PARÇACIK İÇEREN KOMPOZİTLERİN ELASTİK KATSAYILARININ ANALİTİK YÖNTEMLE TAYİNİ

Transkript

1 XVIII. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ 6-30 Ağustos 013, Celal Baya Ünivesitesi, Manisa PARÇACIK İÇEREN KOMPOZİTLERİN ELASTİK KATSAYILARININ ANALİTİK YÖNTEMLE TAYİNİ Osman Bulut, Necla Kadıoğlu ve Şenol Ataoğlu İstanbul Teknik Ünivesitesi İnşaat Fakültesi ABSTRACT In this study, composite mateials which contain mico-paticles have been consideed to obseve the esults on the maco scale popeties of a mateial when a diffeence has been geneated in mico stuctue of it. The vaiation of the Bulk and shea moduli with espect to the volume atio defining as the atio of the volumes of the paticles to the matix of these mateials which ae consideed in the type of two-phases composites have been calculated. In the poblems consideed low volume atio, homogenously dispesed paticles in matix, and no inteactions between paticles have been assumed. Moeove, they ae supposed that all mateials behave linealy elastic, and they ae homogeneous and isotopic. In the sense of assumptions mentioned composites which ae heteogeneous have been consideed to a fictitious mateial wich can be evaluated as homogeneous. In the analytical computations, basically the point of view is used that the equality of the stain enegies on quasihomogeneous and quasi-isotopic composites and fictitious mateials which ae exposed to the same stess field. Fo simplicity, the calculations ae ealized on a epesentative volume elements (RVE) get fom composites instead of whole composites and on a fictitious mateial having the same geometies with RVE. Consideing paticles have exactly spheical geomety, RVE have been fomed as sphees containing a spheical paticle. Fo these bodies, the stess fields of the hydostatic pessue and the simple shea have been solved, espectively. ÖZET Bu çalışmada, bi malzemenin miko yapısı seviyesinde yapılacak bi değişikliğin mako boyuttaki mekanik özellikleine ait sonuçlaının gözlenebilmesi için, bu malzemeye miko paçacıkla ekleneek oluştuulacak kompozit malzemele ele alınmıştı. İki fazlı bu tü kompozitlein Bulk ve kayma modülleinin hacim oanı ile değişimi analitik yolla elde edilmişti. Ele alınan poblemlede düşük hacim oanlaı için ve eklenti malzemesinin kompozit içeisinde homojen dağılım göstediği, eklentilein bibilei ile etkileşmediği vasayılmıştı. Yine buada, tüm malzemelein linee-elastik, homojen ve izotop davanış göstediği kabul edilmişti. Yukaıdaki kabulle çeçevesinde heteojen bi malzeme olan kompozit, homojen gibi düşünülebilecek bi fiktif malzemeye eşdeğe kabul edilmişti. Buada yapılan analitik hesapta, hehangi bi geilme haline mauz sanki homojen (quasihomogenous) ve sanki izotop (quasi-isotopic) olaak vasayılan bi kompozitin üzeinde 19

2 biiken toplam şekil değiştime işinin, buna eşdeğe olaak düşünülen fiktif malzemede aynı geilme hali altında biiken toplam şekil değiştime işine eşitliği esas alınmıştı. Ancak buada hesapla tüm kompozit üzeinde değil, kompozitten alınan temsili hacim elemanı ve buna eş değe fiktif cisim üzeinde yapılmıştı. Paçacıklaın tam küesel geometide olduğu düşünüleek temsili hacim elemanı tek küesel paçacık içeen küesel bi cisim olaak tanımlanmıştı. Küesel temsili hacim elemanı ve fiktif cisim, ilk olaak ele alınan poblemde hidostatik basınç, ikinci olaak da basit kayma etkisi altındadı. 1. GİRİŞ Günümüzde biçok alanda yaygın şekilde kullanılan kompozit malzemelein üetim amacı, dış etkilee kaşı dayanıksız olsa bile elde edilmesi, işlenmesi ve şekil veilmesi daha kolay olan malzemelein, yüksek mekanik özellikli, uygun malzemelele takviye edileek amaçlanan mekanik özellikleinin daha iyi olmalaını sağlamaktı. Tasaım esnasında bu tü malzemelein mekanik davanışlaını belileyecek malzeme katsayılaının belilenmesi önemlidi. Bu çalışmada mikon metebede boyuta sahip paçacık takviyeli kompozitlein efektif Bulk modülü ve efektif kayma modülü analitik olaak hesaplanmıştı. Liteatüde kompozitlein malzeme katsayılaı için üç faklı yöntemden bahsedilmektedi ki bunla, diek metod, vayasyonel metod ve yaklaşım metodlaıdı [1]. Bu çalışma vayasyonel metod gubundadı. Yöntemin ayıntılaı ileide anlatılacaktı. Bu çalışmada ele alınan kompozitlede bunu oluştuan matis ve paçacık malzemeleinin linee-elastik, homojen ve izotop davanış göstediği tüdedi. Paçacıklaın malzeme özellikleinin, matisinkilee göe çok yüksek olduğu duumla düşünülmüştü. Ayıca homojen bi dağılımla az miktada yeleştiilen paçacıklaın bibilei ile etkileşmediği düşünülmektedi. Bu kabulle altında paçacık içeen kompozit cisim, Hashin taafından sanki homojen (quasi-homogeneous) ve sanki izotop (quasi-isotopic) olduğu düşünüleek fiktif bi homojen malzemeye eşdeğe olaak kabul edilmişti []. Şekil 1 'de bahsedilen tüde hehangi bi kompozit cisimle buna eşdeğe homojen izotop fiktif bi cisim göülmektedi. Şekil 1 Kompozit ve buna eşdeğe fiktif cisimle Böylece poblem, bu fiktif malzemenin elastik özellikleinin bulunması poblemi olu. Refeanslada veilen [] numaalı makalede de olduğu gibi çok küçük olan paçacıklaın geometik fomu küe olaak kabul edilmiş; bu ve yukaıda yapılan diğe kabullele bilikte poblem tüm kompozit cisim yeine küesel tek paçacık içeen küesel kompozit cisim üzeinde çözülmüştü. Bu cisme temsili hacim elemanı denilmektedi. Şekil 'de b yaıçaplı XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 130

3 bi küe ile bununla eş mekezli a yaıçaplı küeden oluşan temsili hacim elemanı ile b yaıçaplı buna eşdeğe efektif cisim göülmektedi. Şekil Paçacık içeen temsili hacim elemanı ve buna eşdeğe efektif cisim Bahsedilen kompozit malzemelein elastik sabitleinin belilenebilmesi için değişik geilme etkileine mauz temsili hacim elemanının üzeleinde biiken toplam şekil değiştime işleinin, efektif cismin ilgili geilme haline mauz olması duumunda üzeleinde biiken işlele eşitliği kullanılacaktı. Küesel paçacık içeen kompozitlein elastik sabitleinin tayini aynı metotla Hashin taafından yapılmış ancak o, toplam işi hesaplamak yeine faklı bi hesap yapaak katsayıla için alt ve üst limitlei tayin etmeye çalışmıştı []. Bu çalışmada, matis, paçacık ve fiktif malzemeleine ait Bulk ve kayma modüllei sıasıyla K M, M, K P, P, K* ve * sembollei ile gösteilecekti.. ANALITIK ÇÖZÜMLER.1 Efektif Bulk Modülünün Hesabı İlk olaak 0 hidostatik çekme geilmesi altıdaki küesel tek cisim ele alınmıştı. Şekil 3 'de ele alınan poblemin geometisi göülmektedi. Şekil 3. b yaıçaplı tek küede hidostatik çekme poblemi ve poblemin çözümünde kullanılan koodinat takımı Küesel koodinat takımında ye değiştime vektöü ve şekil değiştime tansöünün bileşenlei u u e u e u e (.1) u, 1 u u (.) XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 131

4 1 u usin ucos sin 11 u u u, 1 1 u u u sin 1 1 u u ucot (.5) sin şeklindedi. Geilme halinden ve cismin geometisine ait dönel simetiden dolayı, ye değiştimenin yalnızca adyal bileşeni sıfıdan faklı olu. Ayıca bu bileşenin, ve den bağımsız olduğu açıktı. Başka bi deyişle, u yalnızca değişkenine bağlıdı. Bu, (.1) - (.5) bağıntılaında yazılısa u e, u u 0 (.6) u, (.3) (.4) u u (.7) 0 (.8) sonuçlaı bulunu. Buadan geilme-şekil değiştime bağıntısı ve geilme bileşenlei yazılısa u u ( ) (.9) u u ( ) (.10) 0 (.11) ifadelei elde edili. Statik halde kütle kuvvetleinin sıfı olması duumunda denge denklemlei ye değiştime vektöü cinsinden ( ) uu 0 (.1) şeklinde yazılı. Bu denklem elde edilen ye değiştime vektöü ile çözülüse B u A (.13) sonucu bulunu. Bu çözümün he yede geçeli olabilmesi için = 0 da u nin sonlu olması geeki. Dolayısıyla B 0 (.14) bulunu. Bu kullanılaak bileşenle u A, A (.15) (3 A) A 3KA, 3KA (.16) XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 13

5 olaak hesaplanı. Buada K, Bulk modülüdü ve K = (3+)/3 şeklinde ifade edili. A sabitini belileyebilmek için küesel cismin dış yüzeyinde sadece geilmenin adyal doğultuda bileşeni sıfıdan faklı olu ve 0 a eşit olu. Bu yazılı ve bileşenle elde edilise iş ifadesi, V b yaıçaplı küenin hacmini göstemek üzee, aşağıdaki gibi elde edili. 1 U V o K (.17) Adından iç içe eş mekezli, bilikte çalışan iki küenin aynı geilme etkisi altında olduğu poblem ele alınmıştı (Şekil 4). Şekil 4. Hidostatik çekme altında temsili hacim elemanı Paçacık ve matis için ye değiştime vektölei önceki poblemin çözümünden elde edilile. Bu poblemde sını şatlaı P P u A 0 a (.18) B (.19) M M M u A a b M b ' de (.0) o M P a ' da u u (.1) M P a ' da (.) şeklindedi. Bunla yazılaak elde edilen denklem takımı çözüldüğünde M P K K D 4 [ K ( K K ) c] 3K K o M M P M M P (.3) A P M M (4 3 K ) 34 [ K ( K K )] c 3K K o M M P M M P (.4) A M P M (3K 4 ) 34 [ K ( K K )] c 3K K o M M P M M P (.5) Buada D=B M /a 3 olaak tanımlanmıştı. Böylece geilme ve şekil değiştime bileşenlei yazılaak toplam şekil değiştime işi elde edilmişti. XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 133

6 9 P P 9 M M M U V ck ( A ) V K ( A ) (1 c) 6 V D ( c c) (.6) Temsili hacim elemanı için elde edilen bu iş buna eşdeğe fiktif cisim olaak düşünülebilecek tek küenin işine eşitlenise Bulk modülü K* aşağıdaki şekilde hesaplanı. * 0.1 Efektif Kayma Modülünün Hesabı P ( P ) (1 ) 9 M ( M ) 1 M ck A c K A D c K (.7) Poblem öncelikle, yine efektif küesel cisim olaak değelendiilecek tek küesel cisim için çözülecekti. Ele alınan geilme hali basit kaymadı ve yüzey geilme vektöü aşağıda yazılmıştı. sin sin T n o sincos (.8) 0 Poblemin geometisine ve sını koşullaına uygunluğundan dolayı poblem küesel hamonikle kullanılaak çözülmüştü. Bunun için u ye değiştime vektöünün bi küesel hamonik fonksiyonunun gadyanından tüetildiği düşünülebili. Bu poblem için bu fonksiyon n x1x (.9) olaak alınmıştı. Üç tip küesel hamonik fonksiyon çözümü şu şekilde veilmektedi. Buada 1. Tip: u. Tip : u (.30) 3. Tip : u x e, x x x (.31) i i 1 3 şeklinde belitili. Bu çözümle ye değiştime vektöü cinsinden yazılmış denge denklemleinde yeine konusa n için 0 ve -5 olmak üzee iki sonuç bulunu. Sonuç olaak veilen yüzey geilme vektöünü sağlayacak yedeğiştime alanı küesel hamonikle kullanılaak belitilen üç tip çözümün bi kombinasyonu olaak yazılı uu u u u u u (.3) Bunla sıasıyla biinci, ikinci ve üçüncü tipteki çözümle için n ye ait iki değe için ye değiştimeledi ve sıasıyla aşağıda veilmişti. 1 u D 1 ( x1x) 1 x1x (.33) x1x x1x u D 5 5 (.34) XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 134

7 3 u D( x x ) (.35) x1x u D4( ) (.36) 5 5 u D ( x x ) (.37) x1x u D6 ( ) 5 (.38) Buada katsayılaı yine denge denklemlei kullanılaak hesaplanı , (.39) 5 7 (.3) numaalı denklemde kapalı fomda yazılan çözümün, ele alınan küesel cismin he yeinde geçeli olması geeki. Bunun için ye değiştimele sonlu olmalıdı. (.34), (.36) ve (.38) de veilen u ifadeleininse = 0 için sonlu olmayacaklaı açıktı. Bunun için bunlaa ait katsayıla sıfı olmalıdı. D D4 D6 0 (.40) Kalan ye değiştime çözümlei açık şekilde aşağıda yazılmıştı. 1 u D 1( x 1x1x) e ( x11x1x) 1x1xx 1 e 3e 3 3 u D x e xe u D 5x1x3e xx3 ( x1 x) 1 e e 3 (.41) Şekil değiştime bileşenlei ye değiştime şekil değiştime bağıntılaı kullanılaak hesaplanmıştı. Toplam şekil değiştime tansöü bunlaın kombinasyonu şeklindedi (.4) Geilme bileşenlei de buadaki şekil değiştime bileşenleinden geilme-şekil değiştime bağıntılaı kullanılaak hesaplanı. Toplam geilme tansöü yine aynı şekilde yazılı. Geilme ve şekil değiştime bileşenlei ile toplam şekil değiştime işinin hesaplandığı integal yazılmadan önce katezyen koodinatla küesel koodinatlada yazılmıştı. Sını koşulu olaak geilmenin değei = b de yüzey geilmesi değeine eşitleneek katsayıla aşağıdaki şekilde hesaplanmıştı. o D1 0, D3, D5 0 (.43) Sonuç olaak basit kayma etkisi altındaki tek küede toplam şekil değiştime işi aşağıdaki şekilde hesaplanmıştı. XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 135

8 U 3 o 3 b (.44) Bundan sona iç içe eş mekezli iki küenin basit kayma etkisi altında işi hesaplanmıştı. Buada önceki poblemdekine benze olaak ye değiştime vektölei matis ve patikül için aşağıdaki şekilde yazılı. M 1M M 3M 4M 5M 6M u u u u u u u P 1P P 3P 4P 5P 6P u u u u u u u (.45) Buada bilinmeyenle matis için B 1, B,..., B 6 ve paçacık için A 1, A,..., B 6 olmak üzee toplam 1 adetti. Patikülde = 0 da ye değiştimenin sonlu olması için aşağıdaki koşul sağlanmalıdı. Buadan A A4 A6 0 (.46) olu ve bilinmeyen sayısı dokuza ine. Üç gup sını koşulu yazılmıştı. Buada bileşenle küesel koodinatla cinsinden yazılmıştı. Bunla P M u ( a) u ( a) (.47) P M ( a) ( a) (.48) M ( b) T (.49) Bu denklemleden he biinde ve nin linee bağımsız foksiyonlaının katsayılaı eşitlenise dokuz adet denklem elde edili. Ancak bunla üç linee bağımsız denklemin tekalanması olaak otaya çıka. Sonuç olaak toplamda dokuz denklem yazılmış olu. Bu denklemlein üçünün çözümünden A5 B5 B6 0 (.50) Geiye kalan altı katsayı için altı denklemi çözmenin zo olduğu göülmüştü. Bu sebeple matis ve patikül için iş ifadelei bu katsayılaa bağlı yazılacak, daha sona hacim oanına bağlı değişimi belilemek için sayısal çözümle yapılaak he hacim oanına kaşı gelen katsayıla ve temsili hacim elemanın işi hesaplanacaktı. Bu he hacim oanı için efektif cisim olaak düşünülecek tek küenin işine eşitleneek efektif kayma modülü elde edilmiş olacaktı. Buada patiküle ve matise ait şekil değiştime işleinin ifadelei veilmişti U a AA a A a A 5(5 7 ) 3 7 P P 5 P P P P 3 P P 7 P [14 1 3( )(5 7 ) 3(5 7 ) 1 (63( ) P P P P P ( ) )] XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 136

9 M 1 7 M M M M M U { 1764 a b BB ( ) ( )(5 7 ) M M M 315 ab (5 7 ) 10 a b B ( ) (5 7 ) 1760 b B ( ) (5 7 ) 11 ( )(5 7 ) 18 (5 7 )( 7( ) ( ) ) 3 18 ( ) (63( ) ( ) ) (.51) a 10 ( ) (5 7 ) 1760 ( ) (5 7 ) 11 ( )(5 7 ) 18 3 (5 7 ) (63( ) ( ) ) 18 ( ) (63( ) ( ) )]} 10 7 M M M 7 M M M M M M M M abbb M M M M M M M abbb M M M M M M abb(5 7 ) (63( ) ( ) ) 14 7 M M M M M a b B1 7 1 M M M M M [1764 b BB 1 3( ) ( )(5 7 ) 10 M M M M M M b B3 B4 M M M M M bbb 4 9 M M M M M M M b BB 1 (5 7 )( 7( ) ( ) ) 4 M M M M M M bb 14 M M M M M b B1 3. SONUÇLAR Elde edilen ifadelede malzeme sabitleinin hacim oanı ile değişimleini göebilmek için belili iki malzeme ile sonuçla elde edilmişti. Seçilen malzemele Hashin in 196 deki çalışmasında seçtiği (Tungsten kabü Kobalt alaşımı) malzemeledi. Bu malzemelee ait Bulk ve kayma modüllei aşağıda veilmişti. M 6 M 6 K x10 Pa, x10 Pa (.5) P 6 P 6 K x10 Pa, x10 Pa Sonuçla hacim atışının he 0.01 lik atışı için sayısal olaak, yazılan bi Fotan pogamı yadımıyla hesaplanmıştı. Şekil 5 ve 6 'da kompozit malzemenin hacim oanına bağlı olaak elde edilen sıasıyla Bulk ve kayma modülü değişimleinin gafiklei göülmektedi. Şekil 5. Paçacık içeen kompozitin Bulk modülünün hacim konsantasyonu ile değişimi XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 137

10 Şekil 6. Paçacık içeen kompozitin kayma modülünün hacim konsantasyonu ile değişimi Poisson oanı, Bulk ve kayma modülü cinsinden ifade edilebili. Böylece paçacık içeen kompozitin Poisson oanının hacim oanı ile değişimi hesaplanmış ve gafiği çizilmişti (Şekil 7). Şekil 7. Paçacık içeen kompozitin Poisson oanının hacim konsantasyonu ile değişimi Efektif Bulk modülü için Hashin (196) makalesinde vayasyonel yöntemle bi üst ve bi alt sını hesaplamış adından bunlaın üst üste düştüğünü belitmişti. Bu çalışmada yapılan hesap metodu temelde bahsi geçen makaledeki ile aynı olmasına kaşın kesin çözümü vemektedi. Kayma modülü için ise bahsi geçen yayında yaklaşık bi çözüm veilmişti (Şekil 7). Ayıca liteatüde Seguado ve Lloca (00) makalesinde, epoksi/cam paçacık malzemeleinden oluşan kompozitten seçtiği, paçacıklaın kendi geliştidiklei bi algoitmaya göe dağılım göstediği dikgötgen pizması fomundaki biim hücede 3-boyutlu sonlu eleman analizinin sonuçlaını vemişti. Ayıca bu makalede sonuçlaı kaşılaştıılan Benveniste (1987), Moi- Tanaka teoisinin geliştiilmiş bi uygulaması ile çözüm vemişti. Bunladan başka Yu ve Tang (006), biim hüce homojenleştimesi için vayasyonel asimptotik metod (VAMUCH) olaak isimlendidiklei sonlu eleman analizi ile efektif kayma geilmesi için sonuçla vemişti. Bahsedilen sonuçla bu çalışmadaki sonuçlala kaşılaştıılmıştı. XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 138

11 Şekil 8 'de epoksi eçine/cam paçacıktan oluşan kompozitin hacim oanı ile değişimi matis ve patikül için sıasıyla Bulk ve kayma modüllei GPa, GPa, GPa ve GPa alınaak kaşılaştıılmıştı. Şekil 9 'da ise Yu ve Tang 'ın kullandığı malzeme sabitlei kullanılaak elde edilen sonuçla kaşılaştıılmıştı. Şekil 7. Hashin 196 'de elde edilen kayma modülü için yaklaşık çözüm ile bu çalışmadaki kesin çözümün hacim oanına bağlı olaak kaşılaştıması ( P = psi, = psi) Seguado ve Lloca 'nın 3 boyutlu simülasyonu Bu çalışmadaki sonuçla Moi-Tanaka'nın çözümü Hashin 'in yaklaşık hesabı Şekil 8. Değişik sonuçlaın epoksi eçine/cam paçacık kompozitine ait kayma modülü için hacim oanı ile değişimleinin kaşılaştıılması Bu çalışmada ayıca sayısal bi analiz yapılmıştı. Paçacık içeen kompozit için küp şeklinde seçilen bi küesel matisin içeisinde küesel paçacıkla unifom bi dağılımla yeleştiileek bi sonlu eleman modeli oluştuulmuş ve değişik hacim oanlaı için ABAQUS isimli pogamla otalama geilme şekil değiştime değelei elde edilmişti. Şekil 10 'da paçacıklaın belili bi hacim oanında yeleşimi göülmektedi. XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 139

12 Şekil 9. VAMUCH 'dan elde edilen sonuçlala bu çalışmadan elde edilen sonuçlaın kaşılaştıılması (E M = 70 GPa, E P = 350 GPa, M = 0.3, P = 0.3) Şekil 10. Paçacıklaın matis içeisinde yeleşimi Tabanından ankaste olaak tutulan bu kompozite üst yüzeyinde biim çekme yüzey geilmesi uygulanmıştı. Analizi yapılan kompozitlede hacim oanlaı.5, 3.7, 6.1, 8.3 ve 19.6 dı. Küesel paçacıklaın yaıçaplaı 1 cm ve küpün kenalaı 16 cm olaak seçilmişti. Hacim oanını değiştimek için eklenen küe sayılaı attıılmıştı. Şekil 11 'de %3.7 hacim oanında paçacık içeen kompozite ait bu modelde elde edilen yükleme doğultusu olan düşey doğultudaki geilme ve şekil değiştime dağılımlaı göülmektedi. Analizde C3D4 (4 nodlu linee tetahedon) eleman kullanılmıştı. Kullanılan eleman sayılaı yukaıda veilen değişik hacim oanlaı için sıasıyla 46807, 55961, 59701, 37905, ve dı. Modelin ota bölgesinden geilme ve şekil değiştime değelei alınıp buadan kompozitin elastisite modülü hesaplanmıştı. Matisin ve patikülün elastisite modüllei ve Poisson oanlaı sıasıyla 0.68 x 10 6 N/cm, x 10 6 N/cm ve 0.3, 0. di. Sonuçla sıasıyla aşağıdaki tabloda veilmiş ve analitik olaak bu çalışmada yapılan çözümün sonuçlaı ile kaşılaştıması Şekil 1 'de veilmişti. XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 140

13 (a) (b) Şekil 11. %3.7 hacim oanında paçacık içeen kompozitin (a) geilme ve (b) şekil değiştime dağılımı Tablo 1. Hacim oanına bağlı olaak ABAQUS modelinden elde edilen kompozitin Elastisite modüllei Hacim oanı c E.M. (x10 6 N/cm ) Şekil 1. ABAQUS sonuçlaı ile analitik çözümün kaşılaştıılması XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 141

14 KAYNAKLAR [1] Hashin, Z., "The elastic moduli of heteogeneous mateials", Jounal of Applied Mechanics - Tansactions of the ASME, 9, , 196. [] Hashin, Z., Analysis of Composite Mateials - A Suvey, Jounal of Applied Mechanics - Tansactions of the ASME, vol: 50, no: 3, p , [3] Moon, P., Spence, D.E., Field Theoy Handbook, Spinge-Velag, Belin, Gemany, [4] Love, A. E. H., A teatise on the mathematical theoy of elasticity. New Yok, Dove Publication [5] Seguado, J. ve Lloca, J. A numeical appoximation to the elastic popeties of spheeeinfoced composites, Jounal of the Mechanics and Physics of Solids, 50, , 00. [6] Beneviste, Y. A new appoach to the application of Moi-Tanaka s theoy in composite mateials, Mechanics of Mateials, 6, , [7] Yu, W. ve Tang, T. Vaiational asymptotic method fo unit cell homogenization of peiodically heteogeneous mateials, Intenational Jounal of Solids and Stuctues, 44, , 007. XVIII. Ulusal Mekanik Kongesi 14