Continuum Damage Mechanics for Elastic Dielectric Materials

Transkript

1 Süleyman Demrel Ünverses Fen Blmler nsüsü Dergs 0-3 (006) lask Delekrk alzemelern Sürekl Oram asar ekanğ usafa eş USA Süleyman Demrel Ünverses eknk ğm Faküles akne ğm Bölümü / ISAA usalmr@ef.sdu.edu.r Öze: Sürekl-Oram asar ekanğ; kro-çalak oluşumunun veya mkro boşlukların büyümesnn br sonucu olarak yapısal zayıflamaya uğrayan mühendslk malzemeler le lglenr. Bu çalışmada elask delekrk hasarlı malzemelern bünye denklemlerne a genel fadeler sürekl oram hasar mekanğnn emel yasalarından ürelmşr. Bu maemaksel model mekank br yükün eks alında kalan ve mkro boşluklar çeren elask delekrk oramlar çn gelşrlmşr. alzeme normalde zorop br oram olup sırf mkro-boşluk dağılımı nedenyle güçlü br anzorop gösermekedr. Bu bağlamda csm davranış olarak kendsn gerlme elekrksel polarzasyon ve gernme-enerjs yoğunluğunun değşm hızı arzında fade edecekr. Sonuç olarak gerlme polarzasyon ve gernme-enerjs yoğunluğunun değşm hızına a bünye denklemler maddesel koordna ssemnde elde edlmşr. Anahar Kelmeler: Sürekl-Oram asar ekanğ Serbes nerj Gerlme olarzasyon Gernme-nerjs-Yoğunluğu Değşm ızı Bünye Denklemler. Connuum Damage echancs for lasc Delecrc aerals Absrac: Connuum Damage echancs (CD) deals wh engneerng maerals whch undergo srucural weaknng as a resul of mcro-crack formaon or vod growh. he general expressons of consuve equaons for soropc elasc delecrc damaged maerals were derved from he basc laws of connuum damage mechancs. hs mahemacal model represens an elasc delecrc meda whch has mcro-vods and subjeced o a mechancal loadng. Due o mcro-vod dsrbuon overall srucure aans a srong ansoropy despe he fac ha he maeral s oherwse soropc. In hs conex he body wll respond by means of sress elecrc polarzaon and sran-energy densy release rae. In he concluson consuve response funcons for he sress polarzaon and sran-energy densy release rae have been obaned n maeral coordnaes. Keywords: Connuum Damage echancs Free nergy Sress olarzaon Sran-nergy Densy elease ae Consuve quaons. Grş Blndğ gb genel anlamda asar erm malzemelern bozulması kırılması kopması ve şe yaramaması anlamında kullanılmakadır. Okslenme korozyon dfüzyon mekank yükler ve yaşlanmadan dolayı zayıflama veya elekromanyek yüklerden dolayı malzemenn yapısal büünlüğünün bozulması hasarı başlaıp devam ereblecek nedenlerden bazılarıdır. asar mekanğ; düzensz şekl ölçü ve yönelmlerde rasgele dağılmış olan brçok mkro-çalak arafından zayıflaılmış malzemelern davranışını ve mukavemen araşıran güncel br konudur. alzemenn hasar görme mekanzmaları oldukça farklı ölçeklerde nceleneblr Bu ölçeklendrmeler aomk ölçek mkro ölçek mezo ölçek (sürekl oram ölçeğ) ve makro ölçek şeklnde göz önüne alınablr. Farklı ölçeklerde oraya çıkan hasar mekanzmalarının durumu aşağıda kısaca özelenmşr. Uygun homojenleşrme eknkler le bu ölçekler arasında geçşler sağlanablmekedr[-3]. Aomk ölçeke br malzeme adyabak ve rj duvarlarla evrenn ger kalan kısmından ayrılmış ve brbrler le ekleşen N ane aomdan meydana gelen br ssem olarak göz önüne alınmakadır. Çevrenn bu ssem üzerndek eks ssemn dış yüzeylern oluşuran aomlara gerlme kuvveler ve sıcaklık şeklnde lelmekedr. er br aom bu opluluğun dğer aomları le ekleşm halndedr. Kuanum ekanğ eorlerne göre yoğunlaşmış fazlardak aomlar belrl denge pozsyonlarını şgal eder ve aomlar arası enerjnn sınırlı br aralığında reşmlern sürdürürler. Dışarıdan sseme br ş uygulandığı zaman aomlar kendlerne a denge pozsyonlarından ayrılırlar ve böylece ssemn poansyel enerjs değşrlmş olur. Oraya çıkan deformasyon elask se ssemn poansyel enerjs ersnr br arzda depolanır dış yükler kaldırıldığında aomlar denge pozsyonlarına ger döner ve ssemn poansyel enerjsndek arma azalır. Bu ersnr prosesn zamana bağımlı ve ermal olarak akve edlmş durumu ersnmez br proses olarak düşünüleblr. Bu durumda aomlar daha öncek bağların kırılması sonucunda kend enerj engellern aşar ve bağların yen konfgürasyonlarını oluşurarak serbes enerjnn yen br denge aralığına hareke ederler. Dğer br deyşle ersnmez br yapısal değşm veya hasar oluşur. Dolayısı le krsal yapılı malzemelerde ve polmerlerde hasar proses kmyasal br reaksyon olarak göz önüne alınablmekedr. Bu kmyasal olaylar esnasında malzemenn emel kompozsyonu sab kalmakla brlke aomların bağ yapıları değşr. Bu durum malzeme çersnde mkroboşluklar ve sürekszlk yüzeyler meydana gereblr. Yukarıda bahsedlen yaklaşım kapsamında hasarın aslında reolojk br yapıya sahp olduğu ve deformasyondan çok 465

2 .. USA farklı br proses olduğu söyleneblr. Br ç değşken olarak hasar parameres D rasyonel br şeklde belrlendğ sürece hasar prosesn anımlamak çn ersnmez proseslern ermodnamk eors uygun br yaklaşım arzı olarak gözükmekedr [45]. kro-ölçeke br malzeme değşk ölçü şekl ve yönelmlere sahp çok sayıda rasgele dağılmış mkroçalak çeren ve genellkle zorop yapıda olan br marsen baremş gb düşünülmekedr. arsn efekf özellkler aomk ölçek modellern (moleküler dnamk) kullanarak anımlanmakadır. ane sınırlarında yer alanlar da dâhl olmak üzere büün aomk kusurlar marsn efekf özellkler çersnde modele dâhl edlmşlerdr. kro-mekank modeller ve bu ölçekler çerçevesnde mkro-çalaklar ve dğer mkro-ölçekl kusurlar en fazla anelern agregaların veya ara yerlere grmş farklı mkro yapıların yüzeyler kadar büyük olablr. Bu durumda mkro-ölçeke hasar kusurların veya ara yüzeylern yakın cvarında dslokasyonların ve mkro-gerlmelern brkmes ve bağların kopmasıdır. ğer random mkro- yapılı br maddesel hacm sasksel olarak homojen se efekf kaılık ve esneklk ansörler heerojenlklern kusurların ve dalgalanmaların gerçek konumlarından ve bu alanların ekleşmlernden bağımsızdır. omojenleşrme şlemnn sonucunda br çok mkro ölçekl kusurla yarılmış olan malzemenn homojenleşrlmş mars formuna a emsl hacm elemanının () efekf momenum leme özellkler belrlenmeye çalışılır. İsasksel olarak homojen kabul edlen nı çn kusurların ve heerojenlklern sayısı büyük olmalı onların yer rasgele olmalı ve ölçüler de küçük olmalıdır. kroölçeke hasar parameresnn seçlmes le lgl olarak öncelkle cevaplanması gereken soru farklı merebeden br ansörle ahmn edlmş olan mkro-çalak dağılımının geomers le seçlmş hasar parameresnn kullanımının ne kadar doğru olduğudur [67]. Sürekl Oram ölçeğ (mezo ölçek) kapsamında yapılan ncelemelerde se göz önüne alınan pk br malzemenn şgal eğ uzayı boşluksuz br şeklde doldurduğu ve bu anlamda sürekl olduğu düşünülmekedr. Sürekl oram modellernde mkroölçek kusurlarının eks mkro-mekank modellerle uarlı olan maemaksel br yapıyla anımlanmalıdır. Dğer br deyşle sürekl oramın br maddesel nokasındak efekf br özellk buna karşılık gelen mkro-ölçekek nın aynı özellğnden belrleneblmeldr. Olabldğnce bas olan bu yaklaşım hasar parameresnn seçm le lgl karışıklığa da br çözüm olarak görülmekedr. akroçalakların başlamasından önce malzemelern mekank özellklernde yaygın şeklde gözlenen kademel veya sürekl gerlemey anımlamak çn sürekl oram hasar mekanğ oldukça öneml br rol oynamakadır. Kachanov sürünme hasarını ncelerken malzemelern mkro-yapısındak kademel gerlemey karakerze emek çn sürekllk parameres Ψ ve efekf gerlme kavramını anımlayan lk araşırmacıdır [ 3]. Büyük plask gernmeler olmaksızın mezo-ölçeke br çalak başladığı zaman gevrek hasar durumu söz konusudur. Belrl br eşk değerden daha büyük plask deformasyonla eş zamanlı olarak başlayan hasar se sünek hasar olarak anımlanmakadır. Sürekl oram hasar mekanğ kapsamında yapılan modellemelerde k emel aşama vardır. Brnc aşamada büün malzemeler çn orak olarak geçerl olan lkeler (balans denklemler) belrlenr. İknc aşamada se dealze edlmş malzemeler anımlayan bünye denklemler oluşurulur. akro ölçekl sevyede se çalakların ve boşlukların büyümes söz konusu olup kırılma mekanğnn emel yaklaşımları dkkae alınmalıdır. Bu kapsamda hasar (damage) mekanğ büyük ölçekl çalakların (fracure) başlamasına kadar olan mekanzmayı ncelemekedr. Bu çalışmada sürekl oram hasar mekanğ kapsamında ele alınan elask delekrk (yalıkan) oramlara a maemaksel br model oluşurularak gerekl bünye denklemler elde edlmşr. lask delekrk oramlar ve makro ölçeke bu oramların çalak mekanğ br çok araşırmacı arafından ncelenmş ve çok sayıda emel araşırmanın konusu olmuşur [-]. Kullanım maksaları bakımından kye ayrılan delekrk malzemelerden akf delekrk malzemeler maddenn polarze olma yeeneğn kullanır. Kondansaörlerde kapase değern yükselmek çn kullanılan kondansaör yalıkanları kase ve vdeo banları le blgsayar hafızalarında kullanılan kalıcı polarzasyonlu ferro-elekrk malzemeler ulrason dalgalar üreen kuarz krsaller gb mekank uyarıları elekrksel snyallere (veya ersne) çevren pezoelekrk malzemeler öneml akf delekrk yapılardır. asf delekrk malzemeler se elekrk akımını lemede kullanılan lekenler brbrnden ve çevreden yalımaya yarayan malzemelerdr. ezoelekrk ve Ferroelekrk malzemeler seramklern öneml br sınıfını oluşurmakadır (BaO 3 bzro 3 bo 3 ). Genellkle çok krsall seramkler halnde ürelen Ferroelekrk malzemelern neredeyse ümü pezoelekrk özellğe sahprler. ezoelekrk malzemeler özellkle akıllı ssemlern asarımında algılayıcı ve harekee geçrc olarak da kullanılmakadırlar. Delekrklern dayanableceğ elekrk alan şdde sınırlıdır. ğer uygulanan gerlm krk br değer aşarsa yalıkanda özellkle kusurlu bölgelerde mevcu elekronlar enerj aralığını alayarak serbes hale geçeblr bunlarda dğer elekronlara çarparak br elekron sel oluşurur ve oraya çıkan akım yalıkanı delp geçer. Bunun sonucu olarak malzemenn yalıkanlık özellğ kaybolur. Buna elekrksel göçme denr. er yalıkan bu göçmeye karşı belrl br delekrk drence sahpr. İç yapı kusurları kmyasal bozulma çalaklar boşluklar ve yüksek sıcaklık bu drenc azalır. Bu ve benzer sebeplerden dolayı seramkler gb ora düzeyde kohezv mukavemee sahp malzemelern davranışlarının sürekl oramlar hasar mekanğ le ncelenmes önem arz emekedr []. Ferroelekrk malzemelerde hasarın belrlenmes çn fenomenolojk br model Bassouny [3] arafından oluşurulmuş ve hasar üzernde polarzasyonun eks ncelenmşr. Bu çalışmada efekf büyüklükler göz önüne alınarak elekro-mekank kaplng ekler araşırılmışır. Bassouny v.d. daha öncek çalışmalarında kapıl elekromekank hserss ekler çn ermodnamk br formülasyon gelşrmşlerdr [4-7]. 466

3 lask Delekrk alzemelern Sürekl Oram asar ekanğ Bu araşırmanın eork emellern oluşuran çalışmalarda fber akvyel elask delekrk oramların elekro-ermomekank davranışına a maemaksel br model oluşurulmuş ve elekrosak alanlarla mekank alanların nonlneer ekleşmler ele alınmışır[]. Br dğer çalışmada mkro-boşluklu elask oramlar çn bünye denklemlernn oluşurulmasına a maemaksel br formülasyon sürekl oram hasar mekanğ kapsamında gelşrlmşr. asarın mekank emsl ve br ç durum değşken olarak hasar ansörünün göz önüne alınışı daha deaylı olarak verlmekle brlke sadece mekank büyüklükler göz önüne alınmış elekrosak kaynaklı kuvve ve kuvveçf fadelerne yer verlmemşr [0]. Bu çalışmada se elekrosak alanlar çn geçerl olan axwell denklemler daha başlangıça dkkae alınmış ve mkro-boşluklu elask delekrk malzemeler çn sürekl oramlar mekanğ çerçevesnde maemaksel br model kurulmuşur. asarın ekank emsl: Şekl de görülen emsl hacm elemanı ( F = n F ) şeklnde br kuvvele yüklendğnde blnen ek eksenl gerlme σ = F S olur. alzeme çersnde yer alan mkro boşlukların dışarıdan uygulanan çekme kuvvene karşı herhang br drenç gösermedğ dolayısı le yük aşımadığı düşünülürse efekf olarak yük aşıyan yüzeyn dk kes alanından mkro boşlukların alanını çıkararak elde edlen yüzey (S-S D ) olur. Dolayısıyla da efekf gerlme ~ F σ = () S S D şeklnde yazılablr. asar parameresn mkro boşlukların oplam alanının oplam kes alanına oranı SD D () S olarak anımlayablrz [-3]. Kachanov [] malzeme çersndek bell br kes boyunca sürekllk parameresn hasar parameres le lşklendrmş ve sürekllk parameresn Ψ D şeklnde anımlamışır. Bu durumda () ve () fadelern dkkae alarak ~ F F / S σ σ σ = = = = (3) S D D Ψ S D S yazablrz. Yukarıda verlen fadeler göz önüne alarak aşağıdak sınırlamaları yazılablr; 0 D (4) D = 0 (başlangıçak hasarsız durum Ψ = ) D = (malzemenn kopma veya kırılma durumu Ψ = 0 ) Şekl. ek eksenl çekme alındak br çubuka hasar parameresnn anımı emare ve aynı şeklde Smo ve Ju efekf gerlme lkesne benzer şeklde efekf gernme çnde uygun anımlar kullanarak zoropk hasar durumu çn eşdeğer gernmey ~ ε = ( D )ε şeklnde fade emşlerdr. Bu aşamada gernme eşdeğerlğ ve gerlme eşdeğerlğ hpoezlern vermek açıklayıcı olacakır[4 5] : Gernme eşdeğerlğ hpoez: asarlı br malzemenn gernme davranışı orjnal veya hasarsız malzemenn bünye denklem le emsl edleblr ancak hasarsız malzemenn bünye denklemnde oraya çıkan gerlme yerne efekf gerlme kullanılmalıdır. Başka br fadeyle uygulanan gerlme alında malzemenn hasarlı durumu le lgl gernme efekf gerlme alında malzemenn hasarsız durumu le lgl gernmeye eş değerdr. fekf gerlme kavramı ve gernme eşdeğerlğ hpoez doğal olarak bünye denklemlernn gernme-abanlı formülasyonları çn kullanılablr. Gerlme eşdeğerlğ hpoez: Uygulanan gernme alında hasarlı durumla lgl gerlme efekf gernme alında malzemenn orjnal (hasarsız) durumu le lgl gerlmeye eşdeğerdr. fekf gerlme lkesn kullanarak hasarlı br malzeme le hasarsız br malzemenn elasse modülü arasındak lşk aşağıdak gb verleblr: ~ σ σ σ ~ ε = = = ~ = ( D) (5) Burada ( D ) n F F D hasar nedenyle elasse modülünde meydana gelen azalmayı ~ se hasarlı malzemenn elasse modülünü gösermekedr. Şmd gerçek hasarlı duruma mekank olarak eşdeğer olan ve F yükünün eks alında S S D S şeklnde anımlanan br kes alanına sahp hayal br elemanı göz önüne alablr ve bu durumu hasarsız br durum olarak adlandırablrz. ğer mekank olarak eşdeğer olan bu k durumdak S ve S alanları arasındak lşk br şeklde belrleneblrse hasar değşken D de belrlenmş olur. fekf gerlme ~ σ çekmeye zorlanan malzeme durumunda S D S 467

4 .. USA geçerldr. alzemenn basınca zorlanması halnde bazı mkro-boşluklar kapanacağından (malzemedek hasar durumu muhemelen değşmeden kalacak) yüke drenen alan (S-S D ) den daha büyük olacakır. Bu durumda efekf gerlme le blnen gerlme arasındak fark hmal edleblr. fekf kavramı çekme veya kayma gerlmeler le zorlanan malzemedek mkro boşlukların (veya kusurların) brbrler le olan karşılıklı ekleşmlernn ve mkro gerlme konsanrasyonlarının dkkae alınması sonucunda oraya çıkan oplam mukaveme olarak anlaşılmalıdır. Aslında efekf gerlme kavramına kesn br yaklaşım deneysel sonuçları ve sasksel yönemler kullanan mkro-mekank blm dalı kapsamında yapılablr. Ancak bu çalışmada Sürekl Oramlar ekanğ kapsamında (mezo ölçeke) malzemenn global davranışını dkkae alarak bünye denklemler üzernde durulmuşur. Bazı araşırmalarda hasar değşkenlern belrleyeblmek çn K sayıda mkro çalak çeren br emsl hacm elemanı () göz önüne alınmışır. erhang br k-ıncı mkro çalağın açık veya akf kısmı A (k) le bu mkro çalağın kapalı veya pasf yüzey de A *(k) le göserlmşr. Br çalağa a akf veya pasf yüzeyler gerlme sıcaklık ve nem oranına göre kend aralarında yer değşreblr. Buna rağmen Wesman bu açık ve kapalı yüzeylern bell br zaman aralığında malzemenn durumunu karakerze eden bağımsız değşkenler olarak seçlebleceğn fade emekedr [67]. Şekl. a) K sayıda mkro çalak çeren emsl hacm elemanının düzlemsel görünüsü (7) b) Br mkro çalağın açık ve kapalı yüzeyler. akro sevyede gerlmeler ve gernmeler nın hacm üzernde oralama büyüklüklerdr. İnfnesmal deformasyonları da bu makro büyüklükler arasında sayablrz. nın davranışını am anlamıyla dkkae almak çn A (k) ve A *(k) (k=...k) yüzeylern emsl eden K sayıda çalak parameresn dkkae almak gerekr. Bu yüzeylern gerçek şekl mezo ölçeke am olarak blnmedğnden Wesman bunları eşdeğer düzlemsel yüzeyler olarak düşünerek A = A n *( k) * ve A = A n vekörler le emsl emşr (k = (k)...k). Burada n br mkro çalak düzlemne a brm normal vekörü gösermekedr [6]. Csmn çersnde br maddesel noka cvarında konvekseler farklı olan k mkro çalak göz önüne alalım. alzeme üzerne gelen yükleme durumuna göre farklı konvekselere sahp çalak yüzeylernden dolayı farklı davranışlar gösereblr. ğrlk yarıçapları çok büyük olan farklı nfnesmal çalak yüzeyler opolojk ve mekank açıdan eş değer kabul edleblr. Bu durumda çalak yüzeynn opolojk emsl çalak yüzeynn yönünden bağımsız olarak fade edleblr. aemaksel olarak bu emsl k vekörün dyadk çarpımı le oluşurulan br smerk ansör kullanarak gösereblrz. Bu durumda her br mkro çalağı aşağıdak gb smerk dyadlarla anımlayablrz. A A ve ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) j j A A *( k ) *( k ) *( k ) A A (6) A (k) ve A *(k) yüzeylernn ölçüsü ve yer hakkında deaylı blgler ancak sasksel olarak mkro ölçeke mevcu olduğundan Sürekl-Oramlar ekanğnn kullanıldığı mezo ölçeke (6) fades le verlen ansörel fadelern brleşk eklern aşağıdak dyadk çarpımların oplamları le gösereblrz. Bu şlem mkro ölçeken mezo ölçeğe geçerken yapılan homojenleşrme şeklnde de yorumlanablr. K = k= A A K * *( k ) *( k ) = k= A A (7) Böylece hasarın eks mezo ölçeke k ade ç durum değşken le fade edleblmekedr. Bu k durum değşken de anımları gereğnce knc dereceden smerk ansörel karaker aşır. İnfnesmal deformasyonların göz önüne alınması hasarı emsl eden ansörlern de aynı nfnesmal karakerde olması anlamına gelmez [7]. Dolayısıyla br kuvve sers emsl gernmeler çn kullanılırken hasar ansörler çn uygun olmayablr. Bu çalışmada bünye değşken olarak sadece açık mkro yüzeylern eksn dkkae alan br ek hasar ansörü göz önüne alınmış ve bu ansör br ç durum değşken olarak kullanılmışır. Açık mkro-çalak yüzeylernn emsl hacm elemanı çersndek A vekörü le bu vekörün oralama değerlern ( ) zamanla değşmn A ( ) le gösereblrz. Bu vekörlern emsl hacm elemanına a herhang br karakersk yüzeyn alanına bölerek boyusuzlaşırıldığını düşünmek formülasyonun genel yapısını eklemez. Dğer arafan malzeme mkro-çalak yüzeylernn pozf ve negaf araflarını fark edemeyeceğ çn maemaksel olarak A ( ) ve A ( ) vekörlerne olan bağımlılığı (7) fadesn de göz önüne alarak A A A A A A (7) formundak ansörel çarpımlarla fade edeblrz. Bu ansörler lerde verlecek olan gerlme poansyelnn argümanları arasında yer alacakır. Balans Denklemler lekrosak balans denklemler Göz önüne aldığımız ve anında V() hacmn kaplayan oramın çevres le olan ekleşmnde mekank olmayan kuvvelern ab olduğu quaz-sak elekrk alanı yöneen negral denklemler Genelleşrlmş Gauss ve Sokes eoremler kullanılarak yerelleşrldğnde aşağıdak dferansyel fadeler elde edlmş olur [ ]: 46

5 lask Delekrk alzemelern Sürekl Oram asar ekanğ Gauss Yasası: D = 0 V() çnde () Faraday yasası: φ = 0 = V() çnde () D ε 0 veya D r ε 0 r r (0) Burada D elekrk yer-değşrme vekörü elekrk alan vekörü φ elekrosak poansyel ε 0 boşluğun elekrksel permves polarzasyon alan vekörünü gösermekedr. ermomekank Denge Denklemler Benzer şeklde global balans denklemler ( küle lneer momenum açısal momenum enerj ve enrop ürem) yerelleşrldğ akdrde elde edlen dferansyel fadeler şu şekller alır: Külenn Korunumu ρ ρ v = 0 V() çnde () addesel gösermde külenn korunumu: ρ0 ( ) ( ) ρ x = () J x ( ) neer omenumun Denges ρ = ρ f F V() çnde (3) v l l Açısal omenumun Denges ε n r p ε n r p r p ( r p r p r p r p = 0 r p ) = 0 r p = p r V() çnde (4) = (5) nerj Korunumu: j v j q ρ h h ρ ε = ρ C w V() çnde (6) Clausus-Duhem şszlğ (ermodnamğn İknc Kanunu ) V() çnde: h ρ η ρ q q θ ρ γ 0 (7) θ θ θ Burada v sürekl oramın hızı u sürekszlk yüzeynn hızı ρ0 deformasyondan öncek küle yoğunluğu ρ deformasyondan sonrak küle yoğunluğu J jakobyen v vme j gerlme ansörü f brm küle başına mekank hacmsel kuvve F brm hacm başına elekrosak gövde kuvve j smerk gerlme ansörü C brm hacm başına elekrosak kuvve çf ε brm küle başına ç-enerj yoğunluğu q ısı akısı vekörü (brm zamanda ve brm yüzey alanından sseme gren ısı mkarı olup bu vekör dama yüzey dışına doğru yönlenmş olarak seçlmekedr ve bu durum enerj denklem yazılırken dkkae alınmışır) h brm küle başına ısı kaynağı h elekrosak enerj kaynağı w açısal hız η brm küle başına enrop yoğunluğu θ ( ) br anında mulak sıcaklık dağılımı ρ γ brm küle başına enrop ürem olup ε n r p permüasyon ansörünü gösermekedr. Denge denklemlernde geçen elekrosak kaynaklı kuvve ve kuvve-çf ve enerj kaynak fadeler F = F = j j () C C = ε j nj n () : d ρ h = j d j (0) ρ h şeklnde olup burada (0) fadesndek ( ) şare aşağıdak anlamda kullanılmışır. v () v Burada sembol üzerndek noka da maddesel ürev gösermekedr. Ansmerk br ansör olan polarzasyon gerlme ansörü olarak blnr ve = j = j () şeklnde anımlanmakadır [ 30]. Burada ansörel çarpımı gösermekedr. d se k l d j v( j ) ( v j v j ) = d j (3) şeklnde anımlanan deformasyon hızları ansörünü gösermeke ve v ( j ) hız gradyanı ansörünün smerk kısmı olarak anımlanmaka; bu ansörün ansmerk kısmı da spn ansörü olarak w j v [ j] ( v j v j ) = w j (4) şeklnde anımlanmakadır. Bu ayrışım = d w veya v = d w (5) j j şeklnde de göserlmeke olup knemak olarak brnc erm br maddesel nokanın maruz kaldığı deformasyon hızlarını kncs de rjd dönme hızlarını emsl emekedr. Yukarıda verlen () fadesnn dverjansı alınıp ve () fades le brlke (3) denklemnde yerlerne yazılırsa ρ v = ρ f r p r (6) p p r r p j 46

6 .. USA şeklnde lneer momenum denklemmz smerk br gerlme ansörü cnsnden yazılmış olur. Dğer arafan () () ve (3) fadelern (0) de yerne yazıp açısal hızı spn ansörünün düalnden w = v şeklnde çekerek ve () da verlen C nn anımını göz önüne alırsak yerel enerj denklem olan (6) fadesnn son k erm ρ h C w = ρ Π (7) şeklnde elde edlr. (7) fades (6) da yerne yazıldığında enerj korunumu çn ρ ε = v q ρ h ρ Π () j j şeklnde yerel denklem oraya çıkmış olur. Burada brm küle başına polarzasyon vekörü Π () ρ şeklnde anımlanmışır. Yukarıda verlen balans denklemler br sürekszlk yüzeyn de çerecek şeklde daha öncek çalışmalarımızda verlmşr [3 3]. ermodnamk Kısılar nerj denklem le enrop eşszlğ uygun şeklde brleşrlr ve serbes enerj çn aşağıdak şeklde br egendre ransformasyonu kullanarak ψ ε θ η Π = ε θ η ρ (30) nrop eşszlğ maddesel formda aşağıdak gb elde edlr. ( Σ ρ 0ηθ ) N C θ Q Π 0 (3) θ elde edlmş olur. Burada geçen yen büyüklüklerle lgl ermler aşağıda verlmekedr: Σ ρ 0 ψ ( Σ : gerlme poansyel) (3) C = dm n xm x n N d m n = C m (33) N n J m N n m n m n J xm xn N Q J m qm q m J xm Q = (34) = (35) Π J m m m = J x m Π (36) xm m m = m (37) θ = x m θ m θ =. (3) m m θ (3) eşszlğ quaz-elekrosak br alanın eksnde bulunan ermomekank oramlar çn enrop üremnn genel br fadesdr. ekank br yüklemeye maruz mkro-çalaklar çeren ve bu çalakların zamanla şekllernn değşğ düşünülen elask br oramın gerlme poansyel Σ nın argümanları Sürekl- Oramlar ekanğnn aksyomlarına göre ( C N θ ) olarak belrlenmşr. Bu durumda gerlme poansyeln ( ) = Σ[ C θ ] Σ (3) şeklnde br fonksyon olarak yazablrz. Bünye aksyomlarını kullanarak gerlme poansyelndek argümanların belrlenmes daha öncek çalışmalarımızda kapsamlı br şeklde verldğ çn burada fazla deaya grlmemşr. Bu fonksyonun zamana göre maddesel ürevn alırsak Σ = C C fadesn elde ederz. θ θ (40) (40) fades (3) eşszlğnde yerne yazılır orak ermlern paranezler alınırsa aşağıdak eşszlğe ulaşırız. Σ C ( ) C Σ ( Π ) ρ ( η ) θ Q θ ρ θ θ (4) (4) eşszlğnn keyf her bağımsız ermodnamk prosese sağlanablmes çn gerlme poansyelnn argümanları çnde bulunmayan C θ ve θ ermlern kasayılarının sıfıra eş olması gerekr. Σ nın argümanları çersnde yer aldığından bu eşszlkek nn kasayısı sıfıra eşlenemez (5 0). nn kasayısına gernme-enerjs yoğunluğunun değşm hızı olarak adlandırılan ve Y le anımlanan br aama yapılırsa Y (4) yazılablr. Ayrıca pozf br büyüklükle uğraşmak çn; Y N Y anımlaması kullanılarak gernme enerjs yoğunluğunun değşm hızı aşağıdak gb fade edleblr. Y (43) 470

7 lask Delekrk alzemelern Sürekl Oram asar ekanğ (4) eşszlğndek C θ ve θ nın kasayıları sıfıra eşlenerek aşağıdak fadeler elde edlr: C = 0 Π = η = Q = 0 (44) ρ0 θ Y 0 Y 0 Y 0 Yukarıda verlen (44) fadelernde başlangıça belrğmz gb oramda ısı lemnn olmadığı ve serbes enerj yoğunluğunun da hasarın maddesel değşm hızına bağlı olmadığı görülmekedr. Açısal momenum balansının ve elekrosak kaynaklı kuvve-çfnn br sonucu olarak gerlme ansörü asmerk br karakerle oraya çıkmışı (5). Asmerk formda oraya çıkan oplam gerlmenn maddesel koordnalardak fades sürekl oramlar mekanğnn run hesaplamaları le aşağıdak gb bulunmuşur: = = Π Π n Q n C Q (45) Burada C = m N n ola şekl değşrme ansörü olarak blnr. Dğer arafan serbes enerj yoğunluğunun bağlı olduğu argümanlar ve ç enerj aşağıdak gb yazılablr. [ C θ ] Σ = Σ (46) ε = ( Σ ρ0 θη ) ρ = ρ0 (47) ( Σ θ ) ρ θ 0 (44) fadesn (34) fadesne göürürsek smerk gerlme ansörü çn ρ m n = xn (4) ρ 0 xm fades elde edlr. Oram sıkışmaz olduğu akdrde J = de C= veya III = şarı sağlanmalıdır [3]. Buna göre (4) denklemnde Σ yerne kendsne eşdeğer olan ve faka sözü edlen kısılamayı çeren aşağıdak fonksyon alınablr. Σ ( )( J ) p x (4) Burada p br agrange çarpanıdır. Bu fadedek fonksyonun x l ye göre ürev alınıp (4) denklemnde yerne yazılırsa m n = p m n x m xn N C (50) elde edlr. Bu fadenn maddesel koordnalardak formu se = p C (5) C Olur [3]. Gernme enerjs yoğunluğu değşm hızı blndğ gb daha önce Y şeklnde anımlanmışı. Bu fadede Σ nın deformasyon gradyanına göre ürev yer almadığı çn agrange çarpanı sıfır olur. Bu durumda elde ememz gereken bünye denklemler yapılan kabullere bağlı olarak Π ve Y dr ve bunların serbes enerj fonksyonu Σ ya bağlı olduğu (43) ve (44) denklemlernden açıkça gözükmekedr. O halde yapılacak lk ş Σ nın açık formunu oraya koymak olacakır. asarlı lask Delekrk Oramlar İçn Bünye Denklemler Bu çalışmada mekank yüklemeye maruz mkro-boşluklu delekrk br oramın zorop olduğu kabul edlmşr. Bu durumda Σ ya a argümanların somu olarak belrlenmes çn nvaryanlar eorsne a sonuçlar kullanılmışır. Oramın anzorops sadece mkro-boşluklardan kaynaklanmakadır. Bu yaklaşıma göre Σ gerlme poansyelnn formu maddesel koordna ssemnn fulorogonal ransformasyon grubu alında nvaryan kalmalıdır [33]. aemaksel olarak fade edlecek olursa Σ aşağıdak kısılamayı sağlamalıdır: ( C θ ) = Σ ( C θ ) Σ (5) Burada maddesel koordna ssemlernn ful orogonal ransformasyonlarını göserdğnden orogonal br mars olup = şarını sağlamakadır. İnvaryanlar eorsne göre bu argümanların skaler br fonksyonu olan Σ nın bu argümanlara müşerek nvaryanları vasıası le bağlı olması gerekr. Bu durumda C smerk marsler le vekörünün brbrnden bağımsız 6 ade müşerek nvaryanları aşağıdak gb belrlenmşr: I = C N N I = C N C N I 3 = CN C C N I 4 = N N 5 I 6 = N N I 7 = N N N CN I = N CN C I 0 = N N N N I = N CN 3 I 4 = CN C N I 5 = CN N I = N I = I = I =C N I 6 =CN C N (53) hasar ansörü A vekörünün kend kends le ansörel çarpımı (7) olarak seçldğnden I = I4 I0 I5 = I 4 I3 ve I6 = I 4 I4 yazılableceğ görülmekedr. Bu sebepen I I5 ve I 6 nvaryanlar lsesnden çıkarılablr. İnvaryanların kendsn oluşuran brmlern smerk br fonksyonu olması gereğne dayanarak yukarıda hasar ansörü çn yapığımız bu kabul eornn genel ssemağn bozmaz. Bu durumda serbes enerj fonksyonumuz yukarıda verlen argümanların fonksyonu olarak aşağıdak şeklde yazılablr: 47

8 .. USA ( I I I... I ) Σ =Σ 3 4 (54) İknc dereceden br ansör olan Green deformasyon ansörünün asal nvaryanlarının I = I II = ( I I ) (55) 3 III = ( I 3 I I I3 ) 3! şeklnde olduğu dkkae alınarak (53) fadesndek (I I I 3 ) nvaryanları yerne (55) fadeler le verlen asal nvaryanlar kullanılablr. Oram sıkışmaz kabul edldğnden III= olur. Bu durumda Σ nın bağlı olduğu nvaryanlar (53) ve (55) fadeler yardımıyla aşağıdak gb verleblr. ( I II I I I... I I I I ) Σ = Σ (56) Oram sıkışmaz olduğundan gerlmenn polarzasyonun ve gernme enerjs yoğunluğu değşm hızının bünye denklemlern ((5) (44) 3 ve (43)) aşağıdak gb br arada yazmak şlemler akp emey kolaylaşıracakır. = p C (57) C Π = (5) Y = (5) (57) (5) fadelerndek kısm ürevler (56) fadesn dkkae alarak aşağıdak gb yazılablr. = C C C I I C C 3 3 C 4 C C 4 4 (60) Π Y = pc 4 [ ( ) ( C C ) ( ) ( C C ) I ( ) ( ) ( C C ) ] Q Q Q 3 Q Q [ ( C ) = 7 (64) = 4 ( 0 3 Q ( C C ) ( ) ( C C ) ] 0 ( ) ( ) 3 ( ) ( C ) ( C ) ( C C ) 5 Q ) 4 Q 6 Q Q (63) (65) (63) (64) ve (65) denklemlernn mars formdak fadeler de aşağıdak gb yazılablr. = pc [ I ( r CI C) ( ) ( C C) ( ) ( C C) 3 I 4 (66) = (6) Π = [ C C 0 7 ( C C) ] (67) = (6) (53) ve (55) fadeler le verlen nvaryanların sırasıyla C ve ya göre ürevler (60) (6) ve (6) denklemlernde yerne yazılır ve elde edlen fadeler (57) (5) ve (5) denklemlerne aşınırsa; mekank br yüklemeye maruz mkro-boşluklu ve sıkışmaz olarak kabul edlen elask br delekrk oramdak smerk gerlme polarzasyon ve gernme-enerjs-yoğunluğu değşm hızına a nonlneer bünye denklemler aşağıdak gb elde edlmş olur. Y = I ( C ) ( C) ( C ) 3 4 (6) (63) denklemnde gözüken agrange çarpanı p hdrosak basınç olarak blnr ve alan denklemler ve sınır şarları le belrleneblr. (66) (67) ve (6) denklemlernn daha somu şekln elde emek çn bu denklemlerdek Σ nın nvaryanlarına göre ürevlernn değerlendrlmes gerekr. Σ nın bağlı olduğu navryanlar daha önce (56) fades le verlmş ancak bu nvaryanlara nasıl bağlı olduğu henüz belrlenmemşr. Değşk malzemelerde bu bağımlılık farklı şekllerdedr (örneğn oney-vln malzemeler). Σ bu nvaryanların analk br fonksyonu se lk akla gelen yaklaşım bu fonksyonun br kuvve sers le emsl edlebleceğdr. Bu kuvve sersnn kaçıncı merebeden olacağı ve kaç ermnn alınacağı yan Σ nın kaçıncı merebeden br polnomla emsl edleceğ deformasyon 47

9 lask Delekrk alzemelern Sürekl Oram asar ekanğ büyüklüklernn olaydak ekleşm paylarına kısacası nonlneerlk merebelerne bağlıdır [3-33]. Dğer arafan ç enerj pozf anımlı olduğundan bu polnomun pozf anımlı olması gerekr. Ayrıca nvaryanların sırasının Σ yı eklememes çn bu polnomun smerk kasayılı olması yan kuadrak br form şeklnde olması gerekr. Serbes enerj yoğunluğu fonksyonu çn mevcu nvaryanlar cnsnden br polnom seçlmes durumunda aşağıdak fade yazılablr. a I I a = a (6) Σ = j j j j j ( j = ) Bu fadedek a j kasayılarının heps parçacığına ve oramın θ sıcaklığına bağlıdır. (66) (67) ve (6) fadelernde yer alan Σ nın nvaryanlara göre ürevler (6) polnom açılımından faydalanarak bulunablr. Bu ürevlern alınışı üm deayları le daha öncek çalışmalarda yer aldığından burada verlmemşr [5 0]. (6) fadesnn hva eğ nvaryanlara göre Σ nın kısm ürevler alınarak (63) (64) ve (65) denklemnde yerne yazıldıkan sonra deformasyon ansörü C nn brnc dereceden elekrk alan vekörü ve hasar ansörü ın knc dereceye kadar olan ermler dkkae alınırsa = p C [ a C a4 a5 a7 ac a0 a C a 3 C q a 4 C a5 C a7 C a0 C a 4 C a 5 C a 7 C a 0 C a C Q a 3 C Q a C Q N N a 3 C Q N N a 3 C C (70) a 3 3 ] Π = 4 a7 CN N 4a7 3 CN N 4 C a C (7) a0 N N Y = a4 C a44 a45 N N a47 a4 C a4 0 a4 C a43 C 4a5 C 4a57 4a5 C 4 a50 4a5 C 4 a 5 3 C 6 a 6 C N N Q 6 a6 7 N N Q 6 a6 C Q a0 C Q a0 3 C Q (7) denklemler bulunur. Yukarıda verlen (70) (7) ve (7) denklemndek kasayıları aşağıdak gb anımlayacak olursak N N 4a 4a4 3 4a5 4 4a7 5 4a 6 4a 0 7 4a 4a 3 4a 4 0 4a5 4a 7 4a 0 3 4a 3 4 4a 3 5 4a 33 β 4a 7 β 4a 7 3 β 3 4a 0 β 4 4a 03 λ a 4 4 λ a 4 5 λ 3 a 4 7 λ 4 a 4 λ 5 a 40 λ 6 a 4 λ 7 a 4 3 λ 4 a 5 7 λ 4 a 5 λ 0 4a 50 λ 4a 5 λ 4a 5 3 λ 3 6a 6 λ 4 6a6 7 λ 5 6a 6 (73) Smerk gerlme ansörü polarzasyon ve gernme enerjs yoğunluğunun değşm hızına a bünye denklemler maddesel koordnalarda aşağıdak gb fade edleblr: = pc C C a0 a C C q C 0 C C C C 0 C C C 5 C Q 3 C Q 7 C Q N N 4 C Q N N C 5 C ] (74) Π = β CN N β CN N β C (75) 3 CN N β4 N N Y = C λ λ N N λ 3 λ4 C λ5 λ 6 C λ C 7 3 C λ λ C λ 0 λ C λ C λ 3 C N N Q λ 4 N N Q λ5 C Q 6 C Q β4 C Q (76) (45) denklem dkkae alındığı zaman asmerk oplam gerlme ansörü de aşağıdak gb fade edleblr. = pc C C a0 a C C q C 0 C C C C 0 C C C 5 C Q 3 C Q 7 C Q N N 4 C Q N N C 5 C ] [ β C 3 CN N β N N N N β4 CN N ] C Q β C (77) 473

10 .. USA Sonuçlar ekank br yüklemeye maruz mkro-boşluklu elask br delekrk oramın nonlneer davranışı modern sürekl oramlar mekanğ kapsamında ele alınmışır. aemaksel model oluşurulurken ermodnamğn brnc yasası ve knc yasası (Clausus-Duhem eşszlğ) bünye aksyomlarından özellkle objekve ve maddesel smer aksyomları le malzemenn smer grubuna lşkn kavramlar bünye fonksyonelnn bulunması ve argümanlarının somu br şeklde ayn edlmes çn nvaryanlar eorsne a bulgular kullanılmışır. Bünye fonksyonelnn argümanları Green deformasyon ansörü hasar ansörü ve elekrk alan vekörü olarak belrlenmşr. Bağımsız bünye değşkenler arasında deformasyon ansörünün yer alması gernme abanlı br yaklaşımın esas alındığını gösermekedr. Bu bünye fonksyonel vasıası le malzemede oraya çıkan gerlme polarzasyon ve gernme-enerjs yoğunluğunun değşm hızına a bünye denklemler maddesel koordnalardak bleşenler cnsnden elde edlmşr. İncelenen malzeme esas yapısı barı le zorop olup mkroboşlukların varlığı nedenyle yan hasardan dolayı anzorop br form kazanmışır. Bu nedenle mars malzeme zorop alınarak smerk gerlme polarzasyon ve gernme-enerjs yoğunluğunun değşm hızına a bünye denklemler nvaryanlar eorsne a bulgular kullanılarak (66) (67) ve (6) denklemler le nonlneer br formda oraya konmuşur. Bu bünye denklemlernn daha somu br şeklde elde edlmes çn Σ nın bağlı olduğu nvaryanlarına göre ürevlernn blnmes gerekmekedr. Bu nedenle gerlme poansyel Σ knc dereceden br polnomla emsl edlerek nvaryanlarına göre ürevler hesaplanmışır. Nonlneer davranışın derecesn esp emek açısından deformasyon ansörü C nn brnc dereceden hasar ansörü ve elekrk alan vekörü nn knc dereceye kadar olan ekler dkkae alınmışır. C nn brnc dereceden eklernn dkkae alınma sebeb seramk malzemelerde oraya çıkan deformasyonların nfnesmal olmasıdır. İnfnesmal br deformasyonun kares hmal edleblr br ek olarak düşünülmüşür. Böyle br kabul hperelask veya vskoelask malzemeler çn geçerl değldr. Bu durumda smerk gerlmenn polarzasyonun ve gernme enerjs-yoğunluğu değşm hızının bünye denklemler maddesel koordnalardak bleşenler cnsnden (74) (75) ve (76) denklemler le verlmşr. Son olarak (45) fades dkkae alındığında asmerk br formda oraya çıkan oplam gerlme (77) denklem le fade edlmşr. Bu bünye denklemler uygun lneerleşrme şlemler le daha bas formlara da dönüşürüleblr. Yukarıda elde eğmz (74)-(77) bünye denklemler üzernde yorumlanması gereken özellkler vardır. Smerk gerlme bünye denklem (74) de yer alan ermlere bakığımızda; lk erm sıkışmazlık kabulünden kaynaklanmakadır. İknc erm deformasyon ansörünün lneer eksnden üçüncü erm hasar ansörünün lneer eksnden 4. erm hasar ansörünün nonlneer eksnden kaynaklanmakadır. 5. erm elekrk alanının karesn çermeke olup bu ek elekrosrksyon adını alır. lekrosrksyon karesel(knc merebeden) br ek olduğundan elekrk alanının yönüne bağlı değldr. neer ekleşmler dkkae alındığında bu ek gözlenmez. lekrk alan şddenn çok küçük olduğu durumlarda se hmal edleblr. 6. erm ve ondan sonrak ermler kapıl (brleşk) ekleşmler gösermekedr. 6 6 ve. ermler elekrk alanının nonlneer deformasyon ansörünün lneer ekleşmlernden 7. erm elekrk alanının nonlneer hasar ansörünün lneer ekleşmlernden 3 7 ve 0. ermler elekrk alanının nonlneer hasar ve deformasyon ansörünün se lneer ekleşmnden kaynaklanmaka olup üçlü ekleşmler fade eder. 04 ve. ermler deformasyon ve hasar ansörlernn lneer ekleşmnden 3 ve 5. ermler se deformasyon ansörünün lneer hasar ansörünün se nonlneer ekleşmlernden kaynaklanan ermlerdr.. erm hasar ansörünün ve elekrk alan vekörünün nonlneer deformasyon ansörünün lneer ekleşmlernden kaynaklanan br erm olup üçlü ekleşmlere lgnç br örnekr. olarzasyon denklemne (75) bakığımız zaman se büün ermlerde elekrk alan vekörü brnc dereceden yer almaka olup elekrosrksyon eknn polarzasyona kakısı gözükmemekedr. Brnc erm deformasyon ansörü ve elekrk alan vekörünün lneer ekleşmnden knc ve üçüncü erm üçlü ekleşmlerden olup deformasyon ve hasar ansörü le elekrk alan vekörünün lneer ekleşmnden son erm se hasar ansörünün nonlneer deformasyon ansörünün lneer elekrk alan vekörünün lneer ekleşmnden kaynaklanmakadır. Gernme enerjs-yoğunluğu değşm hızının bünye denklem (76) da lk erm deformasyon ansörünün lneer eksnden knc erm hasar ansörünün lneer eksnden üçüncü erm se hasar ansörünün nonlneer eksnden kaynaklanmakadır. 4. erm elekrosrksyonun kakısını gösermekedr. 5 ve. ermler elekrk alanının nonlneer deformasyon ansörünün lneer ekleşmnden 6 ve 0. ermler elekrk alanının nonlneer hasar ansörünün lneer ekleşmlernden 7 ve. ermler elekrk alan vekörünün lneer hasar ve deformasyon ansörlernn lneer ekleşmlernden kaynaklanan ermler fade eder. ve. ermler hasar ve deformasyon ansörlernn lneer ekleşmlern ve 6. ermler elekrk alan vekörü ve hasar ansörünün nonlneer ekleşmlern 4 ve 5. ermler deformasyon ansörünün lneer hasar ansörünün nonlneer ekleşmlern göserr. 3. erm elekrk alan vekörünün ve deformasyon ansörünün lneer hasar ansörünün nonlneer ekleşmn ve 7. erm se deformasyon ansörünün lneer elekrk alan vekörü ve hasar ansörünün nonlneer ekleşmn emsl emekedr. Benzer mülahazalar oplam gerlme ansörü (77) çn de yapılablr. Bünye denklemlernde oraya çıkan kasayıların belrlenmes gelşrlen analk modellern doğruluğunun onaylanması ve eksklklern gderlmes çn kapsamlı deneysel çalışmalara hyaç vardır. Doğruluğu onaylanmış deneysel paramereler elde edldken sonra sonlu elemanlar gb sayısal yönemler yardımıyla bu konu daha deaylı olarak nceleneblr. 474

11 lask Delekrk alzemelern Sürekl Oram asar ekanğ Kaynaklar []. Kachanov.. 6. Inroducon o Connuum Damage echancs arnus Njhof ublshers Boson 35 p. []. emare J. 6. A Course on damage echancs Sprnger-Verlag Berln p. [3]. Krajcnovc D Damage echancs Norh holland Seres n Appled ahemacs and echancs Volume 4 Amserdam lsever 760 p. [4]. Woo C.W. D.. 3. A Unversal hyscally Conssen Defnon of aeral Damage Inernaonal Journal of Sold and Srucures [5]. Korkmaz. 00. Sürekl Oram asar ekanğ Yardımıyla ekank Davranışın Belrlenmes Yüksek sans ez Süleyman Demrel Ünverses Fen Blmler nsüsü Ispara 0 s. [6]. Krajcnovc D.. Selecon of Damage arameer Ar or Scence? echancs of aerals 65. [7]. Ibjola.A. 00. On Some Fundamenal Conceps of connuum Damage echancs Compuer ehods n Appled echancs and ngneerng []. akarov.v. Schmauder S. CherepanovO.I. Smoln I.Y. omanova V.A. Balokhonov.. Saraev D.Y. Sopa. Kzler. Fscher G. u S. udwg. 00. Smulaon of lasc-lasc Deformaon and Fracure of aerals a co- eso- and acrolevels. heorecal and Appled Fracure echancs []. Bors. 00. Fracure n Quas-brle aerals: A evew of Connuum Damage- Based Approachs. ngneerng Fracure echancs [0]. Chow c.. Wang J.. A Fne lemen Analyss of Connuum Damage echancs for Ducle Fracure. Inernaonal Journal of Fracure []. Onaran K.. alzeme Blm İÜ İnşaa Faküles abaası İsanbul 3 s. []. Yüksel alzeme Blgsne Grş (alzeme emel Blgler) OB akne ühendsler Odası Y.No: 45 Denzl 66 s. [3]. Bassouny Damage echancs n ferroelecrc Ceramcs-odel and Applcaon Journal of Appled Scences [4]. Bassouny. Ghaleb A.F. augn G.A.. hermodynamcal Formulaon for Coupled lecromechancal yseress ffecs-i. Basc quaons In. J. ngng. Sc [5]. Bassouny. Ghaleb A.F. augn G.A.. hermodynamcal Formulaon for Coupled lecromechancal yseress ffecs- II. olng of Ceramcs In. J. ngng. Sc [6]. Bassouny. augn G.A.. hermodynamcal Formulaon for Coupled lecromechancal yseress ffecs-iii. arameer Idenfcaon In. J. ngng. Sc [7]. Bassouny. Ghaleb A.F. augn G.A.. hermodynamcal Formulaon for Coupled lecromechancal yseress ffecs-iv. Combned lecromechancal oadng In. J. ngng. Sc []. Usal.. 4. Fber akvyel lask Delekrk Oramların lekro-ermomekank Davranışlarına A aemaksel Br odel Dokora ez rcyes Ünverses Fen Blmler nsüsü Kayser 0 s. []. Usal. 00. Byolojk Br Konsrüksyon lemanı İçn aemaksel odelleme Dokora ez Süleyman Demrel Ünverses Fen Blmler nsüsü Ispara 3 s. [0]. Usal.. Korkmaz. Usal asarlı lask Oramlar İçn Bünye Denklemler S.D.Ü. Fen Blmler nsüsü Dergs []. Chaboche J... Connuous Damage echancs A ool o Descrbe henomena before Crack Inaon Nuclear ngnerng and Desgn []. Chaboche J.. 7. Connuum Damage echancs: resen Sae and Fuure rends Nuclear ngnerng and Desgn [3]. Chaboche J... Connuum Damage echancs: ar I-General Conceps Journal of Appled echancs [4]. emare J. 5. A Connuous Damage echancs odel for Ducle Fracure J. ngrg. aer. ech. rans AS [5]. Smo J.C. Ju J.W. 7. Sran and Sres-Based Connuum Damage odels-i Formulaon In. J. Solds sruc [6]. Wesman Y.. Damage Coupled Wh ea conducon n Unaxally enforced Composes Journal of Appled echancs [7]. Wesman Y.. A Connuum Damage odel for Vscoelasc aerals. Journal of Appled echancs []. rngen A.C. augn G.A. 0. lecrodynamcs of Connua vol.i. Foundaons and Sold eda Norh olland 436 p. []. rngen A.C. augn G.A. 0. lecrodynamcs of Connua vol.ii. Fluds and Complex eda Norh olland 7 p. [30]. arkus. 7. lecromagnec Ineracons n lasc Solds Sprnger-Verlag Wen-New York. [3]. rdem A.Ü. Usal.. Usal Keyf Fber akvyel Vskoelask ezoelekrk Br Csmn lekro-ermomekank Davranışı çn aemaksel Br odel Gaz Ünv. üh. m. Fak. Der [3]. rdem A.Ü. Usal. Usal İzoropk ars alzemes Olan Fber akvyel Delekrk Vskoelask Oramların lekro-ermomekank Davranışı çn aemaksel Br odel Gaz Ünv. üh. m. Fak. Der [33]. Spencer A.J.. 7. heory of Invarans In Connuum hyscs Vol.I. (d. A.C. rngen) Academc res N.Y. and ondon 353 p. 475