2. LİNEER PROGRAMLAMA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "2. LİNEER PROGRAMLAMA"

Transkript

1 İÇİNDEKİLER ÖZE... ABSRAC... EŞEKKÜR..... ŞEKİLLER DİZİNİ..... v. GİRİŞ.... Motvasyon emel anım ve Kavramlar Konvekslk ve lneer eştszlkler Ekstrem Noktalar Lneer Eştszlkler Homojen denklem sstemler Lneer eştszlkler utarlı ve tutarlı olmayan sstemler Matrs-vektör formları LİNEER PROGRAMLAMA İlk Standart Form Problemler Dönüştürme eknkler Dual Problem Smpleks Algortması İknc standart form Soyut form ablo Yöntem ablo kuralları Özet UYGULAMA PROBLEMLERİ VE BİLGİSAYAR KODU Fabrka Üretm Programlaması (Maksmum problem) Reklam Gderler (Mnmum Problem) Dyet Problem (Mnmum Problem) İş Planlama Problem Lneer Programlama İçn C Kodu. 6

2 ÖZE Yüksek Lsans ez LİNEER PROGRAMLAR VE BİLGİSAYAR ÇÖZÜMLERİ N. Beylem SİNOPLU Ankara Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Matematk Anablm Dalı Danışman: Yrd.Doç.Dr. Nur ÖZALP Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. Brnc bölümde, bu tez çalışmasının seçmndek temel motvasyon ortaya konulmuş olup, lneer programlamanın matematksel yapısı çn gerekl temel tanım ve kavramlar tanıtılmıştır. İknc bölümde, lneer programlama problemlernn en güçlü çözüm teknklernden br olan smpleks algortması çn gerekl teoremler spatlanmış olup, br örnek problem üzernde bu algortma ncelenmştr. Bu bölümde, ayrıca maksmum, mnmum ve dual problemler arasındak lşkler verlmştr. Üçüncü bölümde se, lneer programlamaların gerçek hayat problemlerne uygulamaları dört temel problemle analz edlmş olup, bölüm sonunda se blgsayar çözümler çn gerekl br kaynak kod günümüzdek en güçlü ve yaygın kullanılan dllerden br olan C++ programla dlyle verlmştr. 003, 70 sayfa ANAHAR KELİMELER : Lneer programlama, konveks kümeler, uygun küme, uygun çözüm, kısıt, maksmum, mnmum, optmal çözüm, dual problem, Smpleks algortması, Gauss elmnasyonu.

3 ABSRAC Master hess LINEAR PROGRAMMING AND COMPUER SOLUIONS N. Beylem SİNOPLU Ankara Unversty Graduate School of Natural and Appled Scences Department of Mathematcs Supervsor: Asst. Prof. Dr. Nur ÖZALP hs thess conssts of three chapters. In the frst chapter, the basc motvaton n selecton of the subject matter of the thess s eplaned, and fundamentals defntons and concepts needed for the mathematcal background of lnear programmng are gven. In the second chapter, by provng some mportant theorems for the smple method whch s one of the powerfull technques for solvng lnear programmng problems, the smple algorthm s eplaned n detals on a clear eample. In addton, relatons between mamum, mnmum and dual problems are gven. Fnally, n the thrd chapter, applcatons of lnear programmng to real lfe problems are analysed by usng for fundamental eample of the subject matter. At the end of the chapter, a source code for computer solutons are gven n C++ language whch s one of the powerfull and most popular languages. 003, 70 pages Key Words: Lnear programmng, conve sets, feasble set, feasble soluton, constrants, mamum, mnmum, optmal soluton, dual problem, smple method, Gauss elmnaton.

4 EŞEKKÜR Bu çalışmayı bana vererek, çalışmalarım sırasında benden yardımlarını ve blgsn esrgemeyen, lg ve önerler le yanımda olan danışman hocam, Sayın Yrd. Doc. Dr. Nur ÖZALP e sonsuz teşekkürlerm sunmayı br borç blrm. N. Beylem SİNOPLU Ankara, emmuz 003

5 İÇİNDEKİLER ÖZE... ABSRAC... EŞEKKÜR..... ŞEKİLLER DİZİNİ..... v. GİRİŞ.... Motvasyon emel anım ve Kavramlar Konvekslk ve lneer eştszlkler Ekstrem Noktalar Lneer Eştszlkler Homojen denklem sstemler Lneer eştszlkler utarlı ve tutarlı olmayan sstemler Matrs-vektör formları LİNEER PROGRAMLAMA İlk Standart Form Problemler Dönüştürme eknkler Dual Problem Smpleks Algortması İknc standart form Soyut form ablo Yöntem ablo kuralları Özet UYGULAMA PROBLEMLERİ VE BİLGİSAYAR KODU Fabrka Üretm Programlaması (Maksmum problem) Reklam Gderler (Mnmum Problem) Dyet Problem (Mnmum Problem) İş Planlama Problem Lneer Programlama İçn C Kodu. 6 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

6 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl.. Sstem (.) nn çözüm kümes... 5 Şekl.. Konveks olmayan küme... 5 Şekl 3.. Fabrka problemnn grafk çözümü Şekl 3.. Reklam gderler grafk çözümü (mnmum problem) v

7 ÇİZELGE DİZİNİ ablo 3.. Dyet çn besn değerler v

8 . GİRİŞ.. Motvasyon Son yıllarda, matematk ve mühendslk, fzksel veya organzasyonel sstemlerde karar verme problemler üzernde önem arz etmektedr. Bunun temel neden, pahalı kaynakların dağılımında uygun br karar verme gerekllğnden ortaya çıkan belrgn ekonomk kazançların oluşmasında, ve y karar vermede, bu tür problemlern gerçekç matematksel formülasyonunun yapılablmesdr. Yüksek hızlara sahp dgtal blgsayarın gelştrlmes, karar verme blmnn gelşmesnde ayrıca öneml br rol oynamış olup, aynı zamanda uygulamalı matematkte de br devrm yaratmıştır. Karar verme problemlernn formülasyonu çn temel yaklaşımda, en y ya da optmal karar kavramının oluşması doğaldır. Bu tür br yaklaşımda, performans veya br kararın değern özetleyen tek br reel ncelk, değşk alternatfler çnden yalıtılarak, duruma göre ya mnmze ya da maksmze yan optmze edlr. Ortaya çıkan optmal karar, karar verme problemnn çözümü olarak alınır. Aşağıdak problem bu türden br probleme örnektr. Örnek... Br üretcnn ham madde envantern göz önüne alalım. Üretc, ham maddelerden n farklı tp ürün elde edeblen üretc araca sahp olsun. Üretcnn problem, kazancını maksmum yapacak şeklde, ham maddelern olası ürünlerne göre ayarlamasıdır. Problemn deal şeklyle, üretm ve kazanç modelnn lneer olduğunu kabul edelm. Her br j ürününün brm satış fatı p j, j =,,..., n olsun. Eğer j, j ürününün üretlecek mktarını, b, halhazırdak ham maddesnn mktarını, ve a j, br brm j ürünündek maddesnn mktarını gösterrse bu durumda üretc, ham maddelern mktarı üzerndek üretm kısıtları

9 ve üzernden a + a a nn b a + a a b n n M a + a a b m m mn n m n 0, 0,..., 0 p+ p pnn M kazancını maksmum yapmak stemektedr. Lneer eştszlk kısıtları altında br lneer objektf fonksyonu le karakterze edlen yukarıdak tpten br problem, br lneer (doğrusal) programlama problem olarak adlandırılır. Lneer programlama term blgsayar programlamasından zyade, ş ve ekonomk yatırımların programlanması anlamına gelmektedr... emel anım ve Kavramlar Lneer programlama optmzasyon problemlern çözmek çn br araçtır. 947 de George Dantzg [] doğrusal programlama problemlern çözmek çn Smpleks algortması adında etkn br yöntem gelştrmştr. Lneer programlama en yaygın olarak sınırlı mktardak kaynakların çeştl faalyetlere optmal şeklde paylaştırılmasına yönelk problemlerde kullanılır. Bu kapsamda lneer programlama başta endüstr, ulaştırma, eğtm, ekonom, bankacılık, asker faalyetler, tarım ve sağlık olmak üzere pek çok alanda uygulama mkanı bulan br yaklaşım olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu bölümde lneer programlamanın genel tanımlamasında kullanılan temel kavramlar tanıtılacaktır.... Konvekslk ve lneer eştszlkler Lneer eştszlkler teors, y blnen lneer eştlkler teorlerne paraleldr. Burada konunun temel kısımlarını gelştrp, bazı uygulamalarına değneceğz.

10 eor, doğal olarak temelde sıralı reel doğru yapısı çerdğnden, tezde kullanılan tüm vektörler ve matrsler reel değerl olarak kabul edeceğz., reel sayılar kümesn göstermek üzere, eştszlğn n dek herhang k ve y noktaları (vektörler) çn, k vektörün y olması çn gerek ve yeter koşul y ( n) şeklnde ve benzer olarak y, > y, veya < y eştszlklern bleşen bazında tanımlayalım. > y nn ( y ve y) le aynı anlama gelmedğn özellkle belrtelm. ( Bunun neden y nn her çn y anlamına gelmeyp, sadece bazı ler çn y anlamına gelmesdr.) Br n değşkenl m zayıf lneer eştszlk sstem; A nın m boyutlu olduğu m n, n n ve b nn de A b (.) şeklnde br eştszlk olarak yazılablr. Bu sstemdek her br breysel eştszlk; a + a an n b ( m) veya A satır, A matrsnn ync satır vektörünü göstermek üzere A b satır şeklndedr. Böyle br sstem lglendren en temel soru sstemn tutarlı olup olmamasıdır. Dğer br fadeyle A b olacak şeklde br var mıdır? Eğer sstem tutarlı se bu durumda çözümler bulablmek çn algortmalar arayablrz. Genel olarak, 3

11 n a j j b ( m ) j= n a j j > b m + m j= ( ) formunda daha genel tpten lneer eştszlk sstemlern ncelemek mümkün olmakla brlkte, bastlk çn şmdlk sadece (.) tpndek sstemler göz önüne alalım. Ne olacağını görmek çn öncelkle aşağıdak bast sstem nceleyelm (.) n = ve m = 3 olmak üzere bu sstem matrs formunda 3 6 şeklnde yazılablr. + eştszlğn sağlayan noktalar, + doğrusunun = br tarafında bulunmaktadır. Bu doğru le brlkte, Sstem (.) den elde edlen dğer k doğrunun grafğnn çzlmes le, bu sstemn çözümü olan bütün noktaların kümesne karar vereblrz. Bu küme Şekl. de gösterlen üçgensel bölgedr. Eğer, Sstem (.) dek eştszlklern hepsn tersne çevrrsek, Şekl. den, tutarlı olmayan br sonuç elde edeceğmz kolayca göreblrz. Aynı zamanda, katsayılar matrsnde yapılan ufak değşklklerle çözüm kümes sınırsız olan br sstem de üreteblrz. ( Örneğn, üçüncü eştszlkte 3 yerne alalım.) Grafk, ayrıca çözüm kümesnn aşağıda tanımlayacağımız br konveks küme olduğunu göstermektedr. anım... K, br lneer (vektör) uzayın br alt kümes olsun. Eğer, K dak herhang k noktayı brleştren doğru parçası tümüyle K nın çnde kalıyor se K ya br konveks küme denr. Matematksel olarak, eğer 4

12 , y K 0 θ θ + ( θ ) y K oluyorsa, K ya konveks denr. Şekl., kümelere brer örnek göstermektedr. de konveks ve konveks olmayan Şekl.. Sstem (.) nn çözüm kümes Konveks küme Konveks olmayan küme Şekl.. Konveks olmayan küme Eğer k = ve θ 0 olması durumunda, vektörlern θ = k () θ formundak br = lneer brleşmne br konveks brleşm (kombnasyon) denr. Verlen br S kümesnden 5

13 seçlen noktaların tüm konveks brleşmlernn kümes S nn konveks kabuğu olarak adlandırılır ve co(s) le gösterlr. Böylece, co S k S k k () () ( ) = θ :,, θ 0, θ = = = kümesdr. Konveks kümelerle lgl bazı temel gerçekler aşağıdak sonuçlarda belrtlmştr. Lemma... K, n de (veya herhang br Hlbert uzayında) br kapalı konveks küme olsun. Bu durumda K mnmum norma sahp tek br nokta çerr. Dahası aşağıdak özellkler denktr: () 0 K () Her u K çn vu, > 0 olacak şeklde br v vektörü vardır. Lemma... (Caratheodory teorem) S n-boyutlu br lneer uzayın br alt kümes olsun. S nn konveks örtüsünün her noktası S nn en fazla n+ noktasının br konveks brleşmdr. Lemma..3. Sonlu boyutlu br normlu lneer uzayda br kompakt kümenn konveks örtüsü kompaktır. Lemma..4. (Lneer eştszlkler teorem) n dek br kompakt K kümes çn aşağıdakler denktr. () Her u K çn vu, > 0 olacak şeklde br v vektörü vardır. () 0, K nın konveks örtüsüne at değldr. eorem... Eğer K konveks br küme se o zaman K dak noktaların herhang br konveks brleşm yne K ya attr. 6

14 İspat. eoremn spatını tümevarım yöntemyle verelm. m = çn durum aşkar olup, m = nn doğruluğu se konvekslğn tanımından dolayı açıktır. m durumunu m - durumundan spatlamak çn, () lern K ya at noktalar olmak üzere m = λ ( ) = λ m ( m) + ( λ ) λ m m = λm ( ) m olur. Burada 0 λ m ve λ m = λ olup, katsayılar λ ( λm ) negatf değldr = ve toplamları dr. eorem... Konveks kümelern br alesnn kesşm yne br konveks kümedr. İspat. İndeks kümesndek her α çn K α nın konveks küme olduğunu kabul edelm. Eğer I Kα, y ve 0 θ se, bu durumda K α konveks olduğundan her α çn θ + ) y K ( θ α dır. Böylece, θ + θ ) y I Kα ( dır. Şmd, Sstem (.) nn çözüm kümes le lgl bazı teoremler verelm. eorem..3. Br lneer eştszlkler sstemnn çözüm kümes konveks br kümedr. İspat. a β şeklndek tek br lneer eştszlğn çözüm kümes ; a ( θ + ( θ ) y) = θa + ( θ ) a y θβ + ( θ ) β = β olduğundan dolayı konvekstr. Burada ve y ler çözüm kümesnn elemanlarıdır. Br lneer eştszlkler sstemnn çözüm kümes bu sstem meydana getren lneer eştszlklern çözüm kümelernn kesşmdr. Böylece, konveks kümelern herhang br alesnn kesşm de konveks olduğundan dolayı bu küme de konvekstr. 7

15 eorem..4. S kümesnn konveks kabuğu S y çeren en küçük konveks kümedr. İspat. K kümes S nn konveks kabuğu ve de S y çeren herhang br başka konveks küme olsun. K olduğunu spatlamalıyız. K nın herhang br elemanı, n S, λ 0 ve = λ = olmak üzere, = = λ formundadır. S y n çerdğnden olduğu açıktır. konveks olduğundan dr. K nın keyf br elemanı olduğundan K dr. eorem..5. (Ayırma eorem I ) X n R de kapalı konveks br küme olsun. Eğer p X e at olmayan br nokta se bu durumda, bazı v 0 çn v, p < nf X v, dr. İspat. S, p merkezl ve X kümes le kesşeblecek büyüklükte yarıçapa sahp kapalı br küme olsun. Bu durumda S X kompakttır. a p sürekl br fonksyon olduğundan mnmum değern S X kümesnde br ξ noktasında alır. Eğer X ve 0 < θ < se y θ + ( θ ) ξ K olup, dolayısıyla y p ξ p olduğu kolayca görülür. Böylece, ξ p θ + ( θ ) ξ p = ξ p + θ ( ξ ) θ ξ p, ξ + θ ξ = ξ p + olup, buradan 0 ξ p, ξ + θ ξ bulunur. Bu se, θ 0 çn 0 ξ p, ξ 8

16 demektr. v = ξ p dersek, son eştszlğ 0 v, p+ p ξ = v, p v = v, p v şeklnde yazablrz. Böylece dda edlenden daha güçlü olan 0 < v v, v, p eştszlğn elde etmş oluruz. Ayırma teoremnn uygun versyonları daha genel uzaylar çn de geçerldr. Şmd br n geometrk uygulamasından bahsedelm. R de br kapalı yarı-uzay, a n, λ ve a 0 olmak üzere { : a, λ} formundak br küme olarak tanımlanır. eorem..6. n dek her kapalı konveks küme, bu kümey çeren bütün kapalı yarıuzayların kesşmdr. İspat. X n kapalı ve konveks br küme olduğunu kabul edelm. X n kendsn çeren kapalı yarı uzayların kesşm tarafından kapsandığı açıktır. ers çn, p X e at olmayan br nokta olsun. Ayırma teoremnden, v, p < nf X v, olacak şeklde br v 0 vektörü vardır. λ = nf X v, 9

17 dersek X { v, λ} : olur k, bu yarı-uzay p y çermez. eorem..7. (Ayırma eorem II) ( n de ) X kapalı konveks br küme ve Y de kompakt konveks br küme olsun. Eğer X ve Y ayrık se bu durumda nf X v, > sup y Y v, y olacak şeklde br n v mevcuttur. İspat. İlk olarak Z = X Y kümesnn kapalı olduğunu gösterelm. z k Z olmak üzere z k z olsun. Acaba z Z mdr? k X ve y k Y olmak üzere zk = k yk alalım. Y nn kompaktlığından dolayı yk y Y olacak şeklde yakınsak br alt dz vardır. Böylece z k z ve k z + y dr. X kapalı olduğunda z + y X dr. O halde z X Y dr. 0 = y ( X, y Y ) eştlğ X ve Y nn ortak br nokta çerdğn fade edeceğnden, 0 X Y dr. Z nn konveks olduğunu göstermek kolaydır. Böylece Ayırma eorem I Z ye uygularsak, v,0 < nf X, y Y v, y olacak şeklnde br v vektörünün var olduğu sonucuna varablrz. Eğer eştszlktek nfmumu ε le gösterrsek, stenen eştszlk elde edlr. X ve y Y çn v, y ε olur k buradan da.3. Ekstrem Noktalar 0 < θ <, y K, z K ve y z olmak üzere = θy + ( θ ) z formunda yazılamayan br K noktasına K konveks kümesnn br ekstrem noktası denr. Dğer br fadeyle, br ekstrem nokta, K ya at olan herhang br doğru parçasının br ç noktası olmayan br noktadır. Denk br tanım; eğer K \{ } konveks se, K konveks kümesnn br ekstrem noktasıdır. Örneğn, br küpün ekstrem noktaları sadece köşe noktalarıdır. Br kürenn ekstrem noktaları se kürenn tüm sınır noktalarıdır. 0

18 Aşağıdak teorem Kren-Mlman eoremnn sonlu boyutlu versyonudur. ( Royden [968] ) eorem.3.. n -boyutlu uzaydak her kompakt konveks küme ekstrem noktalarının kümesnn konveks kabuğunun kapanışıdır. İspat. Bu teoremn spatını tümevarımla yapacağız. Eğer n = se konveks küme kapalı ve sınırlı br aralıktır. Böylece ekstrem noktalar aralığın k uç noktası olup, bu durumda teoremn doğru olduğu açıktır. Şmd n boyuttan az olan durumlar çn teoremn doğru olduğunu ve K nın n -boyutlu uzayda kompakt konveks br küme olduğunu kabul edelm. E, K nın ekstrem noktalarının kümesn H da E nn konveks kabuğunu göstersn. H = K olduğu spatlanmalıdır.(burada H, H nın kapanışını temsl etmektedr.) K konveks ve E K olduğunda H K elde edlr. K kapalı olduğunda H K olur. Şmd, p K / H kabul edelm.( a p ) dönüşümü le p = 0 olduğunu kabul edeblrz. 0 H olduğunda Lemma..4 den her u H çn vu, > 0 olacak şeklde br v vektörü vardır. { v, K} c = sup : dyelm. 0 K olduğunda c 0 dır. K kompakt olduğunda bu supremum vardır. Yan, { :, } / K = K v = c kümes boş değldr. / K kümes de br hperdüzlem üzernde yattığından; kompakt, konveks ve n boyutludur. ümevarım hpoteznden dolayı / K, en azından br z ekstrem noktasını çerr. Şmd z nn aslında K nın br ekstrem noktası olduğunu spatlayalım. 0 < θ < ve z K olmak üzere z = θz + ( θ ) z olsun. Buradan c= v, z = θ v, z +( θ) v, z θc+ ( θ) c= c

19 olup, böylece vz, = vz, = c ve z K / dr. Fakat z, / K nün br ekstrem noktası olduğundan z = z dr. Bu da z E olduğunu spatlar. Böylece v, z < 0 c olur k bu da çelşkdr. Optmzasyon problemlernde ekstrem noktaların önem, br kompakt konveks küme üzernde br lneer fonksyonun mnmumunu bulmak çn ekstrem noktaları araştırma gerekllğnden çıkmaktadır. Aşağıdak sonuç bununla lgldr. eorem.3.. K, n de br kompakt, konveks küme ve f de n de br lneer fonksyonel (yan n den ye br lneer dönüşüm) olsun. f fonksyonelnn K dak maksmum ve mnmum değerler K nın ekstrem noktalarıdır. İspat. { f ( ) K} c = sup : olsun. f fonksyonel sürekl ve K da kompakt olduğundan { : ( ) } / K = K f = c kümes boş küme değldr. Aynı zamanda bu küme konveks ve kompakttır. O halde, Kren-Mlman teoremnden / K, z gb br ekstrem noktaya sahptr. Kren-Mlman eoremnn spatındakne benzer şeklde, z K nın br ekstrem noktasıdır. K dak f fonksyonunun mnmumunun spatı, f fonksyonunun maksmumunun gözönünde bulundurulması le elde edlr.

20 .4. Lneer Eştszlkler X reel csm üzernde br vektör uzayı olsun. Br lneer fonksyonel X den n ye br lneer dönüşümdür. Br lneer eştszlk se f nn lneer br fonksyonel olduğu f () α eştszlğdr. Bu tpten tek br eştszlk çözüm kümes olarak { : f ( ) α} bçmnde br yarı-uzaya sahptr. Burada asıl lg alanımız; I sonlu olması gerekmeyen br ndeks kümes olmak üzere f ( ) α, ( I ) lneer eştszlkler sstem olacaktır..4.. Homojen denklem sstemler Lneer cebrdek homogen denklem sstemler le lgl br teorem le başlayayıp, daha sonra da eştszlkler çn benzer yapıları vereceğz. Br f fonksyonelnn sıfır uzayını f 0 { X : f ( ) = 0} = kümes le gösterelm. { f f f } kümesnn lnear gerenn de ( ) belrtelm.,,..., m L f, f,..., f m le eorem.4.. (Lneer Bağımlılık eorem) Br lneer fonksyoneller kümes çn aşağıdakler denkdr. () f m 0 0 I f = () f L( f f,..., ), f m İspat. () () olduğunu göstermek kolaydır. Gerçekten, eğer f = λ f ve = I m = 0 f se bu durumda çn f ( ) = 0 olup böylece f ( ) = 0 olduğu açıktır. m ersnn spatı çn m üzernde tümevarım kullanacağız. Kabul edelm k m = ve 0 0 f f olsun. Eğer = 0 0 f se f = X 0 olup, dolayısıyla f = X ve f = 0 dır. Bu durumda f L f ) dr. Eğer f 0 se f ( y ) olacak şeklde br y noktası alalım ( = ve kabul edelm k, X n herhang br noktası olsun. Buradan, 3

21 [ f ) y] = f ( ) f ( ) f ( y) 0 f ve böylece ( = ) 0 f ( y f dır. Hpotezden 0 dolayı, f ( y f dır. O halde, f ( ) f ( ) f ( y) = 0 yan f = f ( y) f dr. ) Böylece f L f ) olur. ( Şmd m tamsayısı çn teorem doğru olsun. f 0 m+ I = 0 f kabul edelm. Y dyelm. Bu, X n br altuzayıdır. Y nn kısıtlamasını f Y 0 = f m+ notasyonu le göstererek, ( f Y ) 0 I m ( Y ) = f dr. ümevarım hpoteznden uygun λ ler çn, m f Y = = λ. f Y dr. Şmd, k denk denklem; ( f m λ f = ) Y = 0 ve m 0 0 ( f λ ) f f m+ dır. eoremn m = durumunu kullanarsak, bazı λ m+ ler çn, = f m λ f = = λ m+ f m+ sonucuna varırız..4.. Lneer eştszlkler Şmd yukarıdak teoremn lneer eştszlklere karşılık gelenn verelm. Fonksyonların sıfır uzaylarına karşılık gelen kavram bu durumda 4

22 f + = { X : f ( ) 0} yarı-uzayları olacaktır. doğurduğu f,...,, f f m lern sıradan lneer geren yerne, bunların C m, f m = λ f : λ = { f f..., } 0 konsn göz önüne alacağız. eorem.4.. (Farkas eorem) f ve f lneer fonksyonları çn aşağıdakler denktr. () f I m + = + f () f C f, f,..., f ) ( m İspat. Eğer () doğru se buradan kolayca () elde edlr. Gerçekten, λ 0 olmak üzere, m f = λ = f olsun. Eğer I m + f se, bu durumda her çn f ( ) 0 ve böylece açıkça f ( ) 0 dır. = ersnn spatını n X = kabulü altında verelm. Her lneer fonksyon, uygun br v çn f ( ) = v, formundadır. Şmd C, C f, f,..., f ) konsn göstermek üzere, f C olduğunu kabul edelm. Ayırma teoremnden, ( m v, f < nf u C v, u olacak şeklde br v vektörü vardır. 5

23 k = nf u C v, u olsun. 0 C olduğunda, k 0 dır. Eğer k < 0 se k v, u < 0 olacak şeklde br u C seçelm. üm poztf t ler çn, tu C dr. Eğer t yeternce büyük se v, tu < k olacaktır k bu da çelşkdr. O halde k = 0 dır ve her u C çn, v, f < 0 v, u dır. Buradan f ( v) < 0 f ( v) elde edlr k bu da () nn yanlış olduğunu gösterr. Farkas eorem aşağıdak matrs-vektör formülasyonuna sahptr. eorem.4.3. Verlen br A matrs ve br c vektörünün aşağıdak özellkler denktr. () Her çn, eğer A 0 se c 0 dır. () Bazı y ler çn, y 0 ve c = A y dr utarlı ve tutarlı olmayan sstemler Şmd eorem.4.3 ün homogen olmayan br benzern vereceğz. Bunun çnde şu termnolojy kullanacağız: Eğer g β ( ) sstemnn her br çözümü f( ) şeklndek br eştszlk sstemnn de br çözümü se knc ssteme brncnn br sonucudur denr. Böylece, α dr. { g ( ) β :, } { : f ( ) α } eorem.4.4. (Homojen olmayan Farkas teorem) Eğer f () α lneer eştszlğ 6

24 g ( ) β ( n) tutarlı lneer eştszlkler sstemnn br sonucu se bu durumda, uygun θ 0 lar çn ; f = n = θ g ve θ β α n = dır. İspat. g ( ) λβ 0 ( λ > 0) (.3) sstemn gözönüne alalım. Eğer (,λ) kls (.3) sstemn çözüyorsa, bu durumda g λβ ( ) ve g / ) Böylece, ( λ β elde edlr. eoremdek hpotezden f ( / λ) α dır. f ( ) λα 0 (.4) olur. Bu se (.4) eştszlğnn (.3) eştszlğnn br sonucu olduğunu gösterr. Şmd, g ( ) λβ 0 ( λ 0) (.5) sstemn gözönüne alalım. Eğer (.4), (.5) n br sonucu se Farkas eoremnn homojen formu uygulanırsa n ( f ; α ) = θ ( ; β ) + θ (0; ( θ 0) = g 0 ) elde edlr. Burada ( f ; α ) kls bastçe br vektör çftn göstermektedr. Bu sonuç aşağıdak formda da yazılablr. f = n θ g α = θ β θ = n n 0 θ β = = 7

25 Bu se spatlanmak stenen şeydr. Fakat spatımız bununla btmemektedr. Çünkü (.4) ün (.3) ün sonucu olduğunu gösterdğmz halde (.5) n sonucu olmayablr. Bu durumda (.5) n (.3) ün ya da (.4) ün de çözümü olmayan br çözümü vardır. Bu şeklde br çözümü fade eden ( ),λ u çn mutlaka λ = 0 dır. Çünkü dğer durumda bu çft (.3) ü ve dolayısıyla (.4) ü de çözer. O halde, g ( u) 0 > f ( u) dur. Hpotezden dolayı g ( v) β olacak şeklde br v vektörü vardır. f ( u + λ v) < λα olacak şeklde poztf br λ sayısı seçelm. Bu mümkündür çünkü, λ 0 olduğunda sol taraf negatf f (u) ya yakınsarken sağ taraf da 0 a yakınsar. Böylece, g ( u / λ + v) g ( v) β çn f ( u / λ + v) < α olduğundan hpotez le br çelşk elde etmş oluruz Matrs-vektör formları eorem.4.4 ün matrs-vektör bçmnde fade edlş aşağıdak gbdr. eorem.4.5. Eğer, A b sstem tutarlı ve, A b c < α sstem de tutarlı değl se, A y = c y b α y 0 sstem tutarlıdır. eorem.4.6. Eğer, 8

26 A = b 0 (.6) sstem tutarlı değl se, A y 0 b y 0 (.7) sstem tutarlıdır. İspat. Eğer (.6) tutarlı değl se buradan, b K { A : 0} dır. K kapalı ve konveks olduğunda, Ayırma teorem uygulanır ve aşağıdak şeklde br y vektörü vardır. y, b < nf 0 y, A Bu hesaplamada 0 olableceğnden y, b < 0 elde ederz. Gerye A y 0 olduğunu göstermek kalır. Eğer bu doğru değlse, bu durumda bazı α ndeks çn ( A y) < 0 dır. α = λδ koordnatlı br vektör olsun. Bu durumda,, j α j n ( ) j λ( ) ya, = Ay = Ay ( λ + ) α j= j olur. Bu durumda uygun λ çn, y, A < y, b olup bu se çelşkdr. O halde, y (.7) sstemn çözer. eorem.4.7. Eğer, A b, 0 (.8) sstem tutarsız se, bu durumda 9

27 A y 0, b y< 0, y 0 (.9) sstem tutarlıdır. İspat. Eğer (.8) sstem tutarsız se, bu durumda A + z = b, 0, z 0 (.0) sstem de tutarsızdır. (.0) u,, = b 0 z z [ A I] (.) şeklnde yazarsak, eorem.4.6 dan A y 0 b y < 0 I (.) sstem tutarlıdır. Bu se Sstem (.9) le aynıdır. 0

28 . LİNEER PROGRAMLAMA Lneer eştszlk kısıtları altında br lneer objektf fonksyonu le karakterze edlen Kısım., Örnek.. dek tpten br problem, br lneer (doğrusal) programlama problem olarak adlandırılır. Lneer programlama term blgsayar programından zyade, ş ve ekonomk yatırımların programlanması anlamına gelmektedr. En açık ve teknk anlamda, lneer programlama aşağıdak şeklde fade edleblr.. İlk Standart Form c n m R, b R ve A m n n R olsun., R A b ve 0 kısıtlarına altında c n maksmum değern bulunuz. Burada (,..., ) {, n} = olmak üzere, 0 vektör eştszlğnden kasıt,, n,..., çn 0 olması anlamındandır. Benzer şeklde A b eştszlğ; her {,,..., m} çn aj j b n j= anlamına gelmektedr. Şmd, lneer programlamada yaygın olarak kullanılan bazı termnolojler tanımlayalım: n { :, 0} K = A b kümesne uygun küme denr. v = sup c : K { } sayısına problemn değer denr. K nın herhang br noktası br uygun nokta olarak adlandırılır. c = v olacak şekldek herhang br K noktasına br çözüm veya br optmal uygun nokta denr. n a c = c j = jj fonksyonu objektf (amaç)

29 fonksyonu olarak adlandırılır. Problem, A, b, c verler le tam olarak belrlendğnden problem genellkle ( A b, c), lneer programlama problem olarak fade edlr... Problemler Dönüştürme eknkler Değşkenler lneer eştszlk kısıtları olan br lneer fonksyonun optmzasyonunu çeren hemen hemen bütün problemler, lneer programlama formatı le verleblr. Bunun çn çoğu zaman aşağıdaklerden br veya brkaçına gereksnm vardır. () Eğer c n mnmum yapılması stenyorsa bu, c n maksmum yapılması le aynı anlama gelmektedr. () a β formundak herhang br kısıt a β ya denktr. () a = β formundak herhang br kısıt a β, a β ya denktr. (v) a β formundak herhang br kısıt a β, a β ya denktr. (v) Eğer amaç fonksyonu artı br sabt çeryorsa, bunun çözümde hçbr etks yoktur. Böylece, c + β nın maksmumu, c n maksmumu le aynı noktaları verr. (v) Eğer verlen br problem br j değşkennn negatf olmama koşuluna gereksnm duymuyorsa j y, j = u v şeklnde negatf olmayan k j j değşkenn farkı olarak fade edeblrz. Örnek... Aşağıdak problem standart formda lneer programlama problemne dönüştürelm. Mnmum: = 6 Kısıtlar: , 0

30 Çözüm. u =, u = ve u 3 u4 = 3 olarak kabul edelm. Böylece bze verlen lneer programlama problem aşağıdak şekle dönüşmüş olur. Maksmum: 7u u u3 + u4 Kısıtlar: u + u + u3 u4 3u 4u + u3 u4 6 3u + 4u u3 + u4 6 u + u + 3u3 3u4 5 u u 3u3 + 3u4 5 u 0, u 0, u3 0, u4 0 Verlen br ( A b, c), lneer programlama problemnn br çözümü olablr de olmayablr de. Eğer, K uygun kümes boş küme olursa hç br çözüm varolmaz. Eğer, uygun küme boş olmayan ve sınırsız br küme se objektf fonksyonunun K da br üst sınırı olmayablr. Bu durumda v = + olup çözüm yoktur. Eğer, K boş küme se v = olur çözüm yne yoktur. Eğer, K boş küme değlse ve sınırlı se, bu durumda en az br çözüm vardır. Bu, K nın bu durumda kompakt ( n de kapalı ve sınırlı) olmasının ve böylece, objektf fonksyonunun (k sürekl fonksyondur) supremumunu K da almasının sonucudur..3. Dual Problem Herhang br (,, ) A b c lneer programlama problem le ( A, c, b) şeklnde br başka problem lşklendrleblr. Bu probleme orjnal problemn dual denr. Örneğn, Maksmum: 3 Kısıtlar: , 0 problemnn dual aşağıdak gbdr. 3

31 Maksmum: 8y 5y 3y3 Kısıtlar: 7y+ 3y 6y3 3 y 5y + y 3 y 0, y 0, y3 0 Aşağıdak teoremler br lneer programlama problem le onun dual problem arasındak lşkler vermektedr. eorem.3.. Eğer, ( A b, c) dual problem çn uygun noktalar se, bu durumda, lneer programlama problem çn ve y de ( A, c, b) c y A b y olur. Eştlk durumunda, ve y ler sırasıyla kend problemlernn çözümler olur. İspat. Hpotezden, ve y noktaları aşağıdak eştszlkler sağlar. 0 A b y 0 A y c. Buradan, c ( A y) = y A y b = b y elde edlr. Böylece, her k problemdek v ve v değerler aşağıdakler sağlamak zorundadır. c b v y v b y c Eğer c = b y se c = v = b y = v olduğu açıktır. 4

32 eorem.3. çoğunlukla lneer programlama problemndek v değern tahmn etmek çn kullanılır. Eğer ve dual problemdek y uygun noktaları blnyorsa, c v b y eştszlğ v çeren br aralık tanımlar. Lemma.3.. Eğer, A b sstem tutarlı se (yan br çözüme sahpse), ve A b c < α sstem tutarsız se (yan çözümü yoksa), bu durumda A y = b y b α y 0 sstem tutarlıdır. Lemma.3.. Eğer, A = b 0 sstem tutarsız se, bu durumda A y 0 b y 0 sstem tutarlıdır. Lemma.3.3. Eğer, A b 0 sstem tutarlı değlse, bu durumda A y 0 b y< 0 y 0 5

33 sstem tutarlıdır. eorem.3.. Eğer br lneer programlama problem ve onun dual uygun noktalara sahpseler, her k problemn de çözümü vardır ve bu çözümlern br dğernn negatfdr. İspat. eorem.3. den 0 A b y 0 A y c c b y olacak şeklde ve y nn var olduğunu spatlamak yeterldr. Gerçekten, bu koşullardak (, y) kls, orjnal problem çn, ve dual problem çn de y çözümlern verr. Aşağıdak lneer eştszlk sstemnn tutarlı olduğunu spatlamalıyız. A 0 c A b 0 y b c 0 y 0 0 Aksne, bu sstemn tutarlı olmadığını kabul edelm ve bu durumda br çelşk elde etmeye çalışalım. Lemma.3.3 den u A 0 c 0 v 0 A b 0 λ u b c 0 v < 0 λ u v 0 λ sstem tutarlıdır. Burada u ve v vektörler ve λ br sabttr. ( u,v,λ) nın bu sstem sağladığını kabul edelm. Böylece, 6

34 Au λc 0 Av+ λb 0 bu cv< 0 u 0 v 0 λ 0 olur. İlk olarak λ > 0 olduğunu kabul edelm. Bu durumda v çn λ u da ( A c, b) dolayı c ( v) b ( λ u) λ, ( A b, c), problem, dual problem çn uygundur. Böylece, eorem.3. den λ ve b u c v 0 olur k bu da çelşkdr. Eğer λ = 0 se A u 0 Av olur. orjnal problem y y de dual problem çn uygun aldığımızda daha öncek eştszlkte çelşk elde ederz: ( A y) v = y Av ( A u) = u ( A) u b = b u c v 0 eorem.3.3. Eğer br doğrusal programlama problemnn veya onun dualnn çözümü var se dğernn de çözümü vardır. İspat. Dual problemn dual orjnal problem olduğundan dolayı teoremn sadece br durumunu spatlamak yeterldr. Kabul edelm k ( A c, b) çözümüne sahp olsun. Bu durumda,, dual problem br y 0 A y c 0 y b y b y0 eştszlk sstem tutarlı değldr. Kuşkusuz, üçüncü eştszlğn hmal edldğ karşılık gelen sstem tutarlıdır. utarlı olmayan sstem aşağıdak formda yazalım. c y I 0 A b y b y0. Lemma.3. den u [ u ] b y0 [ A I ] = b c 0 0 u 0 7

35 sstem tutarlıdır. Böylece, ve buradan, A + u = b c b y0 0 u 0 A b c b y 0 0 elde edlr. Böylece, eorem.3. den, orjnal problemn çözümüdür. eorem.3.4. ve y sırasıyla doğrusal programlama problem ve onun dual çn uygun noktalar olsun. Bu noktaların sırasıyla kend problemlernn çözümler olması çn gerek ve yeter koşul, y > 0 olacak şekldek çn ( ) A = b, ve > 0 olacak şekldek çn ( A y) = c olmasıdır. İspat. Eğer ve y ler çözümler se, eorem.3. ve.3. den y b = b y = y A = c = c olup, buradan ( ) 0 ( b ( A) ) = 0 y b A = dır. y 0 ve b A 0 olduğunda çn y olur. Böylece, > 0 Dğer durum smetrden elde edlr. ersne, ( c ( A y) ) = 0 olduğunu kabul edelm. Buradan y çn br ndeks olduğunda, ( ) b A = olur. çn y ( b ( A) ) = 0 ve b y = y b = y A = A y = c = c olur. eorem.3. den ve y sırasıyla kend problemlernn çözümlerdr. 8

36 .4. Smpleks Algortması Lneer programlama problemlernn çözümlernde en güçlü algortmalardan brs Smpleks algortmsıdır. Bu kısımda bu algortma tanıtılacaktır..4.. İknc standart form Standart teknkler anlamında, br lneer programlama problem aşağıdak forma dönüştürüleblr. n n m, c, b ve n maksmum değern bulunuz. A m n olmak üzere, b A = ve 0 kısıtları altında c c n objektf (amaç) fonksyonunu tanımladığını hatırlayalım. Ayrıca, eğer br lneer programlama problemnn formunda kısıtları varsa, A b A + u = b olacak şeklde br u 0 vektörü tanımlanarak, yukarıda verlen knc standart formun elde edlebleceğn not edelm. İknc standart formdak problem çn uygun küme { n :, 0} K = A= b dır. Herhang K çn, n bleşenler poztf olacak şeklde { } I( ) = : n ve > 0 nds kümesn tanımlayalım. A matrsnn kolonları A, A,..., A n olsun. Böylece, 9

37 A = b denklem n = A = b şeklne dönüşür. Şmd aşağıdak öneml teorem verelm eorem.4.. K olsun. n aşağıdak özellkler denktr. (), K nın br ekstrem(uç) noktasıdır. () { A : I( ) } lneer bağımsızdır. İspat. () nn doğru olduğunu kabul edelm. () nn doğruluğunu spatlayacağız. u K, v K ve 0 < θ < olmak üzere = θu + ( θ ) v olsun. Her br I( ) çn 0 = = θu + ( θ ) v olur. Böylece, u 0, v 0 olduğundan, her I( ) çn u = v = 0 sonucu ortaya çıkar. Buradan, 0 = Au Av = n ( u v ) A = = I ( ) ( u v ) A elde edlr. () den, u = v olur. O halde, K nın br ekstrem noktasıdır. Şmd kabul edelmk () doğru olsun. Eğer, w = 0 se, bu durumda I( ) A I ( ) çn w = 0 alalım. Açıkça I ( ) ( m λw ) A = b dr. I( ) çn > 0 olduğundan, + λw > 0 ve λw > 0 olacak şeklde yeternce küçük br λ 0 alablrz. Böylece, u = + λw ve v = λw lar uygun noktalardadır. = ( u+ v ) ve, K nın br ekstrem noktası olduğunda, u = v ve böylece w = 0 olur. Bu ()y spatlar. 30

38 Sonuç.4.. K uygun kümes sadece sayılablr çoklukta ekstrem noktası çerr. İspat. E, K nın ekstrem noktalarının kümes olsun. Her E çn { n} I( ),,..., ve böylece {,,..., n} I: E dr ( S gösterm S nn tüm alt kümelernn alesn göstermektedr). Bu şeklde (E üzernde) tanımlanan I dönüşümü brebrdr. Bunu göstermek çn her, y E, y olsun. Bu durumda, n b= A= A = A = I( ) n b= Ay = y A = y A = I( y) olur. Eğer I( ) I( y) = se, bu durum { A: I( ) } kümesnn lneer bağımsızlığı le çelşr. Böylece, {,,..., n} I: E çne olan bu dönüşüm E nn elemanlarının n den fazla olamayacağını gösterr. Dantzg [] n smpleks algortması k kısım çerr. İlk kısımda, K nın br () başlangıç ekstrem noktası bulunur. İknc kısımda se, oluşturulan her noktada objektf fonksyonu artan olacak şeklde, () den başlanarak sonlu sayıda ekstrem noktaları oluşturulur. Bu dzy () () (3),,... şeklnde gösterrsek () () (3) c < c < c <... olur. Eğer problemn br çözümü yoksa bu durum algortmanın akışından anlaşılır. Eğer, lneer programlama problem br çözüme sahpse, bu durumda algortmanın sonlu br adımında objektf fonksyonunu maksmum yapan br k ekstrem değer yan çözüm üretlr..4.. Soyut form Bu kısımda, algortmanın knc kısmının soyut formunu açıklayacağız. Öncelkle aşağıdak hpotez kabul edelm. Kabul.4.. (Düzgünlük kabülü) K uygun kümesnn her br ekstrem noktası tam olarak m tane poztf bleşene sahptr. 3

39 Kabul edelm k, K nın br ekstrem noktasıdır. eorem.4. den, { A: I( ) } m kümes lneer bağımsızdır. O halde düzgünlük kabülünden dolayı küme çn bazdır. ( Bu nedenden dolayı bu şeklde bulunan noktasına lteratürde temel uygun nokta denlmektedr.) A = D A ( j n ) j j I( ) olacak şeklde D katsayıları varolmalıdır. Eğer I() se D = 0 alırsak, bu j j durumda veya A n = D A j j = A= AD olur. c, objektf fonksyonunda yer alan vektör olmak üzere d = D c tanımlayalım. D ve d nn e bağlı olduğunu ve algortma boyunca değşeceğn not edelm. Herhang q I( ) ndeks ve herhang br λ çn n b= A= A + λa λ D A q q = = n = ( λd + λδ ) A = = n = q q ya n dr. Böylece, y = λ D q + λd olmak üzere q Ay = b 3

40 dr. Burada D, D nn q. kolonunu göstermektedr. Şmd amacımız y n K nın br q ekstrem noktası (yan y 0 ) ve c y > c olacak şeklde q ve λ yı seçmektr. q I() olduğunda D = 0 ve = 0 olup, böylece y = λ dır. y br uygun nokta olacağından, λ 0 olmalıdır. Şmd, qq q q n n n c y = c λ cd q + λ cδq = = = = + c λc Dq λcq = c λ( c d ) q q olur. Objektf fonksyonunun değern artırmak çn q yu c > d olacak şeklde q q seçelm. Eğer c d se, q varolamaz ve hesaplama durur: çözümdür. Dğer durumda cq d q yu mümkün olduğu kadar büyük yapacak şeklde q yu seçelm ve bu adımdan sonra sabtleyelm. λ nın seçm, λ >0 ve I( y ) en fazla m elemana sahp olacak şeklde yapılır. y nn tanımında I( y) I( ) { q} U olduğu görülür. I( ) n tam olarak m elemanı olduğundan, λ yı, λd nun termlernden br tanes 0 ve dğerler 0 olacak q şeklde seçelm. Bununla beraber, dkkat edlrse eğer her n çn D 0 se, bu q durumda λ >0 çn y K dır. c y nn yukarıdak formülünden bu durumda, lm c y = + dur. Böylece, objektf fonksyonu K da sınırsız olduğundan, br çözüm λ yoktur. Eğer nn br veya brkaç değer çn D > 0 se, λ yı sıfırdan artan olarak düşüneblrz. Başlangıçta, I() çn λ D > 0 dır. Bu termlern bazıları azalmaktadır ve bunlardan br tanes 0 olduğunda, karşılık gelen λ yı alıyoruz. Yan, λ = mn : > 0, Dq > 0 D q q q 33

41 dır. Böylece y y tamamı le belrlemş olarak, bunun br ekstrem nokta olduğunu belrlemek styoruz. İlk olarak λ = D D > 0 olacak şeklndedr. Buradan pq p pq olduğunu kabul edelm. Burada p, > 0 ve p I(y) I( y) I( ) U { q} \{ p } eorem.4. den, { A : I( ) q { } \{ p }} kümesnn lneer bağımsız olduğunu spatlamak yeterldr. I ( ) β A + β A = 0, β = 0 q q p olduğunu kabul edelm. Eğer β = 0 se, bu denklem q β A I ( ) = 0 denklemne ndrgenr. { A: I( ) } n lneer bağımsızlığından, I() çn β = 0 olur. O halde, bu durumda bütün β ler 0 dır. Bu yüzden βq 0 duruma bakacağız. Homojenlk neden le β = olduğunu kabul edelm. Böylece, denklem q A = β A, β = 0 q I () p olur. Aynı zamanda, A q = n D A = q = I ( ) D q A 34

42 dr. { A: I( ) } n lneer bağımsızlığından, β = Dq sonucu ortaya çıkar. Fakat, β = 0 ve D > 0 olduğunda bu doğru olamaz. Böylece, β q mutlaka 0 olmalıdır. O p pq halde y K olup br ekstrem noktadır. İspatlanması gereken br ayrıntı daha vardır: Eğer c d se, bu durumda çözümdür. Bunun çn u nun br uygun nokta olduğunu kabul edelm. Buradan, A = b = Au = A( D u) dur. Böylece, A ve olduklarından cu du= cdu= cbulunur. AD u, { A : I( ) } n lneer brleşmler = Du olur. Buradan, spatlamak stedğmz gb, Şmd yukarıda soyut olarak açıklanan smpleks algortmasına somut br örnek verelm. Örnek.4.. Maksmum: F( ) = Kısıtlar: = = 0, ( 5) problemn smpleks algortması le çözünüz. Çözüm. Standart formda, verler 0 0 A=, b=, c = [ ] dır. = ( 0,,0,,0 ) ve I( ) = {,4} le başlayalım. {, } A A ün 4 çn br baz olduğuna dkkat edelm. O halde, eorem.4. den, uygun kümenn br ekstrem noktası yan temel uygun noktadır. A nın her kolonu A ve A 4 ün br lneer brleşmdr. Aslında, A = A + A4, A = A, A3 = A4, A4 = A4 ve A5 = A + A4 35

43 dür. Böylece D matrs D = olur. d vektörü, D matrsndek D satırlarının br lneer brleşmdr. Yan, = n = = = = [ ] d c D cd D D D 0 0 dr. c d vektörü [ ] c d = 0 0 olup, sadece br bleşen poztf ve q = 3 dür. D q, D nn q yüncü kolonunu göstermek üzere, = λd vektörü q [ 0 0 0] [ ] [ ] λd q = λ = λ şeklndedr. λ = alırsak, y vektörü, [ ] y = λd q + λd = bulunur. Aynı şlemler, yerne y alınarak tekrarlanırsa, knc adımda d = ( 3,,,,3 ) elde edlr. c d olduğundan y br çözümdür ve F( y ) = 3 dür. 36

44 .5. ablo Yöntem Smpleks algortmasının pratk kullanımında genellkle verler br tablo üzernde gösterlp, daha sonra bell kurallara göre ardışık adımlarla düzenlenr. Aşağıdak bast örnek bu algortmanın tablo yöntem le nasıl oluşturulacağını göstermektedr. Maksmum : F( ) = 6+ 4 Kısıtlar : , 0 Smpleks algortmasını kullanmak çn geçc değşkenlerle problem yenden düzenlersek; Maksmum: F( ) = Kısıtlar: = = = 0, 0, 3 0, 4 0, 5 0 olup, böylece Maksmum: F( ) = (6, 4, 0, 0, 0) Kısıtlar: = = (,, 3, 4, 5) 0 elde edlr. İlk vektör = (0,0,,5,) olup, bu verlern tümü aşağıdak gb br tabloda yazılır: 37

45 Smpleks yöntemnn her adımı br tablo le başlar. İlk satır objektf fonksyonu F nn katsayılarını çermektedr. F( ) = c n o ank değer sağ üst köşede gösterlmektedr. ablodak sonrak m satır, eştlk kısıtlarını oluşturan denklem sstemn temsl etmektedr. Bu ssteme uygulanan elemanter satır operasyonlarının, sstemn çözüm kümesn değştrmeyeceğn hatırlayalım. ablonun son satırı, o ank vektörünü çerr. Dkkat edlrse, en üst ve en alt satır kullanılarak, F( ) = c değer kolaylıkla hesaplanablr. ablonun genel formu; şeklndedr. C 0 F() A I b (temel olmayan) (temel).5.. ablo kuralları Smpleks yöntemnde yer alan her tablo mutlaka aşağıdak 5 kuralı sağlamalıdır. () vektörü mutlaka A=b eştlk kısıtlarını sağlamalıdır. () vektörü mutlaka 0 eştszlğn sağlamalıdır. () (v) (v) n (temel olmayan değşkenlere karşılık gelen ) 0 değern alan n bleşen ve gerye kalan ( temel değşkenlere karşılık gelen) genellkle sıfırdan farklı m bleşen vardır. ( Burada n ve m, geçc değşkenler sunulmadan öncek, orjnal problemle lgl değerlere karşılık gelmektedr.) Kısıtları tanımlayan matrsdek her temel değşken sadece br satırda yer alır. Objektf fonksyonu F, mutlaka temel olmayan değşkenler cnsnden fade edlmeldr. 38

46 Şmd tablo yöntemne devam edelm. Örnektek, lk tabloda temel değşkenler 3, 4 ve 5 ve temel olmayan değşkenler de ve dr. Dkkat edlrse bu tablo çn yukarıdak beş kural da doğrudur. Her adımda, temel olmayan br değşken br temel değşken yapmakla, F( ) n değernn artıp armayacağını görmek çn tablo ncelenr. Buradak örnekte ( 3, 4 ve 5 uygun şeklde ayarlanarak), veya nn artırılmasıyla F( ) n değernn gerçekten arttığı görülmektedr. F dek 4 katsayısı 6 katsayısından daha büyük olduğundan dek brm artış, F( ) dek brm artıştan daha fazla artıracaktır. O halde, sıfırda sabt tutup, nn mümkün olduğunca fazla artmasına zn vereceğz. Böylece: 3 = = = 7 olur. Bu kısıtlar sırası le,, 5, 3 olmasını gerektrr. Bunların her üçünü sağlayacak şeklde, 3 olmalıdır. O halde, y 3 e kadar artırablrz. 3, 4 ve 5 çn karşılık gelen yen değerler de verlen üç kısıttan elde edlr. Böylece, yen vektörü; = (0,3,9,6,0) olur. Yen temel değşkenler, 3 ve 4 olup, şmd daha önce verlen 5 kurala uyacak şeklde yen tabloyu belrleyelm. (v) nc kuralı sağlamak çn = ) / 7 ( 5 olduğuna dkkat edelm. Bunu F de yerne koyduğumuzda, objektf fonksyonu; F ( ) = = 6 + 4( 5 ) / 7 =

47 şekln alır. (v) kuralını sağlamak çn 7 y pvot eleman alarak Gauss elmnasyon yöntem (elemanter satır operasyonu) uygulayalım. Böylece, br denklem harç, tüm denklemlerden yok edlr. Bütün bu şlemler bttkten sonra brnc adım btmş olup, knc adım aşağıdak tablo le başlar: / /7 9 / / Şmd, ortadak durum başlangıçtak tabloya benzerdr. emel olmayan değşkenler ve 5 dr. 5 dek herhang br artış, F () de azalmaya neden olur. O halde, yen temel değşken olmalıdır. Aynı kuralla, 5 0 da sabt tutup n mümkün olduğu kadar artmasına zn verrsek; kısıtlarından = 9 (3/ 7) = 6 (/ 7) = 63/3 4 / elde edlr. O halde yen temel değşken, en fazla 4/ ye kadar artablr. 3, 4 ve nn karşılık gelen yen değerler tablodan veya yukarıdak kısıtlardan heaplanablr. Böylece yen vektörü: = (4 /, 7 /, /, 0, 0) bulunur. Yen temel olmayan değşkenler şmd 4 ve 5 dr. (v) nc kuralı sağlamak çn = 7 /)(6 ) alırsak, ( 4 40

48 F ( ) = = (4 /) 4 = (4 /)(6 4 4 ) / bulunur. F dek her k katsayı da negatf olduğu çn, üçüncü tabloyu tamamlamak gerekszdr. Bu se, 4 ve 5 temel olmayan değşkenlernn her ksnn de F() azaltmadan temel değşken olamayacağından dolayı, şmdk vektörünün br çözüm olduğunu gösterr. O halde orjnal problemde maksmum değer F (4 /,7 /) = 630 / dr..6. Özet Yukarıdak örnek ve açıklamalar ışığında, tablo yöntemnn herhang br adımıdak tabloda yapılması gereken ş aşağıdak gb özetleyeblrz: () Eğer F dek bütün katsayılar (yan, tablodak en üst satır) 0 se o ank () çözümdür. F dek katsayısı poztf olan ve mümkün olduğu kadar büyük olan temel olmayan değşken seçlr. Bu değşken yen j temel değşkendr. () Her br b, bulunduğu satırdak yen temel değşkenn katsayısı a j le bölünür. Yen temel değşkene atanan değer bu oranların en küçüğüdür. Böylece eğer b k / akj en küçük değer se j = bk / akj alınır. (v) a kj pvot elemanını kullanarak, Gauss elmnasyon le A nın j kolonunda 0 lar oluşturulur. 4

49 4

50 3. UYGULAMA PROBLEMLERİ VE BİLGİSAYAR KODU Bu bölümde, Bölüm de matematksel çözüm yapısı verlen lneer programlama problemlernn gerçek hayat problemlerne uygulamaları somut örneklerle ncelenecektr. Bölüm sonunda se problemlern çözümler çn C dlnde yazılmış br blgsayar kodu verlecektr. 3.. Fabrka Üretm Programlaması (Maksmum problem) Br oyuncak şrket askerler ve trenler olmak üzere k tp tahta oyuncak üretyor. 7 dolara satılan br oyuncak asker çn 0$ değernde ham madde kullanıyor. Üretlen her oyuncak asker şrketn şçlk değşkenn arttırıp, malyete lave olarak 4$ eklyor. $ a satılan br oyuncak tren çn 9$ değernde ham madde kullanılıyor. Yapılan her oyuncak tren şrketn şçlk değşkenn artırıp, malyete lave olarak 0$ eklyor. ahta askerlern ve trenlern üretmnde marangozluk ve clalama olmak üzere k tp şçlğe gereksnm duyuluyor. Br askern üretm çn saat clalama ve saat marangozluk gerekmektedr. Br trenn yapımında se saat clalama ve saat marangozluk gerekyor. Şrket haftalık htyacı olan ham maddeler bulabldğ halde ancak 00 saat clalama ve 80 saat marangozluk yapablyor. renler çn talep sınırsız olduğu halde haftada en fazla 40 asker satılıyor. Şrketn haftalık karını (gelrler - gderler) maksmum yapmak çn br matematksel model kurunuz. Çözüm. Karar Değşkenler : Lneer programlama modelnde karar değşkenler, üzernde karar verlmes gereken k veya daha fazla sayıdak faalyet fade eder. Açık olarak, şrket her hafta kaç tane oyuncak asker ve trenn üretleceğne karar vermeldr. Bu düşünceyle, : her hafta üretlen asker sayısı : her hafta üretlen tren sayısı olarak tanımlansın. Objektf (Amaç) Fonksyonu: Herhang br lneer programlama problemnde, karar verc, karar değşkenlernn br fonksyonunu (genellkle gelr veya karı) maksmum 4

51 veya (genellkle malyet) mnmum yapmak ster. Maksmum veya mnmum yapılmak stenen bu fonksyona objektf fonksyonu denr. Şrket problem çn sabt malyetlern (kralama ve sgorta gb) ve değerlerne bağlı olmadığını kabul edelm. Böylece şrket, (Haftalık gelr) - (Ham maddenn satın alınış malyet) - (Dğer değşken malyetler) değerlern nasıl maksmum yapacağı üzerne yoğunlaşmalıdır. Şrketn haftalık gelr ve malyet ve karar değşkenler cnsnden fade edleblr. Şrket çn satılacak mktardan daha fazla oyuncak asker üretmek gerekszdr. O halde üretlen bütün oyuncakların satılacağını kabul edersek, Haftalık gelr = Askerden sağlanan haftalık kazanç + renden sağlanan haftalık kazanç dolar askerler dolar trenler = + asker hafta tren hafta = 7 + olur. Ayrıca, Haftalık ham madde malyet = olur. Böylece şrket, Dğer haftalık değşken malyetler = (7 + ) (0 + 9 ) (4 + 0 ) = 3 + değern maksmum yapmaya çalışıyor. O halde şrket 3 + y maksmum yapacak ve değerlern bulmalıdır. Böylece, matematksel olarak amaç fonksyonu; maks z = 3 + (3.) 43

52 olur. Amaç fonksyonundak değşkenn katsayısına değşkenn amaç fonksyonu katsayısı denr. Örneğn; çn amaç fonksyonunun katsayısı 3, çn de dr. Bu örnekte, (ve dğer brçok problemde) her değşkenn amaç fonksyonu katsayısı, en bast anlamda değşkenn şrketn karına olan katkısıdır. Kısıtlar: ve arttığı sürece şrketn amaç fonksyonunun değerde artar. Böylece, eğer şrket ve değerlern seçmede özgür olursa bu değerler çok yüksek tutarak karını keyf br şeklde büyüteblr. Fakat ve değerler aşağıdak üç kısıtlama le sınırlıdır. Kısıt : Her hafta 00 saatten fazla clalama yapılamıyor. Kısıt : Her hafta 80 saatten fazla marangozluk yapılamıyor. Kısıt 3: Sınırlı talepten dolayı, her hafta en fazla 40 oyuncak asker üretlyor. Elde bulunan ham madde mktarı sınırsız olarak kabul edldğnden bu konuda kısıtlama yoktur. Şrket problemnn matematksel modeln kurmak çn br sonrak basamak Kısıt -- 3 ü ve karar değşkenler cnsnden fade etmektr. Kısıt ve karar değşkenler cnsnden fade edelm: toplam clalama saat clalama saat üretlen askerler = hafta asker hafta clalama saat üretlen trenler + tren hafta olup böylece Kısıt = ( ) + ( ) = (3.) 44

53 şekln alır. (3.) dek her br termn brmnn br haftalık clalama saat olduğuna dkkat edelm. Br kısıtın kabul edleblr olması çn kısıttak her termn aynı brmden olması gerekr. Aks halde bu elmalarla armutları toplamak gb olur k bu durumda kısıt br anlam fade etmez. Benzer şeklde Kısıt y ve karar değşkenler cnsnden fade edersek toplam marangozluk saat marangozluk saat üretlen askerler = hafta asker hafta marangozluk saat üretlen trenler + tren hafta = ( ) + ( ) = + olup, böylece Kısıt le fade edlr (3.3) Br haftada en fazla 40 oyuncak asker satılableceğnden, haftalık oyuncak asker üretmn 40 le sınırlıyoruz. Bu da aşağıdak kısıtı verr: 40 (3.4) Böylece (3.), (3.3) ve (3.4) şrketn lneer programlama problemnn kısıtlarının karar değşkenler cnsnden fadesdr. Kısıtlardak karar değşkenlernn katsayılarına genellkle teknolojk katsayılar denlmektedr. Bunun neden, bu katsayıların sıklıkla farklı ürünlern üretmnde kullanılan teknolojy yansıtmalarındandır. Örneğn, (3.3) dek nn teknolojk katsayısı ; br oyuncak askern yapımında saatlk marangozluk şne htyaç duyulduğunu belrtmektedr. İşaret Sınırlamaları: Lneer programlama problemnn kurulmasını tamamlamak çn son aşama her karar değşken çn aşağıdak sorunun yanıtlanmasıdır: Karar değşken sadece negatf olmayan değerler m kabul edyor yoksa hem poztf hem de negatf değerler alablr m? 45

54 Eğer karar değşken sadece negatf olmayan değerler kabul edyorsa 0 şaret kısıtlamasını ekleyeceğz. Eğer değşken hem poztf hemde negatf (yada sıfır) değerlern kabul edyorsa, nn şaret kısıtlaması olmadığını söyleyeceğz. Şrket problem çn, 0 ve 0 olduğu açıktır. Bazı problemler de karar değşkenler çn şaret sınırlaması olmayablr. Örneğn br frmanın nakt dengesn temsl etsn. Eğer frmanın borcu, elndek parasından daha fazla se negatf br değer alır. Bu durumda nn şaret sınırlaması olmadığını kabul edeceğz. 0, 0 şaret sınırlamalarını, (3.) amaç fonksyonu ve (3.),(3.3),(3.4) kısıtları le brleştrerek aşağıdak optmzasyon problemn elde ederz: + 00 (clalama kısıtı) 80 + (marangozluk kısıtı) 40 (askerlere talep kısıtı) 0 (şaret kısıtı) (3.5) 0 (şaret kısıtı) (3.6) kısıtları altında z = 3 + fonksyonunu maksmum yapan ve değerlern bulunuz. Uygun Çözüm Bölges ve Optmum Çözüm: Bu problemn çözümünü öncelkle Smpleks algortması le oluşturup, problem k değşkenl olduğu çn çözümü daha sonra grafksel olarak elde edeceğz. Bölüm dek yöntemle lk tablo

55 olup, lk başlangıç vektörü = (0,0,00,80,40) olarak alınablr. F( ) = olduğundan, F( ) dek brm artış daha fazla artıracaktır. O halde y sıfırda sabt tutup, n mümkün olduğunca fazla artmasına zn vereceğz. Böylece: = = = olur. Bu kısıtlar sırası le, 50, 80, 40 olmasını gerektrr. Bunların her üçünü sağlayacak şeklde, 40 olmalıdır. O halde, 40 a kadar artırablrz. 3, 4 ve 5 çn karşılık gelen yen değerler de verlen üç kısıttan elde edlr. Böylece, yen vektörü; = (40, 0, 0, 40, 0) ( ) = 3(40 ) + = olur. O halde knc tablo ve F dır. Gauss elmnasyon uygulanırsa olup, brnc adıma benzer şeklde bu kez y temel değşken yaparsak 47

56 0 3 = = 0 = 40 ve böylece y 0 ye kadar artırablrz., 3 ve 4 çn karşılık gelen yen değerler verlen üç kısıt cnsnden elde edlrse, yen vektörü = (40, 0, 0,0, 0) ( ) = (0 + ) = olur. Böylece, ve F olur. Gauss elmnasyon uygulanırsa bulunur. Şmd 5 temel değşken yapılırsa 0 0 = = = 5 olur. Bu kısıtlar sırası le, 5 0, 5 0, 5 40 olmasını gerektrr. Kural gereğ brnc eştszlk gözardı edleceğnden 5 0 olmalıdır. O halde, 5 0 ye kadar artırablrz., ve 4 çn karşılık gelen yen değerler de verlen üç kısıttan yazılırsa, yen vektörü; 48

kadar ( i. kaynağın gölge fiyatı kadar) olmalıdır.

kadar ( i. kaynağın gölge fiyatı kadar) olmalıdır. KONU : DUAL MODELİN EKONOMİK YORUMU Br prmal-dual model lşks P : max Z cx D: mn Z bv AX b AV c X 0 V 0 bçmnde tanımlı olsun. Prmal modeln en y temel B ve buna lşkn fyat vektörü c B olsun. Z B B BB c X

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

6. NORMAL ALT GRUPLAR

6. NORMAL ALT GRUPLAR 6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak

Detaylı

YÖNETİM VE EKONOMİ Yıl:2006 Cilt:13 Sayı:1 Celal Bayar Üniversitesi İ.İ.B.F. MANİSA

YÖNETİM VE EKONOMİ Yıl:2006 Cilt:13 Sayı:1 Celal Bayar Üniversitesi İ.İ.B.F. MANİSA YÖNETİM VE EKONOMİ Yıl:2006 Clt:3 Sayı: Celal Bayar Ünverstes İ.İ.B.F. MANİSA Bulanık Araç Rotalama Problemlerne Br Model Öners ve Br Uygulama Doç. Dr. İbrahm GÜNGÖR Süleyman Demrel Ünverstes, İ.İ.B.F.,

Detaylı

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının 1 DİĞER ÖZEL İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL DİYAGRAMLARI X, R, p, np, c, u ve dğer kontrol dyagramları statstksel kalte kontrol dyagramlarının temel teknkler olup en çok kullanılanlarıdır. Bu teknkler ell

Detaylı

ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR.

ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR. ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR Ebubekr İNAN DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Mehmet Al ÖZTÜRK ADIYAMAN 2011 Her

Detaylı

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim.

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim. SM de yer alacak fermyonlar Standart Model (SM) agrange Yoğunluğu u s t d c b u, d, c, s, t, b e e e,, Şmdlk nötrnoları kütlesz Kabul edeceğz. Kuark çftlern gösterelm. u, c ve t y u (=1,,) olarak gösterelm.

Detaylı

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain *

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain * BİR ESAS İDEAL BÖLGESİ ÜZERİNDEKİ SONLU DOĞURULMUŞ BİR MODÜLÜN DİREK PARÇALANIŞI * Drec Decompoon of A Fnely-Generaed Module Over a Prncpal Ideal Doman * Zeynep YAPTI Fen Blmler Enüü Maemak Anablm Dalı

Detaylı

ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN SINANMASI

ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN SINANMASI V. Ulusal Üretm Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Tcaret Ünverstes, 5-7 Kasım 5 ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN

Detaylı

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME. Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cinemre

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME. Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cinemre 1 DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME Hazırlayan: Ozan Kocadağlı Danışman: Prof. Dr. Nalan Cnemre 2 BİRİNCİ BÖLÜM HEDEF PROGRAMLAMA 1.1 Grş Karar problemler amaç sayısına göre tek amaçlı ve çok amaçlı

Detaylı

A İSTATİSTİK. 4. X kesikli rasgele (random) değişkenin moment çıkaran. C) 4 9 Buna göre, X in beklenen değeri kaçtır?

A İSTATİSTİK. 4. X kesikli rasgele (random) değişkenin moment çıkaran. C) 4 9 Buna göre, X in beklenen değeri kaçtır? . Br torbada 6 syah, 4 beyaz top vardır. Bu torbadan yerne koyarak top seçlyor. A İSTATİSTİK KPSS/-AB-PÖ/006. Normal dağılıma sahp br rasgele (random) değşkenn varyansı 00 dür. Seçlen topların ksnn de

Detaylı

RANKI İKİ OLAN SERBEST METABELYEN LİE CEBİRLERİ İÇİN BİR KOMUTATÖR TESTİ

RANKI İKİ OLAN SERBEST METABELYEN LİE CEBİRLERİ İÇİN BİR KOMUTATÖR TESTİ ANKI İKİ OLAN SEBEST METABELYEN LİE CEBİLEİ İÇİN Bİ KOMUTATÖ TESTİ Zerrn ESMELİGİL Çukurova Ünverstes, Matematk Bölümü, Adana, 033386084-45, 033386070, e-zerrn@cu.edu.tr ÖZET. Bu çalışmada rankı k olan

Detaylı

Bilgisayarla Görüye Giriş

Bilgisayarla Görüye Giriş Blgsayarla Görüye Grş Ders 8 Görüntü Eşleme Alp Ertürk alp.erturk@kocael.edu.tr Panorama Oluşturma Görüntüler eşlememz / çakıştırmamız gerekmektedr Panorama Oluşturma İk görüntüden özntelkler çıkar Panorama

Detaylı

PORTFÖY OPTİMİZASYONU. Doç.Dr.Aydın ULUCAN

PORTFÖY OPTİMİZASYONU. Doç.Dr.Aydın ULUCAN PORTFÖY OPTİMİZASYOU Doç.Dr.Aydın ULUCA KARAR VERME Karar verme, ş dünyasının çalışmasını sağlayan temel unsurlardandır. Tüm yönetcler, bulundukları faalyet alanı ve kademelernden bağımsız olarak stratejk

Detaylı

TRANSPORT PROBLEMI için GELIsTIRILMIs VAM YÖNTEMI

TRANSPORT PROBLEMI için GELIsTIRILMIs VAM YÖNTEMI Yönetm, Yl 9, Say 28, Ekm - 1997,5.20-25 TRANSPORT PROBLEMI ÇIN GELIsTIRILMIs VAM YÖNTEMI Dr. Erhan ÖZDEMIR I.Ü. Teknk Blmler M.Y.O. L.GIRIs V AM transport problemlerne en düsük malyetl baslangç çözüm

Detaylı

( ) 3.1 Özet ve Motivasyon. v = G v v Operasyonel Amplifikatör (Op-Amp) Deneyin Amacı. deney 3

( ) 3.1 Özet ve Motivasyon. v = G v v Operasyonel Amplifikatör (Op-Amp) Deneyin Amacı. deney 3 Yıldız Teknk Ünverstes Elektrk Mühendslğ Bölümü Deneyn Amacı İşlemsel kuvvetlendrcnn çalışma prensbnn anlaşılması le çeştl OP AMP devrelernn uygulanması ve ncelenmes. Özet ve Motvasyon.. Operasyonel Amplfkatör

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -III- Çok değişkenli doğrusal olmayan karar modelinin çözümü

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -III- Çok değişkenli doğrusal olmayan karar modelinin çözümü DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -III- Çok değşkenl doğrusal olmayan karar modelnn çözümü Hazırlayan Doç. Dr. Nl ARAS Anadolu Ünverstes, Endüstr Mühendslğ Bölümü İST8 Yöneylem Araştırması Ders - Öğretm Yılı

Detaylı

Adi Diferansiyel Denklemler NÜMERİK ANALİZ. Adi Diferansiyel Denklemler. Adi Diferansiyel Denklemler

Adi Diferansiyel Denklemler NÜMERİK ANALİZ. Adi Diferansiyel Denklemler. Adi Diferansiyel Denklemler 6.4.7 NÜMERİK ANALİZ Yrd. Doç. Dr. Hatce ÇITAKOĞLU 6 Müendslk sstemlernn analznde ve ugulamalı dsplnlerde türev çeren dferansel denklemlern analtk çözümü büük öneme saptr. Sınır değer ve/vea başlangıç

Detaylı

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI TDK Temel Devre Kavramları ve Kanunları /0 TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI GĐRĐŞ: Devre analz gerçek hayatta var olan fzksel elemanların matematksel olarak modellenerek gerçekte olması gereken sonuçların

Detaylı

SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. Ekonometri 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. SEK Tahmincilerinin Arzulanan Özellikleri. Ekonometri 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler İk Değşkenl Bağlanım Model SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler Ekonometr 1 Konu 9 Sürüm 2,0 (Ekm 2011) http://www.ackders.org.tr SEK Tahmnclernn Arzulanan Özellkler

Detaylı

Deney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı

Deney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı SRY ÜNİVERSİESİ Djtal ontrol Laboratuvar Deney Föyü Deney No: 2 Sıvı Sevye ontrol Deney 2.. Deneyn macı Bu deneyn amacı, doğrusal olmayan sıvı sevye sstemnn belrlenen br çalışma noktası cvarında doğrusallaştırılmış

Detaylı

ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ

ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ Öğretm üyes: Doç. Dr. S. Özoğuz Tel: 85 36 9 e-posta: serdar@ehb.tu.edu.tr Ders saat: Pazartes,.-3. / D-4 İçndekler. Dere teors, toplu parametrel dereler, Krchhoff un gerlm e akım

Detaylı

UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ. 2 -n olup. nin dağılımı χ dir ve sd = (k-1-p) dir. Burada k = sınıf sayısı, p = tahmin edilen parametre sayısıdır.

UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ. 2 -n olup. nin dağılımı χ dir ve sd = (k-1-p) dir. Burada k = sınıf sayısı, p = tahmin edilen parametre sayısıdır. UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ Posson: H o: Ver Posson dağılıma sahp br ktleden gelmektedr. H a : Ver Posson dağılıma sahp br ktleden gelmemektedr. Böyle br hpotez test edeblmek çn, önce Posson dağılım parametres

Detaylı

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI A. DNYİN AMACI : Bast ser ve bast paralel drenç devrelern analz edp kavramak. Voltaj ve akım bölücü kurallarını kavramak. Krchoff kanunlarını deneysel olarak uygulamak. B. KULLANILACAK AAÇ V MALZML : 1.

Detaylı

VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER

VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER 1 2.1 Tanımlar Skaler büyüklük: Sadece şddet bulunan büyüklükler (örn: uzunluk, zaman, kütle, hacm, enerj, yoğunluk) Br harf le sembolze edleblr. (örn: kütle: m) Şddet :

Detaylı

TEKNOLOJİ, PİYASA REKABETİ VE REFAH

TEKNOLOJİ, PİYASA REKABETİ VE REFAH TEKNOLOJİ, PİYASA REKABETİ VE REFAH Dr Türkmen Göksel Ankara Ünverstes Syasal Blgler Fakültes Özet Bu makalede teknoloj sevyesnn pyasa rekabet ve refah sevyes üzerndek etkler matematksel br model le ncelenecektr

Detaylı

ENERJİ. Isı Enerjisi. Genel Enerji Denklemi. Yrd. Doç. Dr. Atilla EVCİN Afyon Kocatepe Üniversitesi 2007

ENERJİ. Isı Enerjisi. Genel Enerji Denklemi. Yrd. Doç. Dr. Atilla EVCİN Afyon Kocatepe Üniversitesi 2007 Yrd. Doç. Dr. Atlla EVİN Afyon Kocatepe Ünverstes 007 ENERJİ Maddenn fzksel ve kmyasal hal değşm m le brlkte dama enerj değşm m de söz s z konusudur. Enerj değşmler mler lke olarak Termodnamğn Brnc Yasasına

Detaylı

TÜRKİYE DEKİ 380 kv LUK 14 BARALI GÜÇ SİSTEMİNDE EKONOMİK YÜKLENME ANALİZİ

TÜRKİYE DEKİ 380 kv LUK 14 BARALI GÜÇ SİSTEMİNDE EKONOMİK YÜKLENME ANALİZİ TÜRİYE DEİ 38 kv LU 4 BARALI GÜÇ SİSTEMİDE EOOMİ YÜLEME AALİZİ Mehmet URBA Ümmühan BAŞARA 2,2 Elektrk-Elektronk Mühendslğ Bölümü Mühendslk-Mmarlık Fakültes Anadolu Ünverstes İk Eylül ampüsü, 2647, ESİŞEHİR

Detaylı

Rasgele Değişken Üretme Teknikleri

Rasgele Değişken Üretme Teknikleri Rasgele Değşken Üretme Teknkler Amaç Smülasyon modelnn grdlern oluşturacak örneklern üretlmes Yaygın olarak kullanılan ayrık veya sürekl dağılımların örneklenmes sürecn anlamak Yaygın olarak kullanılan

Detaylı

JFM316 Elektrik Yöntemler ( Doğru Akım Özdirenç Yöntemi)

JFM316 Elektrik Yöntemler ( Doğru Akım Özdirenç Yöntemi) JFM316 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Özdrenç Yöntem) yeryüzünde oluşturacağı gerlm değerler hesaplanablr. Daha sonra aşağıdak formül kullanılarak görünür özdrenç hesaplanır. a K I K 2 1 1 1 1 AM BM AN

Detaylı

YAYILI YÜK İLE YÜKLENMİŞ YAPI KİRİŞLERİNDE GÖÇME YÜKÜ HESABI. Perihan (Karakulak) EFE

YAYILI YÜK İLE YÜKLENMİŞ YAPI KİRİŞLERİNDE GÖÇME YÜKÜ HESABI. Perihan (Karakulak) EFE BAÜ Fen Bl. Enst. Dergs (6).8. YAYII YÜK İE YÜKENİŞ YAPI KİRİŞERİNDE GÖÇE YÜKÜ HESABI Perhan (Karakulak) EFE Balıkesr Ünverstes ühendslk marlık Fakültes İnşaat üh. Bölümü Balıkesr, TÜRKİYE ÖZET Yapılar

Detaylı

FİNANSAL MODELLEME. Doç.Dr.Aydın ULUCAN Hacettepe Üniversitesi

FİNANSAL MODELLEME. Doç.Dr.Aydın ULUCAN Hacettepe Üniversitesi FİNANSAL MODELLEME Doç.Dr.Aydın ULUCAN Hacettepe Ünverstes KARAR VERME Karar verme, ş dünyasının çalışmasını sağlayan temel unsurlardandır. Tüm yönetcler, bulundukları faalyet alanı ve kademelernden bağımsız

Detaylı

Deprem Tepkisinin Sayısal Metotlar ile Değerlendirilmesi (Newmark-Beta Metodu) Deprem Mühendisliğine Giriş Dersi Doç. Dr.

Deprem Tepkisinin Sayısal Metotlar ile Değerlendirilmesi (Newmark-Beta Metodu) Deprem Mühendisliğine Giriş Dersi Doç. Dr. Deprem Tepksnn Sayısal Metotlar le Değerlendrlmes (Newmark-Beta Metodu) Sunum Anahat Grş Sayısal Metotlar Motvasyon Tahrk Fonksyonunun Parçalı Lneer Interpolasyonu (Pecewse Lnear Interpolaton of Exctaton

Detaylı

ÖRNEK SET 5 - MBM 211 Malzeme Termodinamiği I

ÖRNEK SET 5 - MBM 211 Malzeme Termodinamiği I ÖRNE SE 5 - MBM Malzeme ermdnamğ I 5 ºC de ve sabt basınç altında, metan gazının su buharı le reaksynunun standart Gbbs serbest enerjs değşmn hesaplayın. Çözüm C O( ( ( G S S S g 98 98 98 98 98 98 98 Madde

Detaylı

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ DERS NOTU 07 KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ, LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİ FAİZ ESNEKLİĞİ Bugünk dersn çerğ: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 1.1 İŞLEMLER (MUAMELELER) TALEBİ... 2 1.2 ÖNLEM (İHTİYAT) TALEBİ...

Detaylı

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Ünsal M.; Varol, A.: Soğutma Kulelernn Boyutlandırılması İçn Br Kuramsal 8 Mayıs 990, S: 8-85, Adana 4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Asaf Varol Fırat Ünverstes, Teknk Eğtm Fakültes,

Detaylı

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KAFES SİSTEMLERİN OPTİMUM TASARIMI. YÜKSEK LİSANS TEZİ Mak. Müh.

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KAFES SİSTEMLERİN OPTİMUM TASARIMI. YÜKSEK LİSANS TEZİ Mak. Müh. İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KAES SİSTEMLERİN OPTİMUM TASARIMI YÜKSEK LİSANS TEZİ Mak. Müh. Cem Celal TUTUM Anablm Dalı : MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ Programı : KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR. Derse giriş için tıklayın...

KARMAŞIK SAYILAR. Derse giriş için tıklayın... KARMAŞIK SAYILAR Derse grş çn tıklayın A Tanım B nn Kuvvetler C İk Karmaşık Sayının Eştlğ D Br Karmaşık Sayının Eşlenğ E Karmaşık Sayılarda Dört İşlem Toplama - Çıkarma Çarpma Bölme F Karmaşık Dülem ve

Detaylı

KAFES SİSTEMLERİN UYGULAMAYA YÖNELİK OPTİMUM TASARIMI

KAFES SİSTEMLERİN UYGULAMAYA YÖNELİK OPTİMUM TASARIMI PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K BİLİMLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 1999 : 5 : 1 : 951-957

Detaylı

Soğutucu Akışkan Karışımlarının Kullanıldığı Soğutma Sistemlerinin Termoekonomik Optimizasyonu

Soğutucu Akışkan Karışımlarının Kullanıldığı Soğutma Sistemlerinin Termoekonomik Optimizasyonu Soğutucu Akışkan arışımlarının ullanıldığı Soğutma Sstemlernn ermoekonomk Optmzasyonu * 1 Hüseyn aya, 2 ehmet Özkaymak ve 3 rol Arcaklıoğlu 1 Bartın Ünverstes akne ühendslğ Bölümü, Bartın, ürkye 2 arabük

Detaylı

Basel II Geçiş Süreci Sıkça Sorulan Sorular

Basel II Geçiş Süreci Sıkça Sorulan Sorular Basel II Geçş Sürec Sıkça Sorulan Sorular Soru No: 71 Cevaplanma Tarh: 06.03.2012 İlgl Hüküm: --- Konu: Gayrmenkul İpoteğyle Temnatlandırılmış Alacaklar İçn KR510AS Formunun Doldurulmasına İlşkn Örnek

Detaylı

İÇME SUYU ŞEBEKELERİNİN GÜVENİLİRLİĞİ

İÇME SUYU ŞEBEKELERİNİN GÜVENİLİRLİĞİ Türkye İnşaat Mühendslğ, XVII. Teknk Kongre, İstanbul, 2004 İÇME SUYU ŞEBEKELERİNİN GÜVENİLİRLİĞİ Nur MERZİ 1, Metn NOHUTCU, Evren YILDIZ 1 Orta Doğu Teknk Ünverstes, İnşaat Mühendslğ Bölümü, 06531 Ankara

Detaylı

ÇOK AMAÇLI DOĞRUSAL PROGRAMLAMADAN SİSTEM TASARIMINA: DE NOVO. Özet

ÇOK AMAÇLI DOĞRUSAL PROGRAMLAMADAN SİSTEM TASARIMINA: DE NOVO. Özet Dokuz Eylül Ünverstes Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Yayın Gelş Tarh: 0.0.00 Clt:, Sayı: 4, Yıl: 00, Sayfa: -74 Yayına Kabul Tarh: 7.0.0 ISSN: 0-84 ÇOK AMAÇLI DOĞRUSAL PROGRAMLAMADAN SİSTEM TASARIMINA: DE

Detaylı

TÜRKİYE CUMHURİYETİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI OYUN KURAMININ EKONOMİDE UYGULANMASI

TÜRKİYE CUMHURİYETİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI OYUN KURAMININ EKONOMİDE UYGULANMASI TÜRKİYE CUMHURİYETİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI OYUN KURAMININ EKONOMİDE UYGULANMASI Hall İbrahm KESKİN YÜKSEK LİSANS TEZİ ADANA 009 TÜRKİYE CUMHURİYETİ ÇUKUROVA

Detaylı

SEK Yönteminin Güvenilirliği Sayısal Bir Örnek. Ekonometri 1 Konu 11 Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

SEK Yönteminin Güvenilirliği Sayısal Bir Örnek. Ekonometri 1 Konu 11 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) İk Değşkenl Bağlanım Model SEK Yöntemnn Güvenlrlğ Ekonometr 1 Konu 11 Sürüm,0 (Ekm 011) UADMK Açık Lsans Blgs İşbu belge, Creatve Commons Attrbuton-Non-Commercal ShareAlke 3.0 Unported (CC BY-NC-SA 3.0)

Detaylı

ROBİNSON PROJEKSİYONU

ROBİNSON PROJEKSİYONU ROBİNSON PROJEKSİYONU Cengzhan İPBÜKER ÖZET Tüm yerkürey kapsayan dünya hartalarının yapımı çn, kartografk lteratürde özel br öneme sahp olan Robnson projeksyonu dk koordnatlarının hesabı brçok araştırmacı

Detaylı

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Ki-Kare Analizleri

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI  Ki-Kare Analizleri Kİ KAR ANALİZİ 1 Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI www.mehmetaksarayl K-Kare Analzler OLAY 1: Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr.

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GAMMA MODÜLLERİN BULANIK ALT MODÜLLERİ FERDİ ÇELİKER DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GAMMA MODÜLLERİN BULANIK ALT MODÜLLERİ FERDİ ÇELİKER DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GAMMA MODÜLLERİN BULANIK ALT MODÜLLERİ FERDİ ÇELİKER DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN DOÇ. DR. BAYRAM ALİ ERSOY İSTANBUL, 2014 T.C.

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesr Ünverstes İnşaat Mühendslğ Bölüü uutokkan@balkesr.edu.tr İSTATİSTİK DERS OTLARI Yrd. Doç. Dr. Uut OKKA Hdrolk Anabl Dalı Balıkesr Ünverstes Balıkesr Ünverstes İnşaat Mühendslğ Bölüü İnşaat Mühendslğ

Detaylı

OLASILIĞA GİRİŞ. Biyoistatistik (Ders 7: Olasılık) OLASILIK, TIP ve GÜNLÜK YAŞAMDA KULLANIMI

OLASILIĞA GİRİŞ. Biyoistatistik (Ders 7: Olasılık) OLASILIK, TIP ve GÜNLÜK YAŞAMDA KULLANIMI OLASILIĞA GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Sakarya Ünverstes Tıp Fakültes Byostatstk Anablm Dalı uerkorkmaz@sakarya.edu.tr OLASILIK, TIP ve GÜNLÜK YAŞAMDA KULLANIMI Br olayındoğal koşullar altında toplumda

Detaylı

OLİGOPOLİ. Oligopolic piyasa yapısını incelemek için ortaya atılmış belli başlı modeller şunlardır.

OLİGOPOLİ. Oligopolic piyasa yapısını incelemek için ortaya atılmış belli başlı modeller şunlardır. OLİGOOLİ Olgopolc pyasa yapısını ncelemek çn ortaya atılmış bell başlı modeller şunlardır.. Drsekl Talep Eğrs Model Swezzy Model: Olgopolstc pyasalardak fyat katılığını açıklamak çn gelştrlmştr. Olgopolcü

Detaylı

BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA VE BİR TEKSTİL FİRMASINDA UYGULAMA ÖRNEĞİ

BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA VE BİR TEKSTİL FİRMASINDA UYGULAMA ÖRNEĞİ Eskşehr Osmangaz Ünverstes Sosyal Blmler Dergs Clt: 6 Sayı: 2 Aralık 2005 BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA VE BİR TEKSTİL FİRMASINDA UYGULAMA ÖRNEĞİ İrfan ERTUĞRUL Pamukkale Ünverstes İİBF, Denzl ÖZET Günümüzde

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu Eylül Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsslav Dmtrov) Konu: Elektrk Devrelernde İndüktans Soru. Şekldek gösterlen devrede lk anda K ve K anahtarları açıktır. K anahtarı kapatılıyor ve kondansatörün gerlm U ε/

Detaylı

= P 1.Q 1 + P 2.Q P n.q n (Ürün Değeri Yaklaşımı)

= P 1.Q 1 + P 2.Q P n.q n (Ürün Değeri Yaklaşımı) A.1. Mll Gelr Hesaplamaları ve Bazı Temel Kavramlar 1 Gayr Saf Yurtç Hâsıla (GSYİH GDP): Br ekonomde belrl br dönemde yerleşklern o ülkede ekonomk faalyetler sonucunda elde ettkler gelrlern toplamıdır.

Detaylı

MATLAB GUI İLE DA MOTOR İÇİN PID DENETLEYİCİLİ ARAYÜZ TASARIMI INTERFACE DESING WITH PID CONTROLLER FOR DC MOTOR BY MATLAB GUI

MATLAB GUI İLE DA MOTOR İÇİN PID DENETLEYİCİLİ ARAYÜZ TASARIMI INTERFACE DESING WITH PID CONTROLLER FOR DC MOTOR BY MATLAB GUI İler Teknoloj Blmler Dergs Clt 2, Sayı 3, 10-18, 2013 Journal of Advanced Technology Scences Vol 2, No 3, 10-18, 2013 MATLAB GUI İLE DA MOTOR İÇİN PID DENETLEYİCİLİ ARAYÜZ TASARIMI M. Fath ÖZLÜK 1*, H.

Detaylı

TEKNOLOJİ BAĞIMLI YAŞAMIN MATEMATİKSEL DESENLERİ-I

TEKNOLOJİ BAĞIMLI YAŞAMIN MATEMATİKSEL DESENLERİ-I TEKNOLOJİ BAĞIMLI YAŞAMIN MATEMATİKSEL DESENLERİ-I Fevz ÜNLÜ *, Esra DALAN YILDIRIM **,Şule AYAR *** ÖZET: Evren her an nano-önces, nano, mkro, normal, makro ve makro-ötes gözler le gözlemlermze açıktır.

Detaylı

TESADÜFİ DEĞİŞKENLERLE İLGİLİ BAZI YAKINSAKLIK ÇEŞİTLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

TESADÜFİ DEĞİŞKENLERLE İLGİLİ BAZI YAKINSAKLIK ÇEŞİTLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI ISSN:1306-3111 e-journal of New Worl Scences Acaemy 2008, Volume: 3, Number: 4 Artcle Number: A0108 NATURAL AND APPLIED SCIENCES MATHEMATICS APPLIED MATHEMATICS Receve: March 2008 Accepte: September 2008

Detaylı

Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri

Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri Merkez Eğlm (Yer) Ölçüler Ver setn tanımlamak üzere kullanılan ve genellkle tüm elemanları dkkate alarak ver setn özetlemek çn kullanılan ölçülerdr. Ver setndek tüm elemanları temsl edeblecek merkez noktasına

Detaylı

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (DOKTORA TEZİ) MİNİMAL AĞIRLIKLI DOMİNANT ALT KÜME PROBLEMİ (MADAK) ÜZERİNE

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (DOKTORA TEZİ) MİNİMAL AĞIRLIKLI DOMİNANT ALT KÜME PROBLEMİ (MADAK) ÜZERİNE V EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (DOKTORA TEZİ) MİNİMAL AĞIRLIKLI DOMİNANT ALT KÜME PROBLEMİ (MADAK) ÜZERİNE Burak ORDİN Matematk Ana Blm Dalı Blm Dalı Kodu: 69.03.03 Sunuş Tarh: 28. 0. 2004

Detaylı

ÇOK BĐLEŞENLĐ DAMITMA KOLONU TASARIMI PROF. DR. SÜLEYMAN KARACAN

ÇOK BĐLEŞENLĐ DAMITMA KOLONU TASARIMI PROF. DR. SÜLEYMAN KARACAN ÇOK BĐLEŞENLĐ DAMITMA KOLONU TASARIMI PROF. DR. SÜLEYMAN KARACAN 1 DAMITMA KOLONU Kmya ve buna bağlı endüstrlerde en çok kullanılan ayırma proses dstlasyondur. Uygulama alanı antk çağda yapılan alkol rektfkasyonundan

Detaylı

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ BÖLÜM 6 ALTERNATİF AKIM DEVRE ÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ 6. ÇEVRE AKIMLAR ÖNTEMİ 6. SÜPERPOZİSON TEOREMİ 6. DÜĞÜM GERİLİMLER ÖNTEMİ 6.4 THEVENİN TEOREMİ 6.5 NORTON TEOREMİ Tpak GİRİŞ Alternatf akımın

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

ARAŞTIRMA MAKALESİ/RESEARCH ARTICLE TEK ÇARPIMSAL SİNİR HÜCRELİ YAPAY SİNİR AĞI MODELİNİN EĞİTİMİ İÇİN ABC VE BP YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI ÖZ

ARAŞTIRMA MAKALESİ/RESEARCH ARTICLE TEK ÇARPIMSAL SİNİR HÜCRELİ YAPAY SİNİR AĞI MODELİNİN EĞİTİMİ İÇİN ABC VE BP YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI ÖZ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Blm ve Teknoloj Dergs A-Uygulamalı Blmler ve Mühendslk Clt: 14 Sayı: 3 013 Sayfa: 315-38 ARAŞTIRMA MAKALESİ/RESEARCH ARTICLE Faruk ALPASLAN 1, Erol EĞRİOĞLU 1, Çağdaş Hakan ALADAĞ,

Detaylı

AĞIRLIKLI KALANLAR YÖNTEMİ VE BAZI UYGULAMALARI

AĞIRLIKLI KALANLAR YÖNTEMİ VE BAZI UYGULAMALARI AĞIRLIKLI KALALAR YÖTEMİ VE BAZI UYGULAMALARI Pamukkale Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Yüksek Lsans Tez Matematk Anablm Dalı Mukaddes ÖKTE Danışman: Doç. Dr. Uğur YÜCEL Temmuz DEİZLİ TEŞEKKÜR Bu çalışmanın

Detaylı

Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi Pamukkale University Journal of Engineering Sciences

Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi Pamukkale University Journal of Engineering Sciences Pamukkale Ünverstes Mühendslk Blmler Dergs, Clt 0, Sayı 3, 04, Sayfalar 85-9 Pamukkale Ünverstes Mühendslk Blmler Dergs Pamukkale Unversty Journal of Engneerng Scences PREFABRİK ENDÜSTRİ YAPIARININ ARMONİ

Detaylı

ZKÜ Mühendislik Fakültesi - Makine Mühendisliği Bölümü ISI VE TERMODİNAMİK LABORATUVARI Sudan Suya Türbülanslı Akış Isı Değiştirgeci Deney Föyü

ZKÜ Mühendislik Fakültesi - Makine Mühendisliği Bölümü ISI VE TERMODİNAMİK LABORATUVARI Sudan Suya Türbülanslı Akış Isı Değiştirgeci Deney Föyü ZKÜ Müendslk Fakültes - Makne Müendslğ Bölümü Sudan Suya Türbülanslı Akış Isı Değştrge Deney Föyü Şekl. Sudan suya türbülanslı akış ısı değştrge (H950 Deneyn adı : Boru çnde sudan suya türbülanslı akışta

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇOKLU İÇ İLİŞKİ VE EKOLOJİK REGRESYON İSTATİSTİK ANABİLİM DALI

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇOKLU İÇ İLİŞKİ VE EKOLOJİK REGRESYON İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Berrn GÜLTAY YÜKSEK LİSANS TEZİ ÇOKLU İÇ İLİŞKİ VE EKOLOJİK REGRESYON İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 9 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇOKLU

Detaylı

OLİGOPOLLER VE OYUN KURAMI 2

OLİGOPOLLER VE OYUN KURAMI 2 OLİGOPOLLER VE OYUN KURAMI. OLİGOPOL OYUN KURALLARI. OLİGOPOL OYUN STRATEJİLERİ 3. OLİGOPOL OYUNUNDA SKORLAR 3 4. MAHKUMLAR ÇIKMAZI 3 5. BİR DUOPOL OYUNU 6 5.. MALİYET VE TALEP KOŞULLARI 6 5.. KAR MAKSİMİZASYONU

Detaylı

TÜRKİYE DEKİ 22 BARALI 380 kv LUK GÜÇ SİSTEMİ İÇİN EKONOMİK DAĞITIM VE OPTİMAL GÜÇ AKIŞI YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMALI ANALİZİ

TÜRKİYE DEKİ 22 BARALI 380 kv LUK GÜÇ SİSTEMİ İÇİN EKONOMİK DAĞITIM VE OPTİMAL GÜÇ AKIŞI YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMALI ANALİZİ PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING FACULTY MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 7 : 3 : 3 : 369-378

Detaylı

REGRESYONDA ETKİLİ GÖZLEMLERİ BELİRLEME YÖNTEMLERİ VE KARŞILAŞTIRMALARI. Can DARICA YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK

REGRESYONDA ETKİLİ GÖZLEMLERİ BELİRLEME YÖNTEMLERİ VE KARŞILAŞTIRMALARI. Can DARICA YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK REGRESYONDA ETKİLİ GÖZLEMLERİ BELİRLEME YÖNTEMLERİ VE KARŞILAŞTIRMALARI Can DARICA YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 014 ANKARA Can DARICA tarafından hazırlanan

Detaylı

KAFES SİSTEMLERİN GERİLME, YER DEĞİŞTİRME, BURKULMA VE DOĞAL FREKANS KISITLARI ALTINDA OPTİMUM TASARIMI

KAFES SİSTEMLERİN GERİLME, YER DEĞİŞTİRME, BURKULMA VE DOĞAL FREKANS KISITLARI ALTINDA OPTİMUM TASARIMI KAFES SİSTEMLERİN GERİLME, YER DEĞİŞTİRME, BURKULMA VE DOĞAL FREKANS KISITLARI ALTINDA OPTİMUM TASARIMI Cem Celal TUTUM İ.T.Ü. ROTAM, Makne Yük. Müh. ÖZET: Bu çalışmada düzlemsel kafes sstemlern belrl

Detaylı

Bulanık Mantık ile Hesaplanan Geoid Yüksekliğine Nokta Yüksekliklerinin Etkisi

Bulanık Mantık ile Hesaplanan Geoid Yüksekliğine Nokta Yüksekliklerinin Etkisi Harta Teknolojler Elektronk Dergs Clt: 5, No: 1, 2013 (61-67) Electronc Journal of Map Technologes Vol: 5, No: 1, 2013 (61-67) TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR www.teknolojkarastrmalar.com e-issn: 1309-3983 Makale

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz SAYISAL ANALİZ SAYISAL TÜREV Numercal Derentaton Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz İÇİNDEKİLER Sayısal Türev Ger Farklar

Detaylı

Akköse, Ateş, Adanur. Matris Yöntemleri ile dış etkilerden meydana gelen uç kuvvetlerinin ve uç yerdeğiştirmelerinin belirlenmesinde;

Akköse, Ateş, Adanur. Matris Yöntemleri ile dış etkilerden meydana gelen uç kuvvetlerinin ve uç yerdeğiştirmelerinin belirlenmesinde; MATRİS ÖNTEMER 1. GİRİŞ Matrs öntemler; gerçek sürekl apının erne, matrs bçmnde ade edleblen blnen atalet (elemslk) ve elastklk öellklerne sahp sonl büüklüktek apısal elemanlardan olşan matematksel br

Detaylı

Communication Theory

Communication Theory Communcaton Theory ENFORMASYON TEORİSİ KODLAMA Doç. Dr. Hakan Doğan ENFORMASYON DEYİMİ NEDEN KULLANILMIŞ? Kaynaklarn, kanalların,alıcıların blg karakterstklern ncelemek. Blgnn letmn optmze etmek çn İletmn

Detaylı

ENDÜSTRİYEL BİR ATIK SUYUN BİYOLOJİK ARITIMI VE ARITIM KİNETİĞİNİN İNCELENMESİ

ENDÜSTRİYEL BİR ATIK SUYUN BİYOLOJİK ARITIMI VE ARITIM KİNETİĞİNİN İNCELENMESİ ENDÜSTRİYEL BİR ATIK SUYUN BİYOLOJİK ARITIMI VE ARITIM KİNETİĞİNİN İNCELENMESİ Emel KOCADAYI EGE ÜNİVERSİTESİ MÜH. FAK., KİMYA MÜH. BÖLÜMÜ, 35100-BORNOVA-İZMİR ÖZET Bu projede, Afyon Alkalot Fabrkasından

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Gülesen ÜSTÜNDAĞ BAZI PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLERİN İNCELENMESİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 005 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME YÖNTEMLERİNDEN AHP VE TOPSIS İLE KAMP YERİ SEÇİMİ

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME YÖNTEMLERİNDEN AHP VE TOPSIS İLE KAMP YERİ SEÇİMİ KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME YÖNTEMLERİNDEN AHP VE TOPSIS İLE KAMP YERİ SEÇİMİ Burak KARAHAN Burak PEKEL Neşet BEDİR Cavt CAN Kırıkkale -2014-

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

QKUIAN. SAĞLIK BAKANLIĞI_ KAMU HASTANELERİ KURUMU Trabzon Ili Kamu Hastaneleri Birliği Genel Sekreterliği Kanuni Eğitim ve Araştırma Hastanesi

QKUIAN. SAĞLIK BAKANLIĞI_ KAMU HASTANELERİ KURUMU Trabzon Ili Kamu Hastaneleri Birliği Genel Sekreterliği Kanuni Eğitim ve Araştırma Hastanesi V tsttşfaktör T.C. SAĞLIK BAKANLIĞI KAMU HASTANELERİ KURUMU Trabzon Il Kamu Hastaneler Brlğ Genel Sekreterlğ Kanun Eğtm ve Araştırma Hastanes Sayı ı 23618724/?ı C.. Y** 08/10/2015 Konu : Yaklaşık Malyet

Detaylı

ALGILANAN HİZMET KALİTESİ VE LOJİSTİK REGRESYON ANALİZİ İLE HİZMET TERCİHİNE ETKİSİNİN BELİRLENMESİ. Özet

ALGILANAN HİZMET KALİTESİ VE LOJİSTİK REGRESYON ANALİZİ İLE HİZMET TERCİHİNE ETKİSİNİN BELİRLENMESİ. Özet Dokuz Eylül Ünverstes Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Yayın Gelş Tarh: 18.02.2011 Clt: 13, Sayı: 1, Yıl: 2011, Sayfa: 21-37 Yayına Kabul Tarh: 17.03.2011 ISSN: 1302-3284 ALGILANAN HİZMET KALİTESİ VE LOJİSTİK

Detaylı

Sansürlenmiş ve Kesikli Regresyon Modelleri

Sansürlenmiş ve Kesikli Regresyon Modelleri TOBİT MODEL 1 Sansürlenmş ve Keskl Regresyon Modeller Sınırlı bağımlı değşkenler: sansürlenmş (censored) ve keskl (truncated) regresyon modeller şeklnde k gruba ayrılır. 2 Sansürlenmş ve Keskl Regresyon

Detaylı

Şiddet-Süre-Frekans Bağıntısının Genetik Algoritma ile Belirlenmesi: GAP Örneği *

Şiddet-Süre-Frekans Bağıntısının Genetik Algoritma ile Belirlenmesi: GAP Örneği * İMO Teknk Derg, 28 4393-447, Yazı 29 Şddet-Süre-Frekans Bağıntısının Genetk Algortma le Belrlenmes: GAP Örneğ * Hall KARAHAN* M. Tamer AYVAZ** Gürhan GÜRARSLAN*** ÖZ Bu çalışmada, Genetk Algortma (GA)

Detaylı

Sorunun varlığı durumunda hata terimi varyans-kovaryans matrisi Var, Cov(u) = E(uu') = σ 2 I n şeklinde yazılamıyor fakat

Sorunun varlığı durumunda hata terimi varyans-kovaryans matrisi Var, Cov(u) = E(uu') = σ 2 I n şeklinde yazılamıyor fakat 8. DEĞİŞEN VARYANS SORUNU (HETEROSCEDASTICITY) 8.. Değşen Varyans Sorunu Nedr? Matrslerle yan Y = β u Y = β β β 3 3 β k k u, = n genel doğrusal modeln ele alalım. Hata term çn yapılan varsayımlardan brs

Detaylı

HİPERSTATİK SİSTEMLER

HİPERSTATİK SİSTEMLER HİPERSTATİK SİSTELER Tanım: Bütün kest zorlarını ve bunlara bağlı olarak şekl değştrmelern ve yer değştrmelern hesabı çn denge denklemlernn yeterl olmadığı sstemlere Hperstatk Sstemler denr. Hperstatk

Detaylı

MESLEK SEÇİMİ PROBLEMİNDE ÇOK ÖZELLİKLİ KARAR VERME VE ÇÖZÜME YÖNELİK GELİŞTİRİLEN BİREYSEL KARİYER PLANLAMA PROGRAMI

MESLEK SEÇİMİ PROBLEMİNDE ÇOK ÖZELLİKLİ KARAR VERME VE ÇÖZÜME YÖNELİK GELİŞTİRİLEN BİREYSEL KARİYER PLANLAMA PROGRAMI MESLEK SEÇİMİ PROBLEMİNDE ÇOK ÖZELLİKLİ KARAR VERME VE ÇÖZÜME YÖNELİK GELİŞTİRİLEN BİREYSEL KARİYER PLANLAMA PROGRAMI Fath ÇİL GAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühendslk Mmarlık Fakültes Endüstr Mühendslğ Bölümü 4. Sınıf

Detaylı

TAŞIMACILIK SEKTÖRÜNÜN İŞLEYİŞ SÜRECİ, BULANIK DAĞITIM PROBLEMİNİN TAMSAYILI DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL DENEMESİ

TAŞIMACILIK SEKTÖRÜNÜN İŞLEYİŞ SÜRECİ, BULANIK DAĞITIM PROBLEMİNİN TAMSAYILI DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL DENEMESİ ZKÜ Sosyal Blmler Dergs, Clt 3, Sayı 6, 2007, ss. 109 125. TAŞIMACILIK SEKTÖRÜNÜN İŞLEYİŞ SÜRECİ, BULANIK DAĞITIM PROBLEMİNİN TAMSAYILI DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL DENEMESİ Yrd.Doç.Dr. Ahmet ERGÜLEN Nğde

Detaylı

ANADOLU ÜNivERSiTESi BiliM VE TEKNOLOJi DERGiSi ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY CiltNol.:2 - Sayı/No: 2 : 413-417 (2001)

ANADOLU ÜNivERSiTESi BiliM VE TEKNOLOJi DERGiSi ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY CiltNol.:2 - Sayı/No: 2 : 413-417 (2001) ANADOLU ÜNvERSTES BlM VE TEKNOLOJ DERGS ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY CltNol.:2 - Sayı/No: 2 : 413-417 (1) TEKNK NOTrrECHNICAL NOTE ELEKTRK ARK FıRıNıNDA TERMODNAMGN KNC YASASıNıN

Detaylı

Üç Boyutlu Yapı-Zemin Etkileşimi Problemlerinin Kuadratik Sonlu Elemanlar ve Sonsuz Elemanlar Kullanılarak Çözümü

Üç Boyutlu Yapı-Zemin Etkileşimi Problemlerinin Kuadratik Sonlu Elemanlar ve Sonsuz Elemanlar Kullanılarak Çözümü ECAS Uluslararası Yapı ve Deprem Mühendslğ Sempozyumu, Ekm, Orta Doğu Teknk Ünverstes, Ankara, Türkye Üç Boyutlu Yapı-Zemn Etkleşm Problemlernn Kuadratk Sonlu Elemanlar ve Sonsuz Elemanlar Kullanılarak

Detaylı

Farklı Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = σ i2. Eşit Varyans. Hata. Zaman

Farklı Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = σ i2. Eşit Varyans. Hata. Zaman Farklı Varyans Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = σ Eşt Varyans Y X Farklı Varyans Hata Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = σ Farklı Varyans Zaman Farklı Varyans le Karşılaşılan Durumlar Kest Verlernde. Kar dağıtım

Detaylı

PRODUCTION PLANNING BASED ON GOAL PROGRAMMING FOR MASS CUSTOMIZATION IN A COMPANY

PRODUCTION PLANNING BASED ON GOAL PROGRAMMING FOR MASS CUSTOMIZATION IN A COMPANY BİR İŞLETMEDE KİTLESEL ÖZEL ÜRETİME YÖNELİK HEDEF PROGRAMLAMA TABANLI ÜRETİM PLANLAMA PRODUCTION PLANNING BASED ON GOAL PROGRAMMING FOR MASS CUSTOMIZATION IN A COMPANY ESRA AKBAL Başkent Ünverstes Lsansüstü

Detaylı

ERGONOMİK KOŞULLAR ALTINDA MONTAJ HATTI DENGELEME

ERGONOMİK KOŞULLAR ALTINDA MONTAJ HATTI DENGELEME ERGONOMİK KOŞULLAR ALTINDA MONTAJ HATTI DENGELEME Pamukkale Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Yüksek Lsans Tez Endüstr Mühendslğ Anablm Dalı Elf ÖZGÖRMÜŞ Danışman: Yrd. Doç. Dr. Özcan MUTLU Ağustos, 2007 DENİZLİ

Detaylı

DÜZENLİ DİZAYNLI GENETİK ALGORİTMALAR İLE ÇOK AMAÇLI PROGRAMLAMA MULTIOBJECTIVE PROGRAMMING VIA UNIFORM DESIGNED GENETIC ALGORITHMS

DÜZENLİ DİZAYNLI GENETİK ALGORİTMALAR İLE ÇOK AMAÇLI PROGRAMLAMA MULTIOBJECTIVE PROGRAMMING VIA UNIFORM DESIGNED GENETIC ALGORITHMS 5. Uluslararası İler Teknolojler Sempozyumu (İATS 9), 3-5 Mayıs 9, Karabük, Türkye DÜZENLİ DİZAYNLI GENETİK ALGORİTMALAR İLE ÇOK AMAÇLI PROGRAMLAMA MULTIOBJECTIVE PROGRAMMING VIA UNIFORM DESIGNED GENETIC

Detaylı

a IIR süzgeç katsayıları ve N ( M) de = s 1 (3) 3. GÜRÜLTÜ GİDERİMİ UYGULAMASI

a IIR süzgeç katsayıları ve N ( M) de = s 1 (3) 3. GÜRÜLTÜ GİDERİMİ UYGULAMASI Fırat Ünverstes-Elazığ MİTRAL KAPAK İŞARETİ ÜZERİNDEKİ ANATOMİK VE ELEKTRONİK GÜRÜLTÜLERİN ABC ALGORİTMASI İLE TASARLANAN IIR SÜZGEÇLERLE SÜZÜLMESİ N. Karaboğa 1, E. Uzunhsarcıklı, F.Latfoğlu 3, T. Koza

Detaylı

EMG İşaretlerinin K-Ortalama Algoritması Kullanılarak Öbekleştirilmesi. EMG Signal Analysis Using K-Means Clustering

EMG İşaretlerinin K-Ortalama Algoritması Kullanılarak Öbekleştirilmesi. EMG Signal Analysis Using K-Means Clustering KSÜ Mühendslk Blmler Dergs, (), 9 5 KSU Journal of Engneerng Scences, (), 9 EMG İşaretlernn K-Ortalama Algortması Kullanılarak Öbekleştrlmes Mücahd Günay, Ahmet ALKA, KSÜ Mühendslk-Mmarlık Fakültes Elektrk-Elektronk

Detaylı

DETERMINATION OF THE ECONOMIC DISPATCH IN ELECTRIC POWER SYSTEMS USING SIMULATED ANNEALING(SA) ALGORITHM

DETERMINATION OF THE ECONOMIC DISPATCH IN ELECTRIC POWER SYSTEMS USING SIMULATED ANNEALING(SA) ALGORITHM 5 Uluslararası İler Teknolojler Sempozyumu (IATS 09), 3-5 Mayıs 2009, Karabük, Türkye ELEKTRİK GÜÇ SİSTEMİNDE OPTİMAL YAKIT MALİYETİNİN BENZETİM TAVLAMA (BT) ALGORİTMASI İLE BELİRLENMESİ DETERMINATION

Detaylı

PROJE PLANLAMASINDA BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI. Müh. Ramadan VATANSEVER

PROJE PLANLAMASINDA BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI. Müh. Ramadan VATANSEVER İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ PROJE PLANLAMASINDA BULANIK HEDEF PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI YÜKSEK LİSANS TEZİ Müh. Ramadan VATANSEVER Anablm Dalı: İşletme Mühendslğ Programı: İşletme

Detaylı