DEĞİŞKEN KESİTLİ ANKASTRE TIMOSHENKO KİRİŞİN STATİK STABİLİTE ANALİZİ

Transkript

1 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN v MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: Sayı: sh Mayıs DEĞİŞKEN KESİTLİ ANKASTRE TIMOSHENKO KİRİŞİN STATİK STABİLİTE ANALİZİ (STATIC STABILITY ANALYSIS OF A CANTILEVER TIMOSHENKO BEAM WITH VARYING CROSS-SECTION) ÖZET/ABSTRACT Binnur GÖREN *, Sçil ERİM * Bu çalışmada, ksnl yüklmy maruz ankastr kirişlrin statik stabilitsin, çşitli ksit dğişimlrinin tkilri inclnmiştir. Kiriş, lastik ğriy ksm kuvvti tkisinin d katıldığı Timoshnko kirişidir. Analizlrd kadmsiz v kadmli olmak üzr on çşit kiriş kullanılmıştır. Kritik burkulma yükü v burkulma faktörlrini tspit tmk için Sonlu Elman v Sonlu Elman-Transfr Matris Mtotları kullanılmıştır. Hr iki yöntmd d kiriş dört srbstlik drcsin sahip sonlu lman il modllnmiştir. Bu şkild, iki mtodun birbirlrin olan üstünlüklrini görmk mümkün olmuştur. Hr iki mtottan ld diln sonuçlar birbirin çok yakındır. Burkulma paramtrlri, intgral formdaki sistmin potansiyl nrji ifadlrin varyasyonl prnsibi uygulanmasıyla ld diln özdğr problminin çözümüyl saptanmıştır. Nümrik hsaplamalarda MATLAB 5. bilgisayar programlama dili kullanılmıştır. Çşitli tiptki kirişlr için ld diln sonuçlar çizlg v grafiklr halind sunulmuştur. In this study, ffcts of variation of various cross-sctions on th static stability of cantilvr bams subjctd to axial loading hav bn invstigatd. Th bam is th Timoshnko typ whr th ffct of shar forc upon th lastic curv is includd to th lastic curv. Tn diffrnt typs of continuous and stppd bams hav bn usd in th analyss. In ordr to dtrmin th critical buckling loads and buckling factors, th Finit Elmnt and Finit Elmnt-Transfr Matrix Mthods hav bn mployd. In both mthods, th bam has bn modld as four dgrs of frdom finit lmnts. Thrfor, it has bn possibl to compar th advantags and disadvantags of both mthods. Rsults obtaind from both mthods ar similar to ach othr. Buckling paramtrs ar dtrmind from th solution of th ignvalu problm obtaind by th application of th variational principl to th potntial nrgy trms of th intgral form systm. MATLAB 5. computr softwar has bn usd in numrical calculations. Rsults obtaind for various kinds of bams hav bn prsntd in tabls and graphics. ANAHTAR KELİMELER/KEYWORDS Statik stabilit, Ankastr Timoshnko Kirişi, Sonlu Elmanlar Mtodu Static stability, Cantilvr Timoshnko Bam, Finit Elmnt Mthod * DEÜ Makina Mühndisliği Bölümü, Bornova İZMİR

2 Sayfa No: 76 B. GÖREN, S. ERİM. GİRİŞ Kritik yüklmy maruz pkçok lmanın dformasyon karaktristiklrind dğişiklik mydana glir. Malzmd hrhangi bir hasara ya da mkanik özlliklrind bir dğişim ndn olmayan bu fnomn burkulma olarak bilinir. Burkulma gnl olarak dformasyon modunun kararsız hal gçip sistmin başka bir kararlı durum aramasından kaynaklanır. Elastik stabilit konusu dnysl v torik olarak önm kazanmadan önc sadc akadmisynlr tarafından inclniyordu. Çünkü mühndislr lastik grilm dğrlrind burkulma sbbiyl hasara uğrayacak kadar narin bası lmanlarını kullanmaktan çkiniyorlardı. Öt yandan bu tip malzmlrin kullanımı havacılık v taşımacılıkta korozyon thliksi sbbiyl yasaktı. N var ki artık ilk uygulamaları uçakların inc plaka konstrüksiyonları olan bu lmanlar makina, inşaat, uçak v uzay mühndisliği alanlarında kullanılmaktadır. Eksnl yüklmy maruz idal narin kiriş problmi ilk olarak (Lonhard Eulr, 744) tarafından çözüldü. Eulr çözümün gör, ğilmdn sonra düzlm ksit alanı yin düzlm v kiriş ksnin dik kalır. Bu kabul Eulr-Brnoulli kiriş torisi olarak bilinir. Bu kabul gör tüm kayma şkil dğiştirmlri sıfırdır. Kirişlrin stabilit analizind Eulr yükün altrnatif olarak Timoshnko v Gr tarafından iki formülasyon gliştirilmiştir (Timoshnko v Gr, 96). Bu formüllrd ksm kuvvtinin tkisi d hsaba katılmıştır. Bu yolla ksnl bası yükün v sınır şartlarına maruz kirişin lastik ğri dnklmlri için sıfırdan farklı çözümlr (sıfırdan farklı transvrs yr dğiştirmlr) bulunmakta v problm özdğr-sınır dğr problmin indirgnmktdir (Simitss, 986). Burkulma yükü v burkulma sbbiyl oluşan grilmlr için yazılan formüllr çşitli lman v sınır koşulları için bulunmuştur. Bu formüllr lastik ğrinin difransiyl dnklmi intgr dilrk vya nrji mtotları kullanılarak matmatiksl olarak ld dilbilir. Sınır koşullarını sağlayan tüm ğrilr içind kritik yükü minimum yapan ğri problmin çözümüdür. Karmaşık sistmlrin yaklaşık çözümlri, kabul dilbilir hata sınırları içind şkil dğiştirm nrjisi mtoduyla bulunabilir.. PROBLEMİN UYGULAMA VE ANALİZİ Stabilit v lastisit torilri arasında tml bir fark vardır. Elastisit torisind, dng dnklmlri yazılırkn şkil dğiştirmlr gözardı dilir. Buna karşın stabilit torisind is, dng dnklmlri dform olmuş lman için yazılır. Ksm dformasyonlarının dikkat alınmadığı kiriş için ğilm analizindki tml varsayım dformasyon sürsinc kiriş ksitinin kirişin asal ksnin dik olmasıdır. Şkil d görülcği gibi kiriş-ğilm difransiyl dnklmi sadc transvrs yrdğiştirm ω ya bağlıdır. Asal Eksn Kiriş Ksiti Şkil. Ksm kuvvti tkisiz kiriş dformasyonları

3 Fn v Mühndislik Drgisi Cilt : Sayı : Sayfa No: 77 Ksm dformasyonlarının hsaba katıldığı kiriş-ğilm analizlrind asal ksnin normali yönündki düzlm ksit alanı yin düzlm kalır, fakat kayma dformasyonları yüzündn, Şkil d göstrildiği gibi artık asal ksnin normali yönünd dğildir. Bu sbpl ksit alanının toplam dönm miktarı ; dω θ = γ dx Burada γ kayma şkil dğiştirmsidir. Grçk kayma grilmsi v şkil dğiştirmsi dğrlri ksitin hr noktasında dğişkn olup kayma yüzyi üzrind sabittir. V τ τ = ; γ = ; κ = A G s A s A Şkil. Ksm kuvvti tkili ksnl yük maruz kiriş lmanının srbst cisim diyagramı Şkil d iki boyutlu dikdörtgn ksit sahip kiriş görülmktdir. Transvrs ksm tkisini d içrn böyl bir sistm için toplam potansiyl nrji ifadsi U=U b +U s W şklinddir. Burada U b v U s sırasıyla ğilm momnti v ksm kuvvtinin şkil dğiştirm nrjisi, W is P bası yükünün yaptığı iştir. P ksnl yükün maruz Timoshnko kirişinin toplam potansiyl nrjisi intgral formda (Ptyt, 99, Thomas v Abbas,976), L dθ dω dω U = EI + κga θ P dx () dx dx dx burada is ω transvrs çökm, θ ğimdir.

4 Sayfa No: 78 B. GÖREN, S. ERİM.. TIMOSHENKO KİRİŞİNİN SONLU ELEMAN MODELİ Enrji ifadsind yr alan hm ω hm d θ nın sadc x gör türvi alınmaktaydı. ω v θ dğişknlri farklı fiziksl büyüklüğ sahiptir. ω v θ arsındaki bağıntı dω = θ+ γ () dx burada γ transvrs kayma şkil dğiştirmsidir. ω v θ aşağıdaki gibi 3. v.drcdn polinomlarla tanımlanabilir (Yardımoğlu & Sabuncu, 995). n= 3 ω = ax, θ = cx (3) i= i n m= j= Şkil 3, kiriş lmanının momnt dngsini göstrmktdir. j m Şkil 3 dm V. dx= dm/dx V= (4) Eğilm momnti v lastik ğrinin ğimi arasındaki bağıntı M EI d θ = dx (5) kayma şkil dğiştirmsi v ksm kuvvti arasındaki bağıntı is V=κGAγ (6) Dnklm, 3, 5, 6 yı Dnklm 4 t yrin yazarsak, kayma şkil dğiştirmsi γ, x dn bağımsız olarak bulunur (Narayanaswami v Adlman, 974). γ=c o Aynı dnklmlri kullanarak, a i and c i katsayıları is aşağıdaki gibi tspit dilir. c o =6a 3, c =a, c =3a 3 burada = EI ( x ) κga( x) olarak tanımlanmıştır. θ, a i katsayılarına bağlı olarak θ = a +a x+(3x +6)a 3

5 Fn v Mühndislik Drgisi Cilt : Sayı : Sayfa No: 79 yazılabilir. ω v θ arasındaki bağıntı kapalı formda θ =Dω şklind olup transformasyon matrisi[d] [ D ] = 6 3 olarak ld dilir. Şkil 4 Burada ω sonlu lmanın sol ucundaki çökm, θ sonlu lmanın sol ucundaki dönm, ω sonlu lmanın sağ ucundaki çökm, θ sonlu lmanın sağ ucundaki dönmdir. Sonlu lmanın dplasman vktörü aşağıdaki gibidir. T { q} = { ω θ ω θ } Kapalı formda dplasman vktörü q =Ca is [ C] 6 = 3 d d d d ( 6+ 3d ) şklinddir. Transformasyon matrisi [C], {a} vktöründn {q } vktörün gçişi sağlar. Transvrs çökm v dönm ifadlri artık aşağıdaki gibi yazılabilir. ω={ x }[ C] { q} i, θ= { x }[ B][ C] { q} j Toplam potansiyl nrji, T U = q K q q K q g T {}[ ] {} {} [ ] {} burada [K ] and [K g ] sırasıyla lastik v gomtrik dirngnlik matrislridir. Dnklm il vriln Timoshnko kirişin toplam potansiyl nrjisi v tspit diln şitliklr kullanılarak lastik dirngnlik matrisi

6 Sayfa No: 8 B. GÖREN, S. ERİM T T T T [ K ] = EI [ C] [ B] { x } { x } dx [ B][ C] + κga [ C] { x } { x } dx [ C] x+ x T + j j i i x x x+ x+ T T κga C x i xj dx B C GA C B xj xi dx C x x T T T [ ] { } { } [ ][ ] κ [ ] [ ] { } { } [ ] x + T T T + κ GA[ C] [ B] { xj} { xj} dx [ BC ][ ] x gomtrik dirngnlik matrisi v x+ T T [ K ] = [ C] { x i} { x i} dx [ C] g x şklind ifad dilbilir. Burada A v I dğişkn ksit sahip kirişin hrbir lmanının ortalama gnişlik v yüksklik ölçülri kullanılarak hsaplanan alan v alan atalt momnt ifadlridir. 3. SONUÇLAR Şkil 5. Kirişin ortalama boyutları Bu çalışmada, Sonlu Elmanlar v Sonlu Elmanlar-Transfr Matris Mtodları kullanılarak kritik burkulma yükü v kritik burkulma yükü il hsaplanan burkulma katsayıları tspit dildi. Dğişkn ksitli ankastr kirişlrin statik stabilit analizi için bilgisayar programı hazırlandı. Eld diln nümrik çözümlrin doğruluğunu kontrol için bir ucu srbst ksnl yük maruz üniform kiriş gözönün alınmıştır. Çünkü litratürd sadc üniform ksit durumu için kritik burkulma yükünün grçk dğrinin bulunması mümkündür (Timoshnko v Gr, 96). Sözdiln burkulma katsayısı B P l cr = EI o il hsaplanır. Burada I o msnttki ksit alanının atalt momntidir. Çizlg v Çizlg d lman sayısının statik stability tkilri göstrilmiştir. Analizlrd ytrli hassasiyt sağlandığından sürkli kirişlrd lman sayısı bş, kadmli kirişlrd is on olarak alınmıştır.

7 Fn v Mühndislik Drgisi Cilt : Sayı : Sayfa No: 8 Çizlg.Elman sayısının stability tkisi (Sonlu Elmanlar Mtodu v Sonlu Elmanlar- Transfr Matris Mtodu), (l= mm, b o =h o =b =h =55 mm, ν=.3, E=6. 3 N/mm, κ=5/6, P cr(xact) = N) Elman Sayısı P cr (N) (SE) Hata (%) P cr (N) (SE- TMM) Hata (%) Şkil 6, Sonlu Elman v Sonlu Elman-Transfr Matris mtotları il ld diln sonuçların birbiriyl v grçk dğrlrl uyumlu olduğunu göstrmktdir. Tüm ksit dğişimlri için aynı uyumluluk görüldüğündn tkrardan kaçınılarak ld diln sonuçlar sadc üniform ksit durumu için vrilmiştir. Sonlu Elman mtodunun Sonlu Elman- Transfr Matris mtodundan daha pratik olduğu görülmüştür. Şkil 7, çşitli ksit dğişimlrin sahip kirişlrin kritik burkulma yüklrinin kiriş uzunluğuna gör nasıl dğiştiğini göstrmktdir. Buradan görülcği üzr, kiriş uzunluğu artarkn kritik burkulma yükü P cr azalmakta, buna karşın burkulma katsayısı B artmaktadır. Burkulma katsayısının kiriş uzunluğunun karsiyl doğru orantılı olduğu bilindiğindn bu sonuç mantıklıdır. Şkil 8 dn Şkil 3 kadar olan şkillrdn, ksitin dğişim açısının azalmasıyla burkulma katsayısının arttığı görülmktdir. Buradaki h o, b o v h, b sırasıyla kiriş ksitinin msnttki yüksklik v gnişlik ölçülri il srbst uçtaki yüksklik v gnişlik ölçülridir. Şkil 3, ksit dğişim açısının statik stability olan tkisi görülmktdir. Bu şkild görüldüğü gibi kirişin ğimi arttıkça kritik burkulma yükü dğri düşmkt, diğr bir dyişl kiriş narinlşmktdir. Şkil 4 tn Şkil 6 ya kadar olan şkildn görüldüğü gibi burkulma katsayısı, kiriş boyutlarından bağımsız olarak hr bir durum için sabit v birbirindn farklı dğrlr yaklaşmaktadır. h v b, kadmli kirişlr için kadmdki ksitin yüksklik v gnişlik ölçülridir. (P cr) calc /(P cr) xact,,,8,6,4,, Elman Sayısı Sonlu Elman Mtodu Transfr Matris Mtodu Şkil 6. Sonlu lman v sonlu lman-transfr matris mtotlarının karşılaştırılması (Üniform Kiriş) Şkil 7, kadmli kirişlrd statik stability kadm uzunluğunun tkisini tspit tmk için çizilmiştir. Bu şkildn, l /l oranının artmasıyla burkulma katsayısının arttığı görülmktdir.

8 Sayfa No: 8 B. GÖREN, S. ERİM Kritik burkulma yükü, P cr (N) 3,5E+6 üniform 3,E+6 dogrusal,5e+6 konvks,e+6 konkav,5e+6 konkav-üniform,e+6 konvks-üniform 5,E+5,E Kiriş uzunluğu, L (mm) Şkil 7. Kiriş uzunluğunun statik stability tkisi (h o =b o =3 mm, h /h o =b /b o =.5)(iki boyutta ksit dğişimi), h /h o =.5, b /b o = (tk boyutta ksit dğişimi) E=6. 3 N/mm, ν=.3) Burkulma katsayisi, B (B=P cr l /EI),,5,,5,,,4,6,8 b /b o, h /h o Şkil 8. Linr kirişin statik stabilitsin b /b o v h /h o oranlarının tkisi Burkulma katsayisi, B (B=P cr l /EI),5,,5,,5,,4,6,8 b /b o, h /h o Şkil 9. Dışbüky kirişin statik stabilitsin b /b o v h /h o oranlarının tkisi (iki boyutta ksit dğişimi, l= mm, h o =b o =5 mm) Burkulma katsayisi, B (B=P cr l /EI),5,5,,4,6,8 b /b o, h /h o Şkil. İçbüky kirişin statik stabilitsin b /b o v h /h o oranlarının tkisi (iki boyutta ksit dğişimi, l= mm, h o =b o =5 mm)

9 Fn v Mühndislik Drgisi Cilt : Sayı : Sayfa No: 83 Burkulma katsayisi, B (B=P cr l /EI),4,,8,6,4,,,4,6,8 h /h o Şkil. Statik stability h /h o oranının tkisi(tk boyutta ksit dğişimi, dışbüky-üniform, (l= mm, h o =b o =5 mm) Şkil. Statik stability h /h o oranının tkisi(tk boyutta ksit dğişimi, içbüky-üniform, (l= mm, h o =b o =5 mm) Burkulma katsayisi, B (B=P cr l /EI),78,38,98,58,8,,4,6,8 h /h o Kritik burkulma yükü (P cr ) α α Şkil 3. Ksit dğişim açısının statik stability tkisi(doğrusal kiriş, b o =h o = mm, l=5 mm) Burkulma katsayisi, B (B=P cr l /EI),6,5,4,3, konvks konkav dogrusal üniform,,,,3,4 b/h Şkil 4. Çşitli ksit dğişimlrinin statik stability tkilri(kadmsiz kiriş, l= mm, b o =h o =5 mm)

10 Sayfa No: 84 B. GÖREN, S. ERİM Burkulma katsayisi, B (B=P cr l /EI) 3,,5,,5,,5, Kiriş uzunluğu, L (mm) üniform dogrusal konvks dogrusal-konvks dogrusal-konkav konkav Şkil 5. Çşitli ksit dğişimlrinin statik stability tkilri(kadmli kiriş, l =l = mm, b o =h o = mm, b =h = mm) m=, n= L L Şkil 6.Çşitli ksit dğişimlrinin statik stability tkilri (kadmsiz kiriş) Burkulma Katsayısı, B,5,5,5,5,5 L /L üniform dogrusal konkav konvks üniform-konkav üniform-konvks Şkil 7. l /l oranının statik stability tkisi

11 Fn v Mühndislik Drgisi Cilt : Sayı : Sayfa No: 85 Smbollr A :Ksit alanı M :Momnt A :Sonlu lman alanı P cr :Kritik burkulma yükü A s :Ksm kuvvti tki alanı q :Dplasman vktörü B :Burkulma katsayısı U :Toplam şkil dğiştirm nrjisi b :Kiriş gnişliği x :Bağımsız dğişkn d :Sonlu lman uzunluğu V :Ksm kuvvti E :Elastisit modülü W :Dış kuvvtlrin yaptığı iş G :Kayma modülü θ :Dönm h :Kiriş yükskliği γ :Kayma şkil dğiştirmsi I :Atalt momnti κ :Bulk modülü K :Elastik dirngnlik matrisi ν :Poison oranı K g :Gomtrik dirngnlik matrisi τ :Kayma grilmsi l :Kiriş uzunluğu ω :Düşy yr dğiştirm KAYNAKLAR Bath K. J., (98): Finit Elmnt Procdurs in Enginring Analysis, Nw Jrsy, Prntic Hall Inc. Blk H.T., (984): Kritik Hızların Sonlu Elmanlar-Transfr Matris Yöntmiyl Hsaplanması,.Ulusal Makina Torisi Smpozyumu, Ankara Brown J.E., Hutt J.M., Salama A.E., (968): FE Solution to Dynamic Stability of Bars AIAA Journal, 7, Burntt D.S., (987): FE Analysis from Concpts to Applications, Nw York: Addison- Wsly Publishing Company. Cook R.D., Malkus D.S., Plsha M.E., (989): Concpts and Applications of Finit Elmnt Analysis, (3 rd dition) London: John Wily & Sons. Dsai C.S., Abl J.F., (97): Introduction to th FEM, A Numrical Mthod for Enginring Analysis, Boston: Von Nostrand Rinhold Company. Flügg W., (98): Handbook of Enginring Mchanics, Nw York: McGraw-Hill. Gr J.M., Timoshnko S.P., (99): Mchanics of Matrials, ( nd SI dition) Boston: Von Nostrand Rinhold Company. Gr J.M., Cartr W.O., (963): Critical Buckling Loads for Taprd Bam-Columns, Trans. Am. Soc. Civil Eng. 8. Günş A., Yıldız K., (997): MATLAB for Windows, İstanbul: Türkmn Kitabvi. Hubnr K.H., (975): Th FEM for Enginrs, Nw York: John Wily & Sons. Kitipornchai, S., Trahair, N.S., (97): Elastic Stability of Taprd I-Bams, Am. Soc. Civil Eng., (98). Krishnamoorthy C.S., (994): Finit Elmnt Analysis, Thory of Programming, ( nd dition), Nw Dlhi: Tata McGraw-Hill Publishing Company Limitd. Kwon Y. W., Bang H., (997): Th Finit Elmnt Mthod Using MATLAB, Nw York: CRC Prss. Massy C., Mcguir P.J., (97): Latral Stability of Nonuniform Cantilvrs, Proc. Am. Soc. Civil Eng. (97). Morrison T.G., (97): Latral Buckling of Constraind Bams, Proc. Am. Soc. Civil Eng. (97).

12 Sayfa No: 86 B. GÖREN, S. ERİM Naranaysnaswami R., Adlman H.M., (974): Inclusion of Transvrs Shar Dformation in FE Displacmnt Formulations, Amrican Institut of Aronautics and Astronautics Journal,, Ptyt M., (99): Introduction to Finit Elmnt Vibration Analysis, Cambridg: Cambridg Univrsity Prss. Popov E.P., (968): Introduction to Mchanics of Solids, Nw York: Macdonald. Rddy J.N., (993): An Introduction to th FEM, ( nd dition). Nw York: McGraw-Hill Inc. Rossi R.E., Laura P.A.A., (993): Numrical Exprimnts on Vibrating, Linarly Taprd Timoshnko Bams, Journal of Sound and Vibration, 68(), Simitss G.J., (983): Effct on Static Stability Prloading on th Dynamic Stability of Structurs, AIAA Journal, (8), Thomas J., Abbas B.A., (975): FE Modl for Dynamic Analysis of Timoshnko Bam, Journal of Sound and Vibration, 4 (3), Thomas J., Abbas B.A., (976): Dynamic Stability of Timoshnko Bams by Finit Elmnt Mthod, Journal of Enginring for Industry, 98 (), Timoshnko S.P., Gr J.M., (96): Thory of Elastic Stability, Nw York: McGraw- Hill Book Company. Yardımoğlu B., Sabuncu M., (995): Yay Sabiti v Yay Konumunun Ankastr Bir Çubuğun Dinamik Stabilitsin Etkisi,7. Ulusal Makin Torisi Smpozyumu, İstanbul, 4-5. Young W.C., (989): Roark s Formulas for Strss and Strain, (6 th dition). Nw York: McGrapw-Hill Inc.