kabul edilmektedi. Delik civaında etki eden hehangi bi kuvvet yoktu. Yoğunluğu kuvvet plağın üst yüzeyine etki etmektedi (Şekil ). i t pe (p q ve p f) olan ilave unifom yayılı nomal Ele alınan sını değe pobleminin çözüm bölgesi 4

5 ' () (0 x, 0 x h) x,x x ( E R) (x (ha R)) R () di. Poblemin matematik modeli düzlem şekil değiştime ile LEÜBET çeçevesinde ([7,8]) yapılacaktı. Şekil. Daiesel delik içeen şeit-plağa etki eden kuvvetle (Foces acting on the stip-plate containing a cicula hole) Biinci aşamaya ait sını değe poblemi; σ ij x j f 0; i f ρgδ, i i σ Dε, σ σ,σ,σ ve ε ij ui, j uj,i, i; j=, T ε ε,ε,ε T u x 0; 0 x0,h, σ qδ i i x 0;, x 0,h σ 0, i=, i x h x 0 σ 0, σ 0 nn L nτ L E A L x,x x R (x (h R)) R (3) Buada f i ağılık kuvveti yoğunluğunun bileşenleini, σ, ε ve u sıasıyla toplam öngeilme kuvvetleinin etkisiyle oluşan geilme, şekil değiştime ve yedeğiştime tensöü bileşenleini, L yapı elemanının içediği daiesel boşluğun sınıını, ρ şeit plağın kütle yoğunluğunu, g yeçekimi ivmesini ve göstemektedi. j δ i Konecke sembolünü İkinci aşamaya ait sını değe poblemi; u u σ σ ρ xj x t σ Dε i i ji in n 5

6 ε ij u u i j, xj x i u x 0; 0 x 0,h, u u i it σ σ n 0, ji in nj pe i, x n x h n x n x 0; u n 0 i ji in j x n x 0 u u σ σ σ σ 0, i;j;n=,. (4) i i nn nn nτ nτ xn x L n L Buada n j daiesel delik sınıına ait dış biim nomalin bileşenleidi. Ele alınan titeşim poblemlei titeşim olayının başlangıcından yeteince uzak bi zaman diliminde yani titeşim olayı stabil olduğu duumda inceleneceğinden, zaman paametesine göe başlangıç koşullaı veilmemişti. Yukaıda veilen biinci aşamaya ait (Eş. 3) sını değe poblemi ele alınan şeit-plağın kaşılıklı x 0, kenalaından düzgün yayılı çekme kuvveti ve kendi ağılığı etkisinde yapıda oluşan ye değiştime/geilme yayılışının belilenmesini; ikinci aşamaya ait (Eş. 4) sını değe poblemi öngeilmeli (öngeilmele σ ij ile gösteilmektedi) şeit-plağın üst yüzeyine etkiyen ve zamana göe hamonik değişen düzgün yayılı dış kuvvet etkisinde, anizotop şeit-plağın dinamik davanışının belilenmesini temsil etmektedi. Bilindiği üzee, bu tü poblemlee zolanmış titeşim poblemlei adı veilmektedi. Zolanmış titeşim poblemleinin çözümleinden yaalanılaak, aynı yapı elemanının sebest titeşim poblemleine ait büyüklükle belilenebilmektedi ([9] ). Eş. 4 deki denklem ve ifadelein yapısından göüldüğü gibi aanan büyüklüklein zamana bağımlılığı aşağıdaki biçimde seçilebili. iωt ij ij i ij ij i σ,ε,u σ,ε,u e, i,j, (5) Eş. 5 de σ,ε ij ij veu le i uygun büyüklüklein genliğini, ω dış kuvvetin fekansını ve i kompleks (sanal) büyüklüğü göstemektedi. Eş. 5 ifadelei Eş. 4 de yeine yazılı, geekli düzenlemele yapılı ve basitlik açısından genliklei gösteen sembolledeki üst çizgile ihmal edilise, Eş. 4 deki haeket denklemi genlikle cinsinden aşağıdaki gibi elde edili. σ x ij j ρω u 0 i (6) x h daki sını koşulu ise σ x h p (7) haline dönüşü. Eş. 4 deki diğe denklem ve ifadele aanan büyüklüklein genliklei için de aynen sağlanmaktadı. Böylece ele alınan plağın zolanmış titeşimleinin aaştıılması Eş. 4 deki sını değe pobleminin ilgili ifadeleinin Eş. 6 ve Eş. 7 ile değiştiilip diğe denklem ve bağıntılaının genlikle cinsinden aynı kalması 6

7 çeçevesinde incelenmesine getiili. Eğe Eş. 7 de p 0 kabul edilise poblem ele alınan plağın sebest titeşim fekanslaının belilenmesine ait özdeğe poblemine dönüşmüş olu. 3. PROBLEMİN SONLU ELEMANLARLA MODELLENMESİ (FEM MODELLING OF THE PROBLEM) Matematiksel modellei veilen poblemlein sonlu eleman fomülasyonlaı ([9, 0]);. aşamaya ait sını değe poblemi için h h T σij εij dxdx ufdxdx qu dx qu dx ' ' 0 x 0 0 x (8) fonksiyoneli ve. aşamaya ait sını değe poblem için u x j Tij ρω uiuj dxdx pu dx ' i 0 x h (9) fonksiyoneli yadımıyla yapılmıştı. Buada T σ σ u i ij ij in x n di. Eş. 0 da in Eş. 3 sını değe pobleminin çözümünden belilenen öngeilme bileşenleidi. Eş. 6 denklemlei Eş. 9 fonksiyonelinin Eule denklemlei olu. He bi poblemin sonlu eleman fomülasyonu Ritz tekniği yadımıyla elde edilebili ([]). Çözüm bölgesi, sonlu adet alt bölgeye yani, sonlu elemana ayıklaştıılı. Buada, M () k k olu. Daiesel deliğin etafında 6 nodlu eğisel üçgen sonlu elemanla, gei kalan bölgede 9 nodlu dikdötgen Lagange kuadatik elemanlaı kullanılmıştı ([3] ve []) (Şekil ). (a) (b) Şekil. (a) Sonlu Eleman Ağı (Finite Elements Mesh), (b) Dikdötgen ve üçgen sonlu elemanla ve nodlaın konumu (Rectangula and tiangula finite elements and position of the nodes) 7

8 Dikdötgen sonlu elemanlaın nodlaında tanımlı şekil fonksiyonlaının ifadelei. Deeceden Lagange şekil fonksiyonlaı yadımıyla, üçgen sonlu elemanlaın nodlaında tanımlı şekil fonksiyonlaı ise,. Deeceden polinom olaak tanımlanmış ve Ni şekil fonksiyonlaının bilinmeyen katsayılaı N(x,x ) δ () i j j ij eşitliği yadımıyla belilenmişti ([]). Eş. de (x j,x j), Oxx koodinat sisteminde j. nodun koodinatlaı ve ij, konecke sembolüdü. Çözüm yöntemi geeği, he bi sonlu elemanda aanan ye değiştime fonksiyonu polinom şeklinde kabul edili. Bu polinomla (8) ve (9) fonksiyonelleinde yeine yazılı ve geekli düzenlemele yapılısa;.sını değe poblemi; K a (3) cebisel denklem sisteminin çözümüne,. sını değe pobleminin çözümü; K M a (4) cebisel denklem sisteminin çözümüne indigeni. Eş. 3 ve Eş. 4 de a, a nodlada bilinmeyenlei içeen vektö ve K, K Rijidlik matisi, M kütle matisi,, kuvvet (sağ taaf) matisini göstemektedi ([9], []). Eş. 3 (Eş. 4) cebik denklem sisteminin çözümünden sıasıyla biinci aşamaya (ikinci aşamaya) ait nodladaki ye değiştime (ye değiştimenin amplitüdleinin) değelei belileni. Ancak biinci aşamaya ait geilme değelei ikinci aşamadaki poblemin fomülasyonuna dahil olduğundan, ikinci aşamaya ait geilme değeleinin belilenebilmesi için biinci aşamada yapıda oluşan geilme yayılımının belilenmesi geekmektedi. Sebest titeşim analizi için, dış kuvvetin fekansının değei, yapının kitik doğal fekans değeine yaklaştıılısa yani, ω için Eş. 4 ün çözümünde ye değiştimele sonsuza gide. Ele alınan yapının kitik doğal ω c. fekanslaını gösteen sayısal sonuçla bu özellikten yaalanılaak belilenmişti. Yapının zolanmış titeşimine ait sayısal hesaplamalada dış kuvvetin fekansının ( ω ) değei, yapının uygun doğal fekans ( ω c. ) değeinden küçük alınaak ( ω ω c. ), daiesel delik civaındaki geilme yığılmalaı incelenmişti. Sayısal integal hesaplamalaı için Gauss Kaelemesi (Gauss Quadatue) metodu 0 gauss noktası kullanılaak yapılmıştı. Daiesel delik civaında geilmelein daha anlaşılı olması açısından kutupsal koodinatladaki değele daha elveişli olduğundan, katezyen koodinatladaki geilme fonksiyonlaı yadımıyla, kutupsal koodinatlada geilme fonksiyonlaının ifadeleinden yaalanılı. Bu ifadele; σ σ cos σ sin σ sincos σ σ sin σ cos σ sin cos τ σ (cos sin ) (σ σ ) sin cos (5) di ([]). 8

9 4. SAYISAL SONUÇLAR (NUMERICAL RESULTS) Şeit-plağın malzemesinin bibiini tekalayan iki izotop, homojen levhadan oluşmuş çok katlı kompozit malzeme olduğu kabul edilmektedi. Ele alınan şeit-plağın malzemesi simeti ekseni Ox olan, homojen tansvesal izotop malzeme olaak modellenmişti ([9]). Ele alınan poblemlein çözümü, yapı elemanı ve yüklemenin x ye göe simetik olmasından yaalanılaak yaım (/) bölge için yapılmıştı. Çözüm bölgesinin uygun sonlu eleman ağı ayıklaştıması için Tablo ve Tablo, q/e 0, h / 0.0, R / , E / E ve f=0 değelei için hesaplanmıştı. Bu tablolada N ve M paametelei sıasıyla Ox ve Ox eksenlei doğultusundaki dikdötgen sonlu eleman sayılaını göstemektedi. Tablo. N paametesi değişiminin biinci doğal fekans değeleine etkisinin incelenmesi (Investigation of the effect of the paamete N on the values of the fist fundamental fequencies ) N Tablo. M paametesi değişiminin biinci doğal fekans değeleine etkisinin incelenmesi (Investigation of the effect of the paamete M on the values of the fist fundamental fequencies ) M Tablo ve Tablo de sıasıyla Ox ve Ox eksenlei doğultusundaki dikdötgen sonlu eleman sayılaı olan N ve M paameteleinin değişiminin biinci doğal fekans değeleine etkisi incelenmişti. Tabloladan N ve M paametelei değeleinin atmasıyla biinci doğal fekans değeleinin azaldığı, fakat belli bi değeden sona sabit kalıp bi limit değee yakınsadığı gözlemlenmişti. Dolayısıyla çözüm bölgesinin sonlu eleman modellemesi için 6 nodlu eği kenalı 8 üçgen sonlu eleman, Ox ekseni doğultusunda 80 ve Ox ekseni doğultusunda adet olmak üzee 9 nodlu toplamda 956 dikdötgen sonlu eleman, 407 düğüm noktası (nod) ve 8004 sebestlik deecesi (NDOF) kullanılmıştı. Tablola ve şekillede boyutsuz büyüklükle veilmişti. Buna göe boyutsuz doğal fekans A (6) şeklindedi. Buada A, Eş. 3 ve Eş.4 de ele alınan yapı elemanının malzemesinin mekanik özellikleini içeen D matisinin bi bileşenidi. Ox ve Ox eksenlei boyunca boyutsuz yedeğiştimele, sıasıyla, u ve v bu eksenle boyunca boyutlu yedeğiştimele olmak üzee u Eu p, u Ev p (7) di. E matis malzemesinin Elastisite modülü, p, şeit-plağın üst yüzeyinden etki eden düzgün yayılı basınç yükünün yoğunluğu, şeit-plağın Ox doğultusundaki uzunluğudu. 9

10 Elde edilen sayısal sonuçlaı doğulamak için Tablo 3 de daiesel delik içeen şeit-plağın kenalaından unifom yayılı öngeilme kuvveti etkisi olmadığı duumda ( q/e 0), delik boyutlaının ( R/ ) küçültüleek, faklı E /E değeleinde biinci doğal fekans değeleine etkisi incelenmişti. Tablodaki veileden he bi E /E değei için, daiesel deliğin boyutlaı küçüldükçe, kitik doğal fekans değeleinin azaldığı ve delik içemeyen katı şeit-plağın [9] daki değeleine yakınsadığı göülmektedi. Bu yakınsama sayısal sonuçlaın belilenmesinde kullanılan algoitma ve pogamlaa güvenililiği sağlamaktadı. Tablo 3. Delik yaıçapının ( R/ ), şeit-plağın kenalaından unifom yayılı öngeilme kuvveti etkisi olmadığı duumda ( q/e 0), h/ 0.0 için faklı E /E değeleinde değeleine etkisi. (Effect of adius of the hole ( R/ ) on the values of fo the case q/e 0 fo h/ 0.0 fo diffeent values of E /E ) R/ E /E *(Akbaov ve Guz) [9] Tablo 4 de daiesel delik içeen şeit-plağın kenalaından unifom yayılı öngeilme kuvveti etkisi olmadığı duumda ( q/e 0), biim ağılık kuvveti değişiminin (f), faklı E /E değeleinde biinci doğal fekans değeleine etkisi incelenmişti. Tablodaki veileden he bi E /E değei için, şeit-plağın ağılığı attıkça kitik doğal fekans değeleinin azaldığı göülmektedi. Tablo 4. Biim ağılık kuvvetinin (f), daiesel delik içeen şeit-plağın kenalaından unifom yayılı öngeilme kuvveti etkisi olmadığı duumda ( q/e 0), h / 0.0, R / için faklı değeleine etkisi. E /E değeleinde (Effect of unit weight foce (f) on the values of fo the case q/e 0 fo h / 0.0, R / fo diffeent values of E /E ) q/e 0 E /E f Tablo 5 de q/e paametesi değişiminin, faklı f değeleinde biinci doğal fekans değeleine etkisi incelenmişti. Tablodaki veileden he bi f değei için yapıda iki kenaından düzgün yayılı çekme öngeilmesi 0

11 q/e 0 (basınç öngeilmesi q/e 0 ) olması, plağın doğal fekans değeleini, iki kenaından düzgün yayılı çekme öngeilme olmaması ( q/e 0) duumuna göe önemli ölçüde attımaktadı (düşümektedi). Tablo 5. q/e paametesinin, E /E için faklı f paametesi değeleinde (Effect of paamete q/e on the values of fo E / E fo diffeent values of f) q/e f 0 f 0.0 f değeleine etkisi. Tablo 6 da faklı q/e ve f değeleinde daiesel deliğin konumu, önceki konumuna paalel kalacak şekilde, şeitplağın üst yüzeyine yaklaştıılması duumunda biinci doğal fekans değelei veilmişti. Tablodaki veileden delik üst yüzeye yaklaştıkça yani, h U /R oanı küçüldükçe değelei şeit-plağın kendi ağılığı ihmal edildiğinde (f=0) needeyse etkilenmezken, kendi ağılığı dikkate alındığında ( f 0) önemli ölçüde küçülmektedi. Tablo 6. Deliğin konumunun ( h /R), faklı f paametesi değeleinde, h / 0.0, R / ve U E /E için değeleine etkisi. (Effect of position of the hole ( h U /R) on the values of fo diffeent values of f fo h / 0.0, R / and E / E ) q/e f h U /R Zamana göe hamonik değişen ilave peiyodik dış kuvvetin fekans değei, yapının doğal fekans değeinden küçük alınması ( ) duumunda dış kuvvetin fekansının daiesel delik civaında σ p geilme dağılımına etkisi bazı f ve q/e değelei için Şekil 3 de incelenmişti. Şekil 3 deki gafiklede ilave peiyodik dış kuvvetin fekans değeinin ( ) atıılması delik civaında σ p geilme değeleini mutlak değece önemli ölçüde attımaktadı. İlave peiyodik dış kuvvetin fekans değei ( ) azaldıkça statik poblemden elde edilen değelee yaklaşmakta ve 0 duumunda elde edilen değele ile [6] da statik poblemden elde edilen

12 değele üst üste düşmektedi. (a) (b) (c) (d) Şekil 3. değişiminin E E için daiesel deliğin π,3π civaında =R de (a) f=0 ve q/e 0, (b) f=0 ve q / E 0.005, (c) f=0.04 ve q/e 0, (a) f=0.04 ve q / E duumlaında σ p dağılımına etkisi (Effect of on the values of f=0.04 ve q/e 0, (a) f=0.04 ve q / E σ pfo the cases (a) f=0 ve q/e 0, (b) f=0 ve aound the hole π,3π at =R fo E E ). q / E 0.005, (c) (a) (b) (c) (d) (e) Şekil 4. değişiminin q / E ve E E duumlaında f=0 ve f=0.04 için şeit-plağın Ox ekseni boyunca üst yüzeyinde ( x etkisi. (Effect of h da) (a) σ p, (b) τ p, (c) σ p (d) u ve (e) u dağılımlaına on the values of (a) σ p, (b) τ p, (c) σ p (d) u and (e) u fo the cases f=0 and f 0.04 fo q / E and E E along the Ox axis at x h ) Dış kuvvetin fekansının ( ) değişiminin daiesel delik içeen şeit-plağın kendi ağılığının ihmal edilmesi ve kendi ağılığı etkisinde f 0.04 f 0 şeit-plağın üst yüzeyinde ( x olması duumlaında q / E 0.005, E E için, Şekil 4 de h da) Ox ekseni boyunca sıasıyla (a) σ p, (b) τ p ve (c) σ p geilmelei

13 ile (d) u ve (e) aalığında (a) σ u yedeğiştime dağılımlaına etkisi; Şekil 5 de daiesel delik civaında =R de π,3π p, (b) τ p (c) σ p, (d) u ve (e) gafiklede he iki duum için (kendi ağılığının ihmal edilmesi ( f 0 u dağılımlaına etkisi incelenmişti. Şekil 4 deki ) ve kendi ağılığı etkisinde f 0.04 olması duumlaında) ilave peiyodik dış kuvvetin fekans değeinin ( ) atıılması, x h da Ox ekseni boyunca σ p geilme değei haiç σ p, τ ve u değeleini mutlak değece attımaktadı. Şeitplağın kendi ağılığının ihmal edilmesi duumunda ( f 0), σ p geilmesine değişiminin etkisi yoktu, kendi ağılığı dikkate alındığında σ p geilmesi de mutlak değece atmaktadı. Şekil 5 deki gafiklede he iki duum için (kendi ağılığının ihmal edilmesi f 0 ve kendi ağılığı etkisinde olması duumlaında) ilave peiyodik dış kuvvetin fekans değeinin f 0.04 civaında σ p, τ p, σ atıılması, daiesel delik ve u değeleini mutlak değece attımaktadı. İlave peiyodik dış kuvvetin fekans değeinin atıılması, şeit-plağın kendi ağılığı dikkate alındığında, daiesel delik civaındaki kutupsal geilme değeleini, ihmal edildiği duuma göe daha fazla etkilemektedi. (a) (b) (c) (d) (e) Şekil 5. değişiminin q / E ve E E duumlaında f=0 ve f=0.04 için daiesel deliğin π,3π civaında =R de (a) σ p, (b) τ p, (c) σ p, (d) u ve (e) u dağılımlaına etkisi. (Effect of on the values of (a) σ p, (b) τ p, (c) σ p, (d) u and (e) u aound the hole π,3π at =R fo the cases f=0 and f 0.04 fo q / E and E E ). Şekil 6 da daiesel delik içeen şeit-plağın q/e 0; 0.005duumlaında 0.04 ve E E için kendi 3

14 ağılığının (f) değişiminin şeit-plağın üst yüzeyinde ( x h da) Ox ekseni boyunca sıasıyla (a) σ p, (b) τ p ve (c) σ p geilmelei ile (d) u ve (e) u yedeğiştime dağılımlaına etkisi incelenmişti. Gafiklede he iki duum için (iki kenaından düzgün yayılı çekme öngeilmesi olması ( q / E ) ve olmaması ( q/e 0) duumlaında) şeit-plağın kendi ağılığının (f) atıılması, x h da Ox ekseni boyunca σ p, τ p, σ ve u değeleini mutlak değece attımaktadı. (a) (b) (c) (d) Şekil 6. f değişiminin 0.04 ve (e) E E için q/e 0 ve q / E duumlaında şeit-plağın üst yüzeyinde ( x h da) Ox ekseni boyunca (a) σ p, (b) τ p, (c) σ p (d) u ve (e) u dağılımlaına etkisi. (Effect of f on the values of (a) σ p, (b) τ p, (c) σ p (d) u and (e) fo 0.04, E E along the Ox axis at x h ) u fo the cases q/e 0 and q / E Şekil 7 de daiesel delik içeen şeit-plağın q/e 0; 0.005duumlaında 0.04 ve ağılığının (f) değişiminin etkisi daiesel delik civaında =R de π,3π aalığında (a) σ E E için kendi p, (b) τ p (c) σ p, (d) u ve (e) u dağılımlaına etkisi incelenmişti. Gafiklede he iki duum için (iki kenaından düzgün yayılı çekme öngeilmesi olması ( q / E ) ve olmaması ( q/e 0 ) duumlaında) şeit-plağın kendi ağılığının (f) atıılması, daiesel delik civaında σ p, τ p, σ ve u değeleini mutlak değece attımaktadı. Şeit-plağın iki kenaından düzgün yayılı çekme öngeilmesi olmaması duumunda q/e 0, kendi ağılığındaki değişim daha etkili olmaktadı. 4

15 (a) (b) (c) (d) (e) Şekil 7. f değişiminin 0.04 ve E E için q/e 0 ve q / E duumlaında daiesel deliğin π,3π civaında =R de (a) σ p, (b) τ p, (c) σ p, (d) u ve (e) u dağılımlaına etkisi. (Effect of f on the values of (a) σ p, (b) τ p, (c) σ p, (d) u and (e) u aound the hole π,3π at =R fo the cases q/e 0 and q / E fo 0.04 and E E.) (a) (b) (c) Şekil 8. q/e değişiminin yüzeyinde ( x 0.04 ve E E için f=0 ve f=0.04 duumlaında şeit-plağın üst h da) Ox ekseni boyunca (a) σ p, (b) u, (c) u dağılımlaına etkisi. (Effect of q/e on the values of (a) σ p, (b) u, (c) u fo the cases f=0 ve f=0.04 fo 0.04 and E E along the Ox axis at x h.) Şekil 8 de daiesel delik içeen şeit-plağın f 0; 0.04 duumlaında 0.04 ve E E için iki kenaından düzgün yayılı çekme öngeilmesi değişiminin ( q/e ), şeit-plağın üst yüzeyinde ( x h da) Ox 5

16 ekseni boyunca sıasıyla (a) σ pgeilmesi ile (b) u ve (c) u yedeğiştime dağılımlaına etkisi incelenmişti. Gafiklede he iki duum için düzgün yayılı çekme öngeilmesi değei ( q/ E ) attıkça, x h da Ox ekseni boyunca σ ve u değeleinin mutlak değece azaldığı göülmektedi. q/e attıkça f=0 ve f=0.04 olması duumundaki dağılımla aasındaki fak azalmaktadı. (a) (b) (c) Şekil 9. q/e değişiminin π,3π civaında =R de (a) σ (a) σ p, (b) u and (c) 0.04 ve u aound the hole π,3π E E için f=0 ve f=0.04 duumlaında daiesel deliğin p, (b) u ve (c) u dağılımlaına etkisi. (Effect of q/e on the values of at =R fo the cases f=0 ve f=0.04 fo 0.04 and E E ) Şekil 9 da daiesel delik içeen şeit-plağın f 0; 0.04 duumlaında kenaından düzgün yayılı çekme öngeilmesi değişiminin ( aalığında (a) σ p, (b) u ve (c) 0.04 ve E E için iki q/e ), daiesel delik civaında =R de π,3π u dağılımlaına etkisi incelenmişti. Gafiklede he iki duum için ( f 0; 0.04) düzgün yayılı çekme öngeilmesi değei ( q/e ) attıkça, daiesel delik civaında σ ve u değeleinin mutlak değece azaldığı göülmektedi. q/e attıkça f=0 ve f=0.04 olması duumundaki dağılımla aasındaki fak azalmaktadı. Şekil 0 da daiesel delik içeen şeit-plağın f 0; 0.04 duumlaında değişiminin, şeit-plağın üst yüzeyinde ( x 0.04 ve qe 0.005için E E h da) Ox ekseni boyunca sıasıyla (a) σ pgeilmesi ile (b) u yedeğiştime dağılımına ve daiesel delik civaında =R de π,3π aalığında (c) σ p geilmesi ile (d) u yedeğiştime dağılımlaına etkisi incelenmişti. Gafiklede he iki duum için ( f 0; 0.04) E E değei attıkça, x h da Ox ekseni boyunca σ p geilmesinin mutlak değece attığı ve u yedeğiştime değeleinin mutlak değece azaldığı göülmektedi, daiesel delik civaında kutupsal yedeğiştime değeleinin mutlak değece azaldığı göülmektedi. σ p kutupsal geilmesi ile u 6

17 (a) (b) (c) (d) Şekil 0. E E değişiminin yüzeyinde ( x 0.04 ve h da) Ox ekseni boyunca (a) σ p, (b) q / E için f=0 ve f=0.04 duumlaında şeit-plağın üst u ve daiesel deliğin π,3π civaında =R de (c) σ p, (d) u dağılımlaına etkisi. (Effect of E E on the values of (a) σ p, (b) u along the Ox axis at x h and (c) σ p, (d) u aound the hole π,3π at =R fo the cases f=0 ve f=0.04 fo 0.04 and q / E ) Şekil de daiesel delik içeen şeit-plağın f 0; 0.04 duumlaında 0.04, qe 0.005ve E E için daiesel deliğin konumu, önceki konumuna paalel kalacak şekilde, şeit-plağın üst yüzeyine yaklaştıılmasının ( hu R paametesinin azaltılmasının) şeit-plağın üst yüzeyinde ( x h da) Ox ekseni boyunca sıasıyla (a) σ p, (b) τ p ve (c) σ p geilmelei ile (d) u ve (e) u yedeğiştime dağılımlaına etkisi incelenmişti. Gafiklede he iki duum için ( f 0; 0.04) daiesel deliğin şeit-plağın üst yüzeyine yaklaştıılmasının, σ p, τ p, σ ve u değeleini önemli ölçüde etkilemektedi. Ancak şeit-plağın kendi ağılığının ihmal edilmesi duumunda ( f 0), σ p geilmesi değei ile u yedeğiştime değelei etkilenmemektedi. hu R değişiminden 7

18 (a) (b) (c) Şekil. hu (d) R değişiminin 0.04, (e) E E ve q / E için f=0 ve f=0.04 duumlaında şeitplağın üst yüzeyinde ( x dağılımlaına etkisi. (Effect of h da) Ox ekseni boyunca (a) σ p, (b) τ p, (c) σ p (d) u ve (e) u hu R on the values of (a) σ p, (b) τ p, (c) σ p (d) u and (e) u fo the cases f=0 ve f=0.04 fo 0.04, E E and q / E along the Ox axis at x h ) 5. SONUÇLAR (CONCLUSIONS) Bu çalışmada daiesel delik içeen öngeilmeli kompozit şeit-plağın kendi ağılığının sebest ve zolanmış titeşim analizine etkisi düzlem şekil değiştime altında, Lineeize Edilmiş Üç Boyutlu Elastisite Teoisi (LEÜBET) çeçevesinde, Sonlu Elemanla Yöntemi yadımıyla sayısal olaak çözülmüştü. Çalışma çeçevesinde yapılan aaştımala ile bu aaştımalada elde edilen sonuçla ve değelendimele aşağıda maddele halinde veilmişti. Şeit-plağın kendi ağılığı attıkça (f paametesi attıkça), kitik doğal fekans değeleinin ( ) azaldığı göülmektedi. He bi f değei için yapıda iki kenaından düzgün yayılı çekme öngeilmesi ( q/e 0) (basınç öngeilmesi ( q/e 0)) olması, plağın doğal fekans değeleini ( ), iki kenaından düzgün yayılı çekme öngeilmesi olmaması ( q/e 0) duumuna göe önemli ölçüde attımaktadı (düşümektedi). Delik üst yüzeye yaklaştıkça ( h U /R oanı küçüldükçe), kitik doğal fekans değelei ( ) şeit-plağın kendi ağılığı ihmal edildiğinde (f=0) needeyse etkilenmezken, kendi ağılığı dikkate alındığında ( f 0) önemli ölçüde küçülmektedi. 8

19 Şeit-plağın hem kendi ağılığının ihmal edilmesi ( f 0) ve hem de kendi ağılığı etkisinde ( f 0.04) olması duumlaında zamana göe hamonik değişen ilave peiyodik dış kuvvetin fekans değei, yapının uygun doğal fekans değeinden küçük alınması ( ) duumunda dış kuvvetin fekansının atıılması, x h Ox ekseni boyunca, σ p geilme değei haiç σ p, τ ve u değeleini mutlak değece da attımaktadı. Şeit-plağın kendi ağılığının ihmal edilmesi duumunda ( f 0), σ p geilmesine değişiminin etkisi yoktu, kendi ağılığı dikkate alındığında σ p geilmesi de mutlak değece attımaktadı. Şeit-plağın hem kendi ağılığının ihmal edilmesi ( f 0) ve hem de kendi ağılığı etkisinde ( f 0.04) olması duumlaında ilave peiyodik dış kuvvetin fekans değeinin ( ) atıılması, daiesel delik civaında σ p, τ p, σ ve u değeleini mutlak değece attımaktadı. İlave peiyodik dış kuvvetin fekans değeinin ( ) atıılması, şeit-plağın kendi ağılığı dikkate alındığında, daiesel delik civaındaki kutupsal geilme değeleini, ihmal edildiği duuma göe daha fazla etkilemektedi. Şeit-plağın kendi ağılığının (f) atıılması, ilave dinamik yük etkisinde geilme ve yedeğiştime dağılımlaının mutlak değece atmasına sebep olmaktadı. Şeit-plağın hem kendi ağılığının ihmal edilmesi ( f 0) ve hem de kendi ağılığı etkisinde ( f 0.04) olması duumlaında düzgün yayılı çekme öngeilmesi değei ( q/ E ) attıkça, ilave dinamik yük etkisinde Ox ekseni boyunca σ ve u değeleinin ve daiesel delik civaında σ ve u değeleinin mutlak değece azaldığı göülmektedi. q/e attıkça f=0 ve f=0.04 olması duumundaki dağılımla aasındaki fak azalmaktadı. Şeit-plağın hem kendi ağılığının ihmal edilmesi ( f 0) ve hem de kendi ağılığı etkisinde ( f 0.04) olması duumlaında, E E değei attıkça, ilave dinamik yük etkisinde Ox ekseni boyunca x h da σ geilmesinin mutlak değece attığı ve u yedeğiştime değeleinin mutlak değece azaldığı göülmektedi, daiesel delik civaında σ p kutupsal geilmesi ile u kutupsal yedeğiştime değeleinin mutlak değece azaldığı göülmektedi. Şeit-plağın hem kendi ağılığının ihmal edilmesi ( f 0) ve hem de kendi ağılığı etkisinde ( f 0.04) olması duumlaında daiesel deliğin şeit-plağın üst yüzeyine yaklaştıılmasının ( h U p R oanının azaltılması), ilave dinamik yük etkisinde Ox ekseni boyunca x h da σ p, τ p, σ ve u değeleini önemli ölçüde etkilemektedi. Ancak şeit-plağın kendi ağılığının ihmal edilmesi duumunda ( f 0), σ p geilmesi değei ile u yedeğiştime değelei hu R değişiminden etkilenmemektedi. TEŞEKKÜR (ACKNOWLEDGMENT) Bu çalışmamın geçekleştiilmesinde ilgi, yönlendime, tavsiye ve yadımlaını esigemeyen hocalaım Sayın Pof. D. Sukay D. AKBAROV ve Pof. D. Nazmiye YAHNİOĞLU na sonsuz teşekkü edeim. KAYNAKLAR (REFERENCES). Savin G.N., Stess Concentation Aound Holes, E. Gos Tanslato, Pegomon, 96. 9

20 . Wu H.C., Mu B., On Stess concentations fo isotopic/othotopic plates and cylindes with a cicula hole, Composites Pat B, 34, 7-34, Yang Y.B., Kang J. H., Exact defomation of an infinite ectangula plate with an abitaily located cicula hole unde in-plane loadings, Stuct. Eng. & Mate., 58 (5), , Nagpal S., Jain N. K., Sanyal S., Thee Dimensional Paametic Analyses of Stess Concentation Facto and Its Mitigation in Isotopic and Othotopic Plate with Cental Cicula Hole Unde Axial In-Plane Loading, J. Inst. Eng. (India): Seies C, 97 (), 85-9, Ozben T. T., Aslan, N., Ozbay, M., Stess intensity analysis of biaxial stessed single elliptical hole in plate accoding to change of hole inclination and geomety, J. Fac. Eng. Achit. Gazi Univ., 6 (3), 53-53, Akbaov S.D., Yahnioglu N., Babuscu Yesil U., Inteaction between two neighbouing cicula holes in a pestetched simply suppoted othotopic stip unde bending, Mech. Compos. Mate., 44 (6), , Akbaov S.D., Yahnioglu N., Babuscu Yesil U., A 3D FEM Analysis of Stess Concentations Aound Two Neighboing Cylindical Holes In a Pe-Stessed Rectangula Composite Plate Unde Bending, Mech. Compos. Mate., 48 (5), , Aidi B., Shaat M., Abdelkefi A., Case S. W., Expeimental, numeical, and analytical fee vibation analyses of open-hole composite plates, In 57th AIAA/ASCE/AHS/ASC Stuctues, Stuctual Dynamics, and Mateials Confeence, AIAA Associatin, (p. 096)., Kwaka M. K., Han S., Fee Vibation Analysis of Rectangula Plate with a Hole by Means of independent Coodinate Coupling Method, J. Sound Vib., 306, -30, Babuşcu Yeşil Ü., Kompozit Kalın Plağın Doğal Titeşim Fekansına İçediği Silindiik Boşluğun Etkisi, Sigma Müh. Fen Bil. Deg., Aalık 009, 6-35, Machuk A. V., Piskunov V. G., Statics, Dynamics and Stability of Composite Panels with Gently Cuved Othotopic Layes. Statics and Vibations, Mech. Compos. Mate., 5(4), 85-9, Akbaov S.D., Yahnioglu N., Babuscu Yesil U., 3D Analysis of the Foced Vibation of a Pestessed Rectangula Composite Plate with Two Neighboing Cylindical Cavities, CMC: Comput., Mate. Continua, (8), 47-64, Babuscu Yesil U., Foced Vibation Analysis Of Pe-stetched Plates With Twin Cicula Inclusions, J. Eng. Mech., 4 (), , Takabatake H., Effects of dead loads on the static analysis of plates, Stuct. Eng. & Mate., 4 (6), 76-78, Takabatake H., Effects of dead loads on dynamic analyses of beams, Eathquakes & Stuct, (4), 4-45, Babuscu Yesil U., The Effect of Own Weight On The Static Analysis of A Pestetched Plate-Stip With A Cicula Hole In Bending, Mech. Compos. Mate., 53(), 43-5, Akbaov S.D., Stability Loss and Buckling Delamination: Thee-Dimensional Lineaized Appoach fo Elastic and Viscoelastic Composites, Spinge-Heidelbeg, New Yok, Guz A.N., Fundamentals of the Thee-Dimensional Theoy of Stability of Defomable Bodies, Spinge- Velag, Belin, Akbaov S.D. and Guz A.N., Mechanics of Cuved Composites, Kluwe Academic Publishes, Dodecht, The Nethelands,

21 0. Guz A.N., Elastic Waves in Bodies With Initial (Residual) Stesses [in Russian], Kiev, Zienkiewicz O.C. and Taylo R.L., The Finite Element Methods: Basic Fomulation and Linea Poblems, Vol., 4th Edition, Mc Gaw-Hill Book Company, Oxfod, Timoshenko S.P. and Goodie J.N., Theoy of Elasticity, Thid Edition, McGaw-Hill Intenational Editions, London, 970.