İL - İLÇE MERKEZLERİNDEKİ ÖLÜMLERE UYGULANMASI MORTALITY FORECASTING METHODS AND APPLICATION TO DEATHS IN PROVINCE - DISTRICT CENTERS OF TURKEY

Transkript

1 ÖLÜM ORANI PROJEKSİYON YÖNTEMLERİ VE TÜRKİYE İL - İLÇE MERKEZLERİNDEKİ ÖLÜMLERE UYGULANMASI MORTALITY FORECASTING METHODS AND APPLICATION TO DEATHS IN PROVINCE - DISTRICT CENTERS OF TURKEY TUNA GENÇ Haceepe Üniversiesi Lisansüsü Eğiim Öğreim ve Sınav Yönemeliğinin AKTÜERYA BİLİMLERİ Anabilim Dalı İçin Öngördüğü YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmışır. 2

2 Fen Bilimleri Ensiüsü Müdürlüğü'ne, Bu çalışma jürimiz arafından AKTÜERYA BİLİMLERİ ANABİLİM DALI 'nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmişir. Başkan :... Yrd. Doç. Dr. eref HO GÖR Üye (Danışman) :.... Dr. Yasemin GENÇTÜRK Üye :... Dr. Mura BÜYÜKYAZICI ONAY Bu ez.../.../ 2 arihinde Ensiü Yöneim Kurulunca kabul edilmişir. Prof.Dr. Adil DENİZLİ Fen Bilimleri Ensiüsü Müdürü

3 Hayaımın her aşamasında amasında olduğu u gibi çalışma süresince de karşıla ılaşılan ılan güçlüklerin aşılmasında yardımlarını esirgemeyen canım abim Tolga GENÇ, sevgili annemle babam Emel GENÇ ve Mehme GENÇ e

4 ÖLÜM ORANI PROJEKSİYON YÖNTEMLERİ VE TÜRKİYE İL-İLÇE MERKEZLERİNDEKİ ÖLÜMLERE UYGULANMASI Tuna Genç ÖZ Ölüm oranı ahminleri, özellikle sosyal güvenlik ile emeklilik sisemlerinin, özel sigora planlarının gelecekeki finansal durumunun değerlendirilmesinde kullanılmaka, aküeryal hesaplamaların başlıca bileşeni olarak bu planların finansal isikrarının sağlanmasında önemli bir yer eşkil emekedir. Oldukça eski bir geçmişe sahip olan ölüm oranı ahmin yönemleri deerminisik ve sokasik yönemler şeklinde sınıflandırılabilmekedir. Deerminisik modellerin ardından son yıllarda yaşanan demografik değişimle paralel olarak ölümlülük düzeylerinin daha sağlıklı değerlendirilerek, doğru ve güvenilir ölüm oranı projeksiyon modellerinin oluşurulması amacıyla sokasik modellerin oraya çıkığı görülmekedir. Çalışmada, lieraürde kullanılmaka olan bazı deerminisik ve sokasik ölüm oranı ahmin yönemleri incelenmiş, ülkemizdeki il ve ilçe merkezlerinin nüfus ve ölüm isaisiklerine dayanan ölüm oranı ahmininin elde edilmesi için Lee-Carer ve Trend yönemleri ile uygulama yapılmışır. Anahar Kelimeler: Ölüm oranı, ölüm oranı ahmin yönemleri, Lee-Carer yönemi, Trend yönemi Danışman: Öğr. Gör. Dr. Yasemin GENÇTÜRK, Haceepe Üniversiesi, Aküerya Bilimleri Bölümü i

5 MORTALITY FORECASTING METHODS AND APPLICATION TO DEATHS IN PROVINCE- DISTRICT CENTERS OF TURKEY Tuna Genç ABSTRACT Moraliy forecass are especially used o evaluae he fuure securiy of reiremen and social securiy sysems, privae insurance plans ec. These forecass are aking an imporan place providing a financial sabiliy as a principal componen of acuarial calculaions. Moraliy forecasing mehods having a considerably old hisory, can be caegorized as a deerminisic and sochasic mehods. Afer deerminisic models, i is seen ha sochasic models have emerged wih a view o consiuing a more accurae and reliable moraliy forecasing models making a more robus assessmen of moraliy profile in parallel wih he demographic change in recen years. In his sudy, some deerminisic and sochasic moraliy forecasing mehods using in lieraure are eamined and an applicaion is made by Lee-Carer and rend mehods for geing a moraliy forecass based on populaion and deah saisics special o province and disric ceners of our counry. Key Words: Moraliy, moraliy forecasing mehods, Lee-Carer, Trend mehod Advisor: Dr. Yasemin GENÇTÜRK, Haceepe Universiy, Deparmen of Acuarial Sciences ii

6 TE EKKÜR Çalışmanın gerçekleşmesinde ve sonuca ulaşırılmasında değerli yorum ve önerileriyle beni yönlendiren danışmanım Sayın Öğr. Gör. Dr. Yasemin GENÇTÜRK e, Çalışma süresince, yardım ve deseklerini esirgemeyen çalışma arkadaşlarım, Z. Burcu KIRAN, Nadide YİĞİTELİ ve Veli AĞÖREN e, Göserdikleri manevi desek, sabır ve özveri için her zaman yanımda olan canım aileme, eşekkürlerimi sunarım. iii

7 İÇİNDEKİLER DİZİNİ Sayfa ÖZ...i ABSTRACT...ii TE EKKÜR... iii İÇİNDEKİLER DİZİNİ...iv EKİLLER DİZİNİ...vi ÇIZELGELER DIZINI... viii KISALTMALAR DİZİNİ...i EKLER DİZİNİ.... GİRİ ÖLÜM ORANLARINA İLİ KİN TEMEL BİLGİ VE NOTASYONLAR Ölüm Oranları Temel Noasyonlar Gelecek yaşam süresi (Fuure life ime) Yaşam fonksiyonu (Survival funcion) Anlık ölüm oranı (Force of moraliy) ÖLÜM ORANI TAHMİN YÖNTEMLERİ Ölüm Oranı Tahmin Yönemlerine İlişkin Sınıflandırma Yaklaşımları Açıklayıcı yaklaşım Bekleniye dayanan yaklaşım Eksrapolasyon emelli yaklaşım Ölüm Oranı Tahmininde Kullanılan Bazı Yönemler Bazı deerminisik yönemler De Moivre ( 724) Gomperz (824) Makeham (86) Weibull (939) Heligman Pollard (98) Trend yönemi Bazı sokasik yönemler Lee-Carer (992) Lee-Carer yönemine ilişkin paramere ahmini ve Lee-Carer yöneminin uygulama aşamaları Tekil değerlerin ayrışırılması yönemi (SVD) En küçük kareler yönemi (LSM) En çok olabilirlik ahmin edicisi (MLE) Ölüm oranı gösergesinin yeniden ahmini ve modellenmesi TÜRKİYE NİN TEMEL DEMOGRAFİK GÖSTERGELERİ VE ÖLÜMLÜLÜK YAPISI Demografik Değişim Süreci ve Türkiye nin Demografik Yapısının Temel Gösergeler Açısından Değerlendirilmesi Nüfus yapısı Doğurganlık Yaşam beklenisi Ölümlülük Türkiye de Ölüm Verilerine İlişkin Veri Kaynakları ve Ölüm Verileri UYGULAMA iv

8 5.. Lee-Carer Yöneminin Uygulanması Farklı uygulama dönemleri için yönemin uygulanması Ölüm oranı gösergesinin yeniden ahmin edilmesi Ölüm oranı gösergesinin modellenmesi Ölüm oranına ilişkin projeksiyon yapılması Trend Yöneminin Uygulanması Lee-Carer ile Trend Yöneminin Projeksiyon Sonuçlarının Karşılaşırılması SONUÇLAR KAYNAKLAR... 9 EKLER ÖZGEÇMİ... v

9 EKİLLER DİZİNİ Sayfa ekil Yılları İibariyle Nüfusun Yaş Gruplarına Göre Dağılımı. 43 ekil ve 225 Yıllarına İlişkin Yaş Grubu ve Cinsiyee Göre Nüfus Piramileri.. 45 ekil 4.3. Cinsiyee Göre Doğuşa Yaşam Beklenisi Projeksiyonları. 47 ekil 5.. Erkekler ve Kadınlar İçin Yaş Gruplarına Göre adeğerleri ekil 5.2. Erkekler ve Kadınlar İçin Yaş Gruplarına Göre b Değerleri... 6 ekil 5.3. Erkekler ve Kadınlar İçin Yıllara Göre Değerleri... 6 ekil 5.4. Erkekler ve Kadınlar İçin Yaş Grupları İibariyle Haa Kare Toplamları ekil 5.5. Erkekler ve Kadınlar İçin Yıllar İibariyle Haa Kare Toplamları ekil 5.6. Seçilen Dönem ve Yaş Grupları İibariyle Erkekler İçin,, Değerleri ekil 5.7. Seçilen Dönem ve Yaş Grupları İibariyle Erkekler İçin Haa Kare Toplamları ekil 5.8. Bazı Yaş Grupları İçin Gözlenen Ölüm Oranları ile Lee-Carer Yöneminin Uygulanması Sonucu Bulunan Ölüm Oranları (Erkek) ekil 5.9. Bazı Yaş Grupları İçin Gözlenen Ölüm Oranları ile Lee-Carer Yöneminin Uygulanması Sonucu Bulunan Ölüm Oranları (Kadın) ekil 5.. Farklı Uygulama Dönemleri İibariyle Erkekler ve Kadınlar İçin Değerleri ekil 5.. Farklı Uygulama Dönemleri İibariyle Erkekler ve Kadınlar İçin Değerleri 67 ekil 5.2. Farklı Uygulama Dönemleri İibariyle Erkekler ve Kadınlar İçin Değerleri. 68 ekil 5.3. Farklı Uygulama Dönemleri İibariyle Erkekler ve Kadınlar İçin Yıllara Göre Haa Kare Toplamları. 69 ekil 5.4. Farklı Uygulama Dönemleri İibariyle Erkekler ve Kadınlar İçin Yaş Gruplarına Göre Haa Kare Toplamları. 7 k ekil 5.5. Yeniden Tahmin Edilen Değerleri... k 7 ekil 5.6. Erkekler İçin 96-2 Dönemi İçin Değerleri ile 25 Yılına Kadar Projeksiyon Sonuçları.. k 72 ekil 5.7. Kadınlar İçin 96-2 Dönemi İçin Değerleri ile 25 Yılına Kadar Projeksiyon Sonuçları.. 73 vi

10 ekil , 2 ve 25 Yıllarına İlişkin Ölüm Oranı Projeksiyon Sonuçları. 74 ekil 5.9. Çeşili Dönemler ve Yaş Grupları İibariyle Trend Fakörü Değerleri.. 75 ekil Yaş Grubundaki Erkekler ve Kadınlar İçin 2-25 Dönemi Ölüm Oranı Projeksiyonu.. 76 ekil Yaş Grubundaki Erkekler ve Kadınlar İçin 2-25 Dönemi Ölüm Oranı Projeksiyonu.. 77 ekil Yaş Grubundaki Erkekler ve Kadınlar İçin 2-25 Dönemi Ölüm Oranı Projeksiyonu.. 78 ekil ve 4-44 Yaş Grubu İçin 98-2 Dönemi Projeksiyon Sonuçları ekil Yaş Grubundaki Erkekler İçin Çeşili Dönemlere Göre Yapılan Projeksiyon Sonuçlarının Karşılaşırılması. 82 ekil Yaş Grupları İibariyle Lee-Carer ve Trend Yönemi ile Bulunan 25 Yılına İlişkin Projeksiyon Sonuçları.. 83 vii

11 ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa Çizelge Dönemi İçin Türkiye nin Temel Demografik Gösergeleri. 42 Çizelge 4.2. Nüfus ve Doğurganlığa İlişkin Projeksiyon Sonuçları (28-225) 46 Çizelge Dönemi İibariyle Türkiye İçin Doğuşa Yaşam Beklenisi Projeksiyonları (Yıl).. 48 Çizelge Dönemi İibariyle Türkiye İçin Yıl Orası Nüfus, Kaba Ölüm Hızı ve Ölümlere İlişkin Projeksiyon Sonuçları.. 49 Çizelge 4.5. Ölüm Verilerinin Yaş Grubu ve Yıllara Göre Dağılımı (98-28) 5 Çizelge 4.6. Ölüm Verilerinin Yaş Grubu ve Cinsiyee Göre Dağılımı (2, 27, 28). 52 Çizelge 5.. Projeksiyon Sonuçları ile Gözlenen Ölüm Oranlarının Oralama Haa ve Oralama Mulak Haa Açısından Karşılaşırılması.. 8 viii

12 KISALTMALAR DİZİNİ ARIMA ADNKS DPT GAD LSM MERNİS MLE OECD SGK SVD TNSA TÜİK WLS Auoregressive Inegraed Moving Average Adrese Dayalı Nüfus Kayı Sisemi Devle Planlama Teşkilaı Governmen Acuary s Deparmen Leas Squares Mehod Merkezi Nüfus İdaresi Sisemi Maimum Likelihood Esimaion Organisaion for Economic Co-Operaion and Developmen Sosyal Güvenlik Kurumu Singular Value Decomposiion Türkiye Nüfus ve Sağlık Araşırması Türkiye İsaisik Kurumu Weighed Leas Squares i

13 EKLER DİZİNİ Sayfa EK. Yayım Yılları ve Modelleri İibariyle Bazı Temel Deerminisik Yönemler 94 EK Dönemine İlişkin Veriler KullanılarakTahmin Edilmiş Değerleri EK Verileri Baz Alınarak Lee-Carer Yönemi ile Yapılan Ölüm Oranı Projeksiyon Sonuçları (2-25) EK Verileri Baz Alınarak Lee-Carer Yönemi ile Yapılan Ölüm Oranı Projeksiyon Sonuçları (98-2) EK Verileri Baz Alınarak Trend Yönemi ile Yapılan Ölüm Oranı Projeksiyon Sonuçları (2-25).. 99 EK Verileri Baz Alınarak Trend Yönemi ile Yapılan Ölüm Oranı Projeksiyon Sonuçları (98-2)..

14 BİRİNCİ BÖLÜM. GİRİ Ülkelerin demografik özelliklerinin değerlendirilebilmesi için nüfus yapısı ile nüfus yapısı üzerinde ekili olan doğurganlık oranı, ölümlülük ve yaşam beklenisi gibi fakörlerin incelenmesi önem aşımakadır. Bu fakörler arasında yer alan ölümlülük olgusunun nüfusun yaş, cinsiye, doğum, yaşam süresi gibi emel paramereleri ile yakından ilişkili olmasının yanı sıra nüfus kompozisyonu açısından da belirleyici olması nedeniyle demografik çalışmalarda özellikle incelenmesi gerekliliği oraya çıkmakadır. Zaman içerisinde nüfus arış hızının yavaşlaması, doğurganlık düzeyinin azalması, yaşam beklenisinde meydana gelen arışlar ile birlike ölüm oranlarının azalmasının nüfusun yaş yapısında ciddi değişikliklere neden olduğu gözlenmekedir. Ölüm oranındaki düşüş ve buna bağlı olarak yaşlı nüfus sayısındaki arış sosyal güvenlik sisemleri ve özel sigora planları üzerinde önemli bir eki yaramakadır. Finansal isikrarın ölüm oranı değişiklikleriyle yakından ilişkili olduğu dikkae alındığında ölüm oranlarının ahmin edilmesi de giderek önem kazanmakadır. Bu çalışmada emel olarak, lieraürde kullanılmaka olan ölüm oranı ahmin yönemleri incelenerek ülkemizin il ve ilçe merkezlerindeki nüfus ve ölüm isaisiklerine dayanan ölüm oranı ahminin elde edilmesi için uygulama yapılması amaçlanmışır. Çalışmanın ikinci bölümünde, ölüm oranlarına ilişkin emel bilgi ve noasyonlar hakkında bilgi verilmişir. Üçüncü bölümde, genel olarak ölüm oranı ahmin yönemleri üzerinde durulmuşur. Öncelikle, yaşa özel ölüm oranı ahmin yönemlerinin sınıflandırılmasında kullanılan çeşili yaklaşımlara değinilmiş, bazı deerminisik ve sokasik ahmin yönemlerine yer verilmişir. Bu bölümde özellikle uygulamaya ışık

15 uması açısından Lee-Carer ve Trend yönemlerinin deaylı olarak açıklanmasına çalışılmışır. Dördüncü bölümde, demografik değişim süreci ve Türkiye nin demografik yapısının nüfus, doğurganlık, yaşam beklenisi ve ölümlülük gibi emel gösergeler yönünden değerlendirilmesi amaçlanmışır. Bu bölümde ayrıca Türkiye nin ölüm verilerine ilişkin veri kaynakları ve ölüm verilerinin durumu hakkında bilgi verilmişir. Beşinci bölümde, Lee-Carer ve Trend yönemlerinin ülkemizin il ve ilçe merkezlerindeki nüfus ve ölüm isaisiklerine uyarlanması yoluyla ölüm oranı projeksiyonu yapılması amaçlanmışır. Çalışmanın alıncı bölümünde sonuç ve değerlendirmeler yer almakadır. 2

16 İKİNCİ BÖLÜM 2. ÖLÜM ORANLARINA İLİ KİN TEMEL BİLGİ VE NOTASYONLAR 2.. Ölüm Oranları Demografik çalışmalarda ölüm olayları ve oplumda yaşayan belirli yaş grubundaki bireylerin yaşam beklenilerine ilişkin değerlendirmelere sıklıkla yer verilmeke, ölüm olaylarının yaş, cinsiye, yaşam süresi gibi nüfusun emel paramereleri üzerinde önemli ekiye sahip olduğu bilinmekedir. Demografik bileşenlerin herhangi birindeki bir değişiklik gelecekeki maliyeleri de ciddi şekilde ekilemekedir. Demografik değişimlerin en önemli ekisi nüfus seviyesini değişirmeken çok, nüfusun değişik yaş grupları arasındaki dağılımını değişirmesinden ileri gelmekedir. İnsanların hayalarının farklı dönemlerinde farklı asarruf, harcama ve kazanç eğilimi gösermesi nedeniyle nüfusun yaş dağılımındaki değişim, ekonomideki oplam asarruf, kazanç ve harcama dengelerinin değişmesine yol açmakadır. Gelişmeke olan birçok ülkede yapılan araşırmalar, demografik değişimlerin ekonomik büyüme üzerinde önemli ekiye sahip olduğunu gösermekedir (Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK), 27). Bireylerin oralama kaç yıl yaşayacaklarını göseren demografik bir göserge olan doğuşa hayaa kalma beklenisi ülkelerin gelişmişlik düzeylerini yansıması açısından önem aşımakadır. Doğuşa hayaa kalma beklenisi değişik yaş gruplarında beklenen oralama ölüm oranları kullanılarak hesaplanmakadır. Yaşa özel ölüm oranları ise demografik araşırmalar ve nüfus sayımları kullanılarak elde edilmekedir (SGK, 27). Dünyada olduğu gibi Türkiye de de arış göseren doğuşa hayaa kalma beklenisinin gelecekeki davranışının değerlendirilmesi sosyal güvenlik sisemleri, haya sigorası şirkeleri gibi kuruluşların finansal isikrarı üzerinde ekin bir rol oynamakadır. Moralie veya ölüm oranı, genellikle yıllık olarak hesaplanmaka ve her kişi başına düşen yıllık ölümlerin sayısı olarak anımlanmakadır. Haya abloları emel olarak, aynı yaşaki kişilerden ne kadarının bir sonraki yıl hayaa kalacağı ile 3

17 yaşlar iibariyle ölecek kişi sayısını gösermekedir. Bir diğer ifade ile bir nüfusun gözlem alında uulması sonucunda oluşurulan, yaşama ve ölüm isaisiklerine göre elde edilen sonuçlardan, her bir yaşa bir yıl içerisinde hayaa kalacak ve ölecek kişilerin sayısının öngörüldüğü ablolar olarak anımlanmakadır (Haya Sigoraları Yönemeliği, 27). Bu ablolar söz konusu nüfus hakkında bilgi vermeleri ve yapılan demografik analizler ile uluslararası karşılaşırmalarda kullanılmaları açısından önem aşımakadır. Haya ablolarının en emel bileşeni olan ölüm oranlarını ekileyen başlıca fakörler, yaş, cinsiye, medeni durum, meslek ve yer-zaman biçiminde sıralanmakadır. Belirilen fakörler içerisinde, yaş önemli bir ekiye sahipir. Ölüm oranları yaşında en yüksek seviyede iken yaşları arası hızla azalarak en düşük seviyeye gerilemekedir. 2 li yaşlardan 4 lı yaşlara kadar oldukça yavaş bir arış gerçekleşirken 45 yaşından iibaren arış rendine giren ölüm oranları, 7 8 yaşları arasında, yaş sonrasındaki en yüksek seviyesine ulaşıkan sonra ciddi bir düşüş gösermekedir. Cinsiye fakörü incelendiğinde, çalışılan iş, alkol, sigara gibi bazı zararlı alışkanlıklara bağlı olarak erkeklerin ölüm oranlarının kadınların ölüm oranlarına göre daha yüksek olduğu görülmekedir. Medeni durum ölüm oranları üzerinde ekiye sahip olan bir diğer fakördür. Kadınların ve erkeklerin ölüm oranlarının evli, bekar, boşanmış ve dul olmalarına göre farklılık göserdiği, evli erkekler ile kadınların ölüm oranlarının bekar, dul ve boşanmış olanların ölüm oranlarına göre daha düşük gerçekleşiği gözlenmekedir. Benzer şekilde, bir oplumda bireylerin beslenme, bakım ve sağlık koşullarının düzelmesini, edavi olanaklarının gelişmesini sağlayan uzun dönemde oluşan sosyal ve ekonomik gelişmeler, kişinin mesleği ile bireyin yaşamını sürdürdüğü iklimin özellikleri de ölüm oranları üzerinde ekili olan fakörler arasında yer almakadır ( ahin, 26). Ölüm oranları, emeklilik ile sosyal güvenlik sisemlerinin, kamu ve özel sigora planlarının gelecekeki güvenliğinin değerlendirilmesinde kullanılmakadır. Çünkü ölüm oranındaki düşüş ve yaşlı nüfus sayısındaki arış sosyal güvenlik sisemleri ve özel sigora planları üzerinde önemli bir ekiye sahipir. Emeklilik sisemlerinin geleceği, ileride ödeme yapılacak yararlanıcılar ile siseme kakıda bulunanların sayısına bağlıdır. Dolayısıyla bahsi geçen sisemler ile planların finansal isikrarı 4

18 da ölüm oranı değişiklikleriyle yakından ilişkili olmakadır. Bu nedenle ölüm oranının ahmin edilmesi ve ahmin edilme yönemleri de önem kazanmakadır. Bu bölümde, öncelikle haya sigoralarında sıklıkla kullanılan ve ölüm oranı ahminlerine ışık uan gelecek yaşam süresi, yaşam fonksiyonu, anlık ölüm oranı gibi bazı emel noasyonlara yer verilecekir Temel Noasyonlar Gelecek yaşam süresi (Fuure life ime) yaşındaki kişinin gelecek yaşam süresi ( ) olmak üzere, yaşındaki kişinin yıl içinde ölme olasılığına ilişkin dağılım fonksiyonu, G ( ) ( ( ) ) (2.) ve olasılık yoğunluk fonksiyonu, G (2.2) ( ) ( ) biçiminde ifade edilebilir. Benzer şekilde yaşındaki kişinin ile + süreleri arasında ölme olasılığı, T < + + aralığındaki ölme olasılığı ( < ( ) ) olarak anımlandığında; ( ) Eş ile göserilebilir. ( ) ( < ( ) < + ) (2.3) G, ( ) noasyonu ile de göserilmekedir. Buna göre, ( ) yaşındaki kişinin yıl yaşaması olasılığı ( ) G G ise olmakadır (Gerber, 997). 5

19 Yaşam fonksiyonu (Survival funcion) Sıfır yaşındaki bireyin edilen bir fonksiyon yardımıyla bulunabilmekedir. yaşına ulaşması olasılığı, yaşam fonksiyonu olarak ifade sürekli raslanı değişkeninin dağılım fonksiyonu, G X ( ) ( ) ( ) (2.4) olmak üzere, ( ) yaşam fonksiyonu, G ( ) ( ) ( ) ( > ) X (2.5) biçimindedir. ( ) azalan ve sürekli bir fonksiyon ise yani yaş için ( ) söylenebilir. ve w > için ( ) < ( ), yaşanan son yaş olmak üzere ( ) + ise, sıfır w olduğu < olmak üzere bir kişinin ile yaşları arasında ölmesi olasılığı, yaşam fonksiyonu cinsinden X < (2.6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olarak bulunur. Benzer şekilde yaşına kadar yaşadığı bilinen bir kişinin ile yaşları arasında ölmesi olasılığı, P r X z X < ( > ) ( ) ( ) F ( ) ( ) ( ) ( S ) (2.7) olmakadır. 6

20 yaşındaki bir kişinin yıl içerisinde ölmesi olasılığını göseren ile + yaşına kadar yaşaması olasılığı olan yaşam fonksiyonu kullanılarak da bulunabilir: q + p + ( ) ( S ) ( ) ( S ) (2.8) (2.9) (Bowers e al., 997) Anlık ölüm oranı (Force of moraliy) Haya ablolarında yer alan ve yaşındaki bir kişinin bir yıl içinde ölmesi olasılığını göseren ölüm olasılıkları, fonksiyonu ile anımlanmakadır. Ölüm olasılıkları yaşında olanlardan bir yıl içinde ölenlerin sayısının yaşayanların sayısına oranı olarak hesaplanmakadır. in amsayı olması ve ölüm olasılıklarının bir yıl içinde ölenlerin sayısına bağlı olarak belirlenmesi durumunda bu yaklaşım yeerli görülebilmekedir. Ancak belirli bir zaman aralığında gerçekleşen ölüm oranı ile ilgileniliyor ise, değişkeni gerçel sayı olarak ele alınır. yaşında yaşayan kişi sayısını göseren fonksiyonu ise sürekli, azalan ve her nokada ürevi alınabilen bir fonksiyon olarak anımlanır (Moralı, 997). yaşındaki kişiden süre içinde ölenlerin sayısı + ve bir yıl içindeki h ölümlerin sayısı olmakadır. + l i m h h+ h d (2.) Eş. 2.. yaşındaki kişiden çok kısa bir zaman aralığındaki ölümlere bağlı olarak gerçekleşen yıllık oralama ölüm sayısını gösermekedir. Çok kısa zaman aralığında oraya çıkan ölümleri hesaplamak için kullanılan anlık ölüm oranı ise, 7

21 yıllık oralama ölüm sayısının, olarak ifade edilmeke ve µ ile göserilmekedir: yaşında hayaa bulunanların sayısına oranı l nl l d d µ (2.) Eş. 2.. yeniden düzenlenirse, l µ d (2.2) elde edilir. Eş nin belirli bir yaşan sonra a kadar inegrali alınırsa, d l d l d l d µ + µ d + (2.3) d l d l l l d [ ] [ + ] l ve olmak üzere, d l d d l olarak elde edilir. Dolayısıyla, l l µ + d + (2.4) olmakadır. Benzer şekilde Eş e belirilen inegralin sınırları ve + olarak alınırsa, 8

22 + d l d l l l d + [ ] [ + ] + l (2.5) ve d l µ + yaşları arasında ölen kişi sayısı + d + (2.6) olarak bulunur. Eş. 2.. in sınırları ile + alınırsa, d d + d l n l d + d d l n l d d µ + µ + (2.7) l n l n l n l l n l + + n [ ] ( ) l n + l n l d l n n + l µ + ise l n + l n d e µ + olarak formüle edilir. n n + l ise, aşağıdaki eşilikler bulunur: p n p e µ l n l e µ + n e µ q d d + d (2.8) (2.9) (2.2) yaşındaki kişinin yıl içerisinde ölmesi olasılığı yaşama olasılığı kullanılarak bulunmak isenirse Eş ün ve + sınırları arasında inegrali alınır. Buna göre; 9

23 + l d l d l µ + µ + + n l olarak ifade edilir. Dolayısıyla yaşındaki kişinin yıl içerisinde ölmesi olasılığı, l l q n l n l + l µ + d + q p n µ + d (2.2) bulunur (Moralı, 997; London, 997). ( + ) yaşındaki anlık ölüm oranı yardımı ile de göserilebilir (Gerber, 997). ( ) G ( ) G µ, Eş. 2.. ve 2.2. de verilen ( ) ve ( ) + µ + (2.22) d l µ (2.23) + [ n G ( )] Eş ( ) ( < ( ) < + ) olacak şekilde yeniden düzenlenirse, µ + G ( ) ( ) ( < < + ) p (2.24) elde edilir. yaşındaki kişinin ile + süreleri arasında ölme olasılığı anlık ölüm oranı cinsinden Eş ile aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.

24 T < µ + (2.25) ( < + ) Anlık ölüm oranı, yaşam fonksiyonu kullanılarak hesaplanabilir. S d ( ) µ ( S ) n S ya da [ l d ( )] µ (2.26) (Bowers e al., 997).

25 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM 3. ÖLÜM ORANI TAHMİN YÖNTEMLERİ Ölüm oranı ahminleri demografide ve aküerya bilimlerinde oldukça eski bir geçmişe sahipir. Söz konusu ahminler genel olarak nüfus ve naki akım projeksiyonlarının oluşurulmasında ayrıca haya sigoraları ile emeklilik annüielerinde prim ve rezervlerin değerlendirilmesinde kullanılmakadır. Benzer şekilde resmi kuruluşlar da poliika belirlemeye yönelik kararların alınmasında ölüm oranı ahminlerinden yararlanmakadır (Koissi and Shapiro, 28). Ölüm oranlarının ahmininde evrensel olarak kabul edilmiş bir yönem bulunmamakla birlike, araşırmacılar çoğunlukla kullanacakları yönemi doğruluk, güvenilirlik, basilik gibi farklı uygunluk krierlerini göz önünde bulundurarak belirlemekedir. Ölüm oranlarına ilişkin en eski modeller deerminisik modellerdir. Paramerik fonksiyonlar ya da ölümlülük kanunları olarak da adlandırılan bu modeller ölümlülüğü yaşın bir fonksiyonu olarak anımlamaka ve veya µ gibi fonksiyonların belirlenmesinde kullanılmakadır (Moralı, 997; Tabeau e al., 2). Ancak son yıllarda ölümlülük düzeylerinde yaşanan gelişmeler neicesinde daha doğru ve güvenilir ölüm oranı projeksiyon modellerinin oluşurulması hususu aküerler ve poliika belirleyiciler arasında giderek önem kazanmış, ölüm oranı ahminlerine verilen önemin arması yeni ve daha karmaşık yönemlerin oraya çıkmasına yol açmışır. Zaman içerisinde pek çok yönem gelişirilmiş olmakla birlike, son zamanlarda yapılan çalışmalarda, sokasik modellerin, klasik paramerik fonksiyonlar yoluyla ahmin edilen ölüm oranlarına kıyasla çok daha güvenilir sonuçlar vermesi nedeniyle ercih edildiği görülmekedir (Koissi and Shapiro, 28). 2

26 3.. Ölüm Oranı Tahmin Yönemlerine İlişkin Sınıflandırma Yaklaşımları Yaşa özel ölüm oranlarının ahmininde kullanılmaka olan yönemlerin sınıflandırılmasında çeşili yaklaşımlar bulunmakadır. Yönemleri genel olarak açıklayıcı yönemler (eplanaion), bekleniye dayanan yönemler (epecaion), ile eksrapolasyon (erapolaion) emelli yönemler şeklinde sınıflandırmak mümkündür (Governmen Acuary s Deparmen (GAD), 2). Bu bölümde bu sınıflandırma yaklaşımları açıklanacakır Açıklayıcı yaklaşım Açıklayıcı ölüm oranı ahmin yönemleri, hasalık süreçleri ile risk fakörlerini de içerecek şekilde ölüm nedenlerinin yapısal ya da nedensel modellerine dayanmaka, ıbbi bilginin yanı sıra çevresel ve davranışsal değişikliklere ilişkin de bilgi sahibi olunmasını gerekirmekedir. Yönem çok sayıda paramerenin ahmin edilmesine ihiyaç duymaka ve veriye erişimdeki zorluk nedeniyle yalnızca birkaç yıllık öngörüye izin vermekedir. Bu nedenle resmi kuruluşlar arafından yapılan projeksiyonlarda nadiren kullanılmakadır (Booh and Tickle, 28) Bekleniye dayanan yaklaşım Bekleniye dayanan yönemler ise genellikle belirlenen bir ahmin ya da senaryo varsayımını baz alan, uzman görüşüne dayanan bir ahmin yönemi olup yaşam beklenisi hedeflemesinde sıklıkla kullanılmakadır. Uzman görüşünü emel alan bu yönemin en önemli avanajının, demografi, epidemiyoloji ve diğer ilgili alanlara ilişkin bilgiye bir arada ulaşılması ile yeerli veri olmaması durumunda kullanılabilmesi, dezavanajının ise öznellik ve araflılık olduğu düşünülmekedir (Booh and Tickle, 28). Ancak bu yaklaşımı kullanan pek çok resmi kuruluşun son yıllarda eksrapolasyon emelli yönemleri ercih eiği, benzer şekilde aküerler arafından geçmişe sıkça kullanılan bu yaklaşımın yerini çok daha karmaşık olan eksrapolasyon yaklaşımına bırakığı görülmekedir. Söz konusu yönem, genellikle 3

27 eksrapolasyon emelli yönemleri, ölüm nedenlerinin anlaşılması ve modellenmesi yönleriyle güçlendirme amacı aşımaka bu nedenle her iki yönem bir arada da kullanılabilmekedir (GAD, 2; Booh and Tickle, 28) Eksrapolasyon emelli yaklaşım Eksrapolasyon yaklaşımı ölüm oranlarının geçmişeki eğilimlerinden yola çıkarak geleceği ahmin emeye dayanmaka ve pek çok ölüm oranı ahmin yöneminin esasını oluşurmakadır. Söz konusu ahmin yöneminin güvenilirliği, geçmişe ölüm oranlarını değişiren koşulların geleceke de benzer ekiye neden olmasına bağlıdır. Bu nedenle ıp alanındaki gelişmeler ve oraya çıkan yeni hasalıkların yönemin sonuçlarını olumsuz yönde ekilediği düşünülmekedir. Ancak son yıllarda kullanılmaka olan ölüm oranı ahmin yönemlerinin büyük çoğunluğu, eksrapolasyon yaklaşımına dayanmakadır (GAD, 2; Booh and Tickle, 28). Eksrapolasyon emelli yönemler içerisinde yer alan modelleri paramerik, hedefleme ve rend yaklaşımı biçiminde sınıflandırmak mümkündür (GAD, 2). Paramerik yaklaşım, geçmiş yıllara ilişkin veriler için bir fonksiyon oluşurarak projeksiyon yapmayı amaçlamakadır. Ancak yaklaşım, belirlenen bu fonksiyonun geleceke ölüm oranlarını ifade emede yeersiz kalabileceği riskini içermekedir. Hedefleme yaklaşımında ise geleceke oraya çıkması beklenen hedef oranlar ile mevcu ölüm oranları arasındaki değerlerin bulunması amaçlanmakadır. Hedef değerler, ölüm oranları değişiklikleri ya da diğer ülkelerde kullanılan yaşam abloları emel alınarak belirlenebilir. Hedef değerler belirlenirken ıp alanındaki gelişmeler ile yeni hasalıkların oraya çıkış sıklığındaki değişiklikler gibi çeşili ekilerin dikkae alınması durumunda, bu yaklaşımın eksrapolasyon emelli yönemlerin aşıdığı sakıncaları oradan kaldırdığı söylenebilir. Trend yaklaşımında ise yaşa özel ölüm oranlarının geçmişeki rendinin gelecek dönemde de devam edeceği kabul edilmekedir. 4

28 Eksrapolasyon emelli yaklaşım içerisinde yer alan yönemler aynı zamanda yaş, zaman ve kuşak bileşenleri göz önüne alınarak ek, iki ve üç fakörlü yönemler şeklinde de sınıflandırılabilmekedir. Buna göre; ek fakörlü modellerde, ölüm oranları yaşın bir fonksiyonu olarak varsayılmaka, zaman boyunca yaş örünüsünün durağan olduğu kabul edilmekedir. Son yıllarda ölüm oranı ahmininde çoğunlukla kullanılmaka olan iki fakörlü modellerde ise genellikle yaş ve zaman değişkenleri hesaba kaılmakadır. Tek ve iki fakörlü modellerin yanı sıra yaşın, zamanın ve kuşağın bir fonksiyonu biçiminde anımlanan üç fakörlü modeller de bulunmakadır. Yaygın olarak kullanılan ek fakörlü modeller içerisinde ölümlülük kanunları olarak da adlandırılan paramerik fonksiyonlar yer almakadır. Lee-Carer modeli ile genelleşirilmiş doğrusal modeller kaegorisinde değerlendirilen iki değişkenli (yaş ve zaman) regresyon modeli iki fakörlü modeller olarak kabul edilmekedir. Yaş-zaman-kuşak modeli olarak ifade edilen APC modeli ise üç fakörlü bir model olup, yaş ve zaman ekisinin yanı sıra kuşak ekisini de göz önünde bulundurmakadır. Ancak bu modeller veriye erişim ve kuşak rendini ahmin eme güçlüğü nedeniyle praike çok ercih edilmemekedir (Booh and Tickle, 28). Temel sınıflandırma yaklaşımları bu şekilde anımlanmakla beraber lieraürde farklı araşırmacıların ölüm oranı ahminine yönelik farklı sınıflandırma biçimlerini ercih eikleri de gözlenmekedir. Örneğin, Gomez de Leon ve Temon (992) nın, bahsi geçen sınıflama yaklaşımları yerine ahminlerinde, eksrapolasyon, özel bir modelin seçilmesi ile projeksiyon yapma, hedefleme ve ölüm nedeni gibi ölüm oranını ekileyen unsurlar yoluyla projeksiyon yapma yaklaşımlarını benimsedikleri görülmekedir (Tabeau e al., 2) Ölüm Oranı Tahmininde Kullanılan Bazı Yönemler İnsanların varoluşlarından iibaren yaşam ve ölümü, doğum ile ölüm verilerini kullanarak bilimsel olarak açıklamaya çalışıkları görülmekedir. 693 lerde İngiliz gökbilimci Edmund Halley arafından Breslau da gözlenen ölümlerin sayısından yola çıkılarak oluşurulan yaşam ablosu bu konuda yapılan çalışmalara öncülük emişir. Daha sonra Nicholas Sruyck, kadın ve erkekler için ilk yaşam ablosunu 5

29 74 yılında yayınlamışır. Bahsi geçen çalışmalar ile birlike maemaikçilerin ölümlülük modellemesine yönelik ilgilerinin arığı gözlenmişir. (Melnikov and Romaniuk, 26). İlk maemaiksel ölümlülük modeli Abraham De Moivre arafından önerilmişir. Modelde doğumdan yaşına kadar hayaa kalma olasılığı yaşın doğrusal bir fonksiyonu olarak anımlanmışır. Ancak model, üm yaşlar için hayaa kalma olasılığını doğru ahmin emeken uzakır (Liu, 28). Benjamin Gomperz in gelişirdiği ve çoğu yaş için anlık ölüm oranının üsel bir örünü göserdiği varsayılan model, lieraürde paramerik ölümlülük modelleri içerisindeki en başarılı model olarak kabul edilmekedir. 86 lı yıllara gelindiğinde, Makeham, Gomperz modelinin büyük yaşlar için yeerli olmadığını oraya çıkarmış ve yeni bir model önermişir. 872 yılında Thiele, 883 yılında da Wisein arafından modeller gelişirilmiş olmasına rağmen bu dönemde de Makeham ve Gomperz modelleri güncelliklerini korumaya devam emişir. 2 nci yüzyılda bu modellere ilave olarak 932 yılında Perks, 939 yılında Weibull, 96 yılında Brilinger gibi pek çok model oraya çıkmış olmakla birlike, bu modellerin birçoğunun Makeham ve Gomperz modellerinin değişirilmesinden ya da genelleşirilmesinden ibare olduğu görülmekedir. Son yıllık dönemde ise ölümlülüğe ilişkin çalışmaların çok daha kompleks hale geldiği gözlenmekedir. Örneğin bilişim kapasiesinin armasına bağlı olarak 98 yılında Heligman ve Pollard arafından sekiz paramereli paramerik bir model gelişirilmişir. Ölüm oranı ahmini ya da modellemesine ilişkin en güncel çalışmaları ise Lee-Carer (992) modelinin ön plana çıkığı sokasik yönemler oluşurmakadır (Melnikov and Romaniuk, 26). Ölüm oranı ahmininde kullanılan yönemler kabaca deerminisik ve sokasik olarak iki grup halinde incelenebilir. Burada sözü edilen deerminisik erimi herhangi bir belirsizliğin dikkae alınmadığı durumu anımlarken sokasik erimi belirsizliğin göz önünde bulundurulduğu projeksiyon modelini ifade emekedir. Örneğin; Gomperz ve Makeham modelleri deerminisik yönemler iken Lee Carer modeli sokasik bir yönemdir. Bu bölümde ölüm oranı ahmininde kullanılan bazı deerminisik ve sokasik yönemlere yer verilecekir. 6

30 3.2.. Bazı deerminisik yönemler Lieraürde ölüm oranlarının ahmin edilmesinde kullanılan birçok deerminisik yönem bulunmakla birlike bu çalışmada De Moivre, Gomperz, Makeham, Weibull, Heligman-Pollard ve Trend modelleri deaylı olarak incelenecekir De Moivre ( 724) İlk maemaiksel ölümlülük modeli 724 yılında Abraham De Moivre arafından w önerilmişir. Modelde, nin ve yaşları arasında düzgün dağıldığı, hayaa kalanların sayısının yaşla beraber sürekli olarak azaldığı kabul w edilmekedir. yaşından yaşına kadar bu azalışın ekdüze olduğu varsayılmakadır (Henderson,95; Gerber, 997). Anlık ölüm oranı; µ w w (3.) olmak üzere Abraham De Moivre arafından önerilen model, ( ) w (3.2) biçimindedir Gomperz (824) Benjamin Gomperz arafından 824 yılında ileri yaşlardaki ölüm oranlarını ahmin emek için önerilen modelde, 9 uncu yüzyılda İngilere, İsveç ve Fransa da yaşayan 2 ile 6 yaşlar arasındaki kişiler için ölüm oranlarının geomerik dizi oluşurduğu göserilmişir. Buna göre, modelde, anlık ölüm oranının yaşla üsel olarak arığı varsayılmakadır. ve yaşa bağlı olmayan sabiler ve > > olmak üzere anlık ölüm oranı, 7

31 B c µ (3.3) olarak ifade edilmekedir. Eş Eş. 2.8 de yerine konulursa, p e d e + + µ B c d ( ) (3.4) ya da l o g p B c c l o g c ve ( ) + (3.5) olarak elde edilir (Yue, 2). m konum, σ ise dağılım parameresini gösermek üzere, Eş deki m σ σ dir. ( ) σ, ( ) Konum ve dağılım parameresi kullanılarak anlık ölüm oranı, µ σ e p σ m (3.6) yaşam fonksiyonu, S e p m c ( ) ( ( ) m e p e σ m ( e ) σ (3.7) ve olasılık yoğunluk fonksiyonu, 8

32 f ( ) σ e p σ m + e m σ m ( e ) σ (3.8) biçiminde elde edilir (Carriere, 992). Ölüm oranı, De Moivre Kanunu nda maksimum yaşa bağlı iken Gomperz Kanunu nda maksimum yaşan bağımsızdır. Gomperz modeli yeişkin ölüm oranlarına uyum sağlamakadır. Model ahminleri ile gözlenen ölüm oranları arasındaki farklılık incelendiğinde, modelin 4 yaş alı genç yeişkinlerin ölüm oranlarını gerçek değerlerinden daha az ve 8 yaş üsü yeişkinlerin ölüm oranlarını ise olduğundan daha fazla ahmin eiği görülmekedir. Model 824 yılında önerilmiş olmasına rağmen kullanım kolaylığı sebebiyle günümüzde de kullanılmaya devam edilmekedir. Genç yaşlarda gözlenen bu sapma için 86 yılında Makeham arafından Gomperz modeline bir sabi eklenmek sureiyle yeni bir model gelişirilmişir (Bongaars, 24) Makeham (86) Makeham Kanunu Gomperz Kanunu nun özel bir şeklidir. Makeham anlık ölüm oranını; µ A + B c (3.9) olarak anımlamışır. Burada geçmişini gösermekedir. Eş da yaşan diğerine değişmemekedir. yaşan bağımsız sabi bir bileşen olup ölümlülük, sıfır olduğunda ölüm oranı sabiir yani bir sıfır olduğunda ölüm oranı Gomperz Kanunu ndan hesaplanan ölüm oranı değerine eşi olmakadır. Genel olarak paramere değerlerinin,< <,3, -6 < < -3 ve,8< <,2 aralığında olduğu kabul edilmekedir. > olduğundan anlık ölüm oranı yaş ile armakadır. Dolayısıyla küçük yaşlar için bu Kanunun geçerli olmadığı kabul edilmekedir. Bu nedenle Makeham Kanunu haya abloları düzenlenirken w genellikle 2 ile yaşları arasındaki ölüm oranları için kullanılmışır. Haya 9

33 ablolarının oluşurulmasında Makeham Kanunu çoğunlukla uygulanmamakadır (Moralı, 997). Makeham Kanunu genç yaşlar için Gomperz modeline göre çok daha başarılı sonuçlar vermeke ancak ileri yaşlara ilişkin ölüm oranlarını olduğundan daha yüksek ahmin emekedir (Bongaars, 24). m l n colmak üzere Makeham Kanunu kullanılarak, p e p e p e p A Bc s d ( ) + + A m c + ( ( c ) A m c c ( ( ) s (3.) olarak bulunur Weibull (939) Weibull modelinde, p e p n + n n + + [( + ) ] (3.) olarak ifade edilmekedir. m > konum parameresi ve σ dağılım parameresi olmak üzere yaşam fonksiyonu, S ( ) e p m σ m (3.2) olasılık yoğunluk fonksiyonu, 2

34 m m/ f e p σ σ ( ) m m σ (3.3) anlık ölüm oranı, µ σ m m σ (3.4) biçimindedir. m Eğer σ ise konum parameresi dır ve µ, in armayan bir m fonksiyonudur. Eğer σ < ise konum parameresi dan büyükür ve µ aran bir fonksiyondur (Carriere, 992) Heligman Pollard (98) Heligman ve Pollard ın 98 yılında önerdiği doğumdan ölüme kadar her yaş için ölüm oranının ahmininde kullanılan model, p A B C D e p E nf { l n l 2 } ( + ) + ( ) + G H (3.5) biçimindedir. Burada C G H poziif değer alan paramerelerdir. Eşiliğin sağ arafında yer alan ilk erim bebeklik ve erken çocukluk ( yaş öncesi) dönemindeki ölümlülükeki üsel azalışı yansımakadır. parameresi yaklaşık C olarak e eşi olup ölümlülük düzeyini ölçmekedir., çocukluk dönemindeki C ölüm oranlarındaki azalmayı gösermekedir. nin yüksek bir değer alması, yaş arıkça ölüm oranlarının daha hızlı bir şekilde azalması anlamına gelmekedir. parameresi ise bebek ölümlülüğünü ifade emekedir. Eşiliğin ikinci erimi, ora yaş ölümlülüğünü gösermekedir. Erkekler için kaza sonucu oluşan ölümlülüğü, kadınlar için ise hem kaza hem de analık nedeniyle oluşan ölümlülüğü yansımakadır. Kaza erimi olarak da anımlayabileceğimiz erimde yer alan 2

35 bileşeni konumu, bileşeni dağılımı ve bileşeni de şiddei belirmekedir. Eşilike yer alan son erim ise Gomperz in üsel fonksiyonu olup 4 yaşından sonraki yeişkin ölümlülüğündeki arışı ifade emekedir (Ibrahim, 28) Trend yönemi Trend yönemi hem belirli bir grubun mevcu durumdaki ölümlülüğünü hem de gelecek dönemde ölümlülük düzeyinde meydana gelmesi beklenen değişiklikleri dikkae almakadır. Bu nedenle yönemin ilk aşamasında gelecek dönemdeki ölümlülük oranlarını ahmin emeye yönelik olarak bir model kurulması amaçlanmaka, bulunan sonuçlar ölümlülük düzeyinin ahmini için kullanılmakadır. Yaş, yıl ve cinsiyee göre ölüm oranı ( ) olmak üzere, her yaş ve cinsiyee göre ölümlülük eğilimini ahmin edebilmek için bir ( ) fonksiyonu anımlanır. Bu fonksiyon rend fakörü olarak da adlandırılmaka ve geçmiş veriler kullanılarak ahmin edilmekedir. Trend fakörü kullanılarak, + (3.6) ( ) ( ) ( ) elde edilir. Eş. 3.6 genel olarak, q ; ; + (3.7) ( ) a ( f ) ( q ) biçiminde ifade edilir. rendin hesaplanacağı dönemin son yılı, incelenen dönemdeki yıl sayısını gösermeke olup rend fakörü, 22

36 q ; f p ; p ( ) q ( ) ( ) (3.8) biçimindedir. Eş de verilen rend fakörü kullanılarak geleceğe yönelik ölüm oranı ahminleri yapılabilir. abloda yer alan mevcu son yıl olmak üzere, Eş q ; ; + (3.9) ( j ) ( f ) ( q ) j olarak elde edilir. Trend fakörünün zamana bağlı olarak anımlanması durumunda ise; q ; j f ; j a ; a ( ) q ( j ) ( ) (3.2) ve q ; j q ; ( + ) ( ) ( + ) j f ; j i (3.2) olmakadır. Trend fakörü, f ; j i f ; j e α ( + ) ( ) ( ) (3.22) biçiminde anımlandığında Eş q ; j q ; f ; j e i ( ) ( ) ( ) ( ) α + (3.23) ya da 23

37 q ; j q ; j f ; j α ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + ) e 2 (3.24) olarak elde edilir. Eş ün logariması alınırsa l og q ; j l og q ; j l o g f ; j ( + ) ( ) ( ) + α ( ) ( + ) 2 bulunur. Bu durumda α ( ) (3.25) ( + ) ( ) ( ) 2 ( ) + olmakadır (Van Broekhoven, 22). Yazar adı, yayım yılı ve modelleri iibariyle de bazı deerminisik ölüm oranı ahmin yönemlerine oplu olarak EK de yer verilmişir Bazı sokasik yönemler Lee ve Carer arafından 992 yılında gelişirilen yönem sokasik modeller içerisinde en bilinen yönem olup lieraürde dönüm nokası olarak kabul edilmeke ve diğer yönemlere göre güncelliğini koruyarak oldukça geniş bir uygulama alanı bulmakadır. (Booh e al., 26). Lee-Carer yöneminin ölüm oranı ahmininde en çok kullanılan yönemlerden biri olarak kabul edilmesinin ardından, orijinal yönemde, çeşili değişiklik ve ilaveler öngören Lee ve Miller (2), Booh e al. (22), De Jong ve Tickle (26), Hyndman ve Ullah (27) gibi pek çok çalışma oraya çıkmışır (Booh and Hyndman, 27). Ancak gelişirilen söz konusu çalışmalara rağmen Lee-Carer yöneminin halen en çok uygulanan yönem olması sebebiyle bu bölümde Lee- Carer yönemi deaylı olarak incelenecekir. 24

38 Lee-Carer (992) 992 yılında Ronald Lee ve Lawrance Carer, yaşa özel ölüm oranlarının modellenmesi ve ahmininde yaş ile zaman fakörlerini içeren yeni bir model sunmuşur (Lee and Carer, 992). Yönem, geçmişeki değişkenliklerin özelliklerini, projeke edilecek modele yansıan zaman serisi modelini kullanmakadır. Ölüm oranının ve yaşam beklenisinin ahmini, ölüm oranı düzeyinin zamana bağlı gösergesinin ahmininden elde edilmekedir. Bu yönem eksrapolasyona dayanan bir yönem olup, ölüm oranının geçmiş davranışından yola çıkarak geleceği ahmin emeyi amaçlamakadır. Tıp alanındaki gelişmelerin, sosyo-ekonomik değişikliklerin, yaşam arzı değişikliklerinin ya da yeni hasalıkların oraya çıkması gibi durumların modelde yer almamasının sonuçları olumsuz yönde ekilediği düşünülmekedir. Lee-Carer yönemi ilk olarak, Amerika Birleşik Devleleri nin dönemi ölüm oranı verilerine uygulanmış, öncelikle bu döneme ilişkin veriler kullanılarak maris ayrışırma yönemi yardımıyla yaş ve zaman bileşenleri bulunmuş, daha sonra zaman serilerinin doğrusal ahmin meodu ile zaman bileşeninin 265 yılına kadar projeksiyonu yapılmışır (Booh e al., 22). Uygulanması kolay bir yönem olması ve oldukça başarılı sonuçlar vermesi nedeniyle önem kazanan bu yönem, daha sonra birçok ülkenin ölüm oranı ahmininde de kullanılmışır. Farklı araşırmacılar arafından değişik zamanlarda uygulama yapılan ülkelerden bazıları; Kanada, ili, Japonya, Brezilya, ekonomik olarak en gelişmiş yedi ülke olarak adlandırılan G7 ülkeleri, Avusurya, Belçika, Avusralya, İngilere, İskandinav ülkeleri olarak sayılabilir (Koissi and Shapiro, 28). Yönemde, yaşa özel ölüm oranlarının zaman serisinin logariması, zamandan bağımsız olan yaşa özel bileşen ile zamana göre ölümlülük düzeyindeki değişikliği göseren bileşenin ve ölümlülük düzeyi değişikliklerine göre her yaş için farklılık göseren yaşa özel bileşenin oplamı olarak ifade edilmekedir (Brouhns e al., 22). 25

39 Model, m,, ( ) + + ε 2 K 2 K (3.26) 2 b olarak anımlanmakadır. Modelden ek bir sonuç elde edilebilmesi için ve k kısılarının olduğu varsayılmışır. Eş da, m,: yaş ve zamanındaki merkezi ölüm oranını, : yaş, zamanındaki m, merkezi ölüm oranının logarimasının oralamasını ya da ölüm oranının yaşa özel örünüsünün oralamasını, a l n m T, (3.27) : zamanındaki ölüm oranı değişikliğini ya da ölüm oranının zaman rendini göseren bileşeni, : Yaş profilinden sapmanın örünüsünü ya da ölüm oranındaki değişikliğin yaşa özel örünüsünü yani yıllar iibariyle ölüm oranının genel düzeyinin değişmesi durumunda her yaş için ölüm oranının değişme hızını göseren yaşa özel bileşeni, ε, : Haa erimini ifade emekedir (Wang, 27). 26

40 Merkezi ölüm oranı, yaşında ölen kişilerin sayısının yıl orası nüfusa oranı, olarak anımlanmakadır., yaşında ve yılında ölen kişilerin sayısını,, ise yıl orası nüfusu gösermek üzere merkezi ölüm oranı,,,, (3.28) m P biçimindedir. N,, yılın başlangıcındaki nüfus olmak üzere ölüm olasılıkları merkezi ölüm oranı kullanılarak elde edilebilir: m q,,,, N P D m, 5, * 5,,, *, (3.29) + + (Gjonça, 26). Model ahmininde iki aşamalı ahmin yönemi kullanılmışır. İlk aşamada m, marisine ekil değerlerin ayrışırılması (Singular Value ( ( ) ) Decomposiion, SVD) yönemi uygulanmış ve edilmişir. İkinci aşamada ise yeniden ahmin edilmişir (Wang, 27). ile paramereleri elde nin zaman serisi, ikinci aşama ahmin meodu ile Wilmoh (993), paramerelerin ahmininde ekil değerlerin ayrışırılması yaklaşımına ilave olarak, ağırlıklı en küçük kareler yönemi (Weighed Leas Squares, WLS), en çok olabilirlik ahmin edicisi (Maimum Likelihood Esimaion, MLE) gibi alernaif yönemleri kullanmışır. Koissi e al. (24), İskandinav ülkelerinin ölüm oranlarının ahmini için Lee-Carer yönemini uyguladıkları çalışmalarında, bu üç paramere ahmin yönemini karşılaşırmış ve SVD yaklaşımının ölüm oranı gösergesi olan nin ahmininde en iyi yönem olduğu sonucuna ulaşmışır (Koissi e al., 24; Wang, 27). 27

41 Lee-Carer yönemine ilişkin paramere ahmini ve Lee-Carer yöneminin uygulama aşamaları Bu bölümde paramerelerin ahmininde sıklıkla kullanılmaka olan ekil değerlerin ayrışırılması, en küçük kareler ile en çok olabilirlik ahmin edicisi yönemleri hakkında bilgi verilecek, bu yönemler ile Lee-Carer modelinin paramerelerinin ahmin edilmesine ve yönemin uygulama aşamalarına değinilecekir Tekil değerlerin ayrışırılması yönemi (SVD), m boyulu reel bir maris olmak üzere, A U SV (3.3) olacak şekilde m m boyulu ve boyulu V orogonal marisleri bulunmakadır. 2 2 p p, köşegende olmayan büün elemanları sıfır ve K m m m { } olan boyulu bir maris olup, nin köşegen elemanları V nın ekil değerleri, nun süunları, nın sol ekil vekörleri, nin süunları nın sağ ekil vekörleri olarak adlandırılmakadır. nın ekil değer ayrışımı lineer birleşim olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir. A süu n 2 süu n ( ) U s süu n ( ) V s ü u n 2 ( ) U s 22 süu n ( ) V + U s süu n V p p p p +K + (3.3) ( ) ( ) Orogonal maris, ersi ranspozuna eşi olan marisir. ise orogonal maris olmakadır. karesel maris olmak üzere, 28

42 U ve edilir. V marislerini bulabilmek için öncelikle boyulu marisi elde 2 K 2 süunları ve λ λ K λ, marisinin öz değerlerini gösermek üzere, marisinin öz değerlerinin karekökü alınarak, nın ekil s j j j değerleri λ elde edilir. Eş. 3.3 a göre A V U olduğundan, j j j j bulunur. Dolayısıyla, u j s j j Av j olarak elde edilir. Diğer bir ifade ile A A nin öz vekörleri, marisinin süunlarını, nin öz V A A vekörleri marisinin süunlarını, ya da öz değerlerinin karekökü marisinin ekil değerlerini gösermekedir (Kolman e al., 22, Abdi, 27). Lee-Carer modelinde yer alan parameresi, Eş ile hesaplandıkan m, sonra, marisine ekil değerlerin ayrışırılması yönemi uygulanarak ve paramereleri ahmin edilir., yaş bileşeni,, ekil değer V ve, zaman bileşeni olmak üzere;, U L V S V D Z, ( ) U L V U L V (3.32) olarak ifade edilebilir. k b Buna göre, zaman bileşeni marisinin, ise yaş bileşeni marisinin ilk b U k L V veköründen elde edilmeke, ve değerlerine karşılık gelmekedir. k ve b ahminlerinden yararlanılarak, 29

43 Z, ˆ bˆ kˆ Z ˆ, Z ˆ,... Z ˆ, Z ˆ, Z ˆ,... Z ˆ, 2 n n Z ˆ A, ˆ ˆ Z A, 2... Z A, n b k marisi oluşurulur. Paramerelerin ahmin değerleri kullanılarak merkezi ölüm oranlarının logarimasının ahmini, l ˆn m ˆa b, ( ) + + k â Z, (3.33) biçiminde elde edilir (Wang, 27) En küçük kareler yönemi (LSM) Regresyon yönemi olarak da bilinen ve iki değişken arasındaki ilişkiyi ahmin emek için kullanılan en küçük kareler yönemi, uygulamada en çok ercih edilen Y X yönemler arasında yer almakadır., bağımlı, bağımsız değişkeni, ε, 2 beklenen değeri sıfır, varyansı σ olan aynı dağılımlı bağımsız rasgele değişkenleri gösermek üzere basi doğrusal regresyon modeli Y X 2 3 i i i + + ε K (3.34) biçimindedir. ve paramereleri, haa erimini en küçük yapacak şekilde ahmin edilir: Q b, b 2 Y b b X 2 i ε - (3.35) i i ( ) i i ( - ) 3

44 Q Eş e ( ) Q için ( ) fonksiyonunun değerini minimum yapan edilen normal denklemler çözülerek bulunur: paramereleri bulunabilmesi e göre ürevlerinin sıfıra eşilenmesi ile elde b Yn b X n (3.36) i n i ( )( ) ˆb i n i ( ) X X X Y X 2 n Y n (3.37) (Akdi, 25). Lee-Carer modelinin paramerelerini en küçük kareler yönemi ile ahmin emek için, Q a 2 b k l n m,, + -, (3.38) eşiliğini minimize eden değerler bulunur. b, k eşilikleri Q nun kısıları, α ile β Lagrange çarpanları olmak üzere, R Q k b 2 α β (3.39) olarak elde edilir. R nin, ve ye göre ürevi sıfıra eşilenerek, 3

45 R d a 2 a + b k l n m, (3.4) R b a b k l n m d k, + α 2 (3.4) R d b k a b k l n m b, β (3.42) 2 2 normal denklemleri elde edilir. Eş dan a n l n m, (3.43) bulunur. Her yaş için, m, z, - olarak anımlanıp 2 b ve alındığında Eş.3.4. den k - b z, α /2 (3.44) sonucuna ulaşılır. Eş ün üzerinde oplamında α alınırsa her zamanı için k b z, (3.45) biçiminde elde edilir. 32

46 m,, z, - ve olmak üzere Eş k a b k l n m b k b,, β - - β (3.46) 2 k z b olarak düzenlenebilir. Eş nın sağ arafı sıfıra eşilenirse her yaş için, b 2 k k z, - β (3.47) eşiliği elde edilir. 2 b Eş nin her iki arafının karesinin alındığı eşilike varsayılarak β hesaplanır: 2 k k z, β - (3.48) 2 Eş , Eş de yerine konularak,, b k 2 z, (3.49) k z elde edilir (Scherp, 27). Wilmoh (993), paramere ahmininde SVD yerine ağırlıklı en küçük kareler yöneminin kullanılmasının pek çok avanaj sağladığını belirmiş, SVD yönemiyle ahmin yapılması durumunda, bazı yaşlarda ölüm oranlarının çok küçük ya da sıfır 33

47 34 olması halinde logarimanın anımsız olması probleminin oraya çıkığını, bu sorunun WLS yönemi ile ahmin yapılarak aşılabileceği sonucuna ulaşmışır. ( ) m, 'nin varyans değeri yaklaşık olarak, e eşi olmak üzere, yönemde ağırlıklandırma,, değeri ile yapılmakadır. Lee-Carer modelinin paramereleri WLS yönemi kullanıldığında, w,, ve ( ) m,,, + ε + olmak üzere, ( ) 2,,, k b a f w (3.5) fonksiyonu minimize edilerek ahmin edilir. Eş nin, ve değerlerine göre birinci ürevleri sıfıra eşilenerek paramere ahminleri bulunur: ( ) w k b f w a,,, ˆ (3.5) (3.52) ( ) b w a f b w k 2,,, ˆ ˆ ˆ (3.53) (Wilmoh, 993). ( ) k w a f k w b 2,,, ˆ ˆ ˆ

48 En çok olabilirlik ahmin edicisi (MLE) K, θ paramereli ( θ ) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bağımsız raslanı değişkenleri olsun. Bu raslanı değişkenlerinin bileşik olasılık yoğunluk K ile göserilsin. θ, fonksiyonda yer alan paramerelerin fonksiyonu ( ) θ oluşurduğu vekör olup olabilirlik fonksiyonu, lerin değişmez olduğu varsayımı alında, θ ahmini için L f ; f ; f ; θ 2 n i K (3.54) ( ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) f ; biçimindedir (İnal ve Günay, 999). θ nın bilinmediği durumlarda ( K θ ) bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonunu maksimum yapan ve en çok olabilirlik ahmin edicisi adı verilen θ değerinin ahmin edilmesi amaçlanmakadır. L ;,, n ma L ;,, n ( K ) ( θ K ) θ [ ] ise θ ( K ) edicisi olarak adlandırılır.,, θ en çok olabilirlik ahmin Yoğunluk fonksiyonu ek bir θ parameresine sahip ise olabilirlik fonksiyonu 2 n θ θ θ K θ biçimindedir. Bu fonksiyonun θ parameresine ( ) ( ) ( ) ( ) göre birinci ürevi sıfıra eşilenerek θ nın en çok olabilirlik ahmini elde edilir. Olabilirlik fonksiyonu k ane paramere içeriyorsa; L,,, 2 k i K 2 k (3.55) ( θ θ θ ) ( θ θ L θ ) f ;,,, biçimindedir. Her θ parameresine göre olabilirlik fonksiyonunun kısmi ürevleri,, sıfıra eşilenerek θ K θ en çok olabilirlik ahmin edicileri elde edilir (Ersoy ve Erbaş, 996). 35

49 Brillinger (986),,, gözlenen ölümlerin sayısının λ oralamalı Poisson dağılımına sahip olduğunu gösermişir. Bu bilgi Lee-Carer modelinin paramerelerinin en çok olabilirlik yönemi ile ahmin edilmesinde kullanılmakadır., m,,, λ olup, yaş ve zamanı için yıl orası nüfusu (riske maruz kişi sayısı) ifade emekedir. Dolayısıyla, ~, Poisson ( m,, ) biçimindedir. Tek yaş ve zaman için olabilirlik fonksiyonu, l D l n l n D! λ (3.56), [, (, ), -λ - ( )] biçimindedir. Lee-Carer modelinin paramereleri, Eş da verilen fonksiyonun maksimizasyonu yolu ile ahmin edilir. Söz konusu eşiliği maksimize edecek en, çok olabilirlik ahmin edicilerinin λ nin değerleri olduğu dikkae alınarak Eş.,, daki λ ye bağlı olmayan ( ) değeri göz ardı edilip olabilirlik fonksiyonu, D l n, λ - (3.57), [, ( ) λ ] biçiminde yeniden yazılabilir. Lee Carer modeli için, λ, 36