ÇARPANLARA AYIRMA. çözüm. Çarpanlarına Ayrılacak İfade Ortak Çarpan İfadenin Çarpanlarına Ayrılmış Hali. 2a+4 2 2a+4=2.(a+2) 5x+5 5 5x+5=5.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÇARPANLARA AYIRMA. çözüm. Çarpanlarına Ayrılacak İfade Ortak Çarpan İfadenin Çarpanlarına Ayrılmış Hali. 2a+4 2 2a+4=2.(a+2) 5x+5 5 5x+5=5."

Transkript

1 ÇARPANLARA AYIRMA ÇARPANLARA AYIRMA Bir polinomu farklı polinomların çarpımı şeklinde yazabilme işlemine çarpanlara ayırma işlemi denir. P()=A().B().C() şeklindeki yazılımda A(), B(), C() polinomlarına P() polinomunun çarpanları denir. Bu bölümde çarpanlara ayırma metodlarını inceleyeceğiz. Ortak çarpan parantezine alma Bir polinomun her teriminde ortak olan bir çarpan varsa polinomu bu çarpan parantezine alıp, her terimi bu çarpana bölerek ifade çarpanlarına ayrılabilir. Örneğin, +y ifadesinde sayısının ortak çarpan olduğunu görerek parantezine alırsak, y + y = + = ( + y) olur. 1.çarpan.çarpan Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) +y b) 4+1y c) 6y+9z d) 6 1y+18 a) ortak çarpan, +y=.(+y) b) 4 ortak çarpan, 4+1y=4.(+y) c) ortak çarpan, 6y+9z=( y+z) d) 6 ortak çarpan, 6 1y+18=6( y+) Konu Kavrama Çalışması Çarpanlarına Ayrılacak İfade Ortak Çarpan İfadenin Çarpanlarına Ayrılmış Hali a+4 a+4=.(a+) =5.(+1) +m +m=.(1+m) a+b a+b=.(a+b) m+6n m+6n=.(m+n) 5 15y y=5.( y) 4 4 =.( 1) ( 6y) 6y=.(+y) ( m 9) m 9=.(m+) m 6n+4 m 6n+4=.(m n+) 4a+6b+1 4a+6b+1=.(a+b+6) n n n n =.(n n 1) =7.( + ) 6m +15m+1 6m +15m+1=.(m +5m+7) 4

2 soru 1 soru 5 (+8) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? (+4y+8) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A).(+) B).(+4) C).(+8) D) 4.(+) E) 8.(+1) A).(+y+) B).(+y+4) C).(+y+4) D).(+y+4) E).(+4y+4) soru soru 6 (m+1) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ( 6y) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A).(m+1) B).(m+) C).(m+) D).(m+4) E).(m+1) A).(+y) B).( y) C).( +y) D).( y) E).(+y) soru soru 7 (4 ) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4.( ) B) 4.( 1) C).( 1) D).( ) E).( 1) soru 4 soru 8 (5 10y) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 5( y) B) 5( y) C) 5( y) D) 10( y) E) 10( y) 5KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI ( 7+9) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A).( +1) B).( 9+) C).( 9+1) D).( 7+) E).( 9+1) Aşağıda verilen eşitliklerden hangisi yanlıştır? A) +6=.(+) B) 4 4=4.( 1) C) 5 5=5.( 5) D) y+=.( y) E) 6y+=.( y+1) 1 B D E 4 A 5 C 6 A 7 B 8 D

3 Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) + b) m +6m c) + d) a ay a) ortak çarpan, +=.(+1) b) m ortak çarpan, m +6m=m.(m+6) c) ortak çarpan, +=.( +1) d) a ortak çarpan, a ay=a.( y) Konu Kavrama Çalışması Çarpanlarına Ayrılacak İfade Ortak Çarpan İfadenin Çarpanlarına Ayrılmış Hali + +=.(+) y y y y y=y.(y 1) =.(5+1) ma m m ma m=m.(a 1) cd+c c cd+c=c.(d+) =.( ) =.( ++1) m m m m m m m=m.(m m 1) y 4 4y y y 4 4y=y.(y ) a 4 a + a a a a 4 a + a a=a.(a a +a 1) 5b b b 5b b= b.(5b+1) a ay+an a a ay+an=a.( y+n) =( 1) y y y y y=y(y 1) + +=( +1) 5n +n n 5n +n=n(5n +1) n n +n n n n +n=n(n n+1) m ma m m ma=m( a) n 4 +n 5n n n 4 +n 5n=n(n +n 5) = ( ++1) n +m + n +m +=( n +m+1) 6

4 soru 1 soru 5 a a ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? m m +m ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) a 1. a B) a.(a 1) C) a.(a ) D) a.(a 1) E) a.(a ) A) m (m 1)+m B) m (m m+1) C) m(m m+1) D) m(m +m 1) E) m(m m) soru soru 6 m +6m ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? a 4 +a a ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) m(m+6) B) m(m+) C) m(m+) D) m (m+6) E) m (m 6) A) a(a +a 1) B) a(a +a 1) C) a(a a+1) D) a(a a+1) E) a(a +a 1) soru soru 7 ab ac ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) a(b c) B) a(c b) C) a(b+ac) D) a(ab c) E) a(b ac) soru 4 soru 8 + ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) (+) B) ( +) C) ( +) D) (+) E) ( +) 7KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI n 5 +n n ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) n(n 4 n 1) B) n(n 4 +n 1) C) n(n 4 n +1) D) n(n 4 +n 1) E) n(n 4 +n n) 6m m ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) m( 6m 1) B) m( 6m+1) C) m(6m 1) D) m(6m+1) E) m( 6m 1) 1 E A A 4 B 5 C 6 B 7 D 8 D

5 Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 5+10y b) 16a 4an c) d) y 4 +y +y a) 5 ortak çarpan, 5+10y=5(1+y) b) 16a =(4a) olduğundan 4a ortak çarpan, 16a 4an=4a(4a n) c) 5 ortak çarpan, = 5 (+4) d) y ortak çarpan, y 4 +y +y =y.(y +y+) Konu Kavrama Çalışması Çarpanlarına Ayrılacak İfade Ortak Çarpan İfadenin Çarpanlarına Ayrılmış Hali a 10ab a a 10ab=a.(a 5b) m 1my m m 1my=m.( 4y) 5n a 15nb 5n 5n a 15nb=5n.(na b) 1 y+4y 4y 1 y+4y =4y.(+y ) y y y y y=y.(y ) m n 6mn mn m n 6mn =mn.(m n) a 4 5a a a 4 5a =a.(a 5) =.( 4) =.( +) =.( 4 + 1) a 7 a a a 7 a =a.(a 4 ) n 5 6n 4 1n n n 5 6n 4 1n =n.(n n 4) 9a +1a a 9a +1a=a.(a+4) 5 a 5b 5 5 a 5b=5.(5a b) a 4a a a 4a =a.(a ) m+6n m+6n=.(m+n) 5 10m m=5.( m) 4 4 =.( 1) a 7 +b 5 5 a 7 +b 5 = 5.(a +b) m 9 +m 6 +m m m 9 +m 6 +m =m.(m 6 +m +1) y 10 y 1 y 10 y 10 y 1 =y 10.(1 y ) =.( + +1) 10y 5 +5y 4 +5y 5y 10y 5 +5y 4 +5y =5y.(y +y +1) 8

6 soru 1 soru 5 15m 5mn ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? 4m +8m ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 5m(5m n) B) 5m(m n) C) 5m(m n) D) 5m(m n) E) 5m(m n) A) 4m (m+4) B) 4m (m+1) C) 4m (m+) D) 4m(m +) E) 4m(m+) soru soru 6 a b 4ab ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) a(a b) B) ab(a b ) C) ab(a b ) D) ab(a ) E) ab(a b ) A) ( 8 +4) B) ( 7 +4) C) ( 7 +6) D) ( 7 + 6) E) ( 7 6+4) soru soru 7 a b a b ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) a b (ab b) B) a b (ab 1) C) a b(ab b) D) a b(ab 1) E) a b(a b) soru 4 soru y +y ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) y ( +y) B) y ( +1) C) y ( +y ) D) y( +y) E) y( +1) 9KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 4 ( +) B) 4 4 ( 4+) C) (4 8 +1) D) 4 4 ( ++) E) 4 4 ( ) 4 y y 5 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) y 5 B) y +1 C) y D) y E) 1 y 1 D C D 4 A 5 C 6 B 7 A 8 E

7 Aşağıda verilenlerden hangisi +5 ifadesinin çarpanlarından biri değildir, bulunuz. +5 ifadesinde ortak çarpan olduğundan, +5 = (+5) biçiminde çarpanlarına ayrılır. I) ifadenin çarpanlarındandır. I) II) III) +5 IV) II).(+5)=..(+5) biçiminde yazılabileceğinden de çarpanlardan biridir. III) +5 ifadenin çarpanlarındandır. IV) ifadenin çarpanlarından değildir. Cevap: Aşağıda verilenlerden hangisi 4 y+ y ifadesinin çarpanlarından biri değildir, bulunuz. 4 y+ y ifadesinde y ortak çarpan olduğundan, 4 y+ y = y(+y ) biçiminde çarpanlarına ayrılır. I) ifadenin çarpanlarındandır. I) II) III) y IV) y V) y II) ifadenin çarpanlarındandır. III) y ifadenin çarpanlarındandır. IV) y(+y )=.y(+y ) biçiminde yazılabileceğinden.y de çarpanlardan biridir. V) y ifadenin çarpanlarından değildir. Cevap: y Aşağıda verilenlerden hangisi a b ab ifadesinin çarpanlarından biri değildir, bulunuz. a b ab ifadesinde a.b ortak çarpan olduğundan, a b ab =a.b(a b ) biçiminde çarpanlarına ayrılır. I) a ifadenin çarpanlarındandır. I) a II) b III) ab IV) a V) b VI) ab VII) (a b) II) b ifadenin çarpanlarındandır. III) a.b ifadenin çarpanlarındandır. IV) a.b ab =a.b(a b )= ( a).b(a b ) biçiminde yazılabileceğinden a ifadenin çarpanlarındandır. V) a b ab =a.b(a b )=a. ( b).(a b ) olduğundan, b çarpandır. VI) a b ab =a.b(a b )= ( ab)(a b ) olduğundan, ab çarpanlardandır. VII) (a b) çarpanlarından biri değildir. Cevap: a b 10

8 soru 1 soru 5 Aşağıda verilenlerden hangisi a 4a ifadesinin çarpanlarından biri değildir? Aşağıda verilenlerden hangisi 4 y +6y ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A) B) a C) a D) ( a) E) (1 a) A) ( +) B) y C) y D) E) y soru soru 6 Aşağıda verilenlerden hangisi ifadesinin çarpanlarından biri değildir? Aşağıda verilenlerden hangisi a b a b ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A) (+5) B) C) 5 D) 5 E) A) a B) b C) a b D) (ab 1) E) (ab 1) soru soru 7 Aşağıda verilenlerden hangisi 1m 6m ifadesinin çarpanlarından biridir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Aşağıda verilenlerden hangisi 4 + ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A) m B) m C) 6m D) (m 1) E) (m 1) A) B) C) D) ( + ) E) ( ++) soru 4 soru 8 Aşağıda verilenlerden hangisi 5y 4 5y +y ifadesinin çarpanlarından biridir? Aşağıda verilenlerden hangisi a 4 b a b ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A) (y +5y+1) B) (5y 5y+1) C) (5y +5y 1) A) a b B) a b C) a D) a b E) b D) 5y E) 5y 1 D A E 4 B 5 A 6 D 7 E 8 A 11

9 Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) Ortak çarpan (+1), (+1).a+(+1).b=(+1)(a+b) a) (+1).a+(+1).b b) (+) +(+) c) ( 1) ( 1) d) (+5) (+5)( 1) b) Ortak çarpan (+), (+) +.(+)=(+)((+)+) =(+)(++)=(+)(+) c) Ortak çarpan ( 1), ( 1).( 1)=( 1)(( 1) ) =( 1)( 1 )=( 1).( 4) d) Ortak çarpan (+5), (+5) (+5)( 1)=(+5)((+5) ( 1)) =(+5)(+5 +1) =(+5).6 Aşağıdakilerden hangisi ( ) ( )(+1) ifadesinin çarpanlarından biri değildir, bulunuz. Ortak çarpan ( ), ( ) ( )(+1)=( )(( ) (+1)) =( )( 1) a) b) c) + d) e) +1 Uyarı =( ).( ) = ( )(+) Burada dikkat etmeniz gereken sayı = ( ) olduğu için de bu ifadenin çarpanıdır. Cevap: e Bir polinomun çarpanlarının zıt işaretlileride o polinomun çarpanıdır. (a b)(a+c) (b a).(a c) ifadesini çarpanlarına ayırınız. b a= (a b) olduğunu biliyoruz. O halde (a b) ortak çarpan olur. (a b)(a+c) (b a)(a c)=(a b)(a+c)+(a b)(a c) =(a b)(a+c+a c)=(a b).a Cevap: a.(a b) ( y)(+y) (y ) ifadesini çarpanlarına ayırınız. (y ) =( y) olduğunu biliyoruz. O halde ( y) ortak çarpan olur. ( y)(+y) ( y) =( y)((+y) ( y)) = ( y)( + y + y) = ( y) y Cevap: y.( y) 1

10 soru 1 soru 5 (+)y+(+4)y (a+b)(a c)+(a+b)(a+c) A) (+4)y B) (+6)y C) ( 4)y D) (+6)y E) (+8)y A) (a+b).(a c) B) c.(a+b) C) a.(a+b) D) (a+b)(a+c) E) a.(a+b) soru soru 6 ( ) +( ) (a b)(b+c)+(b a)(b c) A) ( )( ) B) ( )( ) C) ( )( ) D) (+)( +) E) (+)( 1) A) (a b)(b c) B) (a b)(b c) C) c.(a b) D) b.(a b) E) c(a b) soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI (+1) +(+1) ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 1 D) + E) + Aşağıdakilerden hangisi, ( y)(+y) (y ) ifadesinin çarpanlarından biridir? A) y B) +y C) D) E) y soru 4 soru 8 (y+)(y 1) (y+) A) (y+1)(y 1) B) (y+) C) (y+) D) (y+1)(y+1) E) (y 1)(y 1) Aşağıdakilerden hangisi, ( y) +(y ).(+y) ifadesinin çarpanlarından biridir? A) y B) +y C) y D) y E) y 1 D A D 4 B 5 C 6 E 7 E 8 A 1

11 Gruplandırma Yolu İle Çarpanlara Ayırma En az 4 terimli polinomları çarpanlara ayırmada kullanılan bir metoddur. Polinom ortak çarpan oluşturacak şekilde gruplara ayrılır daha sonra bu ortak çarpan yardımı ile çarpanlara ayırma işlemi yapılır. a+ay+b+by polinomunu çarpanlara ayırınız. 1. grup. grup I. Yol: a + ay + b + by = (a + ay) + (b + by) =a(+y)+b(+y) ((+y) ortak çarpan) =(+y).(a+b) 1. grup. grup II. Yol: a + ay + b + by = (a + b) + (ay + by) Uyarı =(a+b)+y(a+b) ((a+b) ortak çarpan) =(a+b)(+y) Gruplandırma yöntemi uygulandığında ortak çarpan bulmak gereklidir. Ortak çarpan bulunamazsa farklı gruplandırmalar denenebilir. a by ay+b polinomunu çarpanlara ayırınız. a by ay+b=(a+b) (by+ay) =(a+b) y(b+a) ((a+b) ortak çarpan) =(a+b)( y) Cevap: (a+b)( y) +4 polinomunu çarpanlarına ayırınız. +4=( ) ( 4) = ( ) ( ) (( ) ortak çarpan) =( )( ) Cevap: ( )( ) m+n= ve y =5 olduğuna göre, m my+n ny ifadesinin değerini bulunuz. m my+n ny=(m my)+(n ny) =m( y)+n( y) =( y).(m+n) y =5 ise y= 5 tir. ( y)(m+n)= 5.= 15 Cevap: 15 14

12 soru 1 soru 5 ad+bd+ac+bc ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) (a+b)(c+d) B) (b+c)(a+c) C) (a+b)(b+c) D) (a+b)(a+c) E) (a+b)(a+d) A) + B) + C) +4 D) +4 E) + soru soru 6 mn+mr+pn+pr 4+4 A) (m+n)(p+r) B) (m+r)(p+r) C) (n+r)(m+p) D) (m+r)(n+p) E) (m+p)(n+m) A) (+1)( 4) B) ( 1)( +4) C) ( 1)( 4) D) ( +1)( 4) E) ( 1)(+4) soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI a+yb b ya ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? a+b= ve y= olduğuna göre, a ay+b by ifadesinin değeri kaçtır? A) +y B) a+b C) +a D) y E) a A) 6 B) C) 0 D) E) 6 soru 4 soru 8 a cb+ab ac ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? q p=5 ve m+n=4 olduğuna göre, pm qn+pn qm ifadesinin değeri kaçtır? A) a+c B) b+c C) a b D) b c E) a c A) 0 B) 9 C) 1 D) 9 E) 0 1 A C D 4 E 5 B 6 C 7 E 8 A 15

13 1 a+a polinomunu çarpanlarına ayırınız. 1 a+a=(1 ) (a a) =(1 ) a(1 ) ((1 ) ortak çarpan) =(1 )(1 a) Cevap: (1 )(1 a) a +b +ab+ab polinomunu çarpanlarına ayırınız. a +b +ab+ab =(a +ab)+(b +ab ) =a(a+b)+b (b+a) ((a+b) ortak çarpan) =(a+b)(a+b ) Cevap: (a+b)(a+b ) (y +1)+y( +1) polinomunu çarpanlarına ayırınız. (y +1)+y( +1)=y ++y +y =(y +y )+(+y) =y(+y)+(+y) ((+y) ortak çarpan) =(+y)(y+1) Cevap: (+y).(y+1) a+ay b by+y+y polinomunu çarpanlarına ayırınız.. grup 1. grup. grup a + ay b by + y + y = a + ay b by + y + y =a(+y) b(+y)+y(+y) =(+y)(a b+y) Cevap: (+y)(a b+y) 16

14 soru 1 soru 5 1 a a +a ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? a(b 1)+b(a 1) A) a+ B) a +1 C) a D) a 1 E) a A) (a+b).ab B) (a+b)(ab 1) C) (a+b)(ab+1) D) (a b)(ab 1) E) (a b)(ab+1) soru soru ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? y( 4)+(y 1) A) B) 5 C) 1+ 5 D) 1 E) 1 5 A) (y+)(+y) B) (y+)( y) C) (y )(+y) D) (y )( y) E) ( )( y) soru soru 7 +y + y+y m+my+n+ny+r+ry KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) (+y)( +y) B) (+y)(+y ) C) ( +y )(+y) D) ( +y)(+y ) E) ( ++y)(+y) A) (+y+m)(n+r) B) (+n+r)(y+m) C) (+n)(y+m+r) D) (+y)(m+n+r) E) (n+y)(+m+r) soru 4 soru 8 a 4 b a b+a b ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? y= ve a+b=4 olduğuna göre, a by+b ay ifadesinin değeri kaçtır? A) a +b B) a +b C) a b D) a b E) a+b A) 8 B) 4 C) D) 4 E) 8 1 D E A 4 B 5 B 6 C 7 D 8 E 17

15 a +b+c Üç Terimlisini Çarpanlarına Ayırma a +b+c ifadesinin çarpanları (m+n) ve (r+s) olsun. a +b+c=(m+n).(r+s)=m.r +(ms+nr)+ns eşitliğinden, a=m.r, b=m.s+n.r ve c=n.s olduğu görülür. a +b+c ifadesinin çarpanları olan (m+n) ve (r+s) yi bulmak için; a ve c nin çarpanları alt alta yazılır. 1. Adım. Adım. Adım 4. Adım a +b+c m n r s Çarpanlar çapraz olarak çarpılıp sonuçlar toplanır. ms+rn Sonuçlar toplamının ortadaki terime eşit olup olmadığı incelenir. ms+rn=b Sonuçlar toplamının ortadaki terime eşit ise çarpanlar aşağıdaki şekilde ok yönünde yazılarak bulunur. ms+rn=b ise a +b+c=(m+n)(r+s) m r n s Konu Kavrama Çalışması Çarpanlarına Ayrılacak İfade a +b+c a ve c nin Çarpanları Çarpanların Toplamı Çarpanlarına Ayrılmış Biçimi =(5+1).(+) =16 (Ortadaki terim) 5 1 a a a a =(a ).(a+1) a a a a+( a)= a (Ortadaki terim) a a 1 a =(+1).( ) = 5 (Ortadaki terim) =( +).(+5) 5+= (Ortadaki terim) 5 6m 19m 7 6m 19m 7 m 1 m 7 1m+m= 19m (Ortadaki terim) 6m 19m 7=(m+1).(m 7) m 1 m 7 18

16 soru 1 soru A) (+)(+1) B) (+1)(+1) C) (+1)(+) D) (+)(+) E) (+1)(+1) A) (+)(+1) B) ( 1)(+) C) ( )(+1) D) (+1)( ) E) (+)( 1) soru soru A) (5+1)(+1) B) (5+)(+1) C) (+1)(+1) D) (+)(+1) E) (+1)(5+) A) (6+)( ) B) (6 )(+) C) (6 )(+) D) (6+)( ) E) (6 )( ) soru soru 7 6a +1a+ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 1a 5a A) (6a+1)(a+1) B) (6a+1)(a+) C) (6a+)(a+1) D) (a+1)(a+) E) (a+)(a+1) A) (a )(4a+1) B) (a+)(4a 1) C) (a 1)(4a+) D) (a+1)(4a ) E) (a 1)(4a ) soru 4 soru 8 4m +1m+10 10n +n A) (m+5)(m+) B) (m+1)(m+10) C) (4m+)(m+5) D) (4m+5)(m+) E) (4m+1)(m+10) A) (5n 1)(n+) B) (5n+1)(n ) C) (5n+)(n 1) D) (5n )(n+1) E) (5n )(n 1) 1 C A B 4 D 5 E 6 D 7 A 8 C 19

17 a=1 için (+m)(+n)= +n+m+mn= +(n+m)+mn ifadesi incelenirse b=n+m ve c=m.n olduğu görülebilir. O halde, +b+c ifadesini çarpanlara ayırabilmek için toplamları b, çarpanları c olan iki sayı bulmalıyız. +b+c=(+m)(+n) +m +n Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) +4+ b) +5+6 c) +7+1 a) +4+=(+)(+1) + +1 (Çarpımları, toplamları 4 olan sayılar +1 ve +) b) +5+6=(+)(+) + + (Çarpımları 6, toplamları 5 olan sayılar + ve +) c) +7+1=(+4)(+) +4 + (Çarpımları 1, toplamları 7 olan sayılar +4 ve +) +5a+6a ifadesini çarpanlarına ayırınız. Çarpımları 6a, toplamları 5a olan sayılar a ve a olduğu için +5a+6a =(+a)(+a) +a +a Cevap: (+a)(+a) Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 6+8 b) 15 c) +4 a) 6+8=( 4)( ) 4 (Çarpımları 8, toplamları 6 olan sayılar 4 ve ) b) 15=( 5)(+) 5 + (Çarpımları 15, toplamları olan sayılar 5 ve +) c) +4 =(+8)( 4) +8 4 (Çarpımları, toplamları +4 olan sayılar +8 ve 4) 0

18 soru 1 soru A) (+)(+4) B) (+)(+) C) (+5)(+1) D) (+6)(+1) E) (+1)(+4) A) ( 9)( ) B) (+9)(+) C) (+6)(+) D) ( 6)( ) E) ( 6)(+) soru soru A) (+)(+10) B) (+4)(+5) C) (+8)(+4) D) (+6)(+) E) (+0)(+1) A) ( 6)(+1) B) (+6)( 1) C) ( )(+) D) ( )( ) E) ( 1)( 6) soru soru 7 +a+a KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI a +4a 1 A) (+)(+1) B) (+a )(+1) C) (+a)(+) D) (+a)(+a) E) (+a )(+a) A) (a 6)(a 1) B) (a+6)(a ) C) (a 6)(a+) D) (a 4)(a+) E) (a+4)(a ) soru 4 soru 8 +10m+1m n n 0 A) (+m)(+m) B) (+1m)(+m) C) (+6m)(+m) D) (+8m)(+m) E) (+7m)(+m) A) (n 10)(n+) B) (n 15)(n+) C) (n 6)(n+5) D) (n+6)(n 5) E) (n+15)(n ) 1 C A D 4 E 5 D 6 A 7 B 8 C 1

19 +(a+b)+a.b ifadesini çarpanlarına ayırınız. +(a+b)+ab=(+a).(+b) +a +b (Ortadaki terim=b+a=(a+b)) m +(m+)+ ifadesini çarpanlarına ayırınız. m +(m+)+=(m+).(+1) m 1 (Ortadaki terim=m+=(m+)) a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, +n+6=(+a)(+b) eşitliği kaç farklı n tam sayısı için sağlanır, bulunuz. +n+6 ifadesini çarpanlarına ayırabilmemiz için çarpımları 6, toplamları n olan iki tam sayı bulmalıyız. 6=6.1 n=6+1=7 6=( 6).( 1) n=( 6)+( 1)= 7 6=. n=+=5 6=( ).( ) n=( )+( )= 5 Buna göre, n'nin alabileceği değerler 7, 7, 5 ve 5 dir. Cevap: 4 a+1 ifadesinin çarpanlarından biri olduğuna göre, a kaçtır, bulunuz. a+1=ifadesinde çarpımları 1 olan iki sayıdan biri ifadesinden olduğu görülebilir. a+1 4 Ortadaki terim: 4+( )= 7 7= a a=7 Cevap: 7

20 soru 1 soru 5 (a+b)+a.b A) (+a)(+b) B) (+a)( b) C) ( a)(+b) D) ( a)( b) E) (+a)( b) a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, +n 8=(+a)(+b) eşitliği kaç farklı n tam sayısı için sağlanır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 soru soru 6 +(m+n)+mn A) (+m)(+n) B) (+m)(+n) C) ( m)(+n) D) (+m)( n) E) ( m)( n) a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, +8+m=(+a)(+b) eşitliğini sağlayan en küçük m doğal sayısı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 1 D) 15 E) 16 soru soru 7 m +(m+1)+ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI +a+6 ifadesinin çarpanlarından biri + olduğuna göre, a kaçtır? A) (m+1)(+) B) (m+)(+1) C) (m 1)( ) D) (m )( ) E) (m 1)(+) A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru 4 soru 8 n (n ) n ifadesinin çarpanlarından biri + olduğuna göre, n kaçtır? A) (n )(+) B) (n )( ) C) (n+)( ) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 D) (n+)(+) E) (n+)( ) 1 D B A 4 E 5 B 6 B 7 C 8 C

21 Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma Özdeşlik: Yazılışları farklı olan birbirine eşit harfli ifadelere özdeşlik denir. İki kare farkı özdeşliği: y =( y)(+y) Bunu, "iki sayının kareleri farkı o iki sayının farkları ile toplamlarının çarpımına eşittir" şeklinde ifade edebiliriz. Örneğin: 5 =(5 ).(5+) eşitliğinin doğru olduğunu gösterelim. 5 9=. 8 16=16 dýr. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 9 b) 1 c) 4 a d) 5 a a) 9= =( ).(+) b) 1= 1 =( 1).(+1) c) 4 a = a =( a).(+a) d) 5 a =5 a =(5 a).(5+a) Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 4 1 b) 9 4 c) 1 5a d) 81 4a a) 4 1=() 1 =( 1).(+1) b) 9 4=() =( ).(+) c) 1 5a =1 (5a) =(1 5a).(1+5a) d) 81 4a =9 (a) =(9 a).(9+a) Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 4y b) 9 y c) 16 5y d) y a) 4y =() (y) =( y).(+y) b) 9 y =() (y) =( y).(+y) c) 16 5y =(4) (5y) =(4 5y).(4+5y) d) y =(10) (7y) =(10 7y).(10+7y) 4

22 soru 1 soru y A) (+4)(+4) B) ( 4)( 4) C) ( 4)(+4) D) ( )(+) E) ( 16)(+16) A) (6 5y)(6 5y) B) (6 5y)(6+5y) C) (5 6y)(5+6y) D) (6 5y)(6+5y) E) (6+5y)(6+5y) soru soru 6 6 a 81a 49b A) (a 6)(a+6) B) (a 6)(a 6) C) (6+a)(6+a) D) (6 a)(6 a) E) (6 a)(6+a) A) (9a 7b)(9a+7b) B) (9a 7b)(9a 7b) C) (81a 49b)(a+b) D) (9a+7b)(9a+7b) E) (81a 49b)(81a+49b) soru soru A) (4 1)(4+1) B) (4 1)(4 1) C) (4+1)(4+1) D) (6 1)(+1) E) (16 1)(+1) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır? A) 49=( 7)(+7) B) a 1=(a 1)(a+1) C) 4a 9b =(4a 9b)(4a+9b) D) 9 100n =( 10n).(+10n) E) 16 81y =(4 9y)(4+9y) soru 4 soru a A) (7 4a)(7+4a) B) (7+4a)(7+4a) C) (7 a)(7 a) D) (7 a)(7+a) E) (a 7)(a+7) Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrudur? A) 81=( )(+7) B) 49=( 7)(+7) C) 5 1=(5 1)(5+1) D) 16 9=(4 9).(4+9) E) 9 4=( 4)(+4) 1 C E A 4 D 5 B 6 A 7 C 8 B 5

23 Konu Kavrama Çalışması Çarpanlara Ayrılacak İfade 1. Adım Çarpanlara Ayrılmış İfade 4 9 ( ) 4 9=( ).( +) 6 5 ( ) 5 6 5=( 5).( +5) y 4 (y ) y 4 =( y ).(+y ) a 6 b 8 (a ) (b 4 ) a 6 b 8 =(a b 4 ).(a +b 4 ) a 8 b 4 (a 4 ) (b ) a 8 b 4 =(a 4 b ).(a 4 +b ) a 10 1 (a 5 ) 1 a 10 1=(a 5 1).(a 5 +1) m 1 n 10 (m 6 ) (n 5 ) m 1 n 10 =(m 6 n 5 ).(m 6 +n 5 ) m n 6 m (n ) m n 6 =(m n ).(m+n ) 4 1 y 5 1 y 1 9y 1 y 16 9a y 1 () (5) (a) y 1 y 1 y 1 y 4 y = + y y y = + y y y = + 9y y y = y y y a = a a + y y y 5 6a b (6a) a = 6a 6a + b b b 49a 6 5b (7a) 6 5b a = 7a 7a + 5b 5b 5b y (ñy) y=( ñy)(+ñy) 5 b (ñ5) b 5 b =(ñ5 b)(ñ5+b) y (ñ) (ñy) y=(ñ ñy)(ñ+ñy) 4 y ( ) (ñy) 4 y=( ñy)( +ñy) m 1 (ñm) 1 m 1=(ñm 1)(ñm+1) n (ñn) (ñ) n =(ñn ñ)(ñn+ñ) m n (ñm) (ñn) m n=(ñm ñn)(ñm+ñn) 6

24 soru 1 soru A) ( 4 5)( 4 +5) B) ( 5)( +5) C) ( 5)(+5) D) ( 5)(+5) E) ( 5)( +5) 5 1 4y A) B) y y 4y 4y C) D) y y 4y 4y 1 1 E) y y soru soru 6 a 4 b 6 A) (a b )(a +b ) B) (a b )(a +b ) C) (a b )(a+b ) D) (a b 6 )(a+b 6 ) E) (a b)(a+b) soru soru 7 8 y A) ( 4 y )( 4 +y ) B) ( 4 y)( 4 +y) C) ( 4 y )( 4 +y ) D) ( y)( +y) E) ( y )( +y ) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI a 1 5b A) a a + B) a a + 5b 5b 5b 5b C) a a + D) a a + 5b 5b 5b 5b 1 1 E) a a + b b 16a 1 b A) 8a 8a + B) a a + b b b b C) 4a 4a + D) 4a 4a + b b b b 1 1 E) 4a 4a + b b soru 4 soru 8 a 6 49 A) (a 49)(a +49) B) (a 7)(a+7) C) (a 7)(a +7) D) (a 7)(a +7) E) (a 6 7)(a 6 +7) 5 81 y A) B) y y y y C) D) 9 + y y y y 5 5 E) + y y 1 E A B 4 D 5 E 6 B 7 C 8 A 7

25 Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız. a) =(19 17)(19+17)=.6=7 b) =(97 96)(97+96)=1.19=19 a) b) c) 8 9=8 =(8 )(8+)=80.86=6880 d) = =(111 11)(111+11)=100.1=100 c) 8 9 d) ifadesinin değeri kaçtır, bulunuz. Birbirine yakın olan sayıları gruplayalım. (1 1 ) (66 65 ) =(1 1)(1+1) (66 65).(66+65) = =45 11=114 Cevap: 114 Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız. a) (+) 9=(+) =((+) )((+)+) = ( + )( + + ) =.( + 6) a) (+) 9 b) 16 (+) c) (+1) (+1) d) (a+b c) (a b+c) b) 16 (+) =4 (+) =(4 (+))(4+(+)) =(4 )(4++)=( )(+6) c) (+1) (+1) =((+1) (+1))((+1)+(+1)) =(+1 1)(+1++1)=(+) d) (a+b c) (a b+c) =((a+b c) (a b+c))((a+b c)+(a b+c)) = (a + b c a + b c)(a + b c + a b + c ) =(b c).a =(b c).a=4a.(b c) y +4 4y ifadesini çarpanlarına ayırınız. İfade iki kare farkı içerdiğinden grupları oluştururken bunu dikkate alabiliriz. y +4 4y=( y )+(4 4y) =( y)(+y)+4( y) =( y).(+y+4) Uyarı y +4 4y ifadesini ( +4) (y +4y) şeklinde gruplandırdığımızda ortak çarpan bulamadığımızı görebilirsiniz. 8

26 soru 1 soru ifadesinin değeri kaçtır? (+) 16 A) 150 B) 15 C) 00 D) 04 E) 14 A) (+1)(+5) B) ( 1)(+) C) ( 1)(+7) D) ( )(+7) E) (+1)(+19) soru soru ifadesinin değeri kaçtır? ( 1) (+) A) 590 B) 5810 C) 570 D) 560 E) 5580 A) ( )(5+) B) (+4)(5+) C) ( 4)(5+) D) ( 4)(5 ) E) (+)(5 ) soru soru ifadesinin değeri kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI y + y A) 6 B) 66 C) 7 D) 74 E) 85 A) ( y)(+y+1) B) ( y)(+y 1) C) (+y)( y+1) D) (+y)( y 1) E) ( y)(+y) soru 4 soru ifadesinin değeri kaçtır? y 6 6y A) 7 B) 59 C) 4 D) 4 E) 18 A) (+y)( y+6) B) (+y)( y 6) C) ( y)(+y+6) D) ( y)(+y 6) E) ( y)(+y) 1 D A C 4 E 5 C 6 C 7 A 8 B 9

27 Tamkare Özdeşliği (a+b) =a +ab+b (a b) =a ab+b a b b a b a a a a b a+b b a b a.b a b b a a a a.b a a b Karenin alanı=(a+b) Karenin alanı şekildeki tüm alanların toplamına eşit olduğundan, (a+b) =a +a.b+a.b+b ise (a+b) =a +ab+b dir. Yukarıda bir kenarı (a+b) birim olan kare verilmiştir. a Yukarıdaki şeklin içinde verilenler bulundukları bölgelerin alanlarıdır. a a a b b b b b a b b a b a b a b a a a b b b b.(a b) a b b b b b a b (a b) a b a b b.(a b) a Karenin alanı=a Karenin alanı şekildeki tüm alanların toplamına eşit olduğundan, a =(a b) +b.(a b)+b.(a b)+b a =(a b) +ab b +ab b +b a =(a b) +ab b ise a b b a b b (a b) =a ab+b dir. a a Yukarıda bir kenarı a birim olan bir kare Yukarıdaki şeklin içinde verilenler bulundukları bölgelerin alanlarıdır. ve sağ üst köşesinde bir kenarı b birim olan bir kare verilmiştir. Bu açılımdaki, birimleri, birincinin karesi, birinci ve ikincinin çarpımlarının katı ve ikincinin karesi şeklinde söyleyebiliriz. Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz. a) (+y) b) (+) c) (+1) d) (a+) a) (+y) = +y+y b) (+) = +.+ = +4+4 c) (+1) =() +.().1+1 = d) (a+) =(a) +.(a).+ =9a +1a+4 Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz. a) ( y) b) ( ) c) (4 1) d) (a ) a) ( y) = y+y b) ( ) =.+ = 6+9 c) (4 1) =(4).(4).1+1 = d) (a ) =(a).(a).+ =4a 1a+9 0

28 soru 1 soru 5 (+4) (m ) A) ++4 B) C) +4+4 D) E) +16 A) 4m +9 B) 4m 1m+9 C) 4m 6m+9 D) 4m m+9 E) 4m m+9 soru soru 6 (4a+) (+7) A) 16a +9 B) 16a +1a+9 C) 16a +4a+9 D) 16a +6a+9 E) 16a +48a+9 A) B) C) D) E) soru soru 7 ( 5) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI +6+9 A) +5 B) 5+5 C) +5+5 D) E) 10+5 A) (+) B) ( ) C) (+6) D) ( 6) E) ( ) soru 4 soru 8 (5m ) 4n 0n+5 A) 5m +4 B) 5m 10m+4 C) 5m +10m+4 D) 5m 0m+4 E) 5m +0m+4 A) (4n 5) B) (4n+5) C) (n 5) D) (n+5) E) (4n ) 1 D C E 4 D 5 B 6 E 7 A 8 C 1

29 ( y) ifadesinin eşitini bulunuz. ( y) =( ) +.( ).( y)+( y) = +y+y dir. Cevap: +y+y 1 + ifadesinin eşitini bulunuz = () + () = = + + Cevap: ++ 1 ifadesinin eşitini bulunuz. () () = = + 4 = 4+ Cevap: k ifadesi tamkare olduğuna göre, k kaçtır, bulunuz k=(4) +.(4).+k Açýlýmdan gelen çarpaný 1. terim. terim. terim olduğundan k= =9 dur. Cevap: 9

30 soru 1 soru 5 ( y) A) 4 +4y+y B) 4 4y y C) 4 +y+y D) 4 y+y E) 4 y+y 1 + ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? A) + + B) C) D) + + E) soru soru 6 ( a b) 8+m ifadesi tamkare olduğuna göre, m kaçtır? A) a 6ab+9b B) a +6ab+9b C) a ab+9b D) a +ab+9b E) a ab+b A) 4 B) 8 C) 1 D) 16 E) 0 soru soru 7 1 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 9 6+n ifadesi tamkare olduğuna göre, n kaçtır? A) B) + C) D) + + E) + A) 48 B) 6 C) 16 D) 9 E) 6 soru 4 soru 8 1 a + a A) 4a B) 4a + + C) 4a a a a 1 1 D) 4a E) 4a a a a 1+4 ifadesi tamkare olduğuna göre, a kaçtır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 1 A B E 4 C 5 E 6 D 7 B 8 E

31 +y=9 y +y=16 olduğuna göre, +y toplamının pozitif değerini bulunuz. +y ile y +y nin toplamının +y+y olduğunu görmeliyiz. + y + y + y = + y + y = ( + y) 9 16 olduğuna göre, (+y) =5 ve +y=5 olur. Cevap: 5 =4, y=7, olduğuna göre, y+y ifadesinin değerini bulunuz. y+y =( y) olduğuna göre, ( y) =(4, 7,) =( ) =9 olur. Cevap: 9 =6, y=7,7 olduğuna göre, ( y) +4y ifadesinin değerini bulunuz. ( y) +4y= y+y +4y= +y+y =(+y) olduğuna göre, (+y) =(6,+7,7) =14 =196 olur. Cevap: 196 y=8 y+y =1 olduğuna göre, y farkının pozitif değerini bulunuz. y ile y+y nin toplamının y+y olduğunu görmeliyiz. y+y+y = y+y =( y) olduğuna göre, ( y) =8+1=9 y= Cevap: 4

32 soru 1 soru 5 y=7 y y=9 (+y) 4y olduğuna göre, y farkının pozitif değeri kaçtır? A) (+y) B) +y C) ( y) A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 D) y E) y soru soru 6 a(a+b)=11 b(a+b)=5 olduğuna göre, a+b toplamının negatif değeri kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 =ñ+ñ y=ñ ñ olduğuna göre, ( y) +4y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 4 C) 8 D) 1 E) 18 soru soru 7 =5,9 5y=17 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI y=7,1 olduğuna göre, +y+y ifadesinin değeri kaçtır? y +y= olduğuna göre, y nin pozitif değeri kaçtır? A) 81 B) 100 C) 11 D) 144 E) 169 A) 7 B) 8 C) 15 D) 4 E) 49 soru 4 soru 8 =5+ñ7 y=+ñ7 olduğuna göre, y+y ifadesinin değeri kaçtır? +y=8 4y +y=8 olduğuna göre, +y aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) +16ñ7 B) 17+16ñ7 C) 64 D) 49 E) 4 A) 4 B) C) 0 D) E) 5 1 B D E 4 E 5 C 6 D 7 A 8 A 5

33 y ++1 ifadesini çarpanlarına ayırınız. y ++1=( y)(+y)+(+1) gruplandırmasının başarısız olduğunu görebilirsiniz. Bu tip gruplandırma sorularında tamkare ifadelere dikkat ediniz. y ++1=( ++1) y =(+1) y =(+1 y)(+1+y) Cevap: (+1 y)(+1+y) y +6y 9 ifadesini çarpanlarına ayırınız. y +6y 9= (y 6y+9) = (y ) =( (y ))(+(y ))=( y+)(+y ) Cevap: ( y+)(+y ) +6y+9y ++6y ifadesini çarpanlarına ayırınız. +6y+9y ++6y=( +6y+9y )(+6y) =(+y) +(+y) =(+y)(+y+) Cevap: (+y)(+y+) = A olduğuna göre, A pozitif sayısını bulunuz = A () (8) = + = = = ise A = 4 4 şeklinde yazılırsa, Cevap:

34 soru 1 soru 5 y y+4y ++6y A) (+)(++y) B) ( y)(++y) C) ( y+)( y ) D) (+y)( y+) E) (+y+)( y+) A) (+y)(+y+6) B) (+y)(+y+) C) (+y)(+y+) D) (+y)(+y+) E) (+y)(+y+) soru soru 6 a b 6a+9 a ab+b a+b ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) (a b)(a+b+) B) (a b )(a+b) C) (a b )(a+b ) D) (a )(a b+) E) (a+)(a+b+) A) a b+ B) a+b C) a+b+ D) a b E) a+b soru soru 7 y +y 1 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI = A A) y+1 B) y 1 C) +y D) +y+1 E) y olduğuna göre, A pozitif sayısı kaçtır? A) B) C) D) E) soru 4 soru 8 a b 4b 4 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) a b+ B) a+b C) a b D) a b E) a+b A) B) C) D) E) E C A 4 D 5 B 6 D 7 A 8 D 7

35 6+0 ifadesinin en küçük değeri kaçtır, bulunuz. ( ) = 6+9 olduğunu görerek, ifadeye 9 ekleyip, 9 çıkaralım. 6+0= =( ) +11 Bir sayının karesi en az sıfır olacağından, = için ifade 11 değerini alır. Cevap: 11 +y 4+y+0 ifadesinin en küçük değeri kaçtır, bulunuz. ( ) = 4+4 ve (y+1) =y +y+1 olduğunu görerek ifadeyi düzenlersek, +y 4+y+0= y +y =( ) +(y+1) =( ) +(y+1) +15 = ve y= 1 için ifade 15 değerini alır. Cevap: 15 +y 8+4y+0=0 olduğuna göre, +y toplamı kaçtır, bulunuz. ( 4) = 8+16 ve (y+) =y +4y+4 olduğunu görerek ifadeyi düzenlersek, +y 8+4y+0= y +4y+4 4+0=0 ( 4) +(y+) =0 ( 4) +(y+) =0 Kareleri toplamı sıfır olan sayıların herbiri sıfır olmalıdır. O halde, 4=0 ve y+=0 =4, y= ve +y=4+( )= olur. Cevap: 4 +y +z 4+10z+6=0 olduğuna göre, +y+z toplamı kaçtır, bulunuz. ( 1) =4 4+1 ve (z+5) =z +10z+5 olduğunu görerek ifadeyi düzenlersek, 4 +y +z 4+10z+6= y +z +10z+5 5+6=0 ( 1) +y +(z+5) =0 O halde, 1=0, y=0, z+5=0 olur =, y = 0 ve z = 5 ise + y + z = = 9 Cevap: 8

36 soru 1 soru ifadesinin en küçük değeri kaçtır? +y +6+y+10=0 olduğuna göre, +y toplamı kaçtır? A) B) C) 5 D) 9 E) 10 A) 4 B) C) D) 1 E) 0 soru soru ifadesinin en küçük değeri kaçtır? +y 10+1y+61=0 olduğuna göre, +y toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 10 E) 0 A) 4 B) C) D) 1 E) 0 soru soru 7 +y +6y+0 ifadesinin en küçük değeri kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI +9y +4 6y+5=0 olduğuna göre,.y çarpımı kaçtır? A) 1 B) 14 C) 0 D) 0 E) 45 5 A) 6 B) C) D) 1 E) soru 4 soru 8 +y +6 1y+10 ifadesinin en küçük değeri kaçtır? 4 +16y +z 4+6z+1 ifadesinin en küçük değeri kaçtır? A) 40 B) 5 C) 0 D) 5 E) 0 A) B) 1 C) 0 D) 1 E) 1 C B C 4 B 5 A 6 D 7 E 8 E 9

37 a+b=4 a.b=5 olduğuna göre, a +b ifadesinin değerini bulunuz. (a+b) =a +ab+b olduğuna göre, a +b =(a+b) ab olur. a +b =4.5=16 10=6 Cevap: 6 a+b=6 a +b =0 olduğuna göre, a.b çarpımının değerini bulunuz. (a+b) =a +ab+b olduğuna göre, 6 =0+.ab 6 0=ab 16=ab ve ab=8 olur. Cevap: 8 +y =68.y=16 olduğuna göre, +y toplamının pozitif değerini bulunuz. (+y) = +y+y (+y) = (+y) =68+ (+y) =100 ve +y nin pozitif değeri 10 olur. Cevap: 10 + = 7 olduğuna göre, + 9 ifadesinin değerini bulunuz. + ifadesinin karesini aldığımızda ve terimleri oluşacaktır. 9 + = = = ve + = 49 6 = 4 Cevap: 4 40

38 soru 1 soru 5 a+b=6 a.b=4 olduğuna göre, a +b ifadesinin değeri kaçtır? a +b =7 a.b=11 olduğuna göre, a+b toplamının pozitif değeri kaçtır? A) 0 B) 4 C) 8 D) E) 6 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru soru 6 +y=7 1 y = olduğuna göre, +y ifadesinin değeri kaçtır? +y =8 1 y = olduğuna göre, +y toplamının negatif değeri kaçtır? A) 4 B) 44 C) 46 D) 48 E) 50 A) 5 B) 4 C) D) E) 1 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI a+b=8 a +b =6 olduğuna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır? + = 6 olduğuna göre, + 4 ifadesinin değeri kaçtır? A) 9 B) 5 C) 40 D) 51 E) 58 A) 8 B) C) 4 D) 6 E) 40 soru 4 soru 8 a+b= a +b =y olduğuna göre, a.b çarpımının ve y türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 1 + = 7 olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? y y ( y) A) y B) y C) D) E) A) 9 B) 41 C) 4 D) 45 E) 47 1 C D A 4 D 5 E 6 C 7 B 8 D 41

39 a b=5 a.b= olduğuna göre, a +b ifadesinin değerini bulunuz. (a b) =a ab+b olduğuna göre, a +b =(a b) +ab olur. a +b =5 +.=5+4=9 Cevap: 9 a b=4 a +b =4 olduğuna göre, a.b çarpımının değerini bulunuz. (a b) =a ab+b olduğuna göre, (a b) =a +b ab 4 =4.ab 16=4 ab ab=4 16=8 ve ab=4 olur. Cevap: 4 +y =74.y=5 olduğuna göre, y farkının negatif değerini bulunuz. ( y) = y+y olduğuna göre, ( y) = +y y ( y) =74.5 ( y) =74 10=64 y= 8 olur. Cevap: 8 5 = olduğuna göre, + 5 ifadesinin değerini bulunuz. 5 ifadesinin karesini aldığımızda ve terimleri oluşacaktır = + 5 = = = 14 olur. 5 Cevap: 14 4

40 soru 1 soru 5 a b=6 a.b=4 olduğuna göre, a +b ifadesinin değeri kaçtır? +y =48.y=16 olduğuna göre, y farkının pozitif değeri kaçtır? A) 4 B) 0 C) 6 D) 44 E) 5 A) B) 4 C) 8 D) 4ñ5 E) 10 soru soru 6 y=5.y= olduğuna göre, +y ifadesinin değeri kaçtır? a +b =44 a.b=4 olduğuna göre, a b farkının negatif değeri kaçtır? A) 1 B) 5 C) 9 D) E) 7 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru soru 7 a b=6 a +b =4 olduğuna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 1 = olduğuna göre, + 1 ifadesinin değeri kaçtır? A) 16 B) 0 C) 4 D) 8 E) A) 7 B) 10 C) 11 D) 1 E) 14 soru 4 soru 8 y=8 +y =44 olduğuna göre,.y çarpımının değeri kaçtır? 4 = olduğuna göre, 16 + ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 A) 4 B) 4 C) 8 D) 1 E) 16 1 D C A 4 E 5 B 6 C 7 C 8 D 4

41 +y=6.y= olduğuna göre, y farkının pozitif değerini kaçtır, bulunuz. ( + y) = + y + y ifadelerinden ( y) = y + y (+y) =( y) +4y olduğu görülebilir. 6 =( y) +4. 6=( y) +8 ve ( y) =8 y=ò8 Cevap: ò8 1 = 4 olduğuna göre, 1 + toplamının pozitif değerini bulunuz. (+y) =( y) +4y ifadesinde y yerine 1 yazalım = = = = 0 ve + = 0 Cevap: ò0 +7+1=0 1 olduğuna göre, + toplamının değerini bulunuz. 1 + ifadesini elde edebilmek için, +7+1=0 denklemin- de her terimi e bölelim = 0 ise + + = = = 7 Cevap: 7 5+=0 olduğuna göre, + 4 ifadesinin değerini bulunuz. 4 + ifadesini hesaplamak için ifadelerinden birine ihtiyacımız olacak. Bu nedenle, 5+=0 denkleminde her terimi e bölerek, = 5 + = 0 ve + = 5 bulunur. + = = ve + = 5 4 = 1 Cevap: 1 44

42 soru 1 soru 5 +y=8.y=6 olduğuna göre, y farkının pozitif değeri kaçtır? A) ò5 B) ò8 C) ò10 D) ò4 E) ò11 +5+=0 olduğuna göre, + toplamının değeri kaçtır? A) 5 B) C) 1 D) E) 5 soru soru 6 +y=7.y= olduğuna göre, y farkının pozitif değeri kaçtır? A) ò41 B) ñ5 C) 7 D) ò5 E) ò =0 6 olduğuna göre, farkının değeri kaçtır? A) 11 B) 6 C) 1 D) 6 E) 11 soru soru 7 = olduğuna göre, + toplamının pozitif değeri kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI +5+=0 olduğuna göre, + 9 toplamının değeri kaçtır? A) 10 B) 1 C) 16 D) 19 E) A) B) ñ C) ñ D) ñ E) ñ soru 4 soru 8 + = 8 olduğuna göre, farkının negatif değeri kaçtır? +6 =0 olduğuna göre, + 4 toplamının değeri kaçtır? A) B) 6 C) 40 D) 44 E) 48 A) ò1 B) 8 C) ò66 D) ò79 E) 9 1 C A C 4 A 5 A 6 E 7 D 8 C 45

43 (a+b+c) Özdeşliği (a+b+c) =a +b +c +.(ab+ac+bc) Ayrıca, (a b+c) =a +b +c +.( ab+ac bc) (a+b c) =a +b +c +.(ab ac bc) (a b c) =a +b +c +.( ab ac+bc) özdeşlikleri işaretlere dikkat ederek, kendimiz oluşturabiliriz. (a+b+c) ifadesinin eşitini bulunuz. (a+b+c) =a +b +(c) +.(ab+a.(c)+b.(c)) =a +b +4c +.(ab+ac+bc) =a +b +4c +ab+4ac+4bc (a b ) ifadesinin eşitini bulunuz. (a b ) =(a) +( b) +( ) +.(a( b)+a( )+( b)( )) =9a +b +4+( ab 6a+b) =9a +b +4 6ab 1a+4b (a+b c) ifadesinin eşitini bulunuz. (a+b c) =(a) +b +( c) +.(a.b+a( c)+b.( c)) =4a +b +c +(ab ac bc) =4a +b +c +4ab 4ac bc ( y z) ifadesinin eşitini bulunuz. ( y z) = +( y) +( z) +.(( y)+( z)+( y)( z)) = +9y +4z +( y z+6yz) = +9y +4z 6y 4z+1yz 46

44 soru 1 soru 5 (a+b+c) (a b 1) A) 4a +b +c +(ab+ac+bc) B) 4a +b +c +(ab+ac+bc) C) 4a +b +c +(ab+ac+bc) D) a +b +c +(ab+ac+bc) E) 4a +4b +c +(ab+ac+bc) A) a +9b +1+( ab+a+b) B) a +9b +1+( ab a b) C) a +9b +1+(ab+a b) D) a +9b +1+(ab a+b) E) a +9b +1+( ab a+b) soru soru 6 (+y+) ( +y) A) +y +4+(y++y) B) +y ++(y++y) C) +y +4+(y++y) D) +y ++(y++y) E) +y +4+(+y+) soru soru 7 (a b 1) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) +9+4y +(y 6y) B) +9+4y +( y 6y) C) +9+4y +(y +6y) D) +9+4y +(y+ 6y) E) +9+4y +( y +6y) (+y+1) A) a b 1+( ab a b) B) a +b +1+( ab a+b) C) a +b +1+(ab a+b) D) a +b +1+(ab+a b) E) a +b +1+(ab a b) A) +y +1+(y++y) B) +y +1+(y++y) C) +y +(y++y) D) +y +(y+ y) E) +y +(y+ +y ) soru 4 soru 8 (a b+) (+y+4z) A) 4a +b +9+(ab+6a b) B) 4a +b +9+( ab+6a+b) C) 4a +b +9+(ab 6a b) D) 4a +b +9+( ab+6a b) E) 4a +b +9+( ab 6a+b) A) 4 +9y +16y +(8y+6z+1yz) B) 4 +9y +16y +(6y+8z+1yz) C) 4 +9y +16y +(y+8z+1yz) D) 4 +9y +16y +(6y+4z+1yz) E) 4 +9y +16y +(6y+8z+6yz) 1 C A B 4 D 5 E 6 A 7 A 8 B 47

45 11=a +b +c Cevap: 11 6=a +b +c Cevap: 6 Çarpanlara Ayırma a+b+c=5 ab+ac+bc=7 olduğuna göre, a +b +c ifadesinin değerini bulunuz. 5 (a + b + c) = a + b + c + (ab + ac + bc) 5 =a +b +c =a +b +c a+b c=4 ab ac bc=5 olduğuna göre, a +b +c ifadesinin değerini bulunuz. (a+b c) =a +b +c +.(ab ac bc) 4 =a +b +c =a +b +c a =ab+4 b =ac+ c = bc+ olduğuna göre, a b c ifadesinin değeri kaç olabilir, bulunuz. (a b c) = a + b + c + ( ab ac + bc) = ab ac + + ( bc + ) ab ac + bc (a b c) =4++=9 a b c= veya a b c= olabilir. Cevap: veya a+b=6 ab+a+b= olduğuna göre, a +b ifadesinin değerini bulunuz. a+b=6 ise a+b+1=7 dir. (a+b+1) =a +b +1+.(ab+a+b) (6+1) =a +b =a +b +7 ise a +b =4 Cevap: 4 48

46 soru 1 soru 5 a+b+c=6 ab+ac+bc=4 olduğuna göre, a +b +c ifadesinin değeri kaçtır? A) 4 B) 8 C) 6 D) 40 E) 48 a = ab+6 b = bc+9 c = ac+10 olduğuna göre, a+b+c toplamının pozitif değeri kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru soru 6 a b c=4 ab+ac bc= olduğuna göre, a +b +c ifadesinin değeri kaçtır? A) 0 B) 18 C) 16 D) 14 E) 1 =yz+8 y =z+15 z = y+1 olduğuna göre, +y z ifadesinin negatif değeri kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 soru soru 7 y z=6 y+z yz=4 olduğuna göre, +y +z ifadesinin değeri kaçtır? A) 6 B) 8 C) 40 D) 4 E) 44 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 4 = 8y+4 4y = 4z+5 z = 4yz+7 olduğuna göre, +y+z ifadesinin negatif değeri kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 soru 4 soru 8 y z=8 y+z yz= olduğuna göre, +4y +z ifadesinin değeri kaçtır? +y=7 y y=4 olduğuna göre, +y ifadesinin değeri kaçtır? A) 60 B) 6 C) 64 D) 66 E) 70 A) 4 B) 7 C) 8 D) 0 E) 1 B A E 4 E 5 D 6 E 7 A 8 B 49

47 (+y) ve ( y) Açılımları (+y) = + y+y +y ve ( y) = y+y y Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz. a) (+1) b) (+) c) (+1) d) (+) a) (+1) = = b) (+) = = c) (+1) =() +.() = d) (+) =() +.() = Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz. a) ( 1) b) ( ) c) ( 1) d) ( ) a) ( 1) = = + 1 b) ( ) =.+. = c) ( 1) =().() = d) ( ) =().().+.. = y=15 y +y =1 olduğuna göre, +y toplamının değeri kaçtır, bulunuz. ( + y) = + y + y + y 15 1 (+y) =15+1=7 ve +y= olur. Cevap: +y =1 y + y=14 olduğuna göre, y farkının değeri kaçtır, bulunuz. ( y) = y+y y =( +y ) ( y+y ) =1 14= 1 ( y) = 1 ise y= 1 Cevap: 1 50

48 soru 1 soru 5 (+) A) B) C) D) E) y =17 y+y =47 olduğuna göre, +y toplamının değeri kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru soru 6 (4+1) A) B) C) D) E) y =1 y+y =5 olduğuna göre, +y toplamının değeri kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru soru 7 ( ) A) + 1 B) C) D) E) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI y=1 y y =1 olduğuna göre, y farkının değeri kaçtır? A) B) C) ñ D) 5 E) 4 soru 4 soru 8 (4 ) A) B) C) D) E) y =1 y y = olduğuna göre, y farkının değeri kaçtır? A) B) C) 18 D) 4 E) 5 1 D B B 4 E 5 C 6 A 7 A 8 C 51

49 +y=4 y= olduğuna göre, +y toplamının değeri kaçtır, bulunuz. (+y) = + y+y +y (+y) = +y +y(+y) 4 = +y = +y +4 ve +y =40 olur. Cevap: 40 Uyarı (+y) = +y +y(+y) eşitliğinin bu tür sorularda kolaylık sağladığını görebilirsiniz. 1 + = 5 olduğuna göre, + 1 toplamının değeri kaçtır, bulunuz. (+y) = +y +y(+y) = = = ve + = 110 olur. Cevap: 110 y= y=4 olduğuna göre, y farkının değeri kaçtır, bulunuz. ( y) = y+y y ( y) = y y( y) = y.4. 7= y 6 ve y =6 olur. Cevap: 6 Uyarı ( y) = y y( y) eşitliğinin bu tür sorularda kolaylık sağladığını görebilirsiniz. = olduğuna göre, 8 farkının değeri kaçtır, bulunuz. ( y) = y y( y) = 8 = = 1 ve = 0 olur. Cevap: 0 5

50 soru 1 soru 5 +y=6.y=4 olduğuna göre, +y toplamının değeri kaçtır? y=5.y= olduğuna göre, y farkının değeri kaçtır? A) 144 B) 160 C) 180 D) 19 E) 16 A) 15 B) 15 C) 145 D) 155 E) 165 soru soru 6 a+b=4 a +b =40 olduğuna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır? a b= a b =18 olduğuna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır? A) 1 B) C) D) 4 E) 5 A) 5 B) 4 C) D) E) 1 soru soru 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 4 + = olduğuna göre, + 64 toplamının değeri kaçtır? 1 = 5 olduğuna göre, 1 farkının değeri kaçtır? A) 18 B) 15 C) 1 D) 9 E) 6 A) 110 B) 10 C) 10 D) 140 E) 150 soru 4 soru 8 +1=0 olduğuna göre, + 1 toplamının değeri kaçtır? + =0 olduğuna göre, 8 farkının değeri kaçtır? A) 1 B) 15 C) 18 D) 1 E) 4 A) 45 B) 40 C) 5 D) 0 E) 5 1 A B D 4 C 5 D 6 E 7 D 8 A 5

51 İki Küp Farkı ve Toplamı ( y) = y+y y olduğunu biliyoruz. İfadeyi düzenlersek, y =( y) + y y =( y) +y( y) =( y)(( y) +y) =( y)( y+y +y) y =( y)( +y+y ) açılımını elde ederiz. (+y) = + y+y +y olduğunu biliyoruz. İfadeyi düzenlersek, +y =(+y) y y =(+y) y(+y) =(+y)((+y) y) =(+y)( +y+y y) +y =(+y)( y+y ) açılımını elde ederiz. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 1 b) 8 1 c) 7 8 a) 1= 1 =( 1)( ) =( 1)( ++1) b) 8 1=() 1 =( 1)(() ) =( 1)(4 ++1) c) 7 8=() =( )(() +().+ ) =( )(9 +6+4) 8a 15b ifadesini çarpanlarına ayırınız. 8a 15b =(a) (5b) =(a 5b)((a) +(a)(5b)+(5b) ) =(a 5b)(4a +10ab+5b ) Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) +1 b) 7 +1 c) a) +1= +1 =(+1)(.1+1 ) =(+1)( +1) b) 7 +1=() +1 =(+1)(().1+1 ) =(+1)(9 +1) c) 8 +15=() +5 =(+5)(() ().5+5 ) =(+5)(4 10+5) 16m +7n ifadesini çarpanlarına ayırınız. 16m +7n =(6m) +(n) =(6m+n)((6m) 6m.n+(n) ) =(6m+n)(6m 18mn+9n ) 54

52 soru 1 soru A) (+)( +4) B) (+)( 4) C) ( )( ++4) D) ( )( +4) E) ( )( 4) A) (+)( ++9) B) (+)( +9) C) (+)( +9) D) ( )( ++9) E) ( )( +9) soru soru A) (+)(4 6+9) B) (+)(4 6 9) C) ( )(4 +6 9) D) ( )(4 +9) E) ( )(4 +6+9) A) (+)(9 +6+4) B) (+)(9 6+4) C) (+)(9 +4) D) ( )( ) E) ( )(9 6+4) soru soru 7 7a 15b KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI 15a +b ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) (a 5b)(9a +15ab+5b ) B) (a 5b)(9a +5b ) C) (a+5b)(9a 15ab+5b ) D) (a+5b)(9a 5b ) E) (a+5b)(9a +15ab+5b ) A) 5a b B) a+5b C) 5a +5ab+b D) 5a 5ab+b E) 5a +b soru 4 soru 8 16m n ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? 4m +8n ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 6m+n B) 6m +6mn+n C) 6m 6mn+n D) 6m 6mn+n E) 6m +6mn+n A) 7m n B) m+7n C) 7m+n D) 49m +14mn+4n E) 49m 14mn 4n 1 C E A 4 E 5 B 6 B 7 D 8 C 55

53 (+y) n açılımı 0 ( + y) = 1 1 ( + y) = + y ( + y) = + y + y ( + y) = + y + y + y Paskal Üçgeni Bu açılımları incelediğimizde, in kuvvetleri azalırken, y nin kuvvetlerinin arttığını söyleyebiliriz. Terimlerin katsayıları ise paskal üçgeni yardımı ile bulunur. Paskal üçgeninde dikkat etmeniz gerekenler; 1) Her satırın 1 ile başlayıp 1 ile bittiği. ) Bir satırdaki yanyana olan iki sayının toplamının alt satırda onların arasına yazılan sayıyı verdiği. ) Bu işlem istenildiği kadar yapılarak paskal üçgenin yeni satırlarının oluşturulabileceği Aşağıdaki açılımları yapınız. a) (+y) 4 b) (+y) 5 c) (+) 4 Açılımlarda katsayıların, pascal üçgenindeki satırlardan geldiğini dikkat ediniz. a) (+y) 4 = 4 +4 y+6 y +4y +y 4 b) (+y) 5 = y+10 y +10 y +5y 4 +y 5 c) (+) 4 = = Uyarı ( y) n açılımı oluşurken, (+y) n açılımında yerine y yazılacağı için terimler aynı kalır fakat terimlerin işaretleri +, +,... şeklinde devam eder. Aşağıdaki açılımları yapınız. a) ( y) 4 b) ( 1) 5 a) ( y) 4 = 4 4 y+6 y 4y +y 4 b) ( 1) 5 =() 5 5() ().1 10().1 +5.() = (+1) 6 açılımını yapınız. Paskal üçgenini devam ettirirsek, satırından sonra satırı oluşur. (+1) 6 = = P(,y)= 4 +4 y+6 y +4y +y 4 olduğuna göre, P(ñ5, 5 ñ5) ifadesinin değeri kaçtır, bulunuz y+6 y +4y +y 4 =(+y) 4 olduğuna göre, P(,y)=(+y) 4 ve P(ñ5,5 ñ5)= ( = 4 =81 Cevap: 81 56

54 soru 1 soru 5 (+1) 4 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? ( 1) 6 = k olduğuna göre, k kaçtır? A) 4 +1 B) C) D) 4 +4 E) A) 0 B) 15 C) 6 D) 15 E) 0 soru soru 6 (+) 5 = m +n+ olduğuna göre, m+n toplamı kaçtır? ( ) 4 açılımında li terimin katsayısı kaçtır? A) 80 B) 100 C) 10 D) 140 E) 160 A) 144 B) 168 C) 19 D) 16 E) 40 soru soru 7 ( 1) 4 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI P()= + 1 olduğuna göre, P( 7 +1) ifadesinin değeri kaçtır? A) 4 +1 B) C) D) E) A) 1 B) C) 5 D) 7 E) 9 soru 4 soru 8 ( ) 5 = k +m 4 olduğuna göre, m k farkı kaçtır? P(,y)= y+10 y +10 y +5y 4 +y 5 olduğuna göre, P( ñ,ñ 4) ifadesinin değeri kaçtır? A) 15 B) 5 C) 05 D) 405 E) 675 A) B) 1 C) 0 D) 1 E) 1 C E C 4 E 5 A 6 D 7 D 8 A 57

55 Değişken Değiştirme Yöntemi ile Çarpanlara Ayırma Verilen ifade uygun değişken değiştirme ile çarpanlara ayrılabilir hale getirilebilir ifadesini çarpanlarına ayırınız. yerine a yazarsak, ifade ( ) 5( )+6=a 5a+6 üç terimlisine dönüşür. a 5a+6=(a ).(a )=( ).( ) olur. a a Cevap: ( ).( ) ( ) ( ) ifadesini çarpanlarına ayırınız. yerine a yazarsak, ifade ( ) ( ) =a a üç terimlisine dönüşür. a a =(a ).(a+1)=( ).( +1) a a =( )(+1)( +1) olur. Cevap: ( )(+1)( +1) ifadesini çarpanlarına ayırınız =( )..+4 ifadesinde yerine a yazarsak, a a a+4 Dört terimlisine dönüşür. a a a+4= a (a ) (a ) =(a )(a ) olur. a yerine yazarak, ( )(( ) ) bulunur. Cevap: ( )( ) ña ñb= a b=1 olduğuna göre, a kaçtır, bulunuz. ña= ve ñb=y değişken değiştirmeleri yaparsak, a= ve b=y olur. ña ñb= ise y= a b=1 ise y =1 olur. y =( y)(+y) 1=.(+y) ise +y=6 y = Denklem sisteminden + y = 6 = 4 ve y = bulunur. ña= ise ña=4 ve a=16 olur. Cevap: 16 58

56 soru 1 soru A) ( )( 4) B) ( )( +4) C) ( )(+4) D)( +)( +4) E) ( )( )(+) A) ( 4)( ) B) ( +4)( +) C) ( +4)( ) D)( 4)( +) E) ( +1 +4)( +1 ) soru soru A) ( +4)( ) B) ( 4)( +) C) ( 8)( +1) D)( +8)( 1) E) ( 8)(+1) A) ( 1)(9 +) B) ( +1)(9 ) C) ( 1)(9 ) D)( +1)( ) E) ( 1)( +) soru soru 7 ( +) ( +) 4 ña+ñb=6 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? a b=4 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) + B) + 1 C) ++1 D) +4 E) ++4 olduğuna göre, b kaçtır? A) 1 B) C) 4 D) 9 E) 5 soru 4 soru 8 Aşağıdakilerden hangisi ( ) 11( )+4 ifadesinin bir çarpanı değildir? A) 4 B) C) D) +1 E) + 4y=16 ñ ñy= olduğuna göre, kaçtır? A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) 5 1 E B C 4 C 5 D 6 C 7 A 8 E 59

57 Terim Ekleyip Çıkarma Yolu ile Çarpanlara Ayırma Çarpanlara ayrılacak ifadeyi özdeşliklere benzeterek çarpanlara ayırma işlemi yapabiliriz ifadesini çarpanlarına ayırınız. ( +1) = olduğunu görerek, ifadeye ekleyerek, çıkaralım = = =( +1) (İki kare farkı) =( +1 )( +1+) Cevap: ( +1 )( +1+) 4 +4 ifadesini çarpanlarına ayırınız. ( +) = olduğunu görerek, ifadeye 4 ekleyerek, 4 çıkaralım. 4 +4= =( +) () (İki kare farkı) =( + )( ++) Cevap: ( + )( ++) ifadesini çarpanlarına ayırınız. (+1) = olduğunu görerek, + ++9= =(+1) +8 =(+1) + a=+1 için a + =(a+)(a a+4) =((+1)+)((+1) (+1)+4) = ( + )( ) =(+)( +) Cevap: (+)( +) y 4 6y 5 ifadesini çarpanlarına ayırınız. ( ) = 4+4 ve (y+) =y +6y+9 olduğunu görerek ifadeyi düzenlersek, ( 4+4 4) (y +6y+9 9) 5 =( ) 4 (y+) +9 5 =( ) (y+) (İki kare farkı uygulayalım.) =(( ) (y+))(( )+(y+)) =( y )( +y+) =( y 5)(+y+1) Cevap: ( y 5)(+y+1) 60

58 soru 1 soru ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) + D) ++ E) 4 A) ++5 B) 7 C) +7 D) + E) + soru soru ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A) ( +4)( ++4) B) ( +4)( ++4) C) ( 4)( +4) D)( 4)( +4) E) ( 4)( +4) A) + B) +1 C) D) + E) soru soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI y 4y A) ( 4 +1)( 4 1) B) ( 4 +1)( ) C) ( 4 1)( ) D)( 4 + 1)( ) E) ( 4 1)( 4 + 1) A) (+y )( y+1) B) ( y )(+y+1) C) ( y )( y+1) D)(+y )(+y+1) E) (+y+)( y 1) soru 4 soru y 1+10y 16 A) ( 4 4)( 4+16) B) ( +4 4)( +4 16) C) ( +4)( +16) D)( 4 8)( 4+8) E) ( 4+8)( +4+8) A) ( y )(+y+8) B) ( y+)(+y 8) C) ( y+)(+y+8) D)( y 4)(+y+4) E) ( y+4)( y 4) 1 D A B 4 E 5 C 6 E 7 B 8 B 61

59 RASYONEL İFADELERİN SADELEŞTİRİLMESİ Verilen ifadenin pay ve paydasındaki ifadeler çarpanlara ayrılarak ortak çarpan varsa sadeleştirme yapılabilir. Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz. + 6 a) b) c) a) b) c) + 6 ( + ) = = ( + ) ( + 5) = = + 10 ( + 5) 4 1 4( ) 4 = = ( )( ) 4 ifadesinin en sade halini bulunuz. 4 ( ) ( + ) = = ( ) + Cevap: ifadesinin en sade halini bulunuz = ( )(+1) = (+1) ( )( ) ( ) Cevap: ifadesinin en sade halini bulunuz = ( )(+4) = (+4) ( )(+) (+) Cevap:

60 soru 1 soru ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) soru soru ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? + 4 A) B) C) D)+ 4 E) A) B) C) D) E) soru soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 1 D) E) A) B) C) D) E) soru 4 soru 8 a + a a 1 ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? 6m + 5m + 1 4m 1 ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? a a a + 1 a 1 a A) B) C) D) E) a 1 a + 1 a 1 a + 1 a + 1 m 1 m + 1 m 1 m + 1 m + 1 A) B) C) D) E) m 1 m 1 m + 1 m 1 m B B C 4 A 5 A 6 D 7 C 8 D 6

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir.

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. 1 B)ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER: Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara Ayırma Yöntemleri: 1)Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Çarpanlara Ayırma 5 52 Polinomlar 53 100 İkinci Dereceden Denklemler 101 120 Karmaşık Sayılar

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C )

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C ) Önce ÇARPMA ve Bölme, sonra Toplama ve Çıkarma. 3.4+10:5-3 = 12+2-3 = 11 ( C ) Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) 72:24+64:16 = 3+4 = 7 ( B

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK YGS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI CEVAP ANAHTARI RASYONEL SAYILAR ONDALIK SAYILAR ÖRNEKLER (Sayfa -) 6 ) ) ) 6) ; ; ) 0) ) ; 8 ) ) ) 0 ) 6 0 0 8) 0 ) 0) 6 ) 8 ) 8 8) ) ; 6

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

EŞİTLİK - EŞİTSİZLİK. EġĠTLĠK HAZİNE-1. IġIK-1 a = a ( yansıma ) Her sayı kendisine eģittir.

EŞİTLİK - EŞİTSİZLİK. EġĠTLĠK HAZİNE-1. IġIK-1 a = a ( yansıma ) Her sayı kendisine eģittir. EŞİTLİK - EŞİTSİZLİK HAZİNE- ÜÇ HAL KURALI: a ve b gerçel sayıları için; a < b veya a = b veya a > b ifadelerinden biri ve yalnız biri doğrudur. DNA- 00 den büyük olmayan üç doğal sayının toplamı 34 ise

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8..1.3. Özdeşlikleri modellerle açıklar. Özdeşlik 3 + = + 3 eşitliğinin özdeşlik olup olmadığını inceleelim. İçerdiği değişken vea değişkenlerin alabileceği her gerçek saı değeri için doğru olan

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

DERS NOTLARI. Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi

DERS NOTLARI. Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi DERS NOTLARI Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi DERS-4 07.03.2016 Standart Formlar (CanonicalForms) Lojik ifadeler, çarpımlar toplamı ya da toplamlar çarpımı formunda ifade

Detaylı

EŞĐTSĐZLĐKLER MATEMATĐK ĐM. Eşitsizlikler YILLAR /LYS. 14) Özel olarak. x >x ÖZELLĐKLER.

EŞĐTSĐZLĐKLER MATEMATĐK ĐM. Eşitsizlikler YILLAR /LYS. 14) Özel olarak. x >x ÖZELLĐKLER. YILLAR 00 00 00 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - / - /LYS EŞĐTSĐZLĐKLER =y,,, y,,, < y y,,, > y,,, y (tarif et ) ÖZELLĐKLER ) > veya < 0

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

1981 ÖSS olduğuna göre, aşağıdakilerden c hangisi kesinlikle doğrudur? A) a>0 B) c<0 C) a+c=0 D) a 0 E) c>0 A) 12 B) 2 9 C) 10 D) 5 E) 11

1981 ÖSS olduğuna göre, aşağıdakilerden c hangisi kesinlikle doğrudur? A) a>0 B) c<0 C) a+c=0 D) a 0 E) c>0 A) 12 B) 2 9 C) 10 D) 5 E) 11 98 ÖSS. >0 olmak koşulu ile 2+, 3+, 4+ sayıları bir dik üçgenin kenar uzunluklarını göstermektedir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç birimdir? A) 2 B) 2 9 C) 0 D) 5 E) 2a c 6. 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden

Detaylı

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ SORU-1.

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

4.2.1 Sayma Sistemleri

4.2.1 Sayma Sistemleri . Taban Aritmetiği.. Sayma Sistemleri a. 9 Etkinlik. a. gün; kaç yıl, kaç ay, kaç hafta, kaç gündür? ( yıl gün, ay 0 gün sayılacaktır.) b. 7 saniye; kaç saat, kaç dakika, kaç saniyedir? c. 7 kg fındık

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU 19 KASIM 2011 SORULAR

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU 19 KASIM 2011 SORULAR OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 10. OYAK MATEMATİK YARIŞMASI İL BİRİNCİLİĞİ SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA -

Detaylı

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATLARI BİRİNCİ AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TARİHİ VESAATİ:16 NİSAN 2011 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav

Detaylı

1995 ÖYS. a+ =3a a= Cevap:D. Çözüm: Çözüm: Çözüm:

1995 ÖYS. a+ =3a a= Cevap:D. Çözüm: Çözüm: Çözüm: 99 ÖYS. a b c d ve a, b, c, d tek sayılar olmak üzere, abcd dört basamaklı en büyük sayıdır? Bu sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir? A) B) 6 C) 9 D) E) a, b, c, d rakamları birbirinden

Detaylı

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor.

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor. Bölüm: Doğal Sayılar ve Tamsayılar Test: Temel Kavramlar. abc ve cba üç basamaklı doğal sayılardır. abc cba = 97 olduğuna göre, abc biçiminde yazılabilecek en küçük doğal sayının rakamları toplamı A) B)

Detaylı

barisayhanyayinlari.com

barisayhanyayinlari.com YGS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLLERİ SERİSİ 1 ISBN 978-605-84147-0-9 Baskı Tarihi Ağustos 015 Baskı Yeri: İstanbul YAYINLARI İletişim tel: (538) 90 50 19 barisayhanyayinlari.com Benim için her şey bir

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 5 Nisan 990 Matematik Soruları ve Çözümleri. 0,0703.(0,3 0,) işleminin sonucu kaçtır? A) 0,00703 B) 0,0703 C) 0,703 D) 0,0703 E) 0,00703 Çözüm 0,0703.(0,3 0,) 0,0703.0, 0,00703.

Detaylı

DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA

DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA Örnek( 1 ) - - - - (I) yandaki işleme x 1 (II) göre (I) çarpan - - - - kaçtır? 40 + - - - - - - - - - - (ÖSS-8) 40

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI 10. SINIF FİNAL SORULARI 1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, + c + d = 0 denkleminin kökleri a ve b, + a + b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz.. sin + cos cos +

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.08.0 ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 0-0 Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren uy gu lana cak olan prog ra ma gö re

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJENİN AMACI: Projede, permütasyon sorularını çözmek genellikle öğrencilere karışık geldiğinden, binom açılımı kullanmak suretiyle sorulara

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır?

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır? 99 ÖSS.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 6. Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 6, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı A) 70 B) 7 C) 80

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI.

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. Sayfa1 9. Ulusal serimya İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 2011 Sayfa2 1. Bir ABCD konveks dörtgeninde AD 10 cm ise AB CB? m( Dˆ ) 90, ( ˆ) 150 0 0 m C ve m Aˆ m Bˆ ( ) ( ) olarak

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS - 2 2-2 1 1-1 1 kalanı bulmak için sağdan ve + ile başlamak gerekir BÖLÜNEBĐLME KURALLARI 2 Đle Bölünebilme: tüm çift sayılar, yani birler

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı