ELEKTRİK ALAN ALTINDAKİ KARE KUANTUM KUYUSUNUN ELEKTRONİK ÖZELLİKLERİNİN PERTÜRBATİF VE ANALİTİK YÖNTEM İLE İNCELENMESİ

Transkript

1 SAÜ. Fe Bilimleri Dergisi, 14. Cilt,. Sayı, Elektrik Ala Altıdaki Kare Kuatum Kuyusuu Elektroik Özelliklerii Pertürbatif Ve Aalitik Yötem İle İcelemesi ELEKTRİK ALAN ALTINDAKİ KARE KUANTUM KUYUSUNUN ELEKTRONİK ÖZELLİKLERİNİN PERTÜRBATİF VE ANALİTİK YÖNTEM İLE İNCELENMESİ Mustafa Kemal BAHAR, Ahmet ERSOY Karamaoğlu Mehmetbey Üiversitesi, Kamil Özdağ Fe Fakültesi Fizik Bölümü, 71, Karama-TÜRKİYE ÖZET Bu çalışmada yalıtılmış kare kuatum kuyusua uygulaa elektrik alaı etkileri pertürbatif ve aalitik yötem ile iceledi. Pertürbatif yötem kullaılarak kuatum kuyusudaki eerji özdeğerleri ve dalga foksiyoları buludu. Daha sora aalitik yötem ile elektrik ala etkileri iceledi, pertürbatif ve aalitik yötemi souçları karşılaştırıldı. Souçları ikisii de birbiriyle uyuşmasıı yaısıra, dışarıda uygulaa elektrik alaı sistemi elektroik özelliklerii öemli bir şekilde değiştirdiği görüldü. Aahtar Kelimeler: Dalga foksiyou, kuatum kuyusu, pertürbasyo teorisi, aalitik çözüm, elektrik ala etkisi. INVESTIGATION BY PERTURBATIVE AND ANALYTICAL METHOD OF ELECTRONIC PROPERTIES OF SQUARE QUANTUM WELL UNDER ELECTRIC FIELD ABSTRACT I this study, the effects of applied electric field o the isolated square quatum well was ivestigated by aalytic ad perturbative method. The eergy eige values ad wave fuctios i quatum well were foud by perturbative method. Later, the electric field effects were ivestigated by aalytic method, the results of perturbative ad aalytic method were compared. As well as both of results fit with each other, it was observed that exterally applied electric field chaged importatly electroic properties of the system. Key Words: Wave fuctio, quatum well, perturbatio theory, aalytic solutio, electric field effect. I. GİRİŞ Külçe yapılarda farklı olarak, düşük boyutlu yapılarda gözlee yüksek mobilite düşük boyutlu yapılarla ilgili çalışmalar yapmayı daha fazla ilgi odağı halie getirmiştir. Statik elektrik alaı etkileri de so yıllarda büyük bir ilgi alaı olmuştur. Statik elektrik alaı katılarda elektroik durumlar üzerideki etkileri ve yük taşıyıcılarıı bir boyutlu potasiyel içie kuşatılmaları kesikli eerji durumlarıı oluşmasıı sağlar. Bu durum ise elektroik yapıda öemli değişmelere ede olur. Düşük boyutlu sistemler üzeride ilk çalışma Esaki ve Tsu tarafıda yapılmıştır [1]. Düşük boyutlu yapılar üzerie elektrik ala etkilerii icelemesi safsızlıklar, elektrik ala, mayetik ala gibi durumlar altıda yapılmıştır [, 8]. Kuatum kuyularıa uygulaa elektrik alaı icelemesi farklı matematiksel yötemler kullamak suretiyle mümküdür. Dirac delta kuatum kuyusu gibi farklı potasiyel profilli kuatum kuyuları üzerie de öz uyumlu gibi matematiksel yötemler kullaılarak icelemeler yapılmıştır [9]. Düşük boyutlu yapılarda elektrou eerji öz durumlarıı ve dalga foksiyolarıı icelemesi Schrödiger Deklemi i çözümüyle mümkü olmaktadır. Buula birlikte, bu yapılara uygulaa elektrik ala altıda aalitik çözümleri yapılması zor olsa da imkasız değildir. 55

2 SAÜ. Fe Bilimleri Dergisi, 14. Cilt,. Sayı, Elektrik Ala Altıdaki Kare Kuatum Kuyusuu Elektroik Özelliklerii Pertürbatif Ve Aalitik Yötem İle İcelemesi Bu çalışmada ise büyütme yöüe paralel olarak uygulaa elektrik ala altıda L geişlikli V potasiyel deriliğie sahip tekli bir kuatum kuyusua uygulaa elektrik alaı etkilerii icelerke pertürbasyo yötemide faydalaılmıştır. Daha sora elektrik alaı etkisi aalitik yötem kullaılarak Schrödiger Deklemi i doğruda çözülmesi ile icelemiştir. II. YÖNTEM Kuatum kuyusua uygulaa elektrik alaı etkileri solu farklar yötemi, öz uyumlu ( self cosistet ) hesap yötemleri, pertürbatif ve aalitik yötem ile iceleebilir. Literatürde solu farklar yötemi ve öz uyumlu hesap yötemleri bu kou üzerie kullaılmıştır. Çok aşia olduğumuz pertürbasyo yötemi ise bu kou üzerie uygulamış fakat etkileri ayrıtılı olarak icelememiştir. Olaya sadece çok yüzeysel olarak bakılmıştır. Aalitik yötem yardımıyla sistemi temsil ede Schrödiger Deklemi i çözmek matematiksel olarak zor olduğu içi tercih edilmemektedir. Bu çalışmada yapıla iş, kuatum kuyusua uygulaa elektrik alaı etkilerii pertürbatif ve aalitik yötem ile iceleyip çözümlerii bulmak olmuştur. Pertürbatif ve aalitik yötemi matematiksel algoritması Mathematica Programıda yapılmış ve souçları ayrıtılı olarak icelemiştir. Bu çalışma içi Mathematica Programıda oluşturula algoritma, elektrik alaı etkilerii grafiklerde otomatik olarak verecek şekilde hazırlamıştır. Souçlar kısmıda şekiller icelediği zamada alaşılacağı üzere Mathematica Programıda oluşturula algoritma çok hassas ve doğru souçlar vermiştir. Programda bir kuatum kuyusua uygulaa elektrik alaı etkileri, farklı elektrik ala yöleride ve değerleride, farklı kuyu geişlikleride, farklı potasiyel derilikleride çok hassas bir şekilde iceleebilir. Buu içi yapılması gereke, programdaki bazı giriş parametrelerii ve ilgili yerleri değiştirmek olacaktır. Yai, yazıla algoritma tablo ve şekillerde de alaşılacağı gibi çok hassas ve doğru souçlar vere hazırlaması biraz teferruatlı ama kullaımı pratik bir algoritmadır. Programı yazılım matığı kuatum kuyusua etkiye başka türlü etmeleride birkaç değişiklik yaparak iceleebilmesie olaak verecek şekilde ileriye döüklük amacı taşımaktadır. Etki kütle yaklaşımıda, bir sistemdeki elektrolar içi eerji düzeyleri ve dalga foksiyoları, uygu bir Hamiltoye ile Schrödiger Dalga Deklemii çözümlerii sağlamaktadır. Elektrik ala etkisii de hesaba katıldığı bir boyutlu Schrödiger Dalga Deklemi ; d [ V ( x) efx] ( ) ( ) * x E x m dx şeklidedir. Burada F (kv/cm) elektrik ala şiddeti, V(x)(= V ) ise elektro içi x ekseide seçilmiş ola potasiyel değeridir. m* ise elektrou etki kütlesidir. Öcelikli yötem olarak Schrödiger Dalga Deklemii aalitik olarak çözmek yerie pertürbatif bir yaklaşımda buluacağız. Elektrik ala uyguladıkta sora sistemi Hamiltoyei H içi Schrödiger Deklemi, şeklide olur. H E () Pertürbatif yaklaşım yapabilmek içi H Hamiltoyei iki parçaya ayrılır. H H V (3) Burada H elektrik ala uygulamada öceki sistemi Hamiltoyei olup çözümü kolaylıkla buluabilir. V ifadesie ise uygulaa elektrik alaı, Hamiltoye ifadesie getirdiği küçük bir pertürbasyo terimi olarak bakılabilir. Bu durumda, H E (4) deklemii çözümü soucu bulua ve E E eerji özdeğeri, (1) özfoksiyou olur. Buradaki ε taba durum eerji özdeğeri, Ψ ise taba durum dalga foksiyoudur. Bu çalışmada pertürbasyo etkisii 1. ve. derece katkıları icelemiştir. 1. ve. derece pertürbasyo etkisi durumuda, sistemi eerji düzeylerie 1. derecede katkı soucu yei eerji düzeyi, 56

3 SAÜ. Fe Bilimleri Dergisi, 14. Cilt,. Sayı, Elektrik Ala Altıdaki Kare Kuatum Kuyusuu Elektroik Özelliklerii Pertürbatif Ve Aalitik Yötem İle İcelemesi E V (5) olur. V=e.F.x olmak üzere, yukarıdaki V (, V ) matris elemaıdır. olur. d ( x) x( x) dx (1). derecede katkı soucu yei eerji düzeyi, E V Vi (6) i i olur. Sistemi bütü eerji düzeyleri toplamda 1. ve. derecede katkı kadar kayma gösterirler. Sistemi dalga foksiyoları 1. ve. derecede pertürbatif katkı soucu, Vj V Vj VjiV i i j ( j) i ( j)( i) (7) olur. 3. derecede pertürbasyo etkisii ise görsellikte çok az etki göstereceği tahmi edildiği içi hesaplaması uygu görülmedi. Diğer bir yötem ise, aalitik çözüm yötemi dir. efx şeklideki bir elektrik ala etkisii, Schrödiger Deklemideki yaptığı değişiklik soucu Schrödiger Deklemi, * d ( x) m V x efx E x ( ( ) ) ( ) dx halie döüşür. * 1 1 m V ( x) E 3 3 x ( ) ( ef) x 3 ( ef) (8) (9) şeklide bir x ı taımlaırsa Schrödiger Dalga Deklemi, j Bu diferasiyel deklemi çözümü ise, ( x) AAiryAi( x) BAiryBi( x) (11) şeklide Airy foksiyolarıda oluşur. III. SONUÇ VE TARTIŞMA Hesaplarımızda kulladığımız fiziksel parametreler m serbest elektrou kütlesi olmak üzere, elektrou etki kütlesi m * =.67 m dır. Bu çalışmada Şekil 5 hariç bütü şekiller ve Tablo 1 deki veriler Mathematica Programı kullaılarak elde edilmiştir. Şekil 1.a da görüldüğü gibi x doğrultusuda uygulaa pozitif değerlikli elektrik ala kuatum kuyusuu şeklii değiştirerek kuyu potasiyelii sol tarafa doğru eğrilmesie ede olur. Bu yüzde sol taraftaki egele doğru bir sızma gerçekleşir. F= içi taba durum dalga foksiyou ve doğal olarak olasılık yoğuluğu x= da merkezleirke elektrik alaı uygulamasıyla taba durum dalga foksiyou ve doğal olarak olasılık yoğuluğu saki sol egelde sözde bir kuatum kuyusu varmış gibi sol egel tarafıda lokalize olmaya başlar. Şekil 1.a da V =1 mev lik ve L o =9 A luk bir kuatum kuyusua sırasıyla, 4, 6 ve 8 kv/cm lik elektrik ala uygulaıca kuyuu potasiyel profilii değişimie bağlı olarak dalga foksiyolarıı yerelleşmesi de değişmiştir. E sağdaki dalga foksiyou kuyuya elektrik ala uygulamada öceki taba durum dalga foksiyoudur. Uygulaa elektrik alaı artışıa paralel olarak yei dalga foksiyoları, diğer bir deyişle, pertürbe olmuş dalga foksiyoları ok yöüde aşağıda yukarı doğru gösterilmektedir. Görüldüğü gibi uygulaa elektrik ala değeri arttıkça dalga foksiyoua gele pertürbatif katkıda arttığı içi dalga foksiyolarıı yerelleşmesi de sol tarafa doğru olmuştur. Şekil 1.b de ise Şekil 1.a da farklı olarak egatif değerlikli elektrik ala uygulamıştır. Buu soucu kuyu sağ tarafa doğru eğrilmiştir. Pozitif ve egatif değerlikli elektrik ala uygulaması soucu meydaa gele olaylar birbirii simetriğidir. Şekil de ise F=6 kv/cm lik elektrik ala altıda V =1 mev potasiyel derilikli bir kuyu, kuyuu geişliği 57

4 SAÜ. Fe Bilimleri Dergisi, 14. Cilt,. Sayı, Elektrik Ala Altıdaki Kare Kuatum Kuyusuu Elektroik Özelliklerii Pertürbatif Ve Aalitik Yötem İle İcelemesi değiştirilerek icelemiştir. Şekil de pertürbe ola ve olmaya dalga foksiyoları görülmektedir. Kuyu potasiyel profili üzeride aşağıda yukarıya doğru kuyu geişliği L o =9, 1, 11 ve 1 A olarak artmaktadır. Bu potasiyel profilleri içide yerelleşe dalga foksiyolarıı tepe oktası kuyuu geişliğii artırılması ile kuyu tabaıa doğru alçalmaktadır. Dolayısıyla da kuyu geişliğii artması eerji düzeylerii düşmesi alamıa gelir. Sol taraftaki dalga foksiyoları ise pertürbe olmuş dalga foksiyolarıdır. Pertürbe olmuş dalga foksiyolarıı tepe oktası da aye pertürbe olmaya dalga foksiyolarıı tepe oktası gibi kuyu geişliğii artması edeiyle kuyu tabaıa doğru alçalmaktadır. Yie elektrik ala etkisi ile sol tarafta daha fazla bir yerelleşme vardır. Şekil 3 te V =37 mev lik potasiyel deriliğie ve L o =9 A geişliğie sahip bir kuatum kuyusua F=8 kv/cm lik bir elektrik ala uygulamıştır. Verile bu değerlere göre kuyudaki ilk üç eerji düzeyie karşılık gele birici (taba durum), ikici ve üçücü dalga foksiyoları görülmektedir. Taba durum dalga foksiyou icelediği zama pertürbasyo etkisi soucu dalga foksiyouu sola doğru lokalize olduğu alaşılmaktadır. İkici ve üçücü dalga foksiyolarıı ise tepe oktalarıı elektrik ala uygulamada öceki durumlarıa göre yukarı doğru bir miktar çıktığı alaşılmaktadır. Acak, sol egel tarafıa doğru yerelleşme taba durumudaki dalga foksiyouda olduğu kadar belirgi değildir. Çükü, kuyu tabaıdaki eğrileşme pertürbasyo etkisiyle icelemiştir ve pertürbasyo etkisi küçük bir etki olduğu içi bu değişiklikte e fazla taba durumu etkileir. Kuatum kuyusua uygulaa elektrik alaı pertürbatif olarak icelemesi elektrik alaı her değeri içi mümkü olmaz. Bua pertürbasyo teorisii fiziksel yorumuu yaı sıra matematiksel kuralları da izi vermez. Pertürbatif katkı, Vi i (1) i E Ei olduğu içi her sosuz seri açılımıda katsayıları birde küçük olması gerekir. Yai, 1 olacaktır. V i beklee değeri yai eerjiye gele pertürbatif katkı taba durum eerjiside büyük olamaz. Bu edelerde ötürü bu çalışmada kuatum kuyusua uygulaa elektrik ala sadece belirli bir değere kadar icelemiştir. Verile bu parametrelerde elektrik alaı alacağı maksimum değer yaklaşık olarak 11 kv/cm bulumuştur. Şekil 4 te ise egatif değerlikli bir elektrik alaı kuatum kuyusua uygulaması soucu, kuyu yie eğrilmiş ve eğrile tarafa doğru taba durum dalga foksiyou lokalize olmuştur. Souç itibariyle Şekil 4 ü diğerleride farkı yoktur. Acak, bu sefer çözümde pertürbasyo etkisi kullaılmamış ve bu souç Schrödiger Deklemii aalitik olarak çözülmesi ile elde edilmiştir. Dolayısıyla pertürbatif yötem ile aalitik yötemi çok bezer souçlar verdiği alaşılmıştır. Şekil 5 te V o =5 mev potasiyel deriliğie ve farklı geişliklere sahip kuatum kuyularıa uygulaa F= kv/cm elektrik ala altıda aalitik ve pertürbatif yötem kullaılarak elde edilmiş ola eerji özdeğerleri karşılaştırılmıştır. Şekil 5 te görüldüğü gibi kuatum kuyusua uygulaa elektrik alaı pertürbatif yötem ve aalitik yötem ile icelemesi soucu bulua eerji düzeyleri birbirie çok yakıdır. Tablo 1 icelediği zama uygulaa elektrik ala değeri arttırıldıkça eerjiye gele pertürbasyo katkısıda artmaktadır ve bütü eerji düzeyleri ortalama olarak toplam pertürbasyo katkısı kadar kayma göstermiştir. Souç olarak, bir kuatum kuyusua uygulaa elektrik alaı pertürbasyo ve aalitik yötem ile iceledik. Uygulaa elektrik ala potasiyel profillerii, eerji seviyelerii ve elektroları kuşatılmalarıı belirli ölçüde değiştirmektedir. Bu değişim ise elektrik alaı acak belirli değerler arasıda olması şartıyla pertürbasyo yötemi ile iceleebilir. Ayı şekilde bu değişim Schrödiger Deklemii aalitik olarak çözülmesiyle de iceleebilir. Düşük boyutlu yapılar üzerie elektrik alaı etkilerii icelemesi öemlidir. Çükü bir yarıiletke kristalde taşıyıcıları hareketlerii kısıtlayabilmek veya artırabilmek yarıiletke alet yapımları içi mühimdir. IV. KAYNAKLAR [1]- L. Esaki ad R. Tsu, (1969), Superlattices ad Negative Coductivity i Semicoductors, IBM Res. Note, RC-414. []- BLOSS W.L., (1989), Electric field depedece of quatum-well eige states, J.Appl.Phys. 65 (1), [3]- OKAN S.E., AKBAS.H., AKTAS S., TOMAK M., (), Bidig eergies of heliumlike impurities i parabolic quatum wells uder a applied electric field, Superlatts ad Microstructs, 3,

5 SAÜ. Fe Bilimleri Dergisi, 14. Cilt,. Sayı, Elektrik Ala Altıdaki Kare Kuatum Kuyusuu Elektroik Özelliklerii Pertürbatif Ve Aalitik Yötem İle İcelemesi [4]- S. AKTAS, A. BILEKKAYA ad S.E. OKAN, (8), The Eergy Spectrum for a electro i quatum well wires with differet shapes uder the electric ad magetic field, Physica E4, V. ŞEKİLLER [5]- A. BILEKKAYA, S. AKTAS, S.E. OKAN, F.K. BOZ, (8), Electric ad magetic field effects o the bidig eergy of a hydrogeic impurity i quatum well wires with differet shapes, Superlatts ad Microstructs, [6]- AKBAS H., EKMEKCI S., AKTAS S., TOMAK M., (1995), Electric field effect o shallow impurity states i multiple quatum-well structure,tr.j.of Physics, 19, 381. [7]- AKTAS S., OKAN S.E., AKBAS H., (1), ELectric field effect o the bidig eergy of a hydrogeic impurity i coaxial GaAs quatum-well wires, Superlatt. ad Microstruct., 39, 19. [8]- DUQUE C.A., MONTES A., MORALES A.L., (1), Bidig eergy ad polarizability i GaAs quatum well wires, Physica B, 3, 84. [9]- E. OZTURK, M.K. BAHAR, ad I. SOKMEN, (8), Subbad structure of p-type delta-doped GaAs as depedet o the acceptor cocetratio ad the layer thickess, Europea Physics Joural-Applied Physics, 41, 195. Şekil 1. a) V o =1 mev potasiyel deriliğie ve L o =9 A geişliğie sahip bir kuatum kuyusu içi sırasıyla F=, 4, 6, 8 kv/cm uygulaa elektrik ala altıda aşağıda yukarıya doğru (ok yöüde) pertürbe ola taba durum dalga foksiyoları [1]- KARAOGLU B., (8), Kuatum Mekaigie Giriş, Seçki Yayıcılık, Akara [11]- HARRISON P., (5), Quatum Wells, Wires ad Dots, Copyright 5 Joh Wiley & Sosi Ltd. Şekil 1. b) V o =1 mev potasiyel deriliğie ve L o =9 A geişliğie sahip bir kuatum kuyusu içi sırasıyla F= -, -4, -6, -8 kv/cm uygulaa elektrik ala altıda aşağıda yukarıya doğru (ok yöüde) pertürbe ola taba durum dalga foksiyoları 59

6 SAÜ. Fe Bilimleri Dergisi, 14. Cilt,. Sayı, Elektrik Ala Altıdaki Kare Kuatum Kuyusuu Elektroik Özelliklerii Pertürbatif Ve Aalitik Yötem İle İcelemesi Şekil. V o =1 mev potasiyel deriliğie ve sırasıyla L o =9, 1, 11, 1 A geişliğie sahip bir kuatum kuyusua F=6 kv/cm uygulaa elektrik ala altıda aşağıda yukarıya doğru pertürbe ola taba durum dalga foksiyoları ve yukarıda aşağıya elektrik ala uygulamada öceki taba durum dalga foksiyoları Şekil 4. V =5 mev potasiyel deriliğie ve L =35 A geişliğie sahip bir kuatum kuyusua uygulaa F= kv/cm elektrik ala altıda aalitik çözüm yötemi ile elde edilmiş ola taba durum dalga foksiyou Şekil 3. V =37 mev potasiyel deriliğide ve L =9 A geişliğie sahip bir kuatum kuyusua uygulaa F=8 kv/cm elektrik ala altıda sistemi birici (taba durum), ikici ve üçücü dalga foksiyoları ve elektrik ala uygulamada öceki birici, ikici ve üçücü dalga foksiyoları Şekil 5. V =5 mev potasiyel deriliğie ve farklı geişliklere sahip kuatum kuyularıa uygulaa F= kv/cm elektrik ala altıda aalitik ve pertürbatif yötem kullaılarak elde edilmiş ola eerji özdeğerlerii karşılaştırılması 6

7 SAÜ. Fe Bilimleri Dergisi, 14. Cilt,. Sayı, Elektrik Ala Altıdaki Kare Kuatum Kuyusuu Elektroik Özelliklerii Pertürbatif Ve Aalitik Yötem İle İcelemesi Tablo 1 L = 9 A geişliğide ve V =1 mev deriliğide ola bir kuatum kuyusua etkiye F=, 4, 6, 8 kv/cm elektrik ala değerleri içi 1. ve. derecede pertürbatif katkılar ve katkılı eerji düzeyleri E 1 E E 3 1.Katkı.Katkı Toplam Katkı Katkılı E 1 Katkılı E Katkılı E 3 F= kv/cm F=4 kv/cm F=6 kv/cm F=8 kv/cm