T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HOMOJEN OLMAYAN ELASTİK KÜRESEL KABUĞUN TERMAL BURKULMASI

Transkript

1 T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HOMOJEN OLMAYAN ELASTİK KÜRESEL KABUĞUN TERMAL BURKULMASI Polt ÖZYİĞİT Dnışmn: Prof. Dr. Abdullh AVEY YÜKSEK LİSANS TEZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİGİ ANABİLİM DALI ISPARTA,

2 TEZ ONAYI Polt ÖZYİĞİT trfındn hzırlnn Homojen Olmyn Elstik Küresel Kbuğun Terml Burkulmsı dlı tez çlışmsı şğıdki jüri trfındn oy birliği ile Süleymn Demirel Üniversitesi İnşt Mühendisliği Anbilim Dlı nd YÜKSEK LİSANS TEZİ olrk kbul edilmiştir. Dnışmn : Prof. Dr. Abdullh AVEY Süleymn Demirel Üniversitesi, İnşt Mühendisliği Anbilim Dlı Jüri Üyeleri : Unvn, Adı ve Soydı (İmz) Doç Dr. Elçin YUSUFOĞLU Dumlupınr Üniversitesi, Mtemtik Anbilim Dlı Unvn, Adı ve Soydı (İmz) Yrd. Doç. Dr. Keml Tuşt YÜCEL Süleymn Demirel Üniversitesi, İnşt Mühendisliği Anbilim Dlı Prof. Dr. Mustf KUŞCU Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullnıln özgün ve bşk kynktn ypıln bildirilişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrflrın kynk gösterilmeden kullnımı, 5846 syılı Fikir ve Snt Eserleri Knunundki hükümlere tbidir.

3 İÇİNDEKİLER Syf İÇİNDEKİLER.. i ÖZET... iii ABSTRACT.iv TEŞEKKÜR.. v ŞEKİLLER DİZİNİ..vi ÇİZELGELER DİZİNİ.. viii SİMGELER DİZİNİ..x. GİRİŞ.. Tezin Önemi..... Tezin Amcı.... KAYNAK ÖZETLERİ. 5.. Homojen Küresel Kbuklrın Meknik Yükler Etkisi Altınd Stbilite ve Titreşim Problemleri ile İlgili Mkle Özetleri 5.. Homojen Küresel Kbuklrın Terml Yükler Etkisi Altınd Stbilite ve Titreşim Problemleri ile İlgili Mkle Özetleri Homojen Olmyn Mlzemeler ve bu Mlzemelerden Oluşn Değişik Ypı Elemnlrının Meknik ve Terml Yüklemeler Altınd Stbilite ve Titreşimi ile İlgili Mkle Özetleri...4. Küresel Kbuklr İçeren Ypı Elemnlrının Stbilitesi ve Titreşimi Problemleri ile İlgili Litertürde Bulunn Kitplrdn Bzılrı. 8. MATERYAL ve YÖNTEM 4.. Homojen Olmyn Küresel Kbuklr için Temel Bğıntı ve Denklemler Terml Genleşme Ktsyısı Değişken ve Homojen Olmyn Küresel Kbuklrın Terml Yük Etkisi Altındki Stbilite Denklemlerinin Çözümü. 5.. Terml Genleşme Ktsyısı Değişken ve Homojen Olmyn Küresel Kbuklrın Kritik Üniform Sıcklık Artışı için Anlitik İfdelerin Bulunmsı. 58 i

4 4. ARAŞTIRMA BULGULARI Homojen Olmyn Elstik Mlzeme Özelliklerinin ve Terml Genleşme Ktsyısının Anlitik Modellenmesi Krşılştırmlr Terml Genleşme Ktsyısı Değişken ve Homojen Olmyn Küresel Kbuklrın Kritik Sıcklık Artışı Anlizleri TARTIŞMA ve SONUÇ KAYNAKLAR EKLER.. ÖZGEÇMİŞ.. 6 ii

5 ÖZET Yüksek Lisns Tezi HOMOJEN OLMAYAN ELASTİK KÜRESEL KABUĞUN TERMAL BURKULMASI Polt ÖZYİĞİT Süleymn Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İnşt Mühendisliği Anbilim Dlı Dnışmn: Prof. Dr. Abdullh AVEY Bu çlışmd sürekli homojen olmyn sığ küresel kbuğun üniform terml yük etkisi ltınd burkulm problemi ele lınmktdır. Önce, klınlık doğrultusund sürekli değişen izotrop mlzeme özellikleri ve uygun terml genleşme ktsyısının nlitik modelleri oluşturulmkt ve bu modellerin grfiksel ve syısl gösterimi ypılmktdır. Problemin formülsyonund Kirchhoff-Love nin birinci mertebeden kbuk teorisi kullnılmkt ve gerilme-deformsyon bğıntılrınd Hooke kurlı dikkte lınmktdır. Donnell Mushtri Vlsov (DMV) vrsyımlrı ve Snders doğrusl olmyn gerilme-yer değiştirme bğıntısı kullnılrk kuvvet ve moment bileşenleri bulunmktdır. Sonr homojen olmyn mlzemelerden oluşn küresel kbuklr için terml genleşme ktsyısının değişimi de dikkte lınrk terml yükleme ltındki küresel kbuğun toplm potnsiyel enerji fonksiyonu zr, eğilme ve terml gerilme enerjilerinin toplmındn elde edilmektedir. Toplm potnsiyel enerji fonksiyonunun ikinci vrysyonun Euler denklemleri uygulnrk üç yer değiştirme fonksiyonun bğlı olrk stbilite denklemleri elde edilmektedir. Üç yer değiştirme fonksiyonun bğlı olrk elde edilen stbilite denklemleri bsit mesnetli sınır koşulun göre çözülmektedir. Terml genleşme ktsyısı klınlık doğrultusund değişken olduğund sürekli homojen olmyn sığ küresel kbuğun boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı için nlitik ifde bulunmktdır. Özel durumlrd sbit ve değişken terml genleşme ktsyılrı için homojen izotrop küresel kbuğun boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının ifdeleri elde edilmektedir. Söz konusu ifdeler çevresel ve meridyenel dlg syılrın göre minimize edilerek boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışlrının minimum değerleri bulunmktdır. Syısl hesplr kısmınd MAPLE bilgisyr progrmı kullnılrk, çelik mlzeme elstisite modülü ve uygun terml genleşme ktsyısının klınlık koordintlrın bğlı kuvvet fonksiyonu şeklinde değişiminin ve kürenin geometrik prmetreleri değişiminin kritik uniform sıcklık rtışın etkileri syısl olrk incelenmektedir. Bu çlışmnın geçerliliği için elde edilen sonuçlr litertürde sunuln çözümlerle krşılştırılrk doğruluğu teyit edilmiştir. Anhtr Kelimeler: Küresel kbuk, homojen olmm, terml yükleme, değişken terml genleşme ktsyısı, terml burkulm, kritik üniform sıcklık rtışı., 6 syf iii

6 ABSTRACT M.Sc. Thesis THE THERMAL BUCKLING OF NON-HOMOGENOUS ELASTIC SPHERICAL SHELL Polt ÖZYİĞİT Suleymn Demirel University Grdute School of Applied nd Nturl Sciences Deprtment of Civil Engineering Supervisor: Prof. Dr. Abdullh AVEY In this study, the buckling problem of the non-homogenous shllow sphericl shell subjected to the uniform therml lod is investigted. Firstly, nlyticl modeling of the nonhomogenous mteril properties nd pproprite therml expnsion coefficient which re vrying continuously through the thickness direction re formed, nd grphicl nd numericl illustrtions of these models re given. In the formultion of the problem, Kirchhoff-Love s first order shell theory is used nd Hooke s lw is tken into ccount for stress-strin reltions. By using Donnell Mushtri Vlsov s (DMV) ssumptions nd Snders s non-liner stress-displcement reltion, the expressions for the force nd moment resultnts re obtined. Then, by tking into ccount vrition of the therml expnsion coefficient for non-homogenous sphericl shells, the totl potentil energy function of the sphericl shell under therml loding is obtined from totl of the membrne, bending nd therml stress energies. By pplying Euler s equtions to the second vrition of the totl potentil energy function, stbility equtions depending on three displcement functions re obtined. Stbility equtions which re obtined by depending on three displcement functions re solved for the simply supported boundry condition. When therml expnsion coefficient is vrible through the thickness direction, nlyticl expression for the dimensionless criticl uniform temperture rise for the continuously homogeneous shllow sphericl shell is found. In specil cses, the formuls of dimensionless criticl uniform temperture rise of the sphericl shell re obtined for the constnt nd vrible therml expnsion coefficients. By minimizing these expressions ccording to circumferentil nd meridionl wve numbers, the minimum vlues of the dimensionless criticl uniform temperture rise re obtined. In numericl computtions, effects of the vritions of the elsticity modulus nd pproprite therml expnsion coefficient s power function ccording to thickness direction nd vrition of the geometric prmeters of the sphere on the criticl uniform temperture rises re exmined s numericlly by using computer progrm of Mple. For the vlidity of this study, the obtined results re compred with counterprts in the open literture. Key Words: Sphericl shell, non-homogeneity, therml loding, vrible therml expnsion coefficient, therml buckling, criticl uniform temperture rise., 6 pges iv

7 TEŞEKKÜR Bu çlışm Süleymn Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İnşt Mühendisliği Anbilim Dlı nd Yüksek Lisns Tezi olrk gerçekleştirilmiştir. Tez çlışmsını sürdürdüğüm dönemde, bn dim destek oln, çlışm disiplini şılyn, fedkârlıktn kçınmyn, ypıcı öneri ve düzenlemeleriyle çlışmnın içerik ve sunumundki zenginliğine büyük ktkıd bulunn tez yöneticisi, sygıdeğer dnışmn hocm, Syın Prof. Dr. Abdullh AVEY e sonsuz teşekkürlerimi sunrım. 755-YL-8 No lu proje ile tez çlışmmı mddi olrk destekleyen Süleymn Demirel Üniversitesi Bilimsel Arştırm Projeleri Yönetim Birimi Bşknlığı n teşekkürlerimi sunrım. 8M No lu TUBİTAK projesinde vermiş olduklrı burs desteği için TÜBİTAK sonsuz teşekkürlerimi sunrım. Ayrıc, mddi ve mnevi desteğini benden hiçbir zmn esirgemeyen ileme en içten duygulrıml teşekkür eder, sonsuz sevgi ve sygılrımı sunrım. Polt ÖZYİĞİT ISPARTA, v

8 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil.. Küresel kbuk dış bsınç yükü etkisi ltınd. 4 Şekil.. Küresel kbuk ve çılr Şekil.. İnce küresel kbuğun geometrisi 4 Şekil.4. Bsit mesnetli küresel kbuk.. 5 Şekil 4.. Young modülünün doğrusl değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri... 6 Şekil 4.. Terml genleşme ktsyısının doğrusl değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri Şekil 4.. Young modülünün prbolik değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri Şekil 4.4. Terml genleşme ktsyısının prbolik değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri.. 64 Şekil 4.5. Young modülünün kübik değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri Şekil 4.6. Terml genleşme ktsyısının kübik değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri.. 65 Şekil 4.7. İnce küresel kbuğun geometrik prmetreleri.. 67 Şekil 4.8. Terml genleşme ktsyısı sbit ve Young modülü kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; L = π / 9 )... 7 Şekil 4.9. Terml genleşme ktsyısı sbit ve Young modülü kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde T in R/h ornın göre değişimi ( μ = ; L = π / 9 ).. 7 Şekil 4.. Young modülü sbit ve terml genleşme ktsyısı kuvvet krnα fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin T USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; L = π / 9 ) 7 Şekil 4.. Young modülü sbit ve terml genleşme ktsyısı kuvvet krnα fonksiyonu şeklinde değiştiğinde T USA nin R/h ornın göre değişimi ( μ = ; L = π / 9 ) 7 Şekil 4.. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; μ = ; L = π / 9 ). 75 Şekil 4.. Young modülü sbit ve terml genleşme ktsyısı her ikisi sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; μ = ; L = π / 9 ). 75 Şekil 4.4. Terml genleşme ktsyısı sbit ve Young modülü sbit ve krnh kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde T USA nin L çısın bğlı değişimi ( μ = ; R / h ).. 77 = krnh USA vi

9 Şekil 4.5. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve homojen elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışının L çısın bğlı dğılımı ( μ = ;R / h = ) Şekil 4.6. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışının L destekleyici çıy göre değişimi ( μ = ; μ = ; R / h = 5; ) 8 Şekil 4.7. Young modülü kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve μ = olduğund krnh T USA değerlerinin μ ktsyısın bğlı dğılımı ( = π / 9; R / h ) L = krnα Şekil 4.8. Homojen elstik kürenin T USA boyutsuz kritik sıcklık rtışının μ terml genleşme ktsyısın bğlı değişimi ( L = π / 9; R / h = ).85 Şekil 4.9. Terml genleşme ktsyısı değiştiğinde homojen olmyn elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının μ ve μ ktsyılrın bğlı dğılımı ( L = π / 9, π /8; R / h = ). 88 Şekil 4.. Terml genleşme ktsyısı sbit ve Young modülü kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde krnh USA T in H / ornın bğlı dğılımı ( μ, R / h = ).. 9 = Şekil 4.. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve Young modülü sbit olduğund elstik kürenin T boyutsuz kritik sıcklık rtışının H / ornın bğlı krnα USA dğılımı ( μ =, R / h = ).. 9 Şekil 4.. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı birlikte kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde T in H / ornın bğlı krnh USA değişimi ( μ =μ, R / h = ) = vii

10 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 4.. Değişik R/h ornı için homojen kürenin kritik dış bsınç yükü değerlerinin litertürdeki uygun sonuçlrl krşılştırılmsı. 66 Çizelge 4.. Homojen kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrı ile litertürdeki uygun değerlerin krşılştırılmsı (R/h=).. 67 Çizelge 4.. Terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışlrı ve uygun dlg syılrının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; L = π / 9 ) Çizelge 4.4. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve Young modülü sbit olduğund T ve uygun (m,n) dlg syılrının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; L = π / 9 ).. 7 Çizelge 4.5. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi kuvvet krnh fonksiyonu şeklinde değiştiğinde kürenin TUSA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; μ = ; L = π / 9 ) Çizelge 4.6. Terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının L destekleyici çıy göre değişimi ( μ = ; R / h = ).. 77 Çizelge 4.7. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde krnα değiştiğinde ve Young modülü sbit olduğund kürenin T USA boyutsuz kritik sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının L çısın bğlı değişimi ( μ = ;R / h = ) Çizelge 4.8. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi kuvvet krnh fonksiyonu şeklinde değiştiğinde T USA ve uygun (m,n) dlg syılrının değişik R/h ornlrı için L çısın bğlı değişimi ( μ = ; μ = ; R / h = 5; ).. 8 Çizelge 4.9. Terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit ve krh kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin T USA krnh ve T USA boyutsuz kritik sıcklık rtışlrı ve dlg syılrının μ e bğlı dğılımı ( L = π / 9; R / h = ) 8 Çizelge 4.. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve homojen elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının μ terml genleşme ktsyısın göre dğılımı ( = π / 9; R / h ) L = krnα USA viii

11 Çizelge 4.. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde kürenin T ve krh USA krnh T USA boyutsuz kritik sıcklık rtışlrı ve uygun dlg syılrının μ ve μ ktsyılrın bğlı dğılımı ( L = π / 9, π /8; R / h = ).. 87 Çizelge 4.. Terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının H / ornın bğlı dğılımı ( μ, R / h = ) = Çizelge 4.. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve Young modülü sbit olduğund kürenin krnα T USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının H / ornın göre dğılımı ( μ =, R / h = ) Çizelge 4.4. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı kuvvet krnh fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin T USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının H / ornın göre değişimi ( μ =μ, R / h = ). 9 = ix

12 SİMGELER DİZİNİ A i,i =,, Bilinmeyen sbitler ij (i, j =,,) Homojen olmyn mlzeme ve kbuk krkteristiklerine bğlı oln ktsyılr ij (i, j =,,) Homojen mlzeme ve kbuk krkteristiklerine bğlı oln ktsyılr C,C,C C Kbuk prmetrelerine bğlı ktsyılr d E E i j kb qc Homojen olmm fonksiyonunun derecesi Homojen olmyn mlzemenin elstisite modülü Homojen mlzemenin elstisite modülü e,e, e Geometrik lineer olmyn durumd küresel kbuğun ort yüzeyindeki norml ve kym deformsyonlrı e,e, e Geometrik lineer durumd küresel kbuğun ort yüzeyindeki norml ve kym deformsyonlrı H Küre kesitinin yüksekliği h Küresel kbuğun klınlığı M, M, M Geometrik lineer olmyn durumd moment bileşenleri, M, M M Geometrik lineer durumd moment bileşenleri m,n Meridyenel ve çevresel burkulm dlg syılrı q Dış bsınç yükü q kr Meknik burkulm yükü R Küresel kbuğun yrıçpı r,, Rdyl, çevresel ve enlemsel-meridyensel koordintlr T Sıcklık T (z) Klınlık koordintın bğlı sıcklık fonksiyonu krnh T USA Homojen olmyn izotrop sığ küresel kbukt terml genleşme ktsyısı değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı krnh USA T Homojen olmyn izotrop sığ küresel kbukt terml genleşme ktsyısı sbit olduğund boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı krnα T USA Homojen izotrop sığ küresel kbukt terml genleşme ktsyısı değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı krh T USA Homojen izotrop sığ küresel kbuk için boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı T, T,T Burkulm öncesi yükler,t, T T,T, T Geometrik lineer olmyn durumd kuvvet bileşenleri T Geometrik lineer durumd kuvvet bileşenleri b T Burkulm yükü x

13 u, v, w Küresel kbuğun ort yüzeyinde sırsıyl meridyenel, çevresel ve rdyl yer değiştirmeler z Küresel kbuğun klınlık koordintı α Homojen olmyn mlzemenin terml genleşme ktsyısı α Homojen mlzemenin terml genleşme ktsyısı i Mlzeme özelliklerine ve sıcklığın bğlı ktsyılr χ, χ, χ Geometrik lineer olmyn durumd ort yüzeyin ve doğrultulrı ve burulmsındki eğrilikleri χ, χ, χ, Geometrik lineer durumd ort yüzeyin ve doğrultulrı ve burulmsındki eğrilikleri Δ T Sıcklık değişimi ε, ε, ε Geometrik lineer olmyn durumd küresel kbuğun her hngi bir noktsındki norml ve kym deformsyonlrı ε ε ε Geometrik lineer durumd küresel kbuğun her hngi bir,, noktsındki norml ve kym deformsyonlrı L Küresel bölge çısı ϕ ( z) Elstisite modülünün sürekli değişim fonksiyonu ϕ ( z) Terml genleşme ktsyısının sürekli değişim fonksiyonu Λ i Difernsiyel opertörler λ Dlg syısı ve meridyensel koordint bğlı prmetre μ Elstisite modülü değişim ktsyısı μ Terml genleşme değişim ktsyısı ν Homojen mlzemenin Poisson ornı σ, σ, σ Geometrik lineer olmyn durumd küresel kbuğun ort yüzeyindeki norml ve kym gerilmeleri (,) Koordintlr göre kısmi türevler xi

14 . GİRİŞ Küresel şekle ship dönel kbuklr çğdş teknolojinin değişik lnlrınd; uçk svr ntenlerinin mukvemet elemnı olrk uzy rçlrınd, rkesit duvrı olrk denizltılrd, gemilerde vey geminin sonund konuln kpklrd, değişik mçlr için kullnıln çeşitli depolrın lt tbnınd vs. kullnılmktdır. Değişik mçl kullnıln bu tür küresel kbuklr, tsrım şmsınd değişik kontroller ypılmktdır. Bu kontrollerden en önemlilerinden biri meknik ve terml yükler etkisi ltındki küresel kbuklrın termo-elstik stbilite kontrolüdür. Kbuklrın üniform olmyn terml genleşmesi sonucund, kbukt bsınç gerilmesi ve bu gerilmeyi dengeleyen uzm terml gerilmesi meydn gelir. Bu durumd meknik dış kuvvetler olmdığınd d terml bsınç gerilmesi etkisi ltınd küresel kbuklrd stbilite kybı meydn gelebilir. Terml gerilme etkisi ltınd küresel kbuklrın tepki problemlerinin çözümünde termodinmik yöntemlerin ynı sır mekniğin genel teoremlerine dynn enerji yöntemi de kullnılbilir. Bu tez çlışmsınd enerji yöntemi kullnılmktdır. Terml yükler ltındki küresel kbuklrın oluştuğu mlzeme büyük öneme shiptir. Son yıllrd homojen olmyn mlzemeler değişik lnlrd sıkç kullnılmktdır. Mlzemelerin homojen olmmsı doğl ve ypy nedenlerden olbilir. Bu tür mlzemeler sıcklığ dh dynıklı olm özelliğine shiptirler. Ayrıc, terml cillmlr, üretim teknikleri mlzemenin özelliklerini noktdn nokty değiştirir ve nokt koordintlrının sürekli fonksiyonu ypr. Mlzemenin homojen olmmsı d kritik terml yüklere önemli derecede etki etmektedir. Ypıln kpsmlı litertür trmsı homojen olmyn mlzemeden oluşn elstik küresel kbuğun terml burkulm problemlerinin çlışılmdığını orty koymuştur. Bu tez çlışmsınd söz konusu eksiklik giderilmeye çlışılmıştır.

15 .. Tezin Önemi Günümüz teknolojisinde küresel kbuklrın kullnım lnının genişlemesi ile meknik ve terml yükler etkisi ltındki küresel kbuklrın burkulm problemlerinin incelenmesi rştırmcılrın ilgi odğı hline gelmiştir (Volmir, 967; Kpln, 974; Moris, 996). Uzy endüstrisinde kullnıln homojen olmyn mlzemeler şırı yüksek sıcklıklr ve son derece büyük terml değişimlere mruz kldığındn, homojen olmyn küresel kbuklrın terml burkulm problemlerinin çözümünü ve sıcklık frkı burkulm yükünün bulunmsını dh d önemli kılmktdır (Ooto nd Tnigw, 994; Lutz nd Zimmermn, 996; Wng et. l., ; Eslmi et. l., 5; Shen nd Nod, 7; Sofiyev et. l., 9). Günümüzde, nno teknoloji kullnılrk yeni homojen olmyn mlzeme türlerinin oluşturulmsı ve ypı elemnlrınd bu mlzemelerin sıkç kullnılmsı yeni hesp yöntemleri ve stbilite nlizleri ypılmsını gerektirmektedir. Bu nlizler esnsınd mlzeme özelliklerinin homojen olmmsının mtemtiksel modelinin oluşturulmsı ve mlzemenin homojen olmmsı fktörünün dikkte lınmsı, ypı elemnının bütünlüğü, dynklığı ve güvenilirliği çısındn zorunlu hle gelmiştir. Ayrıc, üretim tekniği, rdysyon etkisi, termik ve yüzeysel cillmlr vs. mlzemenin homojenliğini bozn fktörlerdir. Bu durumd mlzeme özellikleri noktdn nokty sürekli, prçlı sürekli ve rstgele değişir ve noktnın uzy koordintlrının sürekli, prçlı sürekli ve rstgele fonksiyonlrı olbilir (Lomkin, 976; Delle nd Erdogn 98; Khoroshun, 988; Ooto nd Tnigw, 7; Sofiyev et. l., 9b). Homojen olmyn mlzemeler, diğer üstün özelliklerinin ynı sır sıcklığı çok iyi korumsındn dolyı çok fzl dikkt çekmiştir. Oys homojen olmyn elstik küresel kbuğun terml yükler etkisi ltınd burkulm problemleri henüz yeterince çlışılmmıştır. Homojen olmmnın dikkte lınmsı küresel kbuklrın rdyl terml bsınç yükü etkisi ltınd burkulm probleminin çözümünü dh d krmşık hle getirmektedir. Bu nedenle, homojen olmyn küresel kbuklrın rdyl terml

16 bsınç yükü etkisi ltınd burkulm krkteristiklerinin elde edilmesi ile ilgili kesin, doğru ve güvenilir bir nliz geliştirmek zorunlu hle gelmektedir... Tezin Amcı Bu çlışmd sürekli homojen olmyn sığ küresel kbuğun üniform terml yük etkisi ltınd burkulm problemi ele lınmktdır. Önce, klınlık doğrultusund sürekli homojen olmyn izotrop mlzeme özelliklerinin ve terml genleşme ktsyısının nlitik modelleri oluşturulmkt ve bu modellerin grfiksel ve syısl gösterimi ypılmktdır. Problemin formülsyonund Kirchhoff-Love nin birinci mertebeden kbuk teorisi kullnılmkt ve gerilme-deformsyon bğıntılrınd Hooke kurlı dikkte lınmktdır. Donnell Mushtri Vlsov (DMV) vrsyımlrı ve Snders doğrusl olmyn gerilme-yer değiştirme bğıntısı kullnılrk kuvvet ve moment bileşenleri bulunmktdır. Sonr homojen olmyn mlzemelerden oluşn küresel kbuklr için terml genleşme ktsyısı d dikkte lınrk terml yükleme ltındki küresel kbuğun toplm potnsiyel enerji fonksiyonu zr, eğilme ve terml gerilme enerjilerinin toplmındn elde edilmektedir. Toplm potnsiyel enerji fonksiyonunun ikinci vrysyonun Euler denklemleri uygulnrk üç yer değiştirme fonksiyonun bğlı olrk stbilite denklemleri elde edilmektedir. Üç yer değiştirme fonksiyonun bğlı olrk elde edilen stbilite denklemleri bsit mesnetli sınır koşulun göre çözülmektedir. Üniform sıcklık rtışı ltındki küresel kbukt T( z) ΔT = göz önüne lınmktdır. Terml genleşme ktsyısı klınlık doğrultusund değişken olduğund sürekli homojen olmyn sığ küresel kbuğun boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı için nlitik ifde bulunmktdır. Söz konusu ifde dlg syılrın göre minimize edilerek boyutsuz kritik üniform sıcklığın minimum değeri bulunmktdır. Özel durumlrd sbit ve değişken terml genleşme ktsyılrı için homojen izotrop küresel kbuğun boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı için ifde elde edilmektedir.

17 Syısl hesplr kısmınd MAPLE bilgisyr progrmı kullnılrk, çelik mlzeme elstisite modülü ve uygun terml genleşme ktsyısının klınlık koordintlrın bğlı kuvvet fonksiyonu şeklinde değişiminin ve kürenin geometrik prmetreleri değişiminin kritik sıcklık rtışın etkileri syısl olrk incelenmektedir. Bu çlışmnın geçerliliği için elde edilen sonuçlr litertürde sunuln çözümlerle krşılştırılmış ve doğruluğu knıtlnmıştır. 4

18 . KAYNAK ÖZETLERİ Bu bölümde tez çlışmsı ile ilgili, son yıllrd yyınlnmış homojen ve homojen olmyn elstik küresel kbuklrın meknik ve terml yükler etkisi ltınd stbilite ve titreşimi ile ilgili çlışmlrın kıs özetleri sunulmuştur. Bunun ynı sır tez konusu ile ilgili oln temel kitplr, teorik ve deneysel çlışmlrdn d kısc bhsedilmektedir... Homojen Küresel Kbuklrın Meknik Yükler Etkisi Altınd Stbilite ve Titreşim Problemleri ile İlgili Mkle Özetleri Küresel kbuklr gemilerde vey geminin sonund kpk olrk kullnılırlr. Dizyn şmsınd değişik kontroller ypılmktdır. Bu kontrollerden en önemlilerinden biri meknik ve terml yükler etkisi ltındki küresel kbuklrın stbilitesidir. Açık litertürde meknik yükler etkisi ltındki homojen küresel kbuklrın burkulm nlizleriyle ilgili çok syıd çlışm vrdır. Önce homojen kbuklrın meknik yükler etkisi ltındki stbilite problemleri ile ilgili çok önemli bzı çlışmlr göz tlım: Dış bsınç ltındki küresel kbuğun elstik burkulm sonrsı dvrnışı oldukç dikkt çekici bir şekilde Krmn t. l. (99) trfındn orty konmuştur. Reissner (955) çlışmsınd, sığ küresel kbuğun eksenel simetrik titreşim problemini ele lmış ve titreşim freknsı için değerlendirmelerde bulunmuştur. Budinsky (959), kesik küresel kbuklrın burkulmsını çlışmıştır. Kbuğun stbilite denkleminin çözümünde syısl yöntem kullnmıştır. Çlışm, doğrusl olmyn eksenel simetrik ön burkulm çözümünü tkiben doğrusl özdeğer problemiyle ilgilidir. 5

19 Klnins nd Nghdi (96) çlışmsınd, enine kesme ve dönel tletin etkilerini içeren teoriye dynn, zmnl değişen yük ltındki sığ küresel kbuğun eksenel simetrik titreşimlerini incelemişlerdir. Kbuk kenrlrındn sbitlenmiş sınır ve bşlngıç koşullrını sğlyn hreketin difernsiyel denklemlerini Fourier-Bessel serilerinin terimleri şeklinde çözmüşlerdir. Yoğunlştırılmış çevresel yük, yoğunlştırılmış merkezi yük ve simetrik yyılı yükün özel hllerini yrıc incelemişlerdir. Murry nd Wright (96) çlışmsınd ince küresel kbuğun dış bsınç yükü etkisi ltındki burkulm problemini incelemiştir. Weinitschke (96), ince sığ küresel kbuklrın simetrik olmyn burkulmlrını nliz etmiştir. Simetrik olmyn stbilite denklemleri ve syısl sonuçlrın çıkrılmsını elde etmede kuvvet serileri yöntemini kullnmıştır. Krenzke nd Keirnn (96) ve Hung (964) çlışmlrınd ince sığ küresel kbuklrın simetrik olmyn burkulmlrı üzerine çlışmışlr. Hung dn önce, eksenel simetrik burkulm teorisine dynn teorik thminler ve burkulm bsıncının deneysel gözlemleri rsınd uyuşmzlıklr bulunmuştur. Bu teori ile elde edilen burkulm bsınçlrı krşılştırıln deneysel sonuçlr gibi çok yüksektir. Hung uyuşmzlığın kynğı oln kbuk ve simetrik olmyn burkulmnın bşlngıç kusurlrını buldu. Hung ın çlışmsı Weinitschke (96) nin çlışmsındki deneysel ve teorik frklılığın ciddi uyuşmzlığını indirgemiştir. Anck, elde edilen bzı test verileri kullnılrk çok kusursuz iml edilmiş kbuklrd teorik thminlerle kbul edilebilir uyuşm olduğu görülmektedir. Penning nd Thurston (965) yoğun yük ltındki sığ küresel kbuklrın bşlngıç burkulm sonrsı nlizleri üzerine çlışmışlrdır. Ypıln nlizler göstermektedir ki simetrik olmyn dvrnış geçişte olduğu gibi kbuk yük-tşım kpsitesini koruduğunu göstermektedir. Bu çlışmd, yoğunlştırılmış yük ltındki sığ küresel bşlıklrd deneysel ve teorik çlışm gerçekleştirilmiştir. Alüminyum numuneler dış kenrlrındn kesilmişlerdir ve frklı kesit lnlı yük tipleri kullnılrk test 6

20 edilmişlerdir. Eksenel simetrik spmlr için Reissner in denklemlerinin syısl çözümlerinin sonuçlrı deneysel ölçümlerle uyum içerisindedir. Deneysel veriler; eksenel simetrik olmyn spmlr, üst ve lt kritik burkulm yükleri, burkulm öncesi ve burkulm sonrsı spmlr ve çeşitli kritik yük kümelerinin mevcudiyeti için orty çıkmktdır. Bu problemde, eksenel simetrik denge durumlrıyl kesişen simetrik modlrd, çtllnmış yüklerin syısl çözümlerini hesplmk için simetrik burkulm thmini ihml edilmiştir. Yoğunlştırılmış yükün tepe noktsındki durum için Bushnell (967) burkulmyı nliz etti. Bu çlışmd sonlu ön burkulm deformsyonlrı, yoğunlştırılmış ve hlk yükler ltındki küresel kbuğun dllnm yüklerinin hesplnmsı mcıyl oluşturulmuştur. Bölgeye yönlendirilmiş noktsl yüklü nkstre bşlıklr hli için, Penning nd Thurston un (965) test sonuçlrıyl iyi bir uyum elde edilmiştir. Ayrıc hesplmlr dllnmnın tm küresel kbuk durumund çevresel dlg orty çıkrdığını göstermektedir. Boyutsuz yük prmetresi PR/Et ün kritik değeri, R/t nin den büyük olduğu durumd yrıçp-klınlık R/t ornındn bğımsızdır, fkt R/t zldıkç zlmktdır. Küresel kbuklr, yüklerde 8 çevresel dlgy bğlı dış yönlendirilmiş noktsl yüklüdür, 4 kere kritik bölgeye yönlendirilmiştir. Hlk üzerine gerilme yükü uygulnıp çp rttığınd, kritik yük rtr, çevresel dlg syılrı rtr ve sonuçlr doğrusl olmyn teoriden gelen doğrusl teori yklşımındn gelmektedir. Fitch (968), burkulm sonrsıyl birlikte burkulm dvrnışını çlıştı. Bu çlışmd yoğunlştırılmış yük ltındki nkstre sığ küresel kbuklrın elstik burkulm ve ilkel burkulm sonrsı dvrnışı göz önüne lınmıştır. Asimetrik dönme modelinin içerisinde dllnm, simetrik erken-burkulmdn önce olmdıkç kbuğun rtn klınlık ornı röltif klın kbuklrl ilgili olrk sınırlı rlıkt değiştiği bulunmuştur. İlkel burkulm sonrsı nlizler göstermektedir ki simetrik dvrnış geçişte olduğu gibi kbuk yük tşım kpsitesini korumktdır. Bu sonuçlrın mevcut deneysel verilerle uyum içinde olduğu gösterilmiştir. Çlışmd, kbuk klınlığı mutlk kritik değerden küçükse, eksenel simetrik nlık burkulm için 7

21 gereken dh küçük yükte, simetrik olmyn dllnm orty çıkbildiği bulunmuştur. Grossmn et. l. (969) çlışmsınd, küresel kbuklrın doğrusl olmyn titreşim nlizlerini incelemişler. Ayrıc, Fitch nd Budinsky (97) yoğunlştırılmış diresel bölge tepesi boyunc üniform yüklenmiş m bşlığın tümüne uznmyn kesik küresel bşlık durumu için çözümler elde etmişlerdir. Bu çlışmd, eksenel simetrik yük ltındki nkstre sığ küresel kbuklrın elstik burkulm ve ilkel burkulm sonrsı dvrnışı incelenmiştir. Anlizler ln boyunc üniform olrk dğıln burkulm ve burkulm sonrsın bğımlı dvrnış için ypılmıştır. Yüklü bölgenin rtn lnı, eksenel simetri ek bileşeni ile simetrik çtllnmdn gelen burkulm dvrnışı değişiklikleri ve sonr simetrik çtllnm için bulunmuştur. Bu simetrik burkulm ile ilişkili küçük yüklü ln, yük tşım kpsitesini koruyn gerçek kbuk trfındn krkterize edilmiştir. Nispeten büyük yüklü lnl ilişkili çtllnm için tersi geçerlidir. Bsit bir kriter belirlemek için meydn gelecek yük tşım kpsitesindeki kyıp, kbuğun yrıçp ve klınlık terimleri ile belirlenmiştir. Yük tşım kpsitesinde bir zlış olup olmdığını belirlemek için kbuğun yrıçpı ile klınlığı ve kbuk temel düzlemi üzerinde yüklenmiş bölgenin tsrımı merkezinin terimleri şeklinde bsit bir kriter oluşturulmuştur. Yüklü bölgenin lnı rttıkç deformsyon modu ile ilgili olrk stbilitenin kybı simetrik olmyn dllnmdn eksenel simetrik ek bileşeni ile değişmektedir ve sonr simetrik olmyn dllnmy geri döndüğü tespit edilmiştir. Akks (97) üniform kdemeli bsınçlr ltındki küresel bşlıklrın simetrik olmyn burkulm dvrnışını zmn dondurm tekniğini kullnrk çlışmıştır. Gu (99), ortsı delikli kesik sığ küresel kbuklrın burkulm dvrnışı üzerine çlıştı ve deliğin burkulm dvrnışı üzerinde frklı yrıçplı ve iki çeşit sınır şrtlı etkisini inceledi. 8

22 Gonclves (994), eksenel simetrik bşlngıç geometrik kusurlrın etkisini ve kesik sığ küresel kbuklrın doğl freknslrı üzerinde doğrusl olmyn gerilme bsınç durumu etkilerinin incelemesini sğlmk için, dördüncü mertebeden Mguerre ın sığ kbuk denklemlerini kullndı. Aquilno t. l. (998) çlışmsınd, küresel simetrik kbuğun merkez yer çekim potnsiyeline tşınmsının hreket denklemlerini Newton-sonrsı yklşım kurlını ve Schwrzschild metrik ve Vidy metrik kullnılrk bulmuşlrdır. Nth nd Sndeep (998) çlışmsınd, üniform yyılı yük etkisi ltındki kutupsl ortotropik ntisimetrik tbklı, kısmen klın sığ küresel kbuklrın sttik ve dinmik burkulm problemini ele lmıştır. Enine kym ve döner tletin etkileri göz önüne lınrk, büyük deformsyonlr için kbuk hreketinin temel denklemleri türetilmiştir ve norml dönme, eğim ve gerilme terimleriyle ifde edilmiştir. Chebyshev seriler tekniği uzysl yrıştırm için kullnılmıştır ve Houbolt plnı zmnsl yrıştırm için kullnılmıştır. Bsmk fonksiyonu yüklemesi göz önüne lınrk nkstre ve bsit mesnetli hreketsiz tbklı küresel kbuklrın her ikisi de nliz edilmiştir. Antisimetrik tbklı kbuklrın enine kym, döner tlet, kbuk yükselmesi, temel yrıçp klınlık ornı ve mlzeme özelliklerinin sttik ve dinmik ek bileşenli burkulmsı üzerine etkileri incelenmiştir. Chen nd Ding (), çok tbklı küresel izotropik delikli kürenin serbest titreşimi için üç boyutlu nlizi koşul-ln yöntemi kullnılrk gerçekleştirmişlerdir. Üç yer değiştirme fonksiyonunun ve iki gerilme fonksiyonun tnımıyl çeşitli ktsyılı iki bğımsız koşul denklemleri geliştirilmiştir. Sonrd Tylor un genişleme teoremi iki koşul denklemlerinin çözümlerini bulmk için uygulnmış ve her tbknın üst ve lt yüzeylerinde durum değişkenleri rsındki bğıntılr oluşturulmuştur. Değişken değiştirme tekniği türevleri dh doğl ve sde ypmk için kullnılmıştır. İki bitişik tbk rsındki süreklilik şrtlrı nedeniyle, çok tbklı delikli kürenin iç ve dış yüzeylerindeki sınır değişkenleriyle ilgili iki küme lineer cebirsel denklemler elde edilmiştir. Sonr serbest titreşimler için frekns denklemleri sunulmuştur. 9

23 Fok nd Allwright () bu çlışmd, elstik mlzemeye gömülü ve uzk lndn hidrosttik bsınç yüklü küresel kbuğun elstik burkulmsını enerji yöntemi ile birlikte Ryleigh-Ritz deneme fonksiyonunu kullnrk nliz etmişlerdir. Kolylık için sdece eksenel simetrik deformsyonlr dikkte lınmıştır ve gerilmeli burkulm vrsyılmıştır. Ypının içindeki kritik öncesi gerilmeler doğrusl teorinin uygulnbilmesi için küçük kbul edilmiştir. Burkulm mod syısındki bsınç yüküne göre ifdeler türetilmiş, kritik yükün üst sınırı belirlenmiştir. Elstik ortmın etrfı srmsı kbuğun kritik yükünü ve kritik yüke krşı gelen burkulm mod syısını rttırdığı bulunmuştur. Niordson () simptotik genişlemeyle üç boyutlu elstik küresel kbuk için iki boyutlu denklemleri türetmiştir. Sonuç denklemleri kbuğun klınlığınd kuvvet serileri şeklinde sunulmuştur. Sonuçlr, üç boyutlu çözüm olrk bilinen yöntem için tm uyum sğlmıştır. Golub et. l. () çlışmsınd, iç bsınc mruz ince küresel kbuklrın gerilmebsınç durumund bşlngıç etkinin eliptiklik ve ortotropik kompozitlerin lineer olmyn özelliklerini incelemişledir. Syısl sonuçlrd ypıln nlizler, bşlngıç eliptikliğin n kbuk kenrının iç yüzeyi üzerine bsıncını orty koymktdır. Ory t. l. () çlışmsının birinci bölümünde klsik yklşım yöntemi ve deneysel fktörler kullnılrk hrici hidrosttik bsınç yükü ltındki ince cidrlı küresel kbuğun optimizsyonu sunulmuştur. İkinci bölümde bilinen kusurlrın etkisi rştırılmıştır. İnce cidrlı küresel kbuklr dış bsınç yükü ltındyken geometrik kusurlr çok hsss olduğu tespit edilmiştir. Wng t. l. (), keyfi klınlıklı ortotropik tbklı küresel kbuklrın gerilme dlg yyılımı için elsto-dinmik çözüm sunmuşlrdır. Her bir yrı ortotropik küresel kbuk için elsto-dinmik denklemler Hnkel ve Lplce dönüşümleri vsıtsıyl çözülmüştür. Sonr, r yüzey süreklilik koşullrı tbklı kbuklrın iç ve dış yüzeylerinde tbklr ve sınır koşullrı rsınd kullnılrk bilinmeyen sbitler sptnmıştır. Böylece keyfi rdyl dinmik yüke mruz ortotropik tbklı küresel kbuklrın gerilme dlg yyılımı için tm çözüm elde edilmiştir. Stbilite denklemleri toplm potnsiyel enerji fonksiyonelinin ikinci vrysyonu dikkte

24 lınrk elde edilmiştir. FGM den ypılmış sığ küresel kbuğun terml burkulm yükleri üç tip terml yükleme ltınd elde edilmiştir. Sonuçlr litertürde bilinen verilerle doğrulnmktdır. Hughton nd Kirkinis () mklesinde, Chen ve Hughton trfındn sunuln lineer olmyn stbilite nlizlerini elstik klın-tbklı kürenin homojen olmyn küresel simetrik deformsyonunun nonlineer stbilitesi çlışmsın uygulmışlrdır. Kbuk keyfi homojen sıkıştırılmz elstik mlzemeden oluşmktdır. Stbilite kriteri eninde sonund üçüncü mertebeden lineer olmyn tipik difernsiyel denklemlerin çözümünü gerektirmektedir. Syısl hesplmlr iyi bilinen sıkıştırılmz mlzemelerin geniş değişimi için verilmiştir, sonr mevcut bifurksyon sonuçlrıyl krşılştırılmıştır ve ynı sonuçlr elde edilmiştir. Ayrıc stbilite ve bifurksyon rsındki krşılştırm ve nlizler ince kbuk durumu için ele lınmıştır ve doğrudn hesplm ile iki kriterin yni tüm modlrın ve tüm mlzemeler için iki kriterin ynı olduğu knıtlnmıştır. Li et. l. () bu mklede, üniform yyılı enine yükler ltındki sığ küresel kbuğun büyük dönme denklemleri esnek deformsyond enine kym deformsyon etkileri göz önüne lınrk sunulmuştur. Güncellenmiş itersyon yöntemi kullnılrk sığ küresel kbuğun lineer olmyn stbilitesi için nlitik çözümler elde edilmiştir. İki tip sınır koşulu için thmin edilen kritik burkulm yükleri formüle edilmiştir. Kritik burkulm yüklerindeki fiziksel prmetreler ve geometrinin etkisi trtışılrk sunulmuştur. Chen nd Li (4) bu çlışmd, üniform yük ltındki sığ küresel kbuklrın lineer olmyn stbilite problemini serbest-prmetreli krışıklık yöntemini uygulyrk çözmüşlerdir. Değiştirilmiş krışıklık yöntemde olduğu gibi, serbest-prmetreli krışıklık yöntemi de rştırmcılr kesin krışıklık prmetresinin seçimi dışınd tüm krkteristik bğıntılrın elde edilmesine imkân sğlmktdır. Bzı örneklerde, burkulm sürecinde kbuklrın gerilme ve dönmelerinin çeşitli kurllrı çlışılmıştır ve sonuçlr diğer rştırmcılrl krşılştırılmıştır.

25 Voyidjis nd Woelke (4) çlışmsınd, klın küresel kbuklr için teori sunmuşlrdır. Sunuln formülsyonlr sırsıyl; ttmin edici sınır şrtlrınd düzlemsel gerilme bileşenlerinin göz önüne lınmmsın, denge denklemlerinin integrl formlu üç boyutlu elstisite denklemlerine ve gerilme bileşkelerine dynmktdır. Jonik (5) çlışmsınd çevresel uniform olmyn yyılı yüzey yükü ltındki küresel kbuğun stbilite problemini çlışmıştır. İnce cidrlı küresel kbuk sbit ve üst kenrdn bğlıdır. Alt kenr düzlemde rijit zr trfındn kptılmıştır. Kbuk uniform olmyn yyılı yüzeysel kuvvetler trfındn yüklenmiştir. Kbuğun stbilite kybı problemi enerji yöntemi kullnılrk çözülmüştür. Stbilite kybı sırsınd kbuktki toplm enerji değişimi belirlenmiştir. Kuvvet fonksiyonunun ktsyılrı Bubnov-Glekin yöntemiyle krşılştırılrk çözülmüştür. Toplm enerji vrysyonlrı için kbuğun stbilite denklemleri Ritz metodunun uygulnmsıyl formüle edilmiştir. Kritik yükün belirlenmesi için cebirsel denklemler sunulmuştur. Vylkov t. l. (5) çlışmsınd, üniform dış bsınç yükü ltındki üç tbklı küresel kbuğun stbilite kybındki modlrını ve kritik yükleri çlışmışlrdır. İnce kbuklrın eğilmelerinde Kirchoff-Love teorisinin iki boyutlu denklemleri kullnılmıştır. Anlitik çözümlerde tm uyum elde edilmiştir. Thoms t. l. (5) mklede, serbest mesnetli ince küresel kbuklrın doğrusl olmyn titreşimlerini çlışmışlrdır. Büyük enine yer değiştirmeye mruz sığ küresel kbuğun titreşimlerini nliz etmişlerdir. Büyük dönmeli levhlrd von Krmn teorisinin ince sığ kbuklr için olnı kullnılmıştır. Serbest mesnedin özel hlleri dikkte lınmıştır. Lbisch (6), hidrosttik bsınç yükü etkisi ltınd tmmı sıkıştırılmz lineer olmyn elstik küresel kbuklrın eksenel simetrik kusttik burkulm dvrnışını çlışmıştır. Kbuklr eğilmeye, kesmeye ve ort yüzeyden sıkıştırmy imkân vermektedir. Küçük çözümler dikkte lındığınd klınlık değişimi orty çıkmktdır. Geometrik lineer teori ve δ klınlık prmetresini kpsyn üç boyutlu

26 model kullnılmktdır. Yklşım kollr yyıln dllnmdki bsınç şiddetini vermekte, nitel ve nicel kısmi çözüm dvrnışıyl ilgili bilgiye imkân sğlmktdır. Çlışmd syısl sonuçlr sunulmuştur. Touze nd Thoms (6) çlışmsınd serbest mesnetli sığ küresel kbuklrı incelemişlerdir. Levhlrın büyük dönmeleri için von Krmn ın ince sığ kbuk teorisine benzer teori kullnılmıştır. Kushnir t. l. (7) çlışmsınd, yüzey çtlğı ve klınlık boyunc üniform olmyn elstoplstik küresel kbuğun sınırlı dengesinin problemi bsit integrl denklemleri sistemine indirgemişlerdir. Bu sistemin syısl çözümünün lgoritmsınd, çtlğın gerilme dolylrındki sınırlndırılmmış şrtlrı ve ince kbuğun plstisite şrtlrı dikkte lınmıştır. Fonksiyonel homojen olmyn mlzemenin meknik prmetreleri ve iç bsıncın, çık yer değiştirme ve plstik şeritin uzunluğu üzerine devm eden etkisi incelenmiştir. Polykov et. l. (7) kplı küresel serbest titreşim problemini ele lmışlrdır. Kbuk için tek boyutlu (yrıçp boyunc) dlg probleminin sonlu çözümü türetilmiştir ki bu sıvının rdyl titreşimleri için oln çözümden frklıdır. Çözüm, üç küresel tbknın titreşimleri için model kurmd kullnılmıştır. Titreşimin yklşık versiyonlrı önerilmiştir, bu öneriler iç tbksı klın yumuşk kplı ince rijit tbklı kbuk modeline dynmktdır. Yumuşk çekirdeğin serbest titreşimlerinin dinmik problem çözümü değişkenlerine yırm yöntemi ile elde edilmiştir. İnce tbk yüzeylerinin elstik reksiyonlrı sınır koşullrı olrk lınmıştır ki bu krışık sınır koşulu ltındki ort tbknın titreşimine göre üç tbknın dinmikliğini zltmy imkân sğlmktdır. Serbest titreşim probleminin öz değeri için soyut denklemler türetilmiş ve nliz edilmiştir. Tbk klınlığı etkisinin grfiksel tnımı ve krışık sınır koşullu problemin öz değerinin spektrum üstündeki elstik özellikleri sunulmuştur. Tbk yüzeylerinin rijitliğine krşı gelen n öz frekns ve sndviç kbuk duvrın krkteristik geometrik prmetreleri için bğıntılr elde edilmiştir.

27 Jones t. l. (8), sonsuz lineer elstik ortm kusursuz bğlı ince küresel lineer elstik kbuğun problemini dikkte lmışlrdır. Eksenel simetrik gerilme ln sbiti ve yer değiştirme ile gerilme lnı kbuk ve mtriste hrmonik potnsiyel fonksiyon şeklinde değerlendirilmiştir. Bu çözümün stbilitesini incelemek mcıyl deformsyon mruz kln kbuğun burkulm problemi dikkte lınmıştır. Koiter in lineer olmyn sığ kbuk teorisi kullnılrk eksenel simetrik oln burkulm örnekleri ile sınırlndırılmış ve Ryleigh Ritz kullnılrk Legendre fonksiyonlrının sonsuz serilerinde burkulm örneklerine genişletilmiştir, sonsuz serilerin ktsyılrı için öz değer problemi çözülmüştür. Bu sistem, kbuğun dvrnışını nliz etmek için syısl olrk çözülmüştür, kbuk burkulmy mruz klırs, kritik burkulm gerilmesi için iki durum orty çıkr yni hem tek eksenli hem de rdyl olduğund kbuk deliklidir ve gerilme sonsuzluktdır. Kondrtenko (8), ön germeli boşluklu küresel kbukt diresel deliğin etrfındki gerilmeleri, Fourier-Legendre serilerindeki bilinmeyen fonksiyonlrın genişletilmesiyle bulmuştur. Mksimyuk nd Mulyr (8) çlışmsınd, iki boyutlu problemlerin orty çıkn birkç nitel ve nicel meknik etkilerini çözmüşlerdir. Sıkıştırm lnı, iç bsınç ltındki dikdörtgen eliptik delikli ince kbuktn oluşbilmektedir. Dış kenrlr konumlrı ve boyutlrı üzerinde güçlü etkiye shiptirler. Bzı durumlrd, delik ynınd sbitlenen dış köşe gerilme durumund rijitlenebilmektedir. Polykov t. l. (8) çlışmsınd, kplı küresel kbuğun klınlığı boyunc serbest titreşimleri çlışmışlrdır. Kbuk için tek boyutlu (yrıçp boyunc) dlg problemine göre sonlu çözümler türetilmiştir ki bu sıvının rdyl titreşimleri için oln çözümden frklıdır. Çözüm, üç küresel tbknın mfsl titreşimleri için model kurmd kullnılmıştır. Titreşimli hreketin yklşık versiyonlrı önerilmiştir bu öneriler iç tbksı klın yumuşk kplı ince rijit tbklı kbuk modeline dynmktdır. Yumuşk çekirdeğin serbest titreşimlerinin dinmik problem çözümü değişkenlerine yırm yöntemi ile elde edilmiştir. İnce tbk yüzeylerinin elstik reksiyonlrı sınır koşullrı olrk lınmıştır ki bu krışık sınır koşulu ltındki ort 4

28 tbknın titreşimli hreketine göre üç tbknın dinmiklerini zltmy imkn sğlmktdır. Serbest titreşim probleminin öz değeri için soyut denklemler türetilmiş ve nliz edilmiştir. Tbk klınlığının etkisinin grfik tnımı ve krışık sınır koşullu problemin öz değerinin spektrum üstündeki elstik özellikleri sunulmuştur. Tbk yüzlerinin rijitliğine krşı gelen ess öz frekns ve sndviç kbuk duvrın krkteristik geometrik prmetreleri için bğıntılr elde edilmiştir. Ibrgimov nd Pelinovsky (9) ince küresel kbukt sıkıştırılmz kışkn sıvının doğrusllştırılmış stbilitesini, küre üzerine iki-boyutlu Nvier-Stokes denklemlerini kullnrk çlışmışlrdır. Küre üzerindeki sbit kım kürenin kuzey ve güney kutuplrınd iki tekilliliğe shiptir (zlmk ve kynk). Doğrusllştırılmış Nvier- Stokes denklemleri için sbit kımın simptotik olrk krrlı olduğunu nlitik olrk isptlmışlrdır. Küresel tbk iki simetrik hlk rsındn kesildiğinde, kuvvet serileri çözümleri kullnılrk doğrusllştırılmış denklemlerin syı olrk öz değerleri bulunmuş ve sbit kım simptotik olrk tüm Reynolds syılrı için sbit kldığı görülmüştür. Lee (9) çlışmsınd, sözde spektrl yöntem, küresel kbuklrın eksenel simetrik ve simetrik serbest titreşim nlizlerine uygulnmıştır. Yer değiştirme ve dönmeler Chebyshev polinomlrı ve Fourier serileri şeklinde ifde edilmiş ve hreket denklemleri burulm dlg syılrının terimleri şeklinde elde edilmiştir. Syısl örnekler nkstre, mfsllı ve serbest sınır koşullrı için elde edilmiştir. Sonuçlr litertürdeki verilerle uyum içerisindedir. 5

29 .. Homojen Küresel Kbuklrın Terml Yükler Etkisi Altınd Stbilite ve Titreşim Problemleri ile İlgili Mkle Özetleri Terml yükler eksi ltınd homojen küresel kbuklrın stbilite problemleri meknik yüklere kıysl dh sonr ele lınmsın rğmen çğdş teknolojide çok önemli yere shiptir. Terml yükler etkisi ltınd homojen küresel kbuklrın stbilite problemleri ile ilk dönemlerde ypıln önemli yyınlr hızlıc göz tlım: Aggrwl nd Sibel (97), bsit mesnetli bimetlik sığ küresel kbuklrın terml krrsızlığı üzerine çlışm yürütmüştür. Bu çlışmd bsit mesnetli bimetlik sığ küresel kbuğun terml stbilitesi göz önüne lınmıştır. Sdece dönmenin rotsyonel simetrik modlrı göz önüne lınmıştır. Kbuğun mlzeme özelliklerine bğlı mümkün burkulmlr için minimum değer bulunmuştur. Kbuğun köşeleri nkstre vrsyılırs burkulm mümkün olmdığı sonucun vrılmıştır. Cheung et. l. (974), homojen ve izotropik özellikli delikli kürenin geçici terml gerilme problemini nlitik olrk çözmüşlerdir. Cheung et. l. y doğrultusu boyunc çeşitli terml sınır şrlrı kbul etmişlerdir ve problemi potnsiyel fonksiyon yöntemi ile çözmüşlerdir. Eksenel simetrik sıcklık değişimi Boley ve Weiner trfındn verildiğinden dolyı Willims (977) küresel kbukt temel gerilme ve yer değiştirme denklemlerini dikkte lmıştır. Willims, büyüklük yöntemiyle nlizlerinin birleştirilmesinde olduğu gibi krşılştırmlı simtotik genişleme yöntemiyle ince küresel kbuklrın denklemlerine göre termoelstik çözümler sunmuştur. Formül için hesplnn meridyenel ve çevresel gerilme bileşenleri yeterince ince küresel kbuklr için sunulmuştur. Jyrmn nd Ro (978), üniform sıcklık ve sıcklık klınlık boyunc doğrusl değiştiğinde küresel kbuk ve konik ğızd gerilme vrysyonlrını hesplmışlrdır. Bu çlışmd konik ğızlı küresel kbuğun terml gerilme problemi kontinuum yklşımı kullnılrk çözülmüştür. Terml yükleme düzenli sıcklıktn meydn 6

30 gelmektedir ki bu küre ve konik ğızlığın iç ve dış yüzeyinde üniformdur fkt klınlık boyunc doğrusl olrk değişebilmektedir. Terml gerilme problemi eşdeğer sınır değerli probleme dönüştürülmüştür ve sınır değerleri küresel kbuk ve konik ğızlığın bğlntı noktsınd belirtilmiştir. Gerilmeler sıcklıktki üniform rtışı ve kbuğun klınlığı boyunc ısının doğrusl değişimi için elde edilmiş ve grfiksel olrk sunulmuştur. Gnpthi nd Vrdn (98), dış bsınç yükleri ltındki sığ ve derin ortotropik küresel kbuklrın dinmik burkulmsını dikkte lmıştır. Gnpthi ve Vrdn ince tbklı sığ ve derin küresel kbuklrın sttik ve dinmik burkulmsını sonlu elemnlr yöntemini kullnrk nliz etmişlerdir. Gnpthi ve Vrdn nlizlerinde, çprzlm kesme kuvveti deformsyonunu ve bir eksen etrfındki tletini dikkte lrk ve doğrusl olmyn von Krmn denklemlerini kullnmışlrdır. Tkeuti nd Tnigw (98), dönen sıcklık kynklı homojen küresel geminin nlitik çözümünü elde etmek için potnsiyel fonksiyon yöntemini kullnmışlrdır. Liu (98), bimetlik sığ küresel kbuklr ve üniform sıcklık lnın mruz kesik konik kbuklrın nlizleri için doğrusl olmyn stbilite teorisini geliştirmiş ve bu sonuçlr bzı hsss elemnlrın bileşiminde önemli rol oyndığı görülmüştür. Ykın geçmişte küresel kbuklrın terml yükler etkisi ltınd stbilitesi ile ilgili birçok önemli çlışmlr ypılmıştır. Bunlrdn yyım trihi sırsın göre; Aleksnder Muc (989) ve (99) çlışmlrınd, dış bsınç yükü ltındki ince tbklı küresel kbuklrın burkulmsınd kym deformsyonunu dikkte lrk Love-Kirchhoff teorisinin birinci kurlını kullnmıştır. Love-Kirchhoff, tbklı sığ kbuklrın kritik burkulm yükünün lif çılrın etkisini dikkte lırken Donnell stbilite denklemlerini kullnmıştır. Aleksnder Muc (99) çlışmsı; küresel bşlıklr, toriküreler ve yrım küreler gibi dönel eksenel simetrik nkstre kompozit kbuklrın, burkulm nliziyle ilgilidir. İlk bölüm, burkulm bsınçlrını belirlemek 7

31 mcıyl lineer burkulm nlizlerine yrılmıştır. Dh sonr, tek yönlü cm ve krbon/epoksi reçineden ypılmış tek ktmnlı (çı-tbk), iki ktmnlı ve izotropiğe benzer kompozit kbuklr için burkulm bsıncındki fiber oryntsyonun etkileri BOSOR4 progrmı kullnılrk hesplnmıştır. Mksimum burkulm bsıncının izotropiğe benzer kompozit kbuklr için meydn geldiği görülmektedir. Kompozit toriküreler ve yrım kürelerin keyfi fiber oryntsyonu için burkulm yüklerinin üst ve lt sınırlrı tsrlnmıştır. Birmn nd Bert (99) çlışmsınd, yüksek sıcklık etkisindeki plklrın burkulm ve burkulm ötesi problemleri incelenmiştir. Bu çlışmd sıcklığın, güçlendirilmiş ve rijitlendirilmemiş kompozit plklr vey silindirik kbuklrın, burkulm ve burkulm sonrsı dvrnışı üzerine etkileri dikkte lınmıştır. Önce, terml ln ve eksenel yüklemenin eş zmnlı hreket yüküne mruz kbuklr için denge denklemleri formüle edilmiştir. Bu denklemler, kbuğun burkulm sonrsı tepkisinin cebirsel denklemlerinin tnımının genel şeklini thmin etmek için kullnılmıştır. Termo meknik yüklemeye mruz kbuğun ek bileşeni için şrtlr formüle edilmiştir. Örnek olrk, güçlendirilmiş pnellerin kıs köşeleri yönünde boy ornının burkulm sonrsı tepkisinin thmininde uygulnmıştır. Jinping nd Hrik (99), bsınç ve yüzey sıcklık yüküne mruz çeşitli et klınlıklı küresel kbuklrın nlizleri için sonlu frklr yöntemini sunmuşlrdır. Sıcklıkl ilgili oln mlzeme özelliklerinin vrysyonu AISC: Spesifisyon 988 e göre kullnılmıştır. İç ve dış yüzeyin teğetsel gerilmeleri hesplnmış ve ANSYS kullnılrk elde edilen sonuçlrl iyi uyum sğlnmıştır. Krizhevsky nd Stvsky (995), krrlı durum terml ln mruz kln ortotropik sığ küresel kbuklr için eksenel burkulm yüklerinin hssslığı üzerine rştırm ypmışlrdır. Son yıllrd küresel kbuklrın terml yükler etkisi ltınd stbilitesi ile ilgili çlışmlr devm etmektedir bu çlışmlr içerisinde dikkt çekenleri şunlrdır: 8

32 Eslmi t. l. () homojen izotropik mlzemelerden ypıln küresel kbuklrın terml burkulmsını nliz etmişlerdir. Eslmi vd. nlizi kbuklrın birinci mertebe teorisini, Donnell Mushtri Vlsov denklemlerini ve Snders in doğrusl olmyn gerilme-yer değiştirme denklemlerini temel lmıştır. Jordn nd Puri () çlışmsınd, iç yüzeyi kdeme-kdeme sıcklık rtışın mruz küresel kbuğun dinmik termoelstik gerilme problemini ele lmışlrdır. Anlizler termoelstisitenin klsik Lord nd Shulmn (967) ve Gren nd Lindsy (97) formülsyonlrı ltındki birbirinden yrı ypılr uygulnmıştır. Sıcklık için tm çözümler ve yer değiştirme denklemleri sırsıyl Lplce dönüşümü ve öz fonksiyon genişleme yöntemi kullnılrk elde edilmiştir. Ess nokt, yyılm ve sıcklıktki devmsızlığın doğsı, yer değiştirme ve gerilme lnlrının iki klsik olmyn teori ltınd mümkün olmsıdır. Devmsızlığın büyüklükleri için tm ifdeler yrıc verilmiş ve şok dlglrı belirlenmiştir. Üç modelin krşılştırmlrı ve syısl sonuçlrı grfiksel olrk sunulmuştur. İlve olrk fiziksel prmetrelerin özel ve sınırlı durumlrı rştırılmış ve roket motor testinde kullnıln ykıt tnkının rştırmsının uygulmsı dikkte lınmıştır. Son olrk, üç teorinin en çok fiziksel kbul edilebilirliği hkkınd görüş verilmiştir, Lord ve Shulmn formülsyonlrıyl bütünüyle kpsmlı seçim orty çıkmıştır ve sonuçlr belirlenmiştir. Wng t. l. () çlışmsınd trnsversl içi boş kürenin dinmik terml gerilme nlizini ypmıştır. Shhsih nd Eslmi () bşlngıç kusurlu küresel kpğın terml ve meknik burkulm problemini ele lmış ve kplı çözüm elde etmişlerdir. Bu çlışmd, izotropik mlzemeli ve geometrik kusursuz sığ küresel kbuk bşlığının terml ve meknik burkulm yükleri dikkte lınmıştır. Denge ve stbilite denklemleri Donnell Mushtri Vlsov (DMV) teorisini temel lmktdır ve vrysyonel yöntem kullnılrk çıkrılmıştır. Snder in doğrusl olmyn deformsyon-yer değiştirme bğıntılrı kullnılmıştır. Kbuk, meknik yükleme ve üniform sıcklık rtışı ve terml yüklemelerin rdyl sıcklık frklılığı için dış bsınç yüklemesi ltınddır. Bsit mesnetli sınır koşullrı kbul edilmiştir. Terml ve meknik burkulm yükleri 9

33 için çözümler stbilite denklemleri ve Glerkin yöntemi kullnılrk çıkrılmıştır. Ort yüzey kbuk yer değiştirmesi için bir terim yklşımı dikkte lınmıştır. Terml ve meknik burkulm yükleri için ifdeler nlitik ve kplı form çözümleriyle elde edilmiştir. Wng nd Di (4) çlışmlrınd, sıcklık ve gerilme lnı birleştiğinde sığ ince küresel ve konik kbuklr için eksenel simetrik lineer olmyn titreşimin problemini ele lmışlrdır. Termoelstisite ve von Krmn ın büyük dönme teorisine dynn, tüm n denklemler ve bunlrın sdeleştirilmiş şekli türetilmiştir. Zmnsl-uzysl değişkenler Glerkin tekniği ile yrılmıştır, böylece zmn bğlı tipik difernsiyel denklemin n denklemleri indirgenmiştir. Kurllı krışıklık ve çoklu derece yöntemleri vsıtsıyl genliğin bozulm ornı boyunc frekns krşı gelen genlik prmetrelerinin krkteristik bğıntılrı için birinci mertebeden nlitik yklşım yöntemi elde edilmiştir ve doğrusl olmyn titreşim dvrnışı ile birleştirilmiş termoelstikliğe it oln sınır koşullrınd olduğu gibi frklı geometrik prmetreler ve birleştirilmiş fktörlerin etkileri ele lınmıştır. Btist nd Kosel (6) ve (7) çlışmlrınd, dönel kbuklrın ve iki tbklı küresel kbuklrın terml stbilte nlizlerini ypmışlr. Btist nd Kosel (6) çlışmsınd üniform sıcklıkt bğımsız çift-tbklı küresel kbuklrın eksenel simetrik termoelstik stbilitesi dikkte lmışlrdır. Temel denklemler Reissner in ince kbuklr teorisinden türetilmiştir ve tbklrdki mlzemelerin lineer termoelstik olduğu frz edilmiştir. Kbuklrın burulmsı için koşullr belirlenmiştir. Sıcklık-spm diygrmlrı sırlm yöntemi kullnılrk hesplnmıştır. Futterer t. l. (7) küresel kbuklrd terml konveksiyonu çlışmışlrdır. İç kısmı soğutulmuş dış kısmı ısıtılmış kürenin küresel kbuktki knveksiyon yüksek Prndtl kışkn syısının en boy ornlrın =(r o -r i )/r i = göre deneysel ve syısl sonuç şeklinde sunulmuştur. Akımdki yeterince küçük Ryleigh syılrı için hem eksenel simetrik hem de sbittir, iç kürenin güney kutbund ve ekvtorl bölgede sıvı kışı meydn gelir.

34 Futterer t. l. (8), Ulusl Uzy İstsyonu nun (ISS) modülü oln Columbus dki Sıvı Bilim Lborturı nd (FSL) birleştirilecek oln, GeoFlow olrk dlndırıln dönen küresel kbukt terml konveksiyonun mikrogrvite deneyleri için syısl ve deneysel ön çlışmlr sunmuştur. Ryleigh ve Tylor syılrının büyük çoğunluğu için mikrogrvite çevrede bulunn merkezi dielektroporetik kuvvet ltındki küresel Ryleigh Bénrd problemin syısl çlışmsı gerçekleştirilmiştir. GeoFlow ypısl testi için lbortur deneyi tsrlnmış, inş edilmiş ve optik ölçüm tekniğinin kurulmsını içeren test ypılmıştır. Khom t. l. (8) çlışmsınd, klınlık koordintlrının Legendre polinomlrındki, Fourier serilerinde bilinmeyen fonksiyonlrın genişleme yöntemi ile oluşturulmuş kbuklrın genelleştirilmiş teorisini temel lınmışlrdır, dire şeklinde delikli izotropik küresel kbuğun hfif enine eğilimli terml gerilme durumu problemi çlışılmıştır. Zhu t. l. (8) çlışmsınd, sıcklık lnı ve enine kesme içeren üniform bsınç ltındki simetrik tbklı silindirik ortotropik sığ küresel kbuğun lineer olmyn terml burkulmsı ele lınmıştır. Aynı zmnd frklı sıcklık lnlrı ltındki kritik burkulm yüklerinin belirlenmesi için nlitik formüller değiştirilmiş itersyon yöntemi kullnılrk elde edilmiştir. Enine kym deformsyonu ve frklı sıcklık lnlrının kritik burkulm yükü üzerine etkisi trtışılmıştır. Kr nd Knori (9) bu çlışmd, sıcklıktn kynklnn termo vizkoelstik etkileşimin genelleştirilmiş termo elstisite teorisi durumund, homojen vizko elstik izotropik küresel kbuğun serbest gerilme şrtlrı problemini ele lmışlrdır. An denklemlerde Lplce dönüşümü kullnılrk vektör-mtris difernsiyel denklemlerinin formu şeklinde ifde edilmiştir ve sonr bu denklemler öz değer yklşımı ile çözülmüştür. Dönüştürülmüş çözümün tersi Bellmn et. l. it yöntemi kullnrk gerçekleştirilmiştir (Bellmn t. l., 966). Gerilmeler syısl olrk hesplnmıştır ve bkır mlzeme için birkç şekilde grfiksel olrk sunulmuştur. Frklı teoriler (TEWED (GN-III), three-phse-lg method) için sonuçlrın

35 krşılştırılmsı sunulmuştur. Gövde elstik olduğund ve kbuğun dış yrıçpı sonsuzluğ yklştığınd sonuçlr litertürdeki mevcut verilerle uyum sğlmıştır... Homojen Olmyn Mlzemeler ve bu Mlzemelerden Oluşn Değişik Ypı Elemnlrının Meknik ve Terml Yüklemeler Altınd Stbilite ve Titreşimi ile İlgili Mkle Özetleri Son yıllrd, mühendislikte özellikle de yüksek sıcklık ortmlrınd homojen olmyn mlzemeler kullnılmkt ve birçok bilimsel çlışm ypılmktdır. Homojen olmm fonksiyonlrının mtemtik modellenmesi ile ilgili yyın syısı çok değildir. Bu çlışmlrd Poisson ornı sbit tutulrk, elstisite modülleri uzy koordintlrının kuvvet ve üstel fonksiyonlrı şeklinde sunulmktdır (Bkz Lomkin, 976; Delle nd Erdogn 98; Hciyev ve Musyev, 98; Khoroshun t. l., 988; Elishkoff, ; Sofıyev nd Aksogn, ; Shen nd Nod, 7; Ll nd Shrm, 4; Ooto nd Tnigw, 7; Sofiyev t. l., 9). Litertürde homojen olmyn değişik konfigürsyonlu ypı elemnlrının stbilite ve titreşim nlizlerinde bu modeller kullnılrk değişik problemler çözülmüştür. Bu çlışmlrın çoğu meknik yükler etkisi ltındki homojen olmyn çubuk, plk ve silindirik kbuklrın stbilite ve titreşim problemlerine ittir: (Bkz. Jbreen nd Eisenberge, ; Ding t. l.,, 4; Hou t. l., 6; Ll, 7; Sofiyev, 5; Sofiyev t. l., 9b). Bose (967) çlışmsınd, Young modülü ve yoğunluğun (, ) = ( E, )r E ρ ρ gibi yrıçp vektörü ile değiştiği vrsyılmış ve ince diresel plğın zorunlu titreşim problemi ve homojen olmmnın frekns değerlerine etkileri incelenmiştir. Bisws (969), modelinde μ, μ, ρ sbit iken, burulm rijitliği ve mlzeme yoğunluğu için üstel değişimleri e μ z μ = μ ve e μ z ρ = ρ dikkte lrk sonlu

36 uzunluklu silindirlerin burulm titreşimi incelemiş ve homojen olmmnın etkilerini nliz etmiştir. Homojen olmyn izotrop ince plklrın titreşimi ile ilgilenen Ro t. l. (974), Young modülü ve yoğunluk için lineer değişimlerin E = E ( + αx) ve ρ = ρ ( + x) ile verildiğini frz etmiştir. Homojen olmmnın ve klınlık değişiminin kritik prmetrelere etkileri incelenmiştir. Mssls t. l. (98) mklesinde klınlık koordintın göre lineer ve zmn göre periyodik değişken elstisite modülüne ship, eksenel sıkıştırm kuvvetlerine mruz, kesik konik kbuğun dinmik krrsızlığı ele lınmıştır. Problemin formülsyonu, Donnell tipi difernsiyel denklemlerle birlikte krrsızlık öncesinde ihml edilen eğilme deformsyonlrının dinmik sürümleri üzerine kurulmuştur. Glerkin yöntemi uygulnrk, bsit denklemler Mthieu-Hill denklemler sistemine indirgenmiş ve n krrsızlık bölgeleri Bolotin yöntemi kullnılrk elde edilmiştir. Serbest titreşim problemi, kbuğun klsik burkulm problemindeki gibi dikkte lınmıştır. Tomr t. l. (98) çlışmsınd, plk mlzemesinin homojen olmmsını, x ( E, ) = ( E, ρ ) ρ şeklinde bir doğrultu boyunc üstel olrk Young modülü ve e yoğunluğun değişimine bğlı olrk rttığını frz etmiştir. Burd, E, ρ sırsıyl homojen mlzemenin Young modülü, yoğunluğu ve homojen olmm prmetresidir. Homojen olmm fonksiyonu üstel değiştiğinde frklı geometriye ship, değişken klınlıklı homojen olmyn izotrop plklrın dinmik dvrnış nlizi ypılmış ve homojen olmmnın dinmik krkteristiklere etkileri incelenmiştir. Delle nd Erdoğn (98) çlışmsınd bşlıc tekil integrl denklem yöntemi kullnılrk homojen olmyn düzlemin kırılm problemlerine yeni bir çözüm geliştirmiştir. Problemde ele lınn mlzeme izotrop olup Poisson ornı sbit ve

37 Young modülü üstel vey uzy değişkeninin kuvvet fonksiyonu olrk vrsyılmıştır. Gdjıev nd Sofıyev (988) mklesindeki mç elstisite modulü ve Poisson ornı klınlık koordintın bğlı sürekli değişen elstik izotrop kbuğun eksenel bsınç yükü, iç bsınç ve hlk şekilli bsınç yükü ltınd zorunlu titreşimini incelemektir. İlk olrk hreket denklemi çıkrılmış, sonr sttik ve dinmik çökmeler bulunrk dinmik fktör için kplı çözümler elde edilmiştir. Sonuç kısmınd çeşitli yükler etkisi ltındki silindirik kbuğun dinmiklik ktsyısın homojen olmmnın etkisinin önemli olduğu syısl olrk knıtlnmıştır. Heyliger nd Jilni (99) çlışmsınd vrysyonel ifde, temel denklem ve Ritz yklşımlrı kullnılrk elstik silindir ve kürelerin serbest titreşimlerinin doğl freknslrı silindirik ve küresel koordintlrd türetilmiştir. Formülsyon ortotrop mlzeme simetrisinde hesplnbilir, ktı ve boşluklu geometrilerden herhngi birinde uygulnbilir. Yer değiştirme fonksiyonlrı için seçilen yklşım fonksiyonlrı geometri ve koordint sistemine bğlı olup, kuvvet serilerinin, Fourier serilerinin ve küresel uyumun bir kombinsyonudur. Tipik örnekler silindir ve kürenin her ikisi için çeşitli koordint sistemlerinde verilmiştir. Bşk yöntemlerle elde edilen sonuçlrl mükemmel bir uyum sğlnmıştır. Mecitoglu (996) çlışmsınd, rijitleştirilmiş kompozit lmine ince konik kbuklrın bşlngıç gerilme etkileri ltındki dinmik denklemlerini sunmuştur. Kesik konik kbuğun temel denklemleri enine kym deformsyonlrını ve dönel tlet kuvvetlerini içeren Donnell-Mushtri ince kbuk teorisi üzerine kurulmuştur. Tbklı kompozit konik kbuklr, elstik hlklr/vey tkviye kirişi ile üniform rlıklrd güçlendirilmiştir. Rijitleştirilmiş elmnlr diğerlerine göre sık olrk yrılmıştır ve bu yüzden rijitleştirici elemn konik kbuğun dışın sıvnmıştır. Sıcklık, nem, üretim yöntemleri nedeniyle mlzeme özelliklerinin homojen olmmsı oluşturuln denklemlerde dikkte lınmıştır. Konik kbuğun temel denklemlerini türetmek için genelleştirilmiş vrysyonel teorem sunulmuştur. Dh sonr konik kbuğun dinmik denklemlerinin çözümünün tekliği için sınır ve 4

38 bşlngıç koşullrı verilmiştir. Tbklı kompozit konik kbuğun difernsiyel denklemleri sınırlı frklr yöntemi kullnılrk çözülmüştür. Sonuçlrın doğruluğu, önceki çlışmlrd elde edilen sonuçlrl krşılştırılmış ve iyi bir uyum bulunmuştur. Gutierrez t. l. (998) çlışmsınd, birim ln düşen kütle, diresel koordintlrd lineer, kre ve kübik olrk değiştiğinde, hlklı zrlrın enine titreşimi için dh düşük doğl freknslrın bulunbilmesi ile ilgili syısl deney serilerinden elde ettikleri sonuçlr sunulmuştur. Frekns ktsyılrı: () difernsiyel kre yöntemi, () sonlu elemn yöntemi, () uygunlştırılmış ve/vey geliştirilmiş Ryleigh bölüm yöntemi ve (4) Stodol-Vinello yöntemi esslı dh düşük sınırlr kullnılrk belirlenmiştir. Frklı yöntemler rsınd oldukç iyi bir uyum elde edildiği sptnmıştır. Zhng nd Hsebe (999) mklesinde rdyl olrk homojen olmyn içi boş diresel silindir için üstel Young modülü ve sbit Poisson ornı ile tm bir elstisite çözümü geliştirilmiştir. Young modülünün değişimi üstel fonksiyon şeklinde göz önüne lınmıştır. Zenkour nd Fres () çlışmsınd, homojen olmyn tbklı kompozit silindirik kbuklrın eğilme, burkulm ve serbest titreşim problemlerini göz önüne lmışlrdır. Hmilton-Reissner krışık vrysyon prensibi, homojen olmyn elstik özelliklere ship kompozit tbklı silindirik kbuklrın uygun birinci durum teorisini orty çıkrmk için kullnılmıştır. Temel denklemler kym düzeltme fktörü tnıtılmdn türetilmiştir. Kullnıln teorinin vntjlrını göstermek için enine spmlr, gerilmeler, doğl freknslr ve kritik burkulm yükleri için syısl sonuçlr ypılmıştır. Homojen olmmnın ve klınlık ornının kbuğun ypısl tepkileri üzerindeki etkileri incelenmiştir. Homojen olmm etkisinin zyıf olduğund bile, kbuklrın gerçek ypısl tepkisini belirlemek için gerekli olduğu sonucun vrılmıştır. 5

39 Homojen olmyn membrn (zr) değişken klınlıklı vey mlzeme yoğunluklu membrndır. Ypıln son çlışmlrın birçoğund sbit vey değişken yoğunluklu çift bğlnmış kompozit ve ktı membrn için enine simetrik ve nti-simetrik enine titreşim modlrı ile ilgilenilmiştir. Bu mklede, kuvvet serileri çözümü kullnılrk, prçlı polinoml değişimli yoğunluklu diresel ve hlk membrnlrın simetrik ve nti-simetrik modlrının her ikisi için kesin çözümler verilmiştir. Diresel ve hlk membrn elmnı için dinmik rijitlik mtrisi türetilerek istenilen kesinliğe uygun yinelenme bğıntısı kullnılrk dinmik problem çözülmüştür. Dinmik rijitlik yöntemi kullnılrk tm ve hlk membrnlrın doğrusl, prbolik ve kübik vrysyonlrı için birçok çözüm elde edilmiş ve çizelgelerde sunulmuştur (Jbreen nd Eisenberger, ). Cndn nd Elishkoff () çlışmsınd rstgele homojen olmyn elstisite modülüne ve mlzeme yoğunluğun ship üniform olmyn kirişlerin serbest titreşimi değişik sınır koşullrınd incelenmiştir. Kplı çözüm ifdeleri temel doğl freknslr için elde edilmiştir. Yoğunluk ve elstisite modülü özelliklerini tnımlyn bzı ktsyılrın belirli vey rstgele olbilecekleri ispt edilmiş ve özel durumlrd n temel frekns belirli değerlerle sonuçlnmıştır. Bu prdoks buluşu knıtlmk için Monte Crlo, Bubnov-Glerkin ve sonlu elemn yöntemleri ile geniş syısl nlizler ypılmıştır. Njfizdeh nd Eslmi () çlışmsınd, diresel ortotropik plğın termoelstik burkulmsı incelenmiştir. Plk geometriksel olrk kusursuz vrsyılmıştır. Denge ve stbilite denklemleri vrysyonel formülsyonlr yolu ile çıkrılmıştır, bunlr ön burkulm kuvvetleri ve burkulm sıcklıklrını belirlemede kullnılmıştır. Denklemler Snders in lineer olmyn gerilme-yer değiştirme bğıntılrı ve Love- Kirchhoff hipotezine dynmktdır. Kritik burkulm sıcklıklrı üniform sıcklık rtışı, klınlık doğrultusund sıcklık eğilimi ve yrıçp boyunc sıcklık vrysyonlrıyl ilgili olrk elde edilmiştir. Sonuçlr birinci tip yüklemeler için litertürde bilinen verilerle teyit edilmiştir. 6

40 Sofiyev () çlışmsınd, zmn bğlı dış bsınç yükü etkisi ltınd, klınlık yönünde değişik elstisite modüllerine ve yoğunluklr ship çprz tbklı ortotrop silindirik ince kbuklrın burkulmsının incelenmesi mçlnmıştır. Önce, dinmik stbilite ve uygunluk denklemleri elde edilmiştir. Glerkin yöntemi kullnılrk denklemler, değişik ktsyılr ship zmn bğlı difernsiyel denklemlerden oluşn bir sisteme indirgenmektedir. Son olrk, Ritz tipi vrysyon yönteminin değiştirilmiş şekli uygulnrk kritik dinmik ve sttik yükler, uygun dlg syılrı, dinmiklik ktsyısı, kritik zmn ve kritik impuls nlitik olrk bulunmuştur. Syısl hesplrd çprz tbklı silindirik kbuklrın dinmik dvrnışın: ) elstisite modülleri ve yoğunluklrı değişim gösteren tbk, b) değişik syıd ve dizilişte tbklr, c) zmnın değişik kuvvetleriyle değişen dış bsınçlrın etkileri incelenmiştir. Bütün bu fktörlerin, incelenen problemin kritik prmetreleri üzerinde kyd değer etkileri olduğu sonucun vrılmıştır. Ding t. l. () çlışmsınd, simetrik düzlem dinmik termo-elstik problemler için homojen olmyn ortotrop elstik silindirik kbuğun çözümü elde edilmiştir. İlk olrk temel denklem, sınır koşullrı ve bşlngıç koşullrını yeniden yzmk için yeni bir bğımlı değişken tnıtılmıştır. İkinci olrk homojen olmyn sınır koşullrını homojen oln dönüştürmek için özel bir fonksiyon tnıtılmıştır. Dh sonr ortogonl genişletme tekniği yrdımıyl sonucun elde edilebileceği zmn değişkenine göre denklem türetilmiştir. Homojen olmyn izotrop silindirik kbukt olduğu gibi, homojen ortotrop silindirik kbuk ve izotrop ktı silindir için dh çık bir yol dönüştürülebilen yer değiştirme çözümü son olrk sunulmuştur. Mevcut yöntem kullnılrk integrl dönüşümünden kçınılmıştır. Bu d keyfi terml yüklere mruz keyfi klınlıklı silindirik kbuk için uygundur. Aynı zmnd değişik sınır koşullrı için dinmik termo-elstik problemler içinde çok uygundur. Ayrıc içerilen syısl hesplrın ypılmsı çok bsittir. Çlışmd birçok örnek sunulmuştur. Sofiyev nd Schnck () çlışmsınd, zmn bğlı üniform dış bcın mruz, klınlık yönünde değişken yoğunluğu ve Young modüllü çprz ktlı ortotrop kesik konik kbuğun burkulmsını incelemiştir. Dinmik stbilite ve uygunluk denklemleri elde edildikten sonr Glerkin yöntemi kullnılrk denklemler, değişken ktsyılrı 7

41 içeren zmn bğlı difernsiyel denkleme indirgenmiştir. Kritik dinmik ve kritik sttik yükler, uygun dlg syılrı, dinmiklik ktsyısı, kritik zmn ve kritik impuls, Ritz tipi vrysyonel yöntem uygulnrk nlitik olrk elde edilmiştir. Çprz ktlı ortotrop, kesik konik kbuğun dinmik dvrnışı () Young modülü ve yoğunluklrın vrysyonlrını içeren, (b) tbklrın frklı syılrı ve sırlrı, (c) değişken yrı tepe çısı ve (d) zmnın frklı kuvvetleriyle değişen dış bsınçlrın etkisi ltınd incelenmiştir. Kritik prmetreleri üzerinde tüm bu fktörlerin frk edilebilir etkisinin olduğu sonucun vrılmıştır. Ding et. l. (4) bu mklede, bğımlı değişkenin tnıtılmsındn ve değişkenler yönteminin yrılmsındn dolyı, özel homojen olmyn piroelektirik boş silindirin piezo termo elstik simetrik düzlem deformsyon dinmik problemi, interpolsyon yöntemi ile bşrılı biçimde çözülebilen zmn bğlı fonksiyonlu ikinci çeşit Volterr integrl denklemine dönüşür. Dh sonr yer değiştirmelerin, gerilmelerin, elektrik yer değiştirmelerin ve elektrik potnsiyelinin çözümleri elde edilmiştir. Sunuln yöntem, keyfi simetrik terml yüke mruz, keyfi klınlığ ship homojen olmyn piroelektrik boş silindirler için uygundur. Syısl sonuçlr grfiksel olrk sunulmuştur. Ll nd Shrm (4), izotrop plk mlzemesinin Young modülü ve yoğunluğunun r rdyl doğrultud üstel olrk ( E, E, ) = ( E, E, ρ ) e r ρ gibi değiştiği vrsyılrk değişken klınlıklı homojen olmyn kutupsl ortotrop plklrın ksi-simetrik titreşimlerini nliz etmişlerdir. Burd,, homojen olmm prmetresi ve E, E, ρ sbitlerdir. Homojen olmmnın kritik prmetrelere etkisinin önemli olduğu nlizlerle knıtlnmıştır. Sofiyev (5) çlışmsınd klınlık doğrultusund homojen olmyn mlzeme özelliğine ship ince kbuğun zmnın bir kuvvet fonksiyonu oln burulm yükü etkisi ltınd burkulmsı dikkte lınmıştır. İlk olrk dinmik stbilite ve uygunluk denklemleri elde edilmiş ve elde edilen denklemlere Glerkin yöntemi, sonr Ritz tipi vrysyonel yöntemi uygulnrk yükleme prmetrelerinin büyük değerlerinde kritik prmetreler için nlitik formüller elde edilmiştir. Formüler kullnılrk, 8

42 Young modülü ve yoğunluğun periyodik ve kuvvet fonksiyonlrı şeklinde değişimi, Young modülleri ornlrı, yükleme prmetreleri değişiminin kritik prmetre değerlerine etkileri incelenmiştir. Kritik prmetrelere bu fktörlerin frk edilebilir etkilerinin olduğu sonucun vrılmıştır. Hou et. l. (6) çlışmsınd, yeni bğımlı değişken dhil ederek ve değişkenlerine yırm tekniğini kullnrk, özel homojen olmyn mnyeto-elektroelstik içi boş silindirin geçici dlg tepkilerini zmn göre yklşık iki fonksiyon etrfınd ikinci türden iki Volterr integrl denklemlerine dönüştürmüşlerdir. Bu integrl denklemleri interpolsyon yöntemi vsıtsıyl kolyc çözülebilir. Sonr, yer değiştirmelerin, gerilmelerin elektrik potnsiyelin, elektrik yer değiştirmelerin, mnyetik potnsiyelin ve mnyetik indüksiyonlrın tm çözümleri elde edilmiştir. Mevcut yöntem keyfi klınlıklı, keyfi eksenel simetrik meknik ve elektromnyetik yüklere mruz mnyeto-elektro-elstik içi boş silindir için geçerlidir. Sofiyev t. l. (6) bu çlışmd, Young modülü ve yoğunluğu klınlık doğrultusund sürekli değişen homojen olmyn ortotrop mlzemelerden oluşn silindirik kbuğun eksenel zmnın prbolik fonksiyonu oln bsınç yükü ltınd kinemtik stbilite problemi incelenmiştir. İlk olrk, homojen olmyn ortotrop silindirik kbuğun temel bğıntılrı ve değiştirilmiş Donnell tip dinmik stbilite denklemleri oluşturulmuştur. Önce Glerkin yöntemi dh sonr Ritz tip vrysyonel yöntem uygulnrk, dinmik kritik eksenel yük ve dinmik fktör için kplı form çözümler elde edilmiştir. Son olrk bzı hesplmlrdn sonr, ortotropiklik ornının homojen olmmsının ve eksenel yükleme prmetresinin kritik prmetrelere oln etkileri incelenmiştir. Elde edilen sonuçlr litertürde yer ln sonuçlrl krşılştırılrk sunuln çlışmnın doğruluğu teyit edilmiştir. Gupt t. l. (7) çlışmsınd, Young modülü ve yoğunluğun rdyl doğrultud μx ηx üstel olrk E = E e, ρ = ρe ; η μ gibi değiştiği vrsyılrk klınlığın prbolik olrk değiştiği homojen olmyn diresel plklrın ksisimetrik titreşimlerini çlışmışlrdır. Ypıln syısl nlizler homojen olmmnın kritik prmetrelere etkisin dikkt çekici olduğunu sptmıştır. Yukrıdki tüm çlışmlrd, Poisson ornının sbit kldığı frz edilmiştir. 9

43 Ll (7) mklesinde, klsik plk teorisi kullnılrk, Winkler tipi elstik zemin üzerinde bulunn üniform olmyn klınlıklı homojen olmyn ortotropik dikdörtgen plklrın serbest enine titreşimleri için nlizler ve syısl sonuçlr sunulmuştur. Plk mlzemesinin Young modülü ve yoğunluğunun tek doğrultud üstel olrk değiştiği dikkte lınmıştır. Lévy yklşımındn sonr iki prlel kenrı bsit mesnetli ve iki kenrı nkstre oln plğın dördüncü mertebeden difernsiyel denklemleri, mlzemenin klınlık doğrultusundki üstel değişimi için geliştirilmiş ve kuintik eğri interpolsyon tekniği kullnılrk çözülmüştür. Titreşim modun homojen olmm, ortotropi ve klınlık değişiminin etkileri incelenmiştir. Sofiyev nd Krc (9) mklesinde, ynl ve hidrosttik bsınç ltınd oln tbklı homojen ve homojen olmyn ortotrop kesik konik kbuklrın serbest titreşim ve burkulmlrı incelenmiştir. İlk olrk Young modülü ve yoğunluğu klınlık doğrultusund prçlı sürekli değişen tbklı ortotrop kesik konik kbuklr için temel bğıntılr, değiştirilmiş Donnell tip dinmik stbilite ve uygunluk denklemleri elde edilmiştir. Dh sonrki denklemlere süperpozisyon ve Glerkin yöntemleri uygulnrk, tbklı homojen ve homojen olmyn ortotrop konik kbuklrın burkulm bsınçlrı ve boyutsuz frekns prmetreleri elde edilmiştir. Homojen vey homojen olmyn ortotrop ve izotrop mlzemelerden oluşn tek tbklı vey tbklı silindirik kbuklr için uygun denklemler özel hlde elde edilmiştir. Son olrk, tbklrın dizilişi, konik kbuk krkteristiklerinin değişimi, tbk mlzemelerinin Young modülü ve yoğunluklrının birlikte ve yrı-yrı değişimlerinin, kritik ynl ve hidrosttik bsınçlr ve frekns prmetresine oln etkileri değişik mod syılrı için bulunmuştur. Sonuçlr diğer çlışmlrl krşılştırılmıştır. Sofiyev t. l. (9), mklesinde hidrosttik yükleme ltınd oln homojen olmyn mlzeme özelliklerine ship ortotrop konik kbuklrın titreşim ve stbilitesi incelenmiştir. İlk olrk Young modülü ve yoğunluğu klınlık doğrultusund değişen ortotrop kesik konik kbuklr için temel bğıntılr elde edilmiştir. Dh sonrki denklemlere Glerkin yöntemi uygulnrk, kesik konik kbuklrın burkulm bsıncı ve frekns prmetreleri elde edilmiştir. Son olrk, Young modülü ve yoğunluk

44 birlikte ve yrı-yrı değiştiğinde bzı hesplmlr ypılrk konik kbuk krkteristiklerinin değişiminin, homojen olmm ve ortotropluğun, kritik boyutsuz hidrosttik ve en düşük boyutsuz frekns prmetreleri üzerine oln etkisi incelenmiştir. Çizelge ve şekillerde sunuln sonuçlr diğer çlışmlrl krşılştırılmıştır. Sofiyev t. l. (9b), bu mklede homojen olmyn mlzeme özelliklerine ship bsit mesnetli ortotrop kesik ve tm koni kbuklrın düzgün ynl ve hidrosttik bsınç ltınd titreşim ve stbilitesi incelenmiştir. İlk olrk, Young modülü ve yoğunluğu klınlık doğrultusund sürekli değişen ortotrop kesik koni kbuklr için temel bğıntılr elde edilmiştir. Glerkin yöntemi uygulnrk, kesik ve tm koni kbuğun burkulm bsınçlrı ve en düşük devri freknslrı elde edilmiştir. Sonuçlrın doğruluğunu teyit etmek için, çık litertürde yer ln sonuçlrl krşılştırm ypılmıştır. Bu çlışmd yrıc, koni kbuk krkteristiklerinin değişiminin, homojen olmmnın ve ortotropinin kesik ve tm koni kbuğun kritik bsınçlrın ve en düşük devri freknslrın oln etkileri detylı olrk incelenmiştir. Sofiyev et. l. (9c) bu çlışmd, hidrosttik bsınç ltınd oln nkstre mesnetli, tbklı homojen vey homojen olmyn ortotrop silindir, kesik ve tm koni kbuğun serbest titreşim ve stbilitesini incelemek için bir yöntem sunulmuştur. Love birinci yklşım teorisine dynrk, mlzeme özellikleri klınlık doğrultusund prçlı sürekli değişen tbklı ortotrop kesik koni kbuğun temel denklemler, değiştirilmiş Donnell-tip stbilite ve uygunluk denklemleri elde edilmiştir. Bu problemi çözmek için yklşım fonksiyonlrın bilinmeyen λ prmetresi dâhil edilmiştir. Glerkin yöntemi uygulnrk, tbklı homojen ve homojen olmyn ortotrop koni kbuğun burkulm bsınçlrı ve temel doğl freknslrı elde edilmiştir. Elde edilen formüllere dâhil edilen λ prmetresi kritik gerilmelerin ve freknslrın minimum koşulundn elde edilmiştir. Silindirik kbuklrın, kesik ve tm koni kbuklrın burkulm bsınçlrı ve freknslrı için λ prmetresinin değişik genelleştirilmiş değerleri elde edilmiştir. Homojen ve homojen olmyn ortotrop ve izotrop mlzemelerden oluşn tek tbklı ve tbklı silindirik kbuklr için uygun formüller özel durumlrd elde edilmiştir. Son olrk,

45 homojen olmmnın mertebesinin, tbklrın syısı ve dizilişinin ve koni kbuk krkteristiklerinin değişiminin kritik hidrosttik bsınç ve doğl frekns oln etkileri rştırılmıştır. Sonuçlr homojen durum için elde edilmiştir ve litertürde yer ln emslleriyle krşılştırılmıştır. Uzy endüstrisinde kullnıln Fonksiyonel Derecelendirilmiş Mlzemeler (FDM ler) yüksek performnslı, ısıy dirençli homojen olmyn mlzemeler sınıfın it olup şırı yüksek sıcklıklr ve son derece büyük terml değişimlere dynımı sğlr. FDM ler mikroskobik olrk homojen değillerdir ki bunlrın meknik özellikleri bir yüzeyden diğerine düzgünce ve devmlı olrk değişim göstermektedir. Son yıllrd fonksiyonel derecelenmiş mlzemelerden oluşn kürelerin terml genleşme ktsyısının değişimini dikkte lrk bzı problemler çözülmüştür. Bu çlışmlrın önemli olnlrının özetleri şğıd sunulmktdır: Ooto nd Tnigw (994) dönen sıcklık kynklı homojen olmyn delikli kürenin üç boyutlu geçici terml gerilmeleri için denklemler türetmişlerdir. Lutz nd Zimmermn (996) çlışmsınd fonksiyonel derecelenmiş küresel kbuğun terml gerilme ve efektif terml genleşme ktsyısının krkteristik prmetrelere etkilerini nliz etmişlerdir. Wng t. l. () değişken terml yükler etkisi ltınd homojen olmyn mlzemelerden oluşn termo-elstik kırılm mekniği problemini ele lmışlr. Reddy nd Cheng () çlışmlrınd, frklı teoriler trfındn thminde bulunuln titreşim freknsı ile düz plkdn küresel sığ kbuğ kdr bunlrın rsındki bğlyıcı ilişkinin dh fzl geliştirilmesini sunmuşlrdır. Zr titreşim probleminin krşılştırmsınd, fonksiyonel derecelenmiş küresel sığ kbukt kullnıln klsik teori ile birinci mertebe ve üçüncü mertebe kym deformsyon teorilerinin titreşim freknslrı için tm uyum elde edilmiştir. Bu çlışmd sdece genel olrk genişleme tipinin gerilme ve klınlık-kesme titreşimi ile genel esnek titreşimi dikkte lınmıştır. Bunlr genellikle dönel tipin gerilme ve klınlık-kesme titreşimden yrıdırlr. Bu sonuçlr, klınlık doğrultusund keyfi olrk değişen

46 mlzeme özellikli poligonl plnformdn bsit mesnetli fonksiyonel derecelenmiş küresel sığ kbuğ uygulnmıştır. Winkler-Psternk elstik zemin ve dönel tletler dhil edilmiştir. Mtemtiksel krşılştırmlr göstermektedir ki sığ kbuk için serbest titreşim freknsı pozitiftir. Mori-Tnk nın yöntemi mlzeme özelliklerinin syısl sonuçlrının thmininde kullnılmıştır. Shen nd Li () çlışmsınd, yerel geometrik kusurlrın kombine eksenel bsınç ve düzgün sıcklık yüklemesine mruz kym deformsyonlu tbklı silindirik kbuğun burkulm ve burkulm sonrsın oln etkileri incelenmiştir. Bşlngıçt ısıtılmış kbuklrın sıkıştırıcı burkulm sonrsı ve bşlngıçt sıkıştırılmış kbuklrın terml burkulm sonrsı hlleri dikkte lınmıştır. Temel denklemler Reddy nin yüksek mertebeden kym deformsyon teorisiyle, von Krmn-Donnell tip kinemtik doğrusl olmmy ve terml etkilerin dhil edilmesine dynmktdır. Mlzeme özelliklerinin sıcklıktn bğımsız olduğu vrsyılmıştır. Ön burkulm deformsyonlrı ve kbuğun bşlngıç geometrik kusurlrın her ikisi de dikkte lınmıştır. Kbuk burkulmsının sınır tbk teorisi, kym deformsyonlu çprz kt tbklnmış silindirik kbuk durumun genişletilmiştir ve burkulm yüklerinin ve burkulm sonrsı dengenin belirlenmesinde tekil krmşıklık yöntemi uygulnmıştır. Syısl gösterimler, yerel vey şekilsel geometrik kusurlu kısmen klın çprz kt tbklnmış silindirik kbuklrın sıkıştırıcı vey terml burkulm sonrsı dvrnışlrıyl ilgilidir. Sonuçlr, genliğin ynı değeri için yerel geometrik kusurlr kbuğun burkulm sonrsı dvrnışının ynı sır burkulm yükü üzerinde de şekilsel kusurlrdn dh z etkiye ship olduğunu göstermiştir. Shhsih nd Eslmi (b) çlışmsınd vrysyonel yöntem, Love Kirchhoff un birinci mertebeden kbuk teorisi ve Snder in doğrusl olmyn kinemtik denklemleri kullnılrk denge denklemleri türetilmiştir. Eslmi t. l. (5) fonksiyonel derecelendirilmiş klın küresel kbuklrd terml ve meknik gerilmelerinin bulunmsını mçlmışlrdır. Bu çlışmd, fonksiyonel değişimli mlzemeden ypılmış delikli ince kürede tek boyutlu krrlı hl terml ve meknik gerilmeler için genel çözüm sunulmuştur. Sıcklık dğılımı kürenin iç ve dış yüzeylerinde genel terml ve meknik sınır şrtlrıyl, yrıçpın fonksiyonu

47 olrk kbul edilmiştir. Poisson ornı dışındki mlzeme özellikleri kuvvet kurlı fonksiyonun göre r yrıçp boyunc değiştiği kbul edilmiştir. Nvier denklemi ve sıcklık iletiminin nlitik çözümü rdyl yönün fonksiyonu olrk sıcklık profili, rdyl yer değiştirme, rdyl gerilme ve çember gerilmeye yol çmktdır. Ptel t. l. (6) çlışmsınd, düzgün sıcklık rtışın mruz tbklı diresel konik-silindirik/konik-silindirik-konik birleştirilmiş kbuklrın, doğrusl olmyn termo-elstik burkulmsı/burkulm sonrsı krkteristikleri, yrı nlitik sonlu elemn yklşımı uygulnrk incelenmiştir. Geometrik doğrusl olmmyı dikkte ln doğrusl olmyn temel denklemler, kısmen geniş deformsyon için von Krmn yklşımın dynmktdır ve burkulm öncesi/burkulm sonrsı denge yörüngelerini izlemek için yer değiştirme kontrol yöntemiyle birleştirilmiş Newton- Rphson itersyon yöntemiyle çözülmüştür. Doğrusl burkulm modu şekline uzysl orntılı küçük büyüklükte yük formu içersinde simetrik dğılımın vrlığı, kbuk deformsyonunun dllnmsını bşlttığı vrsyılmıştır. Bu çlışm, yrıkoni çısının, mlzeme özelliklerinin ve çevresel dlg syılrının, frklı birleştirilmiş kbuk sistemlerinin doğrusl olmyn termo-elstik dvrnışın oln etkilerini göstermek mcıyl gerçekleştirilmiştir. Shhsih t. l. (6) çlışmsınd fonksiyonel değişimli mlzemelerden oluşn sığ küresel kbuklrın terml krrsızlık problemi incelenmiştir. Önce ince küresel kbuğun stbilite denklemleri elde edilmiştir. Kbuk klınlığı boyunc meknik özelliklerin değişiminin doğrusl olduğu kbul edilmiştir. Fonksiyonel derecelendirilmiş kbuğun mlzeme bileşeni sermik ve metl krışımı olrk kbul edilmiştir. Anlitik çözümler, değişik terml yüklemeler için elde edilmiştir. Sonuçlr litertürdeki bilinen verilerle geçerli kılınmıştır. Gnpthi (7) çlışmsınd, dış bsınç yüküne mruz bırkılmış nkstre fonksiyonel değişimli mlzemeli küresel kbuk ypı elemnının dinmik stbilite dvrnışı incelenmiştir. Mlzeme özellikleri klınlık doğrultusund mlzemenin bileşenlerinin hcim kesri olrk dlndırıln kuvvet-yssı dğılımın göre derecelenmiştir. Mlzeme özelliklerinin etkisi homojenleştirme yöntemi kullnılrk 4

48 değerlendirilmiştir. Ypısl modelde kym deformsyon teorisi temel lınmıştır ve geometrik doğrusl olmm formülsyonund von Krmn vrsyımlrı göz önüne lınmıştır. Temel denklemler değiştirilmiş Newton Rpson itersyon düzeni ile birleştirilmiş oln Newmrk ın integrsyon tekniği uygulnrk elde edilmiştir. Yükle ilgili oln kbuk ypısının geçmişindeki mksimum ortlm yer değiştirmedeki ni sıçrm dinmik burkulm bsıncı gibi lınmıştır. Hâlihzırdki model mevcut izotropik durumlr krşısınd geçerli kılınmıştır. Detylı syısl çlışm, sığ küresel kbuklrın eksenel simetrik dinmik stbilite krkteristikleri üzerindeki fonksiyonel değişimli mlzemenin kuvvet-yssı indeksinin etkileri uygulnrk elde edilmiştir. Ooto nd Tnigw (7b) çlışmsınd fonksiyonel dereceli termo-piezo-elektrik kürelerin üç boyutlu geçici terml gerilme nlizi incelenmiştir. Bu çlışm sbit üniform ısıdn dolyı geçici piezotermoelstik problemi kpsyn fonksiyonel değişimli termopiezoelektrik içi boş kürenin teorik işlemleriyle ilgilidir. Lplce dönüşüm yöntemiyle geçici tek boyutlu sıcklık nliz edilmiştir. İçi boş kürenin terml, termoelstik ve piezoelektrik sbitleri rdyl koordintın kuvvet fonksiyonlrı gibi ifde edilmiştir. Geçici durumd ve fonksiyonel değişimli termopiezoelektrik içi boş küresel kbuğun piezotermoelstik tepkisinde sıcklık değişimi için tek boyutlu çözüm bu mklede elde edilmiştir. Sıcklık değişimi, yer değiştirme, gerilme ve elektrik potnsiyel dğılımının bzı nümerik sonuçlrı sunulmuştur. Ayrıc, sıcklık değişiminin, yer değiştirmenin, gerilmenin ve elektrik potnsiyelin mlzeme üzerindeki homojen olmmy etkisi incelenmiştir. Prksh t. l. (7), fonksiyonel değişimli küresel bşlıklrın dinmik terml burkulm dvrnışını çlışmışlrdır. Geometrik doğrusl olmm von Krmn vrsyımı üzerine dynmktdır. Formülsyon, birinci mertebeden kym deformsyon teorisine dynmktdır ve düzlem ile döner tlet etkilerini içermektedir. Mlzeme özellikleri, mlzeme bileşenlerinin hcim kesrinin terimleri de kuvvet yssı dğılımın göre klınlık doğrultusund derecelenmiştir. Mlzeme özelliklerinin etkisi homojenleştirme yöntemi kullnılrk değerlendirilmiştir. Temel denklemler sonlu elemn yklşımı kullnılrk elde edilmiştir, Newmrk ın 5

49 integrsyon tekniği ile birlikte değiştirilmiş Newton-Rphson itersyon düzeni kullnılrk çözülmüştür. Bsınç yükü, kbuk ypısının geçmişinde mksimum ortlm yer değiştirme içindeki ni sıçrmyl ilgili olrk dinmik burkulm yükü gibi lınmıştır. Şimdiki model mevcut izotropik durum krşı geçerli kılınmıştır. Özellikle kbuk geometrilerinin etkisi, fonksiyonel değişimli mlzemenin kuvvet yssı endeksi ve sığ küresel kbuklrın dinmik burkulm yüklerinin sınır şrtlrı üzerine detylı syısl çlışm uygulnmıştır. Nj t. l. (8) çlışmsınd, fonksiyonel değişimli mlzemeli kesik konik kbuklrın terml ve meknik krrsızlığı çlışılmıştır. Kbuk, özellikleri kbuk klınlığının bir fonksiyonu olrk değişen metl ve sermik krışımı olduğu vrsyılmıştır. Eşitlikler birinci mertebeden kbuk teorisi ve Snders in lineer olmyn kinemtik eşitlikleri temel lınrk geliştirilmiştir. Sonuçlr terml ve meknik yüklemeler için elde edilmiştir ve litertürde bilinen dtlrl teyit edilmiştir. Nj t. l. (8b) çlışmsınd, çeşitli üniform sıcklık rtışlrı ltındki fonksiyonel değişimli mlzemeden ypıln kesik konik kbuklrın termo meknik krrsızlığı ele lınmıştır. Kbuk, özellikleri kbuk klınlığının bir fonksiyonu olrk değişen metl ve sermik krışımı olduğu vrsyılmıştır. Metl ve sermiğin meknik özelliklerinin ısıy bğlı olduğu vrsyılmıştır. Eşitlikler birinci mertebeden kbuk teorisi ve Snders in lineer olmyn kinemtik eşitlikleri temel lınrk geliştirilmiştir. Sonuçlr hidrosttik yük, eksenel yük ve bunlrın kombinsyonu olrk dlndırıln üç tip meknik yükleme ltınd elde edilmiştir. Sonuçlr litertürde bilinen verilerle teyit edilmiştir. Poultngri t. l. (8) çlışmsınd fonksiyonel derecelendirilmiş içi boş kürenin ksi-simetrik terml-meknik yükler etkisi ltınd stbilite problemi ele lınmıştır. Bu çlışmd geliştirilen nlitik yöntem, fonksiyonel değişimli mlzemeden ypılmış içi boş klın kürenin iki boyutlu (r, ) terml ve meknik gerilmelerinin krrlı durumu için çözülerek elde edilmiştir. Mlzeme özellikleri kuvvet yssı fonksiyonun göre klınlığın bir ucundn diğer ucun değiştiği kbul edilmiştir. 6

50 Sıcklık profili fonksiyonel değişimli enerji denklemleri çözülerek elde edilmiştir. Nvier denklemleri Legendre polinomlrı ve Euler difernsiyel denklem sistemi kullnılrk nlitik olrk çözülmüştür. Sıcklık, yer değiştirme elemnlrı ve gerilme dğılımlrı frklı kuvvet yssı indeksleri için elde edilmiş ve çizilmiştir. Sonuçlr litertürdeki bilinen verilerle geçerli kılınmıştır. Shriyt (8) çlışmsınd, şimdiye kdr, hibrit fonksiyonel değişimli mlzemelerden (FDM) oluşn silindirik kbuklrın sdece sttik burkulmsı rştırılmıştır. Sunuln mklede, bzı krmşık termo-elektro-meknik kombine yüklemelere mruz, entegre yüzeye bğlı sensör ve işletici tbklrın ship kusurlu FDM silindirik kbuklrın dinmik burkulmsı incelenmiştir. Eğrisel koordintlrd Green deformsyon tensörünün genel biçimi ve dh önce yzr trfındn önerilen yüksek mertebeden kbuk teorisi kullnılmıştır. Sonlu elemn yöntemi kullnılrk krmşık doğrusl olmyn temel denklemler çözülmüştür. Burkulm yükü, yzr trfındn dh önceden önerilen düzenlenmiş Budinsky kriteri ile belirlenmiştir. Mlzeme özelliklerinin sıcklığ bğımlılığının, hcim kesri indeksinin, yük kombinsyonunun ve bşlngıç geometrik kusurlrının termo-elektro-meknik burkulm sonrsı dvrnış üzerindeki etkileri hesplnmıştır. Sonuçlr, hcim kesri indeksi, sıcklık derecelenmesi, tbk dizilişi ve uyrmlı geri tepki kontrolü bir dereceye kdr burkulm yükünü etkileyebildiğini göstermiştir. Jbbri t. l. (9), fonksiyonel değişimli mlzemeden ypılmış kıs delikli silindir için krrlı hlde iki boyutlu eksenel simetrik meknik ve terml gerilmelerinin tm çözümlerini geliştirmişlerdir. Sıcklık, rdyl ve uzunlmsın doğrultunun fonksiyonlrı gibi, genelleştirilmiş ve Bessel fonksiyonlrı kullnılrk nlitik olrk çözülmüştür. Kısmi difernsiyelin homojen olmyn sistemi stndrt yöntem kullnılrk çözülmüştür. Potnsiyel fonksiyonlr yöntemi yerine sbit olmyn ktsyılı Nvier denklemleri, Fourier serileri kullnılmıştır. 7

51 .4. Küresel Kbuklr İçeren Ypı Elemnlrının Stbilitesi ve Titreşimi Problemleri ile İlgili Litertürde Bulunn Kitplrdn Bzılrı Timoshenko nd Gere (96) kitbı elstik stbilite teorisi ile ilgili ilk önemli kynklrdn biridir. Volmir (967) trfındn sunuln çok kpsmlı monogrfide değişik ypı elemnlrının stbilite ve titreşimi ile ilgili çok önemli ve temel bilgiler sunulmktdır. Ayrıc, değişik sttik ve dinmik yükler etkisi ltındki kiriş, plk ve kbuklrın lineer ve lineer olmyn problemlerinin çözümleri verilmiştir. Bu çlışmd, ynı zmnd yyın trihine kdr oln stbilite teorisiyle ilgili en önemli teori ve deneylerle ilgili yyınlr listesi sunulmuştur. Söz konusu yyın listesinde bu çlışmdn önce bsıln yyınlrın çoğunu bulmk mümkündür. Ogiblov nd Gribnov, (968) monogrfisi çğdş teknoloji için çok önemli yer tutn plk ve kbuklrın termo-elstik stbilite probleminin çözümünü ele lmıştır. Burd termo-stbilitenin meknik problemlerinin düzgün formülsyonu ypılmış ve çözüm yöntemleri sunulmuştur. Ayrıc, lineer ve lineer olmyn durumlr için plk ve kbuklrın termo-elstik stbilitesi için somut hesplr sunulmuştur. Pflüger (97) in kitbınd stbilite problemlerinin temel kvrmlrı, kesin çözüm yöntemleri, denge çeşitleri için kriterler, iki ve üç boyutlu problemler, stbilite problemleri için klsik yklşım yöntemler, özel değer problemleri için yklşık çözümler, klsik yklşımın uygulm sınırlrı, elsto sttikte stbilite teorisinin kullnışlılık durumu, çubuk burkulmsı, plk burkulmsı, kbuk burkulmsı konulrı sunulmuş ve yyın trihine kdr oln çlışmlrın listesi verilmiştir. Leiss (97) kitbınd değişik ypı elemnlrının titreşimi ile ilgili problemler ve çözümleri sunulmuştur. Ayrıc, 97 yılın kdr oln sürede titreşim problemleri ile ilgili ypılmış oln çok kpsmlı kynk ve özetleri verilmiştir. 8

52 Chjes (974) in kitbı kolonlrın burkulmsı, nliz için yklşık yöntemler, kiriş kolonlr, çerçevelerin burkulmsı, burulmlı burkulm, plklrın burkulmsı, eksenel bsınç etkisi ltındki silindirik kbuklrın burkulmsı konulrını kpsmktdır. Kpln (974) monogrfisinde, küresel kbuklrım deneysel ve teorik burkulmsı ile ilgili çok önemli temel bilgiler sunmuştur. Brush nd Almorth (975) un kitbınd kiriş, kolon, plk ve kbuklrın gerilme deformsyon durumu ve stbilitesi ile ilgili değişik problemler sunulmuştur. Ayrıc bu kitp vrysyon yöntemlerle ilgili önemli bilgiler içermektedir. Lomkin (976) in çlışmsı homojen olmyn cisimlerin elstisite teorisini kpsmlı şekilde inceleyen ilk büyük monogrfidir. Kitpt özellikleri koordintlrının sürekli fonksiyonlrı oln cisimlerin elstisite teorisinin sttik ve kuzi-sttik problemlerini kpsmktdır. Bu çlışmd prtik önemi oln ve sıcklığ bğlı değişen homojen cisimlerin termo-elstik problemleri de ele lınmıştır. Morris (996) kitbınd, kbuk teorisinin stbilitesi ve modeli rsındki bğıntılrı incelemiştir. Küresel kbuğun burkulmsının klsik problemi, teori ve deney rsındki uygunluk eksikliklerini tnımlmd kullnılmıştır. Teorideki mevcut model prensiplerinin etkisi ve prtik problemlere uygulmsı ele lınmıştır. Reddy (4) nin kitbınd tbklı kompozit plklrın değişik sınır koşullrı, değişik yükler etkisi ltınd, kym şekil değiştirme ve geometrik lineer olmm koşullrı dikkte lınrk çok syıd problem çözülmüş, grfik ve çizelgeler sunulmuştur. Bölüm - te bzı mtemtiksel girişler, nizotrop elstisitenin denklemleri, virtüel iş ve vrysyonel yöntemler incelenmiştir. Bölüm 4 te kompozit mlzemelerin ortk terimleri tnıtılmıştır dh sonr tbk, gerilme ve deformsyon dönüşümlerinin temel denklemleri ele lınmıştır. Bölüm 5 te klsik ve birinci mertebe kym deformsyonlu tbklı plklrın hreket denklemlerinin türetilmesi sunulmuş ve seçilen tbklrın tbk rijitlik krkteristikleri trtışılmıştır. Bölüm 6 9

53 klsik ve birinci mertebe kym deformsyon teorilerinin silindirik eğilmede tbklı kirişler ve plk şeritlere uygulnmsını içermektedir. Bölüm 7 de özel ortotropik dikdörtgen tbklrın klsik tbklı plk teorisini kullnn nliziyle ilgilenilmiştir. Burd mlzeme nizotropluğunun, tbklnm şemsının ve plk en-boy ornın eğilme dönmesi ve gerilmeye oln etkileri, burkulm yükleri, titreşim freknslrı ve süreksiz dvrnışlr trtışılmıştır. Bölüm 8 ve 9 d klsik ve birinci mertebe kym deformsyonlu plk teorileri için sırsıyl Nvier ve Levy çözüm yklşımlrını temel ln dikdörtgen tbklrın süreksiz dvrnışlrı, doğl titreşim, burkulm ve eğilme için nlitik çözümler sunulmuştur. Bölüm d kompozit tbklrın sonlu elemn nlizi incelenmiştir. Klsik tbklı plk teorisini ve birinci mertebe kym deformsyonlu kbuk teorisine dynn tek boyutlu (kiriş ve plk şeritler için) ve iki boyutlu (plklr) sonlu elemnlr yöntemleri trtışılmıştır ve syısl örnekler sunulmuştur. Bölüm ve de sırsıyl yüksek mertebeden (üçüncü mertebe) tbk teorileri ve tbk yöntem (lyerwise) teorisi sunulmuştur. Sonlu elemnlr yöntemi ve nlitik modeller trtışılmıştır. Son olrk bölüm te kompozit tbklrın geometrik olrk doğrusl olmyn nlizi incelenmiştir. von Krmn doğrusl olmmy ship tbklı plklrın yer değiştirme sonlu elemn modelleri türetilmiş ve bzı tipik problemler için syısl sonuçlr sunulmuştur. 4

54 . MATERYAL ve YÖNTEM.. Homojen Olmyn Küresel Kbuklr için Temel Bğıntı ve Denklemler Yrıçpı R ve klınlığı h oln homojen olmyn küresel kbuk ve koordint sistemi Şekil. ve Şekil. de sunulmktdır. Burd ve çılrı sırsıyl çevresel ve enlemsel-meridyenel koordintlrdır ve kürenin ort yüzeyi referns yüzey olrk dikkte lınmktdır. Ort yüzey üzerinde bulunmyn noktlr ek rdyl z koordintı üzerinde yer lmktdır, bu koordint küresel kbuğun duvrı üzerindeki bir noktdn ort yüzeydeki uygun nokty oln uzklıktır (Şekil.). (z,, ) ortogonl koordint sistemi oluşturmktdır. Küresel kbuk homojen olmyn izotrop elstik mlzemeden oluşmkt ve kbuğun meknik özellikleri klınlık koordintının sürekli fonksiyonlrı şeklinde değişmektedir (Lomkin, 976; Khoroshun, 988; Eslmi t. l., 5; Shen nd Nod, 7; Sofiyev t. l., 9;): ( z) E ϕ ( z) ; α( z) = α ϕ ( z) ; ν(z) = ν; z z / h E = = (.) Burd, E ; α ; ν sırsıyl, homojen mlzemenin elstisite modülü, terml genleşme ktsyısı ve Poisson ornı, z küresel kbuğun klınlık koordintı olup h/ den h/ ye değişmektedir. Burd ( z) fonksiyonu, ( z) ϕ elstisite modülünün sürekli değişim ϕ ise terml genleşme ktsyısının sürekli değişim fonksiyonu olup birbirlerinden bğımsız değişmektedirler. Litertürde sürekli homojen olmm fonksiyonunu genel olrk kuvvet fonksiyonu şeklinde sunulmktdır. Bu çlışmd sürekli homojen olmm fonksiyonlrı somut olrk kuvvet fonksiyonu şeklinde yni şğıdki gibi seçilmektedir (Ll, 7; Shen nd Nod, 7): d d ( z) = + μ z ; ϕ ( z) = + μ z d,,,... ϕ (.) = 4

55 Burd μ ve μ elstisite modülü ve terml genleşme değişim ktsyılrı olup μi ; i =, eşitsizliklerini sğlmktdırlr. Şekil.. Küresel kbuk dış bsınç yükü etkisi ltınd Şekil.. Küresel kbuk ve çılr 4

56 Şekil.. İnce küresel kbuğun geometrisi Küresel kbuğun referns yüzeyinden z mesfedeki norml ve kym deformsyonlrı şğıdki şekilde ifde edilmektedir (Volmir, 967; Kpln, 974; Moris, 996) : ε ε ε e = e e χ + zχ χ (.) Burd ε,, ε ε ve e,e, e, sırsıyl küresel kbuğun her hngi bir noktsındki ve ort yüzeyindeki norml ve kym deformsyonlrı, doğrultulrdki eğrilikleri ve χ ve χ ort yüzeyin ve χ ort yüzeyin burulmsındki eğriliğidir. Donnell Mushtri Vlsov (DMV) vrsyımlrın dynrk ve Snders doğrusl olmyn gerilme-yer değiştirme bğıntılrı mtris şeklinde şğıdki şekilde ifde edilmektedir (Volmir, 967): 4

57 = ε ε ε sin cot w w cot w sin w w R z sin R w w R sin vcos sin v u sin R ) (w R sin w sin u cos v R ) (w R w u,,,,,.,,,,,,, (.4) Burd, u, v ve w küresel kbuğun ort yüzeyinde sırsıyl meridyenel, çevresel ve rdyl yer değiştirmeler olup indisteki (,) sembolü koordintlr göre kısmi türevleri göstermektedir. Sıcklık etkisi dikkte lınrk homojen olmyn küresel kbuğun gerilme deformsyon bğıntısı Hooke kurlın göre şğıdki şekilde verilebilir (Ogiblov nd Koltunov, 969; Shhsih nd Eslmi, ): ν α ε ν ε ε ν = σ σ σ (z)t E(z) ).5( E(z) (.5) (.4) ifdeleri (.5) denklemlerinde yerine yzıldığınd şğıdki şekle dönüşür: ν α χ + ν + νχ χ + + ν + νχ χ + + ν ν = σ σ σ (z)t E(z) ) z )(e.5( ) z( e e ) z( e e E(z) (.6) Love kbuk teorisine göre kuvvet ve moment bileşenleri şğıdki ifdelerden bulunur (Volmir, 967):

58 [(,T,T ), ( M,M,M )] = h / [,z ]( σ, σ, σ ) T dz (.7) h / (.6) bğıntılrı (.7) denklemlerinde yerine yzılıp mtemtiksel işlemler sonucu kuvvet ve moment bileşenleri küresel kbuğun ort yüzeyindeki deformsyonlr, eğrilik bileşenleri ve terml genleşme ile şğıdki gibi ifde edilir: T T T (e = 4e + νe ( e + νe ) + 5 χ ) + ( χ + ( χ + νχ ) + νχ ) ν (.8) M M M = (e + νe ) + 6 ( χ + νχ ) ( ) 7 e + ν + χ + νχ e 6 ( ) ν e + χ 8 5 (.9) Burd χ ve χ sırsıyl ort yüzeyin normlinin deformsyon nınd ve eksenleri etrfındki dönmeler olup şu tnımlr geçerlidir: = ν h / E(z)dz; h / = ν h / ze(z)dz; h / = h / T(z)E(z) α(z)dz h / 4 = ( + ν) h / E(z)dz; h / 5 = ( + ν) h / ze(z)dz; h / 6 = ν h / h / z E(z)dz (.) 7 = h / T(z)E(z) α(z)zdz; h / 8 = ( + ν) h / z h / E(z)dz 45

59 Vey = ν ; = ν ; = h / h / T(z)E(z) α(z)dz; 4 = ( + ν) 5 = ; ( + ν) 6 66 = ν ; 7 = h / h / T(z)E(z) α(z)zdz; 8 = 66 ( + ν) (.) = h / h / E(z)dz; = h / h / ze(z)dz; 66 = h / z h / E(z)dz Terml yüklemeye mruz kln küresel kbuğun toplm potnsiyel enerji fonksiyoneli zr, eğilme ve terml gerilme enerjilerinin toplmın eşittir. Küresel kbuklrl ilgili temel kynklrd (Volmir, 967) toplm potnsiyel enerji fonksiyoneline Euler denklemleri uygulndığınd geometrik lineer olmyn küresel kbuk için stbilite denklemleri şğıdki gibi elde edilir: T cos ( T sin ), T, =, T, + ( T sin ) + T M, ( M sin ) + [( T χ + T χ ) R sin + M cos],, sin cos =,, (.) + ( M + M cot ) ( N + N ) R sin R( T χ + T χ ) =,,, Burd şu tnımlr geçerlidir: χ = w,, ; χ R w = R sin (.) 46

60 (.) stbilite denklemleri toplm potnsiyel enerji fonksiyonelinin ikinci vrysyonu göz önüne lınrk elde edilmiş ve yer değiştirme bileşenleri krrlı denge ve komşu denge durumun krşı gelen terimlere bğlıdır. Böylece, kuvvet ve moment bileşenleri krrlı denge ve komşu denge durumun it oln iki terimin toplmın eşit olduğu görülmektedir. Toplm potnsiyel enerjinin ifdesini geometrik lineer gerilme-yer değiştirme bğıntılrı kullnılrk d elde edilebilir. Bunun için Tylor genişleme yoluyl elde edilen ifde, toplm potnsiyel enerjinin birinci ve ikinci mertebeden vrysyonlrının toplmın eşit oln iki ifdeye yrılır. Toplm potnsiyel enerji fonksiyonelinin ikinci vrysyonun Euler denklemleri uygulndığınd küresel kbuğun (.) stbilite denklemleri şğıdki şekle dönüşür: T cos ( T sin ), T, = T, ( T sin ) + T M, ( M sin ) + [ T χ R sin + T χ R sin + M cos ] +,, sin cos =, (.4) + ( M + M cot ) R sin ( T + T ) R( T χ + T χ ) =,,, Burd indislerde bulunn denge durumunu ise stbilite durumunu göstermekte olup ile gösterilen terimler, verilen yükler için denge denklemlerinin çözümüdür. T,T, T terimleri ise burkulm öncesi yükler olup formlrı denge denklemlerinin zr formu kullnılrk elde edilebilir. (.4) denklemleri sığ küresel kbuğun lineer stbilite denklemleri olrk dlndırılır. 47

61 48 (.4) ifdelerinde geometrik lineer olmyn terimler göz rdı edildiğinde küresel kbuğun her hngi noktsındki deformsyon ile referns yüzeydeki deformsyon ve eğrililikler rsındki bğıntılr lineer durumd şğıdki gibi olur: = ε ε ε sin cot w w cot w sin w w R z R sin cos v sin v u R sin w sin u cos v R w u,,,,,,,,, (.5) Geometrik lineer olmyn terimler göz rdı edildiğinde kuvvet ve moment bileşenleri için (.8) ve (.9) ifdeleri şğıdki şekle dönüşür: ( ) ν χ + + νχ χ + + ν + νχ χ + + ν = e ) ( e e ) ( ) e (e T T T 5 4 (.6) ( ) ν χ + + νχ χ + + ν + νχ χ + + ν = e ) ( e e ) ( ) e (e M M M (.7) (.5) ifdeleri (.6) ve (.7) bğıntılrınd yerine yzılıp kuvvet ve moment bileşenleri u,v,w yer değiştirmeleri ile şğıdki gibi ifde edilir:

62 49 ν + + ν + ν + ν + + ν ν + ν + ν + ν + = w sin R w sin R cot v cot R v R u R sin w R cot w R sin w R w R u R u cot R v R sin cot w R sin w R w R w R v R sin u cot R u R T T T (.8)

63 5 ν + + ν + ν + ν + + ν ν + ν + ν + ν + = w sin R w sin R cot v cot R v R u R sin w R cot w R sin w R w R u R u cot R v R sin cot w R sin w R w R w R v R sin u cot R u R M M M (.9) (.4) denklemlerini şğıdki şekle dönüştürelim: T cos T sin T cos T = (.) cos T sin T T = + + (.) ( ) w T w sin T w T cos w T sin w T sin T R T cot M M sin M cos M M sin sin M cos M sin M = (.)

64 (.8) ve (.9) bğıntılrı (.)-(.) stbilite denklemlerinde yerine yzıldığınd şğıdki şekle dönüşür: Λ u cot cos + νu sin u 4 u cos sin u sin + v cot + 4 v v cot ν 4 v R w cot cos ( + ν) w sin R w νsin R w cot cot w ν sin R sin (.) w 5 + cos R R cot w + sin R w sin + R ν sin w 5 + R w = sin Λ u cot u + ν + 4 u cot + 4 u + 4 v cos vcot cos + 4 v + sin 4 v sin + 4 vsin + w ( + ν) (.4) R w sin R w cot R w 5 ν R w 5 R w = 5

65 Λ u v ( + ν) sin u( + ν) cos ( + ν) ( + ν) w sin 5 + R sin sin u v v R νu sin + νu cot cos + u cos + u cos cot u u u u ν sin ν cos cos cot + cos u u sin + cot sin + R u ν u sin + sin + ( + ν) v v + ν cot v + cot v v v ν cot + ν + sin v + ( + ν)w sin w w w ( + ν) w + ( + ν) cos ( + ν) sin + ( + ν) sin + sin + R 6 ( + ν) w w cos cot w w cos + ν cos ν sin w ν cot cos ( + ν) w cot w ν + ν cos sin w cot w w + cot cos + ν sin sin ( + ν) sin w ( ν) w cot w + sin sin w + sin ν w cos 4 w ν w sin 4 sin 4 4 w 4 sin + R 8 sin w cot w cot w + sin sin sin 4 w (.5) + T w w sin cos + + T sin w + T w w + = Burd Λ (i,,) difernsiyel opertörlerdir. i = 5

66 .. Terml Genleşme Ktsyısı Değişken ve Homojen Olmyn Küresel Kbuklrın Terml Yük Etkisi Altındki Stbilite Denklemlerinin Çözümü Kbul edelim ki küresel kbuk bsit mesnetli sınır koşullrını sğlmktdır (Şekil.4). Bsit mesnetli sınır koşullrı mtemtiksel olrk şğıdki gibi ifde edilmektedir (Volmir, 967; Shhsih t. l., 6): ( u ) ( v) = ( w ) = ( w), = L L, = = = = = L L (.6) Şekil.4. Bsit mesnetli küresel kbuk (.6) bsit mesnetli sınır koşullrını sğlyn sığ küresel kbuğun yer değiştirme bileşenleri için yklşım fonksiyonlrı şğıdki gibi seçilmektedir (Muc,989 ve Eslmi t. l., ): u = A cos ( n) cos( λ) v = A sin ( n) sin( λ) L (.7) w = A cos ( n) sin( λ) π 5

67 Burd A i,i =,, bilinmeyen sbitler, λ = mπ / L, m ve n meridyenel ve çevresel burkulm dlg syılrı ve L, küresel bölge çısıdır. (.)-(.) stbilite denklemlerine Bubnov-Glerkin yöntemi uygulylım: L π ( n) cos( λ) Λ cos R sin dd = L π ( n) sin( λ) Λ sin R sin dd = (.8) L π ( n) sin( λ) R sin dd Λ cos = (.7) yklşım fonksiyonlrı (.8) denklemlerinde yerine yzıldığınd ve integrsyon ypılrk ve bzı mtemtiksel işlemlerin rdındn şğıdki cebrisel denklemler sistemine dönüşür: A + A + A = A + A + A = (.9) A + A + [ T ( λ C λc ) n C T ] A = b 9b Burd ( i, j,, ) ij = mlzeme ve kbuk krkteristiklerine bğlı oln ktsyılr olup şğıdki şekilde tnımlnır: [ C + ( λ + ν) C + C ] n 44 λ C =, ( νλc6 C5 ) n + ( λc6 C5 ) 4 =, n 54

68 = ( + ν) λc + ( λc C ) + n R [ λ C + ( λ + ν) λc + νn λc νn C n C + λc ], R ( νλc C4 ) n + ( λc C4 ) 4 =, n [ λc C5 + ( λ ) ] 4 n C8 + C =, = n ( + ν) nc ( n C7 nλc4 νnλ C ) + ( C λ C ) R R 5, = ( + ν)( C λc ) + [ λ C b νn b λc 9b C + νc c + C C c b νλc λn C9b5 ( ν + λ )], R b νλc 8 R λc 9 + λ C n C 7 = 5 nc ( + ν) + n C ( λ ) R n [ C ( + ν νλ ) + C + νλc λc n C + nνc ], 5 7 c R = C + n + λ + C C 5 8n + R ( + ν) + C ( + ν) ( + ν) λc + ( + ν) 6 ( + ν) C9b ( + ν) λcc + λc( + λ ) + C R + C λ ( + λ ) C λ ν + C n ( λ ν ν) 9 n b 4 b νλc R νλc + n νc [ C ( λ ) C + C λ] 9b c c b 8 7 4c 9b λ C c νn λc 5c b λ + n C λ n C λ(.5ν)c (.) 7 55

69 Burd C (i =,..,5), C (j =,..,8), C (k =,..,9), C (q,..,6) ktsyılrı i j kb qc = için geçerli oln tnımlr Ek- de sunulmktdır. Homojen olmyn sığ küresel kbuğun terml burkulm yükünü bulmk için (.9) mtris şeklindeki cebirsel denklemin ktsyılrındn oluşn determinnt sıfır eşitlenir: = (.) Burd T T = b = T olduğu dikkte lınmış ve şu tnım geçerlidir: b ( λ C λc ) n C b T b 9bT = (.) (.) denklemine Srrus kurlı uygulndığınd şğıdki şekle dönüşür: T b = [ + + ] [ λ C b + n C 9b + λc λc λ C b (.) n C 9b ] Burkulm yükünün syılrın göre minimize edilir. b T minimum değerini bulmk için (.) ifdesi n ve m dlg 56

70 Küresel kbuk meknik dış bsınç yükü etkisi ltınd olduğund T T = qr = olur ve (.) denklemi şu şekle dönüşür: q kr [ = ( / R) + + ] [ λ C b + n C 9b + λc λc (.4) λ C b n C 9b ] Meknik burkulm yükünün q kr minimum değerini bulmk için (.4) ifdesi n ve m dlg syılrın göre minimize edilir. 57

71 .. Terml Genleşme Ktsyısı Değişken ve Homojen Olmyn Küresel Kbuklrın Kritik Üniform Sıcklık Artışı için Anlitik İfdelerin Bulunmsı Kbul edelim ki küresel kbuk sbit T sıcklığı ltınd olsun. Bsit mesnetli sınır koşulund sıcklık üniform olrk rtr (vey zlır) ve sonuçt öyle bir T değeri lır ki bu değerde kbuğun stbilitesi bozulur, yni küresel kbuk burkulm ypr. Bu sıcklık değişimi Δ T = T T olup üniform sıcklık rtışı dlndırılır. Üniform sıcklık rtışı (USA) ltındki küresel kbukt T( z) ΔT = göz önüne lınır. Burkulm öncesi kuvvetleri denge denklemlerinin zr formunun çözülmesiyle elde edilmektedir (Bkz, Shhsih nd Eslmi, ). Burkulm öncesi kuvvet bileşenleri için ifdeler şğıdki gibi elde edilir: ΔTh / T = T / E(z) α(z)dz = (.5) ν (.5) ifdesi ile tnımlnn T ve T ifdeleri (.) denkleminde yerine yzıldığınd, terml genleşme ktsyısı değişken ve homojen olmyn mlzemeden oluşn küresel kbuk için kritik üniform sıcklık rtışı için şğıdki ifde elde edilir: T krnh USA [ = α ΔT λ C b NH USA + n = h C 9b / / ν E(z) ϕ (z)dz λc λc λ C b (.6) n C 9b ] Burd krnh T USA, homojen olmyn izotrop sığ küresel kbukt terml genleşme ktsyısı değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ifdesidir. Kritik üniform sıcklık rtışının ( T krnh USA minimize edildiğinde elde edilir. ) minimum değeri, (.6) ifdesi m ve n ye göre 58

72 Bzı özel durumlrı ele llım: ) Küresel kbuğu oluşturn mlzeme homojen olmyn ve terml genleşme ktsyısı sbit olduğund (.5) denklemi şğıdki şekle dönüşür: T krnh USA [ = α ΔT λ C b Nh USA + n = h C 9b / / ν + + E(z)dz + λc λc λ C b (.7) n C 9b ] Burd krnh T USA, homojen olmyn izotrop sığ küresel kbukt terml genleşme ktsyısı sbit olduğund boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ifdesidir. b) Küresel kbuğu oluşturn mlzemenin Young modulü sbit ve terml genleşme ktsyısı değiştiğinde (.6) denklemi şğıdki şekle dönüşür: T krnα USA [ = α ΔT λ C b Nα USA + n = he C 9b / / ν ϕ (z)dz λc λc λ C b (.8) n C 9b ] Burd krnα T USA, homojen izotrop sığ küresel kbukt terml genleşme ktsyısı değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ifdesidir. Homojen izotrop küresel kbuk için (.8) ifdesinin içerdiği ij (i, j =,, ) ktsyılrı için şu tnımlr geçerlidir: 59

73 [ C + ( λ + ν) C + C ] Eh n E h = λ C 4, R( ν ) R ( + ν) n E h n E h = ( νλc6 C5 ) + ( λc6 C5 ), R ( ν ) R ( + ν) Eh = ( + ν) λc, R( ν ) n E h n E h = ( νλc C4 ) + ( λc C4 ), R ( ν ) R ( + ν) [ λc C + ( λ ) C ] n E h E h = C8 + 5, R ( ν ) ( + ν)r = = ( + ν) ( + ν)( C λc ) = nc C n E h, R ( ν ) E b h ( + ν), ( ν E h, ( ν ) ) = C b E h E h ( + ν) + [ λc ( + λ ) ν ( ν )R + C b λ n C + λ C 9 + C b λ + n ( + λ ) C λ ν + C n ( λ ν ν) 8 λ(.5ν)c 7 + C 5 n 9b 4 νλc c νλc c + n νc 4c λ C c νn λc 5c ] (.9) E h n + ( + ν)r [ C ( λ ) C + C λ] 9b 7 6

74 c) Küresel kbuğu oluşturn mlzeme ve terml genleşme ktsyısı sbit olduğund (.6) denklemi şğıdki şekle dönüşür: T krh USA [ = α ΔT λ C b H USA + n + + ν = he C 9b + λc λc λ C b (.4) n C 9b ] Burd T krh USA sıcklık rtışı ifdesidir., homojen izotrop sığ küresel kbuk için boyutsuz kritik üniform Boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışlrı krnh T USA, krnα T USA, krh T USA için (.7), (.8) ve (.4) ifdeleri m ve n ye göre minimize edilerek minimum değerleri bulunur. 6

75 4. ARAŞTIRMA BULGULARI 4.. Homojen Olmyn Elstik Mlzeme Özelliklerinin ve Terml Genleşme Ktsyısının Anlitik Modellenmesi Bu kısımd, homojen olmyn elstik mlzeme özellikleri ve terml genleşme ktsyısı iki ve üç boyutlu olrk nlitik modellenmektedir. Young modülü E(P) o ve terml genleşmenin α (/ C) değişim fonksiyonlrı klınlık koordintın bğlı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde iki ve üç boyutlu modelleri sunulmktdır. Şekillerde eksenler üzerinde Young modülü için E(P); ϕ / L; z / h ve terml genleşme ktsyısı için olrk göz önüne lınmıştır. o α (/ C); ϕ / L; z / h sembolleri kullnılmış ve μ = μ = Syısl hesplrd homojen ve homojen olmyn metl sığ küresel kbuk dikkte lınmıştır. Sığ küresel kbuğun geometrisi, Şekil.-.4 ve Şekil 4.7 de gösterilmiştir. Mlzeme olrk homojen elstik çelik kullnılmktdır. Homojen durum için Young modülü ve terml genleşme ktsyılrı sırsıyl E = GP ve 6 o α =.7 / C olrk dikkte lınmktdır. Çelik için Poisson ornı. kbul edilmiştir. 6

76 ) Young modülü ve terml genleşme ktsyısı değişim fonksiyonlrı ϕ ( ) = + z ve ( ) = + z, z μ ϕ μ = μ olduğund Young modülü ve z μ = terml genleşme ktsyısı değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri şğıd sunulmuştur (Şekil 4. ve 4.): ) b) Şekil 4.. Young modülünün doğrusl değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri ) b) Şekil 4.. Terml genleşme ktsyısının doğrusl değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri 6

77 b) Young modülü ve terml genleşme ktsyısı değişim fonksiyonlrı ( ) = + μ z ; ϕ ( z) = + μ z, μ = μ ϕ olduğund Young modülü z = ve terml genleşme ktsyısı değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri şğıd sunulmuştur (Şekil 4. ve 4.4): ) b) Şekil 4.. Young modülünün prbolik değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri ) b) Şekil 4.4. Terml genleşme ktsyısının prbolik değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri 64

78 c) Young modülü ve terml genleşme ktsyısı değişim fonksiyonlrı ( ) = + μ z ; ϕ ( z) = + μ z, μ = μ ϕ olduğund Young modülü z = ve terml genleşme ktsyısı değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri şğıd sunulmktdır ( Şekil 4.5. ve 4.6): ) b) Şekil 4.5. Young modülünün kübik değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri ) b) Şekil 4.6. Terml genleşme ktsyısının kübik değişiminin iki ve üç boyutlu modelleri 65

79 4.. Krşılştırmlr Bu çlışmnın doğruluğunu knıtlmk için çık litertürde bulunn bzı sonuçlrl krşılştırmlr ypılmıştır. İlk krşılştırm meknik dış bsınç yükü etkisi ltınd homojen küresel kbuğun burkulmsın ittir. Tez çlışmsınd kritik dış bsınç yükü için (.4) ifdesi ve Ogiblov nd Koltunov (969) çlışmsınd kritik dış bsınç yükü için şğıdki ifde kullnılrk hesp ypılmıştır: q kr E h = (4.) R ( ν ) Ayrıc, Ambrtsumyn (968) çlışmsınd kritik dış bsınç yükü için şğıdki ifde kullnılrk hesp ypılmıştır: E h ν h νh q kr = (4.) R( ν ) R 6R Syısl hesplr Çizelge 4. de sunulmktdır. Syısl hesplrd çelik mlzeme 5 = değerleri, E = (MP), ν. kullnılmıştır. Çizelge 4. den görüldüğü gibi tez çlışmsındki kritik dış bsınç yükü değerleri klsik sonuçlrl iyi uyum içindedir. Çizelge 4.. Değişik R/h ornı için homojen kürenin kritik dış bsınç yükü değerlerinin litertürdeki uygun sonuçlrl krşılştırılmsı (MP) q kr R/h Ogiblov nd Koltunov (969) Ambrtsumyn (968) Sunuln çlışm (,) (,) İkinci krşılştırm kritik üniform sıcklık rtışı için ypılmış ve Çizelge 4. de sunulmktdır. Tez çlışmsınd sbit üniform sıcklık dğılımı ve homojen küresel kbuk için (.4) ifdesi kullnılrk syısl hesplr ypılmış ve elde edilen 66

80 sonuçlr Eslmi t. l. () ve Shhsih t. l. (6) çlışmlrındki syısl sonuçlrl krşılştırılmktdır. Küresel kbuğun geometrik krkteristikleri (Şekil.4 ve 4.7) şu şekildedir: L = o için bizim sonuçlrın diğer çlışmlrdki sonuçlrl kıyslndığınd düşük olduğu sptnmıştır. o L = için bizim sonuçlrın Eslmi t. l. () çlışmsındki sonuçlrl uyum içine olduğu görülmüştür. Çizelge 4.. Homojen kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrı ile litertürdeki uygun değerlerin krşılştırılmsı (R/h=) kr USA T (m,n) π /8 π / 9 Eslmi t. l. () Shhsih t. l. (6) Sunuln çlışm Eslmi t. l. () Shhsih t. l. 6) Sunuln çlışm.7(,) 5.58(,).(,) 4.6(,) 4.99(,).967(,) Şekil 4.7. İnce küresel kbuğun geometrik prmetreleri 67

81 4.. Terml Genleşme Ktsyısı Değişken ve Homojen Olmyn Küresel Kbuklrın Kritik Sıcklık Artışı Anlizleri 5 = Bu kısımd, homojen çelik mlzeme özellikleri E = (MP), ν. ve terml genleşme ktsyısı 6 o α =.7 / C olrk dikkte lınrk R/h ve H / ornlrın göre, L destekleyici çısının değişimine göre, Young modülü ve terml genleşme ktsyılrı μ (i,) yrı-yrı ve birlikte lineer, prbolik ve kübik i = olrk değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışlrı, T krh USA ; T krnh USA ; T krnα USA ; T krnh USA, için kpsmlı syısl hesplr ve nlizler ypılmıştır. Syısl hesplr çizelgeler şeklinde ve grfiksel olrk sunulmuştur. Çizelge 4. de terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiği durumlr için elstik kürenin krh T USA ve krnh T USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışlrı ve uygun dlg syılrının R/h ornın göre değişimi sunulmktdır. Ayrıc Çizelge 4. de terml genleşme ktsyısı ve Young modülü sbit olduklrı durumlr için elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışının R/h ornın göre değişimi sunulmktdır. R/h ornı rttığınd homojen ve homojen olmyn elstik kürenin krnh T USA değerlerinin sürekli zldığı gözlenmiştir. R/h ornı rttığınd homojen ve homojen olmyn elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen çevresel dlg syısı n sürekli rtmkt, meridyenel dlg syısı m ise bire eşit olmktdır. Ayrıc R/h ornı rttığınd, küreyi oluşturn mlzemenin Young modülü lineer ve kübik değiştiğinde elstik kürenin T krnh USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etkisi zlır, fkt Young modülü prbolik değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etki z olup R/h ornının değişimine göre bir düzene ship değildir. Örneğin; R/h=5 olduğund, Young modülü değişim fonksiyonu lineer, prbolik ve kübik fonksiyonlr şeklinde değiştiği durumlr homojen duruml kıyslndığınd elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışın etkileri, sırsıyl %9.9; %.6;%9.5 olmktdır. R/h= olduğund, söz konusu etkiler, sırsıyl %65.4; %.; %7.67 olmktdır. R/h=5 olduğund, söz konusu etkiler, sırsıyl %6.; %.; %.65 68

82 olmktdır. R / h 5 olduğund Young modülü değişim ktsyısının boyutsuz kritik sıcklık rtışın etkisi önemli derecede zlmkt ve homojen olmyn küre homojen mlzemeden oluşn küreye ykın bir dvrnış sergilemektedir. Dolyısıyl çok ince küresel kbuklrd Young modülü değişiminin boyutsuz kritik sıcklık rtışın etkisi dikkte lınmybilir. Ayrıc, sdece Young modülü değiştiğinde boyutsuz kritik sıcklık rtışın en fzl etki lineer durumd en z etki ise prbolik durumd olmktdır. Çizelge 4.. Terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışlrı ve uygun dlg syılrının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; = / 9 ) T (m,n) krnh T (m,n) krh USA R/h ϕ( z) = ; ϕ ( z) = USA Homojen Homojen Olmyn L π ( ) ( ) ϕ = z; ϕ z ϕ ( ) = z ; ϕ ( z) ϕ ( ) = z ; ϕ ( z) z = z = z = 5.6(,) 9.7(,).76(,) 4.995(,) (,).5(,) 6.99(,) 8.4(,) (,) 8.76(,) 5.64(,) 5.77(,).967(,) 6.55(,) 4.9(,) 4.668(,) 5.7(,).64(,4).98(,).(,) 5.98(,6).(,6).7(,6).6(,6) 75.9(,7).89(,8).95(,7).94(,7).69(,8).669(,9).7(,8).69(,9) Çizelge 4. temel lınrk Şekil 4.8 ve Şekil 4.9 d terml genleşme ktsyısı sbit tutulup Young modülü sbit, lineer, prbolik ve kübik değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının R/h ornın göre değişimleri sunulmktdır. Şekil 4.8 de R/h=5; 5; 75; olrk Şekil 4.9 d ise R/h=5; 5; 75; olrk dikkte lınmktdır. Şekil 4.8 ve 4.9 dki eğriler kıyslndığınd R/h ornının rtışı ile boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı eğrilerinin birbirine yklştığı görülmektedir. 69

83 5 5 5 Homojen Lineer Prbolik Kübik Şekil 4.8. Terml genleşme ktsyısı sbit ve Young modülü kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; = / 9 ) L π Homojen Lineer Prbolik Kübik Şekil 4.9. Terml genleşme ktsyısı sbit ve Young modülü kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde krnh USA T in R/h ornın göre değişimi ( μ = ; = / 9 ) L π Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve Young modülü sbit olduğund kürenin krnα T USA boyutsuz kritik sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının R/h ornın göre değişimi Çizelge 4.4 de sunulmuştur. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve Young modülü sbit 7

84 olduğund, R/h ornı rttığınd boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen çevresel dlg syısı n sürekli rtmkt, meridyenel dlg syısı m ise genelde bire vey ikiye eşit olmktdır. Görüldüğü gibi terml genleşme ktsyısı lineer ve kübik olduğund kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışın hiçbir etki yoktur. Yni terml genleşme ktsyısı sbit olduğu durumdki kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışı değerlerinin ynısı elde edilir. Terml genleşme ktsyısı prbolik fonksiyon şeklinde değiştiğinde ve R/h ornı rttığınd homojen elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı değerlerinin sürekli zldığı görülmektedir. Terml genleşme ktsyısı prbolik değiştiğinde R/h ornındn bğımsız olrk etki (-%7.7) civrınd olmktdır. Bu orn terml genleşme ktsyısı, μ nin değerlerine bğlı olrk değişebilir. Çizelge 4.4. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve Young modülü sbit olduğund R/h krnα T USA ve uygun (m,n) dlg syılrının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; = / 9 ) L π krnα USA T (m,n) Homojen Olmyn ϕ ( ) = ; ϕ ( z) z ϕ ( z ) = ; ϕ ( z) = ϕ ( z ) = ; ϕ ( z) = z = z z 5.6(,).69(,).6(,) (,) 6.5(,) 6.88(,) (,) 4.86(,) 5.8(,).967(,).66(,).966(,) 5.7(,).9(,).7(,) 5.98(,6).98(,6).98(,6) 75.9(,7).8(,7).9(,7).69(,8).64 (,8).69(,8) Çizelge 4.4 temel lınrk Şekil 4. ve Şekil 4. de Young modülü sbit tutulup terml genleşme ktsyısı lineer, prbolik ve kübik değiştiğinde elstik kürenin krnα T USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının R/h ornın göre değişimleri sunulmktdır. Şekil 4. d R/h=5; 5; 75; olrk, Şekil 4. de ise R/h=5; 5; 75; olrk dikkte lınmktdır. Şekil 4. ve 4. deki eğriler 7

85 kıyslndığınd R/h ornının rtışı ile boyutsuz sıcklık rtışı eğrilerinin birbirine yklştığı görülmektedir. 9 7 Sbit (μ=) Lineer Prbolik Kübik Şekil 4.. Young modülü sbit ve terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin krnα T USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; = / 9 ) L π.5..5 Sbit (μ=) Lineer Prbolik Kübik Şekil 4.. Young modülü sbit ve terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu krnα USA şeklinde değiştiğinde T nin R/h ornın göre değişimi ( μ = ; = / 9 ) L π 7

86 Çizelge 4.5 de Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde kürenin T krnh USA boyutsuz kritik sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının R/h ornın göre dğılımı sunulmktdır. Çizelge 4. ve Çizelge 4.4 de olduğu gibi burd d R/h ornı rttığınd homojen olmyn elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışı değerleri sürekli olrk zlmktdır. R/h ornı rttığınd Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen çevresel dlg syısı n sürekli rtmkt, meridyenel dlg syısı m ise genelde bire vey ikiye eşit olmktdır. Ayrıc, R/h ornı rttığınd, küreyi oluşturn mlzemenin Young modülü ve terml genleşme ktsyısı lineer ve kübik değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışın etkisi zlır, fkt Young modülü ve terml genleşme ktsyısı prbolik değiştiğinde kritik sıcklık rtışın etki %4.8 ile %6.95 rsınd değişmekte olup R/h ornının değişimine göre bir düzene ship değildir. Örneğin; R/h=5 olduğund, Young modülü ve terml genleşme ktsyısı değişim fonksiyonu lineer, prbolik ve kübik fonksiyonlr şeklinde değiştiği durumlr homojen duruml kıyslndığınd krnh T USA değerlerine etkiler, sırsıyl %76.4; (- %6.64); %9.7 olmktdır. R/h= olduğund, söz konusu etkiler, sırsıyl %5.4; (-%5.4); %7.4 olmktdır. R/h=5 olduğund, söz konusu etkiler, sırsıyl %6.5; (-%6.95); %.4 olmktdır. R / h > 5 olduğund Young modülü ve terml genleşme ktsyısı değişim ktsyısının boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etkisi önce zlır sonr ise yvşt ols rtr. Diğer yndn R / h > 5 olduğund homojen olmyn kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı önemli derecede zlmkt ve homojen olmyn kürenin boyutsuz sıcklık rtışı homojen mlzemeden oluşn kürenin boyutsuz sıcklık rtışındn küçük olur. Ayrıc, Young modülü ve terml genleşme ktsyısı birlikte değiştiğinde; R/h<5 için boyutsuz kritik sıcklık rtışın en fzl etki lineer durumd en z etki ise prbolik durumd ve R/h>5 için boyutsuz kritik sıcklık rtışın en fzl etki lineer durumd en z etki ise kübik durumd olmktdır. Çizelge 4., 4.4 ve 4.5 kendi rlrınd krşılştırıldığınd Young modülü ve terml genleşme ktsyısı birlikte ve yrı-yrı değiştiğinde boyutsuz kritik sıcklık rtışın prbolik durumd etkinin z olduğu görülmektedir. 7

87 Çizelge 4.5. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde kürenin R/h krnh TUSA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; μ = ; = / 9 ) krnh USA T (m,n) Homojen Olmyn L π ϕ ( ) = z; ϕ ( z) z ϕ ( z ) = z ; ϕ ( z) = ϕ ( z ) = z ; ϕ ( z) = z = z z 5 7.(,).75(,) 4.96(,) 5.5(,) 6.4(,) 8.6(,) (,) 4.98(,) 5.757(,) 6.47(,).759(,) 4.658(,) 5.4(,4).97(,).8(,) 5.(,6).8(,6).(,6) 75.84(,8).85(,7).9(,7).68(,9).65(,8).69(,9) Çizelge 4.5 verileri kullnılrk, Şekil 4. ve Şekil 4. de Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi sbit, lineer, prbolik ve kübik değiştiğinde krnh T USA değerlerinin R/h ornın göre değişimleri sunulmktdır. Şekil 4. de R/h=5; 5; 75; olrk Şekil 4. de ise R/h=5; 5; 75; olrk dikkte lınmktdır. Şekil 4. ve deki eğriler kıyslndığınd R/h ornının rtışı ile krnh T USA i simgeleyen eğrilerin birbirine yklştığı görülmektedir. 74

88 6 8 4 Homojen Lineer Prbolik Kübik Şekil 4.. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; μ = ; = / 9 ) L π Homojen Lineer Prbolik Kübik Şekil 4.. Young modülü sbit ve terml genleşme ktsyısı her ikisi sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının R/h ornın göre değişimi ( μ = ; μ = ; = / 9 ) L π 75

89 Terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin ve uygun dlg syılrının krh T USA ve krnh T USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışlrı L destekleyici çıy göre dğılımı Çizelge 4.6 d sunulmktdır. Ayrıc, terml genleşme ktsyısı ve Young modülü sbit olduğund elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışının bu çizelgede yer lmktdır. Çizelge 4.6 dn görüldüğü gibi L destekleyici çıy göre dğılımı L destekleyici çı rttığınd, Young modülü değişim fonksiyonu sbit ve prbolik değiştiği durumlrd kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı değerleri rtmktdır. Young modülü değişim fonksiyonu lineer değiştiğinde ve rttığınd kürenin L destekleyici çı T krnh USA önce zlmkt sonr rtmkt ve dh sonr tekrr zlmktdır. Young modülü değişim fonksiyonu kübik değiştiğinde ve destekleyici çı rttığınd kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı yklşık değişmemektedir. L destekleyici çı rttığınd, Young modülü kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen çevresel dlg syısı n yvş ve düzensiz, meridyenel dlg syısı m ise dh hızlı ve düzenli rtmktdır. Ayrıc m dh hızl rtmktdır. Terml genleşme ktsyısı sbit olduğund, L destekleyici çının değişimine bğlı olrk Young modülü değişiminin kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışın etkileri homojen durum kıysl ( μ = μ ) şu şekilde olur: Lineer durumd = o o o o o L L = ; 5 ; ; ;4 ; 45 için sırsıyl, %7; 8; %65; %69; %46; %5., prbolik durumd o o o o o o L = ; 5 ; ; ;4 ; 45 için sırsıyl, %.6;.5; %.; %.7; %.5; %.5 kübik durumd %49.4;.88; %7.67; %.4; %7.4; %5.7. o o o o L = ; 5 ; ; ;4 ; 45 için sırsıyl, o o o 76

90 Çizelge 4.6. Terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının krh USA L destekleyici çıy göre değişimi ( μ = ; R / h ) = T (m,n) krnh T (m,n) Homojen L ϕ( z) = ; ϕ ( z) = USA Homojen Olmyn ( ) ( ) ϕ = z; ϕ z ϕ ( ) = z ; ϕ ( z) ϕ ( ) = z ; ϕ ( z) z = z = z = o.(,).69(,).(,) 4.5(,) 5 o.64(,) 7.547(,).67(,) 4.45(,) o.967(,) 6.55(,) 4.9(,) 4.668(,) o 4.4(,) 6.984(,) 4.68(,) 4.6(,) 4 o 4.99(4,) 6.4(4,) 4.7(4,) 4.59(4,) 45 o 4.7(4,) 5.8(4,) 4.46(4,) 4.55(4,) Çizelge 4.6 dki değerler kullnılrk Şekil 4.4 de terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit, lineer, prbolik ve kübik değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının L destekleyici çıy bğlı değişimi verilmektedir. Şekil 4.4 den görüldüğü gibi boyutsuz kritik sıcklık rtışın en fzl etki lineer durumd, en z etki ise prbolik durumd olmktdır. 8 Homojen Lineer Prbolik Kübik Şekil 4.4. Terml genleşme ktsyısı sbit ve Young modülü sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde krnh T USA nin L çısın bğlı değişimi ( μ = ; R / h ) = 77

91 Homojen kürenin terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiği durumlrd boyutsuz kritik sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının L destekleyici çıy bğlı dğılımı Çizelge 4.7 de gerçekleşmektedir. Çizelge 4.7 den görüldüğü gibi terml genleşme ktsyısı sdece prbolik değiştiğinde boyutsuz kritik sıcklık rtışın etki meydn çıkmktdır. Lineer ve kübik durumlrd etki meydn çıkmmktdır. Ayrıc, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı terml genleşme ktsyısının prbolik değişimi için rttığı Çizelge 4.7 den görülmektedir. L destekleyici çının rtışın bğlı olrk L destekleyici çısı rttığınd, Young modülü sbit ve terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen meridyenel dlg syısı m sürekli rtmkt, çevresel dlg syısı n ise bir-iki rsınd değişmektedir. Terml genleşme ktsyısı prbolik değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etki L destekleyici çının rtışındn bğımsız olup, yklşık (-%7.7) olduğu nlizlerden görülmektedir. Çizelge 4.7. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve Young modülü sbit olduğund kürenin L uygun dlg syılrının L krnα T USA boyutsuz kritik sıcklık rtışı ve çısın bğlı değişimi ( μ = ;R / h ) krnα USA (m,n) T Homojen Olmyn = ϕ ( ) = ; ϕ ( z) z ϕ ( z ) = ; ϕ ( z) = ϕ ( z ) = ; ϕ ( z) = z = z z o.(,).79(,).(,) 5 o.64(,).45(,).64(,) o.967(,).66(,).966(,) o 4.4(,).8(,) 4.4(,) 4 o 4.99(4,).876(4,) 4.99(4,) 45 o 4.7(4,).976(4,) 4.7(4,) 78

92 Şekil 4.5 de terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve homojen elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışlrının L destekleyici çıy bğlı dğılımlrı Çizelge 4.7 deki veriler kullnılrk çizilmiştir. Terml genleşme ktsyısı prbolik olrk değiştiğinde boyutsuz kritik sıcklık rtışın etkinin olduğu, diğer eğrilerin ise μ durumu ile çkıştığı Şekil 4.5 den görülmektedir. = Sbit (μ=) Lineer Prbolik Kübik Şekil 4.5. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve homojen elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışının ( μ = ;R / h ) = L çısın bğlı dğılımı Çizelge 4.8 de Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde kürenin krh USA T ve T krnh boyutsuz kritik sıcklık rtışlrı ve uygun çevresel ve meridyenel dlg syılrının, R/h=5 ve değerleri için, L destekleyici çıy bğlı dğılımı sunulmktdır. Çizelge 4.8 den görüldüğü gibi, lineer durumd; destekleyici çı o L USA o rlığınd değiştiğinde homojen olmyn elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışı zlır, o L o < < 45 rsınd ise rtr. Prbolik durumd, destekleyici çı o L o 45 rsınd değiştiğinde kritik sıcklık rtışı yvş ols d rtr. Kübik durumd ise kritik sıcklık rtışı o L o 45 rlığınd yklşık olrk değişmez. Homojen durum için ise L destekleyici çının rtışın bğlı olrk krh T USA 79

93 kritik sıcklık rtışı rtmktdır. R/h ornı rttığınd, Young modülü ve terml genleşme ktsyısı birlikte kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen meridyenel dlg syısı m sürekli rtmkt, çevresel dlg syısı n ise genellikle bir-iki rsınd değişmektedir. Tüm homojen ve homojen olmm durumlrı için görülmektedir. Ayrıc, o L > olduğund rtışın yvşldığı L destekleyici çısı rttığınd, küreyi oluşturn mlzemenin Young modülü ve terml genleşme ktsyısı lineer, prbolik ve kübik değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etkisi zlır. Örneğin; o o o o o R/h= ise L = ; 5 ; ; ; 4 ; 45 olduğund, Young modülü ve terml genleşme ktsyısı değişim fonksiyonu bir rd lineer değiştiğinde etkiler sırsıyl, %44; %9; %5.4; %55.69; 4.9%; %4.8, prbolik durumd etkiler sırsıyl, %.68; (-%6.87); (-%5.4); (-%5.); (-%5.); (-%5.8); ve kübik durumd etkiler sırsıyl, %48.94; %.6; %7.4; %.6; %7.4; %5.8 olmktdır. Örneğin; o o o o o R/h=5 ise L = ; 5 ; ; ; 4 ; 45 olduğund, Young modülü ve terml genleşme ktsyısı değişim fonksiyonu bir rd lineer değiştiğinde etkiler sırsıyl, %; %69; %76; %54; %4; %5, prbolik durumd etkiler sırsıyl, (-%.8); (-%5.); (-%6.64); (-%5.56); (-%6.4); (-%5.64) ve kübik durumd etkiler sırsıyl, %5.8; %.6; %9.7; %.6; %5.8; %5.79 olmktdır. o o 8

94 Çizelge 4.8. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde krnh T USA ve uygun (m,n) dlg syılrının değişik R/h ornlrı için çısın bğlı değişimi ( μ = ; μ = ; R / h 5; ) krh USA L = T (m,n) krnh T (m,n) Homojen L ϕ( z) = ; ϕ ( z) = USA Homojen Olmyn ( ) ( ) ϕ = z; ϕ z z ϕ ( z ) = z ; ϕ ( z) = ϕ ( z ) = z ; ϕ ( z) = z = R / h = 5 z z o 8.5(,) 5.(,) 8.6(,).76(,) 5 o 6.(,) 6.56(,) 5.7(,) 7.877(,) o 6.88(,).5(,) 6.4(,) 8.6(,) o 8.7(,).4(,) 7.59(,) 8.94(,) 4 o 9.79(,).6(,) 8.778(,) 9.865(,) 45 o 8.48(,).495(,) 7.94(,) 8.95(,) R / h = o.(,).46(,).75(,) 4.5(,) 5 o.64(,) 6.966(,).75(,) 4.44(,) o.967(,) 6.47(,).759(,) 4.658(,) o 4.4(,) 6.447(,).9(,) 4.6(,) 4 o 4.99(4,) 5.64(4,).976(4,) 4.499(4,) 45 o 4.7(4,) 5.75(4,) 4.57(4,) 4.54(4,) Çizelge 4.8 deki değerler kullnılrk, Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışının L destekleyici çısının rtışın krşı gelen şekilde sunulmktdır (Bkz. Şekil 4.6). Prbolik durumd boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının L çı rtışın bğlı eğrilerinin lineer ve kübik durumdki uygun eğriler rsınd olduğu kolyc görülmektedir. 8

95 Homojen R/h= Lineer R/h= Prbolik R/h= Kübik R/h= Homojen R/h=5 Lineer R/h=5 Prbolik R/h=5 Kübik R/h= Şekil 4.6. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı her ikisi kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışının göre değişimi ( μ = ; μ = ; R / h 5; ) = L destekleyici çıy Çizelge ve Şekiller d sunuln değerler ve eğriler birlikte kıyslndığınd, boyutsuz kritik sıcklık rtışının değerlerinin ynı homojen olmm fonksiyonu için o L > olduğund boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının L çısın bğlı büyümesinin yvşldığı ve yklşık ynı değerlere ship olduğu nlizler sonucu orty çıkmktdır. Terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin krh T USA ve krnh T USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışlrıı ve uygun çevresel ve meridyenel dlg syılrının μ Young modülü değişim ktsyısın göre dğılımı Çizelge 4.9 d sunulmktdır. μ Young modülü değişim ktsyısı rttığınd boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının değerleri lineer, prbolik ve kübik durumlrın her üçünde rtmktdır. μ Young modülü değişim ktsyısı rttığınd boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen meridyenel dlg syısı m ve çevresel dlg syısı n genelde homojen durumd olduğu gibi değişmektedir. Ayrıc homojen olmmnın boyutsuz kritik sıcklık rtışın etkileri de rtmktdır. Örneğin; μ =. 5 olduğund kritik sıcklık rtışın etki lineer, prbolik ve kübik durumlrd sırsıyl %4.48, %.8 ve %4.94 olduğu hlde, 8

96 μ =.75 olduğund bu etkiler sırsıyl %57.7, %.9 ve %4.8 olur. μ = olduğund boyutsuz kritik sıcklık rtışın etkiler birz dh rtr. Çizelge 4.9. Terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin krh T USA ve krnh T USA boyutsuz kritik sıcklık rtışlrı ve dlg syılrının μ e bğlı dğılımı ( L = π / 9; R / h = ) T (m,n) krnh T (m,n) krh USA Homojen μ ϕ( z) = ; ϕ ( z) = USA Homojen Olmyn ϕ ( ) = z; ϕ ( z) ϕ ( ) = z ; ϕ ( z) ϕ ( ) = z ; ϕ ( z) z = z = z =.967(,).967(,).967(,).967(,).5.967(,) 4.98(,) 4.(,) 4.6(,).5.967(,) 5.65(,) 4.(,) 4.59(,) (,) 6.(,) 4.6(,) 4.555(,)..967(,) 6.55(,) 4.9(,) 4.668(,) Şekil 4.7 de sdece Young modülü kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışının μ ktsyısın bğlı eğrileri Çizelge 4.9 d sunuln veriler dikkte lınrk çizilmiştir. Şekil 4.7 den görüldüğü gibi μ rlığınd boyutsuz kritik sıcklık rtışının değerleri önemli derecede rtmktdır. 8

97 7 6 Homojen Lineer Prbolik Kübik Şekil 4.7. Young modülü kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve μ = olduğund krnh T USA değerlerinin μ ktsyısın bğlı dğılımı ( L = π / 9; R / h = ) Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve homojen elstik kürenin krnα TUSA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun çevresel ve meridyenel dlg syılrının μ ktsyısın bğlı dğılımı Çizelge 4. d verilmektedir. Lineer ve kübik durumlrd terml genleşme ktsyısının etkisi olmmkt, terml genleşme ktsyısı prbolik değiştiğinde μ nin rtmsı ile boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etki (-%7.69) kdr rtmktdır. Terml genleşme ktsyısı rttığınd boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen meridyenel dlg syısı m ve çevresel dlg syısı n genelde homojen durumd olduğu gibi değişmektedir. 84

98 Çizelge 4.. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve homojen elstik kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının μ μ terml genleşme ktsyısın göre dğılımı ( = π / 9; R / h ) krnα USA T (m,n) Homojen Olmyn L = ϕ ( ) = ; ϕ ( z) z ϕ ( z ) = ; ϕ ( z) = ϕ ( z ) = ; ϕ ( z) = z = z z.967(,).967(,).967(,).5.967(,).886(,).967(,).5.967(,).88(,).967(,) (,).7(,).967(,)..967(,).66(,).966(,) Şekil 4.8 deki çizgiler Çizelge 4. kullnılrk ypılmış ve kritik sıcklık rtışın etkinin sdece prbolik durumd olduğu, diğer durumlrd ise homojen duruml ynı olduğunu görsel olrk knıtlmktdır Sbit (μ=) Lineer Prbolik Kübik Şekil 4.8. Homojen elstik kürenin krnα T USA boyutsuz kritik sıcklık rtışının μ terml genleşme ktsyısın bğlı değişimi ( = π / 9; R / h ) L = 85

99 Çizelge 4. de Young modülü ve terml genleşme ktsyısı birlikte kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin krnh T USA boyutsuz kritik sıcklık rtışı ve uygun çevresel ve meridyenel dlg syılrının μ ve μ ktsyılrın bğlı değişimi yer lmktdır. μ ve μ ktsyılrının rtışın bğlı olrk kritik sıcklık rtışı değerlerinin rttığı çıkç görülmektedir. μ ve μ birlikte rttığınd boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen meridyenel dlg syısı m ve çevresel dlg syısı n genelde homojen durumd olduğu gibi değişmektedir. Ayrıc μ ve μ ktsyılrının rtışın bğlı olrk boyutsuz kritik sıcklık rtışın etkiler önemli derecede rtmktdır. Örneğin; Young modülü ve terml genleşme ktsyısı lineer fonksiyon şeklinde değiştiğinde L = π / 9 ve μ =μ =. 5 olduğund boyutsuz kritik sıcklık rtışın etki %.8 iken L = π / 9 ve μ =μ = olduğund bu etki %5.4 olur. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı prbolik fonksiyon şeklinde değiştiğinde L = π / 9 ve μ =μ =. 5 olduğund boyutsuz kritik sıcklık rtışın etki (-%.6) iken L = π / 9 ve μ =μ = olduğund bu etki (- %5.4) olur. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı kübik fonksiyon şeklinde değiştiğinde L = π / 9 ve μ =μ =. 5 olduğund boyutsuz kritik sıcklık rtışın etki %4.94 iken L = π / 9 ve μ =μ = olduğund bu etki %7.4 olur. L = π /8 olduğund ypıln incelemeler Young modülü ve terml genleşme ktsyısı birlikte değiştiğinde boyutsuz kritik sıcklık rtışın etkinin dh d rttığını göstermektedir. 86

100 Çizelge 4.. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde kürenin krh T USA ve krnh T USA boyutsuz kritik sıcklık rtışlrı ve uygun dlg syılrının μ ve μ ktsyılrın bğlı dğılımı ( = π / 9, π /8; R / h ) L = krh T USA (m,n) Homojen μ = μ ϕ( z) = ; ϕ z = ( ) krnh T USA (m,n) Homojen Olmyn ϕ ( ) = z; ϕ ( z) z ϕ ( z ) = z ; ϕ ( z) = ϕ ( z ) = z ; ϕ ( z) = z = z z L = π /.967(,).967(,).967(,).967(,).5.967(,) 4.9(,).97(,) 4.6(,).5.967(,) 5.49(,).865(,) 4.57(,) (,) 5.95(,).8(,) 4.549(,)..967(,) 6.47(,).759(,) 4.658(,) 9 L = π /8.(,).(,).(,).(,).5.(,) 5.468(,).988(,).95(,).5.(,) 7.78(,).95(,).765(,).75.(,) 9.475(,).94(,) 4.4(,)..(,).46(,).75(,) 4.5(,) Şekil 4.9 d homojen olmyn elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının μ ve μ ktsyılrın bğlı dğılımı Çizelge 4. deki değerler temel lınrk çizilmiştir. L = π / 8 ve L = π / 9 çılrı için μ ve μ ktsyılrı değişimlerinin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etkileri kıyslndığınd yüzde olrk L = π / 8 çısı için dh büyük olduğu görülmektedir. 87

101 Homojen Φ(L)=π/9 Lineer Φ(L)=π/9 Prbolik Φ(L)=π/9 Kübik Φ(L)=π/9 Homojen Φ(L)=π/8 Lineer Φ(L)=π/8 Prbolik Φ(L)=π/8 Kübik Φ(L)=π/ Şekil 4.9. Terml genleşme ktsyısı değiştiğinde homojen olmyn elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının μ ve μ ktsyılrın bğlı dğılımı ( = π / 9, π /8; R / h ) L = Terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin krh T USA ve ve uygun çevresel ve meridyenel dlg syılrının krnh T USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışlrı H / ornın bğlı dğılımı Çizelge 4. de sunulmktdır. Young modülü sbit ve prbolik değiştiğinde, H / ornı. den.5 e kdr rttığınd boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı rtmkt, dh sonr tekrr.6 den, e kdr değerlerinin birbirine ykın olmsındn dolyı bir düzensizlik göstermektedir. Terml genleşme ktsyısı sbit ve Young modülü kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen meridyenel dlg syılrı H / ornın bğlı olrk rtr, çevresel dlg syılrı ise düzensizdir. Young modülü lineer ve kübik değiştiğinde, görülmektedir. H / ornın rtışın bğlı olrk düzensiz bir zlm Çizelge 4. ve Şekil 4. de kullnıln H/ ornı ile L çısı rsındki bğıntı ve değerler Ek- de sunulmktdır. 88

102 H / ornı rttığınd homojen olmmnın boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etkisi sürekli olrk zlmktdır. Örneğin; H / =.' den.' e kdr rttığınd, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etki Young modülü değişim fonksiyonu lineer olduğund %88 den %5 e ve kübik durumd %54.7 den %5.7 ye kdr zlmktdır. Young modülü prbolik değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın en fzl etki %7.84 olup %.7 e kdr düzensiz bir zlm izlenmektedir. Çizelge 4.. Terml genleşme ktsyısı sbit, Young modülü sbit ve kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun dlg syılrının H/ krh USA H / ornın bğlı dğılımı ( μ, R / h = ) T (m,n) krnh T (m,n) ϕ ϕ USA Homojen Homojen Olmyn ( z) = ; ( z) = = ( ) ( ) ϕ = z; ϕ z ϕ ( ) = z ; ϕ ( z) ϕ ( ) = z ; ϕ ( z) z = z = z =..5(,).5 (,).97(,) 4.87(,)..8(,) 8.5 (,).95(,) 4.7(,) (,) (,) 4.(,) 4.95(,) (,) 6.5 (,) 4.64(,) 4.74(,) (,) 7.4(,) 4.48 (,) 4.85(,).7 4.4(,) 6.984(,) 4.68(,) 4.6(,) (4,) 6.49(4,) 4.46(4,) 4.64(4,) (4,) 6.4(4,) 4.7(4,) 4.59(4,). 4.7(4,) 5.8(4,) 4.46(4,) 4.55(4,) Şekil 4. de, Çizelge 4. deki değerler kullnılrk çizilen eğriler H/ ornı rtışın bğlı olrk Young modülünün lineer, prbolik ve kübik değişimlerine bğlı olrk krnh T USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının dğılımını görsel olrk ifde etmektedir. H/ ornı.6 y kdr rttığınd boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının düzensiz zldığını, sonr d bu düzensiz zlmnın çık şekilde frk edilmemesine rğmen devm ettiği görülmektedir. 89

103 4 8 Homojen Lineer Prbolik Kübik Şekil 4.. Terml genleşme ktsyısı sbit ve Young modülü kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde krnh USA T in H / ornın bğlı dğılımı ( μ, R / h = ) = Young modülü sbit ve terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin krnα T USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun çevresel ve meridyenel dlg syılrının H / ornın bğlı dğılımı Çizelge 4. de sunulmktdır. H / ornı rttığınd ve terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının değişimi homojen durumd benzer şekilde değişmektedir. Young modülü sbit ve terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen meridyenel dlg syılrı H / ornın bğlı olrk rtr, çevresel dlg syısı ise düzensizdir. Sdece terml genleşme ktsyısı prbolik değiştiğinde, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etki orty çıkmkt (-%7.7) ve bu etki H / ornının rtışın bğımsız olmktdır. Terml genleşme ktsyısı lineer ve kübik değiştiğinde, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etki olmmktdır. Çizelge 4. ve Şekil 4. de kullnıln H/ ornı ile L çısı rsındki bğıntı ve değerler Ek- de sunulmktdır. 9

104 Çizelge 4.. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve Young modülü sbit olduğund kürenin ve uygun dlg syılrının H/ krnα TUSA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı H / ornın göre dğılımı ( μ, R / h = ) krnα USA (m,n) T Homojen Olmyn ϕ ( ) = ; ϕ ( z) z ϕ ( z ) = ; ϕ ( z) = ( ) ( ) z = z ϕ = z = ; ϕ z = z..5(,).9(,).5(,)..8(,).8(,).8(,) (,).747(,) 4.67(,) (,).75(,) 4.65(,) (,) 4.4(,) 4.79(,).7 4.4(,).8(,) 4.4(,) (4,).949(4,) 4.78(4,) (4,).876(4,) 4.99(4,). 4.7(4,).976(4,) 4.7(4,) Çizelge 4. deki değerler kullnılrk terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve Young modülü sbit olduğund elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının krnα T USA H / ornın bğlı dğılımı grfiksel olrk Şekil 4. de sunulmktdır. Terml genleşme ktsyısı lineer ve kübik değiştiğinde boyutsuz kritik sıcklık rtışının değerleri μ değerine krşı gelen uygun değerlerle çkıştığı görülmektedir. = 9

105 Sbit (μ=) Lineer. Prbolik Kübik Şekil 4.. Terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde ve Young modülü sbit olduğund elstik kürenin krnα T USA boyutsuz kritik sıcklık rtışının H / ornın bğlı dğılımı ( μ, R / h = ) = Çizelge 4.4 de Young modülü ve terml genleşme ktsyısı birlikte kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin T krnh USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve uygun çevresel ve meridyenel dlg syılrının H / ornın bğlı dğılımı sunulmktdır. Young modülü ve terml genleşme ktsyılrı birlikte kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı H / ornı rttığınd bir düzensizlik göstermektedir. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde krnh T USA e krşı gelen meridyenel dlg syılrı H / ornın bğlı olrk rtr, çevresel dlg syısı ise düzensizdir. Homojen olmm ve terml genleşme fonksiyonlrının birlikte değişiminin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etkisinin önemli olduğu görülmektedir. Young modülü ve terml genleşme fonksiyonu lineer ve kübik değiştiğinde, H / ornın rtışın bğlı olrk düzensiz bir zlm, prbolik durumd ise düzensiz bir rtış görülmektedir. Çizelge 4.4 ve Şekil 4. de kullnıln H/ ornı ile L çısı rsındki bğıntı ve değerler Ek- de sunulmktdır. 9

106 H / ornı rttığınd Young modülü ve terml genleşme fonksiyonlrı değişiminin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etkisi sürekli olrk zlmktdır. Örneğin; H / =.' den.'e kdr rttığınd, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etki Young modülü ve terml genleşme fonksiyonu lineer ise %8 den %4.8 e ve kübik ise %5.5 den %5.5 e kdr zlmktdır. Young modülü prbolik değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın en fzl etki %6.56 olup %4. kdr düzensiz bir zlm izlenmektedir. Çizelge 4.4. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde elstik kürenin uygun dlg syılrının krnh T USA boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı ve H / ornın göre değişimi ( μ =μ, R / h = ) krnh USA T (m,n) Homojen Olmyn = H/ ϕ ( ) = z; ϕ ( z) z ϕ ( z ) = z ; ϕ ( z) = ϕ ( z ) = z ; ϕ ( z) = z = z z..9(,).987(,) 4.77(,). 7.89(,).9 (,) 4.6(,) (,).89(,) 4.96(,) (,).85(,) 4.7(,) (,) 4.8(,) 4.84(,) (,).9(,) 4.6(,) (4,) 4.75(4,) 4.6 (4,) (4,).976(4,) 4.499(4,). 5.75(4,) 4.57(4,) 4.54(4,) Şekil 4. de Young modülü ve terml genleşme ktsyısı birlikte kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının H / ornın bğlı eğriler Çizelge 4.4 deki değerleri kullnrk çizilmiştir. H/ ornı rttığınd boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının düzensiz değiştiği görülmektedir. 9

107 5 Homojen Lineer Prbolik Kübik Şekil 4.. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı birlikte kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde krnh USA T in H / ornın bğlı değişimi ( μ =μ, R / h = ) = 94

108 5. TARTIŞMA ve SONUÇLAR Bu çlışmd sürekli homojen olmyn sığ küresel kbuğun üniform terml yükler etkisi ltınd burkulm problemi ele lınmıştır. Önce, klınlık doğrultusund sürekli homojen olmyn izotrop mlzeme özelliklerinin ve terml genleşme ktsyısının nlitik modelleri oluşturulmüş ve bu modellerin grfiksel ve syısl gösterimi sunulmuştur. Problemin formülsyonund Kirchhoff-Love nin birinci mertebeden kbuk teorisi kullnılmış ve gerilme-deformsyon bğıntılrınd Hooke kurlı dikkte lınmıştır. Donnell Mushtri Vlsov (DMV) vrsyımlrı ve Snders doğrusl olmyn gerilme-yer değiştirme bğıntısı kullnılrk kuvvet ve moment bileşenleri bulunmuştur. Homojen olmyn mlzemelerden oluşn küresel kbuklr için terml genleşme ktsyısı d dikkte lınrk terml yükleme ltındki küresel kbuğun toplm potnsiyel enerji fonksiyonu zr, eğilme ve terml gerilme enerjilerinin toplmındn elde edilmiştir. Toplm potnsiyel enerji fonksiyonunun ikinci vrysyonun Euler denklemleri uygulnrk üç yer değiştirme fonksiyonun bğlı olrk stbilite denklemleri elde edilmiştir. Üç yer değiştirme fonksiyonun bğlı olrk elde edilen stbilite denklemleri bsit mesnetli sınır koşulun göre çözülmüştür. Terml genleşme ktsyısı klınlık doğrultusund değişken olduğund sürekli homojen olmyn sığ küresel kbuk için boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı için nlitik ifde bulunmuştur. Küreyi oluşturn mlzemenin Young modülü ve terml genleşme ktsyılrı klınlık doğrultusund sırsıyl sbit vey değişken olduklrı durumlr için küresel kbuklrın boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışlrı için nlitik ifdeler özel olrk elde edilmiştir. Söz konusu ifdeler dlg syılrın göre minimize edilerek boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışlrının minimum değerleri bulunmuştur. Syısl hesplr kısmınd MAPLE bilgisyr progrmı kullnılrk, çelik mlzeme elstisite modülü ve uygun terml genleşme ktsyısının klınlık 95

109 koordintlrın bğlı kuvvet fonksiyonu şeklinde değişiminin, değişim ktsyılrı ve kürenin geometrik prmetreleri (R/h, H/, L çısı) değişiminin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışlrın etkileri syısl olrk incelenmiştir. Bu çlışmnın geçerliliği için elde edilen sonuçlr litertürde sunuln çözümlerle krşılştırılmış ve doğruluğu teyit edilmiştir. Syısl nlizler şğıdki şekilde sonuçlndırılmıştır: R/h ornı rttığınd, homojen ve homojen olmyn elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı değerlerinin sürekli zldığı gözlenmiştir. R/h ornı rttığınd, küreyi oluşturn mlzemenin Young modülü ve terml genleşme ktsyılrı birlikte ve yrı-yrı lineer ve kübik değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etkisinin zldığı, fkt Young modülü prbolik değiştiğinde etkinin R/h ornının değişimine bğlı bir düzene ship olmdığı gözlenmiştir. R/h ornı rttığınd, Young modülü ve terml genleşme ktsyısı sbit vey kuvvet fonksiyonlrı şeklinde değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen çevresel dlg syısının rttığı ve meridyenel dlg syısının genellikle bir vey ikiye eşit olduğu sptnmıştır. Sdece Young modülü değiştiğinde boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın en fzl etki lineer durumd, en z etki ise prbolik durumd olduğu oty çıkmıştır. Terml genleşme ktsyısı lineer, prbolik ve kübik değiştiğinde kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etki sdece prbolik durumd olduğu görülmüştür. Young modülü değişim fonksiyonu sbit ve prbolik değiştiğinde, kürenin L destekleyici çısı rttığınd, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının rttığı gözlenmiştir. Young modülü değişim fonksiyonu lineer değiştiğinde ve L destekleyici çı rttığınd kürenin kritik sıcklık rtışının önce zldığı sonr rttığı dh sonr tekrr zldığı sptnmıştır. 96

110 Young modülü değişim fonksiyonu kübik değiştiğinde, L destekleyici çı rttığınd kürenin boyutsuz kritik sıcklık rtışının yklşık değişmediği dikkt çekmiştir. L destekleyici çısı rttığınd, Young modülü ve terml genleşme ktsyısı sbit vey kuvvet fonksiyonu şeklinde değiştiğinde, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen meridyenel dlg syısının sürekli rttığı ve çevresel dlg syısının genellikle bir-iki rsınd değiştiği görülmüştür. Terml genleşme ktsyısı prbolik değiştiğinde, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etki görülmüştür. L destekleyici çının rtışındn bğımsız olduğu Tüm homojen ve homojen olmm durumlr için o L > olduğund boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının destekleyici çının rtışın bğlı olrk rtış hızının yvşldığı görülmüştür. L destekleyici çısı rttığınd, küreyi oluşturn mlzemenin Young modülü ve terml genleşme ktsyısı lineer, prbolik ve kübik değişiminin boyutsuz kritik sıcklık rtışın etkisinin zldığı tespit edilmiştir. Young modülü değişim ktsyısı μ rttığınd ve μ = olduğund, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının değerleri lineer, prbolik ve kübik durumlrın her üçünde rttığı ve yrıc, homojen olmmnın boyutsuz kritik sıcklık rtışın etkilerinin rttığı sptnmıştır. Terml genleşme değişim ktsyısı μ rttığınd ve μ = olduğund, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışının değerleri sdece prbolik durumd rttığı orty çıkmıştır. μ ve μ ktsyılrının birlikte rttığı durumlrd, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı değerlerinin önemli derecede rttığı görülmüştür. Young modülü sbit ve prbolik değiştiğinde, H / ornı rttığınd boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışı önce rtmkt, dh sonr değerler birbirine ykın olmkt ve düzensiz bir rtış orty çıkmktdır. Young modülü lineer ve kübik değiştiğinde, H / ornın rtışın bğlı olrk düzensiz bir zlmnın olduğu görülmektedir. 97

111 H / ornı rttığınd, homojen olmmnın boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etkisinin sürekli olrk zldığı ve etkinin önemli olduğu görülmektedir. H / ornı rttığınd, Young modülü ve terml genleşme ktsyısı sbit vey kuvvet fonksiyonlrı şeklinde değiştiğinde elstik kürenin boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın krşı gelen meridyenel dlg syısının rttığı, çevresel dlg syısının ise düzensiz olduğu görülmüştür. Young modülü sbit ve sdece terml genleşme ktsyısı prbolik değiştiğinde, boyutsuz kritik üniform sıcklık rtışın etki orty çıktığı ve bu etkinin H / ornı rtışındn bğımsız olduğu sptnmıştır. Young modülü ve terml genleşme ktsyısı birlikte lineer ve kübik değiştiğinde, H / ornın rtışın bğlı olrk düzensiz hızlı bir zlm, prbolik durumd ise düzensiz fkt yvş bir rtış görülmektedir. 98

112 6. KAYNAKLAR Aggrwl, B.D., Sibel, E., 97. Therml stbility of bimetllic shllow sphericl shells. Interntionl Journl of Non-liner Mechnics, 5, (), Akks, N., 97. Asymmetric buckling behvior of sphericl cps under uniform step pressure. Journl of Applied Mechnics, 9, Ambrtsumyn, S.A., 968. Generl Theory of Anisotropic shells. Moscow, Nuk. Aquılno, R.O., Cstgnıno, M.A., Neır, L.P., 998. Sphericl shell dynmics. Astronomicl nd Astrophystcl Trnsctions, 7, -7. Btist, M., Kosel, F., 6. Thermoelstic stbility of double-lyered sphericl shell. Interntionl Journl of Non-Liner Mechnics, 4, 6-7. Btist, M., Kosel, F., 7. Thermoelstic stbility of bimetllic shllow shells of revolution. Interntionl Journl of Solids Structures, 44, Bellmn, R., Kolb, R.E., Lockette, J.A., 966. Numericl Inversion of the Lplce Trnsform. Americn Elsevier Publishing Compny, New York. Birmn, V., Bert, C.W., 99. Buckling nd post-buckling of composite pltes nd shells subjected to elevted temperture. Journl of Applied Mechnics, 6, Bisws, S.K., 969. Note on the torsionl vibrtion of finite circulr cylinder of non-homogeneous mteril by prticulr type of twist on one of the plne surfce. Indin Journl of Physics, 4, -. Bose, R.K., 967. Note on forced vibrtion of thin non-homogeneous circulr plte with centrl hole. Indin Journl of Physics, 4, Brush, D.O., Almorth, B.O., 975. Buckling of Brs, Pltes nd Shells. McGrw Hill, New York. Budinsky, B., 959. Buckling of clmped shllow sphericl shells, In: Proc. IUTAM Symp. on the theory of thin elstic shells. (Koiter, W.T., -ed.) pp , Delft, Netherlnds. Bushnell, D., 967. Bifurction phenomen in sphericl shells under concentrted lods. Americn Institute of Aeronutics nd Astronutics Journl, 5, 4-4. Cndn, S., Elishkoff, I.,. Apprently first closed-form solution for frequencies of deterministiclly nd/or stochsticlly inhomogeneous simply supported bems. Journl of Applied Mechnics, 68, (),

113 Chjes, A., 974. Principles of Structurl Stbility Theory. Prentice Hll, Englewood Cliffs, 6p, NJ. Chen, W.Q., Ding, H.J.,. Free vibrtion of multi-lyered sphericlly isotropic hollow spheres. Interntionl Journl of Mechnicl Sciences, 4, Chen, S.L., Li, Q.Z., 4. Free-prmeter perturbtion-method solutions of the nonliner stbility of shllow sphericl shells. Applied Mthemtics nd Mechnics-English Edition, 5, Cheung, J.B., Chen, T.S., Thirumli, K., 974. Trnsient therml stresses in sphere by locl heting. Journl of Applied Mechnics, 4, (4), Delle, F., Erdogn, F., 98. The crck problem for non-homogeneous plne. Journl of Applied Mechnics, 5, Ding, H.J., Wng, H.M., Chen, W.Q.,. A solution of non-homogeneous orthotropic cylindricl shell for xisymmetric plne strin dynmic thermoelstic problems. Journl of Sound nd Vibrtion, 6, Ding, H.J., Wng, H.M., Chen, W.Q., 4. Anlyticl solution of specil nonhomogeneous pyroelectric hollow cylinder for piezothermoelstic xisymmetric plne strin dynmic problems. Applied Mthemtics nd Computtion, 5, Elishkoff, I.,. Inverse buckling problem for inhomogeneous columns. Interntionl Journl of Solid Structures, 8, Eslmi, M.R., Ghorbni, H.R., Shkeri, M.,. Thermo-elstic buckling of thin sphericl shells. Journl of Therml Stresses, 4, Eslmi, M.R., Bbei, M.H., Poultngri, R., 5. Therml nd mechnicl stresses in functionlly grded thick sphere. Interntionl Journl of Pressure Vessels nd Piping, 8, Fitch, J.R., 968. The buckling nd postbuckling behvior of sphericl cps under concentrted lod. Interntionl Journl of Solids nd Structures, 4, Fitch, J.R., Budinsky, B., 97. Buckling nd postbuckling behvior of sphericl cps under xisymmetric lod. Americn Institute of Aeronutics nd Astronutics Journl, 8, Fok, S.L., Allwright, D.J.,. Buckling of sphericl shell embedded in n elstic medium loded by fr-field hydrosttic pressure. Journl of Strin Anlysis for Engineering Design, 6,

114 Futterer, B., Brucks, A., Hollerbch, R., Egbers, C., 7. Therml blob convection in sphericl shells. Interntionl Journl of Het nd Mss Trnsfer, 5, Futterer, B., Gellert, M., Lrcher, T.V., Egbers, C., 8. Therml convection in rotting sphericl shells: An experimentl nd numericl pproch within GeoFlow. Act Astronutic, 6, -7. Gdjıev, V.D., Sofıyev, A.H., 988. Homojen olmyn silindirik kbuk hreket eden yük ltınd deformsyon mruz cisimler mekniği. Bkü Devlet Üniversitesi, 8- (Rusç). Gnpthi, M., Vrdn, T.K., 98. Dynmic buckling of orthotropic shllow sphericl shells. Computer nd Structures, 5, Gnpthi, M., 7. Dynmic stbility chrcteristics of functionlly grded mterils shllow sphericl shells. Composite Structures, 79, 8-4. Golub, L.I., Mksimyuk, V.A., Chernyshenko, I.S.,. Numericl nonliner elstic nlysis of orthotropic sphericl shells with n elliptic cutout. Interntionl Applied Mechnics, 8, -8. Gonclves, P.B., 994. Axisymmetric vibrtions of imperfect shllow sphericl cps under pressure loding. Journl of Sound nd Vibrtion, 74, (), Grossmn, P.L., Yi-Yun, Y., Koplik, B., 969. Nonliner vibrtion of shllow sphericl shells. Journl of Applied Mechnics, 6, Gu, S., 99. Buckling behvior of ring loded shllow sphericl shells with center hole. Interntionl Journl of Non-Liner Mechnics, 6, (), Gupt, U.S., Ll, R., Shrm, S., 7. Vibrtion of non-homogeneous circulr mindlin pltes with vrible thickness. Journl of Sound nd Vibrtion,, -7. Gutierrez, R.H., Lur, P.A.A., Bmbill, D.V., Jederlinic, V.A., Hodges, D.H., 998. Axisymmetric vibrtions of solid circulr nd nnulr membrnes with continuously vrying density. Journl of Sound nd Vibrtion,, (4), 6-6. Hciyev, V.C., Musyev, I.N., 98. The stbility of structurl elements mde of non-homogenous mterils. st Interntionl Conference on the Nonhomogenous Structures, Lvov, LGU, s.5-5 (in Russin). Hughton, D.M., Kirkinis, E,. A comprison of stbility nd bifurction criteri for inflted sphericl elstic shells. Mthemtics nd Mechnics of Solids, 8,

115 Heyliger, P.R., Julni, A., 99. The free vibrtions of inhomogeneous elstic cylinders nd spheres. Interntionl Journl of Solids nd Structures, 9, Hou, P.F., Ding, H.J., Leung, A.Y.T., 6. The trnsient responses of specil nonhomogeneous mgneo-electro-elstic hollow cylinder for xisymmetric plne strin problem. Journl of Sound nd Vibrtion, 9, Hung, N.C., 964. Unsymmetricl buckling of thin shllow sphericl shells. Journl of Applied Mechnics, -, Ibrgimov, R.N., Pelinovsky, D.E., 9. Incompressible viscous fluid flows in thin sphericl shell. Journl of Mthemticl Fluid Mechnics,, 6-9. Jbbri, M., Bhtui, A., Eslmi, M.R., 9. Axisymmetric mechnicl nd therml stresses in thick short length FGM cylinders. Interntionl Journl of Pressure Vessels nd Piping, 86, Jbreen, M., Eisenberge, M.,. Free vibrtions of non-homogeneous circulr nd nnulr membrnes. Journl of Sound nd Vibrtion, 4, Jyrmn, J., Ro, K.P., 978. Therml stresses in sphericl shell with conicl nozzle. Nucler Engineering nd Design, 48, Jinping, P., Hrik, I.E., 99. Therml stresses in sphericl shells. Journl of Aerospce Engineering, 6, (), 6-. Jones, G.W., Chpmn, S.J., Allwrıght, D.J., 8. Axisymmetric buckling of sphericl shell embedded in n Elstic medium under unixil stress t infinity. Qurterly Journl of Mechnics nd Applied Mthemtics, 6, (4), Jonik, S., 5. Stbility problem of sphericl shell under circumferentil nonuniformly distributed surfce lod. Conference Informtion: 8th Conference on Shell Structures, Theory nd Applictions, Jurt, POLAND, Shell Structures: Theory nd Applictions, 5-8. Jordn, P.M., Puri, P.,. Therml stresses in sphericl shell under three thermoelstic models. Journl of Therml Stresses, 4, Klnins, A., Nghdi, P.M., 96. Axisymmetric vibrtions of shllow elstic sphericl shells. Journl of the Acousticl Society of Americ,, Kpln, A., 974. Buckling of sphericl shells. In: Thin shell structures; Theory, experiment nd design. (Fung, Y.C., nd Sechler, E.E., -eds.) Prentice-Hll, pp , Englewood Cliffs.

116 Kr, A., Knori, M., 9. Generlized thermo-visco-elstic problem of sphericl shell with three-phse-lg effect. Applied Mthemticl Modelling,, Krmn, V., Th, V., Tsien, H.S., 99. The buckling of sphericl shells by externl pressure. Journl of Aerospce Science nd Technologies, 7, 4-5. Khom, I.Y., Khom, Y.I., Lylyuk, D.F., 8. Therml stressed stte of trnsversely isotropic sphericl shell with round hole. Mterils Science, 44, Khoroshun, L.P., Kozlov, S.Y., Ivnov, Y.A., Koshevoi, I.K., 988. The generlized theory of pltes nd shells non-homogeneous in thickness direction. Nukov Dumk, Kiev, (in Russin). Kondrtenko, O.A., 8. Stress stte round circulr hole in prestressed trnsversely isotropic sphericl shell. Interntionl Applied Mechnics, 44, Krenzke, M.A., Kiernn, I.J., 96. Elstic stbility of ner perfect shllow sphericl shells. Americn Institute of Aeronutics nd Astronutics Journl,, Krizhevsky, G., Stvsky, Y., 995. Refined theory for non-liner buckling of heted composite shllow sphericl shells. Computers nd Structures, 55, (6), 7-4. Kushnir, R.M., Nykolyshyn, T.M., Rostun, M.I., 7. Limiting equilibrium of sphericl shell nonuniform cross the thickness nd contining surfce crck. Mterils Science, 4, (), Lbisch, F.K., 6. On the xisymmetric buckling behviour of incompressible nonlinerly elstic sphericl shells. Zmm-Zeitschrift fur Angewndte Mthemtik und Mechnik, 86, Ll, R., Shrm, S., 4. Axisymmetric vibrtion of non-homogeneous polr orthotropic nnulr plte of vrible thickness. Journl of Sound nd Vibrtion, 7, Ll, R., 7. Trnsverse vibrtions of non-homogeneous orthotropic rectngulr pltes of vrible thickness: A spline technique. Journl of Sound nd Vibrtion, 6, -4. Lee, J., 9. Free vibrtion nlysis of sphericl cps by the pseudospectrl method. Journl of Mechnicl Science nd Technology,, -8.

117 Leiss, A.W., 97. Vibrtion of Shells. NASA SP-88. US Government Printing Office, Wshington, DC (reprinted in 99 by The Acousticl Society of Americ). Li, Q.S., Liu, J., Tng, J.,. Buckling of shllow sphericl shells including the effects of trnsverse sher deformtion. Interntionl Journl of Mechnicl Sciences, 45, Liu, R.H., 98. Non-liner therml stbility of bimetllic shllow shells of revolution. Interntionl Journl of Non-Liner Mechnics, 8, (5), Lomkin, V.A., 976. The Elsticity Theory of Nonhomogeneous Mterils. Nuk, Moscow (in Russin). Lutz, M.P., Zimmermn, R.W., 996. Therml stresses nd effective therml expnsion coefficient of functionlly grded sphere. Journl of Therml Stresses, 9, Mksimyuk, V.A., Mulyr, V.P., 8. Nonxisymmetric deformtion of open sphericl shells with curviliner hole. Interntionl Applied Mechnics, 44, (5), Mssls, C., Dlmngs, D., Tzivnidis, G., 98. Dynmic instbility of truncted conicl shells with vrible modulus of elsticity under periodic compressive forces. Journl of Sound nd Vibrtion, 79, Mecitoglu, Z., 996. Governing equtions of stiffened lminted inhomogeneous conicl shell. Americn Institute of Aeronutics nd Astronutics Journl, 4, 8-5. Morris, N.F., 996. Shell stbility; the Long Rod from theory to prctice. Engineering Structures, 8, Muc, A., 989. Trnsverse sher effects in stbility of lminted shllow shells, Composite Structure,, 7-8. Muc A., 99. On the buckling of composite shells of revolution under externl pressure, Composite Structures,, 7-9. Murry, F.J., Wright F.W. 96. The buckling of thin sphericl shells. Journl of Aerospce Sciences nd Technologies, 8, (), -6. Nj, R., Boroujerdy, M.S., Eslmi, M.R., 8. Therml nd mechnicl instbility of functionlly grded truncted conicl shells. Thin-Wlled Structures, 46,

118 Nj, R., Boroujerdy, M.S., Eslmi, M.R., 8b. Thermomechnicl instbility of functionlly grded truncted conicl shells with temperture-dependent mteril. The Journl of Strin Anlysis for Engineering Design, 4, (4), Njfizdeh, M.M., Eslmi, M.R.,. Thermoelstic stbility of orthotropic circulr pltes. Journl of Therml Stresses, 5, Nth, Y., Sndeep, K., 998. Effect of trnsverse sher on sttic nd dynmic buckling of ntisymmetriclly lminted polr orthotropic shllow sphericl shells. Composite Structures, 4, Niordson, F.I.,. An symptotic theory for sphericl shells. Interntionl Journl of Solids nd Structures, 8, Ogiblov, P.M., Gribnov, V.F.,968. Plk ve Kbuklrın Stbilitesi, MDU, (Rusç). Ogiblov, P.M., Koltunov, M.A., 969. Shells nd Pltes. Moscow Stte Uni. Ooto, Y., Tnigw, Y., 994. Three-dimensionl trnsient therml stres nlysis of nonhomogeneous hollow sphere with respect to rotting het source. Bulletin of the Jpn Society of Mechnicl Engineers, 46, 7-79 (in Jpnese). Ooto, Y., Tnigw, Y., 7. Three-dimensionl solution for trnsient therml stresses of n orthotropic functionlly grded rectngulr plte. Composite Structures, 8, -. Ooto, Y., Tnigw, Y., 7b. Trnsient piezothermoelstic nlysis for functionlly grded thermopiezoelectric hollow sphere. Composite Structures, 8, (4), Ory, H., Reimerdes, H.G., Schmid, T., Rittweger, A., Grcí, J.G.,. Imperfection sensitivity of n orthotropic sphericl shell under externl pressure. Interntionl Journl of Non-Liner Mechnics, 7, Ptel, B.P., Nth, Y., Shukl, K.K., 6. Nonliner thermo-elstic buckling chrcteristics of cross-ply lminted joined conicl-cylindricl shells. Interntionl Journl of Solids nd Structures, 4, Penning, F.A., Thurston, C.A., 965. The stbility of shllow sphericl shells under concentrted lods. NASA Contrct Report, 65. Pflüger, A., 97. Elstosttiğin Stbilite Problemleri. Çeviren: Tmeroğlu, S., Cinemre, V., Özbek, T., Mtb Teknisyenleri Bsımevi, 579p. İstnbul. 5

119 Polykov, V.A., Shlits, R.P., Khitrov, V.V., Zhigun, I., 7. An pplied model for free rdil vibrtions of closed sphericl sndwich shell. Mechnics of Composite Mterils, 4, -44. Polykov, V., Shlits, R., Chtys, R., 8. Eigenfrequencies of rdil vibrtions of sphericl sndwich shell. Mechnics of Composite Mterils, 44, Poultngri, R., Jbbri, M., Eslmi, M.R., 8. Functionlly grded hollow spheres under non-xisymmetric thermo-mechnicl lods. Interntionl Journl of Pressure Vessels nd Piping 85, Prksh, T., Sundrrjn, N., Gnpthi, M., 7. On the nonliner xisymmetric dynmic buckling behvior of clmped functionlly grded sphericl cps. Journl of Sound nd Vibrtion, 99, 6-4. Ro, G.V., Ro, B.P., Rju, I.S., 974. Vibrtions of inhomogeneous thin pltes using high-precision tringulr element. Journl of Sound nd Vibrtion, 4, (), Reddy, J.N., Cheng, Z.Q.,. Frequency correspondence between membrnes nd functionlly grded sphericl shllow shells of polygonl plnform. Interntionl Journl of Mechnicl Sciences, 44, Reddy, J.N., 4. Mechnics of lminted composite pltes nd shells: Theory nd Anlysis. CRC Press, 8p. Boc Rton, USA. Reissner, E., 955. On xisymmetricl vibrtions of shllow sphericl shells. Qurterly of Applied Mthemtics,, Shhsih, R., Eslmi, M.R.,. Therml nd mechnicl buckling of imperfect sphericl cp. Journl of Therml Stress, 6, Shhsih, R., Eslmi, M.R., b. Functionlly grded cylindricl shell therml instbility bsed on improved donnell equtions. Americn Institute of Aeronutics nd Astronutics, 4, (9), Shhsih, R., Eslmi, M.R., Nj, R., 6. Therml instbility of functionlly grded shllow sphericl shell. Journl of Therml Stresses, 9, Shriyt, M., 8. Dynmic buckling of suddenly loded imperfect hybrid FGM cylindricl shells with temperture-dependent mteril properties under thermo-electro-mechnicl lods. Interntionl Journl of Mechnicl Sciences, 5, (), Shen, H.S., Li, Q.S.,. Thermomechnicl postbuckling of sher deformble lminted cylindricl shells with locl geometric imperfections. Interntionl Journl of Solids nd Structures, 9, (7),

120 Shen, H.S., Nod, N., 7. Post-buckling of pressure-loded FGM hybrid cylindricl shell in therml environments. Composite Structures, 77, Sofiyev, A.H.,. The buckling of cross-ply lminted non-homogeneous orthotropic composite cylindricl thin shell under time dependent externl pressure. Structurl Engineering nd Mechnics n Interntionl Journl, 4, (6), Sofiyev, A.H. nd Aksogn, O.,. The dynmic stbility of non-homogeneous orthotropic elstic conicl shell under time dependent externl pressure. Interntionl Journl of Structurl Engineering nd Mechnics,, (), 9-4. Sofiyev, A.H., Schnck, E.,. The buckling of cross-ply lminted nonhomogeneous orthotropic composite conicl thin shells under dynmic externl pressure. Act Mechnic, 6, (-4), 9-4. Sofiyev, A.H., 4. The stbility of functionlly grded truncted conicl shells subjected to periodic impulsive loding. Interntionl Journl of Solids nd Structures, 4, (), Sofiyev, A.H., 5. The torsionl buckling nlysis of cylindricl shells with mteril non-homogeneity in thickness direction under impulsive loding. Structurl Engineering nd Mechnics n Interntionl Journl, 9, (), - 6. Sofiyev, A.H., Zerin, Z., Yücel, K., Avcr, M., 6. The dynmic stbility of orthotropic cylindricl shells with non-homogenous mteril properties under xil compressive lod vrying s prbolic function of time. Journl of Reinforced Plstics nd Composites, 5, (8), Sofiyev, A.H., Krc, Z., 9. The vibrtion nd stbility of lminted nonhomogeneous orthotropic conicl shells subjected to externl pressure. Europen Journl of Mechnics-A/Solids, 8, 7-8. Sofiyev, A.H., Omurtg, M.H., Schnck, E., 9. The vibrtion nd stbility of orthotropic conicl shells with non-homogeneous mteril properties under hydrosttic pressure. Journl of Sound nd Vibrtion, 9, Sofiyev, A.H., Korkmz, A., Mmmdov, Z., Kmnlı, M., 9b. The vibrtion nd buckling of freely supported non-homogeneous orthotropic conicl shells subjected to different uniform pressures. Interntionl Journl of Pressure Vessels nd Piping, 86, , 9. Sofiyev, A.H., Kuruoğlu, N., Isyev, F.G., 9c. On the solution of eigenvlue problems of lminted non-homogeneous orthotropic circulr shells with clmped edges subjected to hydrosttic pressure. Act Mechnic, (in press). 7

121 Tkeuti, Y., Tnigw, Y., 98. Trnsient therml stresses of hollow sphere due to rotting het source. Journl of Therml Stresses, 5, Timoshenko, S.P., Gere, J.M., 96. Theory of Elstic Stbility. McGr-Hill, 47p. New York, Thoms, O., Touze, C., Chigne, A., 5. Non-liner vibrtions of free-edge thin sphericl shells: modl interction rules nd :: internl resonnce. Interntionl Journl of Solids nd Structures, 4, 9-7. Tomr, J.S., Gupt, D.C., Jin, N.C., 98. Vibrtion of non-homogeneous pltes of vrible thickness. Journl of the Acousticl Society of Americ, 7, Touze, C., Thoms, O., 6. Non-liner behviour of free-edge shllow sphericl shells: Effect of the geometry. Interntionl Journl of Non-Liner Mechnics, 4, Volmir, A.S., 967. Stbility of Elstic Systems. Nuk: Moscow. English Trnsltion: Foreign Tech. Division, Air Force Systems Commnd. Wright- Ptterson Air Force Bse, Ohio, AD6858. Voyidjis, G.Z., Woelke, P., 4. A refined theory for thick sphericl shells. Interntionl Journl of Solids nd Structures, 4, Vylkov, V.Y., Ivnov, V.A., Pimushin V.N., 5. Modes of loss of stbility nd criticl lods of three-lyer sphericl shell under uniform externl pressure. Journl of Applied Mthemtics nd Mechnics, 69, Wng, B.L., Hn, J.C., Du, S.Y.,. Thermoelstic frcture mechnics for nonhomogenous mteril subjected to unstedy therml lod. Journl of Applied Mechnics, 67, Wng, X., Zhng, W., Chn, J.B.,. Dynmic therml stress in trnsversely isotropic hollow sphere. Journl of Therml Stress, 4, Wng, X., Lu, G., Guillow, S.R.,. Stress wve propgtion in orthotropic lminted thick-wlled sphericl shells. Interntionl Journl of Solids nd Structures, 9, Wng, Y.G., Di, S.L., 4. Thermoelsticlly coupled xisymmetric nonliner vibrtion of shllow sphericl nd conicl shells. Applied Mthemtics nd Mechnics-English Edition, 5, Weinitschke, H.J., 96. Asymmetric buckling of clmped shllow sphericl shells. NASA TN D-5, pp

122 Willims, H.E., 977. Axisymmetric therml stress in thin sphericl shell by the method of mtched symptotic expnsions. Interntionl Journl of Solids nd Structures,, Zenkour, A.M., Fres, M.E.,. Therml bending nlysis of composite lminted cylindricl shells using refined first-order theory. Journl of Therml Stresses, (5), Zhng, X., Hsebe, N., 999. Elsticity solution for rdilly non-homogeneous hollow circulr cylinder. Journl of Applied Mechnics, 66, Zhu, Y., Wng, F., Liu, R., 8. Therml buckling of xisymmetriclly lminted cylindriclly orthotropic shllow sphericl shells including trnsverse sher. Applied Mthemtics nd Mechnics (English Edition ), 9, (), 9-. 9

123 EKLER

124 EK- ( n ) cos ( λ) sin d C = L π cos d, ( n ) cos ( λ) cos d C = L π cos d, C = L π cos ( n ) cos( λ) sin( λ) sin dd, C = L π 4 cos ncos λdd, C ( n ) cos( λ) sin( λ) cosd = L π 5 cos d, ( n ) cos ( λ) sin d C = L π 6 cos d, C ( n) cos( λ) sin( λ) = L π cos cos dd sin 7, ( n) sin( n) cos ( λ) cot d C = L π 8 cos d, C ( n ) sin( λ) cos( λ) sin d = L π cos d, ( n ) sin ( λ) sin d C = L π cos d, C ( n ) sin ( λ) d, = L π cos cos d sin C = L π 4 cos nsin λcosλcosdd,

125 C 5 ( n ) sin ( λ) d, + = L π cos cos d sin C ( n) sin( n) 6, λ = L π cos sin dd sin C ( n) sin ( λ) = L π cos dd sin 7, C = L π cos ( n ) sin ( λ) sin dd 8, C ( n ) sin ( λ) cos d = L π 9 cos d, ( n) sin ( λ) cot d C = L π cos d, ( n ) sin ( λ)( + cos ) d C = L π cos d, C ( n ) sin ( λ) d, + = L π cos cos d sin C 4 ( n ) sin( λ) cos( λ) cos d, + = L π cos cos d sin C ( n) sin ( λ) = L π cos dd sin 5, ( n ) sin ( λ) sin d C = L π sin d, ( n ) sin ( λ) sin d C = L π sin d,

126 C = L π sin ( n ) sin( λ) cos( λ) sin dd, C ( n ) sin( λ) cos( λ) cosd = L π 4 sin d, ( n ) sin ( λ) cos d C = L π 5 sin d, C 6 ( n ) sin ( λ) d, = L π cos sin d sin C ( n) sin ( λ) = L π sin dd sin 7, ( n) sin ( λ) sin d C = L π 8 sin d, C ( n ) sin ( λ) sin d = L π b cos d, C = L π cos ( n ) sin ( λ) cos( λ) sin dd b, C b ( n ) sin( λ) cos( λ) d, = L π cos cos d sin C ( n ) sin ( λ) coscosd = L π 4 b cos d, C = L π cos ( n ) sin( λ) cos( λ) sin dd 5 b, C ( n ) sin ( λ) coscosd = L π 6 b cos d,

127 ( n ) sin( λ) cos( λ) cot d C = L π 7 b cos d, ( n ) sin( λ) cos( λ) cot d C = L π 8 b cos d, C 9 b = L π cos (n)sin ( λ)dd C = L π c cos (n)cos( λ)sin λsin dd, C c = π L cos (n)cos( λ)sin( λ)cot sin()dd C = L π c cos (n)sin ( λ)cosdd, C = L π 4 c cos (n)sin ( λ)cot dd, C = L π 5 c cos (n)sin( λ)cos( λ)dd, C 6 c = 4 L π sin(λ)sin(n)sin dd 4

128 EK- H / ornı değişimine krşı gelen L çısının değerleri H/ L rdyn L rdyn L derece π / π / π / π / π / π / π / π / π / Şekil 4.7 den görüldüğü gibi H R R cos( = k bğıntısı L / ) = k R sin( / ) edilir ve bu bğıntı kolyc şğıdki denkleme dönüşür: L şeklinde ifde L k sin( L / ) + cos( / ) = Yukrıdki denklemde k y. den. e kdr. rtışl değerler verilerek ve denklem çözülerek L çısının değerleri elde edilir. 5

129 ÖZGEÇMİŞ Adı Soydı : Polt ÖZYİĞİT Doğum Yeri ve Yılı : İstnbul, 985 Medeni Hli : Bekr Ybncı Dili : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl): Lise : Isprt Andolu Lisesi - Lisns : Süleymn Demirel Üniversitesi Mühendislik-Mimrlık Fkültesi İnşt Mühendisliği Bölümü -7 Çlıştığı Kurum/Kurumlr ve Yıl: Bozok Üniversitesi Mühendislik-Mimrlık Fkültesi İnşt Mühendisliği Bölümü, Arştırm Görevlisi, 9-. Yyınlrı (SCI ve diğer mkleler): - A.H. Sofiyev, A. Vliyev, P. Ozyigit, The buckling of non-homogeneous truncted conicl shells under lterl pressure nd resting on Winkler foundtion, Journl of Solid Mechnics, (), 4-, 9. - Sofiyev A.H., Avcr M., Ozyigit P., Adigozel S., The free vibrtion of nonhomogeneous truncted conicl shells on Winkler foundtion, Interntionl Journl of Engineering nd Applied Sciences (IJEAS), (), 4-4, 9. - Avey A., Avcr M.,Özyiğit P., Adıgözel Ş., Elstik zemin üzerinde bulunn fonksiyonel değişimli tbk içeren ktmnlı silindirik kbuklrın uniform ynl bsınç yükü etkisi ltınd burkulmsı, XVI. Ulusl Meknik Kongre, -6 Hzirn, 9, KAYSERİ. 4- Avey (Sofiyev) A., Avcr M., Mmmdov Z., Ay Z. nd Ozyigit P., The vibrtion of freely supported fg shell structures, First Interntionl Conference on Seismic sfety of Cucsus Region Popultion, Cities nd Settlements Kirik Zvriev Institute of Structurl Mechnics nd Erthquke Engineering, Tbilisi, Georgi, 74-76, 8. 6