ÖZET Yüksek Lisas Tezi BİR BOYUTTA ÇARPANLARINA AYRILABİLEN BAZI SİSTEMLERİN SPEKTRUM ÜRETEN CEBİRLERİ: KLASİK VE KUANTUM MEKANİKSEL İNCELEME Ebru ŞİM

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR BOYUTTA ÇARPANLARINA AYRILABİLEN BAZI SİSTEMLERİN SPEKTRUM ÜRETEN CEBİRLERİ: KLASİK VE KUANTUM MEKANİKSEL İNCELEME Ebru ŞİMŞEK FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı sakıdır

2 ÖZET Yüksek Lisas Tezi BİR BOYUTTA ÇARPANLARINA AYRILABİLEN BAZI SİSTEMLERİN SPEKTRUM ÜRETEN CEBİRLERİ: KLASİK VE KUANTUM MEKANİKSEL İNCELEME Ebru ŞİMŞEK Akara Üiversitesi Fe Biimeri Estitüsü Fizik Aabiim Daı Daışma: Doç. Dr. Şegü KURU Bu çaışmada ik oarak çarpaara ayırma yötemii içere süpersimetrik kuatum mekaiği yötemeri kısaca gözde geçirimiştir. Kuatum mekaiğide, harmoik saııcı, trigoometrik ve hiperboik Pösch-Teer potasiyeerii spektrumarı çarpaarıa ayırma yötemi kuaıarak cebirse oarak ede edimiştir ve bu sistemer içi spektrum ürete cebirer kurumuştur. Bu potasiyeeri kasik bezereri içi bezer yoa kasik spektrum ürete cebirer kurumuştur. Daha sora kasik mekaik çerçeveside bu sistemeri hareketerii cebirse oarak ası çözüdüğü gösterimiştir. Hazira, 35 sayfa Aahtar Keimeer: Spektrum ürete cebir, çarpaara ayırma yötemi, süpersimetrik kuatum mekaiği, Pösch-Teer potasiyei, hareket sabiti i

3 ABSTRACT Master Thesis SPECTRUM GENERATING ALGEBRAS FOR SOME FACTORIZABLE SYSTEMS IN ONE DIMENSION: CLASSICAL AND QUANTUM MECHANICAL STUDY Ebru ŞİMŞEK Akara Uiversity Graduate Schoo of Natura ad Appied Scieces Departmet of Physics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Şegü KURU I this work first the methods of supersymmetric quatum mechaics, icudig factorizatio method are reviewed briefy. The spectrum of harmoic osciator, trigoometric ad hyperboic Pösch-Teer potetias are obtaied agebraicay i quatum mechaics by usig the factorizatio method ad the spectrum geeratig agebras for these systems are costructed. The cassica spectrum geeratig agebras are aso set up, i a simiar way, for the cassica aaogues of these potetias. The, it is show how the motio of these systems ca aso be soved agebraicay i the frame of cassica mechaics. Jue, 35 sayfa Key Words: Spectrum geeratig agebra, factorizatio method, supersymmetric quatum mechaics methods, Pösch-Teer potetia, costat of motio ii

4 TEŞEKKÜR Tez çaışmamı her aşamasıda sabır ve aayış göstere, bigi ve deeyimeride faydaadığım kıymeti hocam Sayı Doç. Dr. Şegü KURU ya (Akara Üiversitesi Fizik Aabiim Daı) teşekkürerimi suarım. Ayrıca Sayı tez hocama taışıp, çaışmama vesie oa değeri hocam Sayı Prof. Dr. Abduah VERÇİN e (Akara Üiversitesi Fizik Aabiim Daı), her kouda süreki yaımda oa tez arkadaşım Egi AŞLAR a, maddi ve maevi yardımarıı hiç esirgemeye aieme e içte teşekküreri bir borç biirim. Ebru ŞİMŞEK Akara, Hazira iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... v ŞEKİLLER DİZİNİ... vi. GİRİŞ.... SÜPERSİMSETRİK KUANTUM MEKANİĞİ SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ YÖNTEMLERİ Darboux Döüşümü Bağaştırım Yötemi Şeki Değişmez Potasiyeer Çarpaara Ayırma Yötemi HARMONİK SALINICI Kuatum Mekaikse İceeme Kasik Mekaikse İceeme TRİGONOMETRİK PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİ Kuatum Mekaikse İceeme Faktör işemcieri Ladder işemcieri Kasik Mekaikse İceeme HİPERBOLİK PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİ Kuatum Mekaikse İceeme Faktör işemcieri Ladder işemcieri Kasik Mekaikse İceeme TARTIŞMA VE SONUÇ... 3 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

6 SİMGELER DİZİNİ ˆQ Ĥ H W ( x ) ˆL Â ± ˆB ± ˆN Q ± Süperyük işemcisi Hamitoiye işemcisi Hamitoiye foksiyou Süperpotasiye Bağaştırım işemcisi Faktör işemcieri Ladder işemcieri Sayı işemcisi Zamaa bağı hareket sabiteri v

7 ŞEKİLLER DİZİNİ Şeki 3. Üç süpersimetrik eş potasiyei eerji düzeyeri... Şeki 4. Harmoik saııcı potasiyei... Şeki 4. Harmoik saııcı içi faz yörügeeri... 5 Şeki 5. Farkı parametreeri içi trigoometrik PT potasiyei... 6 Şeki 5. Trigoometrik PT potasiyei içi faz yörügeeri... 3 Şeki 6. Farkı parametreeri içi hiperboik PT potasiyei... 4 Şeki 6. Hiperboik PT potasiyei içi faz yörügeeri... 3 vi

8 . GİRİŞ Fizikte simetrier, hem kasik hem de kuatum mekaikse sistemeri aaşımasıı koayaştırırar. Noether teoremii soucua göre bir fizikse sisteme igii korua iceiker sistemi simetrieri ie iişkiidir. Korua iceiker Hamitoiyei değişmez bıraka döüşümeri üretici foksiyoarıdır ve bu iceiker sistemi simetri cebrii ouştururar. Gee oarak sistemi simetrierii biimesi probemi aaşımasıı koayaştırdığı gibi baze de probemi tam oarak çözümesie izi verir. Kuatum mekaiğide bir fizikse sistemi atıda yata cebireri biimesi, o sisteme karşı gee Schrödiger dekemii çözmeye gerek kamada spektrumu cebirse oarak buumasıda koayık sağar. Sistemi tüm özfoksiyo ve özdeğererii buumasıı sağaya cebirer spektrum ürete cebir oarak biiir. Bir Hamitoiye hiyerarşisi içideki potasiyeeri spektrumuu beireye cebirer de potasiye cebri oarak adadırıır. Sisteme igii tüm bigieri yai spektrumu, varsa dejeereikeri, saçıma durumarıı içere cebirer de sistemi diamik cebri oarak adadırıır. Kasik sistemer içi de kuatum mekaiğidekie bezer oarak spektrum ürete cebirer kuruabiir ve bu cebirer yardımıya sistem cebirse oarak çözüebiir. Süpersimetri 97 yııda Ge fad, Likhtma, Ramod, Neveu ve Schwartz tarafıda keşfedimiş oup bozoarı fermiyoara, fermiyoarı bozoara döüştüre bir simetridir. Süpersimetrii fiziği birçok aaıda uyguaması vardır. 98 yııda Witte, yaptığı çaışmaar soucu süpersimetrik kuatum mekaiğii bir mode oarak ieri sürmüştür (Juker 996). Daha sora süpersimetrik kuatum mekaiği kuramsa fiziği pek çok aaıda uyguamaya başamıştır. Öreği, ükeer fizikte saçıma probemeride ve yoğu madde fiziğide ise çözümü biie bir Hamitoiyede başaarak yei çözüebiir Hamitoiyeer ede etmede kuaımaktadır. Süpersimetrik kuatum mekaiğide süperyük işemcieri bir matris Hamitoiyei ayı eerjii iki dik özfoksiyou arasıda döüşüm üretir (Juker 996, Sukumar 996 ve Cooper ). Darboux döüşümü, bağaştırım (itertwiig) yötemi, şeki değişmez potasiyeer ve çarpaara ayırma yötemi süpersimetrik kuatum mekaiği

9 yötemeri oarak biiirer. Darboux döüşümü çözümü biie bir probemde başayarak, tam oarak çözüebie probemeri hiyerarşisii kurmak ve çizgise omaya dekemeri çözümerii ede etmek içi kuaıa bir yötemdir. Darboux döüşümü ik oarak 88 de G. Darboux tarafıda ieri sürümüştür (Matveev ve Sae 99). Bağaştırım yötemi, tam oarak çözüebie çizgise ve çizgise omaya probemer ie buarı hiyerarşierii kurmak içi kuaıa bir yötemdir (Kuru 4). İk oarak 98 de Gedeshtei tarafıda ortaya atımış oa şeki değişmez potasiyeer şekieri ayı, sadece bağı odukarı parametreeri farkı oa süpersimetrik eş potasiyeerdir (Cooper ). Çarpaara ayırma yötemi ise, heme heme eş spektrumu tam oarak çözüebie Hamitoiyeeri hiyerarşisii kurmada ve bu hiyerarşideki tüm Hamitoiyeeri özdeğererii ve özfoksiyoarıı bumada kuaıır (Juker 996, Sukumar 996, Cooper ve Dog ). Bu yötem ik oarak Schrödiger tarafıda Hidroje atomuu cebirse oarak çözmek içi ortaya atımış ve daha sora Ifed ve Hu tarafıda çözüebiir potasiyeeri ede etmek içi kuaımıştır. Bu çaışmaı ikici böümüde süpersimetrik kuatum mekaiği yötemeri kısaca gözde geçirimiştir. Daha sora harmoik saııcı ve 83 yııda Herta Pösch ve Edward Teer tarafıda ortaya atıa ve moekü titreşimerii taımaya Pösch- Teer (PT) potasiyeeri hem kuatum mekaiği hem de kasik mekaik çerçeveside ee aımıştır. Bu probemer içi hareket, karşı gee diferasiye dekemer doğruda çözüerek beireebiir (Füge 994). Acak, bu çaışmada süpersimetrik kuatum mekaiği yötemeride çarpaara ayırma yötemi kuaıarak bu sistemeri spektrumarı beiremiştir. Ayrıca bu sistemeri spektrum ürete cebireri ve potasiye cebireri kurumuştur (Cruz vd. 8, Kuru ve Negro 9, Dog ). Daha sora kuatum mekaikse iceeme bu sistemeri kasik bezererie uyguaarak kasik spektrum ürete cebirer kurumuş ve böyece bu sistemer kasik mekaik çerçeveside de cebirse oarak çözümüştür (Kuru ve Negro 8).

10 . SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ Ĥ Hamitoiyei ie beiree bir kuatum mekaikse sistemi ee aaım. Q ˆi süperyük işemcierii varığıda, { Qˆ, Qˆ } = ˆ Hδ, [ Qˆ, H ˆ ] =, i, j=,,..., N i j ij i bağıtıarıı sağaya sistem, { Hˆ, Qˆ ˆ,..., Q N }, süpersimetrik oarak adadırıır. Burada [,] komütatör, {,} ati-komütatör, Ĥ süpersimetrik Hamitoiye ve N süperyük işemcierii sayısıdır. Bu süperyüker kedie-eşeikdirer, ˆ ˆ Q = Q. Süpersimetrik kuatum mekaiğide kompeks süperyüker de taımaabiir: Q ˆ = ( Q ˆ ˆ + iq ) / ve ˆ ˆ ˆ Q = ( Q iq ) /. Bu süperyüker Hamitoiye işemcisi ie birikte ˆ ˆ ˆ H= { QQ, } (.) i i şekide bir cebir kapatır. Burada ˆQ er ipotetdir: ˆ Q =, ˆ Q =. Bu cebir aşağıdaki bağıtıarı gerektirir [ Qˆ, H ˆ ] =, Qˆ H ˆ = [, ] Kompeks süperyüker matris formuda ˆ Q= A ˆ, Qˆ ˆ+ A = oarak taımaabiir. Burada  bir işemci ve  + da  i eşeiğidir: ( ˆ ) (.) ˆ + A = A Dekem (.) ve (.) de yararaarak süpersimetrik Hamitoiye, ˆ+ ˆ ˆ A A H= Aˆ Aˆ + şekide ifade ediir. Burada A ˆ+ A ˆ ve A ˆ A ˆ+ sırasıyaĥ ve Ĥ oarak adadırıabiir. ˆQ ve gibidir: ˆQ süperyükerii Ĥ Hamitoiyei özdurumarı üzerie etkisi aşağıdaki ˆ α Q = Aˆ α, Qˆ ˆ+ A β = β 3

11 Burada ( α,) T er "bozoik" durumarı, (, β ) T 'er de "fermiyoik" durumarı gösterir. Böyece ˆQ ve ˆQ süperyükeri "bozoik" durumarı "fermiyoik" durumara, "fermiyoik" durumarı da "bozoik" durumara döüştürürer. Ayrıca Ĥ ve Ĥ işemcieri yarı-pozitif taımıdır. Yai bu işemcieri özdeğereri sıfıra eşit veya sıfırda büyüktür ( E ). Varsayaım ki, Ĥ ı E özdeğeri ormaize özfoksiyoarı osu, ˆ + ˆ A A = E (.3) de at idis Hamitoiyei, üst idis =,, K ise eerji düzeyii göstermektedir. Dekem (.3) soda  ie çarpıırsa Aˆ Aˆ ( Aˆ ) = E ( Aˆ ) + buuur. Bu dekemde ˆ A ise, E ayı zamada Ĥ i de bir özdeğeridir. Böyece er biiiyorsa Ĥ Hamitoiyei ormaize özfoksiyoarı = ( Aˆ ) E dekemide buuabiir. Burada / E ormaizasyo katsayısıdır. Bezer şekide, Ĥ i E özdeğeri ormaize özfoksiyoarı osu, Bu dekem soda  + ie çarpıırsa ˆ ˆ + A A = E Aˆ Aˆ ( Aˆ ) = E ( Aˆ ) ede ediir. Bu dekemde ˆ A + ise Hamitoiyei ormaize özfoksiyoarı bağıtısı ie veriir. = E ( Aˆ ) + E Ĥ ı da bir özdeğeridir ve Ĥ 4

12 3. SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ YÖNTEMLERİ Süpersimetrik kuatum mekaiği yötemeri gee oarak, çözüebiir bir Hamitoiyede başayarak çözüebiir potasiyeer hiyerarşisi kurmada ve bu potasiyeeri spektrumarıı ede etmede kuaıırar. Süpersimetrik kuatum mekaiği yötemeri, Darboux döüşümü, bağaştırım, çarpaara ayırma, şeki değişmez potasiyeer oarak sıraaabiir. Bu böümde süpersimetrik kuatum mekaiği yötemeri kısaca ee aıacaktır. 3. Darboux Döüşümü Darboux döüşümü çözümü biie bir probemde başayarak, tam oarak çözüebie probemeri hiyerarşisii kurmak ve çizgise omaya dekemeri çözümerii ede etmek içi kuaıa bir yötemdir. Aşağıdaki gibi verie Sturm-Liouvie dekemii ee aaım: + = λ (3.) xx u Bu dekemi λ özdeğerie karşı gee çözümü osu. Burada ve buda sora at idis, foksiyou argümaıa göre türevii gösterecektir: d x, dx xx d. dx Dekem (3.) i keyfi bir çözümü içi = ( x, λ ) çözümüü ürettiği Darboux döüşümü, d = σ = = [ ] x x dx şekide taımaır. Burada σ x / ( ) W, = ve ( ) W, x x (3.) = Wroskia determiatıdır. Eğer W(, ) ise, ve çizgise bağımsız çözümerdir. Darboux döüşmüş [] foksiyou Sturm-Liouvie dekemii sağar: Burada u [] ise, xx [ ] u[ ] [ ] [ ] + = λ 5

13 d u[ ] = u-σx= u - (3.3) dx şekide döüşür. Darboux döüşümü, Sturm-Liouvie dekemii form değişmez (kovaryat) bıraka bir döüşümdür. Darboux döüşümü ard arda uyguaarak yei çözüebie Sturm-Liouvie dekemeri ede ediir. Darboux döüşümüü N defa uyguamasıya ede edie döüşüm Crum döüşümü oarak adadırıır (Matveev ve Sae 99). 3. Bağaştırım Yötemi Bağaştırım yötemi, tam oarak çözüebie çizgise ve çizgise omaya probemer ie buarı hiyerarşierii kurmak içi kuaıa bir yötemdir. Ĥ ve Ĥ Hermitik Hamitoiye işemcieri, ˆL bağaştırım işemcisi ie aşağıdaki şekide iişkiediriebiir: LH ˆ ˆ = HL ˆ ˆ (3.4) Burada ˆL bağaştırım işemcisi çizgise diferasiye işemcidir. Bağaştırım yötemii üç teme özeiği şu şekide sıraaabiir. і), Ĥ ı E özdeğeri özfoksiyou ise, ˆ = L de Ĥ i E özdeğeri bir özfoksiyoudur. Ĥ ve Ĥ içi Schrödiger dekemeri ˆ H = E (3.5) ˆ ie veriir. ˆL bağaştırım işemcisi Dek. (3.5) e uyguaıp H = E (3.6) LH ˆ ˆ = LE ˆ Dek. (3.4) ie verie bağaştırım bağıtısı kuaıırsa, Hˆ ( Lˆ ) = E ( Lˆ ) eşitiği ede ediir. Yai ˆ = L, Ĥ i E özdeğeri bir özfoksiyoudur. 6

14 ii) ˆL, ˆL i tersi doğrutusuda bağaştırım yapar: Hˆ Lˆ = Lˆ Hˆ. Bu bağıtı ve Dek. (3.4) ie verie bağaştırım bağıtısı Ĥ ve Ĥ içi iki gizi diamik simetri işemcisii verir: [ Hˆ, LL ˆ ˆ ] = = [ Hˆ, LL ˆ ˆ ] iii) Ĥ, Ĥ ve Ĥ Hamitoiye işemcieri içi bağaştırım bağıtıarı, Lˆ Hˆ = Hˆ Lˆ, Hˆ L ˆ ˆ ˆ = LH, Lˆ H ˆ ˆ ˆ = HL, şekidedir. Eğer Ĥ i ek simetri işemcisi Ẑ ise, [ Hˆ ˆ, Z ] = dır ve Z ˆ = L ˆ Z ˆ L ˆ Z ˆ = L ˆ Z ˆ L ˆ H ˆ L ˆ = L ˆ H ˆ sırasıya Ĥ ve Ĥ i yei simetri işemcieridir. Bu özeiker boyut ve formda bağımsızdır (Kuru 4). 3.3 Şeki Değişmez Potasiyeer Şekieri ayı, sadece bağı odukarı parametreeri farkı oa süpereş potasiyeere şeki değişmez potasiyeer deir. Matematikse oarak, V, ( xa, ) eş potasiyeeri, R( a ) = V ( xa, ) V ( xa, ) şekidedir. Burada a parametreeri kümesii, a de a i bir foksiyouu göstermektedir. R( a ) x de bağımsız omak üzere V ( xa, ) ve V ( xa, ) şeki değişmez potasiyeerdir (Cooper vd. ). 3.4 Çarpaara Ayırma Yötemi Çarpaara ayırma yötemiye heme heme eş spektrumu tam oarak çözüebie Hamitoiyeeri hiyerarşisi kuruabiir. Bu yötem ie hiyerarşideki tüm Hamitoiyeeri özdeğereri ve özfoksiyoarı ya tam oarak çözüebie bir Hamitoiyede ya da hiyerarşideki tüm Hamitoiyeer içi taba durum daga foksiyoarıda başaarak buuabiir. 7

15 Tek parçacık içi Hamitoiye işemcisi, ˆ h d H ( ) = + V x mdx (3.7) şekidedir. Ĥ i taba durum eerjisi E = ise, taba durum daga foksiyou ( x) içi Schrödiger dekemi aşağıdaki gibidir: Burada potasiye, h d m dx + V ( x) ( x) = d ( x) ( ) m ( x) dx V x = h şekide buuur. Ĥ Hamitoiyei, türeve göre birici mertebede iki tae işemcii çarpımı oarak ifade ediebiir: Burada, Ĥ = Aˆ Aˆ (3.8) + ˆ h d A = + W ( x) mdx ˆ h d A + = + W ( x) mdx (3.9) (3.) oup, W ( x ) süperpotasiye oarak adadırıır. Dekem (3.9) ve (3.) ie verie  ± Dek. (3.8) de yerie yazıırsa V ( ) x potasiyei, süperpotasiye ciside V ( ) ( ) ( ) x = W x h Wx x (3.) m oarak ede ediir. Dekem (3.) W ( x ) içi bir Riccati dekemidir. durum daga foksiyouu verir ve süperpotasiye de ciside ˆ A = taba şekide ifade ediir. W ( x) = h (3.) m x Ĥ Hamitoiyei ie iişkii, Ĥ = Aˆ Aˆ (3.3) + 8

16 şekide yei bir Hamitoiye işemcisi taımaabiir. Bu yei Hamitoiye, omak üzere, V ( ) ( ) ( ) x = W x + h Wx x (3.4) m ˆ h d H ( ) = + V x mdx (3.5) oarak yazıır. Dekem (3.) ve (3.4) ie verie V ( x ) ve V ( x ) potasiyeeri süpersimetrik eş potasiyeer ya da kısaca süpereş potasiyeer oarak adadırıır. Bu Hamitoiyeeri özdeğereri ve özfoksiyoarı birbireri ie iişkiidir. Bu iişki aşağıdaki adımar izeerek koayca görüür. Ĥ içi Schrödiger dekemi, H = Aˆ Aˆ = E (3.6) ˆ + şekidedir. Dekem (3.6) ya soda  etki ederse, Aˆ Aˆ Aˆ = Hˆ ( Aˆ ) = E ( Aˆ ) (3.7) + eşitiği ede ediir. Bezer şekide Ĥ içi Schrödiger dekemi, ie veriir ve bu da H = Aˆ Aˆ = E (3.8) ˆ + Aˆ Aˆ Aˆ = Hˆ ( Aˆ ) = E ( Aˆ ) (3.9) eşitiğii gerektirir. iişki, (3.6) - (3.9) yardımıya E = içi Ĥ ve Ĥ i özdeğereri ve özfoksiyoarı arasıdaki = şekide buuur (Cooper vd. ). E = E + ( E ) / Aˆ + + = ( ) / E A ˆ + + Ĥ Hamitoiye işemcisi,  ± işemcieri ciside tekrar çarpaarıa ayrıabiir ve Ĥ i süpereşi oa bir başka Ĥ 3 Hamitoiye işemcisi buuur. Ĥ 3 ü özdeğereri de bezer oarak ede ediir: E = E = E. Böyece her yei Hamitoiye işemcisi

17 bir tae daha az eerji düzeyie sahip our. Şeki 3. de üç tae süpersimetrik eş potasiyei eerji düzeyeri arasıdaki iişki görümektedir. Şeki 3. Üç süpersimetrik eş potasiyei eerji düzeyeri

18 4. HARMONİK SALINICI Harmoik saııcı probemi hem kasik mekaikte hem de kuatum mekaiğide tam oarak çözüebie öemi bir probemdir. Moeküerde, kristaeri örgü titreşimerii iceemeside ve bir kovuk içideki eektromayetik ışımaı kuatum mekaikse iceemesi gibi fiziği bir çok aaıda uyguaması vardır. Gee oarak, harmoik saııcıı özdeğer probemii çözmek içi iki yötem vardır. Buarda iki, karşı gee diferasiye dekemi doğruda çözümesie dayaa aaitik yötem, ikicisi ise daha basit ve şık oa cebirse yötemdir. Bu böümde harmoik saııcı potasiyei hem kuatum mekaikse hem de kasik oarak ee aıacaktır. Şeki 4. de harmoik saııcı potasiyei görümektedir. Her iki durumda da harmoik saııcı potasiyei içi spektrum ürete cebirer kuruarak probemer cebirse oarak çözüecektir. V Şeki 4. Harmoik saııcı potasiyei x 4. Kuatum Mekaikse İceeme Bir boyutta Harmoik saııcı potasiyei içi Hamitoiye işemcisi pˆ Hˆ = + mω xˆ m

19 d şekidedir. Burada m küteyi ve ω açısa frekası göstermektedir. pˆ = ih ve ˆx dx de sırasıya mometum ve koum işemcieridir. Bu işemcier [ xˆ, p ˆ] = ih bağıtısıı sağarar. Hamitoiye işemcisi boyutsuz â ve â + işemcieri ciside çarpaarıa ayrıabiir: Burada â ve â + işemcieri ˆ H ω aˆ + = h aˆ + (4.) mω h d aˆ = xˆ + h mω dx mω d, aˆ + h = xˆ h mω dx (4.) şekide veriirer (Derei ve Verçi 9). Ayrıca sayı işemcisi Nˆ = aˆ + aˆ oarak taımaır. Böyece Dek. (4.) aşağıdaki şekide ifade ediebiir: ˆ ˆ H= h ω N+ (4.3) Dekem (4.3) de de görüdüğü gibi Hamitoiye işemcisi ie sayı işemcisi birbireriye sıra değiştirir: [ Hˆ, N ˆ ] = ve bu işemcier ortak özfoksiyoara sahiptir ˆ H = E ˆ N = Böyece Dek. (4.3) ie verie Hamitoiye işemcisii özfoksiyoarı üzerie etkiside eerji özdeğereri E = h ω + oarak buuur. â ve â + işemcierii özfoksiyoarı üzerie etkieri aˆ = aˆ = şekidedir. Bu bağıtıarda â ve â + işemcierii sırasıya yokedici ve yaratıcı işemcier oduğu açıkça görüür. Taba durum daga foksiyou, ˆ a = da m x = Nxe ω h oarak buuur. N x ormaizasyo katsayısı

20 N x mω = πh ie veriir. Uyarımış durumar ise taba durumu daga foksiyoua â + işemcieri ard arda uyguaarak buuabiir: /4 = + ( aˆ )! Dekem (4.) ie verie yokedici ve yaratıcı işemcier, (4.) ie verie Hamitoiye işemcisi ie birikte [ aˆ, a ˆ + ] =, [ Hˆ, aˆ ] =± h ωaˆ ± ± saııcı cebrii sağarar (Derei ve Verçi 9). 4. Kasik Mekaikse İceeme Harmoik saııcı içi Hamitoiye foksiyou p H = + V ( x) (4.4) m şekidedir. Burada m küte, p ve x de kaoik koordiatarı göstermektedir. Harmoik saııcı potasiyei V ( x) = βx + γ oarak aıabiir. Burada β ve γ sabiterdir. Hamitoiye foksiyou kuatum mekaikse iceemede oduğu gibi çarpaarıa ayrıabiir (Kuru ve Negro 8): + H= B B + γ (4.5) Acak, bu durumda B ± er birbirii kompeks eşeiği oa iki foksiyodur ve ip B ± =m + βx (4.6) m şekide taımıdırar. B ± er Dek. (4.5) de yerie yazıırsa, Dek. (4.4) ü sağadığı açıktır. B ± foksiyoarı Hamitoiye foksiyou ie birikte aşağıdaki kasik saııcı cebrii sağarar: ± β ± { H, B } =m i B, m + β { B, B } = i (4.7) m 3

21 Burada {,} Poisso paratezi oup, { x, p } = dir. Bu cebir kuatum mekaikse saııcı cebrie çok bezerdir. Bu bezerik, Dek. (4.7) ie verie cebirde foksiyoar yerie işemcier ve Poisso paratezi {,} yerie de, i[,] aıarak koayca görüebiir. Dekem (4.7) ie verie cebir aşağıdaki gibi zamaa bağı hareket sabiteri, taımamaya izi verir (Kuru ve Negro 8): ± ± Q = Be mi β t m Q ± eri hareket sabiti oduğu dq dt ± Q = { Q, H} + = t ± ± (4.8) bağıtısıda koayca görüür (Godstei ). Bu hareket sabiterii değereri gee oarak β mi t m ± ± θ Q = B e = qe, q = E γ ± i (4.9) şekide aıabiir. Hamitoiye zamaa açıkça bağı omadığıda bir hareket sabitidir ve bu da sistemi topam eerjisidir, E. Dekem (4.9) düzeeirse β i( t+θ ) m B + = q e, β i( t ) m +θ B = q e (4.) eşitikeri ede ediir. Dekem (4.6) daki B ± foksiyoarıı açık ifadeeri Dek. (4.) da yerie yazıırsa β i( t+ θ ) m ip + βx= E γ e (4.) m ip + m β i( t+ θ ) m βx= E γ e (4.) ifadeerie uaşıır. Buua (4.) ve (4.) dekemeri taraf tarafa topaırsa E γ β x(t) = cos( ) β t+ θ (4.3) m ve taraf tarafa çıkarıırsa β p(t) = m( E γ ) si( t+ θ ) (4.4) m 4

22 biie kaoik koordiatar buuur (Godstei, Kuru ve Negro 8). Dekem (4.3) ve (4.4) ie verie kaoik koordiatara karşı gee faz yörügeeri şeki 4. de görüdüğü gibi kapaıdır ve hareketi periyodu eerjide bağımsızdır, ω= β /m. p x Şeki 4. Harmoik saııcı içi faz yörügeeri 5

23 5. TRİGONOMETRİK PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİ Bu böümde kasik ve kuatum mekaikse trigoometrik PT potasiyei içi spektrum ürete cebirer kuruacak ve her iki durumda da probem cebirse oarak çözüecektir. Trigoometrik PT potasiyei ( ) π π V =, < x< cos x (5.) ie veriir. Burada potasiye parametresidir ve > dir. Şeki 5. de, Süpersimetrik kuatum mekaiğideki şeki değişmez potasiyeere örek oa trigoometrik PT potasiyeii farkı parametreeri içi grafikeri görümektedir. Şeki 5. Farkı parametreeri içi trigoometrik PT potasiyei 5. Kuatum Mekaikse İceeme 5.. Faktör işemcieri Trigoometrik PT potasiyeie karşı gee Hamitoiye hiyerarşisi ve hiyerarşideki tüm Hamitoiyeer içi eerji özdeğereri ve özfoksiyoarı çarpaarıa ayırma yötemi ie buuabiir. Bu PT potasiyeie karşı gee Hamitoiye işemcisi Hˆ d ( ) = + (5.) dx cos x şekidedir. Burada koayık osu diye h = m= aımıştır. Bu Hamitoiye işemcisi çarpaarıa aşağıdaki şekide ayrıabiir: ˆ+ Ĥ A Aˆ = + λ (5.3) 6

24 Burada türeve göre birici mertebede ± işemcieri ˆ d A ± = m + F ( x) (5.4) dx oarak seçiebiir. A ± er Dek. (5.3) de yererie yazııp, Dek. (5.) ie eşiteirse aşağıdaki Riccati dekemi ede ediir: Bu dekemde faktör işemcieri ( ) + λ = cos x F ( x) F ( x) (5.5) F = tax ve λ = E = oarak buuur. Böyece, bu potasiye içi ˆ d A ± = m + tax dx şekide ede ediir. Bu işemcieri ters sıradaki çarpımı potasiye hiyerarşisii bumaya izi verir, Bu hiyerarşide, bağaştırım bağıtıarı Ĥ = A ˆ A ˆ + λ = A ˆ A ˆ + λ + + Aˆ Hˆ = Hˆ Aˆ, Aˆ Hˆ = Hˆ Aˆ (5.6) oarak yazıır. Burada da görüdüğü gibi  ± işemcieri ayı eerjii durumarı birbireri ie iişkiedirirer. Yai Ĥ Hamitoiyeii bir özfoksiyou biiiyorsa, bu özfoksiyoa  Ĥ + işemcisi uyguaarak Hamitoiyeii ayı eerjii özfoksiyoarı ede ediebidiği gibi tersie  + işemcisi i özfoksiyoarıa uyguaarak Ĥ i ayı eerjii özfoksiyoarı ede ediir: Ĥ + +  = + N  N = + (5.7) (5.8) Burada =,,, K değererii aır. ± er birbirerii Hermitik eşeiği odukarıda Aˆ Aˆ + = ( ), Dek. (5.7) deki N katsayısı özfoksiyoarı ormaizasyouda N = Aˆ Aˆ = Aˆ Aˆ ˆ N = ( H λ ) E = + λ = ( + ) N = ( + ) 7

25 oarak buuur. Burada = dir. Yai, özfoksiyoar bire ormaizedir. Bezer şekide Dek. (5.8) deki N katsayısı da buuarak, ± eri ormaize özfoksiyoar üzerideki etkieri şekide ede ediir. A ˆ = ( ) + + +, Aˆ = ( + ) + ˆ = A bağıtısıda taba durum daga foksiyou =N cos x oarak buuur. Burada N ormaizasyo katsayısı N = Γ ( + ) / π Γ ( + / ) (5.9) ie veriir. Eerji özdeğereri E E E = + =... = + = ( + ) şekidedir. E eerjii duruma karşı gee özfoksiyou ise ˆ+ ˆ+ ˆ+ = N A A + K A + + (5.) bağıtısıda buuur. Burada N ormaizasyo katsayısıdır. Taba durum daga foksiyoua  + işemcieri ard arda uyguaarak ormaizasyo katsayısı aşağıdaki gibi buuur (Cruz, Kuru ve Negro 8, Kuru ve Negro 9): N = Γ (( + ) )! Γ (( + )) Şimdi, özfoksiyoar üzerie etki ede idissiz işemcier taımaabiir: Bu işemcieri sıra değişimi Aˆ Aˆ ˆ ˆ A A [ Aˆ, Aˆ ] = ( Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ ) = [( Hˆ λ ) ( Hˆ λ )] = şekidedir. Bu bağıtıda diagoa işemci  aşağıdaki gibi taımaabiir: ˆ A (5.) 8

26  ± işemcieri diagoa işemci  ie birikte su() cebrii sıradeğişim bağıtıarıı sağarar: [ Aˆ +, Aˆ ] = Aˆ, [ A ˆ, A ˆ ] =± A ˆ ± ± Bu cebir baze potasiye cebri oarak adadırıır. Trigoometrik PT potasiyei içi bu potasiye cebrii temsii sou boyutudur. 5.. Ladder işemcieri Verie bir Hamitoiye işemcisii farkı özfoksiyoarıı birbirie döüştüre işemciere adder ya da merdive işemcieri deir. Trigoometrik PT potasiyei içi Schrödiger dekemi d ( ) + E, E ( ) dx cos x = = + şekidedir. Bu dekemi her iki tarafı (5.) cos x ie çarpııp aşağıdaki gibi düzeeirse, d cos x ( + ) cos x = ( ) dx (5.3) eşitiği ede ediir. Dekem (5.3) ü so tarafıdaki paratezi içi h ˆ oarak adadırıırsa, Dek. (5.3) şekide yazıır. İkici mertebede diferasiye işemci h ˆ ˆ h = ( ) (5.4) ˆ d h= cos x ( + ) cos x dx Türeve göre. mertebede iki tae diferasiye işemcii çarpımı oarak yazıabiir: ˆ ˆ h B Bˆ + = + γ (5.5) Buradaki B ˆ ± işemcieri aşağıdaki şekide seçiebiir, ˆ d B = cos x + β ( x), ˆ d B + = cos x + α ( x) (5.6) dx dx 9

27 Dekem (5.4) de, B ˆ ± işemcieri ciside verie h ˆ ifadesi (5.5) yerie yazıırsa β ( x) = ( + )six, α ( x) = ( + + )six, γ = ( + )( + + ) oarak buuur. B ˆ + ve Bˆ işemcierii ters sıradaki çarpımı h ˆ er içi bir hiyerarşi kurmaya izi verir: hˆ = Bˆ Bˆ + γ = Bˆ Bˆ + γ (5.6) + + Bu durumda bağaştırım bağıtıarı Bˆ h ˆ = h ˆ Bˆ, Bˆ h ˆ = hb ˆ ˆ (5.7) ie veriir. B ˆ ± işemcieri ayı bir Hamitoiyei farkı eerjii durumarıı birbireri ie iişkiedirirer. Bağaştırım bağıtıarıda yoa çıkarak bu iişki ˆ + = b, B ˆ + b + = + B şekide buuur. Buradaki b + ve b katsayıarı faktör işemcierideki gibi doğruda buuamazar, çükü ( ˆ ) + B B ˆ dir. Bu katsayıarı bumak içi birçok yo vardır. Öreği bireştirimiş Legedre poiomarıı tekrarama bağıtıarı kuaıarak bu katsayıar b = ( + )( + )( + + ) ( + ), ( + )( + )( + ) b+ = ( + + ) şekide ede ediir (Cruz vd. 8). Taba durum daga foksiyou, ˆ = B da = N cos x oarak buuur. Burada N ormaizasyo katsayısıdır. Bu ormaizasyo katsayısı Dek. (5.9) da verimiştir. Ayrıca uyarımış durumarı sayısı sosuz oup taba durumu daga foksiyoua ˆB+ işemcieri uyguaarak buuurar: ˆ + ˆ + ˆ + = N B B K B (5.8)

28 Burada da idissiz ˆB± işemcieri taımaabiir. Â ± işemcieride oduğu gibi ˆB± işemcierii kapattığı cebri bumak içi ˆB ± eri sıradeğişimide [ ˆ, ˆ ] ( ˆ ˆ ˆ ˆ B B = B B B B ) [( ˆ ) ( ˆ = h γ h γ )] = ( + ) diagoa işemci ˆB ( ) ˆ + B (5.9) oarak taımaır. ˆB± işemcieri, ˆB işemcisi ie birikte su(,) cebrii sıradeğişme bağıtıarıı sağarar: ˆ [, ˆ+ B B ] = Bˆ, [ Bˆ, Bˆ ] =± Bˆ ± ± Bu cebir baze Ĥ Hamitoiyei içi spektrum ürete cebir oarak adadırıır, ve bu cebri temsieri sosuz boyutudur. 5. Kasik İceeme PT potasiyei içi Hamitoiye foksiyou = + (5.) H p α cos x şekidedir. Burada koayık osu diye m= / aımıştır. Hamitoiye foksiyouu her iki tarafı cos x ie çarpııp düzeeirse p cos x H cos x= α buuur. Bu eşitiği so tarafı birbirii kompeks eşeiği oa iki foksiyou çarpımı ciside M M γ oarak yazıabiir. Burada M ± foksiyoarı, α + + (Η)= (5.) M ± =m ipcosx + H six, γ(η)= H (5.) şekidedir. Böyece, Dek. (5.) de Hamitoiye foksiyouu da M ± foksiyoarı ciside çarpaarıa ayrımış oduğu görüür: H M M α + = + (5.3)

29 Kuatum mekaikse iceemedeki adder işemcierie bezer oarak M ± foksiyoarı Hamitoiye foksiyou ie birikte aşağıdaki cebri sağarar: ± ± + { H, M } =m i HM, { M, M } = i H Bu cebirde yararaarak zamaa bağı hareket sabiteri ± ± ± i Ht Q = M e (5.4) şekide taımaabiir. Q ± eri Dek. (4.8) ie verie aşağıdaki bağıtıyı sağadığı cebir kuaıarak koayca doğruaır. Bu hareket sabiterii değeri ± ± Q = M e = qe, q = E α mi Ht ± iθ (5.5) oarak aıabiir. Burada E sistemi topam eerjisidir ve bir hareket sabitidir. Bu dekem düzeeirse M + i( Et ) = qe, M +θ = qe (5.6) i( Et+θ ) buuur. Dekem (5.) ie verie M ± foksiyoarıı açık ifadeeri Dek. (5.6) da yerie yazıırsa i( Et+θ ) ipcosx + E six= qe (5.7) ipcosx + E six qe i( Et+θ ) = (5.8) eşitikeri ede ediir. (5.7) ve (5.8) dekemeri taraf tarafa topaırsa E α x(t) = arcsi cos( Et+ θ ) E ve taraf tarafa çıkarıırsa (5.9) p(t) = α ( E ) si( Et+ ) E α E θ cos ( Et+ θ ) (5.3) kaoik koordiatarı ede ediir. Bu ifadeerde görüdüğü gibi, hareket periyodiktir ve hareketi frekası eerjiye bağıdır: ω= E. Şeki 5. de görüdüğü gibi Dek. (5.9) ve (5.3) ie verie x(t) ve p(t) ie beiree periyodik hareket içi faz yörügeeri kapaıdır.

30 p x - Şeki 5. Trigoometrik PT potasiyei içi faz yörügeeri 3

31 6. HİPERBOLİK PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİ Bu böümde hiperboik PT potasiyei hem kuatum mekaiği hem de kasik mekaik çerçeveside ee aıacaktır. Her iki durumda da bu potasiyei atıda yata spektrum ürete cebirer buuacak ve probem cebirse oarak çözüecektir. Hiberboik PT potasiyei ( + ) V =, < x< (6.) cosh x şekide veriir. Burada potasiyei deriiğii beireye bir parametredir ve > dır. Bu potasiye süpersimetrik kuatum mekaiğideki şeki değişmez potasiyeere bir örektir. Şeki 6. de farkı parametreeri içi hiperboik PT potasiyei çizimiştir. Şekide görüdüğü gibi arttıkça potasiyei deriiği de artmaktadır. V 3 3 x 6 8 Şeki 6. Farkı parametreeri içi hiperboik PT potasiyei 6. Kuatum Mekaikse İceeme 6.. Faktör işemcieri Hiperboik PT potasiyeie karşı gee Hamitoiye işemcisi 4

32 Hˆ d ( + ) = (6.) dx cosh x oarak yazıır. Bu Hamitoiye işemcisi aşağıdaki şekide çarpaarıa ayrıabiir: ˆ+ Ĥ A Aˆ = + λ (6.3) Burada, ˆ d A ± = m + F ( x) (6.4) dx şekide birici mertebede diferasiye işemcierdir.  ± er Dek. (6.3) de yererie yazııp, Dek. (6.) ie karşıaştırıırsa, ( + ) + λ = cosh x F ( x) F ( x) Riccati dekemi ede ediir. Bu dekemde buuur. Böyece faktör işemcierii formu beiremiş our ˆ d A ± = m + tahx dx Bu işemcieri ters sıradaki çarpımıda yararaarak hiyerarşi Ĥ A ˆ A ˆ ˆ ˆ F = tahx ve λ = E = oarak + + = + λ = A+ A + + λ + (6.5) oarak ede ediir. Bu hiyerarşi ie iişkii bağaştırım bağıtıarı A ˆ Hˆ = Hˆ A ˆ, A ˆ Hˆ = Hˆ A ˆ + + şekidedir. ± işemcieri ayı eerjii durumarı birbireri ie iişkiedirirer. Yai Ĥ Hamitoiyeii bir özfoksiyou biiiyorsa, bu özfoksiyoa  işemcisi uyguaarak Ĥ Hamitoiyeii ayı eerjii özfoksiyoarı ede ediebiir. Ya da Ĥ tersie  + işemcisi i özfoksiyoarıa uyguaarak Ĥ i ayı eerjii özfoksiyoarı ede ediir. Bu iişki,  N = ˆ + = N A (6.6) (6.7) şekide ifade ediebiir.  ± er birbirerii Hermitik eşeiği odukarıda Aˆ Aˆ + = ( ), Dek. (6.6) daki N katsayısı öz foksiyoarı ormaizasyouda, ˆ ˆ ˆ+ ˆ N = A A = A A 5

33 ˆ N = ( H λ ) = E λ = ( ) ( ) N = ( ) oarak buuur. Dekem (6.7) deki N katsayısı da bezer şekide buuabiir. Böyece  ± eri ormaize özfoksiyoar üzerideki etkieri Aˆ = ( ) şekidedir. Aˆ ( ) + = Taba durum daga foksiyou, ormaizasyo katsayısı ˆ = A da N = N cosh x oarak buuur. N = Γ ( + / ) / π Γ( ) (6.8) ie veriir. Burada > dır. Eerji özdeğereri E E E = =... = = ( ) şekidedir. E eerjii duruma karşı gee özfoksiyou ise = N Aˆ Aˆ K Aˆ Aˆ bağıtısıda buuur. Buradaki N ormaizasyo katsayısı taba durum daga foksiyoua Â+ işemcieri ard arda uyguaarak N = Γ ( + )! Γ ( + + ) ede ediir. Burada da idissiz ± işemcieri taımaabiir. Bu ± işemcierii sıradeğişimi [ Aˆ, Aˆ ] = ( Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ ) = [( Hˆ λ ) ( Hˆ λ )] + + = + diagoa işemci  yı aşağıdaki şekide taımamaya izi verir ˆ A + (6.9) 6

34 Böyece, {±, } işemcierii su(,) cebrii sıradeğişim bağıtıarıı sağadığı görüür: [ Aˆ, Aˆ + ] = Aˆ, [ A ˆ, A ˆ ] =± A ˆ ± ± Bu durumda potasiye cebrii temsii sosuz boyutudur. 6.. Ladder işemcieri Bu potasiye içi adder işemcieri trigoometrik PT potasiyeideki adımar izeerek buuur. Dekem (6.) ie verie PT potasiyei içi Schrödiger dekemi şekidedir. Bu dekemi her iki tarafı d ( + ) E, E ( ) dx cosh x = = cosh x ie çarpııp düzeeirse, (6.) d cosh x + ( ) cosh x = ( + ) dx (6.) ede ediir. Dekem (6.) i so tarafıdaki paratezi içi h ˆ oarak aıırsa, ˆ d h= cosh x + ( ) cosh x dx Dek. (6.) ˆ h = ( + ) (6.) şekide yazıır. h ˆ ikici mertebede diferasiye işemcisi türeve göre birici mertebede iki tae diferasiye işemcii çarpımı oarak yazıabiir: ˆ ˆ+ h B Bˆ = + γ (6.3) Burada B ± işemcieri, ˆ d B = cosh x + β ( x), ˆ d B + = cosh x + ( x) dx dx α (6.4) oarak öeriebiir. Dekem (6.3) de bu işemcier yerie yazııp, Dek. (6.) ie karşıaştırıırsa, 7

35 β ( x) = ( )sihx, α ( x) = ( + )sihx, γ = ( )( + ) şekide buuur. B ˆ + ve B ˆ işemcieri ters sırada çarpıarak hiyerarşi kuruabiir: hˆ = Bˆ Bˆ + γ = Bˆ Bˆ + γ (6.5) Bu hiyerarşi ie iişkii bağaştırım bağıtıarı Bˆ h ˆ = h ˆ Bˆ, Bˆ h ˆ = hb ˆ ˆ + + şekidedir. B ˆ ± işemcieri ayı bir Hamitoiyei farkı eerjii durumarıı birbireri ie iişkiedirirer. Bağaştırım bağıtıarıda bu iişki aşağıdaki gibi veriir (Cruz, Kuru ve Negro 8): ˆ ( )( ) ˆ ( )( ), B + B = = + (6.6) Taba durum daga foksiyou, ˆ = B da N = N cosh x oarak buuur. ormaizasyo katsayısı Dek. (6.8) ie veriir. Ayrıca uyarımış durumar taba durumu daga foksiyoua ˆB + işemcieri ard arda uyguaarak buuabiir: = N Bˆ KBˆ Bˆ Bu potasiye içi bağı durumarı sayısı soudur ve ˆB+ işemcisi tarafıda yok edie bir e so bağı durum vardır. Tamsayı oa er içi e so bağı durum = e karşı geir. Tamsayı omaya er içi e so bağı durum ye e yakı tamsayı değeri [ ] ie gösterimek üzere = [ ] e karşı geir. Bu durum (6.6) da açıkça görümez. Buu içi birbirerii Hermitik eşeiği oa taımaabiir: ˆB± işemcieri ˆ ( + )([ ] ) Β ˆ = B ( + )( ), Β ˆ = ( )([ ] ) Bˆ ( + )( + ) + + Böyece bu işemcieri özfoksiyoar üzerideki etkieri Βˆ Bˆ = ([ ] ), Βˆ Bˆ = ( + )([ ] )

36 şekide taımaır. Burada da görüdüğü gibi Β ˆ taba durumuu ve Β ˆ + ise durumuu yok eder. Β ˆ ± işemcierii sıradeğişimide diagoa işemci ˆ [ ] Β ( ) [ ] oarak ede ediir. { Β ˆ ±, ˆΒ } işemcieri su() cebrii sıradeğişme bağıtıarıı sağarar: [ Βˆ, Β ˆ ] = Βˆ, [ Βˆ, Β ˆ ] =±Β ˆ + ± ± Bu potasiye içi spektrum ürete cebri temsii bekeidiği gibi sou boyutudur. 6. Kasik İceeme PT potasiyei içi Hamitoiye foksiyou şekidedir. Hamitoiye foksiyou her iki tarafı γ H = p (6.7) cosh x p cosh x H cosh x= γ cosh x ie çarpııp düzeeirse eşitiği ede ediir. Eşitiği so tarafı birbirii kompeks eşeiği oa iki foksiyou çarpımı oarak yazıabiir + M M + γ(η)= γ Burada M ± M ± = m ipcoshx + H sihx, γ(η)= H (6.8) şekidedir. Burada Hamitoiye foksiyou da M ± eri çarpımı oarak ifade edimiş our, + H= M M γ Kuatum mekaikse iceemedeki adder işemcierie bezer oarak M ± foksiyoarı Hamitoiye foksiyou ie birikte aşağıdaki cebri sağarar: ± ± + { H, M } = m i HM, { M, M } = i H (6.9) Bu cebirde yararaarak zamaa bağı hareket sabiteri Q = M e ± ± ± i Ht 9

37 şekide taımaabiir. Q ± er (4.8) ie verie bağıtıyı sağarar. Hiperboik PT potasiyeide E< ve E> durumarı içi parçacığı davraışı farkı oacağıda bu durumar ayrı ayrı ee aıacaktır. ) E< içi bağı durumar söz kousudur. Bu durumda zamaa bağı hareket sabiteri ± ± mi Ht ± iθ Q = M e = qe, q= E+ γ (6.) şekidedir. Bu dekemer düzeeirse M = qe, M = qe (6.) + i( Et + θ ) i( Et + θ ) buuur. Dekem (6.8) ie verie M ± foksiyoarı Dek. (6.) de yerie yazıırsa H x qe i( Et+θ ) ipcoshx + sih = (6.) ede ediir. Buua kaoik koordiatar ipcoshx + H x qe i( Et+θ ) sih = (6.3) (6.) ve (6.3) dekemeri taraf tarafa topaıp çıkarıırsa E+ γ + (6.4) E x(t) = arcsih cos( Et θ ) p(t) = E( E+ γ ) si( Et+ θ ) E ( E+ γ )cos ( Et+ θ ) (6.5) şekide buuur. Bu dekemerde hareketi frekasıı eerjiye bağı oduğu ( ω= E ) ve buu da (6.9) ie verie cebir tarafıda beirediği açıktır. Şeki 6. de faz yörügeerii kapaı oduğu görüür. ) E> koşuu bağı omaya durumara karşı geir. Bu durumda yukarıdaki ifadeerde H = i H değişikiği yapımaıdır. Böyece zamaa bağı hareket sabiteri Q = M e ± ± ± Ht şekii aır. E< içi yapıa işemer bağı omaya bu durumar içi de yapıırsa kaoik koordiatar 3

38 E+ γ E x(t) = arcsih sih( θ ) Et+ (6.6) p(t) = E( E+ γ ) cosh ( Et+ θ ) E+ ( E+ γ )sih ( Et+ θ ) (6.7) oarak buuur. Bu durumda, şeki 6. de de görüdüğü gibi periyodik omaya harekete karşı gee yörügeer açıktır. p x Şeki 6. Hiperboik PT potasiyei içi faz yörügeeri 3

39 7. TARTIŞMA ve SONUÇ Süpersimetrik kuatum mekaiği yötemeri eş spektrumu potasiye hiyerarşisi kurmada ve hiyerarşideki tüm potasiyeer içi özdeğer ve özfoksiyoarı ede etmede kuaıırar. Bu yötemer, fizikse sistemer içi aşikar omaya hareket sabiterii bumaya ve fizikse sistemeri atıda yata cebireri kurmaya da izi verirer. Biidiği gibi cebirse yötemer spektrumu Schrödiger dekemi çözümede buumasıı sağarar. Bu yötemeri kasik mekaiğe geişetimesi ie kasik mekaikte de spektrum ürete cebirer ede ediebiir. Böyece sistem ie igii pek çok bigi ve çözümer cebirse oarak koayca buuabiir. Bu çaışmada trigoometrik ve hiperboik PT potasiyeeri ve harmoik saııcıı spektrumarı süpersimetrik kuatum mekaiği yötemeri kuaıarak ede edimiş ve bu sistemere karşı gee spektrum ürete cebirer kurumuştur. Kasik mekaikse iceemede ise, kuatum mekaikse iceemeye bezer oarak bu potasiyeere karşı gee Hamitoiye foksiyoarı iki foksiyo ciside çarpaarıa ayrımıştır. Daha sora, bu foksiyoarı uyduğu kasik spektrum ürete cebirer buumuştur. Bu cebir yardımıya zamaa bağı iki hareket sabiti taımaıp, kasik sistemi hareketi bu hareket sabiteride koayca beiremiştir. Görüdüğü gibi burada suua yötemere probemer hem kuatum mekaiği hem de kasik mekaik çerçeveside ayı bir bakış açısı ie ee aıabimekte ve probemer cebirse oarak koay ve şık bir şekide çözüebimektedir. Bu yötemere daha karmaşık probemeri aaşıması ve çözümesi koayaşmaktadır. Bu edee bu yötemeri iyi bir şekide aaşıması, fizikte pek çok aaa uyguaması ve geiştirimesi öemi bir çaışmadır. 3

40 KAYNAKLAR Cooper, F., Khare, A. ad Sukhatme, U.. Supersymmetry i Quatum Mechaics pp. 5-33, Word Scietific, Lodo. Cruz, S., Kuru, Ş. ad Negro, J. 8. Cassica motio ad coheret states for Pösch- Teer potetias, Physics Letters A, Vo. 37, Issue 9, pp Dog, S.. Factorizatio Method i Quatum Mechaics pp. 3-3, Spriger, Netherads Függe, S Practica Quatum Mechaics pp , Spriger-Verag, Germay. Godstei, H., Pooe, C. ad Safko, J.. Cassica Mechaics, pp , Addiso Wesey, Sa Fracisco. Juker, G Supersymmetric Methods i Quatum ad Statistica Physics pp. 7-6, Spriger-Verag, Beri. Kuru, Ş. 4. Çizgise ve Çizgise Omaya Itegraeebiir Sistemer, Darboux Döüşümeri ve Süpersimetri. Doktora tezi (basımamış). Akara Üiversitesi, s., Akara. Kuru, Ş. ad Negro, J. 8. Factorizatio of oe-dimesioa cassica systems, Aas of Physics, Vo. 33, Issue, pp Kuru, Ş. ad Negro, J. 9. Dyamica agebras for Pösch-Teer Hamitoia hierarchies, Aas of Physics, Vo. 34, Issue, pp Matveev, V.B. ad Sae, M.A. 99. Darboux Trasformatios ad Soitos pp. 7-5, Spriger-Verag, Beri. 33

41 Sukumar, C.V Supersymmetric Quatum Mechaics ad Its Appicatios, Wadham Cooge, pp. 4-6, Egad. Verçi, A. ve Derei, T. 9. Kuatum Mekaiği Teme Kavramar ve Uyguamaar, Türkiye Biimer Akademisi, Akara. 34

42 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Ebru ŞİMŞEK Doğum Yeri : Diyarbakır Doğum Tarihi : Medei Hai : Bekar Yabacı Dii : İgiizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yı) Lise : Ziya Gökap Lisesi (4) Lisas : Dice Üiversitesi Fizik Böümü (9) Yüksek Lisas : Akara Üiversitesi Fe Biimeri Estitüsü Fizik Aabiim Daı (Eyü -Hazira ) 35