1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

Transkript

1 . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi yapılmış daha sora yerli yabacı yarışmalarda kou ile alakalı problemler ile zegileştirilmiştir. Teorik kısım ispatları ile verilmiş ve çok sayıda problem ile teori pekiştirilmeye çalışılmıştır. Ayrıtılı bir tashihte geçmediği içi yazım yalışları olabilir...bölüebilme Taım. abc,, tam sayı olmak üzere ac = b ise a sayısı b sayısıı tam bölüyor deir ve ab şeklide gösterilir. Sıfırda farklı her tam sayı 0 sayısıı tam böler. Özellikler. a 0 ise aadır.. ab ve bc ac. abve ac ise a ( b+ c) ve a ( b c) d ( ax + by) dir. 4. c 0 ab ac bc 5. ab ve b > 0 a b. Hagi pozitif tamsayıları içim ( ) ( ) dir. Daha geel olarak x, y tam sayıları içi + + dir? ( ) Çözüm: ( + ) ( + ) olsu. ( + ) ( ) olduğuda ( ) ( ) + = veya + = olup = tek çözümdür. Bu problemi farklı bir yol kullaarak da çözebiliriz. Eğer ( ) ( ) + + = + + ifadesi doğru ise + + kesri bir tam sayı olmalıdır. Bu ifadeyi poliom bölmesi kullaarak

2 + = şeklide yazar isek + olup = olur. tam sayı olacağıda + = veya + =. a olmak üzere a a şartıı sağlaya a tamsayılarıı buluuz. Çözüm: a a 7 ve a a olduğuda a 4 olup a sayısı 4 ü bir bölei olmalıdır. Bu durumda a =±, ±, ±, ± 4, ± 6, ± 8, ±, ± olup a {, 9, 5,,, 0,,, 4, 5, 6, 7, 9,, 5, 7} olur. Şimdi Biom teoremide faydalaarak bazı bölüebilme problemleri çözelim.. Her doğal sayısı içi 69 ( 6 7) + olduğuu gösteriiz. + + = 7 = + 6 = 6 = i= 0 i i= i + + i i olup i Çözüm: ( ) ( ) içi i i= i sayısı 69 ile tam bölüür i = 69 t i= i dersek + = t = t olup olur olmasıı sağlaya sosuz sayıda doğal sayıı olduğuu gösteriiz. Çözüm: k pozitif tam sayı olmak üzere = k içi + olduğuu tümevarımla gösterelim. k = içi iddia doğru olup k N içi k k + olsu. Bu durumda k. k m = + olacak şekilde bir m tam sayısı vardır. Biom teoremide; k ( ) ( ) k+ k k k+ k+ k+ = = m. = m. m. + m. = t. olup k+ k + + = t. olduğuda k k olup iddia k + içide doğrudur.

3 ifadesii tam sayı yapa tam sayılarıı toplamı kaçtır? Çözüm: ( + )( + ) + = ( )( ) + + ( ) + = Z Z 9 7 Z Z =±, ± 7 =, olup toplamı 4 olur i + ile bölüebilmesii sağlaya kaç tae pozitif tam sayısı vardır? Çözüm: ( + ) ( 8 + ) ve ( + ) ( 8 + ) olduğuda ( + ) ( 8 + ) ( 8 + ) olacağıda ( ) ( ) + olur. Bu durumda = 0 veya + olmalıdır. = 0 ise = olur. durumuu iceleyelim. 0 içi > olacağıda 9 olur. Bu sayılar yerie yazılır deeirse =,4,6 içi ( ) ( 8 ) + + olur. Bu durumda 4 tae değeri vardır. 6. a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere c a.b, a b.c ve 5b c.a ise a.b.c e az kaçtır? Çözüm: ab = ck ve ca = 5bt ise a bc = 0bckt 0 a 0 a olur. Bezer şekilde 6 b ve 5 c olur. Bu durumda abc 900 olmalıdır. a = 0, b = 6 ve c = 5 verile şartları sağladığıda abc e az 900 olur ( 0a+ b) ise 7 ( a b) olduğuu gösteriiz. Çözüm: 0a + b = 7 ise b = 7 0a dır. a b = a (7 0a) = a 4 olduğuda ( a b) 7 dir...alıştırma Problemleri olmasıı sağlaya tamsayılarıı buluuz.

4 Çözüm: kesri bir tam sayı ise ( ) = Z Z + 4 olur. O halde + 4=±, ± 5, ± 5 =,, 7 olur.. Hagi pozitif tamsayıları içi olur? Çözüm: Z Z Z Z + 6 Z + ise poliom bölmeside Z + + =±, ±, ± 4, ±, ±, ± 4 4olup pozitif olduğuda =,,44 =,4 olur. Başka bir çözüm ise ( ) ( )( ) = 44 olmasıda faydalaılarak yapılabilir.. Her pozitif tamsayısı içi olduğuu gösteriiz. 4 = + = açılımı so iki terim 0 Çözüm: ( ) hariç diğerleri 9 ile bölüdüğüde 4 = 9A+ + şeklide yazarsak = 9A+ 8 olup 9 ile bölüür. 4. Her pozitif tamsayısı içi + + olduğuu gösteriiz Çözüm: ( ) + = 4 olmasıda faydalaılarak çözüm yapılabilir. 5. Her pozitif tamsayısı içi ( ) + olduğuu gösteriiz. Çözüm: ( + ) ifadesii açılımıda faydalaılarak çözüm yapılabilir. 6. Her pozitif tamsayısı içi ( ) (. ) olduğuu gösteriiz. m Çözüm: = m içi m ( m+ ). olup..5 de iddia doğru olur. 4

5 7. a ve b tamsayılar olmak üzere 7 a+ b 7 9a+ 5b dir. Çözüm: 7 a+ b= 4( 9a+ 5b) 7( a+ b) 7 ( 9a 5b) ( a+ b) = ( a+ b) ( a+ b) 7 ( a b) dir. + dir. 8. ve m = içi ( ) ise ( m ) m olduğuu gösteriiz. Çözüm: = t dir. t ( ) ( ) ( ) ( m ) m = m t ( ) t ( ) m t = olur. = = = + olur. m ( m ) ( m ) m dir. t + olduğuda 9. Kaç tae pozitif tamsayısı içi sayısı 9 ile bölüür? =. + = ( + ) + 0 Çözüm: ( ) olduğuda.4 + sayısıı 9 a bölümüde kala tür sayısıı 9 a bölümüde kala 6 olduğuda her zama 9 ile bölüür. 0. pozitif tam sayısı içi + sayısı i e fazla kaçıcı kuvveti ile tam bölüür? Çözüm : + sayısı çift olduğu içi ile bölüebildiği açıktır. Şimdi 4 ile bölüemediğii gösterelim. Biom teoremide + = 9 + = ( 8 + ) + = olup so 0 iki terim hariç tüm terimler 8 ile kalasız bölüür ve so iki terim toplamı da olduğuda verile ifade sadece ile bölüür.. x, y > 0 olmak üzere 9 88 sayısıı x y formudaki bölelerii toplamı kaçtır? 5

6 Çözüm: Biom açılımıda ( ) = 0 = = = olur. olduğuda ilk 87 terim ile bölüür. 0 = 88.0 =. k 87 dır. Bu durumda = k +( 6 ile bölüe terimler) şeklide yazılabildiğide 9 88 sayısı 5 ile bölüür fakat 6 ile bölümez. ( ) = 8 + = olduğuda ilk 87 terim 4 88 ile bölüür. 8 = 88.8 =. k olduğuda 9 88 sayısı ile bölüür fakat 87 ile bölümez. Bu durumda x 5 ve y içi x y sayılarıı toplamı ( )( + ) = 744 olur toplamıı e bölümüde kala kaçtır? Çözüm: ( ) ( + ) i i i =..( ) +. olarak düzeleme yapalım. i i 0 da 005 e kadar ola değerleride toplaa her iki terimde de i= i i= i çarpa olarak buluacağıda toplam daima ile bölüür. O halde 007 i i 007 i..( ) +. =.007. olup.007. i ile bölü i= 006 i i= 006 i müde kala 0 dur so o rakamıı toplamı kaçtır? Çözüm: 0 0 ( ) ( ) 0 0 = 00 + = 0 + olduğuda, biom açılımıda; 0 0 i i i 0 i ( 0 ) = ( 0 ) = i= 0 i= 0 so o rakam lazım olduğuda sadece toplamıa bakmalıyız. Bu değer ise olur. Bize = 6

7 olup bu sayı 0 0 moduda sayısıa dek olup burada so 0 rakam olur. Burada da so o rakamı toplamı 5 olur i i= i toplamıı birler basamağıdaki rakam kaçtır? = + 4 = 4 i i= 0 i olduğuda 00 Çözüm: ( ) 00 i = 5 i= i olup 5 i tüm kuv- vetlerii birler basamağıdaki rakam 5 olduğuda eksiğii birler basamağıdaki rakam 4 olacaktır. 5., 006 yı geçmeye pozitif bir tam sayıdır. tüm sayıları kaç taedir? 006 i bir tam sayı olmasıı sağlaya Çözüm: durumda = dir dir. Bu 006 =.7.59 i 007 ile 40 arasıdaki çarpalarıı bulmalıyız. 006 =.7.59 i 59 de başka 007 ile 40 arasıda çarpaı olmadığıda = 006 = 59 = 48 = 475 olur. 6. pozitif tam sayı olmak üzere + i yı bölmesii sağlaya kaç tae sayısı vardır? 6 Çözüm: ( ) + 06 = ( + ) vardır. 98 =,,, 4, 8, 4 olup 6 tae değer i + ile bölüebilmesii sağlaya kaç tae pozitif tam sayısı vardır? Çözüm: ( + ) ( 8 + ) ve ( + ) ( 8 + ) olduğuda ( + ) ( 8 + ) ( 8 + ) olacağıda ( ) ( ) + olur. Bu durumda = 0 veya + olmalıdır. = 0 ise = olur. durumuu iceleyelim. 0 7

8 içi > olacağıda 9 olur. Bu sayılar yerie yazılır deeirse =,4,6 içi ( ) ( 8 ) + + olur. Bu durumda 4 tae değeri vardır. 8. ab, tam sayılar olmak üzere a b 60 tae ( ab, ) ikilisi vardır?, ab ve ( a ) ( b ) + + şartlarıı sağlaya kaç Çözüm: ab ve aa a ( b a) olur. ( a+ ) ( b+ ) ve ( a ) ( a ) ( a+ ) ( b+ ) ( a+ ) ( a ) ( b a) olduğuda b a sayısı hem a hem de a + ile bölüür. a ve a + aralarıda asal olduğuda b a ifadesi a( a+ ) ile bölüür. O halde b a ve k Z + içi ( ) b= a a+ k + a olur. a = içi k, 9 değer alır. a = içi k, 9 değer alır. a = içi k, 4 değer alır. a = 4içi k, değer alır. a = 5 içi k, değer alır. a = 6 içi k, değer alır. a 7 içi b > 60 olur. a = b şartıı sağlaya 60 durum olduğu da göz öüe alıırsa toplam 06 tae ( ab, ) vardır. 9. x, y, z pozitif tam sayıları de büyük olup xy sayısı z ile, yz sayısı x ile, zx sayısı y ile bölüüyorsa kaç farklı ( xyz,, ) üçlüsü vardır? Çözüm: Geelliği bozmada x y z. olsu. xy + yz + zx sayısı x, y, z ile bölüür. x, y, z ikişer ikişer aralarıda asal olmalıdır. Çükü ( xz, ) = d olmak üzere z xy d xy ve dx olduğuda d olur. O halde xy + yz + zx = kxyz olacak şekilde pozitif k tam sayısı vardır. Bu durumda + + = + k > olmalıdır. x y z xyz + + = + k > > x x = olur. Bezer şekilde y = ve z = 5 olup x x y z xyz (,,5) i permutasyoları da hesaba katılırsa 6 tae (x, y, z) üçlüsü vardır. a + b + 0. ve b a taedir? sayılarıı tam sayı olmasıı sağlaya (a, b) pozitif tamsayı ikilileri kaç 8

9 Çözüm: x ve y pozitif tam sayı olmak üzere ve y + b = (bx )y y + = bxy b ise b = xy b + y = olsu. a = bx ve b = ay ise a olur. x = ise y + b = = + y y ( ab, ) = (, 4) ve y = 4 ise ( ab, ) = (, ) x = ise y + b = y ise y = veya y = 4 olmalıdır. Bu durumda y = ise olur. Z+ y + y y olur. y = ( ab, ) = ( 5,) tamsayı olamaz. y = ise ( ab, ) = (,) dir. ve y = ise b x = ise x = 4 ise y + b = y y + b = 4y y + y y y = b tam sayı olamaz. y + 4y y y = ( ab, ) = (,) olur. x 5 xy 5y > y + olduğuda b tamsayı olamaz. O halde 5 tae (a, b) ikili vardır.. a, b, c doğal sayılar, < a b < c olmak üzere, (a, b, c) üçlüleride yalız bir taesii a (bc+), b (ac+), c (ab+) koşullarıı sağladığıı gösteriiz ve o üçlüyü buluuz. Çözüm: Problemdeki özelliğe sahip ( abc,, ) üçlüleri ikişer ikişer aralarıda asal olmak zorudadırlar. Eğer ( ab, ) > ise ( ) ac, b > olup ac + ifadesi b ye bölümez. Böylece, a < b < c dir. S = ab + bc + ca + ifadesi, a, b ve c i her biri ile bölüür. a, b ve c ikişer ikişer aralarıda asal olduğuda S, abc çarpımı ile bölüür. dolayısıyla, abc S dir. Şimdi a < b < c olduğuu da göz öüde tutarak b 4 alalım. Bu taktirde c 5, abc.4.5. = 40 ve dolayısıyla abc abc abc S = ab + bc + ca + = c b a abc abc abc abc

10 abc abc abc + 0 = = abc < abc elde edilir. Bu, S abc ile çelişir. O halde b < 4 olmalıdır. b i alabileceği tek değer b = ve a ı alabileceği tek değer a = dir. c = ab + = 7 olduğuda c = 7 olmalıdır. Souç olarak, problemdeki koşulları sağlaya bir tae üçlü vardır: (,,7). a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere b a, c b ve a c ise a.b.c (a + b + c) olduğuu gösteriiz. Çözüm: (a + b + c) ifadesi açıldığıda terimler k, m, 0, k + m + = olmak üzere a k b m c şeklidedir. Eğer k, m, pozitif ise a.b.c a k b m c olur. Şimdi = 0 durumuu iceleyelim. Bu durumda k, m 0 ve k + m =, a k b m terimlerii a.b.c ile bölüdüğüü göstermeliyiz. b a, c b ve a c olduğuda c a 9 ve a b 9 dur. Eğer k = ve m = 0 ise a k b m = a.a.a 9 olduğuda abc a k b m dir. Eğer 0 k ve m ise a k b m = a.b.a 9 (a k-0 b m- ) abc a k b m dir. Eğer k 9 ve 4 m ise a k b m = a.b.b (a k- b m-4 ) abc a k b m dir. Eğer k = 0 ve m = ise a k b m = b.b.b 9 abc a k b m dir. Bezer şekilde m = 0 ve k = 0 içide istee elde edilir.. abc,, tamsayılar olmak üzere a.b + 9b + 8 ve b.c + 9c + 8 sayıları 005 e bölüüyorsa ca + 9a + 8 sayısıı da 005 e bölüdüğüü gösteriiz. Çözüm: w = ca + 9a + 8 olsu. a.b + 9b + 8 = 005k = 5.40.k ise 8 sayısı 5 ve 40 bölümediğide b de 5 ve 40 e bölümez. b.w = abc + 9ab + 8b = c(a.b + 9b + 8) 9(b.c + 9c + 8) + 9(a.b + 9b + 8) olur. Eşitliği sağ tarafı 005 e tam bölüdüğüde b.w sayısı da 005 e tam bölüür. b sayısı 5 ve 40 e bölümediğide w = ca + 9a + 8 sayısı 005 e bölüür tek pozitif tamsayı ise + ( + ) ifadesii + ile tam bölüdüğüü gösteriiz. 0

11 Çözüm: tek olup biom açılımıda + = + + = ve 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( + ) = ( + ) ( + ) ( + ) olur. İfadeler taraf tarafa toplaırsa ifadeleri e soudaki ve birbirii götürüp toplamdaki 0 + tüm + terimlerde + katsayısı mevcut olur. Bu durumda + ( + ) sayısı + ile tam bölüür. Taraf tarafa toplama işlemide sora ifade + paratezie alıırsa ifadeleri e souda kala ve terimleri hariç diğer tüm terimlerde + çarpaı olduğu da ve + terimleri hariç diğerleri çift olur. So olarak = + ifadesi de çift olduğuda + paratezie aldığımız ifadei diğer kısmı da çift olaca- + ğıda + ( + ) ifadesi + ile tam bölüür. 5. 5ve tek sayı olduğua göre N= sayısıı bileşik sayı olduğuu gösteri. Çözüm : N = N = N= + ( + 5) = 4 + N= ( 4 + ) = ( + ) 5 5 = bileşik sayı olduğu alamıa gelir. + + N, 5 içi her iki paratez de 5 de büyüktür. Bu da N sayısıı 6. Negatif olmaya her tamsayısı içi olduğuu gösteriiz.

12 Çözüm: ( ) = + = ( ) olduğuda.4 + sayısıı 9 a bölümüde kala tür sayısıı 9 a bölümüde kala 6 olduğuda istee elde edilir... Bölme Algoritması Teorem. a ve b tam sayılar b > 0 olmak üzere a = bq + r ve 0 r < bolacak şekilde bir tek r ve q tamsayı çifti vardır. Burada q ya bölüm r ye kala deir. Eğer r = 0 ise b sayısı a yı böler deir ve ba yazılır, b, a yı bölmüyorsa b a yazılır. İspat: a sb formudaki pozitif tam sayıları kümesi K olsu. Eğer a 0 ise a 0 b K dır. a < 0 ise b olduğuda ( a ab) = a( b) 0 olup ( ) a ab K olur. Bu durumda K kümesi boş olmayıp iyi sıralama presibide bir e küçük elemaı olmalıdır. s daki e küçük elema a qb = r olsu. r 0 dır. = q içi K Şimdi r < b olduğuu gösterelim. r b olduğuu varsayalım. ( ) r > r b= a b qb= a b q+ 0 olur. Bu ise r = a bq u a sb formudaki egatif olmaya sayıları e küçüğü seçimimizle çelişir. Bu durumda r olmalıdır. q ve r değerlerii tek olduğuu gösterelim. a = bq+ r, 0 r < b ve a = bq + r, 0 r b çiftlerii olduğuu kabul edelim. bq r bq r b kabulü yalış olup r < b < olacak şekilde ( q, r ) ve (, ) q r tam sayı + = + b( q q ) + r r = r r = b( q q ) b ( r r) 0 0 r < b ve 0 r < b olduğuda b r r b r r 0 < < olup b ( r r) = yai r = r olmalıdır. Burada q = q eşitliği elde edilir. olur. olabilmesi içi.4. Örekler. a ile b tam sayılarıı m doğal sayısı ile bölümüde kala ise a.b i de m ile bölümüde kalaı olduğuu gösteriiz.

13 Çözüm: a = sm + ve b = tm + olacak şekilde t ve s tam sayıları olup ab = (stm + s + t)m + olup stm + s + t = q dersek ab = qm + olduğuda ab i m ile bölümüde kala dir.. Ardışık m tae tam sayıda yalızca birii m ile bölüdüğüü gösteriiz. Çözüm: Sayılarımız a+, a+,..., a+ m olsu. a qm r olacak şekilde tek türlü q ve m tam sayıları vardır. = + ve r {,,..., m } + ( ) = + + = ( + ) olduğuda ma ( m r) a m r q mr m r q m ( + k) olacak şekilde k {,,.., m} m a ( ) ( ) + olur. Diğer tarafta varsa a + k = cm olacak şekilde c tamsayısı olup a = c m+ m k ise c = q ve m k = r olup k = m r olur. Bu durumda a + m r de başka m ile bölüe sayı yoktur.. ve +, 0 da büyük iki asal sayı olmak üzere 4 sayısı aşağıdaki sayılarda hagisie daima tam bölüür? a) 7 b) 80 c) 90 d) 45 e) 0 Çözüm: Öce = ve 4 ( )( ) 0..5 = + olduğuu hatırlayalım. Ardışık çift sayılar ola,, + i her biri ye, e az bir taesi de e bölüebilir. Diğer tarafta,,, +, + ardışık sayılarıda bir taesi 5 e bölüebilmelidir., + asal olup 5 e eşit olmadığıda,, + sayılarıda sadece biri 5 e bölüebilmelidir. Demek ki 4, 0 ye bölüür..5. Alıştırma Problemleri. Ardışık iki pozitif tam sayıı karelerii toplamıı 4 ile bölümüde kalaı olduğuu gösteriiz. Çözüm: a + ( a+ ) = a( a+ ) + olup a( a+ ) çift olduğuda 4 ( ) a a+ olur. O halde a( a+ ) + i 4 ile bölümüde kala dir.

14 . Bir tek sayıı karesii 8 ile bölümüde kalaı olduğuu gösteriiz. Çözüm: ( a+ ) = 4a( a+ ) + olup a( a+ ) çift olduğuda 84 ( ) ( a + ) i 8 ile bölümüde kala dir. a a+ olur. O halde. k tek sayı ve pozitif tam sayı olmak üzere + k olduğuu gösteriiz. Çözüm: Tümevarım presibii kullaıız. 4. a bir tam sayı ise aa, +, a+ 4 sayılarıda birii e bölüdüğüü gösteriiz. Çözüm: a = k formuda ise iddia doğrudur. a = k + formuda ise a+ = k + ifadesi ile bölüür. a = k + formuda ise a+ 4= k + 6 ifadesi ile bölüür. 5. k =,, olmak üzere k şeklide hiçbir tamsayıı iki tamsayıı kareleri toplamı olamayacağıı gösteriiz. Çözüm: Olmayaa ergi yötemii kullaacağız. k i iki tamsayıı kareleri toplamı olarak ifade edilebileceği e küçük k tamsayısıı göz öüe alalım. Yai = x + şeklide x, y tamsayıları bulusu. Eğer x = k ± ve y = t ± formuda ise x k y + y ifadesi ile bölüemez. O halde x, y tamsayılarıı her ikisi de ile bölüebilmelidir. Demek ki x = m, y = olacak şekilde m, tamsayıları buluabilir. O zama da ( m + ) k x y = + = yai k m buluur ki bu k i yukarda belirtile özelliğe sahip de büyük e küçük tamsayı olduğu varsayımıyla çelişir. = +.6. EBOB ve EKOK Taım. a, a ikisi birde sıfır olmaya tam sayılar olsu. Herhagi bir m tam sayısı içi ma ve ma ise m ye a ve a i ortak bölei deir. a ve a i ortak bölelerii e büyüğüe bu sayıları e büyük ortak bölei deir (, ) a a ile gösterilir. 4

15 Herhagi bir m tam sayısı içi a m ve a m oluyorsa m ye a ve a i ortak katı deir. Ortak katları e küçüğüe a ve ab, tam sayıları içi; a i e küçük ortak katı deir ve [, ] a a ile gösterilir. ( ab, ) = ( ba, ), [ ab, ] = [ ba, ], ( a,) =, [ a,] = a, ( a,0) = a ve [ ] a,0 = 0dır..7. Öklit Algoritması E büyük ortak böle taımı ebob i buluması ile ilgili bir yötem vermez. a ile b i ebob u Öklit algoritması dee bir yötemle buluur. a, adoğal sayılar olsu. içi a 0 olmak üzere a sayısıı a ile bölümüde kalaı a ile gösterelim. Bu işleme böyle devam edilerek solu adım sora a = 0 elde ederiz. Bu durumda a ( a, a ) = olur. k k İspat : a > a > a4 >... azala dizii terimleri egatif olmayacağıda solu adım sora a = 0 olur. Bu işlemleri aşamalarıı aşağıdaki gibi yazabiliriz. k a = qa. + a a = q. a + a4... ak = qk. ak + ak ak = qk. ak + a k = 0 So eşitlikte dolayı ak a, soda bir öceki eşitlikte k ak ak ve bu şekilde devam edilerek ak a a a sayısı ve k a a elde edilir. Diğer tarafta a a qa. = olduğuda (, ) a sayısıı tam bölmeli. Bezer şekilde ( a, a ) sayısı ( a a q. a oldu ğu içi ) = a 4 sayısıı da tam bölmeli. Bu düşüce akışıyla (, ) ( a a ), ak = elde edilir. a a sayısı k 4 a sayısıı tam bölmeli. Burada Şimdi buu birkaç örek ile açıklayalım. 5

16 . 95 ile ü e büyük ortak böleii öklit algoritması ile bulalım. 95 = 4 + = 7 + = + = + 0olduğuda ( 9, ) = dir.. 6 ile 48 i e büyük ortak böleii öklit algoritması ile bulalım. 6 = = + 6 = 6 + 6= + 0 olduğuda ( 6, 48) = dir. abxy tam sayılar olmak üzere ( ab, ) ( ab, ax).,,, Çözüm: ( ab, ) Diğer yada (, ) d = e olmalıdır. = + dir. = d ve ( a, ax + by) = e olsu. dadb, olduğuda d ax + by de olur. a b + ax = e ise ea ve e b + ax eb eb olur. Bu durumda ed olup 4. Ardışık tek sayıları aralarıda asal olduğuu gösteriiz. Çözüm: Z içi (, + ) = d olsu..7. de (,+ ) = (,+ ( ) ) = (,) = (,) = (, ( ) ) ( ) =, = olur. 5. Herhagi bir pozitif tamsayısı içi kesrii sadeleşemediğii gösteriiz. Çözüm: k tamsayısı + + ve k ( ) ( + + ) = + + = k.t, t Z dir sayılarıı ortak bölei olsu. Bu durumda k ( + + ) = ( + ) + + k + olduğuda k = olup verile kesri pay ve paydası aralarıda asal olacağıda sadeleşemez. 6

17 .8. Bezout Özdeşliği Teorem., ab tam sayılar olmak üzere ( ab, ) tam sayıları vardır. Ayrıca d, ax + by şeklideki pozitif tam sayılar kümesii e küçük elemaıdır. İspat : ax = d olsu. d = ax + by olacak şekilde xy, + by şeklideki pozitif tam sayılar kümesie K diyelim. 0 < d = ax + by olduğuda a ve b de e az biri 0 da farklıdır. a 0 olsu. O halde a K dır. Eğer a < 0 ise = + < olacak şekilde tek bir (, ) a K olur. Bu durumda K olup K kümesii bir e küçük elemaı olmalıdır. K kümesii e küçük elemaı e = ax0 + by0 olsu. Şimdi d = e olduğuu gösterelim. Bölme algoritmasıda a eq r,0 r e ( ) ( ) ( ) qr tam sayı ikilisi vardır. r = a eq = a ax + by q = a qx + b qy olur. Bu durumda r ifadesi ax + by şeklide ifade edilebilir. Eğer r 0 ise r K olur ki bu ise e i K ı e küçük elemaı olması kabulü ile çelişir. O halde r = 0 olmalıdır. Bu durumda a = eq ea olur. Bezer şekilde eb olduğu gösterilebilir. Yai e, a ile b i ortak bölei olup e d olmalıdır. Diğer tarafta e = ax0 + by0 ve dadb, olduğuda de olup d e olur. Bu durumda d = e olur. O halde d, ax elemaıdır. + by şeklide yazılabilir ve bu şekildeki pozitif tam sayılar kümesii e küçük Teorem. ( ab, ) = d olması içi gerek ve yeter şart, d > 0, da, db ve a ile b i her ortak f bölei içi f d olmasıdır. İspat : ( ab, ) ve fb olduğuda f ax = d olsu. da, db olup.8 de, + by f d olur. xy Z içi d = ax + by > 0 dır. f a d > 0, da, db ve a ile b i her ortak f bölei içi f d olsu. Bu durumda d, a ile b i bir ortak bölei olur. Her f bölei içi f d olduğuda f ortak bölei olur. d olup d, a ile b i e büyük 7

18 Teorem. [ ab, ] = m olması içi gerek ve yeter şart, m > 0, am, bm ve a ile b i her ortak katı içi m olmasıdır. İspat : [ ab, ] = m ve, a ile b i herhagi bir ortak katı olsu. Geelliği bozmada > 0 kabul edelim. m e küçük ortak kat olduğuda herhagi ortak bir katta daha küçük olup m dir. m= ise m olup ispat biter. m< ise bölme algoritmasıa göre 0 r < m ve = qm + r olacak şekilde qr, tam sayıları vardır. r = qm olur. a ve b sayıları m ile i birer bölei olduğuda a ( qm) = r ve bezer şekilde br olup r, a ile b i ortak katı olur. r 0 olursa 0 r < m olduğuda bu m i e küçük ortak kat olması ile çelişir. Bu durumda r = 0 olmalıdır. O halde = mq m olmalıdır. m > 0, am, bm ve a ile b i her ortak katı içi m olsu. m i bir ortak kat olduğu açıktır. m olduğuda m her ortak katta küçük olacağıda [ ab, ] = molmalıdır..9. EKOK ve EBOB Arasıda Bir Bağıtı Her a, b tamsayısı içi (, ) [, ] ab ab = a b dir. İspat: ( ab, ) = d ise a = dk, b = dt ve ab m = olsu. m = bk = at olup m > 0 ve am d ve bm olur. Herhagi bir tam sayısı içi a ve b ise öyle r, s tam sayıları vardır ki ar = bs = olup kdr = dts kr ts = k ts olur. ( ) kt, = olduğuda ks olup s = kp, p Z yazabiliriz. = bs = dtp = mp m olur. Bu durumda.8. te m, a ile b i e küçük ortak katı olmalıdır..0. İki veya Daha Fazla Sayıı Böleleri ve Katları 8

19 E az biri sıfırda farklı a, a, a,..., a tamsayılarıı her birii böle e büyük doğal sayıya bu sayıları ortak bölelerii e büyüğü (OBEB) deir ve (a,a,a,...a ) şeklide gösterilir. Hepsi sıfırda farklı a, a, a,..., a tamsayılarıı her birie bölüe e küçük doğal sayıya bu sayıları ortak katlarıı e küçüğü (OKEK) deir ve [a, a, a,..., a ] şeklide gösterilir. Teorem. a, a,..., a sıfırda farklı tam sayılar olmak üzere ( ) ( ) ( ) a, a,..., a = a, a,... a, a dir. İspat: ( a, a,... a ) = d ve ((,,... ), ) i =,,..., içi i a a a a = e olsu. O halde i =,,..., içi da i olup (,,..., ) da ( ) olduğu gösterilebilir. Bu durumda d a a a a = e olduğuda de olur. Bezer şekilde ed = e olmalıdır. Teorem. [ ] [ ] a, a,... a = a, a,... a, a dir. İspat: Bir öceki teoremdeki yötemle istee elde edilebilir... Aralarıda Asallık a, a,..., a Z,,..., a sayılarıa aralarıda asal sayılar deir. i j olmak üzere ( ) a, a,..., a = ise a a < olmak üzere ( i j) a, a = ise a, a,..., a sayılarıa ikişer ikişer aralarıda asal sayılar deir... Örekler 9 6. (, ) kaçtır? Çözüm: Öklit algoritmasıda; ( ) = + 9

20 ( )( ) 6 = = ( )( ) + olduğuda ( ) , = = 7. k, pozitif bir tamsayı olmak üzere 7k ile k + 5 sayısıı de büyük ortak bir bölee sahip olduğu ilk k sayısı ile bu ortak bölei toplamı edir? Çözüm:.7. de ( 7k,k 5) ( 7k, k 7 ) ( k 7, k 0 ) ( k 0, 47 ) + = = + = + olduğuda 7k ile k + 5 sayısıı de büyük ortak bölei 47 olabilir. k = 7 içi istee elde edilir. Bu durumda cevabımız = 74 olur.. içi a 00 = + olsu. a ile a + i e büyük ortak bölei d ise d i alabileceği e büyük değer aşağıdakilerde hagisidir? Çözüm:.7. de ( ) ( ) ( ) (, + 00, 0 00, 00, ) d = a a = = + + = + + ( 00, ) ( 400, ) ( 40, ) = + = + = + olacağıda d 40 olmalıdır. 40 asal olduğuda d = veya d = 40 olur. = 00 içi d = 40 olur... Alıştırma Problemleri,,, 4. problemlerde pozitif tamsayı olmak üzere.7. özelliği kullaılırsa;. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +,9 + 4 = 8 + 4,9 + 4 = +, = +, = +, =. (,9 4) ( 8 4,9 4) (, 8) (, 6 ) (,7 ) + = + = + = + = olur. Eğer 7 ( ) ise (,9+ 4) = 7 olur. Aksi halde ( ).,9 + 4 = olur. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 +, = , = 6 +,8 + = 6 +,6 + 6 = 6 + 6, = 4. ( +, + 7) = ( +, + 4) = ( +,) olur. ( + ) ise ( ) +, + 7 = aksi halde ( ) +, + 7 = olur. 0

21 6. 6 da büyük her tamsayıı de büyük aralarıda asal iki sayıı toplamı biçimide yazılabileceğii gösteriiz. Çözüm: m olmak üzere sayımız 6m formuda ise 6m ( 6k ) ( 6k ) = + + olup 6k + ile 6k ardışık tek sayılar olduğuda aralarıda asaldır. 6m + formuda ise ( ) 6m+ = 6k + 6k + olup 6k + ile 6k ardışık olduğuda aralarıda asaldır. Bezer şekilde 6m+,6m+,6m+ 4,6m+ 5 formudaki sayıları da aralarıda asal iki sayıı toplamı şeklide yazılabileceği gösterilebilir. + sayılarıı aralarıda asal olduğuu gös- 7. m ve doğal sayı ve m> ise teriiz. m + ve Çözüm: ( )( ) ( )( ) m m m = olduğuda ( )( ) ( )( ) m m m + = olur. + ifadesi yi bölemeyeceğide istee elde edilir. 8. Verile a, b tamsayıları içi k ve l tam sayı olmak üzere d = ka + lb > 0 ve d a ve d b ise ( ab, ) d= olduğuu gösteriiz. Çözüm: d a ve d b ise d( ab, ) dir. ( ab, ) a ve ( ab, ) b olduğuda ( a, b) ( ka lb) ( ab, ) d olur. O halde d ( ab, ) = olmalıdır pozitif tam sayı olmak üzere f ( ) = + 70 olmak üzere f ( ) ve ( ) ebobu g( ) olsu. g( ) i alabileceği e büyük değer kaçtır? f + sayılarıı Çözüm: m ve sayılarıı ebobu ( m, ) olsu. Herhagi bir k tam sayısı içi ( m, ) = ( m, + km) ve tek ike ( m, ) ( m, ) = dir. Bu durumda;

22 = (, + ) = ( + 70, + + 7) = ( + 70, + ) ( 40, ) ( ) ( ) ( ) ( 40,+ ) = ( ) ( ) g f f 8 olur. = 80, + == 8, + 8olup 40 = + + = = içi ( ) g e fazla.4. EBOB ve EKOK İle İlgili Bazı Özellikler Teorem. a, b, c keyfi pozitif tamsayılar olmak üzere i) ( ac, bc) = c. ( a, b) ii) Eğer ( ab, ) = ve a bc ise ac iii) ( ab, ) = d a = dq ve b = dq olacak şekilde aralarıda asal q ve q pozitif tamsayıları vardır. İspat i) ( ab, ), a ile b i ortak bölei olduğuda ( ab, ) c de ac ile bc i ortak bölei olur. Bu durumda ( a, b) c ( ac, bc) olur..8 de k, l tam sayıları içi (, ) ( ab, ) a b = ka + lb dir. c de ac ile bc i ortak bölei olduğuda ( a, b) c = kac + lbc.8 de ( ac, bc) ( a, b) c olur. O halde (, ) (, ) ac bc = a b c olur. ii) ( ab, ) = ve a bc olsu..8 de ka + lb = olacak şekilde k, l tam sayıları vardır. c( ka + lb) = c kca + lcb = c olur. a bc olduğuda ac olmalıdır. iii) ( ab, ) = d ise da ve db olacağıda a = dq ve b = dq olacak şekilde q, q tam sayıları mevcuttur. i) de d = ( a, b) = ( dq, dq ) = d ( q, q ) ( q q ), = olur. Tersie olarak; a = dq ve b = dq olacak şekilde aralarıda asal q, q tam sayıları var ise i) de (, ) (, ) (, ) a b = dq dq = d q q = d olur..5. Alıştırma Problemleri

23 Aşağıdaki deklem sistemlerii pozitif tamsayılarda çözüüz.. x y 50 + = ve ( ) xy, = 0 Çözüm: ( xy, ) = 0 ise aralarıda asal, 0m+ 0= 50 m 5 ( xy, ) = ( 0,0 ),( 60,90 ),( 90,60 ),( 0,0) olur. m pozitif tam sayıları içi x= 0 my, = 0 + = (, ) (,4,,,,,4, ) ( ) ( ) ( ) m =. 7x y = ve ( ) xy, = 45 Çözüm: ( xy, ) = 45 ise aralarıda asal, 7 45 m= 45 7 m x = 495, y = 5 olur. m pozitif tam sayıları içi x= 45 my, = 45 = olup ( ) m, = olduğuda m=, = xy = ve ( ) xy, = 0 Çözüm: ( xy, ) = 0 ise aralarıda asal, 400 m = 8400 m ( xy, ) = ( 0,40 ),( 40,0 ),( 60,40 ),( 40,60) olur. m pozitif tam sayıları içi x= 0 my, = 0 = (, ) (, ),(, ),(,7 ),( 7,) m = 4. 0 xy = ve [ ] xy, = 0 Çözüm: xy= ( xy, )[ xy, ] olduğuda ( ) xy, = olup aralarıda asal m, pozitif tam sayıları içi x = m, y = olur. 0 = m m 5 ( xy, ) = (,0 ),( 0,) olur. = (, ) (,5 ),( 5,) m = 5. [ xy, ] 8 ( xy, ) Çözüm: ( xy, ) xy ( xy, )[ xy, ] = ve x+ y = 98 = dolsu. Aralarıda asal m, pozitif tam sayıları içi x = dm d = 8d m 8 = olur. ( ) = dm, y = d olur. m, = ( m, ) = (,8 ),( 8, ),(,9 ),( 9,) ( xy, ) ( d,8 d),( 8 dd, ),( d,9 d),( 9 d,d) olduğuda = olur.

24 x+ y = 98 olup ( xy, ) ( d,8 d),( 8 dd, ) d = 8 ( xy, ) = ( 6,68 ),( 68,6) olur. = içi çözüm yoktur. ( xy, ) ( d,9 d),( 9 d,d) = 6. Pozitif, ab tam sayılarıı e büyük ortak bölei (, ) ab olmak üzere pozitif abc,, tam sayıları içi a b c ( ab) ( bc) ( ca) + + =, +, +, + 0 ise a ı alabileceği e büyük değer aşağıdakilerde hagisidir? Çözüm: a > b olsu. a+ b+ c= ( ab, ) + ( bc, ) + ( ca, ) + 0 ( ab, ) + b+ c+ 0 olduğuda ( ab) a, + 0 olur. a b > ise a ( ab, ) olup a 0 ( ab, ) ( abc,, ) = ( 40,0,0) içi a b c ( ab) ( bc) ( ca) a, e fazla 40 olur. a olup a 40 olur. + + =, +, +, + 0 eşitliği sağladığıda 7. Karelerii toplamı 468 olup ebob ve ekoklarıı toplamı 4 ola iki pozitif tam sayıı toplamı kaçtır? Çözüm: Sayılarımız a, b ve ekok ve ebob ları sırasıyla m, olsu. a + b = 468 = 6 olduğuda sayısı 6 ı bir bölei olmalıdır. O halde m+ = 4, (m, ) = (4, ), (40, ), (9, ), (6, 6) olur. Şimdi m = ab olup ( a + b) = a + b + ab = m m = 6 olduğuda m = 6, = 6 ve a+ b= 0 olur. 8. x, y Z + ve x y olmak üzere (x, y) = 5! ve [x, y] = 50! şartıı sağlaya kaç tae (x, y) ikilisi vardır? Çözüm: (x, y) = 5! ise x = 5!. m ve y = 5!. olup m ve aralarıda asaldır. Bu durumda (x, y).[x, y] = x.y olduğuda 5!. m=. 50! olup asal olduğuda 50! m=. olur. Bu durumda m ve aralarıda 5! 50! daki bir asallar bütü kuvvetiyle beraber ya m de ya da de buluma- 5! lıdır. 50! 5! i 5 tae asal bölei olduğuda 5 x y olduğuda 5 4 = durum vardır. tae (, ) m ikilisi yazabiliriz. Diğer tarafta 4

25 9. a = ve içi a ebob( a ) =, + ise a 00 aşağıdakilerde hagisidir? Çözüm: içi a olduğu tümevarım kullaılarak kolayca gösterilebilir. 999 asal olduğuda a = ebob 999 ( a 998,999) + = veya 000 olur. a olup a000 = ebob(, 000) + =, a ebob( ) a = ebob( ) + = olur. 00 4, 00 olduğuda a 999 = 00 =, 00 + = 4 ve 0. x + y x ifadesi x, y tamsayı değerleri içi xy ile bölüüyor. Aşağıdakilerde hagisi x i değeri olabilir? Çözüm: ( xy, ) = dolsu. Bu durumda aralarıda asal m ve sayıları içi x = d.m ve y = d. olur. xy ( x + y x) ise d m. ( m d + d md ) dm.. ( m d+ d m) ( m md+ d m) ve d ( md+ d m) olur. Bu durumda m d ve d m olup m d olduğuda m d olur. O halde d = m olup x = d olur. Şıklarda tam kare ola 44 olduğuda x = 44 olmalıdır.. a, b, c, d, e pozitif tam sayılar olmak üzere a< b< c< d < e olup m ve i ortak katlarıı e küçüğü [m, ] olsu. Çözüm: ifadesii e büyük değeri kaçtır? [ ab, ] [ bc, ] [ cd, ] [ de, ] S = [ ab, ] + [ bc, ] + [ cd, ] + [ de, ] olsu. a < < e içi [ ab, ] a, [,] bc b, [, cd] c, [ de, ] dve b, c olur. Durum : c = olsu. Eğer d = 4 ise [a, b] =, [b, c] = 6, [c, d] =, [ de, ] 8, olup 7 S = S = < olur. Eğer d 5 ise [, cd] 6, [ de, ] 0 olup 6 5 < olur. 6 5

26 Durum : c 4 olsu. Eğer 5 d 7ise [c, d] = 0, 8, 0, 5 veya 4 olup 9 S = Eğer d 8 ise maksimum değerie ulaşılır. 5 < olur. c = 4 ve d = 6 içi 6 S = 4 5 S = olup a =, b =, c = 4, d = 8 ve e = 6 içi < olur. 6 5 S = da küçük kaç tae (, ) (, ) okek ( y, x ) okek x y + = + eşitliği sağlaır? xy pozitif tam sayı ikilisi içi Çözüm: okek ( a, b) a. b olduğuda xy. ( x+ ) xy ve.( ) yx y+ yx x= yt. ve y= xk. kt=. x = y veya x = y olmalıdır. x = y ise (, + ) = okek ( x, x + ) ve okek ( x, x + ) = x( x + ) olup ( x ) x( x ) okek x x ( + ) x x 6 = x + x+ x+ + + x = olup x = aa ifadeyi sağlamaz. x = y ise (, + ) = (, + ) olur. y a ( 9, + ) = (,( + ) ) olup a ile a + 9 a. ( a ) a( a ) y+ = a ise ( ) okek y y okek y y okek a a okek a a elde edilir. Eğer = olsu. + = + çelişkisi (, ) (,9 ) okek a a = okek a a ( a ) a a( a ) ( ( + ), + ) = +,( + ). ( a+ )( a+ ) =. ( a+ )( a+ ).. = 9. çelişkisi elde edilir. Eğer y = a+ ise ( ) okek a a okek a a olacağıda y = a+ ise deklem sağlaır. O halde x = 9a < a + < şartıı sağlaya tae a değeri olduğuda deklemi tae çözümü vardır.. x< y < zpozitif tamsayılar olmak üzere (x, y) = 6, (y, z) = 0, (z, x) = 8 ve [x, y, z] = 400 şartıı sağlaya kaç tae (x, y, z) üçlüsü vardır? (a, b): a ile b i ebobu, [a, b]: a ile b i ekoku Çözüm: 4 x, 0 y ve 40 z dir. Bu durumda x = 4x, y = 0y ve z = 40z olur. 6 = (x, y) = (4x, 0y ) = 6(4x, 5y ) 0 = (y, z) = (0y, 40z ) = 0(y, 4z ) 6

27 8 = (z, x) = (40z, 4x ) = 8(5z, x ) olduğuda (4x, 5y ) = (y, 4z ) = (5z, x ) = olur. Bu durumda x, y, z ikişer ikişer aralarıda asal olacaktır. 400 = [x, y, z] = [4x, 0y, 40z ] = 0[x, y, z ] olduğuda [x, y, z ] = 0 olup x, y, z ikişer ikişer aralarıda asal olduğuda x.y.z = 0 olur. Dolayısı ile (x, y, z ) = (,, 0), (, 4, 5) olur. Burada (x, y, z) = (4, 0, 800), (4, 0, 00) olur. 4. abcdtam,,, sayıları birbiride farklı ve de büyük tam sayılar olmak üzere ( ab, ) ( cd, ) = dir. a) ab = cd şartıı sağlaya a, b, c, d sayıları var mıdır? b) ac = bd şartıı sağlaya a, b, c, d sayıları var mıdır? Çözüm: ebob(a, b) = ebob(c, d) ise x, y, z, w ikişer ikişer aralarıda asal sayılar olmak üzere a = xy, b = zw, c = xz ve d = yw olsu. ebob(a, b) = ebob(xy, zw) = = ebob(xz, yw) = ebob(c, d) olup ab = xyzw = cd olur. b) ebob(a, b) = ebob(c, d) = s olsu. Bu durumda ebob(a, b ) = ebob(c, d ) = olmak üzere a = a s, b = b s, c = c s, d = d s yazabiliriz. ac = bd ise a c = b d olur. d a c ve ebob(c, d ) = olduğuda d a olur. Bezer şekilde a b d ve ebob(a, b ) = olduğuda a d olup a = d olup a = d olur. Bu ise a, b, c, d i farklı olması ile çelişir. 5. tamsayısı olmak üzere t = 0 + olsu. t ile t + i e büyük ortak böleii 8 i bir bölei olduğuu gösteriiz. Çözüm: t ile t + i e büyük ortak bölei d olsu. Bu takdirde t t = + + sayısıı böler. Bu durumda d ( + ) olur. Ayrıca d (4t ( + )( )) = 8 olur. 6. x, y, z pozitif tam sayılar olmak üzere ebob(a, b, c) = dir. Eğer (y x ) (z y ) = ((y x) (z y)) ise x ve z i tam kare olduğuu gösteriiz. Çözüm: (y x ) (z y ) = ((y x) (z y)) ifadesi düzeleirse x + y + z xy yz + xz = 0 olup (x y + z) = xz olup xz bir tam kare olur. ebob(x, z) = d olsu. Bu takdirde 7

28 d (x y + z) d (x y +z) olur. d x ve d z olduğuda d y olur. ebob(a, b, c) = olduğuda d = olmalıdır. Bu durumda x ve z aralarıda asal olup x.z tam kare ise hem x hem de z tam kare olmalıdır. 7. [UMO 00]. a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere (a + b)(b + a) = c deklemii sağlaya kaç tae (a, b, c) üçlüsü vardır? Çözüm: ebob(a + b, b + a) = veya tür. ebob(a + b, b + a) = ise a + b ve b + a da biri olmalıdır. a ve b pozitif tam sayı olduğuda bu mümkü değildir. ebob(a + b, b + a) = ise c çelişkisi elde edilir. Şartları sağlaya (a, b, c) üçlüsü yoktur. 8. a, b, c pozitif tam sayılarıı de büyük ortak bölei olmamak üzere + = ise a + a b c b i tam kare olduğuu gösteriiz. Çözüm: (a, b) = d olsu. (a, b ) = olmak üzere a = d.a ve b = d.b dir. a + b d + = + = = olur. (d, c) = ve (a + b, a b ) = olduğuda a a b d a b c ab c + b = d ve a.b = c olur. a + b = d(a + b ) = d olur. 9. a ve b aralarıda asal tamsayılar ise, a+ b ve yada tür, gösteriiz. a ab + b i e büyük ortak bölei ya Çözüm: a + b ile edelim. Eğer p bir asal sayı ve hem a a ab + b i e büyük ortak böleii de büyük olduğuu kabul + b hem de de b yi bölemez, çükü p sayısı a yı veya b yi bölerse, a a ab + b yi bölüyorsa, p sayısı a yı e + b yide böldüğü içi hem a yı hem de b yi bölmüş olur. a ve b aralarıda asal olduğuda bu mümkü değildir. Diğer yada, (a+b) - ( a ab + b ) = b sayısı da p ile bölüür. Bu edele, p = olmalıdır. Demek ki, a + b ile a ab + b i e büyük ortak bölei değilse, ü bir kuvvetidir. =9 sayısı a+b ve e büyük ortak bölei ya da tür. a ab + b i ortak bölei olamaz. (Nede?); o edele, a+ b ile a ab + b i 8