B R BOYUTLU AKIM PROBLEMLER N N ÇÖZÜMÜNDE TA IMA MATR S YÖNTEM

Transkript

1 EGE ÜN VERS ES FEN B L MLER ENS ÜSÜ (DOKORA EZ B R BOYULU AKIM PROBLEMLER N N ÇÖZÜMÜNDE A IMA MAR S YÖNEM Rsoul DANESHFARAZ Mühedsl Ablm Dl Blm Dl Kodu: 64.. Suu rh: 6//8 ez D m : Yrd. Doç. Dr. Selm ALUN. ez D m : Yrd. Doç. Dr. Brol KAYA Borov- ZM R

2 II

3 III S Rsoul DANESHFARAZ rf d DOKORA EZ olrk suul Br Boulu Ak m Problemler Çözümüde m Mrs Yöem b l kl bu çl m E.Ü. Lssüsü E m ve Ö rem Yöemel le E.Ü. Fe Blmler Esüsü E m ve Ö rem Yöerges lgl hükümler ur c rf m zd de erledrlerek svum de er bulumu ve 6/ /8 rhde p l ez svum s v d d obrl /oçoklu u le b r l bulumu ur. Jür Üeler: mz Jür B k : Yrd. Doç. Dr. Selm ALUN Rporör Üe: Yrd. Doç. Dr. ems YAZICI Üe : Prof. Dr. Ado ÖZDAMAR Üe : Doç. Dr. Nur OKYAY Üe : Yrd. Doç.Dr. Ch YERDELEN

4 IV

5 V ÖZE B R BOYULU AKIM PROBLEMLER N N ÇÖZÜMÜNDE A IMA MAR S YÖNEM DANESHFARAZ, Rsoul Dokor ez, Mühedsl Bölümü ez Yöecs: Yrd. Doç. Dr. Selm ALUN. ez Yöecs: Yrd. Doç. Dr. Brol KAYA Ock 8, sf m mrs öem rd m le, mekkek br çok problem çözümü p lblmekedr. Ack, su mühedsl de bu öem kull lms g de ldr ve çok z s d çl m mevcuur. Bu çl md; özgü olrk, hperbolk ürde ol br boulu S-Ve deklemler, br boulu prbolk pe k sm dfersel deklem ol erl suu k m problemler ve boru ebekelerde krrl k m durumu ç debler belrlemes problemler çözümü ç m mrs öem kl m suulmu ur. S. Ve deklemler çözümüde, bu deklemler özel hl olrk ble hperbolk pe br boulu uzu dlg deklem, prbolk pe k sm dfersel deklem ol br boulu dfüzo dlg deklem problemler dkke l m r. m mrs öem ugulms ç, frkl öemler le k sm dfersel deklemler d dfersel deklemlere drgem r. m mrs öem le elde edle souçlr, d er s sl öemler le kr l r lm ve elde edle souçlr öem hem ugulm ve progrmlm ç s d oldukç kull l oldu uu, hem de s sl souçlr eer derecede m edc ve güvelr oldu uu göserm r.

6 VI Ahr sözcükler: m mrs, Br boulu k m problemler S.Ve deklemler, Dfüzo dlg, Yerl suu, Bs çl kfer

7 VII ABSRAC HE RANSFER MARIX MEHOD FOR HE SOLUION OF ONE DIMENSIONAL FLOW PROBLEMS DANESHFARAZ, Rsoul Phd Cvl Eg. Supervsor: Ass. Prof. Dr. Selm Alu. Supervsor: Ass. Prof. Dr. Brol KAYA Jur 8, pges A vs umber of problems mechcs c be solved wh he d of rsfer mr mehod. However, hs mehod hs foud lmed pplcos hdrulc egeerg, e ver few sudes re ecouered he lerure. I he prese sud, soluo of dffere pes of hrulc problems b usg rsfer mr pproch s proposed. hese problems re : hperbolc pe of prl dfferel equos of oe-dmesol S-Ve equos, d oe-dmesol log wve equo whch s specl cse of S-Ve equos, prbolc pe of prl dfferel equos of oe-dmesol dffuso wve equo, groud wer flow d sed-se ppe flow. For he pplco of rsfer mr mehod, he prl dfferel equos re rsferred o ordr dfferel equos v dffere mehods. he oucomes of rsfer mr mehod s compred wh he oucomes of oher umercl mehods, whch mpl h he mehod s boh useful pplco d progrmmg phses, lso shows h he umercl resuls re ssfcorl relble. Ke words: rsfer mr, oe-dmesol flow problem, S Ve equos, dffuso wve, groud wer, cofed qufer.

8 VIII

9 IX E EKKÜR Çl mm süresce b ol gösere ve de erl blglerde fdld m S Yrd. Doç. Dr. Brol K, rd mlr ç S Yrd. Doç. Dr. Selm Alu, S Prof. Dr. Ado Özdmr, dü ücelerde rrld m ve ezm celed ç S Prof. Dr. ükrü Güe e, ez süresce mev desekler ç S Yrd. Doç. Dr. Ahme Alk, S Yrd. Doç. Dr. ems Yz c, de erl rkd m K Burk Bozdo ve üm rkd lr m, mev desekler ç Rhm Deshfrz ve Feredou Mezdeh e, b her zm desek ol sevgl e m Merem Mezdeh e, bem ç her zm fedkrl k ede eme ve ez çl mlr m s rs d kbe m bbm e ekkür ederm.

10 X

11 XI Ç NDEK LER Sf ÖZE... V ABSRAC... VII E EKKÜR... IX EK LLER D Z N... XIII Ç ZELGELER D Z N... XV KISALMALAR D Z N...XVI. G R... GEÇM E YAPILAN ÇALI MALAR m Mrs le lgl Yp l Çl mlr Boru Ak mlr le lgl Yp l Çl mlr 4.3. S-Ve Deklemler le Yp l Çl mlr Yerl Suu le lgl Yp l Çl mlr. 3. MÜHEND SL K PROBLEMLER N N ÇÖZÜM YÖNEMLER Hdrolk Problemler S sl Olrk Çözümü A IMA MAR S YÖNEM Yöem Avjlr ve Dezvjlr BORU AKIMLARI SERBES YÜZEYL AKIMLAR S-Ve Deklemler Sürekllk deklem Momeum deklem S-Ve Deklemler Do rusll r lms Do rusll r lm S-Ve Deklemler Ad Dfersel Dekleme Döü ürülmes Newmrk- öem m mrs öemle çözüm.. 44

12 XII 6.4. S-Ve Deklemler Çrplr A rrk m Mrs Yöem le Çözüm Dfüzo Dlg Model m mrs öemle çözüm Çrplr rm öem De ke döü ümü öem Dü üm oklr zm eks öem Hz r foksolrd rrlrk çözüm YERALI SUYU AKIMLARI Yerl Suu Ak m Deklemler m Mrs le Çözüm UYGULAMALAR Boru Hdrol De ke ekesl br borud krrl k m Su D m ebekesde krrl k m Solu Br Kld Dlglr Y lms Aç k Kld Krll Y lms Bs çl Akferde Br Boulu Ak m S r ko uluu zmd b ms z olms S r ko uluu zm b l olrk de mes Heeroje br zemde bs çl kfer k m SONUÇ ve ÖNER LER... 3 KAYNAKLAR D Z N.. 6 EK: m Mrs Hesp Porogrm Ak ems... ÖZGEÇM

13 XIII EK LLER D Z N ekl Sf 4.. m mrs öem k ems De ke kesl boru 6.. Korol Hcm vme do rusl de m De ke ekesl geel ek boulu ssem S sl örek e ebeke Kld dlg l m m mrs öemle çözümde elde edle souçlr Krkerskler öemle çözümde elde edle souçlr Solu frklr (mplc öemle çözümde elde edle souçlr =8 s ç MY, SFK ve Krkerskler öemler le elde edle souçlr MY le SFY öemler rs dk frklr = s ç MY, SFY ve ANY le elde edle souçlr = s ç MY, SFY ve ANY le elde edle souçlr =4 s ç MY, SFY ve ANY le elde edle souçlr Bs çl kfer = s ç MY, SFY ve SEY le elde edle souçlr = s ç MY, SFY ve SEY le elde edle souçlr =5 s ç MY, SFY ve SEY le elde edle souçlr = s ç MY, SFY ve SEY le elde edle souçlr = s ç MY, SFY ve SEY le elde edle souçlr 94

14 XIV ekl EK LLER D Z N ( devm Sf 8.8. MY, SFY ve SEY göre =5 m de h de erler zml de m = s ç MY, SFY ve SEY le elde edle souçlr =5 s ç MY, SFY ve SEY le elde edle souçlr = s ç MY, SFY ve SEY le elde edle souçlr = s ç MY, SFY ve SEY le elde edle souçlr =5 m de h de erler de m Heeroje zem özell e shp bs çl kfer S r ko uluu zmd b ms z olms durumud =6 s ç 99 MY, SFY ve SEY le elde edle souçlr 8.6. S r ko uluu zml de mes durumud =6 s ç 99 MY, SFY ve SEY le elde edle souçlr 8.7. S r ko uluu zm b l de mes durumud MY, SFY ve SEY göre =5 m de h de erler zml de m 8.8. MY le SFY ve SEY rlr dk frklr

15 XV Ç ZELGELER D Z N Çzelge Sf.. celee hdrolk problemler s fld r lms 8.. Posel de erler kr l r lms Dü üm oklr dk bs ç de erler MY le d er öemler rs dk h üzdeler S r ko uluu sb olms durumu ç elde edle h(m de erler 9

16 XVI KISALMALAR D Z N K slmlr Aç klm. MY SFY SEY KY ANY GIS pp m mrs öem Solu frklr öem Solu elemlr öem Krkerskler öem Alk öem Geogrphc formo ssem Pr per housd

17 hs docume ws creed wh WPDF vlble hp:// he uregsered verso of WPDF s for evluo or o-commercl use ol.

18 . G R m Mrs Yöem, mek de k dllr d ugulm l bulmu olms r me, hdrolk problemler çözümüde çok z kull l br öemdr. D er s sl çözüm öemlere göre, bz hllerde, dh prk olrk kull lblmekedr. Yöem, özellkle b lg ç s r de er problemler çözümüde kul lmkd r. Hdrolk mühedsl l d, öem blmed d z bld ç, kull m g l mm r. Ack, so br kç l çde kou üzerde çl r rmc lr or ç km r. Mevcu, kull lgele s sl çözüm öemlere bk ld d ç k (eplc öemlerde sble problemler kr m z ç kmk, kpl (mplc öemlerde se çok büük boulu mrsler çözülmes gerekmekedr. m mrs öemde rd k oklr rs dk l k mrs formd mld k sor üm oklrdk de erler, b lg ç s r ko ulud bre belrleeblmekedr. Bu çözüm öemde kr l l mrsler boulr çözüm oks s s d mme b ms z ve problemdek blmeelere b l olmk, geellkle, 33 boulr d mrsler kr m z ç kmkd r. Dol s l, çözüm ç hrc zm ve emek, oldukç zlmkd r. m mrs öem r lk br öem oldu ud dol, ç k öemlere göre dh güvelr olmkd r. Bu öemde mrs boulr sb klms solu elemlr ve kpl çözüm öemlere göre dh vjl olmkd r.

19 Bu ez kpsm d, hdrolkek br boulu k m problemler çözümü ç, özgü olrk, m mrs öem kull lm r. Çl m kpsm d celee örekler blo de özelem r. Çzelge.. celee hdrolk problemler s fld r lms Boru Hdrol Aç k Kl Yerl Suu Sürümesz Ak k S-Ve Bs çl Akfer Lmer Ak m Uzu Dlg Dfüzo Krrl Ak m Krrs z Ak m Krrs z Ak m kc derece d dfersel deklem Hperbolk K sm dfersel deklem Prbolk K sm dfersel deklem

20 3. GEÇM E YAPILAN ÇALI MALAR m Mrs öem le br boulu boru k mlr, S-Ve deklemler ve br boulu erl suu k mlr le lgl olrk p l çl mlr özelem r... m Mrs le lgl Yp l Çl mlr Mek de k dllr d ugulm l bul m mrs öem, bz hllerde, d er öemlere göre dh prk olrk kull lblmekedr. Yöem le lgl olrk lerürde p l çl mlr bk ld d, br dz çl m p ld görülmekedr. Fzke ve çe l mühedslk llr d p l çl mlr gözrd edld de hdrolke p l çl mlr oldukç z oldu u görülmekedr. lk kez 856 d Holzer V Duge rf d burulml kpl kesler dmk lz ç kull l m mrs öem, ülkemzde Musf rf d B lg ç De erler Yöem d l lm r (, 964. Dh sor öeme ugulmlr Pesel ve Lecke rf d br kp hlde lm r (Pesel ve Lecke, 963. Yöem ürke de rf d lm ve gel rlm r (, 964. Yöeme öelk olrk so llrd d frkl özellkler çere br dz çl m p lm r. Nm ve Lee ( çl mlr d elsk zeme our sldrk k problem m mrs öem kullrk celem lerdr. L (4 lk rsfer mrs öem le ç k çl ol bs mesel kr problemler çözümüü celem r. Ruoolo ve Surce (4 çok

21 4 çlkl çubuk elemlr ç sl frekslr çözümü ç m mrs öem kullm lrd r. De k özellkl kr ler e lmel, burulml re mlerde, sble lzlerde ve bs çerçeveler lzde m mrs öem çere br dz çl m p lm r. So llrd, hdrolke, m mrs öem kull ld bz çl mlr p lm r. S rl s dk bu çl mlr, d kou l b l klr hlde verlmekedr... Boru Ak mlr le lgl Yp l Çl mlr Chudhr (979 öem borulr freks l dk dmk lz ç kullm r. Çl md k m süzodl br re m p kbul edlm r. Yzr, su drbes hesplr d dmk deklemde msl vme ve b k br de le vdv/d erm hml ederek m mrs öem ugulm r.yzr çl ms d m mrs öem progrmlms oldukç prk oldu uu vurgulm r. Deshfrz ve K (7, ek boulu boru hdrol de m mrs öem kullm lrd r. Yzrlr, öem k, örek üzerde ugulm ve souçlr solu elemlr öem le kr l rm lrd r. Ykl m souç verd ve progrmlms kol oldu uu vurgulm lrd r..3. S-Ve Deklemler le lgl Yp l Çl mlr Lerürde, S-Ve deklemler m mrs öemle çözümü kousud z s d çl m rslm r. Bu çl mlr ulrd r: Lrco ve Flomo (4,b, çl mlr d ç k kl ssemler su d l m korolü ç S-Ve deklemler do rusll rrk,

22 5 Lplce döü ümü rd m l m mrsler elde em ler ve elde ekler m mrs rd m l çözüm ç br kl m öerm lerdr. Çl m soud elde ekler souçlr, solu frklr ve Ruge Ku öemlerle kr l rm lrd r. Lrco ve Flomo (6, do rusll r lm S-Ve deklemler sl ml s r korolüü belrlemesde kullm lrd r. Bume, Su ve Mlerre (998, ç k kl hdrol de S-Ve deklemler krrl k m cvr d do rusll rrk, Lplce döü ümü rd m l k sm dfersel deklemler d dfersel deklemlere drgem ve m mrs olu urrk freks lz pm lrd r. m mrs öem d d d er s sl çözüm öemler kull ld çl mlr se u eklde özeleeblr: Coole ve Mo (976, rf d S-Ve deklemler çözümüde solu elemlr öem kull lm r. Srelkoff (99, krrs z k m deklemler çözmek ç kull l kpl p çözümlerdek mrs p cebrk deklem k mlr çözümüde kull l Double Sweep öem gel rm r. Zm d m blmed de ve dü üm oklr blmee br uzkl b l oldu ud, bu ekk ks lr mrse globl br blmee komkd r. Bu blmee ks lr kolouu br mrse çevrr ve çözüm koll r. Bu globl blmee deklemlere grmes krrs z k mlr progrmlms ç dü üm oklr dz d büük br eseklk s lmkd r. Molls ve Molls (994, Chg rf d verle s sl br öem, br ve k boulu de S-Ve deklemler çözmek ç kullm r. Bu ekk, solu frklr, solu elemlr gb geleeksel öemlerde frkl d r. Chg öem uzkl k ve zm d leme komk, lgormd mekâ ve zm

23 6 brle rmekedr. Çözüm ç k pek dü ümler ç kull lm r. Chg rf d verle ek ve boulu ugulmlr p lm r. S sl öemlerle elde ekler souçlr kompleksl e shp deesel çl mlrl ve krkerskler çözümüle kr l rm lrd r. Elde edle souçlr oldukç mkârd r. Hcks ve Seffler (995, ek boulu S Ve deklem çözümü ç solu elemlr öem kullm lrd r. Çl md ssem dvr fde ede hperbolk k sm dfersel deklemde ve Krkersk - Glerk ve lor - Glerk öemlerde rrlrk solu elemlr çözümü gerçekle rlm r. Ar c, öem sbles se Fourer sble lz rd m le rdelem r. Kesk ve A rlo lu (997, dkdörge kllrd k lm s rs d bsle rlm dmk model kurmu lrd r. Model olu umud S- Ve deklemde rrlrk çözümde solu frk öem ugulm lrd r. Ozuk ve Od (998, ge dkdörge kllrdk k m modellemek ç S-Ve deklemler k m derl csde z lm Burgers deklem model le kl m pm lrd r. Yzrlr, çl mlr dkdörge kesl ç k kllrdk k m dü ük derecede ek br deklemle kl m pm lr ve buu, msp ve mebdk hdrolk p lr lemde do krrs z k mlr lz ve smülsou ç kull lblece belrm lerdr. Ak m h z, derlk ve ürev csde fde edlerek sürekllk s lm r. Burgers deklem model, üform k m Froude s s le belrlee 3 r sb çerr ve bu lk ko ullrdk sb derlk erf dk küçük sl mlr ç momeumu koruumuu s lr. Verle sb br s r derl ç, derlk ve deb de mler elde edlm r. Çl m soud, model Froude s s,3 de dh büük de erler ç souç verd göserm r.

24 7 S-Ve deklemler do rusll rrk ve bousuz hle gererek çözüm p l çl mlr se d özelem r: Holo (97, sürekllk ve momeum deklemler brle rerek ek br deklem elde em ve S-Ve deklem perürbso öem le dogrusll rm r. Poce ve Smos (977, Morrs (98, Meedez ve Norsc (98, Meedez (993 ve s (999, do rusl r lm S- Ve deklemler s su dlglr ç üform k m durumud dkdörge ve rpez kesl kllr ç celem lerdr. s ve Ye (, do rusl r lm S-Ve deklemler s su dlglr ç edrc de ke k m durumud memb s r ko ullr d rrlrk dkdörge ve rpez kesl kllr ç celem lerdr. Srelkoff ve Clemmes (998, ç k kllrd krrs z k m durumu ç S-Ve deklemler bousuz hle germ lerdr. Bou (3, sulm kllr d sble lz pm r. Buu ç S-Ve deklemler bousuz hle germ ve dh sor d çözüm ç rsfer foksou öem kullm r. Bu öem le, Wess (994 p çl m kr l rm ve öem souç verd vurgulm r. s (7, S-Ve deklemlerde rrlrk krrs z k m durumud ek boulu kemk dlg model celem r. Yzr, deklemler bousuz hle germ ve dh sor çözüme gm r. Kemk dlg model krrl ve lel (oer dlglr le kr l rm r. Chug ve Kg (7, ç k kl k mlr d dlg lms celem lerdr. Buu ç S-Ve deklemler do rusll rrk sor bousuz hle germ lerdr. Sgh vd. (998, çok ge dkdörge kllrd olu edrc de ke k m durumud k pk debler hm edleblmes mc l S-Ve deklemler çözümü ç kl k br öem

25 8 sumu lrd r. Bu kl m souç verd gösermek mc le ehrler üzerde ugulm pm lrd r. Mormrco vd. (997, k m bouc üform br deb gr oldu u br kl ç S Ve deklemlere çözüm öerm lerdr. Çözüm bs br kld es edlm ve del s sl modellerle kr l r ld d oldukç souçlr verd görülmü ür. J ve Fred (999, boulu k öeleme model FLDWAW dek S Ve deklemlerde momeum dekleme ek br sürüme erm krk çmurlu ve sürüü mlzemel krrs z k mlr celemes pm lrd r. Wg vd. (, L-Wedroff öem le brc derece do ruluk vere öemler brle m ol solu frk öem brj k m probleme ugulm r. Souç, öerle öem, kbrm ve ok dlglr lz ç kull lblece göserlm r. Se ve Grg (, kl lr d k m edrc de ke durumu ç S-Ve deklemlerde rrlm lrd r. Deklemler çözümüde, solu frklr öem kullm lrd r. Solu frklr öemde deklemler ler ve ger frklr çrk kr l rm pm lrd r. s (, uzu su dlglr l m br boulu, krrs z vskoz ol ürbülsl ç k kl k m ç eork celemeler pm lr ve Froude s s eks koum ve zm b l s su dlglr olu umu s rs d kl k mlr d r m lrd r. Zhg (4, ç k kl lr d k mlr modellemek ç solu elemlr öem kullrk ekl br kl m sumu ur. Buu ç S-Ve deklemler solu elemlr öem le çözmekedr. Model ekl oldu uu gösermek ç Pressm öem le k slm p lm r. s ve Yg (5, kemk dlg deklem krkersk ve cubk-sple öem le çözmü lerdr. Hshem vd. (6, ç k kllrd, krrs z k m durumu ç ümerk öem öerm lerdr.

26 9 Nümerk öemde S-Ve deklemler udrure öem le çözmü lerdr. Poce vd. (978 ve Hu (984, üzesel k m, v üksele k dlglr, kemk dlg model ugu oldu uu celem lerdr. Bu modellerde, su üze kl b prlel l rk çözüm p lm r. Ak ve Ye (977, Poce vd. (978 ve Hger (985, dlg modeller, k m ehr rejmde oldu u ko ullrd ve k dlglr çökmes durumud celem lerdr. Soker (957, Ye (979 ve Cuge vd.(993, s sl olrk çözüldü üde S-Ve deklemler, mkul olrk souç verd göserm lerdr. Ye (979 ve 994 ve Mrslek vd. (996, bsle rlm br boulu S-Ve model çözümüde souç ld klr vurgulm lrd r. Dooge ve Nporkowsk (984, gschl ve Mdhr (985, Dooge vd. (987 ve Wg ve Ye (987, Lplce döü üm öem kullrk, ç k kllrd s su dlglr l m ç br boulu S-Ve deklemler lk olrk çözmü lerdr. Lghhll ve Whhm(955, Hu (987, Ferrck ve Goodm (998, Sgh vd.(998, ç k kllrd do rusll r lm S-Ve deklemler kullm lrd r. Bu deklemler s su dlglr frkl durumlr ç celem lerdr. S su dl lr ç dmk ve kemk dlg modellerde rrlm lrd r. Grre ve Gerdes (3 s su dlglr memb do ru lms ç blgler verm lerdr. Molbo ve McCred (998 kllrd lmer Newo k mlr durumu ç k boulu uzu dlg lk çözümüü verm lerdr. Wel, Zhog ve Cheug (6 k boulu dege kuusuu solu hcmler öem le dlg k r eksde uzu dlg seve de m model pm lrd r. Ferrck ve Goodm (998 mookll ehr dlg çözümler dogrusl olrk celem lerdr. Do rusl dmk dlg ve

27 dfüzo dlg ükselmes ç lk çözüm elde em lerdr. Bu deklemler çözümü uzu br profl bouc ele l m r. L ve We Lu (5, do rusl uzu dlg s ms k boulu egell rpez kesek lk çözümüü Bessel foksolr rd m l pm lrd r. s ( uzu su dlglr l m br boulu, krrs z vskoz ol ürbülsl ç k kl k m ç eork celemeler pm lr ve Froude s s eks koum ve zm b l s su dlglr olu umu s rs d kl k mlr d celem r. Fujm (, büük sürümeler uzu dlg üzerdek eks celem r. Lo ve De (998, dlg guruplr ekle mde dol olu uzu dlglr ele lm lrd r. Nelse ve Apel (3, k boulu uzu dlglr solu elemlr le hdrodmk modellemes sulm ve kurumdk ekl prmerelerde rrlrk pm lrd r. Zhg ve Wu (999, sb ve de ke e ml üform k dk üç boulu uzu dlg l m celem lerdr. Kous (983, do rusl uzu dlg deklem solu elemlr öem rd m l çözmü ür. Buu ç dfersel deklem rl k foksou le çrp l p z f hle gerlm ve çözüm Glerk öem kull lrk p lm r. Çl md, solu frklr kl m d kullm r. Wu ve Wg (7 s su dlglr deklemde rlrk, brj k lms durumud br boulu s sl br öem öerm lerdr. Bz (998, hdrolojk modeller kb d S-Ve deklemlerde rrlrk dlglr s fld rm r. Bu s fld rm, S-Ve deklemlerdek gözrd edle ermlere dmkd r. S-Ve deklemlerde, erel ve kovekf vmeler hml edlp bs ç kuvve hesb k l rs, dfüzo dlg model elde edlr. Prce vd (966, Chudhr (97, Keller (97 ve Mr (975, dfüzo deklem solu frklr öem le çözmü lerdr.

28 Vro lu ve F (978, de ke de m öem le döü üm prk dfüzo deklem solu elemlr öem le çözmü lerdr. Yp klr çözümü kes çözümle kr l rm lrd r. Bjrchr ve Brr (996, do rusl dfüzo k dlg model celem lerdr. Yzrlr, çözümde, solu frklr ekklerde rrlm lrd r. Wg vd. (6, S- Ve deklem çözümü ç, Muskgum öem kullm lrd r. Ar c, Froude s s kullrk do rusl olm kovekso-dfüzo deklem S-Ve deklemde elde em lerdr. Yzrlr, p klr çözümü, Crk-Ncolso, Sdrd Mg vd. öemler le kr l rm ve souç verd vurgulm lrd r. Lu vd. (3, hvzd dfüzo dlg deklem ç GIS model s k ve k olu umud kullm lrd r. F ve L (6, ç k kllrd k m üform ve l k m durumlr d dfüzo dlg deklem ç kes çözüm öerm lerdr. Bu kes çözümü, Lplce öem ugulrk elde em lerdr. Çözümü, frkl s r rlr ç ugulm lrd r. Br boulu dfüzo dlg deklem, S-Ve deklemde elde em lerdr. Su ve Wu (6, dfüzo dlg deklem ç solu frklr öem le çözüm öerm ve öem br örek üzerde ugulm lrd r. Bu çözüm ç, k skl k ve sble r r lm r. Kzez lmz-alh vd. (5, üze k m modellemesde ek boulu kemk ve dfüzo dlg deklemler çe l solu frk öemler le modellem lerdr. Modeller kurulms d, S-Ve deklem kull lm ve McCormck öem dh souç verd vurgulm lrd r. Kzez lmz-alh ve Med (7, ç k kl ve üzesel k mlrd olu kemk ve dfüzo dlg deklemler ç lk ve s sl model öerm lerdr. Yzrlr

29 McCormck eplc gb öemler kullm lrd r. Elde ekler souçlr oldu uu vurgulm lrd r..4. Yerl Suu le lgl Yp l Çl mlr Yerl suu hdrol de m mrs öem kull ld çl m bulumm r. Burd, ek boulu erl suu le lgl p l b l c çl mlr özelemee çl lm r. Cooper ve Rorbugh (963, k s rs d ehr-qufer l kler ç kes çözümü Lplce öem kullrk, solu ve r sosuz ehr- kfer ler ç gel rm lerdr. Bu çözümde ko frk, su sevesdek dü ü ve erl su h z göz öüe l m r. Neum ve Wherspoo (97, ku lmm erl suu problemler ç solu frklr öem le br kl m öem sumu lrd r. Lou ve Yeh (997, ek boulu erl suu ve çözüe mdde ç rsk lz pm lrd r. Yp l çl md, zrlr rf d Moe Crlo lz kull lm r. Fullev ve C (, gözeekl ormlrd su kpses ç de ke ks l prbolk deklemlerde rlrk br ümerk öem öerm lerdr. Bu öemde, prbolk deklem çözümüde solu frklr öem kullm lrd r. Kous (983, solu elemlr ve solu frklr öemler le do rusl olm erl suu k m ç çözümler pm r. Bu çözümlerde, krrs z k m durmu ç Boussesq deklemde rrl lm r. Prbolk deklem solu frk çözümüde merkez frk kullm r. Bu çözümde sble s lmk ç l m r. Bu e szlke, zm rl d k br olrk, k çözüm oks rs dk uzkl k, poroze, d orlm de çp ve k se hdrolk lekel

30 3 gösermekedr. Cbrer ve Iroume (979, k s rs d ehr-kfer l kler ç hdrolk lekel de ke olms durumud solu elemlr model ugulm lrd r. Alle ve Murph (985, de ke doguluk ol gözeekl zem k m ç solu elemlr çözümüü verm lerdr. Çözümde, hdrolk lekelk de erler de ke olrk l m r. Blzov vd (, solud k l bulu erl suu k mlr ç s sl öem öerm lerdr. Bu s sl öemde solu elemlr öem kull lm ve souçlr oldu u vurgulm r. Fgherzz vd (4, solu elemlr öem le sürekszlk çere erl suu k m k boulu olrk çözmü lerdr. Bu çözümde, Glerk öem kull lm r. Khebchreo ve Seo (5, ek boulu erl suu k m ç Crk-Ncolso - Solu Elemlr Glerk öem kullm lrd r. Srvsv vd (6, Nehr-Akfer ekle m ç soksk br model öerm lerdr. Buu ç zrlr, do rusl olm Boussesq deklem kullrk lk çözümü verm lerdr. Dfersel deklem çözümüde, operör öem kullm lrd r. Purke vd (6 rf d, heeroje kferler ç br deformsolu solu elemlr model (deformg fe eleme model olu urulmu ur.

31 4 3. MÜHEND SL K PROBLEMLER N N ÇÖZÜM YÖNEMLER Memksel model kurulble br Mühedslk problem, e geel hlde, brbr mml üç çözüm öem vrd r. Bulr; lk çözüm, s sl çözüm ve deesel çözümdür. Alk Çözüm: Alk çözüm, mühedslk problemler kes çözümü olup, memksel ç d d e zrf ve e k kl m çerr. Ack, br çok problem çözümü lk olrk mümkü olmmkd r. Bu durumd, s sl çözüm öemlere b vurm zorululu u or ç kmkd r. b S sl Çözüm: S sl çözüm öemler, memk problemler, rmek lemlerde çözüleblmeler s lck eklde formüle edld ekklerdr. S sl öemler, so derece güçlü problem çözme rçlr d r. Alk ollrd çözülmes ço u zm olks z ol büük s d deklem ssemler, do rusll k spmlr ve krm k geomerler çözme b rblrler. So llrd, blgsr ekolojsdek gel meler do rulusud ugulmlr rm r. c Deesel Yöemler: Memksel model kurul problem gerçekek dvr belrleeblmes ç, deesel öemlere b vurmk gerekmekedr. Deesel çl md kurulck orm, gerçek ko ullr s lck eklde emsl edlmes öemldr. Bu üç öem brbr mml öemlerdr ve br çl m s rs d mümkü olms durumud üç öem br rd kull lms l e soucu lmk mümküdür.

32 5 3.. Hdrolk Problemler S sl Olrk Çözümü Hdrolk problemler br ço uu çözümü, lk olrk mümkü olmmkd r. Bu durumd, çözüm ç s sl lz öemlere b vurulmkd r. Bulrd g olrk kull llr erf öemler le solu frklr, solu elemlr, solu hcmler vd öemlerdr. Solu Frklr: Solu frklr le çözümde, çözümü r b lg ç de er ve s r de er problem ol d ve k sm dfersel deklem ürev fdeler solu frk ç l mlr eklde z lms l çözüme ul lmkd r. Hdrolke S-Ve, dlg l m, Nver - Sokes deklemler çözümü gb problemler çözümüde kull lmkd r. Solu Elemlr Yöem: So llrd br çok mühedslk problemler çözümüde g olrk kull l solu elemlr öem emeller, lk olrk 9 l llr b lr d olu urulmu ur ck, ugulms, blgsrlr gel mese prlel olrk 95 l llrd olmu ur. lk mkle, 954 l d z lm r (Chug, 978. Solu frklr öem özellkle, düzesz geomer, l lmm s r ko ullr ve heeroje ble ml ssemler ç ugulmk zor olmkd r. Solu elemlr öem, bu ür ssemler ç dh br seçeekr. Solu frk ekkler kse, solu elem öem çözüm bölges bsçe eklledrlm bölgelere ve elemlr r r. Bu elemlr her br ç d ve k sm dfersel deklem kl k br çözümü gerçekle rr. Dh sor oplm çözüm, elem s rlr d sürekllk s lms dkk edlerek, bu ek ek çözümler brle rlmes olu le bulublr.

33 6 Elem deklemler elde edl de emel olrk dör kl m bulumkd r. Dols z (drek kl m: Bu kl md, fzksel problem ess l r ve bu problem üzerde elem deklem elde edlr. Bu kl m, fzksel kl m d d verlr. Yöem, ck bs problemlere ugul r. b Vrsoel kl m: Bu kl md, vrsoel hesp soucu elde edle foksou eksremum olms s l r. Bu kl m memksel kl m d d verlr. Bu kl m le öem krm k problemlere de ugulblr. c A rl kl kllr kl m : Bu kl md, kl k çözümü dfersel deklemde koulms le elde edle kl üzerde lem p l r. Bu öemde, foksou blmese gerek okur, öem fokso blmede ugulblr. Bu d kl m d er kl mlr göre üsülü üü olu urur. d Eerj deges kl m : Bu kl md, dh öcek kl md kull l rl kl kl ere ssem s ve/ve mekk eerj deges kull l r. Bu kl md d, foksou belrlemese gerek okur. Solu elem öem kullrk çözüm p br çok progrm gel rlm ve hle g olrk kull lmkd r. 3 Solu Hcmler Yöem (Hcm Korolü: Solu hcmler öem, b lg ç oks olrk koruum ss egrl formuu ess lmkd r. Yöemde çözüm rl solu s d korol hcme bölümeke ve her korol hcm ç koruum deklemler z lmkd r. Yöemde korol hcmler merkezde br hesplm oks seçlmeke

34 7 ve d er oklr (s r ve üze oklr bu ok b l olrk hesplmkd r. Her br korol hcmde br e rmek deklem elde edlr. Yöem üç boulu elemlr ugulms, d er öemlere göre dh zordur (Ferzger ve Perc,.

35 8 4. A IMA MAR S YÖNEM Mühedsl e çe l problemlerde, s r rlr rd m l belrlemes gereke egrl sbler s s çok olurs, hesp orucu oldu u kdr h pm hml de fzl olmkd r. Bu üzde, problemler kurulu ud sb de erler mmumd um çreler rmkd r. m mrs öem, bu mc s l br öemdr. ek boulu problemlere ugul bu öemde, s r de erler problemler b lg ç de erler probleme döü ürülmekr. B lg ç de erler öem olrk ble m mrs öemde, mç, s r de erler problemler heps b lg ç de erler problemlere döü ürmek ve bu eklde r s r rlr d dol greblecek e sbler öüe geçmek ve problem deklemler hep b lg çk sblerle fde emeke brer (,964. Yöemde, b lg ç blmeeler br k sm seçlmeke dh sor d er blmeeler b lg çk blmeelere b l olrk fde edlmeke ve souç, blmeeler, s r rlr rd m l bulumkd r. Yöem le bz problemler çözümüde d er öemlere göre dh k s sürede ve koll kl souc gdleblmekedr. Yöem rd m p lblmekedr. le mekkek br çok problem çözümü Yöemde üm blmeeler b lg ç seçle büüklüklere b l olrk fde edlmeke ve souç s r rlr rd m l souc ul lmkd r. ekl 4. de öem ugul emk olrk verlm r. Bu göre dü üm oks dk büüklükler elem m mrsler rd m l b lg çk blmee büüklükler vekörü B( csde

36 9 z lmkd r. Dü üm oklr rs d rd b lg ç le so dü üm oks rs d k olrk z l m soucud B (so = B ( (4. mrs b z lblmekedr. Dh sor s r rlr ugulrk çözüme ul lmkd r. B( B(+d 3 4 B( B( B( B(3 B(4 B(so ekl 4.. m mrs öem k ems 4.. Yöem Avjlr ve Dezvjlr Yöem kull lms, d er öemlere göre bz problemlerde dh vjl d r. Bu göre, mrsler bouu problem cse göre de mekle brlke, hep sbr, bu kr solu elemlr ve mplc öemde dh büük boulu mrsler olu mkd r. Ar c, progrmlms d er öemlere göre dh bs ve çözüm süres d er öemlere göre dh k s sürmekedr. Yöem dezvjlr se, geelde br boulu problemlere ugulblmes ve sble soruudur.

37 5. BORU AKIMLARI Hdrolk mühedsl de br boulu k mlr üç b l k l d celemekedr. Bu üç bölüm s rs le bs çl k mlr, serbes üzel k mlr ve erl suu k mlr d r. E kes mme dolu olrk k ve serbes (mosferle ems ol üze bulumd k mlr bs çl k m olrk dld r lmkd r ( Güe,. ekl 5. de çde o ulu u ol ve zml de mee br s v kmk oldu u br boru göserlmekedr. A A( A j l = =l ekl 5.. De ke kesl boru Ak m her oks d çevr s f r oldu u k m çevrsz d posel k m d verlr. Burd l: boru uzulu uu, u :borudk s v h z gösermek üzere boruu her kesde brm zmd geçe su küles mkr olms gerek de c br sb olmk üzere; Au c (5.

38 b s z lblmekedr. Borudk s v vskozesz vrs ld kdrde, s v h z u, posel fokso olmk üzere; u d / d (5. eklde z lblmekedr. Bu fde E lk (5. de ere z p e göre ürev l rs d / d A d / d (5.3 b s elde edlmeke ve boru çde kesde brm zmd geçe k m oplm küles se A d / d (5.4 eklde z lblmekedr (Ws, 994. Her elem ç A sb, dol s l u u sb oldu u kbul edlerek, E lk (5.3 kc merebede homoje d dfersel deklem e göre egre edld de d d C (5.5 ve br kez dh egre edlrse C C (5.6 eklde posel foksou elde edleblmekedr. E lk (5.5, E lk (5.4 e ere z ld d b A C (5.7 s elde edlmeke ve E lk (5.6 ve E lk (5.7 mrs formud

39 A. C C (5.8 Z. C (5.9 eklde z lblmekedr. Boruu b lg c d = ç E lk (5.8 ve E lk (5.9 mrs b lr A. C C (5. Z. C (5. ekl lmkd rlr. E lk (5. dk ks lr vekörü C E lk (5.8 de ere z l rs. boru prçs ç m mrs fdes / A. (5. ve Z. Z. (5.3 eklde elde edlmekedr. Burd Z.Z (5.4 fdes.boru prçs m mrsdr. Boru b lg c le b rs dk l k s l elem m mrs elde edlmes ç =l z lml d r. Bölece E lk (5.

40 3 l / A. (5.5 ekl lmkd r. Boru b lg c le. boru prçs elem m mrs rs dk l k s l. (5.6 eklde z lblmekedr.. boru prçs l k s l elem m mrs le. boru prçs rs dk (5.7 eklde z lblmekedr. Boru b lg c le. boru prçs l k s l elem m mrs rs dk (5.8 eklde z lblmekedr. Bezer eklde de boru prçs ç E lk (5.3 rd k olrk z l rs 3 (5.9 b s elde edlmekedr. Burdk 3 (5. fdes ssem m mrs olmkd r.

41 4 E lk (5. de s r rlr z lrk, blmeeler bulublmekedr. Dh sor bu blmeeler ve E lk (5.5 b rd m l r oklrdk blmeeler hesplblmekdr. Ws (994, bu öre, vskozesz k mlr ç solu elemlrl çözmü ; kr l rm mc l e vskozesz k mlr ç bu çl md m mrs öem çözülmü ür. Ack çözüm gerçek k klr ç de p lblr. Bu durumd öre Drc-Wesbch deklem kull ld d h h (5. mrs b s elde edlmekedr. Bu b d m d verlmekedr. g 8 5 D (5. Bu b d g : erçekm vmes, D :. elem boru çp ve : sürüme ks s d r.

42 5 6. SERBES YÜZEYL AKIMLAR Üsü mosferk bs çl hv le ems ol s v k m, serbes üzel k m olrk dld r lmkd r (Güe,. Bu bölümde, lk öce, S-Ve deklemler ç kr l ele l ck r. Dh sor S-Ve deklemler ve bu deklemler özel durumlr ç m mrs öem çözümler verlecekr. 6.. S-Ve Deklemler Krrs z k mlr ç kl b lr, lk def S-Ve rf d elde edlm ve hreke ç kl bu deklem k m ou d verlm r. Deklem k m sürekllk ve momeum deklemlerde olu mkd r. S-Ve deklemler çe l öemler le elde emek mümküdür. Chow (959, Sokler (957, Drokers (964, Hederso (966, Srelkoff (96, Lgge (975, Cuge (98, L (986 vd. frkl öemler le S Ve deklemler elde em lerdr (Chudhr, 993. S-Ve deklemler ç kr l d dk kbuller p lmkd r. Kld herkg br ekese bs ç d l m hdroskr. Kl b e m küçükür ( =s. Ak m h z üm ekese sbr. Kl przmkr (ekes ve b e m bouc de mor.

43 Sürekllk deklem Sb s rlr l d br korol hcm dü üelm ( ekl 6.. E er, kesler rs d k m krrs z olurs deb, h z ve su derl üksekl fdeler hem zm hem de koumu br foksou olur ( (,, V (, ve (,. Ak m Korol hcm ekl 6. Korol Hcm Korol hcm ç küle koruumu ss dk gb z lblr. dm d d d A d V A V A q ( l (6. Burd: q l : kl gre ve ç k brm l deb A: kes l : suu öz küles gösermekedr. Suu s k md kbul edlrse sb olur ve bölece (6. o lu deklem

44 7 d d Ad V A V A q ( l (6. hl lr. V A ve V A ere s rs l ve z l rs (6.3 o lu b elde edleblr. d d Ad q ( l (6.3 (6.3 o lu b d A, A, e göre sürekl oldu u, b k br de le, rl d kl kesde de m olmd kbulü (Kl ge l ve bd ve k m derl de de s çrm olmms durumud hc m korolü s rlr sbr(d /d = d /d =. Bu ko ullr l d Lebz ss (6.3 o lu b ugul rs (6.4 o lu deklem elde edlr. A d q ( l (6.4 (6.4 o lu dekleme orlm de er eorem ugul rs A ( ql ( (6.5 elde edlr. d f ( f ( d F(, d f( f( F(, d df F(f (, d F(d ( F( < < df F(f(, d

45 8 Burd gerekl sdele rmeler soucud A q l (6.6 buluur. Deklem (6.6 d da =B.d (B : Su üze ge l z l rs; B q l (6.7 elde edlr. Deklem (6.7 de A B, D = A/B (Hdrolk derlk, =A.V fdeler ere zl rs (6.8, (6.9, (6. o lu b edlr. lr elde (AV V A A V V.B A V (6.8 V B V.B A q l (6.9 V q V D l B ( Momeum deklem Nevou. ss göre korol hcme ugul momeum de m ble ke kuvvee e olck r. Bu göre F d d V Ad V A V V AV V q ( l (6. z lblr.

46 9 Burd: V : l gre ve ç k k m do rulusudk h z ble e gösermekedr. (6. o lu b d Lebz ss ugul r ve gerekl düzelemeler p l rs F d V V V q ( l (6. ( F (V V q l (6.3 elde edlr. Burd F F F F3 F4 dr. F memb üs k sm dk bs ç kuvve gösermeke olup F ga b s l ml d r. se rl k merkezde su üzee ol derlkr. F mspk bs ç kuvve gösermeke olup F ga b s l ml d r. se rl k merkezde su üzee ol suu derlkr. F 3 se suu öüdek rl k kuvve gösermeke olup F3 g ASd le fde edlmekedr. Burd S : kl b e m gösermekedr. F 4 su le kl rs dk sürüme kuvve gösermeke olup F4 g ASf d b s l

47 3 fde edlmekedr. Burd S f : eerj çzgs e m gösermeke ve Mg deklemde S f 4 (6.4 A R 3 eklde hesplblmekedr. Burd; : Mg ks s, R: hdrolk r çp (m gösermekedr. Deklem (6.3 e F de erler ere zd m zd ( F g(a A g A(S S f d (6.5 elde edlr. Gerekl düzeleme ve sdele rmeler soucud (V Vql g (A ga(s S f (6.6 (V ga ga(s S f Vql (6.7 elde edlr. (A A olrk kbul edlrse (ga g (A ga (6.8

48 3 buluur. Deklem (6.7 de gerekl düzelemeler p ld (6. o lu b lr buluur. d (6.9 ve (V ga Vql ga(s S f (6.9 (6.9 o lu b d gereke düzelemeler p l rs; V B A V BV V V V q A V g g(s S (6. l f V elde edlr.e er V=V olurs: V B A v BV V V ql ve burd deklem (6. u sdele m hl V g ( V g g(s o S f (6. elde edlr. (6. o lu b dmk deklem olrk dld r lmkd r. A deklem b k br formd V V S f S ( (6. g g Krrl ve üform k m Krrl ve üform olm k m Krrs z ve üform olm k m

49 3 eklde z lblr. (6. ve (6. o lu deklemler do rusl olm hperbolk k sm dfersel deklemler olup bu deklemler çözümü belrl kbuller le s sl öemler rd m le p lblmekedr. (6. ve (6. o lu sürekllk ve momeum deklemler br rd mrs formud z ld d u A u S (6.3 elde edlr. Burd: u, v V D A, g V S q g(s B S o l f A mrse öz de erler dlg l m h z vermekedr. V g V D (6.4 ga V gd V B (6.5 ga V gd V B (6.6 V c (6.7 V c (6.8

50 33 Chudr 993 e (6.3 o lu mrs deklem solu frklr öem le çözmü ür. Buu ç dfersel deklemler L ç l m rd m l çözülmü ür. S-Ve deklemler q l l deb olmd h z olmk üzere, brm ge lk ç z ld d; durumd, V k m V V D (6.9 V V V g g ( S S (6.3 f deklemler elde edlmekedr. Bu k deklem do rusl olm, brc merebe, hperbolk deklemlerdr. Momeum deklemde lk erm erel vme, kc erm kovekf vme, üçücü erm bs ç kuvve, dördücü erm er çekm vmes ve so erm sürüme kuvve gösermekedr. Deklem k m çözülmes güç oldu ud çözüm elde emek ç bz ermler hml edleblr. Bu göre dk modeller kurulblr (Bz,998.. Dmk model. Dfüzo model 3. Kemk model Bu modeller hreke deklemlerdek bz ermler hml edlmesle elde edlmekedr (Yüksel, 5.

51 34 Kemk dlg model: Momeum deklemde erel ve kovekf vmeler le bs ç kuvve hml edlmekedr. Yerçekm ve sürüme kuvveler degede olc k mlrdk S =S f d deklem, zml de mee üform (6.3 ekl lmkd r. Dfüzo dlg model: Çe l fzksel ollrd kull l dfüzo modelde, erel ve kovekf vmeler hml edlmeke, fk bs ç kuvve hesb k lmkd r. Burd D kl bouc l dfüzo ks s ve dlg lm h z olmk üzere D (6.3 z lblmekedr. D dfüzo ks s k dlgs söümledrlmes fde emeke olup bu model kemk dlg modelde frkl olrk öeleme s rs dk söümledrme de göz öüe lmkd r. Bu model le del blgler 6.5. de verlmekedr. Dmk dlg model: Momeum deklemdek büü ermler gözöüe l r. Ack bu model lk çözümler elde edlmed de s sl öemler kullmk gerekmekedr. Ack S. Ve deklemler do rusll r lms durumud lk çözümlere ul lblmekedr.

52 S-Ve Deklemler Do rusll r lms S-Ve deklemler lk çözümlere ul lblmek ç deklemler do rusll r lms d verlm r (Lrco ve Fromo, 4. Krrl k m durumudk deb ve su derl üksekl s rs le ve Y kbul edlm r. Krrl k m durumud d /d= d r (Lrco ve Flomo 4. Leerle rmek ç k m prmereler de e ve sb kl k s mlrd olu u u kbul edlerek dk gb z lblr. (, qq(, (6.33 Bu deklemde ve q q (, s rs l k m debs sb ve de ke k s mlr gösermekedr. Y(, Y (, (6.34 Bu deklemde Y ve (, s rs l k m derl sb ve de ke k s mlr gösermekedr. kc ve dh üksek merebel ermler hml edlerek S-Ve deklemler lor serse dk gb z lblmekedr. f (, Y f (, Y f (, Y qq(, f (, Y (, (6.35 Burd ve Y k sm ürevler f, f le göserlm r. Yukr dk kbüller l d ve l deb olmd (6.7 o lu deklem dk gb z lblr. durumud

53 36 ( q q (6.36 (6.3 o lu deklmdek V deb ve l csde zrsk (6.37 o lu deklem elde edlr. / A ga Y ga( S f S b (6.37 o lu deklemde geçe / A (6.37 erm lor serse ç l rs(6.38 o lu deklem elde edlr. A A elde edlr. A qq V qq V (6.38 A A Y A BurdV ve dr. A Y (6.38 o lu deklem e göre ürelrse q dv d q ( ( V qq V ( V V (6.39 elde edlr. Burd dv da d A d z lblr. Kl przmk oldu u kbul edlrse d d dv d (6.4. dk deklem z lblr. da dy (6.4.b d d (6.39 o lu deklemde gerekl düzelemeler p l rs

54 37 q q d V d dy A V V q d dy A V q V ( ( ( (6.4 elde edlr. (6.37 o lu deklem üçücü erm de lor serse ç l rs ga d dy g 3 3 ( - ( (6.4 elde edlr. Dördücü erm de bezer eklde ç l rs q f f b f q S ga Y S ga S S g 4 4 ( ( - ( ( (6.43 buluur. Burd, ( S Y S f f, Y R R S Y A A S Y S f f f 3 4, (, dy da ve Y P P A P Y R olmkd r.yukr dk fdeler erlere z l rs f b q f Y P P A S S q S g (( - ( ( 4 4 (6.44 elde edlmekedr.

55 38 üm ermler (6.37 o lu deklemde ere z l rs leerle rlm deklem elde edlr (X.Lrco ve V. Flomo 4. dk q q qq V qq ( C V (6.45 (6.36 ve (6.45 deklemlerde prmereler ç klms d verlm r. q q (, : deb de e k sm (, : derl de e k sm d dy V g ks fo Sb ( F d d (6.46 V dy d g F S fo ( A 3 P P k (6.48 dy d S b S F fo ( ( (6.49 V F (6.5 C C (6. 5 ga / V (6.5 A

56 39 (6.49 o lu b d S fo çeklp (6.46 ve (6.47 o lu b lrd ere z ld d, dk formd z lblmekedr. d dy V g ( k Sb ( k ( k F (6.53 d d g V S b dy d (6.54 Gereke düzelemeler p l rs (6.36 ve (6.45 o lu b dk gb z l r. lr q q (6.55 q q A q q Bqq C M (6.56 Bu b lrd, A, B, C ve M fdeler d mlm r. = ( A =V ( B = / C = - C ( V ( ( M =- ( (

57 Do rusll r lm S-Ve Deklemler Ad Dfersel Dekleme Döü ürülmes Newmrk- öem Zm b l ürev fdeler z m d kull l br öemdr. lor sers ç l m d deklemde geçe ürev fdeler bulumkd r. E er vme de m leer kbul edlrse =/4 l r. vme de m prbolk olrk dkke l rs =/6 l r, bu kr =/ d r. lor Sers le Çözüm lor sers rd m belrlemek mümküdür. le Newmrk öemdek prmereler z l r. Zm b l 3. ürev do rusl olrk. ürev csde dk gb X ( X ( X ( (6.57 X ( X ( ekl 6.. vme do rusl de m X(+ lor göre z l rs (6.58 o lu deklem elde edlr. X( 3 X( X(. X(. X(. (6.58 6

58 4 (6.58 o lu deklemde 3. derecede üksek ermler hml edlm r. Üçücü derecede ürev fdes (6.58 o lu deklemde ere z ld d (6.59 o lu deklem elde edlmekedr. X( X( X(. X(. X ( X (. ( (6.58 o lu deklem dk gb z lblmekedr. X( X( X(. X(. X (. ( Gereke düzelemeler p ld d X( X( X(. X(. X (. ( (6.6 o lu deklemde X ( çeklrse (6.6 o lu deklem elde edlr. X(. X( X( X(. X ( ( (6.6 o lu deklemde de ke d m p l rs (6.63 o lu deklem elde edlr. X X (, ( (6.63 (6.63 o lu b d geçe,, fdeler d verlm r.

59 4, X ( X ( ( X ( bu fdelerde =/6 l mkd r. edlr. Brc ürev lor ç l m z l rs (6.64 o lu deklem elde X( X( X(. X(. (6.64 (6.64 o lu deklemde 3. derecede ürev de er ere z l rs X( X( X(. X ( X (. (6.65 elde edlr. (6.65 o lu deklemde ermler sdele rld de X( X( X(. - X ( (6.66 ve X( X( X(. X ( (6.67 elde edlr. (6.67 o lu deklemde de ke de m p l rs (6.68 o lu deklem elde edlr. X 3 X ( 4, ( (6.68

60 43 (6.68 o lu b d geçe 3,, 4 fdeler d verlm r. 3, ( ( ( ( X X X bu fdelerde = / l mkd r. S-Ve deklemde zm b l ermler Newmrk- öeme göre dk gb z lblmekedr. 4, 3 ( ( (6.69-, ( ( (6.69-b q q q q q q q q 4, 3 ( ( (6.7- q q q q q q q q, ( ( (6.7-b Bu b lrd prmereler m d verlmekedr. (6.7 (6.7, ( ( ( ( (6.73

61 44, q q q q( qq( ( qq( ( ( ,, ( ( ( (6.76 4, q, q qq ( ( qq( (6.77 q q, sb ks lrd r., de erler bu çözüm ç = /6 ve = / l m r. = ç su üzede de m olmd d (krrl k m durumu (, q q (, (, (, q q (, ( z lblmekedr. (6.69-, (6.7-, (6.55 ve (6.56 b ssem d dfersel deklem sseme döü ür. dq q q lr brlke z l rs deklem q 3 ( 4, (6.78 d dq d ( (6.79 d d q 3q q A qqb C M 4, q q m mrs öemle çözüm (6.78 ve (6.79 o lu dfersel deklem ssem çözümü ç operör öem kull l rs dk gb z l r. AD D B CD M 3 3 (6.8

62 45 3 CD MD AD B ( CD ( M A D (B ( N B (6.83 CD M A D N (6.84 ( 3 Bu b lrd D ürev operörüü gösermekedr. kc derecede deklem çözümüde ( M 3A ( M 3A 4CN D C (6.85 ( M 3A ( M 3A 4CN D C (6.86 burd q ve homoje çözümü dk gb z l r. D D qq c e c e oje 3 hom (6.87 D D c e c e oje 3 4 hom (6.88 Özel çözüm se operör öemde bld üzere ve 3 dk gb elde edlr. 4, 4, q CD 3 M (6.89 M 4, 3 4, q (6.9 3 AD D B 3 4, 4, q (6.9

63 46 3 B 4, 3 4, (6.9 CD ( M A D N q ( 3 q (6.93 q q özel N (6.94 CD ( M A D N ( 3 3 ( özel N (6.96 q q ve ç oplm çözüm se homoje ve özel çözümler oplm olrk dk gb z l r. q q qqhomoje qqözel (6.97 q D D c e c e q N (6.98 hom oje özel (6.99 D D c e c e 3 4 (6. 3 N c 3, c 4 ü c ve c csde de er bulmk ç (6.98 ve (6. o lu b lr (6.78 o lu deklemde ere z ld d (6. o lu deklem elde edlr.

64 47 D c e 3 ( 3 D c e 4 3 N D D c e D D c e 4, (6. (6. o lu deklem düzeled de (6. o lu b elde edllr. D D 3 c 3 D c e 3 c 4 D c e (6. Burd: D c 3 c 3 D c c 3 (6.3 3 D c 3 c 4 D c c 4 (6.4 3 de ke m le (6.3 ve (6.4 o lu deklemler z l r. dk gb 3 D 3 c 3 3 c (6.5 4 D 3 c 4 4 c (6.6 Souç q ve de keler geel çözümü q D D c e c e q N d verlmekedr. (6.7

65 48 N D e c D e c (6.8 (6.7 ve (6.8 o lu b lr mrs formd dk gb z l r. ( ( q q c c N D e D e N D e D e (6.9 Burd 3 3 bouudk mrs R( le dk gb göserleblr. ( ( ( q q c c R (6. Elem b lg c d = ç (6.9 o lu deklem dk gb z l r. ( ( q q c c N N (6. Burd 3 3 bouudk mrse R( le göserlrse (6. o lu deklem elde edlr.

66 49 c q ( q R ( c ( (6. egerl sbler (5. o lu deklemde çeklrse c c R ( q q ( ( (6.3 elde edlr. (6.3 o lu b dk R ( se dk gb ml r. R ( (- 4 ( (- 4 ( ( N( ( N( z l rs, (6.3 o lu mrs b (6. o lu mrs b d ere q ( q ( q q R ( R ( ( ( (6.4 elde edlr. Burd, koumu ç m mrsdr. R(. R ( (6.5

67 S-Ve Deklemler Çrplr A rrk m Mrs Yöem le Çözümü Br boulu krrs z k m ç ge ve dkdörge br ç k kld l deb olmd, kl b e m çok küçük oldu u ( S ve h vrs m le S-Ve deklemler dk gb z lblr. V V V g b h (6.6 (hv (6.7 Bu deklemlerde : dlg üksekl, h : krrl hldek su derl (her elem ç sb br de er, S f b gh eerj e m ve V : orlm h z gösermekedr. Burd b bdk km gerlmes olup h z br foksoudur ve b kv V (6.8 b s le mlmkd r (Kous, 983. (6.8 o lu deklem do rusll rrk V : krrl hldek h z de er olmk üzere b kv - V k'v (6.9 eklde z lblr.

68 5 k : e de er sürüme ks s 3 gösermekedr. Dlg l m d (, de m edrc oldu u ç ve h( ek küçük de mde, (6.6 o lu deklemdek do rusl olm erm ( V V geellkle hml edlr ve deklem k m do rusl hle gelr. V g k h V (6. Yukr dk (6.7 ve (6. o lu deklemler brle rlp gerekl düzelemeler p l rs. merebede do rusl hperbolk br deklem elde edlr. g (h k h (6. (6. o lu k sm dfersel deklem (, ( ( eklde k s mlr r l rs dk b elde edlr. k' ( ( gh ( ( ( ( (6. h (6. o lu b d, zm göre. ve. ürevler ve koum göre. ürev gösermekedrler. Burd gerekl düzelemeler p l rs (6.3 o lu b z lblr. ( k ' h ( ( gh ( ( (6.3 3 Equvle frco Coeffce

69 5 Burd sb ve göre düzelerse dk b lr elde edlr. dr. (6.3 o lu deklem koum ve zm ( ( gh (6.4 ( k' h ( ( (6.5 Koum b l olrk elde edle d dfersel deklem ( ( (6.6 gh eklde z lblr. Bu dfersel deklem çözümü d verlm r. ( C cos( C s( (6.7 gh gh (6.7 o lu deklem e göre ürelrse; d ( d C s( C cos( gh gh gh gh (6.8 elde edlr. (6.7 ve (6.8 o lu b lr mrs form z l rs;

70 53 cos( s( gh gh A (6.9. s( cos( gh gh gh gh C C C (6.9.b olmk üzere ( d ( d A C (6.3 elde edlr. S r ko ullr d = d, d d ve d d A (6.3 gh olmk üzere ( ( d A C (6.3 z lblr. (6.3 o lu mrs b d egrl sbler çeklrse

71 54 ( C A. d ( (6.33 d elde edlr. (6.33 o lu mrs b s (6.3 o lu mrs b d ere z l rs d ( ( d A ( A d ( (6.34 d elde edlr. Gerekl düzelemeler p l rs elem m mrs formlrd bulublr. dk A. A (6.35 ve s( gh cos( gh (6.36 gh s( cos( gh gh gh Burd. ve +. elemlr rs dk elem m mrs deklem dk formd z lblr. ( ( [ ] d ( d ( d d (6.37

72 55 (6.5 o lu deklem düzelerse dk b elde edlr. k' ( ( ( (6.38 h (6.38 o lu dfersel deklem krkersk deklemde dk souçlr elde edlr. E er > se m m ( ce c e (6.39 Burd k' m h ve k' m h dr. E er = se ( ( c c e m (6.4 Burd m k' h dr. E er < se ( e [ c cos( c s( ] (6.4 Burd k' h dr. Yukr d verle geel deklemlerde k' ( h 4 dr.

73 56 Sürümesz k k kbulü le k = l d d ( [ c cos( c s( ] (6.4 elde edlr. Burd c ve c egrso sbler ve s r ko ullr d rrl lrk belrleeblmekedr. (6.37 o lu deklemde elde edle de erler, (6.38 o lu deklem çözümüde elde edle ugu souçl çrp lrk (, de erler elde edleblmekedr Dfüzo Dlg Model Dfüzo dlg model elde edlmesde kull l deklemler sürekllk ve bsle rlm momeum deklemlerdr. Bsle rlm momeum deklem, zm vme çermemekedr. Bsle rlm hreke deklem d verlmekedr. S f So (6.43 Deb fdes m fkorü (K csde blmekedr. dk gb z l KS f (6.44 (6.43 ve (6.44 o lu deklemler brlke z ld klr d; K S o (6.45 elde edlr.

74 57 (6.45 o lu ve sürekllk deklemlerde ok edlrse, elde edle deklem, u ve e b l de m verr. Buu ç (6.45 o lu deklem e ve sürekllk deklem e göre ürev l p, deklem k m d ok edlmeldr. erm (6.45 o lu deklem ürev e göre d verlmekedr. K 3 K K (6.46 Sürekllk deklemde e göre ürev l p gerekl düzelemeler p ld d ( A B ; B (6.47 elde edlr. (6.46 ve (6.47 o lu deklemlerde erm ok edlrse; B K 3 K K (6.48 elde edlr.

75 58 (6.48 o lu deklemdek K erme, Zcr 4 kurl ugul rs (6.49 o lu deklem z lblr. Bu deklemde, sürekllk deklemdek A ere z lm r. K dk da ( (6.49 K erm csde zmk mümkü olmkd r. Buu ç k m kbul üform edlrse (6.5 o lu deklem elde edlmekedr. K (6.5 S o (6.5 ve (6.5 o lu deklemler brlke z l rs; K S d ( da (6.5 elde edlr. (6.5 o lu deklem (6.48 o lu deklemde erle rlrse; D ( (6.5 4 K K A A

76 59 elde edlr. Bu deklemde d da ve D d r. (6.5 o lu deklem BS o dfüzo dlg deklem olrk blmekedr(chudhr, 993. Bu deklem, prbolk ürde br k sm dfersel deklemdr. Çevre, kr sulr ve hvdk krllk problemler de modellemek ç bu fde kull lmkd r. Bu problemler emsl ede memksel fde d verlm r. c V c D c (6.53 (6.53 o lu deklemde c, krlee mdde hcm/oplm hcm or olrk mlmk ve brm se (pp dr. V se öüdek k m h z gösermekedr (Kous, 983. A Dfüzo dlg deklem frkl öemler le çözmek mümküdür. d, bu öemler bz lr er verlm r m mrs öemle çözüm Dfüzo dlg deklem ç çe l çözüm öemler mevcuur. Bu çözümler kes ve s sl çözümler olrk ke rmk mümküdür. Kes çözüm öeme örek olrk, fokso seçm öem, çrplr rm öem, de ke döü ümü öem ve Lplce öem, s sl çözüm öemler ç de solu frklr ve solu elemlr öemler göserleblmekedr.

77 Çrplr rm öem Bu öemde, k sm dfersel deklem çrplr r lrk, k ms dfersel deklem zm ve koum b l d dfersel deklemlere drger ve bu okd hrekele çözüme gdlr. Bu öemde çözüm, koum ve zm b l k foksou çrp m eklde dk gb fde edlmekedr. (,=. (6.54 (6.54 o lu b (6.5 o lu k sm dfersel dekleme ugul rs, (6.55 o lu b elde edlr. D (6.55 (6.55 o lu deklem ve e göre düzeled de (6.56 o lu b elde edlr. D (6.56 Burd herhg br pozf sb s ( olmk üzere, (6.56 o lu deklem koum b l düzeled de (6.57 o lu b elde edlr. D (6.57 (6.57 o lu deklem çözümüde 4D durum söz kousudur. Bulr; de ere göre üç se (6.57 o lu dfersel deklem çözümüde; C e C e m m (6.58 elde edlr. (6.58 o lu deklemde m ve m dk gb mlmkd r.

78 6 4D m D (6.59 4D m D (6.6 Deklem (6.58 e göre ürelrse; m m C me Cme (6.6 elde edlr. (6.58 ve (6.6 o lu b lr mrs form z l rs e m e m m e m e m m C C (6.6 elde edlr. (6.6 o lu mrs b = ç z l rs, A C C (6.63 elde edlr. Burd A m d verlm r. A m m (6.64 (6.63 o lu mrs b d egrl sbler çeklrse A (6.65 C elde edlr. Burd C egrl sbler mrs gösermekedr.

79 6 egrl sbler mrs (6.6 o lu mrs b d ere erle rlrse. elem le b lg ç rs dk elem m mrs elde edlr. A A (6.66 (6.66 o lu mrs b d [A] m d verlm r. A e m e m m e m e m m (6.67 Gerekl düzelemeler p l rs elem m mrs formlrd buluur. dk A. A (6.68 ve e m e m m m e m m m e m e m e m m m m e m m e (6.69 Burd. ve +. elemlr rs dk elem m mrs deklem dk formd z lblr. ( ( [ ] d ( d ( d d (6.7 se (6.57 o lu dfersel deklem çözümüde (6.7 o lu deklem elde edlr.

80 63 D e C C ( (6.7 Deklem (6.7 o lu deklem göre ürelrse; ( D D D e e D C e D C (6.7 elde edlr. (6.7 ve (6.7 o lu deklemler mrs formud zl rs C C e e D e D e e D D D D D (6.73 elde edlr. (6.74 o lu mrs b = ç z l rs, C C D (6.74 elde edlr. (6.74 o lu mrs b d egrl sbler çeklrse D C C (6.75 elde edlr. egrl sbler (6.73 o lu ms b d ere z l rs,. elem le b lg ç rs dk elem m ms elde edlr. (6.76 Burd m d verlm r.

81 64 e D D e D D e D e D D D e D e e D D D e D (6.77 Burd. ve +. elemlr rs dk elem m mrs deklem (6.7 o lu mrs b s gb z lblmekedr. 3 se (6.57 o lu dfersel deklem çözümüde; e ( C cos C s (6.78 elde edlr. Bu deklemde ve dk gb mlmkd r. D (6.79 D B 4D Deklem (6.58 e göre ürev l rs; (6.8 e ( C cos C s e ( C s C cos (6.8 elde edlr. Bu deklem C ve C e göre düzelerse; e ( cos s C s cos C (6.8 elde edlr. (6.78 ve (6.8 o lu deklemler mrs formud z l rs; A C C (6.83

82 65 elde edlr. Burd A m d verlm r. A e ( e cos cos s e e s s cos (6.84 (6.8 o lu mrs b = ç z l rs; A C C (6.85 elde edlr. Burd A m d verlm r. A (6.86 egrl sbler (6.85 o lu mrs b d çeklp (6.83 o lu mrs b d ere z l rs dh öcek bölümlerde de söz edld gb. elem le b lg ç rs dk elem m mrs elde edlr. Gereke düzelemeler p l rs elem m mrs dk gb z lblr. e e (cos cos ( s s e e s s cos (6.87 elde edlr. (6.56 o lu deklem e göre düzeled de; (6.88 elde edlmekedr. (6.88 o lu d dfersel deklem çözümüde elde edlr. C 3 e (6.89

83 66 Burd C 3 sb s r ko ullr d bulmkd r. m mrslerde frkl de erler ç elde edle de erler (6.89 o lu deklemle çrp ld De ke döü ümü öem d, (6.5 o lu deklem çözümü elde edlr. Bu öemde de ke döü ümü p lrk, (6.53 o lu deklemdek erm ok edlerek çözüme gdlmekedr. Bu öemdek döü üm X = - V d verlmekedr. (6.88 o lu de ke de m deklem (6.5 e uguld d; q X D q elde edlr (Glcksm, - Frlow, 993. q ve rs dk l k, (,=q(x-u, eklde z l blmeedr. Bu döü üm uguld (6.9 (6.9 d s r ko ullr d bu döü üme ugu olrk de mekedr. (6.9 o lu deklem prbolk ürde br k sm dfersel deklemdr. Bu deklem küle rsfer, s rsfer ve dfüzo deklem olrk blmekedr. Bu p dfersel deklemler m mrs öem le çözümü erl suu hdrol bölümüde ele l m r. Bu öem d d dfüzo dlg deklem, Lplce ve Fourer döü üm öemlerle de çözmek mümkü olmkd r Dü üm oklr zm eks öem (6.5 o lu deklemde oldu u kbul edlrse (6.9 o lu b fdes dü üm oklr d ek elde edlr.

84 67 D (6.9 Bu dfersel deklem çözümüde; C C e D (6.93 elde edlr. (6.93 o lu deklem koum göre ürev; D C e D (6.94 olrk elde edlr. Zm eks göz öüe ld m zd + hesp oks d zm d m ç dk e lkler z lblmekedr. D D D C e D (6.95 (6.95 o lu deklem düzeled de (6.96 o lu deklem elde edlr. D C e D D D (6.96 (6.93 ve (6.96 o lu deklemler mrs formd z ld d; D D D C C e D e D (6.97

85 68 elde edlr. = ç (6.97 o lu deklem dk gb z l r. C C D D (6.98 (6.98 o lu deklemde egrl sbler vekörü çeklrse (6.99 o lu deklem elde edlr. C C D D D (6.99 (6.99 o lu deklem (6.97 o lu mrs deklem de ere z l p gereke düzelemeler p l rs; ( D D D D D e e D e D e D (6.

86 69 elde edlr. Bu deklemde; j, D w e D e D D D ( e F kbul edlrse ve gereke düzelemeler p ld d D (6. o lu mrs b dk gb elde edleblmekedr. e D D ve F (6. Burd, j w (6. ssem br elem ç m mrs ve F se dü üm oks d lve gele zm b l de erler ssem dü üm oklr dk zm eks gösermekedr. üm ssem ç kull l elem m mrs dk gb z lblr. 3 (6.3

87 7 + dü üm oks ç elem olu mk bölece elem ç ssem ml deklem d verlmekedr. ( ( F ( F ( ( F ( F 3 (6.4 (6.4 o lu deklem düzelerse; ( ( m m ( k (( m k F m k F (6.5 z lblr. (6.5 o lu deklemde b lg ç ve b oks dk blmeeler s r rlr rd m l buluur. Dh sor bulu de erler kull lrk r oklr dk blmeeler elde edlr Hz r foksolrd rrlrk çözüm Dfüzo dlg deklem s l belrl çözümler vrd r. S r ko ullr s l ve probleme ugu fokso çözüm seçleblmekedr. Br çok hllerde, dfersel deklemler s r ko ullr ve lk ko ullr dee belrl ko ullr gerçeklee çözümler buluml d r. Br fzk problemde oldu u gb, böle ko ullr kedl de do rlr. Böle hllerde sdece çözümler olup olmd de l, verle ko ullr b l çözümler vrl sorulml d r (Spegel, 958. Dfüzo dfersel deklem çözümü olrk verle çözüm foksolr d verlmekedr.

88 7 f( = A + B (6.6 f(, = A( + + B (6.7 f(, = A( B (6.8 f(, = A( B (6.9 f(, = A( B (6. f(, = A( B (6. f(, = A( B (6. f (, A ep( 4 B (6.3 f (, A Berf (6.4 D Bu deklemlerde A ve B egrl sbler fde emekedrler (Pol,. Bu deklemlerde (6.4 o lu deklem s r ko ullr b l olrk fde edld de A Berf (, D (6.5 = z lblmekedr. Bu dekleme d er s r ko ullr se d verlmekedr 5. 5 erf ( e d ve erfc( erf (