T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HERON ÜÇGENLERİ ÜRETME METODLARI

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HERON ÜÇGENLERİ ÜRETME METODLARI Hamza AKBULUT YÜKSEK LİSANS TEZİ ORTAÖĞRETİM ANA BİLİM DALI MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROGRAMI KONYA 009

2 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HERON ÜÇGENLERİ ÜRETME METODLARI Hamza AKBULUT YÜKSEK LİSANS TEZİ ORTAÖĞRETİM ANA BİLİM DALI MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROGRAMI B tez /06 /009 tariide aşağıdai jüri tarafıda oybirliği \oyçolğ ile abl edilmiştir. Yrd. Doç. Dr. Prof. Dr. Doç. Dr. A. Selç KURBANLI Eşref HATIR Cegiz ÇINAR DANIŞMAN JÜRİ JÜRİ

3 ÖZET Yüse Lisas Tezi HERON ÜÇGENLERİ ÜRETME METODLARI Hamza AKBULUT Selç Üiersitesi Fe Bilimleri Estitüsü Ortaöğretim Aa Bilim Dalı Matemati Öğretmeliği Programı Daışma: Yrd. Doç. Dr. A. Selç KURBANLI 009, 0 sayfa Jüri: Prof Dr. EŞREF HATIR Jüri: Doç Dr. Cegiz ÇINAR B çalışmada birici bölümde, Hero ücgeleri tatılara ısa bir tariçeye yer erilmiştir. İici bölümde,hero üçgelerii ala formülüü farlı ispatlarıa yer erildi. taıtıldı e Hero formülü ispatladı. Üçücü, dördücü, beşici e altıcı bölümlerde Hero üçgelerii farlı şeillerde elde edilişie yer erildi. Yedici bölümde, earlarıı zlları ardışı tamsayı ola (-,, ), (-,, ), (-,, ), (-,, ) üçgeleri alalarıı lieer far delemi ile ilişisi iceledi. Aatar Kelimeler: Hero Ücgei,, Pisagor Üçgei, Far delem i

4 ABSTRACT Te Post Gradate Tesis PRODUCTİONS METHOTS OF HERONİAN TRİANGLES Hamza AKBULUT Selc Uiersity Gradadate Scool of Natral ad Applied Scieces Departmet of Mateatics Edcatio Sperisor: Asist. Prof. Dr. Abdlla Selç KURBANLI 009, 0 Pages Jry: Prof Dr. Eşref HATIR Jry: Asist Prof Dr Cegiz ÇINAR I te first sectio of tis stdy we gae a sort accot of Heroia Triagles wit teir presetatio. I sectio two differet proofs of te area formla for Heroia Triagles are sow ad formla of Heroia is demostrated. I sectio tree, for, fie, ad si it is demostrated ow we ca get Heroia triagles i differet ways. I sectio see coectio betwee te area of (-,, ), (-,, ), (-,, ), (-,, ) triagles wit teir legt of edges sccessie itegers ad differece eatio is stdied. KEY WORDS: Heroia Triagle, Pytagoras Triagle, Differece Eatio. ii

5 ÖNSÖZ B çalışma, cebir e sayılar teoriside öemli ola Hero Üçgeleri üretme metotları üzerie yapılmıştır. Selç Üiersitesi Eğitim Faültesi Orta Öğretim Fe e Matemati Alalar Eğitimi Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Abdlla Selç KURBANLI yöetimide yapılara Selç Üiersitesi Fe Bilimleri Estitüsüe Yüse lisas tezi olara slmştr. HERON ÜÇGENLERİ ÜRETME METODLARI adlı tez os tespitide e azırlaması sırasıda bede yardımlarıı esirgemeye daışma ocam Yrd. Doç. Dr. Abdlla Selç KURBANLI ocama ayrıca eğitimimi er aşamasıda maddi e maei desteleriyle yaımda ola ço ıymetli aileme de teşeürü bir borç bilirim. Hamza AKBULUT iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii ÖNSÖZ...iii İÇİNDEKİLER... i l. BÖLÜM: GİRİŞ.... BÖLÜM : HERON ÜÇGENİ ALAN FORMULÜ VE ISPATI.... BÖLÜM : BENZER HERON ÜÇGENİ ELDE ETME METODU BÖLÜM : HERON UCGENLERVE YENİ ÖZELLİKLERİ BÖLÜM : HERON ÜÇGENLERİ ELDE ETME METODLARI BÖLÜM : KENARLARININ UZUNLUKLARI ARDIŞIK SAYI OLAN HERON ÜÇGENLERİNİ ELDE ETME METOTLARI BÖLÜM : (-,, ) BİÇİMİNDEKİ HERON ÜÇGENLERİ İLE FARK DENKLEMLER ARASINDAKİ İLİŞKİ ÜZERİNE... 8.BÖLÜM : SONUÇ... KAYNAKLAR... i

7 HERON ÜÇGENLERİ ÜRETME METODLARI. BÖLÜM: GİRİŞ Hero Mısır da doğa ülü Ya matematiçisidir. Bazı ayalar tarafıda Hero M.Ö 50 seeleride Mısır a bağlı Ptalemaic de doğdğ belirtilmetedir. Diğer tarafta bazı bilim adamları ise Roma İmparatorlğda sora miladi taime göre 50 seeleride doğdğ tami etmetedirler. Ama er ii aı aıda da esi bir resmi delil yotr. Hero ilme tae eser bıramıştır. Hero barla çalışa il motorları e itfaiyede llaıla basıçlı s pompasıı yapmıştır. Kear zlları erile üçgeleri e dörtgeleri alaıı esaplama formülü gibi geometriye ço büyü atısı olmştr.ayrıca Hero Aleadiria üiersiteside ders erdiği söyleiyor. Hero, üçgelerde alaları esaplamada llaıla Δ p ( pa)( pb)( p c) ala formülüüde blcsdr. B sebeple b formüle Hero ala formülü deir. Hero adıı temsil ede e o sdğ problem, earlarıı zlğ e alaı rasyoel sayılar ola ola üçgeleri taımlamatadır. B şeildei üçgelere Hero üçgeleri deir. Özel Hero üçgeleri olara bilie di açılı üçgeler, Hero da z zama öce Pisagor tarafıda blmştr. Ayrıca Lemer e Scbert özel Hero problemlerii çözme e oları geelleştirme içi Hero ala formülüü lladı. Sastry ( ) Hero üçgelerii elde etme içi Lagrage özdeşliğii e alasız yalaşımı llamıştır. Sastry 997 yılıda ii rasyoel medyalı ero üçgelerii elde etti. K.R.S. Sastry 999 yılıda Hero Triagles ad ew perspectie maaleside (,m)özel üçge ailesii elde etmiştir.

8 Hasa ŞENAY e Allagli GURBANLIYEV 00 yılıda Pisagor sayıları ile Kogret sayıları arasıdai bağıtıyı rara özel (m,) Hero üçge ailesii bir süreli esre arşılı geldiğii ispatladılar. Sasa KURZ 00 yılıda geel Hero üçge ailesii parametri çözümü llaara bld. Hero üçgelerii elde etme içi birço farlı yötem mecttr, ama yei yollarla oları taımlama da mümüdür. Sastry ı bir ço çalışması bazı problemleri çözümüde olaylı sağladığı gibi yei problemleri de beraberide getirdi. Öreği çere zllarıı oraı alalarıı oraıa eşit ola Hero üçgelerii blması gibi. B çalışmamda ear zlları ardışı sayılar ola Hero üçgelerii llaara başa Hero üçgelerii elde etme metod üzeride drdm.

9 . BÖLÜM: HERON ÜÇGENİ ALAN FORMULÜ VE ISPATI deir. Taım.. Kear zlları ile alaı rasyoel ola üçgelere Hero üçgei ols. Teorem.. Hero formülü: Kear zlları a, b, c ola üçgei alaı a b c p olma üzer Δ p ( pa)( pb)( p c) dir. İspat: B teoremi ispatı farlı ii yolla yapılabilir. (. yol): A öşeside [BC] ye bir yüseli çizelim e b yüseliği zlğ ols. ı zlğ ABH e ACH üçgeleride Pisagor teoremlerii yglayara blalım. BH m ols. Ş alde HC a - m olr. ( a m) m c b () () taraf tarafa çıartma yaparsa

10 ( a m) a a am m am b a m m b b c a m c c b c Bldğmz m değerii ( ) delemide yerie yazarsa a b c a ( ) a b c c a a b c a b c c c a a a a ac a b c ac a b c b ac ac a b c a a b ( ac) ( ) a c ( b a c)( b a c)( a c b)( a c b) a ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) a b a c b a c a c b a c b a pa pc pb 6 a c b a a p pa pb pc a a Δ p p p ( p a)( p b)( p c) ( p a)( p b)( p c) ( p a)( p b)( p c) dir.

11 (. yol ): ABC üçgeide Kosiüs teoremii yglarsa a b b CosA c bccosa c a bc olr. Si A Cos A oldğda Si A Cos A SiA Cos A b c a SiA bc SiA SiA SiA SiA SiA ( b c a ) bc ( ) bc b c a bc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c b c bc b c a bc b c a bc a b c bc b c bca bc bc a SiA SiA a b c p [ a ( b c) ][ a ( b c) ][( b c) a] [( b c) a] ( a c b)( a b c)( b c a)( b c a) b c b c 5

12 olma üzere SiA ( ) ( ) ( ) p b p c p a p bc ( )( )( ) 6 p p a p b p c SiA bc SiA p p a p b p c bc ( )( )( ) elde edilir. ABC üçgeii alaı olma üzere Δ bcsia Δ bc bc p p a p b p c ( )( )( ) ( )( )( ) Δ p pa pb pc elde edilir i isteedir. 6

13 . BÖLÜM: BENZER HERON ÜÇGENİ ELDE ETME METODU Teorem 5.. Kear zlları a, b, c ola üçge bir Hero üçgei ise Kear zlları Z olma üzere a, b, c ola üçgede bir Hero üçgeidir. İspat: Kear zlları a, b, c ola üçge Hero üçgei oldğda alaı da earları da rasyoeldir. a b c Δ p( pa)( pb)( p c), p rasyoeldirler. Kear zlları a, b, c ola üçgei yarı çere zlğ a b c a b c p olr. ear zlları.a,.b,.c ola üçgei alaı ( )( )( ) Δ p p pa p pb p pc ( ) ( ) ( ) Δ p pa pb pc ( )( )( ) Δ p p a p b p c ( )( )( ) Δ p pa pb pc Δ Δ elde edilir. Δ içi, e rasyoel oldlarıda dolayı Δ de rasyoeldir. Dolayısıyla teorem ispatlamış olr. 7

14 . BÖLÜM: HERON ÜÇGENLERİ VE YENİ ÖZELLİKLERİ B bölümde Hero üçgelerie ait bldğm yei özellileri teorem olara ereceğim. Şimdi eragi bir (a, b, c) üçgei erildiği zama b üçgei yardımı ile asıl Hero üçgei elde edebiliriz sorsa ceap ermeye çalışalım. Teorem.. (a, b, c) eragi bir üçge ols. Üçge olma özelliğii bozmama şartıyla bir ear zlğ sabit ttara diğer earlarıa ( Z ) tamsayısıı eleyere elde ettiğimiz ( ) (,, ) ( ),( ) ( ),( ) ( ) a b c a gt b d f b gt c d f c gt üçgei Hero üçgeidir. İspat: (a, b, c) üçgei erilmiş ols. B üçgei bir ear zlğ sabit ttara diğer ii ear zlğa üçge olma şartıı bozmayaca şeilde bir ( Z ) tamsayısıı eleyelim. O zama üçgeimiz ( a, b, c ) biçimide olr. B üçgei çere zlğ yarısı a b c p dir. yazarsa. Δ p( pa)( pb)( p c) Hero formülüde a b c p yi yerie Δ a b c a b c a b c a b c a b c 8

15 9 (). Δ c b a b c a a c b c b a,,, b c a g a c b f c b a d c b a t değerlerii ( ) delemide yerie yazarsa ( )( )( )( ) () t g f d Δ ( )( ) ) ( gt f d Δ elde edilir. Şimdi Δ i bir Hero üçgei alaıı temsil etmesi içi eşitliği sağ tarafı rasyoel are olmalıdır. ( ) d f gtm ols. ( ) m Z () Ş alde ( ) f gtm Δ (5) olr. ( ) gt d fgt gtm d fgtm d fgm gtm d fgtm gtm gtm fgtm d m yi (,) olma üzere m şelide ele aldı. B drmda

16 fg d fgt d gt gt fgt d fgt d gt gt ( 5 ) delemide i değerii yerie yazarsa fgt d Δ f gt gt f fgt fgt d Δ gt f d gt Δ. gt / Δ ( f d) gt ( f d ) gt. / gt gt gt Brada d>f oldğ içi (f d) egatif olr. ı pozitif olması içi gt > gt > O > gt. olmalı. Bldğmz değerii (a,b,c) de yerie yazarsa fgt d, fgt d ab, c gt gt olr. B üçge aileside de ( a( gt ), ( b d ) ( f b) gt, ( c d ) ( f c) gt ) Hero üçge ailesii elde etmiş olrz. Böylece teorem ispat edilmiş olr. 0

17 Öre.. (7, 8, 9) üçlüsüü göz öüe alalım. Şimdi yarıdai teoreme göre bir sayısıı alalım. B sayısıı ii eara elediğimizde (7, 8, 9) üçlüsüü elde ederiz. B üçgee Hero üçge ola formülüü yglarsa p yarı çere zlğ olma üzere Δ Δ Δ Δ ( )( 7)( 8)( 9 ) ( )( 5 )( )( ) ( )( 5 ) ( )( 5 ) oldğ görürüz. Şimdi m rasyoel are olma üzere ( 5 ) ( ) m () yazabiliriz Ş alde Δ Δ Δ 6 ( )( ) m ( ) 6m m( ) () elde ederiz. () delemide i blrsa 5 6m m. 6m 6m 5 m m. 5 dir.

18 , (, ) Z e olma üzere m yazarsa i yarıdai ifadeside elde edilir. Bldğmz 5 6 yi ( ) delemide yerie yazarsa Δ Δ Δ Δ elde ederiz. ala oldğda e ala egatif olamayacağıda 0 > dır. Brada > oldğ görülür. Ş alde Δ rasyoel çıtı. Dolayısıyla (7, 8, 9 ) üçlüsüde yerie 5 6 yi yazarsa

19 9, 7, , , 6 5 9, , Hero üçge ailesii elde etmiş olrz. Ş alde ( ) ( ) ( ) 9,, 7,, c b a şelide Hero üçge ailesii elde ederiz e brada Hero ala formülüü yglarsa ( ) Δ elde edilir. B ise b üçgei bir Hero üçgei oldğ gösterir. Öre.. (, 6, 8) üçlüsüü göz öüe alalım. Ş alde ear zlları, 6, 8 ola üçgei alaı rasyoel olmadığıda b üçge Hero üçgei değildir. Biz b üçgei bir ear zlğ sabit ttp diğer ii ear zlğ adar artırıp b üçgei Hero üçgeie döüştüreceğiz., 6, 8 yei üçgeimizi ear zlları ols. 6 8 p olma üzere Hero ola formülüe yglarsa

20 Δ Δ Δ ( 9 )( 9 )( 9 6 )( 9 8 ) ( 9 )( 5 )( )( ) ( 9 )( 5 ) ise ( )( ) Δ 9 5 oldğ görürüz. Şimdi m rasyoel are olma üzere ( ) 5 9 m ols () ( 5 ) i Δ de yerie yazarsa ( )( ) Δ 9 9 9m olr. ( ) Δ 9 m elde edilir i üçgeimizi alaı rasyoel olr. ( ) delemide i yalız bıraırsa 5 m ( 9 ) 5 9.m 7m 7m 5 m m m 5 elde edilir. ifadeside, Z e (,) olma üzere m yazarsa i yarıdai elde edilir.

21 5 Bldğmz 7 5 yi da yerie yazarsa ( ) m Δ Δ ( ) Δ Δ rasyoel sayısı çıtı. ala oldğda e ala egatif olamayacağıda 0 > dır. Brada > oldğ görülür. ( ), 6, 8 ( ), 6, 8 üçlüsüde yerie 7 5 yi yerie yazarsa, 9, 5 7 8, , 5 7 8, 5 7 6, Hero üçlüsü elde edilir. Ş alde ( ) ( ) ( ) ( ), 9,,, c b a şelide Hero üçge ailesii elde ederiz.

22 5. BÖLÜM: HERON ÜÇGENİ ELDE ETME METODLARI.metod: Bir Pisagor üçgei çizip di earlarıda birie göre simetriğii de çizerse bir Hero üçgei elde ederiz. Öre.. (,, 5) üçgeii ele alalım. 6

23 Öre.. (5,, ) di üçgeii göz öüe alalım..metod: Birer earları eş ola farlı ii Pisagor üçgeii orta earlarıda zıt yölü olara yapıştırırsa, elde edile üçge Hero üçgei olr. Öre.. (5, 0, 5) e (0,, 9) di üçgelerii göz öüe alalım. 7

24 Öre.. (,6,0)e (6,0,) di üçgelerii göz öüe alalım..metod : Birer earları eş ola farlı ii Pisagor üçgeii orta earlarıda ayı yöe doğr yapıştırırsa yie bir Hero üçgei elde ederiz. Öre.5. (9, 0, ) e (9,, 5) di üçgelerii göz öüe alalım. 8

25 Öre.6. (5, 0, 5) e (0,, 9) di üçgelerii göz öüe alalım. Öre.7. (6, 0, ) e (, 6,0) di üçgelerii göz öüe alalım. 9

26 .metod : Şeildei ABC üçgeide a ile b e c ile d aralarıda asal olma üzere ta A a b e B ta c d ols O alde Cot A b e Cot B d a c dir. İşlem olaylığı içi paydaları eşitlerse Cot Cot A b bc a ac B d ad c ac olr. bc p, ad, ac r ols. Ş alde 0

27 olr. r B Cot r p A Cot C Cot derse Hatırlatma:.. C Cot B Cot A Cot C Cot B Cot A Cot p p r r r r ise ( ) ( ) ( )... c Cot r p r p r p r r p p r r pg r p r p r p r p r p elde edilir. Ş alde ( ) ( ),, r p r p C Cot r B Cot r p A Cot

28 b otajat değerii paydalarıı eşitlerse ( p r ) ( p r ) ( p r ) ( p r ) ( p ) A p B C r Cot, Cot, Cot r r r r ( p ) değerlerii elde ederiz. B bldğmz ifadeleri şeilde yerie yazdığımızda BC B. D DC ( p r ) r ( p ) p r pr r p pr p ( r ) AC AE EC p p ( p r ) r ( p ) pr pr r ( p r )

29 AB AF FB p ( p r ) ( p r ) p pr ( p )( p r ) p r elde edilir. Ş alde A(AFI), A(FBI), A(BDI), A(DCI), A(ECI), A(AEI) alaları rasyoel oldğda bları toplamları da rasyoeldir. Dolayısıyla ABC üçgeii earları da alaları da rasyoel oldğda bir Hero üçgei olr. Deme i bir geelleme yaparsa p>r, >r eşitsizlilerii sağlaya p,, r tamsayıları içi earları ( a, b, c) ( p( r ), ( p r), ( p )( p r ) ola üçge Hero üçgeidir e b üçgei alaı ( )( ) Δ rp p p r rasyoel sayısıdır. Öre.8. Heragi bir ABC üçgei çizelim. A B ta, ta 5 ols. B değerleri tesadüfe erdi. A ta A ise Cot B B 5 ta ise Cot 5 olr C Cot ols

30 Ş alde 5 5 ise 5 5 elde edilir. Ş alde A 5, B Cot Cot, Cot C elde edildi. B sayıları paydalarıı eşit yapalım. A.6 78 Cot 6 6 B Cot 6 6 C. Cot olr. 6 6 B ABC üçgeii çizip elde ettiğimiz değerleri yerlerie yazarsa

31 üçgeii elde ederiz i b üçgei ear zlları da alaı da rasyoel oldlarıda Hero üçgeidir. 5

32 6. BÖLÜM: KENARLARININ UZUNLUKLARI ARDIŞIK SAYI OLAN HERON ÜÇGENLERİNİ ELDE ETME METODLARI e d tamsayıları içi ear zlları edi aralarıda aritmeti dizi dolştra a-d, b, c d earlı (a, b, c) üçgeii düşüelim. Hero formülüü yglarsa a b c d d p b üçgei alaı olma üzere Δ Δ Δ Δ 6. ( d ) ( d ) ( d ) ( d )( d ) ( d )( d ) ( Δ) ( d )( d ) dir. d. ( )( ) 6 A d d eşitliğide eşitliği sol tarafı çift oldğda de çift olmalıdır. B sebeple y tamsayı olma üzere y yazabiliriz. ( )( ) 6 A d d eşitliğide eşitliği sol tarafı bir tam are oldğda sağ tarafı da bir tam are olmalıdır. Ş alde m bir tamsayı olma üzere 6

33 7 ( )( ) d d m olmalıdır. y oldğda ( )( ) m d y d y ise eşitliği sol tarafı çift sayı oldğda sağ tarafıda çift sayı olması gereir. bir tamsayı olma üzere m yazarsa ( ) d y d y d y d y ise diyafote delemii çözümüde, y d elde ederiz. Eğer p e er iisii te eya er iisii de çift aldığımızda y e d tamsayı oldlarıda a, b, c de rasyoel olrlar. d y elde edilir. Ş alde arşımıza ear zlları,, 9 ola e alaı p Δ rasyoel sayısı ola Hero üçgei elde ederiz.

34 8 Eğer e birisi te, birisi çift olara alıırsa d tamsayı olmayacağıda ( ) d olara alırız i earları ardışı tamsayı ola üçge elde edilir. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d c b d a elde edilir. Ş alde arşımıza ear zlları, 6, 9 ola e alaı ( ) 6 p p Δ rasyoel sayısı ola Hero üçgei çıar.

35 Aşağıda te tamsayı, çift tamsayı olma üzere earları tamsayılı aritmeti dizi olştra e çerasi 000 de üçü ola Hero üçgelerii listesi erilmiştir. çere a b c ala

36 Aşağıda e te tamsayılar olma üzere earları tamsayılı aritmeti dizi olştra e çeresi 000 de üçü ola Hero üçgelerii listesi erilmiştir. çere a b c ala

37 7. BÖLÜM: (,, ) BİÇİMİNDEKİ HERON ÜÇGENLERİ İLE FARK DENKLEMLER ARASINDAKİ İLİŞKİ ÜZERİNE B çalışmada öce (,, ) üçlüsüü göz öüe aldı e alaı rasyoel olmasıı sağlaya rasyoel sayılarıı bld. Daa sora çözümü b rasyoel sayıları erece far delemii araştırdı. Bezer şeilde, (,, ), (,, ), (,, ),, (,, ) üçlüleri içi de bezer far delemi elde edilebileceğii görüldü. Her bir üçge Hero üçgei değildir. Mesela (, 8, 0) üçgei Hero üçgei değildir. Çüü p 6 Q olmasıa rağme ala rasyoel değildir. Hero üçgei olmaya sosz sayıda üçge ardır. Hero üçgelerii tüm özellileri diğer üçgeleri özellileri ile ayıdır. O içidir i b güe adar yapılmış ola çalışmaları eme-eme epsi Hero üçgelerii elde edilişi ile ilgilidir. Teorem 7.. (,, ) biçimidei Hero üçgeleri başlagıç şartları 0 e ola ( ) ( ) ( ) 0 far delemide elde edilir. { } B üçgeleri alaları ( ) ( ) Δ, 0,,,, dir.

38 İspat: (,, ) üçlüsüü göz öüe alalım. O zama p 6 olr. Böylece, er rasyoel sayı içi p rasyoeldir. Şimdide üçgei alaıı araştıralım, ( ) Δ elde edilir. Q olması içi m olmalıdır. 0 içi m 0 0 olr. Aca b üçlü bir doğr parçasıı ifade eder. içi m, 7 içi m, 6 içi m 5, 97 içi m 56, 6 5 içi m 5 09 itibare bütü terimler, şelide deam edilirse b sayılar arasıda, de içi m m m bağıtısıda blr. de 0 e başlagıç şartları alıırsa ( ) ( ) ( ) 0, (0) e () far delemi yazılır. B delem lieer delem olp, arateristi delemi λ λ 0 olr. Brada λ, ± blr. Böylece delemi geel çözümü ( ) ( ) ( ) c c, 0,,, olr. Başlagıç şartlarıı llaırsa,

39 (0) c c () c( ) c( ) c c elde edilir. { } Brada, ( ) ( ) ( ), 0,,, dır. Böylece, { } dizisii er bir terimi (,, ) üçlüsüü Hero üçgeie döüştürür. Yai, er bir sayıa erilece değer Hero üçlüsüü olştrr. O zama er bir içi (,, ) üçlüsü Hero üçgeleridir. B drmda p 6 de {( ) ( ) } p, 0,,, olr. ( ( ) )( ) ( ) ( ) Δ p p p p ( ) {( ) ( ) } ( ) ( ) { } blr. Yai, {( ) ( ) } ( ) ( ) { } Δ {( ) ( ) } ( ) ( ) { } {( ) ( ) }, 0,,, elde edilir i isteedir.

40 B üçgeleri e alalarıı aşağıdai tabloda görme mümüdür. p 6 Δ 0 0, , , , , , ,897E ,65709E 8500, ,080E ,67E 576, ,776E ,6E6

41 Teorem 7.. (,, ) biçimidei Hero üçgeleri başlagıç şartları 0 e ola ( ) ( ) ( ) 0 far delemide elde { } edilir. B üçgeleri alaları ( ) ( ) Δ, 0,,, dir. İspat: (,, ) üçlüsüü göz öüe alalım. Brada olmalıdır. O zama p 6 olr. Böylece, er rasyoel sayı içi p rasyoeldir. Şimdide üçgei alaıı araştıralım, ( ) Δ elde edilir. Q olması içi m olmalıdır. 0 içi m 0 0 olr. Aca b üçlü bir doğr parçasıı ifade eder. içi m, 7 içi m, 6 içi m 5, 97 içi m 56, 5 6 içi m 5 09, şelide deam edilirse b sayılar arasıda, de itibare bütü terimler içi m m m bağıtısıda blr. de 0 e başlagıç şartları alıırsa ( ) ( ) ( ) 0, (0) e () far delemi yazılır. B delem lieer delem olp, arateristi delemi λ λ 0 olr. Brada 5

42 λ, ± blr. Böylece delemi geel çözümü ( ) ( ) ( ) c c, 0,,,, olr. Başlagıç şartlarıı llaırsa, (0) c c () c( ) c( ) c c elde edilir. { } Brada, ( ) ( ) ( ), 0,,, dır. Böylece, { } er bir terimi (,, ) sayıa erilece değer (,, ) dizisii üçlüsüü Hero üçgeie döüştürür. Yai, er bir Hero üçlüsüü olştrr. O zama er bir içi üçlüsü Hero üçgeleridir. B drmda p 6 de {( ) ( ) } p, 0,,, olr. ( ( ) )( ) ( ) ( ) Δ p p p p ( ) {( ) ( ) } ( ) ( ) { } blr. Yai, {( ) ( ) } ( ) ( ) { } Δ {( ) ( ) } ( ) ( ) 6

43 {( ) ( ) } ( ) ( ) {( ) ( ) } ( ) ( ) {( ) ( ) } ( ) ( ) { } { } ( ) ( ), 0,,, elde edilir i isteedir. B üçgeleri e alalarıı aşağıdai tabloda görme mümüdür. p 6 Δ ,75895E ,687E ,E ,8587E ,79099E ,95E7 Bezer işlemler yapışara b Teoremler geelleştirilebilir. 7

44 şartları 0 Teorem 7.. (,, ) biçimidei Hero üçgeleri başlagıç e ola ( ) ( ) ( ) 0 far delemide { } elde edilir. B üçgeleri alaları ( ) ( ) dir. Δ 0,,,, üçlüsüü göz öüe alalım. O zama p 6 olr. İspat: (,, ) Böylece, er rasyoel sayı içi p rasyoeldir. Şimdi-de üçgei alaıı araştıralım, ( ) Δ elde edilir. Q olması içi m olmalıdır. içi m 0 olr. Aca b üçlü bir doğr parçasıı ifade eder. içi m olr.,, 5, ( 5,6,7 ),, (,, ) alaları rasyoel değildir. 6 içi m rasyoel değildir. Yai üçlüleri birer üçge olr. Aca b üçgeleri 7 içi m, 6 içi m 5, 97 içi m 56, 6 içi m 09 olr... Şimdi e m leri, i e m i, i 0,,, olara sıralarsa; 8

45 0 içi m 0 0, m içi, 7 içi m, 6 içi m 5, 97 içi m 56, 6 5 içi m5 09, şelide deam edilirse b sayılar arasıda, de itibare bütü terimler içi m m m bağıtısıda blr. de 0 e başlagıç şartları alıırsa ( ). ( ) ( ) 0, (0) e () delem lieer delem olp, arateristi delemi far delemi yazılır. B λ λ 0 olr. Brada λ, ± blr. Böylece delemi geel çözümü ( ) ( ) ( ) c c, 0,,,, olr. 9

46 Başlagıç şartlarıı llaırsa, (0) c c () c( ) c( ) c c elde edilir. { } Brada, ( ) ( ) ( ), 0,,, dır. Böylece, { } dizisii er bir terimi (,, ) üçlüsüü Hero üçgeie döüştürür. Yai, er bir sayıa erilece değer Hero üçlüsüü olştrr. O zama er bir üçlüsü Hero üçgeleridir. B drmda p 6 de içi (,, ) p {( ) ( ) }, 0,,, olr. ( ( ))( ) ( ) ( ) Δ p p p p ( ) {( ) ( ) } ( ) ( ) {( ) ( ) } ( ) ( ) { } {( ) ( ) } ( ) ( ) ( ) ( ) { } {( ) ( ) } ( ) ( ) 0

47 {( ) ( ) } ( ) ( ) { } {( ) ( ) }, 0,,, elde edilir i isteedir.

48 8. BÖLÜM: SONUÇ Biz b tezimizde, ardışı earlı Hero üçgeii asıl elde edildiğii e b elde edile Hero üçgelerii llaara ardışı earlı daa başa asıl Hero üçgeleri elde edilebileceğii göstermiş old e b geelleştirdi.

49 KAYNAKLAR Moaty S. ad Moaty S. P., "Pytagorea Nmbers", Fiboacci Vol. 8 No l, pp -, (Feb. 990). Qarterly, Bearegard R. A. ad Sryaarayaa E. R., "Aritmetic Triagles", Matematics Magazie, Vol. 70, pp 05-5, (997) Ramod A. Bearegard ad Sryaarya E. R., "Itegral Matematics Magazie, Vol. 7, No, (Otober 999) Triagles", Sastry K. R. S., "Hero Triagles: A New Perspectie", Astralia Matematical Society Gazette, Vol 6, Nmber, pp 6-68, (999) Sastry K. R. S., "Hero Triagles: A Gergoe Ceia ad Media Perspectie, Form Geometricorm Vol l, 7- (00), Brisse Edward, "Perspectie Poristic Triagles", Form Geometricorm, Vol l, pp 9-6, (00) Bier Sabrıa, "Eilateral Triagles İtercepted by Orieted Parallelias", Form Geometricorm, Vol l, pp 5-, (00) Grbalıye Allaglı, Hero Üçgeleri Üzerie,( Dotora Tezi), Koya,(00) Darıyeri Memet, Hero Üçgelerii Bazı Özellileri Üzerie Bir Araştırma ( Yüse Lisas Tezi), Koya, (005) Grbalıye A., Kızıl d., ad Şeay H., Paralelogram ad Heroıa Triagles " Dergi(Mat. Ser.) Vol. 9, No., 8-85, (006)