İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KAFES SİSTEMLERİN OPTİMUM TASARIMI. YÜKSEK LİSANS TEZİ Mak. Müh.

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KAES SİSTEMLERİN OPTİMUM TASARIMI YÜKSEK LİSANS TEZİ Mak. Müh. Cem Celal TUTUM Anablm Dalı : MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ Programı : KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ MAYIS 5

2 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KAES SİSTEMLERİN OPTİMUM TASARIMI YÜKSEK LİSANS TEZİ Mak. Müh. Cem Celal TUTUM (5357) Tezn Ensttüye Verldğ Tarh : 9 Mayıs 5 Tezn Savunulduğu Tarh : Hazran 5 Tez Danışmanı : Dğer Jür Üyeler Doç.Dr. Erol ŞENOCAK Prof.Dr. Süleyman TOLUN Prof.Dr. Can ÖZSOY MAYIS 5

3 ÖNSÖZ Bu tez çalışmasındak yardımlarından dolayı tez danışmanım Sayın Doç. Dr. Erol Şenocak a, TAI de tanıştığım Sayın Mustafa Açıkgöz e, Hüseyn Denl ye ve her zaman bana destek veren aleme ve de özellkle Rak C. Orbay a teşekkür ederm. Mayıs 5 Cem Celal TUTUM

4 İÇİNDEKİLER KISALTMALAR TABLO LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY. GİRİŞ.. Grş ve Çalışmanın Amacı. OPTİMİZASYON PROBLEMİNİN ORMÜLASYONU.. Kısıtlı Optmzasyon Problem... Standart optmzasyon problem... K-T koşulları..3. İknc dereceden yeterlk koşulları..4. Genel mnmum.. SQP Yöntem 3. KAES SİSTEMLER VE ÖRNEKLER 3.. Hperstatk Kafes Sstemlern Çözümü 3.. Kafes Sstemlern Sonlu Elemanlar Yöntem İle Çözümü 3... Sstemn statk ve dnamk davranışının elde edlmes 3... LU ayrıklaştırma yöntem 3.3. Kafes Sstem Optmzasyonunun Matematksel İfades 3.4. Örnekler On elemandan oluşan kafes sstem Yrm beş elemandan oluşan kafes sstem Ell elemandan oluşan kafes sstem Yetmş beş elemandan oluşan kafes sstem Yüz elemandan oluşan kafes sstem Yüz yrm beş elemandan oluşan kafes sstem Yüz ell elemandan oluşan kafes sstem İk yüz elemandan oluşan kafes sstem 3.5. Çözüm Sürelernn Karşılaştırılması 4. SONUÇLAR VE TARTIŞMA 3 KAYNAKLAR 3 ÖZGEÇMİŞ 33 v v v v v

5 KISALTMALAR LP NLP SQP BGS LU : Lnear Programmng : Nonlnear Programmng : Sequental Quadratc Programmng : Broyden-letcher-Goldfarb-Shanno : Lower Upper v

6 TABLO LİSTESİ Sayfa No Tablo 3. : On elemandan oluşan sstemn çözümü... Tablo 3. : Yrm beş elemandan oluşan sstemn çözümü... 4 Tablo 3.3 : Ell elemandan oluşan sstemn çözümü... 5 Tablo 3.4 : Yetmş beş elemandan oluşan sstemn çözümü... 6 Tablo 3.5 : Yüz elemandan oluşan sstemn çözümü.. 8 Tablo 3.6 : Yüz yrm beş elemandan oluşan sstemn çözümü.. 9 Tablo 3.7 : Yüz ell elemandan oluşan sstemn çözümü 3 Tablo 3.8 : İk yüz elemandan oluşan sstemn çözümü... 3 Tablo 3.9 : Çözüm sürelernn karşılaştırılması.. 3 v

7 ŞEKİL LİSTESİ Şekl 3. Şekl 3. Şekl 3.3 Şekl 3.4 Şekl 3.5 Şekl 3.6 Şekl 3.7 Şekl 3.8 Şekl 3.9 Şekl 3. Şekl 3. Şekl 3. Şekl 3.3 : İzostatk Kafes Sstem... : Hperstatk Kafes Sstem... : Düzlem çubuk elemanının lokal ve global koordnatlardak gösterm... : Çubuğun krtk yük altında burkulması... : On elemandan oluşan kafes sstemn başlangıçtak geometrs... : On elemandan oluşan kafes sstemn optmzasyon sonucu... : Yrm beş elemandan oluşan kafes sstemn başlangıçtak geometrs... : Yrm beş elemandan oluşan kafes sstemn optmzasyon sonucu. : Ell elemandan oluşan kafes sstemn başlangıçtak geometrs... : Ell elemandan oluşan kafes sstemn optmzasyon sonucu... : Yetmş beş elemandan oluşan kafes sstemn başlangıçtak geometrs... : Yüz elemandan oluşan kafes sstemn başlangıçtak geometrs... : Yüz elemandan oluşan kafes sstemn optmzasyon sonucu... Sayfa No v

8 SEMBOL LİSTESİ d e E H I L k T u W σ {} { } ε α : Araştırma yönü : Eleman boyundak şekl değşm : Elastste Modülü : Hessan : Çubukların atalet moment : Çubuk boyu : Eksenel katılık : Transformasyon matrs : Düğüm noktalarındak yer değştrme vektörü : Global kuvvet vektörü : Eleman gerlmes : Gernme : Adım mktarı v

9 KAES SİSTEMLERİN OPTİMUM TASARIMI ÖZET Bu çalışmada düzlem kafes sstemlern belrl br yükleme koşulu altında gerlme, yer değştrme, burkulma ve doğal frekans kısıtlarına göre optmum tasarımı ncelenmştr. Ele alınan kafes sstemlerde, düğüm noktalarının yerler değşmemektedr. Tasarım değşken olarak kafes sstem elemanlarının kest alanları kullanılarak boyut optmzasyonu uygulanmıştır. Ayrıca optmzasyon şlem sırasında belrl br mnmum kest alanı değerne ulaşmış elemanlar, kafes sstemn rjtlğne katkısı olmayacağı düşüncesyle atılarak topoloj optmzasyonu da uygulanmıştır. Optmzasyon problemndek amaç kafes sstemn kütlesn mümkün olan en küçük değere çekmektr. Kafes sstemlern statk ve dnamk davranışlarına lşkn blgler sonlu eleman yöntem kullanılarak elde edlmş, optmzasyon çn se SQP (Sequental Quadratc Programmng) yöntem kullanılmıştır. Elde edlen bütün sonuçlar, belrl karşılaştırma problemlernde kullanılan SLP (Sequental Lnear Programmng), SD (ully Stress Desgn), vb. optmzasyon yöntemler kullanılarak elde edlen sonuçlar le kıyaslandıktan sonra kafes sstemdek eleman sayısı artırılmaya çalışılmıştır. Eleman sayısı arttıkça süre üstel olarak artmaya başlamıştır. Çözüm süresn azaltmak çn sonlu elemanlar yöntem kullanılırken elde edlen katılık ve kütle matrslernn smetrk ve de bol sıfırlı yapısından faydalanarak LU (Lower Upper) Ayrıklaştırma yöntem kullanarak daha kısa sürede çözülmes sağlanmıştır. v

10 OPTIMUM DESIGN O TRUSS SYSTEMS SUMMARY In ths work, optmum desgn of planar truss systems subject to stress, dsplacement, bucklng and natural frequency constrants s consdered. Jont postons of truss systems consdered are fed. Cross-sectonal areas are used as the desgn varables, by ths way, sze optmzaton was appled. urthermore topology optmzaton was consdered that a defnte mnmum cross-sectonal area value was defned, then accordng to the results of the optmzaton procedure, the members whch have ths mnmum value were canceled due to ther lack of usefulness n the pont of rgdty. The objectve of the optmzaton problem s to mnmze the mass of the truss system subject to one load case. Statc and dynamc responses of truss systems were obtaned usng fnte element method and SQP (Sequental Quadratc Programmng) was used for the optmzaton procedure. All results were compared wth some benchmark problems that consdered SLP (Sequental Lnear Programmng), SD (ully Stresed Desgn), etc. as optmzaton method. Then, the number of members n the truss systems were ncreased, as a result, the tme elapsed began to ncrease eponentally. In order to ncrease the speed of the the soluton process, LU (Lower Upper) Decomposton Method was used due to the symmetrc and sparse structure of the stffness and mass matrces that obtaned durng the fnte element soluton.

11 . GİRİŞ. Grş ve Çalışmanın Amacı Kafes sstemler sadece eksenler boyunca yük taşıyan ve düğüm noktaları denlen noktalarda brleştrlen çubuklardan oluşur. Yükler kafes sstemn düğüm noktalarına uygulanır. Kafes sstemler, yapısal eleman olarak kullanılmasının yanı sıra sürekl br ortamı ayrıklaştırmak çn de kullanılır ve bu özellğ sebebyle de optmal topolojnn araştırıldığı brçok problemde göz önüne alınmaktadır. Kafes sstemlern optmum tasarımında farklı tasarım değşkenler veya kısıtları uygulanmaktadır. Şekl optmzasyonunda düğüm noktalarına hareket etme serbestlğ verlmştr. Tasarım değşken olarak, boyut optmzasyonundak kest alanı değşkenne lave olarak düğüm noktalarının global koordnatları alınır. Bu tp problemlerde genellkle penaltı yöntemler kullanılmaktadır, düğüm noktalarının yer değştrmes le lgl kısıt blgs amaç fonksyonunun çersne yerleştrlerek kısıtsız optmzasyon problem çözülür []. Uygun penaltı değernn belrlenmes öneml br husustur. Çünkü dış veya ç penaltı yöntemlernde çözüm, ancak penaltı parametrelernn belrlenen lmt yaklaşımı sonunda elde edlr. Kesn Eklenmş Lagrange Çarpanı Yöntem (Eact Augmented Lagrange Multpler Method) kullanıldığında bu sorun ortadan kaldırılır çünkü penaltı katsayısının belrl br değer çn kesn çözüm bulunur, yakınsama kısıtı yoktur fakat Lagrange çarpanlarının önceden bulunması gerekr [-5]. Kafes yapıların tasarımında, her türlü çalışma koşuluna yönelk çeştl kısıtlar göz önüne alınablr [6]. Bu çalışmada gerlme, yer değştrme, burkulma ve doğal frekans kısıtlarını sağlayan, belrl br yükleme koşuluna göre mnmum ağırlığa sahp kafes sstemler araştırılmıştır. Yapıların statk ve dnamk davranışlarının elde edlmes çn sonlu elemanlar yöntem kullanılmış, optmzasyon yöntem çn se SQP algortması seçlmştr [7]. Hem sonlu elemanlar programı, hem de optmzasyon çn gerekl programlar Matlab 7. da hazırlanmıştır. İlk başta on eleman çeren br sstem çözülmüş, daha sonrasında eleman sayısı doğrusal olarak

12 artırılarak k yüz elemana kadar çıkarılmıştır. Eleman sayısı arttıkça çözüm süres üstel olarak artmıştır. Çözüm süresn kısaltmaya yönelk sonlu elemanlar modelnn çözümü çn LU Ayrıklaştırma yöntem dahl edlmştr [8,9].

13 . OPTİMİZASYON PROBLEMİNİN ORMÜLASYONU. Kısıtlı Optmzasyon Problem Kısıtlı optmzasyon problemlernde amaç fonksyonunun belrl eştlk ve eştszlk kısıtlarına göre mnmum ya da maksmum değer aranır. Amaç ya da kısıt fonksyonları doğrusal se kısıtlı optmzasyon problem LP problem olarak tanımlanır, aks takdrde optmzasyon problemn tanımlayan fonksyonlardan herhang brs doğrusal değl se problem NLP problem olarak ntelendrlr. Kısıtlı optmzasyon problemlernn çözümüne geçmeden önce standart optmzasyon problemnn tanımlanması gerekr... Standart optmzasyon problem Standart optmzasyon problemnde amaç fonksyonunun belrl kısıtlar altında mnmum olduğu en uygun tasarım değşkenler aranır. Matematksel olarak şu şeklde fade edleblr: Amaç fonksyonu: f ( ) f (,,..., n ) Mnmum (.) Sırasıyla eştlk ve eştszlk kısıtları: h ) h (,,..., ),..., p ( n g ) g (,,..., ),..., m ( n (.) (.3) (.-3) de belrtlen amaç ve kısıt fonksyonlarının harcnde tanımlanan br dğer kısıt tp de tasarım değşkenlern doğrudan etkleyen boyut kısıtlarıdır. Boyut kısıtları, tasarım değşkenler çn alt ve üst sınır belrtlmesyle tanımlanır. l,..., n u (.4) l ve u sırasıyla tasarım değşkenler çn tanımlanmış alt ve üst sınırlardır. Eştlk kısıtlarının sayısı tasarım değşkenlernn sayısına eşt veya daha az olmalıdır. Aks 3

14 halde kısıtlar lneer bağımlı olur ve formülasyon çelşkl (nconsstent) olarak tanımlanır... K-T koşulları K-T koşulları standart formda yazılmış br kısıtlı optmzasyon problem çn brnc dereceden gerekllk şartlarını belrtr. Gerekllk koşulunun uygulanablmes çn öncelkle Lagrange onksyonunun yazılması gerekr. L(, u, v) f ( ) vh ( ) (.5) + u g ( ) + (.5) denklemndek amaç ve kısıt fonksyonları standart optmzasyon problemnde belrtldğ şeklde tanımlanmak üzere L(,u,v) fonksyonel Lagrange fonksyonunu fade etmektedr. Lagrange fonksyonu, kısıtlı br problemn kısıtsız br probleme dönüştürülmesn sağlar. Lagrange fonksyonu çn geçerl olan bütün gerekllk koşulları, orjnal kısıtlı problem çn de aynen geçerldr. K-T koşullarının yazılablmes çn düzgünlük (regularty) koşulu kabulü yapılır. Bu kabule göre öyle u ve v Lagrange çarpanları vardır k: f ( * * * ) u g ( ) + v h ( ) (.6) Matematksel olarak (.6) denklemnn anlamı şudur: Amaç fonksyonunun gradyanı, eştlk ve aktf eştszlk kısıt fonksyonlarının gradyanlarının lneer kombnasyonu cnsnden fade edleblr. Bunun çn temel gerekllk, bütün eştlk ve eştszlk kısıt fonksyonlarının kend aralarında lneer bağımsız olmasıdır. Bu koşula düzgünlük koşulu denr. Optmum olma koşulları yalnızca düzgün (regular) noktalarda geçerldr. akat bütün mnmum noktalar düzgün olmak zorunda değldr. Düzgünlük koşulunun gerekllğ, K-T koşullarının kullanımına bağlıdır. Bütün eştszlk kısıtlarının eştlk kısıtlarına dönüştürülmes uygun br poztf sayının, eştszlğn sol tarafına eklenmesyle mümkün hale gelr: + g ( ) s,,,m (.7) (.7) denklemndek s değşken gevşek değşken (slack varable) adını alır, s şeklnde kullanılmasının sebeb eklenen değşkenn yalnızca poztf değer 4

15 taşımasının stenmesdr. Bu durumda Lagrange fonksyonu eştszlk kısıtının (.7) dek son halyle yazılacak olursa: [ ] m p h v s g u f s v u L ) ( ) ( ) ( ),,, ( (.8) Kısıtsız optmzasyon problemnn mnmum değern bulmak çn (.8) de elde edlen Lagrange fonksyonunun bütün değşkenlere göre türev sıfıra eştlenr. Başka br deyşle Lagrange fonksyonunun gradyanını sıfır yapan tasarım değşkenler aranır m s u p h m s g h v g u f s s v u L v s v u L u s v u L s v u L L m p,,...,,,,...,, ) (,,...,, ) ( ) ( ) ( ) ( ) /,,, ( ) /,,, ( ) /,,, ( ) /,,, ( (.9) (.9) da fade edlen denklem sstemnn lk satırdak denklem set gradyan koşulunu belrtr. İknc ve üçüncü satırdak denklem setler se kısıtların sağlanması gerektğn, yan çözümün makul (feasble) olması gerektğn vurgulamaktadır. Son denklem set se değştrme (swtchng) koşulunu fade eder; u veya s olması gerektğn gösterr. Eğer gevşek değşken (s ) sıfır se, söz konusu eştszlk kısıtı poztf br Lagrange çarpanı değerne sahp aktf br kısıttır. Aks takdrde Lagrange çarpanı sıfırdır, bu da kısıtın aktf olmadığını gösterr. Bu koşul düşünüldüğünde, brnc denklem sstemnde geçen eştszlk kısıtlarının aktf kısıtlar olduğu br kez daha vurgulanmış olur. K-T koşulları kısıtlı mnmzasyon problemler çn gerekllk koşullarıdır. K-T koşullarını sağlayan noktalar yalnızca lokal mnmum olmaya aday noktalardır. Gerçekten lokal mnmum noktası olup olmadıklarını anlamak çn yeter koşullar ncelenmeldr...3 İknc dereceden yeterlk koşulları K-T koşulları (konveks problemler dışında) kısıtlı optmzasyon problemler çn yalnızca gerekllk koşullarını fade eder. Lagrange fonksyonu kısıtsız br fonksyon olduğundan, gerek şartları sağlayan br K-T noktasında (*,u*,v*) yeterlk koşullarının ncelenmes de aşağıda (.) denklemnde gösterldğ gbdr. 5

16 d T m p * * * f( ) + u g ( ) + v * h ( ) d φ (.) Kısıtsız problem olması durumda, (.) denklemndek d nn seçm le lgl br kısıt yoktur, rasgele seçleblr. akat kısıtlı problemlerde d nn seçm kısıtlara bağlıdır, makul değerler (feasble) almalıdır. Lagrange fonksyonunun Hessan ( f ( * ) ) poztf belrl olması halnde özel br durum söz konusudur ve d rasgele seçleblr...4 Genel mnmum Herhang br f() fonksyonu, makul br S kümesnde kapalı ve sınırlı se, S de bu fonksyonun br genel mnmumu vardır (Weerstrass Teorem). Bu teoreme dayanarak amaç fonksyonunun genel br mnmumu olduğu garant edlr. Konveks problemler çn K-T koşulları aynı zamanda yeter koşullardır. Yan konveks br problemde K-T koşullarını sağlayan br nokta aynı zamanda global mnmumdur. X * noktası brnc mertebeden K-T gerek şartlarını optmum tasarım problem çn sağlamış olsun. Lagrange fonksyonunun * noktasındak Hessan matrs, H L f + m p u g + v h (.) olur, d olmak üzere * noktasında, d,,..., p h T (.) ve bütün aktf eştszlkler çn, T g ve u >,..., m (.3) Ayrıca u ken kısıtlar çn problem çn sağlanmalıdır. * g T d eştszlğne zn verlr. Optmum tasarım noktasının genel mnmum olması çn (.4) denklem Q d Q T L( * ) d (.4) 6

17 Br optmzasyon problemnn konveks olablmes çn eştlk kısıtlarının doğrusal, amaç ve kısıt fonksyonlarının konveks olması gerekr.. SQP Yöntem SLP algortmasının en büyük kusuru rasgele seçlen hareket lmtlerdr. Hareket lmt parametresnn küçük seçlmes durumunda, yakınsama hızı optmum noktaya yaklaşıldıkça çok azalablr. Ters durumda büyük hareket lmt parametres seçldğnde se lneerleştrlmş kısıtların kullanılmasından dolayı problemler çıkablr (örneğn orjnal problem konveks ken, kısıtların lneerleştrlmes sonucu problem sınırsız (unbounded) hale geleblr). SQP de se bu olumsuzluk hareket lmtnn doğrudan değl de dolaylı yoldan lneerleştrlmş amaç fonksyonuna eklenmes le gderlmştr. Hareket lmt, yön bulma alt problemne (drecton-fndng subproblem) (.5) denklemnde görüldüğü gb eklenr: d T d (.5) Bu durumda amaç fonksyonu knc dereceden br fonksyondur. Kısıt fonksyonları se halen lneerdr. Sonuç olarak yön bulma alt problem artık QP problemne dönüşmüştür. QP Alt Problem aşağıdak gb fade edleblr, k Mn. f ( ) d + d t d k k T h ( ) + h ( ) d,,..., p Şu kısıtlar altında: k k T g ( ) + g ( ) d,,... m (.6) İyleştrlmş (Refned) SQP Metodu nda, Standart SQP (Dual QP problemnn kullanıldığı) le oluşturulan arama yönünü daha etkn br şeklde belrlemek çn lneerleştrlmş amaç fonksyonuna daha genel br knc dereceden term eklemes düşünülmüştür. k Mn. f ( ) d + d t Hd k k T h ( ) + h ( ) d,,..., p Şu kısıtlar altında: k k T g ( ) + g ( ) d,,... m (.7) 7

18 (.7) denklemndek H (Hessan) matrsnn, H f + m p u g + v h (.8) (.8) denklemndek gb fade edlmes k yönden zorluk çıkarmaktadır; onksyonların knc türevlernn hesaplanması gerektğnden sayısal hesaplamalar zorlaşır ve Lagrange fonksyonunun Hessan matrs poztf belrl olmayablr, bu durumda amaç fonksyonuna eklenen knc dereceden term de poztf olmayablr. Bu zorlukları aşmak çn BGS yöntem le oluşturulmuş poztf belrl br Hessan kullanılır. İlk adımda Hessan olarak brm matrs kullanılır ve her adımda br yenlenr. H ( k T ( k ) ( ) ( k ) H ss H + γγ + T T q s s H k ) ( k H ) s ( k ) s ( k + ) ( k ), q L L f + u g + m p v h L ( k + ) ( k ) (.9) γ θq + ( θ ) H (k ) T T ( k ). q s.s H s T ( k ).8s H s T T q s π.s H T ( k ) T s H s q s s ( k ) s Hessan matrsnn yenlenme şekl (.9) numaralı denklemde gösterlmştr. Arama yönü belrlendkten sonra arama yönü boyunca gdlecek adım mktarı tespt edlr. Bunun çn knc dereceden ya da üçüncü dereceden nterpolasyon kullanılablr. Adım mktarı hesaplandıktan sonra yen değşken değer belrlenr. ( k + ) ( k ) + αd (.) (.) numaralı denklemde (k+) yen tasarım değşkenn, (k) şu ank tasarım değşkenn, α adım mktarını ve de d araştırma yönünü göstermektedr. Eğer d bell br tolerans değernden küçük se terasyon durdurulur. Aks takdrde QP problemne ger dönülür ve yen arama yönü hesaplanır. Arama yönü le lgl tolerans sağlandığı zaman (amaç fonksyonu daha fazla azaltılamadığı zaman) elde edlen (k+) vektörü kısıtlı optmzasyon problemnn mnmum noktasını verr. 8

19 3. KAES SİSTEMLER VE ÖRNEKLER 3. Hperstatk Kafes Sstemlern Çözümü İzostatk kafes sstemlerde, çubuklardak kuvvetler düğüm noktalarında yazılan denge denklemler le hesaplanablr (Şekl 3.). Hperstatk sstemlerde, denge çn gerekl olandan daha fazla sayıda çubuk ya da destek vardır (Şekl 3.). Bu tp sstemlerde denge denklemler çözüm çn yeterl değldr. y Y X Şekl 3.: İzostatk Kafes Sstem 4 düğüm- 4 o Y X 3 düğüm- Şekl 3.: Hperstatk Kafes Sstem 9

20 Uygunluk ve bünye denklemler gb başka bağıntıların kullanılması gerekr []. Bulunan çözümün doğru olablmes çn temel bağıntıların sağlanması gerekr. Bu temel bağıntılar ve Şekl 3. de gösterlen beş elemandan oluşan kafes sstem çn çubuklara gelen kuvvetlern bulunması aşağıda açıklanmıştır. Denge Denklemler: Ssteme etkyen dış kuvvetler ve ç kuvvetler her br düğüm noktasında denge durumunu oluşturmaktadır. Şekl 3. dek kafes sstemde beş tane çubuk, dört tane düğüm noktası vardır. Kafes sstemn ve numaralı düğüm noktalarına ve y doğrultularında sırasıyla,, 3 ve 4 kuvvetler uygulanmıştır. Hperstatk olan bu kafes sstemn ve numaralı düğüm noktalarında denge denklemler yazılırsa, y (3.) (3.) toplam dört adet denklem elde edlr ve bu denklemler (3.-) matrs formuna getrlrse, j Rf j,,4,,5 (3.3) elde edlr. (3.3) numaralı denklemde j düğüm noktalarına dışardan uygulanan ve de f çubuklardak kuvvet vektörlerdr. R se çubuk kuvvetler le dışardan uygulanan kuvvetler arasındak lşky gösteren 4 5 boyutunda br matrstr. 3 4 f f f f f (3.4) (3.3) denklem açık halde yazılırsa (3.4) denklem elde edlr. Uygunluk Denklemler: Kafes sstem oluşturan elemanlar brbrlernden bağımsız deforme olamazlar. Yan brbrlerne uygun olarak şekl değştrmek zorundadırlar. Çubukların boy değşmler e ve düğüm noktalarının yer değşmler d olsun. R T çubuklardak boy değşm le düğüm noktalarının yer değşm arasındak bağıntıyı

21 veren matrs olup (3.3) denklemndek R matrsnn transpozesdr. Bu durumda uygunluk şartı, e R T d j,...,5 j,...,4 (3.5) olarak elde edlr. Bünye Denklem: İç kuvvetler ve deformasyonlar elementn gerlme-gernme lşksn sağlamalıdır. Bu bağıntıyı matematksel olarak şu şeklde fade edeblrz. f k e,..., 5 (3.6) (3.6) numaralı denklemdek k çubuklara gelen kuvvetler le çubukların boy değşm arasındak lşk olup aşağıdak bağıntı le belrldr, E A k,..., 5 L (3.7) Bu bağıntıya göre A çubukların kest alanlarını, L çubukların boylarını ve de E her br çubuğun elastklk modülünü göstermektedr. Bu problemde bütün çubukların aynı malzemeden yapıldığı kabul edlmştr. Bu durumda k matrs şu şeklde gösterleblr, E A L E A L E 3 A3 k (3.8) L3 E 4 A4 L4 E5 A5 L5 Çubuk kuvvetlern bulmak çn (3.5) denklem (3.6) denklemnde yerne konursa, f k R T d j,...,5 (3.9) j,...,4 elde edlr. (3.9) denklemnde (d j ) nn açık olarak fade edlmes gerekr, bunun çn (3.6) denklem (3.3) denklemnde yerne konursa,

22 Rk e j,...,5 j,...,4 (3.) bulunur ve bu denklemde e yerne (3.5) denklemndek değer konursa, T j Rk R d j,..., 4 j (3.) elde edlr. (3.) numaralı denklemde, T K Rk R (3.) dönüşümü yapılırsa smetrk K matrs elde edlr. Beş elemanlı sstem çn K matrsnn açık olarak gösterm, k k + k4 k4 k k + k 3 K k k (3.3) k4 + k4 k k + k5 şeklndedr. Düğüm noktalarındak yer değşmn bulablmek çn (3.) numaralı denklem (3.) de yerne koyarsak, d K j,..., 4 (3.4) j j sonucu elde edlr. Bu denklem sembolk olarak çözülüp (3.) numaralı denklemde yerne konursa, f kr T K j j,...,4,,5 (3.5) her br çubuğa gelen kuvvet hesaplanmış olur. Bu sonuçtan yararlanarak gerlme blgsn de her br çubuğa gelen kuvvet çubukların kest alanlarına bölerek elde etmş oluruz. 3. Kafes Sstemlern Sonlu Elemanlar Yöntem İle Çözümü 3.. Sstemn statk ve dnamk davranışlarının elde edlmes Kafes sstemn düğüm noktaları sonlu eleman modelnn düğüm noktaları durumundadır. Kafes sstemn her br çubuğu, sonlu eleman modelnde brer eleman

23 le temsl edlmştr. Çubuk elemanlar yalnızca doğrultuları boyunca yük taşırlar, eğlme yükü taşımazlar. Bu sebeple sonlu elemanlar modelnde de çubukların her br düğüm noktasında k serbestlk dereces mevcuttur. Dış kuvvetler yalnızca çubukların düğüm noktalarına uygulanır. v, y, y u, u, v, y θ { } d e u v u v, Şekl 3.3: Düzlem Çubuk Elemanının Lokal ve Global Koordnatlardak Gösterm Şekl 3.3 te tanımlanan eksen lokal koordnatlardak çubuk eksenn, ve y eksenler se global koordnatları (k serbestlk dereces mevcut) belrtmektedr. Lokal koordnatlarda tanımlanmış br yer değştrme vektörünün global koordnatlarda gösterm, ' { d } [ T ]{ } e d e (3.6) (3.6) numaralı denklemdek [T] matrs dönüşüm matrsdr ve açık şeklde gösterm, [ T ] c s s c c s s c (3.7) Bu denklemdek c ve s termler sırasıyla, c cos( θ ) s sn( θ ) (3.8) değerlern fade ederler. Aynı şeklde dışardan uygulanan kuvvetler de global koordnatlarda fade edlrse, 3

24 T { } [ T ] { } ' e e (3.9) numaralı denklemde { } e global koordnatlarda, { } ' e (3.9) se lokal koordnatlarda düğüm noktalarına uygulanan kuvvet vektörlern göstermektedr. Global koordnatlarda elemente at denge denklemnn fades ( ve y ), [ ]{ d } k e e { } e (3.) (3.) denklemndek [k] matrs çubuk elemanın, global koordnatlar cnsnden eleman katılık matrsn temsl eder ve de açık yazılımı şu şekldedr, e k [ ] T k [ k] [ T ] [ ][ ] c cs c cs cs s cs s ke T k. (3.) c cs c cs cs s cs s (3.) numaralı denklemde kullanılan c ve s termler aynen (3.8) num aralı denklemde gösterldğ gbdr, k nın açılımı se, k AE L (3.) şeklndedr ve de eksenel katılık adını alır. Kafes sstemdek bütün çubukların global koordnatlardak element katılık matrsler tek br katılık matrsnde toplanırsa ve de düğüm noktalarındak yer değşm de tek br vektör halnde fade edlrse, [ ]{ D} K { W} (3.3) elde edlr. (3.3) numaralı denklemdek [K] m atrs global katılık matrsn, { D } vektörü global şekl değştrme vektörünü ve de { W } vektörü global kuvvet vektörünü temsl etmektedr. (3.3) numaralı denklem, kafes sstemn global koordnatlardak denge denklemn fade eder. Bu denklem kullanılarak sstemn belrl yükleme koşulları altında statk cevab elde edleblr [ 4]. { D} [ K] { W} (3.4) (3.4) numaralı denklemde düğüm noktalarının global yer değşm fade edlmektedr. Bu sonuçtan yararlanarak optmzasyon problemnde kısıt olarak 4

25 kullanılacak gerlme, gernme blgler hperstatk sstemlern çözümünde gösterldğ gb elde edleblr. Çubuk elemanın dnamk davranışının ncelenmesnden kastedlen doğal frekans analznn yapılmasıdır. Optmzasyon problemnde bz lglendren sstemn brnc m m e, (3.5) (3.5) numaralı denklemde [m] matrs, global koordnatlar cnsnden kütle matrsn göstermektedr ve m nn açılımı şu şekldedr, doğal frekansının elde edlmes ve de sstemn rezonansa grmemes çn bu değern belrl br değerden daha yüksek olması stenmektedr. Bunun çn lk önce çubuk elemanın kütle matrs oluşturulmalıdır. Kütle matrsnn elde edlmes çn de aynı katılık matrsnn elde edlşnde referans alınan Şekl 3.3 geçerldr. [ ] [ ] [ ] [ ][ ] s c s c s c s c s c s c s c s c m T m T m e T 6 m ρal (3.6) Bu denklemde ρ, malzemenn yoğunluğunu göstermektedr. Sstemn doğal frekansının hesaplanması çn çözülmes gereken özdeğer problem şu şeklde fade edleblr: [ ] [ ]{ } { } ) ( φ M w K (3.7) Bu denklemde [K] matrs sstemn katılık matrsn, [M] matrs sstemn kütle matrsn, w sstemn.nc doğal frekansının karesn rad/sn cnsnden ve de { } φ len sstemn.nc ttreşm mod şekln göstermektedr. w optmzasyon problemlernde kullanılırken Hz cnsnden fade edlmştr. Bunun çn rad/sn cnsnden fade ed w nn (*π ) değerne bölünmes gerekr. [ ] [ ]{ } { } [ ] [ ] ) ( ) ( M w K M w K φ (3.8) 5

26 (3.8) denklemnden de görüleceğ üzere, w, [M] - ve [K] matrslernn çarpımıyla elde edlen matrsn özdeğerlern göstermektedr. Elde edlen en küçük özdeğer değer sstemn brnc doğal frekansını vermektedr [5-6]. 3.. LU ayrıklaştırma yöntem Herhang br A matrsn, k matrsn çarpımı şeklnde yazmak mümkündür, L U A (3.9) Denklem ( 3.9) dak L alt üçgen matrs (dyagonal ve dyagonaln al tındak elemanlar) ve U üst üçgen matrs (dyagonal ve dyagonaln üstündek elemanlar) 44 lük br matrsn LU şeklnde ayrıklaştırılması aşağıda verlmştr. U U U3 A A A3 L U U 3 A A A 3 (3.3) L 3 L3 U 33 A3 A3 A 33 Lneer denklem set şu şeklde verlmş olsun, A y (3.3) Bu lneer denklem sstemn çözeblmek çn (3.9) denklem kullanılırsa, A (L U) L (U ) y (3.3) (3.3) numaralı denklemde gerekl dönüşüm yapılırsa, (U ) b (3.33) elde edlr. vektörünün çözümü aşağıdak sırayla gerçekleştrlr, L b y (3.34) (3.34) numaralı denklemden b vektörü çözüldükten sonra (3.35) numaralı denklemden vektörü çözülür. U b (3.35) Herhang br A matrsn k farklı matrsn çarpımı şeklnde fade etmek kolaylıklar sağlamaktadır, çünkü oluşturulan k matrs de basttr ve bunların çözümler de kolay elde edlr. 6

27 3.3 Kafes Sstem Optmzasyonunun Matematksel İfades Bu çalışmadak optmzasyon problemnn amacı belrl yükleme koşulları çn gerlme, yer değştrme, burkulma ve doğal frekans kısıtlarına göre mnmum ağırlığa sahp kafes sstemlern bulunmasıdır. Buna göre amaç fonksyonunu aşağıdak gb fade edeblrz, n Mnmum Ağırlık Mn. ( ρ A L ) (3.36) Gerlme, yer değştrme ve frekans kısıtlarının tanımlanablmes çn lmtlern belrlenmes gerekr. Gerlme kısıtıyla stenen her br çubukta oluşan gerlmelern, çubuklarda kullanılan malzemenn akm a gerlmesnden küçük değerde olması stenr. σ ak malzemenn akma gerlmes ve σ çubuklardak gerlmeler olmak üzere, gerlme kısıtları aşağıdak gb fade edleblr, σ σ ak,,n (3.37) Yer değştrme kısıtları ve doğal frekans kısıtları da gerlme kısıtlarına benzer olarak doğrudan tanımlanablr. Belrl düğüm noktaları çn belrl br yer değştrme lmt tanımlanarak yer değştrme kısıtları ve de belrl br frekans değer belrlenerek sstemn lk doğal frekansının bu değerden yüksek olması stenerek doğal frekans kısıtlarının uygulanması da mümkündür. d d ma,,n (3.38) (3.38) numaralı denklemde d ma, sstemn düğüm noktalarının hareket lmtn belrleyen maksmum yer değştrme mktarıdır. Aşağıda se krtk br frekans değernn doğal frekans le lgl kısıtlarda kullanım şekln göstermektedr. wkrtk w,,n (3.39) Burkulma le lgl kısıtları fade edeblmek çn öncelkle krtk burkulma yükünün ve de burkulma gerlmesnn fade edlmes gerekr. 7

28 P krtk Şekl 3.4: Çubuğun Krtk Yük Altında Burkulması Şekl 3.4 te görüldüğü gb br çubuğun eksen boyunca, belrl krtk br yükün zorlaması altında burkulma problem yaşanır. Euler burkulma yükü dye tanımlanan bu krtk yük şu şeklde gösterleblr, π EI P krtk (3.4) L (3.4) numaralı denklemde fade edlen E çubuğun elastste modülünü, I alan atalet momentn ve de L çubuğun boyunu vermektedr. Bu fadeden yararlanarak krtk burkulma gerlmes oluşturulablr, π EI σ krtk (3.4) AL Daresel sabt br keste sahp çubuk elemanı çn alan atalet moment, kest yarıçapı R ye şu şeklde bağlıdır [7 9], I π 4 4 R (3.4) Bu denklemden de görüldüğü gb burkulma problemndek krtk yükün hesaplanmasında kest yarıçapının büyük rolü vardır. Bu çalışmada tasarım değşken olarak kest alanları kullanıldığından, alan atalet momentnn kest yarıçapı değşkennden makul br kabul le kurtarılması gerekr. Bunun çn şöyle br kabul yapılmıştır, 8

29 I βa (3.43) (3.43) denklem, (3.4) numaralı denklemde yerne konursa, π EβA πeβa σ krtk (3.44) AL L elde edlr. Bu kabulün yapılması le brlkte burkulma kısıtının tanımlanmasına da geçleblr. Burkulma problem, basma kuvvetlerne maruz elemanlarda ortaya çıktığından, σ σ krtk (3.45) şeklndek tanımlama çekmeye zorlanan elemanlar çn otomatkman sağlanırken basmaya maruz çubuk elemanları çn se burkulma kısıtını fade etmektedr []. Bütün bu kısıtların dışında tasarım değşkenlern doğrudan etkleyen boyut kısıtları vardır. Ele alınan kafes sstem optmzasyon problemnde çözüm ararken fzksel br çelşkye düşülmemes çn (negatf kest alanları bulunmaması çn) kest alanları çn mnmum br değer belrlenmeldr. A A mn (3.46) 3.4 Örnekler Bu çalışmada ele alınan optmzasyon problemlernde aynı modelleme mantığı bütün örneklerde uygulanmıştır. Ele alınan (hperstatk) kafes sstemlerde alt sıradak sınır koşul verlmemş bütün düğüm noktalarına düşey yönde br (4448N) kuvvet uygulanmıştır ve de ve numaralı düğüm noktalarının düşey ve yatay yönlerde hareket etmes engellenmştr. Malzeme olarak alümnyum kullanılmıştır 9 3 ( σ akma 7.369Mpa, E Mpa, ρ.765 ton / mm ). Yatay ve dkey o çubukların boyları 944mm, çapraz elemanların yatayla olan açıları 45 dr. Kafes sstemlern gerlme, yer değştrme, doğal frekans ve burkulma kısıtları (3.3-3, 3.38) altında mnmum ağırlığa sahp olması stenmştr. Doğal frekans kısıtı uygulanırken krtk frekans değer (w krtk ) olarak sstemn başlangıçtak geometrsne at brnc doğal frekansının.3 katı alınmıştır. Yer değştrme kısıtlarında se frekans kısıtlarında olduğu gb krtk yer değştrme lmt (d ma ), sstemn başlangıçtak geometrs düşünüldüğünde yüklemeler sonucunda en büyük yer değşm değernn.8 katı olarak belrlenmştr. Burkulma kısıtları çn β alınmıştır. 9

30 3.4. On elemandan oluşan kafes sstem y Şekl 3.5: On Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Başlangıçtak Geometrs Tablo 3.: On Elemandan Oluşan Sstemn Çözümü Eleman Numarası Kest Alanı (mm ) y Şekl 3.6: On Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Optmzasyon Sonucu

31 3.4. Yrm beş elemandan oluşan kafes sstem Şekl 3.7: Yrm Beş Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Başlangıçtak Geometrs Şekl 3.8: Yrm Beş Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Optmzasyon Sonucu Tablo 3.: Yrm Beş Elemandan Oluşan Sstemn Çözümü Eleman Numarası Kest Alanı (mm ) Eleman Numarası Kest Alanı (mm )

32 3.4.3 Ell elemandan oluşan kafes sstem Şekl 3.9: Ell Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Başlangıçtak Geometrs Şekl 3.: Ell Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Optmzasyon Sonucu Tablo 3.3: Ell Elemandan Oluşan Sstemn Çözümü Eleman N umarası Kest Alanı (mm ) Eleman N umarası Kest Alanı (mm )

33 3.4.4 Yetmş beş elemandan oluşan kafes sstem Şekl 3.: Yetmş Beş Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Başlangıçtak Geometrs Şekl 3.: Yetmş Beş Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Optmzasyon Sonucu X Y Y X 3

34 Tablo 3.4: Yetmş Beş Elemandan Oluşan Sstemn Çözümü Eleman Kest Alanı Eleman Kest Alanı Eleman Kest Alanı N umarası (mm ) N umarası (mm ) N umarası (mm ) Yüz elemandan oluşan kafes sstem Y X Şekl 3.3: Yüz Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Başlangıçtak Geometrs 4

35 Y X Şekl 3.4: Yüz Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Optmzasyon Sonucu Tablo 3.5: Yüz Elemandan Oluşan Sstemn Çözümü Eleman Numarası Kest Alanı (mm ) Eleman Numarası Kest Alanı (mm ) Eleman Numarası Kest Alanı (mm )

36 3.4.6 Yüz yrm beş elemandan oluşan kafes sstem Kafes yapıların başlangıçtak ve optmzasyon sonucundak geometrler benzerlk gösterdğnden geometrler tekrar çzlmemştr. Eleman Numarası Tablo 3.6: Yüz Yrm Beş Elemandan Oluşan Sstemn Çözümü Kest Alanı (mm ) Eleman Numarası Kest Alanı (mm ) Eleman Numarası Kest Alanı (mm )

37 3.4.7 Yüz ell elemandan oluşan kafes sstem Tablo 3.7: Yüz Ell Elemandan Oluşan Sstemn Çözümü Eleman Numarası Kest Alanı (mm ) Eleman Numarası Kest Alanı (mm ) Eleman Numarası Kest Alanı (mm )

38 3.4.8 İk yüz elemandan oluşan kafes sstem Tablo 3.8: İk Yüz Elemandan Oluşan Sstemn Çözümü Eleman Numarası Kes. Alanı (mm ) Eleman Numarası Kest Alanı (mm ) Eleman Numarası Kest Alanı (mm ) ,6 7967, , ,4 9686, ,7 863,8 863, , , , , ,7 6754, , , , , ,9 4969, , , , ,98 387,68 387, ,84 487, , , , , , ,67 6,88 6, , , , ,6 8756,3 8756, , ,3 8559, , ,3 7434, , ,6 6888, , , , ,56 573, , , , , , , , , , ,8 376, ,3 333,9 333, ,336 96,3 893, ,336 59,7 59, , ,4 6773, , ,8 8586, ,8 5749, , , ,66 586,4 35, ,66 858,48 858, , , ,7 4645,5 4645, , ,3 3967, ,38 645, 645, ,4 93, 3, ,896 56,8 56,

39 3.5 Çözüm Sürelernn Karşılaştırılması Aşağıda Tablo 3.9 da LU yöntem kullanıldığında elde edlen çözüm sürecndek kazanç ortaya konmuştur. Tablo 3.9: Çözüm Sürelernn Karşılaştırılması Hçbr yleştrme yapılmadığı zaman hesaplanan CPU süres LU Ayrıklaştırma Yöntem kullanıldığında hesaplanan CPU süres Eleman ( Hücre) 3. Eleman ( Hücre).97 5 Eleman (5 Hücre) Eleman (5 Hücre) Eleman ( Hücre) Eleman ( Hücre) Eleman (5 Hücre) Eleman (5 Hücre) 3.89 Eleman ( Hücre) Eleman ( Hücre) Eleman (5 Hücre) Eleman (5 Hücre) Eleman (3 Hücre) Eleman (3 Hücre) Eleman (4 Hücre) Eleman (4 Hücre)

40 4. SONUÇLAR VE TARTIŞMA Bu çalışmada belrl br yükleme koşulu altında gerlme, yer değştrme, burkulma ve doğal frekans kısıtlarına göre mnmum ağırlığa sahp düzlem kafes sstem çözümü aranmıştır. Ele alınan kafes sstemlerde, düğüm noktalarının yerler değşmemektedr. Tasarım değşken olarak çubukların kest alanları alınmıştır. Optmzasyon problemnde çubuklar çn belrl br mnmum kest alanı değer göz önünde bulundurulmuş, buna göre optmzasyon şlem sonucunda bu değer alan elemanlar sstemden atılmıştır. Kafes sstemlern statk ve dnamk davranışlarına lşkn blgler sonlu eleman yöntem kullanılarak elde edlmş, optmzasyon çn se SQP yöntem kullanılmıştır. elemandan başlanarak eleman sayısına kadar çıkılmıştır. Eleman sayısı arttıkça çözüm süres üstel olarak artmaya başlamıştır. Çözüm süresn azaltmak çn sonlu elemanlar yöntem kullanılırken elde edlen katılık ve kütle matrslernn smetrk ve de bol sıfırlı yapısından faydalanarak LU (Lower Upper) Ayrıklaştırma yöntem kullanarak daha kısa sürede çözülmes sağlanmıştır. Çubukların kest alanlarının yanı sıra çubukların malzemes de brer tasarım değşken olarak kullanılablr. Bu durumda optmum malzeme dağılımı da bulunmuş olur. Ayrıca kafes sstemdek deformasyonların lneer olduğu kabul edlmştr. Daha sonra yapılacak çalışmalarda doğrusal olmayan geometrk davranış da nceleneblr [-]. Gradyan tabanlı yöntemlerde tasarım değşkenlernn sayısı arttıkça başlangıç değernn seçlmes öneml br kıstas olmaktadır. Bunun çn optmzasyon problem k fazlı halde çalıştırılablr. Brnc fazda, optmzasyon adımlarına başlamadan önce kullanılan başlangıç değern daha y belrlemek çn rasgele arama yöntemler kullanılablr, gerekrse daha düşük br yakınsama krter belrlenr. Bu fazda elde edlen çözüm, knc fazda SQP algortmasının başlangıç noktası olarak kullanılablr. Böylece yakınsama hızlandırılmış olur. 3

41 KAYNAKLAR [] Gl, L., Andreu, A.,. Shape and cross-secton optmzaton of a truss structure, Computers&Structures, 79, [] Bhatt, M.A.,. Practcal Optmzaton Methods-Wth Mathematca Applcatons, Sprnger-Verlag, New York. [3] Arora, J.S., 989. Introducton to Optmum Desgn, McGraw-Hll Book Company, Sngapore. [4] Vanderplaats, G.N., 984. Numercal Optmzaton Technques or Engneerng Desgn Wth Applcatons, McGraw-Hll Book Company, USA. [5] Luenberger, D.G., 973. Introducton to Lnear And Nonlnear Programmng, Addson-Wesley Publshng Compony, USA. [6] Haftka, R.T., Gürdal, Z., Kamat, M.P., 99. Elements of Structural Optmzaton, Kluwer Academc Publshers, Netherlands. [7] Matlab,. Optmzaton Toolbo-or Use Wth Matlab, The MathWorks Company, USA. [8] Press, W.H., 99. Numercal recpes n C: the art of scentfc computng, Cambrdge Unversty Press, New York. [9] Penny, J., Lndfeld, G., 995. Numercal Methods Usng Matlab, Ells Horwood, Great Brtan. [] Gökdere, N.,. Kafes Sstemlern Optmum Tasarımı, Yüksek Lsans Tez, İ.T.Ü. en Blmler Ensttüsü, İstanbul. [] Kwon, Y.W., Bano, H.,. The nte Element Method Usng Matlab, CRC Pres, USA. [] Smth, I.M., Grffths, D.V., 997. Programmng the nte Element Method, John Wley & Sons, USA. [3] Kanch, M.B., 993. Matr Methods of Structural Analyss, John Wley & Sons, Inda. [4] Cook, R.D., Malkus, D.S., Plesha, M.E., Wtt, R.J.,. Concepts And Applcatons Of nte Element Analyss, John Wley & Sons, USA. 3

42 [5] Bendsøe, M.P., Sgmund, O., 3. Topology Optmzaton-Theory, Methods, and Applcatons, Sprnger-Verlag, Berln. [6] Pedersen, N.L., Nelsen, A.K., 3. Optmzaton of practcal trusses wth constrants on egenfrequences, dsplacements, stresses, and bucklng, Struct. Multdsc. Optm., 5, [7] Crag, R.R.,. Mechancs of Materals, John Wley & Sons, USA. [8] Gu, Y.X., Zhao, G.Z., Zhang, H.W., Kang, Z., Grandh, R.V.,. Bucklng desgn optmzaton of comple bult-up structures wth shape and sze varables, Struct. Multdsc. Optm., 9, [9] Ülker, M., Hayaloğlu, M.S.,. Optmum Desgn of Space Trusses wth Bucklng Constrants by Means of Spreadsheets, Turk J. Engn Envron. Sc., 5, [] Salajegheh, E., 997. Structural optmzaton usng response appromaton and optmalty crtera methods, Engneerng Structures, 9, [] Khot, N.S., Kamat, M.P., 985. Mnmum Weght Desgn of Truss Structures wth Geometrc Nonlnear Behavor, AIAA, 3,

43 ÖZGEÇMİŞ Cem Celal Tutum 98 de İstanbul da doğdu. Lsey yılları arasında Kabataş Erkek Lses nde okudu. İstanbul Teknk Ünverstes, Makne Mühendslğ Bölümü nden yılında mezun oldu. Yüksek lsans eğtm çn de İstanbul Teknk Ünverstes, Katı Csmlern Mekanğ Programı na grd. 3 4 yılları arasında ges Ltd. de çalıştı. 5 yılından tbaren, İstanbul Teknk Ünverstes, Uçak ve Uzay Blmler akültes bünyesnde kurulmuş olan ROTAM (Rotorlu Hava Araçları Tasarım ve Mükemmelyet Merkez) da çalışmaktadır. 33