İLERİ DİNAMİK. Yücel Ercan

Transkript

1 İERİ DİNAİK Yücel Ecan

2 İERİ DİNAİK Yücel Ecan Bnc Süüm: Aalı 4 SBN: Coght 4: Yücel Ecan Bu tabın telf halaı aaa att. Yaa tabın açı ana olaa ullanımına n vemşt. Kta ana beltme suetle sebestçe çoğaltılabl ve ağıtabl.

3 İERİ DİNAİK YÜCE ERCAN

4 v YAZAR HAKKNDA Yücel Ecan 943 ılına Kona a oğu. 96 ılına ll Eğtm Baanlığı nın üseöğetm busunu aanaa mane mühenslğ eğtm çn ABD e gtt. assachusetts nsttute of Technolog (T) en sıasıla lsans, üse lsans ve otoa eecelen alı. T e aaştıma asstanı ve aaştııcı olaa çalıştı. 97 ılına ua önee Ota Doğu Ten Ünvestes ne öğetm ües olaa çalışmaa başlaı. 976 a oçent olu. Ota Doğu Ten Ünvestes ne etö aımcılığı ve bölüm başan aımcılığı atı ıllaı aasına Aleane von Humbolt Vafı busu aanaa Almana a aaştımalaa bulunu. 98 e ofesö ünvanını alı. Anı ıl en uulan Ga Ünvestes ühensl-malı Faültes ne ean olaa atanı ve 99 e aa eanlı göevn süüü. 5 ılına TOBB Eonom ve Tenoloj Ünvestes ne çalışmaa başlaı. TOBB Eonom ve Tenoloj Ünvestes ne etö vellğ ve etö aımcılığı, eanlı, fen blmle ensttüsü müülüğü, bölüm başanlığı gb a göevlee bulunan aa halen anı ünvestenn mane mühenslğ bölümüne ofesö olaa çalışmataı. Yaa, sstem namğ, otomat ontol, aışan gücü ontolü, nam, moelleme ve smülason onulaına çalışmala amataı. Daha önce ühensl Sstemlenn oellenmes ve Dnamğ ve Aışan Gücü Kontolü Teos sml talaı aınlanmış olan aaın ut çne ve ut ışına aınlanmış vea sunulmuş 5 aa maale, bl ve ten aaştıma aou vaı. İnglce ve Almanca blen aa, evl ve çocu babasıı.

5 v İÇİNDEKİER Önsö v NEWTON KANUNU. Newton Kanunu. Knemat İlşle 4.. Konum 4.. Hı 4..3 İvme 6 EKANİK SİSTEER İÇİN HAİTON PRENSİBİ 7. Knet Enej ve Knet Ko-enej 7. İş ve Potansel Enej 9.. İ-Kuvvet Elemanı 9.. Kounumlu İ-Kuvvet Elemanı.3 Kuvvet Alanı.4 Vaason 4.5 Hamlton Pensb 5.6 Kabul Elebll Şatlaı 9.7 Hamlton Pensbnn Ugulanması.8 Kabul Elebll Şatlaını Ugulama Yöntemle 9 PROBEER 34

6 v 3 AGRANGE DENKEİ 4 3. Genelleştlmş Koonatla 4 3. Genelleştlmş Koonatla ve Hı Genelleştlmş Kuvvet agange Denlem agange Denlemnn Kullanımına Önele 47 PROBEER 5 4 RİJİT GÖVDESİ OAN SİSTEER Rjt B Gövenn Knet Ko-enejs Açısal omentum ve Atalet ats Knet Ko-enejnn atsle Cnsnen Yaılması Rjt Gövenn Asal Esenle Rjt Gövel Sstemlee Hamlton Pensbnn Ugulama Önele Rjt Gövel Sstemlee agange Denlemnn Ugulama Önele Vso Sönümleclee Sah Sstemlee agange Denlemnn Kullanılması Ralegh Yaılım Fonsonu 79 PROBEER 85 5 RİJİT GÖVDEERİN 3-BOYUTU HAREKETİ Eule Açılaı Açısal Hı Vetöünün Eule Açılaı Cnsnen İfaes Net oment Ugulanmaan Rjt B Gövenn Haeet 5.4 Eule Denlemle Gövenn Elsole ve Kaalı Dönme Esenle Gövenn Elsole Kaalı Dönme Esenle Newton Kanununun Rjt Gövel Sstemlee Doğuan Ugulanması 5.6. Hılı Dönen Toaç 5.6. Yavaş Dönen Toaç Yavaş Dönen Toaç Genel Hal 7

7 v Yuvalanan Ds Yuvalanan Kon Yalalı Yuvalanan Tee 36 PROBEER 4 6 JİROSKOP VE UYGUAAAR Josolu Gem Pusulası Bast B Pusula Denemes Hatalaını Düelten Josolu Gem Pusulası Schule Aaı 6 6. Josolu Saaç Hı Josou 67 PROBEER 68 7 JİROSKOPİK ETKİER ATNDAKİ ROTORARN DİNAİĞİ 7 7. Temel Roto Poblem Elast l Denlemle Esne le Otutulmuş Rotolaın Dnamğ Esne le Otutulmuş Rotolaın Dnamğ Falı ontaj Bçmlene Genelleştme 8 7. Esne le Otutulmuş Smet Olmaan Rotolaın Dnamğ 84 PROBEER 9 8 YAY SABİTİ PERİYODİK DEĞİŞEN SİSTEER Ya Sabt Peo Değşen Sstemlen Tteşmle Ya Sabt Negatf Olan B Sstem Ev Saaç PROBEER 5 KAYNAKÇA 6 DİZİN 7

8 v ÖNSÖZ ühensl eğtmne lsans üene outulan temel nam esle çn etel Tüçe ana olmasına aşın, üse lsans üene outulan le üee nam esle çn anısını söleme mümün eğl. Bu ta öellle bu htaca ceva veme üee haılanmıştı. Bu üen le nam onulaını ço asamlı ve aıntılı olaa ele alma ene, tabın çeğ b öneml b le nam esne e alablece onulala sınılı tutulmuştu. Öğencnn eğtmne aımcı olma amacıla oluğunca fala saıa öne velmş, bölümlen sonuna ço saıa oblem elenmşt. Yut ışına lsans üene öğetlen Hamlton ensbnn Tüe e üütülen mühensl lsans ogamlaına e almaması öneml b eslt. Bu eslğ telaf etme çn tabın başlangıcına Hamlton ensbnn anlatılığı b bölüm oulmuş, agange enlemle Hamlton ensbnen tüetlee le nam onulaına geçş aılmıştı. Yaa tabın tüm öğenclee ve eğtmclee ücets olaa eşmn sağlama amacıla, aın halaını hehang b aınevne evetmemş, telf halaını en üene tutmuş ve açı ana olaa eleton otama aılmasına olana sağlamıştı. Bu ta ana gösteme aıla çoğaltılabl ve ağıtılabl. Yücel Ecan Aalı 4, Anaa

9 NEWTON KANUNU Dnam oblemlenn çöümüne neeese ama temel alaşıman b ullanılı. Bunlaan b Newton Kanunun oğuan ugulanmasıı. Dğe alaşım se Hamlton Pensb aı velen olalı b alaşımı. Newton Kanunu ve Hamlton Pensb b ğe ene ullanılablen hotele. Yan bunla anıtlanma, oğululaı vasaılı. Dnamte ullanılan bütün enlemle bu hotelen bnen a a ğenen tüetlebl. Anca, amaşı oblemlee Hamlton Pensbnn ullanılması Newton Kanununa göe aha olaı. Bu bölüme amaşı oblemlee Newton Kanununun ullanımına aşılaşılan güçlüle açılanacatı.. Newton Kanunu Newton Kanunu b ütle açacığının momentumunun eğşme hııla bu açacığa ugulanan uvvet aasına F (.) t gb b lş oluğunu vasaa. Bu vetöel fae Newton Kanunu nun en ö fae bçm. ühenslte ullanılan muhtelf Newton Kanunu faelenn hes uaıa enlemen tüetlmşt. Şel. e XYZ esenle b atalet oonat sstemne at olsun. Atalet oonat sstem bu ssteme göe oonatlaı sabt olan b ütle açacığını ene tutma çn uvvet ugulanmasını geetmeen b oonat sstem. Öneğn ılılaa göe sabt b oonat sstem a a önmeen uaa sabt hıla aan b oonat sstem atalet oonat sstem olaa alınabl. Hehang b esen etafına önen a a vmele aan b oonat sstem se atalet oonat sstem olama. Z m F X Y X Şel.

10 Şele göülen atalet oonat sstem çne ütles m olan b açacı olsun. Bu açacığın oonat sstem çne e b onum vetöüle tanımlanmış olsun. Kütle açacığının hıı se onumun amana göe tüev oluğunan (.) t olaa aılabl. omentum se hı ve ütlenn çaımı oluğunan enlem (.) en aşağıa enlemle tüetlebl: m (.3) F ( m ) t (.4) F m (.5) Şm e n saıa ütle açacığınan oluşan jt (an esnemeen) b göve ele alalım. ıncı açacığa ğe açacıla taafınan ugulanan sstem ç uvvetlen tolamı F, ışaan ugulanan uvvetlen tolamı se F se, bu açacı çn Newton Kanunu aşağıa gb aılı: F F ( m ) (.6) t Yuaıa enlem n saıa açacığın he b çn aılı ve aılan bu enlemle tolanısa, aşağıa enlem bulunu: n F n F n t n ( m ) ( m ) t (.7) Newton un 3. Kanunu geeğ te ete eşt oluğunan ç uvvetlen tolamı sıfıı: n F (.8) Dolaısıla, n açacığa sah sstem çn Newton Kanunu aşağıa hal alı: n F t n ( m ) (.9) Ağılı meenn onumu C aşağıa enlemle tanımlanısa, n ( m v ) C v C n ( m ) (.) n açacığa sah sstem çn Newton Kanunu ağılı meenn onumu ve gövenn tolam ütles cnsnen aşağıa hal alı:

11 3 n F t ( ) C (.) onum vetöüle tanımlanan b notaa ugulanan b F uvvetnn ojne göe moment aşağıa gb tanımlanı: F (.) Te b ütle açacığı olan sstem çn, enlem (.4) ün taafı solan le çaılısa, F ( m ) (.3) t a a, F m (.4) bulunu. Dğe taaftan, t ( m ) m m (.5) ve m oluğunan, enlem (.4) aşağıa hal alı: F ( m ) (.6) t Bu enleme geçen ( m ) temne öüngesel açısal momentum en. Dolaısıla, sö onusu ütle açacığı çn Newton Kanunu, "açısal momentumun eğşme hıı momente eştt" olaa a fae elebl. n saıa ütle açacığınan oluşan jt b gövenn he b açacığı çn enlem (.6) aılısa ve bu enlemle tolanısa, n F n n [ F F )] ( ( m ) t (.7) bulunu. Denlem (.8) ullanılısa, n açacığa sah b göve çn Newton Kanunu altenatf olaa aşağıa gb e aılabl: n n ( F ) ( m ) t (.8) Denlem (.9) a a bunun altenatf olan enlem (.8), jt b gövenn namğn tanımla. Eğe ncelenen ssteme ben fala göve vasa, bu sstemn nam avanışını belleme çn he b göve çn bu enlemlen aılaa çöülmes gee. Anca bu çöüm sıasına gövele aasına aşılılı uvvetlen e çöülmes geetğnen Newton Kanununun ço gövel amaşı sstemlee oğuan ugulanması ou. Dğe b olu a enlemlee hılaın tüevlenn, an vmelen e almasıı.

12 4 Hamlton Pensb ve bunan tüetlen agange enlemle, b ssteme e alan gövele aasına uvvetlen çöülmesn geetmeen ve vmelen oğuan ullanılmaığı altenatf b öntem. Yöntem bu öellle olaısıla öellle ço gövel ve amaşı aılı sstemlen nam enlemlenn çıaılmasına büü olalı sağla.. Knemat İlşle ühenslte aşılaşılan e ço oblemn çöümüne haeet halne olan oonat sstemle ullanılı. Öneğn uçuş halne b uçağın anat tteşmlenn anal aılıen bu tteşmle uça gövesne sabtlenmş oonatlaa göe bellen. Uça gövesne bağlı olan oonatla se coğaf oonatlaa göe haeet halne. Coğaf oonatla se ünanın uaa haeet olaısıla ılılaa göe sabt olan atalet oonatlaına göe haeet ee. Newton Kanunu atalet oonatlaının ullanılmasını geet. Dnam oblemlenn çöümüne haeetl oonatla a şn çne gğne, Newton Kanununun geetğ vmelen haeetl oonatlaa göe tanımlanmış eğşenle cnsnenen bulunması ço o olabl. Şel. e XYZ-oonat sstem atalet oonat sstem. -oonat sstem se buna göe haeet halne olan b oonat sstem. Uaa b S notasının oonat sstemne göe onumu b vetöüle, -oonat sstemnn ojnnn XYZoonat sstemne göe onumu se b R vetöüle tanımlansın. -oonatlaının XYZoonat sstemne göe açısal hıı olsun. Z ρ X R X S Y X Şel... Konum S notasının atalet oonat sstemne göe onumu olan ρ aşağıa gb bulunu:.. Hı ρ R (.9) Hı onumun tüev oluğuna göe S notasının atalet oonat sstemne göe olan hıı ρ enlem (.9) un tüevn alaa ele el:

13 5 v ρ R (.) Bu enleme geçen R tem nn ojnnn atalet oonat sstemne göe hııı. Haeetl oonat sstem çne tanımlanan b vetöü ve he vetö gb bou ve önü le tanımlanı. Bu öellğnen hehang b vea s eğşse b tüeve saht. vetöünün, ve önlene bleşenlenn bolaı sıasıla, ve ; bu önlee bm vetöle e u, u ve u se, u u u (.) a a, u u u u u u (.) aılabl. Denlem (.) nn sağ taafına l üç tem vetöünün -oonat sstemne göe göel eğşm ve ısaca aşağıa şele göstelebl: t u u u (.3) -oonat sstem çne bou ve e sabt b A vetöü olsaı, bu vetöün eğşm saece -oonat sstemnn açısal hıı olaısıla ve ön eğşlğ şelne olabl. A vetöüne bu eğşm aşağıa gb oluu: u, u ve A A (.4) u vetöle e -oonat sstemne gömülü vetöle oluğunan, enlem (.4) le velen öntem bu vetölee ugulanısa, enlem (.) nn son üç tem aşağıa gb aılabl: u u u u u u ( u u u ) (.5) Şme aa ele elen sonuçla enlem (.) e ullanılısa, S notasının hıı aşağıa gb ele el: v R (.6) t Yuaıa sonuçla ate alınığına hehang b B vetöünün XYZ e göe eğşm hıını bulma çn aşağıa faenn ullanılableceğ göülü:

14 6 B t B t B t B (.7) Bu faenn sağ taafına e alan, öşel aante çne tem vetölen XYZ e göe eğşm hıılaını bulma çn b oeatö gb ullanılabl...3 İvme İvme hıın tüev oluğuna göe, S notasının vmes a, enlem (.6) nın tüevn alaa aşağıa gb bulunu: t t R v a ρ (.8) Denlem (.8) e öşel aante çne tem b vetö olu, bunun eğşm hıını bulma çn enlem (.7) le velen genel fae ullanılısa S notasının vmes aşağıa gb bulunu: t t t R a (.9) a a, t t R a ) ( (.3) Denlem (.3) un sağ taafına üçüncü tem meecl vme, öüncü tem se ools (cools) vmes. Newton Kanunu ugulanıen vmelen ullanılması gee. Atalet esen taımına vmelen bulunması se enlem (.3) an göülüğü gb ço amaşı b hal alabl. Bu uum Newton Kanununun amaşı sstemlee ullanılmasının önüne en öneml engel. B sona bölüme aıntılaı anlatılaca olan Hamlton Pensb se vmelee gee uma; saece hılaın ve onumlaın bellenmes etel. Bu üen öellle amaşı sstemlee ullanılması aha olaı.

15 7 EKANİK SİSTEER İÇİN HAİTON PRENSİBİ. Knet Enej ve Knet Ko-enej B ütle açacığı çn Newton Kanunu, F (.) t olaa fae el. Bu fae atalet efeans oonatlaına göe geçel olu, tem ütle açacığının momentumuu. omentumla ütlenn hıı v aasına aşağıa gb tanımlanan b aısal lş vaı (Şel.). ( v) mv v c (.) Buaa c ışı hııı. Eğe ütle açacığının hıı ışı hıının ço altına se aısal lş faes aşağıa gb lnee hale gel: ( v) mv (.3) c v Yaısal İlş T * m T Şel.

16 8 Şel. e gb (t) vetöüle tanımlanan b ol ve bu ol bounca haeet een m ütlesne sah b açacı olsun. F Z (t) m X (t) ( t t) X X Şel. Y Bu açacığa F gb b uvvet ugulanıen açacı ol bounca aa haeet eese aılan ş, F t vt v (.4) t t t t olaa aılabl. Kütle açacığının momentumunun büülüğü sıfı eğenen b eğene aa atıılıen açacığa aılan ş ütle taafınan net enej olaa eolanı ve aşağıa faele vel: T v (.5) Hı, aısal lş faesnen momentumun fonsonu olaa çelee enlem (.3) e ene oulusa, net enej faes aşağıa hal alı: T ( ) v ( ) (.6) Denlem (.6) an göülüğü gb net enej, ütlenn o ana momentumunun büülüğü nn b uum fosonuu. Denlem (.6) a Şel. e -esen bounca ntegal alınığınan, aısal lş eğsle -esen aasına alan alan net eneje eştt. Paçacığın hıı ışı hıınan ço üçü se enlem (.3) geçel olacağınan net enej aşağıa hal alı: T( ) (.7) m Şel. e aısal lş eğsle v-esen aasına alan alana net o-enej en. Knet o-enej v-esen bounca ntegal alaa, T * v ( v) ( v) v (.8)

17 9 faesnen bulunu. Paçacığın hıı ışı hıınan ço üçü se enlem (.3) ü ullanaa net o-enej çn aşağıa fae ele el: * T ( v) mv (.9) Knet o-enej hıın b uum fonsonu olu, net enej le aıştıılmamalıı. şı hıınan üçü hılaa net enej ve net o-enejnn büülüle b bne eşt oluğunan net enej bulma çn T mv faes ullanılagelmşt. Bu enlem net enejnn büülüğünü bulma çn ullanılabl, anca net enej momentumun fonsonu olaa fae etmeğnen avamsal olaa anlıştı. Knet enejnn momentumun b uum fonsonu oluğu, net o-enejnn se hıın b uum fonsonu oluğunun blnmes Hamlton Pensbnn ugulanması açısınan ço öneml.. İş ve Potansel Enej.. İ-Kuvvet Elemanı Saf b -uvvet elemanı ütles olmaan ve ucuna uvvet ugulanan b elemanı. Uçlaa ugulanan uvvetle uç aasına çlen oğu bounca, eşt büülüte ve ıt önlee. Şel.3 e temsl olaa çlen -uvvet elemanına, F uvvet sıfıen elemanın uunluğu le göstelmşt. se F uvvet ugulanığına elemanın uama mtaıı. δ F Eleman F Şel.3 F uvvet ugulanmış haleen elemanın bou δ aa uatılısa eleman taafınan aılan ş aşağıa enlemen bulunu: δw Fδ (.) ühenslte aşılaşılan -uvvet elemanlaına elemana ugulanan uvvet, geomet olamanın b fonsonu olaa eleman taafınan bellen. Kuvvet belleen bu fonsona elemanın aısal lşs en. Öneğn Şel.4 e aa uvvet, aın aısal lşsne göe aın esnemes cnsnen bellen. Eğe a oğusalsa bu lş a sabt K cnsnen aşağıa gb: F s K s (.)

18 F s F s s F s V* Yaısal İlş V s Şel.4 Şel.5 e sönümlece se uvvet, sönümlecnn aısal lşsne göe aın ucu aasına hı faı v cnsnen bellen. Eğe sönümlec oğusalsa bu lş sönüm sabt b cnsnen aşağıa gb: F b (.) F Yaısal İlş F f(v ) F F v.. Kounumlu İ-Kuvvet Elemanı Şel.5 Eğe b -uvvet elemanının uvvet saece elemanın uama mtaının te eğel b fonsonusa, elemanı efeans onumunan hehang b son uuma getme çn aılan ş başlangıç ve son uum aasına lenen olun şelne bağlı eğl. Böle b elemana ounumlu eleman en. Kounumlu elemana aılan ş eleman taafınan otansel enej olaa eolanı ve ge aanılabl. Öneğn, ounumlu b eleman olan Şel.4 e aı ele alalım. Bu eleman s uumunan b s onumuna esnetlen eleman taafınan eolanan otansel enej elemana aılan şe eşt olu, aşağıa faeen ele el: s V ( ) F ( ) (.3) s s s s

19 Yuaıa faeen göülüğü gb, otansel enej saece s e bağlı olan b uum fonsonuu. Denlem (.3) e esen bounca ntegal alınığınan, Şel.4 e aısal lş eğsle s esen aasına alan alan otansel eneje eştt. Potansel o-enej se, V * F s s ( F ) ( F ) F (.4) s s s s F s esen aasına alan alan otansel o- faesle tanımlanı. Yaısal lş eğsle eneje eştt..3 Kuvvet Alanı B uvvet algılaıcısının, algılaıcının onumu, hıı vea ğe öelllene bağlı olaa b uvvet hssettğ ua bölgesne uvvet alanı en (Şel.6a). Kuvvet algılaıcısını taşıan b elemana b başlangıç onumunan b s son onumuna gelen F uvvet ugulanıosa, algılaıcı vasıtasıla elemana uvvet alanı taafınan aılan ş aşağıa faeen bulunu: Alan taafınan elemana aılan ş s F (.5) Eleman taafınan aılan ş se bunun tes şaetls olu, aşağıa gb: Eleman taafınan alana aılan ş s F (.6) Denlem (.5) le tanımlanan ş ntegalnn saece başlangıç ve son uuma bağlı olması, an uç aasına ta elen olan bağımsı olması halne uvvet alanına ounumlu en. B uvvet alanının ounumlu olması çn geel olan şat olaca Z Algılaıcı s F Y Z O A C B Y X X (a) (b) Şel.6

20 bulunabl. Şel.6b e O ve B notalaını bbne bağlaan falı ol A ve C olsun. Bu uuma OAB ve OCB bounca alınaca ntegalle bbne eşt olacağınan, OABCO aalı eğs bounca alınaca ntegal sıfıa eşt olu. Yan aşağıa faele aılabl: a a, F ( F) ns C u F cul F f S u f u f (.7) (.8) Yuaıa fae ounumlu alanın matematsel tanımıı. Kounumlu alan taafınan elemana aılan ş V saece elemanın başlangıç ve son onumuna bağlıı. Bu ş eleman taafınan otansel enej olaa eolanı ve aşağıa enlemle tanımlanı: V çn V s F V F faes geçel. (.9) Öne: Yeçem Alanı Yeçem alanına b ütle açacığı uvvet algılaıcısıı. Elemanın ütles m se, alanın elemana ugulaığı uvvet (Şel.7) aşağıa gb negatf aal öne: Km F u (.) Elemana aılan ş eleman taafınan otansel enej olaa eolanı ve efeans uumuna göe aşağıa gb: Km Km V ( ) ( u ) (.) Bu m ütles e üene aın b notaa ve üeen aa uaıa olsun. Bu uuma, R ( R << ) (.) olu ve V () tem cnsnen aşağıa gb aılabl: Km Km V ( ) V ( R ) (.3) R R R R

21 3 m F R Düna Şel.7 a a, Km V( R ) V( R ) (.4) R Yeçem vmes g, K g (.5) R olaa tanımlanısa, ene R efeans alınığına elemana aılan ş ve eleman taafınan eolanan otansel enej aşağıa hal alı: V ( ) mg (.6) Denlem (.6) aılıen e üüne göe üselğ eğşmeen b efeans seçlmes gee. Eğe bu efeanstan uaı öne ölçülüosa şaetle, aşağı öne ölçülüosa - şaetle alınmalıı. Öneğn, Şel.8 e ülemsel bast saaç çn nn aımıla lgl baı seçenele seçlen efeansa göe V mg mgcos, mg mg( cos ) V mg mg a ( cos ) olaa aılabl. V vea [ ] 3 Refeans g Refeans Refeans 3 m Şel.8 a 3

22 4.4 Vaason B (t) fonsonu ve bunun omşusu olan b ( ) fonsonu olsun (Şel.9). Bu fonsonun bbnn omşusu olması eme, bütün t eğele çn ve temlenn ço üçü olmalaı emet. n vaasonu δ aşağıa gb tanımlanı: δ (.7) V() se (t) nn scala b fonsonu olsun. Agümanı b fonson olan fonsonlaa fonson fonsonu a a ısaca fonsonel en. V() n agümanı en a eğştlğne V nn eğene olan V eğşlğne V nn tolam vaasonu en ve aşağıa faele tanımlanı: V V ) V ( ) V ( δ ) V ( ) (.8) ( t (t), (t) (t) (t) t Şel.9 Eğe V ( δ) tem Talo sesle açılısa, V aşağıa gb aılabl: 3 V V V 3 V V ( ) δ δ δ V ( ) (.9) 3! 3! V 3 δ V δ V δ V (.3)! 3! Yuaıa faee geçen δ V, δ V, δ 3 V,... temlene sıasıla V nn bnc vaasonu (a a ısaca V nn vaasonu), V nn nc vaasonu, V nn üçüncü vaasonu,.. en. Bu temle aşağıa gb tanımlanı: δv V δ (.3) δ V V δ (.3)

23 5 3 δ V V 3 3 δ (.33) 3.. δ V nn tanımı ncelenğne, b fonson fonsonunun vaasonunu alıen ugulanan uallala, b fonsonun feanseln alıen ugulanan uallaın anı oluğu göülü. Öneğn, v b fonson se, δ mv mvδv olu. Eğe uaıa enleme v hı se, (.34) v olacağınan aşağıa faele aılabl: δ mv mvδv mvδ ( ) m δ ( ) (.35).5 Hamlton Pensb Daha önce e beltlğ gb Newton Kanunu oğuluğu vasaılan b hote. Dolaısıla anıtlanması belenme. Dnamğn bütün esaslaı bu hote üene nşa elebl. Newton Kanununun b ğe altenatf se ne oğuluğu vasaılan b hote olan Hamlton Pensb. Dnamğn bütün esaslaı Hamlton Pensb üene e nşa elebl. Hamlton ensb e Newton Kanunu gb saece nam enlemle ve; bu enlemlen çöümlen veme. Hamlton Pensb aşağıa gb fae el. Hamlton Pensb: B nam sstem t amanına sabt b onfgüasonan t amanına başa b sabt b onfgüasona geen atığı tab haeetten olan astgele, abul elebl, üçü vaasonla çn aşağıa Hamlton İntegaln sıfı aa. t t f δ t (.36) Bu ntegaln altına temle, ssteme bütün uvvet elemanlaı, uvvet alanlaı, atalet uvvetle ve ış uvvetle taafınan aılan ş temle. Denlem (.36) a geçen ş temle ssteme bulunan ounumlu -uvvet elemanlaı, ounumlu uvvet alanlaı ve ütlele çn, falı şele e fae elebl. Bunla aşağıa sıala ncelenecet. Kounumlu İ-Kuvvet Elemanı Ssteme ounumlu b -uvvet elemanı (öneğn b a) vasa, eleman taafınan aılan ş enlem (.) an aşağıa gb: δw fδ (.37)

24 6 Denlem (.3) en se aşağıa fae aılabl: δ V fδ (.38) Denlemle (.37) ve (.38) aşılaştıılığına, δw δv (.39) ele el. O hale, ounumlu -uvvet elemanlaı çn Hamlton ntegalne geçen ş temle enlem (.39) uaınca otansel enej vaasonu olaa a fae elebl. Kounumlu Kuvvet Alanı Ssteme ounumlu uvvet alanı (öneğn eçem alanı) vasa, ütle elemanı taafınan alana aılan ş çn enlem (.6) an, δ W f (.4) enlem (.9) an se aşağıa fae aılabl: δ V f (.4) Denlemle (.4) ve (.4) aşılaştıılığına, δw δv (.4) ele el. O hale, ounumlu uvvet alanlaı çn Hamlton ntegalne geçen ş temle enlem (.4) uaınca otansel enej vaasonu olaa a fae elebl. Kütle B ütle açacığının atalet uvvet (D Alambet uvvet) ma büülüğüne ve vme le tes öne. Dolaısıla, atalet uvvet olaısıla elemana aılan ş maδ, eleman taafınan aılan ş δw se aşağıa gb: δv δ W maδ m δ mvδv δv (.43) δt Denlem (.8) en se aşağıa fae aılabl: * δ T δv (.44) Denlemle (.43) ve (.44) aşılaştıılığına,

25 7 * δ W δt (.45) ele el. O hale, ütlele çn Hamlton ntegalne geçen ş temle enlem (.45) uaınca net o-enej vaasonu olaa a fae elebl. B ssteme ütlele, ounumlu -uvvet elemanlaı vea ounumlu uvvet alanlaı vasa, Hamlton ntegalne bunlala lgl ş temlenn (.39), (.4) ve (.45) numaalı enlemlee göe otansel enej ve net o-enej vaasonlaı olaa fae elmes büü olalı sağla ve bu üen tech el. Bu temle, δ j δ T * j δv (.46) şelne b aaa tolanı. Bu enleme tem agange Fonsonel olaa anılı ve aşağıa gb tanımlanı: * T j j V (.47) Kütlele, ounumlu -uvvet elemanlaı ve ounumlu uvvet alanlaı le lgl ş temle agange fonsonel cnsnen fae else, enlem (.36) le fae elen Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t t ( δ f δ t (.48) ) Denlem (.48) e e alan f δ temne saece vasa sönümlecle gb ounumlu olmaan elemanla le ssteme ışaıan ugulanan uvvet olamalaına at ş temle e alı. Hamlton ensbnn ugulanmasına ssteme ışaan ugulanan uvvet gşle e ş atılaınan aı be eleman olaa abul el ve bunlaa at ş temle Hamlton ntegalnn f δ ısmına ahl el. Bu bölüme önelee olalı olsun e öteleme elemanlaı ullanılmıştı. Ssteme önel elemanla vasa, bunla a uaıalee bene şele ele alını. Böle b uuma önel alaın otansel enejle ve önen ütlelen net o-enejle agange fonsonelne ahl el. Dönel sönümleclen ve ssteme ugulanan ış momentlen ş temle se Hamlton ntegalnn f δ ısmına ahl el. Çelge. e öteleme ve önel tüe lnee mean elemanlaa lşn blgle velmşt. Hamlton ntegal saece agange fonsonel vasıtasıla a a oğuan fae elmş ş temlen çeğnen ssteme ş amaan uvvetle, Newton Kanunu ugulamasının asne, oblem fomülasonuna gme. Öneğn, sütünmes atalaa eason uvvetle, uvalanan üelee uvvetle, ütles jt bağlantı elemanlaı (olla, halatla, vb.) taafınan ataılan uvvetle Hamlton ntegalne atıa bulunma. Bu elemanla lee göüleceğ gb geometc abul elebll şatlaına atıa bulunula.

26 8 Çelge. nee ean Elemanla Eleman T Fsel Eleman Dagam Yaısal İlş Hamlton İntegalne Katı Kounumlu İ-uvvet Elemanı Öteleme Yaı F ( ) F F Dönel Ya T t T T ( ) t V ( V ) ( t ) Kütle Sönümlec Öteleme Halne Kütle Dönel Kütle Öteleme Sönümlec F F T mv * T mv h bv,, Dönel Sönümlec T T T b t b m v, v b, v F T * F f δ Fδ b δ f δ Tδ bt δ Kuvvet Alanı Yeçem Alanına Kütle m g - V mg Dış Kuvvet F(t) F F(t) fδ F( t) δ Dış Zolama T(t) Dış oment T(t) T f δ T(t) δ nee vea Açısal Konum vea Hı Zolaması - ( t), v v( t) ( t), ( t) Hamlton ntegalne ş tem olaa e alma. Kabul elebll şatlaı olaa şlem göü. F uvvet T moment momentum h açısal momentum v hı açısal hı onum.açısal onum öteleme aı sabt t açısal a sabt m ütle atalet moment b öteleme sönüm sabt b t açısal sönüm sabt

27 9 Öne Şel. a velen ssteme maaa ütles. Bu sstem çn agange fonsonel ve ş temle aşağıa gb: mv m mg m (.49) 5) fδ T t) δ F( t) ( δ F δ (. f b, b b b T(t) m m F(t) v m, f Şel..6 Kabul Elebll Şatlaı Hamlton ensbnn faesne abul elebl vaasonlaan sö elmete. Kabul elebll şatlaı gu halne ele alınabl. Eleman abul elebll şatlaı olaa alanıılan bnc gu nematc lşleen oluşu. Konumlaın tüevlenn hıa eşt oluğu geçeğne aanı. Öneğn, b ütlenn onumu, hıı v se, v oluğunan bunlaın vaasonlaı aasıa a δ ( ) δv lşs vaı. İnc guba gen abul elebll şatlaı se, sstemn aısı ve geometen analanan şatlaı. Öneğn, Şel.a a sstem çn,, v, δ δ ve δ δv şatlaı aılabl. Şel.b e sstem çn se, e f, v e v f, δ e δ f δ ve δ v e δ v f δ şatlaı aılabl.,, f m e b, v, v (a), v (b) Şel.

28 .7 Hamlton Pensbnn Ugulanması Hamlton ensbnn ugulanması aşağıa aşamalaı çe: a) Sstem elemanlaının tanımlanması. (Dış uvvet ve moment gşle e be eleman olaa abul el.) b) Eleman ve sstem abul elebll şatlaının aılması. c) agange fonsonel ve ş temlenn aılması. ) İş temlene geçen uvvetlen eleman enlemlenen aılması. e) Kabul elebll şatlaının ugulanması. f) Hamlton ensbnn ugulanması. Yuaıa aşamalaan abul elebll şatlaının ugulanması genellle şlemle bounca e gelğne aılabl. Kabul elebll şatlaınan baılaı Hamlton ntegal altına vaason şlem öncesne vea sonasına ugulanableceğ gb, agange çaanlaı öntem e ullanılabl. Kabul elebll şatlaının ugulanış öntemle lee aı b ısıma ncelenecet. Öne : Şel. e velen sstemn nam enlemlen Hamlton ensbn ugulaaa ele eelm. B K F(t) Şel. Sstem elemanlaı: Kütle, ; a, K; sönümlec, B; olama uvvet, F(t). agange fonsonel: vm K (.5) İş temle: f δ F t) ( δ F δ (.5) F b b

29 Sönümlec çn eleman enlem: F b Bv b (.53) Eleman abul elebll şatlaı: v ; v ; v ; v (.54) Sstem abul elebll şatlaı: Hamlton ntegal: b F b b F F (.55) v v v v (.56) b F t δ vm K F( t) δf Fbδ b t (.57) t Sönümlecnn eleman enlem ullanılı ve abul elebll şatlaı ugulanısa, Hamlton ntegal cnsnen aşağıa hal alı: t δ K F( t) δ B δ t (.58) t Vaason şlem ugulanısa, Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t [ δ Kδ F( t) δ B δ]t (.59) t İntegaln altına bnc temn ısm ntegal alınısa aşağıa fae ele el: t t t t ( δ ) t δ t δt (.6) t t Hamlton ensbne göe t ve t amanlaına sstem onfgüasonunun sabt oluğu abul el. Bu üen t ve t e ssteme vaason ugulanama, an δ ( t ) ve δ ( t ) şatı vaı. Bu şat olaısıla enlem (.6) ın sağ taafına l tem sıfıa eştt. Denlem (.6) le ele elen sonuç, enlem (.59) a ullanılısa Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t t [ B K F ( t) ] δt (.6) Hamlton ensbne göe astgele δ vaasonlaı çn bu ntegaln sıfı olması gee:

30 t [ B K F ( t) ] δt t (Rastgele δ çn) (.6) Yuaıa ntegaln astgele δ vaasonlaı çn sıfı olablmes, anca δ n atsaısının an öşel aante çne temn sıfı olmasıla mümün olacağınan, sstemn nam enlem bu tem sıfıa eştleee aşağıa gb ele el: Öne : B K F(t) (.63) Şel.3 e b bast ev saaç göülmete. Saacın haeet ülemsel. Saacın elem notası üşe öne ( t) sn t şelne haeet etmee olanmataı. Bu sstemn nam enlemlen Hamlton ensble ele eelm. m Sütünmes elem g t) sn t ( Şel.3 Sstem elemanlaı: Kütle, m Knet o-enej: Şel.3 e m ütlesnn hı bleşenle göülmete. Bu hı bleşenlenn üşe ve ata öne ojesonlaı alınısa, m ütlesnn bu önlee hı bleşenle v ve v aşağıa gb bulunu: v sn (.64) v cos (.65) Bu bleşenle bbne oluğunan, m ütlesnn hıı aşağıa gb ele el: v m ( sn ) ( cos ) (.66)

31 3 Sstemn net o-enejs se aşağıa gb: [( sn ) ( cos ) ] (.67) * T mvm m T Potansel enej: [ sn ] * m (.68) Şeln altına efeans ülemn esas alaa otansel enej çn aşağıa fae aılabl: agange fonsonel: İş temle: V mg mg( cos) (.69) m mg (.7) [ sn ] ( cos ) Dışaan uvvet olaması olmaığınan ş temle sıfıı: f δ (.7) Hamlton ntegal: [ sn ] mg( cos ) t t δ m (.7) t Yuaıa faee vaason şlem alınıen δ ve δ oluğu unutulmamalıı. Za (t) ışaıan ugulanan b olama oluğunan hem ens hem e tüev bell ve bu temlen vaasonlaı sıfıı. Bu hususu ate alaa vaason şlem ugulanısa, Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t [ m δ m snδ m cosδ mgsnδ]t (.73) t δ çeen temlee ısm ntegal ugulanı, temle üenlen ve Hamlton ensb ugulanısa, aşağıa fae ele el.: m t t t ( m sn) m cos mgsn δ t (Rastgele δ çn) (.74) Yuaıa ntegaln astgele δ vaasonlaı çn sıfı olablmes, anca δ nın atsaısının sıfı olmasıla mümün olacağınan, bu tem sıfıa eştlense aşağıa enlem ele el:

32 4 m ( m sn ) m cos mg sn (.75) t a a, m mgsn msn (.76) Eğe sstemn haeet sıasına açısı üçü alısa, sn aılabl. Aıca ış olama fonsonu ( t) sn t ene oulusa sstemn nam enlem aşağıa hale gel: g snt (.77) Yuaıa enlem attheu enlem. Bu enlemn çöümü ve olanmış ev saacın avanışı lee aıca ncelenecet. Öne 3: Şel.4 e velen ssteme ütle ata ülem üene sütünmes olaa amataı. Bu ssteme Hamlton ensbn ugulaaa nam enlemlen ele eelm. K B (t) (Dış onum olaması) K Şel.4 Sstem elemanlaı: Kütle, ; a, K ; a, K ; sönümlec, B. Bu ssteme (t) uvvet olaması olmaığınan sstem elemanı olaa alınma. Faat abul elebll şatı olaa obleme ge. agange fonsonel: v m v m K ( t) K (.78) [ ] (abul elebll şatı) oluğunan enlem (.78) aşağıa hal alı: K ( t) K (.79) [ ]

33 5 İş temle: [ ( t ] δ f δ F δ B ) (.8) b Denlem (.8) aılıen, (t) ış olama oluğunan δ ( t) alınmıştı. Hamlton ntegal: δ ( t) oluğunu ate alaa, enlemle (.79) ve (.8) en Hamlton ntegal aşağıa gb aılabl: t δ t t t K [ ( t) ] K B[ ( t) ] δ t [ δ K [ t) ] δ K δ B[ ( t) ] ]t (.8) ( δ İntegaln altına l teme ısm ntegal fomülü ugulanı, temle üenlen ve Hamlton ensb ugulanısa, t t [ B ( K K ) K ( t) B ( t) ] δt (Rastgele δ çn) (.8) olu ve sstemn nam enlem aşağıa gb bulunu: Öne 4: B K K ) K ( t) B ( ) (.83) ( t Şel.5 e velen üesel saacın nam enlemlen Hamlton ensbn ugulaaa ele eelm. Bu ssteme ütlenn onumu ve ϕ oonatlaıla bellenebl. Bu oonat bbnen bağımsı oluğu çn bunlaa bağımsı olaa vaasonla ugulanabl. u ve u sıasıla ve φ e eğşmlen ütlee aatttığı ϕ haeet önlene bm vetöle. Θ ve φ nn tanımlanma bçmle olaısıla bu bm vetöle otagonal. Küesel ata ϕ u g m u ϕ Şel.5

34 6 Sstem elemanı: Kütle, m. agange fonsonel: T * V mv m mg (.84) oluğunan, Yuaıa enleme, v u sn ϕ u (.85) v ϕ sn ϕ (.86) ele el. -ülem efeans alınısa, çn aşağıa fae aılabl: cos (.87) Denlemle (.86) ve (.87), enlem (.84) e ullanılısa agange fonsonel aşağıa hal alı: İş temle: m ( sn ϕ ) mg cos (.88) Dışaıan ugulanan b uvvet olaması olmaığınan ş temle aşağıa gb: Hamlton ntegal: fδ (.89) Denlemle (.88) ve (.89) an Hamlton ntegal aşağıa gb aılabl: t t δ m( sn t t ϕ ) mg cos t ( m δ m sn ϕδϕ m ϕ sn cosδ mg sn δ )t (.9) İntegaln altına l teme ısm ntegal fomülü ugulanı, temle üenlen ve Hamlton ensb ugulanısa, t t [ sn cos sn ] m m ϕ mg δ ( m ϕ sn ) δϕ t t (Rastgele δ ve δϕ çn) (.9)

35 7 Rastgele δ ve δϕ çn uaıa ntegaln sıfı olması çn bu temle çaan atsaılaın sıfı olması geetğnen, sstemn namğn tanımlaan feansel enlem taımı aşağıa gb ele el: m mgsn m ϕ sn cos (.9) t ( m ϕ sn ) (.93) Denlem (.93) m ϕ sn temnn sabt oluğunu göstemete. Bu tem sstemn -esen etafına açısal momentumuu. Bu esen etafına ssteme hehang b moment ugulanmaığınan, başlangıçta sstemn sah oluğu açısal momentum sabt alı. Öne 5: Şel.6 a ssteme saaç ülemsel. Hamlton ensbn ugulaaa bu sstemn nam enlemlenn ve cnsnen ele elmes stenmete. Sstem aısınan göüleceğ gb ve bbnen bağımsıı. Sstem elemanlaı: Kütle, ; ütle, m; a, K; sönümlec, B; olama uvvet, F(t). agange fonsonel: v mv m K K mg m (.94) Kütlenn üselğ: m cos (.95) İş temle: f δ F( t) δ F δ (.96) F B B B K Sütünmes elem, F(t) (Dış uvvet olaması) g m Şel.6

36 8 Eleman abul elebll şatlaı: v v ; v ; v ; (.97) Sstem abul elebll şatlaı: v ; B B K K F F (.98) B K F v v v v (.99) B K F Sönümlec çn eleman enlem: m ütlesnn hıı: F b Bv B (.) m ütlesnn hıı Şel.7 e vetö agamınan bulunusa, v çn aşağıa m fae ele el: v m ( sn ) ( cos ) cos (.) sn v cos Şel.7 Hamlton ntegal: Sönümlecnn eleman enlem (.) ullanılısa ve abul elebll şatlaı ugulanısa, Hamlton ntegal ve cnsnen aşağıa hal alı: t δ m( cos ) K mg cos F( t) δ B δ t t (.) Vaason şlem ugulanısa, Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t [ δ m δ m δ m cosδ m cosδ m snδ t Kδ mgsn δ F( t) δ B δ]t (.3) İntegal altına tüevlen vaasonlaını çeen temlen ısm ntegal alınaa temle enen üenlense ve Hamlton ensb ugulanısa aşağıa fae ele el: t ( m) B K F( t) ( m cos ) δ t t m ( m cos ) m sn mgsn δ t (Rastgele δ ve δ vaasonlaı çn) (.4)

37 9 Yuaıa ntegaln astgele δ ve δ vaasonlaı çn sıfı olablmes, anca bu vaasonlaın atsaılaının sıfı olmasıla mümün olacağınan, sstemn nam enlemle bu atsaılaı sıfıa eştleee aşağıa gb ele el: ( m) B K m cos m sn F( t) (.5) m m cos mgsn (.6) Eğe saaç üşeen üçü açılala aılıosa öel hal çn enlemle aşağıa hal alı: ( m) B K m m F( t) sn ve cos olacağınan bu (.7) m m mg (.8).8 Kabul Elebll Şatlaını Ugulama Yöntemle Hamlton ensb b obleme ugulanıen eleman abul elebll şatlaı vaason alma şlem öncesne olalıla ugulanabl. Sstem abul elebll şatlaı se vaason alma şlem öncesne vea sonasına a a olalı olaa agange çaanlaı öntemle ugulanabl. Bu üç alaşım Şel.8 e velen sstem üene göstelecet. K K Gegn aaa Şel.8 agange fonsonel ve ş temle: Bu sstem çn eleman abul elebll şatı fonsonel ve ş temle aşağıa aılabl: v oğuan ugulanısa, agange * T V K K (.9) f δ (.) Sstem abul elebll şatı: (.)

38 3 Yöntem : Kabul Elebll Şatının Vaason İşlem Öncesne Ugulanması Denlem (.), enlem (.9) a ene oulusa, Hamlton ntegal aşağıa gb ele el: t δ K() K t (.) t Vaason şlem ugulanısa, t t [ δ 4K δ K δ] t (.3) olu. İntegal altına bnc temn ısm ntegal alınaa temle enen üenlen ve Hamlton ensb ugulanısa aşağıa fae ele el: t t [ 4K K ] δt (Rastgele δ çn) (.4) el: Sstemn nam enlem δ n atsaısını sıfıa eştleee aşağıa gb ele 4K K ) (.5) ( Yöntem : Kabul Elebll Şatının Vaason İşlemnen Sona Ugulanması el: Denlemle (.9) ve (.) ullanılısa Hamlton ntegal aşağıa gb ele t δ K K t (.6) t Vaason şlem ugulanısa, t t [ δ K δ K δ] t (.7) olu. İntegal altına bnc temn ısm ntegal alınısa, aşağıa fae ele el: t t [ δ K δ K δ] t (.8) Denlem (.) n taafının vaasonu alınısa, δ ve δ vaasonlaı aasına aşağıa lş bulunu: δ δ (.9)

39 3 Denlemle (.) ve (.9), enlem (.8) e ullanılısa ve Hamlton ensb ugulanısa, aşağıa fae ele el: t t t t [ δ K ()(δ K δ] t ) [ δ 4K δ K δ] t (Rastgele δ çn) (.) Sstemn nam enlem δ n atsaısını sıfıa eştleee aşağıa gb bulunu: 4K K ) (.) ( Yöntem 3: Kabul Elebll Şatının agange Çaanı Yöntemle Ugulanması Kısıtlaıcı şatlaın agange çaanı öntemle ugulanması haına aıntılı blg matemat talaına bulunabl. Buaa saece öntemn ugulanma şel matemat satlaa glmeen velecet. Bu öntem Hamlton ensbne ullanılıen abul elebll şatlaı eştllen b taafı sıfı olaca bçme, ϕ gb aılı. Eğe obleme n saıa ısıtlaıcı şat vasa, bunla ϕ, ϕ,., ϕ şelne aılı. t t ( δ f δ t (.) ) ntegalnn ϕ, ϕ,., ϕ n şatlaına tab olaa, obleme at astgele vaasonla çn sıfı olması le, n t t ( δ( λ ϕ ) f δ t (.3) n n n ) ntegalnn hehang b şat olmaan obleme at astgele vaasonla ve λ n nn astgele vaasonlaı çn sıfı olması anı nam enlemle ve. Buaa λ n (,, n) temle agange çaanlaıı. Şm bu öntem uaıa öne obleme ugulaalım. Bu uuma abul elebll şatı eştlğn b taafı sıfı olaca şele aşağıa gb aılabl: ϕ (.4) Hamlton ntegal ısıtlaıcı şatı çeece bçme aılısa, t δ ( t[ λϕ) ]t (.5) olu. Temle ene oulu ve Hamlton ensb ugulanısa aşağıa sonuçla ele el: t δ t t K K λ( ) t [ δ K δ K δ δλ( ) λδ ] t λδ t

40 3 t t [ ( K λ) δ ( K λ) δ ( ) δλ] t (Rastgele δ, δ ve δλ çn) (.6) Yuaıa faee enlemle bulunu: δ, δ ve δλ nn atsaılaı sıfıa eştlense, aşağıa K λ (.7) K λ (.8) (.9) Dat else uaıa üç enlemen b abul elebll şatı olan enlem (.4) le anıı. Ele elen enlemle aasına abul elebll şatlaının a e alması agange öntemnn b öellğ. Denlemle (.7), (.8) ve (.9) ullanılaa ve λ o else, sstemn nam enlem cnsnen aşağıa gb bulunu: 4K K ) (.3) ( Sınılaıcı Kuvvetlen agange Çaanıla Bulunması Kabul elebll şatını olaan elemana uvvet agange çaanınan bulunabl. Bunu gösteeblme çn Şel.8 e ssteme ve nn bbnen bağımsı hale gelmes çn n üene S gb haal b -uvvet elemanı oluğunu vasaalım (Şel.9). Bu elemanın uvvet sıfıen bou s, b λ uvvet ugulanığına uama mtaı se ϕ aa olsun. λ s S ϕ λ K İ-uvvet elemanı, S. aaa K Şel.9 Şel.9 a ssteme S elemanı taafınan aılan ş λδϕ oluğunan bu elemanın agange ntegalne atısı ş tem çne ve aşağıa gb: f δ λδϕ (.3)

41 33 Bu uuma Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t t ( δ λδϕ) t (.3) Ama, δ ( λϕ) ϕδλ λδϕ oluğunan, λδϕ δ ( λϕ) ϕδλ (.33) aılabl ve Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t δ ( t[ λϕ ) ϕδλ) ]t (.34) Şm S elemanı öle b eleman olsun, λ uvvetn aalaaa ϕ uamasını sıfı asın; an uamaan b öellğn taşısın. Bu uuma Hamlton ntegal aşağıa hal alı: t δ ( t[ λϕ) ]t (.35) Göülüğü gb, (.5) ve (.35) e ntegal faele bbnn anıı. O hale, agange çaanı λ, te gelme uvvetn ve.

42 34 PROBEER Aşağıa sstemlen haeet enlemlen Hamlton Pensbn ugulaaa bulun. Poblem. Poblem. F(t) K K B F (t) K B F (t) Poblem.3 Poblem.4 l ütles: Kütles ol, l K K g o 6 l g Not: l üşe öne haeet eeblo. ln atalet momentn hmal en. (t) Kütles, atalanmış ble. F (t) K Not: Notasal ütle boutlu olaa haeet eo. Poblem.5 Poblem.6 l K F(t) l K B g l Not: Kol üşeen üçü açılala aılıo. g m

43 35 Poblem.7 Poblem.8 K F(t) B B g Kütles ol: l g T(t) l Notasal ütle: K m Poblem.9 Poblem. (t) K g F(t) B Kütles ol: l B F(t) K g B K Notasal ütle: Poblem. Poblem. K F(t) Vso sütünme: B F(t) B K g Aaba ve ol ütles.

44 36 Poblem.3 Poblem.4 l K K m O Kütles ol ve maaa. Yeçem o. g l m aaala ve olla ütles. İle amıo. l 3 m B F(t) K3 Poblem.5 Poblem.6 Gegn R C Vso ata sütünmes: b K F(t) R ϕ g g 3 Kolla ve maaala ütles. Not: ütles notasalı. Vso sütünme: B Poblem.7 Poblem.8 K B e f Kütles ol K A a a b b B m g Not: Yataan üçü haeetle abul en. g B Not: Kol ütles. Yataan üçü haeetle abul en. c

45 37 Poblem.9 Poblem. K K m m g Kütles ol: l Sütünme uvvet µn (N Nomal uvvet) Poblem. Poblem. l uunluğuna el çne sütünmes aıo. m İ Vso sütünme uvvet bv g v m m ϕ g Dell laa m m3 Not: aaala ütles. Not: m ütles 3-boutlu haeete saht. Poblem.3 Poblem.4 v(t) İ O g m v Not: Sütünme o. ve oonatlaını ullanın ve geomet sınılamalaı agange çaanlaıla obleme ahl en. v g Not: Haeet ülemsel. Hamlton ensbn ve agange çaanlaını ullanaa te gelme uvvetn v(t), l,,, cnsnen bulun. l m

46 38 Poblem.5 Poblem.6 K K g Haeet ülemsel. g Haeet ülemsel. (notasal ütle) Poblem.7 Poblem.8 m g l m g m m Poblem.9 Poblem.3 T (t) Elem g : Öteleme aı. Haeet ülemsel. l m ϕ g l m

47 39 Poblem.3 Poblem.3 F(t) K K Not: Haeet enlemlen ve te gelme çn b fae bulun. C Kütles maaa g K 3 3 Gegn B K a R K B T(t) Kütles tee Poblem.33 Şele ssteme ml ve ol ütles. Yeçem otu. l AA' etafına Ω sabt hııla önüülmete. Kol se ml ve olun oluştuuğu ülem çne O elem etafına öneblmete. He hang b ana olun OB le atığı açı ψ se, olun haeetn ψ cnsnen veen feansel enlem Hamlton ensbn ullanaa bulun. A O A' l ψ B Ω sabt m

48 4 3 AGRANGE DENKEİ 3. Genelleştlmş Koonatla Genelleştlmş oonatla nam b sstemn onumunu b efeans sstemne göe tanımlamaa aa. Kateen oonatla gb alışılmış oonatlaan faı, bu oonatlala hç lgs olmaan faat ugun olaa seçlmş onumlaın ve açılaın a genelleştlmş oonat olaa seçleblmes. Öneğn, Şel.8 e sstem çn ve ; Şel.5 e sstem çn ve φ genelleştlmş oonat olaa seçlebl. Genelleştlmş Koonatlaın Tam Olması Eğe b ssteme genelleştlmş oonatlaın eğele velğne sstemn bütün elemanlaının e belleneblosa, bu genelleştlmş oonatlaa tam en. Genelleştlmş Koonatlaın Bağımsı Olması Eğe b genelleştlmş oonat taımına hehang b oonat ışına bütün oonatla sabtlen ge alan oonata falı eğele veleblo ve sstemn geomet sınılamalala uumlu falı onfgüasonlaı ele eleblosa, bu oonat taımına bağımsı en. Öne: Şel.8 e sstem çn ve genelleştlmş oonatlaı tam, faat bağımsı eğl. Şel.5 e sstem çn ve φ genelleştlmş oonatlaı se tam ve bağımsıı. Vaasonlaın Tam ve Bağımsı Olması Eğe b ssteme ugulanablece abul elebl he vaason, b vaason taımına vaasonlaın lnee b ombneonu olaa fae eleblosa, bu vaason taımına tam en. Eğe b vaason taımına vaasonlaan hehang b ışına ğele ugulanmasa (an sıfı olusa) ve ge alan vaason sebestçe ugulanablosa, bu vaason taımına bağımsı en. Sebestl Deeces B sstem çn tanımlanan tam b vaason taımına bağımsı abul elebl vaasonlaın saısına sstemn sebestl eeces en.

49 4 Holonom Sstem B nam ssteme tam b genelleştlmş oonat taımına bağımsı oonat saısı, sstemn sebestl eecesne eştse, bu ssteme holonom sstem en. As tae sstem non-holonom olu. Holonom sstemlee bağımsı ve tam genelleştlmş oonatlaın vaasonlaı, bastl çn bağımsı ve tam vaason taımı olaa ullanılı. Öne: Holonom Sstem Küesel saaç (Şel 3.): ϕ g Tam ve bağımsı genelleştlmş oonat saısı: ( ve φ) Tam ve bağımsı vaason: (δ ve δφ) m Şel 3. Öne: Non-holonom Sstem Yata üleme olaa amaan uvalanablen s (Şel 3.): Tam ve bağımsı genelleştlmş oonat saısı: 4 (,, ve φ) φ Tam ve bağımsı vaason: (δ ve δφ) Şel 3. Yuaıa ssteme s amaan uvalanablğ çn saece δ ve δφ bağımsıı. δ ve δ se bağımsı vaasonla cnsnen aşağıa gb: δ snδϕ (3.) δ cosδϕ (3.)

50 4 3. Genelleştlmş Koonatla ve Hı Dnam b sstemn tam ve bağımsı oonat taımı aşağıa gb olsun: q,, q, q3,... q n (3.3) Eğe bu sstem holonom se sebestl eeces n olu. Tam ve bağımsı vaason taımı genelleştlmş oonatlaın vaasonlaı olaa aşağıa gb alınabl: δ q,, δ q, δ q3,... δ q n (3.4) Tam ve bağımsı genelleştlmş oonatla sstemn bütün elemanlaının onumlaını tanımlama çn etel oluğunan, sstem çne hehang b notanın onumu genelleştlmş oonatla cnsnen aşağıa gb fae elebl: q, q, q,..., q ) (3.5) ( 3 n Bu notanın hıı se aşağıa gb olu: n v q q (3.6) Dolaısıla, v tem hem genelleştlmş oonatlaın hem e genelleştlmş oonatlaın tüevlenn fonsonuu: v v q, q, q,..., q, q, q, q,..., q ) (3.7) ( 3 n 3 n (3.6) ve (3.7) numaalı faelee geçen q (,,..., n) temlene genelleştlmş hı en. Genelleştlmş hıla saece genelleştlmş oonatlaın tüevle olu, fsel hılaa aşılı gelmeebl. Fsel hıla genellle (3.7) numaalı faeen anlaşılacağı gb, hem genelleştlmş oonatlaın hem e genelleştlmş hılaın fonsonuu. Öne: Şel 3.3 e tee amaan uvalanmataı. K aının bou eğştçe saacın bou a eğşmete. K aının esneme mtaı. en saaç olunun bou aaı. Bu sstem çn mümün olablece tam ve bağımsı b genelleştlmş oonat taımı, ve olabl. Şm m ütlesnn hıını bulalım. m ütlesnn hı bleşenle Şel 3.4 e vetö agamına göülmete. Bu agaman v vetöü aşağıa gb aılabl: v ( ) u u (3.8) u Vetö agamınan üşe ve ata öne bleşenle bulunusa, v vetöünün büülüğünün aes çn aşağıa fae bulunu: v [( ) cos sn ] [( ) sn cos ] (3.9)

51 43 Bu enlemen göülüğü gb hı hem genelleştlmş oonatlaın hem e genelleştlmş hılaın fonsonuu. Sütünmes ata K g Öteleme aı, K m Şel 3.3 ( ) Şel Genelleştlmş Kuvvet Hamlton ensbne agange fonsonel vasıtasıla ntegale ahl elmemş olan bütün elemanlaın ş temle fδ faesne ahl el. Sstemn hehang b vaasonu, sstemn tam ve bağımsı vaasonlaı cnsnen fae elebleceğnen, aşağıa enlem aılabl: f δ f δ ( δ q, δ q, δ q,..., δ q Q δ q (3.) 3 n ) n j j j

52 44 Yuaıa faee Q j ( j,, 3,..., n) temlene genelleştlmş uvvet en. q j nn boutuna bağlı olaa, genelleştlmş uvvet saht. Genelleştlmş uvvetle aşağıa fomülü ullanaa bulunabl: Q j uvvet a a moment boutuna Öne : Q j Ssteme saece δ q j vaasonu ugulanığına ış uvvetle ve momentle taafınan aılan ş. δ q j (3.) Seçlen genelleştlmş oonatlaa bağlı olaa Şel 3.5 e sstem çn genelleştlmş uvvetle aşağıa gb. a) Genelleştlmş oonatla:, Fδ F δ δ Q F F (3.) ( F cos ) δ Q F cos (3.3) δ b) Genelleştlmş oonatla:, Fδ F δ Q F F δ δ δ Q F F (3.4) (3.5) K F g m F Şel 3.5

53 45 Öne : Şel 3.6 a ssteme K ve K alaı öteleme alaıı ve saece üşe öne haeet eeblmete. Kol ataan üçü açılala aılmataı. Seçlen genelleştlmş oonatlaa bağlı olaa bu sstem çn genelleştlmş uvvetle aşağıa gb. a) Genelleştlmş oonatla:, 3 3 F F F F F F Q δ δ δ δ (3.6) ) ( ) ( 3 3 b a F F a b a F F a Q δ δ δ (3.7) b) Genelleştlmş oonatla:, b a b F F b a b F F Q δ δ δ (3.8) 3 3 F b a a F F b a a F Q δ δ δ (3.9) Şel 3.6 K F K a b F F 3

54 agange Denlem Hamlton ensb holonom sstemlee genelleştlmş eğşenle ullanaa ugulanısa, genelleştlmş eğşenle cnsnen bütün holonom sstemlee ullanılablece b enlem ele el. Bu enleme agange enlem en. n sebestl eecesne sah holonom b nam sstem olsun. Bu sstem çn tam ve bağımsı b genelleştlmş oonat taımı, olaa tanımlanmış olsun. q, q, q3,..., q n (3.) Sstem çne hehang b notanın onumu genelleştlmş oonatla cnsnen bellenebleceğne göe, bu sstemn otansel enejs e bu oonatla cnsnen aşağıa gb fae elebl: V V q, q, q,..., q ) (3.) ( 3 n Dğe anan sstemn hehang b notasının hıı se hem genelleştlmş oonatla hem e genelleştlmş hılaa bağlı olableceğnen, hılaın fonsonu olan net o-enej çn aşağıa fae aılabl: T * * T q, q, q,..., q, q, q, q,..., ) (3.) ( 3 n 3 q n Bu uuma agange fonsonel aşağıa hal alı: T * V q, q, q,..., q, q, q, q,..., q ) (3.3) ( 3 n 3 n Denlem (3.) ullanılaa Hamlton ntegal aşağıa gb aılabl: a a, t [ t t t n δ ( q q q q q q q q Q q,, 3,..., n,,, 3,..., n) δ t (3.4) n δ q q n δq q n Qδq t (3.5) Hamlton ensbnn geeğ, t ve t uç notalaına vaasonlaın sıfı olması geetğnen, enlem (3.5) n l temnn ısm ntegalnen aşağıa sonuç ele el: t t t t q t q t q q t q t t q t q t q t t q t t q δ ( δ ) δ δ δ t t (3.6) Denlem (3.6), Hamlton ntegal faes (3.5) e ullanılı ve Hamlton ensb ugulanısa, t n t t q q Q δqt (Rastgele δ q çn) (3.7)

55 47 ele el. Bu ntegaln astgele δ q (,, 3,..., n) çn sıfı olması he b δ q nn atsaısının aı aı sıfı olmasıla mümün oluğunan, agange enlemle enlen n saıa enlem aşağıa gb ele el: t q q Q (,, 3,..., n) (3.8) 3.5 agange Denlemnn Kullanımına Önele Öne : Şel 3.5 e nam sstem holonomt. Bu sstemn nam enlemlen agange enlemnen aalanaa ele eelm. Sstemn sebetl eeces n. Bu sstem çn genelleştlmş oonatlaı ve olaa seçelm. Sstemn tane genelleştlmş oonatı oluğuna göe, tane e agange enlem (b, ğe çn) aılması gee. Bu ssteme net o-enej aşağıa gb: T mv m * (3.9) Şel 3.7 e m ütlesnn hı vetö agamı göülmete. Bleşenlen üşe ve ata öne ojesonlaı alınısa v vetöünün büülüğü aşağıa gb bulunu: v ( cos ) ( sn ) cos (3.3) Denlemle (3.9) ve (3.3) an T * aşağıa gb bulunu: [ cos ] * T m (3.3) v Şel 3.7 Sstemn otansel enejs, V K mg cos (3.3)

56 48 olu, agange fonsonel aşağıa gb: (3.33) m[ cos ] K mgcos Bu sstemn genelleştlmş uvvetle enlemle (3.) ve (3.3) le aha önce aşağıa gb bulunmuştu: Q F F (3.34) Q F cos (3.35) Yuaıa blgle ullanılısa, çn agange enlem aşağıa gb olu: a a, t t [ m( cos )] ( K) F F ( m) mcos K msn F F (3.36) (3.37) çn agange enlem se aşağıa gb ele el: t t [ m m ] ( msn mgsn ) F cos cos (3.38) a a, Öne : m mcos mgsn F cos (3.39) Şel 3.8 e nam ssteme ol ataan üçü açılala aılmataı. Yeçem otu. Holonom olan bu sstem çn genelleştlmş oonatlaı ve abul eee nam enlemle agange enlemnen aalanaa ele eelm. F F F 3 a a K Kütles ol K Şel 3.8

57 49 Sstemn net o-enejs: T * ( a ) (3.4) Sstemn otansel enejs: V K K ( a ) (3.4) agange fonsonel: ( a ) K K( a (3.4) ) Denlemle (3.6) ve (3.7) en genelleştlmş uvvetle: Q F (3.43) F F3 Q af af 3 (3.44) çn agange enlem: t t [ ( a )] [ K K( a )] F F F3 (3.45) a a, ( ak F F F (3.46) ) a ( K K ) çn agange enlem: 3 t t [ a( a ) ] [ ak ( a )] af af3 (3.47) a a, 4 af (3.48) a a 4a K ak af 3

58 5 PROBEER Aşağıa sstemlen nam enlemlen agange enlemn ullanaa bulun. Poblem 3. Poblem 3. K K K c K g l Not: Ya sebest boaen ütlenn eleme ualığı l. Kol ataan a aılmataı. b a F(t) Not: K aı sebest boaen ol üşe ve haeet sıasına üşeen a aılmataı. Poblem 3.3 Poblem 3.4 T(t) O Kütles maaa Kütles olla l l l F(t) A 9 B K g F(t) Not: Büü ol ataan a aılıo. K Not: A ve B elemlene aa atala va. Ssteme sütünme o. ve eğşenlen ullanın. g Poblem 3.5 Poblem 3.6 K K a T(t) b Yataan a aılan ütles ol. g T(t) l/3 K g Yataan a aılan ütles ol. F(t) l/3 l /3 K

59 5 Poblem 3.7 Poblem 3.8 Notasal ütle: 3 Kütles ol: F (t) g K O İ Kütles maaa K F (t) g l K F(t) Poblem 3.9 Poblem 3. F(t) K Elem 45 g l K Kütles çeçeve K: Öteleme aı. Haeet ülemsel. m F(t) K Poblem 3. K a R F (t) l F (t) l K T(t) g Slnle ve olla ütles. Slnle amaan uvalanıo. Sstem olamala sıfıen enge onumuna göstelmşt ve haeet sıasına bu onuman a aılmataı.

60 5 Poblem 3. Poblem 3.3 K K A A K g K g F(t) Not: Bütün olla ütles. K aı sebest boaen nn A a ualığı. Yatala sütünmes. F(t) Not: Bütün olla ütles. K aı sebest boaen nn A elemne ualığı. Yatala sütünmes. Poblem 3.4 Poblem 3.5 K b c l O a Kolla ütles. F(t) l g l m F(t) g Not: Velen ütlele ışına aı ütles. Poblem 3.6 Poblem 3.7 Kütles ol: l F (t) 3 F(t) K g Haeet ülemsel. ve ; ve çn genelleştlmş uvvetle bulun. l F (t)

61 53 Poblem 3.8 Poblem 3.9 Kütles ml. Kütles ol, l K T (t) g F(t) l/ K Düşeen a aılan ütles ol: l g Kütles ol: Toson aı: K t 3 Poblem 3. Poblem 3. K m K l F(t) g Aaba ve ol ütles. Kolun bou l aaı. snt e S K g Ualı ontolü aan sevo sstem Not: e ualığı a sebest boaen. Poblem 3. Poblem 3.3 F(t) K K g Rjt ve ütles ol. K l Not: Yala F(t) en b eşena üçgen meana getmete. Haeet ülemsel. Not: Haeet ülemsel eğl.

62 54 Poblem 3.4 Poblem 3.5 A C K D g B l Şaft ve ol ütles. Sütünme o. ol üene aablo. Yaın sebest bou l. K Not: Haeet ülemsel. Poblem 3.6 Poblem 3.7 A (Küesel elem) g K K g F(t) Not: Kolla ütles. Ya sebest boaen nn eleme ualığı l. Yatala sütünmes. ve ; ve çn genelleştlmş uvvetle bulun. Not: Bütün olla ütles. K aı sebest boaen nn A elemne ualığı l. Poblem 3.8 Poblem 3.9 K K t T (t) K Haeet ülemsel. Elem K a l l g g F(t) Kütles ol: l Kolla ve ml ütles. Ya sebest bounaen ol üşe. Kol üşeen a aılmataı.

63 55 4 RİJİT GÖVDESİ OAN SİSTEER Bölüm 3 e ncelenen sstemlee bütün ütlele notasal oluğunan net oenej faesne atılaı mv şelne. Bu bölüme jt gövelee sah nam sstemlee Hamlton ensbnn ve agange enlemnn ullanılması ncelenecet. Bu en uumun notasal ütlee sah sstemleen te faı, jt gövelen net oenejlenn satanmasıı. Gövelen net o-enejle satanaa agange fonsonuna oulutan sona aha önce ullanılan öntemle anen ullanılabl. 4. Rjt B Gövenn Knet Ko-enejs Şel 4. e atalet oonat sstem XYZ le göstelmşt. se gövee sabtlenmş b oonat sstem. m, göve çne hehang b ütle açacığını göstemete. Bu ütle açacığının atalet oonat sstemne göe onumu ρ, göve oonat sstemne göe onumu se vetöüle göstelmşt. -oonat sstemnn ojnnn atalet oonat sstem çne onumu se R vetöüle bellenmete. gövenn açısal hııı. Z m ρ R X Göve Y X Şel 4.

64 56 m ütle açacığının onumu ve hıı çn Bölüm e aha önce ele elen (.9) ve (.6) numaalı enlemleen aşağıa faele aılabl: ρ R (4.) v ρ R (4.) t Hem -oonat esenlenn hem e m onumlaı sabt oluğunan, enlem (4.) e, ütle açacığının göve çne (4.3) t olu ve jt göve üene b ütle açacığı çn hı aşağıa hal alı: v R (4.4) Gövee N saıa ütle açacığı vasa, gövenn tolam net o-enejs tüm açacılaın net o-enejlenn tolamı olaa aşağıa gb bulunu: N m T * N N mv m [ R R ( ) ( )] N N N mr R m m ( ) ( ) (4.5) ve enlem (.) an N m C aılısa ve enlem (4.5) n son temne vetö ve sala çaımın sıası eğştlse, net o-enej faes aşağıa hal alı: Öel Hal : T * N R ( R C ) m [ ( )] (4.6) Eğe jt gövenn atalet efeans sstemne O gb sabt b notası vasa ve oonat sstemnn ojn bu nota olaa seçlse, R olu. Bu öel hal çn net oenej faes aşağıa gb olu: T * N m [ O ( O) ] (4.7).6): nc ütle açacığının O a göe açısal momentumu h O aşağıa gb (enlem h O m m v m v m ) (4.8) O O O O O ( O

65 57 Bu üen enlem (4.7) nn sağına nc vetö, gövenn O notasına göe tolam açısal momentumu H u. H, aşağıa enlem (4.9) a velmşt: O O H O N m [ ( )] O (4.9) O Dolaısıla, bu öel hal çn net o-enej aşağıa gb aılabl: Öel Hal : T * H O (4.) Eğe -oonat sstemnn ojn gövenn ağılı meene seçlse, bu uuma R v ve olu; enlem (4.6) aşağıa hale önüşü: C C T * [ ( )] N vc m C C (4.) Gövenn ağılı meene göe açısal momentumu H C N [ ( )] H C, m (4.) C C faesle velğnen, bu öel hal çn net o-enej aşağıa gb bulunu: T * v C H C (4.3) 4. Açısal omentum ve Atalet ats Denlemle (4.9) ve (4.) e geçen genel fae o ve c nsle alıılaa aşağıa teaan aılmıştı. N H m (4.4) [ ( )] Bu enlem, a ( b c) ( a c) b ( b a) c (4.5) vetö öeşlğ ullanılaa enen aılısa, aşağıa hale gel: N H m [ ( ) ] (4.6) H, ve vetölen -oonat sstemnn (gövee bağlı oonat sstem) esenle bounca olan bleşenle cnsnen aşağıa gb aalım: H H u H u H u (4.7)

66 58 u u u (4.8) u u u v (4.9) Yuaıa üç enleme u, u ve u sıasıla, ve önlene bm vetöle, bunlaın önüne çaanla se o önlee vetö bleşenlenn büülülen göstemete. H, ve vetöle enlemle (4.7), (4.8) ve (4.9) an alını enlem (4.6) a ene oulusa, aşağıa faele ele el: [ ] N u u u u u u m H ) )( ( ) )( ( (4.) Bu enlemn temle enen üenlense aşağıa hal alı, [ ] N u m H ) ( ) ( ) ( [ ] N u m ) ( ) ( ) ( [ ] N u m ) ( ) ( ) ( (4.) Atalet momentle aşağıa gb tanımlansın: N m ) ( (4.a) a a aılı ütle çn m ) ( (4.b) N m ) ( (4.3a) a a aılı ütle çn m ) ( (4.3b) N m ) ( (4.4a) a a aılı ütle çn m ) ( (4.4b) Atalet çaımlaı se aşağıa gb tanımlansın: