FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 8. KİTAP HELMHOLTZ DD

Transkript

1 4 FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 8. KİTAP HELMHOLTZ DD k

2 5 İÇİNDEKİLER I. TANIMLAR ve İŞLEMLER A) Vektöle ve Skalala B) İşlemle C) Alanla II. KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER ( DO ) A) B) A ve A C) ve A D) Vektö DO çiftlei III. YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DO A) Jacbian B) Metik Fnksiynlaı ve Biim Vektöle C) Altenatif Tanım D) A Altenatif Tanım E) A Altenatif Tanım F) Altenatif Tanım G) İki Temel Teem

3 6 IV. HELMHOLTZ DD ÇÖZÜMLERİ A) Köken B) Katezyen Kdinatla C) Silindi Kdinatla D) Küesel Kdinatla IV. GREEN FONKSİYONLARI A) Helmhltz DO B) Asimttik Davanış C) Dalga DO EKLER VE NOTLAR

4 7 I. TANIMLAR ve İŞLEMLER A) Vektöle ve Skalala Vektölein ne lup, ne lmadıklaı eğitimin değişik kademeleinde çekingen bi biçimde ve aza aza öğetilen bi knudu. "By ve yöne sahip nesne" veya "Sıalı elemanlı küme" veya "Knum : ( x, y, z) gibi davanan ifade" laak sunulan vektö kavamının geçek tanımı ileide, uzay-zaman simetilei knusunda yapılacaktı. Şimdilik bi vektöün katezyen bileşenlei kullanılaak = x, y, z yeteli lacaktı. A A A A biçiminde ifade edildiği ile yetinmek B) İşlemle Eşitlik için A B A B, A B, A B lması geeki; tplama ve x x y y z z çıkatma ise C A B C A B, C A B, C A B ile veili. Çapma üç başlık altında incelenecekti. x x x y y y z z z i) Bi sayı (skala) ile çapılma : B k A B k A, B k A, B k A x x y y z z ii) Snucu skala lduğu için 'Skala çapım' laak adlandıılan çapım : s A B Ax Bx AyBy Az Bz Bu işlemle ilintili bi kavam da A A A A laak tanımlanan, vektöün byu veya Nm 'udu. Aˆ A da 'Biim vektö' laak adlandıılı. Bu adın geekçesi A AˆAˆ sağlayaak, biim Nm 'a sahip luşudu. iii) Snucu vektö lduğu için 'Vektöel çapım' laak adlandıılan çapım : C A B C A B A B, C A B A B, C A B A B x y z z y y z x x z z x y y x Bu işlemin B A A B özelliği ve dlayısıyla AA 0 luşu dikkat

5 8 çekmektedi. Genellikten ayılmadan A vektöü x-yönünde, B vektöü ise x-y düzleminde lacak şekilde katezyen kdinat sistemi yeniden yönlendiileek ve B B cs, B sin, 0 A A, 0, 0 laak yazılınca AB AB cs lduğu göülü. A, B 0 için AB 0 luşu cs 0 90, 70 veya A ve B nin bibiine dik lduğunun göstegesidi. Aynı yaklaşımla A B vektöünün byu AB sin, yönü ise hem A hem de B 'ye dik lmaktadı. Tplama ve skala ile çapılma kuallaı uyaınca hehangi bi A vektöünün A A, A, A A,0,0 A 0,,0 A 0,0, laak yazılması snucu katezyen biim vektölei bulunu :,0,0, 0,,0, 0,0, eˆ eˆ eˆ. x y z x y z x y z Yukaıda incelenen özellikle bazı gemetik kavamlaın kaaktelei hakkında ipuçlaı vei. y Mesela düzlem pla kdinatlada tan laak tanımlanan açı 'nın x x dy y dx x dy y dx difeansiyeli d laak yazılınca pay 'daki y x x y x ifadenin d, payda 'nın ise lduğu göülü. d ˆ d Bu da d 'nin bi vektö lduğuna ve d = = ile veildiğine işaet ˆ d d d etmektedi. Bu da d d sağla. Diğe gemetik kavamlaı da snsuz küçük vektölele inşa etmek mümkündü : Uzunluk : d ; Yüzey : ds d d dv d d d ve sn laak da Hacım : ˆ ds ds ds Katı Açı : d 4 laak tanımlanıla.

6 9 C) Alanla Eğe bi skala belli bi uzay paçasının he nktasında tanımlı ise Skala alan laak adlandıılı. Aynı duum W lu ve bi W lan bi vektö için geçeli ise bu sefe bi Vektö alanı söz knusudu. Bi dadaki sıcaklık dağılımı T x, y, z, bi skala alana, İstanbul bğazındaki su akıntısının hız dağılımı v v x, y, z önekti. ise bi vektö alana II. KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER ( DO ) A) Matematik eğitiminin ilk aşamalaında klaylık açısından bağımsız değişken sayısının az tutulması, hatta ile sınılanması dğaldı. Ancak içinde yaşadığımız Uzay-Zaman, pblemlee geçekçi bi yaklaşım için + = 4 bağımsız değişkeni zunlu kılmaktadı. Zaman değişkeni biaz etelense bile geçekçi bi gemetinin x, y, z luştuulması geeki. Hehangi bi x, y, z ile fnksiynunun difeansiyeli d dx dy dz laak yazılınca, ilk akla gelen bu ifadeyi bii x y z d dx, dy, dz vektöü lmak üzee, iki vektöün skala çapımı laak yumlamak x y z lacaktı. Difeansiyel d,, dx, dy, dz laak yazıldığında taya çıkan,, x y z vektöü semblü ile gösteili. Biaz syutlama yapılaak "Nabla" difeansiyel peatöü,, x y z laak tanımlanı.

7 40 B) W ve W Elde böyle bi vektö difeansiyel peatö lunca hehangi bi,, W W W W vektö alanı ile luştuulacak x y z W W W x y z x y W tanımlanması dğaldı. z veya eˆ eˆ eˆ x y z W işlemleinin de x y z W W W x y z C) ve W Sn laak W ve W işlemleinin bileşimi lan tanımlanı. Dönmele altında değişmeyen x y z Laplace peatöü laak adlandıılı ve geniş uygulama alanı vadı. Bu peatöün sadece skalalaa değil, W Z laak vektölee de etki edebileceği göülmektedi. D) Vektö DO Çiftlei,, işlemleinin iki tanesinin üstüste uygulanmasından sadece beş geçeli ve anlamlı ifade elde edili : W,, W,, W. W 0, 0 lduğu klayca gösteili. Gei kalan üçü ise W W W özdeşliğini sağlala.

8 4 PROBLEMLER P.. ) W 0 lduğunu, dlayısıyla B 0 duumunda B A yazılabileceğini göstein. P.. ) 0 lduğunu, dlayısıyla E 0 duumunda E V yazılabileceğini göstein. P.. ) W W W özdeşliğini ispatlayın. III. YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DO A) Jacbian Katezyen kdinat sistemleinin en önemli özelliği biim vektölein yönleinin knumdan bağımsız lmasıdı; dlayısıyla hehangi bi nktadaki e ˆx ile, bambaşka bi nktadaki e ˆy biim vektölei eˆ eˆ 0, eˆ eˆ eˆ benzei eşitliklei sağlala. Ancak dğanın x y x y z simetilei açısından katezyen kdinatla he zaman elveişli değildi. Mesela katezyen kdinatlada küe denklemi x y z R iken küesel kdinatlada tek değişken cinsinden R laak yazılı. Katezyen dışı kdinat sistemlei luştuuken yeni kdinatlada en azından yeel laak dik lma şatı aanacaktı. Böylece veilen bi nktada eˆ ˆ e 0, eˆ eˆ ˆ e ve benzei ifadele geçeliliğini kuyacaktı. Katezyen kdinatla: x, y, z,, 'dan yeel dik kdinatla q q q 'e geçeken başlangıç nktası q q ; i, j,,,, tanımlaı ve j j i bunlaın tes yüz edilmesi snucu eişilen q ; i, j,, ifadelei lacaktı. i i j

9 4 Bu aşamada kdinat sistemi değişikliğinin alanlaı ve hacımlaı kaçınılmaz bi biçimde yamulttuğu hesaba katılmalıdı. x-y düzleminde P:,4, Q : 4, nktalaının katezyen kdinatlada akla getidiği alan x, x 4, y, y 4 dğulaının belilediği biimlik alandı. Öte yandan aynı nktala pla kdinatlada P : 5, 5, Q : 5, 7 laak ifade edildiklei için 5 eğisi ve 5, 7 dğulaı aasında hiç bi alan kalmadığı göülü. Ancak iki kdinat sisteminde de PQ uzaklığının lması dğu çözüm ylunu göstemektedi : kdinat sistemlei değişse bile iki nkta aasındaki uzaklık aynı kalı. Dlayısıyla çıkış nktası çk yakın iki nkta aasındaki uzaklığın, veya uzaklık kaesinin x x x değişmezliği lacaktı. dx dq dq dq q q q ile dy, dz için yazılacak benzei ifadele matis gösteiminde x x x dx dq q q q y y y dy = dq q q q z z z dz dq q q q biçiminde özetlenebili. Kısmi tüevleden luşan matis Jacbian laak adlandıılı ve J ile gösteili. İki nkta aasındaki uzaklığın kaesi dx dq dx dy dz dy dq dq dq dq dz dq J J laak yazılısa, kdinat sisteminin yeel dik lma şatının J J çapımının pzitif ve diyagnal bi matis lmasına eşdeğe lduğu anlaşılı. J J G 'Metik' laak adlandıılı.

10 4 B) Metik Fnksiynlaı ve Biim Vektöle Gene pzitif ve diyagnal bi matis lan H ise H J J laak tanımlanı ve dx dx dy dz dy dz h dq h dq h dq h dq h dq h dq ifadesi de biçimini alı. Böylece dx dy dz 'nin yeini alacak uzunlukla d i hi dqi lmaktadı. Bu nktada yeel dik kdinat sistemleinde hacım elemanının d d d h h h dq dq dq, alan vektö elemanlaının da h h dq dq, h h dq dq, h h dq dq ile veileceği göülmektedi. d dx e ˆ dy e ˆ dz e ˆ d eˆ d eˆ d eˆ ve x y z x x x dx q q q y y y d dy = dq dq dq q q q z z z dz q q q x x x q q q y y y d d d h q h q h q z z z q q q eşitlikleinin kaşılaştıılmasından eˆ i x qi y hi qi z qi lduğu anlaşılı.

11 44 Ancak daha kestime bi yl: snucun biim vektö lacağı bilindiğine göe Jacbian matisinin sütunlaını nmalize edeek e ˆi biim vektöleini bulmak, nmalizasyn için geekli bölmeyi yapaken kullanılan ifadeyi de h i laak belilemekti. Knuya tam hakim lmadan yapılacak hesaplada uzun ylu tecih etmek, kestime ylu ise kntl için kullanmak en emniyetli yaklaşımdı. C) Altenatif Tanım Katezyen kdinatlada tanımlanan difeansiyel peatö işlemleini yeel dik q q q kdinatlada da ifade edebilmek için x x q x q x q benzei kısmi tüev zinci kuallaı kullanmak uzun ve zahmetli bi yldu. Bunun yeine d d dq dq dq q q q ile veildiğine ve d h dq, h dq, h dq lduğuna göe laak klayca yazılı.,, h q h q h q D) A ve A Altenatif Tanımlaı Ancak A ve A ifadelei için kestime bi gemetik yaklaşım benimseneek ds kapalı bi yüzey üzeindeki alan elemanı, V de bu kapalı yüzeyin içinde kalan hacım lmak üzee A ds A Lim ve d kapalı bi eği byunca yl elemanı, V V 0 S de bu kapalı eğinin içinde kalan alan lmak üzee Lim A S 0 A d S Sˆ kullanılı. Uzun ancak basit işlemle snucu

12 45 h h A h h A h h A A hh h q q q ve h eˆ h eˆ h eˆ eˆ ˆ eˆ e h h h h h h A h h h q q q q q q h A h A h A h A h A h A bulunu. () E) Altenatif Tanım Laplace peatöü ise hh hh hh hh h q h q q h q q h q peatöün geeğinde vektölee de etkili lacağı unutulmamalıdı. lmaktadı; ancak bu F) İki Temel Teem A ds A Lim eşitliği V 0 kşulundan dlayı yeel bi ifadedi. V V 0 Öte yandan kmşu iki hacmın tak duvalaından bi hacım için pzitif lan A ds, kmşu hacım için negatif lacağı için net katkı sıfı lu. Bu işlem tak duvaı lmayan sınıa kada südüüleek, yeelden glbale bi genelleme sağlanı ve A dv elde edili. () Aynı mantıkla A ds A d lmaktadı. () S V AdS S

13 46 PROBLEMLER P.. ) Bi vektö alanı W, a, b, c nktasında W A, B, C değeini alıy. W vektöünün silindi kdinat bileşenleini hesaplayın. P.. ) Bi vektö alanı W, a, b, c nktasında W A, B, C değeini alıy. W vektöünün küesel kdinat bileşenleini hesaplayın. laak tanımlanan,, z P.. ) x s cs, y s sin, z z silindi kdinatla için h j metik fnksiynlaını, ˆ j e biim vektöleini,, A, A, ifadeleini elde edin. P..4 ) x sin cs, y sin sin, z cs laak tanımlanan,, küesel kdinatla için h j metik fnksiynlaını, ˆ j e biim vektöleini,, A, A, ifadeleini elde edin. ifadesini w cs kullanaak yeniden yazın.

14 47 P..5 ) x, y, z z silindi paablik kdinatla için j laak tanımlanan,, z h metik fnksiynlaını, ˆ j e biim vektöleini,, A, A, ifadeleini elde edin. P..6 ) x cs, y sin, z laak tanımlanan,, paablik kdinatla için j h metik fnksiynlaını, ˆ j e biim vektöleini,, A, A, ifadeleini elde edin. IV. HELMHOLTZ DD ÇÖZÜMLERİ A) Köken Deney snuçlaının, deneyin şuada veya buada ; bugün veya yaın yapılmasından bağımsız lması geeği, dğa kanunlaı i i ai, t t dönüşümlei altında değişmeyen, i t peatölei cinsinden yazılmalıdı. Uzay ve zaman tesinmesi altında değişmeyen en basit difeansiyel peatöle ise i peatöleinin uzayda dönmele altında değişmeyen bileşimi ise i, t lacaktı. x y z lmak zundadı. Dönmele altında değişmezlikten daha da genel lan ve dğanın çk temel bi simetisi lan Lentz dönüşümlei altında değişmezlik ise, c ışık hızı lmak üzee, c t Dalga denklemi laak adlandıılan t difeansiyel peatöünü geektii., 0 denkleminin çözümünde

15 değişkenlee ayıştıma metdu kullanılaak, t t biçiminde bi çözüm 48 benimseni. Zamanda salınım yapan snuçla azu edildiği için d c dt denkleminin bii sadece uzaya, diğei de sadece zamana bağlı teimlei ayı ayı eşitleni. Böylece tanımıyla t 0 exp it ck k 0 Helmhltz, ve nun 0 çözümü ve k özel hali lan Laplace, denklemlei elde edili. Bu denklemlein değişik kdinat sistemleinde k 'ye çözümleinde, tignmetik ve hipeblik fnksiynlaa ek laak, başta Bessel, Küesel Bessel ve Küesel Hamnikle lmak üzee özel fnksiynla ye alı. 0 B) Katezyen Kdinatla k 0 Helmhltz denklemi katezyen kdinatlada x y z k x, y, z 0 laak yazılıp, çözüm de bi çapım laak x, y, z X x Y y Z z kabul edilise d X d Y d Z k X dx Y dy Z dz 0 elde edili. Ayı ayı, tek bie değişkene bağlı teim ve bi sabitten luşan bu eşitlik k k k k k lmak üzee X dx d X Y dy d X Z dz dz exp k X x ik x, exp k Y y ik y, k Z z exp ik z denklemleine indigenmektedi. Kısmi tüevli DD çözümleinde Değişkenlein Ayıştıılması laak adlandıılan bu metdun snucunda çözüm A expikx expik yexp ikz 0 expik laak belileni.

16 49 C) Silindi Kdinatla s k s,, z 0 s s s s z DD ine değişkenlein ayıştıılması metdunu kademeli laak uygulamak geeki. Helmhltz denklemine s,, z S s Z z kabul edileek d ds d d Z s k S s ds ds s d Z dz 0 biçimi veili. Z dz dz Önce k Z z expik z çözümü ve k k k k tanımıyla d ds d s S s ds ds s d 0 veya d ds d s s s S ds ds d ifadesinin d 0 aa snucu bulunu. Bu nktada d sağlayan, tek değeli ve dlayısıyla anlamlı bi çözüme yl açması için m 0,,,,... lmak üzee m ye eşitlenmesi geeki. d dz m expim sağlanmış lu. Geiye kalan s S ss s m S vei ve böylece d ds s s s m S 0 veya ds ds şatı 0 denklemi ise çözümlei J s, N s ile veilen Bessel DD idi. Böylece bulunu. Jm s im ik z Nm s m exp exp m

17 50 D) Küesel Kdinatla w k,, 0 w w w w, w, R W w kabul edileek DD i d dr d dw d w k 0 R d d W dw dw w d biçimine dönüşü. Önce tüm denklem w ile çapılaak d d teimi yalnız bıakılı. Bunun d d m expim snucunu vediği hatılanaak, denklem d dr d dw w w w m k w 0 veya R d d W dw dw d dr d dw m w k 0 R d d W dw dw w halini alı. d dw m w W dw dw w lmak üzee teimlei, 0,,,... 'e d dw m W 0 dw dw w eşitleneek Genelleşmiş Legende DD 'i w elde edili. Bu DD in çözümlei lan Genelleşmiş Legende Plinmlaı, expim W w P w m,, ˆ m m m ile bileşeek Y Y w Y Küesel Hamnik fnksiynlaını veile. d dr k R 0 d d veya Geide kalan teimlein luştuduğu DD ise çözümlei, 0 R R k R j k n k ile veilen

18 5 Küesel Bessel DD 'idi. Böylece ulaşılmaktadı. j k Y m n k ˆ snucuna PROBLEMLER P.4. ) Silindi kdinatlada Helmhltz ve Laplace çözümleini kaşılaştıaak m N z fnksiynlaının z 0 civaında asimttik davanışlaını bulun. Jm z ve P.4. ) Küesel kdinatlada Helmhltz ve Laplace çözümleini kaşılaştıaak n z fnksiynlaının z 0 civaında asimttik davanışlaını bulun. j z ve P.4. ) Elektdinamiğin Temel Matematik Yapısı : i) Maxwell Öncesi yapılan deneylee dayalı 4 Maxwell denkleminin integal (glbal) biçimleinin : S E ds Qiç dv, B ds 0 V S B d Iiç J ds, C S C d E d B ds dt S laak yazıldığını göün,

19 5 ii) İki temel teemi kullanaak, bu denklemlein difeansiyel (yeel) biçimleini: E, B 0 B J, B E elde edin, t iii) B J Ampee yasasının, deney dğu akımla yapıldığı için, eksik lduğunu ve t J 0 yeel yük knumu ilkesiyle bağdaşmadığını göstein, iv) E E t c t B J X yazıp X lduğunu göstein, v) Kaynak içemeyen B 0 denkleminden yaalanaak B A yazılabileceğini göstein, vi) Diğe kaynak içemeyen B A E denkleminden ise E 0 t t ve dlayısıyla A E c A t veya A E c A ifadesini elde edin, t vii) Bu alan ifadeleini kaynaklı denklemlee yeleştiip, c t A A 0 Lentz ayaını kullanaak, J c tanımıyla = 0,,, için A J Dalga denklemleini elde edin. viii) J t J ick t, exp biçiminde yazılabilen kaynakla için A, t A exp ickt kabul edeek dalga denkleminin k A J Helmhltz denklemine dönüştüğünü göstein.

20 5 V. GREEN FONKSİYONLARI A) Helmhltz DO k Q ile veilen kaynak teimli Helmhltz DD inin çözümü için geekli Geen fnksiynunun hesaplanmasında, öncelikle daha temel lan syut peatö denklemi k k Q ne gei dönülü ve özel çözüm Q k k Q laak yazılı. Sldan ile çapıp ve difeansiyel peatöün tesi ile Q aasına d yeleştieek Q k bulunu. d k Q Geen fnksiynu, difeansiyel peatöünün tesinin ve aasındaki matis elemanı laak, k biçiminde tanımlanıp, G k, d G Q Q snucu elde edili. Helmhltz DO ünün Geen fnksiynu inşasına geçmeden önce, Hankel dönüşümü laak adlandıılan, N-Byutlu uzayda SO N simetisine sahip fnksiynlaın Fuie dönüşümleine eğilmek yeinde lu. F k d exp ik F ve N ve F F Fuie dönüşümünde özel duumunda, d, expik F skala büyüklükle lduklaı için snuç da skala lu ve F k F k sağlanı. Dlayısıyla k, genellikten ayılmadan z -yönünde seçilebili ve -Byutta Hankel dönüşüm fmülü F k d d F dw ikw d k F k exp sin

21 54 laak elde edili. Yaalı bi önek laak F exp Yukawa ptansiyel laak dönüşü. fnksiynu F k d sin k exp = k 0 k Böylece fnksiynunun Tes Hankel dönüşümünün k exp anlaşılmaktadı. Helmhltz DO ünün Geen fnksiynu knusuna döneek lduğu, k ifadesinde difeansiyel peatöün tesi ile G k aasına d k k k yeleştieek k, = G d k k k k k k exp ik d k d k k k k k elde edili. Bundan G, Geen fnksiynunun k k ifadesinin Tes Hankel dönüşümü lduğu göülmektedi. k Geen fnksiynu için G, ifadesine ik yeleştiileek ik ik exp exp 4 snucuna eişili. Kaynak teimli Laplace ( yani Pissn ) denklemi çözümleinde geekli lan Laplace peatöünün Geen fnksiynu ise Helmhltz snucunda k 0 alınaak G, 4 laak bulunu.

22 55 B) Asimttik Davanış, çözümünde : Kaynak Nktası, ise Gözlem d G Q Q Nktası laak adlandıılıla. Kaynağın R bölgesi ile sınılı lduğu, gözlemcinin de bu bölgeden çk uzakta lduğu özel duumla, uygulamalada çk önemlidi. Bu yüzden G, 4 expik Geen fnksiynunun davanışı önem taşı. Snsuz dahil, tüm değelei alan, integal değişkeni için şatı knulması yadıganabili. Ancak R gibi sınılı bi bölge dışında Q 0 ise patikte R şatı, şatına eşdeğedi. teiminin bölgesinde açılımını yapaken paydadaki ifade için basitce denilebili. Ancak üstel fnksiynda ye alacak açılım teimlei aslında bi üstelle çapımı laak yazılacağı için daha hassas lmak geeki. ˆ ˆ işlemlei snucunda ise ik ˆ ik ik exp exp exp elde edili. Çk uzak bi gözlem nktasından kaynağa bakıldığında Geen fnksiynunun asimttik biçimi G Bu snuç, ˆ kˆ k ˆ k lacağı için Helmhltz DO exp ik, exp ik lu. 4 d G Q Q denklemine yeleştiileek, asimttik expik Q bölgede d exp ik Q exp ik Q k bulunu. exp ik teiminin küesel dalga çözümünün uzay kısmı luşu knuya fiziksel içeik kazandımaktadı. Küesel dalga ile ilgili ilginç bi gözlem : exp ik ifadesinin tüevi ik exp ik lu.,

23 dlayısıyla k duumunda tüev işlemi sadece expik ik ik expik d exp d eşitliği teimine etki ediy, paydadaki teimini sabit laak göüy demekti. Bu, dünya yaıçapına kıyasla byu çk küçük lan insanğlunun dünyayı düz sanması benzei bi duumdu. genliği, dlayısıyla şiddeti yukaıda, paydada ye alan exp ik A A expik, ile azalan bi düzlem dalga gibidi. Bu yaklaşım ' Sabit' luşuna da açıklık getimektedi. 56 C) Dalga DO E-M Teinin en temel denklemi 4-Ptansiyeli, 4-Akım cinsinden veen A, t J, t ; 0,,, kaynaklı dalga denklemidi. Tüm E-M alanlaın ptansiyelleden elde edildiği ve alanlaın da Lentz kuvvet denklemi : F e E v B ile haeket denklemini vediği düşünülüse bu dğaldı. Gene : Kaynak Nktası, : Gözlem Nktası, ayıca t : Gözlem Zamanı, t : Olay Zamanı lmak üzee,, ;,, A t d dt G t t J t sağlayan bi Geen fnksiynu inşası için ilk adım daha temel syut peatö denklemi k k A J ne gei gideek Geen fnksiynunu G, t ;, t ct,, ct k k laak tanımlamaktadı. Nedensellik geeği t t lduğu açıktı. Snadan Uzay-Zaman ba-ket leini paçalayaak

24 57 k k yazıp ve aaya G, t ;, t ct ct dk k k yeleştieek Geen fnksiynu için dk k ct k k ct k aa snucuna ulaşılı. exp ik ct ct ct k k ct ve exp ik k k bağıntılaı kullanılaak da 4 G, t ;, t dkexp ik ct ct 4 G, t ;, t ct ct 4 snucuna eişili. Diac delta fnksiynunun F x F x x a x a a zamanın eşdeğeliğini daha iyi vugulayan yazılabili, ancak G, t ;, t kullanışlıdı. (4) x x F x özelliğinden kaynaklanan eşitliği kullanılaak yukaıdaki Geen fnksiynu, uzay ve ct ct ct ct 4 biçiminde de ifadesi daha fiziksel ve

25 58 PROBLEMLER P.5. ) x-y düzleminde a s b aalığında f s b a, gei kalan heyede sıfı lan bi fnksiynun -Byutlu Hankel dönüşümünün f b b J b a J a a lduğunu göstein. a 0, b R : Disk ve a, b R : Halka limitleini bulun. P.5. ) n n! n x x n x lduğunu ispatlayın. P.5. ) 0 için Basamak fnksiynu U lduğu için d d U d d 0 özdeşlikleini kullanaak eşitliği yazılabili. du d ve 4 veya 4 fnksiynunun G, ifadeleine eişin ve böylece 4 lduğunu göstein. : Laplace peatöünün Geen P.5.4 ) -Byutlu Laplace peatöü cs, sin, cs, sin G G n lduğunu göstein. 'nin Geen fnksiynunun s s, tanımlaını kullanaak

26 59 EKLER VE NOTLAR (,, ) Buada biaz hızlı geçilen bu knunun iyi anlaşılması için, iyi çizilmiş şekillee sahip, enkli kitapladan veya intenet siteleinden yaalanmak yeinde lu. (4) Bu Geen fnksiynunun elektmagnetik teide vediği snuç : J, t c A, t d 4, hehangi bi uzay-zaman nktasındaki 4-Ptansiyel bileşenleinin tüm evendeki 4-Akım bileşenleinden uzaklığa tes antılı bi biçimde etkilendikleini ancak bu etkinin, adyasynun kaynaktan gözlemciye ulaşması için geeken zaman süesi kada gecikmeli lduğunu göstemektedi.