İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ UZAY-ZAMAN KAFES KODLARININ GÖLGELEMELİ KANALLARDAKİ HATA BAŞARIM ANALİZİ

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ UZAY-ZAMAN KAFES KODLARININ GÖLGELEMELİ KANALLARDAKİ HATA BAŞARIM ANALİZİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Müh. Barlas BAŞARAN 5433 Tezn Ensüye Verldğ Tarh : Mayıs 6 Tezn Savunulduğu Tarh : 5 Hazran 6 Tez Danışmanı : Dğer Jür Üyeler Doç.Dr. İbrahm ALTUNBAŞ Prof.Dr. Üm AYGÖLÜ (İ.T.Ü. Yrd.Doç.Dr. Oğuz KUCUR (G.Y.T.E. HAZİRAN 6

2 ÖNSÖZ Bu çalışma konusunun seçmnde ve çalışmalarım boyunca her konuda yardımcı olan ez danışmanım Sayın Doç. Dr. İbrahm Alunbaş a saygı ve eşekkürlerm sunarım. Ayrıca derslerde yardımlarını esrgemeyen Sayın Prof. Dr. Üm Aygölü ne ve ez danışmanıma eşekkürü br borç blrm. Çalışmanın başlangıcından baren her safhasında göserdkler anlayış ve deseken dolayı aleme eşekkür ederm. Mayıs 6 Barlas BAŞARAN

3 İÇİNDEKİLER KISALTMALAR TABLO LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY v v v v x x. GİRİŞ. UZAY-ZAMAN KODLARI 5.. Sönümlemel Kanallar 5... Raylegh Sönümlemel Kanal 5... Rcan Sönümlemel Kanal 7.. Uzay-Zaman Blok Kodları 9.3. Uzay-Zaman Kafes Kodları Duruğumsu Sönümlemel Kanallar rn R Değernn Büyük Olduğu Durumda Koşulsuz Haa Olasılığı.3... rn R Değernn Küçük Olduğu Durumda Koşulsuz Haa Olasılığı Hızlı Sönümlemel Kanallar δ H n R Değernn Büyük Olduğu Durumda Koşulsuz Haa Olasılığı δ H n R Değernn Küçük Olduğu Durumda Koşulsuz Haa Olasılığı Uzay-Zaman Kafes Kodların Tasarım Ölçüler Duruğumsu Sönümlemel Kanal çn Tasarım Ölçüler Hızlı Sönümlemel Kanal çn Tasarım Ölçüler Düşük ve Ora İşare Gürülü Oranlarında Kod Performansı Uzay-Zaman Kafes Kod Örnekler UZAY-ZAMAN KODLARDA GÖLGELEMENİN ETKİSİ Gölgelemel Kanallar Rcan-lognormal Sönümlemel Kanal Rcan-Nakagam Sönümlemel Kanal Uzay-Zaman Kafes Kodların Gölgeleme Eks Alındak Performansı Rcan-Lognormal Dağılımlı Kanalda Uzay-Zaman Kafes Kodların Performansı 46

4 3... Duruğumsu Sönümlemel Kanal Hızlı Sönümlemel Kanal Rcan-Nakagam Dağılımlı Kanalda Uzay-Zaman Kafes Kodların Performansı UZAY-ZAMAN KAFES KODLARINDA ÇEŞİTLEME DERECESİNE BAĞLI OLARAK GÖLGELEMENİN ETKİSİ Büyük Çeşleme Dereces çn Rcan-lognormal Kanalda Haa Olasılığı Duruğumsu Sönümlemel Kanal Hızlı Sönümlemel Kanal Küçük Çeşleme Dereces çn Rcan-Nakagam Kanalda Haa Olasılığı Büyük Çeşleme Dereces çn Rcan-Nakagam Kanalda Haa Olasılığı Duruğumsu Sönümlemel Kanal Hızlı Sönümlemel Kanal SONUÇLAR 88 KAYNAKLAR 9 ÖZGEÇMİŞ 93 v

5 KISALTMALAR MRC PSK SNR BER FER STTC MIMO TSC AWGN BBH CVYL CVY RD MGF : Maxmum Rao Combnng (En Büyük Oran Brleşrmes : Phase Shf Keyng (Faz Kaydırmalı Anaharlama : Sgnal o Nose Rao (İşare Gürülü Oranı : B Error Rae (B Haa Oranı : Frame Error Rae (Çerçeve Haa Oranı : Space-Tme Trells Codes (Uzay-Zaman Kafes Kodları : Mulple-Inpu Mulple-Oupu (Çok-Grşl Çok-Çıkışlı : Tarokh, Seshadr ve Calderbank : Addve Whe Gaussan Nose (Toplamsal Beyaz Gauss Gürülüsü : Baro, Bauch ve Hansmann : Chen, Vucec, Yuan ve Lo : Chen, Vucec ve Yuan : Rank ve Deermnan : Momen Generang Funcon (Momen Üreeç İşlev v

6 TABLO LİSTESİ Sayfa No Tablo 4.. Farklı gölgeleme ürler çn Rcan-lognormal kanal paramereler Tablo 4.. Farklı gölgeleme ürler çn Rcan-Nakagam kanal paramereler... 8 v

7 ŞEKİL LİSTESİ Şekl. Şekl. Şekl. Şekl.3 Şekl.4 Şekl.5 Şekl.6 Şekl.7 Şekl.8 Şekl.9 Şekl. Şekl. Şekl. Şekl.3 Şekl.4 Şekl.5 Şekl.6 Şekl 3. Şekl 4. Şekl 4. Şekl 4.3 Şekl 4.4 Şekl 4.5 Şekl 4.6 Şekl 4.7 Şekl 4.8 : Sayısal br haberleşme ssemnn blok şeması... : Raylegh sönümlemel kanal... : Raylegh dağılımının olasılık yoğunluk şlev... : Rcan sönümlemel kanal... : Rcan dağılımının olasılık yoğunluk şlev... : Alıcı anen çeşlemesne sahp haberleşme ssem... : Verc anen çeşlemesne sahp haberleşme ssem... : Alıcı ve verc anen çeşlemes uygulanan ssemlern performans karşılaşırılması... : anenl uzay-zaman kafes kodu vercs... : Çok grşl çok çıkışlı haberleşme ssem... : 4PSK modülasyonu çn şare kümes... : TSC uzay-zaman kodu kafes dyagramı... : BBH uzay-zaman kodu kafes dyagramı... : CVYL uzay-zaman kodu kafes dyagramı... : CVY uzay-zaman kodu kafes dyagramı... : verc ve alıcı anen durumunda uzay-zaman kafes kodlarının performansları... : verc ve alıcı anen durumunda uzay-zaman kafes kodlarının performansları... : Gölgelemel kanal model... : TSC kodun Rcan-lognormal kanaldak performansı... : TSC ve CVY kodlarının haff gölgelemel Rcan-lognormal kanaldak performanslarının karşılaşırılması... : TSC ve CVY kodlarının oralama gölgelemel Rcan-lognormal kanaldak performanslarının karşılaşırılması... : TSC ve CVY kodlarının yoğun gölgelemel Rcan-lognormal kanaldak performanslarının karşılaşırılması... : TSC kodun Rcan-Nakagam kanaldak performansı... : TSC ve CVY kodlarının haff gölgelemel Rcan-Nakagam kanaldak performanslarının karşılaşırılması... : TSC ve CVY kodlarının oralama gölgelemel Rcan-Nakagam kanaldak performanslarının karşılaşırılması... : TSC ve CVY kodlarının yoğun gölgelemel Rcan-Nakagam kanaldak performanslarının karşılaşırılması... Sayfa No v

8 SEMBOL LİSTESİ A : Baskın bleşenn epe genlk değer A( X, Xˆ : Kodsözcüğü uzaklık mars a : Nakagam raslanı değşkennn oralaması B( X, Xˆ : Kodsözcüğü fark mars C( X,Xˆ : Uzay-zaman smge uzaklık mars c, c : Mesaj dzler D : Gauss raslanı değşken d E : İk uzay-zaman smge dzs arasındak karesel Ökld uzaklığı d h ( X, Xˆ : İk smge dzs arasındak Ökld uzaklığı d p : İk uzay-zaman smge dzs arasındak karesel Ökld uzaklıklarının çarpımı E s : Oralama smge enerjs F( X,Xˆ : Uzay-zaman smge fark vekörü g I (, g Q ( : Gauss raslanı süreçler ρ : Sönümleme değşkennn zarfı H : Kanal mars h, h, h j,, h j, : Kanal sönümleme kasayıları I : Brm mars I (. : Sıfırıncı dereceden değşrlmş brnc ür Bessel şlev K, K j, j,, K : Rcan paramereler L : Çerçeve uzunluğu M : Modülasyon kümesndek smge sayısı m : Nakagam parameres µ, µ j,, µ j, : Rcan dağılımındak baskın bleşen µ D : D raslanı değşkennn oralaması µ Z : Z raslanı değşkennn oralaması N / : Toplamsal beyaz Gauss gürülüsü çf yönlü güç spekral yoğunluğu j n, n, n : Kompleks gürülü bleşenler n R, n T : Alıcı ve verc anen sayısı Q(. : Q şlev R : Sanyede lelen b sayısı r : A( X, Xˆ marsnn rankı j r, r, r : Alınan şareler S : Merkezyeszlk parameres s, s : İlelen şareler T : Smge süres V, V : Tekl marsler v, v : A( X, Xˆ ve C( X,Xˆ marslernn özvekörler v

9 W : Kanalın bandgenşlğ X : Verc anenden lelen kodsözcüğü mars ˆX : Alıcı arafa çözülmüş kodsözcüğü mars X L : Sol özvekör mars X R : Sağ özvekör mars x : İlelen şare Z : Gauss raslanı değşken Λ, Λ : Köşegen marsler Ω : Oralama güç Γ : İknc dereceden kompleks Gauss raslanı değşken Γ(. : Gamma şlev γ : İşare gürülü oranı δ H : Uzay-zaman dzler arasındak Hammng uzaklığı λ, λ : A( X, Xˆ ve C( X,Xˆ marslernn özdeğerler σ h : h j, kanal sönümleme kasayılarının varyansı σ D : D raslanı değşkennn varyansı σ Z : Z raslanı değşkennn varyansı Ψ(. : Ps şlev x

10 UZAY-ZAMAN KAFES KODLARININ GÖLGELEMELİ KANALLARDAKİ HATA BAŞARIM ANALİZİ ÖZET Gezgn elsz leşm kanallarında, lelen şaren kalesn ekleyen çeşl bozucu ekenler bulunmakadır. Bu bozucu ekenler, çok-yollu lemden kaynaklanan sönümleme, grşm ve oplamsal beyaz Gauss gürülüsüdür. Sönümlemenn şareler üzerndek bozucu eksn azalmak çn çeşleme eknkler kullanılmakadır. Çeşleme zamanda, frekansa ve uzayda yapılablmekedr. Uzay çeşlemes verc ve/veya alıcı arafa brden fazla anen kullanılması le elde edlmekedr. Alıcı anen çeşlemes uzun yıllardır blnen br yönemdr. Ancak verc anen çeşlemes daha yen br yönemdr. Uzay-zaman kodlaması, verc anen çeşlemes kullanılması çn asarlanmış br kanal kodlama eknğdr. Uzay-zaman kodlaması eknğ sayesnde yüksek haa başarımına ve yüksek hızlara sahp kodlar asarlanablmekedr. Uzay-zaman kafes kodlarının Raylegh ve Rcan kanaldak haa başarımını ekleyen unsurlar, kodun rank değer le alıcı anen sayısının çarpımı olan çeşleme derecesne göre farklılık gösermekedr. Kodun haa başarımını, küçük çeşleme dereces durumunda koda lşkn rank ve deermnan değer; büyük çeşleme dereces durumunda se koda lşkn z değer belrlemekedr. Bu çalışmada, uzay-zaman kafes kodlarının gölgeleme eks alındak haa başarımı, ssemn çeşleme derecesne bağlı olarak ncelenmşr. Uzay-zaman kafes kodlarının Rcan-lognormal ve Rcan-Nakagam sönümlemel kanaldak haa başarımının, çeşleme derecesne bağlı olduğu göserlmşr. Leraürde, Rcanlognormal ve Rcan-Nakagam sönümlemel kanal çn çfsel haa olasılıklarının am değer elde edlmş ve rank-deermnan ölçüünün geçerl olduğu göserlmşr. Bu ezde, rank-deermnan ölçüünün sadece küçük çeşleme dereces durumunda x

11 geçerl olduğu göserlmşr. Büyük çeşleme dereces durumunda se, her k kanal model çn de haa olasılığı üs sınırı elde edlmş ve haa başarımının kodun z değerne bağlı olduğu oraya konulmuşur. Ayrıca küçük çeşleme dereces durumunda, uzay-zaman kafes kodlarının hızlı Rcan-Nakagam kanaldak çfsel haa olasılığının am değer elde edlmş ve haa başarımının uzaklık-çarpım ölçüüne bağlı olduğu göserlmşr. Sonuç olarak, Raylegh ve Rcan kanallar çn kullanılan asarım ölçüler le bu kanallar çn asarlanmış olan kodların, Rcan-lognormal ve Rcan-Nakagam kanallarda da kullanılableceğ oraya konmuşur. x

12 PERFORMANCE ANALYSIS OF SPACE-TIME TRELLIS CODES OVER SHADOWING CHANNELS SUMMARY In moble wreless communcaon channels, here are many corrupve facors whch affec he qualy of he ransmed sgnal. Some of hese facors are he nerchannel nerference, he addve whe Gaussan nose and he fadng resulng from mulpah propagaon. Dversy echnques are used o reduce he effec of he fadng. Dversy can be acheved n me, frequency and space. Space dversy s acheved by usng mulple anennas a he recever and/or he ransmer par. Receve dversy echnques have been known for a long me. However, he ransm dversy s a new mehod. Space-me codng s a channel codng echnque ha s desgned o use ransm dversy. By means of he space-me codng echnque, codes wh hgh error performance and hgh raes can be desgned. The parameers affecng he error performance of he space-me rells codes over he Raylegh and Rcan fadng channels dfferenae accordng o he dversy order whch s mulplcaon of he rank of he code and he number of he receve anennas. The error performance of he code s deermned by he rank and he deermnan of he code for he small values of dversy order whereas s deermned by he race of he code for he large values of dversy order. In hs work, effec of shadowng on he performance of space-me rells codes s analyzed accordng o he dversy order of he sysem. I s shown ha he error performance of he space-me me rells codes over he Rcan-lognormal and he Rcan-Nakagam fadng channels depends on he dversy order of he sysem. In leraure, he exac value of he parwse error probably of he space-me rells codes over he Rcan-lognormal and he Rcan-Nakagam fadng channels were derved and was presened ha he rank-deermnan creron s vald for hese x

13 channel models. In hs hess, s shown ha he rank-deermnan creron s only vald for he small values of dversy order. Upper bounds of error probably s obaned for boh he Rcan-lognormal and he Rcan-Nakagam fadng channels n he case of large values of dversy order and s shown ha he error performance depends on he race value of he code. Addonally, for he small values of dversy order, he exac value of he parwse error probably of he space-me rells codes over he fas Rcan-Nakagam fadng channels s obaned and s shown ha he error performance depends on he dsance-produc creron. As a resul, s presened ha he desgn crera used for he Raylegh and he Rcan channels, and he codes desgned for hese channels can also be used for he Rcan-lognormal and he Rcan-Nakagam channels. x

14 . GİRİŞ 948 yılında Shannon un [] sayısal haberleşme ssemlerndek lem hızının sınırlarını belrlemes le bu sınıra yaklaşmak çn br çok kodlama eknkler gelşrlmşr. Bu kodlama eknklernn daha y anlaşılablmes çn genel br haberleşme ssemnn model Şekl. de verlmşr. Şekl. Sayısal br haberleşme ssemnn blok şeması Kaynak arafından verlen blg öncelkle kaynak kodlayıcı arafından sıkışırılır ve daha küçük br boyua kanal kodlayıcıya verlr. Kanal kodlayıcı se daha az haalı br lem sağlamak çn kodlama yapmakadır. Modülaor, blgnn kanaldan leleblmes çn yüksek frekansak analog dalga şarelerne dönüşmesn sağlamakadır. İlelen şare, kanalda grşm, sönümleme ve gürülü gb bozucu ekler alında kalmakadır. Alıcı arafa se, verc kısımda yapılan şlemlern am ers olan demodülasyon, kanal kodçözme ve kaynak kodçözme şlemler sırasıyla yapılmakadır. İnernen ve çoklu-oram uygulamalarının elsz haberleşme ssemleryle büünleşmes le genş banlı, yüksek ver hızlarına sahp haberleşme hzmelerne olan alep hızla arış gösermşr. Frekans spekrumu sınırlı olduğundan daha yüksek ver hızları ancak daha verml şareleşme eknkler kullanılarak elde edleblmekedr []. Blg kuramı alanında yapılan çalışmalar gösermşr k elsz

15 haberleşmesnde çok grşl-çok çıkışlı ssemler kullanılarak kanal sığası arırılablmekedr [-4]. Çok grşl çok çıkışlı ssemler, alıcı ve verc arafında çoklu anen kullanılarak elde edlmekedr. Hem alıcı hem de verc anen çeşlemes, daha az haalı br lem sağlamaka ve elsz leşmde daha yüksek hızlara çıkılmasına olanak sağlamakadır. Alıcı anen çeşlemes uzun yıllardır kullanılan br yönemdr. Ancak verc anen çeşlemes se daha yen br yönemdr. Uzay-zaman kodlaması, verc arafa çoklu anen kullanılması çn asarlanmış br kanal kodlama eknğdr [5]. Uzay-zaman kodları, Tarokh vd. arafından oraya aılan uzay-zaman kafes kodları [5] ve Alamou arafından oraya aılan uzay-zaman blok kodları [6] olarak kye ayrılmakadır. Son yıllarda, farklı performans analzler sonucunda uzay-zaman kafes kodları çn farklı asarım ölçüler önerlmşr. İlk olarak Tarokh vd. [5] arafından duruğumsu (quas-sac sönümlemel kanallar çn rank ve deermnan ölçüü oraya aılmışır. Bu ölçü, uzay-zaman kafes koduna a lelen ve karar verlen dzler yardımıyla oluşurulan br marsn rank ve deermnan değerlernn olabldğnce büyük olmasını önermekedr. Bu ölçü kullanılarak, farklı rank ve deermnan değerlerne sahp br çok 4-PSK ve 8-PSK uzay-zaman kafes kodu asarlanmışır [5-]. Vucec vd. [-4] de uzay-zaman kafes kodlarının duruğumsu sönümlemel kanallardak asarım ölçülernn çeşleme derecesne göre değşğn fade emşlerdr. Küçük çeşleme dereces çn rank ve deermnan ölçüünün geçerl olduğunu; büyük çeşleme dereces çn z ölçüünün geçerl olduğunu gösermşlerdr. İz ölçüü, kodsözcükler arasındak en küçük Ökld uzaklığının olabldğnce büyük yapılmasını önermekedr. Bu asarım ölçüüne dayalı farklı verc anen sayısına sahp br çok 4-PSK ve 8-PSK uzay-zaman kafes kodu asarlanmışır [8-,-3]. Hızlı sönümlemel kanallar çn se Tarokh vd. uzaklık ölçüü le çarpım ölçüünü oraya amışır [5]. Uzaklık ölçüü, uzay-zaman smgeler arasındak Hammng uzaklığının en küçük değernn olabldğnce büyük yapılmasını; çarpım ölçüü se, uzay-zaman smgeler arasındak Ökld uzaklıklarının çarpımının en küçük değernn olabldğnce büyük yapılmasını önermekedr. Bu ölçü kullanılarak, hızlı sönümlemel kanallar çn farklı verc anen sayısına sahp 4-PSK ve 8-PSK uzayzaman kafes kodları asarlanmışır [5]. Vucec vd. [6] da uzay-zaman kafes

16 kodlarının hızlı sönümlemel kanallardak asarım ölçülernn de çeşleme derecesne göre değşğn fade emşlerdr. Küçük çeşleme dereces çn uzaklık ve çarpım ölçüünün geçerl olduğunu; büyük çeşleme dereces çn z ölçüünün geçerl olduğunu gösermşlerdr. Bu yüzden z ölçüüne dayalı olarak asarlanan uzay-zaman kafes kodları [8-,-3] bu durumda da kullanılablmekedr. Uzay-zaman kafes kodlarıyla lgl çalışmaların çoğu Raylegh ve Rcan kanallar çn yapılmışır. Uzay-zaman kafes kodlarının gölgeleme eks alındak performansı se [7-9] da ncelenmşr. [7-8] de gölgeleme eksn modellemek çn Rcanlognormal dağılımından, [9] da se Rcan-Nakagam dağılımından faydalanılmışır. Her k modelde de kanal genel olarak Rcan dağılımına sahpr. Ancak baskın bleşen sab br değer yerne, lognormal veya Nakagam dağılımlıdır. Uysal ve Georghades, duruğumsu ve hızlı sönümlemel Rcan-lognormal kanaldak k dznn brbrne karışma olasılığının (çfsel haa olasılığının am değern elde emş ve rank-deermnan ölçüü le uzaklık-çarpım ölçüünün bu kanalda da geçerl olduğunu gösermşlerdr [8]. Ayrıca Uysal, [9] da duruğumsu sönümlemel Rcan-Nakagam kanaldak çfsel haa olasılığının am değern elde emş ve rankdeermnan ölçüünün bu kanalda da geçerl olduğunu gösermşr. Bu ezde se, uzay-zaman kafes kodlarının gölgeleme eks alındak (Rcanlognormal ve Rcan-Nakagam kanallardak haa olasılıkları ve asarım ölçüler çeşleme derecesne göre ncelenmşr. Büyük çeşleme dereces çn, Rcanlognormal ve Rcan-Nakagam sönümlemel kanallarda haa olasılığı çn üs sınır elde edlmş ve z ölçüünün yne geçerl olduğu göserlmşr. Ayrıca hızlı sönümlemel Rcan-Nakagam kanalda küçük çeşleme dereces çn çfsel haa olasılığının am fades elde edlmş ve uzaklık-çarpım ölçüünün geçerl olduğu göserlmşr. Tezdek. bölümde kısaca uzay-zaman blok kodları ve ayrınılı br şeklde uzayzaman kafes kodları anlaılacakır. Uzay-zaman kafes kodların çeşleme derecesne bağlı olarak Raylegh kanaldak haa olasılıkları ve asarım ölçüler göserlecekr. Bu ölçülere göre asarlanmış kodlara örnekler verlecekr. 3. bölümde, ezde ele alınan kanal modeller ayrınılı br şeklde anlaılacakır. Uzay-zaman kafes kodlarının, duruğumsu ve hızlı sönümlemel Rcan-lognormal kanal le duruğumsu sönümlemel Rcan-Nakagam kanaldak performansı ncelenecekr. Tezn 4. bölümünde se, uzay-zaman kafes kodlarının Rcan-lognormal ve Rcan-Nakagam 3

17 sönümlemel kanallardak performansının çeşleme derecesne bağlı olduğu göserlecekr. Büyük çeşleme dereces çn, Rcan-lognormal ve Rcan-Nakagam sönümlemel kanallardak; küçük çeşleme dereces çn se, hızlı sönümlemel Rcan-Nakagam kanallardak uzay-zaman kafes kodlarının performansı ncelenecekr. Tezdek 5. bölümde sonuçlara yer verlmekedr. 4

18 . UZAY-ZAMAN KODLARI Tek alıcı ve ek verc anenn bulunduğu ssemlerde yeernce yüksek hızda ver lem yapılamaz. Alıcı ve verc anen çeşlemes kullanılan ssemlerde kanalın sığası armakadır, dolayısıyla yüksek hızda ver lem yapılablmekedr. Uzayzaman kodlaması, verc arafa çoklu anen kullanılması çn asarlanılmış olan br kanal kodlama eknğdr [5]. Uzay-zaman kodlarında kodlama, hem uzay hem de zamanda yapılmakadır. Böylece farklı zamanlarda farklı anenlerden lelen şareler sasksel lşkl olmakadır. Bu sasksel lşk, kanal sönümlemesnn eksn ve alıcı arafak lem haalarını azalmakadır. Uzay-zaman kodlaması, uzayda kodlanmamış br sseme göre ban genşlğnden fedakarlık emeden, verc çeşlemes ve güç kazancı sağlamakadır. Uzay-zaman kodları, blok kodlar [6] ve kafes kodlar [5] olmak üzere kye ayrılablrler. Telsz haberleşme ssemlernde, verc anenden gönderlen şare alıcı anene ulaşmadan önce sönümleme eksnde kalmakadır. Uzay-zaman kodlarının performansı nceleneceğnden, öncelkle sönümlemel kanal modellernn özellkler ve aralarındak farklar verlecekr... Sönümlemel Kanallar Çevre koşullarına bağlı olarak farklı sönümleme pler mevcuur. Bu farklı pek sönümlemel kanallar, farklı olasılık dağılımları kullanılarak modellenmekedr. Leraürde en çok kullanılan sönümlemel kanal p Raylegh ve Rcan dağılımlı kanallardır.... Raylegh Sönümlemel Kanal Gezgn haberleşme ssemlernde Raylegh dağılımı, sönümleme değşkennn zarfını anımlamak çn sıkça kullanılmakadır. Çok-yollu br kanalda sönümleme değşken, ( ( ( g = g + jg (. I Q 5

19 bçmnde anımlanmakadır []. Burada gi ( ve Q g sıfır oralamalı ve σ varyanslı Gauss dağılımına sahp süreçler olduğunda, g( şarenn zarfı Raylegh ve fazı da [, π] aralığında düzgün dağılımlı olmakadır. Bu durum, gerçeke çokyollu kanalda hçbr yol dğerlerne göre baskın değlse geçerldr. Şekl. den de anlaşılacağı gb alıcının vercy doğrudan gördüğü br yol bulunmamakadır. Şekl. Raylegh sönümlemel kanal Raylegh dağılımlı zarfın olasılık yoğunluk şlev, ρ ρ exp p( ρ = σ σ < ( ρ ( ρ (. fades le verlmekedr. Bu dağılımın değşm Şekl. de göserlmekedr. Şekl. de şaren oralama gücü E[ρ ] = σ = seçlmşr. Dağılım en yüksek değern ρ = σ değernde almakadır. Zarfın bell br G değern aşmama olasılığı olan olasılık dağılım şlev, P( G = P( ρ G = p( ρ dρ= exp G G σ (.3 fades le verlmekedr. Zarfın oralama değer µ ρ, 6

20 π μ ρ = E[ ρ ] = ρp( ρdρ=σ =.533σ (.4 olarak elde edlr []. Şekl. Raylegh dağılımının olasılık yoğunluk şlev Zarfın varyansı σ ρ (alernaf akım gücü, oralama gücün doğru akım gücünden çıkarılması le bulunmakadır: π σ ρ = E ρ E [ ρ ] =σ =.49σ. (.5... Rcan Sönümlemel Kanal Alıcıya gelen şaree, alıcının vercy am görmes gb baskın br bleşen bulunuyorsa, kanal Rcan dağılımlıdır. Şekl.3 en de anlaşılacağı gb alıcının vercy doğrudan gördüğü br yol bulunmakadır. Bu durumda g ( ve g ( bleşenler sıfırdan farklı br oralamaya sahp olurlar. Rcan dağılımının olasılık yoğunluk şlev, I Q 7

21 ( ρ + A ρ Aρ exp I A, p( ρ = σ σ σ ( ρ < ( ρ (.6 fades le verlmekedr. A, baskın bleşenn epe genlk değern ve I (. se sıfırıncı dereceden değşrlmş brnc ür Bessel şlevn fade emekedr. Şekl.3 Rcan sönümlemel kanal Rcan dağılımı, genellkle K parameres cnsnden fade edlmekedr. K parameres, baskın şaren gücünün dğer çok-yollu şare bleşenlernn gücüne oranı olarak anımlanmakadır: A K =. (.7 σ Bu oran genellkle db cnsnden, aşıdığı oralama güç Ω, A K = log (db σ le verlr. Rcan dağılımın E ρ =Ω= A + σ = σ + K (.8 fades le hesaplanablr. Rcan dağılımın olasılık yoğunluk şlev, K ve Ω cnsnden ekrar yazılırsa, 8

22 ρ K+ ρ K+ K K+ p( ρ = exp K I ρ Ω Ω Ω (.9 elde edlr. Rcan dağılımının değşm farklı K değerler çn Şekl.4 e verlmşr. K = durumunda, baskın br bleşen olmayacağından dağılım Raylegh dağılımı olmakadır. (.9 da K = yazılırsa Raylegh dağılımının olasılık yoğunluk şlevnn elde edldğ açıkça görülmekedr. K parameresnn büyük değerler çn kanaldak sönümlemenn eks azalmakadır. K = durumunda kanalda sönümleme olmamakadır ve kanal sadece oplamsal beyaz Gauss gürülülü kanala dönüşmekedr. Şekl.4 Rcan dağılımının olasılık yoğunluk şlev.. Uzay-Zaman Blok Kodları Telsz haberleşme ssemlernden yüksek hızlı ver hzmeler sağlaması beklenmekedr. Aynı zamanda, gezgn brmlern boyularının da küçük olması alep edlmekedr. Bu yüzden, ssemn karmaşıklığının olabldğnce verc anen kısmına (baz sasyonu aşınması gerekmekedr. Gezgn brm arafında kullanılacak olan anen çeşlemes, gezgn brmlern boyuunu ve gezgn brmlern 9

23 sayısı verc anenlere (baz sasyonu nazaran fazla olduğundan malye arıracakır. Br baz sasyonu yüzlerce gezc brme servs verdğnden, anen çeşlemesnn verc kısmında yapılması çok daha ekonomk olacakır [6]. Bu nedenle, alıcı anen yerne verc anen çeşlemes erch edleblr. Verc anen çeşlemes, haa başarımını, ver hızını ve elsz haberleşme ssemnn kapasesn gelşrmekedr. Sönümlemeye olan duyarlılığın azalması, yüksek hız oranları çn gerekl olan daha yüksek sevyel modülasyon kullanımına olanak sağlamakadır. Ayrıca, daha küçük ekrar kullanım oranını mümkün kılmaka ve ssemn kapasesn arırmakadır. Alıcı anen çeşlemesne sahp en büyük oran brleşrmesne dayalı (MRC br haberleşme ssemnn alıcısı Şekl.5 e verlmşr. Verc arafından gönderlen şare s olarak fade edlmekedr. Kanalın sönümleme kasayısı, genlk ve faz bleşenlernden oluşan kompleks br değşken olarak anımlanmışır. Şekl.5 Alıcı anen çeşlemesne sahp haberleşme ssem Verc anen le brnc alıcı anen arasındak kanalın sönümleme kasayısı h, verc anen le knc alıcı anen arasındak kanalın sönümleme kasayısı h olsun. Burada h ve h,

24 h j e θ =α (.a jθ h =α e (.b olarak anımlanmakadır. Sönümlemeye uğramış olan şaree kanaldak gürülü de eklennce, alıcı anenlere gelen şareler sırasıyla aşağıdak gb elde edlmekedr: r = h s + n (.a r = h s + n. (.b Burada n ve n, sırasıyla brnc ve knc alıcı anene a olan kompleks gürülülern fade emekedr. Kompleks gürülülern Gauss dağılımlı olduğu varsayılırsa, alıcı arafa uygulanan en büyük olablrlkl karar kuralı, d r,h s + d r,h s d r,h s + d r,h s, k (. k k koşulu geçerl se s şarene karar verecekr [6]. Burada d (x,y x ve y arasındak karesel Ökld uzaklığıdır ve = ( ( * d x,y x y x * y kullanılarak hesaplanmakadır. İşlemler basleşrmek çn alıcı arafa, s = h r + h r * * ( = h h s + n + h h s + n * * * * = α +α s + h n + h n (.3 şlem yapılmakadır. (. de verlen karar kuralı ve (.3 e bulunan fade yardımıyla, yen karar kuralı, ( ( α +α s + d s,s α +α sk + d ( s,sk, k (.4 olarak elde edlr. PSK şareler çn s ve s k eş enerjl olacağından, s = s k olmakadır. Bu yüzden PSK şareler çn (.4 ek karar kuralı, d s,s d s,s, k (.5 k

25 gb bas br fadeye ndrgenmekedr. Böylece en büyük olablrlkl karar vercnn grşne sadece s şarenn verlmes yeerl olacakır. Verc anen çeşlemesnn kullanıldığı br ssem se Şekl.6 da göserlmekedr. Görüldüğü gb ssemde, ade alıcı anen ve ade verc anen bulunmakadır. Bell br anda, her k verc anenden de eş-zamanlı k şare lelmekedr. Brnc verc anenden lelen şare s ve knc verc anenden lelen şare s olarak fade edlmekedr. Br sonrak smge peryodunda se, brnc verc anenden * s ve knc verc anenden * s şareler lelmekedr. Görüldüğü gb kodlama hem uzayda hem de zamanda yapılmakadır [6]. Şekl.6 Verc anen çeşlemesne sahp haberleşme ssem Bell br anında, brnc verc anene a kanalın sönümleme kasayısı h ( ve knc verc anene a kanalın sönümleme kasayısı h ( olarak verlsn. Sönümlemenn ardışık k smge çn sab olduğu varsayılırsa, sönümleme kasayıları j ( h = h + T = h =α e θ (.6a j h = h + T = h =α e θ (.6b

26 bçmnde yazılablr. Burada T smge süresn fade emekedr. Alıcı arafa, ve (+T anında gelen şareler sırasıyla r ve r olarak fade edlmekedr: ( r = r = hs + hs+ n (.7a * * r = r + T = h s + h s + n. (.7b Brleşrc çıkışı, s = h r + h r = α +α s + h n + h n (.8a * * * * * * * * s = h r h r = α +α s h n + h n (.8b olarak elde edlr. Bu şareler en büyük olablrlkl karar verc grşne uygulanır. En büyük olablrlkl karar verc, (.5 denklemndek karar kuralını s ve s şareler çn ayrı ayrı uygular. Görüldüğü gb (.8a dak şare le (.3 ek şare brbrlernn aynısıdır. Aralarındak ek fark, gürülü bleşenlerndek faz farkıdır. Bu fark, şare gürülü oranında br değşme sebep olmamakadır. Bu yüzden, alıcı çeşlemesnn uygulandığı ssemn çeşleme dereces le verc çeşlemesnn uygulandığı ssemn çeşleme dereces brbrne eşr [6]. Bu sonucu desekleyen benzemn sonuçları Şekl.7 de verlmşr. Benzemde verc anen çeşlemes kullanılan durum çn k anenden lelen şarelern enerjler oplamı le alıcı anen çeşlemes kullanılan durum çn br anenden lelen şaren enerjs aynı kabul edlmekedr [6]. Alıcı anenler le verc anenler arasındak kanalların sönümleme kasayılarının genlkler brbrleryle sasksel lşksz Raylegh dağılımlı raslanı değşkenlerdr. Bu kabuller alında, elde edlen eğrlerden de görüldüğü gb her k ssemnde çeşleme dereces aynıdır (eğrlern eğm aynı. Ancak verc çeşlemes kullanılan ssemn performansı, alıcı çeşlemes kullanılan ssemn performansına göre 3dB daha köüdür. Bunun sebeb se verc anen çeşlemesnn kullanıldığı ssemde verc anen başına düşen enerjnn, alıcı anen çeşlemesnn kullanıldığı ssemdek verc anen başına düşen enerjye nazaran yarı yarıya az olmasıdır. B haa oranı (BER eğrs, verc anen başına oralama şare gürülü oranına (SNR göre çzlrse, k ssemn eğrler üs üse gelecekr [6]. 3

27 Şekl.7 Alıcı ve verc anen çeşlemes uygulanan ssemlern performans karşılaşırılması.3. Uzay-Zaman Kafes Kodları Uzay-zaman blok kodları, kod çözmede kolaylık sağlamakadır. Ancak bu kodlar kodlama kazancı sağlamamasının yanında bazı uzay-zaman blok kodları gerekl lem bandının genşlemesne sebep olmakadır. Bu yüzden bu kodlar band sınırlı ssemler çn uygun değldr. Bu ür durumlarda, uzay-zaman kafes kodlarını kullanmak çok daha faydalıdır. Uzay-zaman kafes kodları (STTC, lk defa Tarokh, Seshadr ve Calderbank arafından oraya aılmışır [5]. Bu kodlar, öneml derecede kodlama kazancı ve spekral vermllğn yanında düzgün sönümlemel kanallarda çeşleme kazancı da sağlamakadır. Uzay-zaman kafes kodlayıcısı, kl very kafes yapısı kullanarak (rells dagram modülasyon smgelerne dönüşürmekedr. İlem anen sayısı n T olan, uzay-zaman kafes kodlanmış M-PSK modülasyonlu br kodlayıcı ele alalım. c le göserlen grş mesajı, c = (c, c,., c,. (.9 4

28 şeklnde anımlanmakadır. Buradak c, zamanında m = log M ben oluşmaka ve aşağıdak gb anımlanmakadır: c = (c, c,, c m. (. (. fades kullanılarak, zamanında lelen uzay-zaman smges olan n x = ( x, x,..., x T T oluşurulmakadır. x, x,..., x n,,, nt numaralı anenlerden aynı anda lelmekedr. T çıkışları zamanında, Şekl.8 anenl uzay-zaman kafes kodu vercs Uzay-zaman kafes kodlanmış M-PSK nın band vermllğ, W = T ve R = m T alınarak, R = m = log M b/sn/hz (. W bçmnde yazılablr. Alıcı ve vercde bulunan brçok anen, çok grşl çok çıkışlı (MIMO kanal oluşurmakadır. Telsz haberleşmede kanalın belleksz olduğu varsayılırsa, alıcı le verc anen arasındak kanal düzgün sönümleme le modelleneblmekedr. Şekl.9 dak gb n T verc anen ve n R alıcı anenden oluşan br MIMO kanal, H mars (n R x n T le fade edlmekedr. zamanındak bu mars, 5

29 H = h h...h h h...h... h h...h,,,n T,,,nT n R, n R, n R,nT (. olarak anımlanmakadır. Burada j, nc eleman (h j,,. lem anen le j. alıcı anen arasındak yolun zayıflama kasayısıdır. Bu kasayıların değşm hızına göre kanallar hızlı veya duruğumsu sönümlemel olarak anımlanmakadır. Sönümleme kasayıları, br çerçeve boyunca sab ve yalnızca çerçeveden çerçeveye değşyorsa, bu kanal duruğumsu sönümlemel olarak adlandırılır. Sönümleme kasayıları, br smge boyunca sab ve smgeden smgeye değşyorsa, bu kanal hızlı sönümlemel olarak adlandırılır. Şekl.9 Çok grşl çok çıkışlı haberleşme ssem Alıcıdak anenlere gelen şareler, kanalın sönümlemes eks alında kalan n T ade şare le gürülünün oplamına eşr. j anen arafından anında alınan şare, n T r = E h x j S j, = j + n (.3 j olarak fade edlmekedr. Burada E S, smge başına oralama enerj ve n se zamanında j anenne gelen gürülü parameresdr. Bu paramere, ek araflı güç spekral yoğunluğu N olan, sıfır oralamalı, sasksel bağımsız kompleks Gauss raslanı değşkendr. Bu durumda n R ane anen arafından alınan şareler le gürülü şareler, 6

30 r (.4a n = ( r, r,..., r R T n = ( n, n,..., n (.4b n R T bçmnde fade edlmekedr. Bu vekörler yardımıyla alınan şare şu şeklde anımlanablr : r = H x + n. (.5 Her anenden lelen ver çerçevesnn, L uzunluklu olduğu varsayılırsa n T x L boyulu uzay-zaman kodsözcüğü mars, X = x x...x x x...x... x x...x L L nt nt nt L (.6 şeklnde anımlanmakadır. Burada,. saır x = [ x x...x L ],. anenden lelen ver n dzsn;. süun x = [ x x...x T ] emekedr. T se zamanındak uzay-zaman smgesn fade İlelen dznn X = (x, x,.., x L olduğu, karar verlen dznn de X ˆ = ( xˆ, xˆ,..., xˆ olduğu durumda çfsel haa olasılığı P ( XX, ˆ le L göserlmekedr. En büyük olablrlkl karar kuralına göre haa, L nr j n T L nr j nt r h j j, x r ˆ j h = = = = = = j, x (.7 olduğu durumda meydana gelmekedr. X ve ˆX uzaklığı, kodsözcükler arasındak Ökld ˆ ˆ L n n ˆ = j= = j R T d (, =. ( - = h (x x h XX H X X, (.8 bçmnde anımlanırsa, H mars blndğne göre koşullu çfsel haa olasılığı, Ökld uzaklığı cnsnden 7

31 ˆ E X XH X X ˆ (.9 S P (, = Q d h (, N şeklnde bulunur [6]. x / Q (x e, x (.3 fades yardımıyla bu olasılığın üs sınırı, ˆ ˆ E S P ( XXH, exp-d h ( XX, 4 N (.3 şeklnde bulunur. Haa olasılığı, kanalın duruğumsu veya hızlı sönümlemel olmasına göre farklılık gösermekedr. Bu yüzden her k durum çn ayrı ayrı analz yapılması gerekmekedr..3.. Duruğumsu Sönümlemel Kanallar Duruğumsu sönümlemel kanallarda, sönümleme kasayıları her ver çerçeves boyunca sab olduğundan, L h j, = h j, =...= h j, = h j,, =,,.., n T ; j =,,.., n R (.3 şeklnde yazılablr. BXX (, ˆ kodsözcüğü fark mars, BXX (, ˆ = X- X ˆ x ˆ xˆ x xˆ xl x L x ˆ xˆ x xˆ xl xl = nt nt nt nt nt n T x ˆ ˆ ˆ x x x xl xl (.33 bçmnde anımlanırsa, bu mars yardımıyla kodsözcüğü uzaklık mars (nt x n T aşağıdak gb elde edlmekedr: AXX (, ˆ H AXX (, ˆ = BXX (, ˆ B ( XX, ˆ. (.34 8

32 Burada H, marsn hermyenn (eşlenğnn evrğn fade emekedr. İk kodsözcüğünün uzaklığı negaf olamayacağından, A mars negaf olmayan belrl H br marsr ( AXX (, ˆ = A ( XXˆ, ve A marsnn özdeğerler de negaf olmayan gerçel sayılardır [, ]. A mars hermyen br mars olduğundan, A marsnn özdeğer mars Λ olmak üzere, AX = X Λ (.35a R R XA ΛX (.35b L = L eşlklern sağlayacak şeklde anımlanan sağ (X R ve sol (X L özvekör marsler de brbrlernn hermyenlerdr ( X R = edlrse, yukarıdak koşullar göz önüne alındığında, X H L. A nın özvekör mars V le fade H XL = V, XR = V (.36a H H XLAXR = VAV = ΛVV (.36b elde edlmekedr. Ayrıca A mars hermyen olduğundan, özvekör mars V ekl mars olacakır ( V H = V. (.36b nn sağ arafında V H değer yerne yazılırsa, ˆ H VAXX (, V = Λ (.37 elde edlmekedr. Burada V nn saırları ( v, v,..., v, AXX (, ˆ n öz n T vekörlernden, Λ nın köşegen de AXX (, ˆ n öz değerlernden oluşmakadır (λ, =,,...,n T. Köşegen mars Λ, λ λ Λ = λnt (.38 9

33 olarak anımlanmakadır. Aşağıda verlen duruğumsu sönümlemel kanallar çn kodsözcükler arasındak karesel Ökld uzaklığı d( XX, ˆ, ZXX (, ˆ gb br vekörün kends ve hermyennn çarpımı şeklnde yazılablmekedr: h n n L n ( ˆ R T R H h ˆ ˆ j, x x = ZXXZ (, ( XX, j= = = j=. (.39 Burada ZXX (, ˆ vekörü, nt n ˆ ZXX (, = h x x ˆ,..., h x xˆ T ( ( j, j, L L = = h, h,...,h. x xˆ x xˆ L L = j, j, j,nt nt nt nt nt x xˆ x xˆ L L (.4 şeklnde fade edlmekedr. h olarak anımlanırsa, j = h j,, h j,,..., h j,n T ZXX (, ˆ = h( X Xˆ j (.4 olarak elde edlr. (.4 fades (.39 da yerne konursa, n R H d( ˆ ( ˆ ( ˆ h XX, = hj X X X X h H j j= n R j = (, ˆ = j j H ha XXh (.4 olmakadır. (.37 fades kullanılarak, A mars, H V VAV V = V ΛV yazılablr ve buradan H A = V ΛV (.43 bçmnde elde edleblr. (.43 fades (.4 de yerne yazılırsa, oplam sembolünün çndek kısım,

34 H H hv j ΛVh j v v λ * *, n, T * *, n v v T, h j,,h j,,..,h λ = j,nt xn T v v λ * v, v,n h T j, * v, v,n h T j, v h * n, vn,n j,n n x T T T T nt nt T * *,n n,n n n n T T T T n T T T nt nt * λ v,lhj,l n l T n T * * = h j,v,,..., h j,v λ n T, = = xnt nt * λ n v T n n T nt T,lh j,l l= nt = nt * v,lhj,l nt n l T n = T * * * h j,v,, h j,v,,..., nt h j,vn T, = = = xn T n T * vn T,lh j,l l= nt = λ λ λ nt nt nt nt * * * * h j,v, v,l h j,l... nt h j,vn T, vn T,lh j,l = l= = l= =λ + +λ n T j, (.44 = = λ β olarak fade edleblr. Burada β j, aşağıdak gb anımlanmakadır: n T * j, hj,lv,l l= β =. (.45 (.44 fades yardımıyla, (.3 de elde edlen çfsel haa olasılığının üs sınırı, R T ( ˆ E P XXH, exp λ β 4 n n S j, j = = N (.46

35 bçmnde fade edlmekedr. Üs sınır görüldüğü gb koşullu haa olasılığına ar. Koşulsuz haa olasılığının üs sınırını bulmak çn (.46 fadesnn β j, ye göre beklenen değernn alınması gerekmekedr. Bu yüzden öncelkle β j, nn dağılımı bulunmalıdır. h j,, oralaması değşkendr. V nn saırları j, μ h ve varyansı σ h = /olan kompleks Gauss raslanı ( v, v,..., vn T se oronormal vekör uzayının bazlarıdır. Bu durumda βj, de kompleks Gauss dağılımlıdır. β j, nn oralaması ve varyansı, μ = β = = nt nt * * j, E j, E hj,lv,l E h j,l v,l l= l= j, j, j,n = T μh, μh,..., μ h. v (.47 nt nt * var j, var h j,lv,l var h j, v *,l l= l= σ = β = = =σ h (.48 olarak elde edlmekedr. β j, kompleks Gauss dağılımlı olduğuna göre β j, raslanı değşken de Rcan dağılımlıdır ve olasılık yoğunluk şlev, j, j, ( j, j, ( j, ( j, p β = β exp β K I β K (.49 şeklnde verlmekedr [5]. Burada I (. sıfırıncı dereceden değşrlmş brnc ür Bessel şlevdr ve j, K =μj, olarak anımlanmakadır. Daha önceden de belrldğ gb koşulsuz haa olasılığı çn (.46 fadesnn β j, ye göre beklenen değernn alınması gerekmekedr. Bu şlem çn r, A marsnn rankı olmak üzere, rn R değerne bağlı olarak k farklı yönem uygulanmakadır rn R Değernn Büyük Olduğu Durumda Koşulsuz Haa Olasılığı β j, Rcan dağılımlı olduğuna göre β j, fades, serbeslk dereces ve merkezyeszlk parameres j, S=μ j, =K olan merkez olmayan ch-square dağılımına sahpr [3]. β j, raslanı değşkennn oralaması ve varyansı, j, μ = + K (.5 β j,

36 σ = + K j, β j, (.5 bçmnde verlmekedr. (.46 fadesndek eşszlğn sağ arafında rn R ade sasksel bağımsız ch-square dağılımlı raslanı değşken bulunmakadır. rn R değernn büyük olduğu durumlarda ( rn R 4, merkez lm kuralına göre [4], nr nt j, (.5 j = = D = λ β bçmnde anımlanan D raslanı değşken, oralama ve varyansı D nr nt ( j, K (.53 j= = μ = λ + n D R n T j= = σ = λ + j, ( K (.54 olan Gauss dağılımlı br raslanı değşkenne yaklaşmakadır [3]. (.46 fadesnn D Gauss raslanı değşkenne göre beklenen değer alınırsa, koşulsuz haa olasılığı elde edlr: + ( ˆ E S P XX, exp D p D dd. (.55 4N D= Burada p(d, D Gauss raslanı değşkennn olasılık yoğunluk şlevdr. Aşağıdak fade kullanılarak, + γσd μ D exp( γ D p( D dd = exp γ σd γμdq, γ > (.56 σd D= haa olasılığının üs sınırı, E E E P (, ˆ XX exp σ μ Q σ 4N 4N 4N μ S S S D D D D σd (.57 bçmnde elde edlmekedr [6]. D Gauss raslanı değşkenn oralaması ve varyansı (.57 de yerne konursa, Rcan sönümlemel kanal çn haa olasılığı üs 3

37 sınırı elde edlmekedr. Raylegh sönümlemel kanal çn se j, μ h = olduğundan, K j, = olmakadır. A marsnn boyuu nt x n T olduğundan ve rank değer r le göserldğnden, A marsnn (n T -r ade özdeğer sıfıra eşr. Dolayısıyla A marsnn r ade özdeğer de sıfırdan farklıdır. Sıfırdan farklı olan özdeğerlern λ, λ,..., λ oralaması ve varyansı, r olarak göserldğ varsayılırsa, D Gauss raslanı değşkennn μ = n λ D r R (.58 = r D n R = σ = λ (.59 bçmnde fade edlmekedr. Bu oralama ve varyans fadeler, (.57 denklemnde yerne konduğunda Raylegh sönümlemel kanal çn çfsel haa olasılığının üs sınırı elde edlmekedr [6]: E P (, ˆ XX exp n n 4N 4N r r S ES R λ R λ = = E. Q 4N r R S = nr λ r = λ = n r λ. ( rn R Değernn Küçük Olduğu Durumda Koşulsuz Haa Olasılığı Küçük rn R değerler çn, rn R 4 olduğu durumdak D nn Gauss dağılımlı olduğu varsayımı geçerl olmamakadır ve çfsel haa olasılığı üs sınırı, ( XXˆ ( XXH ˆ ( β, ( β, ( β n R,nT P, P, p p p β j, =. d β d β d β (.6,, n,n R T le verlen negraln adım adım çözülmes le elde edlmekedr. Burada β j, ler Rcan dağılımlı raslanı değşkenler olduğundan, (.49 da verlen olasılık yoğunluk şlev (.6 de yerne konursa, çfsel haa olasılığının üs sınırı, 4

38 ( XXˆ j, S nr nt 4N E j S E = = S + λ 4N + λ 4N P, exp K E λ (.6 bçmnde bulunur [5]. Kanalın Raylegh sönümlemel olduğu durumda üm j ve ler çn j, K = olacağından (.6 dek eşszlk, nr P ( XX, ˆ (.63 nt E S + λ = 4N olarak elde edlmekedr. A marsnn boyuu n T x n T olduğundan ve rank değer r le göserldğnden, A marsnn (n T -r ade özdeğer sıfıra eşr. Dolayısıyla A marsnn r ade özdeğer de sıfırdan farklıdır. Sıfırdan farklı olan özdeğerler λ, λ,..., λ r olarak göserlrse ve yüksek şare gürülü oranları çn E E + λ λ (.64 S S 4N 4N varsayımı yapılırsa çfsel haa olasılığının üs sınırı daha bas br şeklde fade edlmekedr: ( ˆ n R rn r R E S λ = 4N P XX,. (.65 İşare gürülü oranının dereces, çeşleme kazancını fade eğnden dolayı rn R çeşleme kazancının sağlandığı açıkça görülmekedr. Kodlama kazancı se aynı çeşleme kazancına sahp kodlanmamış br sseme nazaran elde edlen kazancı fade emekedr. Bu durumda, görüldüğü gb /r λλ... λ kodlama kazancıdır [5]. r Çeşleme kazancı, şare gürülü oranına bağlı olarak çzlen haa oranı eğrsnn eğmn belrlerken, kodlama kazancı se uzay-zaman kodlanmış br ssemdek haa oranı eğrsnn, aynı çeşleme kazancına sahp kodlanmamış br ssemdek haa oranı eğrsne nazaran yaay öelenme mkarını belrmekedr. 5

39 Genel olarak, haa olasılığını asgarye ndrmek çn hem çeşleme hem de kodlama kazancının olabldğnce büyük yapılması gerekmekedr. Görüldüğü gb rn R değer üsel olarak ek yapığından, çeşleme kazancının büyük olması kodlama kazancının büyük olmasından daha büyük önem kazanmakadır..3.. Hızlı Sönümlemel Kanallar Hızlı sönümlemel kanallarda, sönümleme kasayıları sadece smge süres boyunca sabr. Duruğumsu sönümlemel kanallar çn yapılan ncelemelern benzer, hızlı sönümlemel kanallar çn de uygulanablr. Her anındak uzay-zaman smge fark vekörü, nt nt (, ˆ = x x ˆ, x x ˆ,..., x xˆ T F x x (.66 olarak fade edlmekedr. Bu durumda duruğumsu sönümlemel kanaldak A marsnn hızlı sönümlemel kanaldak karşılığı, H Cx (, xˆ = Fx (, xˆ. F ( x x ˆ olarak elde edlr. Görüldüğü gb (, ˆ, (.67 Cx x mars hermyen br marsr. Dolayısıyla, öyle br ekl V mars ve Λ gerçel köşegen mars vardır k, H ( ˆ V.C x, x. V = Λ (.68 şeklnde yazılablr. Bu fadenn çıkarılışı, öncek bölümde duruğumsu sönümlemel n kanallar çn yapılmışır. Burada V nn saırları ( v, v,..., v T, Cx (, xˆ nn özvekörlernden, Λ nn köşegen de Cx (, x ˆ ( λ, =,,...,nt. Köşegen mars Λ, nn özdeğerlernden oluşmakadır Λ λ λ = (.69 nt λ 6

40 şeklnde anımlanmakadır. Eğer x = xˆ olursa, Cx (, x ˆ üm sıfır mars ve üm özdeğerler de Cx (, xˆ λ (=,,...,nt sıfır olmakadır. Dğer yandan, eğer x ˆ olursa marsnn (nt- ade özdeğer sıfır, br özdeğer se sıfırdan farklı x olmakadır [6]. Sıfırdan farklı olan özdeğer λ (= olarak anımlansın. Uzay- zaman smgeler x ve x arasındak karesel Ökld uzaklığına eş olan, ˆ λ n T x ˆ x x = λ = = xˆ (.7 le verleblr []. Bell br anında bell br alıcı anene a kanalın sönümleme kasayıları vekörü ( h j,,h j,,...,h j,n j h olarak anımlanmakadır: h =. (.7 j (.8 dek karesel Ökld fades (, ˆ h L n R ( XXˆ = hcx j ( ˆ ( j x h d,, = j= T Cx x mars yardımıyla, H L nr nt j, λ (.7 = j= = = β olarak fade edlmekedr [5]. Burada β = h j v olarak anımlanmakadır. Her anı j,. çn, sıfırdan farklı özdeğer sayısı en fazla br ane olableceğnden (.7 de λ gördüğümüz yere sıfırdan farklı olan özdeğern kendsn ( λ yazablrz. Böylece (=,,...,n T üzernden yapılan oplam şlem de karesel Ökld fadesnden düşmekedr: ( XXˆ n R h j, λ d, = β ρ( XX, ˆ j= n R = βj, x x ˆ. (.73 ρ( XX, ˆ j= 7

41 Burada (, ˆ j,. ρ XX, x x ˆ ( =,,...,L olduğu anları belrmekedr. Ayrıca β = h j v olarak anımlanmaka ve sıfırdan farklı olan özdeğere karşı v düşen özvekörü fade emekedr. Karesel Ökld fades (.3 de yerne konursa koşullu haa olasılığı, λ n R E S P ( XXH, ˆ exp β ˆ j, x x ρ(, ˆ j = 4 XX N (.74 olarak elde edlmekedr []. Burada β j, ler sasksel bağımsız kompleks Gauss raslanı değşkenlerdr. Bu yüzden, β j, ler de Rcan dağılımlıdır ve olasılık yoğunluk şlev, j, j, β = β β β j, j, j, j, p exp K I K (.75 şeklnde verlmekedr. Burada j, j, j, j,nt K = μh, μ h,..., μ h. v (.76 olarak anımlanmakadır. Koşullu haa olasılığı üs sınırının, sasksel bağımsız Rcan raslanı değşken β j, ye göre beklenen değer alınmalıdır. Eğer X ve ˆX kodsözcüğü dzlerndek farklı uzay-zaman smgelernn sayısı δ H le göserlrse, (.74 fadesndek eşszlğn sağ arafında δ n sasksel bağımsız raslanı değşken bulunduğu açıkça görülmekedr. Duruğumsu sönümlemel kanallardakne benzer şeklde, hızlı sönümlemel kanallarda da koşulsuz haa olasılığının hesaplanması çn δ H n R H R değerne bağlı olarak k farklı yönem uygulanmakadır δ H n R Değernn Büyük Olduğu Durumda Koşulsuz Haa Olasılığı Verlen koda göre n değernn büyük olduğu ( δ n 4 durumlarda merkez δh R H R lm kuralına göre, (.73 ek karesel Ökld uzaklığı Gauss dağılımlı br raslanı değşkenne (Z yaklaşmakadır. Bu raslanı değşkennn oralama ve varyansı sırasıyla, 8

42 n R ( j, μ z = x x ˆ + K (.77 ρ( XX, ˆ j = n R j, ( σ z = x xˆ + K ρ( XX, ˆ j= 4 (.78 bçmnde verleblr [6]. (.74 e elde edlen koşullu haa olasılığının Z Gauss raslanı değşkenne göre beklenen değer alınırsa, (.56 dak fade yardımıyla koşulsuz haa olasılığının üs sınırı, E E E P (, ˆ XX exp σ μ Q 4N 4N 4N μ σ S S S z z z z σz (.79 şeklnde elde edlmekedr. Z Gauss raslanı değşkenn oralaması ve varyansı (.79 da yerne konursa, Rcan sönümlemel kanal çn haa olasılığının üs sınırı elde edlmekedr. Raylegh sönümlemel kanal çn se μ = olduğundan, j, h olmakadır. Bu durumda Z raslanı değşkennn oralama ve varyansı, j, K = μ = n z σ = n z R ρ, x x ˆ (.8 ( XXˆ 4 R ρ, x x ˆ (.8 ( XXˆ bçmnde verleblr. Bu oralama ve varyans fadeler, (.79 denklemnde yerne konduğunda Raylegh sönümlemel kanal çn çfsel haa olasılığının üs sınırı elde edlmekedr [6]: S 4 S S 4 R E ( ˆ E E E n d P XX, exp nrd nrd E Q nrd. (.8 4N 4 4N 4N D Burada d E, k uzay-zaman smge dzs arasındak karesel Ökld uzaklığına eşr ve d E = x x ˆ (.83 ρ( XX, ˆ bçmnde verlr. 4 D se aşağıdak gb anımlanmışır: 9

43 D 4 4 = x x ˆ. (.84 ρ( XX, ˆ.3... δ H n R Değernn Küçük Olduğu Durumda Koşulsuz Haa Olasılığı Küçük δ HnR değerler çn, δ HnR 4 olduğu durumdak Z nn Gauss dağılımlı olduğu varsayımı geçerl olmamakadır ve çfsel haa olasılığı üs sınırı, L ( XXˆ ( XXH ˆ ( β, ( β, ( β n R, P, P, p p p β j, = d β d β d β (.85 L,, n R, le verlen negraln adım adım çözülmes le elde edlmekedr. Burada β j, ler ( =,,..., L ve j =,,..., n R Rcan dağılımlı raslanı değşkenler olduğundan, (.75 e verlen olasılık yoğunluk şlev (.85 e yerne konursa, çfsel haa olasılığının üs sınırı bulunmakadır [5]: j, ES K ˆ nr x x 4N P XX, ˆ exp (, ˆ E j S E ρ XX = S + x ˆ + ˆ x 4N x x 4N. (.86 Kanalın Raylegh sönümlemel olduğu durumda üm j ve ler çn K j, = olacağından (.86 dak eşszlk, ( XXˆ P, ( XXˆ + x ˆ x E ρ, S 4N n R (.87 olarak elde edlmekedr. Yüksek şare gürülü oranları çn E E + x x x xˆ (.88 4N 4N S S ˆ varsayımı yapılırsa çfsel haa olasılığının üs sınırı daha bas br şeklde fade edlmekedr: 3

44 ( ˆ ( p n n δh R R ES P XX, d. (.89 4N Burada d p, k uzay-zaman smge dzs arasındak karesel Ökld uzaklıklarının çarpımından oluşmakadır: d p = x x ˆ. (.9 ρ( XX, ˆ İşare gürülü oranının dereces, çeşleme kazancını fade eğnden dolayı δ HnR çeşleme kazancının sağlandığı açıkça görülmekedr. Kodlama kazancı se aynı çeşleme kazancına sahp kodlanmamış br sseme nazaran elde edlen kazancı fade emekedr. Bu durumda, görüldüğü gb ( d p / δh kodlama kazancı sağlanmakadır Uzay-Zaman Kafes Kodların Tasarım Ölçüler Bu bölümde, önceden bulunan çfsel haa olasılıklarının üs sınırları kullanılarak hem duruğumsu sönümlemel kanal hem de hızlı sönümlemel kanal çn farklı asarım ölçüler göserlecekr Duruğumsu Sönümlemel Kanal İçn Tasarım Ölçüler Bölüm.3. de elde edlen (.6 ve (.65 fadelerndek üs sınırlardan da anlaşılacağı gb duruğumsu sönümlemel Raylegh kanal çn asarım ölçüler rn R değerne bağlıdır. Bu fadenn alableceğ olası en büyük değer n T n R e eşr (B mars am rank br mars olduğunda elde edlmekedr. Küçük n T n R değerler çn, yüksek şare gürülü oranlarındak çfsel haa olasılığının değern belrleyen baskın fade A marsnn rank ıdır. Haa olasılığının değern belrleyen dğer fade se (.65 en görüldüğü gb A marsnn sıfırdan farklı özdeğerlernn çarpımıdır. Kısacası, duruğumsu sönümlemel Raylegh kanalda, rn R değernn küçük olduğu durum çn kod asarım ölçüler aşağıdak gb özeleneblr : I A marsnn rank ının (r en küçük değernn, alableceğ en büyük değere sahp olması sağlanmalıdır. Böylece rn R çeşleme kazancı da en büyük değern almakadır. A marsnn rank ının en büyük değer r = n T sağlandığı zaman elde edlmekedr. Bunun çn B marsnn am rank br 3

45 mars olması gerekmekedr ve bu koşul kodların yapısı gereğ her zaman elde edlememekedr. Bu ölçü, rank ölçüü olarak adlandırılmakadır [5]. r II A marsnn sıfırdan farklı özdeğerlernn çarpımının λ = en küçük değernn, alableceğ en büyük değere sahp olması sağlanmalıdır. Bu fade ayrıca A marsnn r. dereceden köklernn deermnanlarının oplamına da eşr. Bu ölçü, deermnan ölçüü olarak adlandırılmakadır [5]. Yukarıda belrlen k ölçüe kısaca rank ve deermnan ölçüü denlmekedr. Büyük n T n R değerler çn, haa olasılığının üs sınırı (.6 da verlmşr. Kod asarım ölçüünü belrleme şn kolaylaşırmak çn (.3 dak eşszlk kullanılır ve E 4N r S = r = λ λ (.9 koşulunu sağlayacak kadar yüksek şare gürülü oranlarında çalışıldığı varsayımı yapılırsa, (.6 dak fade daha bas br yapıya dönüşmekedr [6]: ( ˆ P, exp n E r S XX R λ. (.9 4 4N = Görüldüğü gb çfsel haa olasılığı değernde, A marsnn özdeğerlernn oplamı ekndr. Haa başarımını yleşrmek çn A marsnn özdeğerlernn oplamının en küçük değernn, mümkün oldukça büyük olması sağlanmalıdır. Kare br marsn özdeğerlernn oplamı, aynı zamanda marsn köşegen üzerndek elemanlarının oplamına (marsn zne eşr: ( ( ˆ r n T İz A X, X = λ = A. (.93, = = Burada A,, A marsnn köşegen üzerndek elemanları fade emekedr ve (.34 denklem yardımıyla, 3

46 L * j j ( ˆ ( ˆ (.94 A = x x x x,j = bçmnde elde edlmekedr. (.94 fades (.93 e yerne konursa, A marsnn z bulunmakadır: ( ( ˆ nt L = = İz A X, X = x xˆ. (.95 Bu fade, A marsnn znn X ve ˆX kodsözcükler arasındak karesel Ökld uzaklığına eş olduğunu gösermekedr. Bu yüzden, A marsnn özdeğerler oplamının en küçük değernn veya A marsnn znn en küçük değernn alableceğ en büyük değer alması le üm kodsözcükler arasındak karesel Ökld uzaklığının en küçük değernn alableceğ en büyük değer alması aynı anlama gelmekedr. Bu ölçü z ölçüü olarak adlandırılmakadır ve kısaca aşağıdak gb özeleneblr [6] : I Kullanılan uzay-zaman kafes koduna a A marsnn rank ının en küçük değer (r, rn R 4 koşulunu sağlamalıdır. II A marsnn znn en küçük değernn alableceğ en büyük değer alması sağlanmalıdır. Çeşleme derecesnn arması, sönümlemenn eksn azalmaka ve sönümlemel kanalı oplamsal beyaz Gauss gürülülü kanal (AWGN modelne yaklaşırmakadır [6, 5]. Bu yüzden oplamsal beyaz Gauss gürülülü kanal çn geçerl olan karesel Ökld uzaklığının en küçük değernn olabldğnce büyük yapılması ölçüü, çeşleme dereces büyük olan sönümlemel kanallar çn de uygulanablr. Uzayzaman kafes kod asarımında, rn R değernn büyük olduğu durumlarda kanal oplamsal beyaz Gauss gürülülü kanala yakınsamakadır. Bu nedenle, kod asarımı da oplamsal beyaz Gauss gürülülü kanal çn olan asarım le aynıdır [6]. Duruğumsu sönümlemel kanallar çn asarım ölçülern özeleyecek olursak, rn R değerne bağlı olarak rank ve deermnan ölçüü le z ölçüü olmak üzere k farklı ölçü bulunmakadır. Rank ve deermnan ölçüü rn R < 4 durumunda, z ölçüü se rn R 4 durumunda uygulanmalıdır. 33

47 Hızlı Sönümlemel Kanal İçn Tasarım Ölçüler Bölüm.3. de elde edlen (.8 ve (.89 denklemlerndek üs sınırlardan da anlaşılacağı gb hızlı sönümlemel Raylegh kanal çn asarım ölçüler δ H n değerne bağlıdır. Küçük değerler çn, yüksek şare gürülü oranlarındak haa olasılığının değern belrleyen baskın fade, uzay-zaman smgeler arasındak Hammng uzaklığı olan δ H δ H n R dır. Haa olasılığının değern belrleyen dğer fade se (.89 dan görüldüğü gb, k uzay-zaman smge dzs arasındak karesel Ökld R uzaklıklarının çarpımı olan d p dr. Kısacası, hızlı sönümlemel Raylegh kanalda, δ H n R özeleneblr : değernn küçük olduğu durum çn kod asarım ölçüler aşağıdak gb I Uzay-zaman smgeler arasındak Hammng uzaklığının en küçük değernn olabldğnce büyük olması sağlanmalıdır. Bu ölçü, uzaklık ölçüü olarak adlandırılmakadır [5]. δ H II Uzay-zaman smge dzler arasındak karesel Ökld uzaklıklarının çarpımının ( d p en küçük değernn, en küçük δ H değerne sahp yol Büyük δ H boyunca, olabldğnce büyük olması sağlanmalıdır. Bu ölçü, çarpım ölçüü olarak adlandırılmakadır [5]. n R değerler çn, haa olasılığının üs sınırı (.8 de verlmşr. Kod asarım ölçüünü belrleme şn kolaylaşırmak çn (.3 dak eşszlk kullanılır ve ES 4N de (.96 4 D koşulunu sağlayacak kadar yüksek şare gürülü oranlarında çalışıldığı varsayımı yapılırsa, (.8 dek fade daha bas br yapıya dönüşmekedr [6]: ( XX ˆ n E T P, exp n x x ES exp 4N L S R ˆ 4N = = n d R E. (.97 34

48 Görüldüğü gb yüksek şare gürülü oranlarındak haa olasılığı değernde, karesel Ökld uzaklığı baskındır. Büyük de H R aşağıdak gb özeleneblr [6] : δ n değerler çn asarım ölçüü kısaca I Uzay-zaman dzler arasındak Hammng uzaklığının en küçük değer δ HnR, H δ 4 koşulunu sağlamalıdır. II Karesel Ökld uzaklığının en küçük değernn olabldğnce büyük yapılması gerekmekedr. Bu asarım ölçüü, rn R değernn büyük olduğu durumdak duruğumsu sönümlemel kanallar çn geçerl olan z ölçüü le aynıdır. Her ks de karesel Ökld uzaklığının en küçük değernn olabldğnce büyük olmasını önermekedr. Sonuç olarak, sönümlemel kanallar çn uzay-zaman kafes kod asarımı, ssemn çeşleme derecesne bağlıdır. Duruğumsu sönümlemel kanallardak çeşleme dereces, alıcı anen sayısı (n R le kodun yapısının belrledğ verc çeşlemesnn (r çarpımına eşr. Hızlı sönümlemel kanallardak çeşleme dereces se, alıcı anen sayısı (n R le kodun yapısının belrledğ zaman çeşlemesnn ( d E çarpımına eşr. Çeşleme dereces küçük se, duruğumsu sönümlemel kanallarda çeşleme ve kodlama kazancını arırmak çn sırasıyla rank ve deermnanı olabldğnce büyük olan br kod seçlmeldr; hızlı sönümlemel kanallarda se smge Hammng uzaklığının en küçük değer ve çarpım uzaklığı olabldğnce büyük olan br kod seçlmeldr [6]. Bu durumda, çeşleme kazancı kodun performansında baskın ve kodlama kazancına nazaran daha ekl olmakadır. Ancak çeşleme büyüdükçe, çeşleme derecesn daha da arırmak performansda öneml br gelşme sağlamamakadır. Bu durumda kodlama kazancı önem kazanmakadır. Yüksek çeşleme derecesnde, sönümlemel kanal oplamsal beyaz Gauss gürülülü kanala yakınsamaka olduğundan, haa olasılığını baskın olarak Ökld uzaklığının en küçük değer belrlemekedr. Bu nedenle, oplamsal beyaz Gauss gürülülü kanal çn asarım ölçüü olan, Ökld uzaklığının en küçük değernn olabldğnce büyük yapılması, çeşleme derecesnn büyük olduğu durumda hem duruğumsu hem de hızlı sönümlemel kanallar çn geçerl olmakadır. δ H 35

49 Düşük ve Ora İşare Gürülü Oranlarında Kod Performansı Yüksek şare gürülü oranları çn kod asarım ölçüler Bölüm.3.3. ve.3.3. de elde edlmşr. Ancak kodun düşük ve ora şare gürülü oranlarında da çalışması gerekeblr. E S /4N fades γ olarak anımlanırsa, γ >> aralığı yüksek şare gürülü oranını, γ << aralığı düşük şare gürülü oranını ve γ aralığı se ora şare gürülü oranını belrmekedr. (.63 ek haa olasılığı üs sınırında E S /4N değşm yapılırsa, ( ˆ n n R T P XX, (.98 = +γλ elde edlr. Düşük şare gürülü oranı durumunda, (.98 de eşszlğn sağ arafındak paydada bulunan çarpım şlem yapıldığında, γ nn yüksek dereceden fadeler γ << olduğu çn hmal edleblr. Böylece, haa olasılığı üs sınırı, ( ˆ n R r P XX, +γ λ (.99 = bçmnde elde edlr [6]. Görüldüğü gb haa olasılığı, A marsnn zne bağlıdır. Büyük rn R değerler çn geçerl olan z ölçüü, düşük şare gürülü oranı aralığı çn de geçerldr. Yüksek şare gürülü oranı (γ >> çn haa olasılığının üs sınırı (.65 e verlmş. Bu durumda rank ve deermnan ölçüü geçerldr: XX r nr rnr λ γ. (. = ( ˆ P, γ aralığındak şare gürülü oranları çn haa olasılığı, ( ˆ n n R T P XX, (. = +λ olmakadır. Bu durumdak asarım ölçüü, I+ (, ˆ A X X marsne a deermnanın en küçük değernn olabldğnce büyük yapılmasıdır (I, n T xn T boyulu brm marsr []. Bu ölçü, dar br şare gürülü oranı aralığı çn geçerldr. Uzay-zaman 36

50 kodlarının daha genş br şare gürülü oranı aralığında çalışmasının gerekğ durumlarda bu ölçü kullanışlı olmamakadır Uzay-Zaman Kafes Kod Örnekler Bu bölümde, rank-deermnan ve z asarım ölçüler kullanılarak elde edlen uzayzaman kafes kodlarına örnekler verlecekr. Leraürde çok fazla sayıda kod olmasına rağmen burada kolaylık olması açısından sadece 4PSK ve bellek elemanı çeren uzay-zaman kafes kodları göserlecekr. 4PSK modülasyonu çn şare kümes Şekl. da verlmşr. Bu şare kümesndek,, ve 3 smgelernn zaman domen fadeler sırasıyla, jw c cos(w c = Re{e } (.a jw c j π cos(w / c / = Re{e e } +π (.b jw c j cos(w c = Re{e e π } +π (.c jw c j3 π cos(w / c 3 / = Re{e e } + π (.d şeklnde verlr. Bu fadelern karmaşık alçak geçren eşdeğerler sırasıyla e j, e jπ/, e jπ ve e j3π/ dr. Şekl. 4PSK modülasyonu çn şare kümes Tarokh, Seshadr ve Calderbak (TSC arafından n T = çn asarlanan kodun [5] kafes dyagramı Şekl. de verlmşr. Rank ve deermnan ölçüler kullanılarak asarlanan bu kodun rank değer, deermnan değer 4 ve z değer se 4 ür. 37

51 Şekl. TSC uzay-zaman kodu kafes dyagramı Baro, Bauch ve Hansmann (BBH arafından n T = çn asarlanan kodun [7] kafes dyagramı Şekl. de verlmşr. Rank ve deermnan ölçüler kullanılarak asarlanan bu kodun rank değer, deermnan değer 8 ve z değer se 6 dır. Şekl. BBH uzay-zaman kodu kafes dyagramı Chen, Vucec, Yuan ve Lo (CVYL arafından n T = çn asarlanan kodun [] kafes dyagramı Şekl.3 e verlmşr. Rank ve deermnan ölçüler kullanılarak asarlanan bu kodun rank değer, deermnan değer 8 ve z değer se 6 dır. 38

52 Şekl.3 CVYL uzay-zaman kodu kafes dyagramı Chen, Vucec ve Yuan (CVY arafından n T = çn asarlanan kodun [] kafes dyagramı Şekl.4 e verlmşr. İz ölçüler kullanılarak asarlanan bu kodun rank değer, deermnan değer 4 ve z değer se dur. Şekl.4 CVY uzay-zaman kodu kafes dyagramı Kodlar arasındak farkların anlaşılması çn kodların haa başarımının ncelenmes gerekmekedr. Bunun çn de blgsayar benzem yapılmışır. Benzem yapılırken, karar vercnn kanalın sönümleme kasayılarını bldğ varsayılmışır. Her br 39