Dairesel düşey kurbların kesin hesabı

Transkript

1 itüderisi/d mühedislik Cilt:8, Saı:3, 3- azira 009 Dairesel düşe kurbları kesi hesabı Mehmet Zeki COŞKUN *, Orha BAYKA İTÜ İşaat Fakültesi, Ölçme Tekiği Aabilim Dalı, 34469, Aazağa, İstabul Özet Geçki düşe eometriside, iki doğru parçasıı birleştirmek içi daire aı vea. derece parabolü kullaılmaktadır. Uulamada, dairesel düşe kurblara ilişki kırmızı kot ve kilometre hesaplarıda kolalık amacı ile bazı kabuller apılarak aklaşık çözümler uulamaktadır. Bir ulaştırma apısıı uulama projesi, apıı tüm iteliklerii kapsar. Bu itelikleri e öemlileride biri ola eçki düşe eometrisi, ulaştırma apısıı erçek (hatasız) düşe eometrisii temsil eder ve saısal olarak kilometreler, kırmızı kotlar ve kırmızı çizi eğimleri ile ifade edilir. Söz kousu saısal büüklükleri hata dereceleri bakımıda üç aa ruba aırmak mümküdür: Birici ruptaki büüklükler, hesap kolalığı bakımıda uvarlak saı seçilirler. İkici ruptakileri saısal iceliği bo kesit çizimii ölçeğie bağlıdır. İkici ruptaki büüklükleri hataları küçüktür. Üçücü ruptaki büüklükler ise, bir hesap işlemi souda üretildikleride hataları diğer ruptakilerde daha büüktür. Güümüzde demirolları ve üksek stadartlı kara olları içi, hesapla bulua kilometreleri ve proje kotlarıı varsaımlarda kaaklaa hatalarda arıdırılmış mm iceliğide değerler kabul edilebilir hata sıırları içide hesaplamalıdır. Güümüzde bilisaar tekolojisii elişmesi ile birlikte bu aklaşık çözümleri öemi kalmamıştır. Arıca demirolları ve üksek stadartlı kara olları içi, hesapla bulua kilometre ve kırmızı kotları mm iceliğide değerler olması erekmektedir. Bu edele dairesel düşe kurbları çözümüde kesi çözümü kullaılması daha uu olacaktır. Bu azıda düşe kurbları (daire ve. derece parabol) kesi çözümlerie ilişki formüller türetilmiş ve çözümü alatılmıştır. Örek olarak alıa bir eçkide düşe eometrie ait aa ve ara oktaları kilometrelerii ve kırmızı kotlarıı, aklaşık ve kesi hesapları apılarak aradaki farklar österilmiştir. Aahtar Kelimeler: Düşe kurb, eçki, daire, parabol, düşe eçki tasarımı. * Yazışmaları apılacağı azar: Mehmet Zeki COŞKUN. cosku@itu.edu.tr; Tel: () Makale meti tarihide derie ulaşmış, tarihide basım kararı alımıştır. Makale ile ilili tartışmalar tarihie kadar derie öderilmelidir. Bu makale, İTÜ Bilimsel Araştırma Projeleri birimi tarafıda kısmi olarak desteklemiştir.

2 M. Z. Coşku, O. Bakal Eact solutio of circular vertical curves Eteded abstract I the vertical eometr of the routes, circular curves or d deree parabola are used for joii two straiht lies. I practice, the approimate solutios are used with the aim of simplifi the calculatio of heihts ad kilometers of circular vertical curves. A trasportatio practice project covers all properties of the structure. Oe of the most importat properties amed vertical eometr of the route represets real eometr (with o errors) ad is epressed b kilometers, elevatios ad radiets diitall. Those diital values ca be divided ito the tree parts b meas of error levels: Group - The values chose b creator (desier/drafter) with defied criteria (usuall, radiuses of vertical circular curves or the leths of parabolas i horizo plate, etr ad eit radiets of back ad forward taets, kilometers of essetial poits of vertical curve (EPVC) which cosist of beii of vertical curve (BVC), ed of vertical curve (EVC) ad poit of vertical itersectio (PVI). Group - The values measured b meas of raphicall. Group 3- The values determied b calculatio. The values i the secod roup are chose as rouded umbers i order to simplif the computatios. The umbers of the diits of the values i the secod roup are determied based o the scale of the loitudial sectio. I most cases, the scale of the loitudial sectio is :000 thus the chaiae values of the taet poits are obtaied withi the precisio of 0.5 to 0.5 meters. The values i the roup oe are free of error while the secod roup values cosist small errors. I third roup, sice the values i the third roup are the products of a computatio the have more errors accordi to the other two roups. I most tetbooks the computatio of vertical eometr is bei thouht without taki the errors itroduced b omitti ad assumptios ito accout. These errors are mail itroduced b ot carri out the computatios usi eouh derees of a formula which is i a series form or assumi that slope distaces ca be used as plae distaces (Umar ad Yala 994; Müller, 984). The mai reaso of these assumptios is due to the limitatios of the computatios before 70s. Nowadas these limitatios are over come b meas of ew computatio techiques ad istrumets. Ad the computatios ca eve be eecuted easil b a had calculator. The results of eact computatios of circular ad parabolic vertical curves are described. The basic cocepts of the subject should be summarized prior to calculatios. ) The vertical eometr is desied b usi the loitudial sectio of horizotal eometr (oriial surface). All vertical eometr related calculatios are to be carried out o a vertical plae defied b K, perpedicular coordiate sstem.) K ais shows the chaiaes. The poits located o the same vertical lie aturall will have the same chaiaes. All distaces used i the calculatios must be i horizotal plae.3) shows the poit heihts. All distaces used i the calculatios must be i vertical plae. 4) All computatios are carried out i staes. The umber ad the qualit of the iput values obtaied as st, d ad 3rd roup values should be ood eouh to achieve a uique solutio for the stae calculatio of a vertical eometr. If the umber ad the qualit of the values are ot suitable, the calculatios ca ot be doe. I case of havi the umber of the iitial data more tha required umber, the obtaied results are differet depedi o the calculatio method used. The cotradictios adverti to the real value cocept as a result of these computatios must be preveted. The both methods, approimate solutio ad the eact solutio, were applied to the profile data of sa ad crest vertical curves to poit out differeces betwee two methods ad the iitial data. Two poits are take as a iitial data o ever curve ad straiht lie for each. Nowadas, approimate solutios are ot ecessar due to the recet developmets i computer techolo. I additio, for the railroads ad hih stadard roads the level of calculatio precisio should be i millimeter. For these reasos, the eact solutios are more suitable istead of approimate solutios. I this paper, equatios of eact solutio of vertical curves are evaluated ad the solutios are eplaied. Differeces of project heihts ad kilometers obtaied from approimate ad eact solutios are havi bee show o a sample route. Kewords: Circular curves, route, circle, parabola, circular route desi. 4

3 Dairesel düşe kurbları kesi hesabı Giriş Geçki düşe eometrisi, doğru parçalarıda ve bu doğru parçaları arasıa erleştirile eğrilerde oluşur. Bu eğrilere düşe kurb adı verilir. Uulamada daire aı vea ikici derece parabolü düşe kurb olarak kullaılmaktadır (Kissam 966; Umar ve Yala 994; Easa 999; Ure ve Price 006). Bir ulaştırma apısıı uulama projesi, apıı tüm iteliklerii kapsar. Bu itelikleri e öemlileride biri ola eçki düşe eometrisi, ulaştırma apısıı erçek (hatasız) düşe eometrisii temsil eder ve saısal olarak kilometreler, kırmızı kotlar ve kırmızı çizi eğimleri ile ifade edilir. Söz kousu saısal büüklükleri hata dereceleri bakımıda üç aa ruba aırmak mümküdür:. Belirli kriterler alıarak tasarımcı (projeci) tarafıda seçile büüklükler (eellikle dairesel düşe kurb arıçapları vea parabolik düşe kurbları ata izdüşümü uzulukları, kırmızı çizi eğimleri, ara oktaları kilometreleri),. Bo kesit çizimi üzeride ölçülerek bulua büüklükler (eellikle some oktalarıı kilometreleri), 3. esapla bulua büüklükler. Birici ruptaki büüklükler, hesap kolalığı bakımıda eellikle uvarlak saı seçilirler. İkici ruptakileri saısal iceliği bo kesit çizimii ölçeğie bağlıdır. Çoğulukla bo kesit ata ölçeği /000 alıdığıda some oktalarıı kilometreleri, m arasıda bir hata ile elde edilirler. Birici ruptaki büüklükler hatasızdır. İkici ruptaki büüklükleri hataları küçüktür. Üçücü ruptaki büüklükler ise, bir hesap işlemi souda üretildikleride hataları diğer ruptakilerde daha büüktür. Geçki düşe eometrisi, saısal olarak, kilometreler ve kırmızı kotlarla ifade edilir. Güümüzde demirolları ve üksek stadartlı kara olları içi, hesapla bulua kilometreleri ve kırmızı kotları varsaımlarda kaaklaa hatalarda arıdırılmış mm iceliğide değerler kabul edilebilir hata sıırları içide hesaplamalıdır. Koula ilili ders ve uulama kitaplarıı çoğuda dairesel düşe kurbları hesabı, hata düzei dikkate alımaksızı, ihmal ve varsaımlara daadırılmaktadır. Bu ihmal ve varsaımlar eellikle, bir eşitliği serie açılarak ilk terimii dikkate almak, eğik vea eğri bir uzuluğu ata vea düşe izdüşümü uzuluğu olarak kabul etmek şeklidedir (Umar ve Yala 994; Müller 984). Söz kousu aklaşık hesap oluu başlıca edei, 970 li ıllarda öce tüm uulaıcıları aşamış oldukları saısal hesap apma darboğazıdır. Acak üümüzde bu darboğaz tümü ile aşılmış olup düşe kurbları kesi hesabı, cep makielerile dahi kolalıkla apılabilmektedir. İlili aılarda karşılaşıla diğer bir husus da, parabolik düşe kurb hesaplarıa ilişki açıklamaları oldukça karmaşık ve zor alaşılır olmasıdır (Müller 984; Umar ve Yala 994; Evre 00). Bu makalede, dairesel ve parabolik düşe kurblar içi, kesi hesap olları açıklaacak ve aklaşık ollardaki ihmal ve kabulleri souçları etkileme derecesi, saısal örekler üzeride österilecektir. Düşe kurbları kesi hesabı Bu bölümde, dairesel ve parabolik düşe kurbları, ihmal ve kabullere er vermee kesi hesabı açıklaacaktır. Acak, daha öce, öemli bazı kavramları kısaca tekrarıda arar örülmektedir. Geçki düşe eometrisii tasarımı, eçki ata eometrisie ait bo kesit (siah çizi) üzerie apılır. Tüm düşe eometri hesaplarıı, bir düşe düzlem oluştura K, dik koordiat sistemide (Şekil ve Şekil ) apılması zoruludur. K ata eksei oktaları kilometrelerii österir. Bir eçki oktasıı kilometresi, seçile bir başlaıç oktasıda itibare eçki bouca ölçüle ata izdüşümü (pla) uzuluğudur. Bir düşe doğrultu üzerideki tüm oktaları kilometreleri birbirie eşittir. 5

4 M. Z. Coşku, O. Bakal Bir eçki oktasıı kilometresii hesabıda kullaılacak uzuluklar, kesilikle ata izdüşümü uzulukları olmalıdır. düşe eksei oktaları kotlarıı österir. Kot hesabıda düşe izdüşümü uzuluklarıı kullaılması zoruludur. Geçki düşe eometrisie ilişki hesaplar bölümler halide apılır. esaplaacak bölüm, bir öceki (hesaplamış) bölümlerde er ala düşe kurbu so oktası ile hesaplaacak bölüm içide bulua düşe kurbu S oktası arasıda kala eçki parçasıdır. esaba başlaabilmek içi bilimesi ereke büüklükler başlaıç verileridir. Burada dikkat edilmesi ereke e öemli okta.,. ve 3. Grup büüklüklerde oluşa başlaıç verilerii, hesaplaacak bölümü düşe eometrisii tek alamlı ifade etmee etecek saıda ve itelikte olmasıdır. Bu büüklükler saı ve itelik bakımıda etersiz ise hesap apılamaz (öreği; bir üçei üç iç açısıı bilimesi). Başlaıç verilerii saıca eteride fazla olması durumuda ise, hesaplaacak büüklük içi, hesap olua bağlı olarak birde çok ve birbiride farklı değerler elde edilir. Gerçek değer kavramıa tümüle akırı ola bu tür çelişkileri oluşması kesilikle ölemelidir. Dairesel düşe kurbu kesi hesabı Dairesel düşe kurb hesabıda, uulamada e çok karşılaşıla başlaıç verileri şulardır (Şekil ).. rupdaki veriler: S, S ve S, S + kırmızı çizi kollarıı ve eğimleri (işaretleri öemlidir), kurb arıçapı, ara oktaları K j kilometreleri (bu veriler belirli kriterler dikkate alıarak projeci tarafıda seçilir).. ruptaki veriler: S, S + some oktalarıı K, K kilometreleri (bu veriler, bo kesit S S+ çizimi üzeride ölçülerek buluurlar) 3. ruptaki veriler: bir öceki kurbu so oktası TF i kilometresi ( K TF ) ve kotu ( TF ) ile S some oktasıı kotu ( S ). Bu veriler, bir öceki kurba ait hesaplarda bilimektedir. esabı kolalaştırmak amacıla K ve dik koordiat sistemii orijii, ekseler paralel kalacak şekilde TO oktasıa kadırılırsa, dik koordiat sistemi elde edilir (Şekil ). Düşe kurbu eometrisi e olursa olsu (dere vea tepe kurb), ekseii pozitif öü kilometreleri artış öüü, ekseii pozitif öü ise kotları artış öüü östermelidir. ( X, Y ) dik koordiat sistemide dairesel düşe kurbu deklemi ( m ) + ( m ) = () dir. Burada m, m M kurb merkezii koordiatlarıdır. Dairesel düşe kurb, aşağıdaki sıır değerleri sağlamalıdır: () = TO = 0 içi = = 0 TO = = 0, = içi = = 0 TO içi TO (3) = (4) = TF = t + t içi = TF = t + t TF = t = + () i türevi t, = ( ) + ( m ) = 0 TF = t t + (5) m (6) olduğua öre () sıır değerleri () de, (3) sıır değerleri (6) da erie koarak m m = ± = + + dere kurb içi + tepe kurb içi (7) buluur. () ve (7) de dairesel düşe kurbu deklemi Dere kurb içi; = ( + ) + (8) + + 6

5 Dairesel düşe kurbları kesi hesabı M γ γ/ S + TF TO γ/4 B α B B S α γ α TF - t t K S - Şekil. Şekil Dairesel. Dairesel düşe kurb düşe kurb Tepe kurb içi; = + ( ) (9) + + elde edilir. (8) ve (9) da eğimii işareti mutlaka dikkate alımalıdır. (4) ve (5) sıır değerleri ardımıla t ve t ata izdüşümü uzulukları (Şekil ),, ve e bağlı olarak ifade etmek mümküdür. Acak bu olla oldukça karmaşık ve kullaışsız eşitlikler elde edildiğide aşağıdaki hesap bağıtılarıı daha uu olduğu düşüülmektedir (Şekil ). γ γ t = ta cosα, ta cosα burada α = arcta, = arcta γ = α α t = (0) α () olup α ve α eğim açıları ile γ açısı 0.00 mo iceliğide hesaplaılmalı, γ i hesabıda α ve α açılarıı işaretleri mutlaka dikkate alımalıdır. B kurb orta oktası içi Şekil de γ γ B = si cos( α ± ) 4 4 Dere kurb içi + Tepe kurb içi () azılabilir. Bu eşitlikte α açısı işaretile koulmalıdır. B değeri (8) vea (9) da hesaplaır. Düşe kurblarda ekstrem oktalar (dere kurbda e düşük kotlu, tepe kurbda e üksek kotlu oktalar), köprü, mefez, üst eçit ibi saat apılarıı projeledirilmeside öemli olabilir. (8) ve (9) u e öre türevi sıfıra eşitleerek E ekstrem oktası içi E = ± + Dere kurb içi + Tepe kurb içi (3) elde edilir ( i işareti dikkate alıacaktır). E değeri (8) vea (9) da hesaplaır. E eks- 7

6 M. Z. Coşku, O. Bakal trem oktası dere kurblarda < 0, > 0, tepe kurblarda > 0, < 0 içi kurb içide buluur. Diğer durumlarda, kırmızı çizi sürekli olarak ükseldiği vea alçaldığı içi ekstrem okta oktur. Parabolik düşe kurbları kesi hesabı Parabolik düşe kurb hesabıda başlaıç verileri, dairesel düşe kurbu başlaıç verileri ile aıdır. Tek fark, kurb arıçapı erie parabolik düşe kurb ata izdüşümü uzuluğuu projeci tarafıda seçilmesidir. esapları kolalaştırmak içi dairesel kurblarda apıldığı ibi,, dik koordiat sistemide (Şekil ) ararlaılacaktır. Parabolik düşe kurbu deklemi = a + b + c, = a + b = TO = 0 içi = = 0 TO (4) (5) TO = 0 içi = = (6) = (7) TF = içi = TF = t + t TF = içi = = (8) (5), (6) ve (8) sıır değerleri (4) de erie koarak parabol deklemii katsaıları elde edilir. c = 0, b =, ve parabolü deklemi G a = = (9) G G = +, = + (0) dir. (G i hesabıda ve eğimlerii işaretleri dikkate alımalıdır). (7) sıır değeri (9) da erie kour ve Şekil e öre t = t olduğu dikkate alıırsa t t = = () soucua ulaşılır. S some oktasıda eçe düşe doğrultu üstüdeki B oktası koordiatları, Şekil, (9) ve () e öre B = t =, G B + 8 olur. Ekstrem okta ( E ) içi = () S + TF B TF - P j P j- S P j TO t t S - P j- K Şekil. Parabolik düşe kurb Şekil. Parabolik düşe kurb 8

7 Dairesel düşe kurbları kesi hesabı =, G E E = (3) G buluur. Dere kurblarda < 0, > 0 içi, tepe kurblarda > 0, < 0 içi kurb içide bir ekstrem okta vardır. Diğer durumlarda, kırmızıçizi sürekli olarak ükseldiği vea alçaldığı içi, ekstrem okta oktur. esapları apılışı esap işlemi, eçki düşe eometrisii TF ile TF oktaları arasıdaki bölümüü kapsar. Öce aa oktaları ( TO, B, E, TF ) kilometreleri, daha sora tüm aa ve ara oktaları kırmızı kotları hesaplaır. Kırmızı kot hesabıda değişik ollar izleebilir. Bularda biri, hesaplaa bir kotu bir soraki okta kotuu hesabıda bilie değer olarak kullaılmasıdır. Aşağıdaki açıklamalarda, bilisaar azılımıa uu olması ve kesi hesap kotrolü olaağı vermesi edeile, bu hesap olu esas alıacaktır..) Aa okta kilometreleri KTO = K S t, KTF = K S + t K B = KTO + B, K E = KTO + E (4) t, t, B ve E değerleri, dairesel kurb içi () ve (0), (), (3) eşitlikleride, parabolik kurb içi (), (), (3) eşitlikleride hesaplaır..) S + some oktasıı kotu P = + ( K K ) P TF TF P P + ( K K ) P P... Pj = (7) = j + ( K j K j ) eşitlikleri kullaılır. esabı souda TO oktasıı kırmızı kotu elde edilir. 4.) Birici hesap kotrolü: TO oktasıı kotu bir kez de TO = S t (8) bağıtısıda hesaplaır. TO oktasıa ait iki kot değeri, kabul edile icelikte (eellikle mm) birbirie eşit olmalıdır. 5.) TO ve TF oktaları arasıda kala (düşe kurba ait) oktaları kırmızı kotları kilometreleri; K TO < K j < K, j P,P,..,B,..,E,.., TF TF = (9) şartıı sağlaa bu oktaları kırmızı kotları P = + TO, P P + ( )... = (30) j = j + ( j j ) eşitlikleri ile hesaplaır. j değerlerii hesabıda dairesel kurb içi (8) vea (9) bağıtıları, parabolik kurb içi (0) vea (9) bağıtıları kullaılır. apsisleri içi S = + ( K K ) S S+ S + (5) j = K K (3) j TO j 3.) TF, TO doğru parçasıa ait oktaları kırmızı kotları (Şeki ve ) kilometreleri; K TF < K j < K, j P,P,...,TO TO = (6) şartıı sağlaa bu oktaları kırmızı kotlarıı hesabıda eşitlikleri eçerlidir. esap işlemi kırmızı kotula so bulur. 6.) İkici hesap kotrolü TF oktasıı kotu bir kez de TF oktasıı = S t (3) TF + 9

8 M. Z. Coşku, O. Bakal eşitliği ile hesaplaır. Bu oktaa ait kot değerii, kabul edile icelikte (eellikle mm) birbirie eşit olması ereklidir. Uulama Dairesel düşe kurbu aklaşık ve kesi hesabıa ilişki farkları saısal olarak östermek amacıla Şekil 3 deki kırmızı çizi her iki ötemle hesaplamıştır. esap içi başlaıç verileri Tablo de verilmiştir. Tablo de S 0 oktasıı kotu başlaıç verisi olarak alımış, paratez içideki diğer kotlar hesaplamıştır. Arıca her bir kurb ve doğru parçası üstüde ikişer ara oktaı kilometreleri de başlaıç verisi olarak alımıştır. Yaklaşık kurb hesabı Umar ve Yala 994 de açıklaa hesap bağıtıları ile apılmış, aklaşık ve kesi hesap souçları ve bu souçlar arasıdaki farklar Tablo de özetlemiştir. Tablo de örüldüğü ibi kilometreler arasıdaki farklar 4 mm ile +60 mm arasıda, kırmızı kotlar arasıdaki farklar ise 78 mm ile +78 mm arasıda değişmektedir. Tablo. Başlaıç verileri Some No Kilometre K (km+m) Yarıçap (m) Kot (m) S S (535) S (585) S (565) 3 S (495) 4 S (445) 5 S (465) 6 S (500) 7 Eğim Tablo. Dairesel düşe kurbları aklaşık ve kesi hesabıı karşılaştırılması Yaklaşık esap Kesi esap Fark K K K (km+m) (m) (km+m) (m) (mm) (mm) Souç Bu çalışmada dairesel ve parabolik düşe kurbları kesi hesabıa ilişki hesap bağıtıları türetilmiş ve bilisaar tasarımıa uu, kesi hesap olu açıklamıştır. Arıca dairesel düşe kurbları, literatürde verile aklaşık hesap olu, 0

9 Dairesel düşe kurbları kesi hesabı kesi hesap olula saısal örek üzeride karşılaştırılmıştır. Tablo de örüldüğü ibi iki hesap olua ait souçlar arasıdaki farklar kilometrelerde m i aşmakta, kırmızı kotlarda ise 8 cm e ulaşmaktadır. Bu farklar = 0000 m kurb arıçapı içi elde edilmiştir. Yarıçap büüdükçe farkları artacağı açıktır. Güümüzde demirolu ve öemli karaolu eçkilerie ilişki hesaplarda kilometreleri ve kırmızı kotları mm iceliğide hesaplaması erekli örüldüğü dikkate alıırsa, ukarıdaki farklar ihmal edilemez büüklüktedir. Bilisaar tekolojisii arattığı hesap apma kolalığı da düşüülerek, dairesel düşe kurbları hesabıda kesi hesap bağıtılarıı kullaılması so derece uu olacaktır. Kaaklar Easa, S., M.; (999): Optimum Vertical Curves for ihwa Profiles; ASCE, Joural of Survei Eieeri, 5, 3, Evre, G.; (00):Demirolu; Birse Yaıevi, İstabul Kissam, P., ihwa Curves, Fourth Editio, Joh Wile & Sos Ic., odo, 966. Müller, G., (984). Ieieureodaesie Verkehrsbau Grudlae, VEB Verla für Bauwese, Berli. Umar, F., Yala, N., (984). Yol İşaatı, IV Baskı, İTÜ, İşaat Fak., İstabul. Ure, J., Price, W., F., (006). Survei for Eieers; 4th editio, Palrave Macmilla, New York, USA.