Doğrudan ayrık tasarım ile Hamiltonian sistemlerde bozucu bastırma

Transkript

1 itüdergisi/d mühendisli Cilt: 10, Sayı: 3, Haziran 011 Doğrudan ayrı tasarım ile Hamiltonian sistemlerde bozucu bastırma Yara YALÇIN *, Leyla GÖREN-SÜMER, Salman KURULAN İÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Programı, 34469, Ayazağa, İstanbul Özet Bozucu bastırma roblemi rati uygulamalar için önemli bir onudur. Literatürde, H yalaşımı hem doğrusal hem de doğrusal olmayan sistemlerin bozucu bastırma robleminin çözümünde ullanılan tenilerden biridir. Kaı-ontrollü Hamiltonian (PCH, ort-controlled Hamiltonian) yalaşımı ise meani ve eletri alt sistemlerden oluşan armaşı doğrusal olmayan sistemlerin modellenmesi ve ontrolü için önerilmiş güçlü bir tenitir. Ayrıca, tenolojinin gelişim yönüne oşut olara günümüzde mühendisli uygulamalarında bilgisayarlı ontrol sistemleri tercih edildiğinden, ayrı zamanlı doğrusal olmayan sistemler için modelleme ve ontrol yöntemleri geliştirme önemli olmuştur. Bu çalışmada n-serbestli dereceli Hamiltonian sistemler için ayrı zamanlı bozucu bastırma roblemi ele alınmış ve bir doğrudan ayrı tasarım yöntemi önerilmiştir. Ele alınan roblemin çözümüne ilişin oşulları verebilme için öncelile, verilen Hamiltonian sistemin ayrı zamanlı dinamilerini gradyan temeli bir ayrı zamanlı modelleme yöntemi ile türetmeye olana sağlayan uygun bir ayrı-gradyan tanımlanmıştır. Ele alınan sistemler için bozucu bastırma roblemi ayrı zamanda ifade edilmiş ve bir doğrusal olmayan durum geribesleme ontrol uralı ile çözümün varlığına ilişin yeter oşul bir teorem ile verilmiştir. Genel doğrusal olmayan sistemler için ısmı diferansiyel bir HJI (Hamilton-Jacobi-Isaacs) eşitsizliği olan yeter oşul bu çalışmada bir cebirsel HJI eşitsizliği olara elde edilmiştir. Önerilen doğrudan ayrı tasarım yöntemi çift saraç sisteminin bozucu bastırma robleminin çözümünde ullanılmış ve benzetim yoluyla başarımı sınanmıştır. Benzetim sonuçları, bu çalışmada önerilen doğrudan ayrı tasarım ile elde edilen ayrı zamanlı bozucu bastırma ontrol uralının emulatör ontrol uralına göre daha yüse başarıma sahi olduğunu göstermetedir. Ayrıca, önerilen ontrol uralının hesa armaşılığı, emulatör ontrolün armaşılığı ile hemen hemen aynıdır. Anahtar Kelimeler: Hamiltonian sistemler, Ayrı-gradyan, Bozucu bastırma. * Yazışmaların yaılacağı yazar: Yara YALÇIN. yalciny@itu.edu.tr; el: (1) Bu maale, birinci yazar tarafından İÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, Kontrol ve Otomasyon Programında tamamlanmış olan "Hamiltonian sistemler için ayrı-zamanlı dayanılı ontrolör tasarımı" adlı dotora tezinden hazırlanmıştır. Maale metni tarihinde dergiye ulaşmış, tarihinde basım ararı alınmıştır. Maale ile ilgili tartışmalar tarihine adar dergiye gönderilmelidir. Bu maaleye Yalçın, Y., Gören Sümer, L., Kurtulan, S., (011) Doğrudan ayrı tasarım ile Hamiltonian sistemlerde bozucu bastırma, İÜ Dergisi/D Mühendisli, 10: 3, şelinde atıf yaabilirsiniz.

2 Y. Yalçın ve diğerleri Disturbance attenuation in Hamiltonian systems via direct digital design Extended abstract In last decades, there are many ongoing researches on the subject of the modelling and control of comlex nonlinear systems. he ort-controlled Hamiltonian (PCH) aroach is an imortant modeling and control technique which has been roosed for comlex nonlinear systems, esecially where electrical and mechanical sub-systems have to be considered together. Besides, the disturbance attenuation roblem and the design of controllers under arametric and/or structural uncertainties are imortant issues in ractical alications. In the literature, the H aroach has been used to solve the disturbance attenuation roblem and to rovide robust control for nonlinear systems. While the disturbance attenuation roblem characterized by means of the socalled L gain of a general non-linear system is required to solve the Hamilton-Jacobi-Isaacs (HJI) artial differential inequality, the same roblem for Hamiltonian systems can be reduced to solve an algebraic HJI. For this reason, in literature, some nonlinear H control roblems for Hamiltonian systems have been defined and some sufficient conditions have been resented to solve the roosed roblems. On the other hand, it is well nown that nowadays comuter-controlled systems using industrial rocessors are referred in engineering ractice because of the simlicity and flexibility of their imlementation. herefore, it has been gained more imortance to develo modeling and control techniques for discrete-time nonlinear systems. In literature, there are several studies on discrete time nonlinear systems, which can be classified, roughly, in two grous. While one grou deals with the concets of the losslessness, the feedbac equivalence and the global stabilization of discrete-time non-linear systems, the other grou wors deriving the discretetime counterart of the H control techniques which are develoed using the exact model of the system. It should be noted that a direct discrete-time PBC (Passivity Based Control) control method by using an aroximate discrete-time Hamiltonian model has been develoed by Astolfi and Laila (005,006b), recently. In this study, the discrete-time counterart of disturbance attenuation roblem for a class of Hamiltonian systems (n-dof mechanical systems) is investigated and a sufficient condition for the solution of the roblem is given o fulfill, firstly a discrete-time equation, which corresonds to the given Hamiltonian system, is derived by a gradient based discretetime modeling technique. For this urose an aroriate discrete gradient definition is resented. Afterwards, using this equation, the disturbance attenuation roblem characterized by the means of L gain is defined and the results are resented as a theorem, which rovides a sufficient condition on the existence of the solution of the roosed roblem. In order to obtain the discrete-time version of disturbance attenuation roblem for the Hamiltonian systems, a term corresonding to the discrete version of the gradient term in the continuous Hamiltonian model is needed. For searable Hamiltonian systems, the discrete gradient defined in this study satisfies both of the discrete-gradient conditions given in (Gonzales, 1996), but it does not satisfy the first condition recisely, for non-searable case. he main results of this study resented as a theorem is derived under the assumtion such that, there exists a discrete gradient which satisfies the discretegradient conditions exactly. A detailed discussion is also given for the case where the conditions are not recisely satisfied. he given discussion should be taen into account while the condition HJ1in the theorem is used for the design of discrete-time control rule, esecially when slow samling is used. he roosed direct discrete-time design method is utilized to solve the disturbance attenuation roblem of the double endulum system and tested by simulations. he simulation results have demonstrated that the controller obtained using the method develoed in this aer has better erformance than the emulator controller for samled data Hamiltonian systems. It should be noted that the comutational comlexity of the discrete control rule obtained in this is nearly same as the comutational comlexity of the emulation controller. his roerty might rovide an imortant advantage esecially in industrial alications. Keywords: Hamiltonian Systems, Discrete-gradient, Discrete-time control, H -otimal control, Disturbance Attenuation. 6

3 Doğrudan ayrı tasarım ile Hamiltonian sistemlerde bozucu bastırma Giriş Son yirmi yıldır, özellile meani ve eletri alt sistemlerden oluşan doğrusal olmayan armaşı sistemlerin modellenmesi ve ontrolü için yaılan çalışmaların yoğunlaştığı görülmetedir. Pasifli temelli ontrol (PBC, Passivity Based Control), hem Euler-Lagrange ve hem de Kaıontrollü Hamiltonian (PCH, Port-Controlled Hamiltonian) sistemlerin ararlı ılınması ve onum ontrolü için geliştirilmiş güçlü bir tasarım teniğidir (Ortega vd., 1998). PCH sistem gösterilimi ise armaşı doğrusal olmayan, özellile eletri ve meani alt sistemlerin birlite bulunduğu, sistemler için önerilmiş önemli ontrol modellerinden biridir. Son yıllarda, literatürde bu onuda ço sayıda çalışma bulunmatadır. Bu modelin tercih edilmesinin en önemli nedeni, sisteme ilişin Hamiltonian fonsiyonun, sistem için bir Lyaunov fonsiyonu olara ullanılabilmesi ve bu yalaşımın ontrol uralı tasarımında olaylı sağlamasıdır (Van der Schaft, 000; Ortega vd., 00; Ortega ve Garcia-Canseco, 004). Mühendisli uygulamalarında, gerçeleme olaylıları ve esnelileri nedeni ile endüstriyel işlemcileri ullanan bilgisayar ontrollü sistemler tercih edilmetedir. Bu durum, doğrusal olmayan ayrı zamanlı sistemlerin modellenmesi ve ontrolü için yöntemler geliştirmenin önemini gidere artırmatadır. H yalaşımı, hem doğrusal hem de doğrusal olmayan sistemler için önemli ontrol mühendisliği roblemlerinden olan, bozucu bastırma ve belirsizliler altında dayanılı ontrol uralı tasarımı roblemlerini çözme için ullanılmatadır. Özellile, süreli doğrusal olmayan sistemlerin yerel bozucu bastırma roblemi ayrıntılı olara incelenmiştir (Isidori ve Astolfi, 199; Isidori ve Kang, 1995; Shen ve amura 1995; Lu vd., 000). L azancı ile araterize edilen bozucu bastırma robleminin çözümü genel doğrusal olmayan sistemler için Hamilton- Jacobi-Isaacs (HJI) ısmi diferansiyel eşitsizliğinin çözümünü geretiriren, aynı roblem Hamiltonian sistemler için cebirsel HJI ya indirgenebilmetedir. Bu nedenle bazı çalışmalarda, süreli Hamiltonian sistemler için H ontrol roblemleri tanımlanmış ve önerilen roblemler için yeter oşullar verilmiştir (Xi ve Cheng, 000; Mei vd., 005). Anca, literatürde, Hamiltonian sistemlerin ayrı zamanlı bir ontrol uralı ile bozucu bastırma roblemi tanımı ve buna ilişin çözüm önerisi bulunmamatadır. Bu çalışmada, bir sınıf Hamiltonian sistem için bozucu bastırma robleminin ayrı zamanlı arşılığının geliştirilmesi üzerinde çalışılmış ve roblemin çözümü için bir yeter oşul verilmiştir. Bu amaçla, uygun bir ayrı-gradyan ullanılara, verilen Hamiltonian sisteme ilişin ayrı zamanlı denlemler elde edilmiştir. Sonra, bu denlemler ullanılara, L azancı üzerinden tanımlanan bozucu bastırma roblemi ifade edilmiş ve sonuçlar roblemin çözümüne ilişin bir yeter oşul sunan bir teorem ile verilmiştir. Önerilen doğrudan ayrı zamanlı tasarım yöntemi çift saraç sisteminin bozucu bastırma robleminin çözümü için ullanılmış ve benzetimlere ilişin sonuçlar verilmiştir. Doğrudan ayrı tasarım yöntemi Bu bölümde, süreli modeli aşağıda tanımlanmış Hamiltonian sistemler için bozucu bastırma roblemi ayrı zamanda ifade edilece ve çözümüne ilişin yeter oşul verilecetir. Dinami denlemleri, q ( J R( q, )) H( q, ) G1( q) w G( q) u y( t) G ( q) H ( q, ) 1 (1) biçiminde verilen Hamiltonian sistemi ele alınsın. Burada ( q, ) X nxn genelleştirilmiş oordinatlar, yw, m 1 sırası ile bozucu girişi m ve sistem çıışı, u ontrol girişi, J standart ters-simetri iç bağlantı matrisi ve nxn R( q, ) yarı esin ozitif simetri bir matristir. Bu matrisler, 0 In J In 0, 0 0 R( q, ) 0 R1 ( q, ) nxn R ( q, ) 0 1 () 63

4 Y. Yalçın ve diğerleri nxm biçimindedir. ( ) 1 nxm g1 q, g ( ) q olma üzere, bozucu ve ontrol giriş matrisleri aı yaıları- ise, 0 0 G1 ( q) g1( q), G ( q) g ( q) (3) ile tanımlanır. Bu sistem genelleştirilmiş oordinatlarda tanımlanmış bozucu altında bir Kaıontrollü Hamiltonian sistemdir. Ayrıca, n H : sistemin Hamiltonian fonsiyonu ya da sistemin enerji fonsiyonudur. M( q) M( q) 0 genelleştirilmiş ütle matrisi olma üzere enerji fonsiyonu şu yaıdadır. 1 1 H( q, ) M ( q) P( q) (4) nxn Eğer M( q) M sabit matris ise sistem bir doğrusal (searable) Hamiltonian sistemdir ve eğer m =n ise sistem tam sürülmüş (fullyactuated) denir. Burada sistemin tam sürülmüş olduğu abul edilmiştir. Doğrudan ayrı ontrolör tasarım yöntemi önerebilme için sistemin ayrı modelinin varlığı gerelidir. Bu nedenle (1) dei süreli sistemin daha önce Yalçın ve Gören-Sümer, (007), Gören-Sümer ve Yalçın, (008) çalışmalarında önerilmiş olan gradyan temelli ayrı zamanlı modelleme yöntemi ile ayrı zamanlı denlemleri elde edilecetir. Bunun için, (1) de yer alan gradyan ifadesinin ayrı arşılığının ullanılması geremetedir. Bu amaçla, (Gonzales ve Simo, 1996) da verilmiş ve aşağıda alıntılanmış olan ayrı-gradyan tanımından yararlanılacatır. anım 1- H (x), x e göre türevlenebilir bir fonsiyon olsun. H ( x( ), x( 1)) süreli ise ve H( x( ), x( 1)) x( 1) x( ) H x( 1)) H( x( ) (5) H( x( ), x( )) H( x( )) (6) ilişilerini sağlıyorsa bir ayrı-gradyandır. Ayrıca belirtilmelidir i, ileride bir teoremle sunulaca olan bozucu bastırma robleminin çözümü, anım 1 dei oşulları tam olara sağlayan bir H ( x( ), x( 1)) ayrı- gradyanın varlığı abulü altında türetilmiştir. Koşulların tam olara sağlanmaması durumu için enerji ilişileri üzerinden bir irdeleme de yaılacatır. Durum değişenlerinin türevleri için, q q q 1, 1 (7) yalaşılığı yaılara ve ayrı-gradyan H ( x( ), x( 1)), ullanılara (1) de verilen sistemin ayrı-zaman arşılığı, örneleme eriyodu olma üzere, aşağıdai gibi elde edilebilir, q 1 q ( J R( q, )) H G1 ( q ) w 1 G ( q ) u y G ( q ) H 1 (8) şelinde elde edilir. Sistem için bir ceza değişeni (enalty signal), y z( q, ) d ( q, ) u (9) şelinde tanımlansın ve bozucu bastırma ölçütü ise, N { y y u D( q, ) u } w (10) 0 0 seçilsin. Burada d( q, ) tam ranlı bir matris olma üzere D( q, ) d ( q, ) d( q, ) verilmiş bir ağırlı matrisidir ve bozucu bastırma seviyesine arşı düşen gerçe değerli ozitif bir salerdir. Bozucu bastırma roblemi, sistem (8) i asimtoti ararlı bıraan ve bozucu giriş w nın, z ceza değişeni üzerindei etisini, L anlamında en az yaan u c( q, ) şelinde bir geribesleme ontrol uralı inşa etme olara tanımlanır. N 64

5 Doğrudan ayrı tasarım ile Hamiltonian sistemlerde bozucu bastırma (8-10) ilişileri ile tanımlanan bozucu bastırma robleminin çözümüne ilişin, bu çalışmada türetilen oşullar, eorem 1 de verilmiştir. eorem 1- (8) ile verilen ayrı zamanlı aıontrollü Hamiltonian sistemi ve (8-10) ile tanımlanan bozucu bastırma roblemini ele alınsın. Aşağıdai oşulların sağlandığı varsayılsın; I. Sistem, y çıışına göre sıfır-durum sezilebilirdir. II. Ağırlı matrisi d( q, ) tam sütün ranlıdır. III. Denge notası x 0, H( x ) in bir (esin) yerel minimumudur. IV. anım 1 dei oşulları tam olara sağlayan bir, H ( x( ), x( 1)), nxn x { q, }, ayrı-gradyan vardır. Önceden verilmiş bir bozucu bastırma seviyesi için, eğer, 1 g ( q ) g ( q) g ( q ){ d d } g ( q ) 1 1 R ( q, ) g ( q ) g ( q ) (11) biçimindei Hamilton-Jacobi-Isaacs (HJI) eşitsizliğini sağlayan bir ozitif gerçe sayısı var ise, giriş w dan, çıış z ye L azancını en fazla yaan bir stati geribesleme ontrol uralı vardır ve bu ontrol uralı u c( q, ) ; biçimindedir. { u d d } 1 g ( q ) H (1) İsat- (11) de verilen HJI eşitsizliğini verilen bir için sağlayan bir var olsun. (8) ifadesi soldan H ile çarılır ve ayrı-gradyan tanımının il oşulu ullanılırsa aşağıdai ilişi elde edilir, qh q 1 q H ( 1) H ( ) H 1 H R ( q, ) H H g ( q ) w 1 1 H g ( q ) u (13) J, ters-simetri bir matris olduğundan H J H 0 dır. Kesin ozitif bir V ( ) fonsiyonu, V( ) H( ) (14) tanımlandığında, (10) dan, V ( 1) V ( ) H R ( q, ) H 1 H g ( q ) w H g ( q ) u 1 (15) ilişisi yazılabilir. Eşitsizli (11) den R 1 terimi çeildiğinde elde edilen eşitsizli, (15) ilişisi ile birlite değerlendirildiğinde, V ( 1) V ( ) H g1( q ) g1 ( q ) H 1 H g ( q ){ d d} g ( q ) H 1 H g ( q ) g ( q ) H H g ( q ) w Hg ( q ) u yazılabilir ve bazı cebir işlemlerden sonra, 1 V ( 1) V ( ) g1 ( q ) H w { } d d g ( q ) H { d d } u 1 w { y y u d du} (16) (17) eşitsizliği elde edilir. Bu ilişinin sağ tarafındai il terim her zaman negatiftir ve ontrol uralı (1) iinci terimde yerine yazıldığında bu terim sıfır olmatadır. Sonuç olara, bu eşitsizliten, 1 V ( 1) V ( ) w { y y u d du} (18) ayılı olma eşitsizliği elde edilir. Burada, (9) da verilen z tanımı ullanılırsa, bu eşitsizliğin, 1 V ( 1) V ( ) w z (19) 65

6 Y. Yalçın ve diğerleri eşitsizliğine eşdeğer olduğu olaylıla görülebilir. Böylece, (8-9) ile verilen sistem için (1) ile verilen ontrol uralı ullanıldığında elde edilen aalı çevrimli sistemin, belirli bir bozucu bastırma seviyesi yı, - L azancı anlamında bozucu bastırma ölçütünü - sağladığı gösterilmiş olur. Aşağıdai uyarı, eorem 1 dei ayrı-gradyanın anım 1 de verilen oşullardan ilini tam olara sağlamadığı durumu irdeleme amacı ile verilmiştir. Uyarı 1- eorem 1 de ullanılan, nxn H ( x( ), x( 1)), x { q, }, ayrıgradyanın anım 1 ile verilen oşulların iincisini tam olara sağladığı anca birinci oşulu tam olara sağlamadığı durum ele alınsın Bu durumda, ayrı enerji fonsiyonu süreli sistemin enerji fonsiyonundan farlı olacatır. Ayrı enerji fonsiyonu Hˆ ( x ) olma üzere, H J R( x ) H H R( x ) H Hˆ( x ) ˆ 1 H ( x ) (0) ilişisi yazılabilir. Eğer bu enerji farı süreli sisteme ilişin enerji fonsiyonu cinsinden, Hˆ( x ) ˆ 1 H( x ) H( x 1) H( x ) ( x 1, x ) (1) biçiminde ifade edilirse, H( x ) ( ) ˆ( ) 1 H x H J R x H () eşitliği sağlayan bir Rx ˆ( ) in var olduğu söylenebilir. Sonuç olara, özellile düşü örneleme eriyodu ile çalışıldığında, eorem 1 dei HJI oşulu ullanılıren, bu irdeleme göz önünde bulundurulmalıdır. 0 için (1) ilişisindei fazla terimin sıfıra gideceği açıtır- ( x, x ) Ayrı-gradyan İzleyen bölümde, ayrı-gradyan ifadesi için aşağıda önerilmiş olan tanım ullanılacatır. anım - Sistem (1) e ilişin enerji fonsiyonunu, 1 1 H( q, ) K( q, ) P( q) M ( q) P( q) (3) olsun ve Pgr ( q ) matrisi P( q) Pgr ( q) q şelinde tanımlansın. Enerji fonsiyonun aşağıdai biçimde verilmiş olan gradyanını ele alalım. Pgr ( q) S( q, ) q q H ( q, ) Q( q, ) 1 0 M ( q) S( q, ) 1 M ( q) q1 1 M ( q) q 1 M ( q) q n O halde H( q, ) nin ayrı-gradyanı için, q, 1 q q 1,, 1 ifadeleri ile, q, 1 H Q( q, 1,, 1), 1 tanımlaması yaılabilir. (4) (5) 1 (6) (7) Kolayca görülebilir i, doğrusal (seerable) Hamiltonian sistemler için, yuarıda tanımlanmış olan ayrı-gradyan, anım 1 dei oşulların her iisini de tam olara sağlamata, anca, doğrusal olmayan (non-searable) durumda birinci oşulu tam olara sağlamamatadır. İleridei ullanım için ayrı-gradyan H ifadesinden H ve q H ilişilerini aşağıdai gibi ayrıştırma uygun olacatır. Pqr ( q, 1,, 1) S( q, 1,, 1) H 1 0 M ( q, 1,, 1) q, 1, 1 (8) 66

7 Doğrudan ayrı tasarım ile Hamiltonian sistemlerde bozucu bastırma H K P P ( q, ) q q q q qr, 1, 1, 1 S( q, ), 1, 1, 1 1, 1, 1, 1 (9) H K M ( q, ) (30) Nedenselli sorunundan açınma için birinci dereceden tutucu meanizmasından esinlenilere, q +1 ve +1 nin hesabında, l1 ( m1 m ) ml1l cos( q1 q ) M m l 1 l cos( q 1 q ) l m ) P( q) m gl cos q ( m m ) gl cos q olma üzere, 1 1 H( q, ) M ( q) P( q) ( ) q q ( q q ) q q (31) biçimindedir ve burada m1 m 1g, 0. m, l 0. 3m ve g 0. 98ms dır. l1 yalaşılıları ullanılmıştır. Bu ilişiler (6-30) da ullanıldığında,, 1 3 1, q, 1 3q q 1 (3) 1 3q q H M (, ) (33) elde edilir. Son ifade, gelece bölümde verilece örnete ontrol uralı (1) nin gerçelemesi sırasında terimi için ullanılacatır. H anım de yaılan ayrı-gradyan tanımı ullanılara elde edilen ontrol uralının hesa armaşılığının, emulatör ontrolün hesa armaşılığı ile yalaşı aynı olduğuna diat edilmelidir. Bu özelli endüstriyel uygulamalarda önemli bir yarar sağlar. Kontrol uralını türetebilme için, ceza değişenindei (enalty signal) ağırlı atsayıları d I ve seçilmiştir, bu oşullarda (11) dei HJI yi sağlayan 8 olara bulunmuştur. Son olara ontrol uralı u 1. 1 H biçiminde elde edilmiştir. Benzetimlerde sistem denge durumunda ien 1-3sn aralılarında bozucu olara w 3. 5N genlili basama işareti uygulanmıştır. Açı çevrimli sistemin momentum ve onum değişenlerinin bozucu atındai zamana göre değişimi, Şeil 1 ve Şeil de verilmiştir. Doğrudan ayrı tasarımla elde edilen ontrol uralı, süreli ontrol uralı ve emulator ontrol uralı ullanılara elde edilen aalı çevrimli sistemin değişenlerinin zamana göre değişimi, Şeil 3-Şeil 6 da toluca verilmiştir. Örne ve benzetim sonuçları Önerilen doğrudan ayrı tasarım yönteminin başarımını inceleyebilme için aı-ontrollü süreli Hamiltonian modeli aşağıdai gibi olan çift saraç sistemi ele alınmıştır. q 0 0 ( J R( q, )) H( q, ) w u g1( q) g( q) y( t) 0 g1 ( q) H ( q, ) 0 0 g1( q) I, g( q) I, R I Bu sisteme ilişin Hamiltonian fonsiyonu, Şeil 1. Bozucunun açı çevrimli çift saraç sisteminin momentum değişenlerindei etisi 67

8 Y. Yalçın ve diğerleri Şeil. Bozucunun açı çevrimli çift saraç sisteminin onum değişenlerindei etisi Şeil 5. Kontrol edilmiş çift saraç sisteminin q 1 durum değişenin zaman göre değişimi Şeil 3. Kontrol edilmiş çift saraç sisteminin 1 durum değişenin zaman göre değişimi Şeil 4. Kontrol edilmiş çift saraç sisteminin durum değişenin zamana göre değişimi Şeil 6. Kontrol edilmiş çift saraç sisteminin q durum değişenin zaman göre değişimi Şeil 3-6 da görüldüğü gibi bu tezde geliştirilen yöntem ullanılara elde edilen ayrı zamanlı ontrolör, süreli-zamanlı ontrolörle yaın bir başarıma sahi ien, seçilen örneleme zamanında emulatör ontrolör sistemi ararsız ılmatadır. Kontrol işaretlerinin zamana göre değişimi Şeil 7 ve Şeil 8 de görülebilir. Sonuçlar n-serbesti dereceli meani sistemler için bozucu bastırma roblemi ele alınmıştır. Problemin ayrı zamanlı stati durum geribesleme ontrol uralı ullanıldığında çözümünün varlığına ilişin yeter oşul verilmiştir. Kontrol uralı çift saraç sistemine uygulanara benzetim yoluyla başarımı sınanmıştır. Benzetim sonuçları, bu çalışmada önerilen doğrudan ayrı tasarım ile elde edilen ayrı zamanlı bozucu bastırma 68

9 Doğrudan ayrı tasarım ile Hamiltonian sistemlerde bozucu bastırma ontrol uralının emulatör ontrol uralına göre daha yüse başarıma sahi olduğunu göstermetedir. Ayrıca önerilen ontrol uralının hesa armaşılığı, emulatör ontrolün armaşılığı ile hemen hemen aynıdır. Bu özelli önerilen yöntemin endüstriyel uygulamalarda ullanımı açısından önemlidir. Şeil 7. Kontrol girişi u 1 in zaman göre değişimi Şeil 8. Kontrol girişi u nin zaman göre değişimi Kaynalar Byrnes, C.I. ve Lin, W., (1994). Losslessness, feedbac equivalence, and the global stabilization of discrete-time nonlinear systems, IEEE rans. Automatic and Control, 39, 1, Gonzalez, O. ve Simo, J.C., (1996). On the stability of symlectic and energy-momentum algorithms for non-linear Hamiltonian systems with symmetry, Comuter Methods in Alied Mechanics and Engineering, 134, 3-4, Gönar, I. C. ve Sengör, N. S., (1998). Discrete-time version of Kalman-Yacubovitch-Poov Lemma for Nonlinear Systems, Proc. ICECS, Lisbon, Portugal, Gören-Sümer, L., ve Yalçın, Y., (008). Gradient Based Discrete-ime Modeling and Control of Hamiltonian Systems, 17th IFAC World Congress, Korea, Seoul. Isidori, A. ve Astolfi, A., (199). Disturnabce Attenuation and H -Control via Measurement Feedbac in Nonlinear Systems, IEEE rans. on Automatic Control, 37, 9, Isidori, A. ve Kang, W., (1995). H -Control via Measurement Feedbac for General Nonlinear Systems, IEEE rans. on Automatic Control, 40, 3, Laila, D. S. ve Astolfi, A., (005). Discrete-time IDA-PBC design for searable Hamiltonian systems, Proc. 16th IFAC World Congress, Prague. Laila, D. S. ve Astolfi, A., (006a). Direct Discretetime Design for Samled-data Hamiltonian Control Systems, 3rd IFAC Worsho on Lagrangian and Hamiltonian Methods for Nonlinear Control, Nogoya. Laila, D. S. ve Astolfi, A., (006b). Discrete-time IDA-PBC design for searable Hamiltonian systems, American Control Conference. Lin, W. ve Byrnes, C.I., (1995). Discrete-time Nonlinear H Control wih Measurement Feedbac, Automatica, 31, 3, Lin, W. ve Byrnes, C.I., (1996). H Control of Discrete ime nonlinear Ssytems, IEEE rans. on Automatic Control, 41, 4, Lu, G., Y. Zheng, ve Ho, D.W.C., (000). Nonlinear robust H -Control via Dynamic Outut Feedbac, Systems & Control Letters, 39, McLachlan, I. R., Quisel, G. R. W. ve Robidoux, N., (1998). Unified Arroach to Hamilto ian Systems, Poisson Systems, Gradient Systems, and Systems with Lyaunov Functions or First Integrals, Physical Review Letters, 81, 3, Mei,S., Shen,., Hu, W., Lu, Q. ve Sun, L., (005). Robust H -Control of a Hamiltonian system with uncertainty and its alication to a multimachine ower system, IEE roc.-control heory Al., 15,, Navarro-Lóez, E.M., (00a). Dissiativity and Passivity-Related Proerties in Nonlinear Discrete-ime Systems, Ph.D. hesis, Institute of Industrial and Control Engineering. 69

10 Y. Yalçın ve diğerleri Navarro-Lóez, E.M., Sira-Ramírez H. ve Fossas- Colet, E., (00b). Dissiativity and feedbac dissiativity roerties of general nonlinear discrete-time systems, Euroean Journal of Control, 8, 3, Nesic, D. ve eel, A.R., (004). A framewor for stabilization of nonlinear samled-data systems based on their aroximate discrete-time models, IEEE ransactions on Automatic Control, 49, 7, Ortega, R., van der Schaft, A.J., Masche, B., ve Escobar, G., (00). Interconnection and daming assignment assivity-based control of ortcontrolled Hamiltonian systems, Automatica, 38, Ortega, R. ve Garcia-Canseco, E., (004). Interconnection and Daming Assignment Passivity- Based Control, Euroean Journal of Control, 10, 5, Sengör, N.S., (1995). Energy related concets in nonlinear systems, Ph.D. hesis, Istanbul echnical University, Institute of Science and echnology. Shen,. ve amura, K., (1995). Robust H Control Of Uncertain Nonlinear System via State feedbac, IEEE ransactions on Automatic Control, 40, 4, Xi, Z., ve Cheng, D., (000). Passivity-Based Stabilization and H Control of the Hamiltonian Control Systems with Dissiation and Its Alications to Power Systems, International Journal of Control, 73,18, Van der Schaft, A.J., (000). L -Gain and Passivity echniques in Nonlinear Control, Sringer, London. Yalçın, Y. ve Gören-Sümer, L., (007). Hamiltonian Sistemlerin Ayrı-zamanlı Modellenmesi için Bir Yöntem, OK