ANADOLU ÜNivERSiTESi BiliM VE TEKNOLOJi DERGiSi ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY CiltNal.: 5 - Sayı/No: 1: (2004)

Transkript

1 ANADOLU ÜNivERSiTESi BiliM VE TEKNOLOJi DERGiSi ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY CiltNal.: 5 - Sayı/No: 1: (2004) A~AŞTIRMA MAKALESiiRESEARCH ARTICLE DAiRESEL VERiLERE UYGULANAN TANıMLAYıCı istatistiksel YÖNTEMLER VE METEOROLOJiK BiR UYGULAMA K. Özgür PEKER1, Sevil BACANLl2 ÖZ Bu çalışmaı amacı, dairesel verileri özelliklerii ve doğ rusal verilere uygulaa temel istatistiksel yötemlerle arasıdaki farkla icelemektir. Çalışmada, dairesel veriler içi temel parametre değ erlerii hesaplaması açıklamış ve dairesel veri aalizideki temelolasılık dağ ılımı ola vo Mises dağ ılımı icelemiştir. Ardıda, dairesel veriler içi ortalama yö testleri taımlamış ve vo Mises dağ ılımı içi ortalama yö testie ilişki kuramsal bilgiler verilmiştir. Ayca, Aadolu Üiversitesi Sivil Havacılık Yüksekokulu Meyda Meteoroloji İstasyo Müdürlüğ ü'de, Aadolu Üiversitesi havaalaı içi ölçülmüş ola rüzgar yöleride oluşa veri değ erlerie icelee yötemler uygulamış, elde edile souçlar değ erledirilmiştir. Aahtar Kelimeler: Dairesel veri, Ortalama yö, vo Mises dağ ılımı, Rüzgar yöü. DESCRIPTIVE STATISTICAL METHODS APPLlED TO CIRCULAR DATA AND A METEOROLOGICAL APPLlCATION ABSTRACT The aim of this study is to ivestigate the properties of circular data ad the differeces from pricipal statistical techiques of liear data. I the study, calculatio of descriptive statistics for circular data are explaied ad vo Mises distributio which is the mai probability distributio i circular data aalysis is examied. The, mea directio tests for circular data is deseribed ad the theoretical iformatios about testig of mea directio for vo Mises distributio is give. A applicatio is also show, usig the wid directios o Aadolu Uiversity airport, obtaied from Aadolu Uiversity School of Civil Aviatio Airfield Meteorology Statio Admiistratio ad the obtaied results are evaluated Key Words: Circular data, Mea directio, vo Mises distributio, Wid directio. 1. GiRiş Bir çok bilim dalı içi, yapıla herhagi bir araştırmada veri toplaması aşamasıda ölçümler açısal olarak elde edilmektedir. Bu tür yösel verileri özellikle jeoloji, meteoroloji, biyoloji, fizik, psikoloji, tıp, astroomi gibi alalarda kullaıldığ ı sıkça görülür, Açısal gözlemler, deeylerde farklı biçimlerde ortaya çıkarlar. Öreğ i biyolog, kaplumbağ ala hareket yöüü icelerke, jeolog da fay hatlaa ilişki bir araştırma yapabilir. İlk örekteki yösel araştırma iki boyutlu olarak iceleirke, ikici örekteki araştırma düya yüzeyi yaklaşık olarak bir küre şeklide olduğ u içi üç boyutta iceleir. Dolayısıyla, yölere ilişki herhagi bir gözlem kümesi, yösel veri olarak adladırılır. Bu gözlemleri elde edilmeside kullaıla iki temel dairesel ölçüm aracı pusula ve saattir. Pusula ile yapılabile gözlemler arasıda, rüzgar yöleri ve kuşları uçuş yöleri sayılabilir. Bezer türdeki verilere ilişki ölçümler bir açıölçer yardımıyla da yapılabilir. Saatle yapılabilecek gözlemlere örek olarak da, bir hastaedeki acil servis birimie gele hastaları 24 saat içerisideki 2 Aadolu Üiversitesi Fe Fakültesi İstatistik Bölümü, Yuusemre Kampüsü, Eskişehir; Faks: ; E-Posta: opeker@aadolu.edu.tr Hacettepe Üiversitesi Fe Fakültesi İstatistik Bölümü, Beytepe, Akara. E-Posta: sevil@hacettepe.edu.tr Geliş: 27 Ekim 2003 Düzeltme: 06 Şubat 2004 Kabul: 22 Mart 2004

2 116 Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 5 (1) servise geliş zamalaı dağ ılımı verilebilir. Bu türdeki veriler ay ya da yıl ciside de elde edilebilir. İki-boyutlu yöler, uygu biçimde seçilmesi gereke bir sıfır yöü ve döüş doğ rultusu'a göre ölçülerı açılar biçimide gösterilebilirler. Burada, sıfır yöü başlagıç oktasıı ve döüş doğ rultusu da pozitif yö olarak saat yöüü mü yoksa saat yöüü tersii mi kullaılacağ ıı belirtmektedir. Yö kavramıda herhagi bir büyüklük söz kousu olmadığ ıda, açısal bir gözlem değ eri, merkezi oriji ola bir birim çemberi çevresi üzeride oktalarla ya da orijii bu oktalarla birleştire birim vektörlerle gösterilebilir. Bua göre derece ciside ölçülmüş tek bir gözlem BO (oo<eo<360 0 ), birim vektör olacaktır. Bu dairesel gösterirde dolayı, iki-boyutlu yölere ilişki gözlemler dairesel veri olarak da adladılır. Burada eo; vektör ile pozitif x- ekseii, saat yöüü tersi yöüde yaptığ ı açıyı gösterir. İki-boyutlu bir yöü, açı ya da birim vektör şeklideki sayısal gösterimii tek bir tae olması beklememelidir. Çükü dairesel gözlemi değ eri, sıfır yöüe ve döüş doğ rultusuu saat yöüde olup olmaması seçimie bağ lıdır. Elde edile souçlar verile gözlem değ erlerii bir foksiyoudur ve bulara verile keyfi değ erlere bağ lı değ ildir. Bu özellikleride dolayı dairesel veri aalizi, bilie istatistiksel aalizde oldukça farklıdır. Keyfi sıfır yöü ve döüş doğ rultusu seçimie ilişki ölçüıere duyula ihtiyaç, bilie birçok istatistiksel tekiğ i ve ölçüleri tamame alamsız olmasa da çoğ u zama hatalı kılar. Kouyla ilgili ilk öemli çalışmalar, Mardia (1972) tarafıda yapılmıştır. Mardia bu çalışmalarıda istatistik teorisii dairesel veri aalizie asıl uygulaabileceğ i üzeride yoğ ulaşmıştır. Bu alada yapıla diğ er çalışmalar arasıda Fisher (1993), Mardia ve Jupp (2000) ve Jammalamadaka ve Se Gupta (2001) bulumaktadır. 2. DAiRESEL VERILER için TANIMLAYıCı istatistikler 2.1, Ortalama Yö, Bileşke Uzuluğu ve Ortalama Bileşke Uzuluğu Dairesel verilere ilişki yapıla ölçümler geellikle derece ciside yapılır. Fakat, bazı durumlarda, özellikle teoride, derece ciside ölçüle bir eo açısal gözlemii (2.1) eşitliğ i yardımıyla radya ciside B açısıa döüştürülmesi tercih edilir. 8 =,,8' 180 0< 8< 2" (2.1) Tek bir yöe doğ ru kümeleme göstere bir dairesel veri seti içi ortalama yö ölçüsüu belirleebilmesi içi, gözlem değ erleri birim vektörler olarak düşüülür ve bu vektörleri bileşke vektörüü yöü kullaılır. P, ; birim çember üzeride Bi (i = l,...,) açısıa bağ lı olarak belirlee herhagi bir okta olmak üzere, Bı,..,B açılarıı ortalama yöü e; QPı,..., OP birim vektörlerii bileşkesii yöü olarak taımlaır. P, oktalarıı ağ ırlık merkezi (C,S); C = 2:: coi/i ' O"5Rs eşitliğide, veya ortalama yö biliiyorsa R=R/ ta-i(s/c) ta" (S /C)+", C <O S>-O, C>O e= ta -I (S / c)+2", S < O, C >- O l2 S>O,C=O tausfz, S=O, C=O Fl S = 2:: sirtl i olmak üzere, bileşke uzuluğ u R; i=l Gruplamış dairesel serilerde ise geel bir yaklaşım olarak, bir aralıktaki tüm gözlem değ erlerii o aralığ ı orta oktası olduğ u varsayımı kullaılır. Örebiçimide taımlaır olarak verilir. (2.2) (2.3) eşitliğ i yardımıyla buluur. Burada, Bı'..., B açılarıı vektör bileşkesii yöü e; (2.4) ve ortalama yö olarak adladılır. Ortalama bileşke uzuluğ u R ise; (2.5) Dolayısıyla, verile bir açısal gözlem kümesi içi, öcelikle bu değ erler dik koordiatlara döüştürülür ve bileşke vektörü buluabilmesi içi toplaır. Böylece bu bileşke vektörü yöü ola e,(2.4) eşitliğ i kullaılarak elde edilir. Burada, R = Odurumuda (C = O ve S =O),daireselortalama taımsızdır. Bileşke vektörü sıfır uzuluğ a sahip olması, verii çember üzeride herhagi bir yöe doğ ru yoğ ulaşma göstermediğ ii, yai düzgü dağ ıldığ ıı gösterir. Bu durumda, verii herhagi bir tercih edile yöü ya da ortalama yöü bulumamaktadır.

3 Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Techology, 5 (1) ı ğ i, sayıda orjial gözlem değ eri k tae sııfa göre grupladığ ıda, i-ici sııfı orta oktası Bi ve sıklığ ı fi,i. =1,...k {Jıf1 == r olmak üzere; = 1-.!.(Rcos8cos{f + Rsi 8 sie) tl 1 =1--R 11 değ erleri hesaplaır. s' 1~1" 0, "=-ı:.,.ji SIllI' 1=1 (2.6) olur ve souç olarak; V= ı-li os Vs 1 (2.10) değ erie ulaşılır. (2.10) eşitlig i, ömeklem dairesel varyası olarak taımlaır. Doğ rusal veri varyasıda olduğ u gibi, dairesel varyas değ eri küçüldükçe, dağ ı lım homojeleşir Yoğulaşma Parametresi Yoğ ulaşma parametresi k'ı e çok olabilirlik tahmii K; A1(K)=Rl==R (2.7) sayıda dairesel gözlem e ortalama yöü etrafıda kümelerımiş ise, R l'e yakı bir değ er alır ve dairesel varyas sıfıra yakı çıkar. Yöler geiş bir dağ ı- lım göstermiş ise, R değ eri küçük ve dairesel varyas l'e yakı olacaktır..- Eşitlik (2.7)'ı çözümüdür. Burada R A i (x) = Iı(x) i Io(x) (2.8) 2.4. Dairesel Stadart Sapma v değ erii (0,0) aralığ ıa uygu bir döüşümü; döüştürülmüş iki Bessel foksiyouu oraıdır. Eşitlik (2.7)'i çözümü içi uygu bir yaklaşım ise; 1 2R +ip + 5R S 16 K= -O R+O.43/(I-R) II(j(.3-41P +3R) ile verilir (Fisher 1993) Dairesel Varyas R < =:; li < 0.85 R~0.85 (2.9) Bileşke uzuluğ u R, verii ortalama yö etrafıdaki yoğ ulaşma miktarıı gösterir. Bütü gözlem oktaları (birim vektörler) ayı yöe doğ ru büyük bir yoğ ulaşma gösteriyor ise, R değ erii büyüklüğ ü 'e yakı buluacaktır. Buu aksie, veriler herhagi bir yog ulaşma göstermeksizi çember üzeride düzgü bir dağ ılım gösteriyor ise, R değ eri sıfıra çok yakı bir değ er alacaktır. 1 LI V = 1--Lcos(OI 11 1=1 (f) ile taımladığ ıda (Mardia 1972); 1 ".- - V= 1--L(cosOı coso + si Oı sio) 11 1=1 II - -) = 1--,CcosO +SsiO 11 biçimide taımlaır. (2.11) v ölçüsü, doğ ru üzerideki bilie stadart sapmaya bezemektedir. Kuramsal araştırmalarda, V ve R değ erleri v değ eride daha çok kullaılmaktadır. V'i küçük değ erleride, dairesel stadart sapma; V = (2V)1/2 biçimidedir (Mardia 1972) Dairesel Saçııim Dairesel saçılım; 1-P2 0=-- 2li 2 biçimide taımlaır. Eşitlikte; 1 " - P2 =-L COS2(0 1 -O) 1=1 (2.12) (2.13) (2.14) değ eri merkezi ikici trigoometrik mometi göstermektedir (Fisher 1993). Dairesel saçılım daha çok, ortalama yö içi güve aralığ ıı hesaplamasıda, ortalama yöleri karşılaştılmasıda ve birleştirilmeside kullaılmaktadır.

4 118 Aadolu Üiversitesi Bilimve Tekoloji Dergisi, 5 (I) 2.6. Dairesel Stadart Hata Ortalama yö tahmiii dairesel stadart hatası; e=/+ fo-f-ı xh 2fo - f-ı - f+ı (2.18) (2.15) formülü ile hesaplaır. Burada, dairesel saçılım deg eri Eşitlik (2.13)'de buluur (Fisher 1993). Dairesel stadart hata özellikle, ortalama yö içi güve aralıklarıı belirlemeside kullaılmaktadır Medya Yöü Bilim çember üzerideki oktalarda oluşa bir veri kümesii verildiğ i varsayılsı. Bu oktalarda herhagi bir P oktası aşağ ıdaki özellikleri sağ lıyorsa, P oktası örekleri medyaı olarak adladırılır. (i) Öreklem oktalarıı yarısı P oktasıda geçe PQ çapıı her iki tarafıda bulumaktadır. (ii) Öreklem oktalarıı çoğ uluğ u P oktasıa Q oktasıda daha yakıdır. Bu koşulları sağ laya QP vektörüe örekleri medya yöü adı verilir. Medya yöü,e simgesiyle gösterilir ve e+tr e+2tr i f(b)db = Jf(B)dO =~ 8 8+1t biçimide taımlaa itegrali çözümü ile buluur. Simetrik bir dağ ılım içi, medya yöü simetri ekseide olacaktır. Medya tek bir tae olmayabilir. Fakat, bütü tek modlu dağ ılırlar tek medyaa sahiptir (Mardia 1972). Gruplamış bir seri içi medya yöü; --fo 0=1+ 2 xh f+ı - fo (2.16) (2.17) ile verilir. Burada; 1: medya sııfıı alt sıırıı, fo: medya sııfıı (Oj-180,Oj) aralığ ıdaki sıklığ ı- ı, f+ 1 : medya sııfıda bir soraki sııfı (Oj-180,Oj) aralığ ıdaki sıklığ ıı ve h: sııf aralığ ı ı uzuluğ uu gösterir Mod Yöü Mod yöü e; verii e fazla yoğ ulaştığ ı yö alamıa gelir. Verile bir sıklık dağ ılımıı mod yöü, kesim oktası seçimide sora bilie mod hesaplama yötemiyle buluur. Gruplamış bir seride mod yöü; eşitlig i ile elde edilir. Burada; 1: mod sııfıı alt sıırıı, fo: mod sııfıı sıklığ ıı, f_ 1 : mod sııfıda bir öceki sııfı sıklığ ıı, f+ı: mod sııfıda bir soraki sııfı sıklığ ıı ve h: sııf aralığ ıı uzuluğ uu gösterir (Mardia 1972). 3. VON MISES DAGILlMI Bir dairesel raslatı değ işkei, vo Mises dağ ı yoğ uluk foksiyou; lımıa sahipse, olasılık VM(1ı "": f(o' ii 1<:) = 1 ekoo'l(o-p) r'"i,r, 2.ırlo (.1..), (3.1) biçimide taımlaır. Burada, IO(K); birici tür ve sıfır sırasıda döüştürülmüş Bessel foksiyoudur ve olarak verilir. (3.2) Vo Mises dağ ılımıda K değ erii büyük olması, aakütle ortalama yöü ve mod yöü etrafıda daha büyük bir kümeleme olduğ uu gösterir. Bua göre K, ortalama yöe ilişki yağ ulaşmayı ölçe bir parametredir (Jammalamadaka ve Se Gupta 2001). Doğ rusal veri setleri içi, ormal dağ ılım, sıkça kullaıla bir dağ ılım olmakla birlikte, şekilsel istatistiksel aaliz, (j2 değ erie bakılmaksızı yapılabilmektedir. Fakat, dairesel veri setleri içi temel dağ ılım ola vo Mises dağ ılımıda ise, şekilsel istatistiksel aaliz K değ erie bakılmada yapılamamaktadır. Yoğ ulaşma ola ilişkisi; V=I-p=l-A(A.) parametresii, dairesel varyas ile biçimide taımlaır (Mardia 1972). Vo Mises dağ ılımıı mometleri; Ortalama yö 11- Ortalama bileşke uzuluğ u: p =A1(K) Dairesel saçılım biçimidedir. 8=_1_ Tll't l (1<:) LXP =Ap(K) f3 p = O, po 1 (3.3)

5 Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Techology, 5 (1) DAiRESEL VERiLERDE TEK ÖRNEK ORTALAMA YÖN TESTLERi 4.1. Tek Öreklem Ortalama Yö Testi Belirlee bir a alamlılık seviyeside Ho: f.l =f.lo hipotezii, Hı: f.l O f.lo alteratif hipotezie karşı testi içi iki durum söz kousudur. Birici yötem, ortalama yö içi güve aralığ ıı belirlemesi yoluyla test uygulamak, ikicisi ise, öreklem hacmie dayalı olarak doğ ruda test uygulamaktır. Güve arahğ ıı belirlemesi yötemide, ortalama yöü dairesel stadart hatasıda yararlaılır. Bua göre sırasıyla; i - I-p L P2 = - Lcos2(0; -O), 0= _2 2 ve CT = - tablosuda elde edilir. Kurulacak hipotezler; Ho: u = f.lo aralığ ı w W değ erleri hesaplaır. Bu işlemlerde sora, ortalama yö içi (l-a)'lık güve aralığ ı; (J/Q - si-1(za/l o), J/Q + si-1(za/l 0) (4.1) ile buluur. Burada, zal2; stadart ormal dağ ılım H ı: f.l Of.lo (4.2) olduğ uda, ortalama yö değ eri (4.1)'de verile içide ise, a alamlılık seviyeside Ho hipotezi kabul edilir, aksi halde reddedilir (Fisher 1993 ve İal ve Güay 1999). Öreklem hacmie dayalı test ise, uygu bir güve aralığ ıı belirleemediğ i durumda doğ ruda uygulaabilmektedir. Fakat bu test, öreklem hacmi 25 veya daha fazla olduğ uda kullaılabilir. Bu yöteme göre, öcelikle dairesel stadart hata s yukarıda verile testteki gibi hesaplaır. Test istatistiğ i; leecektir. İlk olarak, ortalama yö içi güve aralığ ı ı belirlemesi yötemiyle uygulaa test iceleecektir. Doğ ruda test uygulamasıda ise, yoğ ulaşma parametresii bilidiğ i ve bilimediğ i durum olmak üzere iki durum söz kousudur. Güve aralığ ı belirleerek uygulaa testte, ortalama yö içi dairesel stadart hata değ eri hesaplaır. Fakat, burada vo Mises dağ ılımı içi özel bir hal ala stadart hata formülü kullaılmaktadır. ı CTVM =.,f;;r"f aralığ ı; E (4.4) Bua göre; ortalama yö içi (l-a)'lık güve (Jio - si-i(zail OVM), Jio + si-1(za/l OVM» (4.5) olur. Ortalama yö değ eri (4.5)'te verile aralığ ı içide yer alıyorsa, o. alamlılık seviyeside Ho hipotezi kabul edilir, aksi halde reddedilir. Güve aralığ ı = si(o -,llo) CTVM belirlemede doğ ruda yapıla test, öreklem hacmi ve yoğ ulaşma parametresi /( tahmi değ erii büyüklüğ üe bağ lı olarak uygulaır. Yoğ ulaşma parametresii bilimediğ i durumda, vo Mises dağ ılımı içi ortalama yöü dairesel stadart hatası O"VM Eşitlik (4.4)'teki gibi hesaplaır. Test istatistiğ i ise; (4.6) olarak verilir. Bu değ er a güveilirlik seviyeside, stadart ormal dağ ılım tablosuda elde edile değ erle karşılaştırılır. Karşılaştırmalar alteratif hipotezi değ işik durumları içi aşağ ıdaki gibi yapılır: Ho: il = Jio, Hı: il '* Jio testi içi iei > Zai2 iseho red, S = si(o - lio) CT (4.3) Ho: ii = Jio, Hı: ii < Jio testi içi i si değ eri tablo değ eride bü olarak verilir. Bu değ er a güveilirlik seviyeside, stadart ormal dağ ılım tablosuda elde edile değ erle karşılaştırılır. yük olduğ uda Ho hipotezi reddedilir, aksi halde kabul edilir (Fisher 1993) Vo Mises Dağılımıa Sahip Aakütlelerde Ortalama Yö Testi Bu kesimde, icelee aakütlei f.l ortalama yöü ve K: yoğ uluk parametresi ile vo Mises dağ ılımıa VM(f.l,K:) sahip olduğ u varsayımı altıda, ortalama yöü f.lo gibi bir değ ere eşit olup olmadığ ı testi ice- J4J - tc < li < J4J ve E < -zuise Ho red, Ho: ii = Jio, Hı: Il> Jio testi içi 1f < Jio + ve E> -Zu ise Ho red. Test, ve /( 'ı aldığ ı değ erlere bağ lı olarak aşağ ıdaki durumlarda kullaılır: Çizelge ı. ve K:Değ erlerie Bag lı Olarak Testi if:: 0.4:-::; if:: < :-::; if:: < 1.5 2lS 1.5:-::; if:: < LO if:: >2.0 Bütü'Ier

6 120 Aadolu Üiversitesi Bilimve Tekoloji Dergisi, 5 (1) Uygulaabildiğ i Durumlar Yoğ ulaşma parametresi x'ı değ ere eşit olduğ u varsayıldığ ıda; /(0 gibi bilie bir KO D2 ise, Vo Mises dağ ılımı içi ortalama yöü dairesel stadart hatası O"VM; 1 O"VM=--- ~l1pko (4.7) E biçimidedir. Test istatistiğ i ise; = si(e - lio) O"VM olarak verilir. Bu değ er a güveilirlik seviyeside, stadart ormal dağ ılım tablosuda elde edile değ erle karşılaştılır. (4.8) Ho: jl = Jlo, Hı: ii *' Jlotesti içi iei > ZoI2 iseho red, 110: ii = Jlo, Hı: ii < Jlo testiiçi Şekil ı. ro -t-..." v,,...1.._.--' i f i... Rüzgar Yöü Verilerii Ham Veri Grafiğ i Şekil-2'de ise, rüzgar yöü verilerii loo'lik grup geişliğ i seçildiğ i durumdaki dairesel histogramı görülmektedir. B = "B' 180 0< (}< 2" Jlo- J«jj < Jlove E< -Za ise Ho red, Ho: ii = Jlo, Hı: li> 14ı testi içi jj < Jlo + J( ve E> -Zuise Ho red. (Fisher 1993). 5. UYGULAMA Dairesel verileri e çok kullaıldığ ı alalarda birisi meteorolojik gözlem çalışmalarıdır. Yukarıda icelee yötemleri gerçek veriler üzeride uygulaması amacıyla, Aadolu Üiversitesi Sivil Havacılık Yüksekokulu Meyda Meteoroloji İstasyo Müdürlüğ ü'rıde, Aadolu Üiversitesi havaalaı içi ölçüle ve rüzgar yöleri ve rüzgar hızlada oluşa veri seti elde edilmiştir. Bu rüzgar yöü verileri açısal gözlemlerde oluşmaktadır. Gözlemler 15'er saiyelik zama aralıklarıda ölçülmektedir. Burada, öcelikle elde edile veriler şematik olarak verilecek, taımlayıcı istatistikleri elde edilecek ve ardıda tek ömeklem ortalama yö testi uygulaacaktır. Uygulamada ele alıa veriler 29 Eylül 2002 tarihide saat l2:00'da l8:00'a kadar yapıla 5'er dakikalık rüzgar yöü ve hızı ölçümleride oluşmaktadır. Bu tarihte, verile saat aralığ ıda 73'er rüzgar yöü ve hızı verisi elde edilmiştir. Bu dairesel gözlem değ erleri içi elde edile dairesel grafikler aşağ ıda verilmektedir. Şekil- 1'de, verileri ham veri grafiğ i görülmektedir. Şekil 2. Rüzgar Yöü Verilerii Dairesel Histogramı Şekil-3'te, rüzgar yöü verilerii loo'lik grup geişliğ i seçildiğ i durumdaki gül şeması görülmektedir. Şekillerde de görüldüğ ü gibi, veriler aralığ ıda değ er almakta ve dağ ılırı şekli vo Mises dağ ılımıa uymaktadır. m - ", i i~: Rüzgar yöü verilerii gül şeması Şekil 3. Belirlee gü ve saat içi seçile 73 gözlem değ e ri içi S-Plus ve Oriaa paket programları kullaılarak elde edile taımlayıcı istatistik değ erleri; ortalama rüzgar yöü: (j = , ortalama rüzgar hızı: 13.62

7 Aadolu Uiversity Joural of Sciece ad Techology, 5 (1) km/saat, bileşke uzuluğ u: R == , ortalama bileşke uzuluğ u: R == 0.952, yoğ ulaşma parametresi tahmii: K == 10.65, dairesel varyas: V == 0.048, dairesel stadart sapma: v == ve dairesel stadart hata: (J' == olarak buluur. Seçile öreklem 'lük ortalama yöü ve 1O.65'lik yoğ uluk parametresi ile vo Mises dağ ılımıa VM(229.36, 10.65) sahiptir. Güve aralığ ıı belirlemesi yötemiyle ortalama yö test edilmek istediğ ide kurulacak hipotezler; Ho: J.l == 229 Hı: ıi 0229 biçimide olsu. Eş!tlik (4.4)'e göre; i O"VM := fi3(0.952)(lO.65) elde edilir. Bua göre; ortalama yö J.l içi (l-a)'lık güve aralığ ı (4.5)'te yararlaılarak; ( si- 1 ((1.9604)( » si- 1((1.9604)(O » == ( , ) olacaktır. Şekil-c'te Şekil % 95'lik bu güve aralığ ıı grafik gösterimi verilmektedir. o t-~ _, i :,i \ i \ "'I\~f"...-J... i~ 4. Rüzgar Yöü Verileride Ortalama Rüzgar-YöüIçi %95'lik Güve Aralığ 1 Burada cı == 0.05 olarak alımıştır. Ho hipotezide verile 229 değ eri verile aralığ ı içide yer aldığ ı içi, %5 alamlılık seviyeside Ho hipotezi kabul edilir. Ortalama yö 229 'dir. Doğ ruda test uygulamak istediğ ide daha öce de belirtildiğ i gibi, yoğ ulaşma parametresi x'rıı bilidiğ i ve bilimediğ i durum olmak üzere iki durum söz kousudur. Öce x'ı bilimediğ i durum göz öüe alısı. Buradaki test istatistiğ i (4.6) eşitliğ ide; si( ) O 8 E == olarak buluur. i < olduğuda 0.05 alamlılık seviyeside Ho hipotezi kabul edilir. Ortalama yö 229 'ye eşittir. x'ı bilidiğ i durumda ise, KO == 10 değ eri göz KO O2 olduğ uda, vo Mises dağ ılımı öüe alısı. içi ortalama y~ü dairesel stadart hatası crvm (4.7) eşitliğ ide; 1 (TVM = ~73(0.952)(10) olarak elde edilir. Test istatistiğ i Eşitlik (4.8)'de; E =si( ) buluur. i O.16~ < olduğ uda %5 alamlılık seviyeside Ho hipotezi kabul edilir. Bua göre 29 Eylül tarihide de saat 12:00 ile 18:00 saatleri arasıdaki ortalama rüzgar yöü 229 ve ortalama rüzgar hızı km/saat olacaktır. Dolayısıyla 30 Eylül tarihide Aadolu Üiversitesi havaalaıda kalkış ya da iiş yapacak ola uçaklar bu rüzgar yöü ve hızı bilgiside yararlaabilirler. 6. TARTIŞMA VE SONUÇ Araştırmalarda, elde edile gözlem değ erleri doğ rusal ya da daireselolabilir. Fakat, dairesel verileri kullaıldığ ı araştırmalarda bilie" istatistiksel yötemleri kullaılması araştırmacıyı yalış souçlara götürmektedir. Bu çalışmada, dairesel veriler içi istatistiksel gösterim yötemleri,' taımlayıcı istatistikleri hesaplaması ve ortalama yö içi hipotez testleri icelemiştir. So yirmi yılda veri gösterimi, korelasyo, regresyo ve zamaa ya da kouma bağ lı yapıdaki verileri aalizi üzeride durulmakla birlikte, yösel veri çalışmaları, araştırmacılara çok geiş bir alada ilerleme olaağ ı vermekte ve yei istatistiksel yötemler geliştirmede çok verimli bir ala olduğ u görülmektedir. Ayrıca doğ al, fiziksel, tıbbi ve de sosyal bilimlerde ortaya çıka problemler içi yei ve farklı uygulamalar geliştirilebilmektedir (Peker 2002). KAYNAKÇA

8 122 KAYNAKÇA Aje, B. (1968). A simple test for uiformity of a circular distributio, Biometrika 55, Cheeey, R. F. (1983). Statistical methods i geology, George Alle & Uwi (Publishers) Ltd., Lodo, UK. Davis, 1. C. (1986). Statistics ad data aalysis i geology. 2d ed., Joh Wiley, New York, USA. Er, F. (2001). Dairesel (Circular) Veri Aalizide Kullaıla İstatistiksel Tekiklere Bir Bakış, 2. İstatistik Kogresi, Atalya, Türkiye. Fisher, N. i. (1993). Statistical aalysis of circular data, Cambridge Uiversity Press, Cambridge, Great Britai. Gumbel, E. J., Greewood, J. A. ve Durad, D. (1953). The circular ormal distributio: theory ad tables, J. Amer. Statist. Ass. 48, İal, H. C. ve Güay, S. (1999). Olasılık ve matematiksel istatistik, (4. Baskı) H.Ü. Fe Fakültesi Basımevi, Beytepe, Akara. Jammalamadaka, S. R. ve Se Gupta, A. (2001). Topics i circular statistics. World Scietific Publishig Co. Pte. Ltd., Lodo, Eglad. Mardia, K. V. (1972). Statistics of directioal data. Academic Press, Lodo, Eglad. Mardia, K. V. ve Jupp, P. E. (2000). Directioal Statistics. Joh Wiley & Sos Ltd., Chichester, Eglad. Peker, K. Ö. (2002). Dairesel Veriler ve Ardışık Testlerde Kullaımı, Aadolu Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Doktora Tezi, Eskişehir. Stephes, M. A. (1969). Tests for radomess of directios agaist two circular alteratives. America Statistical Associatio Joural, Aadolu Üiversitesi Bilim ve Tekoloji Dergisi, 5 (1) KadirÖzgür Peker, lisas öğ reimii Hacettepe Üiversitesi İstatistik Bölümü'de 1994'de, yüksek lisas öğreimii yie ayı bölümde, 1998'de, doktorasıı da Aadolu Üiversitesi İstatistik Aabilim dalıda 2002'de tamamlamıştır. 2002'de bu yaa ayı bölümde yardımcı doçet olarak çalışmaktadır. SevU BacaIı, lisas öğ reimii Hacettepe Üiversitesi İstatistik Bölümü'de 1986'da, yüksek lisas öğ reimii 1988'de, doktorasıı 1995'de yie ayı bölümde tamamlamıştır. 1995'te bu yaa ayı bölümde yardımcı doçet olarak çalışmaktadır.