2 Serbestlik Dereceli Taşıt Modeli PID Kontrolü

Transkript

1 Serbestli Dereceli Taşıt Modeli PID Kontrolü Matematisel Modelin Çıarılması: Hareet denlemlerinin çıarılmasında Lagrange yöntemi ullanılmıştır. Lagrange yöntemi haında detaylı bilgi (Francis,978; Pasin,984; Rap, 986) itaplarında bulunabilir. Lagrange denlemlerinin en genel ifadesi aşağıdai gibidir. d E E E p E D = Q j dt j j j j Burada; E : Toplam ineti enerji E p : Toplam potansiyel enerji E D Q j j : Toplam sönüm enerjisi : Genelleştirilmiş uvvetler : Genelleştirilmiş oordinatları göstermetedir. () Bu modelde, taşıt simetri düşünülüp, dört parçaya bölünmüştür. Şeil de görüldüğü üzere model, gövde (/4 gövde), as ve teerleten meydana gelmiştir. m m c c, y olma üzere : Taşıt gövdesinin /4 ütlesi : As ve teerleğin toplam ütlesi : Süspansiyon sistemi yay atsayısı : Lasti teerle yay atsayısı : Süspansiyon sönüm atsayısı : Lasti Teerle sönüm atsayısı : Titreşim hareetleri : Yol pürüzlülüğü Sistemin toplam ineti enerji ifadesi, E [ m m ] = () Sistemi toplam potansiyel enerji ifadesi, E p = ( ) ( y ) (3)

2 Sistemin toplam sönüm enerji ifadesi, ( ) ( ) y D C C E = Şeil Çeyre Taşıt Modeli ) ( ) ( C m = (5) ) ( C ) ( ) ( ) ( C m y y = (6) denlemleri elde edilir. Bu denlemler, matris formunda düzenlenip aşağıdai şeilde yazılabilir. = ) ( C C C - C C m m y [ ] y C (7) Temel Kontrol İşlemleri Kontrolün amacı, bir işlemdei değişenlerin istenilen şeilde davranması için giriş sinyalleri üretmetir. Başa bir ifadeyle, sisteme uygun bir giriş uygulayara, arzu edilen çıışı elde etmetir (Özdaş vd., 995). Mühendisli ontrol sistemleri açı çevrimli ontrol ve apalı çevrimli ontrol olma üzere ii gruba ayrılır. Bir ontrol çevriminde ontrol ve umanda sistemin çıışlarına bağlı olara belirlenmiyorsa ontrol çevrimi açıtır. Sisteme referans ile gerçe çıış arasındai fara (hata) göre giriş uygulanıyorsa, buna apalı çevrimli ontrol adı verilir.

3 3 Kontrol Girişi Kontrol Elemanı Kumand a Elemanı Sistem Ölçme Elemanı İstenen Değer (Referan s) Şeil. Açı çevrimli ontrol Ölçülen Değer Karşılaştır ma Elemanı Referans Karşılaştır ma Elemanı Kontrolcü Sistem Siste m Çıı ı Geri Besleme Ölçme Elemanı Şeil 3. Kapalı çevrimli ontrol Sistem: Belirli bir amacı sağlayan bir bütün oluşturaca şeilde fonsiyonel bağlantıları bulunan, birbirleriyle ilişili elemanlar ümesine sistem denir. Giriş: (Input) Bir dış enerji aynağından sisteme uygulanan uyarıdır. Çıış: (Output) Denetlenen sistemden elde edilen cevap. Karşılaştırıcı: Arzu edilen değeri araterize edilen sinyal ile geri besleme sinyali arasındai fara eşit bir hata sinyaline dönüştüren elemandır.. Süreli Rejim Cevabı: (t) y SS Sistem cevabının zaman sonsuza gideren aybolmayan ısmıdır. Yani, lim y SS t. Geçici Rejim Cevabı: (t) y T Sistem cevabının zaman sonsuza gideren a giden ısmıdır. Yani,

4 4 limy T t = y(t) = yt (t) y SS (t) D Geçici Rejim Cevabı Karateristileri: Dinami sistemlerin enerji depolama özelliğinden dolayı herhangi bir sisteme veya herhangi bir girişe cevapları gecimeli olur. Başa bir ifadeyle süreli rejime girmeden önce geçici rejim cevapları görülür. Şeil 4. Geçici Rejim Cavabı Karateristileri Genellile sistemlerin geçici rejim cevabı ile performans arateristileri inceleniren birim basama fonsiyonu giriş olara alınır. Çünü: a) Birim basama cevabı olay elde edilir. b) Sistemin birim basama girişe cevabı biliniyorsa herhangi bir inputa cevabı da matematisel olara bulunabilir. Bir sistemin geçici rejim cevabı analizinde birim basama inputa arşı gösterdiği özellilerin belirlenmesinde genellile aşağıdai özelliler ullanılır:. Gecime Zamanı: ( t d zaman olara tanımlanır. ) Cevabın ulaşacağı son değerin yarısına ulaşması için gereen. Yüselme Zamanı: ( t r ) Cevabın ulaşacağı son değerin % u ile %9 ı arasında geçen zaman olara tanımlanır.

5 5 3. Tepe Zamanı: ( t p ) Sistem cevabının il aşmanın tepe notasına ulaşmasına adar geçen zamandır. M p 4. Masimum Aşma Yüzdesi: ( ) Çıışın süreli rejim değerinden (veya son değerinden) olan masimum sapmasıdır. M p (tp) ( ) = ( ) [%] 5. Yerleşme Zamanı: ( t s ) Sistem cevabındai salınımların cevabın daimi rejim değerinin belirli bir yüzdesi içerisinde almasına adar geçen süre olara tanımlanır. (Genellile bu değer cevabın son değerinin % si veya %5 i şelindedir.) Şeil 5. Yerleşme Zamanı Temel Kontrol Elemanları: Bu bölümde seri (cascade) devresi göz önüne alınıp başlıca ontrol elemanlarının arateristileri incelenecetir.

6 6 Şeil 6. Kontrol Orantı Kontrol (P): Yuarıdai blo diyagramında? yerine P onursa, hata KP gibi bir atsayı ile çarpılıp sisteme uygulanır. ( K P : orantı ontrol atsayısı) M(s) = K.E(s) m(t) = K.e(t) P Orantı Kontrolün Karateristileri: ) KP ) KP 3) KP P arttırılırsa sistemin parametre değişililerine duyarlılığı azalır. arttırılırsa izafi stabilite düşer. arttırılırsa sistemin cevap hızı artar. İntegral Kontrol (I): K I : integral eti atsayısı Şeil 7. Integral Kontrol M(s) = K I t m(t) = K. e(t).dt I E(s) s KI = E(s) s İntegral ontrol elemanının ullanımından belenen esas amaç daimi rejim hatasını yapmatır. İntegral Kontrolün Karateristileri: ) Daimi rejim hatasını yapabilir. ) Sistemin izafi stabilitesini azaltır.

7 7 Türev Kontrol (D): K D : türev eti atsayısı M(s) = KD.s.E(s ) m(t) = KD.e(t) NOT: Diferansiyel ontrol elemanının çalışması hata değişim hızına bağlı olduğu için hiçbir zaman yalnız ullanılmaz. Daima orantı elemanı veya orantı integral elemanı ile beraber ullanılır. Türev Kontrolün Karateristileri: ) Daimi rejim hatasını yapmaz. ) Sistemin ararlılığını iyileştirir. 3) Cevap hızını arttırır. Orantı İntegral Türev Kontrol (PID): Önce Şeil 8. PID Kontrol KP tespit edilir. Daha sonra sistem ararlı olaca şeilde KD daimi rejim hatasını yapma için KI seçilir. KI M(s) = KP.E(s) E(s) KD.s.E(s) s m(t) = K.e(t) K. e(t).dt K.e(t) P t I hesaplanır. Son olara D Klasi ontrolcüler basit oldularından dolayı endüstride sılıla ullanılırlar. Klasi ontrolcüler, sabit zamanlı geri beslemeli ontrolcülerdir. Sistemdei parametre değişililerini telafi edemez ve çevredei değişililere uyum sağlayamazlar. Klasi tenilerde donanımın matemati modellemesi ve ontrolcünün parametre ayarı denetleyici yürürlüğe onulmadan önce yapılır. Gerçe sistemlerin çoğu ontrol açısından doğrusal olmayan davranış gösterirler. Bu sistemleri modelleme genellile sııntı verici olup, bazen fizi yasalarını ullanma imânsızdır. Bundan ötürü lasi ontrolcüleri, doğrusal olmayan ontrol uygulamalarında ullanma uygun değildir. Klasi orantısal-integral-türev (PID) ontrolcüler, modern endüstrilerde en ço bilinen ve en yaygın olara ullanılan ontrolcülerdir. İstatistilere göre günümüz endüstrilerinde ontrolcülerin % 9 dan fazlası PID ontrolcü olduğu ve alanının da çoğunluğunun Programlanabilir Mantı Kontrolcü (PLC) olduğu ifade edilmetedir.

8 8 Orantı, İntegral, Türev (PID-Kontrol) Bu ontrol sistemi, Şeil 4.6 da verildiği gibi üç temel ontrol sisteminin (P,I,D) birleşiminden meydana gelmiştir. PID ontrol sisteminin çıışı veya ontrol yasası, u(t) = veya K P K I K D de e( t) e( t) dt (8) K P K dt P u(t) = K P e( t) e( t) d( t) T Ti d de dt şelinde ifade edilir ve buradan transfer fonsiyonu, (9) U ( s) E( s) = K P olara elde edilir. Td s () Ti s Kp r - e K I t u(t) Sistem y K D d dt PID Şeil 9. PID Kontrol PID ontrol üç temel ontrol sisteminin üstünlülerini te bir birim içinde birleştiren bir ontrol sistemidir. İntegral ontrol, sistemde ortaya çıabilece alıcı durum hatasını sıfırlaren türev ontrol de, yalnızca PI ontrolü ullanılması haline göre sistemin aynı bağıl ararlılığı için cevap hızını arttırır. Buna göre PID ontrol sistemi, sistemde sıfır alıcı durum hatası olan hızlı bir cevap sağlar. PID ontrol sistemi diğerlerine göre daha armaşı yapıda olup o oranda pahalıdır. Burada K P, T i ve T d parametrelerinin uygun bir ayarı ile uygun bir ontrol sağlanabilir. Eğer bu atsayılar, uygun bir şeilde ayarlanmayaca olursa, PID ontrolün sağlayacağı üstün özellilerden yararlanılamaz (Kuo, 995).

9 9 PID Kontrolün Temel Özellileri Burada denetlenece sistemin dinami yapısına bağlı olara üç temel ontrol sisteminin mümün olan en basit bileşimleri ullanılır. Genelleştirilmiş bir PID tipi ontrol sistemi içinde orantı, integral ve türev ontrol ilavesinin sağlayacağı özelliler ve bunlara bağlı temel parametre özellileri ele alınacatır. PID tipi ontrol sisteminin genel transfer fonsiyonunu terar ele alaca olursa, U ( s) G d (s) = E( s) = K P Td s () Ti s P- Kontrol : Ti ve T halinde ontrol sistemi yalnızca orantı ontrol ile çalışır. Bunu da orantı azancı, Kp nin ayarı ile ontrol sisteminin, ontrol duyarlılığı arttırılabilir. Orantı ontrol; olduça basit bir yapıda ve maul ölçülerde ucuz ve güvenilir olması nedeniyle, endüstride alıcı durum hatasının fazla önemli olmadığı yerlerde ullanılır. PI- Kontrol: Orantı ontrole integral ontrol ilavesi ile elde edilen PI tipi ontrol sisteminin yapısı nispeten basit olup özellile zaman ontrol sistemlerinde % 75-9 arasında ullanılır. En yaygın ullanım alanları basınç, seviye ve aış ontrol sistemleridir. İntegral ontrol, çıış büyülüğünde meydana gelebilece alıcı durum hatalarını ortadan aldırır. İntegral ontrolün ullanım amacı sistemin değişen talepleri üzerinde yeterli bir ontrolü sağlamatır. Eğer sistemden gelen talep yalnızca P ontrolle arşılanıyorsa I ontrolün ullanılmasına gere yotur. Uzun ölü zaman gecimelerinin ortaya çıtığı zaman ontrol sistemlerinde PI ontrolde integral ontrolcüsünün tamamlayıcısı olara türev ontrol ullanılır. Orantı ontrole türev ilavesi ile elde edilen PD ontrol; alıcı durum hatasını sıfırlayamamala beraber, bozucu girişten doğan alıcı durum hatasının fazla önemsenmediği, faat buna arşılı orantı ontrole göre geçici durum davranışının iyileştirilmesi istenen onum servo meanizmalarında tercih edilir. Türev ontrol ilavesi ararsız veya ararsızlığa yatın bir sisteme sönüm ilave edere sistem daha ararlı hale getirilebilir. Türev ontrol ilavesinin en önemli saıncası ontrol sinyalleri yanında sistemde ortaya çıan gürültü sinyallerini de uvvetlendirmesidir

10 PID KONTROL YÖNTEMİNİN TAŞIT MODELLERİNE UYGULANMASI K s M m u C s y y K t Şeil. Çeyre taşıt modeli PID ontrol yöntemi öncelile çeyre taşıt modeli üzerinde, ardından da yarım taşıt modeli üzerinde gösterilecetir. Aşağıda apalı çevrimli taşıt modelinin genel blo diyagramı gösterilmiştir (Şeil ). Ref Σ Kontrolcü Taşıt - E = ED = c Ep = My s s Şeil. Kapalı çevrimli taşıt modelinin blo diyagramı my ( y y ) ( y y ) ( y z) t Böylelile sistemin bağımsız oordinatları y ve y cinsinden hareet denlemleri sırasıyla aşağıdai gibi yazılabilir: () (3) (4) Denlemler: ( y y ) ( y y ) u M y c s s = (5) y c s (y y) s (y y) t (y z) = u m (6)

11 MATLAB- SIMULINK UYGULAMASI Bu uygulamada, serbestli dereceli-çeyre taşıt modeline ait step yol girişi sonucu ortaya çıan titreşimlerinin PID Kontrol yolu ile ontrolü amaçlanmatadır. serbestli dereceli taşıt modeline ait parametreler ve diferansiyel denlemler önceden verilmişti. Şimdi ise adım-adım Simülin te sistemin oluşturulması ve ontrolün nasıl gerçeleşeceğini göreceğiz.. Matlab programını açınız,. Program açıldıtan sonra toolbardan Simülin ionuna tılama suretiyle Simülin Library Browser ı açınız, 3. Açılan sayfada i boş sayfa ionu olan create a new model ionu ile yeni bir simülin sayfası açınız, 4. Açılan bu sayfaya bir isim verere sayfayı, Matlab-Wor un içerisine aydediniz, Not: Verilen isim muhaa ingilizce araterlerden oluşmalıdır. Örne: ii_sd_tasit 5. İsim verilen bu sayfaya modelimizi uracağız. Bu aşamada bize gereli olan bloları Simülin Library Browser dan isim verdiğimiz sayfaya taşıyacağız. Aşağıda isimleri verilen bloları (bulunduları lasör isimleri de verilmiştir) sırasıyla isim verdiğiniz Simülin sayfasına mausun sol tuşuyla tutara taşıyıp bıraınız, Gereli Blo Bulunduğu Klasör. Subsystem Ports-Subsytems. Cloc Sources. To Worspaces Sins 6. Yuarıdai blolar yerleştirilditen sonra Cloc ve To Worspace birbirlerine mausun sol tuşu ile bağlayınız,

12 7. Subsystem in üstüne çift tılayara subsystem alanı açınız. İçindei objeleri mausun sağ tuşu ile seçilere delete ile siliniz. Bu işlem yapıldığında ii_sd_tasit sayfasındai Subsystem in şelinin değiştiği görülecetir. 8. Bu aşamada Subsystem alanına aşağıdai blolar Simülin Library Browser dan elenir. Gereli Blo Bulunduğu Klasör. Fnc User-Defined Functions. Integrator Continious. Mu Signal Routing. To Worspaces Sins. Step Sources. PID Simulin Etras/Additional Linear. Gain Math Operations. Sum Math Operations

13 3 Daha sonra aşağıdai gibi alınan bloları yerleştiririniz. 9. serbestli dereceli taşıt modelimize ait ii adet diferansiyel denlemimiz olduğu için adet fonsiyonumuz olacatır. Ayrıca denlemlerin simülin modelini urabilme için denlemlerin içerisinde geçen değişenlerin blolarla tanımlanması geremetedir. Denlemlerde, onum, hız ve ivmeler bulunduğu için ivmenin defa üst üste integrali integratör aracılığıyla alınara. sinde hız ve. sinde de onum sinyalleri elde edilir. O halde modelimizde adet Fnc bloğu ve 4 adet integratör geremetedir. Elimizdei Fnc ve Integratör ü subsystem içerisinde çoğaltma için mausun sağ tuşu ile Fnc nin üzerine tılayıp boş bir yere sürüleyere çoğaltma işlemini gerçeleştirebiliriz. Aynı şeilde integratör de 3 adet daha çoğaltılır.

14 4. Mu ın görevi sinyalleri birleştirmetir. Bu blo ile onum, hız, sistem girişi ve ontrolcü girişi sinyalleri te bir sinyalde birleştirilere, ilgili fonsiyondai arşılığını tanımlayabilme için fonsiyonlara ayrı-ayrı girilir. Bu nedenle Mu a Fnc den onum ve hız girişi ile Step bozucu eti girişi ve PID ontrolcü girişi olma üzere toplam 6 giriş yapılması geremetedir. Dolayısıyla olan Mu girişinin çoğaltılması geremetedir. Bunun için Mu çift tılanara Bloc Parameters çağrılır. Number of inputs ısmı yerine 6 yazılara Bloc Parameters apatılır. Mu ın 6 girişli olduğunu görecesiniz..

15 5 Yuarıdai modeli elde etme için mausun sol tuşunu ullanara sinyalleri gereli blolara iletiniz. Gain ve PID mausun sağ tuşu ile tılanara Format-Flip Bloc omutu ile sinyal aışına uygun olaca şeilde yönü değiştirilir. Sum ise üzerine çift tılanara icon shape ten rectangular seçilir, ayrıca list of signs ile -. girişleri ayarlanır. To Worspace ise yine çift tılanara save format Array e dönüştürülür. Tüm To Worspace lerde aynı işlem yapılma zorundadır.. Step basama yüseliği blo üzerine çift tılanara Final Value ısmı.5 olara ayarlanır i taşıtımıza giren bozucu eti.5m li bir basama gibi düşünülsün. 3. Fonsiyonların üzerleri çift tılanara diferansiyel denlemlerimiz simülin formatında epression bölümlerine sırasıyla yazılır. M u[] u6 M c u[] u[3] u[4] Mu y y u6 u[5] u[6].... = ( / M) c u6 Denlemlerimiz:.... = ( / M ) c y u6 Matlab Formatında: ) (-/m)*(c*(u[]-u[4])*(u[]-u[3])u[6]) ) (-/m)*(c*(u[4]-u[])*(u[3]-u[])*(u[3]-u[5])-u[6])

16 6 4. Subsytem içindei To Worspace ürerine çift tılayara variable name (Örne: ) değiştirilir. Aynı şeilde il başta açılan simülin sayfası olan ii_sd_tasit içerisindei To Worspace ismi de t ile değiştirilir. Bu şeilde. fonsiyona ait olan onum olara, cloc -zamana bağlanan To Worspace ise t olara tanımlanmış olur. 5. ii_sd_tasit sayfasındai subsystem mausun sağ tuşu ile boş bir yere sürülenere çoğaltılır ve isimleri ayırt edilebilsin diye pasif ve atif olara değiştirilir. 6. atif subsystemin üzerine çift tılanara endi sayfası açılır. Buradai To Worspace ismi den c ya değiştirilir. 7. Matlab program sayfasından yeni bir m-file dosyası açılır.bir isim verilere aydedilir. Bu m-file dosyasına aşağıdai parametreler yazılara tanımlanır. m=9; m=4; c=; =3; =; 8. Bu m-file dosyası debug-run omutu ile çalıştırılır. 9. Yeni bir m-file dosyası açılara farlı isimde aydedilir. Daha sonra aşağıdai omutlar yardımıyla bu dosya sayesinde grafi çıtıları alınabilecetir. figure plot(t,,'blac',t,c) legend('yer Degisimi','Kontrolcülü'); label('zaman (s)') ylabel('onum (m)');

17 7. ii_sd_tasit dosyası start simulation ionu yardımıyla çalıştırılır. Daha sonra grafi dosyası (m-file) debug-run omutu ile çalıştırılır ve simülasyon sonuçları elde edilir.. Aşağıdai gibi pasif ve atif ontrol grafileri üst üste çımalıdır. Bunun nedeni PID parametrelerinin her ii subsystemde aynı olmasıdır (,,). Şimdi atif subsystemdei PID parametrelerini P=, I=, D= olaca şeilde, pasif subsysteminde ise Gain in içindei değeri yapara PID ontrolcüyü etisiz hale getirelim. Bu şeilde simülasyonu yeniden yapıp, grafi dosyasını yeniden çalıştıralım.

18 8. atif subsystemdei PID parametrelerini P=5, I=, D= yapara işlemleri terarlayalım. 3. Parametreleri P=, I=, D= yapara işlemleri terarlayalım. 4. Parametreleri P=, I=, D= yapara işlemleri terarlayalım.

19 9 5. Parametreleri P=, I=, D=3 yapara işlemleri terarlayalım. 6. Parametreleri P=3, I=., D=. yapara işlemleri terarlayalım. 7. Yuarıdai grafiği elde etmeyi başardıysanız, deneyi başarıyla tamamladınız demetir. Bir şeyler öğrenmiş olmanız dileğiyle terar görüşme üzere!

20 Grup: Ad-Soyad: No: Süre: d OTOMATİK KONTROL ÖZEL LABORATUARI. 3 serbestli dereceli bir sistemde aç adet diferansiyel denlem elde edilir? ( P). Açı çevrimli ontrol ile apalı çevrimli ontrol arasındai temel farı şeil çizere açılayınız? ( P) 3. Gecime zamanı, Yüselme zamanı, Tepe zamanı, Masimum Aşma Yüzdesi, Yerleşme zamanını aşağıdai grafite yerlerine yazara belirtiniz? (3 P) 4. PID Kontrolde P, I ve D azançlarının sisteme arateristi etilerini açılayınız? (4P) Arş. Gör. Muzaffer Metin Başarılar!