Akışkanlar Mekaniği II Yarıyıl Ders Planı

Transkript

1 55 kışknl Mekniği II Yııl Des Plnı Hfl Konl kışkn Hekeinin difensiel nlii Hekei Tkiben Tüe kmı e kis denklemine g. 3 İki e Üç bol kıml i kis denklemlei 4 NIER-STOKES, EULER, BERNOUILLI denklemleinin genel eimi 5 POTNSİYEL KIM, İRROTNSİYEL KIM kmlı 6 R SIN-I 7 Komleks onsiel, Bı Öel kım Biçimlei: Unifom kım, köşe İçinde kım, Bsi Gid, 8 Knk / K Dble (Diol), Diesel Silindi Efınd kım. Süükleme e Tşım Olşm. 9 İki Bol isko e klı kımın incelenmesi GİRDPLIK kmı, COUETTE kımı POISEUILLE kımı, Renolds Sısının kım üeindeki ekisi R SIN-II 3 Dönel geomeilede kışl, bo süünme kılı 4 Ken (Sını) Tbk Teoisi Knkl. [kışknl Mekniği Fnk M. Whie Tükçesi : Kdi Kıkköü, Ekn de Lieü Yınei 4. kışknl Mekniği Hbi Um Uldğ Üni. Yınlı 3. kışknl Mekniği Mhiin Soğkoğl, Bisen Yın Dğıım kışknl Mekniği Hlk Ös Boğiçi Üni., Inodcion o Flid Mechnics Robe W. Fo, len T. Mc Donld, 4 h Ediion John Wile-Sons - 6. kışknl Mekniği Poblemlei, Hsme Tükoğl e Ni Yücel, Gi Üni. Üniesie Linklei Lehigh Mechnicl Engineeing h://www3.lehigh.ed/engineeing/meche/ MIT Mechnicl Engineeing h://www-me.mi.ed Pde Mechnicl Engineeing h://me. Snfod Mechnicl Engineeing h://me.snfod.ed/

2

3 5. KIŞKN HREKETİNİN DİFERNSİYEL NLİZİ kışkn hekeinin inegl denklemleile nlii kış lnının olm dnışı d b dnışın çeşili cihl üeinde ekilei önemli ise kllnılı. Fk kış lnı içeisinde delı bilgie ihiç s e noksl değelein bilinmesi geekios difensiel nli kllnılmlıdı. 5.. Külenin konm denklemi Külenin konm d diğe bi ifde ile süeklilik denkleminin üeilmesindeki emel klşım, d, d e d bolın shi difensiel bi hcim ( d ) için, gien e çıkn külesel debilein eşiliğidi. Giiş e çıkışki büüklüklee i değele Şekil 5. de çıklnmışı. d d ( ) d Şekil 5.. Dü üeli bi difensiel hcme gien e çıkn külesel büüklüklein göseimi Konol üeleinden geçen Konol hcmi içindeki ne külesel debi külesel debideki değişim önündeki ne küle kısı, [( ) ] ( ) ( ) ( ) d dd ddd konol hcmi içeisindeki küle değişimi, ( d ) ddd oldğn göe, bi bol süeklilik denklemi, I/

4 ( ) ( ) e denklem çılıs; elde edili, b denklem bi boki en genel külenin konm (süeklilik) denklemidi. B denklemin dh bsi fomlının kllnıldığı bı öel dml (sıml) şğıd incelenmekedi:. Klı kış için;. Klı e sıkışıılm ( sb ) kış için; d d sb Bi bol kış için önünde ıln nlile diğe bol genişleilise ( e önlei), b dmd koodin bğlı üeden geçen debilee he bi ön için bie eimin eklenmesile, ( ) ( ) ( w) denklemi elde edileceki. B denklem eköel fomd; ( ).... ( ) ( ) (. ). şeklinde ılbili. Diğe fn, D D. oldğndn, süeklilik denklemi için en gın kllnıln üç bol genel denklem oln, D. D denklemi elde edili. B eni denklem, süeklilik denkleminin silindiik e küesel koodinl genişleilmesi çısındn büük önem şı. B denklemin ine bı öel dml (sıml) için dh bsi fomlı mec: I/

5 I/3. Klı kış için; ( ).. Klı e sıkışıılm ( sb ) kış için;. Süeklilik denkleminin silindiik koodinldki ifdesi kıd eilen eköel denklem dımıl kollıkl blnbili. Silindiik koodinldki ön nımlmlı Şekil 5. de göseilmiş ol, ılck işlem genel denklemdeki eköel oeölein, nımlmlı ile bilike, keen koodinldn fklı olk, silindiik koodinld değei dn fklı, şğıdki biim ekö üeleini gö önüne lmkı: Şekil 5.. Silindiik koodinl i önlein göseimi Biim ekölein üeleinden nlşılcğı üee, eköel çıml geçekleşiiliken, / eimi ile işlem ken dikkli olnmlıdı. Öneğin önündeki şğıdki işlemde; [ ]. ( )

6 I/4 olckı. B dmd; ( ).. e üç-bol süeklilik denklemi için; ( ) ( ) ( ) ifdesi elde edileceki. Denklemin dh bsi hle indigendiği öel dml şnldı:. Klı e bi-bol ( önü) kış, ( ) ( ). Klı, sıkışıılm e bi-bol ( önü) kış, ( ) ( ) sb d d. 5.. Hı lnı İçeisindeki kışkn Pikülünün İmesi Keen koodinld bi hı lnının, Şekil 5.3 de göseilen hehngi bi e d nındki ekö fom e mnın fonksion olk; ( ) ( ) d d d d d,,,,,, ılbili. Pikül hıındki değişim d olm difensiel; d d d d d ikül imesi ise, b değişimin mn göe üei lınk; { { { d d d d d d d d w şeklinde bln. B son ifde eköel fomd, hekei ki eden üe (olm üe) oeöü kllnılk şğıdki denklemle ifde edilebili: { Yeel ime ime Konekif olm imesi ikln w D D

7 B denklemde, son eim ( / lokl imei gösemeke ol, eğe kış klı ise, sdece b eim sıfı eşii. Diğe eimle ise konekif imee i bileşenledi e hehngi bi nınd heke doğlsnd hıın değişimini kkeie ede. Konekif ime, ikül düşük d üksek bi hı bölgesinden esi bi bölgee geçiğinde geçekleşi. Öneğin klı ejimde kış hlindeki bi ikülün; lüle giişi öncesi e lüle giişi sonsınd konekif ime (kış klılığın kşın) mec. Yeel (lokl) ime ise nck, ksı kış lnı içeisinde ikülün mn göe hıının değişmesi ile o çık. Şekil 5.3. Bi kışkn ikülünün e değişimesi e öüngesi Tolm ime denkleminde e ln konekif ime eimlei eköel fom, w (. ) ılbili. Yeel ime eiminin eklenmesi sonc, olm imee i denklemin D (. ) D şeklinde kllnımı gındı. B denklem dımıl, öneğin, bi bol ( önü) kış için geçeli, denklemi elde edili. Diğe fn, ime eköel bi büüklük oldğndn skle bileşenlei cinsinden, I/5

8 I/6 şeklinde ılbili. Skle bileşenlein,, e doğlsndki çılımlı şğıdki eilmekedi: w w w w w D Dw w D D w D D ) ( ) ( ) ( Silindiik koodinld ime ifdesini bilmek için denklemi olşn eköel oeölein sö kons koodin çılımı geeklidi. Hı e nbl (gdn) oeölei, [ ] kllnılk olm ime denklemi, D D şeklinde bln. Skle bileşenlei cinsinden, denklemile e doğlsndki skle bileşen ise, ( ) D D işleminin ılmsı sonc; denklemile ifde edili. Tüeilen b denklemle, kış lnı içeisinde hehngi bi ede ikül imesini Elein klşımın göe nımlmkdı. Yni sbi bi koodin sisemi efens lınk, kışkn ikülü ilenmekedi. Lgngin klşımınd ise kışkn ikülünün oison, hı e imesi mnın fonksion olk nımlnı. B dmd efens lınn koodin sisemi, kışkn ikülü ile bilike heke emekedi. Yklşımlın fklılığın kşın, lşıln sonçl nıdı.

9 5.3. kışkn çcığının kinemiği Tnımlnmış bi külesi oln sons küçük bi kışkn çcığını gö önüne ldığımıd, kşı kşı kldığı e değişime e şekil değişime (defomson) ülei Şekil 5.4 de göseilmişi. e değişime şekil değişime Şekil 5.4. Bi kışkn ikülünün kşı kşı kldığı e e şekil değişime ülei 5.3. Linee e değişime (öeleme) Linee e değişime (öeleme), bi kışkn çcığının en bsi hekei ol; çcığı olşn üm nokld hıl eşii. Pçcık hı gdnı olmdn Şekil 5.5 de göseildiği gibi, kı bi cisme bene şekilde öeleme hekei. Heke sonsınd, üm köşeledeki e değişime mesfelei; ifdesine gn olck şekilde eşii. Şekil 5.5. Bi kışkn ikülünün linee (doğsl) e değişimesi I/7

10 5.3. çısl e değişime (dönme e oson) Bi kışkn çcığının çısl olk e değişimesi, çcığın fklı noklı sınd bi hı gdnı blnmsı sebebile o çık. Biim mndki çısl e değişime mikının (oson) heslnbilmesi için, ikülün kşılıklı olk bibiine dik iki ekseninin olm çısl hıının blnmsı geeki. B mçl Şekil 5.6 d göseilen kışkn ikülünün mekeinde blnn o noksının hıını, ile göseisek; noksındki hı Tlo seisi çılımı kllnılk şeklinde ifde edilebili. B dmd, o çigisinin oson sonsı kışkn çısl hıı; ω o oldğndn, α η / lim lim η. ( ) eşiliği kllnılk; ω o elde edili. Dönme önü için sin es önü oiif işeli kbl edileek, ob ekseninin çısl hıı nı önemle heslnıs; ω ob soncn lşılckı. Bi kışkn ikülünün oson, ikülün kşılıklı olk bibiine dik iki ekseninin olm çısl hıı olk nımlndığındn, gö önüne lınn ikülün ekseni efındki oson, he ikisi eksenine e bibileine dik oln o e ob eksenleinin olm çısl hıın eşi olckı. Tnım gn olk, ( ω ω ) ω o ob ıldığınd, ekseni efındki oson için geçeli ω ifdesine lşılı. I/8

11 Şekil 5.6. Bi kışkn ikülünün dönme mikının belilenmesi Bene şekilde diğe eksenle ( e ) efındki osonl için şğıdki denklemle geçelidi: w w ω, ω. Üç eksendeki oson bileşenlei kllnılk, oson eköü ( ω ω ω ω ) için, ω bğınısının geçeli oldğ göülü. Lieüde oson eine; şğıd eilen e osonn iki kın eşi olk nımlnn oisi (gid) eköü dh gın olk kllnılmkdı: ζ ω Fiiksel nlm iibile; oson olmdn heke eden bi kışkn ikülünün, sdece ğılık e bsınç kei ekisi lınd oson üemesi mümkün değildi. Diğe bi ifde ile; bşlngıç oson olmn bi kış, oson nck (ni glnn) km geilmesile o çık. Km geilmesi ile çısl defomson sındki on ise iskoie ile ilişkilidi e b nedenle kış isko ekile sö kons ise kış nı mnd osoneldi. Roson ile ilişkili diğe bi büüklük ise sikülson ol, bi kışkn ikülünün klı bi eği bonc dönme mikını belilemede kllnılı. Sikülson memiksel olk; kış içeisinde klı bi eği üeinde eğesel hı bileşeninin, çigisel inegli şeklinde ifde edili e, I/9

12 Γ. ds C denklemile heslnı. Roson ile sındki ilişki ise; iki bol bi kış gö önüne lındığınd, Γ ω d ( ) d şeklindedi Linee şekil değişime (doğsl defomson) Linee defomson sısınd kışkn elemeninin geomeik ısı, Şekil 5.7 de göseildiği gibi, bolmdn nen klı. Linee defomson kışkn elemeni içeisinde bi hı gdnı blnmsı dmnd o çık e kışkn hcminde bi değişime sebe ol. Şekil 5.7. Bi kışkn ikülünün linee şekil değişimi kışkn elemeninin nlğnd hehngi bi eksen için değişim; nck o eksendeki hıının, nı koodin göe değişiminin dn fklı olmsıl geçekleşi. Öneğin önünde bol bi değişim için / değei dn fklı olmlıdı. Umı emsil eden b dm için bi mn lığındki hcimdeki değişim, olckı. kışkn elemeninin biim hcim bşın, hcmindeki değişim onı ise, d ( ) lim d I/

13 şeklindedi. En genel hl için he üç boki (, e ) bileşenle bilike düşünüldüğünde, w. denklemine lşılı. Süeklilik denklemi ınc, sıkışıılm kış için hcimsel değişim değeinin oldğn dikk edilmelidi çısl şekil değişime (çısl defomson) çısl defomson Şekil 5.8 de göseildiği gibi, kışkn içeisinde bibiine dik iki eksen sındki çının değişmesidi. kışkn elemeninin dönmesi (oson), çısl bi şekil değişimini de bebeinde geii. Şekil 5.8. Bi kışkn ikülünün çısl defomson çısl defomson mikının (çıdki lmnın) hesbı için, Şekil 5.9 d eilen, meele gö önüne lındığınd (oson mikının belilenmesinde kllnıln klşım bene şekilde), dγ dα dβ d d d ılbili. Çok küçük çı değelei sö kons oldğndn, çısl defomson mikı için, γ& elde edili. Denklemdeki negif işe çıdki lmı, indisi ise çısl defomsonn ekseni efındki bileşenini emsil emkdi. çısl e e şekil değişimelein he ikisi de nı i hı gdnı ile o çıkmkdı. Genel olk, kışın isko oldğ dmld, hem oson hem de çısl defomson sö konsd. I/

14 Şekil 5.9. Bi kışkn ikülünün çısl defomsonnn belilenmesi Momenm denklemi e üeimi Newon n ikinci ke knn dm külesine shi sons küçük bi elemene glnmsı sonc elde edilen; d df dm d sisem denklemde, d / d eiminin bi hı lnı içeisinde heke eden ikül için ifdesi D / D di. B dmd, difensiel ke için, D df dm dm dm w D ılbili. nck momenm denkleminin m olk ifdesi için, kışkn ikülüne ekien üm kelein dikke lınmsı geeklidi. Bi kışkn ikülüne koodinı doğlsnd ekien üesel kele Şekil 5. d göseilmişi. σ τ τ τ σ τ Şekil 5.. Bi kışkn ikülüne ekien üe kelei I/

15 Yüesel kelee ek olk, kışkn elemenine ekien hcimsel ğılık kei sö kons ol, olm ekien ke; Tolm ke Yüe Kelei ğılık (Hcim) Kei df df d s F B olckı. önü için momenm denklemini üeiminde, küle için dm d ddd e üesel ke bileşenleinin ne değelei için, σ τ τ σ d σ dd ; τ d τ dd ; d dd τ τ bğınılı dikke lınıs; üelee ekien ne ke olmı, df df s s σ σ olckı. ğılık kei ise, df g d B τ τ d dd d dd τ τ d şeklindedi. B dmd önü için momenm denklemi, e df d dd σ τ τ dfs dfb g d d σ τ τ g denklemleile ile ifde edili. Tolm ime nımındn lnılk nı denklem; g σ τ τ D D. w Momenm denklemi e koodinlı için nı önemle üeileceğinden, eköel fom ek denklemle ifde edilmesi büük kollıkl sğl. nck b dmd nli edilen kışkn (Newonn e Newonn olmn gibi) göe denklemdeki geilme-şekil değişime ilişkisinin bilinmesi geeklidi. Momenm denkleminin en genel hli eköel fomd şğıdki şekilde ılbili: I/3

16 D. τ g D 5.4. Sıkışıılm Newonn kışkn için momenm ( Nie Sokes ) denklemi Momenm denkleminin oblem çöümleine glnbilmesi için kıd bhsedildiği üee, geilme (ses) ifdesinin hı e bsınç lnlı ile ilişkilendiilmesi geeki. kışkn üüne gn olk değişen b ifdele Büne Denklemlei olk dlndıılı. Lieüde lisns eğiimi için genellikle Newonn kışkn için üeilmiş büne denklemi kllnılı. Newonn kışkn için büne denklemi; τ PI µγ& ( µ )(. )I 3 şeklindedi. B ifdede ilk eim emodinmik bsıncı, ikinci eim defomson, üçüncü eim ise sıkışıılbililik ekisini emsil ede. Lisns seiesinde genellikle sıkışıılm kışknl ile ğşıldığındn son eim sıfı gide. B dmd sıkışıılm Newonn kışkn için büne denklemi, τ PI µγ& PI µ şeklini lı. Ses ensöünü olşn bileşenlein önündeki çılımlı ş şekildedi: σ P µ τ µ w τ µ Newonn kışknl için ses misi simeik oldğndn ( τ τ ; τ τ ) diğe önledeki ( e ) bileşenlede kollıkl ılbili. Momenm denkleminde blnn sesle ilişkili difensiellein çılımı ıldığınd; sıkışıılm Newonn kışkn için, σ τ τ µ µ P µ bğınılı elde edili. B dmd, bileşeni için momenm denklemi şğıdki şekilde ılı: I/4

17 D P g µ D B denklem he üç bo ksck şekilde eköel fomd, D { g { 3 µ 3 D Yecekimi Km G. kiskn Kelei (Noml Bsinc K. S.) (Tegesel S.) Imesi Hcim Kelei Yesel Kele şeklinde ifde edili. B son denklem, kışknl Mekniği glmlınd en gın kllnıln momenm denklemi ol, Nie-Sokes (N-S) denklemi olk isimlendiili. N- S denkleminin dh bsi fomlını gösemek üee şğıd önekle eilmekedi. ) Bi-bol ( önünde) kış g µ b) Bi bol ( önünde), klı e sdece önünde eçekimi mec oln kış d d d µ d d d c) Üç-bol, süünmesi ( µ ) kış D g Ele denklemi D c) Bi bol ( önünde), klı e süünmesi ( µ ) kış d d g d d e d d g d (Benolli Denklemi) I/5

18

19 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. I/6 ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER (5. BÖLÜM) PROBLEM şğıd eilen hı ofilleini gö önüne lk kışın iki bol e sıkışıılm olm şnsını değelendiini? ) ( ) ; 3 b) ; c) ( ) ( ) d) ÇÖZÜM İki bol e sıkışıılm kış için: ( ) ;, ; l c oldğndn, süeklilik denklemi; ( ) ( ) ( ) w olmlıdı. ) ( ) ( ) ( ) olm b) olbili c)

20 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. I/7 ( ) ( )...olm d)...olbili PROBLEM Klı, sıkışıılm, iki bol bi kış lnınd, e ( m /s ) olk eilmekedi. Hıın önündeki bileşeni için en bsi ifdei üeini? ÇÖZÜM. Klı: İki bol Sıkışıılm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f d ), ( en bsi komonen için ) ( f ( ),

21 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. PROBLEM 3 İki bol bi kış (dl koodinl); g U cos U sin π şeklinde eilmiş ise; ) Hı lnının sıkışıılbili oldğn göseini? b) Dm noksını esi edini? ÇÖZÜM ) ( ) [ ] g g U cos cos U π π g g U cos U cos π π b) g U cos U sin e π g cos πu ( π cos ) U sin sin e m π g U PROBLEM 4 düleminde sıkışıılm kış için, cos olk eilmekedi. ) için mümkün oln ifdei üeini? b) için mümkün oln kç çöüm dı? I/8

22 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. ÇÖZÜM ) ( ) ( ) cos ( ) ( cos ( 3 ) cos cos 3 cos 3 cos (, ) d f () 3 sin b) (, ) f () f() kefi bi fonksion oldğndn he bi f()seçimine kşılık gelen bi olcğındn çöüm sısı sonsd. PROBLEM 5 Lmin sını bk için, cu oldğn göe; ) önündeki hı bileşeni için en bsi ifdei bln? b) 5mm e, 5m için m değeini bln? ÇÖZÜM İki bol sıkışıılm kış için; / cu d f ( ) cu 3/ I/9

23 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. cu f 4 3/ eğe ( ) oldğndn f ( ) cu 4 / 4 eğe m 4 PROBLEM 6 Şekilde göseilen lel diskle sındki kış için; Hı eğesel önde oldğn ( ), cidd km olmdığın e hı koodinı ile linee değişiğine göe, hı lnı için gn fomülü üeini e km geilmesini bln? ÇÖZÜM Genel hı eköü (, ), nck simei sö kons oldğndn ; ( ), Hı önünde linee değişiğinden; f () c f () Eğe c c ω ω h h Eğe h ω hf () f () ω h I/

24 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. ω τ µ µ h τ µ PROBLEM 7 Silindiik koodinld olk eilio. B sıkışıılm bi kış mıdı? ÇÖZÜM Süeklilik denklemi (sıkışıılm kış için) ( ) sıkışıılm PROBLEM 8 şğıd eilen hı ofili için;.5m s ) kış sıkışıılbili midi? b) kışkn ikülleinin (,)(,) noksındki imesi nedi? I/

25 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. ÇÖZÜM ) w b) 3.sıkışıılm m/s m/s PROBLEM 9 Bi difüöde lnın önündeki değişimi ( ) e olk eilmekedi ( :Giiş lnı ). He kesie ünifom bi kış sö kons oldğn göe; ) Hı e ln değişimini çiini? b) İme için denklem üeini? ÇÖZÜM ) e e e I/

26 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. b) e e ( e ) e PROBLEM Klı iki bol bi kış için,.(s - ) olk eilmekedi. ) f () e f () için fomül üeini? b) (, ), den (, ) (, ) e, noksın bi ikülün lşmsı için geekli süei bln? c) İme eköünü bln? ÇÖZÜM ) d d d d d d ln c d * c e c * e f () Bene şekilde, e f () b) (, ) (, ) e lşmk için geçen süe; e.693s he ikisi de eşi. e.693s için bene şekilde (, ),. 39s I/3

27 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. I/4 c) f f e d d f d d PROBLEM Dikdögen köşe içindeki bi kış için hı eköü,.. ( ).3 s olk eilmekedi. Şekilde göseilen biim ke için sikülson heslını? ÇÖZÜM Γ s d. ( )( ) d d ds.. d d Γ b b c c d d d d d d ( ) ( ) b d c c b d Γ e e Γ b c d d c b kış iosonel oldğndn; ) ( Γ d

28 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. PROBLEM Plel lehl sı kış U b b oldğn göe; ) h üksekliğinde L nlğndki klı kon için sikülson heslını. b b) h e h b için sikülson bln? c) Sokes eoemi ile Γ heslını? ÇÖZÜM ) Γ. d s Γ d L oldgndn Γ () e (4) eğe Γ () h h Γ UL b b b) b h h b c) Sokes eoemi Γ ( ) UL Γ 4 Γ d Ld h h Γ UL nı sonç b b I/5

29 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. I/6 PROBLEM 3 Diesel bi bo içeisinde m gelişmiş kış şlı lınd hı ofili m R olk eilmekedi. ) Linee e çısl defomson onlını bln? b) Gid (oisie) eköü nımlını? ÇÖZÜM ) Hcimsel genleşme onı. sıkışıılm şı µ σ ε ε ε Linee defomsonl ε ε ε çısl defomsonl γ & γ & m R γ& b) oisi eköü ; ζ m R

30 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. I/7 PROBLEM 4 Plel lehl sındki kış hı lnı m b U oldğn göe; ) Linee e çısl defomson miklını bln? b) oisie eköünü nımlını? c) Mksimm oisiinin olşğ nokı nımlını? ÇÖZÜM ) ( ) w w τ τ m b U µ τ b) w ζ b U ζ m c) oisie b m de mksimm ol.

31

32 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. I/8 KIŞKNLR MEKNİĞİ II DERSİ I. R SINI ÇÖZÜMLERİ Tih: 9//3 Süe: 75 dk. SORU (3). şğıd bı iki-bol kış lnlın i hı bileşenleinin denklemlei eilmekedi. B denklemle doğlsnd eilen kışldn hngilei sıkışıılm kış olk değelendiilebili, nli edini? ) ) ( 3 b) c) sin cos U U d) B / / No: Denklemlede mnı; U, e B ise sbi ksılı gösemekedi. Çöüm ) İki bol kış ( ) ;, ) Sıkışıılm kış ; l c B dmd süeklilik denklemi ; ( ) ( ) ( ) w ) ( ) ( ) ( ) sıkışıılbili b) sıkışıılm c) Süeklilik denklemi (sıkışıılm kış için) ( ) ( ) ) sin ( cos U U cos cos U U sıkışıılm

33 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. I/9 d) Süeklilik denklemi (sıkışıılm kış için) ( ) B sıkışıılm SORU (). şğıd iki-bol e sıkışıılm oldğ bilinen kışl için hıın bi doğldki bileşeni eilmekedi. Diğe öndeki hıın en bsi bileşenine i bğınıı üeini? )? 3 b)? sin 3 Çöüm ). Klı :.. İki bol Sıkışıılm l ( ) ( ) ( ) 3 ) ( f En bsi bileşen için ) ( f dı. O hlde ol. b) ( ) ( ) ( ) ( ) sin 3 ) sin 3 ( B son denklemden kolc bln.

34 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. SORU 3 (3). İki bol bi kış i hı eköü i j ifdesile eilmekedi. Denklemde oison (,), mn (), e hı sısıl m, s e m/s biimleile nımlndığın göe, ) e önleindeki eel (lokl), konekif e olm imei ifde eden bğınılı üeini? b) m e nı için hı e olm ime eköleinin şiddei, önü e doğlsn esi edini? Çöüm 3 ) Pikül hıındki değişim d olm difensiel ; d d d d d Pikül imesi ise; d d d d d { d { d { d w D w 3 D { ikln olm imesi Konekie ime Denklemin İdelenmesi : w (. ) Yeel ime D (. ) D Bi bol ( önü ) kış; İme eköel bi büüklük oldğndn skle bileşenlei cinsinden ılbili. D w iki bol oldğndn D D () ( ) () 4 D D () ( )( ) ( ) 4 D ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) I/3

35 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. b) e imenin önü doğlsnd, e doğlsnd - di..8 m/s SORU 4 (). şğıd hı bileşenlei eilen iki-bol e sıkışıılm kışlın döngüsü (iosonel) kış olk değelendiili değelendiilemeeceğini belileini? ) 3( 6 ) b) Çöüm 4 ) İoesonel kış şı: ψ ψ ( 6) ( 3 3 ) 6 6 oldğndn iosoneldi. b) ψ ψ ψ ( ) ( ) ( ) oldğndn iosoneldi I/3

36 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. KIŞKNLR MEKNİĞİ II DERSİ I. R SINI ÇÖZÜMLERİ Tih: 4//4 Süe: 75 dk. SORU...(35)...he bi şık 5. Şekilde göseilen ddd bolındki difensiel elemene doğlsnd gien kışknın oğnlğ, hıı oldğn göe; ) difensiel elemenin nı doğldki çıkışınd oğnlk e hı değeleini fomüle edini, hngi klşımı kllndığınıı kısc ını? b) önündeki ne külesel debii een ifdei üeini/ını? c) difensiel hcim (konol hcmi) içeisindeki küle değişimini een ifdei üeini/ını? d) önüne i külenin konm (süeklilik) denklemini olşn? e) elde eiğini denklemi klı kış e sıkışıılm kış için ı ı ideleini, dki fkı belileini? f) d şıkkındki denklemi b ke klı e sıkışıılm kış şlının he ikisinin bilike geçeli oldğ dm glk m& sbi denklemini üeini? g) d şıkkındki denklemi, iki bol (,) kış genişleeek, süeklilik denklemini eköel fomd ifde edini e silindiik geomeile için iki bol (,) süeklilik denklemini üeini ( d nsıl üeileceğini ını)? Çöüm Çöüm des nolınd mec (Bkn: Süeklilik denklemi üeimi). SORU...(5) şğıdki kml sındki emel fkı kısc beliini / şekil d denklem dımıl ifde edini? kışın difensiel nlii kışın inegl nlii klı kış sıkışıılm kış döngüsü (iosonel) kış süünmesi (idel) kış bi bol kış iki bol kış kışkn elemeni için: öeleme hekei - dönme hekei kışkn elemeni için: linee defomson - çısl defomson kışkn elemeni için: eel ime konekif ime-olm ime kışkn elemeni için: oson - oisi (gid) sikülson Çöüm Çöüm des nolınd mec (Bkn: kışkn hekeinin dif. nlii). SORU 3... (4) şğıd bı iki-bol kış lnlın i hı ekölei eilmekedi; i j ; i i.. (: sbi bi sı) 4 8 π π ) eilen kışlın sıkışıılm e döngüsü kış koşllın gn ol olmdıklını değelendiini? b) eilen kışl için olm ime eköünü een ifdelei üeini? Çöüm 3 Çöüm şmlı için des nolın bkını. I/3

37 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. KIŞKNLR MEKNİĞİ-II DERSİ. R SINI Tih: 7//5; Süe: 6 dk. SORU (5 ). Lmin sını bk içeisinde blnn bi kış için hı bileşenlei; / 3/ ; olk eilmekedi. eilen kış için, e önleindeki eel (lokl), konekif e olm imei ifde eden bğınılı üeini? SORU (5 ). İki bol klı bi kış i hı eköü; i B j ; - (ms) -, B-.5 (ms) - olk eilmekedi. ) kış sıkışıılm mıdı, göseini? kış döngüsü müdü, göseini? SORU 3 (5 ). Plel lehl sındki kış i hı eköü şğıd eilmekedi. e b değei bilinen bol sbile oldğn göe, ) Linee e çısl defomsonlı bln? b) Gid (oisi) eköüne i ifdei üeini? c) e b sbileinin bon belileini? b i SORU 4 (5 ). şğıd Benolli Denklemi ile ilgili sol hkkındki omlınıı çok kıs olk (ifdele, çiimle, d denklemle dımıl) beliini? ) Momenm denklemini kllnk, Benolli Denklemini elde emede hngi sıml kllnılmkdı? b) Klı e ksı kışld kllnıln Benolli Denklemlei sındki emel fkı belieek, he iki kış i bi glm öneği eini? c) Temodinmiğin I. Knn ile Benolli Denklemi sındki fk/fklı beliini? Döngülü (osonel) e döngüsü (iosonel) kışld, Benolli Denkleminin kllnımı çısındn he hngi bi fk olş m, beliini? I/33

38 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. 6.. Ele Denklemi 6. İDEL (SÜRTÜNMESİZ) KIŞLR Tüm geçek kışknlın bi iskoiesi dı. nck kışknl mekniğinde biçok oblemin çöümünde iskoienin ihml edileek şıılmsı sık sık bşln bi old. B dmd nli dh kollşı. Çünkü km geilmelei sö kons değildi. Sıkışıılm kışl için eilen Nie Sokes denkleminde µ lınıs, D g P D Ele denklemi olk bilinen süünmesi kış i genel denklem elde edili. Eğe koodinı düşe ekseni emsil edese (oiif ön kı doğ olmk üee); k g g k g B dmd Ele denklemi; D g P D e,. g fomnd ılbili. ( ) P 6... Ele denkleminin kım çigisi bonc inegli (Benolli denklemi) Klı bi kış için kım çigisi e öünge çigisi nı oldğndn kım çigisi bonc heke eden bi idel ikülün denklemi; P g s s s II/

39 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. Eğe kışkn ikülü kım çigisi üeinde ds kd ol kedese; bsınç, hı e ükseklike ds bonc değişimle, P ds dp, ds d e ds d s s s bğınılıl eili. B dmd kıdki denklem ds ile çılı e eimle sdeleşiilise; dp gd d kım çigisi bonc sbi bi değee shi, dp g sbi denklem elde edili. Eğe kış sıkışıılm ise ( c ); P g c elde edilen denklem Benolli Denklemi dını lı. Denklemin kllnımınd ş sınılml sö konsd: ) klı kış, b) sıkışıılm kış, c)süünmesi kış e kım çigisi bonc kış Ele denkleminin kım çigisi nomli bonc inegli kım çigisi nomli bonc, eçekimi kei ihml edildiğinde; P g n n n R P n R denklemi elde edili. B denkleme göe; bsınç, kım çigisi eğilik mekeinden klşıkç. Eğe kım çigilei dü ise, eğilik ıçı sons gideceğinden bsınç değişimi sıfı gide. 6.. Benolli Denklemi Benolli denklemi üeiminin ıldığı sınılml bğlı klmk şı ile kım çigisi üeinde hehngi iki nok sınd bsınç-hı ilişkisinin blnmsınd kllnılbili. e noklı için; II/

40 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. P g P g 6... Temodinmiğin I. Knn e Benolli Denklemi sındki İlişki Süünmesi klı bi kış dmnd kım çigilei ile sınılnmış bi konol hcmi (kım üü) için Temodinmiğin I. Knn; de E & & g E& ç E& ü d s Q & W h g h g h Yıln kblle ; d ) Klı kış d b) Süünmesi kış ( E W& ) ü km c) Sıkışıılm kış ( ) d) Ünifom kış e kışkn öelliklei ( c he kesi lnı için ) & P P e) Q ( ) g g f) ( ) Q & şeklindedi. Sonç olk, P g c II/3

41 Tüm ın hklı Doç. D. Bülen Yeşil ii. İinsi çoğlılm. eneji denklemi ıln bı kblle sonsı Benolli denklemini emekedi. nck b iki denklem fklı klşım e kblle lınd üeildiği üee, bibiinden bğımsı iki denklem ol, nck öel dmld nı sonc emekedi. Temodinmiğin I. Knnnn b öel konm kış hehngi bi meknik eneji kbı olmdığını gösemekedi. kışın meknik eneji seiesini göseebilmek çısındn denklem olm eneji onsieli (H) cinsinden şğıdki şekilde ılı: P g H sbi g Klı, sıkışıılm e süünmesi bi kışın kım çigisi bonc hekeinde; P c ifdesinde c değei kım çigisinden kım çigisine göe fklı değele lı. nck b sınılml ek olk; kış bi de iosonel (döngüsü) ols, Benolli denklemi nen geçeli ol c değei üm kım çigilei için nı değei lı Ksı kışl İçin Benolli denklemi kım çigisi bonc ksı kış denkleminin üeimi için; c, µ e kım çigisi bonc kış kbllei lınd, P g s s s s ds s dp gd d işlemleini kiben, s ds P g P g s ds denklemi elde edili. II/4