HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr.

Transkript

3 T.C. ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEZ ONAY FORMU HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT daışmalığıda, Nursefa YAKUPOĞLU tarafıda hazırlaa bu çalışma 18/07/2014 tarihide aşağıdaki jüri tarafıda Matematik Aabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı da Yüksek Lisas tezi olarak oybirliği/oy çokluğu ( / ) ile kabul edilmiştir. Başka : Doç. Dr. Sogül DUMAN İmza : Üye : Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT İmza : Üye : Yrd. Doç. Dr. Yeşim SARAÇ İmza : Yukarıdaki souç; Estitü Yöetim Kurulu.../.../.. tarih ve....../ olu kararı ile oaylamıştır. Prof. Dr. İhsa EFEOĞLU Estitü Müdürü Not: Bu tezde kullaıla özgü ve başka kayaklarda yapıla bildirişleri, çizelge, şekil ve fotoğrafları kayak olarak kullaımı, 5846 sayılı Fikir ve Saat Eserleri Kauudaki hükümlere tabidir.

4 ÖZET Yüksek Lisas Tezi HİPERKÜRESEL HARMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Atatürk Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT Bu tez beş bölümde oluşmaktadır. Birici bölüm giriş olarak ele alıdı. İkici bölümde; potasiyel foksiyou, Legedre katsayıları, Laplace katsayıları, Harmoik Foksiyolar, Katı küresel harmoikler, Kelvi Teoremi, Yüzey küresel harmoikleri, hipergeometrik foksiyo taımladı. Legedre deklemi ve geliştirilmiş Legedre deklemi taıtıldı. harmoik homoge poliomlar taıtıldı. Ayrıca, operatörüü bazı özellikleri verildi. Üçücü bölümde; hiper küresel harmoikler ele alıdı Dördücü bölümde ʘj ve φ Foksiyolarıı bazı özelikleri ele alıdı. Beşici bölümde. Y μ Foksiyouu bazı özellikleri souç bölümü olarak ele alıdı. 2014, 92 sayfa Aahtar Kelimeler: Harmoik foksiyo, Katı Küresel Harmoik, Yüzey Küresel Harmoik, Homoge Foksiyo, Laplace Operatörü, Poliharmoik Foksiyo, Legedre Diferasiyel Deklemi, Harmoik Homoge Poliom, Hiper küresel foksiyo. i

5 ABSTRACT Master Thesis HYPER SPHERICAL HARMONICS Nursefa YAKUPOĞLU Atatürk Uiversity Graduate School of Natural ad AppliedScieces Departmet of Mathematic Departmet of Applied Mathematics Supervisor: Asst. Prof. Dr. Arzu AYKUT This thesis cosists of five chapters. The First chapter was take as iput. I the secod chapter, potetial fuctio, Legedre coefficiets, Loplace coefficiets, solid spherical hormoics, surface spherical hormoics, hypergeometric fuctiosare give Legedre equatio ad Legedre associated equatio are eplaied. I additio, full degree spherical hormoics, zoal, tesseral ad sectoral hormoics are defied, some properties of homogeeous partial differetial operetors are obtaied. It is give some importat relatios betwee this kid of operators ad spherical harmoics. I additio, after operatör, homogeeous polyharmoic fuctios are give. harmoic homogeeous polyomials are give.i the third chapter, hyper spherical harmoics are itroduced. I the fourth chapter, some characteristics of hyper spherical fuctios are eplaied. I the fifth chapter was take as a result. 2014, 92 pages Keywords: Harmoic fuctio, Solid Spherical Harmoics, Surface Spherical Harmoics, Homoge Fuctio, Laplace Operator, Polyharmoic Fuctio, Legedre Differatial Equatio, Harmoic Homogeeous Polyomial, Hyper Spherical Fuctio. ii

6 TEŞEKKÜR Yüksek lisas tezi olarak suduğum bu çalışma Atatürk Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümüde yapılmıştır. Öcelikle bu çalışmamda tezide yararladığım merhum Sayı Prof. Dr. İhsa DAĞ'ı rahmetle aıyorum. Bu çalışmaı gerçekleşmeside her türlü desteği ve yardımı bede esirgemeye saygıdeğer daışma hocam Sayı Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT a ve matematik bölümüü tüm öğretim elemalarıa teşekkürü bir borç bilirim. Tez çalışmalarım sırasıda baa yardımcı ola saygıdeğer hocam Sayı Doç. Dr. Murat İŞCAN a, kardeşim Sayı Abdullah YAKUPOĞLU ya, Sayı Doç. Dr. Yahya YEŞİLYURT a, desteklerii bede esirgemeye sevgili eşim Nur YAKUPOĞLU ya ve kızım İpek Aysu YAKUPOĞLU'ya çok teşekkürlerimi suarım. Nursefa YAKUPOĞLU Temmuz, 2014 iii

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... vi ŞEKİLLER DİZİNİ... vii 1. GİRİŞ KURAMSAL TEMELLER Potasiyel Foksiyou Legedre Katsayılar Laplace Katsayıları Harmoik Foksiyolar Katı Küresel Harmoikler Teorem (Kelvi Teoremi) Yüzey Küresel Harmoikleri Legedre Deklemi Geliştirilmiş Legedre Deklemi Hipergeometrik Foksiyo Hipergeometrik Deklem Tam Derecede Küresel Harmoikler Harmoik Homoge Poliomlar ve Örekler Poliharmoik Poliomlar Küresel Koordiatlarda Laplace Deklemi ve Harmoik Poliomlar Laplace Operatörüü Bazı Özellikleri MATERYAL ve YÖNTEM Hiper Küresel Harmoikler ARAŞTIRMA BULGULARI ʘ ve Foksiyolarıı Bazı Özelikleri ʘ Foksiyou içi birici özelik ʘ Foksiyou içi ikici bir özelik iv

8 Foksiyou içi birici özelik Foksiyou içi ikici bir özelik TARTIŞMA ve SONUÇ Foksiyou İçi Bir Özelik Foksiyou İçi İkici Bir Özelik KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

9 SİMGELER DİZİNİ Laplace Operatörü B (,y) C F (α,β,γ;) P () P m () Q () Q m () V (,y,z) X (θ,φ) Yμ Γ () Beta Foksiyou Sürekli Foksiyoları Sııfı Hipergeometrik Foksiyo Legedre Foksiyou ici derecede m ici basamakta, geliştirilmiş Legedre Foksiyou ici derecede İkici Çeşit Legedre Foksiyou ici derecede m ici basamakta, geliştirilmiş Legedre Foksiyou ici derecede homoje foksiyo ici derecede yüzey küresel harmoik Hiper küresel foksiyo Gamma Foksiyou vi

10 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1. O oriji oktası olsu. (Şekil 2.1) de, ile OP i, ile OM i uzulukları, ile POM açısı ve µ ile gösterilsi. O takdirde;... 5 Şekil 2.2. γ ile POM açısı, ile OP i, ile OM i uzulukları gösterilsi Şekil 2.3. Küre üzeride tae paralel çember tarafıda ayrıla bölgeler Şekil 2.4. İki çember cümlesii dik kesişmesi vii

11 1 1. GİRİŞ Laplace (1782) yılıda bir iceleme yaparak ve 1785 yılıda bu icelemesii yayıladı. Gree tarafıda bu çalışma Potasiyel Foksiyo olarak adladırıldı. Laplace potasiyel teoremi hakkıda bilgi edie Legedre, sosuz bir seri biçimideki potasiyeli tek bir terimii seri açılımıı araştırdı (1782 ve öceside) ve böylece Legedre katsayıları olarak bilie foksiyoları keşfie sebep oldu. Laplace, potasiyel fikrii ileri sürülmeside sora, Legedre'ikide daha geel bir bakış açısıda küresel harmoikleri iceledi. Thamso ve Tait, kedilerice iyi bilie Treatese o Natural Philosophy (Cambridge Uiv. Press 1879) da küresel harmoikleri taımladılar. Harmoik foksiyo, herhagi bir oktadaki değeri, bu oktaı çevresideki herhagi bir çember üzerideki değerlerii aritmetik ortalamasıa eşit ola iki değişkeli ve bu çemberi içide taımlamış matematiksel foksiyodur. Bu ortalama içide sosuz sayıda okta buluduğu içi foksiyo, sosuz bir toplamı ifade ede itegral yardımıyla buluur. Fizikte harmoik foksiyolar bir bölgede, öreği sıcaklığı ya da elektrik yük dağılımıı bölgei her oktasıda sabit bir değerde kalmasıa karşılık gele dege koşullarıı taımlar. Potasiyel teorii temel deklemi ola Laplace deklemi ve Harmoik foksiyolar Uygulamalı ve Teorik ola Fizikteki kullaım alalarıı yaıda Matematiğide heme her alaıda öemli bir yer tutmuş ve ileri araştırmalara temel teşkil etmiştir. Harmoik foksiyolar, potasiyel teorii esas deklemi ola Laplace deklemii çözümleri olarak da taımlaabilirler. Bir harmoik foksiyou belirlediği yüzeyi dış bükeyliği sıfırdır. Bu edele bu foksiyoları, taımladıkları bölge içide maksimum yâda miimum değer almamak gibi öemli bir özelliği vardır. Harmoik foksiyolar aalitiktir. Başka bir deyişle bütü türevleri vardır ve sosuz sayıda terim içere, kuvvet serisi olarak adladırıla poliomlarla ifade edilebilirler.

12 2 Üç boyutlu uzaydaki kütle çekimi ve elektrik alalarıı, ayrıca magetik alaları ya da bazı akışka akışı türleride oluşa alaları icelemeside küresel koordiat sistemi kullaıldığıda küresel harmoik fokisyolar ortaya çıkar. Katı küresel harmoikler ve Yüzey küresel harmoikler olarak sııfladırılırlar. Katı küresel harmoikler; R (,y,z), bir kürei içideki bütü oktalar içi bir değeri bulua. derecede özel poliomlardır. Yüzey küresel harmoikler, yalızca küre yüzeyide bir foksiyo taımlar. Bu iki harmoik türü arasıda bir ilişki mevcuttur. Harmoik foksiyolar çok geiş bir kullaım alaıa sahip olmakla beraber, reel bölgelerde geel çözümü aalitik olarak elde edilemeye Laplace deklemii amacıa uygu olarak kısmi çözümlerii elde edebilmek içi verilmiş pek çok özel yötem bulumaktadır. Küresel koordiat sistemide Laplace deklemii sağlaya çözümleri geiş bir sııfı da küresel harmoiklerdir. Üç boyutlu uzayda bir küresel harmoik,,y,z değişkelerii homoge bir foksiyou olup,v(, y, z), λ. derecede homoge bir küresel harmoik foksiyo ise;. V y. V y z. V z = λ. V(, y, z) Euler deklemi (1.1) V = V V yy V zz = 0 Laplace deklemi (1.2) ayı zamada gerçekleirler. Harmoik foksiyolar teorisi bilie öemli bir soucu da, herhagi bir harmoik foksiyou küresel harmoikleri bir serisi olarak ifade edilebilmesidir. Laplace operatörüü ardışık uygulamasıyla elde edile dekleme poliharmoik deklem ve bu deklemi sağlaya foksiyolara da poliharmoik foksiyolar deilmektedir. Homoge poliharmoik foksiyoları, küresel harmoikler ciside vere çeşitli açılım formülleri bulumaktadır.

13 3 Kart (1970), -Homoge Poliomlar ile ilgili araştırmalar yapmıştır. ( ) V = 0 (. ) deklemii gerçekleye homoge poliomlara -Harmoik Homoge Poliomlar deir. Dağ (1973) çalışmasıda, - Hiper Küresel Harmoikleri iceledi. ( 0 ) V(,, ) = 0, ( R) (.4) deklemii μ. derecede homoge poliom ola bir çözümü P μ ( 1, 2,, 2 ) harmoik homoge poliomu küresel koordiatlar ciside ifade edilirse oluşa Y μ foksiyoua - hiperküresel foksiyo deir.

14 4 2. KURAMSAL TEMELLER Bu bölümde, gerekli ola bazı kavram ve bilgiler verilecektir Potasiyel Foksiyou Laplace 1782 yılıda bir iceleme yaptı ve 1785 yılıda bu icelemesii yayıladı. Gösterdi ki M 1, M 2, M 3,... oktalarıda µ 1, µ 2, µ 3,... kütleli parçacıkları bir cümlesie ait ola bir P oktasıdaki yer çekimi kuvveti, V = (. ) foksiyouu diferasiyellemesi ile elde edilebilmektedir. Bir müddet sora bu foksiyo, Gree tarafıda sistemi P oktasıdaki potasiyeli olarak adladırıldı. Daha sora evreselleşe bu adladırma güümüzde de kullaılmaktadır Legedre Katsayılar Laplace potasiyel teoremi hakkıda bilgi edie Legedre, sosuz bir seri biçimideki potasiyeli tek bir terimii seri açılımıı araştırdı (1782 ve öceside) ve böylece Legedre katsayıları olarak bilie foksiyoları keşfie sebep oldu.

15 5 Şekil 2.1. O oriji oktası olsu. (Şekil 2.1) de, ile OP i, ile OM i uzulukları, ile POM açısı ve µ ile gösterilsi. O takdirde; = biçimidedir. Eğer ise bu ifade i arta kuvvetleri ciside = ( ) = ( ) ( ) = ( ) şeklide ya da daha açık olarak, = ( ) ( ) ( )... (. )

16 6 biçimide yazılabilir. Burada ( ), ( ), ( ), ler ü poliomları olup Legedre katsayıları olarak biliirler. Öreği; ( ) =, ( ) =, ( ) = μ, ( ) = μ μ şeklidedir. Eğer ise, aşağıdaki şekilde seriye açılabilir. = ( ) ( ) ( ) (. ) ( ) katsayıları ici derecede Legedre Katsayıları veya ici derecede Legedre Poliomları olarak adladırılır. Legedre katsayıları yüzey küresel harmoikleri özel durumlarıa karşılık gelirler Laplace Katsayıları Laplace, potasiyel fikrii ileri sürülmeside sora, Legedre'ikide daha geel bir bakış açısıda küresel harmoikleri iceledi. O u oriji oktası olduğu Şekil 2.1 de P ve M i dik koordiatları (, y, z) ve (, y, z ) olsu. Eğer (,, ) ve (,, ) bu oktalara karşılık gele kutupsal koordiatlar iseler, =, = y =, y = z =, z = şeklide yazılabilir.

17 7 Şekil 2.2. γ ile POM açısı, ile OP i, ile OM i uzulukları gösterilsi. Vektörler içi skaler çarpım ifadeside. =. = olup burada, = (. ) = ( yy zz ) = ( ) = ( ) eşitliği, yai = ( ) (2.4)

18 8 deklemi elde edilir. ı bu değeri dikkate alıdığıda içi elde edile (2.2) ve (2.3) serileri aşağıdaki biçimde yazılabilirler. = ( ) (. ) = ( ) (. ) ( ) foksiyou ve değişkelerii bir foksiyou olup " ici derecede Laplace katsayısı" adıı alır. = 0 olduğu zama bu foksiyo ( ) Legedre katsayısıa karşılık gelir Harmoik Foksiyolar R de V = = 0 (2.7) Laplace deklemii sağlaya V ( ) foksiyoua foksiyodur deir (Çevik 2004). de harmoiktir veya harmoik Bir foksiyou harmoik olması içi sadece Laplace deklemii sağlaması yetmez. Harmoik foksiyolar Laplace deklemii sağlaya ve de kedisi ve ikici mertebede kısmi türevleri sürekli ola foksiyolar olarak taımlaır. = şeklideki bütü lieer foksiyolar ve

19 9, = 0 olmak üzere V =, şeklideki ikici derecede homoge bütü poliomlar R de harmoiktir. V, R de Laplace deklemii sürekli bir çözümü ise bu durumda V foksiyou de aalitiktir (Çevik 2004).Bua göre, Laplace deklemii çözümü olarak taımlaa ve ( ) de sürekli olması büyük bir fark göstermeye harmoik foksiyolar gerçekte aalitiktir. Çevik 2004 deki çalışmasıda temel harmoik foksiyoları ve değişkelerie ayırma yötemi ile yei harmoik foksiyoları elde edildiğii belirtmiştir. R de orijie yerleştirile birim yükte kayaklaa herhagi (, y, z) (0,0,0) oktasıdaki elektrostatik potasiyel ile oratılıdır. Burada, = (, y, z) i orijie uzaklığı olup = = y z dir. Fizikte bilimektedir ki, yükleri dağılımıda kayaklaa potasiyel, yüksüz uzayı her oktasıda Laplace deklemii gerçekler. V =, 0 (2.8) foksiyou R de oriji dışıda harmoiktir. Orijie göre küresel simetrik ola bu foksiyo, oriji merkezli ve yarıçaplı küre üzerideki oktalarda sadece yarıçapıa bağlı olup ve açısal değişkelerie bağlı değildir. ye yarıçapsal alamıda radyal değişke adı verilmektedir. radyal değişkeie bağlı ola tüm harmoik foksiyoları bulabilmek içi, Laplace operatörüü R de küresel koordiatlar ciside ifadesie ihtiyaç vardır. Laplace operatörü, R de

20 10 = ( ) (. ) ve içi R de = ( ) V (. 0) ifadelerie sahiptir. Burada sadece açısal değişkelerle ilgili kısmi türevler içere ikici mertebede diferasiyel operatördür. R de küresel koordiatlarda, V (,, ) = R( ) Y(, ) gösterimie sahip V (,, ) harmoik foksiyolarıı bulalım. V = ( V ) olmak üzere = içi küresel koordiatlardaki Laplace deklemi V = ( V ) V = 0 şeklidedir. V(,, ) = R( ) Y(, ) ve türevleri Laplace deklemide yerie yazılıp düzeleirse, ( R ) R = Y Y = ( R) deklemi buluur. Burada

21 11 ( R ) R = 0 (2.11) Y Y = 0 (2.12) deklem çifti elde edilir., ( ) = 0 delemii kökleri olmak üzere, (2.4.5) deklemii lieer bağımsız iki çözümü, şeklidedir. (2.4.6) deklemii çözümü oldukça zordur. Kabul edelim ki, R de orijie yerleştirilmiş (0,1) birim küre yüzeyi üzeride herhagi bir oktaı koordiatları (, ) olsu. (2.4.6) deklemii tüm çözümlerii bulmak yerie bu birim küre yüzeyi üzeride Y (, ) çözümlerii bilmek yeterlidir. Bu tip çözümler ya göre peryotlu olmalı ve kürei kutuplarıda ( = 0 = ), da bağımsız ola limitlere yaklaşmalıdır. sabitleri = ( ) = 0,,, değerleride birie eşit olduğu zama (2.4.6) deklemii bu koşulları sağlaya aşikâr olmaya çözümleri vardır. Böyle ler içi (2.4.6) i Y ( ) (, ) =,,, = 0,, şeklide tae lieer bağımsız çözümü vardır ( Courat-Hilbert 1953) Katı Küresel Harmoikler Thamso ve Tait, kedilerice iyi bilie Treatese o Natural Philosophy (Cambridge Uiv. Press, 1879) da küresel harmoikleri aşağıdaki gibi taımladılar. V = y z = 0 (. ) Laplace deklemii;, y, z değişkelerie göre ici derecede homoge herhagi bir V çözümü ici derecede katı küresel harmoik olarak adladırılır. derecesi herhagi bir reel sayı olabilir ve foksiyou rasyoel olması gerekmez.

22 12 Örek:,, y z, y yz, (z ) olmak üzere bu ifadeler sırasıyla, 0,,, ici derecede katı küresel harmoiklerdir. Çözüm: a) :, ici derecede bir katı küresel harmoiktir. Gerçekte = V deilirse, V = = ( y z ) ise V = ( y z ) = V = 4 ( y z ) 4 ( y z ) = ( ) V yy = 4 ( y z ) 4y ( y z ) = ( y ) V zz = 4 ( y z ) 4z ( y z ) = ( z ) şeklide olup, V = V V yy V zz = ( ( y z ) ) = 0 elde edilir. b) = deirse, = 0, yy = 0, zz = 0 olup yy zz = 0 elde edilir. c) = y z deirse, = 0, yy = 0, zz = 0 olup yy zz = 0 elde edilir.

23 13 d) y = deirse, =, yy =, zz = 0 olup yy zz = 0 elde edilir. e) V = (z ) deirse, V = (z ). V = (z ), V yy = 0, V zz = (z ) olup V = V V yy V zz = Teorem (Kelvi Teoremi) Eğer V ici derecede bir katı küresel harmoik ise, o takdirde V, ici derecede bir katı küresel harmoiktir. İspat: belirleecek bir reel sabit olmak üzere, (2.5.1) da V = V yazılırsa = ( y z ) = ( y z ) = olduklarıda, = V V = V V

24 14 ( ) V V V = V = ( ) V V olup simetride dolayı, V y = V y y V y ( ) y V V V z = V z z V z ( ) z V V elde edilir. Diğer tarafta Euler teoremide (1.1) dolayı V y V y z V z = V olduğu dikkate alıır ve de =0 olduğu gözöüde tutulursa ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( V V y V z ) ( V V y V z )

25 15 ( ) ( y z )V V = V ( ) V V = ( ) V elde edilir. Böylece, V i Laplace deklemii sağlayabilmesi içi değerii sıfır veya olması gerekir. O halde V bir katı küresel harmoiktir. Örek ve foksiyoları sırasıyla 0.. derecede; ve foksiyoları sırasıyla 1. ve -2. derecede katı küresel harmoiklerdir. Laplace deklemii (,, z) silidirik koordiatlardaki ifadesii buluması isteirse, =, y =, z = z döüşümü kullaılır ve V = z = 0 (2.14) ifadesi elde edilir. Laplace deklemii (,, ) küresel koordiatlarıda ifade edilebilmesi içi (2.14) deklemie z =, =

26 16 döüşümüü uygulaması yeterlidir ve bu yapılırsa, V = = 0 (2.15) ifadesi elde edilir. (2.15) deklemii ile çarpılırsa, V V V V V = 0 ifadesi elde edilir. ( V ) = V V ve ( V) = V V oldukları dikkate alıırsa yukarıdaki ifade, ( ) ( ) = 0 (. ) şeklide yazılabilir. V =, ici derecede bir katı küresel harmoik olsu, yalızca ve değişikliklerii bir foksiyoudur. Eğer (2.6.3) ifadeside V yerie yazılır ve ile bölüürse ortada kalkar ve (2.16) deklemi,

27 17 ( ) ( ) = 0 (. ) şeklie döüşür. Bu deklemde eğer yerie yazılırsa, ( ) μ { ( ) μ } μ = 0 (. ) ifadesi elde edilir Yüzey Küresel Harmoikleri V i e bölümesiyle elde edile, foksiyoua ici derecede yüzey küresel harmoik deir. = olduğu zama ile V eşittir. Buda dolayı merkezi orijide bulua birim kürede taımlamış katı küresel harmoiği yerii tuta bir değer olarak alıabilir. ye bağlı bir foksiyouu bir yüzey küresel harmoik olabilmesi içi gerek ve yeter şart (2.17) deklemii sağlamasıdır. Gösterilebilir ki. derecede Laplace katsayısı harmoiktir. ici derecede bir yüzey küresel = ( ) (y y ) (z z ) foksiyouu,y,z e göre türevlerii alımasıyla T i Laplace deklemii sağladığı gösterilebilir. Gerçekte, = [ ( ) (y y ) (z z ) ] ( )

28 18 [ ( ) (y y ) (z z ) ] = = [ ( ) ] yy = [ (y y ) ] zz = [ (z z ) ] şeklide olup, = yy z = [ [ ( ) (y y ) (z z ) ] ] = [ ] = 0 elde edilir. = = = ( ) formuda yazılabilir. (2.16) deklemide bu değer yerie yazılırsa, [ ( ) ( ) { } ( ) ] = 0 elde edilir. Bu deklem de daha küçük ola tüm değerleri içi sağlaır ve de i farklı kuvvetlerii katsayılarıı hepsi de özdeş olarak sıfır olur. Bua göre,

29 19 ( ) ( ) { } ( ) = 0 yazılabilir. Yai ( küresel harmoiktir. ) foksiyou (2.17) deklemii sağlar ve dolayısıyla bir yüzey 2.8. Legedre Deklemi ( ) ı özel bir durumu ola Legedre katsayısı ( ), ( 1 =0 yazılarak elde edilir) de bağımsız olup ici derecede bir yüzeysel küresel harmoiktir. Buda dolayı, ( )y { y } = 0 deklemi sağlaır. Eğer yerie µ yazılırsa, ( ) foksiyou {( ) y } ( )y = 0 deklemii ya da açık bir ifadeyle ( ) y y ( )y = 0 (. ) deklemii sağlar. Bu Legedre deklemi olarak biliir Geliştirilmiş Legedre Deklemi (2.6.5) deklemide = yazılır ve bu deklem ile bölüürse ki burada sadece i foksiyoları olup,

30 20 ( ) { ( ) } = 0 elde edilir. Bu deklemde ilk iki terim de bağımsızdır. Dolayısıyla so terimde de bağımsızdır. Buda dolayı i değeri sabit olmalıdır. Böylece geellikle bir tam sayı olmak üzere, = yazılabilir ki buu geel çözümü, = şeklidedir. Burada keyfi sabitlerdir. Böyle bir durumda foksiyou da μ { ( ) y μ } { ( ) μ } y = 0 (. 0) deklemii sağlar. Bu deklem Geliştirilmiş Legedre Deklemi olarak biliir. Eğer, bu deklemi bir çözümü ise, o taktirde ( ) biçimideki her foksiyo (2.6.5) deklemii sağlar ve buda dolayı ici derecede bir yüzey küresel harmoiktir. Bua paralel olarak da, ( ) ve ( ) foksiyoları sırasıyla derecede katı küresel harmoiklerdir.

31 Hipergeometrik Foksiyo Hipergeometrik foksiyo, küresel harmoikleri teorisiyle ilgili olduğu içi oları bazı özelliklerii burada vereceğiz. Bu foksiyo hipergeometrik serileri yardımıyla, (,, ) = ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).. ( ) ( ) (2.21) veya (,, ) = ( ) ( ) ( ) şeklide taımlaır. Burada ( ) ( )( ) ( sembolü) dür. Bu seri ise mutlak yakısaktır. Gerçekte, ) (Pochammer = ( ) ( ) ( ) olmak üzere ve bölüm kriteri gereğice ( ) ( ) = = ( ) ( ) olup, ise seri mutlak yakısaktır. Bildiğimiz elemater foksiyoları birçoğu hiper geometrik foksiyo ciside ifade edilebilir. Buları birkaçı aşağıda verilmiştir.

32 22 ( ) = (,, ) ; ( ) = (,, ) = (,, ) ; = (,, ) Hipergeometrik Deklem ( ) y ( ) y y = 0 (2.22) diferasiyel deklemi Gauss deklemi veya hipergeometrik deklemi adıı alır. i arta kuvvetlerii sosuz bir serisi şeklide çözümü buluması içi; y = ( ) = = deirse ve (2.22) deklemide y, y y değerleri yazılırsa, ( ) [ ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ] elde edilir. Bu seride i tüm kuvvetlerii katsayıları sıfıra eşit olmalıdır. farklı seçilebileceğide, i katsayısı sıfıra eşitleerek, sıfırda ( ) = 0 (2.23) idisel deklemi elde edlir. Bu deklemi kökleri = 0 ve = dır. Diğer terimleri katsayılarıı sıfıra eşitlemesiyle

33 23 ( )( ) = ( ) ( ) (2.24) idirgeme formülüü ve burada leri ciside = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) veya gamma foksiyou yardımıyla = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) şeklide elde edilir. y = deirse, y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) şeklide yazılabilir. =0 içi y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) veya y = (,,, ) (2.11.4) olur. =1- içi ise,

34 24 y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( y ) ( ) ( ) veya y = (,,, ) (2.25) olarak elde edilir. bir tamsayı olmadığı zama ve ler lieer bağımsızdır. Eğer = ise iki çözüm birbirii ayısıdır Tam Derecede Küresel Harmoikler pozitif tamsayılar, ise ( ) ( ) ifadesi ici derecede bir yüzeysel küresel harmoiktir. Eğer = 0 ise bu takdirde yüzey küresel harmoik, ( ) Legedre katsayısıı bir sabit katıdır. ( ), arasıda = 0 civarıda simetrik olarak düzelemiş tae sıfır yerie sahiptir. Bua bağlı olarak ( )foksiyouda arasıda = ye göre simetrik olarak düzelemiş tae sıfır yerie sahiptir. Bua göre ( ) foksiyou = 0 = oktalarıda kutupları ola, oriji merkezli bir küre üzeride bulua tae çember üzeride sıfırlaır. Bu çemberler küre ile ayı kutuplara sahip büyük çembere göre simetriktirler. tek sayı olduğu zama büyük çember, bu aileside biridir. Küre üzeride bu çemberlerle paralel ola diğer çemberler üzeride ( ) foksiyou sabit değerler alır. Küre üzeride tae paralel çember tarafıda ayrıla bölgeleri her birie zo deir. Bu bölgelerde taımlaa ( ) foksiyolarıa da zoal harmoikler adı verilmektedir. = 0 oktasıda geçe çap zoal harmoiği ekseidir.

35 25 Şekil 2.3. Küre üzeride tae paralel çember tarafıda ayrıla bölgeler Eğer 0 ise küresel harmoik, ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) şeklide yazılabilir. İlk terim = 0 yai = olduğu zama sıfırdır. Bu değer küre üzeride Θ=0 kutbu boyuca tae büyük çembere karşılık gelir. Herhagi iki ardışık çember düzlemi arasıdaki açı olur. İkici çarpa = 0 = oktalarıda sıfırlaır. Üçücü çarpa ise zoal harmoiklerde olduğu gibi = 0 kutuplu tae çember üzeride sıfırlaır. Böylece iki çember

36 26 cümlesii dik kesişmeside dolayı elde edile bu harmoikler tesseral harmoikler adıı alır. Şekil 2.4. İki çember cümlesii dik kesişmesi Eğer m = ise küresel harmoik ( ) biçimidedir. Bu ifade = ya da = 0 = olduğu zama sıfırdır. Bu durum küre üzeride = 0 = oktatalarıa ve büyük çembere karşılık gelir. Herhagi iki ardışık çember düzlemi arasıdaki açık dir. Küre sektör ile bölümüştür. Bu sektörler üzeride taımlı yüzey küresel harmoik foksiyolarıa sektörel harmoikler deilmektedir Harmoik Homoge Poliomlar ve Örekler Laplace deklemii çözümü ola foksiyolar olup ici derecede homoge poliom ola çözümleri Homoge Harmoik Poliomlardır.,,, değişkelerii

37 27 içere her poliom çözüm farklı dereceli homoge poliomları solu sayıdaki toplamıdır (Adrews et al. 1999). Kart (1970), -Homoge Poliomlar ile ilgili araştırmalar yapmıştır. ( ) = 0 deklemii gerçekleye homoge poliomlara harmoik homoge poliomlar deir ve kısaca ile gösterilir (Kart 1970). Kart (1970); ici derecede,, bilimeyeli poliomları icelemesii yaparak bilimeyeli ları geel halde çözülmesii aşağıdaki şekilde ele almıştır. ( ) V = 0 = 0 (. ) deklemii sağlaya geel halde değişkeli ve ici derecede homoge bir poliom, V =,, ( = ) şeklidedir. V i türevleri alıarak

38 28 V =,, V = ( ),, V =,, V = ( ),, buluur. Bu türevler (2.26) deklemide yerlerie koulursa, ( ),, ( ),, ( ),,,,

39 29,,,, = 0 elde edilir ve değişkeleri ayı kuvvetlerii içie ala toplamlar birleştirilirse, [( ) ],, [( ) ],, [( ) ],, = 0 buluur. Burada tae katsayı olup q taesi ortaktır. O halde olmak üzere = ise ( ) tae katsayı sıfır olmalı, diğer hallerde tae katsayı sıfır olmalıdır. Yukarıdaki koşullar altıda sayısı ola toplamlar birleştirilirse, ( ) ( ) {( )[( ) ],,, ( )[( ) ],,, ( )[( ) ],,,, ( y )[( y ) y ],,, ( )[( ) ],, }

40 30 0 (. ) soucua varılır. Bu so deklemde, = şeklidedir. (2.13.2) de katsayıları vere ve bütü formülleri kapsaya e geel reküras formülü olarak,,,,,, = ( )[( ) ],,, ( )[( ) ],, ( y )[( y ) y ] (. ) buluur. İdisleri değiştirilmesi şu şekildedir; = 0,,,, = 0,,,, [ ( )] = 0,,,, [ ( )] { ( = ) } Katsayılar içi tüm reküras formüllerii kapsaya (2.28) formülüde faydalaılırsa = olacak şekilde bütü katsayılara ait reküras formülleri yazılabilir ve idisleri çiftliği ve tekliği dikkate alıarak her hale karşılık gele katsayılar buluabilir. Örek : V(,,, ) = veya V (,,, ) = içi V = 0 olup sabit ve ya. derecede değişkeli her poliom harmoik poliomdur. Örek : V (,,, ) = içi V = ( ) olduğuda dolayı = 0 ise harmoik poliomdur. Örek : V (, y, z) = y z y z yz poliomuu katsayıları arasıda = 0 bir bağıtı varsa bu poliom harmoiktir (Yıldırım 2005).

41 31 Örek : V (, y) = y y iki değişkeli dördücü derecede poliomu içi, ( y ) V(, y) = y y = 0 olduğuda dolayı harmoik bir poliomdur (Yıldırım 2005). Örek : harmoik poliomlar olsu. = poliomuu hagi durumda harmoik olacağıı gösterelim (Aar 2005). harmoik olduklarıda ( ) = 0 ( ) = 0 dır. Şimdi hagi durumda ( ) = 0 olduğuu gösterelim. = deirse, = ( ) ( ) = [ ( ) ] [ ( ) ] = [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] = = [ ] [ ] [ ] = φ Ψ 2[ ]

42 32 olur. harmoik olduklarıda ( ) = 0 ( ) = 0. = 0 eşitliği sağladığı zama = poliomu harmoiktir Poliharmoik Poliomlar Taım : ola bir tamsayı olmak üzere = ( ) = 0 (2.29) deklemie poliharmoik deklem, bu deklemi sağlaya foksiyolara poliharmoik foksiyo ve bu foksiyoları poliom olalarıa da poliharmoik poliom deilmektedir. = hali biharmoik olarak biliir. Ayrıca, Laplace operatörüü (2.29) daki kuvvetleri = ( ) =,, (2.30) şeklide taımlaır (Çevik 2004). Harmoik her poliom ayı zamada poliharmoiktir. Çükü harmoik ise = 0 olacağıda dolayı = ( ) = (0) = 0 =,, 4, sağlamaktadır Küresel Koordiatlarda Laplace Deklemi ve Harmoik Poliomlar =, =, z = olmak üzere (2.30) ile verile küresel koordiatlarda Laplace deklemi,

43 33 V = V V y V z = 0 ve burada ( V ) ( V ) V = 0 0, 0 (. ) elde edilir. Bu deklemi V (,, ) = R ( ) ( ) ( ) şeklideki çözüm kümesi de değişkeleri ayrılması yötemiyle hesaplaabilir. V (,, ) = R ( ) ( ) ( ) ifadeside gerekli diferasiyeller hesaplaıp (2.30) eşitliğide yerlerie yazılırsa, ( ) ( ) = 0 elde edilir. Burada ( ) = ; ( ) = -c (2.32) deklem çifti elde edilir. İlk eşitlik aşağıdaki gibi yazılabilir. R 2rR - cr = 0 (2.33) Burada (2.33) eşitliği R = şeklide özel çözüme sahip Euler deklemidir. ( ) = 0 ( ) = 0

44 34 şeklidedır. = ( ) seçilirse = çözümlerdir. O halde burada (2.32) deklemii lieer bağımsız iki çözümü ve dir. (2.33) i çözümü, keyfi sabitler olmak üzere, R ( ) = şeklide olur. Poliom çözümler içi = pozitif tamsayı olarak alıır. (2.32) deki ikici delem ise, ( ) (1) = 0 şeklidedir. Burada = sabit alıırsa = 0 (2.34) ( ) { ( ) } = 0 (2.35) deklem çifti sağlamalıdır. (2.34) ü geel çözümü ve keyfi sabitler olmak üzere, ( ) = {, = 0, 0 olur. (2.35) de = döüşür. ve ( ) = y () olarak alıırsa deklem aşağıdaki şekle (1-2 ) y y { ( ) } y = 0 (2.36)

45 35 Bu diferasiyel deklem Geliştirilmiş Legedre Diferasiyel Deklemi olup geel çözümü () ve () geelletirilmiş Legedre foksiyoları ve ve keyfi sabitler olmak üzere, ( ) = ( ) ( ) elde edilir. Böylece R 3 de, küresel koordiatlarda Laplace deklemii değişkelerie ayrılabilir çözümü ve m 0 keyfi sabitler olmak üzere, V(r,, )=(c 1 c 2 ) ( ) [ ( ) ( )] elde edilir. tamsayı olmak üzere (2.36) deklemie y = ( ), döüşümü uygulaırsa bu deklem, ( ) y ( )y ) ( )( )y = 0 (2.37) şeklie döüşür. Bu deklem pozitif bir tamsayı olduğuda poliom çözümlere sahiptir. Bu poliom çözümler () ultra küresel harmoiklerdir. Gösterildi ki, = ve 0 olmak üzere; ( ) () ve ( ) () Laplace deklemii sağlar (Adrews et al. 1999) Laplace Operatörüü Bazı Özellikleri Teorem Ω R de, (Ω) olsu. O taktirde

46 36 ( ) = ( ) = ( ) ( ) (2.38) dir (Çevik 2004). İspat: ( ) = ve ( ) = ( ( )) = ( ) ( ) = = şeklidedir. Burada ( ) = ( ) = [ ] = = ( ) ( )

47 37 elde edilir. Böylece teorem ispatlamış olur. Teorem Ω R de (Ω) harmoik bir foksiyo ve = ( ) olsu. O taktirde herhagi bir reel sayı olmak üzere ( ) = ( ) (. ) dir (Çevik 2004). İspat: Teorem 2.38 ile verile ( ) = ( ) ( ) eşitliğide yerie koulursa ( ) = ( ) ( ) (.40) elde edilir. Diğer yada = = =

48 38 = ( ) = ( ) ( ) ( ) şeklidedir. Burada ( ) = = [ ( ) ] = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ve = = şeklide buluur. harmoik foksiyou içi = 0 olduğu dikkate alıarak yukarıda elde edile souçlar (4.2.3) de yerie yazılırsa, ( ) = ( )

49 39 buluur ki bu da ispatı tamamlar. Teorem Ω R de ( ) yıcı derecede homoge harmoik bir foksiyo ve = ( ) olsu. Bu durumda, herhagi bir reel sayı olmak üzere ( ) = ( ) (2.41) dir (Çevik 2004). İspat: -ıcı derecehomoge harmoik foksiyou, Euler teoremide dolayı = (2.42) eşitliğii gerçekler. Bu souç dikkate alıarak (4.2.2) de yerie koulursa ( ) = ( ) = ( ) buluur. Böylece teoremi ispatı tamamlamış olur. Teorem Laplace operatörü ve

50 40 = (.4 ) olmak üzere = ( ) (2.44) dir (Çevik 2004). İspat: Teoremi ispatıı öce koularak = içi yapalım. Bu durumda =, = y, = z = y z ve = y y z z alıabilir. operatörüe Laplace operatörü uyguladığıda = ( y z ) ( y y z z ) = ( y y z z ) y ( y y z z ) z ( y y z z ) = [ ( y y z z )] y [ y ( y y z z )] z [ z ( y y z z )]

51 41 = ( y y z z ) y ( y y y y z y ) z ( z y y z z z z ) = ( y y z z ) ( y y y y y z y z ) ( z y z z z z z ) = ( y z ) ( y z ) y y ( y z ) z z ( y z ) = ( y y z ) ( y z ) = (2T) buluur. Bu ise = içi ispatı tamamlar. Şimdi de ispatı içi yapalım. R de ( ) olsu. Bu durumda ( ) = ( )

52 42 = ( ) ( ) = ( ) = [ ( )] [ ( )] = [ ( ) ] = [ ] = [ ( )] = [ ( )] = [ ] = [ ( ) ( )] = ( ) = ( ) = ( ) Yazılabilir ki, burada

53 43 = ( ) soucu elde edilir. Böylece teoremi ispatı tamamlamış olur. Teorem m herhagi bir reel sayı, p 2 ola bir tamsayı ve = olsular. Bu takdirde = ; = 0,,, (2.45) olarak taımlaa (Çevik 2004). operatörleri operatör çarpımıa göre değişme özelliğie sahiptir İspat: olmak üzere = ve = içi karşılık gele operatörler sırasıyla = ve = olsu. Bu durumda ( ) olmak üzere ( ) = ( ) = (m-2k-22t) [ ( ) ] = ( ) [( ) ] = ( ) [( ) ] [( ) ] = ( )[( ) ] ( )( ) [( ) ] ( )

54 44 = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) [ ( ) ] = ( ) = ( ) elde edilir. Burada = olduğu görülmektedir. k = l durumuda ise aşikar olarak sağladığıda ( = 0,,, ) operatörlerii çarpıma göre değişme özelliği vardır. Teorem Laplace operatörü olmak ( = 0,,, ) ler (2.45) ile taımlası. Bu durumda = (4 ) ; ( = 0,,, ) (2.46) dir (Çevik 2004). İspat: ( ) şeklide bir foksiyo ve ( = 0,,, ) içi ( ) = ( ) = [ ( ) ] = [ ( ) ] ( ) = ( ) ( )

55 45 buluur. ( ) eşitliğide = ( ) olduğu dikkate alıırsa, bu durumda ( ) = ( ) [ ( ) ] = ( ) (4 ) = [4 ( ) ] = (4 ) olur ki burada ( = 0,,, ) içi = (4 ) soucu elde edilir. Teorem ( ) harmoik bir foksiyo ve p 2 ola bir tamsayı olmak üzere ( ) = ( ) ( ) (2.47) dir (Çevik 2004). İspat: Teoremi ispatıda tümevarım metodu kullaılacaktır. Belirtelim ki, (2.46) eşitliği, (2.46) kullaılarak ( ) = ( ) (2.48) şeklide de yazılabilir.

56 46 Tümevarım metodua göre ilk olarak, p=2 içi (2.47) ifadesii doğruluğuu gösterelim. (2.48) eşitliğii her iki yaıa [ ( ) ]= [ ( ) ] ( ) =m (m-2) ( ) ( ) (2.49) elde edilir. (2.48) de m yerie (m-2) alıırsa ( ) = ( ) ( ) (2.50) buluur. Ayrıca Teorem (2.41) de ve =0 olup foksiyou harmoik olduğuda dolayı ( ) = (2T) =0 dır. Burada u da harmoik bir foksiyo olduğu görülmektedir. u harmoikliği göz öüe alıarak (2.48) de y ve harmoik foksiyou yerie de koulursa ( ) = ( ) ( ) (2.51) elde edilir. (2.51) ve (2.50) ifadeleri, (2.49) de yerie yazılırsa ( ) =m (m-2) ( ) ( ) ( ) ( ) =m ( ) ( ) (m-22t)

57 47 buluur. = koulursa ( ) = ( ) ( ), ( ) elde edilir. Eşitliği sağıdaki operatörler Teorem 2.45 de dolayı değişme özelliğie sahip olduğuda ( ) = ( ) ( ) ( ) buluur ki souç = içi (2.47) ifadesii gerçekler. içi doğru olduğuu kabul edelim. Yai ( ) = ( ) ( ) ( ), (. ) doğru olsu. Burada (.4 ) ve (.4 ) eşitlikleri kullaılırsa ( ) = ( ) ( ) ( ( )) (2.53) elde edilir. Bu eşitliği her iki yaıa Laplace operatörü tekrar uygulaırsa

58 48 [ ( ) ] = ( ) ( ( )) [ ( ) ] (2.54) buluur. Diğer yada Teorem 2.46 da dolayı = (4 ) ; = 0,,, olduğuda = (4 ) = (4 ) (4 ) (4 ) = (4 ) (4 ) (4 ) (4 ) yazılıabilir. foksiyou harmoik olduğuda = 0 olup = (4 )(4 ) (4 ) = 0 olarak buluur. Burada u da harmoik olduğu görülmektedir. Dolayısıyla u harmoikliği dikkate alıarak ve (2.48) de yararlaarak [ ( ) ] = = ( ( )) ( ) ( ( ) ) (2.55) buluur. ( ) = dir ve = 0,,, içi ler değişme özelliğie sahip olduğuda (2.55) eşitliği, [ ( ) ] = ( ( ) ) ( )

59 49 şeklide yazılabilir. Bu souç (2.54) de kullaılırsa ( ) = ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) = ( ) ( ( )) = ( ( ) ) buluur. Burada =, = = 0,,, alıırsa ( ) = ( ) ( ) elde edilir ki bu souç (2.47) i kedisidir. Yai, içi doğru olduğu kabul edilmiş ola (2.47) i içi de doğru olduğu görülür. Böylece tümevarımla ispat tamamlamıştır. Teorem ( ), yıcı derecede homoge harmoik bir foksiyo ve = ( ) olsu

60 50 ( ) = ( )( ) (. ) dır (Çevik 2004). İspat: yıcı derecede homoge harmoik foksiyou, Euler teoremide dolayı eşitliğii gerçekleştirdiğide bu souç Teorem deki (2.47) eşitliğide kullaılırsa ( ) = ( )( ) elde edilir. Teorem = 0,,, içi ( ), yıcı derecede homoge harmoik foksiyolar olmak üzere = ve =

61 51 foksiyoları = 0 deklemii çözümleridir (Çevik 2004). İspat: Teorem deki ( ) = ( )( ) eşitliğide yerie, sırasıyla yerie ve alıırsa ( ) = 0; = 0; = 0,,, (2.57) ve ( ) = 0; = 0; = 0,,, (2.58) buluur. Burada görülmektedir ki, = 0,,, içi ve leri her biri = 0 deklemii sağlar. Bu deklem lieer olduğuda = 0,,, içim = 0 olmak üzere, = (. ) ve = (. 0) foksiyoları = 0 deklemii çözümleridir.

62 52 Teorem = 0 poliharmoik deklemii = ( herhagi bir reel sayı) tipideki çözümleri, ve ler keyfi sabitler olmak üzere = ve = şeklidedir (Çevik 2004). İspat: = harmoik foksiyou 0. Derecede homoge olduğuda, (2.57) ve (2.58) eşitlikleride = ve = 0 alıırsa sırasıyla ( ) = 0 ; = 0,,, ve ( ) = 0 ; = 0,,, olacaktır. Burada görülmektedir ki = 0,,, içi ve foksiyolarıı her biri = 0 poliharmoik deklemii sağlar. = 0 deklemi lieer olduğuda bu çözümleri lieer kombiasyoları da deklemi çözümleridir. Bu durumda = 0 deklemiii çözümü, =.

63 53 3. MATERYAL ve YÖNTEM Hiper Küresel Harmoikler Prof. Dr. İhsa DAĞ çalışmasıda (1973) - Hiper Küresel Harmoikleri aşağıdaki gibi iceledi. Taım ( ) V(,, ) = 0, ( R) (. ) deklemii μ. derecede homoje poliom ola bir çözümüe μ (,, ) deirse ve bu poliom, =, =,, =,,, =,, =,,, { =,,, (0 =,,, ), (0 ) (. ) küresel koordiatları ciside ifade edilirse, μ(,, ) = μ Y μ (,,, ) (3.3)

64 54 elde edilir. Bu şekilde oluşa Y μ foksiyoua -Hiper Küresel Foksiyo deir. Laplace deklemi ( 0) degişkeli olarak ele alıır. boyutlu küresel koordiatlarda (. ) deklemi (.2) bağıtıları yardımıyla; V ( ) V V ( ) V [ V ( ) V ] [ V ( ) V ] V V [ ( ) ] { [ V ( ) V ] = 0 (3.4) şeklii alır. Y μ foksiyou,,, değişkeleri ciside bir poliom olup μ foksiyouu r=1 yarıçaplı S hiperküresi üzeride aldığı değerdir. Eğer μ poliomua Lord Kelvi teoremi uygulaırsa S küresii dışıda taımlaa bir μ hiperharmoik poliomu elde edilir. Yai, μ(,, ) = ( ) μ (,, ) buluur. Ayrıca μ ü homogeliği edeiyle

65 55 μ μ(,, ) = ( ) ( ) μ (,, ) yazılabilir. μ ü ( ) değeri hesaba katılırsa μ foksiyou şu şekil alır: μ(,, ) = ( ) Y μ (,,, ) (. ) Y μ foksiyou μ ü r=1 yarıçaplı S küresi üzerideki değerii temsil etmektedir. μ(,, ) = μ Y μ (,,, ) foksiyou bir homoge harmoik poliom olduğuda (3.4) deklemii gerçeklemesi gerekir. Demek ki (.4) de V = μ Y μ yazılarak deklemi her iki yaı μ ile bölüürse ve gerekli sadeleştirmeler yapılırsa, ( )Y Y ( ) [ Y ( ) Y ] Y Y [ ( ) ] Y Y [ ( ) ] { [ Y ( ) Y ] (. ) elde edilir. Şimdi (3.6) deklemii ve ( =,, ) pozitif tam ve

66 56 = Bağlatıları içi uygu sayılar olmak üzere, Y μ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.7) şeklide ve hiperküresel foksiyo dediğimiz bir çözümü aramalıdır. y z i Y de,, i foksiyoları olmak üzere, (...6) da Y μ = Y yazılırsa ve gerekli sadeleştirmeler yapılıp deklemi her iki yaı Y ile bölüürse, ( ) [ Y ( ) Y ] Y [ Y ( ) Y ] Y [ Y ( ) Y ] Y { [ Y ( ) ] (. ) deklemi elde edilir. (3.8) de ye bağlı terimleri ikici tarafa geçirilirse deklemi iki tarafı farklı değişkelere bağlı buluurlar. Yai bir sabite eşit olmaları gerekir. Bu sabit ( ) şeklide seçilir. Böylece,

67 57 ( ) [ Y ( ) Y ] Y [ Y ( ) Y ] Y [ { Y ( ) Y ] Y ( ) = 0 (. ) ve ( ) ( ) = 0 (. 0) şeklide iki deklem elde edilir. Şimdi (3.9) deklemii ele alıarak ve bu defa Y = Y (,, ) ( ) ( ) yazılırsa gerekli sadeleştirmelerde ve deklemi her iki tarafıı bölümeside sora, ile

68 58 ( ) Y Y [ ( ) ] Y Y Y [ ( ) ] Y Y Y [ ( ) ] Y { [ ( ) ] ( ) ( ) = 0, elde edilir. (3.11) (3.11) de ye bağlı terimler ikici tarafa geçirilirse birici tarafta,,, e bağlı ifade kalır, yai elde edile eşitliği iki yaı ayrı ayrı değişkelere bağlı buluurlar, demek ki bir sabite eşittirler. Bu sabit bu defa ( ) şeklide seçilip gerekli sadeleştirmeler yapıldıkta sora aşağıdaki deklemler elde edilir: ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] { ( ) = 0 (. )

69 59 { ( ) ( )( ) = 0 (. ) Bu işleme ayı tarzda devam ederek li terime sıra geldiğide Y = Y (,, )( ) ( ) Yazılırsa deklem şu şekle girer: ( ) Y Y [ ( ) ] Y [ Y ( ) Y ] Y [ ( ) ] { ( ) ( ) (3.14) Yukarıda yapıldığı gibi (...14) de li terimler ikici tarafa geçirilir ve keyfi sabit olarak ( ) alıırsa, ( ) [ Y ( ) Y ] Y [ Y ( ) Y ] Y { ve ( ) = 0 (. )

70 60 { ( ) ( )( ) = 0 (. ) deklemleri buluur. Nihayet ayı işleme devam edilirse sadece e bağlı terimler kalır ve keyfi sabit olarak ( ) seçilmesi gerekir. Böylece ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] { ( ) = 0 (. ) veya gerekli bazı sıırlama ve sadeleştirmede sora, { ( ) ( )( ) = 0 (. ) elde edilir. Görülüyor ki yukarıda uygulaa işlem yardımıyla (3.6) deklemii kısmi türevli deklemi (3.10), (3.13),, (3.16),, (3.18) deklemleri gibi 1 tae adi difresiyel dekleme idirgemiş bulumaktadır. Bularda değişkeie ait ola (3.16) deklemi geel şekilde olduğuda buda soraki işlemler sadece (3.16) ve (3.10) deklemleri üzeride yapılır. (3.16) ve (3.10) deklemlerie de sırasıyla =, = döüşümleri yapılırsa, { ( ) [ ( ) ] ( )( ) = 0 (. )

71 61 ve ( ) [ ( ) ] ( ) = 0 (3.20) deklemleri elde edilir. (3.19) ve (3.20) deklemlerii çözümlerii buluması içi bu deklemleri hipergeometrik deklemlere döüştürülmesi gerekir. =, = y şeklide değişke değiştirmeleri bu amacı sağladığı görülür. Gerçekte yukarıdaki döüşümler yardımıyla (3.19) ve (3.20) deklemleri aşağıdaki şekilleri alırlar. ( ) [( ) ( ) ] ( )( ) = 0 (. ) } ve y( y) y [( ) ( )y] y ( ) = 0 (. ) şeklide elde edile bu so iki deklem birer hipergeometrik deklemdir. Biraz sadelik oluşması içi,

72 62 = ( ), = = ( ), = ( ) = ( ), = ( ) ( = ) farz edilerek (3.21) ve (3.22) deklemleri tekrar yazılırsa,. ( ) [ ( ) ] ( ) = 0 (3.23) y( y) y [0 ( )y] y ( ) = 0 (3.24) deklemleri elde edilir. Bilidiği üzere (3.23) ve (3.24) deklemlerii birer çözümü sıra ile (döüşüm formülleride, = ve y = olduğuda hesaba katılırsa) = (, ) (3.25) ve = (, ) (3.26) hipergeometrik serileridir. Bu çözümler,

73 63 0,,, 0,, 4, ve 0,,, y 0,, 4, olmak şartıyla parametreleri diğer bütü değerleri içi geçerlidir. (3.25) ve (3.26) serileri, = olmak üzere değişkeleri taım aralığıdaki diğer bütü değerleri içi yakısaktırlar. ve i yukarıdaki değerleri almaları halide, yakısak çözümler bulmak içi parametrelere bazı koşullar yüklemelidir. Şöyle ki: = 0 = 0 ise bu seriler mutlak yakısaktırlar. Bu arada belirtilmelidir ki, = 0,,, = 0,,, olmakla beraber veya ve a veya b de tam sayılar ise ve ayrıca 0 y 0 ve 0 y 0 koşulları da sağlaıyorsa (3.25) ve (3.26) deklemlerii çözümleri yie geçerlidir. Çükü bu halde paylar paydalarda öce sıfır olacaklarıda serileri herhagi bir

74 64 terimii sosuz olması tehlikesi yoktur. Seriler yie poliomlara idirgemiş buluurlar. Öte yada ve ( =,,, ) leri pozitif çift sayılar olmaları halide, (3.25) ve (3.26) serileri yie birer poliomda ibaret buluurlar. Gerçekte ve leri çift sayılar olmaları edeiyle, = ( ), = doğal dayı olurlar; dolayısıyla ve a egatif tam sayılardır. O halde hipergeometrik serileri terimleri belli bir sırada itibare sıfır olurlar. Böylece (3.25) ve (3.26) çözümleri sıra ile ye göre ve yici derecede poliomlardır. ve Yukarıda belirtile halleri dışıda, = 0,,, = 0,,, olması halide (...25) ve (...26) çözümleri yerie = ( ) ( ) (3.27) ve = ( ) (, ) (3.28) ifadeleri alıır. Bu seriler de ve o i tam sayı olmaları halide veya ve a veya b de tam sayılar ise y ve

75 65 y koşulları altıda poliomlara idirgemiş olacakları aşikârdır. Çükü bu halde de belli bir terimde itibare serileri payları paydalarıda öce sıfır olur. Böylece ( =,,, ) parametrelerii bütü reel değerleri içi (3.23) ve (3.24) deklemlerii birer çözümüü bulmak mümküdür. Çalışmaı bu kısmıı souçladırılması içi daha öce sözü edile Y μ hiperküresel foksiyouu Y μ = ( ) (, ) (, ) (. ) şeklide olduğu belirtilmelidir. Dikkat edilecek olursa ve i poliom olmaları halide, (3.29) foksiyou da ye göre ici derecede bir poliomdur. Ayrıca (3.3) ve (3.5) formülleriyle tamamladığımız, r yarıçaplı S hiperküresii sıra ile içide ve dışıda homogeharmoikpoliom ola μ ve μ foksiyoları da aşağıdaki ifadelere sahip buluurlar. μ = μ ( ) (, ) (, ) (3.30) μ = (μ ) ( ) (, ) (, ) (. )

76 66 4. ARAŞTIRMA BULGULARI 4.1. j ve φ Foksiyolarıı Bazı Özelikleri Bu kısımda ki özellikleri kurulmasıda ve pozitif çift sayı, ( =,, ) toplamı da doğal sayı olarak kabul edilmiştir j Foksiyou içi birici özelik = içi j = ve = içi j = kabul ederek ( ) j (4. ) itegralii değerii hesap edilmesi gerekir. j foksiyou { ʘ ( ) ʘ ( )( ) ʘ = 0 (4. ) deklemii bir çözümü olduğuda dolayı bu foksiyo { ʘ ( ) ʘ ( )( ) = 0 (4. ) ve

77 67 { ʘ ( ) ʘ ( )( ) = 0 (4.4) deklemlerii sağlar. (4.3) deklemii iki tarafı ( ), (4.4) deklemii iki tarafı ( ) ile çarpılıp buları taraf tarafa çıkarılırsa, [( ) (ʘ ʘ ʘ ʘ )] ( ) (ʘ ʘ ʘ ʘ ) ( = )( ) = 0 (4. ) elde edilir. (4.5) deklemii iki tarafıı (0, ) aralığıda ye göre itegral alıırsa [( ) (ʘ ʘ ʘ ʘ )] ( ) (ʘ ʘ ʘ ʘ ) ( )( ) ( ) = 0 (4. ) elde edilir.,, ve ifadeleri ye göre poliomlar olduklarıda = 0 ve = içi solu değerler alırlar; dolayısıyla (4.6) ı ilk terimii değeri sıfırdır. Demek ki

78 68 ( )( ) ( ) = ( ) (ʘ ʘ ʘ ʘ ) (4.7) yazılabilir. Şimdi (4.7) i ikici tarafıdaki itegrali değerii hesaplaması gerekir. = ( ), = ( ) = ( ), = ( ) = ( ), = ( ) olmak üzere, ʘ = (, ), ʘ = (, ) ʘ = (, ) ʘ = (, ) ifadeleri (4.7) ifadesii ikici tarafıda yerlerie yazılırsa, (4.7) ifadesii göstereceğimiz ikici tarafı ile

79 69 = ( ) [ (, ) (, ) (, ) (, ) ] (4. ) şeklii alır. Eğer ( ) ( ) ( ) =, ( ) ( ) ( ) = farz edilirse (4.8) eşitliği, = ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] (4. ) şeklide yazılabilir ve poliomları çarpım kurallarıda faydalaılırsa (4.9) bağıtısıa ( ) ( ) = [ ( ) ( ) ] { ( ) (4. 0)

80 70 şekli verilebilir. Bilidiği gibi olmak üzere, ( ) = ( ) ( (4. ) ) şeklidedir. O halde (4.10) eşitliği ( ) ( ) = [ ( ) ( ) ]. ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) (4. ) şeklii alır. Eğer,,, ü değerleri (4.12) ifadeside yerlerie koulursa ( ) ( ) = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ( ) ) (4. )

81 71 elde edilir. Öte yada, ve 0 olduğu içi ve olarak sıfırda farklıdır. Şu halde hesabedilmesi isteile itegrali değeri ( ) ʘ ʘ = ( )( ) (4.14) elde edilir. Görülüyor ki bu itegrali değeri acak = 0 halide sıfır olmaktadır. Bu so özelik Laplace deklemii çözümleride ortaya çıka öemli ortogoallik özelliğii deklem içi karşılaştığıı teşkil etmektedir j Foksiyou içi ikici bir özelik ( ) ʘ (4. ) itegrali hesaplamaya çalışılırsa; foksiyou { ʘ ( ) ( )( ) ʘ = 0 ʘ (4.16) deklemii bir çözümü olup bu deklemi iki tarafı ( ) ile çarpılırsa, [( ) ʘ ʘ ] ( ) ( ʘ ) ( ) ʘ ʘ ( )( )( ) ʘ = 0 (4. )

82 72 elde edilir. Burada, (0, ) aralığıda ye göre itegral alıırsa ( )( ) ( ) ʘ = [( ) ʘ ʘ ] ( ) ( ʘ ) ( ) ʘ ʘ (4. ) elde edilir. Öte yada = 0 ve = içi ve solu olduklarıda ikici taraftaki ilk terim sıfır olur. Böylece, ( )( ) ( ) ʘ = { ( ) ( ʘ ) ( ) ʘ ʘ (4.19) buluur. (4.19) u ikici tarafı ile gösterilir ve i değerleri yerie yazılırsa = 4 ( ) [ (, )] { ( ) (, ) (, ) (4. 0) eşitliğie varılır. ( ) ( ) ( ) =, ( ) ( ) ( ) = farz edildikte sora (4. 0) eşitliği tekrar yazılırsa

83 73 = 4 ( ) [ ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ] ( ) { [ ( )( ) ( ) ( ) ] (4.21) buluur. Poliomları çarpım kuralıda faydalaılarak (4.21) e aşağıdaki şekil verilebilir. = 4 ( )( )( )( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( )( ) { ( ) (4.22) (4.22) deklemideki itegralleride hesaplaılmasıda sora = 4 ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( [ ( ) ( 4 ) ( ) ] ) ( )( ) { ( ( ) )

84 74 (4.23) elde edilir. Nihayet,,, ve i değerleri yerlerie koularak (4.23) eşitliğie aşağıda ki, ( ) ( ) = ( )( )( )( ) ( )( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( [ ( ) ( 4 ) ( ) ] ) ( ) ( ) ( )( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ( ) ) (4. 4) şekli verilebilir. (4.24) formülü ile hesaplamış ifadesi i çift yada tek sayı olmasıa göre iki ayrı şekilde yazılabilir. Birici Hal: = ( =,, ) yai çift bir sayı olsu. Öce

85 75 ( = ( ) ( 4 ) ( ) (4. ) ) ifadesii alacağı şekil araştırılırsa, z = yazılarak (4.25) eşitliği = (z ) (z) (z ) (z ) (4. ) şeklide veya foksiyouu (z) (z ) = z ( z) özelliği hatırlaarak = ( z ) (z) (z ) (4. ) şeklide yazılabilir. Nihayet z i yukarıdaki değeri yerie koularak = ( ( ) 4 ) ( ) (4.28) soucu elde edilir. Ayı tarzda = ( ) ( ) (4. ) eşitliğide ve foksiyouu yukarıda kullaıla özeliğide faydalaılarak

86 76 = ( ) ( ) ( ) (4. 0) elde edilir. (4.28) ve (4.29) ifadeleri ile verile ve yerlerie koularak ifadesii değerii yazılırsa, değerleri (4.24) ifadeside ( ) ( ) = ( )( )( )( ) ( )( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ( ) ( ) ( ) 4 ) ( ) ( )( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] soucua varılır. ( ( ), (4. ) ) ( ) } İkici Hal: = ( =,, ) yai tek sayı olsu.

87 77 ( = ( ) ( 4 ) ( ) (4. ) ) ifadesii alacağı şekil araştırılırsa ve z = farz edilirse (4.32) ifadesi = (z) (z ) (z ) (4. ) (z ) şeklii alır. foksiyouu yukarıda kullaıla özeliği yardımıyla = z (z) (z ) (4. 4) ( z ) veya z i değeri yerie koulursa = ( ) ( ) ( ) (4.35) elde edilir. Bezer şekilde, ( = ( ) ) (4. ) ifadeside hareket edilerek,

88 78 = ( ) (4. ) ( ) soucu elde edilir. ve yazılırsa ifadesi; ifadelerii yukarıdaki değerleri (4.34) ifadeside yerie ( ) ( ) = ( )( )( )( ) ( )( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( (4. ) ) buluur. Nihayet ve ifadelerii değerleri (4.19) ifadeside yerlerie koularak (4.15) tegralii değeri içi ( ) ʘ = ( ) ( ) (4. )

89 79 ve ( ) ʘ = ( ) ( ) (4.40) ifadeleri elde edilir φ Foksiyou içi birici özelik = içi = ve = içi = yazılarak ( ) (4.4 ) itegralii değeri hesaplamaya çalışılırsa foksiyou ( ) ( ) = 0 (4.42) deklemii bir çözümü olduğuda ve de ( ) ( ) = 0 (4.4 ) ve

90 80 ( ) ( ) = 0 (4.44) deklemleri gerçekleir. (4.43) deklemi ( ) ( ) ile çarpıp taraf tarafa çıkarılırsa, ve (4.44) deklemi [ ( ) ( )] ( ) ( ) } ( )( ) ( ) = 0 (4.4 ) elde edilir. (4.45) i birici tarafıı (0, ) aralığıda itegrali alıırsa [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )( ) ( ) = 0 (4.4 ) } ifadesi elde edilir.,, ve ifadeleri birer poliom olduklarıda = 0 ve = içi solu değerler alır. O halde ( )( ) ( ) = 0 ( ) ( ) } (4.4 ) yazılabilir. Şimdi (4.47) ifadesii ikici tarafıdaki itegrali değeri hesaplaırsa,

91 81 =, =, = ( ), = ( ), = ( ) olmak üzere, = (, ), = (, ) = (, ) = (, ) ifadelerii (4.47) ifadesii ile gösterilecek ola ikici tarafıda yerlerie yazılıp = ( ) [ (, ) (, ) (, ) (, )] (4.4 ) } buluur. Öte yada ( ) ( ) ( ) =, ( ) ( ) ( ) = deirse (4.48) eşitliği

92 82 = ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] (4.4 ) } şeklide yazılabilir. Nihayet poliomları çarpılma kuralıda faydalaılarak ( ) ( ) = [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) (4. 0) } soucua varılır. (4.50) eşitliğii ikici tarafıdaki itegrali değerii hesaplaması içi ifadesii çift veya tek oluşua göre iki halde ele alıırsa;. Birici Hal: çift bir sayı olsu. Biliir ki ( ) = ( ) ( ), (4. ) şeklidedir. Bua göre (4.50) ifadesideki itegrali değeri

93 83 { ( ) ( ) = [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) (4. ) olarak buluur. (4.52) de,,, ve c i değerleri yerlerie koularak bu eşitlik yeide yazılırsa, ( ) = ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ] ( ) [ ( )] ] [ ] { ( ) (4. ) ( ) buluur. ve 0 olduğuda ve sayıları daima sıfırda farklıdırlar. O halde (4.41) itegralii değeri olarak ( ) = (4. 4) ( )( )

94 84 soucu buluur.görülüyor ki (4...14) itegralii değeri acak = 0 halide sıfır olmaktadır. Böyle olduğu zama içi bir evi ortogoallik özeliği kurulmuş olur. İkici Hal: tek sayı olsu. Biliir ki ( ) = 0, (4. ) şeklidedir. Bu halde de tek bir sayı olacağıda (4.1.30) itegralii değeri yai = 0 olur ve böylece ( ) = 0 (4. ) buluur. Böylece foksiyou içi yie bir evi ortogoallik özeliği elde edilir φ Foksiyou içi ikici bir özelik ( ) (4. ) itegralii değeri hesaplaırsa foksiyouu ( )

95 85 ( ) = 0 (4. ) deklemii bir çözümü olduğu bilimekte olup bu deklemi iki tarafı ( ) ile çarpılıp gerekli sadeleştirme yapıldıkta sora [ ( ) ] ( ) ( ) (4. ) ( ) { ( ) ( ) = 0 buluur. (4.59) u birici tarafıı (0, ) aralığıda itegrali alıarak [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) = 0 (4. 0) elde edilir. Öte yada ve ifadeleri = 0 ve = içi solu olduklarıda (4.60) ı ilk terimi sıfırdır. Böylece ( ) ( ) (4. ) = ( ) ( ) ( ) {

96 86 eşitliğie varılır. (4.61) i ikici tarafıa deilir ve ile i değerleri yerlerie koulursa, = 4 ( ) [ (, ) ] { ( ) (, ) (, ) elde edilir. (4.62) ( ) ( ) ( ) =, ( ) ( ) ( ) = farz edilip (4.62) ifadesi yeide yazılırsa, = 4 ( ) [ ( )( ) ( ) ] [ ( )( ) ( ) ] (4. ) { ( ) [ ( )( ) ( ) ] [ ( ) ] şeklide olur veya poliomları çarpımları kuralıda faydalaılarak, ( ) ( ) ( ) ( ) = 4 ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) (4. 4)

Daha göster