C L A S S N O T E S. Sinyaller & Sistemler - Sinyaller VEKTÖRLER

Transkript

1 Syaller & Ssemler - Syaller VEKTÖRLER Veörler belrl yö, doğrl e büyülüe zl doğr parçalarıdır. Yöledrlmş doğr parçaları yalış değl, aca es br aımlamadır. Doğrl e yö aramlarıda dolayı eörler belrl oordalara sahprler. Büyülü magde Doğrl Şel. Veör göserm Şelde göserle eörde c oası başlagıç, B se bş cdr. B alamda eörler belrl yö, doğrl e büyülüe e ayı zamada başlagıç-bş oaları oordaları ola doğr parçalarıdır. Eğer eörü,,,,, B yö olara erlseyd b drmda da boyl eörüde söz edlrd. z,, Şel 4. -Boyl,, eör göserm Norm : Veör zlğ, Şel 8. Gerçe eörler R de zlğ y

2 Brada e R de ya boyl gerçe sayılar ç aımlıdırlar. Şelde görüldüğü gb e eörlerde olşa R de eörüü zlğ orm olara aılır e le göserlr. Ba göre, R olara erle zlğ : olara hesaplaır. Eğer boyl R yere gerçe eörler boyl alısalardı,,,, R eör zlğ orm olara Uzlğ ola eördür. Brm Veör R de Verle herhag br eörü brm eör yapma ç, eör ed zlğa bölüür. B şlem ayı zamada eörü ormalzasyo olara da blr. Ba göre eörüü ormalze ede ed zlğa bölme şlem Öre brm eör 4,8,4 eörüü brm eör yapıız 4, 8, 4 Komples eörü Norm zlğ 4,8,4 4,8,4 9 4 Brada omples eörler, Z Z, Z,, Z C oldğ göz öüe alara l olara zlğ hesaplayalım. Z Z Z Z Z z z z z z z z z Görüldüğü gb br omples eörü zlğ, eörü edsyle ola omples çsel çarpımları are öüde olşmaadır.

3 Syaller & Ssemler - Syaller Veör Uzayları Leer zay olara adladırılablece başlıca eör zayları ;. Ecldea zayı. er prodc zayı. Hlber zayı 4. Baach zayı Gerçe Değerl Hlber Space er prodc Space Özelller Gerçe eörler çsel çarpımı saler çarpım Saler çarpım olara aıla b şlemde eğer gerçe eör,,,, e y y, y,, y seler, eya;, y R olma üzere bları çsel çarpımları y, y <, y y y y Ba göre,. y y y. y aleraf gösermyle orm olara adladırılır. Norm R de leer operaör olmadığı ç o yere, çsel çarpım aramı llaılır. Ba göre eğer gerçe eör,,,, e y y, y,, y seler,, y R olma üzere bları çsel çarpımları y, y <, y y y y y y y y Komples Değerl Hlber Space er prodc Space Özelller Şmd eörler daha geel olaca şelde omples değerll Hlber eör zayıda omples eörler çsel çarpımıı ya saler çarpımıı ele alacağız. e y eörler omples oldlarıda,,,, e y y, y,, y, y C olma üzere,

4 y y y y Ecldea çsel çarpım fades geçerl olacaır. Brada y omples eşle, cojgae y eörüü gösermeedr. B edele y y oldğda, gerçe sayılarda.y <, y y cosθ R, y y fades le arışırılmamalıdır. İ Veör rasıda çı θ Şel. e y eörler eör zllarıı orm olara da fade edeblrz..y <, y y cosθ θ cos.y y.y y cosθ Görüldüğü gb, eörü çsel çarpımları br sayı olp eör değldr. Brada eğer eör e se, çsel çarpımları, bçmde eörü zlğ gösere orm olara hesaplaablr. İçsel çarpımı dğer br faydası da seçle eörler orogoal olmalarıyla lgldr. İ eör brbrlere d seler aralarıda açıı cos 9 y y cos9 y y y 4

5 Syaller & Ssemler - Syaller olşr. B yalaşım eörler brbrlere bezerller celeme açısıda öemldr. Öre,,, y,,, π θ 4 se. y?, y.y <, y.. Orogoal Veörler <,y cosθ y cos θ eya π cos 4 π θ 9 B drmda e y eörler orogoal oldğ abl edlr. Verle bağııda yararlaara aleraf olara orogoall oşl θ 9 yaısıra <, y Soç : Veörler orogoal seler aralarıda açı <, y.y olmalıdır. Oroormal Veörler 9 θ e çsel çarpımları sıfır e y eörler orogoal, brbrlere d, aralarıda açı θ 9, e de çsel çarpımları y e y eörler oroormal olara aılırlar.. e zlları se,,, Baz bass Veörler y,, Şel. Bass eörler

6 Orhogoal projesyo graf yalaşım c a c a c a her arafı Pr oj Şel 4. eörüü a le çarparsa,. a c a. a c a. a. a c a. a. a. a <, a. a c a. a a. a < a, a a B drmda araa projesyo, Pr oj Pr oj a c a a Öre a. a <, a <, a a a a a < a, a a,, a, se, Pr oj a?. a.. 9 a 5. a 9 8 Pr oja a,, a a a üzere projesyo

7 Syaller & Ssemler - Syaller Orhogoal Orhoormal Tabalar bass Eğer ayı orogoal er prodc zayıda br eör se, orogoal bassler S,,,, } e eörü arasıda aşağıda leer ombasyo mecr { c c c c c B alamı, S al zayıda herhag br eörü al zay ümesde orogoal bassler leer ombasyoları olara yazılablmeedr. Orogoal yazımda asayıları c, c, c,, c hesaplama ç, yarıda delem her arfıı,,, le çarparsa, <, < c c c c c, <, c <, c <, c <, c <, c <, Orogoal bass ç <, c <, <, <, c <, <,, j oşlda dolayı, j.. Yarıda orogoal bassler çere leer süperpozsyo delem <, <, <, <, <, orhoormal bass ç e farlılı orogoal eörler zlğ le lgl olacaır. Çüü orogoal br eörü zlğ ayı zamada alıması drmda yarıda orogoal drm ç yazıla <, <, c <, Marsler oragoallğ.. Br V mars göz öüe alıdığıda oragoal oldğ abl edlr. - V V T eşlğ sağlaması drmda mars

8 Leer Bağımlılı - Bağımsızlı a, b, a drm göz öüe aldığımızda lşs eya / e görüdüğüde b drm göz öüe aldığımızda e eörler arasıda br lş yazılamayacağıı görmeeyz. Orogoal Baz Veörler Elde edlmes : Gram Schmd lgorması Gram Schmd,, leer bağımsız S {,,, } ama orogoal olmaya leer bağımsız eörler, S,,,, orogoal eör ümese döüşüre yöem adımlarıı çere br yalaşımdır, algormadır dım Başlagıça dım <, <, dım <, <, <, <, dım proj <, <, < <, <, <, <, <,.. <, <,.,. 8

9 Syaller & Ssemler - Syaller Öre Veör zayıda erle S 5, eör se mümü oldğ arde, 4 Gram-Schmd algormasıyla orogoal eörlere döüşürü. Çözüm 5 5 V de 5. [.4] 4 V 4 de V olması ra V < oldğda, eörler leer bağımsızdır. Dolayısıyla Gram Schmd algormasıı yglamasıa geçleblr..dım ols. Ba göre,.dım proj 5 4 <, 5 <, e orogoal eörlerdr. yrıca, eörler oragoallğ saler çarpımla es edleblr. <, <, Ba göre erle eörler Gram Sshmd algormasıyla oragoal yapılmışlardır.

10 ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR egeale egeecor y Öre Mars öz değerler e öz eörler hesaplayı. Çözüm, e [ ] , 5 No : Leer zamada bağımsız Lear Tme ara, LT sysem ssem ç öz değer pozf olş, ssem ararsızlığa göürmeedr. Bları ardıda, 4 öz değere arşılı gele öz eörü hesaplayalım. B ç öz değer marsde yere oyalım. 4 4 a ols a a a a Şmd 5 öz değere arşılı gele c öz eörü hesaplayalım. B ç öz değer marsde yere oyalım.

11 Syaller & Ssemler - Syaller 5 5 a a a a a Reel öz değerler e ssem daraışı : Leer ssem öz değerler reel se ssem daraışı aşağıda çıış delemde belrler. y c e c e c e c e B geel fade ışığıda öree leer sseme a öz değerler 4, 5, reel e pozf oldğda, ararsız daraacaır. SONUÇ : Öz değerler reel e pozf se ssem ararsız daraır y c e 4 y c e c c Şel Pozf öz değerler 4, 5 ssem ararlılığı üzerde es SONUÇ : Reel öz değerlerde br pozf se ssem oplamda ararsız daraır <, SONUÇ : Reel öz değerler egaf se ssem ararlı daraır <

12 Komples Öz Değerler e Öz Veörler Öre 5 Kare mars öz değerler hesaplayı. 8 Çözüm B ç gereğ, araers polomda, araers delem olşralım. Köşege mars, 5 5 e Z ç öz değerler, j j e j [ 5.8] 4 4 Öz değerler omples majer olara elde edlmşr. İl olara değere arşılı gele omples öz eörü hesaplamaya çalışalım. ç 5 j j j 5 j 5 / 8 j 4 j j omples öz 5 5 j 5 j 5 j 5 j j j j j j 9 4 j / 4 j / 4 j / 4 Şmd j omples öz eörüe arşılı gele c omples öz eörü hesaplayalım. ç

13 Syaller & Ssemler - Syaller 5 j j j 5 j 5 / 8 j 4 j j 5 j 5 j j j j j j 9 4 j / 4 j / 4 j / 4 Soça j e j öz değerler ç, aşağıda omples öz eörler elde edlmşlerdr. j / 4 j / 4 e Soç : Komples öz değerlere arşılı gele öz eörlerde omples e eşler. Tam omples öz değerler e ssem daraışı : No : c e c ssem asayıları başlagıç oşllarıyla hesaplaır. SONUÇ : Öz değerler am omples se ssem marjal ararlı daraır ± jω ± j Yarı omples e reel ısmı egaf öz değerler e ssem daraışı : Ssem öz değerler omples olması halde geel daraışıı aşağıda gb fade edldğ blyorz. y c e c e c e c e j j j j B geel fade ışığıda ssem omples öz değerler yarım omples olması halde ssem daraışı farlı olacaır. Öree ssem öz değerler j, j olara yarı omples aca reel ısım egaf oldğda ssem oslasyol/dalgalı olmasıa rağme ararlı daraacaır. y e e ± jω ± jω y e cosω ± j sω Eler delem y e e e e ± j ± j ± j cos s

14 Delemde yer ala cos ω,s ω gb ssod fosyolarda dolayı ssemde dalgalama/oslasyo olşmasıa arşı, reel ısımda gele e bölümü, ssem y olara söümledreceğde, ssem yüse gele oslasyola başlamasıa arşı zamala dalgalama söümleeceğde, oplamda ssem ararlı daraacaır. Böyle br y ssem çıışı aşağıda değşmler göserr. y y y c e c e c e e c e e j j j j j c cos j s e c cos j s e No : c e c ssem asayıları başlagıç oşllarıyla hesaplaır. SONUÇ : Öz değerler yarı omples e reel ısmı egaf se ssemararlı daraır a ± jω, a < 5, ± j4 j4 e j4 Yarı omples e reel ısmı pozf öz değerler e ssem daraışı : SONUÇ : Öz değerler yarı omples e reel ısmı pozf se ssem ararsız daraır a ± jω, a Kalı öz değerler e ssem daraışı Öre 8 9 Mars öz değerler e öz eörler hesaplayı. Çözüm mars boyl oldğda, üç öz değer e blara arşılı gele leer bağımsız öz eörü elde edlmes belyorz [ 8.] [ ]

15 Syaller & Ssemler - Syaller Ssem araers delemde olara alı öz değerler söz os oldğ görmeeyz B drmda b öz değere arşılı gele öz eörler elde emeye çalışalım. öz değer ç, a, a a a a mars alı öz değer olmasıa arşı leer bağımsız e öz eörüü, T oldğ görmeeyz. B öz eörü marse a oldğ eya bağıılarıda gösereblrz mars c br öz eörü olmadığıda b, geelleşrlmş öz eör yalaşımıyla hesaplamamız gereyor. bağıısıda elde edeblrz , eyf / Böylece mars alı öz değerler ç leer bağımsız, T öz eörüü yaı sıra, marse a olmaya /, T öz eörü geelleşrlmş öz eör yalaşımıyla elde edlmşr. Ba rağme e öz eörler leer bağımsız oldlarıı görmeeyz.

16 Negaf alı öz değerler e ssem daraışı Verle öree alı öz değerler alı e egaf < oldğda, geel çıış fades aşağıda gb olacaır. / y c e c e c e c e e Çıış fadesde e erm zama sosz geş e sıfıra gdeceğ blyorz. Çüü ssemde öz değer egaf < drmdadır. B drmda e olacağı söyleeblr. e e e e e Negaf öz değere sahp epoesyel, zamaı sosz olmasıda öce daha ısa sürede eds sıfırlayacağıda ssem oplam çıışıda sosz değl, sıfır olr e. B geel fade ışığıda ssem alı öz değerler egaf eya pozf olması halde ssem daraışı olara y çıışı aşağıda değşmler göserr. y c e c e < Şel 5 Negaf alı reel öz değerler ssem üzerde es Soç : Öz değerler alı, reel e egaf se ssem ararlı daraır <