Anahtat Kelimeler: Volatilite, Basel II, Geriye Dönük Test, Riske Maruz Değer

Transkript

1 Volume Number pp ISSN: RMD Hesaplamalarında Volailie Tahminleme Modellerinin Karşılaşırılması ve Basel II Yaklaşımına Göre Geriye Dönük Tes Edilmesi: İMKB 100 Endeksi Uygulaması Turhan Korkmaz a Ahme Bosancı b Öze: İsaisikî modeller ile Riske Maruz Değerin (RMD) belirlenebilmesi için öncelikle volailienin hesaplanması gerekmekedir. RMD nin ölçülmesinde farklı volailie hesaplama yönemleri bulunmakadır. Klasik volailie hesaplama yönemleri finansal fiya serilerinde gözlemlenen belirgin özellikleri (sylized facs) modellemede yeersiz kalmakadır. Bu çalışmada, farklı volailie hesaplama yönemleri anıılarak aralarındaki farklar belirilmekedir. Ampirik uygulamada İMKB 100 Endeksinin 14,5 yıl boyunca günlük kapanış değerleri farklı volailie modellerinin hesaplanmasında kullanılmışır. Bulunan volailie rakamları, RMD hesaplamasında kullanılmış ve sonuçlar Basel II çerçevesinde geriye dönük es (backesing) edilmişir. Büün hesaplamalarda kayan pencere (rolling window) yönemi kullanarak her gün için paramereler ek ek güncellenmişir. Volailie hesaplanmasında, özellikle finansal fiya serilerinin belirgin özelliklerini modelleme başarısının sapanması için dör farklı dönem belirlenip modellerin başarıları espi edilmişir. Elde edilen bulgulara göre, finansal fiya serilerindeki volailie kümelenmesi, değişen varyans, kaldıraç (leverage) ekisi, sivrilik (peakedness), EWMA ve GARCH gibi gelişmiş modeller arafından çok daha iyi modellenebilmekedir. Anaha Kelimeler: Volailie, Basel II, Geriye Dönük Tes, Riske Maruz Değer JEL Sınıflandırması: C13, C5, G17 The Comparison of Volailiy Forecasing Models in VaR Calculaions and Backesing according o Basel II: An Applicaion on ISE 100 Index Absrac: For deermining he Value-a-Risk number wih saisical models volailiy mus be he primary calculaion. There are differen volailiy esimaion mehods on VaR calculaion. The radiional volailiy esimaion mehods are inadequae for modeling sylized facs which are ofen observed on he financial price series. In his sudy, differen volailiy models are inroduced and he differences are illusraed among each oher. In he empirical applicaion 14.5 years of daily closing values of ISE 100 Index are being used for esimaing he differen volailiy models. Esimaed volailiy numbers are being used for calculaing he VaR numbers and he resuls are esed by backesing mehod based on Basel II. Among all calculaions Rolling window mehod is used for updaing parameers daily; specifically o deermine he success of modeling special characerisics of financial price series and four differen ime periods are being used. According o he findings obained, volailiy clusering on financial price series, changing variance, leverage effec, peakedness is preferable o be modeled by advanced models such as EWMA and GARCH Keywords: Volailiy, Basel II, Backesing, Value-a-Risk JEL Classificaion: C13, C5, G17 a Prof. Dr., Zonguldak Karaelmas Universiy, Faculy of Economics and Adminisraive Sciences, Zonguldak/Turkiye, korkur@gmail.com b Lecurer, Zonguldak Karaelmas Universiy, Zonguldak Vocaional School, Zonguldak/Turkiye, bosanciahme@gmail.com

2 RMD Hesaplamalarında Volailie Tahminleme Modellerinin Karşılaşırılması ve Basel II Yaklaşımına Göre Geriye Dönük Tes Edilmesi: İMKB 100 Endeksi Uygulaması 1. Giriş Finansal piyasaların sürekli gelişen yapısı riskin algılanmasını ve yöneilmesini çok karmaşık hale geirmişir. Özellikle Breon Woods siseminin çökmesi ve son 0 yılda gerçekleşen büyük finansal iflaslar riskin ölçülmesi konusundaki gerekliliği gözler önüne sermişir. Buna bağlı olarak riskin ölçülmesi ve sayısal olarak ifade edilmesi zorunlu hale gelmişir. Riske Maruz Değer (Value a Risk) bu arayışların önemli yapı aşlarından olmuşur. Kalanılan riski, ek bir sayı ile ifade eden bu yönem, finansal piyasalarda işlem yapan finans şirkeleri ve deneim-gözeim kurumları arafından benimsenmişir. İsaisiki bir emele dayanan bu yönemde, kalanılan ve ek bir sayı ile ifade edilen risk, belirlenmiş bir zaman aralığı ve belirlenmiş bir olasılıkla gerçekleşebilecek kaybın, hesaplanan değeri aşmayacağını ifade emekedir. Burada iki emel unsur bulunmakadır. Bu unsurlardan ilki, hesaplanan Riske Maruz Değer (RMD) in belli bir olasılık içermesidir. Genellikle %95 veya %99 olasılıkla yapılan RMD hesaplamalarında, oluşabilecek kayıp, hesaplanan RMD yi belirlenen olasılıkla aşmayacağını ifade emekedir. Bu durumda 100 RMD hesaplamasında, % 95 güven seviyesi için 5 kez ve %99 güven seviyesi için 1 kez kaybın RMD yi aşması beklenmekedir. İkinci emel unsur ise, hesaplanan RMD nin belirlenmiş bir zaman aralığı için geçerli bir risk ölçümü olduğudur. Eğer finansal varlıklar, hesaplamalarda belirlenmiş süreden uzun uulursa, oluşabilecek kaybın hesaplanan RMD yi aşması söz konusu olabilmekedir. RMD ilk olarak 1994 e J.P. Morgan arafından anıılmışır. RiskMerics olarak piyasaya sürülen RMD hesaplama modeli hızlı bir şekilde piyasa sandardı haline gelmişir. Zamanla farklı RMD hesaplama yönemleri gelişirilmişir. Özellikle ürev ürünlerin karmaşık yapısını modellemede yaşanan sıkınılar, RiskMerics arafından amin edici bir şekilde çözülememişir. Zaman içerisinde gelişirilen yönemler birbirlerine karşı üsünlük sağlayamamışır. Her yönemin farklı giriş paramerelerine ihiyaç duyması, farklı varsayımlara dayanması ve farklı hesaplama yoğunluğu gerekirmesi, duruma göre farklı yönemlerin ercih edilmesine yol açmakadır. İsaisikî bir yönem olan RMD hesaplamalarında, herhangi bir yönemle hesaplanan RMD, başka bir yönemle hesaplanan RMD ye eşi olmamakadır. Bu durum, RMD hesaplamalarının hangi varlık kompozisyonu için yapılacaksa o kompozisyon için uygun bir yönemin kullanılmasını gerekirebilmekedir. Kullanılan yönemin başarısını sınamak için geriye dönük es (backesing) uygulaması yapılabilmekedir. Geriye dönük es uygulamasında gerçekleşen bir kayıp varsa, hesaplanan RMD ile karşılaşırılmaka ve kayıp RMD den büyük ise bir sapma kaydedilmekedir. Böylece farklı RMD modellerinin sapma sayılarına göre yönemlerin uygunluğu veya başarısı espi edilebilmekedir. Basel Komiesi (Bank for Inernaional Selemens), RMD modellerinin başarısının espii için 5 günlük geriye dönük es dönemini önermekedir. Buna bağlı olarak 4 sapmaya kadar yeşil, 5-9 arası sapmalar için sarı, 10 ve daha fazla sapmalar için kırmızı bölge anımını geirmekedir. Yeşil bölgede kalan modeller başarılı olarak kabul edilmekedir. Sarı bölge ise modellerin başarısı hakkında soru işareleri oluşurmaka faka kesin bir yargıya yer vermemekedir. Kırmızı bölgedeki modeller kesin başarısız olarak kabul edilmeke ve bir sorunun varlığına işare emekedir (BIS, 1996). (3)011

3 T. Korkmaz - A.Bosanci Paramerik modeller ile RMD nin hesaplanmasında, volailienin ölçülmesi emel başlangıç nokasını oluşurmakadır. Volailie, bir risk fakörünün beklenen değerden ne kadar sapığını göseren bir parameredir. Genelde bu sapmanın zaman boyunca sabi olduğu varsayılmakla birlike bu durum gerçeği yansımamakadır. Özellikle olumlu veya olumsuz haberlerin piyasaya gelmesiyle volailie değişmekedir. İyi haberler sonucu gerçekleşen yüksek geirileri, genelde yine yüksek geiriler akip eder. Tersi durumda köü haber sonucu gerçekleşen büyük kayıpları, genelde yine büyük kayıplar izler. Bu oynaklık, geirilerin dalgalanması olarak ifade edilmeke ve geirilerinin volailiesinin değişken olduğu anlamına gelmekedir. Sandar sapmanın veya varyansın değişken olması, değişen varyansın da RMD hesaplamalarına dahil edilmesini gerekirmekedir. Varyansın zamana göre değişkenliğini modellemek için farklı yaklaşımlar mevcuur. Bu yaklaşımlara basi harekeli oralama, ağırlıklı harekeli oralama, üssel düzleşirme ve üssel ağırlıklandırılmış harekeli oralama örnek olarak verilebilir. Daha gelişmiş modeller olarak ise zaman serisi analizine dayanan ve varyansın sabi kalmadığını kabul eden diğer bir ifadeyle değişen varyansı da hesaba kaan ekonomerik modeller gelişirilmişir. Engle (198) arafından gelişirilen ARCH ve Bollerslev (1986) arafından Genelleşirilen ARCH (GARCH) yönemlerinin özellikle fiya serilerinin oynaklığını modellemede çok başarılı olduğu bilinmekedir. Bu çalışmada, öncelikle finansal fiya serilerinin özelliklerinden bahsedilecek ve bu özelliklerinden kaynaklanan modelleme sıkınılarına değinilecekir. Daha sonra yukarıda sayılan yönemler anıılacak ve farkları üzerinde durulacakır. Bir sonraki aşamada ise belirilen yönemler kullanarak BASEL II krierlerine uygun bir şekilde (% 99 güven seviyesi ve 5 günlük gözlem dönemi için) RMD hesaplamalarında bulunulacak ve sonuçlar her yönem için geriye dönük es edilecekir. Böylece yönemlerin başarısı karşılaşırılacak ve kullanım açısından bir öneride bulunulacakır.. Finansal Fiya Serilerinin Özellikleri Finansal fiya serileri, ekonomik zaman serilerinden farklılıklar gösermekedir. Sylized facs (belirgin özellikler), özel durum ve olaylardan bağımsız olarak, finansal fiya serilerinde genel olarak gözlemlenebilen özellikleri ifade emekedir. Sylized facs lerin oluşması doğal bir sürece bağlı değildir. Faka belirgin bir şekilde sıkça raslanabiliyor olmasına rağmen, durumdan duruma farklılık göserebilmekedir (Schmid ve Trede, 006)..1. Sokasik Trend ve Durağanlık Analiz edilen finansal fiya serilerinde genel olarak rend gözlemlenmekedir. Bu rend bazen deerminisik (beklenen değerlerden kaynaklanabilir), bazen de sokasik (ookovaryans fonksiyonunun zamana bağlı olması gibi) olabilmekedir (Sevükekin ve Nargeleçekenler, 005). Sokasik bir rende sahip bir zaman serisi fark durağan bir süreç izler ve fark alarak durağan hale geirilmekedir (Enders, 1995). Zaman serilerinde rendin bulunması, isaisiksel bağımlılık ilişkisi analizlerinde sahe regresyon ilişkisine yol açabilmeke ve olmayan ilişkileri var gibi göserebilmekedir. Bu durumdan dolayı finansal zaman serileri fiya seviyesi olarak değil de geiri serisi olarak hesaplamalarda kullanılmakadır (Jacobi,005). (3)011 3

4 RMD Hesaplamalarında Volailie Tahminleme Modellerinin Karşılaşırılması ve Basel II Yaklaşımına Göre Geriye Dönük Tes Edilmesi: İMKB 100 Endeksi Uygulaması.. Volailie Kümelenmesi (Volailiy Clusering) Mandelbro (1963) ve Fama (1965) finansal fiya serilerinin geirilerindeki büyük değişmelerin, yine büyük değişmeler arafından akip edildiğini, küçük fiya değişimlerin de yine küçük fiya değişimleri arafından akip edildiğini espi emişlerdir. Başka bir ifadeyle, yüksek volailie seviyeleri ile düşük volailie seviyeleri düzensiz bir şekilde yer değişirmeke ve bu olgu volailie kümelenmesi olarak adlandırılmakadır. Volailie kümelenmeleri koşullu heeroscedasiciy ye (condiional heeroscedasiciy) işare emeke ve bu durum zamana göre bağımsız ve özdeş dağılmış (normal ve bağımsız dağılmış) geiriler varsayımıyla bağdaşmamakadır. Ayrıca finansal fiya serilerinin günlük geirilerinin lineer bağımlılıkları (ookorelasyonları) önemsenmeyecek kadar küçük olmasına rağmen, mulak geiriler veya geirilerin kareleri ise ookorelasyon sergilemekedir. Bu durum fiya seviyesi yerine varyansın yani volailienin öngörülmesinin daha sağlıklı olduğuna dair bir ipucu vermekedir (Schmid ve Trede, 006)..3. Sivri (Lepocuric) Dağılım Finansal fiya serilerinin geiri dağılımları incelenip normal dağılımla karşılaşırıldığında, geiri serilerinin dağılımının genelde amamen simerik olmadığı görülmekedir. Fazla asimerik olmayan dağılımda çoğu zaman yüksek kayıpların, yüksek kazançlardan daha çok gerçekleşiği görülmekedir. Ayrıca normal dağılıma göre kuyruklar ve oralama erafında yoğunlaşmalar görülmekedir. Diğer bir ifadeyle yüksek kayıplar ve yüksek kazançlar normal dağılıma göre daha fazla gerçekleşmekedir. Aynı şekilde çok küçük geiri değişimleri de normal dağılımına göre daha çok gerçekleşmekedir. Bu durumda kalın kuyruklardan (heavy ails veya fa ails) ve sivrilik en (peakedness) bahsedilmekedir (Schmid ve Trede, 006)..4. Kaldıraç (Leverage) Ekisi Yüksek kayıplardan sonraki volailie arışının, yüksek kazançlardan sonraki volailie arışından daha fazla olması durumu, kaldıraç ekisi olarak adlandırılmakadır (Jacobi,005). Daha önce değinildiği gibi finansal fiya serilerinin geirilerinde ookorelasyona az raslanmasına karşın, mulak geiriler veya geiri kareleri ookorelasyon sergilemekedir. Ayrıca varyans ve geiriler arasında negaif korelasyona raslanılması kaldıraç ekisine işare emekedir (Chrisoffersen, 003). 3. Volailie Hesaplama Yönemleri Lieraürde volailie sandar sapma ile eş anlamlı olarak kullanılmasına rağmen bunun sadece kısmen doğru olduğu söylenebilir. Ayrıca volailienin ek bir anımı olduğu da söylenemez. Volailie bazen sandar sapma veya varyans, bazen de bunların zamanının kareköküyle ilişkilendirilmiş bir şekilde ifade edilmekedir. Volailie aslında normlandırılmış bir ölçüür. Volailie, sürekli geirilerin sandar sapmasıyla hesaplanmakadır. Farklı volailie değerleri arasında karşılaşırma yapabilmek için sandar sapma bir yıla normlandırılmakadır. Bunun için günlük sandar sapmanın bir yıldaki iş günü 1 sayısının kareköküyle çarpılması gerekmekedir. 1 Yıllık olarak 365 gün yerine daha az olan ( 5) iş günü kullanılmasının sebebi, ampirik çalışmalar sonucu olarak, geirilerin oluşma sürecinin, yılın işgünleri ile ilişkili bir süreç akip eiğinin sapanmasıdır (Bkz. Hull, 006: ). Lieraürde yıllık iş günü olarak 40 ile 60 arasında değerlere raslanmakadır. Bu çalışmanın devamında yılda 5 ve ayda 1 iş günü varsayılacakır. (3)011 4

5 Buna göre volailie (Andres, 1998): T. Korkmaz - A.Bosanci olarak hesaplanmakadır. 5 (1) Yııilli Günlük 3.1. Rassal Yürüyüş Rassal yürüyüş (random walk) ile değişen finansal fiya serileri sokasik bir süreç olarak algılanabilir. Finansal fiya serilerinin Markov özelliği aşıyan özel bir sokasik süreci izlediği düşünülmekedir. Markov sürecinde gelecekeki değer için geçmişeki değerlerin hiçbir ekisi olmadığı ve sadece mevcu değer ile gelecekeki değer için bir öngörüde bulunabileceği varsayılmakadır. Burada mevcu değerin nasıl ve hangi şekilde oluşuğunun hiçbir önemi bulunmamakadır (Hull, 006). Bu durumda rassal yürüyüş varsayımı alında finansal fiya serilerinin geirilerinin volailiesi aşağıdaki şekilde ahmin edilmekedir (Poon ve Granger, 003): Burada ˆ 1 ˆ ahmin edilecek sandar sapmayı ve Tarihi Oralama ile Volailienin Hesaplanması () Tarihi oralama (hisorical average) ile öngörülen volailie, geçmiş dönemdeki gözlemlenmiş volailielerin oralaması ile hesaplanmakadır (Poon ve Granger, 003): Burada rassal yürüyüş modelinden farklı olarak gözlem sayısını ifade emeke ve sadece bir önceki dönemde gerçekleşmiş volailie yerine, üm geçmiş dönemlerin sandar sapmalarının oralaması, volailienin ahmincisi olmakadır. Volailie hesaplamalarında gözlem döneminin ümünü değil sadece belli bir dönemin oralamasının alınması ve bu gözlem döneminin veya bu gözlem penceresinin her hesaplamada bir gün kaymasıyla, basi harekeli oralama hesaplanmış olur Basi Harekeli Oralama ile Volailienin Hesaplanması bir önceki dönemdeki arihi sandar sapma değerini vermekedir. Bu durumda ahmin edilen volailie bir önceki dönemde gerçekleşmiş volailie ile eşi olmakadır. 1 1 ˆ 1 Basi harekeli oralama (simple moving average) ile hesaplanan volailie için belli bir gözlem dönemi seçilmeke ve bu dönem için bir oralama değer hesaplanmakadır. Basi harekeli oralamada sandar sapma aşağıdaki denklem yardımıyla hesaplanmakadır (Poon ve Granger, 003): (3) 1 ˆ (4) Çalışmada sandar sapmanın ahmincisi (ˆ ) ile gözlem dönemi için hesaplanan sandar sapma ( ) arasında her yerde belirgin ayırım yapılmayacakır. Geçmiş verilerle hesaplanan sandar sapmalar, paramere olarak, gelecekeki sandar sapmanın ahmin edilmesinde kullanılacakır. (3)011 5

6 RMD Hesaplamalarında Volailie Tahminleme Modellerinin Karşılaşırılması ve Basel II Yaklaşımına Göre Geriye Dönük Tes Edilmesi: İMKB 100 Endeksi Uygulaması Denklemde arihi oralama modelinden farklı olarak gözlem dönemini ifade emekedir. Böylece üm geçmiş dönemlerin sandar sapmalarının oralaması yerine, sadece beli bir dönemin sandar sapmalarının oralaması, volailienin ahmincisi olmakadır Ağırlıklı Harekeli Oralama ile Volailienin Hesaplanması Ağırlıklı harekeli oralama (weighed moving average) ile sandar sapma hesaplamak için geçmiş dönemlere azalan ağırlık verilmeke ve buna göre bir oralama hesaplanmakadır. Böylece geçmiş dönemlerin sandar sapması ağırlıklı harekeli oralamaya daha az eki emekedir. Ağırlıklı harekeli oralama ile sandar sapmayı hesaplamak için aşağıdaki denklemden faydalanılmakadır (Gökgöz, 006): Görüldüğü gibi, ağırlıklı harekeli oralama hesaplamasından farklı olarak yakın geçmişeki sandar sapmalara daha çok, uzak geçmişeki sandar sapmalara daha az ağırlık verilmekedir. Bunun sonucunda, yakın geçmişeki sandar sapmaların, daha uzak geçmişeki sandar sapmalarına göre nispeen yüksek olması durumunda, ağırlıklı harekei oralama ile hesaplanan sandar sapma, basi harekeli oralama ile hesaplanan sandar sapmadan daha yüksek bir volailie ahmininde bulunmakadır. Tersi durumda, başka bir ifadeyle yakın geçmişeki sandar sapmaların daha uzak geçmişeki sandar sapmalara göre nispeen düşük olması durumunda, ağırlıklı harekeli oralama ile hesaplanan sandar sapma, basi harekeli oralama ile hesaplanan sandar sapmadan daha düşük bir volailie ahmininde bulunmakadır Üssel Düzleşirme ile Volailienin Hesaplanması ˆ (5) Üssel düzleşirilme (Exponenial Smoohing) ile hesaplanan sandar sapma yöneminde, ağırlıklı harekeli oralama yönemindeki gibi geçmiş dönemlere azalan ağırlık verilmeke ve buna göre bir oralama hesaplanmakadır. Aralarındaki fark ise ağırlıklandırma şeklinden kaynaklanmakadır. Daha önce doğrusal bir ağırlıklandırma söz konusu iken bu yönemde üssel bir ağırlıklandırma kullanılmış ve böylece doğrusal olmayan bir ağırlıklandırma gerçekleşirilmişir. Üssel düzleşirme ile hesaplanan sandar sapma aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanmakadır (Poon ve Granger, 003): 1 ˆ 1 1 ˆ ; 0 1 (6) Burada ağırlıklandırma veya farklı bir ifadeyle azalma fakörünü (decay facor) ifade emekedir. ˆ Örneğin (-1) dönemdeki sandar sapma 1 =0,0 olarak ahmin edildiği varsayılırsa ve 1 in gerçekleşmesi için aşağıdaki üç farklı senaryoyu değerlendirilirse; 1. 1 =0,15 olarak gerçekleşiyse,. 1 =0,0 olarak gerçekleşiyse, 3. 1 =0,5 olarak gerçekleşiyse, (3)011 6

7 T. Korkmaz - A.Bosanci ˆ yukarıdaki üç farklı senaryo ve farklı için ahmin edilecek sandar sapmalar Tablo 1 de verilmekedir. Tablo 1: Üç Farklı Senaryo ve Farklı için Sonuçlar 1 =0,15 1 =0,0 1 =0,5 0 0,1500 0,000 0,500 0,5 0,165 0,000 0,375 0,50 0,1750 0,000 0,50 0,75 0,1875 0,000 0,15 0,90 0,1950 0,000 0,050 0,94 0,1970 0,000 0,030 0,97 0,1985 0,000 0, ,000 0,000 0,000 ˆ üssel düzleşirme ile ahmin edilirken, önceki dönemde ahmin edilen ˆ 1 yerine daha düşük bir sandar sapma ( 1 ) gerçekleşiğinde, arıkça ˆ de armakadır. Bu durumda ˆ nin alabileceği değerler ˆ ˆ 1 1 aralığında yer almakadır. Tersi durumda ˆ 1 yerine daha yüksek bir sandar sapma ( 1 ) gerçekleşiğinde, arıkça ˆ azalmaka ve alabileceği değerler ˆ ˆ 1 1 aralığında olmakadır. Bir önceki dönemde ahmin edilen ˆ 1 gerçekleşen 1 ile aynıysa, ahmin edilen ˆ her için de değişmemeke ve ˆ 1 veya 1 ile aynı olmakadır. Üssel düzleşirme ile hesaplanan volailienin formülünde sandar sapmanın yerine varyans yazılırsa ve ardışık yerine koyma işlemi uygulanırsa; ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ j i1 j 1 ˆ i j i1 ˆ olur. j i1 i1 1 ˆ (7) i Burada durumda j ˆ büyük j ler için çok küçük bir değer alacağından ihmal edilebilir. Bu i j i1 lerin ağırlıklandırması kaı kadar olmakadır (Hull, 006). 1 olup her i ağırlığı bir öncekinin (3)011 7

8 RMD Hesaplamalarında Volailie Tahminleme Modellerinin Karşılaşırılması ve Basel II Yaklaşımına Göre Geriye Dönük Tes Edilmesi: İMKB 100 Endeksi Uygulaması 3.6. Üssel Ağırlıklandırılmış Harekeli Oralama ile Volailienin Hesaplanması EWMA (exponenial weighed moving average) olarak bilinen bu yönemde geçmiş gözlemler üssel olarak ağırlıklandırılmaka ve böylece yakın geçmişeki gözlemlere daha çok ağırlık, uzak geçmişeki gözlemlere ise daha az ağırlık verilmekedir. EWMA yönemi ile sandar sapmanın hesaplanması aşağıdaki denklemlerden faydalanılarak yapılmakadır (Hull, 006): 3.7. GARCH ile Volailienin Hesaplanması i i i1 ˆ (8) i Burada, hem yakın geçmişeki gözlemlerin ağırlıklandırma derecesini, hem de volailienin büyük bir oynaklıkan sonra ne kadar hızlı bir şekilde düşük seviyeye döneceğini ifade emekedir. Düşük bir ağırlıklandırma fakörü yakın geçmişeki gözlemlere daha çok ağırlık vermeke ve büyük bir harekeen sonra volailienin eski seviyesine dönmesini hızlandırmakadır. ise volailie hesaplamasında kullanılacak gözlem dönemini ifade emekedir. Teorik olarak sonsuz alınabilen gözlem dönemi, üssel ağırlıklandırmada hızlıca sıfıra düşmekedir. Uygulamada örneğin 0,94 için 50 ve 0,97 için 100 günlük gözlem dönemi iyi sonuçlar vermekedir (Bes, 1999). RiskMerics %1 haa payı ile 0,94 için 74 ve 0,97 için 151 gün önermekedir. Burada ifade edilen gözlem sayılarından daha uzun geçmişe kalan gözlemler, hesaplamalara pek fazla eki ememekedir (RiskMerics, 1996). EWMA dan farklı olarak RiskMerics, hesaplamalarda bazı sadeleşirmeleri j uygulamakadır. İlk olarak daha önce göserildiği gibi ˆ erimi göz ardı edilip i 1 olarak alınmakadır. Ayrıca finansal fiya serilerinin oralama geirisi sıfır i1 1 olduğu varsayılmakadır. Bu durumda, formülü elde edilmekedir. Yukarıda anıılan yönemler koşullu değişen varyansı modellemekedirler. Bunu yaparken koşulsuz varyans amamen göz ardı edilmekedir. Hem koşullu hem de koşulsuz varyansı modele dahil eden ARCH yönemlerinden olan GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy) modeli EWMA modeline çok benzemekedir. GARCH modelinin uzun dönem oralama varyansı da hesaba kaması iki yönem arasındaki farkı oluşurmakadır. GARCH(p,q) aşağıdaki formüldeki gibi hesaplanmakadır (Bollerslev, Engle ve McFadden, 1994): i j ˆ ˆ X (9) Burada X 1 bir önceki günün geirisinin karesini ifade emeke ve oralama sıfır olarak kabul edildiğinden varyans olarak kullanılmakadır. Bu durumda volailie hesaplamaları için sadece bir başlangıç varyansına ve bir önceki günün geirisine ihiyaç duyulmakadır. İlk hesaplamadan sonraki gün için yapılacak volailie ahmini için bir gün önce ahmin edilen varyans ile bir önceki günün geirisinin karesi kullanılmakadır. (3)011 8

9 T. Korkmaz - A.Bosanci ˆ j j i 1 (10) j1, p i1, q Genel GARCH(p,q) formülü p=1 ve q=1 için aşağıdaki formüle dönüşmekedir: 1 1 ˆ ˆ ; (11) ve X olduğundan, 1 1 olmakadır (Hull, 006). 1 1 ˆ ˆ X (1) Görüldüğü gibi GARCH(1,1) modeli RiskMerics i andırmakadır. Aralarındaki fark ise olmakadır. Bu sabi, uzun vadeli oralama varyansı (veya koşulsuz varyansı) da hesaba kamakadır. Eğer =0, ve 1 olarak düşünülürse, EWMA (RiskMerics) modeli elde edilir. GARCH(1,1) modelinde kullanılan, ve paramerelerinin ahmini için Maximum-Liklihood 3 yönemi kullanılmakadır. 4. Veri ve Meodoloji Çalışmanın bundan sonraki bölümünde, yukarıda anıılan modeller kullanılarak volailie ahminlerinde bulunulacak ve elde edilen RMD sonuçları geriye dönük es edilecekir. Çalışmada İMKB 100 endeksinin 14,5 yıl boyunca günlük kapanış fiyaları kullanılmışır. Tanıılan 7 model için farklı özellikleri barındıran gözlem dönemleri kullanılarak volailie ahmininde bulunulacak ve ahminler geriye dönük es edilerek modellerin performansları sapanacakır Veriler Çalışma için İMKB 100 endeksinin arihleri arası günlük kapanış değerleri Türkiye Cumhuriye Merkez Bankası nın resmi inerne siesinden ( indirilmişir. Toplam olarak 3343 kapanış değeri elde edilmişir. Günlük sürekli geiriler ln (P - P -1 ) formülünden faydalanarak hesaplanmış ve oplam 334 geiri değeri elde edilmişir. Yıllar iibariyle verilerin açıklayıcı isaisikleri Tablo de verilmişir. Görüldüğü gibi İMKB 100 endeksinin sürekli geirilerinin dağılımı, daha önce de ifade edildiği gibi sylized facs özelliklerini sergilemekedir. Örneğin geirilerin dağılımı sivrilik (lepocuric dağılım) sergilemekedir (Basıklık 3). Bu durum dağılımının kuyruklarının da kalın olduğu konusunda ipuçları vermekedir. Ayrıca görüldüğü gibi İMKB 100 endeksinin geirilerinin oralaması yıllar iibariyle 0,0075 değerini hiç aşmamışır. Bu durumdan dolayı çalışmada, RiskMerics in de önerdiği gibi, geirilerinin oralama değeri 0 olarak varsayılmışır. Dikka edilmesi gereken ek noka gözlem döneminde de oralaması 0 a yakın olmasıdır 3 Yıllık Paramerelerin ahmini için bakınız (Hull, 006:56-566). (3)011 9

10 RMD Hesaplamalarında Volailie Tahminleme Modellerinin Karşılaşırılması ve Basel II Yaklaşımına Göre Geriye Dönük Tes Edilmesi: İMKB 100 Endeksi Uygulaması Tablo : İMKB100 Geirilerin Açıklayıcı İsaisikleri Yıl İşgünü Oralama Sandar Sapma Çarpıklık Basıklık ,0038,064% 0,608 4, ,0050 3,004% -0,306 6, ,0011 4,065% -0,46 5, ,0075 3,365% 0,11 4, ,0019 3,785% 0,895 6, ,0015 3,95% -0,59 6, ,0011,76% 0,585 4, ,004,564% -0,51 9, ,001 1,774% -0,086 3, ,0019 1,573% -0,44 3, ,0001 1,860% -0,497 4, ,0014 1,786% -0,110 4, ,009,75% 0,54 5, ,006,048% -0,105 3, ,0014,819% -0,01 7,590 Oralama 48 0,0014,664% -0,06 5,111 Geirilerin, hisogram şeklinde normal dağılım ile karşılaşırılmış grafiği Şekil 1 de verilmişir. Görüldüğü gibi geirilerin dağılımı normal dağılıma göre daha sivri ve kuyrukları daha kalındır. Şekil 1: İMKB 100 Endeksinin Hisogram Grafiği ( ) Şekil 1: İMKB 100 Endeksinin Hisogram Grafiği ( ) Sd. Dev =,03 Mean =,001 N = 334,00 -,15 -,150 -,175 -,00,175,150,15,100,075,050,05,000 -,05 -,050 -,075 -,100 Ayrıca Şekil IMKB100 1 de geiriler yaklaşık olarak 0 oralama erafında dağıldığı görülmekedir. Bu durum Şekil de açıkça görülmekedir. (3)011 10

11 Oralama Geiri Geiri (%) Endeks Değeri T. Korkmaz - A.Bosanci Şekil : İMKB 100 Endeksi ve Geirileri (Ocak 1996-Temmuz 009) 0% 15% 10% 5% İMKB 100 Geiri İMKB 100 Endeks % % -10% -15% -0% % 0 Tarih Şekil 3: İMKB 100 Endeksinin Geirilerin Oralama Değerleri ( ) 3,0%,5%,0% 1,5% 1,0% 0,5% Kümülaif Geiri Oralaması 5 Günlük Geiri Oralaması 0,0% -0,5% Tarih Şekil 3 de görüldüğü gibi yaklaşık 50 günlük gözlem dönemi kullanıldığında geirilerinin oralaması 0,01 in ve 90 günlük gözlem dönemi kullanıldığında 0,005 in alına düşmekedir. Çalışmada kullanılacak olan 5 günlük gözlem dönemi için, Şekil 3 de de görüldüğü gibi sıfır oralama kabul edilebilir bir varsayımdır. (3)011 11

12 RMD Hesaplamalarında Volailie Tahminleme Modellerinin Karşılaşırılması ve Basel II Yaklaşımına Göre Geriye Dönük Tes Edilmesi: İMKB 100 Endeksi Uygulaması 4.. Meodoloji Çalışmada yıllara göre gruplandırılmış veriler ile farklı gözlem dönemleri kullanılarak volailie ahmininde bulunulmuşur. GARCH(1,1) modelindeki paramereler üm gözlem dönemi için ahmin edilerek 0, , 0, 8844 ve 0,106 elde edilmişir. Rassal yürüyüş modeli ile ahmin edilen sandar sapma değeri geçmiş 1 aylık (1 iş günü) günlük geirilerden hesaplanmışır (geirilerin 0 oralama varsayımı 1 günlük veride sağlanmadığı için burada kullanılmamışır). Gözlem dönemleri 1 yıl olarak 5 gün Basel II krierlerine uygun bir şekilde seçilmiş ve geriye dönük es uygulaması için 4 farklı dönem sapanmışır. Dör dönem sapanırken, o dönemlerdeki volailie seyri göz önünde bulundurulmuşur. Dör farklı dönemler belirlenirken volailiedeki seyir için: Dönem I de yüksek volailieli bir dönemden yine yüksek volailieli bir döneme geçilmesi, Dönem II de yüksek bir volailieli dönemden daha düşük volailieli bir döneme geçilmesi, Dönem III e düşük volailieli bir dönemden yine düşük volailieli bir döneme geçilmesi, Dönem IV e düşük volailieli bir dönemden daha yüksek volailieli bir döneme geçilmesi, durumu göz önünde bulundurulmuş ve dönemlerin sandar sapmaları Tablo 3 e verilmişir. Tablo 3: İMKB100 Geirilerin Gözlem ve Geriye Dönük Tes Dönemlerinin Sandar Sapmaları Dönem I 4,06% Gözlem Dönemi Dönem II Dönem III 4,6%,57% Dönem IV,10% Dönem I 3,36% Geriye Dönük Tes Dönemi Dönem II Dönem III Dönem IV,86% 1,77%,71% Şekil 4 de görüldüğü gibi gözlem dönemleri olarak I, II, III, ve IV, geriye dönük es uygulamaları için de I, II, III, IV dönemleri belirlenmişir. (3)011 1

13 Volailie Geiri Değeri Endeks Değeri Gözlem Tes Gözlem Tes Gözlem Tes Gözlem Tes T. Korkmaz - A.Bosanci Şekil 4: Farklı Gözlem ve Geriye Dönük Tes Dönemleri 0% 15% 10% 5% I' I II' II III' III IV' IV % -5% -10% -15% -0% -5% V Tarih 4.3. Ampirik Uygulama Çalışmada ilk olarak İMKB 100 endeksi için 5 günlük gözlem dönemi ve kayan pencere kullanılarak farklı yönemlere göre üm veri sei için volailie ahmin sonuçları hesaplanmış ve sonuçlar Şekil 5 eki grafike göserilmişir. Şekil 5: Tüm Dönem için Volailie Tahminleri ( ) 10% 9% 8% 7% 6% 5% Tarihi Orlalama Harekeli Oralama Ağırlıklı Harekeli Oralama EWMA RiscMerics GARCH Random Walk 4% 3% % 1% 0% Tarih (3)011 13

14 RMD Hesaplamalarında Volailie Tahminleme Modellerinin Karşılaşırılması ve Basel II Yaklaşımına Göre Geriye Dönük Tes Edilmesi: İMKB 100 Endeksi Uygulaması Şekil 5 de görüldüğü gibi RiskMerics, EWMA ve GARCH(1,1) birbirine yakın sonuçlar vermekedir. Rassal yürüyüş modeli ise daha önce belirilen üç modelden biraz daha düşük volailie ahminlerinde bulunmakadır. Harekeli oralama ve ağırlıklı harekeli oralama ile hesaplanan volailie ilk olarak açıklanan üç yöneme göre, daha az ve çok daha geç epki gösermekedir. Ağırlıklı harekeli oralama yönemi, harekeli oralama yönemine göre volailieye daha çok epki vermesine rağmen ilk üç modele göre çok ağır kalmakadır. Bu iki modelin sorunları kuşkusuz Basel II krierlerinden isendiği gibi 5 günlük uzun gözlem dönemin seçilmesinden kaynaklanmakadır. Tarihi oralama ile hesaplanan volailie ise çok dar bir bana seyremeke ve oynaklığı yüksek dönemlere sadece yavaş epki vermekedir. Çalışmanın ikinci aşamasında, dör dönem için, farklı volailie ahmin yönemleri ile hesaplanan RMD rakamları %99 güven seviyesinde geriye dönük es edilmişir. Geriye dönük es uygulamasında Basel II krierleri kullanılmışır. RMD yönemindeki amaç olası kayıpları ahmin emek olduğundan, sadece aşağıya yani negaif geirilerdeki sapmalar değerlendirilmiş ve sapma sayıları Tablo 4 de verilmişir. Hesaplamalarda kullanılan güven seviyesi kasayısı %99 için,36347 olarak kullanılmışır. Tarihi Oralama Tablo 4: Geriye Dönük Tes Sonuçları Harekeli Oralama Ağırlıklı Harekeli Oralama M3 Üssel Düzleşirme RiskMerics veya EWMA Rassal Yürüyüş GARCH M1 M M4 M5 M6 M7 I: Ocak Aralık II: Temmuz 000- Temmuz III: Ocak 004- Aralık IV: Temmuz 008- Temmuz TOPLAM Tablo 4 de görüldüğü gibi Dönem I de M ve M3 sapma sayılarına göre en iyi performansları, M1 de bunlara yakın bir performans sergilemişir. M4, M5, M6 ve M7 aynı performanslar sergileyip Basel II yaklaşımı arafından isenen sınırlar içinde kalmışır. Dönem II de ise M ve M3 yine sapma sayılarına göre en iyi, M1 ora; M4, M5 ve M7 daha başarısız sonuçlar vermiş olup yine Basel II yaklaşımı arafından isenen sınırlar içinde kalmışır. M6 ise en başarısız sonucu elde edip, Basel II yaklaşımı arafından isenen sınırı aşmışır. Dönem III e ise M1, M ve M3 hiç sapma gösermemişir. M4, M5, M6 ve M7 ise Basel II yaklaşımı arafından isenen sınırlar içinde kalmışır. Burada düşük volailieli bir dönemden yine düşük bir volailieli döneme geçildiğinden üm modeller başarılı bir performans sergilemişir. Dönem IV e M1 en başarısız, M ve M3 çok başarısız bir performans sergilemişir. M4, M5 ve M7 ise 4 sapma ile Basel II yaklaşımı arafından isenen sınırlar içinde kalmışır, M6 ise sınırı aşmışır. (3)011 14

15 Geiri Endeks Değeri T. Korkmaz - A.Bosanci Basel Komiesi sermaye uma zorunluluğunu hesaplarken RMD yi göz önünde bulundurmakadır. RMD modelinin başarısı bu hesaplamayı ekilemekedir. Başarısız bir model daha çok sermaye uma zorunluluğuna yol açmakadır (Bolgün ve Akçay, 003). Burada geriye dönük esin önemi oraya çıkmakadır. Hiçbir banka fazla sermaye bulundurmak isemez, faka hesaplanan RMD nin fazla büyük olması fazla sermaye gereksimine yol açmakadır (Küçüközmen, 1999). Bu sebepen dolayı her banka RMD yi hesaplarken gerçeğe yakın bir değere ulaşmak isemekedir. Opimum seviyesi ise RMD modelin kayıpları am olarak yakalamasıdır. Bahsedilen bu durum, Tablo 4 deki sapma sonuçlarının Şekil 6 da göserildiğinde daha ne görülmekedir. Şekil 6: Geriye Dönük Tes Sonuçları %99 Güven Seviyesi ( ) 0% 15% 10% 5% Tarihi Orlalama Harekeli Oralama Ağırlıklı Harekeli Oralama EWMA İMKB 100 Geiri RiscMerics GARCH İMKB 100 Endeks % % -10% -15% -0% Volaili % 0 Tarih Şekil 6 da görüldüğü gibi sapma sayıları ek başına modellerin performansı açısından anlamlı bir yargıya varmak için yememekedir. Modellerin RMD ahminleri İMKB 100 endeksi için yerine göre birbirilerinin iki kaı kadar olmakadır. Bu durum sadece sapma sayılarını değil gerçekleşen volailie ile ahmin edilen volailie arasındaki farkın da göz önünde bulundurulmasının gerekliliğini gösermekedir. Aksi akirde en yüksek volailie ahminini veren model en başarılı model olarak algılanabilmekedir. Özellikle Basel II ye göre bankaların sermaye yeerlilik oranlarının hesaplanmasında RMD sonuçlarının kullanılmasını önermesi, yüksek bir RMD değerinin yüksek mikarda aıl para umak anlamına geleceğini ifade emekedir. Bankalar ise doğal olarak, az sayıda sapma ve sapma olmayan günlerde ise gerçekleşen kayıplar ile RMD değerinin oldukça yakın olmasını arzu emekedirler. Bu da Basel II nin önerdiği 5 günlük gibi uzun bir gözlem dönemi ve %99 güven seviyesi için M4 (Üssel Düzleşirme), M5 (Riscmerics veya EWMA) ve M7 (GARCH) gibi hızlı epki verebilen modellerin kullanılmasının sermaye yeerlilik oranı açısından daha anlamlı olacağını düşündürmekedir. (3)011 15

16 RMD Hesaplamalarında Volailie Tahminleme Modellerinin Karşılaşırılması ve Basel II Yaklaşımına Göre Geriye Dönük Tes Edilmesi: İMKB 100 Endeksi Uygulaması 5. Sonuç Zamanla farklı RMD hesaplama yönemlerinin gelişirilmesi, hangi yönemin daha iyi sonuç vereceği sorusunun oraya aılmasına sebep olmuşur. İsaisiki bir yönem olan RMD hesaplamalarında, herhangi bir yönemle hesaplanan RMD, başka bir yönemle hesaplanan RMD ye eşi olmamakadır. Kullanılan yönemin başarısını sınamak için geriye dönük es (backesing) uygulaması yapılmakadır. Geriye dönük es uygulamasında gerçekleşen bir kayıp varsa, hesaplanan RMD ile karşılaşırılmaka ve kayıp RMD den büyük ise bir sapma kaydedilmekedir. Sadece geriye dönük es uygulama sonuçlarına (sapmalara) bakılarak yönemlerin performansı hakkında sonuca varmanın yeerli olmayacağı çalışmada göserilmişir. Çalışmada İMKB 100 Endeks geirilerinin volailiesinin farklı modellerle ahminlenmesi ve RMD nin Basel II yaklaşımına göre geriye dönük es edilmesi ile oraya konulan bu durum, ileride yapılacak çalışmalarda sapmaların yanı sıra sapmaların olmadığı günlerde, RMD ile volailie öngörüsünün farklarının da, modellerin performansı hakkında bir yargıya varmak için, göz önünde bulundurulması gerekliliğini vurgulamakadır. İMKB 100 endeksi için özellikle arihi oralama, basi harekeli oralama ve ağırlıklı harekeli oralama ile hesaplanan volailieler RMD hesaplanmasında isenen sonuçları vermemekedir. Çalışmada daha gelişmiş volailie hesaplama yönemleri olarak üssel düzleşirme ve üssel ağırlıklandırılmış harekeli oralama, ayrıca zaman serisi analizine dayanan ve varyansın sabi kalmadığını kabul eden, yani değişen varyansı da hesaba kaan GARCH gibi ekonomerik modellerin daha uarlı olduğu göserilmişir. Özellikle Basel II nin önerdiği en az 5 günlük gibi uzun bir gözlem dönemi ve %99 güven seviyesi için volailiedeki değişmelere daha hızlı epki verebilen modellerinin (EWMA-GARCH) kullanılmasının sermaye yeerlilik oranı hesaplanması açısından daha anlamlı olacağı düşünülmekedir. Kaynakça Andres, P. (1998). Von der Black/Scholes-Opionspreisformel zum GARCH-Opionsbewerungsmodell. Josef Eul Verlag, Köln. Basler Ausschuss für Bankenaufsich. (1996). Aufsichliches Rahmenkonzep für Backesing (Rückvergleriche) bei der Berechnung des Eigenkapials zur Unerlegeung des Markrisikos mi Bankeigenen Modellen. Basel, Bes P. (1999). Implemening Value a Risk. John Wiley and Sons Inc., London. Bolgün, E. & Akçay, B. (003). Risk Yöneimi. Scala Yayıcılık ve Tanıım A.Ş., İsanbul. Bollerslev, T. (1986). Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy. Journal of Economerics. 31(3), Bollerslev, T., Engle, R.F. & Nelson, D.B. (1994). ARCH Models, in Handbook of Economerics Volume IV. Edied by R.F. Engle and D.L McFadden. Elsevier Science. Chrisoffersen, P.F. (003). Elemens of Financial Risk Managemen. Academic Press, London. (3)011 16

17 T. Korkmaz - A.Bosanci Enders W. (1995). Applied Economeric Time Series., John Wiley and Son, Chieceser. Engle, R.F. (198). Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Inflaion. Economerica. 50(4), Fama, E.F. (1965). The Behavior of Sock Marke Prices. Journal of Business. 38(1), Gökgöz E. (006). Riske Maruz Değer (VaR) ve Porföy Opimizasyonu. Sermaye Piyasa Kurulu Yayını. Ankara. Hull J.C., (006). Opionen Fuures und andere Derivae, Çev. Hendrik Hoffman, Pearson Sudium, 6.Baskı, Münich. Jacobi, F., (005). ARCH-Prozesse und ihre Erweierungen - Eine empirische Unersuchung für Finanzmarkzeireihen, Working Paper, İnsiu für Saisik und Ökonomerie, Johannes Guenberg-Universiä. hp:// (Erişim Tarihi: ). Küçüközmen, C. (1999). Bankacılıka Risk Yöneimi ve Sermaye Yeerliliği: Value a Risk Uygulamaları. İkisa, İşleme ve Finans Dergisi. 14(156). hp:// gloriamundi.org/ picsresources/valrisk.pdf, (Erişim Tarihi: ). Mandlbro, B. (1963). The Variaion of Cerain Speculaive Prices. The Journal of Business of he Universiy of Chicago. 36, Poon, S.H. & Granger, C. W. J. (003). Forecasing Volailiy in Financial Markes: A Review. Journal of Economic Lieraure. XLI, RiskMerics, (1996). RiskMerics-Technical Documen. Fourh ediion, J.P.Morgan/ Reuers,. Schmid, F. & Trede M. (006). Finanzmarksaisik. Springer Verlag, Berlin- Heidelberg. Sevükekin, M. Nargeleçekenler, M. (005). Zaman Serileri Analizi. Nobel Yayın Dağıım, Ankara. Türkiye Cumhuriye Merkez Bankası, (Erişim Tarihi: ). (3)011 17

18 RMD Hesaplamalarında Volailie Tahminleme Modellerinin Karşılaşırılması ve Basel II Yaklaşımına Göre Geriye Dönük Tes Edilmesi: İMKB 100 Endeksi Uygulaması This Page Inenionally Lef Blank (3)011 18