SA KALIM ANAL Z NDE KULLANILAN STAT ST KSEL YÖNTEMLER VE AKTÜERYA ALANINDA B R UYGULAMA

Transkript

1 EGE ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ STATSTK ANABLM DALI YÜKSEK LSANS TEZ SA KALIM ANALZNDE KULLANILAN STATSTKSEL YÖNTEMLER VE AKTÜERYA ALANINDA BR UYGULAMA Hazrayan: SONER BLG Danman: Prof. Dr. ans ENOL ARALIK 9 ZMR

2 SA KALIM ANALZNDE KULLANILAN STATSTKSEL YÖNTEMLER VE AKTÜERYA ALANINDA BR UYGULAMA Hazrayan: SONER BLG Danman: Prof. Dr. ans ENOL ARALIK 9 ZMR Özet Sa kam anaz, be br baangç noktasndan sonra, br zeme süres çndek gözemn aratrmak stenen konuma ermes veya ermeden esk özekern sürdürmes han nceeyen br anaz yöntemdr. Teme oarak bata t, sosyooj, fnans sektörernde çokça kuanan bu anaz çed aktüerya düzeyde de çok krtk br öneme sahtr.bu anaz çednde, deney ve gözemer sonucu ede eden ver setnn damna karar vermek, uyguanmasnn uygun görüdüü arametrk ya da arametrk omayan damar vastasya, uygun sa kam ve hazard fonksyonarn satamak, genen oayn sa kam fonksyonarnn fark etmenere ba oarak demern gözemek çn çet statstkse yöntemer kuanr. Aktüerya aanda kuanm göz önünde buunduruduunda kuanm en yaygn statstkse yöntem Kaan-Meer yöntemdr. Eer bekenen oay br ceva deken ntende ou, akbetn etked düünüen brden faza sayda deken var se, Co Orant Regresyon Anaz de skça kuanan statstkse yöntemer arasnda saymadr. Bu çamada, sa kam anaznde kuanan statstkse yöntemer nceenm, sa kam anaznn aktüerya aannda kuand mortate taboarnn yaar sunumu, Türkye de kuanan mortate taboarna denmtr. Ayrca yaan uyguamaara, mortate taboarnn ouumunda cnsyet faktörünün etks, ereyen zamana ayn toumar üzernde yam gözemerden ede eden yaam fonksyonundak dem Kaan-Meer yöntemye test edmtr. Bunarn yannda Türkye de kuanan dört mortate tabosu, öüm düzeyer, bekenen ömür ve rm ödeme mktarar bakmndan karatrmtr.

3 STATISTICAL METHODS USED IN SURVIVAL ANALYSIS AND AN APPLICATION AT ACTUARY Preared By SONER BLG Advsor Prof. Dr. ans ENOL DECEMBER 9 IZMIR Abstract Generay, survva anayss nvoves the modeng of tme to event data; n ths contet, death or faure s consdered an "event" n the survva anayss terature. Survva anayss s used bascy at medcne, socoogy and fnance. By the tme, ths anayss has begun to used at actuary freuanty n crtca cases. There are mortant statstca methods to determne the usabe arametrc or non-aramaetrc dstrbuton for the data set, to observe the changes of survva functon accordng to dfferent effects that shoud be used at survva anayss.the most common statstca method s Kaan Meer method at actuary. In ths thess, the statstca methods that are n use at survva anayss have been abstracted, Aso modfcaton and usage of mortaty tabes have been ndcated. In acaton art, effects of se and tme to survva functon are tested by Kaan Meer method. Aso, four mortaty tabes that are n use n Turkey have been comared accordng to eected fe tme, and mortaty ratos. A vsua basc acaton for desgned wthn the contet of ths thess. Ths rogram s made to make easer the actuara cacuatons and comarson of dfferent mortaty tabes by grahs. Keywords: Actuary, Survva Anayss, Survva Functon, Kaan Meer Method, SPSS, Mortaty, Insurance Cacuatons, Censored Data

4 TEEKKÜR Bu tezn hazranmas süresnce, katk ve yönendrmeernden ötürü danmanm Sayn Prof. Dr. ans eno a, Bremen Ünverstes nde konuya g çamaarmda bana aktard bg ve kaynakara Sayn Deter Denneberg e, uyguamaarmda kuanabecem bgere uamamda eme geçen Fnans Emekk Aktüerya Böümü çaanarna, k y boyunca tarafma saadkar burs e ben destekeyen TÜBTAK a teekkürerm sunarm. Bu süre boyunca yanmda oan ve ben her zaman destekeyen aeme, youn yardmarn esrgemeyen; Eyü Üge, Sevg Çengr, Ezg Üge bata omak üzere tüm arkadaarma sonsuz sevg ve teekkürerme.

5 ÖZET ABSTRACT TEEKKÜR ÇNDEKLER TABLO LSTES EKLLER LSTES ÇNDEKLER.GR.SA KALIM ANALZ LE LGL GENEL BLGLER.. Sa Kam Anaznn Tarhse Gem ve Kuanm Aanar 3.. Sa Kam Anaznde Sansüreme 4... Pananm Durdurma 6... Pananmam Durdurma 7.3. Sa Kam Anaznde Kuanan Fonksyonar Oask Younuk Fonksyonu Sa Kam Fonksyonu Hazard Fonksyonu.3.4. Sa Kam Anaznde Kuanan Fonksyonar Arasndak ker 3.4. Sa Kam Anaznde Kuanan Yöntemer Parametrk Damar Parametrk Omayan Damar 7.5. Sa Kam Anaznn Aktüerya Aannda Kuanm Sahaar 3.AKTÜERYA LE LGL GENEL BLGLER 3. Öüm Gözemer 3.. Hayat (Mortate) Tabosu Yaama ve Öüm Oaskar An Öüm Oran ve Fonksyonarnn Karatrmas çn Yakak Deerern Hayat Tabosundan Hesaanmas Gözeme Ede Eden Öüm Oranarnn Düzetmes (Ajustman) Grafk Ajustman Mekank Ajustman 4 v v v v

6 Anatk Ajustman Öüm Düzey (Mortate) y Etkeyen Faktörer Yan Etks Cnsyet Etks Yer ve Zaman Etks Meden Han Etks Mesenn Etks Sak Durumunun Etks 5 4.TÜRKYE DE KULLANILAN MORTALTE TABLOLARI 5 5.UYGULAMA CSO Verernn Kuanarak Mortate Tabosunun Outurumas ve Yorumanmas CSO 98 Erkek ve CSO 98 Kadn Verernn Sa Kam Fonksyonar Bakmndan Karatrmas CSO ve CSO 98 Verernn Sa Kam Fonksyonar Bakmndan Karatrmas Türkye de Kuanan Mortate Taboarnn Öüm Düzeyer Baznda Karatrmas AKTÜERYAL HESAPLAMALAR ÇN VISUAL BASIC UYGULAMASI 7 7. SONUÇ 77 Kaynakar 79 Eker Ek 8 v

7 TABLO LSTES Tabo.. Kaan Meer Anaz (sansürsüz) 5 Tabo.. Kaan Meer Anaz (sansürenm) 6 Tabo.3. Parametrk Damar çn teme hazard fonksyonar, oask younuk fonksyonar ve yaam fonksyonar 6 Tabo.3.. Öüm Gözem Sonuçar Tabo.3.. Gözenen Öüm Oranar Tabosu 3 Tabo 3.3. Hayat Tabosu 6 Tabo 3.4. k() ve k =, e Varsay Hayat Tabosu Kest 7 Tabo 5.. CSO Öüm düzeyer 56 Tabo 5.. CSO hayatta kama oaskar (- Ya) 57 Tabo 5.3. CSO an öüm oranar (- Ya) 58 Tabo 5.4. CSO ömür bekenter (- Ya) 58 Tabo 5.5. CSO 98 Kadn-Erkek Karatrmas ver adeter 6 Tabo 5.6. CSO 98 Kadn-Erkek Tanmayc statstker 6 Tabo 5.7. CSO 98 Kadn-Erkek Karatrmas Log rank Test statst 6 Tabo 5.8. CSO & CSO 98 Karatrmas ver adeter 65 Tabo 5.9. CSO & CSO 98 Tanmayc statstker 65 Tabo 5.. CSO & CSO 98 Karatrmas çn Log Rank test statst sonucu 66 Tabo 5.. Sgorta Sektöründe Kuanan Mevcut Taboarnn 5 Yk Öüm Oran Karatrmas (Bnde) 68 Tabo 5.. Yaara Göre Yaam Bekenter (Y) 7 Tabo 5.3. Sgorta Sektöründe Kuanan Mevcut Taboarn 5 Y Süre Vefat Sgortas çn Net Tek Prm Tabosu (. TL Tazmnat Ödeme) 7 v

8 EKL LSTES ek.. Sansürenm ve sansürenmem verere oumu sa kam fonksyon grafker 6 ek.. Sa Kam fonksyonu ek.3. T Üste dadnda sabt hazard fonksyonu ek.4. T Webu dadnda artan ya da azaan hazard modeer ek.5. T og norma dadnda önce artan sonra azaan hazard fonksyonu ek..6. k gen tne dar uyguanan fark tedavernn karatrd br Kaan Meer uyguamas sonucu ede eden sa kam fonksyonar 8 ek 5.. CSO Öüm düzeyer trend 56 ek 5.. CSO 98 Kadn-Erkek Karatrmas (Katm Oranar) 6 ek 5.3: CSO 98 Kadn-Erkek Karatrmas çn yaacak anaz çn SPSS aket rogramna gr ekran 6 ek 5.4 Kaan-Meer anaz ekran 6 ek 5.5: CSO 98 vererne göre kadn ve erkek sa kam fonksyonar 6 ek 5.6: CSO 98 vererne göre kadn ve erkek hazard fonksyonar 63 ek 5.7: CSO ve CSO 98 Karatrmas çn yaacak anaz çn SPSS aket rogramna gr ekran 64 ek 5.8: Kaan-Meer anaz ekran 65 ek.5.9: CSO & 8 yar sa kam fonksyonar 66 ek.5.: CSO & 8 yar hazard fonksyonar 67 ek 5.: Sgorta Sektöründe Kuanan Mevcut Taboarnn 5 Yk Öüm Oran Karatrmas (Bnde) 69 ek 5.: Yaara Göre Yaam Bekenter (Y) 7 ek 5.3: Sgorta Sektöründe Kuanan Mevcut Taboarn 5 Y Süre Vefat Sgortas çn Net Tek Prm Tabosu (. TL Tazmnat Ödeme) 7 ek 5.4: Ödenecek rm karatrma toou 73 ek 5.5: Ödenecek rm karatrma sonuç graf 73 ek 5.6: Mortate anaz karatrma toou 74 ek 5.7: Mortate oranar graf 74 ek 5.8:An Öüm Oranar Graf 75 ek 5.9: Tüm Mortate Taboar Karatrma Toou 75 ek 5.: Tüm Mortate Taboar Karatrma Graf 76 v

9 . GR Etrafmzda her an gerçekemekte oan, toumda her breyn benzer çerçeveerde osa da sonuç oarak fark formarda gerçekeen hayatarmz, her kye fark deneymer sunmaktadr. Bu yüzden de herkesn konuabece ortak konuar mevcuttur ancak ayn konu hakknda anatacakar bambaka hkayeer vardr. Kern yaadkar brbrernden çok fark deneymer, karatkar fark oayarn yansmaardr. Bu oayar se sadece bu yan farkktan doay be nceemeye deerdr. Gerçekeen fark oayar, karaan fark sonuçar, ednen fark deneymer nsann genen fark noktaya tasaar da, br gru nsan bu farkkarn gene emn outurmaya, yaanacak fark senaryoar karsnda taknabecek gene tavrara uama steye statstk bmn outurmuardr. Tüm çk noktas yaanan oayar oan bu bm, yo gösterc omas, kend çnde sonsuz br dernk ve özgürük çermes açsndan ayn zamanda hayatarmzn tam çndedr. Hayatarmzda karatmz oayar bambakadr ve her br konu, statstn bambaka br g aanna hta edebr. Oayar arasnda bek de en gerçedr öüm ve bu nedene bek de en faza aratrmas gereken. Bu nteye öüm, statstk bm açsndan deerendrm, hayatta kama (yaam) anazne konu omutur. Daha sonra se bu öze yakam daha da geneetrerek, baarszk zamanar e genmeye baanmtr. Buradak yakamda öümün de br baarszk oduu düünüürse, yen yakamnda ne kadar hak oduu net oarak görüecektr. Yaam fadesnden anaan, be br baangç noktasndan sonra, br zeme süres çndek gözemn aratrmak stenen konuma ermes veya ermeden esk özekern sürdürmes hadr (Senocak, 99; Baar 998). Bu durum en yan haye doumuya yaamaya baayan breyn, öümüne kadar geçen zaman betmemektedr. Fark yakamar yardmya se anaz konusu, çokça kuand aanardan br oan Tta uyguanan br tedavnn br hastak üzernde k etk zamannn ya da etk süresnn aratrmas, Fnans aannda borsada hsseer em görmeye baayan br rketn aktvtesn sürdürme süresnn zenmes, yada Sosya Yaamdan br örneke yaan evkernn devam etme süreernn anaz hane geebr.

10 Tüm bu yakamara dayanarak hayatta kama anaz, br zaman ara berendkten sonra tanmanan br oay meydana geene kadar geçen zaman süreernden ouan very anaz etmek çn kuanan br yöntemdr. Baarszk zaman anaz (faure tme anayss) ya da oay zaman anaz (event tme anayss) oarak da fade edr [Baar, 993].. SA KALIM ANALZ LE LGL GENEL BLGLER Sa kam anaz, byoojk sstemerde öüm zamanarya, mekank sstemerde se baarszk zamanarya genen br anaz çeddr. Daha gene br tabre sa kam anaz, oay zamannn modeenmes e genr. Bu kasamda, öüm ya da baarszk sa kam anaz teratüründe oay oarak deerendrmektedr. Ayrca sa kam anaz, öüm gb sadece br defa tekraranabecek durumar dnda, brden faza defa karaabecek baarszkarn da anaznde kuanabecek, kuanm aan odukça esnek br anaz tdr. Örnen br suçtan ötürü ceza am br knn, cezas btmnde yenden br suç eme mkan vardr, ve bu durum brden faza kez tekraranabr. Bu durum da hayatta kama anaznn uyguama aanna grmektedr. Sa kam anaz, yas tbar e, ktede yaamn sürdürmey baarm kern ncekernn anamas, be yaa gem breyern, yaamarn hang skkta kaç yana kadar sürdürdüker, hang kouarn, baarszk zamanna uamay hang oranda etked gb soruara ceva arar. Sa kam anaznn kuanm amac dorutusunda baarya uaabmes çn en önem nokta, baarszk zamannn ve yaam süresnn ne oduunun net oarak tanmanmasdr. Byoojk sstemerde öüm ve öüme kadar geçen süre net oarak tanmanm baarszk zaman ve yaam süresne örnek tek etmektedr. Ancak mekank sstemerde bu durum bazen yeter netkte fade edemeyebr, ya da genen oayn gerçekemesne kadar geçen sürenn gözenmes, bekenmedk yan etker nedenye, ya da bekenen oayn hç gerçekememes nedenye sekteye urayabr. Böye durumar çn hayatta kama anaz baz fark uyguamaara kuanabrn korur. Gerek durumarda anaz t sansürenm verere uygun oarak yenden düzenenmedr.

11 Sa kam anaznde teme oan, gözenen baarszk zamanarnn ya da yaam süreernn nceenmes oduundan, bu dekenern duyar oarak tanmanmas konusu çok önemdr. genen oaya göre fark ekerde ortaya çkaben bu dekenn duyar oarak öçümes çn, Baangç zaman her br brm ya da brey çn kukuya yer vermeyecek ekde tanmanmadr. Öçüen zaman çn br öçek omadr (gün, ay, y, ya oabr). Her br brm ya da brey çn ömrün sona ermes veya baarszn meydana ged an tamamen net omadr (Lee and Wang, 3)... SA KALIM ANALZNN TARHSEL GELM VE KULLANIM ALANLARI Yaam sürdürme anaz k oarak 7. yüzyda kuanmaya baanmtr yar arasnda Edmund Haey k yaam tabosunu tasaramtr. Haey n tasarad yaam tabosu günümüzde demograf ve aktüerya çamaarnda kuanan yaam taboar e brçok benzerk göstermektedr.. yüzyda knc Dünya Sava srasnda özeke asker teçhzatarn güvenr ve yaam sürdürme süreer üzerne aratrmaar hzanmtr. Sava sonrasnda da özeke eektronk endüstrs aannda yaam sürdürme anazernn önem artmtr (Marubn ve Vasecch, 4).. yüzyn knc yarsndan sonra bata t omak üzere fen ve sosya bmerde yaan aratrmaarda yaam sürdürme anaz daha çok kuanr hae gemtr. Örnen; Mac Donad n 963 ynda br hastaa yakaananar ber br süre zeyerek yaam sürdürme süreernn öçümesne kn aratrmas (Mac Donad,963), ya da Fre n 96 ynda ber br hasta oan ve tedav eden kern tedavden sonra yeme süreernn nceenmesne kn aratrmas (Fre,96), gb brçok tbb aratrmada yaam sürdürme anaz kuanmtr. kuanr. Yaam sürdürme anaz sadece öümüüün de öçüebr süreçern anaz çn de 3

12 Sosya bmer aannda se, 988 ynda Fchman maden ocanda çaan kömür çernn çat günern kaytarna kn very kuanarak, e devam etmenn motvasyone sonuçarn yaam sürdürme anaz kuanarak aratrmtr (Fchman,988). Yne 988 ynda Leher evktek anamazkara neden oan faktörern etkern yaam sürdürme anaz e nceemtr (Leher,988). 997 ynda Abonett ve Heburn tarafndan art oarak serbest brakan 67 suçunun ortaama art serbest brakma süresn etkeyen faktörer yaam sürdürme anaz e aratrmtr (Abonett ve Heburn, 997). Bu aanarda yaan örneker artrmak mümkündür... SA KALIM ANALZNDE SANSÜRLEME Sa kam anazn der anaz teknkernden ayran en önem özek durdurumu gözemern kuanabmesdr. Örnen, t aannda yaan br aratrmada çamann sonunda bütün zeme süres boyunca yaam sürdürme süresn tamamamayan ya da aratrma esnasnda etme devam edemeyen hastaar da oabr. Bu gb durumarda hçbr aratrmac bu brm ya da breyern tamamn kay ver (mssng data) oarak çamann dnda brakmak stemez, çünkü bunarn çou aratrma sonucunu etkeyebr. Breyn baka br kente tanmas ya da tekrar kontroe gememes gb nedenere hastann durumunun tak edmes mümkün omayabr. Bu breyn yaam sürdürme süresye g bg, hastann en son görüdüü anda ede eden bg our ve durdurumu gözem oarak aratrmaya katr (Coet, 3). Herhang br tbb aratrmada tanmanan oaydan baka br nedene de yaam sürdürme süres sona erebr. Örnen tanmanan durumun öüm oarak and br aratrmada öümün tedav e g omayan nedenere gerçekemes durumunda da yaam sürdürme süres durdurumu oarak deerendrr. Ancak öümün hastaya uyguanmakta oan ber br tedavden bamsz ou oamadnn test edmes zor oabr. Örnen kanser tedavsnde kuanan yöntemern aratrd br aratrmaya katan br hastann trafk kazasnda hayatn kaybett durumda kaza, tedav yöntemernden bamsz gb görünse de hastaya uyguanan tedavnn yan etks oan br ba dönmes nöbetnn kazaya sebe omas durumunda öümün tedav yöntemernden bamsz oamayaca açktr. Bu 4

13 gb durumarda, herhang br sebeten kaynakanan öüme kadar yaam sürdürme süres de yaam sürdürme anaz sürecne dah edebr (Coet, 3). n tane breyn yer ad br aratrmada. brey çn yaam sürdürme zaman, t rasgee dekenn ad deer ve eer tanmanan oay ortaya çkmam se durdurma zaman c osun, o zaman yaam sürdürme süres rassa deken T mn( t, c ) dr Eer, t c se oay durdurma zamanndan önce ortaya çkmtr ve T deken durdurumamtr. Aksne t c se durdurma zaman oayn ortaya çkma zamanndan daha önce gerçekemtr ve T deken durdurumutur (Co&Oakes, 984). Sansüremenn etksn görmek adna, akcer kanser hastaar üzernde yam br aratrmann sonuçar zenebr.yaan aratrmada 5 akcer hastasnn hastak durumar gözenm ve deney süresnce hayatta kama süreer, 5, 6, 6, 9,,,,,,,,, 3, 5, 6,, 4, 4, 7, 3, 34, 36, 36, 44 ay oarak satanmtr. Önceke bu çamada verernn kuand ve sa kam anaznde kuanan yöntemerden br oan ve daha sonra ayrnt ekde nceenecek oan Kaan-Meer Yöntem e hesaanan tanmayc statstker Tabo. de yer amaktadr. Tabo.. Kaan Meer Anaz (sansürsüz) SaKam Süres Standart Sama %95Güven Ara Artmetk Ortaama 7,5,3 3,, Medyan,5 9,554,45 Ayn çamann, gözenen breyern çamadan çkarken k akbeternn berenm omas hande, bekenen durum (akcer kanser nedenye öüm) un gerçeke gerçekemed bnebr ve anaz bu durum göz önüne anarak yenden yaandrabr. Keza breyern çamay sonandrma kouar bnmekte ve çama da yer ama zamanar (öüm nedenye ya da herhang br nedene sonanm oabr) aadak öye gerçekemtr; #, 5#, 6, 6, 9#,,, #,,,,, #, 3#, 5#, 6#, #, 4, 4#, 7#, 3, 34#, 36#, 36#, 44#. Burada # e berten gözem deerer, bekenen oay dnda sonanmaar fade etmektedr ve sansürenm verer oarak deerendrmedr. Bu kouar 5

14 atnda ayn data yne Kaan-Meer yöntem e anaz eddnde Tabo. dek sonuçar gözenecektr. Tabo.. Kaan Meer Anaz (sansürenm) SaKam Süres Standart Sama %95Güven Ara Artmetk Ortaama 8,5 3,54,5835,45 Medyan 3 4,43 3,76,9 Bu k taboya at hayatta kam grafker ek. de yer amaktadr. Survva Functon Survva Functon, Survva Functon Censored,,8,8 Cum Survva,6,4 Cum Survva,6,4,,,,,,, 3, YasamaSüres 4, 5,,,, 3, YasamaSüres 4, 5, ek.- Sansürenm ve sansürenmem verere oumu sa kam fonksyon grafker nceenen oayn yasna ve ede eden vernn türüne ba oarak brçok durdurma tnden bahsetmek mümkündür. Durdurma ter hakknda ek çok fark görü omasna ramen en uygun snfandrma, durdurmay ananm ve ananmam oarak k ana bakta nceemektr (Baar,993).... Pananm durdurma Pananm durdurmada aratrmann en banda aratrma süresnn berend ve bu süre sonunda aratrmannn sona erdrd ya da yne aratrmann banda ortaya çkacak oay saysnn berend ve berenen sayda oay ortaya çktnda aratrmann sona 6

15 erdrd durdurma çeddr. I. T Durdurma ve II. T Durdurma omak üzere k bakta nceenebr. I. T durdurma I. T durdurma, önceden ananan br zamanda çamann sona erdrd br durdurma kuradr ve zamansa durdurma (tme censorng) oarak da smendrr. Aratrmann sürdürüdüü zaman sabt oduundan bu süre çnde gözenen yaam sürdürme zamanar rasgee dekendr (Baar,993). II. T durdurma Önceden ananan sayda oay meydana ged anda çamann sona erdrd br durdurma kuradr ve saysa durdurma (faure cersorng) oarak adandrr. Aratrmada yaam sürdürme says sabt oduundan rasgee deken her brm çn yaam sürdürme zamandr (Baar,993).... Pananmam durdurma Durdurma zamanar rasgeee ba nedenere berenrse rasgee durdurma ortaya çkar. Bast br rasgee durdurma sürecnde her br breyn t yaam sürdürme zaman ve c durdurma zamanna sah oduu varsayr. t ve c bamsz, sürek rasgee dekenerdr. Durdurma ede eden bg türüne göre fark terde snfanr (Baar, 993). Sadan durdurma Tbb aanda yaan çamaarda, t annda tedavsne baanan her hasta t t zamannda yeecektr. Ancak, hastann yaam sürdürme zaman t, haa yememes ya da takbnn mümkün omamas durumunda bnemeyebr. Eer breyn en son ber br zamanda daha yemem oduu bnyor se, en son bgnn and bu zaman br durdurumu yaam sürdürme süresdr. Bu durdurma, brey çamaya dah oduktan sonra ortaya çkar ve en son bnen yaam sürdürme süresnn sa tarafya g oduundan 7

16 sadan durdurma (rght censorng) oarak adandrr. Sadan durdurumu sa kam süres, bnmeyen gerçek sa kam süresnden daha küçük our (Coet, 3). Sodan durdurma Br baka durdurma çed de, tanmanan durumun sa kam zaman baamadan önce ortaya çkt yan baangç zamannn kesn oarak bnmed durumarda karaan sodan durdurma (eft censorng) dr. Ber br kanser oaynda, brnc tümörün cerrah müdahaeye anmasndan sonra tekrarama süresnn nceend br çamada hastaarn oerasyondan üç ay sonra kansern tekraray tekraramad konusunda karar vermek üzere nceend düünüsün. Baz hastaarda tekrarama gözend hade tekrarama süres yaam sürdürme süres baamadan ortaya çkabr. Bu gb durumarda tekrarama süreer sodan durdurumu our. Sodan durdurma sadan durdurmaya göre daha nadr uyguanmaktadr (Coet, 3). Arak durdurma Der br durdurma çed de arak durdurma dr. Bu durdurma çednde breyer br zaman aranda tanmanan oaya kar karya kamaktadr. Ber br hastann k üç ayk kontroünde hastak berterne rastanmam ancak atnc ayda yaan knc kontrode tümörün tekrarad görüürse hastan gerçek tekrarama süres üçüncü ve atnc ayar arasnda oacak ve doaysya gözemenen tekrarama süresnn arak durduruduu söyenebecektr (Coet, 3)..3. SA KALIM ANALZNDE KULLANILAN FONKSYONLAR Sa kam anaz, aadak üç fonksyon teme anarak outurumutur.. Oask younuk fonksyonu. Sa kam fonksyonu 3. Hazard fonksyonu 8

17 .3.. Oask Younuk Fonksyonu X rasgee deken f oask younuuna sah omak üzere; b P( a X b) f ( ) d ; f ( ) eknde gösterr. Brkm dam fonksyonu, a F ( ) f ( u) du ve eknde fade edebr. d f ( ) F( ) d Sa kam anaznde oask younuk fonksyonu kuanm,. brey çn hayatta kama süres T omak üzere, g brmn t annda stenen duruma kousuz karamas durumunu fade eder ve; T=t omak üzere, P( t T t ) f ( t) m formüü e gösterr (Co&Oakes, 984)..3.. Sa Kam Fonksyonu Sa kam anaznde kuanan fonksyonardan br de sa kam fonksyonudur. Sa kam fonksyonu, br breyn ber br t zamanndan daha uzun süre hayatta kamasn fade eder. T, sürek br rasgee deken se; t S ( t) P( T t) f ( t) dt o t 9

18 T, kesk br rasgee deken se f P( T t ) omak üzere, j : j S( t) P( T t) t t ( j ) f j j,, oarak tanmanr. Sa kam fonksyonu monoton azaan br fonksyondur. S ( ) S (t) S ( ) t ek.- Sa Kam fonksyonu t = ken S ( t) S() t ken S ( t) S( ) Teork oarak S(t) ers a doru azar. Fakat uyguamada her br gözenen yaam sürdürme zaman t de kesk oduu çn yaam sürdürme fonksyonu basamak (ste) fonksyonu bçmndedr. Çama dönemnn sona erd zaman kesn oarak berend çn çaan dönem sonsuz uzunukta omaz ve çama dönem sonunda S(t) fonksyonu be br t zamannda kesr (Kenbaum, 996) Hazard Fonksyonu Hazard fonksyonu h(t), breyn t zamanna kadar yaad bnyorken t t zamanna kadar yaamnn sona ermes rskdr. Breyn genen özek bakmndan baarszk emnn br öçüsüdür.

19 Burada h(t) baarszk hz (faure rate), an öüm hz (nstantaneous death rate) ya da öümüük gücü (force of mortaty) oarak fade edebr. Hazard fonksyonu, sa kam anaznde önem br yer tutar; P( t T h( t) m t tt / T t t) eknde fade edr. Sürek damar çn h(t) fonksyonu, h ( t) t h( t) dt özekern saar (Lawess, 98). Hazard fonksyonu br zaman aranda var oan baarszk rsknn tanmdr ve kouu baarszk oran oarak da tanmanabr. Hazard fonksyonu br oask fonksyonu de br orandr. Oask deerer gb (,) aranda de (, ) aranda yer ar.sa kam fonksyonunun sah oduu dama göre hazard fonksyonu fark yadadr. Örnen, sa kam mode üste dama sah se hazard fonksyonu sabt br deer, Webu damna sahse artan ya da azaan deerer, og-norma dama sah se önce artan sonra azaan deerer ar (Kenbaum, 996). ek.3 T Üste dadnda sabt hazard fonksyonu

20 ek.4 T Webu dadnda artan ya da azaan hazard modeer ek.5 T og norma dadnda önce artan sonra azaan hazard fonksyonu.3.3. Brkm Hazard Fonksyonu Brkm hazard fonksyonu, aratrma dönem çersnde ber br t an çn hesaanm oan baarszk hzarnn brkm fonksyonudur. Brkm hazard fonksyonu H(t) e gösterr ve t H ( t) h( u) du oarak tanmanr. Ayrca

21 m H ( t) t our. H(t) fonksyonu artan br fonksyondur (Co&Oakes, 984) Sa Kam Anaznde Kuanan Fonksyonar Aras ker Kouu oask fonksyonu tanmndan hazard fonksyonu, h( t) f ( t) S( t). eknde fade edr. f (t), S (t), h (t) T dekenn fark ekerde fade edmes oarak düünüebr. Berten üç fonksyonun da brbr e k oduu söyenebr. Oask younuk fonksyonu sa kam fonksyonu cnsnden f ( t) F( t) ( S( t)) S( t) t t oacaktr. Bu fade. etnde yerne yazrsa, S( t) h( t) n( S( t)) S( t) t fades ede edr. Yaam sürdürme fonksyonunun ogartmk öçekte göstermes hazard fonksyonunu vermektedr. Ede eden fade brkm hazard fonksyonunda yerne yazrsa; t t H ( t) h( u) du n( S( u)) n S( t) ede edr. Yaam sürdürme ve hazard fonksyonu se; 3

22 t S( t) e h( u) du e( H ( t)) eknde yazabr. Son oarak se h( t) f ( t) S( t) et dkkate anarak oask fonksyonu hazard fonksyonu cnsnden yazabr. f ( t) h( t)e t h( u) du.4. SA KALIM ANALZNDE KULLANILAN YÖNTEMLER konusudur. Sa kam anaznde, genen durumun ntene göre fark yakamar söz Dam varsaymarnn uygunukarnn test yamsa, arametrk anaz yöntemer kuanabr. Hotez tester outuruur ve doruukar ber test statstker e test edr. Herhang br dam varsaymnn geçer omad durumarda arametrk omayan anaz çeter uyguanabr. Baarszk zamannn bam deken oarak kabu edd durumarda, bu bam deken açkad düünüen bamsz dekenern etkernn aratrabd regresyon modeer kuanabr. Mode seçmnde zenen yoda k aama vernn g dama uygunuunun test edmesdr. Daha sonra arametrk modeern kuanabmes çn geçer varsaymarn saan saanmad kontro edr. Bu varsaymarn saanmad durumarda se arametrk omayan damar kuanma youna gdr..4.. Parametrk Damar: Sa kam anaznde kuanan arametrk yöntemer ksaca açkayam. 4

23 .4... Üste Dam Üste dam, brçok sa kam versn yeter derecede tanmayamasa be, baz gene durumarda oayn gene yasn anamay koayatrr. Üste dam tek arametreye sahtr. Bu da sabt hazard oran dr. Yüksek deerer yüksek rsk ve ksa sa kam çerrken, düük deerer de düük rsk ve yüksek sa kam oran çerr. = se brm üste fonksyon ouur Webu Dam Webu dam, üste damn geneetrm hadr. Üste damdan fark oarak sabt hazard oranna sah dedr. Bu nedene geneeyc uyguamaar daha fazadr. Webu dam ve omak üzere k arametreye sahtr. damn ekn bererken öçüsünü berer. Zaman artarken oduunda hazard oran artar ve oduunda hazard oran azar Lognorma Dam Logartmk norma dam, br dekenn ogartmk deerernn norma damas anamna ger. og e T, ortaama ve varyansa norma darsa, T ogartmk norma dar denebr ve T ~ (, ) oarak gösterebr. Ancak ve ogartmk norma damn ortaamas veya varyans dedr. Parametreern fark deerer çn hazard fonksyonunun ogartmk norma damdr.hazard fonksyonu bata hza artar, medyan geçtkten sonra sonsuza yakarken a doru azar. Yan bu dam, k bata artan sonra azaan br hazard oranna sah sa kam anazer çn uygundur. 5

24 Gamma Dam Gamma dam ve omak üzere k arametreye tanmanr. < < ken, negatf azama vardr ve ne zaman dan sonsuza artarken hazard oran monoton br ekde sonsuzdan ya doru azar. > se oztf br artma söz konusudur ve hazard oran zaman artarken ya doru artar. = se hazard oran ya ettr Der Sa kam Damar Sa kam anaznde kuanan der damar; Log ojstk dam, dorusa üste dam, Gomertz damdr. Sa kam anaznde kuanan teme damarn arametreer, oask younuk fonksyonar, sa kam fonksyonar ve hazard fonksyonar Tabo.3 te görümektedr (N.Ata ve Derer, 8). Tabo.3 Parametrk Damar çn teme hazard fonksyonar, oask younuk fonksyonar ve yaam fonksyonar Parametre h(t) f(t) S(t) Üste e( t) e( t) Webu t t e( t ) ) e( t n t e f ( t) n t LogNorma S( t) t( ) f ( t) t e( t ) Gamma,, S( t) ( ) It, I : Tamamanmam Gamma Fonksyonu : Standart Norma br dekenn brkm dam fonksyonu :Ortaama, : Varyans 6

25 Sa kam anaznde arametrk damarn varsaymarn gerçekenmes hande kuanabecen daha önce bertmtr. Hang damn ver setne uygun oduu gerek grafk yöntemer, gerekse uyum y tester e satanabr. Uyum y tester kasamnda, F(t), ver damnn temendek dam omak üzere, gene sfr hotez, H : F( t) F ( t) Uyum y kasamnda uyguanan 4 ana test aadak gbdr. Üste dam çn WE Test Lognorma Dam çn W test K kare Uyum y Test Sansürü verer çn Uyum y Test.4.. Parametrk Omayan Damar Sa kam anaznde, emzdek ver setnn gösterd özekern herhang br arametrk dama uyduu varsaymn gözetmekszn kuanabecek arametrk omayan anaz çeter de mevcuttur. Parametrk omayan yöntemer, genede oduu gb sa kam anaznde de sah ounan vernn and ktenn özeker net oarak bnmednde kuanmna bavuruan anaz yöntemerdr. statstkte çokça kuanan bu yöntemern, sa kam anaznde kuanaben formar çersnde en kuan oan Kaan Meer yöntemdr Kaan Meer Yöntem: Kaan Meer yöntem, yaam süreer versnden sa kam fonksyonunun tahmnnde kuanan, arametrk omayan br yöntemdr. Br t uyguamasnda, bu, br tedav sonucunda hastan tekraramasna dar br fonksyon ya da fnansa aanda br knn 7

26 n kaybetmes sonucu sz kama süresnn satanmas çn aratran br fonksyon oabr. S ˆ( t ) nn k ardk öüm zaman arasnda ad deer sabt oduundan, Kaan Meer yöntem e ede eden fonksyonun grafkse gösterm kesk br ekde, basamakar hande oacaktr. Yeternce büyük örnekemer seçmes hande se bu durum sa kam fonksyonunun sürek formuna yakaacaktr. k tedav türünün karatrd br deney sonucu, Kaan Meer yöntem e ede eden yaam fonksyonarnn br örne ek.7. de gözenebr. ek..6. k gen tne dar uyguanan fark tedavernn karatrd br Kaan Meer uyguamas sonucu ede eden sa kam fonksyonar Kaan Meer yöntemnn en önem avantaj, sansürenm very göz ard etmemesdr. ek.7 de görüen dkey çzger bu noktada deneyden, bekenen sonuç gözenmeden ayrmak durumunda kaan breyer smgeemektedr ve bu breyer de anazde deerendrmtr. Kaan-Meer yöntemnde kuanan formuasyonar se öyedr. 8

27 S(t) örnekemn and ktenn yaam fonksyonu osun. Bu fonksyonun tahmn edebmes çn örnekemde yer aan N knn öüm zamanar; t,, t, t N osun ve bu öüm zamanar arasndak k, t t t N eknde fade edebsn. n : t zamannda öme rsk tayan brey saysn d : t zamanndak öüm saysn fade etmek üzere Kaan Meer tahmn edcs, S(t) yaam fonksyonunun en çok oabrk yöntemye ede eden tahmneycdr; S ˆ ( t) tt n d n çarm e fade edr. Sansüreme söz konusu omad durumarda, n, t zamannda hayatta oan kern saysna et oacaktr. Kaan Meer tahmneycsnn tanmayc statstker; V ( Sˆ( t)) Sˆ( t) ˆ Sˆ ( t) dt tt n ( n d ) d 9

28 oarak gösterebr. Bu hesaamaar sansürü gözemern var hande küçük formasyonara tab omaktadr. Çamann ereyen aamaarnda, Türkye de kuanan mortate taboar baz anarak yaacak oan uyguamada sansürenmem ver seter üzernde Kaan Meer yöntem SPSS aket rogram vastasya nceenecek ve sonuçar yorumanacaktr..5. SA KALIM ANALZNN KULLANIM SAHALARI Sa kam anaznn baangç noktas daha önce de bahsettmz gb 7. yüzy da Edmund Haey n outurduu hayat taboardr. Ancak bu anaz çednn yaygn oarak kuanmaya baanmas. yüzy bumutur. Bu yüzyda brden faza aanda kuanm yaygnamtr. knc dünya savann bunda etks büyüktür. Sava srasnda asker teçhzatarn güvenr, sava sonrasnda se eektronk endüstrsnn gem, ayn zamanda t aanndak gemeer ve gerekker sa kam anaznn hz gemnde etkn aanardr. Sa kam anaznn bu gem srasnda kuanmnn yaygnamas ve sonuçardak baar, bak açarn getrm ve sa kam anaz brçok sosya konuda anaz arac oarak karmza çkmtr. Sa kam anaznn uyguama aanarndan en önemernden br de Aktüerya aandr. Aktüerya hesaamaara teme tek etmes amacya outuruan mortate taboarnn sa kam anazer e kuanabr bnebr, zamana yaanan demer yne sa kam anaz teknkerye göz önüne serebr. Ayrca mortate taboarnn outurumas çn kuanm zorunu oan sa kam fonksyonar, daha önce berttmz gb sa kam anazer e tahmnenebr. Uzun yaam veya erken öüm oaskar, breyn kendsnn veya bakmak zorunda oduu yaknarnn ekonomk bamszkarnn sürdürümesnde sorunara neden oabr. Bu berszk, öümün ve doaysya uzun yaamn br rsk oarak kabu edmesn brkte getrr. Be br yata oan br breyn ne kadar yaayaca ve ne zaman öece bnmemesne karn büyük br gru kden ne kadarnn öece tahmn edebr. Bu tahmneme, yaamöüm oaskarn çeren ve mortate tabosu ya da hayat tabosu ad veren br tabodan yararanarak yar. Ayn zamanda öüm, öüm ve bek faz öeern de kasayan, knn yaamas veya öümüne özgü ödemeer matematkse oarak hesaanr. Knn yaamas ve

29 öümüne özgü sstematk br anaz, aktüeryann temen outurur. Bu nedene, bu böümde önceke gözenen yaama ve öüm oranar (ksaca mortate oranar) tanmanm ve buna ba oarak çet nce anazere yer vermtr. zeyen böümerde hayat rant ve sgortas çn arasa deerer hesaamada, mortate ve faz fonksyonarnn br araya getrd formüer getrmtr. 3. AKTÜERYA LE LGL GENEL BLGLER Aktüerya, hayat sgortaarnn k uyguamaar e brkte 79 ynda ngtere'de ortaya çkm oan, çok güçü br matematkse ve statstkse atya gerektren, sgorta, uzun vade yatrmar ve emekk e g fyatandrma ve rsk anazne yönek hesaama ve tahmn yöntemernn bütününü çeren br bm dadr. Baka br deye aktüerya, Berszn fnansa sonuçarn yöneten, Rsk anaz, öçümenmes ve fyatandrmas üzerne çaan, Rsk yönetmne kn robemer matematkse ve statstkse yöntemer kuanarak çözen, rketer tarafndan anan rsker mnmze etmek çn doru stratej berenmesne yardmc oan, uzmank dadr. Geecektek rsker bereyerek fyatar test eden ve yatrm stratejern outuran aktüerer, yatrm karkarn artr sthdam mkanar yaratarak çatkar ükeern ekonomk büyümesne de katk saarar. 3.. ÖLÜM GÖZLEMLER Yakn geçmte saanan verere daya oarak düzenenm br hayat tabosu, yakn geecee de hzmet verr. Hayat tabosunun çerd fonksyonar nceemeden önce böye br öüm gözemnn nas yad üzernde duram.

30 Gözem atna anan br gru breyn yan gene oarak e gösterem.ksa süre çnde yana gren büyük sayda br n grubu ( baangç ya omak üzere), grutak son breyn öümüne den gözem atna ansn. zeyen yarda, breyer,,... yaarna gedkernde hayatta kaanarnn says n, n,... oarak kaydedsn. n k ken gb br yata n oacandan, bu gruba özgü n " dye nteenen sayar azaan br dz outurur. Azama neden öüm oduundan, ardk k ya çn hayatta kaanarn says arasndak fark öenern saysn verr. Buna göre tam ve + yaar arasnda öenern says n n our. X yanda öenern, yana grenere oran ( n n ) n e buunur. Bu orana yata gözenen mortate oran ad verr. Örnen tam 9 yanda kk br grubu öümerne den gözemedmz ve ardk yarda hayatta kaanarn saysn kaydettmz varsayam. Gözenen sayar Tabo 3. de verd gb osun. Tabo.3.. Öüm Gözem Sonuçar n Taboda yer aan 9 ya, grubun baangç ya dr. 98 yanda hayatta kaan kmse omadndan deer 98 dr. Buna göre n ve n deerer satanr. Tam 9 yanda oan kden tam 93 yana eren k vardr. O hade bu k ya arasnda öenern says n 9 n93 buunur. Bu fark n 9 ye oranadmzda,,5 oran buunur k bu oran tam 9 yanda oan br brey çn gözenen mortate orann verr.der yaar çn de oranar benzer bçmde hesaanr. Gözenen öüm oranarn daha ksa bçmde göstermede sonu farkardan yararanr. Sonu farkara göre n n fark n e gösterr ve n n n dye yazr. Oysa

31 yukarda görüdüü gb n n deerne gereksnm duyuduundan, bu fark n bçmnde buunur. Buna göre gözenen öüm oran n n bçmnde formüe edr. Yakak k buçuk asrdan bu yana dünyann çet ükeernde çet yaar, süreer ve gruar çn gözenen öüm oranar hesaanmtr. çn veya 5 gb br ya, çn veya 5 gb br ya osa yanda oan bu grubun tamamen gözemenmes ve y gb br süre boyunca br aratrmacnn her ya çn hayatta kaanar kaydetmes mümkün dedr. Mümkün oduu düünüse be, hemen hemen br asrk br süre çnde sosyo ekonomk dem, ttak gem, çevre kr ve benzer nedenere gerçek öüm oranarnn da demes bekenr. Doaysya gözenen öüm oranarnn yakn geecek çn be geçersz omas söz konusudur. Bu nedene brkaç y kasayan br sürede baz gözemern yamas gerek öüm oranarnn uygun teknkere hesaanmas daha anam ve daha gerçekçdr. Bu oranarn buunmasnda gerek oan teknk emer aktüerya statstnn konusunu outurmaktadr. Bu konuda baz noktaara denmekte yarar vardr. öye k gözem sürecnn seçmnde, öüm oranarnda an dekkere neden oabecek buac hastakarn veya savaarn yaand yarn kasamdan çkarmasna dkkat edmedr. Ayrca gözem atna anan gru ya çok büyük oma ya da çok büyük br grutan anan rasgee br örnekem omadr. Tabo 3. den saanan gözenen öüm oranar dzs yen br taboda düzenenrse, Tabo 3. ede edr ve bu tabo ksaca gözenen öüm oranar tabosu ya da ksaca öüm tabosu dye nteendrr. Tabo.3. Gözenen Öüm Oranar Tabosu n n n 9,5 93, , , ,793 97, 98 3

32 Bu tabodan da görüece gb ya eredkçe gözenen öüm oranar da artmaktadr. Bu art düzen br bçmde omakta ve tam 97 yanda deern amaktadr.artn böye düzen omas edek verern hotetk br örnek omasndan kaynakanmaktadr. Uyguamaarda gözenen öüm oranarndaysa, bu düzenk bekense be koayka görümez. Bu nedene gerçek öüm oran oarak kuanmak üzere outuruan deerer gözenen öüm oranar üzernde yaan baz düzetmeere ede edr. Bu düzetmeere teknk dde ajustman denr. Ajuste edm oranardan yararanarak hayat tabosunun düzenenmesne geçr. 3.. HAYAT (MORTALTE) TABLOSU Öüm oaskarna daya oarak ede eden, öüme ve yaama ba baz fonksyon deerernn yer ad taboya hayat tabosu ya da mortate tabosu denr. Hayat tabosunda yer aan fonksyonara se hayat (mortate) fonksyonar ya da byometrk fonksyonar ad verr. Hayat tabosunun teme fonksyonu e gösteren hayatta kaanar (yaayanar fonksyonudur. fonksyonu gözem e saanan n fonksyonuna kark geen varsay br fonksyondur. deerer en küçük yanda gruba katm oan kden yanda hayatta kaan (yaamn sürdüren) kern saysn gösterr. Teork oarak n oztf ve sürek br fonksyon oduu ve tüm noktaarda türevnn var oduu kabu edr. ya, tabonun baangç grubu ya da radks ad verr. Bu deer dek taboarn karatrabmeern saamak üzere un kuvveternden br bçmnde anr. Baangç ya, gözem oanakarna ve amaca ba oarak veya 5 ya da gb br ya oarak seçr. fonksyonunun tanmna dayanarak fark yana var + yana varmadan grutan ayranar ya da ksaca yanda öenern saysn berer ve d e gösterr. Doaysya d fonksyonu öüm tabosundan hesaanan n farkna kark ger. Sonuç oarak ardk deerer arasndak fark bereyen d çn d yazr. 4

33 Benzer ekde, hayat tabosunda yandak br k çn öüm oas, n n gözenen öüm oranna kark ger ve d / e berenr. yanda br knn br y çnde öme oas oarak tanmanan ve ayn zamanda mortate oran dye adandran bu oran e fade edr. Böyece, d 4. formüü ede edr. Br mortate tabosu ya ya da koonar e tanmanr. deerer verrse, uygun br baangç grubu ( ) seç ardk oarak d ve deerer buunur.,,,...,,... ve bndnden, d ve d doaysya gene oarak, d. 4. d 4.3 bçmnde ede edr. Tabo 3. dek vererden yararanarak ve gözenen öüm oranarn deerer gb kabu ederek br hayat tabosu düzeneyem. Baangç ya 9 çn 9, (radks) osun. 3. formüünden d.,

34 ve 3.3 formüünden 93 9 d9 5 5 buunur. Bu emere devam ederek Tabo 3.3 outuruur. Tabo 3.3 ayat Tabosu d 9 5, , , , , , 98 deernn yanda yaayanarn says oarak tanmanmasna dayanarak bu deern ayn zamanda - yandan sonra öenern says oduunu; ksaca, t d oduunu göz ard etmemek gerekr. Teork oarak, fonksyonunun matematkse bçm tanmanarak br hayat tabosu düzenenebr. Örnen, k( ) ve k =, (radks) e verdnde, Tabo 3.3 e benzer br varsay hayat tabosu kestn doumdan baatarak ( ya dah) düzeneyem. Tabo 3.4 te sunuan bu hayat tabosu kestnde fonksyonu = çn, oarak buunur. 6

35 Taboyu düzeneyebmek çn k aamada =,,,..., çn deerer buunur. d ve 3. formüernden aadak taboda yer aan deerer hesaanr. Tabo 3.4. k( ) ve k =, e Varsay Hayat Tabosu Kest d 5, , , , , , , , , , , YAAMA VE ÖLME OLASILIKLARI Tanm gere oas, hayat tabosundak ve d son doum gününde yandak öenern says n gösterr. Öüm d koonarndan dorudan doruya buunabr. Örnen, Tabo 3.4 ün hazranmasnda, 5 yanda oan br knn öüm oasn bumak çn oran outuruur. Saysa deerer yerne koyarak 5 d = 54 / =, deer buunur. Genede sayarn yeternce yuvaranmas uygun oduundan bu say taboya,57 oarak anabr. yandak br knn n y çnde ömes oas n semboü e gösterr ve n n n d y 4.4 y 7

36 bçmnde formüe edr. Örnen yen doan br beben 5 y çnde ömes oas 3.4 formüüne göre 5 5 d d d d 3 d 4 bçmnde yazr. Tabo 3.4 e göre, ,53 buunur. Taboda bu gb oask deerer yer amaz. Buna karn, benzer oask deerern tabodan ya da yanzca fonksyonunun matematkse fadesnden yararanarak bumak mümkündür. oas yandak br breyn + yana kadar hayatta kamas, ksaca br y daha yaamas e gösterr. Bu oask, knn br y çnde ömemes oasna ettr ve oask kuraarna göre our. Ayrca oas + yana den hayatta kaanarn saysnn yanda hayatta buunanarn saysna oranya hesaanr. Doaysya, çn 4.5 formüü kuanr. Tabo 3.4 ten yararanarak, 6 yandak br knn 7 yana kadar yaamas oas, ,994667,

37 ede edr. yandak br breyn +n yana kadar hayatta kamas, ksaca n y daha yaamas, bu breyn n y çnde ömemes demektr ve bunun oas n e gösterr. Benzer ekde n n ve +n yana den hayatta kaanarn saysnn yanda hayatta buunanarn saysna oran oan n n 4.6 formüü kuanr. Örnen yen doan br beben y yaamas oas; 94868/,94868 our. veya nun so yannda ek br sembo yoksa, oduu varsayr. Ksaca, veya oduu kabu edr. yandak br knn m y daha yaamas ve bunu zeyen n yda ömes oas, baka br deye +m e +m+n yaar arasnda ömes oas m n. m n m ve m n m m m mn m mn 4.7 e formüe edr. Tabo 3.4 e dayanarak, 9

38 ,547 buunur. n= oduunda bu deer yne yazmayabr ve m knn m y daha yaadktan sonra zeyen br y çnde ömes, ksaca +m ve +m+ yaar arasnda ömes oasn gösterr. Bu oask, m d m m. m 4.8 bçmnde formüe edr. 3.4.AN ÖLÜM ORANI Hayat taboarnda fonksyonu oarak yer aan öüm oaskar, yanda br knn br y çnde ömes oasn fade eder. Öüm oaskar, ( d ) e berten yanda oanardan br y çnde öenern saysnn hayatta kaanarn saysna ( ) e oranya hesaanr. Knn yan bereyen tamsay oarak düünüür ve oranar br y çnde öenern saysna ba oarak berenrse, öüm oaskarn bereyen bu öçüm yeter gb görüebr. Oysa yaam sürekdr ve deken gerçe say oarak ee anabr. Bu durumda fonksyonu sürek azaan ve her noktada türev anaben br fonksyon oarak tanmanr. çok küçük yaar çn hza azar; baangçta d bükey (konveks), sonra ç bükey (konkav) ve daha sonra yne d bükey our. yanda buunan kden h süre çnde öenern says ve buna ba h oarak hesaanan br ydak öüm says ( h our. Doaysya, h ) m h h h d d 3

39 yandak kden, çok ksa br zaman arandak öümere dayanarak yk ortaama öüm saysn verr. Bu say, doa oarak deerne ve doay oarak da baangç grubu saysna (radkse) badr. Buradan, çok ksa br zaman aranda ortaya çkan öümer hesaamak çn yarar br öçüm, bu saynn yanda hayatta buunanarn saysna oranya ede edr ve e gösterr. Sonuç oarak, d d 4.9 d n d 4. ede edr ve deer an öüm oran ya da öüm ddet oarak nteendrr.* kuanmasnda ve deerendrmesnde, bu orann yk br oran oduu unutumamadr. 3.9 formüünün yenden düzenenmesye, d d 4. ede edr ve yukardak açkamaar nda bu fonksyon öümern saysn gösteren öüm ersn berer. Bu erdek maksmum ve mnmum noktaar noktaarna kark ger. Çünkü, grafndek büküm d d d ve d ourken d( ) d 3

40 ede edr. 3.9 formüü düzenenerek d d 4. yazmas ve bu fonksyonun ber br yatan son ya oan ya ya da gene fade etmek çn a dek ntegrann anmasya, d d dt dt dt omas nedenye t t dt 4.3 ede edr. ntegran snrar e + oarak berenrse, t t our. d oduuna göre d t t dt 4.4 buunur. 3. formüünün e +n arasnda ntegra anrsa, 3

41 n dt t n t dt n d dt n t n n n n t n dt n n sonuç oarak n tdt n e ve 3.6 ya ba oarak n e n dt t 4.5 e e n tdt 4.6 ede edr. 3.5 e göre n e n t dt 4.7 our. Öüm oas çn 3.9 formüünün ve +n yaar arasndak ntegra anrsa, n dt t t n t t dt n ve n n n t t dt 4.8 ede edr. Ksaca n t t dt

42 ve t t dt 4. our. Benzer yodan n m nm t n t dt 4. (Ngün Mora, 997) 3.5. ve FONKSYONLARININ KARILATIRILMASI ve fonksyonar arasndak matematkse kere ek oarak, bu k fonksyonun karatrmasnda brçok yo zenebr. Bunardan br, düzenenm hayat tabosundak ve fonksyonarn ayr ayr her ya çn zemek ve be ya arakar çn yorumar yamaktr. Genede doumdan yaa den <, yatan 4 yaa den >, 4 yatan 6 ya dah <, 7 yatan 74 yaa den > ve daha sonrak yaar çn < oduu görüür. Der br karatrma ve erernn grafkernden yararanarak yar. Yk öüm oas t t dt bçmnde yazdnda t tdt bants saanr. artan br fonksyon oduundan t t dt oduu görüür. Bunun sonucunda, öüm ers artarken > ve benzer ekde azarken < oduu buunur. 34

43 n grafye karatrrken fonksyonunun dbükey oduu arakarda d baants göz önüne anr. d fonksyonu artan br fonksyondur ve > our. n çbükey oduu arakarda se fonksyonu artan br fonksyondur ve < ekndedr. Buna karn, dorusa br fonksyon yasnda görüdüünde se ve hemen hemen ettr. Ayrca en faza e et omasna karn, deer aabr. Özeke bebek öümernn doum sonras hemen br saat çnde omas nedenye > buunur. Bu durum tabodak son yaar çn de geçerdr ÇN YAKLAIK DEERLERN HAYAT TABLOSUNDAN HESAPLANMASI deerernn hayat tabosunda verd fakat matematkse formüün bnmed durumarda yakak oarak hesaanr. 3.5 formüünden e t ve t dt n ede edr. Bu ntegra t deernn ve + arandak ortaama deern fade eder ve bunun y yakak oarak bered varsayrsa n buunur. Benzer ekde dkkate andnda 35

44 ve e t dt tdt n our. ntegra deer yakak oarak e et kabu eddnde ve n n n n ede edr. Yakak deer hesaanmasnda der br yakam yöntem de n ber br matematkse bçme (en yan oarak br onoma) uyduunu varsaymak ve n formüünde yer aan d d ( ) Tayor açmndan yararanarak ede etmektedr. Örnen, knc derece br onom oarak kabu eddnde h h h! doaysya ve 36

45 37 our. farkn aarak ve d d ede edr. fonksyonu 3. dereceden br onom kabu eddnde, Tayor açm v h h h h h 3! 3!! 4 3 bçmn ar ve v v 4 6 v 4 6 v denkker ede edr. n dndak türever dta brakmak çn,

46 38 farkar an yanz brakdnda ve 8 7 d d d d buunur. Der br yöntem, türev ve fark emcer (D ve) arasndak 3 ) n( 3 D ksn kuanmaktr. Bu yoa ) 3 ( 3 D ve 3 ( d d d ) buunur. deernn hesaanmasnda özeke bu formü kuanr.

47 3.7. GÖZLEMLE ELDE EDLEN ÖLÜM ORANLARININ DÜZELTLMES (AJUSTMANI) yandan (yan en son ya) a kadar söz konusu oabecek tüm göz önüne getrsn. Bu öüm oranar oran, yann br fonksyonu oarak düünüsün. Bu fonksyon gene br dem gösterr. öye k, doumdan yana kadar br aza ve sonra yana kadar hz br art, daha sonra da 4 yana kadar yava br artma söz konusudur. Nhayet 4 yandan tbaren üste fonksyon seyrne et, gttkçe hzanan br artma egemen our. Fakat söz konusu dekker düzensz ou grnt çknt görünüm verrer. Buna neden, gözemern snr sayda omas ve doaysya rastantsa farkarn kamasdr. Buna karn, oaskar çn düzen br dem hotez esas kabu edr.bu hotez gayet norma, aka uygun ve koayk saayan br araçtr. te açkanan yukardak anay çerçevesnde uyguama aannn gereksnmerne kark vermek üzere gözenen deerer yerne, düzen demer gösteren düzetm (ajuste) deerer anr. Fakat bunu yaarken ajustman e öüm düzeynn hçbr zaman gerçek seyrnden uzakamamasna dkkat etmek gerekr. y br ajustmanda, seyrde gerçee sadakat ve demerde düzenk gb k önem ntek ön anda yer ar. Ajustman yöntemer baca üç önem gruta nceenebr Grafk ajustman deerer (; Hassas br grafk kad üzernde kartezyen koordnat sstem esasna göre gözem ) koordnatarya satanr. Sonra dkkat br e çzmye veya teknk br araça satanan bu noktaarn ortasndan düzen br er geçrr. Çzen er üzerndek herhang br noktann ordnat, yk öüm oasn verr. Bu yöntemn tamamya ratk br çözüme yönek oduu görüür. Fakat artk yanzca çabuk ve yakak br ajustman ede etmek çn kuanr. Ayrca, der yöntemern uyguanmaya ever omamaar hande de bu yönteme bavuruur. 39

48 3.7.. Mekank Ajustman Öüm oaskar arka arkaya geen (k+) adet k, k,,,, k oranar fonksyonu oarak ede edr. Fonksyonun seçm önceden satanan kouara dayanr; örnen ajuste eden deerern araboün br yay üzernde buunmasn önceden satamak gb. Aadak, baz mekank ajustman formüer vermtr. Bunarn hes aadak gene formüden ede edr. a( k) a( k) a( k) k k k burada, a( k) a( k) ve a( t) a( t) Wttsten Formüü k = k : a(k):,,, Fnason Formüü k = 4 k : 4 3 a(k) :,4,8,,6, 4

49 Woohouse Formüü k = 7 k : a(k) : Sencer Formüü k = 7 k : a(k) : Karu Formüü k = 9 k : a(k) : Bu formüern kuannn daha net anamas adna, br örneke Fnason formüünü ayrntarya görem. 5 douma at denkemer aadak gb outuruur: d u k noktadan geçer: P 4; ) ve R, ) ( 4 ( d u k noktadan geçer: P 3; ) ve R, ) 3 ( 3 ( d u k noktadan geçer: P ; ) ve R 3, ) 4 3( 3 ( 3 d u k noktadan geçer: P ; ) ve R 4, ) 5 4 ( 4 ( 4 d u noktadan geçer: P ( ; ) ve bu eksenne araedr 5 n deer, 5 doru üzernde buunan akss noktaarn ordnatarnn artmetk ortaamas oarak tanmanr. 4

50 yan: burada Ayrca Fnason a göre ajuste eden, ortaamaarn ortaamas gb tanmanr, ),( w ),( u öze hususar önemdr: Doru says: 3, 7 veya baka br adette doru anabrd. Doru seçm: Er yayar anabrd. Der formüerde bu ek zenr. Der taraftan Hardy- ad veren baka br ajustman yöntemne aret etmek gerekr (mekank ajustman yöntem),8w,4( w w 5 ) 5 ve burada w,( ) Bu yöntem svçre Sgorta Kontro Büro organ tarafndan mortate taboarnn hazranmasnda kuanr Anatk Ajustman Mekank ajustmanarn önem sakncas udur k; fonksyonunun önem oabecek demern azatr. Çünkü ardk frekansarnn ark ortaamas buunacak ekde düzenk saanmaktadr. Anatk ajustmanar buna br çözüm getrr. =f() anr. Burada f() brçok arametreer oan ve bu arametreer gözem frekansarndan hesa eden br fonksyondur. Yanz geenee uygun oarak, ajustman fonksyonundan harekete yar. 4

51 Çet anatk fonksyonar; Movre Formüü A B Movre u deerer seçmtr. A = - B = 86 Böyece ya 85 our. Bu formüe göre: Tüm d er et ve A deerndedrer, " deerer kzkenar herboün br yay üzernde yer arar, Bütün n deerer çn n our, Tam yaama ümd, her ya çn, yaama oasna ettr ve deer de dr, Bu formü çok basttr. Fakat mortatey gerekt gb yanstmaz Üste Fonksyon ya sonsuza gder. Ka, a< Bu durumda yk öüm oran yatan bamsz ou (-a) deerndedr. Bu da doaysya mortatey y tantamaz ve kuanmasn engeer 43

52 Sang Formüü a bc Bu da üste fonksyonun braz daha düzetm ou, dea sonuçar saamaktan uzaktr Üste Lneer Fonksyon Ae Be Bu formü H. Laurant tarafndan getrmtr. Önem baz özeker varsa da mortate taboarnn hazranmasnda hçbr zaman aranan br fonksyon omamtr Gomertz Formüü Kg c k burada: g c ( c) Bu formü yüksek yaar çn (45 ya cvar çn) Üste Lneer Fonksyonu ndan daha y sonuçar vermektedr Makeham Formüü Ks Bu formü de Gomertz formüü nün daha gem gb kabu edebr.geneke >4 çn y sonuçar veren br formüdür. g c Baz Özeker:. Makeham formüünde u vardr; sg c ( c) 44

53 Rastantsa br nedene br yda öme oas -s dr ve o hade öme oas yandan bamszdr. Ters oay, s nn oas böye br nedene ömeme oasdr.. c g ( c) de kouu oask ou, yatan doay (hastak, haden düme gb) öme oasdr. ( c ) g se öye br nedenden ömemenn kouu oasdr. c Bundan da u anar. ( c) s. g çarm, Makehan formüünün de gösterd gb c yanda yaama oasdr. Daha y br fadeye, P( Ek ) P( E ). PE ( E j ) P( Ek ) P( E ). PE ( Ek ) Yaama oas = Arz nedenere kar yaama oas Organk nedenere kar yaama oas = s c ( c) g Yukardak semboer öye tanmanr: E : Arz nedenere karn yaama oay E j : Organk nedenere karn yaama oay (yaa ba) E k : E E tüm nedenere karn yaama oay j Parametreern Tahmn: erden harekete (gözenen deererdr) s,g ve c Makeham arametreern hesaamak çn brçok yöntem vardr. Bunardan en bast oan Kng ve Hardy yöntem aada açkanmtr. ve n( ) n s ( c) c n g 45

54 46 g c c s m m m t t n ) ( n n Aadak kouar bereyecek oursak, Sstem: I 3 3 * * * * * * n n n n n n m m t t m m t t m m t t m m t t m t t m t t oacaktr. Burada u banty gözden uzak tutmamak gerekr: t t " ya Makeham n uyguanabece baangç yan bertr. 3m o, 3 m öye br seçr k m tamsay osun Sstem I, 3 bnmeyen (n s, n g ve c) br denkem sstemdr. Çözüm koayka saanr Perks Formüü: Makeham formüünü getrmek üzere ede eden br formüdür ve öyedr c c c c c Önceer az bnen bu formü 97 yarnda baz rketer tarafndan kuanmtr.

55 Ponomara Ajustman Daha önce fonksyonara fade eden ajustman formüer öze br farkk gösterrer. Bunu önemek çn n nc dereceden onom fonksyon oarak anr. Bunun çn ortogona onomar yöntem kuanr. N adet ya:,,,, N N (N n tek omas durumu saanrsa hesaar koayar.) N adet yaay ya: Bu, yaay yaarn orjn yanda oma anamna ger. Gözenen N adet mortate frekansar; ; ; ; deerer n nc dereceden br onoma ajuste edr. öye br onom tanmansn: a a a a n n En küçük kareer e çözüm çn kou: Z ( ) =mnmum Z fonksyonu (n+) dekennn br fonksyonu gb düünüebr. 47

56 48 a n a a ; ; ; Mnmum omay saamak üzere fonksyonun bu yen dekenere göre türever sfranr. I. n n n n a Z a Z a Z ) ( ) ( ) ( () j onomar grubunu outuram; j j j j j j ) ( ) ( ) ( ) ( ( j) k katsayarn o ekde seçem k; II. j ) ( our. ( ; ; ; j ) Bundan baka ) ( anr (. dereceden onom). j= N ) ( ) ( ) ( N ) ( 9 () () () ) ( 9 3 () () () Dkkat edrse her zaman çn öze oarak seçebecek br katsays vardr.

57 3.8. ÖLÜM DÜZEY (MORTALTE) Y ETKLEYEN FAKTÖRLER Öümü etkeyen faktörere ksaca öye denebr: 3.8..Yan etks: Yan etks önemdr. Genede u zenm görüür. yandan yana kadar öüm oaskarnda hz br aza görüür. - yaar öüm oaskarnn en düük oduu yaardr. yandan yana kadar odukça hz br art vardr. den 4-45 yana kadar yava art our. Bazen -5 yaar arasnda haff br aza vardr. 45 yandan baayarak üste fonksyonu andran tte br art our. Doutak yüksek öüm oranna 6-65 yaarnda tekrar err. Bu durum mortate taboarndan zenebr. Ya faktörü, yk öüm oaskar üzernde en çok ro oynayandr. Bu nedene yaam sgortaarnn hesaarnda teme br öe oma durumundadr Cnsyet Etks: Kadnarn yk öüm oaskarnn erkekernkne göre daha düük oduu bnmektedr. Öüm oaskar, br mortate tabosunda karatrrsa, bu varsaymn doru oduu görüür. Bunun nedener öye sraanabr: Erkekern büyük br ksm zor, güç ve hatta tehke erde çar. Erkeker geneke çok daha youn br sor etkn çndedrer. Erkeker kadnara göre çok daha faza ako, sgara, vs. gb zarar madde kuanrar. 49

58 Berten nedener baz yaarda, özeke yanda daha çok geçerdr. Bu dönemde öüm oas farkar 3 katna kadar uaabr. Bu yaarda sor ve araba kazaar çok sk görüür Yer ve Zaman Etks Yaan anketer mortate çn ayn sonuçar vermezer. Dek kmern etker ve sak kouarnn fark ouu ükeden ükeye mortatenn fark düzeyerde buunaca açktr. Her ükede fark bögeerde be farkkar gösteren mortate oranar haye her üke çn de farkkar göstermektedr. Ancak gene yakam, mortate taboarnn üke genende kuanmasdr. Der taraftan,son yarda yaan statstkse anketerde geçme göre öüm oaskarnn daha düük oduu görüür. Bunun nedener, tbbn gemes, sak hzmeternn katesndek art ve kazaara kar anan önemer gb zamana yaama kouarndak gemerdr. Aza, çocukuk yaarnda daha fazadr. Baz dönemerde ortaya çkan sagn hastakar mortatey arttrr. Sgortac mortate tabosunu ortaama yk br devreden sonra detrmedr Meden Han Etks Yaan gözemere göre, knn meden ha (ev, du, bekar, boanm) öüm oaskarnda dekkere neden our. Geneke yaam sgortaarnda, sgortann meden ha göz önünde tutumaz. Fakat baz durumarda, duuk rantarnda, duara has mortate oranar göz önünde tutuur (Bu uyguama, öze sak sandkarnda yaan hesaamaarda kuanabmektedr). 5

59 Mesen Etks: Baz mesekerde artan br öüm yüzdes vardr. Kazadan er geen öümer veya mesek hastakar gb durumar mortate oranarnda arta neden oabmektedr. Mesekten doacak öüm tehkeerne kar sgortac nadren de osa sgorta etmey reddedebr, sgortaama emnde baz kstamaara gdebr, faza br rme sgorta edebr ya da bu durumu hç dkkate amayabr Sak Durumunun Etks Sgorta omadan önce aday tbb seeksyon amac e kontro edr ve bu ekde anorma öüm oas azatm our. Baz sgorta oçeer aktf veya mau omak üzere k gruta toanr. Her brnn öüm oaskar farkk gösterrer. Mortatey etkeyen bu faktörerden cnsyetn etks, Türkye de kuanan mortate taboar üzernde, SPSS aket rogram yardmya yaacak uyguamada nceenecektr. 4. TÜRKYE DE KULLANILAN MORTALTE TABLOLARI Mortate taboar böyesne büyük br öneme sah omasna ramen Türkye de Türkye öüm verernden hazranm br mortate tabosu sgorta sektöründe kuanmamaktadr. Bunun yan sra bu bouk ükemzde yabanc köken mortate taboarya dodurumaktadr. Türkye de 978 e kadar 6 fark mortate tabosu kuanmaktayd. Bu ydan sonra Sgorta Murakabe Kuruu 5 Mays 978 tarh 7397 say kanunu ve 4 (95./7) 665 say karara 3 e ndrmtr. Bu taboar;. svçre Erkek Mortate Tabosu (SM) Aman Gene Mortate Tabosu (ADST) Amerkan Mortate Tabosu (CSO)

60 ynda T.C. Hazne Müstear Sgortack Gene Müdürüü tarafndan Amerkan (CSO) 98 Mortate Tabosu 3 Temmuz tarh B..HM.O.SGM.../Gen/99/6885 say karara dördüncü tabo oarak sgorta sektöründe kuanmaya baamtr. Türkye de hayat sgortas sektöründe kuanan bu dört yabanc tabonun yansra sgorta rketer tarafndan kabu görmeyen ancak Türkye öümsüzük verernden hazranm mortate taboar da mevcuttur. Türkye ye at demografk vererden hazranm k mortate tabosu svçre statstkç Weser e (95) attr. Weser bu çamada 63 n öüm statstkern kuanmtr. Weser, Premêre Tabe De Mortate our a Turue ad ktabnda her k cnsyet çn ayr tabo outurmu. Daha sonra Gürtan (966), 995 ve 96 yar nüfus saymarn kuanarak her k cnsyet çn Türkye Ksatm Mortate Tabosunu hazramtr. 97 ynda Özsoy (97), Ordu Yardmama Kurumu çn yen br mortate tabosu outurmutur. Taboyu hazrarken T.C. Emek Sand nn yarna at verern kuanmtr. Der önem br çama Öca (974) tarafndan gerçeketrmtr. Öca, 9 merkezne at (Adana, Ankara, Bursa, Eskehr, Gazante, stanbu, zmr, Kayser, Konya) 96 y nüfus saym sonuçarn ve Devet statstk Ensttüsü nün öüm statstkern kuanmtr. Türkye ye at vererden outuruan br der önem tabo se Pancou na (99) at doktora tez çamasdr. yanda yaam bekentsn, bebek ve be ya at öüm hzarn kuanarak Türkye çn ksatm hayat tabosu outurmutur. Taboar her k cnsyet çn , ve yar çn hazranmtr. Daha sonra Hogör (99), ya grubuna at mortate düzeyern her k cnsyet çn de test etm, 997 ynda hazrad doktora teznde se nüfus saym verern kuanarak Türkye çn böge ve baznda yaam bekentern hesaamtr. Bu çama ayn zamanda Türkye de böge ve baznda sonuçar ortaya koyan k çama oarak ta bnmektedr. 5

61 Bu çamaar takben Toros (), 99- dönem arasndak her y ve k cnsyet çn mortate taboar outurmutur. Toros, bu çamasnda düzetm 99 ve 997 saymarn ve 993 ve 998 Türkye Nüfus Sak Aratrmas nn bebek ve çocuk öüm hzarn kuanmtr. Bu çamaara ek oarak, DE (967, 989), Aay (968), Ora (968), Demrc (987), Duransoy (993) ve Demrbüken () gb aratrmacar Türkye ye at demografk verer kuanarak Türkye nn öümsüzük yasn yanstan mortate taboarn outurmuardr. Son yarda hazranm der br kasam çama se Sak Bakan Refk Saydam Hfzshha Merkez ve Bakent Ünverstes nn brkte hazram oduu Uusa Hastak Yükü ve Mayet Etkk Projes kasamnda outurumu Türkye Gene Mortate Tabosu dur. T.C. Hazne Müstear, Türkye de hayat sgorta rketernn kuanacakar mortate taboarnn denetm ve kontroünü yürütmektedr. Müsteark öüm düzey ve hastak düzey taboarn sgorta rketernn ortföyernn sonuçarna veya TÜK vererne göre bereyebr. Sgorta rketer stedker taktrde kend mortate taboarn outurabrer. En az yk statstk verer buunan ve anan taboarda kend ortföy sonuçarna göre dekk yamak steyen rketer outuracakar öüm düzey ve hastak düzey taboar e g statstk verer, hesaanan yönteme varsaymar e brkte onayanmak üzere müsteara gönderebr. Sgorta rketer, kend mortate taboarn outurabme mkanna sah omasna ramen bugüne kadar herhang br sgorta rket Türkye de kend verernden hazrad mortate tabosunu kuanmamtr. Tüm hayat sgortas rketer Türkye Hazne Müstear nn onayam oduu dört mortate tabosunu kuanmaktadr. 53

62 5. UYGULAMA Çamamzda mdye kadar, sa kam anaznn tarhse gemnden, bu anazde kuanan statstk yöntemerden, sa kam anaznde kuanan damardan bahsedm, bu damardan arametrk omayan Kaan Meer yöntemnden bahsedm, daha sonra aktüerya aannda sa kam anaznn yer anatarak, yaam taboarnn outurumas matematkse formüere zah edmtr. Daha sonra Türkye de kuanan yaam taboar üzernde durumutur. Dünyada deen zamana önem kat ve kat artan aktüerya bm, ükemzde de son yarda önem anamaya baanm, ünversteern sans ve yüksek sans sevyeernde bran oarak yer amaya baam, gttkçe geen ve gemnn devam çok önem oan aanardan brdr. Aktüerya bmnn etkn kuanm, sgorta sektöründe k müter-rket ksnn güven çnde sürmesne, sgorta sektörüne bak açsnn yemesne ve doaysya üke ekonomsnde bu aandan geecek ayn sektör yemesne arae oarak artmasna sebe oacaktr. Tüm bu önem noktaar gözeterek, çamann uyguama aamasnn bu aanda br konu üzerne omasnn fayda ve fark br bak açs yakaayaca düünümütür. Bu böümde Aktüerya hesaamaarda kuanan ve ouumunda statstk sa kam anazernn kuand taboar üzernde duruacaktr. Türkye de kuanmakta oan yaam (mortate) taboar baz anarak yaacak uyguamaarn sonuçar göz önüne serecektr. Önceke, Türkye de kuanan mortate taboarndan br oan CSO öüm verer baz anarak mortate taboarnn ouum aamaarna denecektr. SPSS aket rogram yardmya verern nas nceenece konuar aamaar hande gösterecektr. Bundan sonrak aamada, CSO 98, CSO 98 Mae, CSO 98 Femae taboarndan yararanarak sa kam anaznde kuanan statstkse yöntemer oan 54

63 Kaan Meer uyguamaar, SPSS aket rogram yardmya nceenecek ve sonuçar yorumanacaktr. Daha sonrak aamada, yne Türkye de haen yürürükte oan, CSO verer e CSO 98 verer SPSS aket rogram yardmya karatracak ve ereyen zamann ve deen yaam kouarnn öüm düzeyerne etker örnekenecektr. Uyguamamzn sonunda Türkye de kuanan yaam taboarnn mortate düzeyer üzernden karatrmas yaacak ve baz aktüerya hesaamaara, be yaardak kern fark mortate taboarna göre hayat sgortas yatrma kouar karatracaktr. 5.. CSO VERLERNN KULLANILARAK MORTALTE TABLOSUNUN OLUTURULMASI VE YORUMLANMASI Amerka Brek Deveter nde yarnda yaan deneyer sonucunda öüm düzeyern çeren taboar hazranmtr. Demografk aratrmaar, sosyoojk, deneyer, fnans sektöründe yaacak düzenemeer, sgorta sektöründe yaacak rm hesaamaarna done oacak bu taboar, yan haye kuanma hazr omamaka brkte, bast hesaamaara kuanm koay hae getrebrer. Tabo 5. de CSO öüm düzeyer görümektedr. ek 5. de se bu çama sonucu ede eden öüm düzeyernn yaa göre dem nceenebr. Dkkat edrse, öüm oranar gene yakama uygun oarak hz bebek öümer nedenye yanda odukça yüksek, ancak daha sonra azaan br seyr zemektedr. 8- yaarna kadar bu düük sevye sürmü, ancak bundan sonra öüm orannda az da osa art gözenmeye baanmtr. 4 yaara kadar yava oan bu art oran vme kazanm ve geçen süre e brkte hz br art göstermtr. 55

64 Tabo 5.. CSO Öüm düzeyer Ya Ya Ya Ya,78 5,93 5,83 75,7337,76 6,96 5,9 76,798,5 7,99 5,996 77,857 3,46 8,3 53,89 78,936 4,4 9,8 54,9 79,9 5,35 3,3 55,3 8,998 6,3 3,9 56,4 8,935 7,6 3,5 57,554 8,97 8,3 33,3 58,7 83,3938 9, 34,4 59,859 84,5, 35,5 6,34 85,64,3 36,64 6,4 86,78,6 37,8 6,43 87,853 3,3 38,3 63,657 88,985 4,39 39,35 64,94 89,46 5,46 4,353 65,375 9,84 6,54 4,384 66,3474 9,4577 7,6 4,47 67,384 9,6593 8,69 43,453 68,468 93,893 9,74 44,49 69,456 94,3666,79 45,535 7, ,354,83 46,583 7,545 96,456,86 47,636 7, ,4884 3,89 48,695 73,636 98,6685 4,9 49,76 74,68 99,,5,,5,,5, ya ek 5.. CSO Öüm düzeyer trend 56

65 Ede buunan bu vererden aktüer, gerek çamaar yaarak, sgorta rmernn hesaamaarnda kuanacak mortate taboarn getrebr. Önceke, ( ) ( ) omak üzere g zamanda yaama oaskar taboya ekenebr. Tabo 5. de k ya sa kam oaskar hesaanmtr. Görüdüü üzere yen doan br beben k y hayatta kama oas % 99,9 ken br yan doduran bebekerde br y daha hayatta kama oas % 99, 84 e çkmaktadr. Tabo 5.. CSO hayatta kama oaskar (- Ya) Yaayank says Öenksays ÖümOas YaamaOas d. 78,78, ,76, ,5, ,46, ,4, ,35, ,3, ,6, ,3, ,, ,,99879 Daha sonrak aamada, an öüm oranar; ( ( ). ( ) ) ( ) formüü e koayca hesaanr. Bu hesaamaar sonucu ouan sonuç (-) ya çn Tabo 5.3 te görümektedr. 57

66 Tabo 5.3. CSO an öüm oranar (- Ya) Yaayank says Öenksays ÖümOas YaamaOas Anöüm oran d Q m. 78,78, ,76,9984, ,5,99848, ,46,99854, ,4,9986, ,35,99865, ,3,9987, ,6,99874, ,3,99877, ,,99879, ,,99879, Aktüer u ana kadar yaan hesaamaardan faydaanarak, her ya çn tam yaama ümdn de hesaayabr. Tabo 5.4 te CSO verernden yararanarak hesaanm (- Ya) ömür bekenter yer amaktadr. Hesaamaarda kuanan formü; dür. e ( t ( ) ( ) ) Tabo 5.4.CSO ömür bekenter (- Ya) d m eo= e+/. 78,78,999 68, ,76,9984,445 67, ,5,99848,64 66, ,46,99854,49 65, ,4,9986,43 64, ,35,99865,38 64, ,3,9987,33 63, ,6,99874,8 6, ,3,99877,5 6, ,,99879, 6, ,,99879, 59, ,84,7786,48958,7 58

67 Tabo 5.4 e göre yen doan br breyn, 68, 8 y yaamas bekenmektedr. yandak br breyn se 59,46 y daha yaayarak 69, 46 yana kadar gemes bekenmektedr. 9 yandak br brey çn se ömür bekents.7 ydr. Aktüer bu teme hesaamaar yatktan sonra, rm hesaamaarna rahatka geç yaabr. Çamann öncek böümernde bahseden ajusteerde bu oranar üzernde uyguanarak mortate taboar genetebr. 5.. CSO 98 ERKEK VE CSO 98 KADIN VERLERNN SA KALIM FONKSYONLARI BAKIMINDAN KARILATIRILMASI Mortate düzeyernn çet mekan, zaman, cnsyet, meden durum gb faktörerden etkenebd ve yer gednde bu faktörere göre fark mortate taboar düzenenmes gerekebece açktr. Örnen her ükede var oan yaam kouar, m ger düzeyer, km artar, çama kouar, genototer fark oacandan, her ükeye at mortate taboarnn var br gerekktr. Ayn ekde mortate düzeyer, cnsyeter arasnda da dem gösterebmektedr. Mortate taboarnn tarhçeer nceendnde baarda cnsyet ayrmnn bu taboara yansmad görüürken, ereyen zamanarda bu ayrm gözetm ve her k cnsyet çn çamaar ayr yürütümütür. Ancak bu defa da baz kesmer tarafndan bu ekde br ayrmn sosyoojk açdan ayrmca grece, cnsyete göre yaam sgortas rmernn berenmesnn hakszk oaca fkr ortaya atmtr. Çamann bu böümünde; H H o a : S : S er er ( ) S ( ) S ka ka ( ) ( ) hotezer, CSO 98 ERKEK ve CSO 98 KADIN versnn, Kaan-Meer yöntem e nceenecektr. SPSS aket rogram kuanarak yaacak bu çamann menü admar sunuacak ve sonuçar yorumanacaktr. 59

68 Anaze konu oan breyern cnsyete göre oranar ek 5. dek gbdr. 48% Erkek Kadın 5% ek 5.: CSO 98 Kadn-Erkek Karatrmas (Katm Oranar) Önceke edek ver set, SPSS ortamna yaama süreer sraamas gözeterek grr. ek 5.3 te gr ekran görümektedr. Burada k sütunda breyn sra numaras (herhang br oransa deer yoktur), knc sütunda cnsyet bgs (: Erkek, : Kadn), 3. sütunda breyn öüm ya, 4. sütunda se gerçekeen oayn statüsü (: Öüm oaynn gerçeketn gösterr.) ek 5.3: CSO 98 Kadn-Erkek Karatrmas çn yaacak anaz çn SPSS aket rogramna gr ekran 6

69 Yaacak oan anaz çn Anayze-Survva-Kaan Meer menüsünden ek 5.4 te görüen ekran görüntüsüne uar. ek 5.4 : Kaan-Meer anaz ekran Burada gerek düzenemeer yadktan sonra anaz gerçeketrr. Hotez testnn geçernn kontroü çn og rank test statst göz önünde buunduruacaktr. Anaz sonuçar aada görüebmektedr. Tabo 5.5. CSO 98 Kadn-Erkek Karatrmas ver adeter Case Processng Summary Cnsyet,, Overa Censored Tota N N of Events N Percent ,% ,% 4 4,% Cnsyet,, Overa Tabo 5.6. CSO 98 Kadn-Erkek Tanmayc statstker Means and Medans for Survva Tme Mean a 95% Confdence Interva Estmate Std. Error Lower Bound Uer Bound Medan 95% Confdence Interva Estmate Std. Error Lower Bound Uer Bound 68,85,8 68,45 69,98 73,,6 7,577 73,43 7,574,33 7,7 73,3 78,,5 77,597 78,43 7,64,64 7,39 7,96 75,,5 74,7 75,98 a. Estmaton s mted to the argest survva tme f t s censored. 6

70 Erkekerde ortaama yaam 68,85 oarak,,8 standart sama e tahmn edmtr. Bayanarda se ortaama yaam süres 7,57 dr ve standart sama,3 oarak berenmtr. Tabo 5.7. CSO 98 Kadn-Erkek Karatrmas Log rank Test statst Log Rank (Mante-Co) Overa Comarsons Ch-Suare df Sg. 87,8, Test of euaty of survva dstrbutons for the dfferent eves of Cnsyet. ek 5.5 te kadn ve erkek sa kam fonksyonar yer amaktadr. Survva Functons, Cnsyet,,,8 Cum Survva,6,4,,,, 4, ÖümYas 6, 8,, ek 5.5 : CSO 98 vererne göre kadn ve erkek sa kam fonksyonar 6

71 ek 5.6 da kadn ve erkek hazard fonksyonar yer amaktadr. Hazard Functon 5 Cnsyet,, 4 Cum Hazard 3,, 4, ÖümYas 6, 8,, ek 5.6 : CSO 98 vererne göre kadn ve erkek hazard fonksyonar ek 5.5 ve 5.6 da da gözenebd gb yaardan tbaren kadnarn sa kam oranar erkekerden daha büyük omaya baam, ve ereyen yaarda bu oran daha da artmtr. CSO 98 öüm düzeyernn cnsyet farkna göre nceenmes sonucu, Tabo 5.7. de yer aan og rank test statst, oarak hesaanm, bu k ktenn öüm düzeyer açsndan % 95 güven düzeynde farkk gösterd satanmtr. Mortate taboarnn düzenenmes esnasnda bu ayrmn gözetmes, cnsyete göre ayr öüm düzeyernn berenmes, yaacak çamaarn kate düzeyn artracaktr CSO VE CSO 98 VERLERNN SA KALIM FONKSYONLARI BAKIMINDAN KARILATIRILMASI Mortate düzeyer, deen zamana brkte ayn kamaz. Geen teknoojk mkanar, tbbn gemes, yen tedav yöntemernn buunmas, nsanarn bnçenmes gb faktörer öüm düzeyernde demeere neden our. ereyen zamana yaam süreernn artmas, doaysya da öüm düzeyernn azamas bekenmektedr. 63

72 Çamann bu ksmnda, bekenter nda, ükemzde kuanmakta oan, Amerka Brek Deveter nde ve 98 yar arasnda yam çamaardan ede eden verer karatrarak, zamana, sa kam fonksyonarndak demer gözenecektr. Anazer SPSS aket rogram yardmya Kaan-Meer yöntem kuanarak sunuacaktr. Aadak hotezer, og rank test statst e test ederek yorumanacaktr. Aratracak hotez tester, H : S53 58 ( ) S8 ( ) H a : S 58 ( ) S8 ( ) 53 hotezerdr. k oarak ver set ek 5.7 de görüdüü gb SPSS ortamna aktarr. Burada yaam süreernn sras gözeterek gr yamas gerekmektedr. Bu gr ekrannda k sütun breyn sra numarasn vermektedr, herhang br büyükük fade etmez, knc sütun knn öüm ya bgsn çerr. Üçüncü sütun bekenen oayn gerçeketn gösterr ve tüm deerer çn dr. Dördüncü sütun se breyn dah oduu ver setn fade eder (CSO 98 çn, CSO çn deerern ar) ek 5.7: CSO ve CSO 98 Karatrmas çn yaacak anaz çn SPSS aket rogramna gr ekran 64

73 Yaacak oan anaz çn srasya Anayze-Survva-Kaan Meer menüsünden ek 5.8 de görüen ekran görüntüsüne uar. ek 5.8 : Kaan-Meer anaz ekran Anaz sonuçar aada sunumu ve yorumanmtr. Tabo 5.8. CSO & CSO 98 Karatrmas ver adeter Case Processng Summary KATEGORI,, Overa Censored Tota N N of Events N Percent 4 4,% ,% ,% KATEGORI,, Overa Tabo 5.9. CSO & CSO 98 Tanmayc statstker Means and Medans for Survva Tme Mean a 95% Confdence Interva Estmate Std. Error Lower Bound Uer Bound Medan 95% Confdence Interva Estmate Std. Error Lower Bound Uer Bound 7,64,64 7,39 7,96 75,,5 74,7 75,98 66,846,8 66,49 67, 7,,7 7,663 7,337 68,87, 68,63 69, 73,, 7,764 73,36 a. Estmaton s mted to the argest survva tme f t s censored yarnda yaan çamaar sonucu, ortaama yaam süres 66,85 oarak hesaanmtr. Bu çamada ortaya çkan standart sama,8 dr. 98 ynda se ortaam ömür 7,64 oarak hesaanm ve standart sama deer,6 omutur. Bu deerern çak göze nceenmes sonucu, gene kanya uygun sonuçar ortaya çkm, zaman eredkçe, ayn toum çn ortaama yaam süres artmtr. Ancak bu art statstkse oarak anam mdr? 65

74 Bu sorunun cevabn buabmek çn tabo 5. da k og rank test statst deer yorumanma, ek 5.7 ve ek 5.8 nceenmedr. Tabo 5.. CSO & CSO 98 Karatrmas çn Log Rank test statst sonucu Log Rank (Mante-Co) Overa Comarsons Ch-Suare df Sg. 47,573, Test of euaty of survva dstrbutons for the dfferent eves of KATEGORI. Survva Functons, KATEGORI,,,8 Cum Survva,6,4,,,, 4, YAS 6, 8,, ek.5.9: CSO & 8 yar sa kam fonksyonar 66

75 Hazard Functon 5 KATEGORI,, 4 Cum Hazard 3,, 4, YAS 6, 8,, ek.5.: CSO & 8 yar hazard fonksyonar ve 98 yar arasnda ayn toum breyer üzerne yaan aratrmaarn sonuçar nceenm ve karatrmtr. Tabo 5.. da yer aan og rank test statst;, oarak hesaanm, bu k ktenn öüm düzeyer açsndan % 95 güven düzeynde farkk gösterd satanmtr TÜRKYE DE KULLANILAN MORTALTE TABLOLARININ ÖLÜM DÜZEYLER BAZINDA KARILATIRILMASI Türkye de kuanan, ancak kaynann Türkye omad dört fark tabo buunmaktadr. Bunar ADST (Amanya) 94-5, SM (svçre) , CSO (Amerka Brek Deveter) ve CSO 98 taboardr. Bu taboar hem kaynak oarak Türkye baz omadndan hem de tarh açsndan günce omamasndan kaynakanan sebeerden ötürü, sak taboar oarak görünmese de ükemzde haen kuanmaktadrar. 67

76 Çamann bu böümünde bu taboar, 5 yk öüm düzeyer baznda, ömür bekenter baznda ve baz aktüerya hesaamaar sonucu ouan sgorta rmer baznda karatracak ve sonuçar yorumanacaktr. hesaanr. Hesaanacak sgorta rmer vefat sgortas ve rmerdr ve aadak gb Bnd üzere snr süre vefat sgortas, sgortann berenen br süre çnde öümü hande ger kaan yaknarna tazmnat ödemesnn yad sgorta türüdür ve sgortann ödeyece net tek rm; A : n n t V t t formüü kuanarak hesaanr (Ngün Mora, Hayat sgortaar çn aktüerya Teknker; 997). Bu formüde () sgortann yan, (n) toam sgorta süresn, (t) sgortada geçen sürey, (V) br y sonrak YTL nn en deern, () se öüm oasn gösterr. Çkan bu deer YTL tazmnat çn ödenmes gereken net tek rm verecenden tazmnat tutar ne se rme çarr (Ngün Mora, Hayat sgortaar çn aktüerya Teknker; 997). Yaan çama sonucunda Türkye de sgorta rketer tarafndan kuanmakta oan dört yabanc mortate tabosunun öüm oranar baznda karatrmaar Tabo 5. ve ek 5.9 da göstermtr. Tabo 5.: Sgorta Sektöründe Kuanan Mevcut Taboarnn 5 Yk Öüm Oran Karatrmas (Bnde) Amanya ADST 945 svçre SM Amerka CSO Amerka CSO , 8,85 3,3 6,9 53 4,47 38, 4,54 34, 54 98,5 96, 98,47 84, ,54 4,57 3,89 9, ,33 47,6 463,56 4,7 68

77 Öüm oranarnn karatrmas 5 yk süreçerde,, 3, 4, 5 ve 6 yaar çn yamtr. yandak br sgortann 5 y çersnde öme oasnn en yüksek oduu tabo % 3,3 e Aman ADST mortate tabosuyken en düük oduu tabo %,69 e Amerka CSO 98 mortate tabosudur. er yaara doru gddkçe öüm oranarndak farkamann da artt gözemenmektedr. Buna göre 6 yandak br knn 5 y çersnde öme oas en yüksek % 47,6 deer e svçre SM tabosuna atken Amerka CSO 98 tabosunda bu deer %4,7 dr. ÖümOran(bnde) Amanya ADST 945 svçresm AmerkaCSO AmerkaCSO ek 5.: Sgorta Sektöründe Kuanan Mevcut Taboarnn 5 Yk Öüm Oran Karatrmas (Bnde) knc br kyasama da Tabo 5. ve ek 5. da yaam bekenter üzerne yamtr. Buna göre Amerka CSO 98 tabosunun douta yaam bekents (e) der üç tabonun üzernde çkmtr. 6 yandak br knn yaam bekents Amerka da 98 ynda 7,5 y ken, svçre de 5,69 y e en düük deer amtr. 69

78 Tabo 5.: Yaara Göre Yaam Bekenter (Y) Amanya ADST 945 svçre SM Amerka CSO Amerka CSO 98 e 64,58 66,35 68,3 7,83 e 5,34 5,6 5,37 5,37 e4 3,3 3,88 3,8 34,5 e6 6, 5,69 6, 7,5 e7 9,84 9,53,, Amanya ADST 945 YaamBekents(y) svçresm AmerkaCSO AmerkaCSO 98 e e e4 e6 e7 ek 5.: Yaara Göre Yaam Bekenter (Y) Der br kyasama k fark hayat sgortas çedne at net tek rmer üzernden yamtr. Net tek rmern hesaanmasna kn yk teknk faz, T.C. Hazne Müstear nn bered oran oan % 9 dur. Tabo 5.3 ve ek 5. de ber yaara göre, 5 y süre sadece öüme kar hayat sgortas yatrm brnn, öüm hande yaknarnn. TL aabmes çn ödemes gereken net tek rm tutarar hesaanmtr. 7

79 Tabo 5.3: Sgorta Sektöüründe Kuanan Mevcut Taboar e Türkye Tabosunun 5 Y Süre Vefat Sgortas çn Net Tek Prm Tabosu (. TL Tazmnat Ödeme) Amanya ADST 945 svçre SM Amerka CSO Amerka CSO NetTekPrmTutar(TL) Amanya ADST 945 svçresm AmerkaCSO AmerkaCSO ek 5.3: Sgorta Sektöründe Kuanan Mevcut Taboar e Türkye Tabosunun 5 Y Süre Vefat Sgortas çn Net Tek Prm Tabosu (. TL Tazmnat Ödeme) Tabo 5.3 ve ek 5. de görüece üzere sgortann ödemes gereken net tek rm tutarar görünmektedr. Amerka 98 y statstkerne göre örnen 5 yandak br k 5 y çersnde öümü hande yaknarnn. TL tazmnat aabmes çn 87 TL ödemes gerekecekken, sgorta sektöründe kuanmakta oan mevcut taboardan br der oan svçre SM tabosunda.77 TL net tek rm ödeyecektr. Aradak fark Türkye de kuanan taboarn kuanmnn yenden gözden geçrmes ve Türkye de yaacak br aratrma sonucunda en doru sonuçarn kuanmasnn vedn göz önüne sermektedr. 7

80 6. AKTÜERYAL HESAPLAMALAR ÇN VISUAL BASIC UYGULAMASI Çamamzn bu böümünde, çet aktüerya hesaamaarda kuanabecek, gerek ve kuan görümes hande daha da getrebecek br vsua basc uyguamas outurumutur. Aada çet ekran görüntüer yardmya açkanmaya çaacak bu uyguama, kuanc çn koayk saamas, ayrca kuanan mortate taboar arasndak farkkar göz önüne sermey amaçamtr. Prm hesaamaarndan baz örnekern yer ad bu çama, rm hesaayacak knn gr yaaca ara yüzer barndrmakta, seçt mortate tabosu, grd faz, ya ve yk temnat bger sonucunda ödenecek rm hesaamaarnn yad br yaya sahtr. Ayrca bu hesaamaarn çet mortate taboarna göre karatrmaarn görse oarak destekeyen grafkern de ouumu otomatk oarak outurumaktadr. Aada rograma at baz ekran görüntüer yer amaktadr. Ekranar arasndak geçer çn herhang manue br müdahaeye gerek omay, yamak stenen er çn hazranm butonarn kuanmas yeterdr. 7

81 Fark mortate taboar, fark ya gruar, fark faz oranarna göre rm hesaamaarnn yad ve grafkse karatrmann mümkün oduu ekran görüntüer aada görüebr. ek 5.4: Ödenecek rm karatrma toou ek 5.5: Ödenecek rm karatrma sonuç graf 73

82 Fark mortate taboarna, göre mortate oranar, an öüm hzar, ve tüm mortate taboarnn öüm oranarnn, kuancnn bered ya arakar çn hareket br yada görseetren yann ekran görüntüer se aadak gbdr. ek 5.6: Mortate anaz karatrma toou ek 5.7: Mortate oranar graf 74

83 ek 5.8:An Öüm Oranar Graf ek 5.9: Tüm Mortate Taboar Karatrma Toou 75

84 ek 5.: Tüm Mortate Taboar Karatrma Graf 76