1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )"

Transkript

1 . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi yapılmış daha sora yerli yabacı yarışmalarda kou ile alakalı problemler ile zegileştirilmiştir. Teorik kısım ispatları ile verilmiş ve çok sayıda problem ile teori pekiştirilmeye çalışılmıştır. Ayrıtılı bir tashihte geçmediği içi yazım yalışları olabilir...bölüebilme Taım. abc,, tam sayı olmak üzere ac = b ise a sayısı b sayısıı tam bölüyor deir ve ab şeklide gösterilir. Sıfırda farklı her tam sayı 0 sayısıı tam böler. Özellikler. a 0 ise aadır.. ab ve bc ac. abve ac ise a ( b+ c) ve a ( b c) d ( ax + by) dir. 4. c 0 ab ac bc 5. ab ve b > 0 a b. Hagi pozitif tamsayıları içim ( ) ( ) dir. Daha geel olarak x, y tam sayıları içi + + dir? ( ) Çözüm: ( + ) ( + ) olsu. ( + ) ( ) olduğuda ( ) ( ) + = veya + = olup = tek çözümdür. Bu problemi farklı bir yol kullaarak da çözebiliriz. Eğer ( ) ( ) + + = + + ifadesi doğru ise + + kesri bir tam sayı olmalıdır. Bu ifadeyi poliom bölmesi kullaarak

2 + = şeklide yazar isek + olup = olur. tam sayı olacağıda + = veya + =. a olmak üzere a a şartıı sağlaya a tamsayılarıı buluuz. Çözüm: a a 7 ve a a olduğuda a 4 olup a sayısı 4 ü bir bölei olmalıdır. Bu durumda a =±, ±, ±, ± 4, ± 6, ± 8, ±, ± olup a {, 9, 5,,, 0,,, 4, 5, 6, 7, 9,, 5, 7} olur. Şimdi Biom teoremide faydalaarak bazı bölüebilme problemleri çözelim.. Her doğal sayısı içi 69 ( 6 7) + olduğuu gösteriiz. + + = 7 = + 6 = 6 = i= 0 i i= i + + i i olup i Çözüm: ( ) ( ) içi i i= i sayısı 69 ile tam bölüür i = 69 t i= i dersek + = t = t olup olur olmasıı sağlaya sosuz sayıda doğal sayıı olduğuu gösteriiz. Çözüm: k pozitif tam sayı olmak üzere = k içi + olduğuu tümevarımla gösterelim. k = içi iddia doğru olup k N içi k k + olsu. Bu durumda k. k m = + olacak şekilde bir m tam sayısı vardır. Biom teoremide; k ( ) ( ) k+ k k k+ k+ k+ = = m. = m. m. + m. = t. olup k+ k + + = t. olduğuda k k olup iddia k + içide doğrudur.

3 ifadesii tam sayı yapa tam sayılarıı toplamı kaçtır? Çözüm: ( + )( + ) + = ( )( ) + + ( ) + = Z Z 9 7 Z Z =±, ± 7 =, olup toplamı 4 olur i + ile bölüebilmesii sağlaya kaç tae pozitif tam sayısı vardır? Çözüm: ( + ) ( 8 + ) ve ( + ) ( 8 + ) olduğuda ( + ) ( 8 + ) ( 8 + ) olacağıda ( ) ( ) + olur. Bu durumda = 0 veya + olmalıdır. = 0 ise = olur. durumuu iceleyelim. 0 içi > olacağıda 9 olur. Bu sayılar yerie yazılır deeirse =,4,6 içi ( ) ( 8 ) + + olur. Bu durumda 4 tae değeri vardır. 6. a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere c a.b, a b.c ve 5b c.a ise a.b.c e az kaçtır? Çözüm: ab = ck ve ca = 5bt ise a bc = 0bckt 0 a 0 a olur. Bezer şekilde 6 b ve 5 c olur. Bu durumda abc 900 olmalıdır. a = 0, b = 6 ve c = 5 verile şartları sağladığıda abc e az 900 olur ( 0a+ b) ise 7 ( a b) olduğuu gösteriiz. Çözüm: 0a + b = 7 ise b = 7 0a dır. a b = a (7 0a) = a 4 olduğuda ( a b) 7 dir...alıştırma Problemleri olmasıı sağlaya tamsayılarıı buluuz.

4 Çözüm: kesri bir tam sayı ise ( ) = Z Z + 4 olur. O halde + 4=±, ± 5, ± 5 =,, 7 olur.. Hagi pozitif tamsayıları içi olur? Çözüm: Z Z Z Z + 6 Z + ise poliom bölmeside Z + + =±, ±, ± 4, ±, ±, ± 4 4olup pozitif olduğuda =,,44 =,4 olur. Başka bir çözüm ise ( ) ( )( ) = 44 olmasıda faydalaılarak yapılabilir.. Her pozitif tamsayısı içi olduğuu gösteriiz. 4 = + = açılımı so iki terim 0 Çözüm: ( ) hariç diğerleri 9 ile bölüdüğüde 4 = 9A+ + şeklide yazarsak = 9A+ 8 olup 9 ile bölüür. 4. Her pozitif tamsayısı içi + + olduğuu gösteriiz Çözüm: ( ) + = 4 olmasıda faydalaılarak çözüm yapılabilir. 5. Her pozitif tamsayısı içi ( ) + olduğuu gösteriiz. Çözüm: ( + ) ifadesii açılımıda faydalaılarak çözüm yapılabilir. 6. Her pozitif tamsayısı içi ( ) (. ) olduğuu gösteriiz. m Çözüm: = m içi m ( m+ ). olup..5 de iddia doğru olur. 4

5 7. a ve b tamsayılar olmak üzere 7 a+ b 7 9a+ 5b dir. Çözüm: 7 a+ b= 4( 9a+ 5b) 7( a+ b) 7 ( 9a 5b) ( a+ b) = ( a+ b) ( a+ b) 7 ( a b) dir. + dir. 8. ve m = içi ( ) ise ( m ) m olduğuu gösteriiz. Çözüm: = t dir. t ( ) ( ) ( ) ( m ) m = m t ( ) t ( ) m t = olur. = = = + olur. m ( m ) ( m ) m dir. t + olduğuda 9. Kaç tae pozitif tamsayısı içi sayısı 9 ile bölüür? =. + = ( + ) + 0 Çözüm: ( ) olduğuda.4 + sayısıı 9 a bölümüde kala tür sayısıı 9 a bölümüde kala 6 olduğuda her zama 9 ile bölüür. 0. pozitif tam sayısı içi + sayısı i e fazla kaçıcı kuvveti ile tam bölüür? Çözüm : + sayısı çift olduğu içi ile bölüebildiği açıktır. Şimdi 4 ile bölüemediğii gösterelim. Biom teoremide + = 9 + = ( 8 + ) + = olup so 0 iki terim hariç tüm terimler 8 ile kalasız bölüür ve so iki terim toplamı da olduğuda verile ifade sadece ile bölüür.. x, y > 0 olmak üzere 9 88 sayısıı x y formudaki bölelerii toplamı kaçtır? 5

6 Çözüm: Biom açılımıda ( ) = 0 = = = olur. olduğuda ilk 87 terim ile bölüür. 0 = 88.0 =. k 87 dır. Bu durumda = k +( 6 ile bölüe terimler) şeklide yazılabildiğide 9 88 sayısı 5 ile bölüür fakat 6 ile bölümez. ( ) = 8 + = olduğuda ilk 87 terim 4 88 ile bölüür. 8 = 88.8 =. k olduğuda 9 88 sayısı ile bölüür fakat 87 ile bölümez. Bu durumda x 5 ve y içi x y sayılarıı toplamı ( )( + ) = 744 olur toplamıı e bölümüde kala kaçtır? Çözüm: ( ) ( + ) i i i =..( ) +. olarak düzeleme yapalım. i i 0 da 005 e kadar ola değerleride toplaa her iki terimde de i= i i= i çarpa olarak buluacağıda toplam daima ile bölüür. O halde 007 i i 007 i..( ) +. =.007. olup.007. i ile bölü i= 006 i i= 006 i müde kala 0 dur so o rakamıı toplamı kaçtır? Çözüm: 0 0 ( ) ( ) 0 0 = 00 + = 0 + olduğuda, biom açılımıda; 0 0 i i i 0 i ( 0 ) = ( 0 ) = i= 0 i= 0 so o rakam lazım olduğuda sadece toplamıa bakmalıyız. Bu değer ise olur. Bize = 6

7 olup bu sayı 0 0 moduda sayısıa dek olup burada so 0 rakam olur. Burada da so o rakamı toplamı 5 olur i i= i toplamıı birler basamağıdaki rakam kaçtır? = + 4 = 4 i i= 0 i olduğuda 00 Çözüm: ( ) 00 i = 5 i= i olup 5 i tüm kuv- vetlerii birler basamağıdaki rakam 5 olduğuda eksiğii birler basamağıdaki rakam 4 olacaktır. 5., 006 yı geçmeye pozitif bir tam sayıdır. tüm sayıları kaç taedir? 006 i bir tam sayı olmasıı sağlaya Çözüm: durumda = dir dir. Bu 006 =.7.59 i 007 ile 40 arasıdaki çarpalarıı bulmalıyız. 006 =.7.59 i 59 de başka 007 ile 40 arasıda çarpaı olmadığıda = 006 = 59 = 48 = 475 olur. 6. pozitif tam sayı olmak üzere + i yı bölmesii sağlaya kaç tae sayısı vardır? 6 Çözüm: ( ) + 06 = ( + ) vardır. 98 =,,, 4, 8, 4 olup 6 tae değer i + ile bölüebilmesii sağlaya kaç tae pozitif tam sayısı vardır? Çözüm: ( + ) ( 8 + ) ve ( + ) ( 8 + ) olduğuda ( + ) ( 8 + ) ( 8 + ) olacağıda ( ) ( ) + olur. Bu durumda = 0 veya + olmalıdır. = 0 ise = olur. durumuu iceleyelim. 0 7

8 içi > olacağıda 9 olur. Bu sayılar yerie yazılır deeirse =,4,6 içi ( ) ( 8 ) + + olur. Bu durumda 4 tae değeri vardır. 8. ab, tam sayılar olmak üzere a b 60 tae ( ab, ) ikilisi vardır?, ab ve ( a ) ( b ) + + şartlarıı sağlaya kaç Çözüm: ab ve aa a ( b a) olur. ( a+ ) ( b+ ) ve ( a ) ( a ) ( a+ ) ( b+ ) ( a+ ) ( a ) ( b a) olduğuda b a sayısı hem a hem de a + ile bölüür. a ve a + aralarıda asal olduğuda b a ifadesi a( a+ ) ile bölüür. O halde b a ve k Z + içi ( ) b= a a+ k + a olur. a = içi k, 9 değer alır. a = içi k, 9 değer alır. a = içi k, 4 değer alır. a = 4içi k, değer alır. a = 5 içi k, değer alır. a = 6 içi k, değer alır. a 7 içi b > 60 olur. a = b şartıı sağlaya 60 durum olduğu da göz öüe alıırsa toplam 06 tae ( ab, ) vardır. 9. x, y, z pozitif tam sayıları de büyük olup xy sayısı z ile, yz sayısı x ile, zx sayısı y ile bölüüyorsa kaç farklı ( xyz,, ) üçlüsü vardır? Çözüm: Geelliği bozmada x y z. olsu. xy + yz + zx sayısı x, y, z ile bölüür. x, y, z ikişer ikişer aralarıda asal olmalıdır. Çükü ( xz, ) = d olmak üzere z xy d xy ve dx olduğuda d olur. O halde xy + yz + zx = kxyz olacak şekilde pozitif k tam sayısı vardır. Bu durumda + + = + k > olmalıdır. x y z xyz + + = + k > > x x = olur. Bezer şekilde y = ve z = 5 olup x x y z xyz (,,5) i permutasyoları da hesaba katılırsa 6 tae (x, y, z) üçlüsü vardır. a + b + 0. ve b a taedir? sayılarıı tam sayı olmasıı sağlaya (a, b) pozitif tamsayı ikilileri kaç 8

9 Çözüm: x ve y pozitif tam sayı olmak üzere ve y + b = (bx )y y + = bxy b ise b = xy b + y = olsu. a = bx ve b = ay ise a olur. x = ise y + b = = + y y ( ab, ) = (, 4) ve y = 4 ise ( ab, ) = (, ) x = ise y + b = y ise y = veya y = 4 olmalıdır. Bu durumda y = ise olur. Z+ y + y y olur. y = ( ab, ) = ( 5,) tamsayı olamaz. y = ise ( ab, ) = (,) dir. ve y = ise b x = ise x = 4 ise y + b = y y + b = 4y y + y y y = b tam sayı olamaz. y + 4y y y = ( ab, ) = (,) olur. x 5 xy 5y > y + olduğuda b tamsayı olamaz. O halde 5 tae (a, b) ikili vardır.. a, b, c doğal sayılar, < a b < c olmak üzere, (a, b, c) üçlüleride yalız bir taesii a (bc+), b (ac+), c (ab+) koşullarıı sağladığıı gösteriiz ve o üçlüyü buluuz. Çözüm: Problemdeki özelliğe sahip ( abc,, ) üçlüleri ikişer ikişer aralarıda asal olmak zorudadırlar. Eğer ( ab, ) > ise ( ) ac, b > olup ac + ifadesi b ye bölümez. Böylece, a < b < c dir. S = ab + bc + ca + ifadesi, a, b ve c i her biri ile bölüür. a, b ve c ikişer ikişer aralarıda asal olduğuda S, abc çarpımı ile bölüür. dolayısıyla, abc S dir. Şimdi a < b < c olduğuu da göz öüde tutarak b 4 alalım. Bu taktirde c 5, abc.4.5. = 40 ve dolayısıyla abc abc abc S = ab + bc + ca + = c b a abc abc abc abc

10 abc abc abc + 0 = = abc < abc elde edilir. Bu, S abc ile çelişir. O halde b < 4 olmalıdır. b i alabileceği tek değer b = ve a ı alabileceği tek değer a = dir. c = ab + = 7 olduğuda c = 7 olmalıdır. Souç olarak, problemdeki koşulları sağlaya bir tae üçlü vardır: (,,7). a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere b a, c b ve a c ise a.b.c (a + b + c) olduğuu gösteriiz. Çözüm: (a + b + c) ifadesi açıldığıda terimler k, m, 0, k + m + = olmak üzere a k b m c şeklidedir. Eğer k, m, pozitif ise a.b.c a k b m c olur. Şimdi = 0 durumuu iceleyelim. Bu durumda k, m 0 ve k + m =, a k b m terimlerii a.b.c ile bölüdüğüü göstermeliyiz. b a, c b ve a c olduğuda c a 9 ve a b 9 dur. Eğer k = ve m = 0 ise a k b m = a.a.a 9 olduğuda abc a k b m dir. Eğer 0 k ve m ise a k b m = a.b.a 9 (a k-0 b m- ) abc a k b m dir. Eğer k 9 ve 4 m ise a k b m = a.b.b (a k- b m-4 ) abc a k b m dir. Eğer k = 0 ve m = ise a k b m = b.b.b 9 abc a k b m dir. Bezer şekilde m = 0 ve k = 0 içide istee elde edilir.. abc,, tamsayılar olmak üzere a.b + 9b + 8 ve b.c + 9c + 8 sayıları 005 e bölüüyorsa ca + 9a + 8 sayısıı da 005 e bölüdüğüü gösteriiz. Çözüm: w = ca + 9a + 8 olsu. a.b + 9b + 8 = 005k = 5.40.k ise 8 sayısı 5 ve 40 bölümediğide b de 5 ve 40 e bölümez. b.w = abc + 9ab + 8b = c(a.b + 9b + 8) 9(b.c + 9c + 8) + 9(a.b + 9b + 8) olur. Eşitliği sağ tarafı 005 e tam bölüdüğüde b.w sayısı da 005 e tam bölüür. b sayısı 5 ve 40 e bölümediğide w = ca + 9a + 8 sayısı 005 e bölüür tek pozitif tamsayı ise + ( + ) ifadesii + ile tam bölüdüğüü gösteriiz. 0

11 Çözüm: tek olup biom açılımıda + = + + = ve 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( + ) = ( + ) ( + ) ( + ) olur. İfadeler taraf tarafa toplaırsa ifadeleri e soudaki ve birbirii götürüp toplamdaki 0 + tüm + terimlerde + katsayısı mevcut olur. Bu durumda + ( + ) sayısı + ile tam bölüür. Taraf tarafa toplama işlemide sora ifade + paratezie alıırsa ifadeleri e souda kala ve terimleri hariç diğer tüm terimlerde + çarpaı olduğu da ve + terimleri hariç diğerleri çift olur. So olarak = + ifadesi de çift olduğuda + paratezie aldığımız ifadei diğer kısmı da çift olaca- + ğıda + ( + ) ifadesi + ile tam bölüür. 5. 5ve tek sayı olduğua göre N= sayısıı bileşik sayı olduğuu gösteri. Çözüm : N = N = N= + ( + 5) = 4 + N= ( 4 + ) = ( + ) 5 5 = bileşik sayı olduğu alamıa gelir. + + N, 5 içi her iki paratez de 5 de büyüktür. Bu da N sayısıı 6. Negatif olmaya her tamsayısı içi olduğuu gösteriiz.

12 Çözüm: ( ) = + = ( ) olduğuda.4 + sayısıı 9 a bölümüde kala tür sayısıı 9 a bölümüde kala 6 olduğuda istee elde edilir... Bölme Algoritması Teorem. a ve b tam sayılar b > 0 olmak üzere a = bq + r ve 0 r < bolacak şekilde bir tek r ve q tamsayı çifti vardır. Burada q ya bölüm r ye kala deir. Eğer r = 0 ise b sayısı a yı böler deir ve ba yazılır, b, a yı bölmüyorsa b a yazılır. İspat: a sb formudaki pozitif tam sayıları kümesi K olsu. Eğer a 0 ise a 0 b K dır. a < 0 ise b olduğuda ( a ab) = a( b) 0 olup ( ) a ab K olur. Bu durumda K kümesi boş olmayıp iyi sıralama presibide bir e küçük elemaı olmalıdır. s daki e küçük elema a qb = r olsu. r 0 dır. = q içi K Şimdi r < b olduğuu gösterelim. r b olduğuu varsayalım. ( ) r > r b= a b qb= a b q+ 0 olur. Bu ise r = a bq u a sb formudaki egatif olmaya sayıları e küçüğü seçimimizle çelişir. Bu durumda r olmalıdır. q ve r değerlerii tek olduğuu gösterelim. a = bq+ r, 0 r < b ve a = bq + r, 0 r b çiftlerii olduğuu kabul edelim. bq r bq r b kabulü yalış olup r < b < olacak şekilde ( q, r ) ve (, ) q r tam sayı + = + b( q q ) + r r = r r = b( q q ) b ( r r) 0 0 r < b ve 0 r < b olduğuda b r r b r r 0 < < olup b ( r r) = yai r = r olmalıdır. Burada q = q eşitliği elde edilir. olur. olabilmesi içi.4. Örekler. a ile b tam sayılarıı m doğal sayısı ile bölümüde kala ise a.b i de m ile bölümüde kalaı olduğuu gösteriiz.

13 Çözüm: a = sm + ve b = tm + olacak şekilde t ve s tam sayıları olup ab = (stm + s + t)m + olup stm + s + t = q dersek ab = qm + olduğuda ab i m ile bölümüde kala dir.. Ardışık m tae tam sayıda yalızca birii m ile bölüdüğüü gösteriiz. Çözüm: Sayılarımız a+, a+,..., a+ m olsu. a qm r olacak şekilde tek türlü q ve m tam sayıları vardır. = + ve r {,,..., m } + ( ) = + + = ( + ) olduğuda ma ( m r) a m r q mr m r q m ( + k) olacak şekilde k {,,.., m} m a ( ) ( ) + olur. Diğer tarafta varsa a + k = cm olacak şekilde c tamsayısı olup a = c m+ m k ise c = q ve m k = r olup k = m r olur. Bu durumda a + m r de başka m ile bölüe sayı yoktur.. ve +, 0 da büyük iki asal sayı olmak üzere 4 sayısı aşağıdaki sayılarda hagisie daima tam bölüür? a) 7 b) 80 c) 90 d) 45 e) 0 Çözüm: Öce = ve 4 ( )( ) 0..5 = + olduğuu hatırlayalım. Ardışık çift sayılar ola,, + i her biri ye, e az bir taesi de e bölüebilir. Diğer tarafta,,, +, + ardışık sayılarıda bir taesi 5 e bölüebilmelidir., + asal olup 5 e eşit olmadığıda,, + sayılarıda sadece biri 5 e bölüebilmelidir. Demek ki 4, 0 ye bölüür..5. Alıştırma Problemleri. Ardışık iki pozitif tam sayıı karelerii toplamıı 4 ile bölümüde kalaı olduğuu gösteriiz. Çözüm: a + ( a+ ) = a( a+ ) + olup a( a+ ) çift olduğuda 4 ( ) a a+ olur. O halde a( a+ ) + i 4 ile bölümüde kala dir.

14 . Bir tek sayıı karesii 8 ile bölümüde kalaı olduğuu gösteriiz. Çözüm: ( a+ ) = 4a( a+ ) + olup a( a+ ) çift olduğuda 84 ( ) ( a + ) i 8 ile bölümüde kala dir. a a+ olur. O halde. k tek sayı ve pozitif tam sayı olmak üzere + k olduğuu gösteriiz. Çözüm: Tümevarım presibii kullaıız. 4. a bir tam sayı ise aa, +, a+ 4 sayılarıda birii e bölüdüğüü gösteriiz. Çözüm: a = k formuda ise iddia doğrudur. a = k + formuda ise a+ = k + ifadesi ile bölüür. a = k + formuda ise a+ 4= k + 6 ifadesi ile bölüür. 5. k =,, olmak üzere k şeklide hiçbir tamsayıı iki tamsayıı kareleri toplamı olamayacağıı gösteriiz. Çözüm: Olmayaa ergi yötemii kullaacağız. k i iki tamsayıı kareleri toplamı olarak ifade edilebileceği e küçük k tamsayısıı göz öüe alalım. Yai = x + şeklide x, y tamsayıları bulusu. Eğer x = k ± ve y = t ± formuda ise x k y + y ifadesi ile bölüemez. O halde x, y tamsayılarıı her ikisi de ile bölüebilmelidir. Demek ki x = m, y = olacak şekilde m, tamsayıları buluabilir. O zama da ( m + ) k x y = + = yai k m buluur ki bu k i yukarda belirtile özelliğe sahip de büyük e küçük tamsayı olduğu varsayımıyla çelişir. = +.6. EBOB ve EKOK Taım. a, a ikisi birde sıfır olmaya tam sayılar olsu. Herhagi bir m tam sayısı içi ma ve ma ise m ye a ve a i ortak bölei deir. a ve a i ortak bölelerii e büyüğüe bu sayıları e büyük ortak bölei deir (, ) a a ile gösterilir. 4

15 Herhagi bir m tam sayısı içi a m ve a m oluyorsa m ye a ve a i ortak katı deir. Ortak katları e küçüğüe a ve ab, tam sayıları içi; a i e küçük ortak katı deir ve [, ] a a ile gösterilir. ( ab, ) = ( ba, ), [ ab, ] = [ ba, ], ( a,) =, [ a,] = a, ( a,0) = a ve [ ] a,0 = 0dır..7. Öklit Algoritması E büyük ortak böle taımı ebob i buluması ile ilgili bir yötem vermez. a ile b i ebob u Öklit algoritması dee bir yötemle buluur. a, adoğal sayılar olsu. içi a 0 olmak üzere a sayısıı a ile bölümüde kalaı a ile gösterelim. Bu işleme böyle devam edilerek solu adım sora a = 0 elde ederiz. Bu durumda a ( a, a ) = olur. k k İspat : a > a > a4 >... azala dizii terimleri egatif olmayacağıda solu adım sora a = 0 olur. Bu işlemleri aşamalarıı aşağıdaki gibi yazabiliriz. k a = qa. + a a = q. a + a4... ak = qk. ak + ak ak = qk. ak + a k = 0 So eşitlikte dolayı ak a, soda bir öceki eşitlikte k ak ak ve bu şekilde devam edilerek ak a a a sayısı ve k a a elde edilir. Diğer tarafta a a qa. = olduğuda (, ) a sayısıı tam bölmeli. Bezer şekilde ( a, a ) sayısı ( a a q. a oldu ğu içi ) = a 4 sayısıı da tam bölmeli. Bu düşüce akışıyla (, ) ( a a ), ak = elde edilir. a a sayısı k 4 a sayısıı tam bölmeli. Burada Şimdi buu birkaç örek ile açıklayalım. 5

16 . 95 ile ü e büyük ortak böleii öklit algoritması ile bulalım. 95 = 4 + = 7 + = + = + 0olduğuda ( 9, ) = dir.. 6 ile 48 i e büyük ortak böleii öklit algoritması ile bulalım. 6 = = + 6 = 6 + 6= + 0 olduğuda ( 6, 48) = dir. abxy tam sayılar olmak üzere ( ab, ) ( ab, ax).,,, Çözüm: ( ab, ) Diğer yada (, ) d = e olmalıdır. = + dir. = d ve ( a, ax + by) = e olsu. dadb, olduğuda d ax + by de olur. a b + ax = e ise ea ve e b + ax eb eb olur. Bu durumda ed olup 4. Ardışık tek sayıları aralarıda asal olduğuu gösteriiz. Çözüm: Z içi (, + ) = d olsu..7. de (,+ ) = (,+ ( ) ) = (,) = (,) = (, ( ) ) ( ) =, = olur. 5. Herhagi bir pozitif tamsayısı içi kesrii sadeleşemediğii gösteriiz. Çözüm: k tamsayısı + + ve k ( ) ( + + ) = + + = k.t, t Z dir sayılarıı ortak bölei olsu. Bu durumda k ( + + ) = ( + ) + + k + olduğuda k = olup verile kesri pay ve paydası aralarıda asal olacağıda sadeleşemez. 6

17 .8. Bezout Özdeşliği Teorem., ab tam sayılar olmak üzere ( ab, ) tam sayıları vardır. Ayrıca d, ax + by şeklideki pozitif tam sayılar kümesii e küçük elemaıdır. İspat : ax = d olsu. d = ax + by olacak şekilde xy, + by şeklideki pozitif tam sayılar kümesie K diyelim. 0 < d = ax + by olduğuda a ve b de e az biri 0 da farklıdır. a 0 olsu. O halde a K dır. Eğer a < 0 ise = + < olacak şekilde tek bir (, ) a K olur. Bu durumda K olup K kümesii bir e küçük elemaı olmalıdır. K kümesii e küçük elemaı e = ax0 + by0 olsu. Şimdi d = e olduğuu gösterelim. Bölme algoritmasıda a eq r,0 r e ( ) ( ) ( ) qr tam sayı ikilisi vardır. r = a eq = a ax + by q = a qx + b qy olur. Bu durumda r ifadesi ax + by şeklide ifade edilebilir. Eğer r 0 ise r K olur ki bu ise e i K ı e küçük elemaı olması kabulü ile çelişir. O halde r = 0 olmalıdır. Bu durumda a = eq ea olur. Bezer şekilde eb olduğu gösterilebilir. Yai e, a ile b i ortak bölei olup e d olmalıdır. Diğer tarafta e = ax0 + by0 ve dadb, olduğuda de olup d e olur. Bu durumda d = e olur. O halde d, ax elemaıdır. + by şeklide yazılabilir ve bu şekildeki pozitif tam sayılar kümesii e küçük Teorem. ( ab, ) = d olması içi gerek ve yeter şart, d > 0, da, db ve a ile b i her ortak f bölei içi f d olmasıdır. İspat : ( ab, ) ve fb olduğuda f ax = d olsu. da, db olup.8 de, + by f d olur. xy Z içi d = ax + by > 0 dır. f a d > 0, da, db ve a ile b i her ortak f bölei içi f d olsu. Bu durumda d, a ile b i bir ortak bölei olur. Her f bölei içi f d olduğuda f ortak bölei olur. d olup d, a ile b i e büyük 7

18 Teorem. [ ab, ] = m olması içi gerek ve yeter şart, m > 0, am, bm ve a ile b i her ortak katı içi m olmasıdır. İspat : [ ab, ] = m ve, a ile b i herhagi bir ortak katı olsu. Geelliği bozmada > 0 kabul edelim. m e küçük ortak kat olduğuda herhagi ortak bir katta daha küçük olup m dir. m= ise m olup ispat biter. m< ise bölme algoritmasıa göre 0 r < m ve = qm + r olacak şekilde qr, tam sayıları vardır. r = qm olur. a ve b sayıları m ile i birer bölei olduğuda a ( qm) = r ve bezer şekilde br olup r, a ile b i ortak katı olur. r 0 olursa 0 r < m olduğuda bu m i e küçük ortak kat olması ile çelişir. Bu durumda r = 0 olmalıdır. O halde = mq m olmalıdır. m > 0, am, bm ve a ile b i her ortak katı içi m olsu. m i bir ortak kat olduğu açıktır. m olduğuda m her ortak katta küçük olacağıda [ ab, ] = molmalıdır..9. EKOK ve EBOB Arasıda Bir Bağıtı Her a, b tamsayısı içi (, ) [, ] ab ab = a b dir. İspat: ( ab, ) = d ise a = dk, b = dt ve ab m = olsu. m = bk = at olup m > 0 ve am d ve bm olur. Herhagi bir tam sayısı içi a ve b ise öyle r, s tam sayıları vardır ki ar = bs = olup kdr = dts kr ts = k ts olur. ( ) kt, = olduğuda ks olup s = kp, p Z yazabiliriz. = bs = dtp = mp m olur. Bu durumda.8. te m, a ile b i e küçük ortak katı olmalıdır..0. İki veya Daha Fazla Sayıı Böleleri ve Katları 8

19 E az biri sıfırda farklı a, a, a,..., a tamsayılarıı her birii böle e büyük doğal sayıya bu sayıları ortak bölelerii e büyüğü (OBEB) deir ve (a,a,a,...a ) şeklide gösterilir. Hepsi sıfırda farklı a, a, a,..., a tamsayılarıı her birie bölüe e küçük doğal sayıya bu sayıları ortak katlarıı e küçüğü (OKEK) deir ve [a, a, a,..., a ] şeklide gösterilir. Teorem. a, a,..., a sıfırda farklı tam sayılar olmak üzere ( ) ( ) ( ) a, a,..., a = a, a,... a, a dir. İspat: ( a, a,... a ) = d ve ((,,... ), ) i =,,..., içi i a a a a = e olsu. O halde i =,,..., içi da i olup (,,..., ) da ( ) olduğu gösterilebilir. Bu durumda d a a a a = e olduğuda de olur. Bezer şekilde ed = e olmalıdır. Teorem. [ ] [ ] a, a,... a = a, a,... a, a dir. İspat: Bir öceki teoremdeki yötemle istee elde edilebilir... Aralarıda Asallık a, a,..., a Z,,..., a sayılarıa aralarıda asal sayılar deir. i j olmak üzere ( ) a, a,..., a = ise a a < olmak üzere ( i j) a, a = ise a, a,..., a sayılarıa ikişer ikişer aralarıda asal sayılar deir... Örekler 9 6. (, ) kaçtır? Çözüm: Öklit algoritmasıda; ( ) = + 9

20 ( )( ) 6 = = ( )( ) + olduğuda ( ) , = = 7. k, pozitif bir tamsayı olmak üzere 7k ile k + 5 sayısıı de büyük ortak bir bölee sahip olduğu ilk k sayısı ile bu ortak bölei toplamı edir? Çözüm:.7. de ( 7k,k 5) ( 7k, k 7 ) ( k 7, k 0 ) ( k 0, 47 ) + = = + = + olduğuda 7k ile k + 5 sayısıı de büyük ortak bölei 47 olabilir. k = 7 içi istee elde edilir. Bu durumda cevabımız = 74 olur.. içi a 00 = + olsu. a ile a + i e büyük ortak bölei d ise d i alabileceği e büyük değer aşağıdakilerde hagisidir? Çözüm:.7. de ( ) ( ) ( ) (, + 00, 0 00, 00, ) d = a a = = + + = + + ( 00, ) ( 400, ) ( 40, ) = + = + = + olacağıda d 40 olmalıdır. 40 asal olduğuda d = veya d = 40 olur. = 00 içi d = 40 olur... Alıştırma Problemleri,,, 4. problemlerde pozitif tamsayı olmak üzere.7. özelliği kullaılırsa;. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +,9 + 4 = 8 + 4,9 + 4 = +, = +, = +, =. (,9 4) ( 8 4,9 4) (, 8) (, 6 ) (,7 ) + = + = + = + = olur. Eğer 7 ( ) ise (,9+ 4) = 7 olur. Aksi halde ( ).,9 + 4 = olur. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 +, = , = 6 +,8 + = 6 +,6 + 6 = 6 + 6, = 4. ( +, + 7) = ( +, + 4) = ( +,) olur. ( + ) ise ( ) +, + 7 = aksi halde ( ) +, + 7 = olur. 0

21 6. 6 da büyük her tamsayıı de büyük aralarıda asal iki sayıı toplamı biçimide yazılabileceğii gösteriiz. Çözüm: m olmak üzere sayımız 6m formuda ise 6m ( 6k ) ( 6k ) = + + olup 6k + ile 6k ardışık tek sayılar olduğuda aralarıda asaldır. 6m + formuda ise ( ) 6m+ = 6k + 6k + olup 6k + ile 6k ardışık olduğuda aralarıda asaldır. Bezer şekilde 6m+,6m+,6m+ 4,6m+ 5 formudaki sayıları da aralarıda asal iki sayıı toplamı şeklide yazılabileceği gösterilebilir. + sayılarıı aralarıda asal olduğuu gös- 7. m ve doğal sayı ve m> ise teriiz. m + ve Çözüm: ( )( ) ( )( ) m m m = olduğuda ( )( ) ( )( ) m m m + = olur. + ifadesi yi bölemeyeceğide istee elde edilir. 8. Verile a, b tamsayıları içi k ve l tam sayı olmak üzere d = ka + lb > 0 ve d a ve d b ise ( ab, ) d= olduğuu gösteriiz. Çözüm: d a ve d b ise d( ab, ) dir. ( ab, ) a ve ( ab, ) b olduğuda ( a, b) ( ka lb) ( ab, ) d olur. O halde d ( ab, ) = olmalıdır pozitif tam sayı olmak üzere f ( ) = + 70 olmak üzere f ( ) ve ( ) ebobu g( ) olsu. g( ) i alabileceği e büyük değer kaçtır? f + sayılarıı Çözüm: m ve sayılarıı ebobu ( m, ) olsu. Herhagi bir k tam sayısı içi ( m, ) = ( m, + km) ve tek ike ( m, ) ( m, ) = dir. Bu durumda;

22 = (, + ) = ( + 70, + + 7) = ( + 70, + ) ( 40, ) ( ) ( ) ( ) ( 40,+ ) = ( ) ( ) g f f 8 olur. = 80, + == 8, + 8olup 40 = + + = = içi ( ) g e fazla.4. EBOB ve EKOK İle İlgili Bazı Özellikler Teorem. a, b, c keyfi pozitif tamsayılar olmak üzere i) ( ac, bc) = c. ( a, b) ii) Eğer ( ab, ) = ve a bc ise ac iii) ( ab, ) = d a = dq ve b = dq olacak şekilde aralarıda asal q ve q pozitif tamsayıları vardır. İspat i) ( ab, ), a ile b i ortak bölei olduğuda ( ab, ) c de ac ile bc i ortak bölei olur. Bu durumda ( a, b) c ( ac, bc) olur..8 de k, l tam sayıları içi (, ) ( ab, ) a b = ka + lb dir. c de ac ile bc i ortak bölei olduğuda ( a, b) c = kac + lbc.8 de ( ac, bc) ( a, b) c olur. O halde (, ) (, ) ac bc = a b c olur. ii) ( ab, ) = ve a bc olsu..8 de ka + lb = olacak şekilde k, l tam sayıları vardır. c( ka + lb) = c kca + lcb = c olur. a bc olduğuda ac olmalıdır. iii) ( ab, ) = d ise da ve db olacağıda a = dq ve b = dq olacak şekilde q, q tam sayıları mevcuttur. i) de d = ( a, b) = ( dq, dq ) = d ( q, q ) ( q q ), = olur. Tersie olarak; a = dq ve b = dq olacak şekilde aralarıda asal q, q tam sayıları var ise i) de (, ) (, ) (, ) a b = dq dq = d q q = d olur..5. Alıştırma Problemleri

23 Aşağıdaki deklem sistemlerii pozitif tamsayılarda çözüüz.. x y 50 + = ve ( ) xy, = 0 Çözüm: ( xy, ) = 0 ise aralarıda asal, 0m+ 0= 50 m 5 ( xy, ) = ( 0,0 ),( 60,90 ),( 90,60 ),( 0,0) olur. m pozitif tam sayıları içi x= 0 my, = 0 + = (, ) (,4,,,,,4, ) ( ) ( ) ( ) m =. 7x y = ve ( ) xy, = 45 Çözüm: ( xy, ) = 45 ise aralarıda asal, 7 45 m= 45 7 m x = 495, y = 5 olur. m pozitif tam sayıları içi x= 45 my, = 45 = olup ( ) m, = olduğuda m=, = xy = ve ( ) xy, = 0 Çözüm: ( xy, ) = 0 ise aralarıda asal, 400 m = 8400 m ( xy, ) = ( 0,40 ),( 40,0 ),( 60,40 ),( 40,60) olur. m pozitif tam sayıları içi x= 0 my, = 0 = (, ) (, ),(, ),(,7 ),( 7,) m = 4. 0 xy = ve [ ] xy, = 0 Çözüm: xy= ( xy, )[ xy, ] olduğuda ( ) xy, = olup aralarıda asal m, pozitif tam sayıları içi x = m, y = olur. 0 = m m 5 ( xy, ) = (,0 ),( 0,) olur. = (, ) (,5 ),( 5,) m = 5. [ xy, ] 8 ( xy, ) Çözüm: ( xy, ) xy ( xy, )[ xy, ] = ve x+ y = 98 = dolsu. Aralarıda asal m, pozitif tam sayıları içi x = dm d = 8d m 8 = olur. ( ) = dm, y = d olur. m, = ( m, ) = (,8 ),( 8, ),(,9 ),( 9,) ( xy, ) ( d,8 d),( 8 dd, ),( d,9 d),( 9 d,d) olduğuda = olur.

24 x+ y = 98 olup ( xy, ) ( d,8 d),( 8 dd, ) d = 8 ( xy, ) = ( 6,68 ),( 68,6) olur. = içi çözüm yoktur. ( xy, ) ( d,9 d),( 9 d,d) = 6. Pozitif, ab tam sayılarıı e büyük ortak bölei (, ) ab olmak üzere pozitif abc,, tam sayıları içi a b c ( ab) ( bc) ( ca) + + =, +, +, + 0 ise a ı alabileceği e büyük değer aşağıdakilerde hagisidir? Çözüm: a > b olsu. a+ b+ c= ( ab, ) + ( bc, ) + ( ca, ) + 0 ( ab, ) + b+ c+ 0 olduğuda ( ab) a, + 0 olur. a b > ise a ( ab, ) olup a 0 ( ab, ) ( abc,, ) = ( 40,0,0) içi a b c ( ab) ( bc) ( ca) a, e fazla 40 olur. a olup a 40 olur. + + =, +, +, + 0 eşitliği sağladığıda 7. Karelerii toplamı 468 olup ebob ve ekoklarıı toplamı 4 ola iki pozitif tam sayıı toplamı kaçtır? Çözüm: Sayılarımız a, b ve ekok ve ebob ları sırasıyla m, olsu. a + b = 468 = 6 olduğuda sayısı 6 ı bir bölei olmalıdır. O halde m+ = 4, (m, ) = (4, ), (40, ), (9, ), (6, 6) olur. Şimdi m = ab olup ( a + b) = a + b + ab = m m = 6 olduğuda m = 6, = 6 ve a+ b= 0 olur. 8. x, y Z + ve x y olmak üzere (x, y) = 5! ve [x, y] = 50! şartıı sağlaya kaç tae (x, y) ikilisi vardır? Çözüm: (x, y) = 5! ise x = 5!. m ve y = 5!. olup m ve aralarıda asaldır. Bu durumda (x, y).[x, y] = x.y olduğuda 5!. m=. 50! olup asal olduğuda 50! m=. olur. Bu durumda m ve aralarıda 5! 50! daki bir asallar bütü kuvvetiyle beraber ya m de ya da de buluma- 5! lıdır. 50! 5! i 5 tae asal bölei olduğuda 5 x y olduğuda 5 4 = durum vardır. tae (, ) m ikilisi yazabiliriz. Diğer tarafta 4

25 9. a = ve içi a ebob( a ) =, + ise a 00 aşağıdakilerde hagisidir? Çözüm: içi a olduğu tümevarım kullaılarak kolayca gösterilebilir. 999 asal olduğuda a = ebob 999 ( a 998,999) + = veya 000 olur. a olup a000 = ebob(, 000) + =, a ebob( ) a = ebob( ) + = olur. 00 4, 00 olduğuda a 999 = 00 =, 00 + = 4 ve 0. x + y x ifadesi x, y tamsayı değerleri içi xy ile bölüüyor. Aşağıdakilerde hagisi x i değeri olabilir? Çözüm: ( xy, ) = dolsu. Bu durumda aralarıda asal m ve sayıları içi x = d.m ve y = d. olur. xy ( x + y x) ise d m. ( m d + d md ) dm.. ( m d+ d m) ( m md+ d m) ve d ( md+ d m) olur. Bu durumda m d ve d m olup m d olduğuda m d olur. O halde d = m olup x = d olur. Şıklarda tam kare ola 44 olduğuda x = 44 olmalıdır.. a, b, c, d, e pozitif tam sayılar olmak üzere a< b< c< d < e olup m ve i ortak katlarıı e küçüğü [m, ] olsu. Çözüm: ifadesii e büyük değeri kaçtır? [ ab, ] [ bc, ] [ cd, ] [ de, ] S = [ ab, ] + [ bc, ] + [ cd, ] + [ de, ] olsu. a < < e içi [ ab, ] a, [,] bc b, [, cd] c, [ de, ] dve b, c olur. Durum : c = olsu. Eğer d = 4 ise [a, b] =, [b, c] = 6, [c, d] =, [ de, ] 8, olup 7 S = S = < olur. Eğer d 5 ise [, cd] 6, [ de, ] 0 olup 6 5 < olur. 6 5

26 Durum : c 4 olsu. Eğer 5 d 7ise [c, d] = 0, 8, 0, 5 veya 4 olup 9 S = Eğer d 8 ise maksimum değerie ulaşılır. 5 < olur. c = 4 ve d = 6 içi 6 S = 4 5 S = olup a =, b =, c = 4, d = 8 ve e = 6 içi < olur. 6 5 S = da küçük kaç tae (, ) (, ) okek ( y, x ) okek x y + = + eşitliği sağlaır? xy pozitif tam sayı ikilisi içi Çözüm: okek ( a, b) a. b olduğuda xy. ( x+ ) xy ve.( ) yx y+ yx x= yt. ve y= xk. kt=. x = y veya x = y olmalıdır. x = y ise (, + ) = okek ( x, x + ) ve okek ( x, x + ) = x( x + ) olup ( x ) x( x ) okek x x ( + ) x x 6 = x + x+ x+ + + x = olup x = aa ifadeyi sağlamaz. x = y ise (, + ) = (, + ) olur. y a ( 9, + ) = (,( + ) ) olup a ile a + 9 a. ( a ) a( a ) y+ = a ise ( ) okek y y okek y y okek a a okek a a elde edilir. Eğer = olsu. + = + çelişkisi (, ) (,9 ) okek a a = okek a a ( a ) a a( a ) ( ( + ), + ) = +,( + ). ( a+ )( a+ ) =. ( a+ )( a+ ).. = 9. çelişkisi elde edilir. Eğer y = a+ ise ( ) okek a a okek a a olacağıda y = a+ ise deklem sağlaır. O halde x = 9a < a + < şartıı sağlaya tae a değeri olduğuda deklemi tae çözümü vardır.. x< y < zpozitif tamsayılar olmak üzere (x, y) = 6, (y, z) = 0, (z, x) = 8 ve [x, y, z] = 400 şartıı sağlaya kaç tae (x, y, z) üçlüsü vardır? (a, b): a ile b i ebobu, [a, b]: a ile b i ekoku Çözüm: 4 x, 0 y ve 40 z dir. Bu durumda x = 4x, y = 0y ve z = 40z olur. 6 = (x, y) = (4x, 0y ) = 6(4x, 5y ) 0 = (y, z) = (0y, 40z ) = 0(y, 4z ) 6

27 8 = (z, x) = (40z, 4x ) = 8(5z, x ) olduğuda (4x, 5y ) = (y, 4z ) = (5z, x ) = olur. Bu durumda x, y, z ikişer ikişer aralarıda asal olacaktır. 400 = [x, y, z] = [4x, 0y, 40z ] = 0[x, y, z ] olduğuda [x, y, z ] = 0 olup x, y, z ikişer ikişer aralarıda asal olduğuda x.y.z = 0 olur. Dolayısı ile (x, y, z ) = (,, 0), (, 4, 5) olur. Burada (x, y, z) = (4, 0, 800), (4, 0, 00) olur. 4. abcdtam,,, sayıları birbiride farklı ve de büyük tam sayılar olmak üzere ( ab, ) ( cd, ) = dir. a) ab = cd şartıı sağlaya a, b, c, d sayıları var mıdır? b) ac = bd şartıı sağlaya a, b, c, d sayıları var mıdır? Çözüm: ebob(a, b) = ebob(c, d) ise x, y, z, w ikişer ikişer aralarıda asal sayılar olmak üzere a = xy, b = zw, c = xz ve d = yw olsu. ebob(a, b) = ebob(xy, zw) = = ebob(xz, yw) = ebob(c, d) olup ab = xyzw = cd olur. b) ebob(a, b) = ebob(c, d) = s olsu. Bu durumda ebob(a, b ) = ebob(c, d ) = olmak üzere a = a s, b = b s, c = c s, d = d s yazabiliriz. ac = bd ise a c = b d olur. d a c ve ebob(c, d ) = olduğuda d a olur. Bezer şekilde a b d ve ebob(a, b ) = olduğuda a d olup a = d olup a = d olur. Bu ise a, b, c, d i farklı olması ile çelişir. 5. tamsayısı olmak üzere t = 0 + olsu. t ile t + i e büyük ortak böleii 8 i bir bölei olduğuu gösteriiz. Çözüm: t ile t + i e büyük ortak bölei d olsu. Bu takdirde t t = + + sayısıı böler. Bu durumda d ( + ) olur. Ayrıca d (4t ( + )( )) = 8 olur. 6. x, y, z pozitif tam sayılar olmak üzere ebob(a, b, c) = dir. Eğer (y x ) (z y ) = ((y x) (z y)) ise x ve z i tam kare olduğuu gösteriiz. Çözüm: (y x ) (z y ) = ((y x) (z y)) ifadesi düzeleirse x + y + z xy yz + xz = 0 olup (x y + z) = xz olup xz bir tam kare olur. ebob(x, z) = d olsu. Bu takdirde 7

28 d (x y + z) d (x y +z) olur. d x ve d z olduğuda d y olur. ebob(a, b, c) = olduğuda d = olmalıdır. Bu durumda x ve z aralarıda asal olup x.z tam kare ise hem x hem de z tam kare olmalıdır. 7. [UMO 00]. a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere (a + b)(b + a) = c deklemii sağlaya kaç tae (a, b, c) üçlüsü vardır? Çözüm: ebob(a + b, b + a) = veya tür. ebob(a + b, b + a) = ise a + b ve b + a da biri olmalıdır. a ve b pozitif tam sayı olduğuda bu mümkü değildir. ebob(a + b, b + a) = ise c çelişkisi elde edilir. Şartları sağlaya (a, b, c) üçlüsü yoktur. 8. a, b, c pozitif tam sayılarıı de büyük ortak bölei olmamak üzere + = ise a + a b c b i tam kare olduğuu gösteriiz. Çözüm: (a, b) = d olsu. (a, b ) = olmak üzere a = d.a ve b = d.b dir. a + b d + = + = = olur. (d, c) = ve (a + b, a b ) = olduğuda a a b d a b c ab c + b = d ve a.b = c olur. a + b = d(a + b ) = d olur. 9. a ve b aralarıda asal tamsayılar ise, a+ b ve yada tür, gösteriiz. a ab + b i e büyük ortak bölei ya Çözüm: a + b ile edelim. Eğer p bir asal sayı ve hem a a ab + b i e büyük ortak böleii de büyük olduğuu kabul + b hem de de b yi bölemez, çükü p sayısı a yı veya b yi bölerse, a a ab + b yi bölüyorsa, p sayısı a yı e + b yide böldüğü içi hem a yı hem de b yi bölmüş olur. a ve b aralarıda asal olduğuda bu mümkü değildir. Diğer yada, (a+b) - ( a ab + b ) = b sayısı da p ile bölüür. Bu edele, p = olmalıdır. Demek ki, a + b ile a ab + b i e büyük ortak bölei değilse, ü bir kuvvetidir. =9 sayısı a+b ve e büyük ortak bölei ya da tür. a ab + b i ortak bölei olamaz. (Nede?); o edele, a+ b ile a ab + b i 8

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

2.1 BÖLÜNEBÝLME VE BÖLME ALGORÝTMASI

2.1 BÖLÜNEBÝLME VE BÖLME ALGORÝTMASI .1 BÖLÜNEBÝLME VE BÖLME ALGORÝTMASI a. Bölüebilme a 0, a ve b tam sayý olsu. q bir tam sayý olmak üzere, b = q a ise a böler b veya b, a ý bir katýdýr deir. Eðer a, b yi bölerse a b þeklide, a, b yi bölmezse

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor.

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor. Bölüm: Doğal Sayılar ve Tamsayılar Test: Temel Kavramlar. abc ve cba üç basamaklı doğal sayılardır. abc cba = 97 olduğuna göre, abc biçiminde yazılabilecek en küçük doğal sayının rakamları toplamı A) B)

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir. 1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birici Bölüm DENEME-4 Bu sıav iki bölümde oluşmaktadır. * Çokta seçmeli

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLE SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ PROF. DR. MEHMET ERDOĞAN Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk-Blgsayar Bölümü YRD. DOÇ. DR. GÜLŞEN YILMAZ Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5 1 14 ve 1 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? x = 14.a = 1b x= ekok(14, 1 ).k, (k pozitif tamsayı) x = 4.k x in üç basamaklı değerleri istendiğinden k =, 4, 5, 6, 7,,

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÇÖZÜMLER. a b ve b a a b, a, b a b a b ve b c a c olduğundan a b ve c d ise a c b d olmayabilir. ve 5., ve olduğundan sonsuz çözüm vardır...9.9

Detaylı

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri =2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

MUTLAK DEĞER Test -1

MUTLAK DEĞER Test -1 MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

BÖLÜM I. Tam sayılarda Bölünebilme

BÖLÜM I. Tam sayılarda Bölünebilme BÖLÜM I Tam sayılara Bölünebilme Teorem 1.1 (Bölme algoritması) b > 0 olmak üzere, verilen a ve b tam sayıları için a = qb + r, 0 r < b (1) olacak şekile bir ve bir tek q, r Z çifti varır. İspat: 1. İlk

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I Üniversite Hazırlık / YGS Kolay Temel Matematik 0 KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I. 8 ( 3 + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) A) B) 0 C) D) E) 3. 7 3. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) 0

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

h)

h) ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile

Detaylı

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C )

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C ) Önce ÇARPMA ve Bölme, sonra Toplama ve Çıkarma. 3.4+10:5-3 = 12+2-3 = 11 ( C ) Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) 72:24+64:16 = 3+4 = 7 ( B

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR.

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR. 2 SAYILAR TEORİSİ - MUSTAFA ÖZDEMİR SAYILAR TEORİSİ Bu kitap üniversitelerimizin Matematik ve Matematik Eğitimi bölümlerinde okutulmakta olan Sayılar Teorisi derslerine de yardımcı olacaktır. Bunun yanında,

Detaylı