DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -III- Çok değişkenli doğrusal olmayan karar modelinin çözümü

Transkript

1 DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -III- Çok değşkenl doğrusal olmayan karar modelnn çözümü Hazırlayan Doç. Dr. Nl ARAS Anadolu Ünverstes, Endüstr Mühendslğ Bölümü İST8 Yöneylem Araştırması Ders - Öğretm Yılı

2 ÇOK DEĞİŞKENLİ KISITSIZ DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERİN ÇÖZÜMÜ Eny (ENB/ENK f (,,..., n

3 ADIM (Yerel eny çn gerekl koşul f(x n brnc mertebeden türevler alınarak, f(x denklem sstemnn kökler araştırılır.(x(,,, n. Bu denklem sstemnn kökler yok se durulur. Modeln çözümü (hçbr yerel enbüyük veya yerel enküçük nokta yoktur... Bu denklem sstemnn kökler analtk olarak bulunamıyorsa yne durulur. Analtk çözüm mümkün olmadığından, sayısal çözüm teknklerne başvurulacak demektr. Bu denklem sstemnn kökler bulunmuş se, knc adıma geçlr.

4 ADIM (Yerel eny çn yeterl koşul f(x sstemn çözen her X ( çn, Hessan matrs oluşturularak, bu matrsn asal mnörler araştırılır.. H f (X ( poztf belrl se, X ( de yerel enküçük vardır... H f (X ( negatf belrl se, X ( de yerel enbüyük vardır. ( veya ( sözkonusu değlse, lgl noktada yerel özel br değer yok demektr. f(x sstemn çözen tüm X ( ler çn bu şlemler yapıldıktan sonra, üçüncü adıma geçlr.

5 ADIM (Bütünsel enylk araştırması f(x n dışbükey veya çbükey olup olmadığı araştırılır.. f(x dışbükey br fonksyon se, yerel enküçük olan noktada fonksyon bütünsel enküçük değere erşyor demektr. Yan modeln ENK f(x çn çözümü vardır... f(x çbükey br fonksyon se, yerel enbüyük olan nokta verlen modeln ENB f(x çn çözümü olup, f(x lgl noktada bütünsel enbüyük değern alıyor demektr. f(x, R n üzernde dışbükey veya çbükey değl se, bütünsel eny sözkonusu değldr. 5

6 A, B ve C noktalarının üçünde de brnc türev sıfır olmakla beraber, A noktasınde yerel enbüyük, B noktasında yerel enküçük vardır. C noktası se dönüm noktasıdır. 6

7 Fonksyon ne çbükey ne dışbükey C dönüm noktası Fonksyon çbükey A enbüyük nokta 7

8 8 ÖRNEK -: (Kara, 9.sh. f(,, - - -(/8 (I YEREL ENİYİ İÇİN GEREKLİ KOŞUL f(x sstemnn kökler? f f f f( f f f ( ( (

9 9 ( den ( de yerne koyalım. 5 5 (...( (...(5 ( de yerne koyalım.

10 SONUÇ: ( ve (5 çelşyor. Bu denklem sstemnn kökler yok. f(x sstemnn çözümü olmadığından, f( fonksyonunun YEREL ÖZEL NOKTASI (DOLAYISIYLA BÜTÜNSEL ENİYİ NOKTASI olmadığına karar verlr.

11 ÖRNEK -: (Wnston, 658.sh. f(, - (I YEREL ENİYİ İÇİN GEREKLİ KOŞUL f(x sstemnn kökler? f ( f ( Denklemlern çözümü çn seçenek var: ya da ( - ya da ( -

12 Denklemlern çözümü çn seçenek var: ya da ( - ya da ( -. ve à X (,. ve ( - à X (,. ( - ve à X (, X (,-. ( - ve ( - à X 5 5, 5 X 6 5, 5 GEREKLİ KOŞULU SAĞLAYAN 6 ÖZEL NOKTA VAR!

13 (II YEREL ENİYİ İÇİN YETERLİ KOŞUL H(, ( ( 6

14 Hf ( ( 6 ( X (, H (, H H X noktasında Hessan matrs belrsz. Bu noktada yerel eny yoktur. DÖNÜM NOKTASI OLABİLİR. ( X (, H (, H H X noktasında Hessan matrs belrsz. Bu noktada yerel eny yoktur. DÖNÜM NOKTASI OLABİLİR.

15 Hf ( ( 6 ( X (, H (, H H X noktasında Hessan matrs belrsz. Bu noktada yerel eny yoktur. DÖNÜM NOKTASI OLABİLİR. ( X (,- H (, H H X noktasında Hessan matrs belrsz. Bu noktada yerel eny yoktur. DÖNÜM NOKTASI OLABİLİR. 5

16 6 6 ( ( Hf (5 5 H 5 H , 5 H ( X 5 noktasında Hessan matrs POZİTİF BELİRLİ. Bu noktada YEREL ENKÜÇÜK VARDIR. 5, 5 X 5

17 7 6 ( ( Hf (6 5 H 5 H , 5 H ( X 6 noktasında Hessan matrs NEGATİF BELİRLİ. Bu noktada YEREL ENBÜYÜK VARDIR. 5, 5 X 6

18 SONUÇ Hessan matrsnn her (, çn poztf belrl/yarı belrl veya negatf belrl/yarı belrl olduğunu söyleyemeyz. f(x, R üzernde ne dışbükey ne çbükey br fonksyondur. Br yerel enb. ve br yerel enk. nokta vardır. 8

19 ÖRNEK- r : sermayenn marjnal ürün malyet w : şgücünün marjnal ürün malyet P : brm satış fyatı Q : Üretm mktarı K : Sermaye mktarı L : İşgücü mktarı 9

20 . GEREKLİ KOŞUL

21 . YETERLİ KOŞUL Hf, negatf belrl YEREL ENB. VAR

22 . BÜTÜNSEL ENİYİLİK SINAMASI Yerel eny olması muhtemel tek nokta bulunduğundan ve fonksyonun Hessan matrs negatf belrl çıktığından, fonksyonun çbükey br fonksyon olduğu ve (K5.,L8 noktasının da fonksyonu enbüyükleyen nokta (bütünsel enbüyük olduğu söyleneblr.

23 ÇOK DEĞİŞKENLİ KISITLARI EŞİTLİK HALİNDE OLAN DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLER g (X, X,..., X n b ;,,..., m kısıtları altında Eny (Enb/Enk f(x, X,..., X

24 Kısıtlar eştlk halnde se, bulunan çözüm ENİYİ çözümdür. Yerel eny/ bütünsel eny kavramına gerek yoktur. Verlen model önce kısıtsız hale getrlr. Daha sonra da blnen teknklerle ndrgenmş model çözülür. ANALİTİK ÇÖZÜM çn yaklaşım: Yerne koyma yöntem Lagrange çarpanları

25 I. YERİNE KOYMA YÖNTEMİ ÖRNEK: (Kara I., 8.sh. k.a. ENBf (X 5

26 6 (X ENBf k.a. ( (, h(,,, f(,,, f(

27 , h ( I. YEREL ENİYİ İÇİN GEREKLİ KOŞUL h ( h ÖZEL NOKTA X, X, 7

28 8 II. YEREL ENİYİ İÇİN YETERLİ KOŞUL 6, H( 8 H H, H < > 8 H H, H > < Hessan matrs belrsz. Bu noktada yerel eny yoktur. DÖNÜM NOKTASI OLABİLİR. Hessan matrs NEGATİF BELİRLİ. Bu noktada YEREL ENBÜYÜK VARDIR.

29 9 SONUÇ: 9 8, 9 8,, X 5 7 (X f

30 II. LAGRANGE ÇARPANLARI İLE ÇÖZÜM g (X, X,..., X n b ;,,..., m kısıtları altında Eny (Enb/Enk f(x, X,..., X Her. kısıta br çarpanı karşı gelsn.

31 Lagrange fonksyonu L(X, L(,,..., n,,,..., n m L(X, f(x [ b g (X ] X(,,..., n : Karar değşkenler vektörü (,,..., m : Her br kısıta karşı gelen lagrange çarpanlarının oluşturduğu vektör

32 L(X, yı ENB/ENK yapan (X*, * noktasını arıyoruz. I. GEREKLİ KOŞULLAR m L(X, f(x [ b g (X ] L j, j,,..., n L,,,..., m

33 L(X, f(x m [ b g (X ] L L j f(x b j g m (X, g (X j,,..., m j,,..., n

34 II. YETERLİ KOŞULLAR A KISITLAR DOĞRUSAL FONKSİYON İSE Eğer tüm kısıtlar doğrusal fonksyon se, fonksyonun çbükey/dışbükey olup olmadığı belrlenerek ENB/ENK nokta bulunur. Hessan matrs poztf belrl/yarı belrl se f(x dışbükey; negatf belrl/yarı belrl se f(xçbükeydr.

35 TEOREM f(x br ENBÜYÜKLEME PROBLEMİ olsun. Eğer her g(x doğrusal br fonksyon ve f(x çbükey br fonksyonsa, L j L denklemn sağlayan X* noktası ENBÜYÜK noktadır. f(x br ENKÜÇÜKLEME PROBLEMİ olsun. Eğer her g(x doğrusal br fonksyon ve f(x dışbükey br fonksyonsa, L j L denklemn sağlayan X* noktası ENKÜÇÜK noktadır. 5

36 B HER KISIT DOĞRUSAL DEĞİLSE Sınırlandırılmış Hessan matrs bulunur H(c H(c yapan kökler araştırılır. H(c nn köklernden hareketle ENB/ENK nokta olup olmadığı belrlenr. Tüm kökler > à ENKÜÇÜK değer Tüm kökler < à ENBÜYÜK değer vardır. 6

37 7 G'(X G(X c F H(c j Ι n n j j, f(x F m n n (X g G(X

38 Lagrange çarpanlarının ekonomk anlamı Lagrange çarpanları kaynakların marjnal katkılarını yan gölge fyatlarını vermektedr. z b Eğer. kısıtın sağ taraf sabt b kadar arttırılırsa, eny z-değer yaklaşık olarak m kadar artacaktır. ( Δ b 8

39 . kısıtın STS n brm arttırmakla, elde edlecek eny çözümde, amaç fonksyonu değer öncek değernden kadar daha büyük olacaktır. Ya da,. kısıtın STS n brm azaltmakla, elde edlecek eny çözümde, amaç fonksyonu değer öncek değernden kadar daha küçük olacaktır. AMAÇ, enbüyükleme se, karar verc lgl STS n brm arttırmak çn en fazla kadar para harcamayı göze alablecektr. AMAÇ, enküçükleme se, karar verc lgl STS n brm azaltmak çn en fazla kadar para harcamayı göze alablecektr. 9

40 ÖRNEK: Wnston, 667. sh. y 8 y y ENBz k.a. y y] g(, [b y f(, y, L(, (X, L y] [ y 8 y y y, L(,

41 I. GEREKLİ KOŞUL y] [ y 8 y y y, L(, L y L L y L y y L 8 y L 8 y y

42 y 8 (y 8 y 7 y ( y 7 7 * 69 8 y * 7 8

43 II. YETERLİ KOŞUL Kısıt doğrusal. Fonksyonun dışbükey/çbükeylğ araştırılır. H(, y H H H(,y negatf belrl à Fonksyon İÇBÜKEY. Teoreme göre, kısıt doğrusal ve fonksyon çbükey olduğundan bulunan nokta ENBÜYÜK noktadır. 7 < >

44 Yeterl koşulun sağlanıp sağlanmadığını H(c nn köklern araştırarak da test edeblrz. II. YETERLİ KOŞUL (.yol, f(x F j j (X g G(X n c c G'(X G(X c F H(c j Ι c c< olduğundan bulunan noktada YEREL ENBÜYÜK vardır.

45 Reklama kadar fazladan para ayırmak, frma gelrn yaklaşık olarak.5 kadar arttıracaktır. Kısıt: y STS n brm arttıralım. y olsun. Eny çözümdek z değer öncek değernden.5.5 kadar daha büyük olacaktır. Karar verc, lgl STS n brm arttırmak çn en fazla.5 brm para harcamayı göze alablecektr. 5

46 ÇALIŞMA SORUSU- 6

47 ÇALIŞMA SORUSU- 7

48 ÇALIŞMA SORUSU - n Büyükşehr Beledyes dkdörtgen şeklnde 5. metrekare büyüklüğünde br park yapmak stemektedr. Bu parkın uzun kenarları boyunca metre ve kısa kenarları boyunca 6 metre genşlğnde yayalar çn yol yapılacakcr. Parkın boyutları ne olmalıdır k parkın alanı enbüyük olsun. 8

49 ÇALIŞMA SORUSU - X maknesnde kullanılmak üzere r yarıçaplı br kürenn dışına mnmum hacml br dk kon yerleşfrlecekfr. Küre, konnn tabanına ve yanal yüzeyne teğet olacakcr. Bu dk konnn boyutlarını bulunuz. r r y CEVAP: y r, r 9

50 ÇALIŞMA SORUSU -5 Elektrk mühends Bay Yıldırım serbest olarak çalışmaktadır. YapCğı her şn kendsne malyef C TL dr. YapCğı şlern sayısı le aldığı ücret arasında q5p bağıncsının olduğunu tespt etmşfr (p: ücret, q: ş sayısı. YapCğı şn sayısı le lgl herhang br sınır bulunmadığına göre ş kaça yaparsa maksmum karı elde eder? Bu durumdak ş sayısı nedr? 5

51 ÇALIŞMA SORUSU -6 Temz Kmya Fabrkasında çalışan kmya mühends Bayan İpek, kend buluşu olan İpek marka şampuanları mal etmektedr. Şampuanın beher kutusu çn.5 brm şçlk ve brm hammadde sarfedlmektedr. İşçlğn brm malyef TL, brm malyete uygulanan skonto sebebyle hammaddelern malyet fonksyonu (6q bağıncsı le belrlenmşfr. Burada q hammadde mktarını göstermektedr. ŞrkeFn günlük genel masrafları sabt olup 75 TL dr. ÜreFlen malların pazarlama masra_ se (5q dur. Bu verlere göre ürefm malyef hang ürefm sevyesnde mnmum olur? 5

52 ÇALIŞMA SORUSU -7 Işık KollekFf ŞrkeF, güneş enerjsnden sffade etmek çn adet bakır kollektör mal edecekfr. Yapılan hesaplara göre.5 m olan panolar en uygun kollektör görevn yapablmektedr. Her panonum alt ve üstünde ar cm ve yanlarında 8 er cm su borularının geçmes çn cam yünlü kanallar yapılacakcr. Şrkefe çalışan br mühends, uzun kenarlarını. metre ve kısa kenarlarını.8 metre olarak panoların yapılmasına karar vermşfr. Kollektör alanı argkça elde edlecek sıcak su mktarı da artacakcr ve boyutlar konusunda br sınırlama bulunmamaktadır. 5

53 ÇALIŞMA SORUSU -7 a Eğer mühends, ısı toplayacak bakır yüzeyn maksmum olmasını temn etmş olsaydı ebatlar ne olurdu? b Kaç metrekarelk br alandan sffade edlecekf? c Mühends,. ve.8 metre ebatlarında panoların yapılmasına karar verdğ çn toplam kaç metrekarelk faydalı br alanı sraf etmş olmaktadır? 5

54 DOĞRUSAL OLMAYAN KARAR MODELİNİN GENEL HALİ KUHN-TUCKER KOŞULLARI g (X, X,..., X n b ;,,..., m kısıtları altında Eny (Enb/Enk f(x, X,..., X 5

55 Kısıtlı br doğrusal olmayan programlama model, tüm kısıtlar olacak şeklde yenden düzenlensn. g (X, X kısıtları altında Enb f(x,..., X, X n,..., X b g (X, X kısıtları altında Enb z f(x,..., X n, X,..., X 55

56 Modeln kısıtlarını eştlk halne getrmek çn, her kısıta S aylak değşkenlern ekleyelm. g (X kısıtları altında Enb z f(x g kısıtları Enb (X z S İ altında f(x, her kısıta karşı gelen lagrange çarpanı olmak üzere, modeln Lagrange fonksyonunu yazalım. L(X, f(x m [ b g (X ] L(X,S, f(x m [ g (X S İ ] 56

57 57 ENİYİ NOKTA İÇİN GEREKLİ KOŞULLAR ] S (X g [ f(x L(X,S, m İ m,,...,, S (X g L (X,S, m,,...,, S S L (X,S, n,,..., j (X g f(x L (X,S, İ m j j j

58 . eştlğe bakalım. L (X,S, S S,,,..., m Eny çözümün olduğu noktada; > à S ya da S > à Doğrusal programlamadak aylaklığın tamamlayanı özellğnn benzer! > à S à g (X olarak verlen kısıt eny çözümde g (X olarak gerçekleşr. S > à à g (X olarak verlen kısıt eny çözümde g (X< olarak gerçekleşr. ve S hang değerler alırlarsa alsınlar ENİYİ ÇÖZÜMDE zleyen eştlk gerçekleşmektedr. g (X ü 58

59 Lagrange çarpanlarının ekonomk anlamlarını hatırlayalım. Eny çözümde : z b ENB Z çn b dek brm artışın marjnal katkısı olan nn negatf değer alamayacağı görülür. ü 59

60 knc koşul, aynı zamanda aşağıdak lagrange fonksyonuna eşttr. m f(x ( ΙΙ j g (X j j,,..., n L(X, f(x m g (X 6

61 SONUÇ OLARAK, gerekl koşulları yenden düzenlersek, sağdak bçme dönüştürülmüş g (X modeln ENİYİ ÇÖZÜMÜNDE zleyen koşullar kısıtları sağlanır. Bu koşullara KUHN-TUCKER koşulları (K-T koşulları denr. ENB z f(x altında ( Ι,,,..., m ( ΙΙ f(x j m g (X j j,,..., n ( ΙΙΙ g (X,,,..., m ( ΙV g (X,,,..., m 6

62 Karar modelnn amacı enküçüklemek ve model sağdak bçmde düzenlenmş se, (I nolu koşul zleyen şeklde sağlanmalıdır. g (X kısıtları ENK z altında f(x ( Ι,,,..., m 6

63 Modeln çözümünde, lern alableceğ değerlerden hareketle bu koşulları sağlayan (X, değerler araştırılır. Kuhn-Tucker Koşullarının Önem: Bazı modellern analtk çözümü doğrudan bulunur. Doğrusal olmayan programlama çn gelştrlen brçok sayısal çözümleme teknğnn temeln oluşturur (karel programlama, dışbükey programlama gb. 6

64 ENİYİ NOKTA İÇİN YETERLİ KOŞULLAR TEOREM: f(x, dışbükey kümede tanımlı çbükey br fonksyon se, K-T koşullarını sağlayan nokta bütünsel (kısıtlı enbüyük değern verr. f(x, dışbükey kümede tanımlı dışbükey br fonksyon se, K-T koşullarını sağlayan nokta bütünsel (kısıtlı enküçük değern verr. NOT: Dışbükey kümede tanımlı olması demek, kısıtların hepsnn dışbükey fonksyonlar olması anlamına gelr. 6

65 ÖRNEK-. (Wnston 676. sh.,, 7.5 kısıtları altında : Brnc ürünün malat mktarı (kg : İknc ürünün malat mktarı (kg : Kmyasal maddenn kullanım mktarı (kg Amaç: Karın enbüyüklenmes ENB Z ( (5 5 İlk adımda, model sağdak bçme dönüştürülür. g (X kısıtları altında ENB z f(x 65

66 Z ENB altında kısıtları 7.5

67 Amaç fonksyonu çbükey ve doğrusal fonksyonların toplamıdır. Dolayısıyla amaç fonksyonu İÇBÜKEY BİR FONKSİYONDUR. Kısıtlar doğrusal olduğundan, amaç fonksyonunun tanımlı olduğu küme DIŞBÜKEY BİR KÜMEDİR. Enbüyüklenmek stenen fonksyon dışbükey kümede tanımlı çbükey br fonksyon olduğundan, gerekl koşulları sağlayan çözüm ENİYİ ÇÖZÜM (BÜTÜNSEL ENBÜYÜK olacaktır. 67

68 Z ENB altında kısıtları 7.5 ( ( ( 7.5 ( ( 5 7 (X g f(x L(X, 5 m

69 69 Kuhn-Tucker Koşulları,,,,5, (X g V (,,,,5, (X g (,, j (X g f(x (,,,,5, ( m j j Ι ΙΙΙ ΙΙ Ι 5 7 Z ENB altında kısıtları 7.5

70 7 Kuhn-Tucker Koşulları 7.5 V ( Ι,,,, ( 5 Ι 5 7 ( ΙΙ ( ( ( 7.5 ( ( 5 7 (X g f(x L(X, 5 m ( ( ( 7.5 ( ( ( 5 ΙΙΙ

71 K-T koşullarını sağlayan çözüm ENBÜYÜK KARI VEREN ENİYİ ÇÖZÜMDÜR. Modeln çözümünde, lern alableceğ değerlerden hareketle bu koşulları sağlayan (X, değerler araştırılacaktır. Her lagrange çarpanı çn k durum sözkonusudur. Eny çözümde ; ya olacak ya da > olacaktır. 7

72 Örneğmzde,,, 5 şaret kısıtlarına karşı gelen lagrange çarpanlarıdır. Eny çözümde bu kısıtların kendlğnden karşılanacağını düşünürsek, 5 alablrz. Bu durumda ve nn farklı durumu çn K-T koşullarını sağlayan br çözüm aranacaktır. (I ve olablr. (II ve > olablr. (III > ve olablr. (IV > ve olablr. 7

73 7 (I ve. koşul sağlanıyor.. koşuldak. kısıt sağlanmadığından, bu durum çn eny çözümün gerçekleşmedğn söyleyeblrz. 7.5 V ( ( ( ( 7.5 ( ( ( 5 7 (,,,, ( 5 5 Ι ΙΙΙ ΙΙ Ι

74 (II ve >. koşul sağlanıyor.. koşuldak. kısıtla. koşul çelştğnden, bu durum çn de eny çözümün gerçekleşmedğn söyleyeblrz. (I nolu K-T koşuluna göre, lagrange çarpanları sıfırdan büyük eşt olmak zorunda! ( Ι ( ΙΙ ( ΙΙΙ ( ΙV, 7 5 ( (, 7.5,, 5 ( ( (

75 75 (III > ve Tüm K-T koşulları sağlanıyor. ENİYİ ÇÖZÜM bulundu. 7.5 V ( ( ( ( 7.5 ( 7.5 ( ( (,,,, ( 5 5 Ι ΙΙΙ ΙΙ Ι

76 (IV > ve > Tüm koşulları sağlayan br ENİYİ ÇÖZÜM bulduğumuzdan, bu durum çn K-T koşullarının kısıtlarını test etmeye gerek yoktur. Eğer kısıtları aynı anda sağlayan br çözüm bulmaya çalışırsak, n sıfırdan küçük değer aldığını görürüz k bu da (I nolu K-T koşulu le çelşr. ( Ι ( ΙΙ ( ΙΙΙ ( ΙV, 7 5 ( (, 7.5,, 5 ( ( (

77 SONUÇ:,, 7.5 kısıtları altında ENB Z 7 5 ENBÜYÜK KARI VEREN ÇÖZÜM: 8.5, 8.75 ve 7.5 ENBÜYÜK KAR5.75, Eğer kmyasal maddede r kadar ufak br artış hçbr malyetsz elde edlseyd, kar yaklaşık olarak r kadar artardı. ( Eğer kmyasal maddeden r kadar br mktar daha satın alınırsa, bunun kar üzerne hçbr etks olmayacaktır. ( 77