ANKARA ÜN IVERS ITES I FEN B IL IMLER I ENST ITÜSÜ YÜKSEK L ISANS TEZ I. Asl LÜLEC I MATEMAT IK ANAB IL IM DALI ANKARA 2011.

Transkript

1 ANKARA ÜN IVERS ITES I FEN B IL IMLER I ENST ITÜSÜ YÜKSEK L ISANS TEZ I KES IRL I BASAMAKTAN BAZI D IFERENS IYEL DENKLEM MODELLER I Asl LÜLEC I MATEMAT IK ANAB IL IM DALI ANKARA 2 Her hkk skl d r

2 TEZ ONAYI Asl LÜLEC I rf d hz rl " Kesirli Bsmk Bz Diferesiyel Deklem Modelleri " dl ez çl şms 27 / 7 / 2 rihide ş¼g dki jüri rf d oy birli¼gi ile Akr Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü Memik Abilim Dl d YÜKSEK L ISANS TEZ I olrk kbul edilmişir. D şm: Doç.Dr. Nuri ÖZALP Jüri Üyeleri: Bşk: Doç.Dr. Ogü DO¼GRU Gzi Üiversiesi Fe Fkülesi Memik Bölümü Üye: Doç.Dr. Nuri ÖZALP Akr Üiversiesi Fe Fkülesi Memik Bölümü Üye: Doç.Dr. Fm TAŞDELEN YEŞ ILDAL Akr Üiversiesi Fe Fkülesi Memik Bölümü Yukr dki soucu oylr m Prof.Dr. Özer KOLSARICI Esiü Müdürü

3 ÖZET Yüksek Liss Tezi KES IRL I BASAMAKTAN BAZI D IFERENS IYEL DENKLEM MODELLER I Asl LÜLEC I Akr Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü Memik Abilim Dl D şm: Doç.Dr. Nuri ÖZALP Bu ez dör bölümde oluşmkd r. Birici bölüm giriş k sm yr lm ş r. Bu bölümde ezde kull lck ol bz özel foksiyolr verilmişir. Ikici bölümde, kesirli bsmk ürev ve iegrl lm yöemleri verilmiş ve bu yöemleri birbiriyle ol ilişkileri ory koyulmuşur. Ilk olrk Grüwld Leikov ürev ele l m ş r. Sors d ise Riem-Liouville kesirli ürev ve buu Grüwld Leikov ürev yklş m yl ilişkisi verilmişir. So olrk Cpuo ürev m l lm ş r. Üçücü bölümde, kesirli bsmk diferesiyel deklemleri bşlg ç de¼ger problemlerii çözümlerii vrl k ve ekli¼gi ile ilgili bz eoremler ve örekler ele l m ş r. Ilk olrk ek kesirli diferesiyel deklemi vrl k ve ekli¼gi ve dh sor ise li kesirli diferesiyel deklem sisemi geel durumu içi vrl k ve eklik eoremleri verilmişir. Ayr c öreklerle, kesirli diferesiyel deklemler içi bşlg ç de¼ger problemlerii çözüm meodu olrk kull lbilece¼gi göserilmişir. So olrk, bz kesirli bsmk diferesiyel deklem modelleri ve kesirli bsmk lieer sisemi krl l k durumu icelemişir. Kesirli Deklemler, kesili bsmk ürev, kesirli bsmk- 2, 74 syf Ahr Kelimeler: iegrl i

4 ABSTRACT Mser Thesis O Some Frciol Di ereil Equios Models Asl LÜLEC I Akr Uiversiy Grdue School of Nurl d Applied Scieces Deprme of Mhemics Supervisor: Assoc.Prof.Dr. Nuri ÖZALP The hesis cosiss of four chpers. The rs chper is devoed o he iroducio. I his pr some fucios re give which re used i he hesis. I he secod chper, some mehods of kig frciol derivive d iegrl d lso he relioship bewee hem re give. Firsly, Grüwld Leikov derivive is cosidered. Afer he, he Riem-Liouville frciol derivive d he relioship wih he Grüwld Leikov derivive re give. Filly, he de iio of Cpuo derivive is described. I he hird chper, Exisece d uiqueess of he iiil vlue problems of frciol equios d sysems re give. Moreover, wih some exmples i is show h he iiil vlue problem c be used s he mehod of soluio for frciol di ereil equios. I he l pr, some models of frciol di ereil equios d he sbiliy of frciol lier sysems re ivesiged. 2, 74 pges Key Words: Frciol equios, frciol order derivive, frciol iegrl ii

5 TEŞEKKÜR Çl şmm her şms d görüş ve öerileriyle bei yöledire ve b her koud yrd mc ve desek ol sy hocm Doç. Dr. Nuri ÖZALP (Akr Üiversiesi Fe Fkülesi) e, yüksek liss yp ¼g m süre boyuc, ilk güde iibre desek, ly ş ve deeyimlerii bede esirgemeye sy hocm Arş. Gör. Elif DEM IRC I (Akr Üiversiesi Fe Fkülesi) ye yr c çl şmlr m s rs d verdi¼gi burs ile bei desekleye TÜB ITAK ve b ly ş gösere sevgili ileme e içe syg ve eşekkürlerimi sur m. Asl LÜLEC I ANKARA, Temmuz 2 iii

6 IÇ INDEK ILER ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR G IR IŞ Diferesiyel Deklem Kesirli Diferesiyel Deklemler Kesirli Klkulus Bz Özel Foksiyolr Gmm Foksiyou Mig-Le er Foksiyou Wrigh Foksiyou KEYF I BASAMAKTAN TÜREV VE INTEGRALLER Oyuu Ismi Grüwld-Leikov Kesirli Türevleri; Türev ve Iegrli Ork Ifdesi: Key Bsmk Iegrller Key Bsmk Türev ( ) Kesirli Türevi Tmsy Bsmk Türevler ile Birleşirme Kesirli Türevler Ile Birleşirilmesi Riem-Liouville Kesirli Türevi: Tmsy Bsmk Türevlerii ve Iegrlleri Birleşirilmesi: Key Bsmk Iegrller: Key Bsmk Türevler ( ) Kesirli Türevi: Tmsy Bsmk Türevlerle Birleşirilmesi Kesirli Türevlerle Birleşirilmesi: Grüwld-Leikov Yklş m yl Ilişkisi Di¼ger Bz Yklş mlr Cpuo Kesirli Türevi VARLIK VE TEKL IK TEOREMLER I Lieer Kesirli Diferesiyel Deklemler Geel Formd Kesirli Diferesiyel Deklemler Çözüm Meodu Olrk Vrl k ve Teklik Teoremi Çözümleri Bşlg ç Koşullr B¼gl l ¼g KES IRL I BASAMAKTAN MODELLER Leyl-Mecu Modeli KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ i ii iii

7 . G IR IŞ. Diferesiyel Deklem Bir y d dh fzl de¼gişke rs dki ilişki, bu de¼gişkeleri de¼gişim or bir foksiyou olrk düşüülebilir. De¼gişim orlr, zm b¼g ms z de¼gişke olmk üzere sürekli vey kesikli olrk ifde edilebilir. De¼gişkeleri zm b¼gl oldu¼gu düşüülürse; de¼gişkeler, de¼gişim orlr ve foksiyolrd oluş deklemler elde edilir. Bu deklemlere ürevsel deklemler y d diferesiyel deklemler d verilir. K sc, diferesiyel deklemler bir k m b¼g ms z de¼gişkeleri, bu de¼gişkeleri foksiyolr ve foksiyolr solu bsmk ürevlerii içere bu ürde memiksel b¼g lrd r..2 Kesirli Diferesiyel Deklemler Kesirli diferesiyel deklem kedi ismide de lş lc¼g üzere ürev ve iegrli m olmy (key ) derecelere geişleilmiş şeklidir. Kou diferesiyel hesp kdr eski olup, Leibiz ve Newo u diferesiyel hesplm eki¼gie kdr uz r. (By S., 24) Bir foksiyou birici, ikici, üçücü, vs. ürevlerii s l l d ¼g biliyoruz, ck 4 ücü ürevii s l lbiliriz? Ay şekilde foksiyou iki y d üç def 3 iegre edebiliriz, fk def iegre edebilir miyiz? Leibiz i 695 e L Hospil 2 sordu¼gu "Tmsy bsmk ürevler kesirli bsmk ürevlere geişleilebilir mi?" sorusu kesirli diferesiyeli ç k ş rihi olrk göserilebilir. Leibiz i y s r Liouville, Riem, Weyl, Lgrge, Lplce, Fourier, Euler, Abel gibi birçok memikçi de bu kou üzerie çl şm şlrd r. (Loverro A., 24).3 Kesirli Klkulus Bz Özel Foksiyolr Bu bölümde di¼ger bölümlerde kull lck bz özel foksiyolr emel eorisi verilecek. Gmm ve Be Foksiyolr, Mig-Le er foksiyolr ve Wrigh foksiyolr hkk d bilgi verilecek.bu foksiyolr kesirli diferesiyel deklemlerde çok öemli rol oymkd rlr..3. Gmm Foksiyou Kesirli lizi emel foksiyolr d biri;! i m olmy sy lr ve h kompleks sy lr geelleye, Euler i (z) Gmm foksiyoudur. Gmm foksiyouu e bsi lm fköriyeli büü reel sy lr içi geelleşirilmesidir. Gmm Foksiyouu T m Gmm foksiyou (z) Z e z d; z 2 R (.)

8 ile ml r ve kompleks düzlemi Re(z) > s¼g yr s d yk sk r. Gerçeke; (x + iy) Z Z e x +iy d e x e iy log d Z e x [cos (y log ) + i si (y log )] d (.2) olup, köşeli prezi içideki ifde her içi s rl d r. e de doly sosuzd yk skl k s¼gl r ve dki yk skl k içi de x Re (z) > gereklidir. Gmm Foksiyouu Bz Özellikleri Gmm foksiyouu e emel özellikleride birisi (z + ) z (z) (.3) dir. Bu ifde k smi iegrsyo yöemi ile kolyc isplbilir: (z + ) Z e z d e z Z + z e z d z (z) Burd ç kç görülmekedir ki; () dir ve (.3) ü kullrk z ; 2; 3; ::: içi (2) : ()! (3) 2: (2) 2:! 2! (4) 3: (3) 3:2! 3! ::::::::::::::: ( + ) () ( )!! elde ederiz. Gmm foksiyouu di¼ger bir özelli¼gi; gmm foksiyou z ( ; ; 2; :::) oklr d bsi kuup oklr shipir. Buu gösermek içi (.) i (z) Z e z d + Z e z d (.4) formud yzl m. (.4) deki ilk iegrl, üsel foksiyou seri ç l m kull lrk hesplbilir. E¼ger Re(z) x > isere(z + k) x + > ve z+k d r. Böylece, 2

9 Z e z d Z X k ( ) k k! X ( ) k k k! Z z d k+z d X k ( ) k k!(k + z) Ikici iegrl z kompleks de¼gişkeii bir m foksiyou olrk ml r. Gerçeke, ' (z) Z e z d Z e e log z Z e (z ) log d (.5) yzl m. e (z ) log foksiyou key z ve içi z ve i sürekli foksiyodur. Dhs, e¼ger (ve böylece log ) ise, z i m foksiyou olur. Kompleks düzlemde key, s rl ve kpl bir D bölgesii ele ll m ve x mx z2d Re(z) diyelim. O hlde; e : z e (z ) log (z x + iy) e (x ) log : e iy log e (x ) log e (x ) log e x olur. Bu (.5) deki iegrli D de düzgü yk sd ¼g lm gelir ve böylece ' (z) foksiyou D de düzgü olup, (.5) de iegrl l d üreve izi verilir. D bölgesi key olrk seçildi¼gide, ' (z) foksiyouu yukr dki özellikleri üm kompleks düzlemde s¼gld ¼g ç kr m ypr z. Böylece ' (z) foksiyou iegrl l d üreve izi vere bir m foksiyodur. Yukr dkileri bir rd göz öüe l rsk; (z) X ( ) k k! k + z + k k Z e : z :d X ( ) k + m foksiyo (.6) k! k + z elde edilir ve gerçeke (z) sdece z ; ; ; 2; ::: d bsi kuup oklr shipir. Gmm Foksiyouu Limi Göserimi Gmm foksiyou yr c!: z (z) lim! z (z + ) ::: (z + ) 3 (.7)

10 limii ile de göserilebilir. Burd Re(z) > bşlg ç kbulüü ypmky z. (.7) yi isplmk içi ilk olrk f (z) Z yrd mc foksiyouu ele ll m. uygul rs z d (.8) l p, rd ş k olrk k smi iegrsyo elde ederiz. Iyi bilie eşili¼gide Z f (z) z z z : lim f (z) lim!! ( ) z d Z ( ) z d z :! z(z + ):::(z + ) z :! z(z + ):::(z + ) lim! Z e Z z d z+ Z d (.9) e : z d (.) olms bekleyebiliriz ki, burd d e¼ger limi ve iegrldeki yer de¼gişimi koruuyors (.7) deki gmm foksiyouu limi göserimi isplm ş olur. Buu gösermek içi frk hesplyl m: Z Z e z d f (z) e z d + Z e z d (.) Key bir " > sy s ll m. (.) deki iegrl yk sk oldu¼gud, N olck şekilde bir N sy s vrd r, öyle ki; Z Z e z d e x d < " 3 4 (x Re(z)) (.2)

11 N sbileirse ve > N göz öüe l rs y üç iegrli oplm olrk Z N + Z N A e z d + Z e z d (.3) So iegrl " de küçük olup, ikici iegrl içi ise, x Re(z) olmk üzere, 3 Z Z e z d e x d N < N Z N e x d < " 3 (.4) elde edilir. (.3) deki ilk iegrli hesb içi ş¼g dki yrd mc eşisizli¼ge gerek duyr z: < e < 2 2 ( < < ) (.5) ki bu ve e e d (.6) < e d < e 2 d e 2 (.7) de elde edilir. ((.6) b¼g s her iki rf iegrllemesi ile elde edilir.) (.5) deki yrd mc eşisizli¼gi kullrk yeerice büyük ler içi ve sbi N ler içi Z N e z d < 2 Z N x+ d < " 3 (.8) (.2), (.4) ve (.8) deki eşisizlikleri gözöüe l rk key " içi (.) dki limi ve iegrl de¼gişimi göserilir. Bu d Re(z) > içi gmm foksiyouu limi göserimi ol (.7) deki formülü isp mmlr. (.3) yrd m ile Re(z) > koşulu z 6 ; ; 2; ::: ye ş¼g dki şekilde zy lbilir. E¼ger m poziif bir msy olmk üzere m < Re(z) m + ise, 5

12 (z) (z + m) z (z + ) ::: (z + m ) z (z + ) ::: (z + m ) lim!: z+m!(z + m) ::: (z + m + ) z (z + ) ::: (z + m ) lim ( m)!: ( m) z+m!(z + m) (z + m + ) ::: (z + ) z :! lim! z (z + ) ::: (z + ) (.9) Böylece (.7) deki limi göserimi z 6 ; ; 2; ::: hriç üm z ler içi geçerlidir. Be Foksiyou Ço¼gu durumd gmm foksiyouu de¼gerlerii belirli kombisyolr yerie be foksiyou olrk dld r l bir b¼g kullmk dh uygudur. Be foksiyou ço¼gulukl; B (z;!) Z z ( ) w d; Re (z) > ; Re (w) > (.2) şeklide ml r. (.) de verile gmm foksiyou m ile (.2) deki be foksiyou rs d ilişki kurbilmek içi Lplce döüşümüü kullc¼g z. h z;w () z ( ) w d (.2) iegrlii göz öüe ll m. Aç k olrk h z;w () ; z ve w foksiyouu kovolüsyoudur ve h z;w () B (z; w) d r. Iki foksiyou kovolüsyouu Lplce döüşümü, olr Lplce döüşümüü çrp m eşi oldu¼gud, H z;w (s) (z) (w) (z) (w) : (.22) s z sw s z+w olur. Burd H z;w (s) ile h z;w () i Lplce döüşümüdür. Di¼ger rf (z) (w) çrp m sbi oldu¼gu içi (.22) i s¼g rf ers Lplce döüşümü l rk h z;w () orijil foksiyouu yeide elde emek mümküdür. Lplce döüşümüü ekli¼gide h z;w () (z) (w) (z + w) :z+w (.23) olup, l rsk be foksiyouu e belirgi özellikleride birii elde ederiz: B (z; w) 6 (z) (w) (z + w) (.24)

13 Ayr c, burd d B (z; w) B (w; z) (.25) elde edilir. (.2) deki be foksiyou m sdece Re(z) > ; Re(w) > oldu¼gu zm geçerlidir. E¼ger gmm foksiyouu liik geişlemesie ship isek, (.24) deki ilişki be foksiyouu üm kompleks düzleme liik geişlemesii s¼glr. Be foksiyou yrd m yl gmm foksiyou içi (z) ( z) si z (.26) öemli b¼g s elde ederiz. Bu formülüü < Re(z) < koşulu l d, z 6 ; ; 2; :::içi geçerlidir. ( Podluby, 999).3.2 Mig-Le er Foksiyou e z üsel foksiyou msy bsmk diferesiyel deklemler eoriside oldukç öemli rol oyr. Ou bir prmere geişleilmiş şekli, E (z) X k z k (k + ) (.27) formülü ile Mig-Le er rf d verilmişir. (Erdelyi, 955.) Mig-Le er ipi iki prmereli foksiyo geelleşirilme işlemi ilk olrk Agrwl (953) ve Humber rf d Lplce döüşüm eki¼gi kull lrk yp lm ş olup, kesirli derecede diferesiyel hesp öemli bir yere shipir. Bu foksiyo Agrwl foksiyou olrk isimledirilebilirdi ck, Humber ve Agrwl bir prmereli Mig-Le er foksiyouuyl y osyou kulld klr d doly şu d iki prmereli foksiyo Mig-Le er foksiyou d yl kull lmkd r. T m ve Bz Di¼ger Foksiyolrl Ilişkisi Iki prmereli Mig-Le er foksiyou E ; (z) X k z k (k + ) ( > ; > ) (.28) seri ç l m ile verilir. (.28) deklemide, E ; (z) X k z k (k + ) X z k k! ez (.29) k E ;2 (z) X k z k (k + 2) X z k (k + )! z k 7 X k z k+ (k + )! ez z (.3)

14 E ;3 (z) X k X z k! k! + X z k k! ez k k z k (k + 3)! X z k (k + 2)! z 2 k X k z k+2 (k + 2)! ez z (.3) z 2 ve e geel hliyle E ;m (z) z m fez mx 2 k z k k! g (.32) dir. Hiperbolik siüs ve hiperbolik kosiüs, Mig-Le er foksiyouu özel birer durumlr d r. E 2; z 2 E 2;2 z 2 X k X k z 2k (2k + ) X z 2k (2k + 2) z z 2k (2k)! k X z 2k+ (2k+)! k cosh(z) (.33) sih(z) (.34) Hiperbolik siüs ve kosiüsü geelleşirilmişi ol : bsmk hiperbolik foksiyolr Mig-Le er foksiyouu erimleri ile ifde edilebilirler. h r (z; ) X k z k+r (k + r )! zr E ;r (z ) (r ; 2; :::; ) (.35) Buul berber siüs ve cosiüs foksiyolr geelleşirilmişleri ol : bsmk rigoomerik foksiyolr; k r (z; ) X jo ( ) j z j+r (j + r )! zr E ;r ( z ) (r ; 2; :::; ) (.36) şeklide ifde edilirler. içi Mig-Le er foksiyouu bir prmereli olrk elde ederiz: E ; (z) X k z k (k + ) E (z) (.37) Rsyoel bsmk diferesiyel deklemleri çözmek içi ml E (v; ) foksiyou (.28) deki Mig-Le er foksiyouu özel bir durumudur. E (v; ) v X k () k (v + k + ) v E ;v+ () (.38) Rboov (977) u (; ) foksiyou Mig-Le er foksiyouu özel bir durumudur. 8

15 (; ) X k k : k(+) ((k + ) ( + )) E +;+ + (.39) (.38) ve (.39) rs dki ilişkide doly Miller-Ross (993) ve Rboov(977) foksiyolr özellikleri iki prmereli Mig-Le er foksiyoud ç kr l r. Kesirli siüs ve kosiüs olrk dld r l Sc (z) ve Cs (z) foksiyolr iki prmereli Mig-Le er foksiyouu özel birer hlleridir: Sc (z) X ( ) (2 )+ :z ((2 ) + 2) ze 2 ;2 2 (.4) CS (z) X ( ) (2 ) :z ((2 ) + ) E 2 ; z 2 (.4) Siüs ve kosiüs foksiyolr Mig-Le er foksiyou ciside ifde edile di¼ger bir kesirleşirilmeside Luchko ve Srivsv (995) söz emişir: si ; (z) X k ( ) k :z 2k+ (2k ) ze 2;2 + z 2 (.42) cos ;m (z) X k ( ) k z 2k (2k + ) E 2; + z 2 (.43) Elbee kesirli siüs ve kosiüs versiyolr özellikleri Mig-Le er foksiyouu özellikleride ç kr l r. Iki de¼gişkeli Mig-Le er foksiyou Srivsv (26) rf d geişleilerek simerik bir formd öe sürüldü: v; ;;;m (x; y) X X m (v+) m(m+) m+ + x y (m + (v + )) ( + (m + )) (.44) Mig-Le er foksiyouu çok de¼gişkeli geelleşirilmesi, operör meoduyl sbi ksy l lieer kesirli deklemleri çözmek içi kull l E (z ; ::; z m ) X k X `+:::+`mk `>;::::;`m> (k; `; :::; `m) m Q + mx i z`i i i i`i! (.45) d r. Burd (k; `; :::; `m) muliomyl ksy lrd r. 9

16 Iki Prmereli Mig-Le er Foksiyouu Lplce Döüşümü (.28) b¼g s d E ; (z) Mig-Le er foksiyouu e x üsel foksiyou bir geelleşmesi oldu¼gu görülür. Bu edele üsel foksiyou, Mig-Le er foksiyouu bir özel hli oldu¼guu söyleyebiliriz. Şimdi, Mig-Le er foksiyouu Lplce döüşümüü, bu foksiyo ve e z foksiyouu krş lş r lms ile oluşurc¼g z. Bu mçl k e foksiyouu Lplce döüşümüü l ş ld k olmy bir yoll elde edelim. Ilk olrk, Z e :e z d ; jzj < (.46) z oldu¼guu isplyl m. Gerçeke, e z i seri ç l m kullrk, Z e e z d z X k (z) k k! Z e k d X k (z) k z (.47) elde ederiz. Ikici olrk (.46) dki deklemi her iki rf z ye göre iegrllersek Z e k e z d ve burd d k e foksiyolr Z e p k e d k! ( z) k+ (jzj < ) (.48) k! (p ) k+ (Re(p) > jj) (.49) Lplce döüşümlerii elde ederiz. Şimdi (.28) deki Mig-Le er foksiyouu dikke ll m. (.28) i ş¼g dki iegrlde yerleşirilmesi ile Z e : E ; (z ) d z buluur ve (.48) de k+ ; (z ) (E; k (y) Lplce döüşüm çifii elde ederiz: Z e p k+ 2 E (k) E (k) ; ( ) d k!p (p ) k + içi (.5) i özel durumu; (jzj < ) (.5) dk E dy k ; (y)) foksiyouu ; Re (p) > jj (.5) Z e p k E (k) 2;2 z p d yr diferesiyel deklemlerii çözümüde kull şl d r. k! p p k+ ; Re (p) > 2 (.52)

17 Mig-Le er Foksiyouu Türevi (.28) deki serisel göserime Riem-Liouville kesirli bsmk diferesiyeli D p f() ( d d )m+ ( key bir reel sy ) uygulms yl D k+ E (k) ; ( ) ( ) m p f()d (m p < m + ) k+ E (k) ; ( ) (.53) elde edilir. k, ve msy s içi (.53) deki ilişkii özel bir şekli; m d E ; ( ) m E ; m ( ) (.54) d (m ; 2; 3; :::) şeklidedir. (.54) formülü bz ilgiç souçlr shipir m (m ve do¼gl sy lr olmk üzere) l rs; d m d E m ; m E m ; m + k elde edilir. ve gmm foksiyouu bilie özelli¼gi m k ( m k) ; (m ; 2; 3; ::::) (.55) dikke l rs (.55) de ( v) ; (v ; ; 2; :::) m d E m; ( m ) E m; ( m ) (.56) d (m ; 2; 3; :::; ; ; 2; :::::; m) elde ederiz. (.55) de z m de¼gişke de¼gişirilmesi yp l rs m z m d dz m z ( ) m E m ; (z) z ( ) m E m ; (z) + ( (m; ; 2; 3; ::::) olur. (.57) de m l rsk; ) m k z k (.57) ( m k) d dz z ( ) E ; (z) z E ; (z) + z k z k ; ( ; 2; 3; ::::) k elde edilir.

18 Mig-Le er Foksiyou içi Diferesiyel Deklemler (-54)-(.57) b¼g lr Mig-Le er foksiyou içi diferesiyel deklemler olrk lg lbilece¼gii o edelim şöyle ki, e¼ger y () E m ; m y 2 () E m ; ( m ) y 3 () ( ) m E m ; () y 4 () ( ) E ; () dersek, bu foksiyolr s rs yl ş¼g dki diferesiyel deklemleri s¼glrlr: d m y () d m y () k m k (.58) mk (m; ; 2; 3; ::::) d m y 2 () d m y 2 () (.59) (m ; 2; 3; ::::; ; ; 2; ::::; m) (m; ; 2; 3::::) m m m d ( ) y 3 () y 3 () m d k k (.6) mk ( ; 2; 3:::::::::) dy 4 () d y 4 () k k (.6) k Toplm Formülleri Ilk olrk, mx v m; k (mod m) m ; k 6 (mod m) e i2vk (.62) şikr b¼g s göz öüe ll m. Burd k p(mod m) osyouu k p i m rf d bölümüde geriye kl s f r olms lm geldi¼gii biliyoruz. (.28) deki Mig-Le er foksiyouu m ile (.62) birleşirilirse; mx v E ; ze z 2v m me m; (z m ) ; (m ) (.63) elde ederiz. (.63) deki ile m ve z ile z m de¼gişirilirse; 2

19 E ; (z) m mx v E m ; z m e z 2v m ; (m ) (.64) soucu vr l r. Şimdi (.64) formülüü emel durumud söz edelim. m 2 ve z 2 l rsk elde ederiz. Bezer olrk E ; (z) + E ; ( z) 2E ; z 2 (.65) mx v m ç k formülü ile bşlrsk, e i 2vk (2m+) (2m + ); k (mod 2m + ) ; k 6 (mod 2m + ) (.66) E ; (z) 2m + mx v m E (zm + ) ; ( z elde ederiz. (.63) deki oplm formülüü geel şekli (zm+) e i 2v (zm+) ); (m ) (.67) mx v m E ; ze i zv m mz E m;+ (z m ) (.68) 2zv(m ) i e Srivsov rf d elde edilmişir. (.63) oplm formülü elde edilir. Aç kç, (.68) deki b¼g d içi.3.3 Wrigh Foksiyou Wrigh foksiyou, lieer k smi kesirli diferesiyel deklemleri çözümleride öemli rol oymkd r. Kesirli s ve dlg deklemleri örek göserilebilir. Bu foksiyo, iki prmereli E ; (z) Mig-Le er foksiyouyl ilişkilidir. Lplce döüşümü yrd m yl Humber ve Agrwl rf d ory koul birçok kull şl b¼g y shipir. T m Wrigh (933) foksiyouu olrk ifde edece¼giz. W (z; ; ) X k 3 z k k! (k + ) (.69)

20 Iegrl Göserimi Bu foksiyo W (z; ; ) Z z e + 2i H d (.7) iegrliyle göserilebilir. Burd H, Hkel kooruu ifde emekedir. (.7) i isplmk içi; iegrl foksiyou z i kuvve serisi formud yzl m ve ers gmm foksiyouu Z (z) e : z d H formülüü kullrk erim erime iegre edelim. Di¼ger Foksiyolrl Ilişkisi (.28) deki md; elde ederiz. W (z; ; ) e z (.7) z v W 2 z2 4 ; ; v + Jv (z) I v (z) l rsk, Mirdi i M (z; ) foksiyoud (.72) W ( z; ; ) M (z; ) X k ( ) k z k k! ( (k + ) + ) elde ederiz. Wrigh foksiyouu di¼ger bir soucu olrk ise; W z; 2 ; M z; z 2 p exp (.73) (.74) elde ederiz.. Burd d görüldü¼gü gibi Wrigh foksiyou üsel foksiyo ve Bessel foksiyolr geelleşirilmiş hlidir. > ve > içi z i bir m foksiyouu elde ederiz. Ayr c Mirdi i de vurguld ¼g gibi W (z; ; ) foksiyou < < içi z i bir m foksiyoudur. Bu durumu isplmk içi (y) ( y) si (y) (.26) b¼g s kullrk Wrigh foksiyouu W (z; :) X k z k ( k ) si (k + ) k! 4 (.75)

21 formud yzbiliriz. s X k ( k ) k! jzjk (.76) yrd mc s serisii kulll m. (.76) dki serii < < içi yk skl k yr çp sosuzdur: R lim k! ( k ) : k! (k + )! ( ) k ) lim k + k!jj k (.77) Mig-Le er ve Wrigh foksiyolr rs d ilgiç bir ilişki vrd r; şöyle ki, Wrigh foksiyouu Lplce döüşümü Mig-Le er foksiyou yrd m yl ş¼g dki gibi ç klbilir: ( ) X k L fw (; ; ); sg L k! (k + ) ; s X k k k! (k + ) : s k+ s :E ; (s ) (.78) 5

22 2. KEYF I BASAMAKTAN TÜREV VE INTEGRALLER Bu bölümde diferesiyel ve iegrl kvrmlr geelleşirilmiş hllerii göz öüe lc¼g z. 2. Oyuu Ismi Key bir : reel bsmk ürev lmk, Z 2 d 2 f( )d ; f( )d ; f(); df() d ; d 2 f() d 2 ; operör dizilerii bir ierpolsyou olrk düşüülebilir. Buu D f() osyou ile göserece¼giz. Key bsmk üreve k sc kesirli ürev diyoruz. Kesirli iegrl ise kesirli ürevde egif de¼gerlerie krş l k gelecekir. Böylece > bsmk bir kesirli iegrl D f() ile göserilebilir. Kesirli deklem kesirli ürevleri içere deklemdir. Kesirli iegrl deklem ise, kesirli iegrlleri içere iegrl deklemidir. Kesirli bsmk sisemler, kesirli diferesiyel deklem vey kesirli iegrl deklem vey bu deklemleri bir sisemi rf d ifde edile sisemdir. Bizim kullc¼g m z ifdelerde; kesirli iegrl ifdesi, key bsmk iegrl ve egif de¼gerie krş l k gele lm gelmekedir. ve l de¼gerlerii kesirli diferesiyeli ermilleri (uç oklr ) olrk kullc¼g z. Kesirli diferesiyelde ermilleri görüümü ess r. Bu d bize, gerçek problemleri kesirli ürev uygulmlr d lm belirsizli¼gide kç mm z yrd mc olck r. 2.2 Grüwld-Leikov Kesirli Türevleri; 2.2. Türev ve Iegrli Ork Ifdesi: Bu bölümde, klsik lizde frkl olrk verile iki osyou ork ifdesie yklş mlr ifde edilecekir. Bulr : bsmk ürev ve kl iegrllerdir. Aş¼g d göserece¼gimiz gibi bu osyolr zedilei ksie birbirlerie dh yk d r. Şimdi sürekli bir y f() foksiyou ll m. Bilie m göre f() foksiyouu birici bsmk ürevi f () df d lim f() f( h) h! h şeklide ml r. Bu ifdei rd ş k olrk ürevleri l d ¼g zm, 6 (2.)

23 f () d2 f d 2 lim h! h lim f () f ( h) h! h f() f( h) h f( h) f( 2h) h lim h! f() 2f( h) + f( 2h) h 2 (2.2) (2.) ve (2.2) yi kullrk f () d3 f d 3 lim h! h lim f () f ( h) h! h f() 2f( h) + f( 2h) f( h) 2f( 2h) + f( 3h) h 2 h 2 lim h! f() 3f( h) + 3f( 2h) f( 3h) h 3 (2.3) elde edilir ve ümevr ml; f () () d f d lim h!h r ( ) r r f( rh) (2.4) şeklide buluur. Burd; r ( )( 2):::( r + ) r! (2.5) ifdesi biom sbileri içi geel göserimdir. (2.) ve (2.4) deki kesirleri geellersek; f (p) h () h p p ( ) r f( rh) (2.6) r r elde edilir ve burd p key bir msy ve de yukr dki gibi bir msy d r. Aç k olrk, (2.5) de p p de sorki üm ksy lr s f r eşi olms d doly, p içi lim f (p) h h! () f (p) () dp f d p (2.7) dir. Şimdi p i egif de¼gerlerii (p < ) ll m. Uyguluk içi; p r p(p + )::::::(p + r ) r! (2.8) l rsk p r p( p ):::( p r + ) r! 7 ( ) r p r (2.9)

24 buluur. (2.6) dki p yerie p l rsk f ( p) h () h p r p f( rh) (2.) r elde edilir. Burd p poziif bir m sy d r. E¼ger sbileirse, f ( p) h (); h! giderke öemi olmy s f r limiie gider. S f rd frkl bir limie ulşmk içi h! ike! kbul ememiz gerekir. Böylece, ise reel sbi olmk üzere h ( p) lbiliriz ve f h () i solu y d sosuz ol limi de¼gerii düşüebiliriz ki, buu lim h! h f ( p) h () D ( p) f() (2.) ile göserece¼giz. Burd D ( p) f(); ve bu işeme i ermiller yi limiler olmk üzere f() foksiyou uygul belli bir işlemi belirmekedir. Şimdi birkç özel durumu düşüelim. p içi f ( ) h () h r f( rh) (2.2) r dir. h oldu¼guu dikke l rsk ve f() foksiyouu sürekli oldu¼guu düşüürsek, ( z de¼gişke de¼gişirmesi ile) lim h! h f ( ) h () D f() Z f( z)dz f()d (2.3) elde ederiz. Şimdi p 2 ll m. Bu durumd 2 2:3::::::(2 + r ) r r! r + olup f ( 2) h () h (r + ) hf( rh) (2.4) elde ederiz. + h y; f(y h rh) f(y h(r + )) dersek, ve h! içi y! dir. lim h! h f ( 2) h f ( 2) h () D 2 f() r X+ () h rhf(y rh) (2.5) r Z zf( z)dz 8 f( )f()d (2.6) elde ederiz, çükü h! ike

25 p 3 durumu bize D p içi geel ifdeyi göserecekir: 3 3:4:::(3 + r ) (r + )(r + 2) r r! :2 oldu¼gud, f ( 3) h () h :2 (r + ) (r + 2)h 2 f( rh) (2.7) r dir. Yie + h y dersek, (r! (r ) oldu¼gud (y (r + )h) olup,) f ( 3) h () h X+ r (r + ) h 2 f(y rh) (2.8) :2 r buluur. Bu ise f ( 3) h () h X+ (rh) 2 f(y :2 r şeklide yz lbilir. Böylece, h! içi y! ve lim h! h oldu¼gud h! içi lim h! h h 2 X+ rhf(y :2 r f ( 3) h () D 3 f() 2! rh) lim rh) + h2 X+ rhf(y rh) (2.9) :2 h! h h r Z z 2 f( z)dz 2! ( ) f () d elde edilir. (2.3) ve (2.2) deki ilişkide geel göserim; D p f() lim h! h h p h! p f( rh) r (p )! ( ) 2 f()d (2.2) ( ) p f () d (2.2) şeklide elde edilir. (2.2) formülüü ümevr ml isplmk içi, bz p ler içi s¼gl bu eşili¼gi p + içi de s¼gld ¼g gösermemiz gerekiyor. Şimdi f () foksiyou ç k olrk f () özelli¼gie shipir. p + D p f() lim h p+ h! r h r lim h p p+ r f ( h! h r lim h p h! h 9 f()d (2.22) r f( rh) rh) p+ r f ( (r + ) h) (2.23)

26 eşili¼gii göz öüe ll m. (2.8) i kullrk p+ p r + p+ r r (2.24) buluruz. Burd p+ lml y z. (2.24) deki ilişki (2.23) deki ilk oplm uygul rs ve ikici oplmd r yerie r yz l rs, D p f() lim h! h h p r X + lim h p h! h r p f ( r D p f () lim rh) + lim p+ r f ( rh) h! h h p p+ f ( D p f () ( ) p lim p+! h p h! h r ( + )h) p f ( elde edilir ve (2.2) deki f () foksiyouu m d lim f ( h! ) buluur. (.7) deki bilie Gmm foksiyouu p+ r f ( rh) ) lim! p + lim p(p + )(p + 2)::::(p + ) p! p :! (p + ) limi ç l m kull l rs D p f() D p f () p! ( ) p f () p! (p )! j + p! ( ) p f ()d ( ) p f()d ( ) p f()d (2.25) buluur. Burd ş¼g dki k smi iegrsyo döüşümüü kulld k: f () u ) f ()d du ( ) p ( )p d dv ) v (p )! p! Böylece (2.2) formülü ümevr ml isplm ş olur. 2

27 Şimdi (2.2) deki formülü p kl iegrli emsil ei¼gii göserelim. d d ( D p f()) (p )! ifdesii d ye iegre edilmesiyle ( ) p f()d D p+ f() v.s. elde edilir ve böylece D p f() D p+ f() ( D p+ f())d ( D p+2 f())d D p f() d d d ( D p+2 f())d d d ( D p+3 f())d d:::::::: f()d (2.26) {z } p kere buluur. f() sürekli foksiyouu msy bsmk (2.4) ürevii ve p kl (2.2) iegrlii p D p f() lim h p ( ) r f( rh) (2.27) r h! h r geel ifdesii özel durmlr oldu¼guu görüyoruz. E¼ger p m l rsk m: bsmk ürevi ve e¼ger p m l rsk m kl iegrli elde ederiz. Bu gözlem do¼gl olrk (2.27) deki p i key reel vey kompleks sy olms durumud diferesiyel ve iegrl göserimii geel düşücesi hkk d yol gösermekedir. Biz dikkimizi p i reel de¼gerli olms durumu k s lyc¼g z Key Bsmk Iegrller p < olm durumuu düşüelim. Uyguluk içi (2.27) de p yerie D p f() lim h! h h p 2 r p yzrsk p f( rh) (2.28) r

28 soucu ulş r z. Burd h ve de¼gerleri h şeklide birbirie b¼gl d r. (2.28) deki limii vrl ¼g isplmk ve bu limi de¼gerii hesplybilmek içi ş¼g dki eoreme ihiyç duyc¼g z. Teorem 2. k (k ; 2; :::) serisii ele ll m ve vrsyl m ki, lim k (2.29) k! olsu. Bu durumd, d r. lim ;k ;! her k içi (2.3) ;k A ; her k içi (2.3) lim! k j ;k j < K ; her içi (2.32) k lim! ;k k A (2.33) k Isp. (2.29) d k yzbiliriz. (2.3 ) d her sbi r içi ( < r < ) ve r lim! k k ; lim k! k (2.34) X ;k k (2.35) r lim! k diyebiliriz. (2.35), (2.34), (2.3) ve (2.36) y kullrk; lim! lim k lim! kr ;k k lim! k ;k A lim! ;k lim! lim! ;k k k X ;k (2.36) ;k k kr Xr ( lim ;k k )! k ;k k ( k k ) kr ;k k k 22 Xr ( lim ;k )! k

29 elde ederiz. Şimdi (2.35) ve (2.3) yi kullrk; A lim ;k k! lim k! k < lim! ;k k j ;k j : j k j k < lim! lim! < K j ;k j k j ;k j k elde ederiz. Burd, mx j kjd r. kr (2.34) de her bir key küçük " > içi < " K böylece (limi m lim k ) k! A lim! ;k k < " k olck şekilde mevcuur ve olur. O hlde; d r. Burd; A lim! lim! ;k k k ;k k A k olur. Böylece eoremi (2.33) deki ifdesi s¼glmkd r. Teorem 2. bsi bir souc shipir. E¼ger lim k B k! l rsk olur. Gerçeke eoremde; lim! ;k k AB (2.37) k buluur. Teorem 2. i uygulrsk lim! k ~ k k B ; lim ~ k k! ;k ~ k lim! 23 k ;k k B A

30 lim! ;k k AB k olur. Bu d bize (2.37) yi verir.(2.28) deki limii hesplmk içi Teorem 2. uygul rs; D p f() lim h! h lim h p h p h! h (p) lim! r r p f( r p r p r r (p) r p rh) h(rh) p f( rh) p r r r p f( r ) olup, r (p) r p ;r r p r r p f( r ) deilirse ve (.7) yi kull l rs lim (p) p r lim (2.38) r! r! r p r elde edilir. Aç k olrk, e¼ger f() foksiyou [; ] kpl rl ¼g d sürekli ise; lim! r olur. Burd ;r lim! lim h! r (r )p f( r ) h(rh) p f( rh) r ( ) p f()d (2.39) rh ) hdr d r ) r ) (h ) 24

31 ile k smi iegrsyo uyguld k. (2.38) ve (2.39) u gözöüe l p, Teorem 2. uygul rs; D p f() lim h! h h p r p f( rh) r (p) ( ) p f()d (2.4) soucu vr r z. E¼ger f () ürevi [; b] de sürekli ise, (2.4) ş¼g dki şekilde yzr z. K smi iegrsyol (f() u ) f ()d du; ( ) p d dv ) v D p f() D p f() 2 4 ( )p f() (p) p f() )p (p + ) + j (p + ) + 3 ( ) p f ()d5 p ( )p p ); ( ) p f ()d (2.4) elde edilir ve e¼ger f() foksiyouu (m + ): bsmk ürevi sürekli ise; D p f() mx f (k) ()( (p + k + ) k ) p+k + (p + k + ) ( ) p+m f (m+) ()d (2.42) (2.42) formülü bize D p f() i dki simpoiklerii verir Key Bsmk Türev p > durumuu düşüelim. Amc m z ş¼g dki limii hesplmk r: Burd; h p h! h D p f() lim lim h! h f (p) h () h p p ( ) f( r r rh) f (p) h () (2.43) p ( ) r f( rh) (2.44) r r şeklidedir. (2.43) deki limii hesplmk içi, ilk olrk f (p) h () ifdesii ş¼g dki şekilde döüşürelim. Biom ksy lr p r p + r 25 p r (2.45)

32 formülüü kullrk; f (p) h () h p r ( ) r p r f( h p ( ) r p f( r h p ( ) p r ( ) p r r rh) + h p X f() + h p r X rh) + h p r X h p f() + h p r r ( ) r p r ( ) r p r ( ) r p r f( rh) (2.46) ( ) r+ p r f( (r + )h) [f( rh) f( (r + )h)] f( rh) elde edilir. Burd f( rh) f( rh) f( (r + )h) d r. Aç k olrk; f( rh); rh oks d f() foksiyouu birici bsmk geri frk d r. (2.45) deki biom ksy lr özelli¼gii m kere ekrrlrsk (2.46) d f (p) h () ( ) h p f() + ( ) ( p 2 r )h p f( + h) X 2 +h p ( ) r p r 2 2 f( rh) r ( ) p h p f() + ( ) p 2 h p f( + h) +( ) 2 p 3 2 h p f( + 2h) X +h p 3 k r ( ) r p 3 r ( ) k p k k h p k f( + kh) X +h p m r 3 f( rh) (2.47) ( ) r p m m+ f( rh) (2.48) r elde edilir. 26

33 (2.48) deki ilk oplmdki k. erimi limiii hesplyl m: lim ( ) k p k k h p k f( + kh) h! h lim h! h k ( ) k p k k p ( k) p k k (h) p+k k f( + kh) ( ) p+k lim ( ) k p k! k p lim! k f (k) ()( ) p+k ( p + k + ) h k k k f( + kh) lim h! h k ( k) p k (2.49) olur, çükü (.7) yi kull rsk lim (! ) k p k k ( k) p k ve lim! ( p + k + )( p + k + 2):::( p + ) ( k) p+k ( k)! p k lim! k k f( + kh) lim h! h k f (k) () ( p + k + ) olmkd r. (2.49) dki limii bilimesiyle (2.48) deki ilk oplm limiii kolyc yzbiliriz. (2.48) deki ikici oplm limiii hesplmk içi Xm ( ) r ( p + m + ) ( p r m ( p + m + ) r )r m+p h(rh) m p m+ f( rh) h m+ (2.5) formud yzl m. Teorem 2. i uygulmk içi; r ( ) r ( p + m + )( r p m ;r h(rh) m p m+ f( rh) h m+ )r m+p h r olrk ll m. (.7) yi kullrk; lim r lim ( ) r ( p + m + ) p r r! r! m r m+p (2.5) 27

34 oldu¼guu do¼grulr z. Bu ek olrk e¼ger m p > ise X m lim! r ;r lim h! h m r h(rh) m p m+ f( rh) h m+ ( rh ) ( ) m p f (m+) ()d (2.52) dur. (2.5) ve (2.52) ü gözöüe l p, Teorem 2. uygul rs, X m lim h p h! h r ( p + m + ) ( ) r ( r p m r ) m+ f( rh) ( ) m p f (m+) ()d (2.53) elde edilir. (2.49) ve (2.5) ü kullrk, souç olrk (2.43) limiii elde ederiz: D p f() lim h! h + m f (p) h () X k ( p + m + ) f (k) ()( ( p + k + ) ) p+k ( ) m p f (m+) ()d (2.54) (2.54) formülü f (k) () ; (k ; 2; ::::m + ) ürevlerii kpl [; ] rl ¼g d sürekli olms vrsy m l d, ve m leri m > p i s¼gly msy olms koşulud elde edildi. m ler içi e küçük ols de¼ger m < p < m + eşisizli¼gi ile belirleeir ( ) Kesirli Türevi Şimdi reel sy olmk üzere f() ( ) kuvve foksiyouu Grüwld-Leikov kesirli ürevii, yi D p f() y hesplyl m. Ilk olrk p i egif de¼gerlerii ele ll m ki bu p bsmk kesirli iegrli hesplms lm geliyor. (2.4) dki formülü kullrk D p ( ) ( p) ( ) p ( ) d (2.55) elde edilir. Iegrli yk skl ¼g içi > olrk ll m. (2.55) de +( ) yerie koyulurs ve be foksiyouu (.2) deki m kull rsk; ) + ( ) ) d ( )d 28

35 olmk üzere D p ( ) ( p) ( p) Z Z p ( ) ( p) ) ) ( ) ( ( )) p ( + ( ) ) d ( )( ) p ( ) p ( ) d Z ( ) p d p B( p; + )( ) ( p) ( + ) (v p + ) ( )v p (p < ; > ) (2.56) elde edilir. Şimdi m p < m+ olm durumuu ele ll m. (2.54) formülüü uygulybilmek içi, (2.54) deki iegrli yk skl ¼g içi > m olms gerekmekedir. Burd D p ( ) ( p + m + ) ( ) m p d m+ ( ) d m+ d (2.57) buluur. Çükü iegrl olmy büü oplmlr s f r eşi olmkd r. d m+ ( ) ( ):::( m)( ) m d m+ oldu¼gu göz öüe l rs ve + ( D r ( ) ( + ) ( m) ( p + m + ) ( + ) m ( ) ( m) ) de¼gişke de¼gişirmesi yp l rs; ( + ) p ( ) ( m) ( p + m + ) ( ) m p ( ) m d Z ( ) m p m d ( + ) p B( p + m + ; m)( ) ( m) ( p + m + ) ( + ) ( p + m + ) ( )v p (2.58) elde edilir. (2.58) deki ifde ile (2.56) dki ifde resme birbiriyle y d r. Böylece f() ( ) kuvve foksiyouu Grüwld-Leikov kesirli ürevii ş¼g dki formülle verildi¼gii elde ederiz: 29

36 D p ( ) ( + ) ( p + + ) ( ) p (2.59) (p < ; > ) vey ( m p < m + ; > m) Teorik ç d, foksiyolr kesirli ürevii Grüwld-Leikov m göz öüe lrk s d rms çok k s l d r ((m + ) kez sürekli ürevleebile foksiyolr gereklidir). Ack uygulm problemleride ziksel, kimysl ve di¼ger yöemleri mlmd bu ür düzgü foksiyolrl her zm krş lş lmmkd r Tmsy Bsmk Türevler ile Birleşirme (2.54) deki formülde m içi sdece bir k s lm mevcuur, yi m > p durumu. Şimdi m yerie s olrk (2.54) ü ekrr yzrsk D p f() sx f (k) ()( ( p + k + ) k ) p+k + ( p + s + ) ( ) s p f (s+) ()d (2.6) elde ederiz. Burd m < p < m+ oldu¼guu vrsy yoruz. (2.6) dki formülde kesirli bsmk p i kesirli ürevii msy bsmk ürevii hesplyl m. Burd s m + olrk l r z. Souç olrk; d d ( D p f()) sx k + f (k) ()( ) p +k ( p + k + ) ( p + s + ) ( ) s p f (s+) ()d (2.6) D p+ f() (2.62) olur. s m + key oldu¼gud s m + l rsk, d d ( D p f()) D p+ f() m+ X + k f (k) ()( ) p +k ( p + k + ) (m p) ( ) m p f (m+) ()d (2.63) elde edilir. Şimdi msy bsmk ürev d f() d 3 i p bsmk kesirli ürevii

37 hesplmk içi (2.6) formülüü kull rsk; D p d f() d sx f (+k) ()( ( p + k + ) k + ( p + s + ) Z b ) p+k ( ) s p f (+s+) ()d (2.64) elde ederiz. s m yz l rs D p d f() d mx k + f (+k) ()( ( p + k + ) ) p+k ( ) m p f (m+) ()d (2.65) ve (2.63) ile (2.65) krş lş r ld ¼g d d d ( D p f()) D p d f() + d X k f (k) ()( ) p +k ( p + k + ) (2.66) soucu vr r z. (2.66) dki ilişki bize d ve d D p işlemlerii yer de¼gişirebile işlemler oldu¼guu göseriyor, yi d d d ( D p f()) D p f() d D p+ f() (2.67) dir, e¼ger sdece kesirli diferesiyeli l ermil oks d f (k) () (k ; ; 2; :::; ) (2.68) oluyors. K sc, sdece ; f (k) () ise D p ve d d Kesirli Türevler Ile Birleşirilmesi yer de¼gişimlidir. Şimdi p: bsmk kesirli ürevi, q: bsmk kesirli ürevii göz öüe ll m. D p ( D p f()) Burd iki durum yr yr gözöüe l bilir: p < ve p > olm durumu. Ilk durum; (q u işreie b¼gl olrk) q > bsmk diferesiyeli vey q > bsmk iegrli p > bsmk kesirli iegrle uygulms lm gelmekedir. Ikici durum; d ş işlemi p > bsmk kesirli üreve uygulms lm gelmekedir. 3

38 Her iki durumd d msy bsmk diferesiyeli bilie özelli¼gie bezer durum elde edece¼giz. d d m f() dm d f() dm+ f() d d m d m d d m+ DURUM : p < : q < ll m. D q ( D q f()) ( q) ( q) ( p) ( q) ( p) ( p q) ( ) q ( D q f())d ( ) q d f () d ( ) p q f()d ( ) p f () d ( ) q ( ) p d D p+q f() (2.69) elde edilir. Burd; ( ) q ( ) p d iegrlii hesplyl m. + z( ) de¼gişke de¼gişirilmesi yp l rs ve (.2) deki be foksiyouu m kull l rs; z ; d ( )d ( ) q ( ) p d Z ( )( ) q ( z) q z p ( ) p dz Z ( ) q p ( z) q z p dz ( ) p q B( q; p) ( ) p q ( q) ( p) ( q p) 32 elde edilir.

39 Şimdi vrsyl m ki < < q < + olsu. q < oldu¼gu yerlerde q (+)+(q ) olrk belirelim ve (2.62) ve (2.69) dki formülü kull r rs; D q ( D p f()) d+ d + D q ( D p f()) d+ D p+q d + f()! (2:69) d D p+q f() (2.7) elde edilir (2.69) ve (2.7) i berber düşüürsek, p < de¼gerleri ve herbir reel q içi D q ( D p f()) D p+q f() soucu ulş l r. DURUM 2: p > : Şimdi m < p < m + oldu¼guu vrsyl m. (2.54) deki formülde; D p f() lim h! h f (p) h () mx f (k) ()( ( p + k + ) k ( p + m + ) ) p+k + ( ) m p f (m+) ()d (2.7) elde edilir. Şimdi q < l p D q ( D p f()) yi hesplyl m. (2.7) i s¼g rf icelersek görürüz ki ( ) p+k foksiyolr k ; ; :::; m içi sigülerli¼ge shiplerdir. Bu yüzde; D p f()i q reel bsmk ürevi yl zc; f (k) () ; (k ; ; :::; m ) (2.72) durumud mevcuur. (2.7) i s¼g rf dki iegrl D p m f() ye eşi (f() foksiyouu p + m + bsmk kesirli iegrlie eşi). Böylece (2.72) koşullr l d f() p: bsmk ürevii (2.7) deki göserimi ) p+m D p f() f (m) ()( ( p + m + ) + D p m f (m+) () (2.73) Şimdi (2.73) de verile p: bsmk ürevi q < bsmk ürevii (di¼ger bir deyişle q > bsmk iegrlii) bulml y z. D q ( D p f()) f (m) ()( ) p+m ( p q + m + ) + ( p q + m + ) 33 f (m+) () d (2.74) ( ) p+q m

40 Çükü; D q ( D p m f (m+) ()) D p+q m f (m+) ()) ( p q + m + ) f (m+) () ( ) p+q m şeklidedir. (2.72) deki koşullr ve (2.7) formülüü göz öüe l rsk D q ( D p f()) D p+q f() (2.75) soucu vr r z. Şimdi < q < + olsu. Vrsyl m ki f(), (2.72) koşullr s¼gls ve q < olm durumuu dikke ll m. Böylece, (2.75) formülü kull l rs; D q ( D p f()) d+ D q d + ( D p f()) (2.76) d+ D p+q d + f()! (2:75) de D p+q f()! (2:62)d elde edilir ki bu d (2.75) ile y d r. Böylece p < ise (2.75) deki üm key reel q lr içi s¼gld ¼g soucu vr r z. E¼ger m < p < m + ise (2.75) deki ilişki üm key reel q lr içi s¼gld ¼g soucu f() (2.72) deki koşullr s¼glms durumud vr r z. Bud bşk, e¼ger ve f() foksiyou, m < p < m + ve < q < + f (k) () (k ; ; :::; r ) (2.77) koşuluu r mx(; m) olmk üzere s¼gl yors, D p ve D q kesirli diferesiyel operörleri yer de¼gişirilebilirdir: D q ( D p f()) D p ( D q f()) D p+q f() (2.78) 2.3 Riem-Liouville Kesirli Türevi: Kesirli bsmk geri frk limii olrk ml Grüwld-Leikov kesirli ürevii el ile işleilmesi kull şl de¼gildir. Elde edile (2.54) ifdesi, (2.54) deki iegrli vrl ¼g d doly dh iyi görümekedir. Ack iegrl olmy erim içi e ypml y z? sorusuu cevb bsiir. Belli bir iegrl diferesiyel ifdesi olrk (2.54) ü göz öüe l rsk D p f() ( d d )m+ ( ) m p f()d (m p < m + ) (2.79) 34

41 olur. (2.79) dki ifdesi, kesirli ürevi e yyg olrk bilie m d r ve bu ifdeye Riem-Liouville m d verilir. Aç k olrk f() i m + kere sürekli diferesiyelleebilir foksiyo olms vrsy m l d Grüwld-Leikov kesirli ürevide elde edile (2.54) deki ifde, y vrsy m l d (2.79) dki ifdede de elde edilebilir. Bu bize ekrrl k smi iegrsyo ve diferesiyele; f() u ) f ()d du ( ) m p ( )m p+ d dv ) v (m p+) D p f() ( d d )m+ ( ) m p f()d 2 ( d m+p+ d )m+ 4 ( ) f() m p + mx f (k) ()( ( p + k + ) k ) p+k + j + ( p + m + ) 3 ( ) m p+ (m p + ) f ()d5 ( ) m p f (m+) ()d D p f() ; (m p < m + ) (2.8) eşili¼gii verir. Böylece e¼ger f() foksiyouu (m + ) kere sürekli ürevlere ship olck şekilde göz öüe l rsk, içi Grüwld-Leikov m (2.43), Riem- Liouville m (2.79) dkie eşi olur. Pür memik ç s d bu ür foksiyolr çok k s l d r. Ack, bu ip foksiyolr uygulmlr içi çok öemlidir. Çükü; dimik süreci büyük ço¼gulu¼guu krkeri yeerice pürüzsüzdür ve süreksizli¼ge izi vermez. Bu gerçe¼gi lmk uygulmlrd kesirli lizi meolr düzgü kull m içi öemlidir. Özellikle, (2.79) d ki Riem-Liouville m, f() foksiyou zy f koşullrd öemli f rs s¼gld ¼g içi, yi f() i > içi iegrlii vrolms ve (m + ) kere diferesiyelleebilmesi içi f() i iegrlii elde emek yeerlidir. (2.79) dki f() foksiyouu zy f koşullr gereklidir. Öre¼gi; Abel iegrl deklemii çözümlerii elde emek içi bu zy f koşullr kull l r. Şimdi (2.79) d ki Riem-Liouville m s l, msy bsmk iegrli ve diferesiyel kvrmlr birleşirilmesi soucu olrk elde edildi¼gii iceleyelim Tmsy Bsmk Türevlerii ve Iegrlleri Birleşirilmesi: Vrsyl m ki f() foksiyou sürekli ve her s rl (; ) rl ¼g d iegrlleebilir olsu. f() foksiyou oks d r < bsmk sigülerli¼ge ship olsu. lim! ( )r f() sbi (6 ) 35

42 ve iegrl f ( ) () f()d (2.8) şeklide mevcuur ve s rl de¼gere shipir. Öyle ki;! içi s f r eşiir. Asl d + y( ) de¼gişke de¼gişirmesi yprsk ve " olrk göserirsek; + y( ) ) y ) y ) y ) d ( )dy limf ( ) () lim!! f()d lim! ( ) Z lim" r "! Z f( + y( ))dy ("y) r f( + y( ))y r dy (2.82) elde edilir. Çükü r < dir. Böylece iki k iegrli gözöüe l rsk; f ( 2) () Z d f()d f()d d ( )f()d (2.83) elde edilir ve (2.83)deki birleşme f() u üç kl iegrlii verir. f ( 3) () Z Z 2 d d 2 f( 3 )d 3 Z Z d f()d d 2 f()d ( )d 2 ( 2) 2 f()d 2 j ( ) 2 f()d (2.84) 36

43 ve ümevr ml geel olrk Cuchy formülü elde edilir. f ( ) () () ( ) f()d (2.85) Şimdi vrsyl m ki sbi ve msy k ll m. Aç k olrk; f ( k ) () () D k ( ) f()d (2.86) elde ederiz ve burdki D k sembolü (k ) k kez ekrrl iegrsyou gösermekedir. Di¼ger yd sbileri içi ve msy k içi (k ): bsmk f() foksiyouu ürevi; f (k ) () () Dk ( ) f()d (2.87) olrk yz lbilir ve burdki D k sembolü (k ) k kez ekrrl diferesiyeli gösermekedir. Burd görülüyor ki, (2.86) ve (2.87) formülleri biri di¼gerii özel bir durumu olrk göz öüe l bilir. Öyle ki; (2.87) de ( ) sbiir ve D k sembolü e¼ger k ise k kez iegrsyo ve e¼ger k ise k kez diferesiyel lm gelmekedir. E¼ger; k ; 2; ::::::::: ise (2.87) formülü f() i ekrrl iegrllerii, e¼ger k ise f() foksiyouu, k + ; + 2; + 3; ::: ise f() foksiyouu k ; 2; 3; ::::ici bsmk ürevlerii vermekedir Key Bsmk Iegrller: kl iegrsyo kvrm, i msy olmy de¼gerleri içi geişlemek içi; (2.85) de ki Cuchy formülü ile bşlml y z ve bu formüldeki msy yerie reel p > yzml y z. D p f() (p) ( ) p f()d (2.88) (2.85) deki msy s, olm durumud ele l ml, buu krş l ¼g olrk p içi koşul dh zy f r. Yi (2.88) deki iegrli vrolbilmesi içi p > olrk lml y z. Ayr c kesi mkul vrsy mlr l d; olur. Böylece; lim p! D p f() f() (2.89) 37

44 D f() f() (2.9) buluur. (2.89) dki ilişkii isp, e¼ger f(), içi sürekli ürevlere shipse çok kolyd r. Bu durumd k smi iegrsyo ve (.3) ü kull lms yl; ( ) p d dv ; f() u ( ) p p v f ()d du D p f() (p + ) ( )p f() j + (p + ) ( ) p f ()d D p f() elde edilir ve böylece (p + ) ( )p f() + (p + ) ( ) p f ()d lim p! D p f() f() + f ()d f() + (f() f()) f() soucuu elde ederiz. E¼ger f() sdece içi sürekli ise (2.89) u isp birz dh uzudur. Bu durumd D p f() ifdesii D p f() (p) ( ) p (f() f())d + f() (p) ( ) p d Z ( ) p (f() f())d (2.9) (p) + (p) ( ) p (f() f())d (2.92) f()( )p + (2.93) (p + ) formud yzbiliriz. (2.92) deki iegrli gözöüe ll m. f() sürekli oldu¼gu içi her > içi " > vrd r, öyle ki; jf() f()j < " dur. Sor (2.92) deki iegrli rd d gelecek hmi ji 2 j < " (p) ( ) p d < "p (p + ) 38 (2.94)

45 ve! ike "! olm durumuu gözöüe l rsk; üm p içi elde ederiz. Şimdi key bir " > ll m ve seçelim. lim ji 2j (2.95)! ji 2 j < " (2.96) üm p lr içi geçerlidir. Bu sbi lr içi (2.9) i iegrlii kip ede hmii elde ederiz. ji j < M Z (p) ( ) p d M (p + ) (p ( ) p ) (2.97) > sbileri içi lim ji j (2.98) p! elde edilir. Aş¼g dki eşisizli¼gi D p f() f() ji j + ji 2 j + jf()j : ( ) p (p + ) gözöüe ll m. Ayr c (2.95) limiii ve (2.96) hmiii hesb krsk; lim sup D p f() f() " p! elde ederiz. Burd " iseildi¼gi kdr küçük seçilebilir. Böylece; lim sup D p f() f() p! olur. E¼ger f(), lr içi sürekli ise (2.89) geçerli olur. E¼ger f(), lr içi sürekli ise (2.88) rf d ml key reel bsmk iegrsyo öemli bir özelli¼ge shipir. D p ( D q f()) D p q f() (2.99) 39

46 Gerçeke; D p ( D q f()) (q) (p) (q) (p) (q) (p + q) D p q ( ) q f() D p ( ) q d f()d f()d Z ( ) p+q f()d ( ) p f()d ( ) q ( ) p d d ye ol iegrli hesb içi + ( de¼gişirmesii kull r z. Bu d bizi be foksiyou göürür. ) d ( )d ) ) de¼gişke ) Z ( ) q ( ) p d ( ) ( ) q ( ) q ( ) p p d Z ( ) p+q p p ( ) q d ( ) p+q B(p; q) ( ) p+q (p) (q) (p + q) elde edilir. Aç kç p ve q yer de¼gişirebilir. Yi; D p ( D q f()) D q ( D p f()) D p q f() (2.) elde ederiz. (2.) deki kurl, msy bsmk ürevleri bilie özelli¼gi ile bezerdir: d m f() d m (d d ) d f() d (dm d ) dm+ f() (2.) m d m+ 4

47 2.3.3 Key Bsmk Türevler (k ) msy bsmk ürevler içi ol (2.87) göserimi msy olmy bsmk diferesiyel kvrm geişlemek içi f rs s¼glr öyle ki, k msy s ve msy s yerie reel olrk k > bsmk diferesiyel elde ederiz. Bu bize; d k D k f() () d k ( ) f()d ( < ) (2.2) verir. Burd sdece k s lm içidir ve bu > k s lms d r. Bu d (2.2) deki iegrli yk skl ¼g içi gereklidir. Ack, bu k s lm yerie geelli¼gi bozmd dh k s l. < durumu l bilir. Bu durum (2.2) deki m ve key reel bsmk iegrlleri (2.) deki özelli¼gi yrd m yl kolyc göserilebilir. p k ile göserilirse (2.2) yi vey D p f() d k (k p) d k ( ) k p f()d; (k p < k) (2.3) D p f() dk d ( D (k+p) k f()); (k p < k) (2.4) şeklide yzbiliriz. E¼ger p k ise, (k ) ici bsmk bilie msy bsmk ürev elde ederiz. D k f() dk d ( D k (k (k )) f()) dk d k ( D f()) f (k ) () Ayr c (2.) ü kull c p k ve > içi D p f() dk d k ( D f()) dk f() d k f (k) () (2.5) oldu¼guu görürüz. Bu d > içi p k > bsmk Riem-Liouville kesirli ürevi (2.3), bilie k. bsmk üreve dek gelmekedir. Şimdi Riem-Liouville kesirli ürevii bz özelliklerii göz öüe ll m. Ilk olrk belki de e öemlisi olrk, Riem-Liouville kesirli ürevii p > ve > içi özelli¼gi; D p ( D p f()) f() (2.6) olur ki bu d Riem-Liouville kesirli difersiyel operörü y p. bsmk Riem-Liouville kesirli iegrl operörüü sol ersi lm gelmekedir. (2.6) dki özelli¼gi isplmk içi, şimdi p msy olm durumuu göz öüe ll m. 4

48 D ( D f()) d d : () d d ( ) f()d f()d f() Şimdi k p < k ll m ve Riem-Liouville kesirli iegrli içi (2.) deki birleşme kurl kulll m. ve bu yüzde (k p) D k f() D ( D p f()) (2.7) D p ( D p f()) dk d ( D k (k p) ( D p f())) dk d k D k f() f() olur ki bu d (2.6) özelli¼gii isp mmlr. Bilie msy bsmk diferesiyel ve iegrsyo ile, kesirli diferesiyel ve iegrsyo de¼gişirilemez. f() foksiyouu kesirli ürevi D p f() (k p < k) birleşirilirse D p ( D p f()) f() elde edilir. Gerçeke; kx j D p j f() ( ) p j (p j + ) (2.8) D p ( D p f()) (p) 8 < d d : ( ) p Df()d p (p + ) 9 ( ) Df()d p ; Di¼ger rf ekrrl k smi iegrsyo ile (2.) ü kullrk; (2.9) (p + ) ( ) p Df()d p (p + ) (p k + ) ( ) p dk D d k kx d k j d ( D k j j 42 (k p) ( ) p k D (k p) f()) f()d (k p) f() d ( ) p j+ (2 + p j)

49 (p + ) ( ) p D p f()d (p k + ) kx j D p j f() ( ) p k D (k p) ( ) p j+ (2 + p j) f() d (2.) (p + ) (p + ) (p k+) ( ) p Df()d p D ( D ( ) p Df()d p D f() kx j kx j (k p) D p j f() D p j f() f()) ( ) p j+ (2 + p j) (2.) ( ) p j+ (2 + p j) (2.2) (2.) dki üm erimleri vrl ¼g D p f() i iegrlide elde edilir. Çükü D p j f() (j ; 2; :::; k) kesirli ürevi koşulu edeiyle d hepsi s rl d r. (2.9) ve (2.2) i kombisyou (2.8) ilişkisii isp sold r r. Öemli özel bir durumd bhsedilmelidir. E¼ger < p < ise; D p ( D p f()) f() D p f() ( ) p (p) (2.3) elde edilir. (2.9) özelli¼gi, geel özelli¼gi özel bir durumudur. D p ( D q f()) D p q f() (2.4) ifdesi ise f() i sürekli oldu¼guu vrsy m l d geçerlidir ve e¼ger p q ise D p q f() ürevi mevcuur. Iki durum gözöüe l bilir. Bulr, q p ve p > q olm durumlr d r. E¼ger q p ise (2.) ve (2.6) özellikleri kull lrk; D p ( D q f()) D p ( D p D (q p) (q p) ) D D p q f() elde ederiz. Şimdi p > q olm durumuu gözöüe ll m. m ve sbilerii m p < m ve p q < olrk ifde edelim. Aç kç m dir. Böylece (2.3) m ve (2.) özelli¼gii kullrk; D p ( D q f()) dm D d m dm d m (m p) D p q m o ( D q f()) f() d D p q d f() D p q f() 43

50 elde edilir. Söz edile (2.8) deki özellik geel özelli¼gi, özel bir durumudur. D p ( D q f()) D q p f() kx j D q j f() ( ) p j ( + p j) (2.5) ( k q < k) (2.5) formülüü isplmk içi (e¼ger q p ise) (2.) özelli¼gii ilk olrk kull r z. vey (e¼ger q p ise) (2.4) özelli¼gii kull r z ve sor (2.8) özelli¼gii kull r z: D p ( D q f()) D q p D q p D q p f() kuvve foksiyouu kulld k. D q ( D q f()) ( kx f() kx j j burd (2.7) deki bilie ( ) D q p q j ( + q j) ( ) Kesirli Türevi: Şimdi, reel sy olmk üzere f() ( D q j f() D q j f() ) ( )q j ( + p j) ) ( ) q j (p j + ) ( ) p j ( + p j) kuvve foksiyouu D p f() Riem Kesirli Türevii hesplyl m. Bu mçl vrsyl m ki p < olsu ve Riem-Liouville ürevii m h rlyl m: D p f() d d ( ( p) D f()) ( p < ) (2.6) Bu foksiyou (2.56) d hespl, (2.6) formülüe uyrlrsk; D (( ) ) p bsmk kesirli iegrlii ( + ) ( )+ ( + + ) olur ve burd; D p (( ) ) ( + ) ( + p) ( ) p (2.7) elde edilir. Ayr c f() ( ) içi ek k s lm > içi f() i iegrlleebilir olms d r. 44

51 2.3.5 Tmsy Bsmk Türevlerle Birleşirilmesi Birçok uygulm problemide Riem-Liouville kesirli ürevii msy bsmk ürevlerle birleşirilmesi görülmekedir. Şimdi p reel bsmk Riem-Liouville kesirli ürevii. bsmk ürevii göz öüe ll m. Riem-Liouville ürevii (2.2) m kullrk, d d ( D k f()) () d +k d +k ( ) f()d D +k f() (2.8) ve p k elde ederiz. Ayr c; ile göserirsek ( < ) d d ( D p f()) D +p f() (2.9) D f () () ( )! f() ( ) f () ()d X f (j) ()( ) j (j + ) j (2.2) oldu¼guu ve oldu¼guu dikke lml y z. (2.2), (2.2) ve (2.7) yi kull rsk; D p g() D p+ ( D g()) (2.2) D p ( d f() d ) D p+ ( D f () ()) D p+ (f() D p+ f() X j X j f (j) ()( ) j ) (j + ) f (j) ()( ) j p ( + j p ) (2.22) elde ederiz ki bu d (2.66) dki ilişkiye bezer. Böylece, Grüwld-Leikov ürevide oldu¼gu gibi, Riem-Liouville kesirli ürev operörü D p de, d ürev operörüyle d yer de¼gişirebilir: d d ( D p f()) D p ( d f() d ) D p+ f() (2.23) 45

52 Ack yukr dki bu durum, f() foksiyouu kesirli diferesiyelii, l ermil oks d, koşuluu s¼glms yl geçerli olur. f (k) () (k ; ; 2; :::; ) (2.24) Kesirli Türevlerle Birleşirilmesi: Şimdi iki kesirli Riem-Liouville kesirli ürev operörüü birleşirilmesii iceleyelim: D p (m p < m) ve D q ( q < ) olsu. (2.4) deki Riem-Liouville kesirli ürev m, (2.8) deki formülü ve (2.9) dki msy bsmk ürevlerle birleşirilmesi özelli¼gi s rs yl kull rsk; D p ( D q f()) dm D d m ( dm d m (m p) D p+q D p+q f() m o ( D p f()) f() j elde ederiz. p ve q u yerleri de¼gişirilirse; j D p j f() D q j f() ( ) p j ( p j) ) ( ) m p j ( + m p j) (2.25) D q ( D p f()) D p+q f() mx j D p j f() ( ) q j ( q j) (2.26) yzbiliriz. (2.25) ve (2.26) dki ilişkii birleşirilmesi, bize geel olrk Riem- Liouville kesirli ürev operörleri ol D p ve D q u de¼gişirilmeyece¼gii sdece bir isisi durum d ş d (p q durumuu y s r) söylemekedir. Şöyle ki p 6 q içi; D p ( D q f()) D q ( D p f()) D p+q f() (2.27) (2.25) ve (2.26) y rf rf oplrsk s¼g k s m yok olur. Buu içi y d D p j f() (j ; 2; :::; m) (2.28) D q j f() (j ; 2; :::; ) (2.29) koşullr gerçeklemesi gerekir. E¼ger f() yeerli sy d sürekli ürevlere shipse, (2.28) koşulu f (j) () (j ; ; 2; :::; m ) (2.3) 46

53 koşulu ve (2.29) koşulu koşulu eşde¼ger olur. Böylece e¼ger f (j) () (j ; ; 2; :::; ) (2.3) f (j) () (j ; ; 2; :::; r ) (2.32) r mx(; m) ise (2.27) deki ilişki (p. ve q. bsmk ürevleri yer de¼gişirmesi) koruur Grüwld-Leikov Yklş m yl Ilişkisi Öcede bhsedildi¼gi gibi, Riem-Liouville ve Grüwld-Leikov key reel bsmk diferesiyel yklş mlr rs d bir ilişki mevcuur. Şimdi vrsyl m ki f() foksiyou [; T ] rl ¼g d ( ) def sürekli diferesiyele shipir ve f () () y [; T ] rl ¼g d yer l r. O hlde her bir p içi ( < p < ) Riem-Liouville ürevi D p f() mevcuur ve Grüwld-Leikov üreve D p f() rsgelmekedir. E¼ger; m p < m ise < < T içi D p f() D p f() + (m p) mx j f (j) ()( ) j p ( + j p) f (m) () d (2.33) ( ) p m+ mevcuur. Gerçeke; (2.33) formülüü s¼g k sm Grüwld-Leikov ürevie D p f() eşiir. Di¼ger rf; d m d m 8 < mx : j f (j) ()( ) m+j p ( + m + j p) + (2m p) 9 ( ) 2m p f (m) ()d ; olrk yz lbilir. Trf rf m iegrsyod sor bu bize D p f() Riem- Liouville formuu verir. 8 9 d m < Z ( ) m p f()d d m : (m p) ; dm d f (m p) D m f()g D p f() (2.33) ilişkisi birçok uygulm problemi ç s d öemlidir. E¼ger f() sürekli ve f (); [; T ] rl ¼g d iegrlleebilir ise, her bir p ( < p < ) içi Riem- Liouville ve Grülwld-Leikov ürevlerii her ikiside mevcuur ve D p f() D p f() f()( ) p + ( p) 47 ( p) ( ) p f ()d (2.34)