steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) Belgeç : (0322) Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k

Transkript

1

2 u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0) elgeç : (0) Kt k l r n dn do l TMZ (Tür ki e M te m tik Ö ret men le ri Züm re si) ö ret men lerine teflekkür ederiz. Grfik Tsr m izgi kstrem Y nc l k SKI Özkn Mtc l k Gzetecilik Sn. ve Tic. Ltd. fiti. Gülerüz Sni Sitesi 0. d. 8 Sk. No: 0-- vedik / NKR Tel: ()

3 i ir fllng ç r r flr demektir. ndre Gide ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, Üniversite sınvlrınd şrılı olmk, dilediğiniz fkültei kznmk; ilinçli hzırlnmnız, düzenli ir çlışm progrmı ugulmnız, ii ir ın seçmenize ve u ınlr ışığınd derste öğretmeninizi ii dinlemenize ğlıdır eğitim - öğretim ılındn itiren ugulnm şlnn YGS ve LYS ile üniversite sınvını kznmk, istenilen ir ölüme girmek oldukç zorlştı. "Kliteli eğitim, kliteli dokümn" felsefesile ol çıkn "kstrem Yınlrı" tüm rnşlrdki kitplrınd hücreleme sistemi ile konu lt şlıklrınd fzl sıd er vererek öğrencinin konuu kvrmsını kollştırck nitelikte ınlr hzırldı. linizdeki "0. Sınıf Geometri" konu nlt ml kit m z 0. sınıflrı kpsck şekilde hz rlnm flt r. u kitpt konulr görsel olrk kvrilmeniz için fzl s d örnek çözümüne er verilmiştir. Pisdki di er kitplrdn u önüle frkl l k rz eden konu nlt ml kit m zl geometri sizler için s k c nitelik tfl n zor ir ders olmktn ç kckt r. Geometri konu nlt ml kit m z n şrılrınız ktkısının üük olcğı kntile tüm üniversite dlrın YGS ve LYS'de şrılr diliorum. Ktk lr ndn dol ; Muhrrem fihin, Serdr Keskink l ç, Mehmet Güleflen, Z. Çi dem l, emet Peçetek, rros Gür, Sedt Krdo n, rol Kouncu,. u r nerk, em ozdo n, smil Sr, Ömer ingül, Kn Kır, Merve Güngör, kstrem Y nlr dizgi iriminden irgül rslntfl ve vktinden çld m eflim tm flilir'e teflekkür ediorum. Geometrinin Keflif olu üns nd Keif olu ir Gezinti iliorum. com ell fi L R cell.isilir@gmil.

4 "Çocuklrım Mert ve Yiğit li'e..."

5 Ç NK LR. ÜN T : ÜZLM GMTR TML LMNLR V SPT Ç MLR Postult spt. ÜN T : ÜZLM NKT, RU ve VKTÖRLR Nokt, o ru, üzlem rs ndki liflkiler Kpl Yr o ru, ç k Yr o ru Kpl Yr üzlem, ç k Yr üzlem esen luflturm Yönlü o ru Prçs Vektörler Vektörlerde Toplm ir Vektörü ir Reel S ile Çrpm Vektörlerin Lineer ml l Lineer ileflim. ÜN T : KR NT S STM ik Koordint Sistemi Yer Vektörü Skler Çrp m ir Vektörün Uzunulu u irim Vektör ir Vektör ile n o rultulu irim Vektör ir Vektör ile n Yönlü irim Vektör ir Vektör ile Z t Yönlü irim Vektör ki Vektör rs ndki ç Kosinüs Teoremi ik zdüflüm. ÜN T : RULR ir o runun Vektörel, Prmetrik ve Kpl enklemleri ir o runun o rultmn ve Norml Vektörleri ir o runun ir üzlemde rd ç k ve Kpl üzlemler ki o runun iririne Göre urumu ki o ru rs ndki ç ir o runun imi ir o runun Grfi i ir Noktn n ir o ru Uzkl Prlel ki o ru rs ndki Uzkl k

6 . ÜN T : ÜÇGNLR Çokgen Üçgen Çeflitleri Üçgenin Yrd mc lemnlr Üçgende ç nt lr Üçgende ç lr ve Kenrlr rs ndki liflkiler Sinüs Teoremi ir Üçgenin ir Kenr n elli ir rnd ölen Nokt ulm ç ç ort Teoremi fl ç ort Teoremi Üçgende Kenrort ve ç ortlr n Kesim Noktlr Yükseklik ir Üçgensel ölgenin ln rnot Teoremi. ÜN T : ÖNÜfiÜMLRL GMTR Öteleme önme Yns m fierit Süsleme üzlemde Kplmlr Tngrm lt n Üçgen fllik Homoteti rktl Üçgende enzerlik ik Üçgende Metrik nt lr (Öklid nt lr ) Özel Teoremler (Tles, Menelus, Sev) 7. TK NL KLR N VP NHTRLRI :

7 = = ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ. ÜN T ü ü Postult spt

8 ilimeeni simgelemek için kulln ln hrfi nereden gelior? u hrfin kökeni rpç "fle" kelimesine dn or. h sonr spnolc çevrilen ceir knklr nd e olrk gözüken ifde olrk k slt ld ve ceirin ilinmeeni simgelemede kulln ln en popüler hrf hline geldi.

9 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ Mert ile ispt pmı seven li rsınd şöle ir dilog geçior: Mert : Sevgili li üçgenin iç çılrının ölçüleri toplmı kç derecedir? li : undn kol ne vr ki, elette 80 dir. Mert : Peki unu isptlilir misin? li : Ti ki; k şimdi köşesinden [] kenrın prlel olck şekilde ir doğru çiziorum... ve şu iç ters çılrdn... gördüğün gii iç çılrın toplmı 80 çıkıor. Mert : ur klım li, peki köşesinden [] e prlel olck şekilde şk ir prlel doğru çizilemez mi?... li u soru doğru cevp verecekse geometrideki temel kulleri (ksiom d postultlrı) ii ilmelidir. ÿ ÿ. Postult ir doğru prçsı sınırsız ir şekilde uztılilir.. Postult Merkezi ve rıçpı verilen ir çemer çizileilir. r Merkezi noktsı ve rıçpı r oln çemer. Postult PSTULT (ksiom) Geometride doğruluğu çık oln ve ispt gerek duulmdn kul edilen önermelere "postult" denir. Postult elirlemede temel mç fllng ç nokts n elirlemek ve onun üzerine temel kurilmektir. Postultlr, teoremlerin isptlrınd d geometrik prolemlerin çözümünde kullnılır. ÿ ütün dik çılr eşittir. Geometrinin Temelini luşturn Öklid'in eş Postultı. Postult. Postult ir doğru dışındki ir noktdn lnız ir p- rlel doğru çizileilir. ÿ ÿ rklı iki noktdn lnız ir doğru geçer. K d Yukrıd ve noktlrındn l doğrusu geçer. d doğrusun prlel ve K noktsındn geçen tek doğru l doğrusudur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

10 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ Postult NT :. Postult irçok mtemtikçi trf ndn ilk postult n ir sonucu olup olmd önünde sorgulnm fl ve u sorgulmlr sonucund postult de ifltirilerek, flk geometri sistemlerini ort ç krm flt r. Örne in : Loçevski Geometrisi Riemnn Geometrisi Günümüzde ise 0 den fzl geometriden hsedildi ini göreiliriz. (Mlkevitch / 99) ÿ ir çemerin çp çemeri iki r m çemere öler. Postult ÿ Her do ru prçs n n ln z ir ort nokts vrd r. ÿ ÿ ÿ ÿ ksiomlr kol nlfl l r önermelerdir. ksiomlr rs nd ir oktur, iri di erinden elde edilemez. ksiomlr irirleri ile uum içindedir. ksiomlrdn iki d dh fzls kulln lrk Postult ir önerme oluflturulurs u önermee teorem denir. ÿ Her ç n n ln z ir ç ort vrd r. + şğıd s k kulln ln z postult örnekleri verilmifltir, inceleiniz. Postult Postult ÿ üzlemde ir do ru ve ir nokt verilsin, u noktn n üzerinde ulundu u do ru dik oln ln z ir do ru vrd r. ÿ ir [] do ru prçs ve ir [XZ fl n verilsin. = XY olck flekilde [XZ fl n üzerinde sdece ir tne Y nokts vrd r. X Y Z 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

11 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ ÿ Postult ki üçgenin kenrlrlr n n uzunluklr iririne eflitse u üçgenler efltir. Kleme ldığı lementler, kendisini önceleen Thles, Pthgors, udous gii, ilginmtemtikçilerin çlışmlrı üstüne kurulmuştu. Geometri ir önermeler koleksionu olmktn çıkmış, sıkı mntıksl çıkrım ve ğıntılr dnn ir dizgee dönüşmüştü. c c Öklid oluşturduğu dizgede irtkım tnımlrın nı sır, eşi "ksiom" dediği genel ilkeden, eşi de "postult" dediği geometrie özgü ilkeden oluşn, on öncüle er vermiştir (Öncüller, teoremlerin tersine isptlnmksızın doğru sıln önermelerdir). izge tüm etkin görünümüne krşın, slınd çeşitli önlerden irtkım etersizlikler içermektedi. uclid (Öklid) (M.Ö. ) geli mtemtikçi Öklid'in kişisel şmı, ile çevresi, mtemtik dışı uğrş ve merklrın ilişkin hemen hiçir şe ilinmemektedir. ilinen tek şe; İskenderie Krliet nstitüsü'nde dönemin en sgın öğretmeni; lnınd üzıllr ou eşsiz kln ir ders kitının zrı olmsıdır. lementler'e ugüne değin zılmış en üük kitp gözüle kıls eridir. u kitp gerçekten Grek zeksının en etkin nıtlrındn iridir. Kitın Greklere özgü kimi etersizlikleri ok değildir, kuşkusuz: ndığı öntem slt dedüktif niteliktedir; üstelik, öncüllerini oluşturn vrsımlrı oklm olnğı oktur. ğitimini tin'd Plton'un ünlü kdemisinde tmmldığı snılmktdır. kdemi ki giriş kpısınd, ''Geometrii ilmeen hiç kimse u kpıdn içeri lınmz!'' levhsı sılıdı. Öklid çğlr ou lnız mtemtik dünsının değil, mtemtikle kındn ilgilenen hemen herkesin gözünde özenilen, etkin ir örnekti. Öklid, M.Ö. 00 sırlrınd zdığı ciltlik pıtıl ünlüdür. u pıt, geometrii (dolısıl mtemtiği) ispt ğlmınd ksiomtik ir dizge olrk işleen, ilk kpsmlı çlışmdır. 9. üzıl sonlrın gelincee kdr lnınd tek ders kitı olrk kdemik çevrelerde okunn, okutuln lementler'in, kimi etersizliklerine krşın, değerini ugün de sürdürdüğü söleneilir. Öklid hklı olrk "geometrinin sı" die ilinir; m geometri onunl şlmış değildir. Trihçi Herodotus (M.Ö. 00) geometrinin şlngıcını, Nil vdisinde ıllık su tşmlrındn sonr rzi sınırlrını elirlemekle görevli kdstroculrın çlışmlrınd ulmuştu. Geometri "er" ve "ölçme" nlmın gelen "geo" ve "metrein" sözcüklerinden oluşn ir terimdir. Ömer Hm (08 ) Hm ( Çdırcı ) tkm dını, tlrının çdırcılık pmlrı üzünden ldığı sölenir. Ömer Hm, zmnınd dh çok, ilgin olrk ün kzndı. lde ulunn eserlerinden, htıl ilgili ollrı nltn zı kitplrdn, mntık, felsefe, mtemtik ve stronomi konulrınd çlıştığı, u lnlrd düzenli ir öğrenim gördüğü nlşılmktdır. Hm ın fizik, metfizik, mtemtik, stronomi ve şiir konulrınd değişik eserleri vrdır. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

12 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ Nsuriddin Tusi (0 7) Şut 0'de Horsn'ın Tus şehrinde doğdu. Hem din ilimleri hem de fen ilimleri dllrınd eğitim gördü. Mtemtik, logritm, mntık, hikmet ve idrk nzrieleri derslerini okudu. Tusî'nin ptığı ilmi flietlerden önemli ir tnesi, trigonometrii rı ir ilim dlı hline getirmesidir. zmn kdr u ilim dlı stronominin ir dlı olrk görülmektedi. rıc, u ilim dlıl ilgili eser de zdı. Geometride önemli ir otorite hline geldi ve kendisinden sonr gelen ilim dmlrı, ileri sürmüş ulunduğu tezlerin üzerine herhngi ir ilâve pmdılr. UYRI İspt öntemleri ve ispt içimleri frklı iki kvrmdır. İki Kolonlu İspt ir önermenin d teoremin isptı pılırken ifdeler irinci kolon, gerekçeler de ikinci kolon zılır. Teorem : H üçgen [H] [] [H] kenrort Yukr dki verilere göre, = d r. GMTR SPT spt Yöntemleri Yukr dki teoremi iki kolonlu ispt içimini kullnrk isptll m. spt : Tümevr m Tümdengelim fdeler Gerekçeler. [H] kenrort. Verilen oll ispt o rudn ispt. H = H. ir köflesinden ç kn kenrort gitti i kenr iki eflit prç öler. lmn ergi öntemi Çeliflki öntemi eneme öntemi ksine örnek verme öntemi. [H] []. Verilen. m(h) = m(h). ki do ru dik ise efl komflu ç oluflturur. spt içimleri. H = H. Ynsım. H ~ H..,., ve. gerekçelerden dol K..K enzerli i vrd r. ki kolonlu ispt k fl digrml ispt Prgrf ispt 7. = 7. fl üçgenlerin n ç gören kenrlr efltir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

13 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ Teorem : spt : fdeler. [], ç s n n ç ort olsun Gerekçeler. Her ç n n ln z ir ç - ort vrd r. (postult). m() = m(). =. Verilen.. gerekçeden dol ç - ort ç kt ç iki efl prç öler., ve doğrulrı kesişmektedir. α + β = 80 ise α = θ d r. Yukr dki teoremi iki kolonlu ispt içimini kullnrk isptll m. spt :. =. fl do ru prçlr. ~. m() = m()., ve. gerekçelerden dol kenr ç kenr enzerli i vrd r... gerekçeden dol enzer iki üçgende enzer kenrlr n krfl s nd ulunn ç lr efltir. fdeler Gerekçeler. α + β = 80. Verilen. ve kesişmektedir.. β + θ = 80. α = θ. Verilen. İki doğru kesişirse ütünler çılr oluşur.. ütünleri nı oln iki çın n ölçüleri eşittir. kış igrmlı İspt Kutulr içine zıln çıklmlr ve kutu dışındki oklrl önlendirilmiş ispt içimidir. Teorem : Teorem : ir üçgende iki kenr uzunlu u eflit ise u kenrlr n krfl s ndki ç lr n ölçüleri eflittir. Hipotez : = Sonuç : m() = m() Verilen : = ve,, do rusl stenen : ve dik ç lrd r. Yukr dki teoremi iki kolonlu ispt içimini kullnrk isptll m. Yukr dki teoremi k fl digrml ispt içimini kullnrk isptll m. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

14 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ spt : spt : m() = m() Verilen,, do rusl Verilen üçgeninde iç çılrı toplmı / / / o m() + m( ) + m( ) = 80 dir. m() + m()= 80 Yerine kom metodu m()= 80 Toplm iflleminden m() + m()= 80 o ru ç tn m ndn m()= 90 ölme iflleminin özelli inden [] ve [] çıort olduğundn / / m( ) m( ) / üçgeninde + + m( ) = 80 zılilir. hlde eşitliklerin ortk çözümünden o ve dik çılrdır. ik çı tnımındn / / / o m() + m() + m() = 80 / / m() m() / + + m() = 80 / / o m( ) m( ) = 80 olup o / / m( ) o m() = 90 + elde edilir. Prgrf İspt içimi İspt detlı çıklmlrl düz metin hlinde pılır. NT : Teorem : Prgrf ispt içimi en çok kullnıln ispt içimidir. ir üçgende iki iç ç ort n kesiflmesi ile olufln ç n n ölçüsü 90 den ç ort l nmn ç n n ölçüsünün r s kdr fzld r. Yukr dki teoremi prgrf ispt içimini kullnrk isptll m. (Mtemtik üns S : 8) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

15 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ TST. "üzlemde do rusl olmn noktdn en fzl 0 tne do ru geçer." önermesi Öklid'in kç nc postult göz önüne l nrk söleneilir? ) ) ) ) ). oll ispt o rudn ispt ki kolonlu ispt k fl digrml ispt Prgrf ispt Yukr dkilerden kç tnesi ispt içimidir? ) ) ) ) ). fl dkilerden hngisi Öklid'in ilk efl postult ndn iridir? ) Üçgenin iç ç lr toplm 80 dir. ) Yr çp uzunlu u verilen ir tek çemer vrd r. ) o rusl olmn üç nokt düzlemseldir.. ) Prlelkenr n krfl l kl ç lr eflittir. ) ir do ru prçs her iki önde s n rs zc uz- M t lilir. M merkezli ve r çp uzunlu u irim oln çemer üzerindeki noktlrdn iri fl- dkilerden hngisidir?. ) ) ) ) ) K Öklidin. postult n göre, K nokts ndn geçen ve l do rusun prlel oln kç tne do ru çizileilir? ) 0 ) ) ) ) 7. o ru d nl fl kesin ir hüküm ildiren ifdelere... denir. Yukr dki ifdede ofl oln ere fl dkilerden hngisi getirilmelidir?. üzlemde dört frkl noktdn en fzl kç do ru geçer? ) ) ) ) ) 8 ) Postult ) Önerme ) Teorem ) spt Yöntemi ) spt içimi 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

16 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ TST 8. fl d ir üçgenin iç ç lr toplm n n 80 oldu unun iki kolonlu ispt p lm flt r. 0. Q P R T S K fdeler Gerekçekler Yukr dki terimde merkezli ve P nokts ndn geçen çemer flk hngi noktlrdn geçer?. üçgen Verilen. [] // [].... m() = m() ç ters ç lr n m() = m() eflitli inden. m() + m() + m()=80. m() + m() + m()=80 o ru ç tn m ndn. ifdedeki eflitlikler. ifdede z lms ile un göre, ofl rkıln ere fl dkilerden hngisi gelmelidir?. ) Q R S ) R S ) S T ) R T ) Q K R X Y Z T K ) ütünler ç tn m ndn ) m() = m() ) Yrd mc ek çizim ile ) nokts ndn sonsuz s d do ru geçer. ),, do rusl Yukr dki zeminde üçgeninin köflesinden [] çizilen prlel do ru hngi noktlrdn geçer? ) K ) T ) Z ) Y ) X 9. fl dki ifdelerden hngisi nl flt r? ) Postultlr kol nlfl l r sit ir önermelerdir. ) ksiomlr rs nd ir oktur, iri di- erinden elde edilemez. ) ksiomlr iriri ile çeliflemez. ) irden fzl ksiom kulln lrk oluflturuln önermelere teorem denir. ) ir teorem isptln rken flk ir teorem kulln lmz.. fl dkilerden hngisi ir ispt öntemi de ildir? ) o rudn ispt ) Tümdengelim ) k fl digrm ) oll ispt ) Tümevr m 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

17 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ tkinlik Zmn şğıdki ifdelerde oş ırkıln erleri verilen ugun kelimelerle doldurunuz.. o ru oldu u ilinmesine r men ispt edilemeen önermelere... denir.. rkl iki noktdn... geçer..... ve... verilen ln z ir çemer vrd r.. ütün dik ç lr... tir. ir do ru d fl ndki ir noktdn ln z ir... çizileilir.. ir do ru prçs n... ir flekilde uztiliriz. 7. M.Ö 00'lü llrd flm fl ciltlik eseri ile ünlü mtemtikçi... dir fdeler ve gerekçelerinin iki r sütun oluflturrk p ln ispt içimine... denir. ilgiler ve gerekçelerinin düz ir metin hlinde izh edilerek p ln ispt içimine denir. ilgiler ve gerekçelerinin kutulr içinde z l p oklrl önlendirilerek p ln ispt içimine... denir.. spt içimi ile ispt öntemleri... iki kvrmd r.. ir ispt öntemini nlt rken kulln ln z m içimine... denir.. ir teoremin do rulu unun gerekçesini ort ç krm öntemine... denir. + ispt içimi + s n rs z + ispt öntemi + ln z ir do ru + frkl + k fl digrml ispt içimi + eflit + iki kolonlu ispt içimi + postult + merkezi r çp + prgrf ispt içimi + Öklid + prlel do ru 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

18 MTMT M GÇN L M MLRINN ZILRI L L 8 8 RMT 0 NTR 8 98 (Sonsuzu zpteden dm) UHY GUSS H T R RMR 70 7 LPL ULR URIR GLIS S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

19 ÜZLM NKT, RU ve VKTÖRLR. ÜN T ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü Nokt, o ru, üzlem rs ndki liflkiler Kpl Yr o ru, ç k Yr o ru Kpl Yr üzlem, ç k Yr üzlem esen luflturm Yönlü o ru Prçs Vektörler Vektörlerde Toplm ir Vektörü ir Reel S le Çrpm Vektörlerin Lineer ml l Lineer irleflim

20 Mtemtik sözcü ünün, ntik Yunncdki "mtesis" sözcü- ünden geldi ini ve nlm n n "en ilirim" demek oldu unu iliormudunuz?

21 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR NKT, RU V ÜZLM RSINK L fik LR ÖRNK K ki o ru rs ndki liflki L ki do runun r kesiti nokt ise do rulr n do rultulr frkl d r. = {} I. = { } II. // III. K = {L} IV. KL ve K do rulr çk fl kt r. V. K ile nin do rultulr n d r. ki do runun r kesiti ofl küme ise do rulr prleldir. // = { } Yukr dki zeminde verilen ifdelerden kç tnesi nl flt r? ) ) ) ) ) Zemindeki do rulr dikktlice incelenirse, K ve KL çk fl k iki do rudur. r c, ki do runun r kesiti kendileri ise do rulr çk fl kt r (n d r). = R // ve dol s l = { } dir. evp: o ru ile üzlem rs ndki liflki ÿ ir do ru içinde ulundu u düzlemi iki prç r r. u prçlrdn her iri r düzlemdir. Yr düzlem Yr düzlem ç k r düzlem ç k r düzlem NT : Tüm prlel do rulr n denklik s n f ndd r. Kpl r düzlem ç k r düzlem 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

22 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR ÿ ir düzlem ile ir do runun r kesiti ir nokt ise düzlem ile do ru kesiflir. o ru Prçs rl iki nokt ile u noktlr rs nd ulunn ve do rudfl oln noktlr n kümesine do ru prçs denir. K P = { K } P ir o ru Prçs n n o rultusu (Tfl c s ) ÿ ir düzlem ile ir do runun r kesiti ofl küme ise do ru düzleme prleldir. ir do ru prçs n n do rultusu ni tfl c s üzerinde ulundu u do runun do rultusu ile n d r. P P = { } Yukr dki [] do ru prçs n n dogrultusu do rusunun do rultusu ile n d r. NT : ÿ ir düzlem ve ir do runun r kesiti do ru ise do ru düzlemin içindedir. n düzlemde ulunn iki do runun do rultulr frkl ise kesiflirler. kt, iki do ru prçs n n do rultulr frklı ise kesiflmeeilirler. Örne in : P P = K = { K } [] [] = { } Kpl Yr o ru ve ç k Yr o ru Sit ir nokt ile fll p sonsuz s dki noktlr ile düz olrk sürekli tek öne uzt lilen, uzunlu u s n rs z, kl nl ulunmn geometrik p kpl r do ru ( fl n), fllng ç nokts dhil edilmedi inde ise ç k r do ru denir. NT : ir do ru prçs n n fllng ç ve itim noktlr n ise un nokt denir. Noktn n uzunlu u olmd için do rultusu d oktur. Kpl r do ru ( fl n) ç k r do ru SNUÇ Tüm noktlr n denklik s n f ndd r. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

23 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR üzlemde o ru Prçlr le esen luflturm o ru prçlr ile desen oluflturmd fl dki ollr izlenir. esen olufltuktn sonr hrfler silinir. lde edi- len desenlerin z k s mlr onrk frkl tsr mlr oluflturulilir. ÿ ÿ ki do ru prçs herhngi ir ç ile kesifltirilerek eksen olufltulur. ÿ lde edilen deseni önce t ns t p sonr döndürerek fl dki desenler elde edilir. ÿ o ru prçlr n n uzunluklr eflit d frkl olilir. fieklin lt n do ru prçlr n n uzunluklr orn z l r. k k k k ÿ ksenler üzerinde eflit s d noktlr l nrk hrflendirilir. rd fl k hrfler rs ndki uzkl k her do ru için kendi rs nd sittir. = = = = = ÿ lufln flekil ile fl dki motif ort ç km flt r. n hrflerin temsil etti i noktlr do ru pr- çs oluflturck içimde irlefltirilerek desenler oluflturulur. ÿ 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

24 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR + fl d z motif örneklerini inceleip ns l çizildiklerini nlm çl fl n z. Yönlü o ru Prçs Uzunlu u, do rultusu ve önü oln do ru prçs n önlü do ru prçs denir. Yukr d dn e önlendirilen önlü do ru prçs çizilmifltir. L M K KL N MN UYRI Ifl n ve önlü do ru prçs frkl kvrmlrd r. fllng ç nokts ve itifl nokts oln önlü do ru prçs fllng ç nokts oln ve nokts ndn geçen fl n VKTÖRLR ve eş önlü doğru prçlrı, + içiminde gösterilir. Yönlü doğru prçlrı üzerinde tnımlnn "~" ğıntısı, nsın, simetrik ve geçişken olduğundn ir denklik ğıntısıdır. u denklik sınıfının her denklik sınıfı ir vektördür. Vektörler,, u, v, w... şeklinde gösterilir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

25 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR v v ÿ Uzunluğu irim oln vektöre irim vektör denir. v K v L M v N v L K ÿ şlngıç ve itim noktlr nı oln önlü doğru prçlrının denklik sınıfın sıf r vektörü denir. 0 d,... şeklinde gösterilir ir vektör ön, do rultu, uzunluk de iflmemek üzere düzlemde er de ifltireilir. ÖRNK ÿ Uzunluklrı ve doğrultulrı nı, önleri frklı oln vektörlere ters vektörler denir. ve zıt (ters) vektörlerdir. Yukrıd şlngıç noktsı ve vektörüne eş oln kç frklı vektör çizileilir? = şeklinde gösterilir. fllng çlr n nokt tfl nd nd rlrın- dki çısı 90 oln vektörlere dik vektörler denir. ÿ vektörüne eş oln ir tne vektör çizileilir : 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

26 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR Vektörlerde Toplm + şğıdki örnekleri inceleiniz. ÿ oğrultusu ve önü nı oln iki vektör toplnırken uzunluklr toplnır. oğrultu ve ön değişmez. c + + c + ÿ oğrultusu nı, önü frklı iki vektör toplnırken uzunluklr çıkrılır. ulunn vektörün önü üük oln vektörle nı olur ve doğrultusu değişmez. + + c + d d c c + d oğrultulrı frklı iki vektör toplnırken ; ü Çokgen (uç uc ekleme) öntemi : + c d ü Prlelkenr tmmlm öntemi : ¹ S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

27 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR tkinlik Zmn fl dki zeminlerde verilen vektörlerin toplm n gösteriniz... z. v u 7. z. 8. z. 9. z. v u 0. z 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

28 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR tkinlik Zmn fl d verilen vektörleri kullnrk vektörlerini gösteriniz S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

29 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR ir Vektörü ir Reel S ile Çrpm ÖRNK ir vektörü ve k reel s s verilsin. k. n n lilece i z de erler fl dki tlod gösterilmifltir. L K 7 I. = II. = KL III. = IV. KL = Yukr dki vektörler dikktlice incelenirse fl- dki tlou oluflturiliriz. k. k. k > ise 0 < k < ise k < ise k. k. V. = KL irim krelere rılmış ukrıdki zeminde verilenlerden hngisinin nlış olduğunu ullım. Şekil dikktli incelenirse = ifdesi nlıştır. k. ÖRNK k = ise k = ise k = 0 ise.0 z t k SNUÇ : ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ k > ise vektörün önü de iflmez, ou rtr. 0 < k < ise vektörün önü de iflmez, ou zl r. k < ise vektörün önü de iflir, ou rtr. k = ise vektörün önü ve ou de iflmez. k = ise vektörün önü de iflir, ou de iflmez. k = 0 ise vektörün önü elirsiz, ou s f r olur. Yukrıdki zeminde verilen vektörlerden irinin ir reel sı ile çrpımı diğerini vermektedir. u vektör ikilisini ullım. ve z vektörleri doğrultulrı nı, önleri frklı iki vektördür. z = 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

30 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR tkinlik Zmn fl dki zemin lt nd verilen vektörleri gösterelim z + z. 9. z z + z + + z. 0. z + + z 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

31 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR ÖRNK + şğıdki örnekleri inceleiniz. ve z vektör- üçgeninde vektörünün leri cinsinden efliti nedir? z z k k = + z + z+ = + = eflitlikleri topln rs; z+ + + = elde edilir. ile z t önlü oldu undn, k k + = 7 = z lilir. z+ + = \ 0 k k z+ = = + z ulunur. = + Prtik ilgi,, z rsınd ¹ z m n m.z + n. = m+ n eşitliği zılilir. + = 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

32 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR ÖRNK ÖRNK prlelkenrınd, = ve [] [] = {} verilior. nin ve cinsinden efliti nedir? üçgen,, ve ort noktlr. Verilenlere göre, + + toplm n ull m. k k k ile enzer iki üçgen oldu undn, enzerlik ornı, olup = zılilir.,, ort noktlr oldu undn, ile efl iki vektördür. ile efl iki vektördür. hlde, n + + = + + olup n + = oldu undn ölece; = + zılilir. + + = = \ ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

33 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR tkinlik Zmn RU YNLIfi c d f e k Y. vee vektörlerinin doğrultulrı nıdır.. d f ile e eş iki vektördür.. d + k ile + f eş iki vektördür.. cvek nı do rultulu vektörlerdir.. + k ile d eş iki vektördür.. + c ile e + k vektörlerinin doğrultulrı frkl d r. 7. e + f ile + d eş iki vektördür. 8. c ve k z t önlü iki vektördür. tkinlik Zmn TPLM u v Yukrıdki, u, v vektörlerini kullnrk, + + v + + u + u + v + + u+ v vektörlerini ndki zeminde gösteriniz. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

34 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR Vektörlerin Lineer ml l üzlemde iri diğerinin herhngi ir ktı olrk zılilen iki vektöre lineer ğımlı vektörler denir. + şğıdki örnekleri inceleiniz. ÿ ÿ ÿ oğrultulrı nı oln iki vektör lineer ğımlıdır. oğrultulrı frklı oln iki vektör lineer ğımsızdır. Yönleri z t oln iki vektör lineer ml d r. z Örne in ; z = + k e c olduğundn z vektörü ve vektörlerinin lineer ileşimidir. f d z Yukr dki zeminde fl dki sonuçlr ç kr lilir; ê ê ê ê ê ê ê ê ê ile lineer ğımlıdır. eile f lineer ğımsızdır. e ile d lineer ğımsızdır. cile k lineer ğımlıdır. ile d lineer ğımlıdır. ile k lineer ğımsızdır. ile c lineer ğımsızdır. ile d lineer ğımlıdır. f ile k lineer ğımsızdır. ê k+ e ile + f lineer ğımlıdır. nı düzlemde oln ikiden fzl vektör doğrultu- lrın kılmksızın lineer ğımlıdır. ÿ İki Vektörün lineer ileşimi; ÿ k ile k R ve u, v irer vektör olmk üzere, k. u + k. v vektörüne uvev vektörlerinin lineer ileşimi denir. ir vektör nı doğrultud oln d olmn herhngi iki ve dh fzl vektörün lineer ileşimi olrk zılilir. z = + olduğundn z vektörü ve vektörlerinin lineer ileşimidir. z z = + olduğundn z vektörü ve vektörlerinin lineer ileşimidir. ¹ z z = + olduğundn z vektörü ve vektörlerinin lineer ileşimidir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

35 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR tkinlik Zmn 7 şğıd zemin ltınd verilen vektörleri zemindeki vektörlerin lineer ileşimi olrk zlım... z c z =... c =..... c c c =... c =..... m k z v v =... m =... 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

36 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR tkinlik Zmn 8 şğıdki ifdelerde oş ırkıln erleri verilen ugun kelimelerle doldurunuz.. Uzunluğu irim oln vektöre... denir.. şlngıç ve itim nokts nı oln vektöre... denir.. oğrultulrı nı önleri frklı oln vektörlere... denir.. iri diğerinin reel ktı oln iki vektör... dır.. oğrultulrı frklı oln iki vektör... dır.. Vektörler topln rken... d... metodu kullnılır. 7. Lineer ğımlı iki vektörün... nıdır. 8. ir vektörü den küçük ir sı ile çrprsk ou nı denklik sınıfınd ulunn doğrulr... dir. 0.. üzlemdeki ir doğrunun düzlemi ırdığı prçlrdn her irine... denir. Uzunluğu, önü ve doğrultusu oln doğru prçsın... denir.. ir vektör sıfırdn frklı ir reel sı ile çrpıldığınd... değişmez.. üzlemde ikiden fzl vektör do rultulr n k lmks z n... d r. + do rultusu + lineer ml + prlel + üür + irim vektör + z t önlü vektörler + lineer ms z + r düzlem + do rultulr + önlü do ru prçs + s f r vektörü + lineer ml + çokgen metodu - prlelkenr tmmlm 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

37 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR TST.. c f k c d e Yukrıdki zemine çizilmiş,, c vektörleri için şğıdkilerden hngisi doğrudur? ) c = ) + c = ) c = Yukrıdki zeminde verilen vektör ikililerinden kç tnesi dik kesişir? ) ) ) ) ) ) + + c = 0 ) + c =. c. üçgen = = e f d Yukrıdki zeminde verilen vektör ikililerinden kç tnesi lineer ğımlıdır? ) ) ) ) ) Yukrıdki şekilde + toplmı şğıdkilerden hngisine eşittir? ) + ) + ) + ) + ). c. dikdörtgen [] köşegen [] köşegen e d f Yukrıdki önlü doğru prçlrı prlellik ğ ntısın göre denklik sınıfın rıldığınd kç tne denklik sınıfı oluşur? ) ) ) ) ) Yukrıdki verilere göre, + toplmı şğıdkilerden hngisine eşittir? ) ) ) ) ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

38 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR TST 7. üçgen G : ğırlık merkezi 0.,,,, eflit rl kl do rusl efl noktd r. G = k. oldu un göre, k kçt r? ) ) ) ) ) Yukrıdki verilere göre, G + G + G toplmı şğıdkilerden hngisidir? ) 0 ) ) G ) G ) G. d 8. üçgen = P Yukr dki zeminde d do rusun prlel olup P nokts ndn geçen do runun üzerindeki di er nokt şğıdkilerden hngisidir? Yukrıdki verilere göre, şğıdkilerden hngisine eşittir? ) ) ) ) ) ) + ) + ) + ) ) + 9. L dörtgen K = K L = L. K K Yukrıdki verilere göre, KL şğıdkilerden hngisine eşittir? ) + ) + ) L + K ) ) + Yukrıdki düzgün lt genine göre, fl dkilerden hngisi nlıştır? ) ile nin doğrultulrı nıdır. ) K ile K çkışıktır. ) ile kesişmektedir. ) [] ile [] kesişmektedir. ) ile kesişmektedir. 8 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

39 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR TST.. d c k e p f Yukrıdki düzlemsel şekle göre, şğıdkilerden hngisi doğrudur? ) [] ile [] doğru prçlrı kesişir. ) [] ile [] doğru prçlrı kesiflir. ) ile doğrulrı dik kesişir. Yukr dki zeminde verilen vektörlere göre fl dkilerden hngisi irim vektör de ildir? ) + p ) c+ f ) e+ k ) + d ) k+ p ) ile doğrulrı prleldir. ) ile doğrulrının doğrultulrı nıdır... dikdörtgen [] köşegen [] köşegen f e k d p c un göre, + toplmı şğıdkilerden hngisine eşittir? ) ) ) Yukr dki zeminde verilen vektörlere göre fl dkilerden hngisi irim vektördür? ) ) d+ c ) e f ) k+ p ) + e ) ).. fl dki zeminlerde verilen vektörlerden hngisi irim vektör olmz? ) ) ) c ) ) Yukr dki zeminde verilen vektörlere göre, + + c toplm fl dkilerden hngisine eflittir? ) ) ) c ) ) 9 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

40 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR TST = = + k = k + Yukr dki zeminde verilen vektörlere göre, vektörü fl dkilerden hngisidir? un göre, k fl dkilerden hngisidir? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). dikdörtgen, köflegenlerin kesim nokts 8. K L fiekilde K, L, M, N, P vektörleri verilmifltir. un göre, fl dkilerden hngisi nl flt r? ) + = + ) + = M N ) + + = 0 ) + = P ) + + = 0 un göre, K+ L+ M+ N+ P toplm fl - dkilerden hngisidir? ) K ) L ) M ) N ) P 9. fl dki ifdelerden hngisi do rudur? ) ir vektör herhngi iki vektörün lineer ileflimi olrk z lilir. ) Z t önlü iki vektör lineer ms zd r. ) Uzunluklr n oln vektörler lineer ml d r. ) Lineer ms z herhngi iki vektör ile istedi imiz ir vektörü ifde edeiliriz. ) ik koordint sistemini oluflturn do rulr lineer ml d r.. dikdörtgen ve ulunduklr kenrlr n ort noktlr un göre, + toplm fl dkilerden hngisidir? ) ) ) ) ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

41 KRİNT SİSTMİ. ÜN T ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ik Koordint Sistemi Yer Vektörü Skler Çrp m ir Vektörün Uzunlu u irim Vektör ir Vektör ile n o rultulu irim Vektör ir Vektör ile n Yönlü irim Vektör ir Vektör ile Z t Yönlü irim Vektör ki Vektör rs ndki ç Kosinüs Teoremi ik zdüflüm

42 "ündki en msum u rfl mtemtiktir." (G.H. HRY)

43 KRİNT SİSTMİ K KR NT S STM üzlemde ir noktsı ve şlngıcı oln ir- ÖRNK irine dik e ve e irim vektörleri verilsin. e = (, 0) e = (0, ) P e e K &, e,e0 pısın dik koordint sistemi de- nir. Yukr dki zeminde,,,,,,, P, K ÿ noktsı orijin. ÿ e,e irim vektörler. ÿ e ve e vektörlerini tşın doğrulr ve eksenleri denir. ÿ ik koordint sisteminde lınn herhngi ir P(, ) noktsı için P = e + e zılilir. vektörlerinin lineer ile- vektörlerini e ve e flimi olrk zl m. e P = (, ) (, ) oldu undn = e + e ulunur. e (, ) oldu undn = e + e ulunur. (, ) oldu undn = e + e ulunur. P = (, ) = (, 0) + (0, ) = (, 0) + (0, ) Y Y e e = e +e (, ) oldu undn = e e ulunur. (, ) oldu undn = e e ulunur. ( 7, ) oldu undn = 7e + e ulunur. hlde P = (, ) = e + e z lilir. K(, 0) oldu undn K = e ulunur. SNUÇ : = (, ) = e + e P(0, ) oldu undn P = e ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı