MIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz"

Serhat Onur Öncel
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 MIT çık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkeli Foksiyolar 28 Güz Bu materyallerde alıtı yapmak veya Kullaım Şartları hakkıda bilgi almak içi ve sitesii ziyaret ediiz.

2 Ders #8: Sosuz Çarp mlar (Ders kitab da 9-2. sayfalar) Ders #8 ile ilgili uyar lar 97. sayfadaki. Problem Varsayal m ki a! (tümüü farkl olmas koşulu kitapta eksik) ve ler key kompleks say lar olsu. f(a ) gerçekleecek biçimde bir tam foksiyou varl ¼g gösteriiz. Ispat: (Kitaptaki yol göstermeye alteratif ola daha basit bir çözüm) g(z) basit s f rlar a ola bir aalitik foksiyo olsu. Mittag-Le er teoremide, kutuplar tam olarak a ola tekil k sm b z a kesrie eşit C de bir h meromor k foksiyou vard r. Bu durumda f(z) g(z)h(z) foksiyou isteile özelli¼ge sahiptir. cot z i formülü içi uyar (97. sayfa 8. sat r) si z i çarp m formülü sosuz çarpa içerdi¼gide, logaritmik türev alma işlemi özele yap lmal d r. Geel olarak, f(z) Y f (z) lim N! NY f (z) lim N! g N(z) yaz l rsa, yak sakl k kompakt kümeler üzeride düzgü olur. Teorem de, ve f (z) lim N! g N(z) f (z) f(z) lim gn (z) N! g N (z) olur. Burada g N (z)g N(z), çarp m türevi kural yla verilir. Bu hat rlatma (27) formülüü ispat do¼grular.

3 Kitapta Gamma foksiyou, 2.4 deki (29) çarp m formülü ile ta mlamakta ve Lidelöf ü buldu¼gu ilgiç bir rezidü hesab da (42) itegral formülü ç kar lmaktad r. Biz burada daha k sa bir şekilde ve itegral formülü ile verile ta mda, çarp m formülüü ç karaca¼g z. Gamma foksiyou biçimide ta mlaabilir. (z) Z f (z) yaz l rsa, f (z) foksiyou holomor ktir ve Z j (z) f (z)j t z e t dt Re z > t z Z t z e t dt Z e t dt e Re z e t dt her Re z > ( > ) yar düzlemide a düzgü yak sar. Bu edele (z) foksiyou Re z > bölgeside holomor ktir. Gamma foksiyouu baz özellikleri aşa¼g daki gibidir: (i) (z + ) z (z) dir. Bu özellik k smi itegrasyola kolayca gösterilebilir. (ii) (z) foksiyou z ; ; 2; ::: oktalar da basit kutuplar ola C de meromor k bir foksiyoa geişletilebilir. foksiyou z da kutbu ola Re z > H(z) lim z! (z + ) z de meromor k bir foksiyodur. zh(z) 6 oldu¼guda, kutup oktas basittir. Rezidüsü () dir. Hatta Re z > içi H(z) (z) dir. Böylece (z); z da basit kutba sahip Re z > de meromor k ola foksiyodur. (ii) iddias bu şekilde devam ettirilerek gösterilebilir. (iii) x > ; y > içi dir. Ispat: Z (x) (y) t x ( t) y dt Z t x (x) (y) (x + y) Z e t dt s y 2 e s ds

4 s tv yazal m. Itegradlar pozitif oldu¼guda, itegraller yer de¼giştirebilir. Bu durumda (x) (y) elde edilir. So ifade v s ( (iv) (z) ( z) si z dir. Z t x Z v y Z v y (x + y) (x + y) Z e t dt dv dv Z Z Z Z t y v y e tv dv t x+y e (v+)t dt t u + v u x+y e u ( + v) x y du v y ( + v) x+y dv s x ( s) y ds () s) yaz lmas yla buluur. Böylece (iii) ka tlam ş olur. () formülüde 6. sayfadaki l şt rma 3(g) deki yötemle (Ders #5) (x) ( x) Z v x + v dv buluur. Böylece meromor k devamla (iv) ka tlam ş olur. (z) foksiyouu kutuplar si z i s f rlar ile sadeleşti¼gide, ( z) hiçbir zama olamaz. (iii) de z x + iy olmak üzere, < h < x 2 içi (z h) (h) (z) Z Z h + Z t z h ( t) h dt ( t) z h t h dt ( t) z h t h dt buluur. Itegral işareti alt da h! içi bask yak sakl k teoremi kulla l r. 2 ; aral ¼g da itegrad h < x 2 içi düzgü oldu¼guda s rlama içi bir problem yoktur. ; 2 aral ¼g da ( z h olmak üzere) ( t) z h t h ( t) t 3

5 dir ve l Hospital kural da jj jz h j jzj + 2 dir ve yie itegrad s rl d r. Bu edele h! ike (z h) (h) (z) h + Z ( t) z h t h dt + o() elde edilir. Sol yada h oktas da h! (z h) içi Taylor aç l m ve h! (h) içi Lauret aç l m kulla l rsa, f g ile (h) içi h merkezli Lauret serisi gösterilmek üzere (z) ( (z) h (z) + ) h + + Bh + yazal m. Sa¼g ve sol yadaki sabit terimler eşitleirse Z (z) (z) ( t) z t dt x > X buluur. t ( t) yaz l rsa, Z X ( t) ( t) +z dt olur. [ ] içideki ifade ( t) ( ( t) z ) t ye eşittir ve ( t) Kt ile s rl d r. Bu edele R ve t P yer de¼giştirebilir. Böylece X Z ( t) ( t) +z dt X + + z X + z + X z + X + z z + X z + z ve souç olarak (z) (z) + z X + z 4

6 buluur. Bu ifade (z) zecz Y + z e z sosuz çarp m logaritmik türevide başka birşey de¼gildir. C sabit z yaz l rsa, buluur. Burada e C Y + e e C lim (N + ) e ( N ) N! ve böylece C + lim log (N + ) N! 2 C N buluur. Bu durumda C Euler sabiti ç kar. 5

Benzer belgeler

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1 0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m